Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan  atau . Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, ); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal. Sifat yang terkait ada untuk relasi biner; suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.

Penggunaan umum 
 Properti komutatif  (atau  hukum komutatif ) adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan fungsi.  Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan  ngelaju  di bawah operasi.

Definisi Matematika 

Istilah "komutatif" digunakan dalam beberapa pengertian terkait.

Contoh

Operasi komutatif 

Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal:
 Penambahan dari bilangan real bersifat komutatif, karena

Misalnya 4 + 5 = 5 + 4, karena ekspresi sama dengan 9.
 Perkalian dari bilangan real adalah komutatif, karena

Misalnya, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi sama dengan 15.

Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z. Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%.
 Beberapa biner fungsi kebenaran juga komutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi-fungsinya sama ketika seseorang mengubah urutan operan. 
Misalnya, fungsi biconditional logis p ↔ q ekivalen dengan q ↔ p. Fungsi ini juga ditulis sebagai p IFF q, atau sebagai p ≡ q, atau sebagai Epq. 
Bentuk terakhir adalah contoh notasi paling ringkas dalam artikel tentang fungsi kebenaran, yang mencantumkan enam belas kemungkinan fungsi kebenaran biner yang delapan diantaranya adalah komutatif: Vpq = Vqp; Apq (ATAU) = Aqp; Dpq (NAND) = Dqp; Epq (IFF) = Eqp; Jpq = Jqp; Kpq (DAN) = Kqp; Xpq (MAUPUN) = Xqp; Opq = Oqp.
 Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian bilangan kompleks, penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor, dan persimpangan dan persatuan dari himpunan.

Operasi nonkomutatif 
Beberapa operasi biner nonkomutatif:

Pembagian dan pengurangan 

Pembagian adalah nonkomutatif, sejak .

Pengurangan bersifat nonkomutatif, karena . Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai anti-komutatif, karena .

Fungsi kebenaran 

Beberapa fungsi kebenaran adalah nonkomutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan. Misalnya, tabel kebenaran untuk   dan  adalah

Komposisi fungsi fungsi linier 
Komposisi fungsi dari fungsi linier dari bilangan real ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif. Misalnya, misalkan  dan . Kemudian

dan

Ini juga berlaku lebih umum untuk linier dan transformasi affine dari ruang vektor ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

Perkalian matriks 

Matriks perkalian matriks kuadrat hampir selalu nonkomutatif, misalnya:

Produk vektor 

Produk vektor (atau perkalian silang) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah anti-komutatif; yaitu, b × a =  −(a × b).

Sejarah dan etimologi 

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para Mesir ian menggunakan properti komutatif dari perkalian untuk menyederhanakan komputasi produk. Euklides diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya  Elemen .  Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi.  Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Penggunaan istilah  komutatif  yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh François Servois pada tahun 1814, yang menggunakan kata  komutatif  saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis  commuter  yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks  -ative  yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam bahasa Inggris pada tahun 1838 dalam artikel Duncan Farquharson Gregory berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transaksi Royal Society of Edinburgh.

Logika proposisional

Kaidah penggantian 
Dalam logika proposisional riil-fungsional, pergantian, atau komutatif mengacu pada dua valid kaidah penggantian. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan variabel proposisional dalam ekspresi logika dalam bukti logis. Rumusnya adalah:

and 

dimana "" adalah metalogika dari simbol yang menggunakan "bukti dengan formal".

Konektor fungsional riil 

Komutatifita  adalah sifat dari beberapa koneksi logika fungsi riil logika proposisional. Persamaan logika berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional tautologi.

Komutatifitas konjungsi
Komutatifitas disjungsi
Komutatifitas implikasi (disebut juga hukum permutasi)
Komutatifitas kesetaraan (disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks)

Teori himpunan 
Dalam grup dan teori himpunan, struktur aljabar disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu analisis dan aljabar linear komutatifitas operasi terkenal (yaitu penambahan dan perkalian pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.

Struktur matematika dan komutatif 
 Semigrup komutatif adalah himpunan dengan operasi total dari asosiatif dan komutatif.
 Jika operasi menggunakan elemen identitas maka elemen tersebut adalah monoid komutatif
 Grup abelian, atau grup komutatif adalah grup dimana operasi grupnya adalah sifat komutatif.
 Gelanggang komutatif adalah gelanggang dimana perkalian adalah komutatif.
 Dalam bidang penjumlahan dan perkalian adalah sifat komutatif.

Sifat terkait

Asosiatif 

Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir.

Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi

yang jelas sifat komutatif (mengganti x dan y tidak mempengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya,  but ).
Contoh lainnya dapat ditemukan di magma non-asosiatif komutatif.

Distributif

Simetri 

Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis y = x.  Sebagai contoh, jika fungsi f menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga f(x,y) = x + y, maka f adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.

Untuk relasi, relasi simetri adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi R simetris, maka .

Operator non-komuter dalam mekanika kuantum 

Dalam mekanika kuantum seperti yang dirumuskan oleh Schrödinger, variabel fisik diwakili oleh operator linier seperti x (artinya dikalikan dengan x), dan . Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek komposisi mereka  dan  (juga disebut produk operator) pada fungsi gelombang satu dimensi :

Menurut prinsip ketidakpastian dari Heisenberg, jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling komplementer, yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan momentum linier dalam arah  x  sebuah partikel diwakili oleh operator  and , masing-masing (di mana  adalah  konstanta Planck tereduksi). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta , jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

Lihat pula 

Properti antikomutatif
 Pemusat dan penormal (juga disebut komutan)
Diagram komutatif
Komutatif (neurofisiologi)
Pembalik
Hukum genjang
 Statistik partikel (untuk komutatifitas dalam fisika)
 Properti kuasi-komutatif
 Jejak monoid
 Kemungkinan perjalanan

Catatan

Referensi

Buku 

Abstract algebra theory.  Covers commutativity in that context.  Uses property throughout book.Linear algebra theory.  Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.Abstract algebra theory.  Uses commutativity property throughout book.

Artikel 
https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. 
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Sumber berbasis online 

Krowne, Aaron, , Accessed 8 August 2007.
Definition of commutativity and examples of commutative operations
, Accessed 8 August 2007.
Explanation of the term commute
Yark. , Accessed 8 August 2007
Examples proving some noncommutative operations
O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007
Article giving the history of the real numbers
Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008
Page covering the earliest uses of mathematical terms
O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois , Accessed 8 August 2007
Biography of Francois Servois, who first used the term

Aljabar abstrak
Aljabar elementer
Kaidah inferensi
Simetri
Komutatifitas
Konsep dalam fisika
Analisis fungsional