Dalam teori peluang, nilai harapan (juga disebut dengan ekspektasi, nilai ekspektasi, mean, rata-rata, purata, atau momen pertama) adalah perumuman dari purata berbobot. Secara informal, nilai harapan adalah purata aritmetika dari banyak hasil pada sebuah variabel acak yang dipilih secara independen.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakan integral. Dalam landasan aksiomatik untuk peluang yang diberikan oleh teori ukuran, nilai harapan didefinisikan dengan integral Lebesgue.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak  umum dinyatakan sebagai  dengan  terkadang juga ditulis dalam gaya huruf  atau .

Notasi 
Penggunaan huruf  untuk menyatakan nilai harapan (expected value) dapat dilacak ke W. A. Whitworth pada tahun 1901. Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman,  merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.

Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf:  (tegak),  (miring), or  (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: ).

Notasi lain yang populer adalah , sedangkan , , dan  banyak dijumpai dalam fisika, dan  dalam tulisan-tulisan berbahasa Rusia.

Definisi 
Terdapat beberapa konteks dan cara untuk mendefinisikan nilai harapan. Cara termudah dan definisi asli dari nilai harapan adalah menghitung terhingga banyaknya hasil percobaan yang mungkin (seperti hasil lemparan sebuah koin). Dengan menggunakan teori barisan tak hingga, definisi itu dapat diperumum untuk kasus tak terhingga (tapi terhitung) banyaknya hasil percobaan. Nilai harapan juga didefinisikan untuk variabel-variabel acak yang diatur oleh fungsi kepadatan peluang kontinu-(sepenggal), karena jenis variabel acak tersebut banyak ditemukan secara alami. Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalam teori ukuran dan integral Lebesgue.

Setiap definisi dari nilai harapan dapat diperluas untuk mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak multidimensi, seperti sebuah vektor acak . Pendefinisian nilai harapan pada variabel acak jenis tersebut dilakukan komponen-demi-komponen, yakni . Serupa dengan itu, nilai harapan dari matriks acak  dengan elemen-elemen  didefinisikan sebagai .

Variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil 
Misalkan  adalah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil yang mungkin , masing-masing memiliki peluang  untuk terjadi. Nilai harapan dari  didefinisikan sebagai

 

Karena total semua peluang , wajar untuk menganggap  sebagai purata berbobot dari nilai-nilai , dengan bobot-bobot berupa nilai peluang . Pada kasus khusus ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi (yakni, ), purata berbobot akan sama dengan rata-rata yang standar. Secara umum, nilai harapan memperhatikan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin terjadi ketimbang yang lain.

Variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil 
Secara informal, nilai harapan dari variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil yang mungkin, didefinisikan secara serupa sebagai purata berbobot dari dari semua hasil yang mungkin, dengan bobot-bobot didapatkan dari peluang merealisasikan setiap hasil. Menyatakan ini secara matematis,

 

dengan  adalah hasil-hasil yang mungkin dari variabel acak  dan  masing-masing adalalah peluang mereka. Terdapat beberapa asumsi dengan penjumlahan tak hingga, menjadikan rumus di atas tidak cocok sebagai definisi matematika. Secara khusus, teorema barisan Riemann dalam analisis matematika menunjukkan bahwa hasil penjumlahan tak hingga yang melibatkan suku positif dan suku negatif dapat berubah bergantung pada urutan penjumlahan yang dilakukan. Hal ini menyulitkan mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak jenis ini karena hasil dari variabel acak tidak memiliki urutan yang alami (karena acak).

Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut konvergen absolut, yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan. Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.

Referensi

Daftar pustaka

Pranala luar 

Teori peluang