Analisis real atau analisis riil (), atau biasanya disebut teori fungsi variabel riil/real atau teori fungsi peubah riil/real merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas himpunan bilangan riil, fungsi riil, serta barisan dan deret bilangan riil. Singkatnya, analisis riil adalah cabang analisis matematis yang berkaitan dengan bilangan riil dan fungsi bernilai riil dari variabel riil. Analisis riil dapat dianggap sebagai kalkulus yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara lebih mendalam mengenai konsep barisan dan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsi tersebut.

Penjelasan analisis riil pada buku-buku pelajaran tingkat lanjut biasanya dimulai dengan pembuktian sederhana mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi yang jelas, dan pengenalan kepada bilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian menggunakan induksi matematika. Lalu dilanjutkan dengan pengenalan bilangan riil baik secara aksioma, ataupun melalui pembentukan dengan barisan Cauchy, ataupun potongan Dedekind pada bilangan rasional. Hasil yang mendasar kemudian dapat diperoleh, yang terpenting adalah sifat-sifat dari nilai mutlak seperti pertidaksamaan segitiga dan pertidaksamaan Bernoulli..

Konsep analisis riil

Bilangan real 

Bilangan real atau bilangan riil (dinotasikan  sebagai himpunan bilangan real) merupakan bilangan yang mencakup bilangan irasional dan bilangan rasional. Bilangan real dapat kita pandangi sebagai label dalam titik-titik di sepanjang garis horizontal sehingga angka-angkanya dapat mengukur jarak ke kiri dan ke kanan. Himpunan bilangan real dapat dituliskan sebagai

 .

Limit 

Limit merupakan konsep yang menjelaskan ketika suatu masukan atau indeks mendekati suatu nilai. Definisi maupun sifat-sifatnya dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit (ε,δ).

Barisan dan deret 

Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan barisan. Beberapa kaidah yang mengatur proses pelimitan dapat diturunkan, dan beberapa limit dapat dihitung, serta deret takhingga, yang merupakan barisan yang khusus juga dipelajari. Deret pangkat digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan riil, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian.

Kekontinuan 

Konsep mengenai kekontinuan dapat dijelaskan menggunakan limit. Penambahan, perkalian, komposisi, hasil kali dan haslil bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah yang penting juga terbukti.

Pada pencapaian ini, adalah sangat berguna untuk mempelajari ide dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, agar kemudian dapat memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Ini dapat dilakukan dalam topologi himpunan titik dan menggunakan ruang metrik. Konsep-konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan, kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa.

Turunan 

Turunan adalah konsep yang menjelaskan bagaimana perilaku fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Ide mengenai turunan mungkin dapat diperkenalkan sebagai suatu proses pelimitan tertentu, dan hukum-hukum turunan yang umum dari kalkulus dapat dijelaskan dengan lebih terperinci.

Integral Riemann 

Integral Riemann, dinamai dari Bernhard Riemann, merupakan integral yang didefinisikan dalam bentuk jumlah fungsi Riemann terhadap label dari suatu interval.

Lihat pula 

 Analisis kompleks
 Daftar topik analisis riil

Referensi 

Analisis matematika