钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第120卷 > 《算法统宗八》 > 商功章第五
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商，度也，商量用力之法也。此章以坚壤之率求穿地
之实，以广阔高深求城堑沟渠之积，以车担往来求程途负载之功。

《商功》歌：〈即修筑。〉

商功须要问工程，长阔相乘深又乘，乘此数来以为
实，每日工程为法行。惟以筑城别一样，上下将来折
半平。高以乘之长又续。〈又以长乘之也〉“以为城积甚分明，五
因其积三而一”，此是坚求壤法行穿地，四因为壤积，
法中仍用五归成。

穿地四尺，为壤五尺，为坚三尺。〈壤是虚土也坚是实土也〉
《穿地　求壤》。〈五因〉　《求坚》：〈三因〉　皆四归之。

壤地　求穿。〈四因〉　《求坚》：〈三因〉　皆五归之。

《坚地　求穿》。〈四因〉　《求壤》。〈五因〉　皆三归之。

《城垣堤沟》求积，并上下广折半，以高深乘之，又以长
乘之，得积。

《方台》求积：上方自乘，下方自乘，另以上、下方相乘并
之，又以高乘，再以三归之。如方窖刍童者，倍上长，加
下长，以上广乘之；又倍下长，加上长，以下广乘之，并
二数，以高乘，又以六归之。

《圆台》求积，上周自乘，下周自乘，上下周相乘，并之，又
以高乘，再用三十六除之，如圆窖圆锥者，下周自乘，
又以高乘，再用三十六除之，如尖堆。

方锥求积，下方自乘，以高乘之，又三，归之，如圭形。〈下方
上尖〉

方堡壔求积，以方自乘，又以高乘之，如方仓方柱也。
圆堡壔求积，以周自乘，又以高乘之，再用十二除之，
如圆仓圆柱也。

“刍荛”倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之
一，如屋脊上斜下平。

羡除并三广，以深乘之，用六归之。〈上平下尖或倍上长加下长〉
假如今有坚地积七千五百尺，问“穿地壤土各该若
干？”

答曰：“穿地一万尺，壤土一万二千五百尺。”

法曰：置坚地积，以五因三归之，为壤土积。另置壤积，
以四因五归之，得穿地积。合问。

今有开河长七千五百五十尺。上广五十四尺、下广
四十尺、深一十二尺。每日一工、开三百尺。问用工若
干

答曰：“一万四千一百九十四工。”

法曰：并上下二广，折半，得四十七尺。以深一十二尺
乘之，得五百六十四尺，又以长乘之，得积四百二十
五万八千二百尺为实。以每工三百尺为法，除之，即
得。

今有穿渠，上广二丈四尺，下广二丈一尺，深九尺，长
三百八十四尺。每用人夫一十二名，日开积六百尺。
问该人夫几何？

答曰：“一万五千五百五十二名。”

法曰：并两广共得四十五尺，折半得二十二尺五寸，
以深九尺乘之，得二百零二尺五寸，又以长乘之，得
七万七千七百六十尺为积，又以人夫一十二名乘
之，得九十三万三千一百二十尺为实，却以六百尺
为法除之。

今有开濠上广七尺，下广九尺，深四尺，长一千八百
尺。每人日穿一百四十四尺。今用人夫二百名。问几
日开毕？

答曰：“二日开毕。”

法曰：并上下广折半，得八尺，以深四尺乘之，得三十
二尺，又以长乘之，得五万七千六百尺为实。另置二
百人，以每人一百四十四尺乘之，得二万八千八百
尺为法。除之。《合问》：

筑台歌

筑台丈尺要推详，上长倍之加下长，上广乘之别列
位，另倍下长加上长，仍以下广乘见数，二数共并积
相当，原高乘并积为实，六归实数积如常。

今有筑直台一所，上广八尺，长二丈；下广一丈八尺，
长三丈，高一丈八尺。问积若干？

答曰：“六千尺。”

法曰：倍上长，得四十尺。加下长，共七十尺。以上广八
尺乘之，得五百六十尺。另倍下长，得六十尺，加上长
二十尺，共八十尺。以下广一十八尺乘之，得一千四
百四十尺。并二数，共二千尺。以高一十八尺乘之，得
三万六千尺。以六归之，《合问》。

今有筑方台，上方六尺，下方八尺，高一十二尺，问积
若干？

答曰：“五千九百二十尺。”

法曰：依《方窖》法，以上方六尺自乘，得三十六尺；下方
八尺自乘，得六十四尺。又以上方乘下方，得四十八
尺。并三数，共一百四十八尺。以高一十二尺乘之，得
一千七百七十六尺。以三归之，合问。

一法：依《筑台歌》，倍上方，加下方，共二十尺，以上方乘
之，得一百二十尺。另倍下方，加上方，共二十二尺；以
下方乘之，得一百七十六尺。并二数，共二百九十六
尺；以高一十二尺乘之，得三千五百五十二尺；以六归之，亦得。

今有圆台，上周一十八尺，下周二十四尺，高一十二
尺，问积若干？

答曰：“四百四十四尺。”

法曰：置上周自乘，得三百二十四尺。以下周自乘，得
五百七十六尺。又以上下二周相乘，得四百三十二
尺。并三数共一千三百三十二尺，以高一十二尺乘
之，得一万五千九百八十四尺为实。以圆率三十六
除之，合问，此如圆窖。

今有立锥，高三十二尺，下方二十四尺。问“积若干？”
答曰：“六千一百四十四尺。”

法曰：置下方自乘，得五百七十六尺，以高乘之，得一
万八千四百三十二尺，为实。以三归之合问。

今有圆锥，高三十二尺，下周七十二尺。问积若干？
答曰：“四千六百零八尺。”

法曰：置下周自乘，得五千一百八十四尺，再以高三
十二尺乘之，得一十六万五千八百八十八尺为实。
以圆率三十六尺除之，得积合问。

《筑墙截高》问今上广歌。

上下原广数相减，馀用今高数相乘，原高为法，除为
积。积减下广，上广存。

假如原筑墙，上广一尺，下广三尺，高一十二尺，今已
筑高九尺，问上广若干？

答曰：“一尺五寸。”

法曰：将原下广三尺减原上广一尺，馀二尺。以今筑
高九尺乘之，得一十八尺，为实。以原高一十二尺为
法，除之，得一尺五十。却于原下广三尺减去一尺五
寸，馀得今筑上广。《合问》。

一法将原下广三尺减原上广一尺，馀二尺。另以原
高一十二尺，内减今高九尺，馀三尺；以乘二尺，得六
尺为实。以原高一十二尺为法，除之，得五寸；加原上
广一尺，共一尺五寸，亦得。

原筑墙上广一尺，下广三尺，高一丈二尺。今欲筑高
一丈五尺。问上广若干

答曰：“上广五寸。”

法曰：置原下广三尺，减原上广一尺，馀二尺。另以原
高一丈二尺减今高一丈五尺，馀三尺；以乘二
六尺为实。以原高一丈二尺为法，除之，得五寸。以减
原上广一尺，馀五寸，为今上广。合问。

筑墙截下，广问今高歌。〈即是截今下节。〉

原今下广数相减，馀以原高乘，为实。“原下广，减原上
广”，馀为法。除高数是。

原筑墙上广一尺。下广四尺、高一十二尺。今只筑下
广二尺一寸。问今高若干

答曰：“七尺六寸。”

法曰：置原下广四尺，减今筑下广二尺一寸，馀一尺
九寸。以原高一十二尺乘之，得二十二尺八寸为实。
另以原下广四尺减原上广一尺，馀三尺为法，除之。
《合问》。

原筑墙、上广二尺。下广六尺、高二丈。今已筑上广三
尺六寸。问今筑高若干

答曰：“一丈二尺。”

法曰：置原下广六尺，内减去今筑上广三尺六寸，馀
二尺四寸。以原高二十尺乘之，得四十八尺为实。另
以原下广六尺减原上广二尺，馀四尺为法。除之，得
今高《合问》。

原筑墙、上广十尺。下广三十尺、高四十尺。今欲筑上
广九尺、问接高若干

答曰：“二尺。”

法曰：置原高四十尺为实。另以原上广十尺减原下
广三十尺，馀二十尺除之，得二尺，又为实。以今欲筑
上广九尺，减原上广十尺，馀一尺为法，除之，得接高
二尺。《合问》：

《筑方锥》丈尺今改作《方台歌》。

今上方与原高乘，便为实积数。分明原下方数宜为
法，法除实积，截高成。

原筑方锥，下方二十四尺，高三十二尺，今改作“方台”，
只用上方六尺问截去高若干

答曰：“截去高八尺。”

法曰：置原高三十二尺，以今只用上方六尺乘之，得
一百九十二尺为实，以下方二十四尺为法，除之，得
截去高八尺。《合问》。

原有方锥，下方二十四尺，高三十二尺，今改作方台，
已筑高二十四尺，问今上方若干？

答曰：“六尺。”

法曰：置原高，内减今高二十四尺，馀截去八尺，以乘
下方二十四尺，得一百九十二尺，为实。以原高为法
除之，得上方合问。

原有方锥，下方二十四尺，高三十二尺，今改作方台，
只用上方六尺，问今高若干？

答曰：“二丈四尺法曰：置原下方二十四尺，内减今上方六尺，馀一十
八尺。以原高三十二尺乘之，得五百七十六尺为实，
以原下方二十四尺为法，除之，得今高二十四尺。《合
问》：

《筑方台》丈尺今改作，方锥问接高歌。

上方与高乘，为实。下方内减上方积，馀积为法除实
数，便见接高今丈尺。

原方台上方六尺，下方二十四尺，高二十四尺，今改
作“方锥”，问接高若干。

《答》曰：“接高八尺。”

法曰：置原高二十四尺，乘原上方六尺，得一百四十
四尺为实。另以原下方二十四尺，内减原上方六尺，
馀一十八尺为法。除之，得接高八尺。合问。

原有圆锥，下周七十二尺，高三十二尺，今改作圆台，
只用上周一十八尺问。今筑高若干？

答曰：“二十四尺。”

法曰：置原下周七十二尺，内减今用上周一十八尺，
馀五十四尺。以原高三十二尺乘之，得一千七百二
十八尺为实。以原下周七十二尺为法，除之，得今高
二十四尺。《合问》。

原有圆锥，下周七十二尺，高三十二尺，今改作圆台，
已筑高二十四尺，问今上周若干？

答曰：“一十八尺。”

法曰：置原高三十二尺，减今高二十四尺，馀八尺。以
乘原下周七十二尺，得五百七十六尺。以原高为法，
除之，《合问》。

筑堤歌

筑堤之法最蹊跷，东高倍之加西高，上下广并乘折
半。西高另倍加东高，上下广并。仍乘折一折数并共
相交。却用原长乘为实，五归其实积无饶。

今筑堤一所，东头上广八尺，下广一十四尺，高九尺；
西头上广二十尺，下广二十二尺，高二十一尺。东至
西长九十六尺，问积若干？

答曰：“二万八千八百尺。”

法曰：倍东高九尺为一十八尺，加西高二十一尺，共
三十九尺。却以东头上下广相并为二十二尺乘之，
得八百五十八尺，折半得四百二十九尺。另倍西高，
加东高，共五十一尺。却以西头上下广相并为四十
二尺，乘之，得二千一百四十二，折半得一千零七十
一。二数相并，共一千五百尺。再以长九十六尺乘之，
得一十四万四千尺为实。以五归之，得积《合。问》：
今有甲、乙二人开渠，甲日开积四百尺，乙日开积三
百五十尺。先甲开七十日，后令乙开，问几日与甲同？
答曰：“八十日。”

法曰：置甲开七十日，以每日四百尺乘，得二万八千
尺为实。却以乙日开三百五十尺为法，除之，得八十
日，才与甲同数。

今有人快行者日行九十五里，慢行者日行七十五
里。今令慢行者先行八日，问快行者几日赶至，追及
之。行路程各若干。

答曰：“快行者三十日，慢行者多八日，路程二千
八百五十里。”

法曰：置慢行者日行七十五里，以八日乘之，得六百
里为实。以慢行减快行，馀二十里为法，除之，即得。
今有慢行者已去，七日后令快行者赶去，六日追至
中途及之，其路程已行一千一百七十里。问快慢每
日各行若干？

答曰：“快者，日行一百九十五里，慢者，日行九十里。”
法曰：“置已行路程一千一百七十里为实，以六日为
法除之，得快者日行一百九十五里”，另将先行七日
并后赶六日，共一十三日为法，除总一千一百七十
里，得慢行里数。合问。

今有甲、乙二人行步不等，甲日行八十里，乙日行四
十八里。令乙先行二百四十里。甲才发步追之，问几
里可及？

答曰：“六百里，甲七日半，乙十二日半。”

法曰：置先行二百四十里，以甲日行八十里乘之，得
一万九千二百里为实。却以甲乙日行里数相减，馀
三十二里为法，除之合问。

今有人盗马乘去，已去三十七里。马主方觉，追去一
百四十五里，不及二十三里。仍复追之，问几里可及？
答曰：“二百三十八里又一十四分里之三。”

法曰：置不及二十三里，以马主追去一百四十五里
乘之，得三千三百三十五里为实。另置已行三十七
里，减去不及二十三里，馀一十四里为法。除实二百
三十八里不尽，三以法约之。

今有《大都路》，至杭州四千二百七十五里。马从大都
往南，日行一百二十里；船从杭州往北，日行七十里。
问船马几日相会，“各行若干？”

答曰：“二十二日半，马行二千七百里，船行一千
五百七十五里法曰：“置四千二百七十五里为实，却并船马日行共
一百九十里为法”，除之，得二十二日半，又为实。各以
原行里数乘之，得各行里数。

原有“一夫日耘田七亩，一夫日耕三亩，一夫日种五
亩。”今令一夫自耘自耕自种，问治田若干，

答曰：“一亩四分七釐又七十一分之六十三。”

法曰：以田为分母，夫为分子。以母互乘之，列分母分
子之位。〈七亩一夫　三亩一夫　五亩一夫〉先以七亩乘三亩，得二
十一亩。又以五亩乘之，得一百零五亩为实。又以七
亩乘三亩，得二十一亩。又以三亩乘五亩，得一十五
亩。又以五亩乘七亩，得三十五亩。并之，得七十一亩
为法。除实得一亩四分七釐，不尽六十三，以法命之。
原有三女，各纳锦一方，长女五日完，中女七日完，小
女九日完。今令三女共纳锦一方，何日可毕。

答曰：“二日又一百四十三分日之二十九。”

法曰：以日为分母，方为分子。以三母相乘，先以五日
乘七日，得三十五日，又以九日乘之，得三百一十五
日，为实。以母互乘子法。〈五日长女　七日中女　九日小女〉先以五
日乘七日，得三十五日。又以七日乘九日，得六十三。
次以九日乘五日，得四十五。并之，得一百四十三日，
为法。除实得二日，不尽二十九，以法命之。

堆垛歌

缶瓶堆垛要推详，底脚先将阔减长，馀数折来添半
个，并入长内阔乘良。再将阔搭一乘实，以三除之数
相当，一面尖堆只添一，乘来折半积如常。三角果垛
亦堪知，脚底先求个数齐。一二添来乘两遍，六而取
一不差池。要知四角盘中果，添半仍添一个，随乘此
数来以为实，如三而一法求之。

今有酒瓶一垛，底脚阔八个，长一十三个，问该积若
干？

答曰：“三百八十四个。”

法曰：置长内减阔馀五个，折半，得二个半；添半个作
三个，并入长，共一十六个。以底脚八个因之，得一百
二十八个。另以阔八个添一个，作九个乘之，得一千
一百五十二个；以三除之，合问。

今有物靠壁，一面，尖堆底脚阔一十八个。问“积若干？”
答曰：“一百七十一个。”

法曰：置阔一十八个为实。另以一十八个加顶一个，
共一十九个为法，乘之，得三百四十二个，折半即得。
今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个。问积若干？
答曰：“二十五个。”

法曰：置底脚七个，减去上阔三个，馀四个，加一个，共
五个，为法，乃是五层也。另并上下阔，共得十个为实，
以法五乘之，得五十个，折半得二十五个。合问
堆垛。图式具左。