钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第087卷 > 《新法历书三》 > 图
## 钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第087卷 > 《新法历书三》 > 图

即因甲乙反比之丙角或乙丙与甲角亦算得甲丙与乙角又求乙丙应以甲角较推如丙比甲乙同而反求甲角应以乙丙边推如甲乙比丙同此反复用八线表推求法也若用浑仪即本图内子甲壬自当地平必得天顶在丁而子

丁壬为子午圈，设辛乙戊为赤道，丁乙丙为黄道，或
当高弧，则直角形中之三边，各显于本图，各有定度
可取。盖论角则丙角自显为直角，以丁子弧可征。馀
角皆以对弧得，则甲角以戊壬，乙角以辛癸是也。试
于斜角三角形内，先求乙己边，必以丁对角推之，用
乙与丁己或己与丁乙之比例，求乙己等角，亦以对
边求之，法必同前，但查表，或疑其所求角应锐与否。

如查正弦九、二、七、一、八应六十八度，并应一百二十二度。

高弧，得丁角于丙庚地平弧，乙角在两道相交之处
必对，则在过二至之圈弧。己角既为钝角，乃左右之
边，无以定其象限。必球上自顶顺高弧界线，而线交
乙己弧之点移至顶，则球一面依先界线安高弧必
尽于地平一面，赤道亦自至地平，彼此间地平弧即
能量定己角矣。

四论曰：“凡圆线三角形，两边各小于象限，先以两边
弧自并，后又以小边并大边之馀弧，而即以此后总
弧之正弦，或减先并总弧之馀弦，或加其过象限弧
之正弦所得线，半而用之，乃以求第三边，即前两边
间角之矢与他线。”如全数与前半线所复得线，为后
并弧之正弦所减，必馀第三边之馀弦，或为后并弧
之正弦所加，亦馀第三边过象限弧之正弦。若反求
角，则他线与角之矢，如前半线与全数，而他线亦为
后并弧之正弦，以内减第三边之馀弦，或加其过象
限弧之正弦所生。因此三角形中之两边，并较象限，
或等、或小或大，而各依之。以推第三边，设角时直、时
斜皆同，但推角设边反异。盖两边并较象限相等或
小，则设第三边必小于象限，独两边并大于象限，所
设第三边亦能大于象限。故法虽同，临推种种略异。
此等三角形，历家无所不用，虽加减法若省，然亦未
免于烦。欲查浑仪，则捷若指掌。何也？以二边及间角
求馀边，先设两边，并与象限等，其一为四十七度，其
一为四十三度，间角为五十度。试于仪上极高四十
度，即安高弧，令地平上依间角。自南去东，距子午圈
五十度，自顶于高弧上查四十三度，亦自顶于子午
圈。馀四十七度，得其中黄道弧。从娵訾宫一十四度
至降娄宫一十七度，共为三十三度，即形内馀边也。
复设两边并小于象限，如各为三十五度，间角与极
高同前，得三边。在中黄道弧，则自降娄宫九度至大
梁宫六度，共为二十七度。又设两边，并大于象限，如
各为六十度，馀皆同前。得第三边。在黄道弧，自元枵
宫二度至娵訾宫十五度，共为四十三度。若求角，即
以先所得三边反查高弧及子午圈之间角，则所得
三弧，必生五十度之角。第原法凡得三边小于象限
者，用其馀弦与后并弧之正弦相减，大即以其大弧
之正弦相加。乃仪上亦无二法，如黄道自元枵宫一
十八度至实沈宫初度，共一百零二度，为第三边，其
对角当在高弧及子午圈相距之地，平上得一百一
十度，此则抱角之二弧，并必大于象限也。今试以公
论，用《仪解》日食内所算三角形，则凡直角形归一种，
斜角形又归一种，共列二等如左：

求时圈与地平交角

时圈与赤道经圈及过赤极圈皆一，而独以其所用
有分别焉。设太阳居正午，其过时圈至地平、正交必
为直角，若午前后因斜交地平，得角亦斜，且大小不
一。复设太阳在正东，距正子午圈共六小时，则过时
圈至北极得九十度，其交角大小，与极高度同。使交
角在正午及正东西间，即以高弧求其大小。法从交
点各圈上正，去九十度，安高弧。〈地平上算〉必本弧上从地
平至交时圈间度，为时圈交地平角也。假如太阳躔
降娄宫初度，设时为辰正二刻，先将午正与本躔度
并居子午圈下。《后转仪》令辰正二刻正切子午圈，乃
本时圈交地平。从正东起，南去四十度，以之安高弧。
又距本度满一象限，则又在正北之四十度，以此度
复安高弧。从地平上数起，得交时圈五十三度，为时
圈交地平角也。

求地平与黄道交角

法用高弧过黄平象限，下至地平，即因高弧为大圈，
以所正对交角之弧，能量其大小，则必自地平至其
交黄道点，乃得黄道交地平角也。假如北极高四十
度，设实沈宫初度居地平东出，得平象限偏子午圈
之东，以高弧从此点过至地平，约得三十四度一十
○分，为地平及黄道二圈之交角。盖黄道因半周恒
在地平上，而平分左右各得九十度。独冬夏二至，此
限正合子午圈外，此则限每偏东或西，所以查交角
用高弧，不能用子午圈也。

求黄平象限距子午圈，为三角形之弧。

黄道随宗动左旋，其交子午圈也，时高时庳，因而两
象限之中点距天顶，亦时近时远，且以斜升斜入。故
则九十度限大半偏东或西。乃从冬至迄夏至限常
在东，从夏至迄冬至限常在西，即从而得限及子午
圈中之弧也。今依法加高弧，使之过其限，必以直角
相交，其角左右之弧一在高弧，一在黄道；而相对之
底弧在子午圈，则三弧共为直角三角形也明矣。本
形内各弧，亦能自显度分，乃限距天顶又距子午圈
等度，皆见于弧。若更求高弧距子午圈中黄道之对
角，必应查于地平，即以高弧距子午圈之中弧量之
乃得。且本弧大小正与黄道出没之广弧等，如北极
高四十度，设大梁宫初度为平象限，因偏东十四度以安高弧，得其至地平。切子午圈东二十七度，即象
限偏子午圈对角之弧，与黄道自正东去北之出，正
西去南之人等，而高弧自顶至交限点，则三十度也。

求子午圈及黄道交角

凡黄道以冬夏二至交子午圈成角者，必为四直角，
因子午圈当过黄极，并二至圈此间必正相交故也。
使以春秋二分交，即为斜角，得对弧正与两道最相
距之馀。弧等从此距分渐远，交角亦渐易。必自冬至
至夏至交，得锐角向东北或西南。自夏至至冬至亦
交，得锐角向西北或东南。法以黄道度正合子午圈
定住移交点至天顶。从此至地平，两圈各成象限，则
其间地平弧能量交角之度。如大梁宫初度，交合子
午圈七十九度。〈从北极算〉必移其七十九度在顶，与本宫
初度相交。其二弧至地平间必抱七十度，东北与西
南皆等。又设鹑火宫，以十五度相交，因在子午圈七
十四度，移本度居顶，得二圈至地平中弧，必为七十
二度，西北与东南皆等。

求高弧与黄道各度之交角。

先依黄道距午正前后度，以赤经圈交黄道角，或加
或减于高弧交经圈之角，乃得高弧与黄道或正或
馀。〈形内外是〉之交角，此原法也。今用浑仪，可免加减，径安
高弧交黄道，于其距正午度，即依前法界线，随移本
度至顶，复依线安高弧，必得角于对地平弧矣。如北
极高四十度，设大梁宫初度，距午正六十四度。〈东西无异〉
使高弧交其躔度，因得界线。后起大梁初度居顶，依
线复安高弧，即得所指地平五十八度，为高弧交黄
道角也。或不必转仪，而独移高弧于地平对度用规。