钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第119卷 > 《算法统宗七》 > 少广章第四中
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立圆法歌

《立圆》问径法何如？十六乘积，九归除，除此数常为实
积，立方开见更何如？《立圆》：若问周围数，四十八乘积
数，躯乘为实，积用开立，即见周围数不虚。

法曰：外周者，置积若干，以四十八乘之，得若干为实，
以开立方法除之，得周。若要还原，以周自乘；再乘，以
四十八除之，见积问径。置积若干，以十六乘之，得
若干，又用九归之，得若干为实，以开立方法除之，得
径。若要还原，以径自乘；再乘，以九因十六除之，见
积周径下原有不尽者，或周径自乘、再乘，并入不
尽数周，以四十八除之，见积。径以九因十六除之，见
积若问周问径遇有馀积不尽者，依开立方下命
法命之。

“今有积六万二千二百零八尺，欲为《立圆》。”问“径若干？”
答曰：“径四十八尺。”

法曰：置积尺数，以十六乘之，又用九归之，得一十一
万零五百九十二尺，为实。以开立方法除之，初商四
十，自乘，得一千六百，再乘得六万四千，除实。馀实四
万六千五百九十二尺。另将初商四十以三因，得一
百二十为方法，列位次商八尺于初商之次，得四十
八尺，就以八乘之，得三百八十四尺，为廉法。以方乘
廉，得四万六千零八十尺，除实。馀实五百一十二。另
以次商八尺自乘，再乘，得五百六十二尺，为隅法。除
实恰尽，得立圆径。合问。

此问周径如圆球

“今有积六万二千二百零八尺，欲为立圆。”问“周若干？”
答曰：“周一百四十四尺。”

法曰：置积尺，以四十八乘之，得二百九十八万五千
九百八十四尺，为实。以开立方法除之，初商一百尺，
自乘，得一万，再乘，得一百万，除实，馀实一百九十八
万五千九百八十四尺。另以初商一百，以三因，得三
百为方法。次商四十于初商之下，共一百四十，就以
四十乘之，得五千六百，为廉法。以方乘廉，得一百六
十八万，除实馀实三十万零五千九百八十四。另以
次商四十自乘，再乘，得六万四千，为隅法。除实，馀实
二十四万一千九百八十四。再以初次商一百四十，
以三因，得四百二十，为方法。再商四尺于初次商之
下，共得一百四十四尺。就以四尺因之，得五百七十
六，为廉法。以方乘廉，得二十四万一千九百二十，除
实，馀实六十四。又以再商四尺自乘，再乘得六十四，
除实讫，合问。

凡立圆问周径，遇数单者，则有不尽。

今有立方积一万五千六百二十五步，问“立方一面
若干？”

答曰：“二十五步。”

归除《开立方法》曰：“置积一万五千六百二十五尺为
实，以万积商二十置于积前，就置二十于右下，自乘，
得四百步，与上商二十”相呼，二四除实八千，馀实七
千六百二十五步，却以右下四百步，以三十乘之，得
一千二百为法，归除之呼逢五进五，又呼二五，除一
千。另置初商二十步，以次商五步乘之，得一百步，以
三因之，得三百步。以加入自乘次商五步，得二十五
步，共三百二十五步。于右与次商五步相呼，除之，呼
三五除一千五百步，又二五除一百步，又五五除二
十五步，积尽。以左上二十五步为立方一面之数。《合
问》。

今有《立方》积一亿零二百五十万零三千二百三十
二尺，问“立方一面若干？”

答曰：“四百六十八尺。”

《归除开立方法》曰：“置积为实。”以七千万该商四百尺
于左上，又置四百尺于右下，自乘，得一十六万，相呼，
一四除，四千万尺，又四六除二千四百万，馀实三千
八百五十万零三千二百三十二尺，却以右下一十
六万尺，以三乘之，得四十八万为法。归除之，呼四三
七十二少除。〈因下位数不足除〉呼，四归起一，下还四呼，六八
除四十八。另置初商四百尺，以次商六十尺乘之，得
二万四千尺，以三因之，得七万二千尺，为廉法。加入
次商六十尺，自乘，得三千六百尺，共七万五千六百尺。却以次商六十尺相呼除之，六七除四十二，又五
六除三十，又六六除三十六。馀实五百一十六万七
千二百三十二尺。以方法四十八万，并入两个廉法
七万二千，再并入隅法三个三千六百尺，共得方法
六十三万四千八百尺为法。归除之。呼六五，八十二，
呼三八，除二十四，又呼四八，除三十二，又八八，除六
十四。右下之法不用。再置所商共四百六十尺，以次
商八尺乘之，得三千六百八十尺，以三因之，得一万
一千零四十尺，并入，再商八尺，自乘，得六十四尺，共
一万一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之，一
八除八万，又一八除八千，又一八除八百，又四八除
三十二尺。除实恰尽。以左上所商四百六十八尺，为
立方一面之数。《合问》：

开立方带纵法

今有方仓贮米五百一十八石四斗，方比高多三尺，
问方高各若干？

答曰：“方一丈二尺，高九尺。”

法曰：置米五百一十八石四斗，以《斛法》二尺五寸乘
之，得积一千二百九十六尺为实。以开立方带纵除
之，以方多三尺自乘，得九尺，为纵方。再置三尺倍之，
得六尺，为纵廉。约积一千商十尺。今有纵方，只商九
尺，置于实前，另以九尺自乘，得八十一尺，加入纵方
九尺，共九十尺，为方法。另以纵廉六尺，以九尺乘之，
得五十四尺，为廉法。二法并共一百四十四尺。于右
下以所商九尺相呼，一九除九，又呼四九除三十六，
又四九除三十六，除实恰尽。以商九尺为高，加入方
多三尺，得方仓一十二尺。《合问》

今有立方一所，积一千七百八十七万五千尺，只云
高阔相等，长多阔三十六尺。问立方高阔及长若干？
答曰：“长二百八十六尺，阔二百五十尺，高二百
五十尺。”

法曰：置积一千七百八十七万五千尺为实。以开立
方带纵法除之，初商约得二百尺，自乘，得四万尺，再
乘得八百万尺。又约二百五十尺自乘，得六万二千
五百尺，再以二百五十尺乘之，得一千五百六十二
万五千尺，减去积馀，积二百二十五万尺为实。另置
长多三十六尺，以所商二百五十尺乘之，得九十尺，
再以二百五十尺乘之，得二百二十五万尺，除实恰
尽，得阔二百五十尺，加入长多三十六尺，共二百八
十六尺，为长数。《合问》。

今有立方积二万九千八百零八尺，高比方不及一
丈三尺，问高方各若干？

答曰：“高二丈三尺，方仓三丈六尺。”

法曰：置积二万九千八百零八尺为实。以开立方带
纵法除之，约实二万。商三十尺自乘，得九百尺。再以
三十尺乘之，得二万七千尺。又约商三十六尺自乘，
得一千二百九十六尺。另置三十六尺，减不及一十
三尺，馀二十三尺乘之，得二万九千八百零八尺。除
实尽，得方仓三十六尺，高二丈三尺。合问。

今有三乘方积二千零一十五万一千一百二十一
尺，问：“一面若干？”

答曰：“六十七尺。”

法曰：置积为实。下法常超三位，初商六十于左，下法
亦置六十自乘，得三千六百，再乘得二十一万六千，
为隅法。与上商六十相呼，除实一千二百九十六万，
馀实七百一十九万一千一百二十一尺。乃以四乘
隅法二十一万六千，得八十六万四千，为方法。另置
上商六十自乘，得三千六百，又以六因之，得二万一
千六百尺，为上廉。又置上商六十，以四乘，得二百四
十尺，为下廉。次商七尺于左，六十之。次下法亦置七
尺，自乘，得四十九尺，再以七因，得三百四十三尺，为
隅法。又以次商七尺乘上廉二万一千六百，得一十
五万一千二百。又以下廉二百四十，用两次七因初
次因，得一千六百八十尺，二次因得一万一千七百
六十尺。以方法八十六万四千，上廉一十五万一千
二百，下廉一万一千七百六十，隅法三百四十三，并
四法共一百零二万七千三百零三尺，皆与次商七
尺相呼，除实恰尽得一面六十七尺。合问：〈此三乘方捷径〉
一法：用二次开平方法除之，亦得。初一次置积数为
实，以开平方法除之，商得四千四百八十九尺。第二
次就以此初商数为实，亦以开平方法除之，即得一
面六十七尺。《合问》：〈此又捷径〉

若还原，置一面六十七尺，自乘，得四千四百八十九
尺，再乘，得三十万○○七百六十三尺，又乘之，即见
原积数也。

自乘，再乘又乘，故曰“三乘。”其四乘乃四次乘也。其五
乘，乃五次乘也。

今有田积三千三百七十五尺。问“立方面若干？”
答曰：“面方一十五尺。”

法曰：置积三千三百七十五尺为实，以开立方法除
之。古法用三为廉率，约实定位，从实。末位尺十尺定尺，百尺，千尺定十尺。初商一十于左。下法，亦置初商
一十自乘，得一百，再乘得一千，除实讫，馀实二千三
百七十五尺。却以下法，初商一十自乘，得一百，用三
因为方法。又以初商一十，以三因，得三十，为廉。次商
五尺于左。初商之次，下法亦置。次商五尺自乘，得二
十五尺，为隅法。又以次商五尺乘廉三十，得一百五
十，为廉法。并方法三百，廉法一百五十，隅法二十五，
共四百七十五尺，皆与次商五尺相呼。四五除二，五
七除三十五，五五除二十五，得方面一十五尺。《合问》。