钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第120卷 > 《算法统宗八》 > 弧矢求积积求弦矢图
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实得矢八步加法十六共二十四步是弦长折半得一十二步自乘得一百四十四步为实以矢八步为法除之得一十八步加矢八步共得圆径二十六步若问索长以矢八步加离边五步乃是索长一十三步合问

弧矢求积歌

弧矢求积《弧矢形丈量之法》注：“分明弧矢弦长，并矢
步半之，又用矢相乘。”

《法》曰：置弦二十四步，并矢八步，共三十二步，折半得
一十六步。以矢八步乘之，得积一百二十八步。

积求弧弦歌

弧矢之积求弧弦倍积，以矢除为先，除来之数，减去
矢馀存此，即是弧弦。

法曰：置积一百二十八步，倍之，得二百五十六步，为
实。以矢八步为法，除之，得三十二步，减矢八步，馀得
弧弦二十四步。

积求矢阔歌

《积求》矢阔倍为实，弦为纵方莫教迟。商于左位右并
纵，前后呼除矢得宜。

法曰：置积一百二十八步，倍得二百五十六步为实。
以弦二十四步于右为纵方。约初商八步于左，亦置
商八步于右，纵方二十之下，共三十二步，皆与上商
八相呼。三八除实二百四十，二八除实一十六步，恰
尽，得矢八步。

《弦矢求圆径》并《离径》歌：

弦矢求圆径可推。半弦自乘，矢除之，再加矢阔为圆
径。半之，减矢离无疑。

法曰：置弦二十四步，折半得一十二步，自乘得一百
四十四步，为实。以矢八步为法，除之，得一十八步，再
加矢阔八步，得圆径二十六步。复折半得一十三步。
减矢八步，馀为离径五步。

圆径及弧径求离径并矢阔歌：

径弦求离径矢阔圆径弧弦各折半，各自乘减馀，开
方离径、圆径弧矢辨。

法曰：置圆径二十六步，折半，得一十三步；自乘，得一
百六十九步。另以弧弦二十四步，折半，得一十二步；
自乘，得一百四十四步。二数相减，馀二十五步。以《开
平方法》除之，得离径五步。另以圆径二十六步，折半，
得一十三步。减离径五步，馀为矢八步。

圆径及矢阔，求弧弦歌：

圆径矢阔求弧弦。圆径矢阔减馀，存复，以矢阔乘，为
实，开方倍之，得弧弦。

法曰：置圆二十六步，减矢八步，馀一十八步。以矢八
步乘之，得一百四十四步。以《开平方》法除之，得一十
二步。倍之，得弧弦二十四步。

弧弦及离径求圆径歌

弧弦离径求圆径，弧弦折半自相乘，离径自乘，并为
实，开方倍数为圆径。

法曰：置弦二十四步，折半得一十二步，自乘得一百
四十四步，以离径五步自乘，得二十五步，相并得一
百六十九步，为实。以《开平方法》除之，得一十三步，倍
之得二十六步，为圆径。

圆径及离径求弧弦歌

圆径、离径求弧弦。圆径折半自相乘，离径自乘，减馀
实，开方倍得弧弦成。

法曰：置圆径二十六步，折半得一十三步，自乘，得一
百六十九步，以离径五步自乘，得二十五步，相减，馀
一百四十四步为实。以《开平方法》除之，得一十二步，
倍之得弧弦二十四步。

解曰：弧矢状类句股，句股得直方之半，故倍其积，以股除之，即得句弧背曲。倍积则长一弦而又一矢。以矢乘积倍之，恰得一弦一矢之数。因未知矢，故以积自乘为实，约矢一度乘积以为上廉，两度乘径以为下廉，并之为法，而后可以得矢。用三乘者何也？积本平方，以积乘积，是两度平方矣。故用三乘方法开之，上廉、下廉俱用四因者，何也？倍积则乘出之数，为积者四，故上下廉俱四以就之。减径者何也？径乃圆之全径，矢乃截处之句，矢本减径而得，故亦减径以求矢。五为负隅者，何也？凡平圆之积，得平方四分之三，在内者七五，在外者二五，不拘圆之大小，每方一尺，该虚隅二寸五分其矢得四，其虚隅得一，合而为五，亦陞实就法之意也。如不倍积廉，不用四因，以一、二、五为隅法，亦通。或不减，径作添积，三乘方法，亦通。