钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第118卷 > 《算法统宗六》 > 大小三方总一图
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答曰大方面二十步计积四百步中方面一十六步计积二百五十六步小方面一十二步计积一百四十四步

法曰置共积于上另置大方面多小方面八步自乘得六十四步又以中方面多小方面四步自乘得一

十六步，并二数共八十步以减，共积八百步，馀积七
百二十步。以三归之，得二百四十步，为实。初商一十
自乘，得一百步，以减实积，馀实一百四十步。次商二
并初商共十二自乘，得一百四十四。内除初商自乘
一百，馀四十四，以减馀实，又馀实九十六，却以三因，
得二百八十八。另并大方多中四、小八，共十二，倍之，
得二十四，与初商十步相呼，一二除二，一四除四。又
与次商二相呼，二二除四，二四除八，得小方面十二
步。加多四步，得中方面十六步。又加多四步，得大方面二十步。各以方面自乘，得各积《合问》。

若四段则用《四归》。五段则用《五归》。

假如大小圆田二段共积，只云大圆径多小圆径者，
法置共积，以四因三归，得数仍如前方田算。或只云
“大圆周多小圆周”者，法置共积，以十二乘，得数仍如
大小方田算。

假如大、小立方二所共积，只云“大立方面多小立方
面”者，法置共积，另置大立方面多小立方面数自乘、
再乘，以减共积，馀积折半为实。初商自乘、再乘，得数
除，实讫，次商若干，并入初商，共若干，自乘、再乘，得数
内减去初商自乘、再乘数馀若干，除实讫，仍馀实若
干倍之，却以大多小数并入初商、次商数共若干，以
初次商若干乘，得数又以大多小数乘，得若干，却以
三因之，得若干。除实恰尽，得小立方面数；加多数，得
大立方面数。各以方面自乘，再乘，得各积立方。三所
共积，用三归，若四所共积，用四归。馀仿此。

《开立》方法歌：〈自乘为平方，再乘为立方。〉

自乘，再乘除实积，三因初商方另列，次商遍乘，名为
廉。方法乘廉除次积，次商自再乘，名隅，依数除积方
了毕。初次三因又为方。三商遍乘仿此的。

认商歌

一千商十定无疑，三万才为三十馀，九十九万不离
十，百万方为一百推。

解曰：谓如积一千步，约商一十步。又如积三万，就约商三十步。又如积九十九万步，就约商九十步。如积一百万步，可约商一百步。乃自乘、再乘之积而求原数也。此谓有实无法，故曰“约之。”

商一步　　积一步起至七步止，皆商一步。

商二步　　积八步起，至二十六步止。

商三步　　积二十七步起，至六十三步止。

商四步，　　积六十四步，起至一百二十四步止。
商五步，　　积一百二十五步，起至二百一十五步止。
商六步，　　积二百一十六步，起至三百四十二步止。
商七步，　　积三百四十三步，起至五百一十一步止。
商八步，　　积五百一十二步，起至七百二十八步止。
商九步，　　积七百二十九步，起至九百九十九步止。
商一十步，　积一千步，起，至七千步止。

商：二十步　积八千步起，至二万六千步止。

商：三十步　积二万七千步起，至六万步止。

商四十步，　积六万四千步起至一十二万步止。
商五十步，　积一十二万五千步，起至二十一万止。
商六十步，　积二十一万六千步起至三十四万止。
商七十步，　积三十四万三千步起至五十一万止。
商八十步，　积五十一万二千步起至七十二万止。
商九十步，　积七十二万九千步，起至九十九万止。
商一百步，　积一百万步起，至七百万步止。

已上皆言“初商” 首位之积，以所商自乘、再乘之数，次商用法不同。

法曰：置积为实，别置一算，名曰“下法。”于实数之下。〈自末
位至首常超二位〉约实自千至九十馀万俱定十及百万后，
俱定百实。上商置第一位，得若干。下法亦置初商若
干，自乘再乘得若干，除实讫，馀实若干。却以三乘下
法初商若干，得若干，为方法列位。次商置第一位于
初商之次，得若干。下法亦置次商若干，于初商之次，
共得若干。就以次商若干，遍乘得若干，为廉法。再以
方法乘廉得若干，除实讫，馀实若干，却以次商若干
自乘，再乘得若干，为隅法，除实尽，得立方面数。若有
不尽数，仍前再商之，或有不尽数，以法命之。何谓之
“命若”馀实若干，不尽，却以所商得立方数若干自乘
得若干，又以三因之，得若干，另以所商得立方数若
干，用三因之，得若干，再添一个，共得若干，便商得多
一立方数也。因此不及而为之命也。〈立圆法遇有不尽者亦仿此〉
若要还原，以立方面自乘，再乘见积。若还原，遇立方
原有不尽数者，以立方面自乘、再乘，并入不尽数见
积。

今有物三千三百七十五尺，问立方面若干？

答曰：“立方面一十五尺。”

法曰：置物三千三百七十五尺为实。约初商得一十
于左。下法亦置一十于右。自乘得一百，再乘得一千。
除实讫，馀实二千三百七十五尺。却以三乘下法一
十，得三十，为方法，列位次商五尺于左。初商之次。下
法亦置次商五于初商一十之次，共一十五，就以五
遍乘之，得七十五，为廉法。再以方法三十乘廉法七
十五，得二千二百五十，除实讫，馀实一百二十五，恰
以次商五自乘，再乘，得一百二十五，为隅法。除实恰
尽。