钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第128卷 > 明唐顺之本集 > 弧矢论
## 钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第128卷 > 明唐顺之本集 > 弧矢论

凡弧矢算法，准之于矢，而参之于径、背径。求矢之法，
先求之背弦差，而半背弦差藏之矢幂与径相除之
中，倍矢幂与径相除，则全背弦差也。半法简捷，故用
其半。幂者，方眼也。自乘之数必方，故谓之幂。假令径
十寸，截矢一寸，一寸隅无开方，即以一寸为矢幂，而
以十寸之径除之，该得一分，是半背弦差一分。若二
寸矢开方得四寸，是为一寸者四，半背弦差得四分，
三寸矢开方得九，是为一寸者九；半背弦差得九分。
皆准之于十寸之径，故一寸之幂而差一分，递而上
之，视其幂以为差之多少。又假令径十三寸矢幂一
寸，则以十三寸之径与一寸相除，每寸该差七釐七
毫，弱以为半背弦差。若二寸矢开方得四，该四个七
釐七毫，并之得三分八毫，以为二寸矢半背弦差。此
准之，十三寸之径，亦递而上之，视其幂以为差之多
少。盖径长则背弦之差减，故一寸矢而差止七釐有
奇。径短则背弦之差增，故一寸矢而差及一分。虽其
数有增减，而准之于一寸之幂，与径相除，而以渐开
之，每得一寸，则得元差，而相并以为背弦之差，则其
法之一定不可易者也。背径求矢，矢背求径诸法，《消
息管》于是矣。至于径积求矢一法，古法以倍截积自
乘为实，四因截积为上廉，四因直径为下廉，五为负
隅，与矢相乘以减下廉，而以上下廉与矢除实。今立
一法，但以截积自乘为实，而遂以截积为上廉，直径
为下廉。每一寸矢带二分五釐，二寸矢则带五分四
分，而增其一以减径，其倍积《四因》之法，悉去不用，颇
为简捷。盖径积求矢，准于矢径之差。矢径差者，矢径
互为升降也。矢一寸则该减径一寸二分五釐，矢二
寸则该减径二寸五分，而矢径之差起于积数之不
足。且夫圆准于方，而畸零之圆又准于均齐之圆。以
方为率，径十寸，矢一寸，则积必是十寸，矢二寸，则积
必是二十寸。但得积为实，只约矢与径为从平方开
之足矣，盖方无虚隅也。又以整圆为率，径十寸，矢五
寸，则圆积必居方积四分之三，而以四之一为虚隅
足矣，盖虽有虚隅，而其数易准也。惟是矢以渐而短，
则积以渐而减，有不能及四分之三；虚隅以渐而加，
有不止于四分之一者矣。于是平方法与四分而一
为虚隅之法，皆不可用。惟是乘平方之积为三乘，而
以四分之矢减五分之径，则不问矢之长短积与虚
隅之多寡，而其数皆至此而均齐。犹之平方之法，数
有多寡而减来减去，必得一均齐之数以为准，而后
不齐者皆齐，此天然之妙也。夫积自乘而为三乘方
之实，则一整方耳，而矢数藏焉。及立法求矢，则分为
上下两廉，而矢数著焉。盖整方所以聚积，而分廉所以散积，补短截长，而方圆斜直通融为一，此亦天然
之妙也。假令径十寸，矢一寸，积该三寸五分，自乘该
十二寸二分五釐，上廉三寸五分，下廉十寸，以三乘
方开之，而一寸无开方，则上下廉如元数，共得十三
寸五分为廉法。与一寸矢相乘，除实恰少一寸二分
五釐，是为负隅之数。所以用每矢一寸则带二分五
釐为准，以减径，然后法实相当也。又如径十寸矢二
寸，积该十寸，自乘该百寸上廉十寸，下廉亦十寸，以
三乘方开之，则须以矢数乘上“廉，上廉该得三十寸。”
盖长十寸而高二寸之数，以矢数自乘，得四而乘下
廉，下廉该得四十寸。盖高十寸而阔四寸之数，上下
廉共得六十寸。又以矢二寸为方面，与上下廉相乘，
除实共二个六十寸，该得一百二十寸，其数乃足。而
元数止得百寸，恰少积二十寸，所以用二寸五分以
除下廉，则该止得七寸五分为下廉。其下廉减去高
二寸五分，中阔该四寸，则四个二寸五分，该得十寸。
方面二寸，与十寸相乘，共二十寸，恰勾负隅之数，所
以二寸矢则用二寸五分减法也。递而上之，每寸以
二分五釐为准，盖虽径有极长极短，而一寸寸矢带
二分五釐减径之法，则定数也。径积求矢，矢积求径，
“径矢求积”，诸法《消息管》于是矣。然此二法者，背弦之
差，则随径而不随矢，所以均为一寸之矢，而其差则
有多寡之不齐，矢径之差，则随矢而不随径，所以但
得一寸之矢，则不问径之长短，而一例为差。此二法
之异也。若以今法与旧法相通，今法不倍积，所以不
用四因，四因者，生于倍积也。古法之五为负隅，即今
之一寸带二分五釐也。盖以五乘之矢，除四因之径，
则亦一寸矢而减一寸三分五釐之径也。然有廉而
无方隅者，盖截积止得廉数也。即此二法，可见截弧
截积之法，皆从边起，而准之于边，以渐消息之矣。既
得一寸之定差，则虽倍蓰十伯，错综变化，而皆不能
出乎范围之外，此天然之妙也。故曰：“握其机而万事
理矣。”其弦矢求径法，半弦自乘为实，而以矢除之，加
矢得径，是径之数藏于半弦幂，与矢相除而加矢之
中也。今环而通之，以为背弦求矢诸法。背弦求矢，其
半背幂中藏一个半弦幂，与矢相除而加矢之径数
藏一个矢幂，以径数相除为背弦差之数。二数消息，
恰得半背幂本数，则矢数见矣。假令径十寸，矢一寸，
半背弦差一分，半背数三寸一分，自乘，得九寸六分
一厘，其九寸为弦幂，所谓“中藏。”半弦幂与矢相除而
加矢之径数，其六分一厘乃是两半背幂，而空其一
差，亦名差与半背相开方之数，即以与其差一分相
乘之数，所谓一个矢幂，以径数相除，为背弦差之数
也。二数消息，以尽背幂，而法可立矣。其背矢求弦法，
若背矢先求出径，而后以矢径求弦，则为简捷。盖半
背幂中所藏弦幂，与背弦差幂，今以矢幂约径，而以
径除矢幂，为背弦差。又以矢截径，以矢乘之，为半弦
幂。二数消息，恰得半背幂本数，则径数见矣。得径而
弦在其中矣。其矢弦求背，亦须先得径而后得背。盖
半弦幂为实，乃以矢约径，以矢减之，以矢乘之，恰得
半弦幂本数，则径数见矣。得径而背在其中矣。假令
矢一寸，半弦三寸，自乘九寸，为半弦幂为实，以矢约
寸得十寸，以矢一寸减之得九寸，以矢一寸乘之得
九寸，恰与半弦幂相同，则为径十寸矣。此背、弦、矢径
四者相乘除，循环无穷之妙也。至于径积求矢，则既
然矣。因而通之，积矢求径，假令径十寸，矢一寸，积三
寸五分，自乘，该十二寸二分五釐，乃以原积三寸五
分为上廉，一寸之矢为下廉，以除自乘之积馀数，得
八寸七分五釐，加矢带数一寸二分五釐，则为径十
寸矣。又如径十寸，矢二寸，积十寸，自乘寸百为实。矢
乘积得二十寸，为上廉；再矢自乘，得八，为下廉。以二
乘上廉，消积四十，以八消馀，积六十，得七寸五分，加
入矢带数二寸五分，则径十寸矣。径积求矢，则积为
上廉，而径为下廉；矢积求径，则亦积为上廉，而矢为
下廉。此其纵横往来相通之妙。而一乘上廉，再乘下
廉，则三乘《开方》之定法也。积矢求弦，则倍其积，以矢
除积而减矢。弦矢求积，则并矢于弦，以矢乘积而半
其积，盖矢弦并之为长，以矢乘之而得两积，故半之
而积可见也。“倍之则为矢弦相并之积”，以矢除之而
得矢弦相并之本，数，除矢而弦可见也。径矢求积，则
先得弦而后得积，盖以矢减径，以矢乘之，四因得数，
面弦幂藏于其中，平方开之得弦。乃以矢自乘，以矢
与弦相乘，合二数而半之，则得积矣。此又积矢、径、弦
四者相乘除，循环无穷之妙也。其径背求矢法，则以
半背自乘为实，而约矢以减径，以矢乘之，为半弦幂。
而平方开之以减背。其减馀之数，恰与矢之背弦差
数相当，则矢数见矣。盖半背数中藏一，半弦数藏一，
背弦差数，故合二数而消息之也。径十寸，矢一寸半，
背三寸一分。十寸之径，每一寸，矢该差二分，二寸矢
该差四分，为定差。今约矢一寸以减径，得九寸，以矢
乘，亦得九寸，平方开之，得三寸为半弦。以除半背而馀一分，恰勾一寸差数，则矢之为一寸也无疑矣。又
如径十寸半，背四寸四分，约得矢二寸，以减径，馀八
寸。以矢乘，得十六寸，为弦幂。平方开之，为四寸。以减
半背四寸，而馀四分，恰得二寸矢之定差，则矢之为
二寸也无疑矣。又法：半背幂自乘为实，中藏一个半
弦自乘之数。一个背弦差与两半背而空出一差相
乘之数，亦名背弦差与背相开方之数。以此两数与
实相消，而矢数见矣。假令径十寸半背三寸一分，其
半背幂该九寸六分一厘，约矢一寸，与径相减相乘，
如前法，得九寸，以除实九寸。而以一寸之差一分与
两半背而空出一差之数，得六寸一分，与上差一分
相乘，得六分一厘。并二数九寸六分一厘，除实恰尽。
以是知矢之为一寸也。又如半背四寸四分，自乘，得
十九寸三分六釐为实。约矢二寸，与径相减相乘，如
前法，得十六寸。以除十六寸，而以二寸之差四分与
两半背而空出一差之数，得八寸四分，与上差四分
相乘，得三寸三分六釐，并二数十九寸三分六釐，除
实恰尽。以是知矢之为二寸也。此其法亦始于先得
定差，而约矢与径两相消息以得矢也。其径数有长
短，差数有多寡，亦准此法而通之也。在先得定差而
已。又法：半径自乘为径幂，半背自乘为背幂，二幂相
乘为实。乃约矢以减径，以矢乘之，为半弦幂，与径幂
相乘以除实。又以径幂除其馀实，恰得矢数之定差，
则矢可得矣。盖二幂相乘，中藏一个径幂，与弦幂相
乘之数，藏一个径幂，与半背弦差幂相乘之数。而背
弦差者，矢之所藏也。假令径十寸，矢二寸，背差八分，
半径自乘，得二十五寸；半背自乘，得十九寸三分六
釐，相乘得四百八十四寸，为实，及约矢，得二寸，以减
径而乘之，得十六寸，为弦幂。与径幂相乘，得四百以
除实，馀八十四寸，又以径幂除之，得三寸三分六釐，
恰与二寸矢之定差相合。然二寸矢之定差四分，而
乃有三寸三分六釐者，盖始求背幂之时，以两背数
相乘，则四分寓其间，恰得此数，所谓差与背相开方
之数也。以四分与八寸四分相乘，得三寸三分六釐，
故定差四分，而其积则三寸三分六釐也。以八寸四
分除之，则定差本数也。夫背弦差者，矢之所藏也。以
差立法，古未有之，而实求矢之大机也。差径求矢，以
差与径相乘，平方开之，得矢差。矢求径，矢自乘，以差
为从。平方开之，得径。而差与弦亦可以求矢径半弦
之幂。矢除径而矢乘径之数也。差者，矢幂而径除之
之数也。先约径，矢数与弦幂相同，而又以径除矢幂
与差数同，则得矢径差。与背求矢径，减差则得弦，即
差弦求矢径也。积者，矢与弦并，以矢除而半之之数
也。积弦求矢，倍积为实，约矢而加之，于弦，为从方，以
矢为法除之，则得矢也。矢积求弦，矢自乘而置虚积，
与元积相当，然后减去矢自乘之幂，而以矢除其虚
积，与元积之并，则得弦也。假令矢一寸，积三寸五分，
矢自乘得寸，添积二寸五分，乃与元积相当，然后减
去矢自乘之，寸馀六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二
寸积十寸，矢自乘得四寸，加虚积六寸，与元积相当，
减去矢自乘之，寸馀十六寸，以矢除之，得弦八寸也。
如不以矢径求弦得积而遂以矢径求积，则矢每寸
截径寸二分五釐，而以矢自乘，再乘、以乘截馀之径，
为径积，然后以径约积，而以积与矢自乘之数相乘，
添入径积合为积幂，而复以约积自乘，亦与前积幂
同数，则积亦可得矣，然不如得弦而后得积之为简
捷也。至于残周与弦求矢，则亦用半弦自乘为实，而
约出矢数，以除半弦幂，而加矢为径。乃以径补出全
周之数，而以半背数除半弦数，馀为半背弦差，恰得
矢之定差，则矢可得矣。假令弦六寸，残周二十三寸
八分，则以半弦自乘，得九为实，而约出矢一寸。以除
实而加之，得十寸为径，该周三十寸，除残周数，得半
背三寸一分，除半弦三寸而馀一分，恰得一寸矢之
定差，则矢一寸也。又如弦八寸，残周二十一寸二分，
半弦自乘，得十六为实，约出矢二寸。以除实而加之，
得十寸为径，该周三十寸。除残周数，得半背四寸四
分。除半弦四寸而馀四分，恰得二寸。矢之定差，则矢
二寸也。数虽如是，而起筭极周折，惟求之弦、矢径三
相权，则其数可准。盖径矢求弦，则以矢减径，以矢乘
之，为半弦幂。径弦求矢，则以半弦自乘，为实，而以径
为益方，以矢减益方而相乘除实，亦是以矢减径，以
矢乘之，而得半弦幂也。弦矢求径，则以半弦自乘，以
矢除之，加矢而得径。由是三者辗转求之，则是半弦
幂中藏却以矢减径、以矢乘之之定数。以是约出矢
径，而因径以为周，减其残周而得背。以半背与半弦
相较而得差，恰与矢之定差相同，则矢数“无所失矣。
其有不合，则更约之。”此数虽若眇茫，然准之于以矢
减径，即以矢乘，必须与半弦幂相当，则亦未尝无绳
墨也。此意元之又元也，至神莫知也，积也，矢也，径也，
弦也，背也，残周也，差也，凡七者，转相为法而转相求，
共得三百二十六法而后尽浑然一圆圈，而中含错综变化，乃至于此。呜呼，岂非所谓至妙至妙者哉？