钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第118卷 > 《算法统宗六》 > 一方四廉两隅演段图
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《演段。解》曰：其初商二百，自乘，得积四万，是大方积也。
次商六十，内有阔六十，长二百两段，故倍初商二百，
作四百，为廉法，与左次商六十乘，得二万四千，是两
个阔六十，长二百之积。其次商六十，自乘，得三千六
百，是中方积。又商八步，内有阔八步，长二百六十两
段，故倍初次商二百六十，为五百二十，却以八步乘，
得积四千一百六十，是两个阔八步长二百六十步
小廉积也。其又商，八步自乘，得积六十四步，是小方
隅积也。凡平圆先用《开平方》法，后用十二除，为圆。

归除开平方

今有平方积五万四千七百五十六步，问平方一面
若干？

答曰：“二百三十四步。”

《归除开平方法》曰：“置积五万四千七百五十六步为
实于盘中，见实约商二百于实左。另置二百于右下，
左右相呼，二二除实四万步，馀实一万四千七百五
十六步。以右下二百步倍之，得四百步为法。归除之
呼四一二十二，逢四进一十，得商三十步。就置三十
步于右四百之下，相呼三三除实九百步，馀实一千”
八百五十六步。就以右下三十步倍之，得六十步，共
四百六十步为法。归除之，呼四一二十二，逢八进二
十，得商四步。亦置四步于右六之下，相呼，“四六”除，实
二百四十步。又呼“四四”除，实一十六步，恰尽。以左上
所商，得二百三十四步，为平方一面之数也。

今有平方积四百九十步，欲为平方，问每面若干？
答曰：“每面二十二步又四十五分步之六。”

《归除开平方法》曰：“置积四百九十为实于盘中，见实
四百商二十步于实左。另置二十步于右下，左右相
呼，二二除实四百步，馀实九十步。就以右位二十步
倍之，得四十步为法，归除之，呼逢八进二步，就以二
步于右四十之下相呼，二二”除实四步，馀实六步。不
尽，以直方命之。法曰：以所商二十二步倍之，又添一
步，共得四十五步，为分母，命之曰“四十五分步之六”
也。

解曰：若以积四百九十步，加入四十五步，减去分子六步，仍得五百二十九步，便商二十三步，所谓“不及” ，故为之命也。

归除平方带纵歌

平方带纵法最奇，四因积步不须疑，纵多自乘加因
积，又用开方法除之。再以纵多并开积，折半方为长
数施，若问阔步知多少，将长减却纵多基。

今有直田积一千七百五十步，长比阔多一十五步，
问长、阔各该若干？

答曰：“长五十步，阔三十五步。”

法曰：置积一千七百五十步，以四因之，得七千步。另
以纵多一十五步，自乘，得二百二十五步，相并，共得
七千二百二十五步为实。以开平方法除之，约商八
十于左，亦置八十于右。左右相呼，八八除实六千四
百步，馀实八百二十五步。就以下法八十倍之，得一
百六十步为法，归除之，呼逢五进五，于初商八十之
次，共得八十五步。《下法》亦置五于一百六十之下，共
一百六十五步。左五对右六相呼，五六除实三百步。
又左五对右五呼，五五除实二十五步。恰尽得左商
八十五步。如长阔相和之步，加入纵多一十五步，共
得一百步。折半得五十步。于内，减去纵多一十五步，
馀三十五步，即是阔也。

《带纵开平》方法歌：〈《兼商除》：〉

平方带纵法为奇，下位先安纵步基，上商得数加纵
内，纵方，下法并为题，上下相呼除实毕，倍方不倍纵
开馀，馀数续商方再倍，何愁此术不能知。

法曰：如有田积若干，只云“阔不及长若干。”问阔者几
何，则置田积若干为实，以不及若干为纵，列于下法，
以带纵《开平方法》除之，实上初商得若干。下法亦置初商若干于纵内，共得若干，皆与上商相呼。除实若
干，馀实若干，另以下法，初商若干倍之。〈倍方不倍纵〉次商
若干于左位初商之次，下法亦置次商若干于倍方
之次，共若干，皆与次商相呼，除实尽得阔数，加不及
数为长。若要还原，以所商得阔若干为实，另以所
得商数。〈加上纵多共若干或减不及馀若干〉若干乘之，见积。
今有田积一千七百五十步，只云“长比阔多一十五
步”，问长、阔各若干。

答曰：“长五十步，阔三十五步。”

法曰：置积为实，以多一十五步为纵，列于下位，以带
纵《开平方法》除之。初商三十于左位，另于下法，亦置
三十，加于纵上，共得四十五步，与上商相呼，左三对，
右四呼，三四除实一千二百。又左三对右五呼，三五
除实一百五十。另以下法，初商三十倍，作六十，加，纵
多十五，共得七十五。次商五于左位，另于下法，亦置
五于倍方之下，共八十，皆与次商五相呼，左五对右
八呼，五八除实四百步，恰尽得阔三十五步，加多一
十五步，为长。合问。

又法名减积开平方。置田积为实于中，另置不及十
五步于右位，为减积。上商三十于左位，另以下法，
亦置三十于右，为方法，以乘减积一十五步，得四百
五十步，以减中实，馀实一千三百步。却以初商三十
与上商三十相呼，三三减积九百，馀实四百。就以方
法三十倍作六十，为廉法。次商五步于左，三十之。次
下位亦置五步，以乘减积一十五步，得七十五步。以
减中积，仍馀实三百二十五步。却以下位廉法六十，
并入次商五步，共六十五步，皆与上商五步。呼五六
除实三百五五除二十五步，得广三十五步。《合问》
若问纵照前布列，上商五十步，以乘不及十五步，
得七百五十步，并加前积，共二千五百步。却呼“五五。”
除实二千五百步尽得纵合问。

今有圭田积一百二十六步，阔不及长九步，问长、阔
各若干？

答曰：“长二十一步，阔一十二步。”

法曰：倍田积，得二百五十二步为实，以不及九步为
纵方。于右，上商十步。下法亦置十步于纵九步上，共
一十九步，与上商十步。除实一百九十步，馀六十二
步。另以下法，初商一十倍之，作二十，次商二步于左。
下法亦置二步加于纵方九上，共三十一步。皆与上
商二相呼，除实尽得阔一十二步，加不及九步，得长。
合问。

今有句股田积四百八十六步，只云：句少弦一十八
步，问各若干？

答曰：句阔二十七步，股长三十六步，弦斜四十
五步。

法曰：倍积得九百七十二步为实。以弦差一十八步，
折半得九步，为纵方。开平方法除之，得句二十七步，
加差一十八步，为弦斜四十五步。另以句自乘，弦自
乘，二数相减，馀一千二百九十六步为实。以开平方
法除之，得股长三十六步。合问。

今有句股田积四百八十六步，只云“股少弦九步”，问
各若干？

答曰：“股三十六步，句二十七步，弦四十五步。”

法曰：三因积，得一千四百五十八步为实。以弦差九
步，折半，得四步五分，为纵方。开平方法除之，得股长
三十六步。加九步，为弦四十五步。另以股自乘、弦自
乘，二数相减，馀七百二十九步为实。以开平方法除
之，得句阔二十七步。合问。

《长阔相和歌》：〈与减《纵》《开平》方法同。〉

“长阔相和不识情，四因积步莫差争。”和步自乘减去
积，馀用《开方》差步名。却将和步加差步，折半当为长
数成。要知阔步如何见，长步减差阔便明。

今有直田积一千九百二十步，长、阔相和九十二步，
问长、阔各若干？

答曰：“长六十步，阔三十二步。”

法曰：置田积，以四因之，得七千六百八十步。另以和
步九十二步自乘，得八千四百六十四步。减去因积，
馀七百八十四步为实。以开平方法除之，得长阔相
差二十八步，加入和步九十二步，共一百二十步，折
半，得长六十步。内减差步二十八步，馀得阔三十二
步。合问。

又法，名减纵《开平方》。置田积一千九百二十步为实，
以相和九十二步于右为减。纵上商三十，以减九十
二步，馀纵六十二步，与上商三十相呼，三六除实一
千八百。又呼，二三除六十，馀实六十步。又以上商三
十再减，馀纵六十二，仍馀纵三十二。次商二，又减纵
二，馀纵三十，与次商二相呼，二三除实六十。合问。
若先问长者，仍前布列，先商长六十，减纵，亦得。
今有句股田积九百六十步，长、阔相和，九十二步，问
长、阔各若干？

答曰：长六十步，阔三十二步法曰：“置田积，以八因之。”〈或倍田积以四因同〉得七千六百八十
步。另以和步自乘，得八千四百六十四步，相减，馀七
百八十四步，以平方开之，得长阔相差二十八步。加
入和步，共一百二十步，折半得长六十步。内减差步
二十八，馀得阔三十二步。《合问》：若以减纵开平方
法算，置积倍之，得一千九百二十步为实。以相和九
十二步为减纵，如前商之，即得。

《长阔相差》歌：〈与“带《纵开平》” 方法同。〉

长阔相差要识情，积数将来以四乘，差步自乘，加入
积开方得数，以《和名》。“和步加差须折半，此为长数更
无零。以长减差便为阔，学者留心仔细寻。”

今有直田积一千九百二十步，长、阔相差二十八步，
问长、阔各若干？

答曰：“长六十步，阔三十二步。”

法曰：置田积，以四因之，得七千六百八十步。另以相
差二十八步自乘，得七百八十四步，加入积数，共八
千四百六十四步，为实。以开平方法除之，得长阔相
和九十二步，加入差步二十八，共一百二十步，折半，
得长六十步。内减相差二十八步，馀得阔三十二步。
合问。

又法名“带纵”开平方。置田积一千九百二十步为实，
以相差二十八步为带。纵列于右。上商三十于左，右
位亦置三十，加于纵上，共得五十八步。皆与上商三
十相呼，三五除实一千五百。又呼，三八除实二百四
十，馀实一百八十。另以下法，初商三十倍之，得六十，
加差二十八，共得八十八步。次商二于左，三十之。次
下法亦置一于倍方之次，共九十步，皆与次商二相
呼，二九除实，一百八十恰尽，得阔三十二步，加差二
十八步，得长六十步。《合问》如句股出积，长阔相差，
问答。倍积用法同前。

平圆法歌

平圆之法：若求周，十二乘积数，可求求径四因，三而
一，开平方法，以除收。

法曰：问外周者，置积若干，以圆法十二乘，得若干为
实，以开平方法除之，得周。若要还原如圆田，以外周
自乘，又以十二除之，见积若周下原有不尽数者，以
周自乘，并入不尽，以十二除见积。问径者，置积若
干，以四因三归，得若干为实，以开平方法除之，得径。
算圆居方四分之三，故用四因三归之。若要还原如
圆田，以径自乘，并入不尽数，以三因四归之，见积。
若问周、问径，遇有馀积，不尽之数，依《开平方法》下命
之。

今有圆田积二千三百五十二步。问平圆周若干？
答曰：“周一百六十八步。”

法曰：置圆田积步，以十二乘之，得二万八千二百二
十四步为实，以开平方法除之。初商一百于左位，于
下法亦置一百为方法。呼一一除积一万，馀积一万
八千二百二十四，就以方法一百倍之，得二百，为廉
法。续次商六十于左，初商一百之下，右位亦置六十，
于廉法。二百之下，为隅法，共二百六十，皆与上商六
十呼除。先呼“二六”，除积一万二千，又呼六六，除积三
千六百，馀积二千六百二十四，另以右位。次商六十
倍作一百二十，并入廉法二百，共三百二十，又为廉
法。再商八步，于左位初次商一百六十之下，于右位
亦置八步，又为隅法。于廉法之下，共三百二十八，皆
与上商八呼除。先呼三八，除积二千四百，又呼二八
除，积一百六十，又呼八八除，积六百四十，恰尽。
今有圆田积二千三百五十二步。问“平圆径若干？”
答曰：“径五十六步。”

法曰：置积步，先以四因，后用《三归》，得三千一百三十
六步为实，以《开平》方法除之。初商五十于左位，亦置
五十于右位，为方法。左右相呼，五五除积二千五百，
馀积六百三十六步，却以右位五十倍作一百，为廉
法。次商六于左，初商五十之。次亦置六于右。廉法一
百，隔一位下为隅法，共一百零六，皆与上商六相呼，
一六除积，六百。又左六对右六呼，六六除积，三十六
步恰尽。

今有圆积五万四千个，欲为平圆，问径若干？

答曰：“径二百六十八个，又五百三十七个之一百七
十六。”

法曰：置积数，先以四因，后用三归之，得七万二千为
实。以开平方法除之。初商二百于左位于下法右位。
亦置二百，为方法。呼“二二”除积四万，馀积三万二千。
就以右位，二百倍之，得四百，为廉法。次商六十于左，
亦置六十于右。廉法四百之次，为隅法。相呼，“四六”除
积二万四千。又呼“六六”除积三千六百，馀积四千四
百。却以右位六十倍之，并入廉法，共五百二十，皆为
廉法。又商八于左，二百六十之次，右位亦置八于廉
法之次，共五百二十八，皆与上商八呼除。先呼五八，
除积四千。又呼二八，除积一百六十。又呼八八，除积
六十四，馀积一百七十六。不尽，却将所商数倍之，再加一个，得五百三十七，命之一百七十六，若于总内，
减去一百七十六，加上五百三十七，便商得径二百
六十九也。

开平方通分法

今有积一千五百九十步、六十四分步之一，问平方
一面若干？

答曰：“三十九步又八分步之七。”〈即八分七釐五毫〉
法曰：置积一千五百九十步，以分母六十四分乘之，
加入分子一，共得一十万零一千七百六十一分。以
开平方法除之，得方面三百一十九分为实。另以分
母六十四，以《开平》方法除之，得八分为法。除之，得方
面三十九步。不尽七，命之曰八分步之七。

今有方田一段，面方四步一十八分步之一十七，问
斜弦步、方积步各若干。

答曰：“斜弦七步，方积二十四步五分。”

法曰：置四步，以分母一十八乘之，加入分子一十七，
共得八十九步。自乘，得七千九百二十一步。另以分
母、分子相减，馀一以乘分子，十七如故。并前共得七
千九百三十八步为实。另以分母十八自乘，得三百
二十四为法，除之，得二十四步五分，为方积。倍之，得
四十九步。以《开平》方法除之，得斜弦七步。但方面
下有零分数，求积者仿此。

右《商法》“开方” 归，除开方二者，听从人便。

方圆三棱总歌

方圆三棱求周数，各减总一分，明布十六乘方带纵
八，十二乘圆加纵六十八，三棱添纵九，俱用带纵开
方术，倍方不倍纵开除，何愁外周不知数。

还原束法歌

四方之束添八乘，十六归除数颇明圆束外周加六
凑，乘来十二法除清。三角加九乘周数，十八归除不
差争，各要临时添一数。〈即中心也〉束积推详数可成。
今有方箭八十一，根，问外周若干。