钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第114卷 > 《算法统宗二》 > 图
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假如今有芝麻六十七石，榨得油三千零一十五斤，
问每石该油若干？

答曰：“四十五斤。”

《法》曰：置油数于盘中为实，以麻六十七石于右，为商。
除法初商四十斤于左，就以左右相呼，四六除实二
千四百。又呼，四七除二百八十斤，馀实三百三十五
斤。次商五斤于初，商四十之下位，就以五斤对右六
相呼，五六除三百。又呼，五七除三十五斤，恰尽合得。

约分法

约以分子，通以分母也。法曰：“可半者半之，不可半者
以少减多，更相减损，求其有等。”以等约之，若数如四
分两之一者，二钱五分也，此为有尽。若数如三分两
之一者，三钱三分三釐三毫有零也，此所谓不尽。必
须约分之法。

解曰：约分者，谓用除法多有畸零，数之不尽，带有几千百分者，以约去其繁而就其简也，或有不可约者，

法曰：数多为母，数少为子。子母之数两列，互相减损
至同，就以此数为法，各以法除子母原数，却无畸零，
所谓“齐不齐而致其齐”也。如人分银，以至数之不能
尽者，亦有物之不可分者，不能呼数，必以法而约之。

歌曰

数有参差不可齐，须凭《约法》命分之。法为分母实为
子，不与差分一例推。

又歌

约分须分子母名，更相减损至同成就把其同为法
则，除来各数自无零。

假如今有物九十八，除了四十二，问约得若干？
答曰：“七分之三法曰：数多为母，数少为子。置母九十八，内减去二个
四十二，馀一十四。另置子四十二，减去二个一十四，
亦馀一十四，谓之子母相同。就以十四为法，除母九
十八，是七个一十四。另以十四为法，除子四十二，是
三个一十四。故曰：“七分中除三，馀仿此。”

假如今有二十一分之一十四，问，约得若干？

答曰：“三分之二。”

法曰：置母二十一，减去子一十四，馀七。另置子一十
四，减去七，亦馀七。就以七为法，除母二十一，得三。又
以法七除子一十四，得二。合问。

假如今有丝二百五十二斤，卖过一百四十四斤，问
约得若干？

答曰：“七分斤之四。”

法曰：置母二百五十二，减去子一百四十四，馀母一
百零八。反将原子一百四十四，减去馀母一百零八，
馀子三十六。又将馀母一百零八，减去馀子二个三
十六，馀母亦三十六。为之更相减损，就以母子同数
为法，以除原母、原子，各得分数。

假如今有鸭七十二只，生子六十三个。问“约得若干？”
答曰：“八分个之七。”〈即是八只鸭生七个子也〉

法曰：列子母数，更相减损，置母七十二，减去子六十
三，馀母九。反将子六十三内减去六个，馀母九，子亦
馀九。就以九为法，除原母七十二，得八个九。又以法
九除原子六十三，得七个九。故命之曰“八分之七”也。

乘分

假如今有一百九十人，支银一两、十九分两之一，问
该银若干？

答曰：“二百两。”

法曰：置银一两，以分母十九通之，加分子一，共得二
十。又以人一百九十乘，得三千八百为实。却以支银
一两，以分母十九通之，得十九两为法。除之，合问。

《解题》曰：“十九分两之一，每人即一两零五分二釐六毫有零。”

课分

假如今有布二疋，九分疋之五，用过一疋，六分疋之
一，问尚馀若干。

答曰：“馀一疋，又十八分疋之七。”

法曰：置用过布一疋，以分母六通之，加分子一，共得
七。又以原布分母九通之，得六十三。另置原布二疋，
以分母九通之，加分子五，共得二十三疋。又以用过
布分母六通之，得一百三十八，内减去前六十三，馀
七十五为实。以两分母九六相乘，得五十四为法。除
之，得一疋。馀实二十一，法实皆三，约之，合问。

通分

通分者，通以分母，约以分子也。夫数之有尽者，不必
通也，若畸零之不尽者，使不通之，则何以置位而算
之乎？此通分之法所由立也。假如四分两之一者，则
二钱五分也，此所谓数之有尽者也。若三分两之一
者，三钱三分三釐，以至于三，三之无穷，此所谓数之
不尽者也，必须以分通之，乃可算也。不然，则畸零之
不尽，终无可置位矣。

假如今有布四十五疋，每疋价三分两之二，问共该
银若干？

答曰：“三十两。”

法曰：置布四十五疋，以分之，二因之，得九十两，为实。
却以分母三为法，归之合问。

《解题》曰：“三分两之二，即每疋六钱六分六釐而不能尽，故用约分之法也。”

假如今有米三分石之二，每斗价银七分二釐，问共
该银若干？

答曰：“四钱八分。”

法曰：置银七分二釐，以每石十斗因之，得七钱二分，
又以分子之二因之，得一两四钱四分为实。却以分
母三为法，归之《合问》。〈按此法即异乘同除也〉

假如今有商伙，论本分物俱得八分之七，至银百两，
问该若干？

答曰：“八十七两五钱。”

法曰：置银一百两，以子之七因之，如故。仍以分母八
为法，归之，合得。

假如今有罗六十六疋九分疋之六，每疋价二两五
钱，问该银若干？

答曰：“一百六十六两六钱、三分钱之二。”

《法》曰：置六十六疋，以分母九通之，得五百九十四，加
分子六，共六百。以二两五钱因之，得一千五百。以分
母九为法，归之，得一百六十六两六钱三分钱之二。
假如今有米六分石之二，每斗价四分钱之三，问该
银若干？

答曰：“二钱五分。”

法曰：置分子石之二钱之三因之，得六两为实。以分
母六分、四分相乘，得二十四两为法，除之，得二钱五
分。合问。〈按此法即异乘同除也〉假如今有《缎》四十五疋、每疋价四两三分两之二，问
该银若干？

答曰：“二百一十两。”

法曰：置每疋价四两，以分母三两因之，得一十二两；
加入分子二两，共得一十四两。以乘总缎四十五，得
六百三十两为实。以分母三两为法除之，合问。
假如今有豆九石六斗六分斗之四，每石价银二钱
三分钱之一，问该银若干？

答曰：“二两二钱、五分、九分钱之五。”

《法》曰：先置每石价二钱，以分母三因之，得六，加纳子
之一，共得七钱。另置豆九石六斗，以分母六因之，得
五七六，加纳子之四，共得五十八；以七钱因之，得四
十两零六钱为实。却以分母六分、三分相因，得一十
八为法。除之不尽之数，一法实，皆折半而命之。

差分。〈《衰》分意同。〉

差分之法并来分，须要分数一分成，将此一分为之
实，以乘各数自均平。

假如今有东西二邻共织丝绢，东邻四斤六两，西邻
三斤二两，共丝七斤八两，织绢二十一丈八尺，问各
该若干？

答曰：“东邻一十二丈七尺一寸六分六釐，西邻九丈
零八寸三分三釐。”

法曰：置总绢二十一丈八尺为实。以共丝七斤八两，
先将八两变化为五，就以七斤五为法除之，得二丈
九尺零六分六釐六毫六丝为法。另以东西各丝斤
数不动，将两减六，东六两变作三七五，西二两变作
一二五，并原斤为实乘之，合问。

假如今有“元、亨、利、贞”四人，合本经营，元出本银二十
两，《亨》出本银三十两，利出本银四十两，《贞》出本银五
十两，共本一百四十两，至年终共得利银七十两，问
各该利银若干？

答曰：元该利一十两，《亨》该利一十五两，利该利二十
两，贞该利二十五两。

法曰：置利银七十两为实，以四人共本一百四十两
为法，除之，得五钱，为每两之利。就以此为法，以乘各
人原本，合问。

假如今有甲、乙、丙三人合伙同商，因各人本银不齐，
前后付出：甲于正月付出本七十两，乙于四月付出
本八十两，丙于七月付出本九十两，三人共本二百
四十两，至年终得利七十两。问“各该利银若干？”
答曰：“甲该利二十八两，乙该利二十四两，丙该利一
十八两。”

法曰：置利银七十两为实。另置甲本七十两，以十二
个月通之，得八百四十两。又置乙本八十两，以九个
月通之，得七百二十两。再置丙本九十两，以六个月
通之，得五百四十两。三共并，得二千一百两为法，除
实得三钱三分三釐三毫三丝，此乃是每月每两之
利也。就以此又为法，以乘甲通八百四十月，得利二
十八两；又乘乙，通七百二十月，得利二十四两；再乘
丙，通五百四十两，得利一十八两。《合问》。

此是差分“乘而相并，除而又乘” 之法也。

假如今有人借去银二百六十两，每年加三起息，今
有十个月，二十四日问该利银若干？

答曰：“七十两零二钱。”

法曰：先将二十四日用《三归》，得八数，在十月隔空一
位之下，再以十二月除之，得九数，如年以乘原本，得
二百三十四两为实，以每年加三为法，因之，《合问》。

解曰：凡算年月日期，即与两求斤法减六同理。每斤一十六两，减六只作一数，每年十二月，每月三十日，故先用《三归》如月并月，后用十二除月如年，以乘各人原本合得。馀皆仿此。图式具左。

定盘算日月为年式