question: does the system of all subsets of a finite set under the operation subset of form a lattice
passage: A partially ordered set is a bounded lattice if and only if every finite set of elements (including the empty set) has a join and a meet. For every element x of a poset it is trivially true (it is a vacuous truth) that ∀ a ∈ ∅ : x ≤ a (\displaystyle \forall a\in \varnothing :x\leq a) and ∀ a ∈ ∅ : a ≤ x (\displaystyle \forall a\in \varnothing :a\leq x) , and therefore every element of a poset is both an upper bound and a lower bound of the empty set. This implies that the join of an empty set is the least element ⋁ ∅ = 0 (\displaystyle \bigvee \varnothing =0) , and the meet of the empty set is the greatest element ⋀ ∅ = 1 (\displaystyle \bigwedge \varnothing =1) . This is consistent with the associativity and commutativity of meet and join: the join of a union of finite sets is equal to the join of the joins of the sets, and dually, the meet of a union of finite sets is equal to the meet of the meets of the sets, i.e., for finite subsets A and B of a poset L,
question_kg: Чектүү көптүктүн бардык подмножестволорунун системасы, подмножество катышы боюнча, торчону түзөбү?
passage_kg: Жарым-жартылай иреттелген көптүк (посет) ошол көптүктүн ар бир чектүү элементтер көптүгү (бош көптүктү кошо алганда) бирикмеге жана кесилишке ээ болгондо гана чектелген торчо болуп эсептелет. Посеттин ар бир х элементи үчүн ∀ a ∈ ∅ : x ≤ a (\displaystyle \forall a\in \varnothing :x\leq a) жана ∀ a ∈ ∅ : a ≤ x (\displaystyle \forall a\in \varnothing :a\leq x) экени айдан ачык чындык (бул бош чындык), ошондуктан посеттин ар бир элементи бош көптүктүн жогорку чеги да, төмөнкү чеги да болуп саналат. Бул бош көптүктүн бирикмеси эң кичине элемент ⋁ ∅ = 0 (\displaystyle \bigvee \varnothing =0) экенин, ал эми бош көптүктүн кесилиши эң чоң элемент ⋀ ∅ = 1 (\displaystyle \bigwedge \varnothing =1) экенин билдирет. Бул бирикменин жана кесилиштин ассоциативдүүлүгү жана коммутативдүүлүгү менен шайкеш келет: чектүү көптүктөрдүн биримдигинин бирикмеси, ар бир көптүктүн бирикмелеринин бирикмесине барабар, жана дуалдуу түрдө, чектүү көптүктөрдүн биримдигинин кесилиши, ар бир көптүктүн кесилиштеринин кесилишине барабар, б.а., L посеттин чектүү А жана В подмножестволору үчүн,