PL9fwy3NUQKwYd6gznbXUdYHgGQaov9O9i/5d44V0nLLq0.srt

1
00:00:00,000 --> 00:00:01,700
سلام عليكم ورحمة الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء

2
00:00:01,700 --> 00:00:04,520
الله راح نكمل في chapter عشرة اللي هو الـ infinite

3
00:00:04,520 --> 00:00:09,060
sequence and series حكينا بالأول section عشرة واحد 

4
00:00:09,060 --> 00:00:12,650
عن الـ infinite sequence عرفنا إيش هي الـ sequence هو

5
00:00:12,650 --> 00:00:17,630
عرفنا أمتى بتكون الـ sequence converge and diverge

6
00:00:17,630 --> 00:00:22,550
الآن بالشطر راح نشوف اللي هو الـ series طبعا الـ

7
00:00:22,550 --> 00:00:25,390
infinite series راح نتعرف في section عشرة اثنين 

8
00:00:25,390 --> 00:00:28,850
على الـ infinite series إيش هي وتعريفها وكيف ممكن

9
00:00:28,850 --> 00:00:31,410
نشوف بعض أنواع من الـ series دي هي converge أو 

10
00:00:31,410 --> 00:00:37,550
diverge أولًا ماهي الـ infinite series المتسلسلة

11
00:00:37,550 --> 00:00:43,110
اللانهائية المتسلسلة اللانهائية definition given a

12
00:00:43,110 --> 00:00:46,890
sequence of numbers a n لو أخذنا sequence من 

13
00:00:46,890 --> 00:00:51,130
الأعداد الحقيقية a n an expression of the form a1

14
00:00:51,130 --> 00:00:55,830
زائد a2 زائد a3 زائد a n زائد إلى آخره هذا المجموع

15
00:00:55,830 --> 00:00:59,470
الحدود الـ sequence هدول حدود الـ sequence مجموعة هم

16
00:00:59,470 --> 00:01:04,010
هي بنسميها الـ infinite series الآن طبعا هذه الآن

17
00:01:04,010 --> 00:01:07,750
لما نضع هنا n يعني نسميها nth term الـ nth term 

18
00:01:07,750 --> 00:01:12,450
لهذه الـ series بنعرف sequence من الـ series هذه

19
00:01:12,450 --> 00:01:15,750
بنسميها sequence of partial sums إيش الـ sequence

20
00:01:15,750 --> 00:01:20,450
of partial sums هي عبارة عن S1 S2 SN إلى آخره إلى 

21
00:01:20,450 --> 00:01:24,910
مالنهاية S1 هي أول حد من الـ series S2 هي مجموع

22
00:01:24,910 --> 00:01:29,850
أول حدين S3 هي مجموع أول ثلاث حدود يعني SM هي مجموع

23
00:01:29,850 --> 00:01:34,480
M من الحدود أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا

24
00:01:34,480 --> 00:01:35,380
أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا

25
00:01:35,380 --> 00:01:39,980
أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا أولًا

26
00:01:39,980 --> 00:01:45,420
أولًا أولًا أولًا أولًا

27
00:01:53,160 --> 00:01:56,300
يعني أول أشهر من عمود K2 1 تطلع A1 ونضع A

28
00:01:56,300 --> 00:02:00,700
summation يعني بين الحدود فيه زائد K2 2 من عمود 

29
00:02:00,700 --> 00:02:05,800
هنا K2 A K2 2 تطلع A2 وهكذا A1 زائد A2 زائد إلى 

30
00:02:05,800 --> 00:02:09,740
آخر حد اللي هو الـ N طبعا هذه الـ sequence ماشية بعد 

31
00:02:09,740 --> 00:02:19,780
ذلك إلى مالنهاية من الـ sequences فبالتالي 

32
00:02:19,780 --> 00:02:22,680
الـ sequence اللي بنسميه sequence of partial sums 

33
00:02:22,960 --> 00:02:28,880
الـ SN هذه هي الـ N partial sum يعني الحد الـ N

34
00:02:28,880 --> 00:02:33,080
للـ partial sum هذه لأن لو أخذنا sequence of 

35
00:02:33,080 --> 00:02:38,300
partial sum الـ SN هذه وكانت هذه الـ limit لها

36
00:02:38,300 --> 00:02:41,360
يساوي L فبنقول في هذه الحالة أن الـ series 

37
00:02:41,360 --> 00:02:45,420
converges وكمان its sum is L يعني مجموع هذه الـ 

38
00:02:45,420 --> 00:02:49,520
series يساوي L الأعلى هي الـ SN لما N limit ل N ل

39
00:02:49,520 --> 00:02:53,850
SN لما N تؤول إلى مالنهاية يعني هنا A مالنهاية

40
00:02:53,850 --> 00:02:57,310
يعني وصلنا مش لعند الحد الـ N لأ هذه رايحة إلى A 

41
00:02:57,310 --> 00:03:01,010
مالنهاية هي نفس الـ series هذه هي نفس الـ K بقى

42
00:03:01,010 --> 00:03:04,150
limit للـ SN لما أنت تقولها مالنهاية تطلع نفس الـ 

43
00:03:04,150 --> 00:03:07,630
series هذه إذا كان مجموعها ده له مجموع يساوي L

44
00:03:07,630 --> 00:03:11,290
يعني limit للـ SN يساوي L فبكون الـ series هذه 

45
00:03:11,290 --> 00:03:18,850
converge ومجموعها يساوي L يعني بتعبير آخر A1 زي A2

46
00:03:18,850 --> 00:03:26,030
زي A1 زي A2 زي A1 زي A2 زي A1 زي A1 

47
00:03:26,030 --> 00:03:28,470
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي

48
00:03:28,470 --> 00:03:28,770
A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1

49
00:03:28,770 --> 00:03:29,470
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي

50
00:03:29,470 --> 00:03:34,650
A1 زي A1

51
00:03:34,650 --> 00:03:45,110
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي الـ limit للاسئلة فهذه

52
00:03:45,110 --> 00:03:49,970
طريقة من طرق إيجاد الـ convergence أو الـ divergence 

53
00:03:49,970 --> 00:03:55,250
للـ series ونشوف كيف نستخدمها طبعا تستخدم في حالات 

54
00:03:55,250 --> 00:04:00,010
خاصة مش دائمًا لإن الطريقة مش بسيطة example show

55
00:04:00,010 --> 00:04:02,690
whether the series converge or diverge summation

56
00:04:02,690 --> 00:04:06,030
ناقص واحد أس n زائد واحد من n تساوي واحد إلى ما 

57
00:04:06,030 --> 00:04:10,590
لنهاية لو جينا للـ series هذه واستخدمنا الطريقة الـ 

58
00:04:10,590 --> 00:04:11,890
partial sum في إيجاد

59
00:04:16,390 --> 00:04:19,930
نأخذ S1 هي عبارة عن الحد الأول واحد طبعًا لما N 

60
00:04:19,930 --> 00:04:23,990
تساوي واحد بس نقول واحد تربيع S2 اللي هو الحد الأول

61
00:04:23,990 --> 00:04:27,610
زائد الحد الثاني مجموعهم صفر S3 الحد الأول زائد الحد

62
00:04:27,610 --> 00:04:31,650
الثاني زائد الثالث مجموعهم واحد S4 المجموع أول أربع

63
00:04:31,650 --> 00:04:36,490
حدود مجموعهم يساوي صفر طبعا ممكن نكمل كمان لكن لو 

64
00:04:36,490 --> 00:04:41,110
هنا اتطلعنا S1 وS3 المجموع واحد S2 وS4 المجموع

65
00:04:41,110 --> 00:04:44,510
صفر يعني الـ Sn إذا كانت الـ n تبعتنا even 

66
00:04:44,510 --> 00:04:48,730
مجموعها صفر الـ Sn تساوي صفر إذا كانت الـ n odd فـ 

67
00:04:48,730 --> 00:04:52,770
Sn تساوي واحد طيب إيش limit الـ Sn هذه لما أنت 

68
00:04:52,770 --> 00:04:56,010
تقول إلى مالنهاية طبعا في مالنهاية الـ n مال 

69
00:04:56,010 --> 00:04:58,710
النهاية هل هي even ولا odd مش معروفة even ولا odd

70
00:04:58,710 --> 00:05:01,610
وبالتالي الـ Sn الـ limit لها في مالنهاية

71
00:05:01,610 --> 00:05:05,150
إما بتكون واحد إما بتكون يعني الـ limit في هذه الحالة

72
00:05:05,150 --> 00:05:07,950
does not exist لما دلوقتي مدام الـ limit does not

73
00:05:07,950 --> 00:05:11,630
exist يبقى الـ series دلوقتي دي نقول عنها diverge 

74
00:05:11,630 --> 00:05:12,130
various

75
00:05:15,510 --> 00:05:19,110
سؤال آخر summation لـ 1 على 2 أس n ناقص واحد من 

76
00:05:19,110 --> 00:05:22,590
N تساوي واحد إلى ما لنهاية برضه نفس الشيء بإننا 

77
00:05:22,590 --> 00:05:26,330
نستخدم الـ sequence of partial sum في إيجاد الـ

78
00:05:26,330 --> 00:05:29,810
series converge أو diverge و إذا كانت converge وجد

79
00:05:29,810 --> 00:05:33,890
مجموعها S1 طبعا اللي هو أول حد لما نعوض بـ N تساوي

80
00:05:33,890 --> 00:05:37,250
واحد اللي هي واحد S2 هي عبارة عن مجموع الحد الأول

81
00:05:37,250 --> 00:05:41,850
زائد الحد الثاني 1 زائد نصف اللي 3 على 2 S3 مجموع

82
00:05:41,850 --> 00:05:46,290
أول ثلاث حدود تطلع 7 على 4 S4 مجموع أول أربع حدود 

83
00:05:46,290 --> 00:05:50,510
15 على 8 طب لو من هنا بدنا نوجد صيغة لـ Sn تبعتنا

84
00:05:50,510 --> 00:05:54,130
الـ Sn الحد الـ N كيف بدنا نوجدها فعلًا نشوف مع 

85
00:05:54,130 --> 00:06:00,410
بعض مثلًا S2 بنلاحظ على أن المقام هو آخر مقام وجد

86
00:06:00,680 --> 00:06:04,940
لأن المقام هذه أربعة هي هو آخر مقام موجود آخر مقام

87
00:06:04,940 --> 00:06:07,600
موجود اثنين أو ثلاثة هنا يا ش ثمانية يبقى المقام

88
00:06:07,600 --> 00:06:11,820
اللي هنا في المجموع هو نفسه المقام لآخر حد هي أول

89
00:06:11,820 --> 00:06:16,280
شغل اثنين أربعة ثمانية يعني SM المقام تبعها هو

90
00:06:16,280 --> 00:06:21,100
عبارة عن آخر مقام طبعًا هذا اللي هو اثنين تكعيب 

91
00:06:21,100 --> 00:06:24,420
وهذه أربعة يعني أقل من الأربعة بواحد يعني N ناقص 

92
00:06:24,420 --> 00:06:27,960
واحد 2 أس N ناقص واحد إذا هي المقام كتبناه ديجي 

93
00:06:27,960 --> 00:06:31,520
نشوف البسط كيف ثلاثة سبعة خمسة عشر إيش العلاقة بينهم

94
00:06:31,520 --> 00:06:35,900
وبين الـ SN تبعتناها طبعًا هي ثلاثة على اثنين لأنها

95
00:06:35,900 --> 00:06:41,260
دي 2 أس واحد لو أخذنا اثنين لاثنين هذا 2 تربيع 

96
00:06:41,260 --> 00:06:45,320
لو أخذناها 2 تربيع ل 2 2 تربيع 2

97
00:06:45,320 --> 00:06:49,010
تربيع أربعة ناقص واحد ثلاثة هي ثلاثة الآن نأخذ

98
00:06:49,010 --> 00:06:52,430
الاثنين هذه مش تربيع نأخذها تكعيب يعني الـ M هذه

99
00:06:52,430 --> 00:06:56,470
2 أس M الـ M تبعتنا ثلاثة 2 تكعيب ثمانية

100
00:06:56,470 --> 00:07:00,410
ناقص واحد سبعة 2 مش تكعيب نأخذها أس أربعة 

101
00:07:00,410 --> 00:07:03,910
2 أس أربعة ستة عشر ناقص واحد خمسة عشر يبقى إيش 

102
00:07:03,910 --> 00:07:07,710
يعملنا البسط عبارة عن 2 أس N وبعدين ناقص منه

103
00:07:07,710 --> 00:07:12,610
إيش واحد فهيك وجدنا صيغة للـ SN صيغة للـ SN بهذا

104
00:07:12,610 --> 00:07:16,720
الشكل الآن لو بدنا نوجد limit لأن للـ SM لما أنت تقول

105
00:07:16,720 --> 00:07:19,980
لما لنهاية بدنا نوجد limit هذا المقدار اللي احنا 

106
00:07:19,980 --> 00:07:23,160
وجدناه طبعًا لو اجينا وزعنا الـ numerator على المقام هذا 

107
00:07:23,160 --> 00:07:25,880
على هذا بيطلع اثنين وبعدين ناقص واحد على 2 أس n

108
00:07:25,880 --> 00:07:29,200
ناقص واحد الـ limit لهذا المقدار لما أنت تقول لما 

109
00:07:29,200 --> 00:07:32,600
لنهاية بيصير واحد على ما لنهاية صفر يعني بيطلع الـ

110
00:07:32,600 --> 00:07:36,880
limit هنا إيش اثنين إذا limit موجودة معنا ذلك أن الـ 

111
00:07:36,880 --> 00:07:40,800
series تبعنا converge وكمان مجموع هذه الـ series

112
00:07:40,800 --> 00:07:44,920
تبعتنا يساوي اثنين يبقى مجموع هذا المقدار كله يساوي

113
00:07:44,920 --> 00:07:50,740
اثنين الآن بدنا نشوف بعض أنواع من الـ series اللي 

114
00:07:50,740 --> 00:07:54,560
بدنا نستخدم لها طريقة الـ SN في إيجاد مجموعها أو 

115
00:07:54,560 --> 00:07:58,040
إيجادها اللي هي converge أو diverge من أنواع هذه

116
00:07:58,040 --> 00:08:00,900
الـ series اللي هو الـ geometric series الـ geometric 

117
00:08:00,900 --> 00:08:05,510
series اللي هي المتسلسلة الهندسية هي عبارة عن 

118
00:08:05,510 --> 00:08:10,070
series of the form A زائد AR زائد AR تربيع زائد AR

119
00:08:10,070 --> 00:08:13,490
أس n ناقص واحد زائد إلى مالنهاية يعني ممكن نكتبها

120
00:08:13,490 --> 00:08:17,610
بشكل summation أو sigma notation اللي هي الـ

121
00:08:17,610 --> 00:08:21,350
summation من N تساوي واحد إلى مالنهاية AR أس n ناقص

122
00:08:21,350 --> 00:08:24,790
واحد طبعًا أول حد بنعوض لما N تساوي واحد واحد ناقص

123
00:08:24,790 --> 00:08:29,190
واحد صفر R أس صفر واحد يعني A يبقى أول حد تبعنا A 

124
00:08:29,190 --> 00:08:34,750
طبعًا الـ A مكررة في كل الحدود لو أخذنا A عامل 

125
00:08:34,750 --> 00:08:37,910
مشترك يعني الـ series السابقة هتبدأ من واحد بعدين R

126
00:08:37,910 --> 00:08:41,790
بعدين R تربيع وR تكعيب إلى آخرهم يعني R كل مرة 

127
00:08:41,790 --> 00:08:45,610
بيزيد أسها بواحد لكن الـ R هنا اللي هو الأساس 

128
00:08:45,610 --> 00:08:50,230
ثابت R R R والـ R هذه عدد حقيقي طبعًا هي والـ A و

129
00:08:50,230 --> 00:08:52,850
الـ A كمان إنها لا تساوي صفر لأن لو صارت الـ series

130
00:08:52,850 --> 00:08:58,050
السابقة تصير صفر الآن في الـ series هذه الـ geometric

131
00:08:58,050 --> 00:09:01,030
series هذي بيسميها الـ geometric series بتكون هذي 

132
00:09:01,030 --> 00:09:06,090
الـ series ممكن نكتبها بشكل آخر نبدأ لو بدأناها من

133
00:09:06,090 --> 00:09:11,410
N تساوي صفر من N تساوي صفر بيصير AR أس n هذي مش n 

134
00:09:11,410 --> 00:09:14,630
ناقص واحد بتصير n لإنه لما N تساوي صفر بتصير هذي R 

135
00:09:14,630 --> 00:09:17,970
أس صفر واحد لما N تساوي واحد بتصير R أس صفر اللي 

136
00:09:17,970 --> 00:09:21,830
هي واحد يبقى ممكن نكتبها بشكلين إما نبدأها من N

137
00:09:21,830 --> 00:09:25,510
تساوي واحد أو نبدأها من N تساوي صفر بتكون هذه R أس

138
00:09:25,510 --> 00:09:32,310
N طبعًا الـ A تابع للـ R هذه ممكن تكون أي عدد ممكن

139
00:09:32,310 --> 00:09:36,410
يكون موجب أو ممكن يكون سالب يعني أمثلة على ذلك على

140
00:09:36,410 --> 00:09:38,610
الـ Geometric Series اللي هي زي هذه الـ Geometric 

141
00:09:38,610 --> 00:09:42,350
Series واحد زائد نصف زائد ربع زائد طبعا الربع هي

142
00:09:42,350 --> 00:09:46,490
اثنين تربيع وهكذا يعني واحد الحد الأولي تبعها

143
00:09:46,490 --> 00:09:50,970
اللي هو نصف اثنين ناقص واحد طبعا في هذه ال series 

144
00:09:50,970 --> 00:09:55,390
الـ a تساوي واحد و الـ r تساوي نصف ممكن تكون برضه

145
00:09:55,390 --> 00:09:58,790
negative مثال على ذلك ال series هذه واحد ناقص ثلث

146
00:09:58,790 --> 00:10:02,810
زائد ثلث ناقص زائد الآخرين لحد الأولي لها ناقص

147
00:10:02,810 --> 00:10:07,050
ثلث قسمة ناقص واحد طبعا هذه كمان الـ a تساوي واحد

148
00:10:07,050 --> 00:10:12,770
و الـ r تساوي سالب ثلث هذه ايش أمثلة على الـ

149
00:10:12,770 --> 00:10:15,230
Geometric Series طب تعالوا مع بعضنا نشوف الـ

150
00:10:15,230 --> 00:10:17,970
Geometric Series تبعاتنا هذه امتى بتكون converge و

151
00:10:17,970 --> 00:10:22,130
امتى بتكون diverge راح ناخد حالات للـ R إذا كانت الـ R

152
00:10:22,130 --> 00:10:25,950
تساوي واحد و R تساوي سالب واحد وإذا كانت لا تساوي

153
00:10:25,950 --> 00:10:29,930
لا واحد ولا سالب واحد إذا كانت الـ R تساوي واحد الـ

154
00:10:29,930 --> 00:10:34,490
infinite ال infinite term الـ Sn ال infinite partial sum يساوي A

155
00:10:34,490 --> 00:10:37,550
زائد A في واحد زائد A في واحد تربيع زائد A في واحد

156
00:10:37,550 --> 00:10:41,050
وثنين نقطة واحد يعني الـ A مجموعة N من المرات

157
00:10:43,940 --> 00:10:50,380
ن في a لأن نوجد limit للـ sum لما N تؤول إلى ما لا نهاية

158
00:10:53,470 --> 00:10:57,730
تعتمد الإشارة على الـ A إذا كانت موجبة أو سالبة،

159
00:10:57,730 --> 00:11:00,570
طب الآن ال limit لل sum ان طلع ما لا نهاية أو

160
00:11:00,570 --> 00:11:02,730
سالب ما لا نهاية يعني ال limit بالظبط لا يوجد 

161
00:11:02,730 --> 00:11:06,350
وبالتالي ال series في هذه الحالة diverge يبقى ال

162
00:11:06,350 --> 00:11:09,810
limit لل series diverge لإن ال limit لل sum

163
00:11:09,810 --> 00:11:13,230
يساوي موجب أو سالب ما لا نهاية طيب لو أشوف ايه ده

164
00:11:13,230 --> 00:11:16,710
كانت الـ R تساوي سالب واحد، الـ R تساوي سالب واحد،

165
00:11:16,710 --> 00:11:20,510
ايش الـ Sn بدي تكون شكلها؟ A زائد A في ناقص واحد،

166
00:11:20,510 --> 00:11:24,130
زائد A في واحد، زائد A في ناقص واحد يعني ناقص A، و

167
00:11:24,130 --> 00:11:27,650
بعدين زائد A، وهكذا، يعني A في ناقص واحد أس N 

168
00:11:27,650 --> 00:11:31,770
ناقص واحد، الآن هذا المجموع الـ Sn هذا، يعني لو

169
00:11:31,770 --> 00:11:36,250
اجينا وقفنا عند حدين، لو أخدنا حدين، مجموع حدين،

170
00:11:36,450 --> 00:11:40,230
بيطلع مجموعهم صفر، ثلاث حدود مجموعهم A، أربع حدود

171
00:11:40,230 --> 00:11:44,050
صفر، خمس حدود مجموعهم A، يبقى كل مرة يا بيطلع

172
00:11:44,050 --> 00:11:47,490
المجموع صفر، يا بيطلع المجموع A، يبقى المجموع ده يا

173
00:11:47,490 --> 00:11:50,830
بيكون صفر، يا بيكون A، معناه ذلك أن limit الـ Sn 

174
00:11:50,830 --> 00:11:56,730
تبعنا اما صفر أو A، اما صفر أو A، فالمعنى

175
00:11:56,730 --> 00:11:59,590
ذلك ان ال limit لل Sn does not exist لأنها بتاخد

176
00:11:59,590 --> 00:12:04,710
قيمتين، صفر وبتاخد قيمة الـ A وبالتالي ال limit

177
00:12:04,710 --> 00:12:07,650
does not exist إذا ال series تبعنا برضه diverge

178
00:12:07,650 --> 00:12:11,270
يبقى في حالة الـ R تساوي واحد وR تساوي سالب واحد

179
00:12:11,270 --> 00:12:15,970
ال series diverge طيب نشوف في حالة الـ R لا تساوي

180
00:12:15,970 --> 00:12:19,170
واحد ولا سالب واحد يعني absolute الـ R لا يساوي

181
00:12:19,170 --> 00:12:23,850
واحد قبل نشوف طريقة عشان نوجد صيغة للـ Sn الـ Sn 

182
00:12:23,850 --> 00:12:27,050
طبعا هي كيف شكلها الـ Sn الـ Summation A زائد Summation R زائد Summation R 

183
00:12:27,050 --> 00:12:30,770
تربيع زائد لحد آخر الحد النوني اللي هو Summation R أس N 

184
00:12:30,770 --> 00:12:34,450
ناقص واحد الآن عشان نشوف صيغة لـ Sn رح نستخدم

185
00:12:34,450 --> 00:12:37,930
الطريقة الجبرية التالية ان انا Sn هادي اروح

186
00:12:37,930 --> 00:12:42,210
اضربها في R R Sn يساوي مضروب هادي في R تصير Ar هادي

187
00:12:42,210 --> 00:12:47,210
تصير R تربيع بعدين R تكعيب بعدين هادي تصير R أس N

188
00:12:47,210 --> 00:12:51,190
طبعا الحد اللي قبله رح يكون R أس N ناقص واحد الآن ها

189
00:12:51,190 --> 00:12:57,010
دا أول سطر والثاني بدنا نطرحهم من بعض Sn-rSn يساوي

190
00:12:57,010 --> 00:13:02,350
A بظلها A Ar-Ar بيروح مع بعض Ar تربيع ناقص Ar تربيع

191
00:13:02,350 --> 00:13:03,010
بيروح مع بعض

192
00:13:08,820 --> 00:13:12,700
يبقى هنا هذا يساوي هذا الآن من هنا بناخد Sn عامل

193
00:13:12,700 --> 00:13:16,180
مشترك بضل واحد ناقص R ومن هذا الطرف بناخد الـ A

194
00:13:16,180 --> 00:13:20,580
عامل مشترك بضل واحد ناقص R أس N إذا من هنا Sn 

195
00:13:20,580 --> 00:13:24,640
تساوي A في واحد ناقص R أس N على واحد ناقص R هيك

196
00:13:24,640 --> 00:13:28,540
بهذه الطريقة العملية الجبرية هذه روحنا وجدنا اللي 

197
00:13:28,540 --> 00:13:33,710
هي صيغة لل Sn اللي هي ال partial sum الـ Nth partial

198
00:13:33,710 --> 00:13:37,870
sum طبعا هذه الـ Sn موجودة إذا كانت الـ R لا

199
00:13:37,870 --> 00:13:42,430
تساوي 1 لأن المقام هنا يساوي صفر وهي اصلا ال

200
00:13:42,430 --> 00:13:46,250
absolute R لا تساوي 1 طيب الآن بدنا نوجد limit الـ

201
00:13:46,250 --> 00:13:49,130
Sn لما N تؤول إلى ما لا نهاية طبعا الـ N يعني هذا

202
00:13:49,130 --> 00:13:52,170
مافيش غير هذه اللي فيها الـ N لما N تؤول إلى ما لا 

203
00:13:52,170 --> 00:13:55,190
نهاية R أس N يعتمد عليها والباقي كلهم أعداد

204
00:13:55,190 --> 00:13:58,690
حقيقية مش مشكلة يبقى بدنا نوجد فقط limit للـ R أس

205
00:13:58,690 --> 00:14:03,230
N الآن R أس N يعني R أس ما لا نهاية، طبعا هذا R

206
00:14:03,230 --> 00:14:06,670
أس ما لا نهاية، يعني حسب قيمة الـ R، إذا كانت الـ R

207
00:14:06,670 --> 00:14:11,330
كسر بين الـ -1 والـ 1، بتروح هذه للـ 0، إذا كانت الـ R

208
00:14:11,330 --> 00:14:16,630
بين الـ أكبر من الواحد أو أقل من السالب واحد،

209
00:14:16,630 --> 00:14:19,960
بتكون هذه بتروح لويا لما لا نهاية طبعا هذا الكلام

210
00:14:19,960 --> 00:14:22,600
أخدناه في section عشرة واحد وأخذناه قبل هيك لما

211
00:14:22,600 --> 00:14:28,160
قلنا مثلا نصف أس ما لا نهاية بيطلع صفر لكن اثنين أس

212
00:14:28,160 --> 00:14:31,760
ما لا نهاية بيطلع ما لا نهاية يبقى حسب قيمة الـ R إذا كانت

213
00:14:31,760 --> 00:14:34,740
ال absolute R أقل من واحد يعني الـ R تبعتي من ناقص

214
00:14:34,740 --> 00:14:39,480
واحد لواحد الـ R أس N تؤول للصفر وإذا كانت الـ

215
00:14:39,480 --> 00:14:43,160
absolute R أكبر من واحد يعني الـ R أكبر من واحد و

216
00:14:43,160 --> 00:14:47,310
أقل من السالب واحد يكون الـ R أس N تؤول لما لا نهاية

217
00:14:47,310 --> 00:14:51,150
في هذه الحالة لما نقول Sn تؤول إلى صفر سيصبح Sn

218
00:14:51,150 --> 00:14:55,710
يساوي A على 1 ناقص R أو limit الـ Sn A على 1 ناقص

219
00:14:55,710 --> 00:14:58,590
R وهي يعني معناه أن series بتكون ال series تبعنا

220
00:14:58,590 --> 00:15:02,850
converge ومجموعها يساوي A على 1 ناقص

221
00:15:02,850 --> 00:15:06,990
R يبقى Sn تؤول إلى A على 1 ناقص R وهو مجموع ال

222
00:15:06,990 --> 00:15:09,910
geometric series في هذه الحالة لكن في حالة

223
00:15:09,910 --> 00:15:14,920
absolute R أكبر من 1 بتكون ال series عندنا ايه يعني

224
00:15:14,920 --> 00:15:18,940
ملخص الكلام في حالة ال geometric series إذا كانت

225
00:15:18,940 --> 00:15:23,400
ال absolute R أقل من 1 بتكون ال geometric series

226
00:15:23,400 --> 00:15:27,460
هذه ال geometric series هذه بتكون converge مجموعها A

227
00:15:27,460 --> 00:15:31,880
على 1 ناقص R يعني مجموعها يعني بمعنى آخر الـ

228
00:15:31,880 --> 00:15:34,260
geometric series سواء كانت هذه الصيغة أو هذه

229
00:15:34,260 --> 00:15:38,660
بدناها من الصفر أو بدناها من الواحد مجموعها يساوي A 

230
00:15:38,660 --> 00:15:42,920
على 1 ناقص R إذا كان absolute R أقل من 1 لكن إذا

231
00:15:42,920 --> 00:15:46,360
كان absolute R أكبر أو يساوي 1 يكون ال series diverge

232
00:15:47,700 --> 00:15:53,180
ناخد أمثلة على ال Geometric Series ال ملاحظة

233
00:15:53,180 --> 00:15:57,040
الموجودة في المربع هذا نكتب الـ Geometric Series 

234
00:15:57,040 --> 00:16:03,530
with A تساوي 9 R تساوي 3 عن طريق الوصول لل sum يشبه A

235
00:16:03,530 --> 00:16:08,290
R أس N A تسعة في R كلها أس N ناقص واحد لو حطينا

236
00:16:08,290 --> 00:16:11,330
هنا أس N ناقص واحد لازم نبدأ الـ N من واحد لو حطينا

237
00:16:11,330 --> 00:16:15,570
هذه أس N لازم نبدأ الـ N من الصفر الآن هذا المقلوب 

238
00:16:15,570 --> 00:16:18,870
بس ممكن زيادة أنه كتبنا كمان مجموع هذه ال series

239
00:16:18,870 --> 00:16:22,730
طبعا مجموع ال series اللي هي A A ايش هي A من هنا

240
00:16:22,730 --> 00:16:26,670
ككم ممكن نطلعها لما نعوض ب N تساوي واحد لما N

241
00:16:26,670 --> 00:16:33,230
تساوي واحد بيصير هذه R أس صفر بتروح بضل تسعة الـ A 

242
00:16:33,230 --> 00:16:35,390
تساوي تسعة على واحد ناقص R

243
00:16:41,190 --> 00:16:45,130
مثال اثنين بت remind whether the series ناقص واحد

244
00:16:45,130 --> 00:16:49,470
أس N في ستة أس N على أربع أس N زائد واحد

245
00:16:49,470 --> 00:16:53,050
converges or diverges وإذا كانت converges أو جديد

246
00:16:53,050 --> 00:16:56,970
مجموعها طبعا ال summation هذه بدنا نجمعها نفصل الـ R

247
00:16:56,970 --> 00:17:00,250
تبعها لكل أس N بنفصلهم مع بعض يعني ناقص واحد

248
00:17:00,250 --> 00:17:04,350
والستة والأربع وبيضل أربع أس واحد لحاله ناقص ستة

249
00:17:04,350 --> 00:17:09,180
على أربع أس N وبيضل ربع الآن هي ثلاثة ناقص ثلاثة

250
00:17:09,180 --> 00:17:14,020
على اثنين ناقص اثنين على أربع سواء كانت جوا أو برا عادي المهم أن

251
00:17:14,020 --> 00:17:17,880
الـ R تبعتنا أو ال absolute R بتساوي ثلاثة على اثنين

252
00:17:17,880 --> 00:17:20,180
الثلاثة على اثنين أكبر من واحد وبالتالي ال series

253
00:17:20,180 --> 00:17:27,360
تبعنا diverge مثال ثلاثة بيحكي على ال repeating

254
00:17:27,360 --> 00:17:31,580
decimals يعني العدد الدوري اللي هو الكسر العشري

255
00:17:31,580 --> 00:17:41,070
هذا بيكون مكرر 51% 51 51 51 51 51 51 51 51 51

256
00:17:41,070 --> 00:17:45,530
51 51

257
00:17:45,530 --> 00:17:47,410
51 51 51 51 51 51 51 51 51

258
00:17:58,120 --> 00:18:01,580
الآن كيف بدنا نستخدم الـ Geometric Series في تحويل

259
00:18:01,580 --> 00:18:07,460
هذا الرقم الدوري إلى كسر اعتيادي؟ الآن بدنا نستخدم

260
00:18:07,460 --> 00:18:10,320
الـ Geometric Series في ذلك الآن 2 و 51 من 100

261
00:18:10,320 --> 00:18:15,160
عبارة عن 2 زائد 51 على 100 لأن 51 هذا مكرر الـ 51

262
00:18:15,160 --> 00:18:19,800
الثانية اللي هي 51 على 100 تربيع الـ 51 الثالثة هي 51

263
00:18:19,800 --> 00:18:24,440
على 100 تكعيب إلى آخره إلى ما لا نهاية يعني الآن هادي من 51 على 

264
00:18:24,440 --> 00:18:28,860
100 إلى آخره هي Geometric Series لو كنا نحصل ايش هي الـ a

265
00:18:28,860 --> 00:18:32,780
هي 51 على 100 لأنها مكررة في كل الفروع يعني لو

266
00:18:32,780 --> 00:18:36,400
أخذناها برا عامل مشترك بيظل هنا واحد زائد واحد على

267
00:18:36,400 --> 00:18:40,020
100 زائد واحد على 100 تربيع إلى آخره الآن هادي ال series هي

268
00:18:40,020 --> 00:18:43,380
عبارة عن Geometric Series الـ a تساوي واحد هو أول حد 

269
00:18:43,380 --> 00:18:47,560
بما أنه طلعنا هذه عامل مشترك مرة أو بنعتبر هذه هي

270
00:18:47,560 --> 00:18:52,850
الـ a عادي والواحد على 100 هي عبارة عن الـ R طبعا الـ R 

271
00:18:52,850 --> 00:18:54,970
واحد على 100 أقل من الـ واحد وبالتالي ال series

272
00:18:54,970 --> 00:18:59,330
converge نكتب المجموع هذا، ايش يساوي المجموع هذا

273
00:18:59,330 --> 00:19:03,350
اللي هو A 51 على 100 أو واحد إذا كنا نجمع هذا

274
00:19:03,350 --> 00:19:08,390
المجموع فقط على واحد ناقص R نجمع هذول كلهم مع بعض،

275
00:19:08,390 --> 00:19:13,110
بيطلع 213 على 99، إذا حولنا ال repeating decimal

276
00:19:13,110 --> 00:19:15,790
إلى ratio of two integers

277
00:19:20,590 --> 00:19:25,430
مثل الأربعة أو الـ GD القيم X for which الصم 

278
00:19:25,430 --> 00:19:29,430
اللي هي X أس N على ثلاثة أس N converges and find the 

279
00:19:29,430 --> 00:19:32,370
sum of the series لأن هذه عبارة عن Geometric

280
00:19:32,370 --> 00:19:35,930
Series ليش؟ لأنه بنقدر نكتبها على شكل summation اللي 

281
00:19:35,930 --> 00:19:39,530
R أسن بأنه مصطفى X على تلاتة كله أسن وبالتالي هذي

282
00:19:39,530 --> 00:19:42,790
بتكون هي R لأن عشان تكون هذه ال series converge

283
00:19:42,790 --> 00:19:47,760
لازم يكون R هاي absolute R أقل من 1، يعني converges

284
00:19:47,760 --> 00:19:51,500
if absolute x على 3 أقل من 1 أو absolute x أقل من

285
00:19:51,500 --> 00:19:56,680
3 يعني x من سالب 3 إلى 3، يبقى x محصورة في ال open

286
00:19:56,680 --> 00:19:59,940
interval أو تنتمي لل open interval سالب 3 و 3

287
00:19:59,940 --> 00:20:03,300
بتكون هذه ال series تبعتنا converge، converge هو

288
00:20:03,300 --> 00:20:06,640
المجموعة تبعها يساوي a، a قلنا هي عبارة عن أول حد

289
00:20:06,640 --> 00:20:10,700
لما نعوض ب n تساوي 0، x على 3 أس 0 اللي هي 1 على

290
00:20:10,700 --> 00:20:15,950
1 ناقص r اللي هي x على 3، بتوحيد المقامات تظهر 

291
00:20:15,950 --> 00:20:20,350
على تلاتة ناقص X، يبقى هذا Geometric Series هنا

292
00:20:20,350 --> 00:20:24,710
Series تانية برضه بنستخدم فيها ال partial sum في

293
00:20:24,710 --> 00:20:28,770
إيجاد مجموعها أو إيجاد إن هي converge أو diverge

294
00:20:29,630 --> 00:20:33,810
السلسلة ده نسميها telescoping series لأن

295
00:20:33,810 --> 00:20:36,390
telescoping series تبعتنا راح ناخدها من خلال

296
00:20:36,390 --> 00:20:39,410
الأمثلة لإن مافيش سلسلة محددة زي ال geometric

297
00:20:39,410 --> 00:20:44,750
series لكنها إلها صفة معينة، الصفة هذه راح نتعرف

298
00:20:44,750 --> 00:20:48,670
عليها من خلال الأمثلة، ال summation ل 1 على n في n

299
00:20:48,670 --> 00:20:51,610
زائد 1، ملاحظة على إن المقام هذا هو الحد، والحد

300
00:20:51,610 --> 00:20:55,140
اللي بعده، الحد هذا وهذا الحد، إيش اللي بعده؟ لو جينا

301
00:20:55,140 --> 00:20:58,600
هذا المقام نوزعه إلى مقامين باستخدام ال partial

302
00:20:58,600 --> 00:21:02,240
fraction، نعرف ال partial fraction بما أنه هذا

303
00:21:02,240 --> 00:21:06,400
اتنين من الدرجة الأولى فبنوزع n و n زائد واحد ونحط

304
00:21:06,400 --> 00:21:10,760
في ال بسط A و B constant، نوجد الـ A و B بطريقة cover

305
00:21:10,760 --> 00:21:13,840
-up زي اللي أخدناها في chapter 8، تطلع أن الـ A

306
00:21:13,840 --> 00:21:16,700
تساوي 1 والـ B تساوي سالب 1، يعني ال series

307
00:21:16,700 --> 00:21:20,540
تبعتنا صارت بشكل ال summation 1 على N ناقص 1

308
00:21:20,540 --> 00:21:23,740
على N زائد 1، يبقى هذا الحد وهذا الحد اللي

309
00:21:23,740 --> 00:21:27,500
بعده بس بالسالب الآن، لو أجينا نوجد ال partial sum

310
00:21:27,500 --> 00:21:33,280
Sn، بدنا ال Sn يعني مجموع N من الحدود، دعنا نفكه

311
00:21:33,280 --> 00:21:37,110
مجموع N من الحدود، يعني الفكرة عندما نضع N تساوي

312
00:21:37,110 --> 00:21:41,990
1 تصبح 1 ناقص نصف، N تساوي 2، نصف ناقص ثلث، و

313
00:21:41,990 --> 00:21:46,890
N تساوي 3، و N تساوي 4، و N قبل الآخر وهي

314
00:21:46,890 --> 00:21:51,050
هذا الحد النوني، وهي هذا الحد النوني اللي هو ال n

315
00:21:51,050 --> 00:21:57,110
لما نعوض بال n، الآن لو لاحظنا على هذه الحدود

316
00:21:57,110 --> 00:21:59,810
نلاحظ أن الحد الثاني من هنا بالسالب يروح مع هذا

317
00:21:59,810 --> 00:22:02,950
 بالموجب، والحد الثاني من هنا بيروح مع الحد الأول، و

318
00:22:02,950 --> 00:22:06,090
الحد الثاني بيروح مع الحد الأول، وهكذا يعني هذا

319
00:22:06,090 --> 00:22:09,890
الحد الثاني بيروح مع الحد الأول من هنا، إيش بيظل

320
00:22:09,890 --> 00:22:14,030
ككل هذه ال partial sum، بيظل الحد الأول والحد

321
00:22:14,030 --> 00:22:18,670
الأخير، يعني 1 ناقص 1 على N، لأن هذه... هذا

322
00:22:18,670 --> 00:22:22,890
الاختصار اللي صار، والمفكوك لما نفك Sn ويختصر، و

323
00:22:22,890 --> 00:22:28,300
كل الحدود فقط يبقى حدين، أو يبقى عدد محدود من الحدود

324
00:22:28,300 --> 00:22:32,160
حدين ولا تلاتة ولا أربعة، بنسميها هذا ال series

325
00:22:32,160 --> 00:22:36,000
بهذا الشكل، إذا كان مفتوقة بهذا الشكل وبيختصر

326
00:22:36,000 --> 00:22:40,320
بنسميها telescoping series، لأن ال limit لل SN لما

327
00:22:40,320 --> 00:22:42,600
n تؤول لما لا نهاية، يعني لو واحد عمل هنا n تؤول ل ∞

328
00:22:42,600 --> 00:22:45,560
بيظل إن ال limit يساوي 1، يبقى ال Sn ال limit

329
00:22:45,560 --> 00:22:48,860
اللي لها exist ويساوي 1 وهو مجموعة ال series

330
00:22:51,040 --> 00:22:54,460
نوع آخر برضه مش نوع، يعني مثال آخر من الـ

331
00:22:54,460 --> 00:22:58,060
telescoping series برضه هيتحمل نفس الصفة ولكن

332
00:22:58,060 --> 00:23:01,740
بصيغة مختلفة، summation tan inverse n - tan inverse

333
00:23:01,740 --> 00:23:06,000
n زائد 1، برضه بنلاحظ أن هذا الحد وهذا الحد اللي

334
00:23:06,000 --> 00:23:11,000
بعده بينهم إشارة سالبة، لو أجيت أنا فكيت ال Sn لهذه

335
00:23:11,000 --> 00:23:14,820
هي لما ال N تساوي 1، tan inverse 1 - tan inverse 2

336
00:23:14,820 --> 00:23:19,880
زائد N تساوي 2، زائد... وهكذا، لما N تساوي 3، وأخر حد

337
00:23:19,880 --> 00:23:23,840
اللي هو لل n، بنلاحظ على أنه برضه الحد هذا بيروح مع

338
00:23:23,840 --> 00:23:26,980
هذا، وهذا بيروح مع هذا، وهذا بيروح مع اللي بعده، و

339
00:23:26,980 --> 00:23:30,240
هذا بيروح مع اللي قبله، بضل عندنا فقط الحد الأول و

340
00:23:30,240 --> 00:23:34,400
الحد الأخير، هي الأول والأخر، ال unlimited SM هذي لما

341
00:23:34,400 --> 00:23:37,720
n تؤول لما لا نهاية، بيطلع tan inverse الواحد ناقص tan

342
00:23:37,720 --> 00:23:41,240
inverse الما لا نهاية اللي هو π على 2، طبعا tan

343
00:23:41,240 --> 00:23:44,320
inverse الواحد هو π على 4 ناقص π على 2 بيطلع ناقص

344
00:23:44,320 --> 00:23:48,300
π على 4، يعني ال limit تبعي exist وبالتالي ال

345
00:23:48,300 --> 00:23:52,600
series تبعتي converge ومجموعها يساوي ناقص π على 4

346
00:23:52,600 --> 00:23:56,070
مجموع ال series، هدف telescoping series بيكون كلها

347
00:23:56,070 --> 00:23:59,930
بهذا الشكل، بنلاحظ لو فكناها، بيروحوا يختصروا ال

348
00:23:59,930 --> 00:24:06,310
term مع بعضها، وبنقدر نوجد ال S10 بسهولة، هذا نوع من

349
00:24:06,310 --> 00:24:10,430
أنواع الـ Series اللي بتعتمد على الـ Sn، تعتمد على

350
00:24:10,430 --> 00:24:13,970
ال partial sum، إني أجيب الـ Sn وبعدين أجيب ال

351
00:24:13,970 --> 00:24:16,770
limit لها وأقرر هل هي ال series converge أو

352
00:24:16,770 --> 00:24:20,630
diverge، طريقة أخرى لإيجاد إن ال series تبعتنا

353
00:24:20,630 --> 00:24:25,230
diverge فقط تستخدم لل divergence series ولا تخبط

354
00:24:25,230 --> 00:24:29,590
ال converge test معين، اختبار بدنا نسميه، بسمى هذا

355
00:24:29,590 --> 00:24:32,590
الاختبار الـ "int term test"، الـ "int term"، الـ "int

356
00:24:32,590 --> 00:24:35,850
term" اللي هو الـ "an" يعني الـ an، فتعرف يعني بدنا

357
00:24:35,850 --> 00:24:38,890
نعمل test على ال an، إيش ال test اللي بدنا نعمله على

358
00:24:38,890 --> 00:24:47,430
ال an هذا الكتاب، بدنا نعرفه الأول

359
00:24:47,430 --> 00:24:51,510
شيء بدنا نشوف نظرية، نظرية بتقول إذا كانت summation

360
00:24:51,510 --> 00:24:55,670
لل an converges، then ال an تؤول للصفر، يعني limit

361
00:24:55,670 --> 00:25:00,350
ال an يساوي 0، كل convergence series limit ال an

362
00:25:00,350 --> 00:25:04,810
لحد ما أنه يتبعها دائما صفر، ولكن عكس النظرية غير صحيح،

363
00:25:04,810 --> 00:25:08,050
يعني لو كان limit ال an صفر، لا يؤدي إن ال series

364
00:25:08,050 --> 00:25:11,950
converge، معنى هذا الكلام بمعنى آخر إن كل ال

365
00:25:11,950 --> 00:25:16,050
convergence series limit ال an اللي هيساوي صفر، لكن

366
00:25:16,050 --> 00:25:20,890
ال divergence series بعضها limit هيساوي صفر وبعضها

367
00:25:20,890 --> 00:25:27,370
لا، يعني إذا كان limit ال an يساوي صفر فهذا لا يؤدي

368
00:25:27,370 --> 00:25:30,990
إن ال series converge، ممكن تكون converge وممكن

369
00:25:30,990 --> 00:25:37,210
تكون diverge، إذا هذا يؤدي لهذا بعلم المنطق نعرف إن

370
00:25:37,210 --> 00:25:41,490
نفي هذه الجملة يؤدي إلى نفي هذه الجملة، لكن العلاقة

371
00:25:41,490 --> 00:25:46,510
العكسية غير صحيحة، ولكن نفيها يؤدي إلى نفيها، يعني

372
00:25:46,510 --> 00:25:50,630
إذا كان limit ال an لا يساوي صفر فال series diverge

373
00:25:50,630 --> 00:25:54,350
وهذه اللي بنسميها ال end term test for divergence

374
00:25:54,350 --> 00:26:00,110
فقط لل divergence، إذا كان Limit if it fails to

375
00:26:00,110 --> 00:26:03,290
exist غير موجود أو لا يساوي 0

376
00:26:07,650 --> 00:26:12,070
فبتكون ال test تبعتي divergent، ولكن إذا كان limit

377
00:26:12,070 --> 00:26:16,330
ال an موجود ويساوي صفر لا يؤدي إنها converge، إذا

378
00:26:16,330 --> 00:26:20,370
العكس هذا، عكس هذا ال test غير صحيح، ال test هذا فقط

379
00:26:20,370 --> 00:26:24,290
لل divergence series، إذا كان limit ال an لا يساوي

380
00:26:24,290 --> 00:26:30,130
صفر أو غير موجود فبتكون ال test تبعتي divergent

381
00:26:30,130 --> 00:26:35,500
يبقى ال test هذا فقط لل divergence series، بس لإثبات

382
00:26:35,500 --> 00:26:38,780
ال diverge ولا يثبت ال converge، مثلا ال summation

383
00:26:38,780 --> 00:26:42,400
لل n تربيع هذي diverge لإنه limit ال n تربيع ما له

384
00:26:42,400 --> 00:26:45,800
نهاية، وبالتالي ما له... ما له موجودة، أو حتى ما له

385
00:26:45,800 --> 00:26:49,940
نهاية لو قلنا فقط لا يساوي صفر يكفي لإنه لأ، لإن

386
00:26:49,940 --> 00:26:53,800
ما له نهاية لا تساوي صفر، وبالتالي series ال diverge

387
00:26:53,800 --> 00:26:56,880
summation n زائد 1 على n، ال limit لل an هنا

388
00:26:56,880 --> 00:27:00,660
يساوي 1 لإن درجة البسط تساوي درجة المقام، فبناخد

389
00:27:00,660 --> 00:27:04,040
المعاملات، limit هي يساوي 1 برضه، ال 1 لا تساوي

390
00:27:04,040 --> 00:27:06,860
صفر، يبقى ال limit لا يساوي صفر، إذا ال series ده

391
00:27:06,860 --> 00:27:10,260
يعني diverge، ال summation ناقص 1 أس n زائد

392
00:27:10,260 --> 00:27:14,140
1 برضه هدي diverge، ليش؟ لإن ال limit لـ ناقص 1

393
00:27:14,140 --> 00:27:17,820
أس n زائد 1 يا 1 يا سالب 1، لإن في ما لا

394
00:27:17,820 --> 00:27:21,560
نهاية يا ناقص 1 بتبقى عدد زوجي أو عدد فردي

395
00:27:21,560 --> 00:27:24,920
وبالتالي يا 1 يا سالب 1، إذا ال limit تبعي

396
00:27:24,920 --> 00:27:26,900
does not exist، وبالتالي ال series diverge

397
00:27:27,770 --> 00:27:31,250
Summation ناقص n على 2n زائد 1، برضه limit لهذا

398
00:27:31,250 --> 00:27:35,430
المقدار ال an يساوي ناقص نصف، ما لا نهاية ناقص نصف لا

399
00:27:35,430 --> 00:27:40,050
تساوي صفر، وبالتالي ال series تبعتنا برضه diverge

400
00:27:40,050 --> 00:27:44,370
هي استخدمنا ال test ال an في إيجاد إن ال series

401
00:27:44,370 --> 00:27:47,430
تبعتي converge أو diverge، وهذا أسهل test ممكن

402
00:27:47,430 --> 00:27:53,600
يستخدمه لإنه بمجرد النظر بنقدر نوجد ال limit ال an

403
00:27:53,600 --> 00:27:56,340
في بعض خواص ل ال series اللي هو ال combining

404
00:27:56,340 --> 00:28:03,260
series، كيف ممكن احنا نجمع series أو نطرحها، لإن لو

405
00:28:03,260 --> 00:28:06,280
كانت ال series summation على ال AN، طبعا هنا في من

406
00:28:06,280 --> 00:28:10,860
1 لما لنهاية، من 0 لما لنهاية، المهم في index لكن بغض

407
00:28:10,860 --> 00:28:14,300
النظر عن ال index، المهم هي infinite series طبعا، ال

408
00:28:14,300 --> 00:28:17,220
a n، إذا كانت summation على a يساوي a، يعني ال

409
00:28:17,220 --> 00:28:20,080
series هي تبعت converge، لإن ال summation موجودة و

410
00:28:20,080 --> 00:28:23,540
يساوي a، وال a عدد حقيقي، and summation لل bn يساوي

411
00:28:23,540 --> 00:28:27,040
b، يعني برضه ال series تبعت ل bn برضه converge are

412
00:28:27,040 --> 00:28:31,760
convergence، even then ال summation ل an زائد bn

413
00:28:31,760 --> 00:28:35,100
بقدر أوزع ال summation على ال an وال bn، يساوي ال

414
00:28:35,100 --> 00:28:37,740
summation لل an زائد ال summation لل bn، يعني يساوي a

415
00:28:37,740 --> 00:28:41,700
زائد b، يبقى بنقدر نوزع على الجمع، إذا كانت كل من ال

416
00:28:41,700 --> 00:28:45,040
summation لل an و ال summation لل bn كل there، و

417
00:28:45,040 --> 00:28:48,460
الطرح كمان بقدر أوزع ال series على الطرح، بقول ال

418
00:28:48,460 --> 00:28:51,560
summation لل an ناقص ال summation لل bn، يعني a ناقص

419
00:28:51,560 --> 00:28:56,360
b، وبرضه لو كانت ال series a and a converged، فلما

420
00:28:56,360 --> 00:29:00,640
أضربها في k فبرضه بتظلها converged، بيصير k في a، إذا 

421
00:29:00,640 --> 00:29:04,180
الـ a and a converged لو ضربناها في أي constant k

422
00:29:04,180 --> 00:29:08,600
طبعًا لا تساوي صفرًا أو ساوي صفر ما هي تطلع الـ series

423
00:29:08,600 --> 00:29:13,700
صفر أي constant k بتظل الـ series تبعنا converged

424
00:29:13,700 --> 00:29:17,900
فعشان الحلقة كيف تبدأ بتكون diverged تعالوا نشوف في

425
00:29:17,900 --> 00:29:22,280
هذه الملاحظات الملاحظتين بتقول المتحققين every non

426
00:29:22,280 --> 00:29:25,200
zero constant multiple of a divergence series

427
00:29:25,200 --> 00:29:29,380
diverges يعني أي series diverse لو ضربناها

428
00:29:29,380 --> 00:29:33,200
بـ constant بتظلها diverse زي ما برضه الـ series لو

429
00:29:33,200 --> 00:29:36,520
كانت convergent ضربناها بـ constant بتظلها convergent

430
00:29:36,520 --> 00:29:40,460
لو الـ series diverse ضربناها بـ constant بس عدى الصفر

431
00:29:40,460 --> 00:29:46,020
بتظلها diverse طيب هذه أول واحدة نمر لـ اثنين إذا 

432
00:29:46,020 --> 00:29:50,450
كانت الـ summation للـ an convergent لكن الـ summation للـ bn 

433
00:29:50,450 --> 00:29:55,810
دا diverse فالجمع أو الطرح both diverse يبقى لو

434
00:29:55,810 --> 00:29:59,550
كانت واحدة converge والثانية diverse فجمعناها

435
00:29:59,550 --> 00:30:05,420
وطرحناها بيبقى الـ series بتكون diverge طيب لو

436
00:30:05,420 --> 00:30:08,160
كانت الاثنتين .. طبعًا النظرية اللي قبل بتقول أن

437
00:30:08,160 --> 00:30:12,740
الاثنتين converge فالمجموع والطرح converge وعلى

438
00:30:12,740 --> 00:30:15,420
الضرب الـ constant لو كانت هذه converge ضربناها بـ

439
00:30:15,420 --> 00:30:18,280
constant بتظل converge لو كانت الـ two series

440
00:30:18,280 --> 00:30:21,760
converge مجموعهم converge وطريقهم converge لو كانت

441
00:30:21,760 --> 00:30:25,360
واحدة converge والثانية diverge مجموعهم diverse

442
00:30:25,360 --> 00:30:29,400
وطريقهم برضه diverse لو كانوا الاثنتين diverse هل

443
00:30:29,400 --> 00:30:33,280
بقدر أوزع الـ summation؟ لأ ما نقدرش نوزعها امتى وزعنا 

444
00:30:33,280 --> 00:30:36,240
الـ summation؟ وزعنا الـ summation في حالة واحدة على الأقل

445
00:30:36,240 --> 00:30:39,060
تكون converge يعني يا الاثنتين converge يا واحدة

446
00:30:39,060 --> 00:30:42,040
converge واحدة diverse بنوزع الـ summation وبنعرف 

447
00:30:42,040 --> 00:30:45,860
المجموع إيش بيطلع إذا كانت واحدة منهم diverse

448
00:30:45,860 --> 00:30:49,500
بتكون diverse إذا كانوا الاثنتين converge بتكون

449
00:30:49,500 --> 00:30:52,550
المجموع أو الطرح converge طب لو كان الاثنتين

450
00:30:52,550 --> 00:30:55,870
diverge هل هذا يؤدي أنّه diverge أو diverge؟ لأ

451
00:30:55,870 --> 00:30:59,450
هذا لا يؤدي أنّه diverge يبقى ولا بنقدر نوزع

452
00:30:59,450 --> 00:31:03,130
الـ summation اللي يبقى الـ summation للـ an زي الـ bn أو الطرح 

453
00:31:03,130 --> 00:31:07,770
can converge when الـ summation للـ an and الـ summation للـ bn

454
00:31:07,770 --> 00:31:12,950
both diverge يعني ممكن يكون converge المجموع ولما

455
00:31:12,950 --> 00:31:16,390
يكون الاثنتين diverge لما يكون الـ both diverge ممكن 

456
00:31:16,390 --> 00:31:20,250
المجموع يكون converge وممكن المجموع يكون diverse،

457
00:31:20,250 --> 00:31:23,890
يبقى ما نعرفش في هذا الكلام ومثال على ذلك، لو أخذنا

458
00:31:23,890 --> 00:31:27,550
الـ summation للـ -an 1 زائد 1 زائد 1 إلى ما لا نهاية والـ

459
00:31:27,550 --> 00:31:31,770
-bn ناقص واحد ناقص واحد ناقص واحد إلى ما لا نهاية،

460
00:31:31,770 --> 00:31:35,370
الآن الـ summation للـ -an طبعًا diverse

461
00:31:45,260 --> 00:31:50,000
بالتالي إذا استخدمنا الـ sn من المجموعات الـ sn من

462
00:31:50,000 --> 00:31:55,980
المجموعات مجموعهم n الـ limit للـ n يساوي ما له نهاية

463
00:31:55,980 --> 00:31:59,860
ناقص 1 ناقص 1 ناقص 1 n من المرات مجموعها ناقص n

464
00:31:59,860 --> 00:32:03,900
ناقص n الـ limit هـ سالب ما له نهاية وبالتالي الاثنتين

465
00:32:03,900 --> 00:32:08,280
هدول diverse لكن لو جمعتهم الـ summation الـ an زائد bn

466
00:32:08,280 --> 00:32:12,460
يصير 1 وناقص واحد واحد مع ناقص واحد بيروحوا مع بعض

467
00:32:12,460 --> 00:32:15,220
واحد مع ناقص واحد بيروحوا واحد مع ناقص واحد

468
00:32:15,220 --> 00:32:18,320
بيروحوا إيش بيبقى صفر زائد صفر زائد صفر بيبقى 

469
00:32:18,320 --> 00:32:21,840
converge to zero يبقى الاثنتين in the serial كل

470
00:32:21,840 --> 00:32:25,500
واحدة منهم diverge ولكن مجموعهم converge المجموع

471
00:32:25,500 --> 00:32:31,410
تبعهم converge إذا في حالة الاثنتين diverse ليجوز

472
00:32:31,410 --> 00:32:35,430
توزيع الـ series بالمرة لازم نجمعهم الاثنتين مع بعض

473
00:32:35,430 --> 00:32:40,630
نعتبرهم term واحدة دولة ونشوف إيش بيطلع هل هي

474
00:32:40,630 --> 00:32:45,570
converge أو diverge نشوف هذه الأمثلة على هذه

475
00:32:45,570 --> 00:32:50,150
النظرية show that الـ summation 2 على 4 أس n ناقص

476
00:32:50,150 --> 00:32:53,190
واحد على 8 أس n ناقص 1 convergence alpha and

477
00:32:53,190 --> 00:32:59,670
find its sum الآن هذه an ناقص bn امتى بتكون هذه الـ

478
00:32:59,670 --> 00:33:02,490
series converge اثبت أنها امتى بتكون converge إذا

479
00:33:02,490 --> 00:33:05,650
كان هذه الـ series عليها دي لحالها converge والـ

480
00:33:05,650 --> 00:33:10,630
series عليها دي لحالها converge الآن لو إيدينا

481
00:33:10,630 --> 00:33:13,330
وزعنا الـ series هاد الـ series عبارة عن 2 في ربع

482
00:33:13,330 --> 00:33:17,770
أس n 4 أس n اللي هي ربع يعني كلها أس n ناقص هاد

483
00:33:17,770 --> 00:33:21,250
عبارة عن 8 أس n ناقص 1 الآن هاد عبارة عن geometric

484
00:33:21,250 --> 00:33:25,570
series الـ a تساوي اللي هي أول حد لما n تساوي 1

485
00:33:25,570 --> 00:33:31,170
قلنا دائمًا الـ a هي بعوض الأول حد 2 في ربع يبقى 2 في

486
00:33:31,170 --> 00:33:35,170
ربع هي عبارة عن الـ a والـ r تساوي ربع يبقى الربع

487
00:33:35,170 --> 00:33:37,850
أقل من 1 وبالتالي converged يبقى هذه geometric

488
00:33:37,850 --> 00:33:41,090
series لأن هذه كمان geometric series الـ a طبعًا

489
00:33:41,090 --> 00:33:45,490
تساوي لما الـ n تساوي واحد ثمون أست ستر يعني واحد

490
00:33:45,490 --> 00:33:48,670
يبقى الـ a تساوي 1 الـ absolute الـ r أو الـ r اللي 

491
00:33:48,670 --> 00:33:51,270
هي تساوي ثمون أقل من 1 وبالتالي الـ series برضه

492
00:33:51,270 --> 00:33:53,630
converged يبقى هذه الـ series converged وهذه الـ

493
00:33:53,630 --> 00:33:56,530
series converged عشان هيك قدرنا نوزع الـ summation

494
00:33:56,530 --> 00:34:00,930
على هذه وهذه وزعناهم هي قدرنا هذه تساوي هذه ليش

495
00:34:00,930 --> 00:34:04,330
وزعنا الـ summation لأن هذي converge وهذي converge

496
00:34:04,330 --> 00:34:08,750
قدرنا نوزعهم وبالتالي طرح حاصل طرحهم converge

497
00:34:08,750 --> 00:34:13,730
فبقدر نوجد مجموعهم الآن اللي هي مجموعة ميساوي a

498
00:34:13,730 --> 00:34:17,950
على 1 ناقص r قلنا a هي برعن 2 في ربع على 

499
00:34:17,950 --> 00:34:21,390
1 ناقص r اللي هي ربع ناقص الـ a اللي هنا 1

500
00:34:21,390 --> 00:34:24,250
على 1 ناقص r اللي هي في الـ series الثانية تمامًا

501
00:34:24,640 --> 00:34:31,040
نجمع هذه وهذه يظهر أن الجواب ناقص 10 على 21 السؤال 

502
00:34:31,040 --> 00:34:35,640
الثاني في هذا الموضوع اللي هو الـ summation لـ an زي b

503
00:34:35,640 --> 00:34:39,020
n مجموعة two series اثنين اثنين زي 2 ع 3

504
00:34:39,020 --> 00:34:42,080
اثنين لأن هذه الـ series هي عبارة عن geometric

505
00:34:42,080 --> 00:34:45,760
series الـ r تساوي 2 أكبر من 1 diverse يبقى

506
00:34:45,760 --> 00:34:48,840
أنا طالما ما عملتش الشروط اللي أوزع الـ summation على

507
00:34:48,840 --> 00:34:52,520
هذه وهذه ليش لأن هذه الـ series ما نقدرش نوزعها إلا

508
00:34:52,520 --> 00:34:57,180
إذا كانت الثلاث موجود مجموعة كل واحدة لحالها وبعدين

509
00:34:57,180 --> 00:35:00,540
نجمعهم لكن هذه الـ series تبعاتنا هيش diverge

510
00:35:00,540 --> 00:35:03,760
ما فيش مجموعة لها لأن 2 ع 3 هذه برضه

511
00:35:03,760 --> 00:35:06,100
geometric series الـ r و 2 ع 3 أقل من

512
00:35:06,100 --> 00:35:09,360
1 الـ series تبعتها converge لأن هذه diverge

513
00:35:09,360 --> 00:35:12,880
وهذه converge وقد أن مجموعهم له diverge لذلك

514
00:35:12,880 --> 00:35:16,260
ما فيش مجموعة لهم المجموعة تبعنا diverge لأن

515
00:35:16,260 --> 00:35:18,500
واحدة diverge والثانية converge

516
00:35:22,740 --> 00:35:27,620
الآن باقي الـ section بس يعني كيف بنتعامل مع بعض خواص

517
00:35:27,620 --> 00:35:31,660
من الـ series adding on or deleting terms الآن من

518
00:35:31,660 --> 00:35:35,320
خاصية الـ series يعني إذا كانت الـ series تبع الـ am

519
00:35:35,320 --> 00:35:40,440
مثلًا هاي series روحت شيلت منهم بعض الـ terms يعني

520
00:35:40,440 --> 00:35:41,360
روحت 

521
00:35:43,630 --> 00:35:48,130
بعد عشر terms مثلًا شيلت منهم عشر terms زائد هذه 

522
00:35:48,130 --> 00:35:50,910
series هل الآن الـ series هذه اللي شيلت منها عشر

523
00:35:50,910 --> 00:35:54,390
terms الـ series هذه إذا كانت الـ summation على هذه 

524
00:35:54,390 --> 00:35:57,710
converge فلو شيلت منهم terms بتظلها converge هذه

525
00:35:57,710 --> 00:36:01,310
بتظلها converge طب هذه الـ series بتظلها هدول طلعت

526
00:36:01,310 --> 00:36:04,750
هذه الـ series إذا كانت هذه الـ series converge وضفت 

527
00:36:04,750 --> 00:36:08,090
عدد محدود من الـ terms بتظلها الـ series هذه converge

528
00:36:09,460 --> 00:36:14,080
عدد محدود من الـ terms أو طرح عدد محدود من الـ terms

529
00:36:14,080 --> 00:36:17,340
من الـ series لا يؤثر على الـ convergence للـ series

530
00:36:17,340 --> 00:36:19,780
إذا كانت converge بتظلها converge وإذا كانت

531
00:36:19,780 --> 00:36:21,960
diverge بتظلها diverge

532
00:36:27,220 --> 00:36:30,560
الآن هنا بقولنا use الـ summation لـ 2 ع 3 أس n سوا

533
00:36:30,560 --> 00:36:33,720
1 مجموعة هدف سوا 1 to find the sum of the series

534
00:36:33,720 --> 00:36:37,720
من n تساوي 4 الآن شوف هذه الـ series converge لـ 1 

535
00:36:37,720 --> 00:36:40,640
الآن طبعًا هنا الـ series هذي بدلناها من 4

536
00:36:40,640 --> 00:36:44,460
يعني شيلنا من هذه أول 3 حدود بتظل هذه الـ

537
00:36:44,460 --> 00:36:47,100
series برضه converge مدام هذي converge شيلنا منها

538
00:36:47,100 --> 00:36:50,660
حدود بتظلها converge الآن بدنا احنا نطلع المجموع من

539
00:36:50,660 --> 00:36:54,840
n تساوي 4 المجموع اللي series إنّه من n تساوي 4 هي 

540
00:36:54,840 --> 00:36:59,440
المجموع من n تساوي 1 وبدنا نطرح أول 3 حدود لأن

541
00:36:59,440 --> 00:37:04,100
هذي من 4 من 4 بقى فبدنا المجموع من 4 باخد الكل

542
00:37:04,100 --> 00:37:08,760
ناقص أول 3 حدود بنعوض بـ n تساوي 1 بعدين 2 بعدين

543
00:37:23,660 --> 00:37:32,060
آخر خاصية هي re indexing يعني إعادة إيش 

544
00:37:32,060 --> 00:37:35,480
هيكلة الـ index تبع الـ summation إيش الـ index تبع 

545
00:37:35,480 --> 00:37:38,750
الـ summation ليها هذا الـ index البداية هذه n تساوي 

546
00:37:38,750 --> 00:37:42,190
1 بدناها من شيء ثاني يعني وانحافظ على نفس الـ

547
00:37:42,190 --> 0:37:45,570
serial تكون هي هي الـ serial بس بدّه أغير الـ index

548
00:37:45,570 --> 00:37:48,850
يعني بدل ما أبدها من n تساوي 1 بدّه أبدها من n

549
00:37:48,850 --> 00:37:53,050
تساوي 10 مثلًا كويس فبس أحافظ إن الـ serial هذه 

550
00:37:53,050 --> 00:37:57,370
تساوي هذه تطلع نفس المفكوك تبعها بالشكل هذا الآن

551
00:37:57,370 --> 00:38:00,090
إذا كانت هذه من 1 وبده أبدها من 1 زائد h

552
00:38:00,090 --> 00:38:04,030
زائد h يعني بدي أضيف على الـ 1 مثلًا بدي أضيف كمان

553
00:38:04,030 --> 00:38:06,950
1 يعني أنت بدي أبدها من n تساوي 2 بدي أضيف

554
00:38:06,950 --> 00:38:09,910
كمان بعد الـ 1 ثلاثة يعني كإن أبدأ بـ n تساوي

555
00:38:09,910 --> 00:38:13,610
4 لأن إذا كان ضيفة اللي بضيفه هنا الـ h بضيفها 

556
00:38:13,610 --> 00:38:17,390
على الـ index بروح بطرحها من الـ n اللي جوا بتصير a

557
00:38:17,390 --> 00:38:22,790
n ناقص h لأن لو عوضت هادي بطلع نفسه ولو عوضت بها

558
00:38:22,790 --> 00:38:29,510
دي بطلع نفسه الآن وإذا .. إذا كان 1 طرحت 1 الـ

559
00:38:29,510 --> 00:38:33,110
n طبعًا من n ثواب 1 وأنا بتبدأها من رقم آخر بدي 

560
00:38:33,110 --> 00:38:36,230
أطرح 1 ناقص h بروح الـ n هنا وبأضود h يبقى 

561
00:38:36,230 --> 00:38:40,250
العملية لهنا بتكون عكس هذه، طرحت هنا، هنا بضرب، زودت

562
00:38:40,250 --> 00:38:43,130
هنا هنا بقى أطرح وبتطلع في هذه الحالة نفس ال

563
00:38:43,130 --> 00:38:48,370
Series يعني مثلا لو احنا بدنا نكتب الـ summation 3

564
00:38:48,370 --> 00:38:54,120
على 9 و S N in the form الـ summation لـ A K من خمسة

565
00:38:54,120 --> 00:38:58,500
واحد، بدل ما هي مبدوءة من خمسة بدنا نبدأها من واحد

566
00:38:58,500 --> 00:39:03,060
لحيث إننا نحافظ عليها تطلع نفس الـ series لأ من

567
00:39:03,060 --> 00:39:05,540
خمسة بدأ أبدأها من واحد يعني من الخمسة بدأ أطرح

568
00:39:05,540 --> 00:39:09,040
منها أربعة، طرحنا أربعة يبقى هنا على الـ N اللي هنا

569
00:39:09,040 --> 00:39:13,040
بدنا نزود الـ N ونقول N زائد أربعة، يبقى بس بنحط هنا

570
00:39:13,040 --> 00:39:16,820
N زائد أربعة وهنا بننقص ايش؟ أربعة يعني بتبدأ ال

571
00:39:16,820 --> 00:39:21,970
series من واحد، طبعا هذا اللي باقي زيادة إنه أنا جبت

572
00:39:21,970 --> 00:39:26,390
الـ ... الـ ... هذه عرفتلها geometric series زيادة هذا

573
00:39:26,390 --> 00:39:30,670
الكلام تلاتة على تسعة أقصى أربعة في تسعة أقصى N

574
00:39:30,670 --> 00:39:35,050
فعملناها ايه؟ فهذه الـ A N تساوي واحد اه لما N

575
00:39:35,050 --> 00:39:39,350
تساوي واحد يعني الـ A تبعتي تسعة تلاتة على تسعة

576
00:39:39,350 --> 00:39:42,470
أقصى خمسة يبقى الـ A هي تلاتة على تسعة أقصى خمسة

577
00:39:42,470 --> 00:39:45,570
وطبعا الـ A عبارة عن تسعة أقل من الـ واحد يعني الـ

578
00:39:45,570 --> 00:39:49,520
series تبعتنا كله، طبعا هنا ممكن برضه الـ series هذه

579
00:39:49,520 --> 00:39:52,420
نبدأها من صفر لو إجينا بدناها من صفر، ايش يعني بدنا

580
00:39:52,420 --> 00:39:56,120
نعمل؟ يعني بدنا نطرح واحد، يبقى بدنا نطرح ايش؟

581
00:39:56,120 --> 00:39:59,580
واحد، لما أطرح واحد، ناقص واحد تصير صفر، ايش بدنا

582
00:39:59,580 --> 00:40:02,340
نعمل في الـ N اللي هنا؟ بدنا نزود واحد، فبتصير N

583
00:40:02,340 --> 00:40:06,460
زائد واحد، فهذه عملية أخرى مش مطلوبة بالسؤال، بس 

584
00:40:06,460 --> 00:40:10,990
عملنا على نفس السؤال، هنا الخمسة طرحنا أربعة هنا

585
00:40:10,990 --> 00:40:15,210
الواحد طرحنا واحد عشان نبدأ من صفر وبهيك بنكون

586
00:40:15,210 --> 00:40:17,850
خلصنا الـ section الأول من الـ series