PL9fwy3NUQKwYd6gznbXUdYHgGQaov9O9i/86PHYcQ1EkA.srt

1
00:00:00,890 --> 00:00:04,110
بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله بنكمل في

2
00:00:04,110 --> 00:00:07,990
شبتر سبعة Transcendental Functions سكشن سبعة

3
00:00:07,990 --> 00:00:14,590
ثلاثة راح ناخد اليوم نصف السكشن جزء منه سكشن سبعة

4
00:00:14,590 --> 00:00:19,130
ثلاثة بحكي عن الـ Exponential Function سواء كانت

5
00:00:19,130 --> 00:00:21,730
اللي بنسميها الـ Nature الـ Exponential Function أو

6
00:00:21,730 --> 00:00:24,870
الـ General Exponential Function وكمان راح نحكي عن

7
00:00:24,870 --> 00:00:29,120
الـ Inverse للـ General Exponential Function يعني

8
00:00:29,120 --> 00:00:34,240
الموضوع هذا طويل شويّة التكاشن البعض فبتكونوا 

9
00:00:34,240 --> 00:00:37,440
تنتبهوا إليه راح اليوم نحكي الجزء الأول منه عن الـ

10
00:00:37,440 --> 00:00:43,200
Exponential فقط أول شيء بدنا نعرف اللي هو ال

11
00:00:43,200 --> 00:00:46,920
Inverse للـ Ln X إيش هو الـ Inverse تبع Ln X 

12
00:00:46,920 --> 00:00:50,720
طبعاً Ln X بنعرف إنه Ln X هي Increasing

13
00:00:50,720 --> 00:00:54,590
Function والـ Domain لها من صفر إلى ما لا نهاية و ال

14
00:00:54,590 --> 00:00:57,650
Range لها من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية

15
00:00:57,650 --> 00:01:00,530
وبالتالي بما أنّ هي Increasing Function يبقى هي One

16
00:01:00,530 --> 00:01:04,030
to One وبالتالي في لها Inverse مثلاً لو بدنا نصنعه

17
00:01:04,030 --> 00:01:07,590
لأن Ln Inverse X طبعاً الـ Domain تبعها راح يكون هو

18
00:01:07,590 --> 00:01:11,550
الـ Range تبع الـ Ln اللي هو كل الأعداد الحقيقية و

19
00:01:11,550 --> 00:01:13,910
الـ Range لها من صفر إلى ما لا نهاية

20
00:01:21,240 --> 00:01:27,080
بنرسم خط Y تساوي X وبنعكسها عليها بنرسم Ln X 

21
00:01:27,080 --> 00:01:31,580
وبنعكسها على خط Y تساوي X اللي راح نشوفه وردنا كمان

22
00:01:31,580 --> 00:01:36,760
شويّة بالرسم بس ناخذ شويّة معلومات لأن لو أجينا

23
00:01:36,760 --> 00:01:40,380
Limit لـ Ln Inverse X لما X تؤول لما لا نهاية طبعاً Ln 

24
00:01:40,380 --> 00:01:45,030
Inverse معرفة من سالب ما لا نهاية بتروح

25
00:01:45,030 --> 00:01:48,950
للسفر وما لا نهاية بتروح لما لا نهاية يعني الـ Ln

26
00:01:48,950 --> 00:01:56,390
Inverse في السالب ما لا نهاية الـ Limit لها صفر وفي

27
00:01:56,390 --> 00:02:01,030
الما لا نهاية ما لا نهاية فبالتالي الـ Ln Inverse لن

28
00:02:01,030 --> 00:02:04,450
الما لا نهاية ما لا نهاية لكن الـ Ln Inverse للسالب

29
00:02:04,450 --> 00:02:10,490
ما لا نهاية برجع صفر يعني عكس الـ Ln عكس الـ Ln الآن

30
00:02:10,490 --> 00:02:14,870
Ln Inverse هذه بدنا نرمز لها برمز آخر بدل ما نكتبها

31
00:02:14,870 --> 00:02:19,530
Ln Inverse بهذا الشكل بدنا نرمز لها برمز E  X

32
00:02:19,530 --> 00:02:26,190
Exponential of X  E X يعني Exponential of X إذا 

33
00:02:26,190 --> 00:02:31,650
هذه Exponential of X هي رمز لـ Ln Inverse X لـ Ln Inverse 

34
00:02:31,650 --> 00:02:38,040
X الآن بدنا نثبت أنّ الـ Exponential of X هي E 

35
00:02:38,040 --> 00:02:42,820
Exponential هي E برة عن E يعني E Exponential of X

36
00:02:42,820 --> 00:02:47,440
هي E with X الآن تعالوا نشوف كده أول شيء العدد اللي 

37
00:02:47,440 --> 00:02:52,780
هو E was defined to satisfy the equation Ln E 

38
00:02:52,780 --> 00:02:56,300
يساوي واحد بنعرف أنّ Ln E يساوي واحد أخذنا الـ 

39
00:02:56,300 --> 00:03:02,960
Section اللي فات له أخذنا الـ E من هذه الـ E هي الـ 

40
00:03:02,960 --> 00:03:06,260
Exponential of واحد يعني من هنا الـ E الـ Ln

41
00:03:06,260 --> 00:03:08,920
بتأخذ الـ E بتوديها للواحد وبالتالي الـ Inverse

42
00:03:08,920 --> 00:03:11,840
الـ Ln Inverse بتأخذ الواحد بترجعها إيش للـ E

43
00:03:11,840 --> 00:03:14,500
الـ Ln Inverse هي الـ Exponential يعني الـ

44
00:03:14,500 --> 00:03:18,480
Exponential للواحد يتساوي إيش E وبالتالي E of واحد 

45
00:03:18,480 --> 00:03:22,760
يساوي E يعني لو شفت يعني E قوّة واحد يعني يعني لو 

46
00:03:22,760 --> 00:03:25,380
شيلت الواحد من هنا وحطيت بدلها X بتصير 

47
00:03:25,380 --> 00:03:29,160
Exponential of X بتصير هذه E بدل أس واحد بنحط

48
00:03:29,160 --> 00:03:34,500
إيش X يعني مثلاً بدنا E تربيع هي Exponential لـ 2 E

49
00:03:34,500 --> 00:03:38,400
تكعيب هي الـ Exponential لـ 3 E أس سالب واحد هي الـ

50
00:03:38,400 --> 00:03:40,980
Exponential لـ سالب واحد وهكذا E أس نصف هي الـ

51
00:03:40,980 --> 00:03:45,620
Exponential للنصف 

52
00:03:45,620 --> 00:03:47,020
يعني جذر الـ E

53
00:03:50,610 --> 00:03:55,650
فبالتالي إذا معنى هذا الكلام أنّ ممكن أنا أرفع الـ 

54
00:03:55,650 --> 00:04:00,950
E أس R لأيّ Positive Number E طبعاً الـ E هذه هي أصلاً 

55
00:04:00,950 --> 00:04:07,370
تقريباً لـ 2.7 من 10 E أس R برضه بتكون عدد موجب E 

56
00:04:07,370 --> 00:04:14,170
بما أنّها هي أصلاً الـ E موجبة والـ R أيّ عدد حقيقي بما أنّ

57
00:04:14,170 --> 00:04:18,030
E موجبة وحتى لو كانت عدد سالب هنا بيبقى E أس R 

58
00:04:18,030 --> 00:04:22,330
موجبة مثلاً هنا قلنا E أس سالب اثنين إيش يساوي واحد

59
00:04:22,330 --> 00:04:27,570
على E تربيع موجبة E أس نصف موجبة E تربيع موجبة و

60
00:04:27,570 --> 00:04:31,670
هكذا بما أنّ الـ E نفسها موجبة فـ E أرفعها أس أيّ عدد

61
00:04:31,670 --> 00:04:36,310
سواء كان موجب أو سالب بيبقى موجبة So we can take

62
00:04:36,310 --> 00:04:40,230
the Logarithm of E أس R إذا بما أنّ E أس R دائماً 

63
00:04:40,230 --> 00:04:44,430
موجبة إذا ممكن أنا آخذ لها الـ Ln لن E أُس R

64
00:04:44,430 --> 00:04:49,230
إذا معنى هذا الكلام E أُس R لو جئت أخذت لها Ln E 

65
00:04:49,230 --> 00:04:52,970
أُس R يبقى هنا معرفة لن لأن هذا العدد موجب E 

66
00:04:52,970 --> 00:04:57,170
أُس R موجبة باستخدام قوانين Ln إيش بتصير الـ R هنا 

67
00:04:57,170 --> 00:05:02,810
بتيجي هنا فبتصير R Ln E Ln E واحد تطلع مع 

68
00:05:02,810 --> 00:05:07,930
إيش R إذا الـ Ln عملنا لها Composite مع الـ E أُس R

69
00:05:07,930 --> 00:05:10,310
إيش طلعت R طلعت إيش R

70
00:05:14,690 --> 00:05:20,910
الآن لو جئت أنا E أُس R إذا الـ E أُس R هي عبارة 

71
00:05:20,910 --> 00:05:25,490
عن الـ Exponential of R إذا

72
00:05:25,490 --> 00:05:30,520
الـ E لو أرفعها لأيّ عدد هي عبارة عن الـ E أُس R

73
00:05:30,520 --> 00:05:33,520
والتي أثبتناها من هنا E لأنها تساوي E Exponential

74
00:05:33,520 --> 00:05:37,540
of واحد أشيل الواحد وأضع بدله أيّ متغير تظهر E أُس

75
00:05:37,540 --> 00:05:41,680
هذا المتغير وبالتالي الـ Exponential of R هي عبارة 

76
00:05:41,680 --> 00:05:44,680
عن E أُس R وبالتالي أثبتنا هنا أنّ الـ Exponential

77
00:05:44,680 --> 00:05:45,900
هي شكل E 

78
00:05:49,180 --> 00:05:52,960
فالـ Definition بقول لـ For every real number X we 

79
00:05:52,960 --> 00:05:56,400
define the natural exponential function to be E أس

80
00:05:56,400 --> 00:05:59,060
X هي عبارة عن الـ Exponential of X الشرح اللي

81
00:05:59,060 --> 00:06:05,170
شرحناه قبل هي كان كله هذا كله إيه؟ بقول لي على أنّ الـ 

82
00:06:05,170 --> 00:06:09,590
E of X هي عبارة عن الـ Exponential of X إذا إذا الـ

83
00:06:09,590 --> 00:06:13,250
Exponential of X هي من؟ هي الـ Ln Inverse كمان الـ

84
00:06:13,250 --> 00:06:17,730
Exponential of X هو Ln Inverse يعني الـ Inverse 

85
00:06:17,730 --> 00:06:22,930
تبع الـ Ln X هي E of X يعني E of X و Ln X هم

86
00:06:22,930 --> 00:06:28,750
Inverse لبعض إذا معناه الـ E of X and Ln X الاثنتين

87
00:06:28,750 --> 00:06:32,230
Inverse لبعض يبقى لو عملت Composite بين الاثنتين

88
00:06:32,490 --> 00:06:35,930
بيطلع إيه؟ عشان X يعني E مع الـ Ln بدي أعمل

89
00:06:35,930 --> 00:06:39,250
Composite أشيل الـ X تبع الـ E وأحط بدلها Ln X

90
00:06:39,250 --> 00:06:43,610
يعني E أُس Ln X إيش بيطلع؟ X طبعاً هنا هذه فقط

91
00:06:43,610 --> 00:06:48,360
معرفة إذا كانت الـ X موجبة لأن X داخل الـ Ln طيب لو

92
00:06:48,360 --> 00:06:51,640
بدأت بالـ Ln بشيل الـ X تبع الـ Ln وأحط بدالها E أس

93
00:06:51,640 --> 00:06:56,000
X فبتصير Ln من E أس X، إيش تساوي؟ X طبعاً هذه معرفة

94
00:06:56,000 --> 00:07:00,580
For all X إذا الـ Composite يعني F Composite F 

95
00:07:00,580 --> 00:07:03,780
Inverse أو F Inverse Composite F بيطلع إيش؟ جواب X 

96
00:07:03,780 --> 00:07:06,120
لأنّهم Inverse لبعض 

97
00:07:10,130 --> 00:07:13,270
طيب نيجي يقول لنا كما قبل شويّة بدنا نرسم اللي هو ال

98
00:07:13,270 --> 00:07:16,550
Exponential Function الـ Exponential Function قولنا

99
00:07:16,550 --> 00:07:19,930
بدنا نقل اللي هي الـ Ln هي رسمة الـ Ln وبنروح

100
00:07:19,930 --> 00:07:24,710
عاملين الخط Y تساوي X وبدنا نعكس هذا الـ Ln على

101
00:07:24,710 --> 00:07:28,790
الخط Y تساوي X الآن في عندي نقاط معروفة اللي هي

102
00:07:28,790 --> 00:07:32,370
الواحد هادي واحد وصفر إيش معكوسها؟ صفر وواحد 

103
00:07:32,370 --> 00:07:36,240
فالنقطة هادي بتيجي إيش هنا بعدين الآن هذا رايح إيش

104
00:07:36,240 --> 00:07:39,460
لما لا نهاية فهذا بيروح إيش؟ لما لا نهاية بهذا الشكل

105
00:07:39,460 --> 00:07:43,560
يطلع لفوق يقترب من الـ Y لأن هذا عمال يعني قريب من

106
00:07:43,560 --> 00:07:47,820
الـ X بعدين هنا هذا بيروح لـ صفر وسالب ما لا نهاية

107
00:07:47,820 --> 00:07:51,500
معكوس صفر وسالب ما لا نهاية سالب ما لا نهاية وصفر

108
00:07:51,500 --> 00:07:56,940
فبيجي إيش؟ الجزء هذا إيش؟ بيقترب من الـ X Axis في

109
00:07:56,940 --> 00:08:01,150
السالب ما لا نهاية لو لاحظنا في الرسم إذا هذه عبارة

110
00:08:01,150 --> 00:08:05,510
عن الـ Ln Inverse X أو هي Exponential of X E أس X

111
00:08:05,510 --> 00:08:08,690
يعني رسمة E أس X لاحظوا الـ E أس X دومينها كل

112
00:08:08,690 --> 00:08:15,440
الأعداد الحقيقية أيّ عدد حقيقي أرفعه للـ E موجود ولكن

113
00:08:15,440 --> 00:08:19,020
الـ Range تبعها فقط من صفر إلى ما لا نهاية صفر 

114
00:08:19,020 --> 00:08:24,000
مفتوحة فبس بياخذ الـ E أس X فقط أكبر دائماً E أس X

115
00:08:24,000 --> 00:08:30,240
أكبر من الصفر لاحظوا بهذه الرسمة مثلاً هي الـ E لأنّ 

116
00:08:30,240 --> 00:08:35,920
الـ E يساوي 2.7 هي الواحد هنا بعدين E أس واحد E 

117
00:08:35,920 --> 00:08:39,300
أس واحد هي الواحد ونجي للإي يعني E أس واحد يساوي 

118
00:08:39,300 --> 00:08:43,780
هي إيه؟ هي صورة الواحد صورة قاع في الـ Exponential 

119
00:08:43,780 --> 00:08:49,260
إيه E أس واحد وتساوي إيه؟ E هي رسمة الـ Ln مع

120
00:08:49,260 --> 00:08:55,340
الـ Exponential Function بنشوف بعض الأمثلة مثل واحد

121
00:08:55,340 --> 00:09:00,440
بيقول Simplify the expression Ln 3 E تربيع 

122
00:09:00,440 --> 00:09:04,100
بدنا يا أخوان نبسط هذا المقدار طبعاً الـ Ln 3 أو

123
00:09:04,100 --> 00:09:08,380
E تربيع الاثنتين مضروبين في بعض الـ Ln الضرب بتحول

124
00:09:08,380 --> 00:09:12,800
إلى جمع فبتصير هذه Ln 3 زائد Ln E تربيع Ln 

125
00:09:12,800 --> 00:09:15,400
E تربيع هدول الاثنتين Composite مع بعض بتطلع

126
00:09:15,400 --> 00:09:18,560
اثنين هذا الجواب هدول مع هدول بيطلع إيش اللي فوق

127
00:09:18,560 --> 00:09:22,120
بيطلع X اللي هي الاثنين يبقى Ln E تربيع اللي هو 

128
00:09:22,120 --> 00:09:24,780
اثنين أو بالقوانين اللي Ln بتصير هدول اثنين بتيجي

129
00:09:24,780 --> 00:09:29,160
هنا اثنين Ln E يساوي اثنين أو بالـ Composite هدول

130
00:09:29,160 --> 00:09:32,700
Composite مع هدول لأنّهم Inverse لبعض بيطلع العدد

131
00:09:32,700 --> 00:09:36,480
اللي موجود هنا وبهكذا Ln 3 زائد إيش؟ اثنين 

132
00:09:36,480 --> 00:09:43,790
بُصّفناها إلى أبسط صورة ممكنة Example 2 Solve for X E

133
00:09:43,790 --> 00:09:47,110
أس 3 الجذر التربيعي لـ X زائد 1 يساوي 4 أنا بدي

134
00:09:47,110 --> 00:09:52,970
أوجد X و X موجودة على أس E عشان أنا أتخلص من E بدي

135
00:09:52,970 --> 00:09:57,450
آخذ Ln للطرفين فلو أخذت أنا Ln E أس 3 الجذر

136
00:09:57,450 --> 00:10:03,930
يساوي Ln 4 لأن Ln و E الاثنتين Inverse لبعض فال

137
00:10:03,930 --> 00:10:07,480
Composite بينهم بيطلع اللي فوق الأس اللي فوق إذا Ln 

138
00:10:07,480 --> 00:10:10,660
مع E بتضيع بعض يعني لأنّهم Inverse لبعض فبضل

139
00:10:10,660 --> 00:10:14,520
الأس 3 جذر X زائد واحد Ln 4 لو حطيناها

140
00:10:14,520 --> 00:10:19,320
2 Ln 2 أو خليناها Ln 4 بتفرج وبنقسم 

141
00:10:19,320 --> 00:10:23,400
بعدين على ثلاثة وبعدين بنربع الطرفين بروح الجذر

142
00:10:23,400 --> 00:10:26,360
بيصير X زائد واحد يساوي أربعة على تسعة لن اثنين لكل

143
00:10:26,360 --> 00:10:30,780
تربيع وبالتالي X يساوي هذا المقدار ناقص واحد

144
00:10:30,780 --> 00:10:34,000
example

145
00:10:34,000 --> 00:10:39,250
ثلاثة بقول لي solve the equation بدي أحل المعادلة

146
00:10:39,250 --> 00:10:43,150
يعني بدي أوجد قيمة X المعادلة بتبعِت بتقول لي لن ال X

147
00:10:43,150 --> 00:10:48,610
تربيع يساوي 2 لن 4 - 6 لن 2 وأنا بدي أوجد قيمة X،  ال X

148
00:10:48,610 --> 00:10:52,750
هي داخل ال لن طبعًا بالأول بدي أبسط المقدار لن X

149
00:10:52,750 --> 00:10:57,680
تربيع لو استخدمنا قوانين لن بيصير 2 لن X يساوي لن

150
00:10:57,680 --> 00:11:01,560
الأربعة اللي هي الأربعة يبقى عن 2 تربيع والتربيع

151
00:11:01,560 --> 00:11:04,440
بتيجي هنا مع الاثنين اللي بتصير أربعة يعني أربعة

152
00:11:04,440 --> 00:11:07,660
لن اثنين ناقص ستة لن اثنين لأن هذه لن اثنين وهذه

153
00:11:07,660 --> 00:11:11,460
لن اثنين ناقص ستة زائد أربعة بيطلع ناقص اثنين لن

154
00:11:11,460 --> 00:11:14,640
اثنين اثنين هذه بتروح مع اثنين هذه بضل لن ال X 

155
00:11:14,640 --> 00:11:18,460
يساوي ناقص لن اثنين يعني ناقص لن اثنين يبقى عن لن

156
00:11:18,460 --> 00:11:21,800
النصف لن ال X يساوي لن النصف نأخذ ال exponential

157
00:11:21,800 --> 00:11:24,800
للطرفين و تطلع ال X تبعتي تساوي نصف

158
00:11:28,890 --> 00:11:34,550
سؤال أربعة Solve for Y بدنا نحل يعني بالنسبة ل Y

159
00:11:34,550 --> 00:11:38,510
in terms of T بدنا نوجد Y as a function of T وهنا

160
00:11:38,510 --> 00:11:41,230
فيه الـ length عشان أتخلص من الـ length وال

161
00:11:41,230 --> 00:11:44,210
length يدخلها Y بدأ آخذ ال exponential للطرفين

162
00:11:44,210 --> 00:11:48,190
للطرفين أس E، E أس length الأربع زائد ثلاثة

163
00:11:48,190 --> 00:11:52,360
Y يساوي E أس اثنين T زائد واحد لاحظوا هنا لما برفع 

164
00:11:52,360 --> 00:11:56,200
الـ E في كثير بيرلطوا فيها إن E أس 2T زائد واحدة ده

165
00:11:56,200 --> 00:11:59,220
كله بنرفعه له الأس مش كل واحد لحاله يعني ما أقولش E أس

166
00:11:59,220 --> 00:12:04,840
2T زائد E أس واحد هذا خطأ شائع خلوا بالكم إنه لا ال

167
00:12:04,840 --> 00:12:08,680
E بنرفعه الأس هذا كله هذا بنرفعه إيه  أس E مش كل

168
00:12:08,680 --> 00:12:12,220
واحد لحاله الآن ال E مع الـ ln بضيعوا بعض لأن ال

169
00:12:12,220 --> 00:12:16,840
اثنين انفس لبعض بيضل هذا اللي جوا 4 زائد 3Y يساوي

170
00:12:16,840 --> 00:12:22,220
E أس 2T زائد 1 وبالتالي الـ Y تساوي E أس 2T زائد

171
00:12:22,220 --> 00:12:24,180
1 ناقص 4 على 3

172
00:12:28,350 --> 00:12:31,830
كمان مرة برضه Solve for Y برضه بدي أوجد قيمة Y، Y

173
00:12:31,830 --> 00:12:35,810
موجودة هنا وموجودة هنا لن ناقص لن طبعًا لما يكون

174
00:12:35,810 --> 00:12:41,750
لن ناقص لن هو لن القسمة فبيصير لن Y زي 2 على Y

175
00:12:41,750 --> 00:12:45,470
ناقص 1 يساوي Cos X فالآن لن هذه

176
00:12:49,320 --> 00:12:54,760
بقول لنا لن اللي هو اللي بآخذ لن بدي اللي جوا فبآخذ

177
00:12:54,760 --> 00:12:58,940
الـ E، E للطرفين فبيصير E أس لن Y زي 2 على Y ناقص

178
00:12:58,940 --> 00:13:02,820
واحد يساوي E أس cosine الـ E والـ ln قلنا inverse

179
00:13:02,820 --> 00:13:06,140
لبعض فبيطلع هذا اللي جوا فبيصير Y زي 2 على Y ناقص

180
00:13:06,140 --> 00:13:09,880
واحد يساوي E أس cosine الآن بدي Y و Y موجودة في

181
00:13:09,880 --> 00:13:14,120
الجهتين موجودة في الـ numerator وموجودة في المقام إما بعمل

182
00:13:14,120 --> 00:13:18,500
قسمة مطولة أو بقسم الـ numerator على المقام أو بحط هذه y

183
00:13:18,500 --> 00:13:21,880
ناقص واحد زائد ثلاثة الـ numerator بعمله بهذا الشكل على Y

184
00:13:21,880 --> 00:13:26,000
ناقص واحد وبأوزع الـ numerator على المقام فبيصير Y ناقص

185
00:13:26,000 --> 00:13:29,040
واحد على Y ناقص واحد زائد ثلاثة على Y

186
00:13:29,040 --> 00:13:33,710
ناقص واحد يساوي E Cos وبأجيب الواحد على الجهة

187
00:13:33,710 --> 00:13:37,950
الثانية وبعدين بشقله وبأضرب في ثلاثة يصبح ال Y 

188
00:13:37,950 --> 00:13:41,610
تساوي ثلاثة على E Cos X ناقص واحد وبعدين زائد

189
00:13:41,610 --> 00:13:47,250
واحد فبنشوف

190
00:13:47,250 --> 00:13:51,690
يبقى هي كده يعرفنا ال exponential function وإنها

191
00:13:51,690 --> 00:13:55,630
هي الـ inverse للـ logarithm للـ natural logarithm و

192
00:13:55,630 --> 00:13:58,090
برضه بنسميها الـ natural exponential function

193
00:13:58,090 --> 00:14:03,320
inverse للـ natural logarithm الآن بدنا نشوف إيش ال

194
00:14:03,320 --> 00:14:08,820
derivative وال integral لـ E أس X أول شيء لو احنا 

195
00:14:08,820 --> 00:14:12,540
أجينا نشوف ln الـ E أس X طبعًا معروف إنه يساوي X لو

196
00:14:12,540 --> 00:14:18,980
أجينا نفاضل الطرفين ln هاي إيش تفاضلها يساوي يساوي

197
00:14:18,980 --> 00:14:22,560
اللي هو واحد أول شيء واحد على اللي جوا واحد على E

198
00:14:22,560 --> 00:14:26,680
في تفاضل ال E اللي احنا بدنا إياها يساوي تفاضل ال X

199
00:14:26,680 --> 00:14:30,580
اللي هو واحد إذا تفاضل ال E أس X بنضرب في E أس X

200
00:14:30,580 --> 00:14:35,100
إيش بيطلع E أس X إذا المشتقة تبع ال E أس X هي

201
00:14:35,100 --> 00:14:40,240
نفسها E أس X طب لو كانت E أس U و U function of X

202
00:14:40,240 --> 00:14:44,040
وأنا بدي تفاضل بالنسبة ل X ال E بفاضلها بالأول

203
00:14:44,040 --> 00:14:47,400
بالنسبة ل U E أس U وبعدين بنضرب في تفاضل ال U 

204
00:14:47,400 --> 00:14:53,160
بالنسبة لل X طيب التكامل بما أن تفاضل الـ E هي الـ

205
00:14:53,160 --> 00:14:56,640
E فبتدي تكامل العملية العكسية تكامل الـ E برضه هي

206
00:14:56,640 --> 00:15:03,040
الـ E، E أس U D U تكاملها E أس U زائد C هي تفاضل

207
00:15:03,040 --> 00:15:07,220
وتكامل ال E نشوف الأمثلة على التفاضل والتكامل

208
00:15:07,220 --> 00:15:14,500
Find Y' if Y تساوي ln X تربيع في E أس X، Y' تساوي

209
00:15:14,500 --> 00:15:17,680
هو الشيء بين تفاضل ال ln هذا ال chain rule تفاضل 

210
00:15:17,680 --> 00:15:20,960
ال ln بعدين تفاضل ال X اللي جوا تفاضل ال ln واحد

211
00:15:20,960 --> 00:15:25,480
على اللي جوا واحد على X تربيع E أس X في تفاضل

212
00:15:25,480 --> 00:15:28,440
ال X اللي ما بداخل ال ln الأولى في تفاضل الثانية

213
00:15:28,440 --> 00:15:33,080
طبعًا تفاضل E هي نفسها زائد تفاضل X تربيع 2X في

214
00:15:33,080 --> 00:15:36,400
ال E طبعًا هنا لو دخلنا هذه جوا بيصير هذه على هذه

215
00:15:36,400 --> 00:15:42,670
واحد وهذه على هذه بيظل اثنين على X السؤال الثاني

216
00:15:42,670 --> 00:15:47,190
برضه dy/dx في تساوي E أس Tan X على E

217
00:15:47,190 --> 00:15:50,810
أس اثنين X زائد ln ال X، Y برايم يساوي طبعًا هنا

218
00:15:50,810 --> 00:15:55,510
قسمة فبنقول مقام تربيع فهي مقام تربيع بعدين مقام

219
00:15:55,510 --> 00:16:00,030
في تفاضل ال numerator ال numerator هو E أس Tan يعني E أس U إيش

220
00:16:00,030 --> 00:16:04,790
تفاضل ال E أس Tan اللي E نفسها تفاضل E أس Tan X في

221
00:16:04,790 --> 00:16:09,470
تفاضل إيش اللي هو الأس اللي تفاضل ال Tan Sec تربيع

222
00:16:09,720 --> 00:16:14,940
ناقص ال numerator E أس 2 في تفاضل المقام تفاضل المقام E

223
00:16:14,940 --> 00:16:20,000
أس 2X تفاضلها E أس 2X في تفاضل الأس 2 زي

224
00:16:20,000 --> 00:16:24,300
التفاضل اللي هو 1 على X وخلاص بنسيبها دلني هي كان

225
00:16:24,300 --> 00:16:30,990
مش ضروري أن نصورها Example 3 F of X يساوي E أس X

226
00:16:30,990 --> 00:16:35,730
زائد X بقول لي show that F of X is one to one و

227
00:16:35,730 --> 00:16:39,570
بدنا نوجد تفاضل ال F inverse عند هذه النقطة أول شيء

228
00:16:39,570 --> 00:16:43,110
سؤال إيه؟ عشان أكبر إن ال F of X is one to one هدى

229
00:16:43,110 --> 00:16:45,870
أشوف هل هي increasing أو decreasing طبعًا هذه أول

230
00:16:45,870 --> 00:16:49,950
خطوة بنعملها إنه بنشوف ال increasing وال

231
00:16:49,950 --> 00:16:53,530
decreasing بنجيب F prime F prime تفاضل E أس X E أس

232
00:16:53,530 --> 00:16:57,230
X زائد تفاضل X اللي هو واحد طبعًا ال E دائماً موجبة

233
00:16:57,230 --> 00:17:02,130
وزائد واحد عدد موجب وبالتالي دائماً أكبر من الصفر

234
00:17:02,130 --> 00:17:05,810
إذا ال F is increasing يعني في هذه الحالة F is one

235
00:17:05,810 --> 00:17:10,650
to one فبنوجد d F inverse/dx at X تساوي F of

236
00:17:10,650 --> 00:17:14,090
ln اثنين ln اثنين اللي هي ال A تبعتنا إيش يساوي

237
00:17:14,090 --> 00:17:18,530
بالقانون؟ واحد على F prime of X at X تساوي ln

238
00:17:18,530 --> 00:17:21,770
اثنين F prime هي جبناها من هنا اللي هي E أس X

239
00:17:21,770 --> 00:17:27,100
زائد واحد بقيت ln 2 بشيل ال X وبأحط بدالها ln 2

240
00:17:27,100 --> 00:17:30,480
فبتصير E أس ln 2 كومبوزيت بين ال ln وال E إيش

241
00:17:30,480 --> 00:17:33,840
يساوي اثنين هتساوي اثنين وبعدين زائد واحد اللي

242
00:17:33,840 --> 00:17:40,240
يساوي ثلاثة إذا الجواب تبعنا ثلاثة هذه تفضلتنيش

243
00:17:40,240 --> 00:17:47,540
للتكاملات evaluate the integral التكامل E 2X - E 2 - X DX

244
00:17:47,540 --> 00:17:51,760
التكامل E 2X

245
00:17:51,760 --> 00:17:58,700
E 2X على تفاضل الأس على اثنين أو بنحولها ل U بس مش

246
00:17:58,700 --> 00:18:03,320
حارزة نحولها ل U لإنه مضروبة ب constant اثنين X في

247
00:18:03,320 --> 00:18:06,260
التفاضل بنضرب في اثنين في التكامل بنقسم على اثنين

248
00:18:06,830 --> 00:18:10,210
بعدين ال E أس ناقص X تكاملها E أس ناقص X على

249
00:18:10,210 --> 00:18:14,410
تفاضل الأس اللي هي سالب فبتصير هنا إيش موجبة طبعًا

250
00:18:14,410 --> 00:18:19,870
في الآخر بنحط زائد C evaluate the integral تكامل من

251
00:18:19,870 --> 00:18:25,410
ناقص واحد لأربعة X E أس X تربيع DX لأن هنا لأن هذه

252
00:18:25,410 --> 00:18:29,450
X تربيع function فبنفرض إياها بنعمل بالتعويض نفرض

253
00:18:29,450 --> 00:18:33,210
بالأول X، U تساوي X تربيع يبقى U تساوي X تربيع و dU

254
00:18:33,210 --> 00:18:38,230
تساوي 2X DX الآن إيش بيصير التكامل E أس X تربيع

255
00:18:38,230 --> 00:18:43,550
إيه E أس U، X DX اللي هي بيصير dU على 2 يعني هنا في

256
00:18:43,550 --> 00:18:48,730
نصف بره الآن في حدود تكامل بنغير حدود التكامل لما

257
00:18:48,730 --> 00:18:53,610
نقل X تساوي سالب 1 فال U تساوي واحد لما ال X تساوي

258
00:18:53,610 --> 00:18:56,710
أربعة بتصير أربعة تربيع ال U تساوي 16 يبقى

259
00:18:56,710 --> 00:19:00,670
التكامل تبعنا من واحد إلى 16 الآن صارت التكامل

260
00:19:00,670 --> 00:19:04,770
واحد إلى 16 E أس U dU فينفذ تكامل E أس U، E

261
00:19:04,770 --> 00:19:08,650
أس U نفسها من واحد إلى 16 بعدين بنعوض عن ال U

262
00:19:08,650 --> 00:19:12,350
من 16 ناقص التعويض U تساوي واحد E أس واحد

263
00:19:16,320 --> 00:19:20,280
برضه كمان تكامل محدود التكامل من صفر إلى باي على

264
00:19:20,280 --> 00:19:26,220
أربعة E أس Sec X Sec X Tan X DX طبعًا واضح إنه بدي

265
00:19:26,220 --> 00:19:31,020
آخذ Sec X تساوي U إذا من هنا dU تساوي تفاضل ال Sec

266
00:19:31,020 --> 00:19:37,700
اللي هي Sec Tan طيب الآن بدنا نشوف التكامل لأن

267
00:19:37,700 --> 00:19:42,600
التكامل بدنا نحط بدل اللي هو E أس U وهذا كله

268
00:19:42,600 --> 00:19:47,120
إيش dU فصار التكامل تبعنا E أس U dU الآن حدود

269
00:19:47,120 --> 00:19:52,180
التكامل لما ال X تساوي صفر Sec الصفر واحد لما ال X

270
00:19:52,180 --> 00:19:54,620
تساوي باي على أربعة Sec ال باي على أربعة اللي هو

271
00:19:54,620 --> 00:19:58,360
جذر الاثنين إذا بيصير E أس U من واحد إلى جذر اثنين

272
00:19:58,360 --> 00:20:02,840
وبنعوض عن U جذر اثنين ناقص التعويض E أس واحد ناقص

273
00:20:02,840 --> 00:20:09,520
E أس واحد كمان سؤال ال evaluate the integral تكامل

274
00:20:09,520 --> 00:20:13,700
واحد على E أس ناقص X زائد أربعة DX طبعًا دليل

275
00:20:13,700 --> 00:20:18,060
التكامل هذا كيف بدأ أكامله؟ يعني ال E موجودة في

276
00:20:18,060 --> 00:20:20,960
المقام المفروض التفاضل هيكون موجود في ال numerator لو

277
00:20:20,960 --> 00:20:23,680
أنا بدي أعرف أكامل لكن التفاضل مش موجود في ال numerator

278
00:20:23,680 --> 00:20:27,160
إيش بدنا نعمل لازم نوجد إيش في ال numerator عشان نوجد

279
00:20:27,160 --> 00:20:32,860
إيش في ال numerator وهي برضه يبقى المقام ال numerator بيطلع

280
00:20:32,860 --> 00:20:37,520
تفاضل المقام بدنا نضرب E أس X على E أس X إيش بيصير 

281
00:20:37,520 --> 00:20:43,080
هنا الـ bus بيصير في E و X DX المقام E و X في E

282
00:20:43,080 --> 00:20:47,690
و سالب X يعني تجمع الأسس ناقص x زائد x اللي هي صفر

283
00:20:47,690 --> 00:20:50,870
يعني إيقوس صفر اللي هي واحد يبقى هنا إيش أول شيء

284
00:20:50,870 --> 00:20:55,030
واحد و بعدين أربعة ضرب إيقوس إكس يبقى نضرب الـ إيقوس

285
00:20:55,030 --> 00:21:00,490
إكس في الـ termين هدول فبطلع أربعة إيقوس إكس طيب

286
00:21:00,490 --> 00:21:05,510
الآن صار عندك إيش الـ bus موجود تفاضل المقام إذا لو

287
00:21:05,510 --> 00:21:09,590
أخدنا المقام يساوي U U تساوي واحد زائد أربعة إيقوس

288
00:21:09,590 --> 00:21:14,520
إكس دي U إيش تساوي؟ بيصير طبعا تفاضل الـ 1 صفر بعدين

289
00:21:14,520 --> 00:21:19,240
4EOSXDX الآن التكامل بيصير الآن اللي اتسهل المصف

290
00:21:19,240 --> 00:21:24,180
هو عبارة عن DU على 4 EOSXDX اللي هو DU على 4 على

291
00:21:24,180 --> 00:21:29,900
المقام U فبيصير التكامل DU على U إيش تكامله؟ لأن الـ

292
00:21:29,900 --> 00:21:33,200
absolute U زائد C و بنشيل U في الآخر و بنطبق

293
00:21:33,200 --> 00:21:36,970
مدالها 1 زائد 4 EOSX طبعا هنا بأن المقام اللي ..

294
00:21:36,970 --> 00:21:40,790
المقدار هذا اللي جوا موجب فممكن ما أحطش absolute

295
00:21:40,790 --> 00:21:46,570
value أو أخلي الـ absolute value عاديًا طيب أنا توّ

296
00:21:46,570 --> 00:21:49,630
استخدمت قانون في الـ exponential و قبل ما احنا

297
00:21:49,630 --> 00:21:53,170
نقوله لكن هنا بدنا نقوله الآن إيش قوانين الـ

298
00:21:53,170 --> 00:22:00,990
exponential function For all numbers x و x و x1 و x2,

299
00:22:01,110 --> 00:22:04,390
the natural exponential e×x obeys the following

300
00:22:04,390 --> 00:22:09,430
laws. هي القوانين تبعت الـ exponential. e×x1 ضرب

301
00:22:09,430 --> 00:22:13,690
e×x2 في الضرب ننقل تجمع الأسس. قاعدة حفظينها من

302
00:22:13,690 --> 00:22:19,090
زمان من المدرسة أن e×x1 ضرب e×x2 مضروبين ضرب

303
00:22:19,090 --> 00:22:24,020
إذا الأسس إيش نجمعه. e×x1 زائد x2 E أس سالب X هي

304
00:22:24,020 --> 00:22:27,520
عبارة عن واحد على E أس X فدي قولناها قبل شوية لأن

305
00:22:27,520 --> 00:22:30,960
في القسمة تترحى الأسس كمان هذه قاعدة احنا عارفينها

306
00:22:30,960 --> 00:22:34,460
E أس X واحد على E أس X اتنين يساوي E أس X واحد

307
00:22:34,460 --> 00:22:38,800
ناقص X اتنين يبقى في الطرح في القسمة تترحى الأسس

308
00:22:38,800 --> 00:22:42,440
لأن في الضرب هنا ضرب نضرب الأسس برضه طبعا E أس X

309
00:22:42,440 --> 00:22:46,620
واحد في R E أس R في X واحد و X is a rational

310
00:22:46,620 --> 00:22:53,190
function rational constant طيب نشوف على الـ

311
00:22:53,190 --> 00:22:58,050
properties Simplify the expression E أُس 2 لن الـ

312
00:22:58,050 --> 00:23:02,830
X ناقص لن الـ T الآن بدنا نبسط هذا المقدار لأن هذه

313
00:23:02,830 --> 00:23:09,150
E ناقص E أُس مثلًا X1 ناقص X2 زي هيك يبقى هنا ممكن

314
00:23:09,150 --> 00:23:13,070
أنا أوزعهم بالشكل هذا أو أعملهم قسمة الطرح بتحول

315
00:23:13,070 --> 00:23:17,920
إلى قسمة الجمع بتحول إلى ضرب وممكن أحولها لضرب

316
00:23:17,920 --> 00:23:22,700
واختيار الإشارة السالب يعني اعتبر 2 لن الـ X زائد

317
00:23:22,700 --> 00:23:27,420
ناقص لن الـ X أو اختيارها في المقام واختيارها قسمها

318
00:23:27,420 --> 00:23:32,140
احنا نحولها لضرب بهذا الشكل E أُس 2 لن X ضرب E أُس

319
00:23:32,140 --> 00:23:37,000
ناقص لن T الآنها E أُس لن X تربيع طبعا الاتنين هنا

320
00:23:37,000 --> 00:23:41,540
تيجي على X فبتصير E أُس لن X تربيع وهذا الناقص

321
00:23:41,540 --> 00:23:46,500
بتصير T أُس سالب واحد اللي هي 1 على T ليه شفنا عملنا

322
00:23:46,500 --> 00:23:49,960
الكلام؟ عشان الـ E و الـ Lin يكونوا inverse لبعض،

323
00:23:49,960 --> 00:23:53,640
يضيعوا بعض، يطلع X تربيع E مع لن بروح مع بعض، بظلّ

324
00:23:53,640 --> 00:23:57,360
1 على T، يبقى الجواب تبعي X تربيع على T

325
00:24:00,980 --> 00:24:04,140
الآن هنا كمان هينا بدنا نجيب إيش إيش هي الـ F

326
00:24:04,140 --> 00:24:08,100
inverse صيغة الـ F inverse و الـ F of X عندنا مش بس

327
00:24:08,100 --> 00:24:10,800
الحاجات الجبرية لأ صار في Transiental function

328
00:24:10,800 --> 00:24:14,880
فيها E أس 3X زائد 2 و بعدين زائد 1 يبقى ساين

329
00:24:14,880 --> 00:24:18,520
استخدمنا الـ Transiental function هذه علشان أوجد الـ

330
00:24:18,520 --> 00:24:23,060
F inverse طبعا أول خطوة خطوة بحط Y تساوي هذا

331
00:24:23,060 --> 00:24:26,860
المقدار يلي F of X بعدين إيش بنعمل؟ بنحل المعادلة

332
00:24:26,860 --> 00:24:30,620
بالنسبة لـ X يعني بدي أوجد X في طرف و الباقي في

333
00:24:30,620 --> 00:24:33,340
الطرف الآخر الآن نجيب الواحد على الجانب الثاني

334
00:24:33,340 --> 00:24:37,520
بعدين بدي أنا الـ X كيف أجيب الـ X؟ لازم أتخلص من الـ

335
00:24:37,520 --> 00:24:41,460
E لما لازم أاخد الـ Lin للطرفين فبنقول Lin الـ E قس

336
00:24:41,460 --> 00:24:45,500
3X زائد اثنين يساوي Lin كل هذا المقدار خلوا بالكم مش

337
00:24:45,500 --> 00:24:48,980
يقولوا Lin الـ Y لحاله، Lin الـ واحد لحاله، لأ كله

338
00:24:48,980 --> 00:24:53,110
لازم أاخد الـ Lin لكل المقدار الآن الـ Lin و الـ E

339
00:24:53,110 --> 00:24:57,670
بضيعوا هدول بعض بظلّ الأس هنا 3x زائد 2 يساوي Lin Y

340
00:24:57,670 --> 00:25:01,490
ناقص 1 إذا من هنا بنودّي الاتنين على الجانب الثاني

341
00:25:01,490 --> 00:25:06,130
و بنقسم على تلاتة فبطلع عندنا الـ X آخر خطوة هيخلص

342
00:25:06,130 --> 00:25:10,210
من حل الخطوة الثانية أني بدي أشيل X و أحط بدالها Y

343
00:25:10,210 --> 00:25:14,190
اللي هي عبارة عن F inverse of X يساوي بشيل من هنا

344
00:25:14,190 --> 00:25:18,990
Y و أحط بدالها X وبالتالي بحتل على F inverse of X

345
00:25:18,990 --> 00:25:28,260
سؤال تلاتة Sol4t لأن أنا بدي أوجد هيك في طرف و كله

346
00:25:28,260 --> 00:25:36,060
في الطرف الآخر الآن E-X³E2X زائد

347
00:25:36,060 --> 00:25:39,460
واحد يساوي E أُس T طبعا من القوانين تبعت الـ

348
00:25:39,460 --> 00:25:43,280
exponential أن الأسس تجمع فبنروح إيش جمعين الأسس

349
00:25:43,280 --> 00:25:47,710
اللي هنا E أُس X تربيع زائد واحد يساوي E أُس T الآن

350
00:25:47,710 --> 00:25:51,370
أنا بدي T فبالتالي بدي آخذ الـ Lin للطرفين الآن

351
00:25:51,370 --> 00:25:56,190
Lin مع الـ E هنا اختصرنا القطة Lin للطرفين Lin E

352
00:25:56,190 --> 00:25:59,530
أُس هذه بيطلع الأُس اللي فوق يساوي Lin E أُس T

353
00:25:59,530 --> 00:26:03,790
اللي هو بيطلع يساوي T وبالتالي وجدنا T بدلالة الـ X

354
00:26:09,150 --> 00:26:12,530
طيب، الآن احنا هذيك سميناها إيش الـ Exponential

355
00:26:12,530 --> 00:26:15,750
Function اللي هي الـ Natural Exponential Function

356
00:26:15,750 --> 00:26:18,610
في عندنا Function ثانية اسمها الـ General

357
00:26:18,610 --> 00:26:22,770
Exponential Function طبعا هي زي الـ E بس الـ E مقدار

358
00:26:22,770 --> 00:26:27,250
واحد معروف اللي هو 2 و 7 من 10 ولكن احنا بدنا نعمم الـ

359
00:26:27,250 --> 00:26:30,150
Exponential Function هذه نعملها تعميم نعملها

360
00:26:30,150 --> 00:26:33,910
General Exponential Function نحط بدل الـ E أي عدد

361
00:26:33,910 --> 00:26:40,280
موجب بدل الـ E أي عدد موجب يكون مثلًا A أُس X إذا

362
00:26:40,280 --> 00:26:43,820
بدل الـ E أُس X أي معروفة العدد تبعها 2 سبعة من

363
00:26:43,820 --> 00:26:48,280
عشرة بدنا نستخدم لأي عدد موجب اللي هو A فبنصير A

364
00:26:48,280 --> 00:26:53,760
أُس X لأي A موجبة الآن الـ A هي أصلًا تساوي E لن الـ

365
00:26:53,760 --> 00:26:58,220
A هي عبارة عن E لن A الـ E مع الـ E بضيوفوا على

366
00:26:58,220 --> 00:27:01,560
بعض برجعش الـ A معروف في هذا الكلام for any

367
00:27:01,560 --> 00:27:07,490
positive number A الآن لو رفعناها A أُس X هي عبارة

368
00:27:07,490 --> 00:27:11,310
عن .. يعني بدنا نحطها A أُس X إذا لن الـ A بدنا

369
00:27:11,310 --> 00:27:15,590
نضربها إيش في X فبتصير E أُس لن الـ A نضربها إيش

370
00:27:15,590 --> 00:27:20,290
في X يعني نكتبها بشكل آخر E أُس X لن الـ A يبقى الـ

371
00:27:20,290 --> 00:27:25,590
A أُس X هي عبارة عن E أُس X لن الـ A وهي موجودة هذا

372
00:27:25,590 --> 00:27:29,890
الكلام في الـ definition we therefore use the

373
00:27:29,890 --> 00:27:31,890
function E equals X to define the other

374
00:27:31,890 --> 00:27:35,270
exponential functions which allow us to raise any

375
00:27:35,270 --> 00:27:39,730
positive number to an irrational exponent إذن معنى

376
00:27:39,730 --> 00:27:45,750
هذا الكلام أنه لأي عدد A أكبر من الصفر و X و X

377
00:27:45,750 --> 00:27:49,870
أي عدد طبعا أي متغير the exponential function

378
00:27:49,870 --> 00:27:53,150
with base A أو بنسميه general exponential function

379
00:27:53,390 --> 00:27:57,630
اللي بالقاعدة تبعته A A أُس X تعريفها بدلالة الـ E

380
00:27:57,630 --> 00:28:02,090
هي E أُس X لن الـ A E أُس الأُس من الأساس E أُس

381
00:28:02,090 --> 00:28:07,390
الأُس من الأساس احفظ بغاية A أُس X تساوي أي شيء

382
00:28:07,390 --> 00:28:10,830
هيك الـ exponential هي عبارة عن E أُس الأُس من

383
00:28:10,830 --> 00:28:16,690
الأساس طبعًا هنا لو حطينا بدل الـ A حطينا بدلها E

384
00:28:16,690 --> 00:28:21,410
فبتصير هنا لن الـ E واحد فبتصير E أُس X وهذا E أُس

385
00:28:21,410 --> 00:28:22,310
X متساوية

386
00:28:25,710 --> 00:28:32,750
طيب لو أجينا نستخدم هذه القاعدة اللي حكيناهالـ X

387
00:28:32,750 --> 00:28:38,150
أُس N X متغير و الـ N اللي هي الثابت X أُس N إيش

388
00:28:38,150 --> 00:28:43,230
تساوي E أُس الأُس من الأساس E أُس N لن الـ X E أُس

389
00:28:43,230 --> 00:28:49,190
N لن الـ X وبالتالي I ممكن نستخدمها في تفاضل X أُس

390
00:28:49,190 --> 00:28:54,710
N لأي عدد حقيقي N فتفاضل X أُس N لأي عدد حقيقي N

391
00:28:54,710 --> 00:29:01,990
يساوي N X أُس N ناقص 1 لأي عدد X أكبر من الصفر وإذا

392
00:29:01,990 --> 00:29:07,830
كانت X أصغر أو يساوي الصفر نستخدم قاعدة التفاضل هذه

393
00:29:07,830 --> 00:29:13,870
لأن X أُس N و X أُس N ناقص واحد يكونوا موجودين إذا

394
00:29:13,870 --> 00:29:21,170
ممكن تحويل X أُس N إلى الـ Exponential كمان غير A أُس

395
00:29:21,170 --> 00:29:28,430
X ممكن أقول X أُس function of X كمان X أُس F of X بس

396
00:29:28,430 --> 00:29:31,550
الـ X هذه برضه اللي في القاعدة دايمة في البياز

397
00:29:31,550 --> 00:29:35,590
لازم تكون موجبة هذه معرفة بس بشرط أن الـ X اللي هنا

398
00:29:35,590 --> 00:29:39,990
تكون إيش موجبة الآن بدي أنا أفاضل مثلًا X أُس F

399
00:29:39,990 --> 00:29:43,750
of X كيف بدي أفاضلها؟ بنحولها إيش للـ E فبنقول

400
00:29:43,750 --> 00:29:49,090
هذه عبارة عن E أُس الأُس لن الأساس E أُس F of X لن

401
00:29:49,090 --> 00:29:52,960
الـ X for any function f of x لكن الـ x لازم تكون

402
00:29:52,960 --> 00:29:56,020
الـ x اللي هنا لازم تكون إيش موجبة بلكن الـ f of x

403
00:29:56,020 --> 00:29:59,800
مش مشكلة إيش ما تكون طيب معنى هذا الكلام لما أنا

404
00:29:59,800 --> 00:30:03,220
أبدأ أفاضل الـ x أُس f of x بقدرش أفاضلها بالشكل هذا

405
00:30:03,220 --> 00:30:07,260
يعني ما أقولش هذه f of x x أُس f of x ناقص واحد لأ

406
00:30:07,260 --> 00:30:11,700
هذا الكلام خاطئ جدا كيف أبدأ أفاضل هذه بروح بحولها

407
00:30:11,700 --> 00:30:16,240
للـ E بقول E أُس الأُس لن الأساس E أُس f of x لن الـ

408
00:30:16,240 --> 00:30:21,880
X و بنفاضل هذه زي الأمثلة اللي أخذناها قبل هيك طيب

409
00:30:21,880 --> 00:30:25,020
الآن قوانين الـ exponential الـ A أُس X اللي هي

410
00:30:25,020 --> 00:30:27,200
الـ General Exponential Function هي نفس قوانين الـ

411
00:30:27,200 --> 00:30:31,580
E في الضرب تجمع الأسوس في القسمة في طرح الأسوس

412
00:30:31,580 --> 00:30:35,860
واحد على هي عبارة عن E أُس ناقص X واحد في الضرب

413
00:30:35,860 --> 00:30:39,460
هنا دقيقش مضرب الأسوس تتبعها E أُس X واحد كلها

414
00:30:39,460 --> 00:30:44,060
مضرب X اتنين يعبر عن A أُس X واحد في X اتنين دعينا

415
00:30:44,060 --> 00:30:50,000
نشوف الأمثلة Find dy by dx if Y تساوي X أُس X

416
00:30:50,000 --> 00:30:56,390
تربيع الآن متغير أُس متغير هذي صارت متغير أُس متغير

417
00:30:56,390 --> 00:30:59,470
عشان أنا أفاضل متغير أُس متغير بقدرش أنا أفاضله

418
00:30:59,470 --> 00:31:02,870
بأي طريقة إلا إني أحاول له إيه؟ ده الـ E فبنحاوله

419
00:31:02,870 --> 00:31:07,110
للـ E بإنه E أُس الأُس لن الأساس E أُس X تربيع لن

420
00:31:07,110 --> 00:31:11,110
الـ X إذن Y' تساوي إيه؟ E أُس الأُس لن الأساس الـ E 

421
00:31:11,110 --> 00:31:15,630
هي نفسها في تفاضل اللي هو الأس الأولى في تفاضل

422
00:31:15,630 --> 00:31:19,000
التانية × تفاضل لن الـ E  واحد على X زائد

423
00:31:19,000 --> 00:31:23,740
التانية لين الـ X في تفاضل الأولى 2X طبعا ممكن

424
00:31:23,740 --> 00:31:27,540
نبسطها أو كمان خطوة لازم هذه نعملها الـ E هذه اللي

425
00:31:27,540 --> 00:31:31,620
حطمها لازم نرجعها لأصلها اللي هي X أس X تربيع

426
00:31:31,620 --> 00:31:36,540
فبتصير هذه X أس X تربيع في X زائد 2X لين الـ X

427
00:31:40,730 --> 00:31:46,550
Find dy by dx if y تساوي لإن x أس e أس x الآن

428
00:31:46,550 --> 00:31:51,510
برضه متغير أس متغير الاتنين متغيرين لكن لو متغير

429
00:31:51,510 --> 00:31:56,090
أس ثابت x أس n هذه تفاضلها زي الكلكلس a n x أس 

430
00:31:56,090 --> 00:32:01,910
n ناقص واحد ولكن إذا كان المتغير تبعي لإن متغير

431
00:32:01,910 --> 00:32:05,550
أس متغير لأ لازم نحولها لـ e بالأول وبعدين نفاضل

432
00:32:05,550 --> 00:32:10,020
كيف نحول لـ e E أس الأس الأس تبع e أس x لن

433
00:32:10,020 --> 00:32:14,000
الأساس لن الأساس الأساس تبعي لن الـ X وهي لن وكمان

434
00:32:14,000 --> 00:32:17,340
لن اللي هو الأساس تبعي لن الـ X وبتفاضل هذه

435
00:32:17,340 --> 00:32:21,700
الأنواع y برايم تساوي الـ E نفسها في تفاضل الأس ايش

436
00:32:21,700 --> 00:32:26,780
تفاضل الأس بتاعنا اللي هي E أس X الأولى الأولى في

437
00:32:26,780 --> 00:32:30,060
تفاضل هذه ايش تفاضل هذه بفاضل لن الأولى بعدين

438
00:32:30,060 --> 00:32:33,900
تفاضل لن التانية تفاضل لن الأولى واحد على هذا واحد

439
00:32:33,900 --> 00:32:38,880
على لن الـ X في تفاضل لن التانية 1 على X يبقى E OSX 1

440
00:32:38,880 --> 00:32:44,160
على لن الـ X في 1 على X زائد التانية في تفاضل

441
00:32:44,160 --> 00:32:47,800
الأولى زائد لن لن الـ X في تفاضل الـ E التي هي E

442
00:32:47,800 --> 00:32:52,440
نفسها والخطوة الأخيرة اللي لازم نعملها نرجع الـ E

443
00:32:52,440 --> 00:32:59,200
لل function نفسها ونضع هذا الـ E OS زي ما هو كمان

444
00:32:59,200 --> 00:33:04,220
سؤال أو جديد برضه y prime برضه نفس الشيء cosine x

445
00:33:04,220 --> 00:33:08,220
أس لإن الـ x زائد e أس x function أس function

446
00:33:08,220 --> 00:33:12,020
متغير أس متغير عشان الفعض الهادي لازم نحولها للـ

447
00:33:12,020 --> 00:33:17,840
E E أس ال أس لإن الأساس لإن الـ cosine لأن عشان

448
00:33:17,840 --> 00:33:25,280
الفعض الهادي الـ E نقل E تفاضلها بـ E في R في .. اللي 

449
00:33:25,280 --> 00:33:28,780
هي الـ E .. الـ E .. الـ E تفاضل .. الـ E أس هذا كله

450
00:33:51,560 --> 00:33:55,500
طبعا هذا يعني ممكن تبسطي أو تخلي زي ما هو مثلا sin

451
00:33:55,500 --> 00:34:00,610
على cosine مثلا مثلتان والباقي زي ما هو والـ E هذي

452
00:34:00,610 --> 00:34:07,310
بنرجعها لنفس الـ function السابقة برضه

453
00:34:07,310 --> 00:34:12,730
أوجد dy by dx if y تساوي 1 على x أس x زائد لن سك 

454
00:34:12,730 --> 00:34:17,070
E أس 3x لأن 1 على x أس x برضه متغير أس متغير

455
00:34:17,070 --> 00:34:20,990
قبل ما نفاضل اللي لازم نحول هذه للـ E فبصير E أس

456
00:34:20,990 --> 00:34:26,030
الأس لن الأساس زائد الثاني حيث الآن بنفاضل الـ Y

457
00:34:26,030 --> 00:34:30,650
برايم تساوي الـ E برضه نفسها تفاضلها E أنا عشان عملت

458
00:34:30,650 --> 00:34:33,770
بس هنا بدلها دي ما نخليها واحد على X و نقعد نفاضل

459
00:34:33,770 --> 00:34:37,530
في واحد على X لن الواحد على X هي ناقص لن الـ X يبقى

460
00:34:37,530 --> 00:34:40,930
هي ناقص وهذه لن ايش الـ X هي نظبطها هنا لن ايش الـ

461
00:34:40,930 --> 00:34:46,710
X يبقى هذه ناقص X لن الـ X لن الـ واحد على X حاطناها

462
00:34:46,710 --> 00:34:51,030
ناقص لن الـ X في تفاضل الأسفل الأولى ناقص X في

463
00:34:51,030 --> 00:34:55,510
تفاضل لن الـ X اللي هي واحد على X ناقص ناقص اللي هي

464
00:34:55,510 --> 00:35:00,390
ناقص هذه لن الـ X في تفاضل الـ X اللي هي واحد زائد

465
00:35:00,390 --> 00:35:04,770
لن سك تلاتة أس X في أنها تلاتة composite مع بعض أو

466
00:35:04,770 --> 00:35:09,570
أي شيء نفاضل لن واحد على هذا كله في تفاضل السك سك

467
00:35:09,570 --> 00:35:14,210
تان يبقى أثارة هنا ايش سك تان سك الـ E تان الـ E

468
00:35:14,210 --> 00:35:18,230
في تفاضل الـ E اللي هي الـ E نفسها مضروبة في تلاتة

469
00:35:18,230 --> 00:35:22,760
واخر فطوة بنعملها أنه الـ E بنرجعها للـ function

470
00:35:22,760 --> 00:35:26,400
نفسها 1 على X أس X فيه ممكن هنا لقينا شجرة

471
00:35:26,400 --> 00:35:30,320
بنبسطها بنختصر الـ X من هنا هذه السكت بتختصر مع

472
00:35:30,320 --> 00:35:34,280
السكت اللي هنا بنظل هكذا وهذه مشتوبة هنا في E أس

473
00:35:34,280 --> 00:35:42,590
3X وهي التلاتة فالآخر مثال Y بيساوي X أس واحد ناقص

474
00:35:42,590 --> 00:35:46,450
E طبعا هنا ايش بنلاحظ عليها ده X واحد ناقص E الـ E

475
00:35:46,450 --> 00:35:51,130
هذي عدد 2 و7 من 10 يعني X أس N هذي X أس عدد زي X 

476
00:35:51,130 --> 00:35:56,050
تربيع X تكيّن ايش كتب نفاضلها اللي هي واحد ناقص E 

477
00:35:56,050 --> 00:36:00,950
لايه الـ N X أس N ناقص واحد فبتصير واحد ناقص E X أس

478
00:36:00,950 --> 00:36:04,910
واحد ناقص E ناقص واحد بيضل ايش ناقص E فبنلاحظ

479
00:36:04,910 --> 00:36:10,020
نتلخبط في مثل هذا السؤال هذا X أس N وليس X أس

480
00:36:10,020 --> 00:36:15,240
متغير X أس ثابت فبتفاضل بهذا الشكل وبهيك نهار

481
00:36:15,240 --> 00:36:18,100
خلصنا فقط نص الـ section بيبقى لنا نص التاني للمرة

482
00:36:18,100 --> 00:36:18,820
الجاي إن شاء الله