| 1 |
| 00:00:21,320 --> 00:00:25,400 |
| هنبدأ إن شاء الله اليوم chapter جديد وهو ال |
|
|
| 2 |
| 00:00:25,400 --> 00:00:30,060 |
| chapter الثاني عنوان الـ chapter sequences and |
|
|
| 3 |
| 00:00:30,060 --> 00:00:35,960 |
| series المتتاليات والمتسلسلات طبعًا الموضوع هذا |
|
|
| 4 |
| 00:00:35,960 --> 00:00:43,220 |
| مرّ معكم في تفاضل ألف .. تفاضل باء عفوا ودرسنا |
|
|
| 5 |
| 00:00:43,220 --> 00:00:46,860 |
| خواص الـ sequences بطريقة مختصرة والـ series |
|
|
| 6 |
| 00:00:46,860 --> 00:00:53,710 |
| توسعنا فيها، المرة هذه سنتوسع في الـ sequences و |
|
|
| 7 |
| 00:00:53,710 --> 00:00:58,750 |
| سنختصر في الـ series العكس يعني وسنتناول دراسة كل |
|
|
| 8 |
| 00:00:58,750 --> 00:01:06,130 |
| منهم بطريقة تحليلية وطريقة موضعية أكثر يعني من |
|
|
| 9 |
| 00:01:06,130 --> 00:01:07,270 |
| وجهة نظر رياضية |
|
|
| 10 |
| 00:01:10,330 --> 00:01:13,590 |
| فأول section في هذا الـ chapter سيكون عنوانه |
|
|
| 11 |
| 00:01:13,590 --> 00:01:17,610 |
| sequences and their limits المتتاليات ونهاياتهم |
|
|
| 12 |
| 00:01:22,470 --> 00:01:28,630 |
| فنشوف تعريف الـ sequence الـ sequence in X ما معنى |
|
|
| 13 |
| 00:01:28,630 --> 00:01:33,110 |
| sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعًا هناخد |
|
|
| 14 |
| 00:01:33,110 --> 00:01:37,470 |
| هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة التي |
|
|
| 15 |
| 00:01:37,470 --> 00:01:42,450 |
| نحن نهتم فيها في الـ course هذا فـ sequence in X |
|
|
| 16 |
| 00:01:42,450 --> 00:01:47,410 |
| يعني الـ sequence عناصرها تنتمي للمجموعة X، فلو أخذت |
|
|
| 17 |
| 00:01:47,410 --> 00:01:52,610 |
| أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما |
|
|
| 18 |
| 00:01:52,610 --> 00:01:55,470 |
| هي الـ sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد |
|
|
| 19 |
| 00:01:55,470 --> 00:02:00,970 |
| function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي |
|
|
| 20 |
| 00:02:00,970 --> 00:02:04,970 |
| مجموعة جزئية منها، والمجال المقابل تبعها هي |
|
|
| 21 |
| 00:02:04,970 --> 00:02:09,820 |
| المجموعة x التي الـ sequence تنتمي إليها، وفي الحالة |
|
|
| 22 |
| 00:02:09,820 --> 00:02:13,360 |
| هذه إذا الـ sequence هي function دالة بس دالة من |
|
|
| 23 |
| 00:02:13,360 --> 00:02:19,320 |
| نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية، وعادة نحن |
|
|
| 24 |
| 00:02:19,320 --> 00:02:23,320 |
| نهتم بالـ sequences of real numbers أو المتتاليات |
|
|
| 25 |
| 00:02:23,320 --> 00:02:27,280 |
| التي عناصرها أعداد حقيقية، وبالتالي X هذه ستكون |
|
|
| 26 |
| 00:02:27,280 --> 00:02:31,460 |
| التي هو مجموعة الأعداد الحقيقية، طيب هذه الـ |
|
|
| 27 |
| 00:02:31,460 --> 00:02:35,410 |
| sequence function مجالها العداد الطبيعي وبالتالي |
|
|
| 28 |
| 00:02:35,410 --> 00:02:40,350 |
| ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN |
|
|
| 29 |
| 00:02:40,350 --> 00:02:47,030 |
| XN طبعًا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي الـ .. الـ .. |
|
|
| 30 |
| 00:02:47,030 --> 00:02:52,910 |
| الـ sequence FN هذه نحن نحاول نعرفها بدلالة الـ |
|
|
| 31 |
| 00:02:52,910 --> 00:02:56,720 |
| range تبعها، يعني بدل ما أقول الـ sequence هي |
|
|
| 32 |
| 00:02:56,720 --> 00:03:01,800 |
| function جرت العادة أن نحن نحذف رمز الـ function |
|
|
| 33 |
| 00:03:01,800 --> 00:03:05,980 |
| ونستبدله بالـ range تبع الـ function الذي هو y الـ |
|
|
| 34 |
| 00:03:05,980 --> 00:03:09,960 |
| range تبع الـ function كل الـ xn حيث n عدد طبيعي |
|
|
| 35 |
| 00:03:09,960 --> 00:03:13,980 |
| يبدأ من واحد من ثم إلى نهاية، إذا الـ sequence |
|
|
| 36 |
| 00:03:13,980 --> 00:03:18,600 |
| بدل ما نكتبها على صورة function سنكتبها على الصورة |
|
|
| 37 |
| 00:03:18,600 --> 00:03:24,340 |
| هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه، okay |
|
|
| 38 |
| 00:03:26,550 --> 00:03:30,070 |
| وطبعًا الـ sequence هذه يعني عناصرها هذه أو أي واحدة |
|
|
| 39 |
| 00:03:30,070 --> 00:03:37,350 |
| منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 وهكذا |
|
|
| 40 |
| 00:03:40,840 --> 00:03:45,180 |
| فكل الرموز هذه ترمز إلى الـ sequence هذه التي هي الـ |
|
|
| 41 |
| 00:03:45,180 --> 00:03:53,400 |
| function f التي هي الـ function f، okay إذن أهم شيء |
|
|
| 42 |
| 00:03:53,400 --> 00:03:56,480 |
| في تعريفنا أن الـ sequence هي function دالة |
|
|
| 43 |
| 00:03:56,480 --> 00:04:00,400 |
| وبالتالي لها مجال، مجالها العداد الطبيعي، المجال |
|
|
| 44 |
| 00:04:00,400 --> 00:04:04,420 |
| المقابل هي المجموعة التي عناصر الـ sequence تنتمي |
|
|
| 45 |
| 00:04:04,420 --> 00:04:10,950 |
| لها، الـ sequences ممكن أعرفهم بطريقتين، إذا في |
|
|
| 46 |
| 00:04:10,950 --> 00:04:15,970 |
| الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly |
|
|
| 47 |
| 00:04:15,970 --> 00:04:19,910 |
| هذه أحد الطرق، ممكن يعرف الـ sequence بطريقة صريحة |
|
|
| 48 |
| 00:04:19,910 --> 00:04:27,890 |
| بطريقة بقانون، فمثلا الـ sequence if بالساوية عناصرها |
|
|
| 49 |
| 00:04:27,890 --> 00:04:31,670 |
| اثنين أربعة ستة ثمانية، الأخرى هذه عبارة عن |
|
|
| 50 |
| 00:04:31,670 --> 00:04:38,130 |
| sequence وهي معرفة بطريقة صريحة، فهذه عبارة عن |
|
|
| 51 |
| 00:04:38,130 --> 00:04:42,630 |
| sequence of even natural numbers الأعداد الطبيعية |
|
|
| 52 |
| 00:04:42,630 --> 00:04:47,790 |
| الزوجية، ممكن نكتب الحد العام، الآن هذا نسميه الآن |
|
|
| 53 |
| 00:04:47,790 --> 00:04:53,710 |
| term xn هذا هنا نسميه الـ term الحد النوني |
|
|
| 54 |
| 00:04:53,710 --> 00:04:59,190 |
| الحد النوني أو الحد العام، فالـ term هنا هو |
|
|
| 55 |
| 00:04:59,190 --> 00:05:08,180 |
| اثنين n، xn بساوي اثنين n حيث n عدد طبيعي، أو |
|
|
| 56 |
| 00:05:08,180 --> 00:05:12,620 |
| ممكن نكتب الـ sequence على صورة 2n من n بساوي |
|
|
| 57 |
| 00:05:12,620 --> 00:05:16,740 |
| واحد إلى ما لا نهاية، إذا هنا أنا أعرف الـ sequence |
|
|
| 58 |
| 00:05:16,740 --> 00:05:22,960 |
| برص حدودها، أول تلات حدود إلى وهكذا، أو بكتب قاعدة |
|
|
| 59 |
| 00:05:22,960 --> 00:05:27,880 |
| لحد العام xn وطبعًا n عدد طبيعي، فمقدر من القاعدة |
|
|
| 60 |
| 00:05:27,880 --> 00:05:32,740 |
| هذه أجيب كل الحدود، إذا هذا explicit definition of |
|
|
| 61 |
| 00:05:32,740 --> 00:05:39,150 |
| a sequence هذا تعريف صريح للـ sequence، في طريقة |
|
|
| 62 |
| 00:05:39,150 --> 00:05:44,870 |
| ثانية لتعريف الـ sequence وهي الطريقة الاستقرائية، |
|
|
| 63 |
| 00:05:44,870 --> 00:05:49,330 |
| إذا الـ sequences can be defined inductively أو |
|
|
| 64 |
| 00:05:49,330 --> 00:05:55,970 |
| recursively بطريقة استقرائية أو بطريقة تكرارية، كيف |
|
|
| 65 |
| 00:05:55,970 --> 00:06:02,290 |
| هذه الطريقة؟ بأجي للـ sequence وبأخد أول حد فيها زي |
|
|
| 66 |
| 00:06:02,290 --> 00:06:07,250 |
| x1 أو أول حدين أو أول تلات حدود وبعطيهم قيم |
|
|
| 67 |
| 00:06:07,250 --> 00:06:16,010 |
| أحددهم، قيم محددة، أعطيهم قيم محددة، بعدين بأجي بأجي |
|
|
| 68 |
| 00:06:16,010 --> 00:06:21,990 |
| بعبر عن الحد xn زائد واحد أو xn بدلالة الحدود |
|
|
| 69 |
| 00:06:21,990 --> 00:06:27,850 |
| التي قبله وبستخدم طبعًا لهذه formula نسميها |
|
|
| 70 |
| 00:06:27,850 --> 00:06:32,070 |
| recursive formula أو inductive formula كما في |
|
|
| 71 |
| 00:06:32,070 --> 00:06:39,550 |
| المثال التالي، يعني أنا عند الـ sequence 2n هذه أنا |
|
|
| 72 |
| 00:06:39,550 --> 00:06:48,000 |
| عند الـ sequence xn بساوي 2n هذه ممكن أعرفها بطريقة |
|
|
| 73 |
| 00:06:48,000 --> 00:06:57,140 |
| استقرائية، كيف؟ بأخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة |
|
|
| 74 |
| 00:06:57,140 --> 00:07:01,220 |
| محددة وهي 2، طبعًا أول حد في الـ sequence هذه هو 2 |
|
|
| 75 |
| 00:07:01,220 --> 00:07:06,760 |
| صح؟ لأن هنا أخذت x1 وعطيته قيمة محددة، ممكن في بعض |
|
|
| 76 |
| 00:07:06,760 --> 00:07:12,140 |
| الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة لـ x1 وx2 وx3، بعدين |
|
|
| 77 |
| 00:07:12,140 --> 00:07:19,100 |
| بأجي إلى الحد رقم n زيادة واحد وبعبر عنه بـ |
|
|
| 78 |
| 00:07:19,100 --> 00:07:23,000 |
| recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد الذي قبله |
|
|
| 79 |
| 00:07:23,000 --> 00:07:26,760 |
| أو الحد الذي قبله مباشرة والذي قبله و |
|
|
| 80 |
| 00:07:26,760 --> 00:07:32,510 |
| هكذا، فهذه نسميها recursive أو inductive formula |
|
|
| 81 |
| 00:07:32,510 --> 00:07:37,150 |
| تعطيني لحد رقم n زيادة واحد بدالة الحد الذي قبله xn |
|
|
| 82 |
| 00:07:37,150 --> 00:07:43,870 |
| فمثلا لو بده أحسب x2 فبأخد n بساوي واحد هنا صح |
|
|
| 83 |
| 00:07:43,870 --> 00:07:50,110 |
| فبطلع عند x2 بساوي x1 زائد اثنين، x1 بساوي اثنين زائد |
|
|
| 84 |
| 00:07:50,110 --> 00:07:56,400 |
| اثنين بطلع أربعة، x3 برضه عشان أجيب x3 بستخدم الـ |
|
|
| 85 |
| 00:07:56,400 --> 00:08:00,480 |
| recursive formula وبأخد N بساوي 2 فبطلع عند x3 |
|
|
| 86 |
| 00:08:00,480 --> 00:08:06,600 |
| بساوي x2 زائد 2، x2 أربعة واثنين بطلع ستة وهكذا |
|
|
| 87 |
| 00:08:06,600 --> 00:08:13,340 |
| إذا هيك بحصل على الـ sequence 2N التي حدودها 2 4 6 |
|
|
| 88 |
| 00:08:13,340 --> 00:08:20,460 |
| 8 وهكذا، آه okay تمام الـ |
|
|
| 89 |
| 00:08:20,460 --> 00:08:30,520 |
| .. طيب الآن بدي أعرف ما معنى أن الـ sequence تكون |
|
|
| 90 |
| 00:08:30,520 --> 00:08:36,500 |
| convergent أو لها limit لو في عندي sequence من |
|
|
| 91 |
| 00:08:36,500 --> 00:08:37,720 |
| الأعداد الحقيقية |
|
|
| 92 |
| 00:08:41,200 --> 00:08:45,480 |
| فبقول إن الـ sequence converge |
|
|
| 93 |
| 00:08:45,480 --> 00:08:51,860 |
| الـ sequence of real numbers بتكون converge أو |
|
|
| 94 |
| 00:08:51,860 --> 00:08:59,940 |
| convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي لـ R بحيث إنه لكل |
|
|
| 95 |
| 00:08:59,940 --> 00:09:06,200 |
| neighborhood V لـ X لكل جوار V لـ X بقدر أو أجد أو |
|
|
| 96 |
| 00:09:06,200 --> 00:09:12,250 |
| ألاقي عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي |
|
|
| 97 |
| 00:09:12,250 --> 00:09:17,030 |
| لأعداد الطبيعية بحيث إنه لكل small n أكبر من أو يساوي |
|
|
| 98 |
| 00:09:17,030 --> 00:09:21,770 |
| capital N، Xn ينتمي إلى V، يعني الجوار V هذا يحتوي |
|
|
| 99 |
| 00:09:21,770 --> 00:09:29,100 |
| كل عناصر الـ sequence من capital N وأنت طالع، فلو هذا |
|
|
| 100 |
| 00:09:29,100 --> 00:09:34,020 |
| الشرط تحقق فبنقول أن الـ sequence converge والـ |
|
|
| 101 |
| 00:09:34,020 --> 00:09:38,040 |
| limit تبعتها هي العدد X، في الحالة هذه بنقول أن X |
|
|
| 102 |
| 00:09:38,040 --> 00:09:46,080 |
| is the limit of sequence X in و |
|
|
| 103 |
| 00:09:46,080 --> 00:09:51,180 |
| بنكتب limit Xn بساوي X أو نكتب Xn tends to |
|
|
| 104 |
| 00:09:51,180 --> 00:09:57,750 |
| X as N tends to infinity، هذا التعريف نسميه الـ |
|
|
| 105 |
| 00:09:57,750 --> 00:10:05,170 |
| neighborhood neighborhood definition neighborhood |
|
|
| 106 |
| 00:10:05,170 --> 00:10:16,710 |
| definition of convergence تعريف |
|
|
| 107 |
| 00:10:16,710 --> 00:10:18,210 |
| الجوار للتقارب |
|
|
| 108 |
| 00:10:22,960 --> 00:10:28,200 |
| طيب لو الـ sequence ما كانش لها limit يعني ما فيش لا |
|
|
| 109 |
| 00:10:28,200 --> 00:10:34,560 |
| يوجد x ينتمي لـ r يحقق الشرط هذا فبنقول أن الـ |
|
|
| 110 |
| 00:10:34,560 --> 00:10:40,060 |
| sequence ليست not convergent أو divergent إذا لو |
|
|
| 111 |
| 00:10:40,060 --> 00:10:45,220 |
| الـ sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent |
|
|
| 112 |
| 00:10:45,220 --> 00:10:50,820 |
| إذا مثلًا بتكون الـ sequence convergent إذا كان في |
|
|
| 113 |
| 00:10:50,820 --> 00:10:54,560 |
| لها limit، طب ما معنى أن الـ sequence يكون لها |
|
|
| 114 |
| 00:10:54,560 --> 00:11:01,680 |
| limit؟ معناه أن يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V لـ |
|
|
| 115 |
| 00:11:01,680 --> 00:11:08,260 |
| X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث أن |
|
|
| 116 |
| 00:11:08,260 --> 00:11:14,120 |
| كل حدود الـ sequence تنتمي للجوار هذا، والمؤشر تبعها |
|
|
| 117 |
| 00:11:14,120 --> 00:11:20,130 |
| يبدأ من capital N وأنت طالع، يعني معنى الكلام هذا .. |
|
|
| 118 |
| 00:11:20,130 --> 00:11:28,290 |
| هذا الكلام معناه أن X capital N وX capital N زائد |
|
|
| 119 |
| 00:11:28,290 --> 00:11:35,990 |
| واحد وX capital N زائد اثنين وهكذا كل هذول |
|
|
| 120 |
| 00:11:35,990 --> 00:11:38,630 |
| بينتموا للجوار دي |
|
|
| 121 |
| 00:11:44,830 --> 00:11:48,590 |
| لو الـ sequence مالهاش limit فبنسميها divergent |
|
|
| 122 |
| 00:11:48,590 --> 00:11:56,190 |
| okay طبعًا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. آه |
|
|
| 123 |
| 00:11:56,190 --> 00:12:01,410 |
| جوار لـ X يعني مجموعة تحتوي الـ X والجوار عشان V |
|
|
| 124 |
| 00:12:01,410 --> 00:12:05,710 |
| يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله |
|
|
| 125 |
| 00:12:05,710 --> 00:12:10,010 |
| epsilon نبرهنه، كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهنه |
|
|
| 126 |
| 00:12:15,360 --> 00:12:23,300 |
| يعني مش أي مجموعة، طيب |
|
|
| 127 |
| 00:12:23,300 --> 00:12:27,780 |
| الـ .. أن لو |
|
|
| 128 |
| 00:12:27,780 --> 00:12:32,800 |
| في أي sequence والسيكوانس هذا convergent فالـ |
|
|
| 129 |
| 00:12:32,800 --> 00:12:34,600 |
| limit تبعتها بتطلع unique |
|
|
| 130 |
| 00:12:41,740 --> 00:12:45,620 |
| النظرية الأولى بتقول لو كانت xn sequence of real |
|
|
| 131 |
| 00:12:45,620 --> 00:12:51,320 |
| numbers وتconverge لـ x وتconverge لـ y يعني لها two |
|
|
| 132 |
| 00:12:51,320 --> 00:12:55,740 |
| limits فلازم الـ limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع |
|
|
| 133 |
| 00:12:55,740 --> 00:12:59,940 |
| الـ convergence sequence يكون لها أكثر من limit |
|
|
| 134 |
| 00:12:59,940 --> 00:13:05,400 |
| يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a |
|
|
| 135 |
| 00:13:05,400 --> 00:13:06,140 |
| unique limit |
|
|
| 136 |
| 00:13:09,340 --> 00:13:13,560 |
| خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence |
|
|
| 137 |
| 00:13:13,560 --> 00:13:20,440 |
| xn converge لـ x وأيضًا converge لـ y، المطلوب |
|
|
| 138 |
| 00:13:20,440 --> 00:13:25,540 |
| إثبات أن x بساوي y، لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض |
|
|
| 139 |
| 00:13:25,540 --> 00:13:30,680 |
| assume on contrary أن x لا تساوي y الذي هو نفي |
|
|
| 140 |
| 00:13:30,680 --> 00:13:36,600 |
| النتيجة وبينصل لتناقض في exercise 15 في section 2 |
|
|
| 141 |
| 00:13:36,600 --> 00:13:41,810 |
| أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي |
|
|
| 142 |
| 00:13:41,810 --> 00:13:49,130 |
| عددين حقيقيين x و y فبقدر |
|
|
| 143 |
| 00:13:49,130 --> 00:13:57,250 |
| ألاقي v1 جوار ل x و |
|
|
| 144 |
| 00:13:57,250 --> 00:14:05,390 |
| بقدر ألاقي v2 لـ v2 |
|
|
| 145 |
| 00:14:05,390 --> 00:14:06,610 |
| جوار ل y |
|
|
| 146 |
| 00:14:09,920 --> 00:14:17,120 |
| بحيث أن تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint |
|
|
| 147 |
| 00:14:19,260 --> 00:14:24,660 |
| تمام؟ لو كان في عندي عددين حقيقيين x لا يساوي y بقدر |
|
|
| 148 |
| 00:14:24,660 --> 00:14:31,280 |
| ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y والجوارين هدول |
|
|
| 149 |
| 00:14:31,280 --> 00:14:36,660 |
| منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا آه فقلنا خدي |
|
|
| 150 |
| 00:14:36,660 --> 00:14:45,290 |
| epsilon بساوي نص المسافة بين x و y وهد خلي x زائد |
|
|
| 151 |
| 00:14:45,290 --> 00:14:50,410 |
| y والنقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood |
|
|
| 152 |
| 00:14:50,410 --> 00:14:55,570 |
| لـ x وبالتالي neighborhood لـ x وخدي هنا برضه هد |
|
|
| 153 |
| 00:14:55,570 --> 00:15:01,030 |
| عبارة عن y سالب y والنقطة هد y زائد y |
|
|
| 154 |
| 00:15:03,680 --> 00:15:09,460 |
| فالـ .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت |
|
|
| 155 |
| 00:15:09,460 --> 00:15:13,180 |
| epsilon نص المسافة هذه وهذه فترة مفتوحة وهذه |
|
|
| 156 |
| 00:15:13,180 --> 00:15:18,560 |
| مفتوحة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا |
|
|
| 157 |
| 00:15:18,560 --> 00:15:23,620 |
| الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا |
|
|
| 158 |
| 00:15:23,620 --> 00:15:30,310 |
| كان x لا يساوي y فطبعا ممكن نفرض أن x أصغر من y أو |
|
|
| 159 |
| 00:15:30,310 --> 00:15:35,170 |
| y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this |
|
|
| 160 |
| 00:15:35,170 --> 00:15:43,630 |
| joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2 |
|
|
| 161 |
| 00:15:43,630 --> 00:15:50,910 |
| منفصلين الآن احنا فرضين أن x in converge ل x حسب |
|
|
| 162 |
| 00:15:50,910 --> 00:15:54,790 |
| الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن |
|
|
| 163 |
| 00:15:54,790 --> 00:16:00,550 |
| المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد |
|
|
| 164 |
| 00:16:00,550 --> 00:16:07,710 |
| عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي |
|
|
| 165 |
| 00:16:07,710 --> 00:16:13,260 |
| للجوار V1 لكل N أكبر من أو يساوي N1 كذلك احنا فرضين |
|
|
| 166 |
| 00:16:13,260 --> 00:16:18,320 |
| في النظرية أن sequence xn converge ل y والآن v2 |
|
|
| 167 |
| 00:16:18,320 --> 00:16:23,660 |
| neighborhood ل y، إذا حسب تعريف ال convergence بما |
|
|
| 168 |
| 00:16:23,660 --> 00:16:27,680 |
| أن xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، إذا |
|
|
| 169 |
| 00:16:27,680 --> 00:16:32,440 |
| بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث أن xn |
|
|
| 170 |
| 00:16:32,440 --> 00:16:38,840 |
| ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو يساوي n2 الآن لو عرفت |
|
|
| 171 |
| 00:16:38,840 --> 00:16:42,320 |
| capital N على Nها ال maximum الأكبر بين N واحد و N |
|
|
| 172 |
| 00:16:42,320 --> 00:16:47,360 |
| اثنين هذا معناه أن capital N عدد طبيعي لأن الأكبر |
|
|
| 173 |
| 00:16:47,360 --> 00:16:52,320 |
| بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N |
|
|
| 174 |
| 00:16:52,320 --> 00:16:55,640 |
| أكبر من أو يساوي N واحد وأكبر من أو يساوي N اثنين |
|
|
| 175 |
| 00:16:55,640 --> 00:16:59,820 |
| لأن الكبير فيهم الآن |
|
|
| 176 |
| 00:16:59,820 --> 00:17:04,120 |
| لو أخدت small n أكبر من أو يساوي capital N فمن |
|
|
| 177 |
| 00:17:04,120 --> 00:17:09,540 |
| تعريف capital N هذا بيقودى أن capital N أكبر من أو |
|
|
| 178 |
| 00:17:09,540 --> 00:17:14,760 |
| يساوي N واحد إذا الآن أنا عندي small n أكبر من أو |
|
|
| 179 |
| 00:17:14,760 --> 00:17:23,820 |
| يساوي N واحد وبالتالي إذا Xn تنتمي لـ D واحد كذلك |
|
|
| 180 |
| 00:17:23,820 --> 00:17:29,560 |
| أنا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو |
|
|
| 181 |
| 00:17:29,560 --> 00:17:34,950 |
| يساوي N اثنين وبالتالي small n أكبر من أو يساوي |
|
|
| 182 |
| 00:17:34,950 --> 00:17:38,970 |
| capital N اثنين لما تكون small n أكبر من أو يساوي |
|
|
| 183 |
| 00:17:38,970 --> 00:17:45,450 |
| capital N اثنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الآن أنا |
|
|
| 184 |
| 00:17:45,450 --> 00:17:49,110 |
| أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو يساوي capital |
|
|
| 185 |
| 00:17:49,110 --> 00:17:57,090 |
| N فبطلع xn ينتمي إلىV1 وإلى V2 وبالتالي تنتمي |
|
|
| 186 |
| 00:17:57,090 --> 00:18:01,290 |
| لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي الـ فاي |
|
|
| 187 |
| 00:18:01,290 --> 00:18:05,810 |
| وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول |
|
|
| 188 |
| 00:18:05,810 --> 00:18:10,450 |
| لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint |
|
|
| 189 |
| 00:18:10,450 --> 00:18:16,070 |
| تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعي إن X |
|
|
| 190 |
| 00:18:16,070 --> 00:18:20,390 |
| لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بساوي Y |
|
|
| 191 |
| 00:18:20,390 --> 00:18:25,430 |
| وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة |
|
|
| 192 |
| 00:18:25,430 --> 00:18:33,990 |
| unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟ |
|
|
| 193 |
| 00:18:33,990 --> 00:18:37,510 |
| في أي سؤال؟ |
|
|
| 194 |
| 00:18:50,080 --> 00:19:02,120 |
| النظرية الثانية تعطيني |
|
|
| 195 |
| 00:19:02,120 --> 00:19:09,740 |
| شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو |
|
|
| 196 |
| 00:19:09,740 --> 00:19:12,840 |
| في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number |
|
|
| 197 |
| 00:19:12,840 --> 00:19:17,630 |
| x the following are equivalent هذا اختصار الكلمات |
|
|
| 198 |
| 00:19:17,630 --> 00:19:21,530 |
| the following are equivalent العبارات التالية |
|
|
| 199 |
| 00:19:21,530 --> 00:19:27,670 |
| متكافئة أول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب |
|
|
| 200 |
| 00:19:27,670 --> 00:19:31,070 |
| تعريف ال convergence ال neighborhood definition أن |
|
|
| 201 |
| 00:19:31,070 --> 00:19:42,150 |
| for every neighborhood V of X of X there exists |
|
|
| 202 |
| 00:19:42,150 --> 00:19:50,590 |
| capital N يعتمد على V عدد طبيعي بحيث أنه لو كان n |
|
|
| 203 |
| 00:19:50,590 --> 00:19:56,150 |
| أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقودى أن xn ينتمي |
|
|
| 204 |
| 00:19:56,150 --> 00:20:03,390 |
| إلى V هاي معناه xn converge ل x الآن هذا ال |
|
|
| 205 |
| 00:20:03,390 --> 00:20:06,990 |
| neighborhood definition لل convergence بيكافئ |
|
|
| 206 |
| 00:20:06,990 --> 00:20:11,770 |
| العبارة بي وهذا بنسميه ال epsilon neighborhood |
|
|
| 207 |
| 00:20:11,770 --> 00:20:16,150 |
| definition لل convergence هذا بقى بنسميه epsilon |
|
|
| 208 |
| 00:20:16,150 --> 00:20:20,210 |
| neighborhood definition of convergence ليه؟ |
|
|
| 209 |
| 00:20:20,210 --> 00:20:22,850 |
| العبارة دي بتقول لكل for every epsilon |
|
|
| 210 |
| 00:20:22,850 --> 00:20:27,930 |
| neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل |
|
|
| 211 |
| 00:20:27,930 --> 00:20:32,550 |
| neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X |
|
|
| 212 |
| 00:20:32,550 --> 00:20:35,630 |
| يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood |
|
|
| 213 |
| 00:20:35,630 --> 00:20:42,160 |
| وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعي بحيث أنه |
|
|
| 214 |
| 00:20:42,160 --> 00:20:46,200 |
| لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لـ V |
|
|
| 215 |
| 00:20:46,200 --> 00:20:52,820 |
| نفس العادى العبارة الثالثة بتقول لكل إبسلون لأي عدد |
|
|
| 216 |
| 00:20:52,820 --> 00:20:56,260 |
| إبسلون موجبة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون |
|
|
| 217 |
| 00:20:56,260 --> 00:21:01,500 |
| بحيث لو كان n أكبر من أو يساوي capital N فالمسافة |
|
|
| 218 |
| 00:21:01,500 --> 00:21:07,800 |
| بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C |
|
|
| 219 |
| 00:21:07,800 --> 00:21:13,180 |
| وهذا الجزء الأكثر جزء هنستخدمه في إثبات ال |
|
|
| 220 |
| 00:21:13,180 --> 00:21:18,080 |
| convergence لـ sequences معينة هذا بيسميه epsilon |
|
|
| 221 |
| 00:21:18,080 --> 00:21:25,600 |
| capital N definition of |
|
|
| 222 |
| 00:21:25,600 --> 00:21:26,500 |
| convergence |
|
|
| 223 |
| 00:21:30,350 --> 00:21:34,970 |
| أنا في عندي أنا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة |
|
|
| 224 |
| 00:21:34,970 --> 00:21:38,530 |
| عن neighborhood definition of convergence الفرق B |
|
|
| 225 |
| 00:21:38,530 --> 00:21:42,230 |
| بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل |
|
|
| 226 |
| 00:21:42,230 --> 00:21:46,210 |
| convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N |
|
|
| 227 |
| 00:21:46,210 --> 00:21:49,770 |
| definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع |
|
|
| 228 |
| 00:21:49,770 --> 00:21:57,370 |
| أكثر من العبارات السابقة البرهان أن هذا ال ثلاثة |
|
|
| 229 |
| 00:21:57,370 --> 00:22:02,490 |
| إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت أن a implies b و b |
|
|
| 230 |
| 00:22:02,490 --> 00:22:10,610 |
| implies c وبعد هيك هنثبت أن c implies a وبالتالي |
|
|
| 231 |
| 00:22:10,610 --> 00:22:14,370 |
| هيك بيطلع الثلاثة متكافئة حسب قوانين ال logic |
|
|
| 232 |
| 00:22:14,370 --> 00:22:21,830 |
| مظبوط صح؟ طيب نشوف الأول a implies b افرض أن x in |
|
|
| 233 |
| 00:22:21,830 --> 00:22:28,010 |
| converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال |
|
|
| 234 |
| 00:22:28,010 --> 00:22:34,510 |
| neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب |
|
|
| 235 |
| 00:22:34,510 --> 00:22:39,150 |
| احنا عارفين أن كل epsilon .. طيب لإثبات أن b صحيح |
|
|
| 236 |
| 00:22:39,150 --> 00:22:45,130 |
| ناخد أي epsilon neighborhood ل x طب احنا لما درسنا |
|
|
| 237 |
| 00:22:45,130 --> 00:22:48,990 |
| ال neighborhoods قلنا أن كل epsilon neighborhood |
|
|
| 238 |
| 00:22:48,990 --> 00:22:52,130 |
| .. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X |
|
|
| 239 |
| 00:22:52,130 --> 00:22:57,490 |
| هو أيضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة .. |
|
|
| 240 |
| 00:22:57,490 --> 00:23:02,570 |
| كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood |
|
|
| 241 |
| 00:23:02,570 --> 00:23:09,280 |
| of X وبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون |
|
|
| 242 |
| 00:23:09,280 --> 00:23:13,140 |
| neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي |
|
|
| 243 |
| 00:23:13,140 --> 00:23:15,820 |
| يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood |
|
|
| 244 |
| 00:23:15,820 --> 00:23:24,080 |
| وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف |
|
|
| 245 |
| 00:23:24,080 --> 00:23:27,460 |
| الآن B بيؤدي العبارة B بيؤدي إلى C |
|
|
| 246 |
| 00:23:42,950 --> 00:23:55,970 |
| طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت |
|
|
| 247 |
| 00:23:55,970 --> 00:24:05,490 |
| أن C صحيح فخلينا ناخد خلينا |
|
|
| 248 |
| 00:24:05,490 --> 00:24:09,250 |
| ناخد أبسلون أكبر من الصفر ناخد أبسلون أكبر من |
|
|
| 249 |
| 00:24:09,250 --> 00:24:09,730 |
| الصفر |
|
|
| 250 |
| 00:24:13,900 --> 00:24:22,140 |
| لو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر for any epsilon |
|
|
| 251 |
| 00:24:22,140 --> 00:24:30,140 |
| أكبر من الصفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن |
|
|
| 252 |
| 00:24:30,140 --> 00:24:36,040 |
| ال epsilon neighborhood ل x فهذا |
|
|
| 253 |
| 00:24:36,040 --> 00:24:44,530 |
| is epsilon neighborhood of x صح؟ وبالتالي حسب B |
|
|
| 254 |
| 00:24:44,530 --> 00:24:50,890 |
| لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا |
|
|
| 255 |
| 00:24:50,890 --> 00:24:56,350 |
| يوجد capital N by |
|
|
| 256 |
| 00:24:56,350 --> 00:25:02,930 |
| B يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood |
|
|
| 257 |
| 00:25:02,930 --> 00:25:09,630 |
| وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث |
|
|
| 258 |
| 00:25:13,530 --> 00:25:19,590 |
| بحيث أنه لو كان n أكبر من أو يساوي n of epsilon |
|
|
| 259 |
| 00:25:19,590 --> 00:25:28,030 |
| فهذا بيقودى أن xn ينتمي لـ v epsilon ل x اللي هو x |
|
|
| 260 |
| 00:25:28,030 --> 00:25:35,630 |
| سالب epsilon وx زائد epsilon طب وهذا معناه أن ال |
|
|
| 261 |
| 00:25:35,630 --> 00:25:44,930 |
| xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زائد epsilon هذا |
|
|
| 262 |
| 00:25:44,930 --> 00:25:50,630 |
| الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام |
|
|
| 263 |
| 00:25:50,630 --> 00:25:56,670 |
| صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من |
|
|
| 264 |
| 00:25:56,670 --> 00:26:01,950 |
| سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من |
|
|
| 265 |
| 00:26:01,950 --> 00:26:10,800 |
| epsilon إذن هنا أثبتنا إن لو كان b صحيح فلأي يبسلون |
|
|
| 266 |
| 00:26:10,800 --> 00:26:18,300 |
| أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث |
|
|
| 267 |
| 00:26:18,300 --> 00:26:23,160 |
| لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع absolute xn |
|
|
| 268 |
| 00:26:23,160 --> 00:26:29,920 |
| minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة |
|
|
| 269 |
| 00:26:29,920 --> 00:26:38,500 |
| متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة |
|
|
| 270 |
| 00:26:38,500 --> 00:26:59,280 |
| C بتقودى إلى العبارة A فأفرضي |
|
|
| 271 |
| 00:26:59,280 --> 00:27:08,370 |
| أن العبارة C متحققة suppose C holds بعدين، بدنا |
|
|
| 272 |
| 00:27:08,370 --> 00:27:12,250 |
| نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood |
|
|
| 273 |
| 00:27:12,250 --> 00:27:17,730 |
| definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any |
|
|
| 274 |
| 00:27:17,730 --> 00:27:24,590 |
| neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhood لأي |
|
|
| 275 |
| 00:27:24,590 --> 00:27:28,910 |
| neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله |
|
|
| 276 |
| 00:27:28,910 --> 00:27:32,030 |
| epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك |
|
|
| 277 |
| 00:27:32,030 --> 00:27:37,430 |
| وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث أن ال epsilon |
|
|
| 278 |
| 00:27:37,430 --> 00:27:44,890 |
| neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه |
|
|
| 279 |
| 00:27:44,890 --> 00:27:51,090 |
| المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in |
|
|
| 280 |
| 00:27:51,090 --> 00:28:01,600 |
| وهذه x سلب epsilon هذا عبارة عن v epsilon ل x هذا |
|
|
| 281 |
| 00:28:01,600 --> 00:28:08,880 |
| المفروض تكون x مش xm، إذا لو كان v epsilon |
|
|
| 282 |
| 00:28:08,880 --> 00:28:15,740 |
| neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon |
|
|
| 283 |
| 00:28:15,740 --> 00:28:20,520 |
| neighborhood للـ x اللي هو v epsilon للـ x الآن من |
|
|
| 284 |
| 00:28:20,520 --> 00:28:21,400 |
| الجزء c |
|
|
| 285 |
| 00:28:25,470 --> 00:28:29,650 |
| لأي أبسلون من الجزء C، لأي أبسلون، لأي بما أن هذا |
|
|
| 286 |
| 00:28:29,650 --> 00:28:33,170 |
| أبسلون أكبر من الصفر، إذا بنقدر نلاقي capital N |
|
|
| 287 |
| 00:28:33,170 --> 00:28:36,310 |
| يعتمد على أبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي |
|
|
| 288 |
| 00:28:36,310 --> 00:28:40,230 |
| capital N، الـ absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا |
|
|
| 289 |
| 00:28:40,230 --> 00:28:45,660 |
| من الجزء C، طب ما هذا معناه الـ implication هذه |
|
|
| 290 |
| 00:28:45,660 --> 00:28:50,920 |
| معناها لكل n أكبر من أو يساوي capital N، لو فكيت |
|
|
| 291 |
| 00:28:50,920 --> 00:28:58,800 |
| المتباينة هذه، معناها xn ينتمي، هذا عبارة عن x ينتمي |
|
|
| 292 |
| 00:28:58,800 --> 00:29:06,480 |
| للـ فترة المفتوحة x minus y و x زائد epsilon اللي هو الـ |
|
|
| 293 |
| 00:29:06,480 --> 00:29:09,720 |
| epsilon neighborhood للـ x اللي هو subset من V |
|
|
| 294 |
| 00:29:11,670 --> 00:29:19,650 |
| وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن الـ XIN ينتمي إلى الـ |
|
|
| 295 |
| 00:29:19,650 --> 00:29:24,530 |
| neighborhood V كمان |
|
|
| 296 |
| 00:29:24,530 --> 00:29:30,830 |
| مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي لـ a، افرض أن |
|
|
| 297 |
| 00:29:30,830 --> 00:29:36,610 |
| العبارة C صحيحة، الآن لإثبات a اللي هي x in converge |
|
|
| 298 |
| 00:29:36,610 --> 00:29:40,790 |
| للـ x، بتثبت أنه الـ neighborhood definition للـ |
|
|
| 299 |
| 00:29:40,790 --> 00:29:45,750 |
| convergence بتحقق، يعني x عبارة عن limit للـ |
|
|
| 300 |
| 00:29:45,750 --> 00:29:48,650 |
| sequence xn، فنرجع لتعريف الـ neighborhood |
|
|
| 301 |
| 00:29:48,650 --> 00:29:53,190 |
| definition of convergence، نبدأ بـ neighborhood للـ x |
|
|
| 302 |
| 00:29:53,190 --> 00:29:57,910 |
| ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood للـ x يحتوي |
|
|
| 303 |
| 00:29:57,910 --> 00:30:04,160 |
| epsilon neighborhood، الآن من C.. C بيقول لي إذا في |
|
|
| 304 |
| 00:30:04,160 --> 00:30:08,400 |
| عندك إبسلون موجبة، تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها |
|
|
| 305 |
| 00:30:08,400 --> 00:30:12,940 |
| بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، المسافة |
|
|
| 306 |
| 00:30:12,940 --> 00:30:17,660 |
| هذه أصغر من إبسلون، طب هذه الـ implication الأخيرة هي |
|
|
| 307 |
| 00:30:17,660 --> 00:30:22,380 |
| N أكبر من أو يساوي capital N بتقدي في حل المتباينة |
|
|
| 308 |
| 00:30:22,380 --> 00:30:28,640 |
| هذه في Xn، فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X زائد epsilon اللي هو |
|
|
| 309 |
| 00:30:28,640 --> 00:30:33,320 |
| هذا الـ epsilon neighborhood اللي هو داخل V وبالتالي |
|
|
| 310 |
| 00:30:33,320 --> 00:30:37,660 |
| لكل N أكبر من أو يساوي capital N، طلع Xn ينتمي للـ |
|
|
| 311 |
| 00:30:37,660 --> 00:30:42,300 |
| neighborhood V، هذا من التعريف معناه Xn converge لـ |
|
|
| 312 |
| 00:30:42,300 --> 00:30:48,820 |
| X، وبالتالي اللي هي عبارة a صحيحة تمام؟ إذا هيك |
|
|
| 313 |
| 00:30:48,820 --> 00:30:53,940 |
| بنكون أثبتنا النظرية، أن التلات تعريفات هذه كلها |
|
|
| 314 |
| 00:30:53,940 --> 00:30:54,840 |
| متكافئة |
|
|
| 315 |
| 00:31:02,750 --> 00:31:06,990 |
| في تعريف الـ tail of a sequence أو الـ M tail of a |
|
|
| 316 |
| 00:31:06,990 --> 00:31:11,070 |
| sequence، احنا عارفين أن لو في عندي أي.. لأي |
|
|
| 317 |
| 00:31:11,070 --> 00:31:18,570 |
| sequence Xn، لو خدت M عدد طبيعي أي عدد طبيعي |
|
|
| 318 |
| 00:31:18,570 --> 00:31:24,210 |
| natural number، و Xn أي sequence of real numbers |
|
|
| 319 |
| 00:31:24,210 --> 00:31:31,330 |
| فالـ Xn هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 وهكذا |
|
|
| 320 |
| 00:31:32,450 --> 00:31:41,130 |
| إلى x رقم m، الآن الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زائد |
|
|
| 321 |
| 00:31:41,130 --> 00:31:50,010 |
| واحد واللي بعده xm زائد اتنين وهكذا إذا |
|
|
| 322 |
| 00:31:50,010 --> 00:31:53,130 |
| الـ sequence هذه ممكن أكتبها على الصورة هذه حيث m |
|
|
| 323 |
| 00:31:53,130 --> 00:31:57,770 |
| هنا عدد طبيعي ما ثابت |
|
|
| 324 |
| 00:31:59,680 --> 00:32:10,460 |
| الآن لو أنا ركزت على الجزء هذا من الـ sequence و |
|
|
| 325 |
| 00:32:10,460 --> 00:32:20,440 |
| الجزء هذا هو أول m من حدود الـ sequence، حذفتها، فإذا |
|
|
| 326 |
| 00:32:20,440 --> 00:32:22,400 |
| هذا بنسميه m tail |
|
|
| 327 |
| 00:32:28,870 --> 00:32:37,630 |
| مثل الـ sequence xn، الدنب m دنب m، مش هذا دنب يعني تصور |
|
|
| 328 |
| 00:32:37,630 --> 00:32:42,110 |
| إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول m من الحدود ده هي |
|
|
| 329 |
| 00:32:42,110 --> 00:32:47,570 |
| الرأس، جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب، مش هيك بيقولوا |
|
|
| 330 |
| 00:32:47,570 --> 00:32:50,870 |
| الدنب |
|
|
| 331 |
| 00:32:50,870 --> 00:32:56,090 |
| هذا طويل، بنبدأ يعني في عدد لانهائي من الحدود، الرأس |
|
|
| 332 |
| 00:32:56,090 --> 00:33:02,470 |
| محدود، هي عدد منتهي من الحدود، إذا الـ sequence لو |
|
|
| 333 |
| 00:33:02,470 --> 00:33:08,250 |
| أنا حدفت أول M من حدودها، فباقي الجزء المتبقي من الـ |
|
|
| 334 |
| 00:33:08,250 --> 00:33:16,070 |
| sequence بنسميه M tail، واضح؟ طيب إذا الآن في نظرية |
|
|
| 335 |
| 00:33:16,070 --> 00:33:18,250 |
| اتنين تلاتة أو نظرية تالتة |
|
|
| 336 |
| 00:33:20,720 --> 00:33:23,800 |
| ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في عندي |
|
|
| 337 |
| 00:33:23,800 --> 00:33:29,500 |
| إذا هاي الـ m tail هذا الـ m tail ممكن كتابته على |
|
|
| 338 |
| 00:33:29,500 --> 00:33:35,820 |
| صورة sequence هاي x المؤشر، الحد العام تبع الـ m |
|
|
| 339 |
| 00:33:35,820 --> 00:33:40,660 |
| tail، m زائد n حيث n العداد الطبيعي، m ثابت و n |
|
|
| 340 |
| 00:33:40,660 --> 00:33:43,980 |
| العداد الطبيعي، وبالتالي هنا لو كانت n بـالساوية |
|
|
| 341 |
| 00:33:43,980 --> 00:33:50,800 |
| واحد، أول حد xm زائد واحد وهكذا، طيب الآن النظرية |
|
|
| 342 |
| 00:33:50,800 --> 00:33:57,980 |
| التالية بتقول لي أنه لو كان الـ M tail convergent |
|
|
| 343 |
| 00:34:02,380 --> 00:34:07,760 |
| فالـ sequence نفسها الـ M بتكون convergent والعكس، |
|
|
| 344 |
| 00:34:07,760 --> 00:34:12,020 |
| لو كانت الـ sequence convergent فأي M tail منها |
|
|
| 345 |
| 00:34:12,020 --> 00:34:15,940 |
| هيكون convergent واثنين لهم نفس الـ limit، اثنين |
|
|
| 346 |
| 00:34:15,940 --> 00:34:20,020 |
| لهم نفس الـ limit، إذا مرة ثانية لو كان في عندك |
|
|
| 347 |
| 00:34:20,020 --> 00:34:27,500 |
| sequence Xn، M fixed natural number، فالـ M tail اللي |
|
|
| 348 |
| 00:34:27,500 --> 00:34:32,350 |
| هو الـ sequence هذه، converges if and only if |
|
|
| 349 |
| 00:34:32,350 --> 00:34:39,210 |
| الـ sequence نفسها converges، وهي البرهان هذا الـ part |
|
|
| 350 |
| 00:34:39,210 --> 00:34:43,750 |
| f، افرض |
|
|
| 351 |
| 00:34:43,750 --> 00:34:48,290 |
| أن xn convergent، نثبت أن الـ m tail convergent |
|
|
| 352 |
| 00:34:48,290 --> 00:34:54,540 |
| ماشي الحال؟ طيب إذا كانت xn convergent للـ x، يعني الـ |
|
|
| 353 |
| 00:34:54,540 --> 00:34:57,620 |
| limit تبعها، إذا كانت convergent فلازم يكون لها |
|
|
| 354 |
| 00:34:57,620 --> 00:35:02,020 |
| limit، فأفرض أن الـ limit تبعها x، الآن حسب epsilon |
|
|
| 355 |
| 00:35:02,020 --> 00:35:06,080 |
| capital N definition للـ limit أو للـ convergence |
|
|
| 356 |
| 00:35:06,080 --> 00:35:11,140 |
| إذا لأي epsilon أكبر من 0، نقدر نلاقي N يعتمد على |
|
|
| 357 |
| 00:35:11,140 --> 00:35:15,860 |
| epsilon، عدد طبيعي كبير وممكن ناخده يكون أكبر من |
|
|
| 358 |
| 00:35:15,860 --> 00:35:22,040 |
| العدد الثابت، العدد الطبيعي الثابت M بحيث أنه لكل N |
|
|
| 359 |
| 00:35:22,040 --> 00:35:25,900 |
| أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X و N اللي هو X |
|
|
| 360 |
| 00:35:25,900 --> 00:35:31,410 |
| أصغر من epsilon، هذا من تعريف الـ epsilon capital N |
|
|
| 361 |
| 00:35:31,410 --> 00:35:37,590 |
| definition للـ convergence، طيب اللي أنا بقدر أعرف |
|
|
| 362 |
| 00:35:37,590 --> 00:35:43,930 |
| capital N prime على أنه capital N مطروح منها |
|
|
| 363 |
| 00:35:43,930 --> 00:35:50,060 |
| capital M، طبعا هنا capital N احنا اختارناها أكبر من |
|
|
| 364 |
| 00:35:50,060 --> 00:35:54,220 |
| M، فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي |
|
|
| 365 |
| 00:35:54,220 --> 00:35:59,500 |
| إذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي، هذا عدد |
|
|
| 366 |
| 00:35:59,500 --> 00:36:03,220 |
| ثابت وهذا يعتمد على epsilon، إذا N prime الفرق |
|
|
| 367 |
| 00:36:03,220 --> 00:36:09,000 |
| بينهم يعتمد على epsilon، تمام؟ إذا هنا عرفنا N' عدد |
|
|
| 368 |
| 00:36:09,000 --> 00:36:14,320 |
| طبيعي ويعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي M عدد |
|
|
| 369 |
| 00:36:14,320 --> 00:36:16,960 |
| طبيعي أكبر من أو يساوي N' |
|
|
| 370 |
| 00:36:20,020 --> 00:36:25,520 |
| فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زائد small |
|
|
| 371 |
| 00:36:25,520 --> 00:36:29,980 |
| m أكبر من أو يساوي N prime زائد capital M، طب N prime |
|
|
| 372 |
| 00:36:29,980 --> 00:36:34,540 |
| زائد capital M بيساوي N epsilon وبالتالي هذا أكبر من |
|
|
| 373 |
| 00:36:34,540 --> 00:36:40,860 |
| أو يساوي N ل epsilon، إذا حسب الـ implication 1، الـ |
|
|
| 374 |
| 00:36:40,860 --> 00:36:45,260 |
| implication 1 بتقول لي لأي عدد طبيعي.. لأي عدد |
|
|
| 375 |
| 00:36:45,260 --> 00:36:50,560 |
| طبيعي أكبر من أو يساوي capital N لازم يطلع الـ |
|
|
| 376 |
| 00:36:50,560 --> 00:36:56,900 |
| absolute value لـ X sub العدد الطبيعي اللي هو M زائد |
|
|
| 377 |
| 00:36:56,900 --> 00:36:59,320 |
| M ناقص X أصغر من epsilon |
|
|
| 378 |
| 00:37:03,110 --> 00:37:08,470 |
| وهذا بيدّي أن الـ tail.. الـ tail of the sequence |
|
|
| 379 |
| 00:37:08,470 --> 00:37:13,110 |
| converge للـ X حسب التعريف، ما معناه أن الـ tail هذا |
|
|
| 380 |
| 00:37:13,110 --> 00:37:18,470 |
| convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر.. |
|
|
| 381 |
| 00:37:18,470 --> 00:37:25,050 |
| لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime.. هيوجد N |
|
|
| 382 |
| 00:37:25,050 --> 00:37:29,130 |
| prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon |
|
|
| 383 |
| 00:37:31,850 --> 00:37:38,290 |
| يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون، بحيث لكل M أكبر |
|
|
| 384 |
| 00:37:38,290 --> 00:37:44,350 |
| من أو يساوي N'، طلع المسافة بين الحد رقم capital M |
|
|
| 385 |
| 00:37:44,350 --> 00:37:47,690 |
| زائد small m ناقص X أصغر من إبسلون، هذا بالضبط |
|
|
| 386 |
| 00:37:47,690 --> 00:37:53,310 |
| معناه إن الـ sequence هذه converge لـ X as M tends |
|
|
| 387 |
| 00:37:53,310 --> 00:37:59,580 |
| to infinity، إذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت الـ |
|
|
| 388 |
| 00:37:59,580 --> 00:38:03,240 |
| sequence xn converge للـ x، فالتالت تبعها converge |
|
|
| 389 |
| 00:38:03,240 --> 00:38:10,720 |
| للـ x، okay، تمام، العكس، العكس يعني ضايق، ممكن يعني |
|
|
| 390 |
| 00:38:10,720 --> 00:38:20,220 |
| نبرهن العكس في دقيقة أو دقيقتين، العكس |
|
|
| 391 |
| 00:38:20,220 --> 00:38:26,390 |
| يعني هذا العكس اللي هو الـ only if part، نفرض المرة |
|
|
| 392 |
| 00:38:26,390 --> 00:38:30,450 |
| هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ |
|
|
| 393 |
| 00:38:30,450 --> 00:38:34,770 |
| tail of the sequence converged للـ X وبينما نثبت أن |
|
|
| 394 |
| 00:38:34,770 --> 00:38:40,170 |
| الـ sequence نفسها convergent للـ X برضه، فنستخدم |
|
|
| 395 |
| 00:38:40,170 --> 00:38:42,930 |
| تعريف epsilon capital N definition للـ convergence |
|
|
| 396 |
| 00:38:42,930 --> 00:38:48,710 |
| اللي هو الجزء C من نظرية 2 2، فناخد given epsilon |
|
|
| 397 |
| 00:38:48,710 --> 00:38:53,080 |
| أو let epsilon أكبر من الصفر، بـ given، بما أن الـ |
|
|
| 398 |
| 00:38:53,080 --> 00:38:56,560 |
| sequence هذه converge للـ X، إذا يوجد capital N يعتمد |
|
|
| 399 |
| 00:38:56,560 --> 00:39:00,740 |
| على إبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي capital N |
|
|
| 400 |
| 00:39:00,740 --> 00:39:04,560 |
| المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر |
|
|
| 401 |
| 00:39:04,560 --> 00:39:12,790 |
| من إبسلون، الآن بنعرف capital K على أنه العدد |
|
|
| 402 |
| 00:39:12,790 --> 00:39:18,250 |
| الطبيعي الثابت M زائد العدد الطبيعي capital N، فطبعا |
|
|
| 403 |
| 00:39:18,250 --> 00:39:22,490 |
| مجموعة الأعداد الطبيعيين، عدد طبيعي capital N يعتمد على |
|
|
| 404 |
| 00:39:22,490 --> 00:39:26,670 |
| epsilon، إذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon |
|
|
| 405 |
| 00:39:26,670 --> 00:39:32,330 |
| إذا هنا أنا وجدت أو جدت أو عرفت عدد طبيعي capital |
|
|
| 406 |
| 00:39:32,330 --> 00:39:37,610 |
| K يعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي N أكبر من أو |
|
|
| 407 |
| 00:39:37,610 --> 00:39:43,170 |
| يساوي الـ capital K فاترحي.. اترحي N من هنا و اترحي |
|
|
| 408 |
| 00:39:43,170 --> 00:39:50,350 |
| N من هنا، M عفوا، M، لو طرحنا M من الطرفين المتباينة |
|
|
| 409 |
| 00:39:50,350 --> 00:39:55,330 |
| هذه فبطلع N ناقص capital M أكبر من أو يساوي K |
|
|
| 410 |
| 00:39:55,330 --> 00:40:01,170 |
| ناقص M، طب هاي K اطرحي منها M بيساوي N وبالتالي |
|
|
| 411 |
| 00:40:01,170 --> 00:40:05,950 |
| بطلع N ناقص M أكبر من أو يساوي N، الآن من الـ |
|
|
| 412 |
| 00:40:05,950 --> 00:40:11,550 |
| implication 2، الـ implication 2 بتقول لأي N |
|
|
| 413 |
| 00:40:11,550 --> 00:40:15,650 |
| أكبر من أو يساوي capital، أي عدد طبيعيلو كان العدد |
|
|
| 414 |
| 00:40:15,650 --> 00:40:20,950 |
| الطبيعي هذا أكبر من أو يساوي capital N، فالمسافة بين |
|
|
| 415 |
| 00:40:20,950 --> 00:40:27,390 |
| X للعدد الطبيعي، وأضيف عليه M، إذا بدي أضيف على هذا |
|
|
| 416 |
| 00:40:27,390 --> 00:40:32,230 |
| M، المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي |
|
|
| 417 |
| 00:40:32,230 --> 00:40:37,770 |
| هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه وبين X |
|
|
| 418 |
| 00:40:37,770 --> 00:40:42,770 |
| بيطلع أصغر من Epsilon، إذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي |
|
|
| 419 |
| 00:40:42,770 --> 00:40:46,970 |
| إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على |
|
|
| 420 |
| 00:40:46,970 --> 00:40:53,790 |
| إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر |
|
|
| 421 |
| 00:40:53,790 --> 00:40:57,570 |
| من الصفر يوجد عدد طبيعي K يعتمد على إبسلون |
|
|
| 422 |
| 00:40:57,570 --> 00:41:06,250 |
| بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي K لكل n |
|
|
| 423 |
| 00:41:06,250 --> 00:41:10,590 |
| أكبر من أو يساوي K تطلع المسافة بين xn و x |
|
|
| 424 |
| 00:41:10,590 --> 00:41:15,370 |
| أصغر من إبسلون إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence |
|
|
| 425 |
| 00:41:15,370 --> 00:41:22,590 |
| xn converge لـ x زي ما هو مطلوب وهذا يكمل برهان |
|
|
| 426 |
| 00:41:22,590 --> 00:41:26,410 |
| النظرية okay تمام واضح |
|
|
| 427 |
| 00:41:31,150 --> 00:41:37,130 |
| طيب احنا بنكتفي بهذا القدر وإن شاء الله في |
|
|
| 428 |
| 00:41:37,130 --> 00:41:42,010 |
| المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات وناخد |
|
|
| 429 |
| 00:41:42,010 --> 00:41:46,350 |
| أمثلة كيف نثبت أن ال limit لـ sequence لـ |
|
|
| 430 |
| 00:41:46,350 --> 00:41:51,090 |
| convergence sequence بالساوي عدد معين وهكذا طبعا |
|
|
| 431 |
| 00:41:51,090 --> 00:41:54,130 |
| كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها وتحضروها |
|
|
| 432 |
| 00:41:54,130 --> 00:41:56,010 |
| للمحاضرة الجاية |
|
|
