PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CINg1xNQafM_postprocess.srt

1
00:00:21,320 --> 00:00:25,400
هنبدأ ان شاء الله اليوم chapter جديد و هو ال

2
00:00:25,400 --> 00:00:30,060
chapter التاني عنوان ال chapter sequences and

3
00:00:30,060 --> 00:00:35,960
series المتتاليات و المتسلسلات طبعا الموضوع هذا

4
00:00:35,960 --> 00:00:43,220
مار معاكم في تفاضل ألف .. تفاضل با عفوا و درسنا

5
00:00:43,220 --> 00:00:46,860
خواص ال sequences بطريقة مختصرة و ال series

6
00:00:46,860 --> 00:00:53,710
اتوسعنا فيهاالمرة هذه هنتوسع في ال sequences و

7
00:00:53,710 --> 00:00:58,750
هنختصر في ال series العكس يعني و هنتناول دراسة كل

8
00:00:58,750 --> 00:01:06,130
منهم بطريقة تحليلية و طريقة موضعية أكتر يعني من

9
00:01:06,130 --> 00:01:07,270
وجه اتناظر رياضية

10
00:01:10,330 --> 00:01:13,590
فأول section في هذا ال chapter هيكون عنوانه

11
00:01:13,590 --> 00:01:17,610
sequences and their limits المتتاليات و نهاياتهم

12
00:01:22,470 --> 00:01:28,630
فنشوف تعريف ال sequence ال sequence in X ما معنى

13
00:01:28,630 --> 00:01:33,110
sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعا هناخد

14
00:01:33,110 --> 00:01:37,470
هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة اللي

15
00:01:37,470 --> 00:01:42,450
احنا بنهتم فيها في ال course هذا ف sequence in X

16
00:01:42,450 --> 00:01:47,410
يعني ال sequence على سرها تنتمي للمجموعة Xفلو أخدت

17
00:01:47,410 --> 00:01:52,610
أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما

18
00:01:52,610 --> 00:01:55,470
هي ال sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد

19
00:01:55,470 --> 00:02:00,970
function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي

20
00:02:00,970 --> 00:02:04,970
مجموعة جزئية منها والمجال المقابل تبعها هي

21
00:02:04,970 --> 00:02:09,820
المجموعة x اللي ال sequence تنتمي إليهاو في الحالة

22
00:02:09,820 --> 00:02:13,360
هذه إذا ال sequence هي function دالة بس دالة من

23
00:02:13,360 --> 00:02:19,320
نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية و عادة احنا

24
00:02:19,320 --> 00:02:23,320
بنهتم بال sequences of real numbers او المتتاليات

25
00:02:23,320 --> 00:02:27,280
اللي عناصرها أعداد حقيقية وبالتالي X هذه هتكون

26
00:02:27,280 --> 00:02:31,460
اللي هو مجموعة الأعداد الحقيقية طيب هذه ال

27
00:02:31,460 --> 00:02:35,410
sequence functionمجالها العداد الطبيعي وبالتالي

28
00:02:35,410 --> 00:02:40,350
ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN

29
00:02:40,350 --> 00:02:47,030
XN طبعا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي ال .. ال ..

30
00:02:47,030 --> 00:02:52,910
ال sequence FN هذه احنا بنحاول نعرفها بدلالة ال

31
00:02:52,910 --> 00:02:56,720
range تبعهايعني بدل ما اقول ال sequence هي

32
00:02:56,720 --> 00:03:01,800
function جرّت العادة ان احنا نحذف رمز ال function

33
00:03:01,800 --> 00:03:05,980
و نستبدله بال range تبع ال function اللي هو y ال

34
00:03:05,980 --> 00:03:09,960
range تبع ال function كل ال x n حيث n عدد طبيعي

35
00:03:09,960 --> 00:03:13,980
ببدأ من واحد من ت أنما إلى نهاية اذا ال sequence

36
00:03:13,980 --> 00:03:18,600
بدل ما نكتبها على صورة function هنكتبها على الصورة

37
00:03:18,600 --> 00:03:24,340
هذه او الصورة هذه او الصورة هذه او الصورة هذه okay

38
00:03:26,550 --> 00:03:30,070
و طبعا ال sequence هذه يعني أسرها هذه أو أي واحدة

39
00:03:30,070 --> 00:03:37,350
منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 و هكذا

40
00:03:40,840 --> 00:03:45,180
فكل الرموز هذه ترمز إلى ال sequence هذه اللي هي ال

41
00:03:45,180 --> 00:03:53,400
function f اللي هي ال function f okay إذن أهم شيء

42
00:03:53,400 --> 00:03:56,480
في تعريفنا أن ال sequence هي function دلنا

43
00:03:56,480 --> 00:04:00,400
وبالتالي لها مجال مجالها العداد الطبيعي المجال

44
00:04:00,400 --> 00:04:04,420
المقابل هي المجموعة اللي عناصر ال sequence تنتمي

45
00:04:04,420 --> 00:04:10,950
لها ال sequences ممكن أعرفهم بطريقتينإذا في

46
00:04:10,950 --> 00:04:15,970
الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly

47
00:04:15,970 --> 00:04:19,910
هذه أحد الطرق ممكن يعرف ال sequence بطريقة صريحة

48
00:04:19,910 --> 00:04:27,890
بطريقة بقانونفمثلا ال sequence if بالساوية عناصرها

49
00:04:27,890 --> 00:04:31,670
اتنين اربعة ستة تمانية الاخرى هذه عبارة عن

50
00:04:31,670 --> 00:04:38,130
sequence وهي معرفة بطريقة صريحة فهذه عبارة عن

51
00:04:38,130 --> 00:04:42,630
sequence of even natural members العداد الطبيعية

52
00:04:42,630 --> 00:04:47,790
الزوجيةممكن نكتب الحد العام الانف هذا بنسميه الانف

53
00:04:47,790 --> 00:04:53,710
term اكس ان هذا هنا بنسميه الانف term الحد النوني

54
00:04:53,710 --> 00:04:59,190
الحد النوني او الحد العام فال انف term هنا هو

55
00:04:59,190 --> 00:05:08,180
اتنين ان اكس ان بساوي اتنين ان حيث ان عدد طبيعيأو

56
00:05:08,180 --> 00:05:12,620
ممكن نكتب ال sequence على صورة 2n من n بالساعة

57
00:05:12,620 --> 00:05:16,740
واحد إلى ملا نهائية إذا هنا أنا بعرف ال sequence

58
00:05:16,740 --> 00:05:22,960
برص حدودها أول تلات حدود إلى و هكذا أو بكتب قاعدة

59
00:05:22,960 --> 00:05:27,880
لحد العام xn و طبعا n أدى الطبيعي فمقدر من القاعدة

60
00:05:27,880 --> 00:05:32,740
هذه أجيب كل الحدود إذا هذا explicit definition of

61
00:05:32,740 --> 00:05:39,150
a sequence هذا تعريف صريح لل sequenceفي طريقة

62
00:05:39,150 --> 00:05:44,870
تانية لتعريف ال sequence وهي الطريقة الاستقرائية،

63
00:05:44,870 --> 00:05:49,330
إذا ال sequences can be defined inductively أو

64
00:05:49,330 --> 00:05:55,970
recursivelyبطريقة استقرائية او بطريقة تكرارية كيف

65
00:05:55,970 --> 00:06:02,290
هذه الطريقة باجي لل sequence و باخد اول حد فيها زي

66
00:06:02,290 --> 00:06:07,250
X1 او اول حدين او اول تلات حدود و بعطيهم قيم

67
00:06:07,250 --> 00:06:16,010
بحددهم قيم محددة بعطيهم قيم محددة بعدين باجيبباجي

68
00:06:16,010 --> 00:06:21,990
بعبّر عن الحد xn زايد واحد او xn بدلالة الحدود

69
00:06:21,990 --> 00:06:27,850
اللي جابله وبستخدم طبعا لهذا formula بنسميها

70
00:06:27,850 --> 00:06:32,070
recursive formula او inductive formula كما في

71
00:06:32,070 --> 00:06:39,550
المثال التالي يعني انا عند ال sequence 2n هذه انا

72
00:06:39,550 --> 00:06:48,000
عند ال sequence xn بساوة 2nهذه ممكن أعرفها بطريقة

73
00:06:48,000 --> 00:06:57,140
استقرائية كيف باخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة

74
00:06:57,140 --> 00:07:01,220
محددة وهي 2 طبعا أول حد في ال sequence هذه هو 2

75
00:07:01,220 --> 00:07:06,760
صح؟ لأن هنا أخدت x1 وعطيته قيمة محددة ممكن في بعض

76
00:07:06,760 --> 00:07:12,140
الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة ل x1 و x2 و x3بعدين

77
00:07:12,140 --> 00:07:19,100
باجي إلى الحد رقم n زياد واحد و بعبر عنه ب

78
00:07:19,100 --> 00:07:23,000
recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد اللي جابله

79
00:07:23,000 --> 00:07:26,760
او الحد اللي جابله مباشرة و الجاب اللي جابله و

80
00:07:26,760 --> 00:07:32,510
هكذافهذه بنسميها recursive أو inductive formula

81
00:07:32,510 --> 00:07:37,150
تعطيني لحد رقم n زاد واحد بدالة الحد اللي جابله xn

82
00:07:37,150 --> 00:07:43,870
فمثلا لو بده أحسب x2 فباخد n بساوي واحد هنا صح

83
00:07:43,870 --> 00:07:50,110
فبطل عند x2 بساوي x1 زاد اتنين x1 بساوي اتنين زاد

84
00:07:50,110 --> 00:07:56,400
اتنين بطلع أربعةX3 برضه عشان اجيب X3 بستخدم ال

85
00:07:56,400 --> 00:08:00,480
recursive formula و باخد N بساوي 2 فبطلع عند X3

86
00:08:00,480 --> 00:08:06,600
بساوي X2 زائد 2 X2 أربعة و اتنين بطلع ستة و هكذا

87
00:08:06,600 --> 00:08:13,340
اذا هيك بحصل على ال sequence 2N اللي حدودها 2 4 6

88
00:08:13,340 --> 00:08:20,460
8 و هكذا اه okay تمام ال

89
00:08:20,460 --> 00:08:30,520
..طيب الان بدي اعرف ما معناه ان ال sequence تكون

90
00:08:30,520 --> 00:08:36,500
convergent او لها limit لو في عندى sequence من

91
00:08:36,500 --> 00:08:37,720
العداد الحقيقية

92
00:08:41,200 --> 00:08:45,480
فبقول إن ال sequence converge

93
00:08:45,480 --> 00:08:51,860
ال sequence of real numbers بتكون converge أو

94
00:08:51,860 --> 00:08:59,940
convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي ل R بحيث إنه لكل

95
00:08:59,940 --> 00:09:06,200
neighborhood V ل X لكل جوار V ل X بقدر أو جد أو

96
00:09:06,200 --> 00:09:12,250
ألاقيعدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي

97
00:09:12,250 --> 00:09:17,030
لعداد الطبيعية بحيث أنه لكل small n أكبر من أو سوى

98
00:09:17,030 --> 00:09:21,770
capital N، Xn ينتمي إلى V يعني الجوار V هذا يحتوي

99
00:09:21,770 --> 00:09:29,100
كل عناصر ال sequence من capital N وانت طالعفلو هذا

100
00:09:29,100 --> 00:09:34,020
الشرط اتحقق فبنقول ان الـ sequence converge و ال

101
00:09:34,020 --> 00:09:38,040
limit تبعتها هي العدد X في الحالة هذه بنقول ان X

102
00:09:38,040 --> 00:09:46,080
is the limit of sequence X in و

103
00:09:46,080 --> 00:09:51,180
بنكتب limit X in بالساوية X او نكتب X in tends to

104
00:09:51,180 --> 00:09:57,750
X as N tends to infinityهذا التعريف بنسميه ال

105
00:09:57,750 --> 00:10:05,170
neighborhood neighborhood definition neighborhood

106
00:10:05,170 --> 00:10:16,710
definition of convergence تعريف

107
00:10:16,710 --> 00:10:18,210
الجوار للتقارب

108
00:10:22,960 --> 00:10:28,200
طيب لو ال sequence ماكانش لها limit يعني مافيش لا

109
00:10:28,200 --> 00:10:34,560
يوجد x ينتمي ل r بحقق الشرط هذا فبنقول ان ال

110
00:10:34,560 --> 00:10:40,060
sequence ليست not convergent او divergent اذا لو

111
00:10:40,060 --> 00:10:45,220
ال sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent

112
00:10:45,220 --> 00:10:50,820
اذا مثلا بتكون ال sequence convergent اذا كان في

113
00:10:50,820 --> 00:10:54,560
لها limitطب ما معناه ان ال sequence يكون لها

114
00:10:54,560 --> 00:11:01,680
limit؟ معناه ان يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V ل

115
00:11:01,680 --> 00:11:08,260
X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث ان

116
00:11:08,260 --> 00:11:14,120
كل حدود ال sequence تنتمي للجوار هذا والمؤشر تبعها

117
00:11:14,120 --> 00:11:20,130
ببدأ من capital N وانت طالعيعني معنى الكلام هذا ..

118
00:11:20,130 --> 00:11:28,290
هذا الكلام معناه ان X capital N و X capital N زائد

119
00:11:28,290 --> 00:11:35,990
واحد و X capital N زائد اتنين و هكذا كل هدول

120
00:11:35,990 --> 00:11:38,630
بينتموا الى الجوار دي

121
00:11:44,830 --> 00:11:48,590
لو ال sequence مالهاش limit فبنسميها divergent

122
00:11:48,590 --> 00:11:56,190
okay طبعا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. اه

123
00:11:56,190 --> 00:12:01,410
جوار ل X يعني مجموعة تحتوي ال X و الجوار عشان V

124
00:12:01,410 --> 00:12:05,710
يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله

125
00:12:05,710 --> 00:12:10,010
epsilon نبرهون كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهون

126
00:12:15,360 --> 00:12:23,300
يعني مش اي مجموعة طيب

127
00:12:23,300 --> 00:12:27,780
ال .. ان لو

128
00:12:27,780 --> 00:12:32,800
في اندي سيكوانس و السيكوانس هاد convergent ف ال

129
00:12:32,800 --> 00:12:34,600
limit تبعتها بتطلع unique

130
00:12:41,740 --> 00:12:45,620
النظرية الأولى بتقول لو كانت x in sequence of real

131
00:12:45,620 --> 00:12:51,320
numbers و converge ل x و converge ل y يعني لها two

132
00:12:51,320 --> 00:12:55,740
limits فلازم ال limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع

133
00:12:55,740 --> 00:12:59,940
ال convergence sequence يكون لها أكتر من limit

134
00:12:59,940 --> 00:13:05,400
يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a

135
00:13:05,400 --> 00:13:06,140
unique limit

136
00:13:09,340 --> 00:13:13,560
خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence

137
00:13:13,560 --> 00:13:20,440
x in converge ل x و أيضا converge ل y المطلوب

138
00:13:20,440 --> 00:13:25,540
إثبات إن x بساوي y لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض

139
00:13:25,540 --> 00:13:30,680
assume on contrary إن x لا تساوي y اللي هو نفي

140
00:13:30,680 --> 00:13:36,600
النتيجة و بينصل لتناقض في exercise 15 في section 2

141
00:13:36,600 --> 00:13:41,810
.2أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي

142
00:13:41,810 --> 00:13:49,130
عددين حقيقيين x و y فبقدر

143
00:13:49,130 --> 00:13:57,250
ألاقي v1 جوار ل x و

144
00:13:57,250 --> 00:14:05,390
بقدر ألاقي v2 v2

145
00:14:05,390 --> 00:14:06,610
جوار ل y

146
00:14:09,920 --> 00:14:17,120
بحيث ان تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint

147
00:14:19,260 --> 00:14:24,660
تمام؟ لو كان في عندي عددين حققين x لا يساوي y بقدر

148
00:14:24,660 --> 00:14:31,280
ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y و الجوارين هدول

149
00:14:31,280 --> 00:14:36,660
منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا اه فقولنا خدي

150
00:14:36,660 --> 00:14:45,290
epsilon بساوي نص المسافة بين x و yو هد خلّي x زاد

151
00:14:45,290 --> 00:14:50,410
y و النقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood

152
00:14:50,410 --> 00:14:55,570
ل x وبالتالي neighborhood ل x و خدي هنا برضه هد

153
00:14:55,570 --> 00:15:01,030
عبارة عن y سالب y و النقطة هد y زاد y

154
00:15:03,680 --> 00:15:09,460
فال .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت

155
00:15:09,460 --> 00:15:13,180
epsilon نص المسافة هذه و هذه فترة مفتوعة و هذه

156
00:15:13,180 --> 00:15:18,560
مفتوعة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا

157
00:15:18,560 --> 00:15:23,620
الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا

158
00:15:23,620 --> 00:15:30,310
كان x لا يساوي yفطبعا ممكن نفرض ان x أصغر من y أو

159
00:15:30,310 --> 00:15:35,170
y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this

160
00:15:35,170 --> 00:15:43,630
joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2

161
00:15:43,630 --> 00:15:50,910
منفصلين الان احنا فرضين ان x in converge ل xحسب

162
00:15:50,910 --> 00:15:54,790
الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن

163
00:15:54,790 --> 00:16:00,550
المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد

164
00:16:00,550 --> 00:16:07,710
عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي

165
00:16:07,710 --> 00:16:13,260
للجوار V1 لكل N أكبر من أو ساوى N1كذلك احنا فرضين

166
00:16:13,260 --> 00:16:18,320
في النظرية ان sequence xn converge ل y و الان v2

167
00:16:18,320 --> 00:16:23,660
neighborhood ل y، اذا حسب تعريف ال convergence بما

168
00:16:23,660 --> 00:16:27,680
ان xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، اذا

169
00:16:27,680 --> 00:16:32,440
بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث ان xn

170
00:16:32,440 --> 00:16:38,840
ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو ساوي n2الان لو عرفت

171
00:16:38,840 --> 00:16:42,320
capital N على Nها ال maximum الاكبر بين N واحد و N

172
00:16:42,320 --> 00:16:47,360
اتنين هذا معناه ان capital N عدد طبيعي لان الاكبر

173
00:16:47,360 --> 00:16:52,320
بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N

174
00:16:52,320 --> 00:16:55,640
اكبر من او ساوي N واحد و اكبر من او ساوي N اتنين

175
00:16:55,640 --> 00:16:59,820
لان الكبير فيهم الان

176
00:16:59,820 --> 00:17:04,120
لو اخدت small n اكبر من او ساوي capital N فمن

177
00:17:04,120 --> 00:17:09,540
تعريف capital Nهذا بيقدي ان capital N أكبر من أو

178
00:17:09,540 --> 00:17:14,760
ساوي N واحد اذا الان انا عندي small n أكبر من أو

179
00:17:14,760 --> 00:17:23,820
ساوي N واحد وبالتالي اذا Xn تنتمي ل D واحد كذلك

180
00:17:23,820 --> 00:17:29,560
انا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو

181
00:17:29,560 --> 00:17:34,950
ساوي N اتنينوبالتالي small n أكبر من أو ساوي

182
00:17:34,950 --> 00:17:38,970
capital N اتنين لما تكون small n أكبر من أو ساوي

183
00:17:38,970 --> 00:17:45,450
capital N اتنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الأن أنا

184
00:17:45,450 --> 00:17:49,110
أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو ساوي capital

185
00:17:49,110 --> 00:17:57,090
N فبطلع xn ينتمي إلىV1 و الى V2 وبالتالي تنتمي

186
00:17:57,090 --> 00:18:01,290
لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي فيه

187
00:18:01,290 --> 00:18:05,810
وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول

188
00:18:05,810 --> 00:18:10,450
لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint

189
00:18:10,450 --> 00:18:16,070
تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعيإن X

190
00:18:16,070 --> 00:18:20,390
لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بالساوي Y

191
00:18:20,390 --> 00:18:25,430
وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة

192
00:18:25,430 --> 00:18:33,990
unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟

193
00:18:33,990 --> 00:18:37,510
في أي سؤال؟

194
00:18:50,080 --> 00:19:02,120
النظرية التانية تعطيني

195
00:19:02,120 --> 00:19:09,740
شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو

196
00:19:09,740 --> 00:19:12,840
في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number

197
00:19:12,840 --> 00:19:17,630
x the following are equivalentهذا اختصار الكلمات

198
00:19:17,630 --> 00:19:21,530
the following are equivalent الاعبارات التالية

199
00:19:21,530 --> 00:19:27,670
متكافئة اول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب

200
00:19:27,670 --> 00:19:31,070
تعريف ال convergence ال neighborhood definition ان

201
00:19:31,070 --> 00:19:42,150
for every neighborhood V of X of X there exists

202
00:19:42,150 --> 00:19:50,590
capital N يعتمد على Vعدد طبيعي بحيث أنه لو كان n

203
00:19:50,590 --> 00:19:56,150
أكبر من أو ساوي capital N هذا بيقدر ان xn ينتمي

204
00:19:56,150 --> 00:20:03,390
إلى b هاي معناه xn converge ل x الان هذا ال

205
00:20:03,390 --> 00:20:06,990
neighborhood definition لل convergence بيكافئ

206
00:20:06,990 --> 00:20:11,770
العبارة بي وهذا بنسميها ال epsilon neighborhood

207
00:20:11,770 --> 00:20:16,150
definition لل convergenceهذا بقى بنسميه epsilon

208
00:20:16,150 --> 00:20:20,210
neighborhood definition of convergence ليه؟

209
00:20:20,210 --> 00:20:22,850
العبارة دي بتقول لكل for every epsilon

210
00:20:22,850 --> 00:20:27,930
neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل

211
00:20:27,930 --> 00:20:32,550
neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X

212
00:20:32,550 --> 00:20:35,630
يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood

213
00:20:35,630 --> 00:20:42,160
وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعيبحيث أنه

214
00:20:42,160 --> 00:20:46,200
لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لبي

215
00:20:46,200 --> 00:20:52,820
نفس العادلالعبارة التالتة بتقول لكل إبسلون لأي عدد

216
00:20:52,820 --> 00:20:56,260
إبسلون موجة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون

217
00:20:56,260 --> 00:21:01,500
بحيث لو كان n أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة

218
00:21:01,500 --> 00:21:07,800
بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C

219
00:21:07,800 --> 00:21:13,180
وهذا الجزء الأكتر جزء هنستخدمه في إثبات ال

220
00:21:13,180 --> 00:21:18,080
convergence لsequences معينةهذا بيسميه epsilon

221
00:21:18,080 --> 00:21:25,600
capital N definition of

222
00:21:25,600 --> 00:21:26,500
convergence

223
00:21:30,350 --> 00:21:34,970
انا في عندى انا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة

224
00:21:34,970 --> 00:21:38,530
عن neighborhood definition of convergence الفرق B

225
00:21:38,530 --> 00:21:42,230
بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل

226
00:21:42,230 --> 00:21:46,210
convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N

227
00:21:46,210 --> 00:21:49,770
definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع

228
00:21:49,770 --> 00:21:57,370
اكتر من العبارات السابقةالبرهان ان هذا ال تلاتة

229
00:21:57,370 --> 00:22:02,490
إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت ان a implies b و b

230
00:22:02,490 --> 00:22:10,610
implies c و بعد هيك هنثبت ان c implies a وبالتالي

231
00:22:10,610 --> 00:22:14,370
هيك بيطلع التلاتة متكافئة حسب قوانين ال logic

232
00:22:14,370 --> 00:22:21,830
مظبوط صح؟طيب نشوف الأول a implies b افرض ان x in

233
00:22:21,830 --> 00:22:28,010
converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال

234
00:22:28,010 --> 00:22:34,510
neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب

235
00:22:34,510 --> 00:22:39,150
احنا عارفين ان كل epsilon .. طيب لإثبات ان b صحيح

236
00:22:39,150 --> 00:22:45,130
ناخد أي epsilon neighborhood ل xطب احنا لما درسنا

237
00:22:45,130 --> 00:22:48,990
ال neighborhoods قلنا ان كل epsilon neighborhood

238
00:22:48,990 --> 00:22:52,130
.. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X

239
00:22:52,130 --> 00:22:57,490
هو ايضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة ..

240
00:22:57,490 --> 00:23:02,570
كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood

241
00:23:02,570 --> 00:23:09,280
of Xوبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون

242
00:23:09,280 --> 00:23:13,140
neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي

243
00:23:13,140 --> 00:23:15,820
يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood

244
00:23:15,820 --> 00:23:24,080
وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف

245
00:23:24,080 --> 00:23:27,460
الآن بيؤدي العبارة بيؤدي إلى C

246
00:23:42,950 --> 00:23:55,970
طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت

247
00:23:55,970 --> 00:24:05,490
ان C صحيح فخلينا ناخد خلينا

248
00:24:05,490 --> 00:24:09,250
ناخد أبسلون أكبر من السفر ناخد أبسلون أكبر من

249
00:24:09,250 --> 00:24:09,730
السفر

250
00:24:13,900 --> 00:24:22,140
لو أخدت أي epsilon أكبر من السفر for any epsilon

251
00:24:22,140 --> 00:24:30,140
أكبر من السفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن

252
00:24:30,140 --> 00:24:36,040
ال epsilon neighborhood ل x فهذا

253
00:24:36,040 --> 00:24:44,530
is epsilon neighborhood of x صح؟وبالتالي حسب بي

254
00:24:44,530 --> 00:24:50,890
لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا

255
00:24:50,890 --> 00:24:56,350
يوجد capital N by

256
00:24:56,350 --> 00:25:02,930
بي يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood

257
00:25:02,930 --> 00:25:09,630
وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث

258
00:25:13,530 --> 00:25:19,590
بحيث انه لو كان n أكبر من أو ساوي n of epsilon

259
00:25:19,590 --> 00:25:28,030
فهذا بيقدي ان xn ينتمي ل v epsilon ل x اللي هو x

260
00:25:28,030 --> 00:25:35,630
سالب epsilon وx موجة بepsilon طب وهذا معناه ان ال

261
00:25:35,630 --> 00:25:44,930
xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زاد epsilonهذا

262
00:25:44,930 --> 00:25:50,630
الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام

263
00:25:50,630 --> 00:25:56,670
صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من

264
00:25:56,670 --> 00:26:01,950
سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من

265
00:26:01,950 --> 00:26:10,800
epsilon إذن هين أثبتنا إن لو كان b صحيحفلأي يبسلون

266
00:26:10,800 --> 00:26:18,300
أكبر من السفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث

267
00:26:18,300 --> 00:26:23,160
لكل N أكبر من أو ساوي capital N طلع absolute xn

268
00:26:23,160 --> 00:26:29,920
minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة

269
00:26:29,920 --> 00:26:38,500
متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة

270
00:26:38,500 --> 00:26:59,280
Cبتقدي إلى العبارة A فأفرضي

271
00:26:59,280 --> 00:27:08,370
أن العبارة C متحققة suppose C holdsبعدين، بدنا

272
00:27:08,370 --> 00:27:12,250
نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood

273
00:27:12,250 --> 00:27:17,730
definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any

274
00:27:17,730 --> 00:27:24,590
neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhoodلأي

275
00:27:24,590 --> 00:27:28,910
neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله

276
00:27:28,910 --> 00:27:32,030
epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك

277
00:27:32,030 --> 00:27:37,430
وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث ان ال epsilon

278
00:27:37,430 --> 00:27:44,890
neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه

279
00:27:44,890 --> 00:27:51,090
المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in

280
00:27:51,090 --> 00:28:01,600
وهذه x سلب epsilonهذا عبارة عن v epsilon ل x هذا

281
00:28:01,600 --> 00:28:08,880
المفروض تكون x مش xm إذا لو كان v epsilon

282
00:28:08,880 --> 00:28:15,740
neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon

283
00:28:15,740 --> 00:28:20,520
neighborhood لل x اللي هو v epsilon ل x الآن من

284
00:28:20,520 --> 00:28:21,400
الجزء c

285
00:28:25,470 --> 00:28:29,650
لأي أبسلون من الجزء C لأي أبسلون لأ بما أن هذا

286
00:28:29,650 --> 00:28:33,170
أبسلون أكبر من السفر إذا بنقدر نلاقي capital N

287
00:28:33,170 --> 00:28:36,310
يعتمد على أبسلون بحيث لكل N أكبر من أو ساوية

288
00:28:36,310 --> 00:28:40,230
capital N ال absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا

289
00:28:40,230 --> 00:28:45,660
من الجزء Cطب ما هذا معناه ال implication هذه

290
00:28:45,660 --> 00:28:50,920
معناها لكل n أكبر من أو ساوي capital N لو فكيت

291
00:28:50,920 --> 00:28:58,800
المتباينة هذه معناها xn ينتمي هذا عبارة عن x ينتمي

292
00:28:58,800 --> 00:29:06,480
لفترة مفتوحة x minus y و x z epsilon اللي هو ال

293
00:29:06,480 --> 00:29:09,720
epsilon neighborhood ل x اللي هو subset من V

294
00:29:11,670 --> 00:29:19,650
وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن ال XIN ينتمي إلى ال

295
00:29:19,650 --> 00:29:24,530
neighborhood V كمان

296
00:29:24,530 --> 00:29:30,830
مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي ليه، افرض أن

297
00:29:30,830 --> 00:29:36,610
العبارة C صحيحةالان لإثبات a اللى هى x in converge

298
00:29:36,610 --> 00:29:40,790
ل x بتثبت أنه ال neighborhood definition لل

299
00:29:40,790 --> 00:29:45,750
convergence بتحقق يعنى x عبارة عن limit لل

300
00:29:45,750 --> 00:29:48,650
sequence x in فنرجع لتعريف ال neighborhood

301
00:29:48,650 --> 00:29:53,190
definition of convergence نبدأ ب neighborhood ل x

302
00:29:53,190 --> 00:29:57,910
ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood ل x يحتوي

303
00:29:57,910 --> 00:30:04,160
epsilon neighborhoodالان من C .. C بيقول لي إذا في

304
00:30:04,160 --> 00:30:08,400
عندك إبسلون موجبة تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها

305
00:30:08,400 --> 00:30:12,940
بحيث أنه لكل N أكبر من ما يساوي capital N المسافة

306
00:30:12,940 --> 00:30:17,660
هذه أصغر من إبسلونطب هذه ال implication الأخيرة هي

307
00:30:17,660 --> 00:30:22,380
N أكبر من أو ساوي capital N بتقدي في حل المتباين

308
00:30:22,380 --> 00:30:28,640
هذه في Xn فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X فاللي هو

309
00:30:28,640 --> 00:30:33,320
هذا ال epsilon neighborhood اللي هوداخل V وبالتالي

310
00:30:33,320 --> 00:30:37,660
لكل N أكبر من لو ساوي capital N طلع Xn ينتمي لل

311
00:30:37,660 --> 00:30:42,300
neighborhood V هذا من التعريف معناه Xn converge ل

312
00:30:42,300 --> 00:30:48,820
X وبالتالي اللي عبارة أيه صحيحة تمام؟ إذا هيك

313
00:30:48,820 --> 00:30:53,940
بنكون أثبتنا النظرية أن التلت تعريفات هذه كلها

314
00:30:53,940 --> 00:30:54,840
متكافئة

315
00:31:02,750 --> 00:31:06,990
في تعريف الـ tail of a sequence او الـ M tail of a

316
00:31:06,990 --> 00:31:11,070
sequence احنا عارفين ان لو في اندز اي .. لأي

317
00:31:11,070 --> 00:31:18,570
sequence XN لو خدت M عدد طبيعي اي عدد طبيعي

318
00:31:18,570 --> 00:31:24,210
natural number و XN اي sequence of real numbers

319
00:31:24,210 --> 00:31:31,330
فالـ XN هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 و هكذا

320
00:31:32,450 --> 00:31:41,130
الى x رقم m الان الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زاد

321
00:31:41,130 --> 00:31:50,010
واحد و اللي بعده xm زاد اتنين و هكذا اذا

322
00:31:50,010 --> 00:31:53,130
ال sequence هذه ممكن اكتبها على الصورة هذه حيث م

323
00:31:53,130 --> 00:31:57,770
هنا عدد طبيعي ما ثابت

324
00:31:59,680 --> 00:32:10,460
الان لو انا ركزت على الجزء هذا من ال sequence و

325
00:32:10,460 --> 00:32:20,440
الجزء هذا هو اول m من حدود ال sequence حذفتها فاذا

326
00:32:20,440 --> 00:32:22,400
هذا بنسميه m tail

327
00:32:28,870 --> 00:32:37,630
متل لسيكوينس xn الدنب م دنب م مش هذا دنب يعني تصور

328
00:32:37,630 --> 00:32:42,110
إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول م من الحدود ده هي

329
00:32:42,110 --> 00:32:47,570
الرأس جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب مش هيك بيقولوا

330
00:32:47,570 --> 00:32:50,870
الدنب

331
00:32:50,870 --> 00:32:56,090
هذا طويلبنبدأ يعني في عدد لانها من الحدود الراس

332
00:32:56,090 --> 00:33:02,470
محدود هي عدد منتهي من الحدود اذا ال sequence لو

333
00:33:02,470 --> 00:33:08,250
انا حدفت اول M من حدودها فباقي الجزء المتبقى من ال

334
00:33:08,250 --> 00:33:16,070
sequence بنسميه M tail واضح طيب اذا الان في نظرية

335
00:33:16,070 --> 00:33:18,250
اتنين تلاتة او نظرية تالتة

336
00:33:20,720 --> 00:33:23,800
ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في اندي

337
00:33:23,800 --> 00:33:29,500
إذا هاي ال m tail هذا ال m tail ممكن كتابته على

338
00:33:29,500 --> 00:33:35,820
صورة sequence هاي x المؤشر الحد العام تبع ال m

339
00:33:35,820 --> 00:33:40,660
tail m زاد n حيث و اين العداد الطبيعي m ثابت و n

340
00:33:40,660 --> 00:33:43,980
العداد الطبيعي وبالتالي هنا لو كانت n بالساوية

341
00:33:43,980 --> 00:33:50,800
واحد اول حد xm زاد واحد و هكذا طيبالان النظرية

342
00:33:50,800 --> 00:33:57,980
التالية بتقولني انه لو كان ال M tail convergent

343
00:34:02,380 --> 00:34:07,760
فال sequence نفسها ال M بتكون convergent و العكس

344
00:34:07,760 --> 00:34:12,020
لو كانت ال sequence convergent فأي M tail منها

345
00:34:12,020 --> 00:34:15,940
هيكون convergent و اتنين لهم نفس ال limit اتنين

346
00:34:15,940 --> 00:34:20,020
لهم نفس ال limit اذا مرة تانية لو كان في عندك

347
00:34:20,020 --> 00:34:27,500
sequence XN M fixed natural number فال M tail اللي

348
00:34:27,500 --> 00:34:32,350
هو ال sequence هذهconverges if and only if

349
00:34:32,350 --> 00:34:39,210
الsequence نفسها converges وهي البرهان هذا ال part

350
00:34:39,210 --> 00:34:43,750
f افرضي

351
00:34:43,750 --> 00:34:48,290
ان x in convergent نثبت ان ال m ت ال convergent

352
00:34:48,290 --> 00:34:54,540
ماشي الحال طيب اذا كانت x in convergent ل xيعني ال

353
00:34:54,540 --> 00:34:57,620
limit تبعتها إذا كانت convergent فلازم يكون لها

354
00:34:57,620 --> 00:35:02,020
limit فأفرض إن ال limit تبعتها xالأن حسب epsilon

355
00:35:02,020 --> 00:35:06,080
capital N definition لل limit أو لل convergence

356
00:35:06,080 --> 00:35:11,140
إذا لأي epsilon أكبر من 0 نقدر نلاقي N يعتمد على

357
00:35:11,140 --> 00:35:15,860
epsilon عدد طبيعي كبير و ممكن ناخده يكون أكبر من

358
00:35:15,860 --> 00:35:22,040
العدد الثابت العدد الطبيعي ثابت M بحيث أنه لكل N

359
00:35:22,040 --> 00:35:25,900
أكبر من أو ساوي capital N المسافة بين X و N هو X

360
00:35:25,900 --> 00:35:31,410
أصغر من Yهذا من تعريف الـ epsilon capital N

361
00:35:31,410 --> 00:35:37,590
definition لل convergence طيب اللي انا بقدر اعرف

362
00:35:37,590 --> 00:35:43,930
capital N prime على انه capital N مطروح منها

363
00:35:43,930 --> 00:35:50,060
capital Mطبعا هنا capital N احنا اختارناها اكبر من

364
00:35:50,060 --> 00:35:54,220
M فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي

365
00:35:54,220 --> 00:35:59,500
اذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي هذا عدد

366
00:35:59,500 --> 00:36:03,220
ثابت وهذا يعتمد على epsilon اذا N prime الفرق

367
00:36:03,220 --> 00:36:09,000
بينهم يعتمد على epsilon تمام؟إذا هنا عرفنا N' عدد

368
00:36:09,000 --> 00:36:14,320
طبيعي ويعتمد على epsilon الان لو أخدت اي M عدد

369
00:36:14,320 --> 00:36:16,960
طبيعي أكبر من أو ساوي N'

370
00:36:20,020 --> 00:36:25,520
فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زاد small

371
00:36:25,520 --> 00:36:29,980
m أكبر من أو ساوي N prime زاد capital M طب N prime

372
00:36:29,980 --> 00:36:34,540
زاد capital M بساوي N إبسلون وبالتالي هذا أكبر من

373
00:36:34,540 --> 00:36:40,860
أو ساوي N لإبسلون إذا حسب ال implication واحدالـ

374
00:36:40,860 --> 00:36:45,260
implication واحد بتقوللي لأي عدد طبيعي .. لأي عدد

375
00:36:45,260 --> 00:36:50,560
طبيعي أكبر من أو ساوي capital N لازم يطلع ال

376
00:36:50,560 --> 00:36:56,900
absolute value ل X sub العدد الطبيعي اللي هو M زاد

377
00:36:56,900 --> 00:36:59,320
M minus X أصغر من epsilon

378
00:37:03,110 --> 00:37:08,470
وهذا بيدّي أن ال tail .. ال tail of the sequence

379
00:37:08,470 --> 00:37:13,110
converge ل X حسب التعريف ما معناه أن ال tail هذا

380
00:37:13,110 --> 00:37:18,470
convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر ..

381
00:37:18,470 --> 00:37:25,050
لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime .. هيوجد N

382
00:37:25,050 --> 00:37:29,130
prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon

383
00:37:31,850 --> 00:37:38,290
يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون بحيث لكل M أكبر

384
00:37:38,290 --> 00:37:44,350
من أو يساوي N' طلع المسافة بين الحد رقم capital M

385
00:37:44,350 --> 00:37:47,690
زاد small m minus X أصغر من إبسلون هذا بالضبط

386
00:37:47,690 --> 00:37:53,310
معناه إن ال sequence هذه converge ل X as M tends

387
00:37:53,310 --> 00:37:59,580
to infinityإذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت ال

388
00:37:59,580 --> 00:38:03,240
sequence x in converge ل x فالتالت تبعها converge

389
00:38:03,240 --> 00:38:10,720
ل x okay تمام العكس العكس يعني ضايق ممكن يعني

390
00:38:10,720 --> 00:38:20,220
نبرهن العكس في دقيقة او دقيقتين العكس

391
00:38:20,220 --> 00:38:26,390
يعني هذا العكس اللي هو ال only if partنفرض المرة

392
00:38:26,390 --> 00:38:30,450
هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ

393
00:38:30,450 --> 00:38:34,770
tail of the sequence converged ل X وبينما نثبت أن

394
00:38:34,770 --> 00:38:40,170
الـ sequence نفسها convergent ل X برضه فنستخدم

395
00:38:40,170 --> 00:38:42,930
تعريف epsilon capital N definition للconvergence

396
00:38:42,930 --> 00:38:48,710
اللي هو الجزء C من نظرية 2 2 فناخد given epsilon

397
00:38:48,710 --> 00:38:53,080
أو let epsilon أكبر من الصفر بيه givenبما أن الـ

398
00:38:53,080 --> 00:38:56,560
sequence هذه converge ل X إذا يوجد capital N يعتمد

399
00:38:56,560 --> 00:39:00,740
على إبسلون بحيث لكل N أكبر من أو ساوي capital N

400
00:39:00,740 --> 00:39:04,560
المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر

401
00:39:04,560 --> 00:39:12,790
من إبسلونالان بنعرف capital K على انه العدد

402
00:39:12,790 --> 00:39:18,250
الطبيعي الثابت M زاد العدد الطبيعي capital N فطبعا

403
00:39:18,250 --> 00:39:22,490
مجموعة دين الطبيعيين عدد طبيعي capital N يعتمد على

404
00:39:22,490 --> 00:39:26,670
epsilon اذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon

405
00:39:26,670 --> 00:39:32,330
اذا هنا انا وجدت او جدت او عرفت عدد طبيعي capital

406
00:39:32,330 --> 00:39:37,610
K يعتمد على epsilonالان لو أخدت اي N أكبر من أو

407
00:39:37,610 --> 00:39:43,170
ساوي ال capital A فاترحي .. اترحي N من هنا و اترحي

408
00:39:43,170 --> 00:39:50,350
N من هنا M عفوا Mلو طرحنا M من الطرفين المتباينة

409
00:39:50,350 --> 00:39:55,330
هذه فبطلع N negative capital M أكبر من أو ساوي K

410
00:39:55,330 --> 00:40:01,170
minus M طب هاي K اطرحي منها M بساوي N وبالتالي

411
00:40:01,170 --> 00:40:05,950
بطلع N سالب M أكبر من أو ساوي N الآن من ال

412
00:40:05,950 --> 00:40:11,550
implication اتنين ال implication اتنين بتقول لأي N

413
00:40:11,550 --> 00:40:15,650
أكبر من أو ساوي capital اي عدد طبيعيلو كان العدد

414
00:40:15,650 --> 00:40:20,950
الطبيعي هذا أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة بين

415
00:40:20,950 --> 00:40:27,390
X للعدد الطبيعي واضيف عليه M إذا بدي أضيف على هذا

416
00:40:27,390 --> 00:40:32,230
M المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي

417
00:40:32,230 --> 00:40:37,770
هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه بين X

418
00:40:37,770 --> 00:40:42,770
بيطلع أصغر من Epsilonإذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي

419
00:40:42,770 --> 00:40:46,970
إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على

420
00:40:46,970 --> 00:40:53,790
إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر

421
00:40:53,790 --> 00:40:57,570
من الصفر يوجد عدد طبيعي capital K يعتمد على إبسلون

422
00:40:57,570 --> 00:41:06,250
بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital Kلكل n

423
00:41:06,250 --> 00:41:10,590
أكبر من أو ساوي كابتل K طلع المسافة بين xn و x

424
00:41:10,590 --> 00:41:15,370
أصغر من إبسل إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence

425
00:41:15,370 --> 00:41:22,590
xn converge ل x زي ما هو مطلوب وهذا بكمل برهان

426
00:41:22,590 --> 00:41:26,410
النظرية okay تمام واضح

427
00:41:31,150 --> 00:41:37,130
طيب احنا بنكتفي بهذا القدر و ان شاء الله في

428
00:41:37,130 --> 00:41:42,010
المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات و ناخد

429
00:41:42,010 --> 00:41:46,350
أمثلة كيف نثبت ان ال limit ل sequence ل

430
00:41:46,350 --> 00:41:51,090
convergence sequence بالساوي عدد معين و هكذا طبعا

431
00:41:51,090 --> 00:41:54,130
كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها و تحضروها

432
00:41:54,130 --> 00:41:56,010
للمحاضرة الجاية