PL9fwy3NUQKwZKOpj354PRgwYPWWgxchnI/3SF3yRg1VtE.srt

1
00:00:21,290 --> 00:00:25,850
بسم الله الرحمن الرحيم نستكمل الموضوع الذي بدأناه 

2
00:00:25,850 --> 00:00:31,590
الصبح وهو موضوع ال external direct product بعد ما

3
00:00:31,590 --> 00:00:35,770
أخذنا أمثلة من خلالها نُعين ال order لل element

4
00:00:35,770 --> 00:00:42,070
وكذلك عدد ما هو ال elements ب order معين وعدد ال

5
00:00:42,070 --> 00:00:46,830
cyclic groups ب order معين ننتقل الآن إلى هذه

6
00:00:46,830 --> 00:00:51,500
النظرية النظرية تقول يفترض أن جي و اتش هما finite

7
00:00:51,500 --> 00:00:55,140
cyclic groups  يبقى كل واحدة فيها عدد محدود من

8
00:00:55,140 --> 00:01:00,060
العناصر والاثنتان are cyclic groups  يقول في هذه

9
00:01:00,060 --> 00:01:05,080
الحلقين أن ال جي external product مع اتش is cyclic

10
00:01:05,080 --> 00:01:08,760
in fact تقول إذا ال order جي و ال order اتش are

11
00:01:08,760 --> 00:01:13,240
relatively prime يبقى من الآن فصاعدًا لو ال two

12
00:01:13,240 --> 00:01:17,080
groups جي و اتش الاثنتان ال order  الذي هما are

13
00:01:17,080 --> 00:01:19,840
relatively prime  الذي يبقى ال external product

14
00:01:19,840 --> 00:01:25,960
معناه is a cyclic group مباشرة والعكس لو كانت

15
00:01:25,960 --> 00:01:28,860
cyclic groups  يبقى ال two orders are relatively

16
00:01:28,860 --> 00:01:35,620
prime هذا ما نريد أن نثبته الآن يبقى لذلك نثبته

17
00:01:35,620 --> 00:01:41,040
افترض أن ال H لها order معين و ال G كذلك لها order

18
00:01:41,040 --> 00:01:47,800
معين ونشوف كيف بدنا نعمله يبقى let ال order لل G

19
00:01:47,800 --> 00:01:55,680
يُساوي ال M و ال order لل H يُساوي ال N

20
00:01:55,680 --> 00:02:00,200
then

21
00:02:00,200 --> 00:02:11,180
لو أردنا أن نجيب ال order لل G with H يبقى then الأردر 

22
00:02:11,180 --> 00:02:16,380
للـ G External Direct Product مع H هكذا يُساوي

23
00:02:16,380 --> 00:02:20,040
هذا يا شباب مكتوب معكم من المرة التي فاتت الأردر

24
00:02:20,040 --> 00:02:26,400
للأولى في الأردر للثانية يبقى هذا الكلام يُساوي ال M

25
00:02:26,400 --> 00:02:33,020
في N هذه المعلومة وضعتها قبل البدء والآن أريد أن أبدأ

26
00:02:33,020 --> 00:02:38,360
لماذا وضعتها؟ لأن كل عمل بالحب له زمانه الآن نريد

27
00:02:38,360 --> 00:02:48,400
أن نقول Assume that الـG external product مع الـH is

28
00:02:48,400 --> 00:02:54,540
cyclic ماذا أريد أن أثبت؟ أن ال order التي جي و ال

29
00:02:54,540 --> 00:02:58,560
order التي اتش اثنان are relatively prime يعني

30
00:02:58,560 --> 00:03:01,520
أريد أن أثبت أن ال Euclidean common divisor ما بين

31
00:03:01,520 --> 00:03:05,920
الاثنين سيكون كم؟ سيكون واحد، صحيح؟ طيب افترضنا هذه

32
00:03:05,920 --> 00:03:10,040
Cyclic مدام الـ Cyclic يبقى لها generator صح ولا

33
00:03:10,040 --> 00:03:14,600
لا؟ يبقى Cyclic assume

34
00:03:15,770 --> 00:03:25,370
افترض كذلك أن الـ G والـ H is a generator is a

35
00:03:25,370 --> 00:03:33,870
generator for ما هو external product للـ H مع G

36
00:03:34,700 --> 00:03:38,460
ما دام هذا generator يبقى ال order الذي يُساوي

37
00:03:38,460 --> 00:03:43,860
من أين ال order لل G modulo لل G external direct

38
00:03:43,860 --> 00:03:50,920
product مع H هذا معناه أن ال order لل G وال H يُساوي

39
00:03:50,920 --> 00:03:56,600
يُساوي ال order لل G external direct product مع من؟

40
00:03:56,600 --> 00:04:05,990
مع ال H هذا يُساوي طيب ال order لل G والـ H أريد

41
00:04:05,990 --> 00:04:11,410
أن يُساوي ال least common multiple لل order تبع ال G

42
00:04:11,410 --> 00:04:18,870
وال order تبع ال H يبقى

43
00:04:18,870 --> 00:04:23,050
ال order لل G و ال order تبع ال H بالشكل الذي عندنا

44
00:04:23,050 --> 00:04:28,730
هذا الذي هو أريد أن يُساوي ال order لهذه كم اللي م في

45
00:04:28,730 --> 00:04:34,700
ني يبقى أنا أقول ال order لل element هذا يُساوي ال

46
00:04:34,700 --> 00:04:38,300
order لل element هذه يبقى بناء عليه ال order لل

47
00:04:38,300 --> 00:04:42,520
element g و h يُساوي ال least common multiple ما

48
00:04:42,520 --> 00:04:46,360
بين ال two orders طبقا للنظرية السابقة التي

49
00:04:46,360 --> 00:04:51,340
برهنناها طيب هذا ال order هو عبارة عن من؟ عن m في

50
00:04:51,340 --> 00:04:57,020
n خلي هذه المعلومة في ذهنك وسنعود إليها بعد قليل

51
00:04:57,020 --> 00:05:05,640
طيب الآن ال order للـ G ال order للـ G يقسم ال

52
00:05:05,640 --> 00:05:11,840
order للـ G الكبيرة صح ولا لا يبقى divide ال order

53
00:05:11,840 --> 00:05:19,250
للـ G الذي يُساوي كم M يعني ال order الذي

54
00:05:19,250 --> 00:05:25,670
جاء يُساوي يقسم من ال M وفي نفس الوقت ال order ل ال H

55
00:05:25,670 --> 00:05:33,390
يُساوي يقسم ال order ل من ل ال H الذي هو

56
00:05:33,390 --> 00:05:38,870
يُساوي ال N إذا

57
00:05:38,870 --> 00:05:44,710
ما هي علاقة least common multiple لل two orders مع

58
00:05:44,710 --> 00:05:45,970
M و N

59
00:05:48,440 --> 00:05:52,340
ال least common multiple لل order مع ال least common multiple لل M

60
00:05:52,340 --> 00:05:55,360
و N من هو الأصغر ومن هو الأكبر؟ لل least common multiple

61
00:05:55,360 --> 00:06:01,800
لمن؟ لل H و G 100% أصغر من من؟ من ال least

62
00:06:01,800 --> 00:06:06,840
common multiple لل M و N تمام؟ يبقى هذا يطيح

63
00:06:06,840 --> 00:06:12,840
لكم؟ أن ال least common multiple لل order تبع ال

64
00:06:12,840 --> 00:06:24,040
G وال order تبع ال H هذا كله ما له أقل من أو يُساوي

65
00:06:24,040 --> 00:06:32,930
ال least common multiple لل M و N تمام؟ طيب ال least

66
00:06:32,930 --> 00:06:40,450
common multiple لهذا الذي هو كم M في N يبقى بناء

67
00:06:40,450 --> 00:06:47,950
عليه So ال M في N أقل من أو يُساوي ال least common

68
00:06:47,950 --> 00:06:56,450
multiple لمن؟ لل M و N اعتبر هذه المعادلة رقم Star

69
00:06:58,800 --> 00:07:06,940
السؤال هو نحن لم نجيب ال M و ال N أقل من ال

70
00:07:06,940 --> 00:07:12,720
least common multiple لمن؟ لل M و N طيب in general

71
00:07:12,720 --> 00:07:24,720
but و لكن we know that أن ال least common multiple

72
00:07:24,720 --> 00:07:26,840
لل M و N

73
00:07:30,950 --> 00:07:35,450
100% صحيح ولا لأ؟ دائمًا وأبدًا ال least common ..

74
00:07:35,450 --> 00:07:39,430
أقصى حاجة حصل ضربهم ودائمًا وأبدًا يكون أقل من

75
00:07:39,430 --> 00:07:44,870
هكذا يعني المضاعف المشترك أحيانًا يكون كبيرًا في أقل

76
00:07:44,870 --> 00:07:51,630
ما يمكن يبقى هذا أقل من من؟ من M في N وهذه

77
00:07:51,630 --> 00:07:56,550
العلاقة الثانية هي رقم Star إذا من الاثنين مع بعض

78
00:07:56,550 --> 00:08:02,130
أقول إن الاثنان هذان ما لهما ريكم يبقى هنا سوي ال

79
00:08:02,130 --> 00:08:09,150
least common multiple لل M و N يُساوي ال M في N

80
00:08:11,690 --> 00:08:17,290
طيب نرجع بالذاكرة اصبر علينا قليلًا نرجع بالذاكرة

81
00:08:17,290 --> 00:08:22,650
للخلف إلى ال first chapter إذا تذكرتم هنا قلنا ل

82
00:08:22,650 --> 00:08:26,290
grace is common divisor between عددين في least

83
00:08:26,290 --> 00:08:29,990
common multiple العدين يُعطينا من؟ نفس العددين

84
00:08:29,990 --> 00:08:40,950
يبقى هنا آتي أقول له but و لكن that لا نعرف أن

85
00:08:40,950 --> 00:08:47,530
ال greatest common divisor لل M وال N مضروب في

86
00:08:47,530 --> 00:08:55,510
least common multiple لل M و N يُساوي M في N هذا

87
00:08:55,510 --> 00:09:01,790
يُعطينا الآن ال least common multiple هو M في N

88
00:09:01,790 --> 00:09:07,570
يبقى هذا يُعطيك أن ال greatest common divisor

89
00:09:07,570 --> 00:09:13,070
لل M و N في ال least common multiple الذي هو M في

90
00:09:13,070 --> 00:09:20,040
N يُساوي ال M في N يبقى هذا يُعطينا common divisor

91
00:09:20,040 --> 00:09:25,980
لل M و N يبقى كمية طيب ال M أليس هو ال order تبع ال G و

92
00:09:25,980 --> 00:09:32,260
ال N هو ال order تبع ال H يبقى هذا معناه أن ال M

93
00:09:32,260 --> 00:09:44,640
و ال N are relatively prime هذا يُعطينا هذا أريد

94
00:09:44,640 --> 00:09:51,120
أن يُعطينا أن ال order ل capital G لل group كلها و

95
00:09:51,120 --> 00:09:57,700
ال order ل ال H are relatively prime

96
00:10:03,000 --> 00:10:07,320
نحن انتهينا من الاتجاه الأول في النظرية، وهو أنه لو

97
00:10:07,320 --> 00:10:14,100
كان الـ G external direct product مع H is cyclic يبقى

98
00:10:14,100 --> 00:10:17,080
الأوردر لـ G و الأوردر لـ H are relatively

99
00:10:17,080 --> 00:10:22,010
prime، لأننا بدأنا نمشي العملية العكسية أثبت وافترض

100
00:10:22,010 --> 00:10:27,250
أن الاثنين هذان are relatively prime  ذاتس يعني إيش

101
00:10:27,250 --> 00:10:32,030
ذاتس؟ لجريس ال common divisor لل M و N يُساوي

102
00:10:32,030 --> 00:10:37,350
هكذا إيش؟ يُساوي واحد صحيح؟ طيب في حاجة موجودة في

103
00:10:37,350 --> 00:10:42,690
النظرية وحتى الآن لم نستخدمها إشيًا .. التي كل واحدة

104
00:10:42,690 --> 00:10:47,350
من ال two groups الاثنان هذان cyclic مدام كل واحدة

105
00:10:47,350 --> 00:10:56,270
cyclic إذا كل واحدة فيها generator يبقى since ال g

106
00:10:56,270 --> 00:10:59,350
since

107
00:10:59,350 --> 00:11:07,070
ال g is cyclic we have since ال .. خلي ال g باثنين

108
00:11:07,070 --> 00:11:15,950
مرة واحدة since ال g و ال h و ال h are cyclic

109
00:11:15,950 --> 00:11:24,510
we have أن الـ G هذه فيها generator وليكن small

110
00:11:24,510 --> 00:11:33,050
g و ال H فيها generator وليكن main

111
00:11:33,050 --> 00:11:38,110
وليكن H طيب

112
00:11:38,110 --> 00:11:46,110
إذا كم ال order ل G small M و ال order ل H M

113
00:11:46,110 --> 00:11:52,630
يكون يساوي يبقى هذا يُعطينا أن ال order للـ G يُساوي

114
00:11:52,630 --> 00:11:58,430
يُساوي ال M و ال order ل H يُساوي ال main يُساوي

115
00:11:58,430 --> 00:12:05,390
يُساوي ال N طيب كويس يبقى أنا أريد أن آتي إلى ال order تبع

116
00:12:05,390 --> 00:12:11,630
ال G و ال H مرة واحدة يبقى هذا الكلام يُساوي

117
00:12:11,630 --> 00:12:16,950
least common multiple لل order تبع ال G و ال

118
00:12:16,950 --> 00:12:23,120
order تبع ال H يبقى هذا الكلام يُساوي ال least

119
00:12:23,120 --> 00:12:30,180
common multiple ال least common multiple لمن؟ لل

120
00:12:30,180 --> 00:12:39,940
M و لل N أنا أدعي أن M في N طيب لماذا؟ لأن ال common

121
00:12:39,940 --> 00:12:47,400
divisor يُساوي 1 يبقى هذا لماذا؟ لأن أن ال common

122
00:12:47,400 --> 00:12:54,480
divisor لـ M و لـ N يبدو يُساوي واحد صحيح؟ طيب هذا

123
00:12:54,480 --> 00:13:00,120
الـ M في الـ N هو عبارة عن ال order لمن؟ ال order

124
00:13:00,120 --> 00:13:03,970
لل group الذي هو نسميه هذا هو عبارة عن ال order

125
00:13:03,970 --> 00:13:09,850
للجروب يبقى هذا الكلام يُساوي ال order للـ G

126
00:13:09,850 --> 00:13:15,530
external direct product لمن؟ للـ H يبقى الـ gate

127
00:13:15,530 --> 00:13:20,630
element موجود في الـ external direct product الـ

128
00:13:20,630 --> 00:13:26,150
order له يساوي الـ order لمن؟ للـ group يبقى الـ

129
00:13:26,150 --> 00:13:31,250
group هذا ما يصير؟ Cyclic وهذا generator يبقى هنا

130
00:13:31,250 --> 00:13:43,780
ساالـ G والـ H is a generator for اللي هو الـ G

131
00:13:43,780 --> 00:13:50,320
external direct product مع مين؟ مع الـ H هذا بده يعطيلك

132
00:13:50,320 --> 00:13:57,620
انه G external direct product مع H is cyclic وهو

133
00:13:57,620 --> 00:14:05,720
المطلوب إذا قلت لك أثبت

134
00:14:05,720 --> 00:14:11,100
الـexternal هذا direct product is cyclic تمام؟

135
00:14:11,100 --> 00:14:15,520
بعدين بقوله إذا والله التنتين كل واحدة فيهم cyclic

136
00:14:15,520 --> 00:14:18,940
والـ order تبع كل واحدة فيهم مع الثاني اثنين

137
00:14:18,940 --> 00:14:22,570
relatively prime or than automatic على طول الخطأ

138
00:14:22,570 --> 00:14:27,210
هذه النظرية الـ external direct product is cyclic

139
00:14:27,210 --> 00:14:31,670
group يبقى الشرط الـ external direct product أن

140
00:14:31,670 --> 00:14:36,270
يكون cyclic group أمرين الأمر الأول كل واحدة فيهم

141
00:14:36,270 --> 00:14:41,190
تبقى cyclic الأمر الثاني الـ order للـ group الأولى

142
00:14:41,190 --> 00:14:43,850
والـ order للـ group الثانية يكونوا اثنين مع بعضهم

143
00:15:00,200 --> 00:15:05,820
النظرية هذه أثبتناها لمين؟ لـ two group طب لو صاروا

144
00:15:05,820 --> 00:15:11,810
ثلاثة ثلاثة groups والله أربعة والله خمسة والله in

145
00:15:11,810 --> 00:15:16,550
من الـ groups فالنظرية صحيحة وهذا الموضوع ل

146
00:15:16,550 --> 00:15:27,390
corollary رقم واحد يبقى corollary رقم واحد بتقول أن

147
00:15:27,390 --> 00:15:34,230
external direct product أن external direct

148
00:15:35,820 --> 00:15:44,680
a product external direct product g one external

149
00:15:44,680 --> 00:15:50,520
direct product مع g two external direct product مع

150
00:15:50,520 --> 00:16:03,000
مين؟ مع g n of a finite of a finite number

151
00:16:04,660 --> 00:16:20,060
finite number of finite cyclic groups is

152
00:16:20,060 --> 00:16:33,660
cyclic if and only if الـ order للـ G I و الـ

153
00:16:33,660 --> 00:16:46,100
order للـ G J are relatively prime are

154
00:16:46,100 --> 00:16:54,380
relatively prime when الـ I لا تساوي مين؟ لا 

155
00:16:54,380 --> 00:17:02,540
تساوي الـ G كمان corollary ثانية بتقول

156
00:17:02,540 --> 00:17:10,240
let اللي هو الـ M عملناها تحليل صارت N واحد في N

157
00:17:10,240 --> 00:17:18,760
اثنين في N K then الـ

158
00:17:18,760 --> 00:17:31,150
ZM الـ ZM isomorphic لمن؟ لـ z n one external product

159
00:17:31,150 --> 00:17:43,350
مع z n two external product مع من؟ مع z n k if and

160
00:17:43,350 --> 00:17:53,930
only if if and only if الـ n i و الـ n j are

161
00:17:53,930 --> 00:18:06,240
relatively prime are relatively prime when

162
00:18:06,240 --> 00:18:11,100
I لا تساوي الـ J

163
00:18:38,860 --> 00:18:44,120
الـ corollary الأولى هي تعميم للنظرية الـ corollary الثانية

164
00:18:44,120 --> 00:18:48,760
كأنه تطبيق مباشر على النظرية تعال نشوف

165
00:18:48,760 --> 00:18:53,640
التعميم في الأول ومن ثم بنروح للـ corollary الثانية

166
00:18:53,640 --> 00:18:59,380
اللي هي رقم اثنين يبقى هذه الـ corollary الرقم اثنين

167
00:19:00,650 --> 00:19:03,590
تعال اكرر لي رقم واحد بيقول أن external direct

168
00:19:03,590 --> 00:19:08,770
product لمجموعة من الـ group of a finite number

169
00:19:08,770 --> 00:19:13,330
يبقى عدد محدود من الـ groups وكل group has finite

170
00:19:13,330 --> 00:19:18,490
order كل واحدة اللي عدد تبعها محدود يبقى هذا الـ

171
00:19:18,490 --> 00:19:21,710
external direct product بيكون cyclic if and only

172
00:19:21,710 --> 00:19:26,230
if الـ order لـ جي اي و الـ order لـ جي جي are

173
00:19:26,230 --> 00:19:31,510
relatively prime و أن الـ I لا تساوي الـ جيه يعني ما بديش

174
00:19:31,510 --> 00:19:36,650
أقول لـ group نفسه هي المقصود I لا تساوي الـ جيه يعني

175
00:19:36,650 --> 00:19:40,570
هاد الـ group تختلف تماما مع من؟ مع هاد الـ group طب احنا

176
00:19:40,570 --> 00:19:47,290
عندنا كم group أي واحدة مع الثانية بيكون relatively

177
00:19:47,290 --> 00:19:50,270
prime يعني الأولى مع الثانية الأولى مع الثالثة

178
00:19:50,270 --> 00:19:54,350
الأولى مع العاشرة الثانية مع الثالثة الثانية مع ...

179
00:19:54,350 --> 00:19:58,950
كله are relatively prime تمام الـ order تبع كل

180
00:19:58,950 --> 00:20:01,550
واحدة منهم مع الـ order مع الثانية بيكون are

181
00:20:01,550 --> 00:20:05,420
relatively prime وهو تعميم للنظرية النظرية كانت

182
00:20:05,420 --> 00:20:08,620
على two groups اللي هي G و H عممناها

183
00:20:08,620 --> 00:20:11,800
خليناها ثلاثة خليناها أربعة خليناها خمسة مش

184
00:20:11,800 --> 00:20:16,900
مشكلة قد ما يكون العدد يبقى هذه النظرية صحيحة عليهم

185
00:20:16,900 --> 00:20:21,700
وهي هذه النتيجة رقم واحد أما النتيجة رقم اثنين

186
00:20:21,700 --> 00:20:27,780
بيقول لو عندك رقم M حللته إلى حاصل ضرب أعداد زي

187
00:20:27,780 --> 00:20:33,700
إيش مثلا زي ثلاثين ثلاثين بقدر أقول اثنين في ثلاثة

188
00:20:33,700 --> 00:20:38,780
في خمسة يبقى هذه حللناها لحاصل ضرب ثلاثة أعداد

189
00:20:38,780 --> 00:20:43,480
والثلاثة أعداد ما لهم؟ Primes اثنين والثلاثة

190
00:20:43,480 --> 00:20:48,500
والخمسة are primes إيش بقول هنا؟ لو حللت الـ M لحاصل

191
00:20:48,500 --> 00:20:58,140
ضرب أعداد يبقى ZM isomorphic لـ ZN1, ZN2, ZN3, ZNK,

192
00:20:58,400 --> 00:21:04,080
if and only if كل عدد من هذه الأعداد are relatively

193
00:21:04,080 --> 00:21:10,580
prime مع بعضهم البعض يعني ليس بالضرورة أن يكونوا

194
00:21:10,580 --> 00:21:15,240
primes وإنما يكونوا relatively primes يعني ممكن آخذ

195
00:21:15,240 --> 00:21:21,360
اللي هو العدد اثنين مع العدد سبعة ممكن آخذ ستة و

196
00:21:21,360 --> 00:21:24,800
خمسة ستة وخمسة اثنين relatively primes رغم أنه

197
00:21:24,800 --> 00:21:29,980
خمسة primes ستة لا تمام يبقى ليس بالضرورة أن تكون

198
00:21:29,980 --> 00:21:35,420
هذه الأعداد primes مثل ما حللنا إيش الثلاثين يبقى

199
00:21:35,420 --> 00:21:40,310
ممكن يكون أربعة وعشرين أربعة وعشرين هو ثلاثة في

200
00:21:40,310 --> 00:21:45,110
ثمانية يعني اثنين في ثلاثة في أربعة مظبوط يبقى الأربعة

201
00:21:45,110 --> 00:21:47,730
و عشرين اثنين في ثلاثة في ستة في أربعة وأربعة و

202
00:21:47,730 --> 00:21:53,010
عشرين الآن يبقى هذول اثنين في ثلاثة في ستة اثنين و

203
00:21:53,010 --> 00:21:57,810
ثلاثة هذول الـ primes بس إيش بيصير اثنين مع الأربعة

204
00:21:57,810 --> 00:22:01,880
are not relatively prime يبقى بيصير كل ابن هذا صحيح

205
00:22:01,880 --> 00:22:06,600
ولا مش صحيح؟ مش صحيح لازم تأخذ أي رقمين منهم

206
00:22:06,600 --> 00:22:10,640
ويكونوا مع بعض اثنين مع بعضهم relatively primes

207
00:22:10,640 --> 00:22:16,220
وليس بالضرورة أن يكونوا primes يبقى مرة ثانية

208
00:22:16,220 --> 00:22:22,740
بقول حللت الـ M إلى حاصل ضرب أعداد ما دام حللت يجوز أن

209
00:22:22,740 --> 00:22:30,040
الأصلية isomorphic لمين؟ للـ external direct product

210
00:22:30,040 --> 00:22:35,340
اللي هم كلهم هذول if and only if أي اثنين منهم

211
00:22:35,340 --> 00:22:39,640
بدهم يكونوا relatively prime مع بعضهم البعض الآن

212
00:22:39,640 --> 00:22:46,020
نعطيك تمثيل عددي شغل عددي كيف هذا الكلام example

213
00:22:53,570 --> 00:22:58,310
هذا هو التوضيح اللي قال لو جئت لـ z دي اثنين

214
00:22:58,310 --> 00:23:04,670
external like product مع z دي اثنين external like

215
00:23:04,670 --> 00:23:11,390
product مع z ثلاثة external like product مع مين؟

216
00:23:11,390 --> 00:23:14,590
مع z خمسة بالشكل اللي عندنا

217
00:23:17,820 --> 00:23:21,800
بدي أكون من هذه مجموعة milligroups بيكونوا

218
00:23:21,800 --> 00:23:27,260
isomorphic لها باجي بقول والله كويس شرايك التنتين

219
00:23:27,260 --> 00:23:31,200
هذول are relatively prime اثنين والثلاثة ولا لا

220
00:23:31,200 --> 00:23:38,460
إذا هذه isomorphic لمين؟ زد ستة زد ستة لأن أنا قلت لك

221
00:23:38,460 --> 00:23:44,580
M وهذا M فين؟ بس أصغر شوية واحدة واحدة يبقى هذه

222
00:23:44,580 --> 00:23:53,600
isomorphic لمين؟ لزد اثنين كما هي لزد اثنين

223
00:23:53,600 --> 00:24:00,340
اكستيرنا الـ product لزد ستة اكستيرنا الـ product

224
00:24:00,340 --> 00:24:11,060
لمن؟ لزد خمسة ليش؟ since اثنين and ثلاثة are

225
00:24:11,430 --> 00:24:21,670
relatively prime طيب ... الآن هذه بدي أجيب كمان

226
00:24:21,670 --> 00:24:28,630
group أخرى isomorphic لها وهذه كمان isomorphic لزد

227
00:24:28,630 --> 00:24:32,750
اثنين external by product هذول اثنين are

228
00:24:32,750 --> 00:24:39,110
relatively prime يبقى زد مين؟ زد ثلاثين حاصلة ضرب

229
00:24:39,110 --> 00:24:49,230
يبقى هذه لزد ثلاثين يبقى ليش؟ since الستة and

230
00:24:49,230 --> 00:24:53,650
الخمسة are relatively

231
00:24:57,660 --> 00:25:04,940
السؤال هو هل هذا isomorphic لزد ستين؟ لا ليش؟ لأن

232
00:25:04,940 --> 00:25:12,080
هذا ليس عشان isomorphic لزد ستين وستين وهي هذا ليس

233
00:25:12,080 --> 00:25:24,880
عشان isomorphic لزد ستين لأن السبب أن الاثنين and

234
00:25:25,300 --> 00:25:30,240
الثلاثين ليسوا

235
00:25:30,240 --> 00:25:41,180
مرتفعين بشكل عام طيب

236
00:25:41,180 --> 00:25:47,640
إيش رأيك؟ بدي أخلق كمان groups أخرى isomorphic

237
00:25:47,640 --> 00:25:57,570
لهذه الـ group also لو جئت أخذت اللي هو Z اثنين

238
00:25:57,570 --> 00:26:03,490
external by-product لزد اثنين external by-product

239
00:26:03,490 --> 00:26:10,010
لزد ثلاثة external by-product لزد خمسة is

240
00:26:10,010 --> 00:26:15,910
isomorphic قلنا قبل قليل زد اثنين external by

241
00:26:15,910 --> 00:26:21,850
-product is ستة external by-product لمن؟ لزد خمسة

242
00:26:23,460 --> 00:26:27,620
هذا اللي قلناها قبل قليل من هذه بدي أخلق groups

243
00:26:27,620 --> 00:26:32,320
أخرى تبقى isomorphic لنفس الـ group كيف كانت التالية

244
00:26:32,320 --> 00:26:39,840
أطلع لي هنا بقدر أكتب هذه Z2 زي ما هي هذه Z6 نقول

245
00:26:39,840 --> 00:26:45,980
Z2 external dichromate مع Z3 ولا Z3 external مع Z2

246
00:26:45,980 --> 00:26:50,160
نفس الشيء لأنه حصل ضربهم يساوي 6 و 2 are relatively

247
00:26:50,160 --> 00:26:54,690
prime بنفس النظرية اللي هي قبل قليل يبقى بناءً عليه

248
00:26:54,690 --> 00:27:00,210
هذه بقدر أقول بدل ما هي z6 بدي أقول عليها z3

249
00:27:00,210 --> 00:27:05,690
external by-product مع z2 external by-product مع

250
00:27:05,690 --> 00:27:16,790
z5 طيب هذه isomorphic لمن؟ طلع لي لهذه relatively 

251
00:27:16,790 --> 00:27:24,330
يبقى هذول الـ Z6 External Direct Product مع

252
00:27:24,330 --> 00:27:30,610
Z2 External Direct Product مع Z5 يبقى هذه جروب 

253
00:27:30,610 --> 00:27:37,130
جديدة بدي أطلع كمان جروب ثاني يبقى هذه isomorphic

254
00:27:37,130 --> 00:27:45,770
كمان لمين؟ لـ Z6 External Direct Product مع Z5 يبقى

255
00:27:45,770 --> 00:27:54,900
مع Z10 ليش؟ لأنه الستة والخمسة are... لأنه الاتنين

256
00:27:54,900 --> 00:28:00,140
والخمسة are relatively prime يبقى هذا sense اتنين

257
00:28:00,140 --> 00:28:10,160
and خمسة are relatively prime والخطوة الأولى اللي

258
00:28:10,160 --> 00:28:13,380
عندنا زد ستة لإنه اتنين و تلاتة relatively prime

259
00:28:13,380 --> 00:28:20,600
هذا كتبناه قبل قليل طب السؤال هو هل هذه isomorphic

260
00:28:20,600 --> 00:28:28,340
لزد ستين ما فيها ستين عنصر طبعا لأ السبب because

261
00:28:29,790 --> 00:28:40,350
إن الستة و العشرة ليسوا مرتبطين بشكل 

262
00:28:40,350 --> 00:28:40,370
عام

263
00:28:47,410 --> 00:28:53,090
بقول isomorphic وين هي؟ لأ لأ كله isomorphic يا

264
00:28:53,090 --> 00:28:57,310
شباب ما عنديش ما قلت يساوي يبقى لو قلت يساوي معناته

265
00:28:57,310 --> 00:29:03,170
كل عنصر يساوي نظيره لكن هذه group تختلف عن هذه

266
00:29:03,170 --> 00:29:08,050
يعني مثلا عنصر اللي هنا لو بده ياخد الواحد و من هنا

267
00:29:08,050 --> 00:29:12,010
بده ياخد اتنين و من هنا بده ياخد ال zero و من هنا

268
00:29:12,010 --> 00:29:16,350
بده ياخد الأربعة مثلا بيختلف عن هذا اللي هنا وهكذا

269
00:29:16,350 --> 00:29:20,810
إذا أي زمار فيك يعني لجروب الأولى و لجروب الثانية

270
00:29:20,810 --> 00:29:27,730
لها نفس الخواص الرياضية يبقى هاي كل اللي بنقوله

271
00:29:27,730 --> 00:29:33,530
بناسبة يعني هذا مثال عملي على الشغلانة طيب ننتقل

272
00:29:33,530 --> 00:29:39,110
الآن لنقطة برضه لها علاقة بهذا الموضوع

273
00:29:58,550 --> 00:30:02,970
في هنا تعريف أخذناه سابقا في chapter of subgroup

274
00:30:02,970 --> 00:30:11,090
نذكره لأنه بدنا نبني الشغل عليه definition تعريف

275
00:30:11,090 --> 00:30:17,810
يقول if ال K is a divisor of N if ال K is a

276
00:30:17,810 --> 00:30:30,020
divisor of N لو كان ال K قاسم لل N و define بدنا

277
00:30:30,020 --> 00:30:40,800
نروح نعرف ال U K of N هو كل العناصر X اللي موجودة

278
00:30:40,800 --> 00:30:48,740
في U M X اللي موجودة في U N such that X modulo K

279
00:30:48,740 --> 00:30:57,410
بده يساوي مين بده يساوي الواحد وهذا شباب sub group من

280
00:30:57,410 --> 00:30:58,850
ال UN

281
00:31:20,410 --> 00:31:23,750
طلع لي في الكلام اللي احنا كتبينه من أول و جديد

282
00:31:23,750 --> 00:31:29,610
بدنا نعطي تعريف و هذا التعريف مر علينا قبل هيك

283
00:31:29,610 --> 00:31:35,150
يبقى احنا بس بنذكر بالذكر بقول لو كان عندي K هو

284
00:31:35,150 --> 00:31:40,010
divisor لل N يبقى الشرط أساسي ان ال K لازم يقسم ال N

285
00:31:42,860 --> 00:31:49,420
بنعرف ستة جديدة سميتها U K of N U N نعرفها كل

286
00:31:49,420 --> 00:31:53,220
الأعداد اللي هي relatively prime مع M بس U K دخلت

287
00:31:53,220 --> 00:31:59,960
على الخط بيقول لمين كل ال X's اللي موجودة في UN يبقى

288
00:31:59,960 --> 00:32:04,720
عناصر من UN بحيث ال X modulo K بيساوي جداش واحد

289
00:32:04,720 --> 00:32:09,800
يعني كل الأعداد اللي الفرق بينها وبين الواحد يساوي

290
00:32:09,800 --> 00:32:15,880
مضاعفات ال K كل الأعداد اللي موجودة في UN اللي

291
00:32:15,880 --> 00:32:19,740
الفرق بينها وبين الواحد هي مضاعفات ال K يعني Zero

292
00:32:20,270 --> 00:32:26,410
طبعا يعني لو طرحت هذا العدد من الواحد بدي يطلع لي

293
00:32:26,410 --> 00:32:32,030
مضاعفات ال K يطلع لي K يطلع لي 2K مضاعفات يعني كأنه

294
00:32:32,030 --> 00:32:35,130
المضاعفات ال K زائد واحد صحيح يبقى الفرق بينهم

295
00:32:35,130 --> 00:32:43,210
بيساوي Zero نعطي مثال let ال

296
00:32:43,210 --> 00:32:50,020
G بدها تساوي U أربعين U أربعين مين عناصرها شباب طيب

297
00:32:50,020 --> 00:32:57,220
find بدنا تمانية بدنا عدد يقسم الأربعين وليكن

298
00:32:57,220 --> 00:33:05,100
ثمانية مثلا find U ثمانية of أربعين هي اللي بدنا

299
00:33:05,100 --> 00:33:06,440
solution

300
00:33:12,160 --> 00:33:16,040
الأول اللي بدنا نعرفه هو عناصر الـU40 ومنهم بدنا

301
00:33:16,040 --> 00:33:22,480
نبدأ نجّه يبقى بداجة أقول له الـU40 عناصرها اللي

302
00:33:22,480 --> 00:33:31,680
هي واحد اتنين تلاتة أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية

303
00:33:31,680 --> 00:33:44,690
تسعة 11 .. 13 .. 14 .. 15 .. 16 .. 17 .. 19 .. 21

304
00:33:44,690 --> 00:33:47,710
..

305
00:33:47,710 --> 00:33:59,490
23 .. 24 .. 25 .. 26 .. 27 ..وكمان تسعة و عشرين

306
00:33:59,490 --> 00:34:07,490
ثلاثين واحد و ثلاثين اثنين و ثلاثين تلاتة و

307
00:34:07,490 --> 00:34:12,670
ثلاثين أربعة و ثلاثين خمسة و ثلاثين ستة و ثلاثين

308
00:34:12,670 --> 00:34:18,910
سبعة و ثلاثين تسعة و ثلاثين يبقى هذه عناصر من

309
00:34:18,910 --> 00:34:21,050
عناصر ال U أربعين

310
00:34:27,390 --> 00:34:33,650
احنا بنشرح للكل مش لوحد، كنا بنشرح للكل، الضعيف

311
00:34:33,650 --> 00:34:37,190
والوسط والقوي كله موجود، بدك تحكي كلام يتناسب مع

312
00:34:37,190 --> 00:34:41,010
الجميع ماشي يعني أنا كان بيبقى مكان يقول لك ده هي

313
00:34:41,010 --> 00:34:44,270
دغري خد اللي هي الرقمين تلاتة و أقول لك ده هم لكنها

314
00:34:44,270 --> 00:34:49,790
بنشرح بنفهم كل خطوة بنعملها كيف جت هي طيب قال لي

315
00:34:49,790 --> 00:34:54,410
احسب لي قداش ال U ثمانية و أربعين فباجي بقوله U

316
00:34:54,410 --> 00:35:05,110
ثمانية و أربعين بده يساوي U يساوي هل الواحد منهم لو

317
00:35:05,110 --> 00:35:11,130
قلت لي لأ هقولها غلط لأن قبل قليل جالك هذه ال

318
00:35:11,130 --> 00:35:16,510
group تحتوي على ال identity اثنين واحد ناقص واحد

319
00:35:16,510 --> 00:35:22,090
يساوي جداش ال zero له مضاعفات الأربعين أو مضاعفات

320
00:35:22,090 --> 00:35:26,310
ال K مضاعفات الثمانية اللي عندنا يبقى الواحد منهم

321
00:35:27,330 --> 00:35:33,470
يلا تسعة لو شيلت من أواها بيصير ثمانية تمام يبقى

322
00:35:33,470 --> 00:35:39,190
هذه التسعة أحد عشر ثلاث عشر سبعة عشر شيلت من أواها بيضل

323
00:35:39,190 --> 00:35:44,600
كذا ستة عشر هي مضاعفات الثمانية يبقى ايه سبعة عشر

324
00:35:44,600 --> 00:35:52,080
تسعة عشر لأ واحد و عشرين تلاتة و عشرين سبعة و عشرين

325
00:35:52,080 --> 00:36:00,260
تسعة و عشرين واحد و ثلاثين تلاتة و ثلاثين اه تلاتة

326
00:36:00,260 --> 00:36:06,160
و ثلاثين منها تلاتة و ثلاثين لأن لو أقل منها واحد

327
00:36:06,160 --> 00:36:10,780
فتبقى اثنين و ثلاثين تسمع ثمانية ستة و ثلاثين لأ

328
00:36:10,780 --> 00:36:16,160
ثمانية و ثلاثين لأ يبقى ما عنديش إلا الأربعة عناصر

329
00:36:16,160 --> 00:36:19,820
اللي قدامي يعني يبقى إذن ال U ثمانية و أربعين هي

330
00:36:19,820 --> 00:36:23,860
واحد و تسعة و سبعة عشر و تلاتة و ثلاثين و كل منها

331
00:36:23,860 --> 00:36:29,490
يحقق من المعادلة أو حسبناهم بناء على التعريف اللي

332
00:36:29,490 --> 00:36:37,550
اعطيناه ل UKM هذا كلام مهم لأن بدنا نبني عليه شغل

333
00:36:37,550 --> 00:36:42,230
ثاني بعد قليل الآن بدنا نيجي لنظرية أخرى في هذا

334
00:36:42,230 --> 00:36:47,350
الشابتر النظرية بتقول ما يأتي IRM

335
00:36:52,330 --> 00:37:06,230
theorem suppose that suppose that أن ال S and T ال

336
00:37:06,230 --> 00:37:18,490
S and T are relatively prime are relatively prime

337
00:37:20,290 --> 00:37:31,510
are relatively prime then then

338
00:37:31,510 --> 00:37:40,830
ال U S T ال U S T isomorphic

339
00:37:40,830 --> 00:37:50,770
لل U S external product مع مين مع U T moreover

340
00:37:50,770 --> 00:37:54,230
وأكثر

341
00:37:54,230 --> 00:37:59,050
من ذلك ال

342
00:37:59,050 --> 00:38:12,930
subgroup U S of ST isomorphic ل U T and ال U T لمن

343
00:38:12,930 --> 00:38:22,170
لل ST isomorphic لمن ل US الشكل اللي عندنا أنا

344
00:38:22,170 --> 00:38:32,050
isomorphic ل US وفي نتيجة عليها ك رولري بتقول

345
00:38:32,050 --> 00:38:44,170
ما يأتي let ال M بدها تساوي N واحد N اثنين ولغاية NK

346
00:38:44,170 --> 00:38:55,190
أن واحد أن اثنين لغاية NK where حيث لجلس ال common

347
00:38:55,190 --> 00:39:08,010
divisor لل N I و N J بدها تساوي واحد for I لا تساوي

348
00:39:08,010 --> 00:39:09,810
J then

349
00:39:11,580 --> 00:39:19,920
الـ UM ايزو مورفك لمن؟ لل U N 1 اكستاناضايك برودك

350
00:39:19,920 --> 00:39:28,200
مع U N 2 اكستاناضايك برودك مع مين؟ مع U N K بالشكل

351
00:39:28,200 --> 00:39:28,860
اللي عندنا هنا

352
00:39:42,060 --> 00:39:48,760
مرة ثانية بقول بقول لو عندك رقمين S وT are

353
00:39:48,760 --> 00:39:57,880
relatively prime then ال U S T يبقى ال group اللي

354
00:39:57,880 --> 00:40:03,080
عندنا ال U S T isomorphic لل externa تاكرودك تبقى

355
00:40:03,080 --> 00:40:09,120
حاصل الضرب زي ايش مثلا لو قلت لك U خمسة عشر بقدر

356
00:40:09,120 --> 00:40:15,260
أكتبها U تلاتة في خمسة مظبوط إذا هذه ال U خمسة عشر

357
00:40:15,260 --> 00:40:19,820
ايزو مورفك ل U تلاتة اكسترنه ضايقة ضعفك مع مين مع

358
00:40:19,820 --> 00:40:24,740
U خمسة هتقول لي تلاتة و خمسة relatively prime بقول لك

359
00:40:24,740 --> 00:40:33,900
ماشي ايش رأيك U ثلاثين تساوي U خمسة في ستة صح خمسة

360
00:40:33,900 --> 00:40:39,070
في ستة أو عشرة في تلاتة هذه وهذه أو اثنين في

361
00:40:39,070 --> 00:40:43,410
خمسة عشر كلها أرقام are relatively prime إذا ال U

362
00:40:43,410 --> 00:40:47,930
ثلاثين isomorphic الى U عشرة في تلاتة أو

363
00:40:47,930 --> 00:40:53,830
isomorphic ل U خمسة في ستة أو isomorphic للاتنين

364
00:40:53,830 --> 00:40:58,390
في U اثنين external like product مع U خمسة عشر و

365
00:40:58,390 --> 00:41:03,670
هكذا ما دام الرقمين أو التلاتة اللي عندك تلاتة من

366
00:41:03,670 --> 00:41:08,790
أين جبتها دي؟ جبتها من الكرولري الكرولري بتقول إذا

367
00:41:08,790 --> 00:41:11,490
ما عندك ليس بضرر رقمين ممكن الأرقام اللي عندك

368
00:41:11,490 --> 00:41:16,090
تحللها إلى حاصل ضرب تلاتة أرقام أو أربعة أرقام أو

369
00:41:16,090 --> 00:41:21,690
خمسة أو عشرة أو كم من الأرقام حلل قد ما بدك يبقى لو

370
00:41:21,690 --> 00:41:27,990
عندي الـ M هذا حللناه إلى حاصل ضرب N من الأرقام N1

371
00:41:27,990 --> 00:41:32,450
N2 لغاية NK بحيث الـ greatest common divisor بين

372
00:41:32,450 --> 00:41:37,250
أي اثنين بدي يكون relatively prime بدي يكون واحد

373
00:41:37,250 --> 00:41:41,690
صحيح يعني الاثنين هذول are relatively prime يبقى

374
00:41:41,690 --> 00:41:46,830
ال U M isomorphic ل U of الرقم الأول كستانادايكو

375
00:41:46,830 --> 00:41:51,030
برودك U مع الرقم الثاني كستانادايكو برودك مع الرقم 

376
00:41:51,030 --> 00:41:55,250
كي وهكذا المرة القادمة إن شاء الله بناخد أمثلة

377
00:41:55,250 --> 00:41:59,890
توضحية على كيفية استخدام الكلام اللي عندنا هذا