PL9fwy3NUQKwZKOpj354PRgwYPWWgxchnI/KpzIv297Rbw.srt

1
00:00:21,400 --> 00:00:24,020
بسم الله الرحمن الرحيم إن شاء الله شباب اليوم

2
00:00:24,020 --> 00:00:28,240
هنفوت في الوحدة الرابعة اللي عنوانها cyclic groups

3
00:00:28,240 --> 00:00:31,580
خلينا بس نراجع شوية معروفاتنا في اللي درسناها 

4
00:00:31,580 --> 00:00:35,300
سابقا في الوحدة الثالثة و الوحدة الثانية و وحدة

5
00:00:35,300 --> 00:00:42,900
المقدمة يمكن لو طلعت على ال..النص التاريخي هنا أو

6
00:00:42,900 --> 00:00:45,760
المقولة اللي موجودة لواحد اسمه Alex مش عارف أشهرها

7
00:00:45,760 --> 00:00:50,540
في العام 1991 بتكلم عن لفظة الـ group نفسها اللي

8
00:00:50,540 --> 00:00:54,080
صارت أهم من لفظة physics وchemistry وحتى

9
00:00:54,080 --> 00:00:57,900
mathematics itself الفكرة هنا يا شباب بالنسبة لل

10
00:00:57,900 --> 00:01:02,820
chapter الرابع or the cyclic groups هي كالتالي في

11
00:01:02,820 --> 00:01:06,680
..عند أهل الرياضيات في عندهم هوث بحاجة اسمها

12
00:01:06,680 --> 00:01:08,540
classification أو التصنيف

13
00:01:11,260 --> 00:01:15,680
يعني لما بنيجي بنعرف هيكل جبري أو هيكل تحليلي

14
00:01:15,680 --> 00:01:20,040
مجموعة عليها بعض الخصائص والشروط بنحاول نصنف

15
00:01:20,040 --> 00:01:25,960
الأنواع هذه المجموعات يعني مثلا في شغلنا مفهوم

16
00:01:25,960 --> 00:01:35,620
للـ group هي مجموعة زائد عملية زائد

17
00:01:35,620 --> 00:01:37,860
أربع شروط

18
00:01:40,810 --> 00:01:47,590
هنلاحظ فيه عدد كبير من الحاجات اللي زي هيك أو

19
00:01:47,590 --> 00:01:51,310
المجموعات اللي معرفة عليها عملية وبتحقق الأربع

20
00:01:51,310 --> 00:01:55,910
شروط واللي بنسميها group لكن هل هذه كلها زي بعض؟

21
00:01:55,910 --> 00:02:04,430
هل هي نفس الشيء؟ هل هي صور مختلفة لنفس المفهوم؟

22
00:02:04,430 --> 00:02:09,040
بيجي هنا السؤال لما بدأت أتعامل مع الـ groups لجأت

23
00:02:09,040 --> 00:02:14,740
أنه عندي فرصة أني أصنع groups بأي order بدي إياها ممكن

24
00:02:14,740 --> 00:02:21,120
أبدأ بـ order 1,2,3,4,N أو بنتكلم عن ZN ممكن أتكلم

25
00:02:21,120 --> 00:02:27,160
عن الـ groups الـ order إلى infinity طيب هي نوع من

26
00:02:27,160 --> 00:02:32,370
أنواع التصنيف أني أصنف الـ group حسب عدد عناصرها في

27
00:02:32,370 --> 00:02:38,010
نوع ثاني أني هصنف الـ group حسب العملية نفسها بتحقق

28
00:02:38,010 --> 00:02:44,430
شرط إضافي ولا لأ زي مين الـ abelian والـ non

29
00:02:44,430 --> 00:02:52,430
abelian وكان عندي قسم لـ groups لصنفين صنف abelian

30
00:02:52,430 --> 00:02:58,030
وصنف non abelian الـ abelian نفسه بدنا نصنف فيه

31
00:02:58,030 --> 00:03:05,360
أيضا يعني في الـ abelian أنا بإمكاني ألاقي نوعين نوع

32
00:03:05,360 --> 00:03:14,640
زي الـ R مع الجمع ونوع زي الـ Z برضه مع الجمع

33
00:03:14,640 --> 00:03:20,860
لاحظوا نفس العملية وهذه أصلا جزء من ..يعني الـ Z

34
00:03:20,860 --> 00:03:27,790
جزء من مين؟ من الـ R لكن الـ Z مع الجمع بتحقق

35
00:03:27,790 --> 00:03:35,050
خاصية أنه جميع العناصر بقدر أكتبهم تركيبة معينة من

36
00:03:35,050 --> 00:03:40,330
عنصر ما يعني كل العناصر في الـ Z عبارة عن power

37
00:03:40,330 --> 00:03:45,550
لمين؟ للواحد طبعا الـ N عبارة عن واحد plus N ليه؟ N

38
00:03:45,550 --> 00:03:51,670
في واحد لأن عملية الضرب هنا تتحول ليش؟ لجمع في

39
00:03:51,670 --> 00:03:56,050
القارة ده كلام مش ممكن أعملهما عنده تنتين abelian

40
00:03:56,050 --> 00:04:02,450
فأنا لازم أصنف الـ groups اللي بتحقق هذا الكلام تحت

41
00:04:02,450 --> 00:04:06,830
إطار معين والـ groups اللي بتحققش هذا الكلام تحت

42
00:04:06,830 --> 00:04:12,630
إطار آخر الإطار تبع الـ group Z ومثيلاتها هنسميه الـ

43
00:04:12,630 --> 00:04:20,330
cyclic groups وهذا هيكون abelian لكن إيش ماله؟ مش

44
00:04:20,330 --> 00:04:26,350
cyclic  ناخد من الـ Z الخاصية الأهم اللي خلتها

45
00:04:26,350 --> 00:04:31,550
مختلفة عن الـ R وهي أن كل العناصر تركيبة خطية من

46
00:04:31,550 --> 00:04:36,230
الواحد ونقول أن الـ group علشان تكون cyclic لازم

47
00:04:36,230 --> 00:04:40,990
تكون كل العناصر تركيبة خطية من عنصر معاه يعني

48
00:04:40,990 --> 00:04:44,270
بنسمي هذا العنصر اللي العناصر تركيبة ..أو مش

49
00:04:44,270 --> 00:04:48,490
تركيبة خطية منه power لهذا العنصر هذا العنصر هسميه

50
00:04:48,490 --> 00:04:55,820
مولد أو generator للـ group نجي للأهمية، ليش احنا

51
00:04:55,820 --> 00:05:04,560
بَندرس التصنيف؟ سببين، السبب الأول، هذا بهمني لما

52
00:05:04,560 --> 00:05:08,740
أدرس لاحقا عملية الـ isomorphism والـ homomorphism،

53
00:05:08,740 --> 00:05:14,260
وبهمني لمعرفة أنه هدول الـ groups زي بعض فبحطهم مع

54
00:05:14,260 --> 00:05:19,080
بعض وبصير أتعامل مع رأس لهم وما ينطبق عليه ينطبق

55
00:05:19,080 --> 00:05:23,960
على الباقي الشغلة الثانية بسهل علي التعامل مع

56
00:05:23,960 --> 00:05:28,310
التركيبة الداخلية للـ groups كيف يعني؟ يعني أنا لو

57
00:05:28,310 --> 00:05:32,890
بشرط على group Cyclic الجروب الـ Cyclic بتحقق خصائص

58
00:05:32,890 --> 00:05:37,290
بتخليني هذه الخصائص بسهولة أقدر أتعامل مع الـ

59
00:05:37,290 --> 00:05:43,430
orders تبعت العناصر أتعامل مع خصائص العنصر نفسه

60
00:05:43,430 --> 00:05:48,070
لحل المعادلات المتعلقة بالعناصر الموجودة ضمن هذه

61
00:05:48,070 --> 00:05:49,550
الـ groups

62
00:05:52,750 --> 00:05:58,030
في حين مثلا اللي أبيه لأنه مش cyclic مقدرش أنفذ

63
00:05:58,030 --> 00:06:04,370
هذا الكلام إلا لما بدي أخد نظريات أكثر تقدما في الـ

64
00:06:04,370 --> 00:06:10,130
chapter الرابع اليوم ابنهي كل ما يتعلق بالـ cyclic

65
00:06:10,130 --> 00:06:15,410
groups من ناحية التركيب الداخلي في chapter عشرة أو

66
00:06:15,410 --> 00:06:20,530
chapter 11 تحديدًا بنتناول ما يتعلق بالـ Ability

67
00:06:20,530 --> 00:06:26,250
Group الـ finite من ناحية التركيب الداخلي بظل

68
00:06:26,250 --> 00:06:32,150
الصعوبة في التعامل مع مين؟ مع شغلتين الـ Ability

69
00:06:32,150 --> 00:06:36,960
Infinite والـ non-abelian طبعا الناس اللي بيشتغلوا

70
00:06:36,960 --> 00:06:39,680
في الجبر الحديث اللي هم نظرياتهم واللي هم شغلهم

71
00:06:39,680 --> 00:06:42,980
في هذا الموضوع اللي احنا مش هنتطرق له في هذا

72
00:06:42,980 --> 00:06:47,180
المساق إذا ضال وجد احنا هناخد شبطة راح دعش ما

73
00:06:47,180 --> 00:06:49,480
يتعلق بالـ finite abelian group لكن على الأقل

74
00:06:49,480 --> 00:06:54,700
هننهي من الـ cyclic groups بالنسبة للتعريف التعريف

75
00:06:54,700 --> 00:06:59,560
مر علينا سابقا خلال الوحدة السابقة اتكلمنا عن إيش

76
00:06:59,560 --> 00:07:10,510
بتعني كلمة cyclic Ego أي سؤال يا شباب؟ في أي سؤال؟

77
00:07:10,510 --> 00:07:20,830
طيب نلخص بعض الأمور كمثال

78
00:07:20,830 --> 00:07:31,830
واحد لو أخذنا Z with addition

79
00:07:34,660 --> 00:07:47,520
أخذنا Z مع عملية الجمع we can show that for any x

80
00:07:47,520 --> 00:07:57,220
أو N ينتمي لـ Z that الـ N بتتساوي واحد أس N أو

81
00:07:57,220 --> 00:08:04,250
عبارة عن الـ N في واحد أيضا الـ N بتتساوي سالب واحد

82
00:08:04,250 --> 00:08:10,570
أو سالب N اللي عبارة عن سالب N بسالب واحد يعني

83
00:08:10,570 --> 00:08:22,610
each element in Z is a power of

84
00:08:22,610 --> 00:08:33,480
واحد and a power of سالب واحد هذا بيخلينا نقول أن

85
00:08:33,480 --> 00:08:43,260
واحد و سالب واحد are generators of

86
00:08:43,260 --> 00:08:48,120
the group Z

87
00:08:48,120 --> 00:08:58,580
عبارة عن مولدات لعناصر الـ group Z and Z is a

88
00:08:58,580 --> 00:08:59,200
cyclic

89
00:09:06,930 --> 00:09:13,870
الجروب مثال آخر برضه على Z لكن على مين؟ على ZN لو

90
00:09:13,870 --> 00:09:19,770
جيت أنا قلت ZN اللي عبارة عن zero واحد اثنين

91
00:09:19,770 --> 00:09:27,070
ثلاثة land in minus one we

92
00:09:27,070 --> 00:09:30,750
can show also

93
00:09:32,960 --> 00:09:48,720
that any element in ZN is a power of واحد هل

94
00:09:48,720 --> 00:09:54,200
الواحد وبس لأ بقدر ألاقي عناصر أخرى هنطلق لها

95
00:09:54,200 --> 00:09:57,780
لاحقا هكون الواحد is a generator

96
00:10:00,210 --> 00:10:10,030
of Zn and Zn is cyclic طبعا ZN لما بتناولها من دون

97
00:10:10,030 --> 00:10:14,190
ما أحط عليها شروط إضافية فأنا بتكلم عن ZN مع عملية

98
00:10:14,190 --> 00:10:25,850
عملية الجمع modulo N طيب لو أخذنا مثلا

99
00:10:31,850 --> 00:10:43,490
U عشرة الـ U عشرة مين فيها؟ واحد، ثلاثة، سبعة،

100
00:10:43,490 --> 00:10:49,370
تسعة طبعا أنا مقدرش أقول generated by واحد، لأن

101
00:10:49,370 --> 00:10:54,040
الواحد عبارة عن إيش؟ على الـ identity لكن أنا مقدر

102
00:10:54,040 --> 00:10:58,880
أقول أن ثلاثة أس واحد بتساوي ثلاثة ثلاثة أس اثنين

103
00:10:58,880 --> 00:11:05,600
ثلاثة فثلاثة جدّيش تسعة ثلاثة أس ثلاثة عبارة عن

104
00:11:05,600 --> 00:11:10,940
سبعة وعشرين بضار جدّيش سبعة ثلاثة أس أربعة واحد

105
00:11:10,940 --> 00:11:19,120
معناته U عشرة بتساوي generated by ثلاثة أيضا هي

106
00:11:19,120 --> 00:11:28,660
generated by مين؟ U10 Generated by 7 وبالتالي U10 is

107
00:11:28,660 --> 00:11:31,780
Cyclic

108
00:11:31,780 --> 00:11:40,220
U10

109
00:11:40,220 --> 00:11:43,260
Cyclic لكن هل كل الـ UN Cyclic

110
00:11:48,530 --> 00:11:56,790
U10 Cyclic هل كل الـ U N Cyclic؟ أعطيني مثال

111
00:11:56,790 --> 00:12:05,390
على U U8 N مش Cyclic نجرب الـ U8 مين فيها الـ U8؟

112
00:12:05,390 --> 00:12:09,590
طيب

113
00:12:09,590 --> 00:12:15,550
هلاحظ أنه ثلاثة أس واحد ثلاثة ثلاثة تربيع عبارة عن

114
00:12:15,550 --> 00:12:20,510
واحد خمسة أس واحد خمسة لكن خمسة تربيع عبارة عن

115
00:12:20,510 --> 00:12:27,450
واحد سبعة أس واحد سبعة لكن سبعة تربيع برضه واحد

116
00:12:27,450 --> 00:12:33,550
وبالتالي U ثمانية ليست generated by ثلاثة وليست

117
00:12:33,550 --> 00:12:40,410
generated by خمسة وليست generated by سبعة هذا

118
00:12:40,410 --> 00:12:43,830
معناته U ثمانية is not

119
00:12:46,600 --> 00:12:55,140
Cyclic ليست جروب ولجروب هذه Cyclic الأربع أمثلة

120
00:12:55,140 --> 00:13:02,940
اللي كتبناها بتوضح ليه أن زد Cyclic زد N دائما

121
00:13:02,940 --> 00:13:07,620
Cyclic لأي N المثال الثالث والرابع بيقول الـ UN قد

122
00:13:07,620 --> 00:13:14,140
تكون Cyclic وقد لا تكون Cyclic واضح

123
00:13:17,290 --> 00:13:24,110
واضح شباب؟ طبعا

124
00:13:24,110 --> 00:13:39,630
هي الأمثلة الموجودة قدامك هنبدأ

125
00:13:39,630 --> 00:13:45,050
بعد هذا المثال في أولى نظريات الوحدة الرابعة 

126
00:13:45,050 --> 00:13:45,910
theorem

127
00:13:49,560 --> 00:13:50,400
أربعة واحدة

128
00:14:08,250 --> 00:14:12,370
عشان أنا أقدر أتناول في نظرية لاحقة بعد نظرية 4-1

129
00:14:12,370 --> 00:14:16,850
اسمها الـ fundamental theorem of cyclic groups

130
00:14:16,850 --> 00:14:22,870
النظرية الأساسية للزمر الدورية لازم أنا أتناول

131
00:14:22,870 --> 00:14:31,180
مسألة وقتاش two powers لعنصر ما بيتساوى وقتاش بقول 

132
00:14:31,180 --> 00:14:37,660
إن الـ A<sup>i</sup> بتساوي الـ A<sup>j</sup> في أي group لو أخدت أي عنصر هذا

133
00:14:37,660 --> 00:14:44,860
قدامه خيارين يا إما infinite order يا إما finite 

134
00:14:44,860 --> 00:14:50,720
order بدنا نتناول في حالة الـ infinite order وقتاش

135
00:14:52,330 --> 00:14:56,690
الـ A<sup>i</sup> بيتساوى الـ A<sup>j</sup> مين هو الـ i والـ j اللي بيخلي

136
00:14:56,690 --> 00:15:01,050
هذا الكلام صحيح وفي حالة الـ finite الـ A<sup>i</sup> والـ A<sup>j</sup>

137
00:15:01,050 --> 00:15:06,670
وإمتى بيتساوى وإيش علاقة الـ i والـ j في هذه

138
00:15:06,670 --> 00:15:15,550
الحالة كنص النظرية خلينا نكتبه let G be

139
00:15:15,550 --> 00:15:18,730
a group

140
00:15:22,250 --> 00:15:32,050
A ينتمي للـ G الحالة الأولى if order الـ A بيساوي

141
00:15:32,050 --> 00:15:40,370
infinite يعني الـ A has infinite order then A<sup>i</sup>

142
00:15:40,370 --> 00:15:50,930
بتساوي A<sup>j</sup> if and only if الـ i بيساوي الـ j and

143
00:15:55,120 --> 00:16:02,260
generated by a بتبدأ بالـ identity a هي تربية هي

144
00:16:02,260 --> 00:16:09,300
تكيب ولا تنتهي أما

145
00:16:09,300 --> 00:16:15,080
في حالة ما يكون الـ order finite الوضع شوية بيتغير

146
00:16:15,080 --> 00:16:21,480
تنين

147
00:16:21,480 --> 00:16:32,290
if order الـ a بيساوي n then A<sup>i</sup>

148
00:16:32,290 --> 00:16:41,850
بتساوي A<sup>j</sup> if and only if الـ n تقسم الـ i - j مش

149
00:16:41,850 --> 00:16:49,910
بس هيك and generated by a ده تساوي الـ identity a

150
00:16:49,910 --> 00:17:00,830
a<sup>2</sup> and a and a<sup>-1</sup> في كل

151
00:17:00,830 --> 00:17:08,370
حالة بالنسبة لـ a<sup>i</sup> بيساوي a<sup>j</sup> في نتائج

152
00:17:08,370 --> 00:17:19,970
وإمتى بيتساوى الجزء الأول assume that أن order الـ a

153
00:17:19,970 --> 00:17:28,160
بدأ تساوي infinite هذا معناه إن a<sup>n</sup> لا يساوي الـ 

154
00:17:28,160 --> 00:17:38,480
identity for any n في الـ Z في

155
00:17:38,480 --> 00:17:46,250
اتجاه سهل if i بيساوي j to i بيبقى تساوي a<sup>j</sup> 

156
00:17:46,250 --> 00:17:50,090
العكسي إنه i بيساوي j بيقودني إنه a<sup>i</sup> بيساوي

157
00:17:50,090 --> 00:17:54,910
a<sup>j</sup> وهذا أمر منطقي نجي لاتجاه الثاني Assume

158
00:17:54,910 --> 00:18:06,190
that a<sup>i</sup> بيبقى تساوي  لا يساوي بلاش في z بيحطها

159
00:18:06,190 --> 00:18:09,190
في الـ natural number اتكلم عن الـ order يكون

160
00:18:09,190 --> 00:18:17,180
positive assume that a<sup>i</sup> بدأت تساوي a<sup>j</sup> هذا

161
00:18:17,180 --> 00:18:30,360
معناه let أو assume that إن j أو i لا يساوي j

162
00:18:30,360 --> 00:18:34,300
أنا

163
00:18:34,300 --> 00:18:38,480
بدي أثبت إن i بيساوي j هفتخد إن i لا يساوي j

164
00:18:42,320 --> 00:18:51,960
without loss of generality بدون فقدان التعميم ذات

165
00:18:51,960 --> 00:18:59,660
i أكبر من j ما هو الـ i لا يساوي الـ j يا الـ i أكبر

166
00:18:59,660 --> 00:19:06,840
يا الـ j أكبر فحنفترض أنه الـ i أكبر حاجة الـ A<sup>i</sup> بدأت

167
00:19:06,840 --> 00:19:16,070
تساوي A<sup>j</sup> يعني A<sup>i-j</sup> بدأت تساوي الـ identity هداش

168
00:19:16,070 --> 00:19:22,170
حيخليني أقول but

169
00:19:22,170 --> 00:19:32,190
a<sup>n</sup> لا يساوي الـ identity لكل n في الـ N هداش

170
00:19:32,190 --> 00:19:37,190
معناه معناه لازم الـ i - الـ j تساوي zero

171
00:19:37,190 --> 00:19:39,390
وبالتالي

172
00:19:42,900 --> 00:19:49,260
إذا حسيني أندي تناقض هان كيف بقول كيف

173
00:19:49,260 --> 00:19:53,700
بقول إن الـ i - الـ j بتساوي الـ identity والـ i

174
00:19:53,700 --> 00:20:00,460
- j ينتمي للـ N والـ A<sup>n</sup> لا يساوي الـ identity

175
00:20:00,460 --> 00:20:08,140
لأي n في N هذا contradiction فاني أعملها هان

176
00:20:08,140 --> 00:20:12,440
وبالتالي i بدأت تساوي

177
00:20:17,690 --> 00:20:24,410
طيب هذا معناه إن generated by a بتتساوي الـ

178
00:20:24,410 --> 00:20:33,450
identity ايه تربية ايه تكييب and a<sup>i</sup> and a<sup>j</sup>

179
00:20:33,450 --> 00:20:38,610
are distinct خلي

180
00:20:38,610 --> 00:20:44,810
اعمله since a<sup>i</sup> and a<sup>j</sup> are distinct from

181
00:20:44,810 --> 00:20:45,290
any

182
00:20:50,630 --> 00:21:00,130
i يساوي j هجات الـ powers للـ A A<sup>i</sup> و A<sup>j</sup>

183
00:21:00,130 --> 00:21:04,730
لا يتساوى إلا لو تساوى الـ i و الـ j لما الـ i و

184
00:21:04,730 --> 00:21:08,170
الـ j ما يتساووش هذه القيم اللي بتطلع معاش بتكون

185
00:21:08,850 --> 00:21:15,310
مختلفة ما بوصلش في لحظة معينة لعنصر موجود قبل هيك كل

186
00:21:15,310 --> 00:21:19,550
مرة باعطي power جديد بيعطي ناشر عنصر جديد وبالتالي

187
00:21:19,550 --> 00:21:25,650
هذه المجموعة مش هتنتهي وبهيك تكون خلص إثبات الجزء

188
00:21:25,650 --> 00:21:35,250
الأول أي

189
00:21:35,250 --> 00:21:35,950
سؤال؟

190
00:21:46,140 --> 00:21:50,120
عشان الـ order بيساوي infinity مدام الـ order بيساوي

191
00:21:50,120 --> 00:21:53,220
infinity مش هيساوي عدد محدود يعني ما فيش power للـ a

192
00:21:53,220 --> 00:21:59,980
بيعطيك الـ identity غير الـ zero عشان إنالو أنا

193
00:21:59,980 --> 00:22:03,020
خلّيتها N ينتمي لـ Z طب ما هو أصلاً A و zero

194
00:22:03,020 --> 00:22:06,620
بيعطيني الـ identity فاخدتها في الـ N حد هيقول لي

195
00:22:06,620 --> 00:22:09,920
طيب والأعداد السالبة ما هو أصلاً لو الـ A<sup>-</sup>

196
00:22:09,920 --> 00:22:13,360
n بيساوي الـ identity فالـ A<sup>n</sup> هيساوي الـ identity

197
00:22:13,360 --> 00:22:18,320
وبالتالي لما أنا أقول n في الـ N ف أنا بلغ الموجب و

198
00:22:18,320 --> 00:22:28,500
بلغ السالب وبكتفي بمين بالصفر جزء الثاني assume

199
00:22:30,900 --> 00:22:40,420
that هو أخضر الـ A بدأت تساوي الـ n يعني A<sup>n</sup>

200
00:22:40,420 --> 00:22:46,840
بدأت تساوي الـ Identity إيش المطلوب يثبته نرجع للنص

201
00:22:46,840 --> 00:22:49,880
أنه

202
00:22:49,880 --> 00:22:55,540
A<sup>i</sup> بتساوي A<sup>j</sup> if and only if الـ n بتقسم الـ

203
00:22:55,540 --> 00:23:05,690
i - j في اتجاه سهل إذا i بيساوي الـ j ثم A<sup>i</sup>

204
00:23:05,690 --> 00:23:10,770
بيبقى بيساوي A<sup>j</sup> لحظة، أنا هبدأ بنفس البداية،

205
00:23:10,770 --> 00:23:19,130
بنفس الطريقة اللي بدأتها جهة ثانية Assume that A

206
00:23:19,130 --> 00:23:21,930
<sup>i</sup> بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى

207
00:23:21,930 --> 00:23:23,430
بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى A<sup>j</sup>

208
00:23:27,170 --> 00:23:33,150
هنثبت إن الـ i - الـ j من مضاعفات الـ n أو الـ n

209
00:23:33,150 --> 00:23:43,730
بتقسم الـ i - j هذا معناه الـ A<sup>i-j</sup>

210
00:23:43,730 --> 00:23:46,090
إيش ده تساوي الـ identity

211
00:23:49,390 --> 00:23:55,070
طيب حاجة الجيت أشغل على الأن هنمسح الجملة هذه

212
00:23:55,070 --> 00:24:00,190
كتبناها ونرجع نكتب جملة بعدها نكتبها الـ i - j

213
00:24:00,190 --> 00:24:04,070
مدام

214
00:24:04,070 --> 00:24:08,730
أنا ما حطيت الشروط على i و j فهذا قد يكون سالب وقد

215
00:24:08,730 --> 00:24:14,850
يكون موجب قد يكون zero أنا علشان أبعد عن حالتين

216
00:24:14,850 --> 00:24:19,110
حالة الـ zero وحالة السالب هفترض زي ما فرضت هنا أن

217
00:24:19,110 --> 00:24:22,470
الـ i أكبر من الـ j إفتراض إن الـ i أكبر من الـ j يعني

218
00:24:22,470 --> 00:24:28,270
إن أنا دخلت على أسلوب الإثبات الغير مباشر يعني بال

219
00:24:28,270 --> 00:24:31,790
contradiction وبالتالي لازم أفترض إن الـ i لا يساوي

220
00:24:31,790 --> 00:24:38,630
الـ j assume in contrary that

221
00:24:40,640 --> 00:24:56,260
إن الـ i لا يساوي j c الـ i أكبر من الـ j Now A

222
00:24:56,260 --> 00:25:02,080
<sup>i</sup> بيبقى تساوي A<sup>j</sup> يعني A<sup>i-j</sup>

223
00:25:02,080 --> 00:25:07,660
إيش بديه يساوي الـ identity طبعاً تنساش إن الـ i

224
00:25:07,660 --> 00:25:21,810
- j أكبر من الصفر يعني بينتمي لمين ينتمي طيب

225
00:25:21,810 --> 00:25:26,910
using اللي

226
00:25:26,910 --> 00:25:36,090
هو الـ division algorithm سمعني

227
00:25:36,090 --> 00:25:41,770
الـ division algorithm أنا بقدر أقول إن الـ i -

228
00:25:41,770 --> 00:25:45,570
j بدأت

229
00:25:45,570 --> 00:25:52,150
تساوي الـ qn + r والـ r أقل من الـ n وأكبر

230
00:25:52,150 --> 00:26:00,690
من الصفر صح؟ في غلط إن

231
00:26:00,690 --> 00:26:03,970
أنا شيلت اليسار لما أنا بدي أقول إن اليسار مش

232
00:26:03,970 --> 00:26:05,910
موجود بدي مبرر

233
00:26:08,360 --> 00:26:15,240
بدي وبقى طب و ليش أنا بدي أثبتها هنا هل أنا محتاج

234
00:26:15,240 --> 00:26:28,960
أنفيها طيب

235
00:26:28,960 --> 00:26:34,500
يبدو إني بدأت خطأ ممكن أنا أجاوب لعدل بعد هيك طيب

236
00:26:34,500 --> 00:26:46,500
now A<sup>r</sup> عبارة عن A<sup>i-j</sup> - qn بدأت

237
00:26:46,500 --> 00:26:53,580
تساوي A<sup>i-j</sup> × A<sup>-qn</sup> اللي عبارة

238
00:26:53,580 --> 00:26:58,920
عن الـ identity × A<sup>n</sup><sup>-q</sup> identity ×

239
00:26:58,920 --> 00:27:07,270
identity بدأت تساوي إيش identity يعني A<sup>r</sup> ده يساوي

240
00:27:07,270 --> 00:27:12,330
الـ identity طيب

241
00:27:12,330 --> 00:27:17,350
تعالوا نشوف وين الأخطاء اللي وجعنا فيها أول حاجة

242
00:27:17,350 --> 00:27:22,130
شباب أناش المطلوب يثبته مش

243
00:27:22,130 --> 00:27:27,270
المطلوب يثبته أول حاجة المطلوب أثبت إن الـ n تقسم

244
00:27:27,270 --> 00:27:32,470
الـ i - الـ j أناش

245
00:27:32,470 --> 00:27:32,970
فرضت

246
00:27:39,300 --> 00:27:43,240
ما شيله علاقة؟ إيش اللي علاقة؟ يعني بقى هذا أول خطأ

247
00:27:43,240 --> 00:27:47,580
شوية

248
00:27:47,580 --> 00:27:52,440
بس وهذا الخطأ جاب وراه أخطاء ثانية فرض إن الـ i لا

249
00:27:52,440 --> 00:27:59,880
يساوي j وقولت إن الـ i أكبر من الـ j طبعاً

250
00:27:59,880 --> 00:28:05,860
وهذا مبني على هذا أنا مطلوب إني أثبت إن الـ n تقسم 

251
00:28:05,860 --> 00:28:11,460
هل لو الـ I أكبر من الـ J، الـ N قد لا 

252
00:28:11,460 --> 00:28:16,280
تقسم الـ I minus J، ما لهوش

253
00:28:16,280 --> 00:28:22,740
علاقة. إذاً، فبنرجع نعدل فرضياتنا ونعدل الدزق هذا

254
00:28:22,740 --> 00:28:25,920
بناء على الفرض اللي احنا فرضناه، إذاً فأنا بدي أفترض

255
00:28:25,920 --> 00:28:34,650
هنا إيش؟ أن الـ N لا تقسم الـ I minus J، تقسم أو لا

256
00:28:34,650 --> 00:28:41,970
تقسم؟ لا تقسم. هل هذي هي الازمة هالجيت؟ لأ لأ

257
00:28:41,970 --> 00:28:48,110
هجيت الـ A أُس I minus الـ J، بدي أساوي الـ E. أنا لما

258
00:28:48,110 --> 00:28:52,550
قلت إنه I minus الـ J في الـ .. بناء على إيش؟ على

259
00:28:52,550 --> 00:28:58,130
إنه الـ I أكبر من الـ J. طيب بصراحة، الـ I أكبر من

260
00:28:58,130 --> 00:29:00,210
الـ J، يبقى دي ونحن سيه؟ في الـ Z

261
00:29:04,420 --> 00:29:08,320
Using Division Algorithm معرفة على مين؟ عزد في هذه

262
00:29:08,320 --> 00:29:14,580
الخطوة. سليمة. هرجت. هنرجع هان لما أنا قلت لك إنه

263
00:29:14,580 --> 00:29:18,860
ممنوع نشيل المساواة إلا بمبرر. صار المبرر موجود ولا

264
00:29:18,860 --> 00:29:24,480
لأ. الشغلة إنه الآن لو تقسم الـ I minus J، فأنا بروحش

265
00:29:24,480 --> 00:29:31,810
بعمل هان، بشيل المساواة، بكمل: a-r بيساوي a-i-j-q-n

266
00:29:31,810 --> 00:29:40,350
بصل إن a-r بيساوي الـ identity، since r أكبر أو 

267
00:29:40,350 --> 00:29:46,950
يساوي الـ zero. a-r بيساوي الـ identity. طبعاً، الـ r ما

268
00:29:46,950 --> 00:29:51,150
بين الـ n وأكبر من الـ zero. الـ a-r بيساوي الـ

269
00:29:51,150 --> 00:29:53,990
identity order للـ a بيساوي n

270
00:29:57,830 --> 00:30:01,950
A contradiction. مين

271
00:30:01,950 --> 00:30:07,110
هو الـ contradiction؟ هذا الـ order هو n، وصار عندي

272
00:30:07,110 --> 00:30:13,990
عدد مش صفري أقل من الـ n بيعطينا الـ identity. so وين

273
00:30:13,990 --> 00:30:23,600
الخلل؟ إنه لازم الـ R يساوي zero، والـ N تقسم الـ I

274
00:30:23,600 --> 00:30:27,340
minus J، وبالتالي الجزئية الأولى من المرحلة

275
00:30:27,340 --> 00:30:33,000
الثانية تم إثباتها. أعيد بسرعة عشان .. أعيد بسرعة

276
00:30:33,000 --> 00:30:39,040
لأنه طريقة الإثبات صار فيها تعديل. أنا فرضت ..

277
00:30:39,040 --> 00:30:43,380
بالعمد. يعني أنت عمد فيك ولا عشان تتعلم ولا .. مش

278
00:30:43,380 --> 00:30:45,880
دائماً بكون عاملة بالعمد. أحياناً أنا بخ .. ب .. يعني

279
00:30:45,880 --> 00:30:52,700
أنا أخلطت في شغلة وبرجع أعدلها. طيب، فعرضت هنا إن الـ

280
00:30:52,700 --> 00:30:58,460
A Os I بدأ تساوي A Os J، فأنا بشتغل على عكس المطلوب

281
00:30:58,460 --> 00:31:03,360
فرضت إن الـ N لا تقسم الـ I minus J، وصلت إن I minus

282
00:31:03,360 --> 00:31:07,620
J بده يساوي الـ identity، والـ I minus J في الـ Z، والـ N

283
00:31:07,620 --> 00:31:11,560
عدد طبيعي، فأنا بقدر أشتغل بالـ division algorithm، و

284
00:31:11,560 --> 00:31:15,540
أكتب هذا الكلام. وعلشان الـ N لا تقسم I minus J

285
00:31:15,540 --> 00:31:19,760
الـ r لازم تساوي Zero. وصلت بعد الحسابات إن I minus

286
00:31:19,760 --> 00:31:23,560
R بده يساوي الـ identity. طيب، I minus R بده يساوي الـ

287
00:31:23,560 --> 00:31:31,230
identity، والـ R عدد طبيعي، يعني يكون أكبر من الـ

288
00:31:31,230 --> 00:31:36,210
order. لكن هو أصغر من الـ order، فصار تناقض. يعني لازم

289
00:31:36,210 --> 00:31:43,870
الـ R يساوي 0، والـ N تقسم الـ I minus G. الجهة

290
00:31:43,870 --> 00:31:48,630
الثانية بسطر واحد. لو الـ I بيساوي الـ G، فالـ A و I

291
00:31:48,630 --> 00:31:49,990
بيساوي A و G

292
00:31:57,620 --> 00:32:05,680
خلّيني أكتب الجهة الثانية مرة أخرى. Assume أن

293
00:32:05,680 --> 00:32:15,420
N تقسم I minus J، معناته إن I minus J تتساوي Q

294
00:32:15,420 --> 00:32:26,520
ضربناها في N، والـ T من أين؟ من Z. الجهة A أُس I minus

295
00:32:26,520 --> 00:32:31,240
الـ J عبارة عن A أُس T N، يعني عبارة عن A أُس N أُس

296
00:32:31,240 --> 00:32:36,020
T، بدت تساوي الـ Identity. A أُس I minus الـ J بدت تساوي

297
00:32:36,020 --> 00:32:44,700
الـ Identity. A أُس I بدت تساوي A أُس G. طيب، 

298
00:32:44,700 --> 00:32:49,260
فضل هذه؟

299
00:32:49,260 --> 00:32:55,310
ركز معايا. فرضت إن الـ A أُس I بيبقى تساوي A أُس J

300
00:32:55,310 --> 00:33:02,950
فرضت

301
00:33:02,950 --> 00:33:09,290
الـ B. فرضت إن الـ A أُس I بيبقى تساوي A أُس J. فرضت

302
00:33:09,290 --> 00:33:09,690
أن الـ B. فرضت إن الـ A أُس I بيبقى تساوي A أُس J

303
00:33:09,690 --> 00:33:12,050
فرضت إن الـ N تقسم الـ I minus J. فرضت إن الـ N لا

304
00:33:12,050 --> 00:33:19,000
تقسم الـ I minus J. يبقى a-i يبقى a-j يبقى a-j يبقى

305
00:33:19,000 --> 00:33:20,000
a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى

306
00:33:20,000 --> 00:33:20,200
يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى

307
00:33:20,200 --> 00:33:21,480
a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j

308
00:33:21,480 --> 00:33:22,100
يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى

309
00:33:22,100 --> 00:33:30,580
a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى

310
00:33:30,580 --> 00:33:38,510
a-j يبقى a-j يبقى a-j. الـ A أُس I minus الـ G

311
00:33:38,510 --> 00:33:42,570
Identity. A أُس سالب Q N عبارة عن A أُس N أُس سالب

312
00:33:42,570 --> 00:33:46,630
Q، برضه Identity. Identity في Identity بيعطيك الـ

313
00:33:46,630 --> 00:33:50,610
Identity. يكبر A أُس R بيبقى يساوي الـ Identity. هجيت

314
00:33:50,610 --> 00:33:54,850
أي عدد طبيعي برفع الـ A له وبيعطيني الـ Identity

315
00:33:54,850 --> 00:33:59,470
لازم يكون أكبر من مين؟ من الـ order، لأن الـ order هو

316
00:33:59,470 --> 00:34:03,230
أصغر عدد طبيعي بيخلي الـ A يروح لمين؟

317
00:34:05,600 --> 00:34:08,900
هو المفروض يكون أكبر، لكن حسب الـ Divisional Root

318
00:34:08,900 --> 00:34:14,080
ما هو أصغر، فصار عندي تناقض، وبالتالي لازم الـ R

319
00:34:14,080 --> 00:34:19,860
تساوي صفر، والـ order أو الـ A، الـ N تقسم الـ I minus

320
00:34:19,860 --> 00:34:30,620
J. تجاه العكس سهل، يعني ما فيش فيه تأخير. كيف؟ ما

321
00:34:30,620 --> 00:34:34,600
هو حسب الـ Divisional Root، مستحيل يساوي الـ N، طالما

322
00:34:34,600 --> 00:34:38,820
بتجسم الباقي دائماً أقل من اللي بتجسم عليه، وإلا لو

323
00:34:38,820 --> 00:34:44,820
بيساوي اللي بتجسم عليه، هيظل باقي بتضالي

324
00:34:44,820 --> 00:34:53,820
الجزئية الأخيرة يا شباب

325
00:34:53,820 --> 00:34:59,060
أنا بدي أثبت إنه generated by A بس هدول هذه

326
00:34:59,060 --> 00:35:04,390
خطوتين. الخطوة الأولى إنه كل واحد من هدول مختلف عن

327
00:35:04,390 --> 00:35:13,210
الثاني. الخطوة الثانية إنه أي واحد من برا، يعني أي 

328
00:35:13,210 --> 00:35:19,970
power أقل من الصفر أو أكبر من الـ N-1، لازم يكون

329
00:35:19,970 --> 00:35:25,510
موجود هنا. طيب now four

330
00:35:26,720 --> 00:35:35,540
أني I أقل من الـ N، أكبر أو يساوي الصفر. J أقل من الـ

331
00:35:35,540 --> 00:35:51,020
N، أكبر أو يساوي الصفر. if I لا يساوي J، then I minus

332
00:35:51,020 --> 00:35:59,650
J من الـ N وبين السالب N، والـ I minus J لا يساوي Zero

333
00:35:59,650 --> 00:36:02,810
وبالتالي

334
00:36:02,810 --> 00:36:08,230
A أس I minus J مش هيساوي الـ identity

335
00:36:11,870 --> 00:36:15,810
العدد الوحيد اللي ما ترفع الـ a له يعطيك الـ

336
00:36:15,810 --> 00:36:20,350
identity من هو؟ الصفر بس. الصفر الـ i minus الـ j لا

337
00:36:20,350 --> 00:36:24,330
تساوي إيه، بمعناته الـ a أُس i minus الـ j ما بيسويش

338
00:36:24,330 --> 00:36:31,630
الـ identity، و بالتالي a أُس i لا يساوي a أُس j، يعني

339
00:36:31,630 --> 00:36:41,760
if i لا يساوي j، والـ I بين الـ N والـ 0، والـ J بين

340
00:36:41,760 --> 00:36:48,320
الـ N والـ 0. المحصلة A أُس I and A أُس J are

341
00:36:48,320 --> 00:36:57,300
distinct، يعني هدولة كلهم مختلفين ولا واحد فيهم

342
00:36:57,300 --> 00:37:00,180
بيساوي الثاني. now

343
00:37:02,790 --> 00:37:12,250
إذا M أكبر أو يساوي الـ N أو M أصغر من الـ Zero، ثم

344
00:37:12,250 --> 00:37:16,430
بمعالجة

345
00:37:16,430 --> 00:37:21,590
الـ Division الـ

346
00:37:21,590 --> 00:37:32,410
M بدأ تساوي مثلاً الـ Q شرطة N زاد R شرطة، والـ R شرطة

347
00:37:32,410 --> 00:37:41,550
بين الـ N والـ 0. أي عدد غير هدول الـ 0,1,2,N,N-1

348
00:37:41,550 --> 00:37:48,250
لما بدي أجسمه على الـ N، هيدلر المين ضار بين مين؟

349
00:37:48,250 --> 00:37:55,810
طيب الـ A أُس M بدت تساوي A أُس Q شرطة N زاد R شرطة

350
00:37:55,810 --> 00:38:01,930
A أُس N أُس Q شرطة في A أُس R شرطة، هذا بيساوي الـ

351
00:38:01,930 --> 00:38:14,790
identity في A أُس R شرطة. A أُس R شرطة، وهذا ينتمي، يعني

352
00:38:14,790 --> 00:38:20,630
بأي M أكبر من الـ N، أصغر من الصفر، موجود هنا ولا مش

353
00:38:20,630 --> 00:38:26,070
موجود هنا؟ يجب كل الـ powers للـ A اللي محصورين بين

354
00:38:26,070 --> 00:38:31,010
الصفر والـ N-1 مختلفين وموجودين، لكن الـ powers

355
00:38:31,010 --> 00:38:37,090
اللي جابوا للصفر وبعد الـ N برضه مكررين بالسماء

356
00:38:37,090 --> 00:38:43,810
الواحد من هدول. النتيجة إنه generated by A موجود

357
00:38:43,810 --> 00:38:44,630
فيه بس هدول

358
00:38:49,050 --> 00:38:53,310
طبعاً، لأن أنا عملت خطوتين: أثبتت إن هدول موجودين، و

359
00:38:53,310 --> 00:38:56,990
أثبتت إنه مش موجود غيرهم. كيف أثبتت إنهم موجودين؟

360
00:38:56,990 --> 00:39:02,450
أثبتتهم distinct، مختلفين. مدام مختلفين، مش مكررين، و

361
00:39:02,450 --> 00:39:08,770
بالتالي كل واحد موجود بشخصه. طبعاً، اللي غيرهم، كل واحد

362
00:39:08,770 --> 00:39:15,210
من الـ powers اللي جاب لي الصفر بعد الـ N، موجود له

363
00:39:17,180 --> 00:39:23,000
power مساوي في هذه المجموعة أو في السرد اللي موجود

364
00:39:23,000 --> 00:39:29,700
قدامك، وبالتالي بهذه الخطوة أنا بكون أنهيت النظرية

365
00:39:29,700 --> 00:39:36,700
الأولى أو نظرية 4-1، أي

366
00:39:36,700 --> 00:39:41,200
سؤال أي

367
00:39:41,200 --> 00:39:41,980
سؤال يا شباب

368
00:39:57,040 --> 00:40:06,240
هنا؟ طيب، اللي هي الجزء الأخير هذا. هذا جزئين، الجزء

369
00:40:06,240 --> 00:40:12,960
الأول اللي هو المربع هذا، الموجودين

370
00:40:12,960 --> 00:40:16,880
مختلفين

371
00:40:16,880 --> 00:40:23,840
يعني العناصر هذه، أشملها مختلفة. ما عادش بعدك تقول يا

372
00:40:23,840 --> 00:40:28,440
عم إيه أو السبعة أو إيه أو الستمانتاش زي بعض، فأنت

373
00:40:28,440 --> 00:40:33,440
ليش حاططهم؟ الخطوة الثانية اللي المربع الأزرق

374
00:40:33,440 --> 00:40:41,400
الوا .. والباقي

375
00:40:41,400 --> 00:40:51,200
القوة مكررة. ماذا يعني؟ أي أُس آخر غير هدول موجود

376
00:40:51,200 --> 00:40:58,600
لكناش بشكل تاني في two corollaries على هذه النظرية

377
00:40:58,600 --> 00:41:05,260
corollary

378
00:41:05,260 --> 00:41:05,800
واحد

379
00:41:15,560 --> 00:41:30,080
إن order of a بيسوي order generated by a if

380
00:41:30,080 --> 00:41:33,120
order

381
00:41:33,120 --> 00:41:37,720
of a بيسوي infinity then order generated by a

382
00:41:37,720 --> 00:41:43,780
عبارة عن order المجموعة هذه كده

383
00:41:43,780 --> 00:41:45,220
عدد العناصر هنا يا شباب

384
00:41:48,100 --> 00:41:54,200
final طيب لو كان order ال a بدي يساوي n then

385
00:41:54,200 --> 00:42:01,240
order generated by a اللي هو ال order لل e a a

386
00:42:01,240 --> 00:42:05,320
تربية ل عند a and n minus one كده عدد العناصر هنا

387
00:42:05,320 --> 00:42:13,280
برضه and المحصرة ان order ال a بيساوي order

388
00:42:13,280 --> 00:42:15,720
generated by a

389
00:42:30,400 --> 00:42:36,480
corollary 2 زمان

390
00:42:36,480 --> 00:42:44,920
يا شباب لما كنا نشتغل على order

391
00:42:44,920 --> 00:42:50,480
العنصر و نقول انه بيساوي n فأي power بيعطيك ان

392
00:42:50,480 --> 00:42:54,740
العنصر بيساوي identity كنا نقول ان هذا ال power

393
00:42:54,740 --> 00:42:59,760
أكبر من ال n هل جيت مش هنقول اكبر من الان هنقول ان

394
00:42:59,760 --> 00:43:04,760
الان يقسمه هذا بذكرني في نظرية الاعداد لما شغلت

395
00:43:04,760 --> 00:43:07,940
على الجريس greatest common divisor في التعريف تبع الجريس

396
00:43:07,940 --> 00:43:13,760
greatest common divisor كان اي greatest common divisor اخر للجريس

397
00:43:13,760 --> 00:43:18,280
greatest common divisor اكبر منه بعدين اصبح الجريس greatest

398
00:43:18,280 --> 00:43:25,720
common divisor مضاعف لهذا ال greatest common divisor الاخر هنا نفس

399
00:43:25,720 --> 00:43:33,910
الفكرةفإذا أردر الـ A هو N و A أُس K هو الـ

400
00:43:33,910 --> 00:43:43,770
Identity فإن N يقسم الـ K إثبات سهل إذا

401
00:43:43,770 --> 00:43:50,250
أردر ال A هو N و A أُس K هو الـ Identity فإن N

402
00:43:50,250 --> 00:43:51,510
تقسم الـ K

403
00:43:57,750 --> 00:44:06,590
كيف؟ النظرية مباشرة كمثال

404
00:44:06,590 --> 00:44:12,590
سريع جامع من المحاضرة لو كان ال order لل A بدي

405
00:44:12,590 --> 00:44:18,390
ساوي ستة ف generated by ال A عبارة عن ال identity

406
00:44:18,390 --> 00:44:25,930
A A تربيع A تكعيب A أس أربعة A أس خمسة طبعا ليش

407
00:44:25,930 --> 00:44:31,810
سموها Cyclic او زمر دوارة؟ هاي ال identity يا شباب

408
00:44:31,810 --> 00:44:41,800
هان ال a هان ال a تربيع هان ال a تكعيب ال a أس 4 الـ

409
00:44:41,800 --> 00:44:47,240
A أس 5 الـ Identity اللي هو A أس 6 بلف مرتين على A أس

410
00:44:47,240 --> 00:44:52,320
7 الـ A أس 2 هو نفسه A أس 8 الـ A أس 3 عبارة عن الـ

411
00:44:52,320 --> 00:44:57,820
A أس 9 الـ A أس 4 عبارة عن الـ A أس 10 و هكذا بتصير

412
00:44:57,820 --> 00:45:05,850
القوة اشمالها بتلف في دائرةيعطيكوا العافية طبعا هي

413
00:45:05,850 --> 00:45:10,070
كده احنا انهينا الجزء الاول في الوحدة الرابعة

414
00:45:10,070 --> 00:45:13,810
وحاضرة جهة ان شاء الله هناخد الجزء التاني هناخد ال

415
00:45:13,810 --> 00:45:18,850
fundamental theorem of cyclic groups يعطيكوا

416
00:45:18,850 --> 00:45:19,170
العافية