PL9fwy3NUQKwY_stEoTlrdAvi6H_x0XBo-/ahIgPhYJp3w.srt

1
00:00:01,230 --> 00:00:05,050
بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة التاسعة

2
00:00:05,050 --> 00:00:09,790
مساق رياضيات مفاصلة لطلبة الجامعة الإسلامية قسم

3
00:00:09,790 --> 00:00:14,250
الحوسبة المتنقلة كلية التكنولوجيا المعلومات اليوم

4
00:00:14,250 --> 00:00:20,000
هيكون الحديث عن اللي هو طرق البرهان الرياضية نحكي 

5
00:00:20,000 --> 00:00:25,000
طبعا هو نزيج من chapter 5 و باقي chapter 1-7

6
00:00:25,000 --> 00:00:28,620
section 1-7 في chapter الأول اللي هو proof

7
00:00:28,620 --> 00:00:31,600
techniques and mathematical induction اللي هي طرق

8
00:00:31,600 --> 00:00:37,720
البرهان و اللي هي الاستقراء الرياضي الآن في بعض

9
00:00:37,720 --> 00:00:41,720
الحقائق بس حابين نذكرها على السريع عسى أن تلزمنا

10
00:00:41,720 --> 00:00:46,210
بعد شوية The product of two non-zero real numbers

11
00:00:46,210 --> 00:00:51,130
is non-zero يعني لو ضربنا عددين حقيقية و لا واحد

12
00:00:51,130 --> 00:00:54,870
فيهما صفر أكيد هيطلع مش صفر The square of a non-zero

13
00:00:54,870 --> 00:00:57,710
real number is a positive real number اللي هو لو

14
00:00:57,710 --> 00:01:00,690
كان عندي a real number بيكون a تربيع اللي هو

15
00:01:00,690 --> 00:01:04,600
positive real number الآن الـ even integer is of

16
00:01:04,600 --> 00:01:09,020
the form 2k لأن لو كان عندي اللي هو عدد زوجي بنقدر

17
00:01:09,020 --> 00:01:12,180
نكتبه على صورة 2k for some k element in Z يعني

18
00:01:12,180 --> 00:01:16,300
هذه صورة العدد الزوجي أما العدد الفردي the odd

19
00:01:16,300 --> 00:01:20,820
integer is of the form 2k زائد 1 for some k

20
00:01:20,820 --> 00:01:28,560
element in Z حاصل ضرب two even integers is even

21
00:01:28,560 --> 00:01:33,700
وحاصل ضرب two odd integers is odd a real number is

22
00:01:33,700 --> 00:01:36,960
a rational number if it is a common fraction that

23
00:01:36,960 --> 00:01:40,880
is of the form M على N of integers M and N و N لا

24
00:01:40,880 --> 00:01:45,260
تساوي صفر يعني بيقولي العدد النسبي هو العدد اللي

25
00:01:45,260 --> 00:01:49,240
بنقدر نكتبه على صورة M على N حيث و M و N عدد صحيحة

26
00:01:52,650 --> 00:01:57,730
الآن لا يساوي صفر a prime طبعا احنا عرفناه هو

27
00:01:57,730 --> 00:02:00,670
عبارة عن positive integer أكبر من واحد اللي

28
00:02:00,670 --> 00:02:04,510
بيقبل القسمة بس على اللي هو الواحد والـ p وطبعا هيكسب على

29
00:02:04,510 --> 00:02:11,340
السالب واحد والسالب p الآن البرهان النظريات أو

30
00:02:11,340 --> 00:02:16,200
اللي هي أنواع البرهان اللي هي فيه أنواع للبرهان

31
00:02:16,200 --> 00:02:20,720
اليوم بدنا نحكي عن واحد منهم اسمه الـ Direct Proof

32
00:02:20,720 --> 00:02:25,280
أو البرهان المباشر إذا اليوم بس هنحكي عن البرهان

33
00:02:25,280 --> 00:02:29,900
المباشر اللي هي بذكركم في اللي هو ال implication

34
00:02:29,900 --> 00:02:34,310
لما أخذنا ال implication بـ implies a Q قلنا هذه

35
00:02:34,310 --> 00:02:40,710
اللي هي لو بدنا عشان نثبت صحتها لو كانت p صحيحة

36
00:02:40,710 --> 00:02:45,850
عشان نثبت صحة الجملة كلها p implies q لازم نثبت

37
00:02:45,850 --> 00:02:49,790
أن q شمالها صحيحة إذا ال direct proof هنا

38
00:02:49,790 --> 00:02:56,350
بعتمد على ماذا؟ بعتمد على إنه لو نفترض صحة p و

39
00:02:56,350 --> 00:03:01,570
بنبدأ اللي هو نستخدم اللي هو اللي هي كل الحقائق

40
00:03:01,570 --> 00:03:04,790
اللي معناها و كل اللي هي المعطيات اللي معناها لما

41
00:03:04,790 --> 00:03:10,290
نصلّي إلى صحة q إذاً an implication p implies q

42
00:03:10,290 --> 00:03:15,730
can be proved by showing that if p is true then q

43
00:03:15,730 --> 00:03:20,730
is also true إن ناخذ مثال Give a direct proof of

44
00:03:20,730 --> 00:03:24,290
the theorem if n is odd then n تربيع is odd لأن

45
00:03:24,290 --> 00:03:28,130
عندي نظرية أو عندي سؤال أو عندي المثال اللي هو

46
00:03:28,130 --> 00:03:33,170
بيقول لي لو كانت n is odd اثبتلي أن n تربيع إيش

47
00:03:33,170 --> 00:03:37,290
ماله is odd كيف بنثبت باستخدام ال directive proof

48
00:03:37,290 --> 00:03:41,230
بنيجي بنفترض assume that the hypothesis p of this

49
00:03:41,230 --> 00:03:47,260
implication is true يعني بنفترض أن هذا صحيح و بنبدأ

50
00:03:47,260 --> 00:03:52,160
نستخدم هذه الحقيقة و حقائق معروفة للوصول إلى أن

51
00:03:52,160 --> 00:03:58,480
n تربيع is odd then use the rules of inference and

52
00:03:58,480 --> 00:04:02,040
known theorems to show that the conclusion must

53
00:04:02,040 --> 00:04:07,230
be true اللي هو أن n تربيع is odd يعني الآن بنفترض

54
00:04:07,230 --> 00:04:12,190
صحة n بنبدأ نستخدم هذه كمعطيات و بنستخدم اللي هو

55
00:04:12,190 --> 00:04:16,210
أي حاجة احنا بنعرف أنها صحيحة و تم إثباتها في

56
00:04:16,210 --> 00:04:21,090
إثبات أن n تربيع شمالها is odd الآن ناخد ناخد

57
00:04:21,090 --> 00:04:25,530
نشوف نبرهن نبرهن هذا السؤال assume that n is odd

58
00:04:25,530 --> 00:04:29,190
إيش معنى n is odd يا جماعة هذا الآن مثال على ال

59
00:04:29,190 --> 00:04:34,280
direct proof زي ما قلنا assume that n is odd اللي

60
00:04:34,280 --> 00:04:38,440
هو يعني and then n can be written as يعني and

61
00:04:38,440 --> 00:04:42,400
يمكن كتابتها على صورة اثنين k زائد واحد حيث و k is

62
00:04:42,400 --> 00:04:47,480
an integer ال n أنا بدي مين بدي n تربيع

63
00:04:47,480 --> 00:04:51,620
نثبتها إذا ال n تربيع consequently ال n تربيع

64
00:04:51,620 --> 00:04:55,780
إيش هتساوي هذا المقدار لكل تربيع اثنين k زائد واحد

65
00:04:55,780 --> 00:05:01,770
لكل تربيع الآن باجي بربع هذا الطرف بيطلع عندي هو 4k

66
00:05:01,770 --> 00:05:06,750
تربيع زي 4k زي 1 تعرفوا تربعوها مربع الأول زي مربع

67
00:05:06,750 --> 00:05:10,450
الثاني زي الأول في الثاني في اثنين الآن هذا الرقم

68
00:05:10,450 --> 00:05:14,850
اللي عندي أنا بدأ اكتبه على اثبات النقود طيب كيف

69
00:05:14,850 --> 00:05:18,330
بتثبت نقود؟ خد للأربعة من هدول عامل مشترك أو

70
00:05:18,330 --> 00:05:21,670
اثنين عامل مشترك بيصير عند اثنين في اثنين k تربيع زي 2k زائد 1 هذا عبارة عن عدد صحيح

71
00:05:21,670 --> 00:05:25,750
لأن k صحيح و هذا k صحيح يعني بقدر اسمي هذا العدد كل

72
00:05:25,750 --> 00:05:29,930
هم m بيصير عبارة عن اثنين m زائد 1 صار عندي العدد

73
00:05:29,930 --> 00:05:35,250
هذا انكتب اللي هو n تربيع على صورة اثنين m

74
00:05:35,250 --> 00:05:37,930
زائد 1 حيث m هو هذا العدد اثنين n التربيع

75
00:05:37,930 --> 00:05:41,490
زائد اثنين is an integer يعني قدرت الآن n تربيع

76
00:05:41,490 --> 00:05:45,850
اكتب على صورة اثنين m زائد 1 معناته أنه اثبتت

77
00:05:45,850 --> 00:05:49,270
أنه لما كانت n odd إذا طلعت عندي n تربيع can be

78
00:05:49,270 --> 00:05:54,190
written in this form it is odd هذا هو مثال على

79
00:05:58,790 --> 00:06:04,550
البرهان المباشر مثال آخر عن البرهان المباشر بقول

80
00:06:04,550 --> 00:06:08,550
show that the product of two rational numbers is a

81
00:06:08,550 --> 00:06:12,630
rational number بدنا نثبت أن حاصل ضرب two rational

82
00:06:12,630 --> 00:06:17,230
numbers شمالها يا جماعة is a rational number بدنا

83
00:06:17,230 --> 00:06:21,850
نبرهن البرهان كما يلي assume that m و n are

84
00:06:21,850 --> 00:06:25,250
rational numbers يعني بنفترض أن عندي في two

85
00:06:25,250 --> 00:06:29,990
rational numbers S1 اسمه m و S2 اسمه n مدام m

86
00:06:29,990 --> 00:06:37,190
ريشونال نمبر إذا m ممكن كتابته على صورة ألف على ب

87
00:06:37,190 --> 00:06:40,630
حيث ال ب لا يساوي صفرا الألف و الباء أو ال a

88
00:06:40,630 --> 00:06:45,150
و ال b عبارة عن أعداد صحيحة Similarly بنفس الأسلوب

89
00:06:45,150 --> 00:06:49,630
ال n ريشنال نمبر إذا n ممكن كتابته على صورة x على

90
00:06:49,630 --> 00:06:53,510
y يعني n ممكن كتابته على صورة x على y حيث برضه y

91
00:06:53,510 --> 00:06:58,420
لا تساوي صفرا ال x شمالها و ال y أعداد صحيحة هدول

92
00:06:58,420 --> 00:07:00,740
rational numbers from the definition of rational

93
00:07:00,740 --> 00:07:06,460
numbers الآن مين بده هو أثبت إنه the product of

94
00:07:06,460 --> 00:07:10,140
two rational numbers is rational يعني بدنا نودي

95
00:07:10,140 --> 00:07:15,880
دلان m في n و نثبتها إن هي روش rational so m في n

96
00:07:15,880 --> 00:07:21,400
بسيطة ال m هي a على b و ال n هي x على y ال n هذا

97
00:07:21,400 --> 00:07:24,380
بتضربه في البسط بيصير a في x و المقام في المقام

98
00:07:24,380 --> 00:07:29,140
بيصير على b في y إذا صار عند الرقم m في n عبارة عن

99
00:07:29,140 --> 00:07:32,320
a في x عبارة عن Integer لأن هذا Integer و هذا

100
00:07:32,320 --> 00:07:36,110
Integer و b في y Integer لأن هذا Integer و هذا Integer

101
00:07:36,110 --> 00:07:39,390
وحاصل ضرب زي ما قلنا في الملاحظة الأولى مش هيكون

102
00:07:39,390 --> 00:07:44,210
صفر لأنه ولا واحد فيهم صفر إذا صارت m في n مكتوبة

103
00:07:44,210 --> 00:07:48,350
على صورة Integer على Integer و ال Integer اللي تحت مش صفر

104
00:07:48,350 --> 00:07:53,350
إذا ال m في n عبارة عن rational number يعني الآن

105
00:07:53,350 --> 00:07:57,690
صار ال product of two rational numbers is also a

106
00:07:57,690 --> 00:08:04,120
rational number و هذا أيضا مثال آخر على اللي هو الـ

107
00:08:04,120 --> 00:08:08,180
Direct Proof أو على البرهان المباشر الـ Direct

108
00:08:08,180 --> 00:08:14,080
Proof More Examples اللي هو أمثلة أخرى على الـ

109
00:08:14,080 --> 00:08:18,570
Direct Proof هتلاقوها برضه سهلة شوف الآن show that

110
00:08:18,570 --> 00:08:23,310
ال example تلاتة the sum of two odd integers is

111
00:08:23,310 --> 00:08:28,930
even يعني بدنا نقول أنه نثبت أنه مجموع اثنين odd

112
00:08:28,930 --> 00:08:34,230
integers هيكون إيش ماله even Integer كيف؟ الآن مدام

113
00:08:34,230 --> 00:08:40,230
اللي هو الاثنين عندي odd إذا بدنا نسميهم let n

114
00:08:40,230 --> 00:08:47,090
بتساوي اثنين k زائد واحد و m إيش بتساوي اثنين j

115
00:08:47,090 --> 00:08:53,690
زائد واحد ب odd integers ماشي الحال طيب الآن

116
00:08:53,690 --> 00:09:02,720
مجموحا بدك تقول n زائد m إيش هيساوي؟ 2k و 2j و 1 زائد

117
00:09:02,720 --> 00:09:07,900
واحد يعني هيصير عند ال n زائد m عبارة عن 2k زائد

118
00:09:07,900 --> 00:09:15,510
2j زائد 2 إذا الآن خد الاثنين عامل مشترك فيهم بيصير

119
00:09:15,510 --> 00:09:20,390
n زائد m اللي هو مجموع n زائد m بيساوي اثنين في

120
00:09:20,390 --> 00:09:25,710
العامل المشترك k زائد j زائد 1 يعني ال n زائد m

121
00:09:25,710 --> 00:09:32,510
كتبناه على صورة 2 زائد اللي هو اثنين m prime مثلا

122
00:09:32,510 --> 00:09:35,970
اللي هو is even integer

124
00:09:44,650 --> 00:09:49,830
لم يكتب المثال لكن سهل و أنا حكيته بالتفصيل لأن

125
00:09:49,830 --> 00:09:55,490
جرب اكتب n زائد m مجموعن و خد اثنين عامل مشترك بيطلع 

126
00:09:55,490 --> 00:10:00,390
إن N زائد M عن اثنين إذا عندي N زائد M زي ما قلنا 2K

127
00:10:00,390 --> 00:10:05,470
زائد 1 زائد 2G زائد 1 اللي هو بسوء 2K زائد 2G زائد 

128
00:10:05,470 --> 00:10:09,350
2 أخذنا 2 عامل مشترك من هذول كلهم وضل عندي K زائد

129
00:10:09,350 --> 00:10:13,210
G زائد 1 وهذا عبارة عن اللي هو integer مضروب في 2

130
00:10:13,210 --> 00:10:16,770
إذا صار الـ N زائد M is even هذه اللي هو مثال آخر

131
00:10:16,770 --> 00:10:20,020
على الـ direct proof الآن المثال الأخير على direct

132
00:10:20,020 --> 00:10:24,340
proof if M and N are both perfect squares يعني

133
00:10:24,340 --> 00:10:28,520
مربعات كاملة M و N إيش معناه مربع كامل يعني الـ M

134
00:10:28,520 --> 00:10:32,880
بنقدر نكتبه على صورة B تربيع أو الـ N بنقدر نكتبه

135
00:10:32,880 --> 00:10:36,950
على صورة B تربيع بقول إذا n في m برضه is also a

136
00:10:36,950 --> 00:10:40,150
perfect square ده نشوف الآن الآن بدنا نفترض أن ن

137
00:10:40,150 --> 00:10:43,770
assume that m and n are perfect squares يعني m و n

138
00:10:43,770 --> 00:10:47,870
عبارة عن مربعات كاملة إيش يعني؟ يعني m بنقدر نكتبه

139
00:10:47,870 --> 00:10:51,870
على صورة S تربيع و n بتساوي عبارة عن T تربيع هذول

140
00:10:51,870 --> 00:10:55,550
معناته أن m و n مربعات كاملة حيث S تساوي T element

141
00:10:55,550 --> 00:11:00,320
تنتمي إذا بدنا نثبت أن M في N برضه مربع كامل اضرب M

142
00:11:00,320 --> 00:11:05,640
في N بصير S تربيع في T تربيع اللي هو عبارة عن S في

143
00:11:05,640 --> 00:11:10,240
T في الكل تربيع أو اللي هو زي ما أعمل S في S في T

144
00:11:10,240 --> 00:11:13,640
في T أنتم عارفينه هذا الكلام سهل S في T اللي هو

145
00:11:13,640 --> 00:11:17,160
في S في T اللي هو عبارة عن S في T لكل تربيع يعني M

146
00:11:17,160 --> 00:11:21,280
في N كتبناه على صورة ST لكل تربيع ST عبارة عن رقم

147
00:11:21,280 --> 00:11:25,250
Integer لأن هذا Integer و هذا Integer يعني MN كتبنا

148
00:11:25,250 --> 00:11:29,150
على صورة Integer تربيع أو بمعنى آخر MN is also a

149
00:11:29,150 --> 00:11:33,610
perfect square هيك بيكون إحنا اللي هو خلصنا الجزء

150
00:11:33,610 --> 00:11:38,230
الأول اللي هو عبارة عن الـ direct proof اللي هو أو

151
00:11:38,230 --> 00:11:42,110
البرهان المباشر بدنا الآن نيجي إلى طريقة ثانية من

152
00:11:42,110 --> 00:11:44,190
طرق البرهان الرياضي

153
00:12:09,490 --> 00:12:13,110
الآن نيجي لـ للنوع الثاني من أنواع البرهان اللي

154
00:12:13,110 --> 00:12:19,450
هو بنا نسميه البرهان الـ indirect proof أو البرهان

155
00:12:19,450 --> 00:12:24,060
غير المباشر بالظبط هنحكي الآن في البرهان غير مباشر

156
00:12:24,060 --> 00:12:28,200
عن حاجة اسمها Contrapositive أو Contraposition هذه

157
00:12:28,200 --> 00:12:32,440
طبعًا مش غريبة عليكم ممكن حكينا عنها في بداية الـ ..

158
00:12:32,440 --> 00:12:36,900
المادة قلنا إن implication B implies Q is

159
00:12:36,900 --> 00:12:40,920
equivalent هذه كلها لبعض is equivalent to

160
00:12:40,920 --> 00:12:44,620
Contrapositive إليها إيش Contrapositive يعني not Q

161
00:12:44,620 --> 00:12:50,440
implies not B يعني لو إحنا أثبتنا not Q implies not

162
00:12:50,440 --> 00:12:56,100
B يكون أثبتنا بـ B implies Q يعني عشان نثبت الـ B

163
00:12:56,100 --> 00:13:02,720
implies Q بنفترض عكس الـ Q إنها صحيحة و بنصل لعكس

164
00:13:02,720 --> 00:13:06,940
الـ B إنها صحيحة إذا قدرنا نصل لهيك بكون إن إحنا

165
00:13:06,940 --> 00:13:12,620
اللي هي أن تكون على بعضها دي كلها الـ B implies Q

166
00:13:12,620 --> 00:13:14,700
اللي أثبتناها

167
00:13:17,480 --> 00:13:21,460
أو اللي هو بنثبت إن not q implies not b زي ما قلنا

168
00:13:21,460 --> 00:13:25,860
أو q is false implies اللي هو b is false فبكون

169
00:13:25,860 --> 00:13:29,940
عنده اللي هو الـ contraposition اللي حكينا عنه إذا

170
00:13:29,940 --> 00:13:33,220
باختصار الـ contraposition بنفترض اللي هو عكس الـ q

171
00:13:33,220 --> 00:13:37,620
و بنصل لعكس الـ b أو بنفترض الـ q is false يعني عكس

172
00:13:37,620 --> 00:13:43,280
الـ q بنفترض و بنصل لـ الـ b is false يعني عكس الـ b

173
00:13:43,280 --> 00:13:51,960
طيب الآن نعود لمثال عملي للأمر المثال العملي يجيب on

174
00:13:51,960 --> 00:13:55,400
indirect proof of the theorem اللي هي التالية إيش

175
00:13:55,400 --> 00:13:59,820
اللي بده نثبت بده يثبت if ثلاثة زائد اثنين is odd

176
00:13:59,820 --> 00:14:03,940
then n is odd كيف بدنا نثبتها الآن هذه؟ هذي بدنا

177
00:14:03,940 --> 00:14:07,500
نثبتها بالـ indirect proof بالـ contraposition اللي

178
00:14:07,500 --> 00:14:11,340
الآن بدنا نفترض عكس الـ n is odd يعني نقول نفترض

179
00:14:11,340 --> 00:14:16,080
إن n is not odd ونصل لـ ثلاثة n زائد اثنين is not

180
00:14:16,080 --> 00:14:20,000
odd إذا وصلنا لهيك بيكون إحنا أثبتنا الـ Contra ..

181
00:14:20,000 --> 00:14:23,380
عملنا الـ Contraposition وبذلك الـ Contraposition

182
00:14:23,380 --> 00:14:28,940
بكافئ أنه 3N زائد 2 is odd يؤدي إلى N is odd إذن

183
00:14:28,940 --> 00:14:33,360
الآن اللي بدي أفعله بدي أفترض أن N is odd is not

184
00:14:33,360 --> 00:14:37,440
true يعني بدي أفترض أن N is not odd يعني بدي أفترض

185
00:14:37,440 --> 00:14:41,700
أن N is even و أوصلكم لهذه is not odd يعني بمعنى

186
00:14:41,700 --> 00:14:47,130
آخر it is even هذا الآن اللي بدي أعمله خلّينا مع

187
00:14:47,130 --> 00:14:53,190
بعض نشوف كيف نفترض الآن إن n is even مدام n is even

188
00:14:53,190 --> 00:14:56,610
إذا n الآن بتساوي اثنين k where k is an integer زي

189
00:14:56,610 --> 00:15:00,450
ما أنتم عارفين الآن بناء على ذلك ثلاثة n زائد

190
00:15:00,450 --> 00:15:04,600
اثنين اللي هي المطلوبة بنعوض عن n باثنين k بصير

191
00:15:04,600 --> 00:15:08,060
ثلاثة في اثنين k زائد اثنين يعني بمعنى آخر ستة k

192
00:15:08,060 --> 00:15:11,580
زائد اثنين بناخد اثنين الآن عامل مشترك بيصير

193
00:15:11,580 --> 00:15:15,460
اثنين في ثلاثة k زائد واحد يعني أقدر أكتب اللي هو

194
00:15:15,460 --> 00:15:20,860
ثلاثة n زائد اثنين على صورة اثنين مثلا حيث نزلنا

195
00:15:20,860 --> 00:15:25,300
Integer أو بمعنى آخر وصلنا إن ثلاثة n زائد اثنين

196
00:15:25,300 --> 00:15:32,100
is even أثبتنا الـ Contraposition لذلك ثلاثة N زائد

197
00:15:32,100 --> 00:15:34,780
اثنين يعني ليس غير غير غير غير غير غير غير غير غير

198
00:15:34,780 --> 00:15:37,240
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

199
00:15:37,240 --> 00:15:38,440
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

200
00:15:38,440 --> 00:15:38,580
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

201
00:15:38,580 --> 00:15:39,140
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

202
00:15:39,140 --> 00:15:39,200
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

203
00:15:39,200 --> 00:15:39,520
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

204
00:15:39,520 --> 00:15:39,960
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير

205
00:15:39,960 --> 00:15:43,900
غير غير غير غير

206
00:15:43,900 --> 00:15:46,720
غير

207
00:15:47,920 --> 00:15:52,160
مُكافئ لهذا أنه أثبتنا أن n is not odd أو بمعنى آخر

208
00:15:52,160 --> 00:15:56,200
even تؤدي إلى ثلاثة زائد n زائد اثنين is not odd

209
00:15:56,200 --> 00:16:00,320
يعني even وهيك بيكون أثبتنا اللي هو بواسط البرهان

210
00:16:00,320 --> 00:16:04,880
غير المباشر هذه الحقيقة وبيكون اللي هو أثبتنا

211
00:16:04,880 --> 00:16:09,060
بواسط حاجة اسمها الـ contra positive اللي هناخد مثال

212
00:16:09,060 --> 00:16:12,860
آخر على الـ Contrapositive let M N أو N element in

213
00:16:12,860 --> 00:16:16,840
N show that if M زائد N أكبر من خمسين then M أكبر

214
00:16:16,840 --> 00:16:20,220
من خمسة وعشرين أو N أكبر من خمسة وعشرين بقول لو كان

215
00:16:20,220 --> 00:16:24,160
عندي M و N integers بحيث أن M زائد N أكبر من خمسين

216
00:16:24,160 --> 00:16:29,640
لازم لازم يعطينا أن M أكبر من خمسة وعشرين أو N أكبر

217
00:16:29,640 --> 00:16:33,000
من خمسة وعشرين الـ Contrapositive لها أنه إحنا

218
00:16:33,000 --> 00:16:37,320
بفترض عكس الجملة هذه كلها على بعضها و بنصل لعكس

219
00:16:37,320 --> 00:16:41,480
هذه يعني بدنا نفترض إيش معناه عكس M أكبر من 25 or

220
00:16:41,480 --> 00:16:48,380
N أكبر من 25 إيش نفيه جملة or يعني M أكبر من 25

221
00:16:48,380 --> 00:16:54,460
false and N أكبر من 25 false إيش يعني؟ يعني M

222
00:16:54,460 --> 00:17:01,240
أصغر أو يساوي 25 and N أصغر أو يساوي 25 إذا

223
00:17:01,240 --> 00:17:05,780
assume not q اللي هي هذه يعني بمعنى آخر assume أن

224
00:17:05,780 --> 00:17:10,720
M أصغر أو يساوي 25 and N أصغر أو يساوي 25 بناء

225
00:17:10,720 --> 00:17:16,840
على هذا الحديث M زائد N أصغر أو يساوي 25 زائد 25 يعني

226
00:17:16,840 --> 00:17:22,160
M زائد N أصغر أو يساوي 50 مدام M زائد N أصغر أو يساوي

227
00:17:22,160 --> 00:17:27,120
50 إذن هي عكس هذه اللي هي عكس M زائد N أكبر من 50

228
00:17:27,120 --> 00:17:34,270
إذن وصلنا not Q not هذه أدت إلى not P اللي هي not هذه

229
00:17:34,270 --> 00:17:38,570
وهذا هو الـ contrapositive فبنكون هيك إحنا أثبتنا

230
00:17:38,570 --> 00:17:42,690
الـ example بواسطة إثبات الـ contrapositive أو

231
00:17:42,690 --> 00:17:47,630
بواسطة الـ indirect approve الآن في سؤال بيقول لي

232
00:17:47,630 --> 00:17:54,090
approve or disapprove يعني اثبت أو اللي هو اثبت

233
00:17:54,090 --> 00:17:58,950
صحة أو اثبت عدم صحة that يعني بيقول الجملة التالية

234
00:17:58,950 --> 00:18:03,150
صحيحة ولا مش صحيحة بقول that the product of two

235
00:18:03,150 --> 00:18:06,730
irrational numbers is irrational بقول لي هل حاصل

236
00:18:06,730 --> 00:18:09,930
ضرب two irrational numbers لازم يطلع irrational

237
00:18:09,930 --> 00:18:15,330
عشان نثبت لازم نثبت لكل الحالات يعني نفترض إنه أي

238
00:18:15,330 --> 00:18:19,070
اثنين irrational و نصل لهين irrational لو في حالة

239
00:18:19,070 --> 00:18:23,630
واحدة بس يعني مثال واحد اللي هو هذا بنتناقش يعني لو

240
00:18:23,630 --> 00:18:28,440
قدرنا نجيب اللي هو عددين irrational حاصل ضربهم مش

241
00:18:28,440 --> 00:18:32,040
irrational بتكون هذه الجملة مش صحيحة وفي هذه

242
00:18:32,040 --> 00:18:35,540
الحالة بنقول هذا العمل هو disapprove و الـ

243
00:18:35,540 --> 00:18:39,240
disapprove بنجيب counter example يعني بنجيب مثال

244
00:18:39,240 --> 00:18:45,990
عددي بنبين فيه إن هذه الجملة غير صحيحة الآن بيقول

245
00:18:45,990 --> 00:18:50,790
إيش الجملة؟ إن الـ product of two irrational is

246
00:18:50,790 --> 00:18:54,590
irrational أنا بقول هذا الكلام مش صحيح ليش؟ خد هي

247
00:18:54,590 --> 00:18:58,250
مثال هي جذر الاثنين irrational إيش irrational؟

248
00:18:58,250 --> 00:19:01,570
يعني عدد لا يمكن كتابته على صورة ألف على باء حيث

249
00:19:01,570 --> 00:19:06,700
ألف و باء أعداد صحيحة و باء لا تساوي صفر جذر الاثنين مش

250
00:19:06,700 --> 00:19:09,940
irrational وجذر الاثنين برضه مش irrational حاصل ضرب 

251
00:19:09,940 --> 00:19:15,860
هنا بساوة 2 اللي هو rational إذا فعلاً لجينا مثال

252
00:19:15,860 --> 00:19:21,580
يبين لإن حاصل ضرب 2 irrational ليس شرطًا إنه يطلع

253
00:19:21,580 --> 00:19:26,000
irrational عشان هيك هذه الجملة مش صحيحة عشان هيك

254
00:19:26,000 --> 00:19:30,520
بنسميها ده اسمه disproved  كيف؟ بنجيب

255
00:19:30,520 --> 00:19:35,860
counter example بحقق الجزء اللي هو حاصل الضرب ما

256
00:19:35,860 --> 00:19:40,260
يطلع شبيه المطلوب يعني هاي عندي two irrational is

257
00:19:40,260 --> 00:19:44,320
irrational مش صحيح وهي مثل جذر الاثنين irrational

258
00:19:44,320 --> 00:19:48,500
جذر الاثنين irrational وحاصل ضربه ما طلعش irrational

259
00:19:49,200 --> 00:19:52,280
طلع rational number و هذا بقولك the product of two

260
00:19:52,280 --> 00:19:55,520
irrational numbers يعني is not necessarily

261
00:19:55,520 --> 00:20:00,280
irrational يعني need not to be irrational وهي مثال

262
00:20:00,280 --> 00:20:04,380
نيجي للسؤال اللي بعده بقول prove that إذا كانت n

263
00:20:04,380 --> 00:20:08,400
بتساوي a في b هذا بيعطينا a أصغر أو يساوي جذر ال n

264
00:20:08,400 --> 00:20:12,140
or b أصغر أو يساوي جذر ال n حيث ال a و ال b عبارة

265
00:20:12,140 --> 00:20:16,440
عن أعداد صحيحة موجبة كمان مرة بدنا نثبت أنه لو كان

266
00:20:16,440 --> 00:20:22,070
n بتساوي a في b هذا سيعطينا أو a أصغر أو يساوي جذر

267
00:20:22,070 --> 00:20:25,850
الآن أو b أصغر أو يساوي جذر الآن بدنا نثبت هذا عن

268
00:20:25,850 --> 00:20:28,710
طريق مين اللي هو ال contraposition إيش بدنا نثبت

269
00:20:28,710 --> 00:20:33,570
بدنا نفرض عكس المطلوب هايو بدنا نفرض عكس هذا ونصل 

270
00:20:33,570 --> 00:20:39,160
لعكس هذا يعني بنفترض أنه a أصغر أو يساوي b or b أصغر

271
00:20:39,160 --> 00:20:43,200
أو يساوي جذر الان هذه مش صحيحة كيف جملة هذه على

272
00:20:43,200 --> 00:20:48,840
بعضها or مش صحيحة معناته a أكبر من جذر الان and b

273
00:20:48,840 --> 00:20:52,220
أكبر من جذر الان لأنه لا في ال or اللي هو and زي ما

274
00:20:52,220 --> 00:20:56,640
إحنا عارفين إذا الآن بنفترض عكس هذا يعني بنفترض

275
00:20:56,640 --> 00:21:00,780
أنه a أكبر من جذر الان and b أكبر من جذر الان منه

276
00:21:00,780 --> 00:21:04,900
بنصل ل a في b أكبر من جذر الان في جذر الان اللي هو

277
00:21:04,900 --> 00:21:08,050
الـ n مدام a أكبر من الـ .. من الـ .. من الـ .. من ال a

278
00:21:08,050 --> 00:21:12,330
b أكبر من ال n إذا يعني ال a b لا تساوي ال n مدام

279
00:21:12,330 --> 00:21:15,470
a لا تساوي ال a b لا تساوي ال n معناه توصلنا لمين

280
00:21:15,470 --> 00:21:18,570
إلى عكس هذا وهذا معناته أنه إحنا بال

281
00:21:18,570 --> 00:21:22,650
contrapositive فرضنا عكس هذه ووصلنا لعكس هذه

282
00:21:22,650 --> 00:21:26,050
فبتكون الجملة الأصلية هذه كلها على بعض صحيحة

283
00:21:26,050 --> 00:21:30,010
وبنكون هذا أثبتناها الجملة عن طريق ال

284
00:21:30,010 --> 00:21:34,420
contrapositive أو ال contraposition يعني أثبتنا fn

285
00:21:34,420 --> 00:21:38,600
بيساوي a و a أصغر أو أصغر جذر الان أو b أصغر أو

286
00:21:38,600 --> 00:21:43,340
أصغر جذر الان الآن في طريقة أخرى أخيرة أو قبل

287
00:21:43,340 --> 00:21:47,000
الأخيرة بالبرهان الهي proof by contradiction

288
00:21:47,000 --> 00:21:51,370
الإثبات عن طريق التناقض ما هو الإثبات عن طريق

289
00:21:51,370 --> 00:21:55,410
التناقض؟ طبعًا هذه مهمة كمان اللي هي an important

290
00:21:55,410 --> 00:21:58,470
implication يعني بدنا نثبت بيه implies a Q إيش

291
00:21:58,470 --> 00:22:05,490
بنعمل؟ بنفترض عكس لـQ ونصل لتناقض بنصل لإيش

292
00:22:05,490 --> 00:22:10,770
بناقض المُعطى أو بناقض حقيقة إحنا بنعرفها يعني

293
00:22:10,770 --> 00:22:13,990
اللي هو proved by contradiction يتلخص فيما يلي

294
00:22:14,240 --> 00:22:23,880
بنقول Assume B and Assume Not Q وبنصل لتناقض تشوف

295
00:22:23,880 --> 00:22:28,440
كيف بنحصل على تناقض show that هي مثال if the

296
00:22:28,440 --> 00:22:31,820
square of an integer number is odd then the

297
00:22:31,820 --> 00:22:38,970
integer is odd بيقول إذا كان مربع اللي هي عدد is

298
00:22:38,970 --> 00:22:43,950
odd اثبت انه العدد نفسه إيش is odd يعني لو كان n

299
00:22:43,950 --> 00:22:49,510
تربيع odd هيعطينا الان is odd الآن assume that

300
00:22:49,510 --> 00:22:52,910
hypothesis B of this implication is true نفترض

301
00:22:52,910 --> 00:22:56,290
اللي هو ال hypothesis إيش ماله الفرضية أنها صحيحة

302
00:22:56,810 --> 00:23:01,570
وبنفرض عكس المطلوب وبنقول and the conclusion if

303
00:23:01,570 --> 00:23:05,890
you is false وبنفرض إن اللي هو المطلوب أو ال

304
00:23:05,890 --> 00:23:10,090
conclusion مش صحيحة وبعدين then use rules of

305
00:23:10,090 --> 00:23:13,330
inference and non-theorems to deduce contradiction

306
00:23:13,330 --> 00:23:17,330
وبعدين نبدأ نستخدم اللي هو معلوماتنا من النظريات

307
00:23:17,330 --> 00:23:21,590
ومن الحقائق للوصول إلى تناقض خلينا نشوف هذا الكلام

308
00:23:21,590 --> 00:23:26,140
عمليًا الآن نفترض الان assume x تربيع is odd هذا

309
00:23:26,140 --> 00:23:29,880
المعطى فرضناه المعطى زي ما هو بنصبهوش الان وإيش

310
00:23:29,880 --> 00:23:35,460
بدنا نفرض بدنا نفرض إنه المطلوب غير متحقق يعني

311
00:23:35,460 --> 00:23:40,500
بدنا نفرض إن x is not odd مدام x is not odd إذا x

312
00:23:40,500 --> 00:23:44,980
أكيد even مدام .. لأن أي عدد في الدنيا يا even يا

313
00:23:44,980 --> 00:23:50,040
إيش يقضي مدام X even إذا ال X تربيع لل even هيطلع

314
00:23:50,040 --> 00:23:54,640
even لأن X even معناته على صورة 2N 2N لكل تربيع

315
00:23:54,640 --> 00:23:59,080
معناته 4N تربيع يعني X تربيع 4N تربيع is even إذا

316
00:23:59,080 --> 00:24:03,480
وصلنا لعكس mean اللي هو المطلوب يعني وصلنا ل X

317
00:24:03,480 --> 00:24:08,750
تربيع is even و إحنا في الأصل عندي X تربيع is odd

318
00:24:08,750 --> 00:24:12,450
صار عندي X تربيع is even و في نفس الوقت X تربيع is

319
00:24:12,450 --> 00:24:18,010
odd وهذا اللي هو Contradiction لأن وصلنا ل X تربيع

320
00:24:18,010 --> 00:24:21,510
is odd في الأصل و X تربيع is even يعني not odd

321
00:24:21,510 --> 00:24:25,150
يعني وصلنا ل X تربيع is odd and not odd which is a

322
00:24:25,150 --> 00:24:31,480
contradiction Therefore الفرضية الأولى إن فرضنا عكس

323
00:24:31,480 --> 00:24:35,820
المطلوب مش صحيحة إذن لما ال X تربيع is odd لازم

324
00:24:35,820 --> 00:24:42,060
تطلع ال X is odd هذا البرهان by contradiction الآن

325
00:24:42,060 --> 00:24:47,840
نيجي ناخد مثال آخر المثال كمان بيقول let m و n

326
00:24:47,840 --> 00:24:51,540
element in n show that if m زائد n أصغر من 90 then

327
00:24:51,540 --> 00:24:56,880
m أصغر من 45 or n أصغر من 45 by contradiction كيف؟

328
00:24:56,880 --> 00:25:00,840
بنفترض المعطوعة زي ما هو بنفترض أن m زائد n أصغر من

329
00:25:00,840 --> 00:25:06,580
90 وبنفترض عكس المطلوب إذا by contradiction بنفترض

330
00:25:06,580 --> 00:25:11,020
من عكس المطلوب مشابهة دير بالكم لـ Contraposition

331
00:25:11,020 --> 00:25:16,320
بس هنا إحنا بنصل هذا اللي بنصل بعد خطوات إلى شيء

332
00:25:16,320 --> 00:25:21,780
بناقض إما المطلوب أو المعطى بناقض المعطى أو بناقض

333
00:25:21,780 --> 00:25:26,090
حقيقة بنعرفها أما في الـ Contraposition كنا نفترض

334
00:25:26,090 --> 00:25:29,390
عكس هذا و نصل لعكس هذا في الـ Contraposition مش

335
00:25:29,390 --> 00:25:34,130
شرط تصل لعكس هذا ممكن تصل لإيش بناقض إحنا حقيقة

336
00:25:34,130 --> 00:25:39,150
بنعرفها وممكن تصل طبعًا لمين للّي هو بناقض المعطى

337
00:25:39,150 --> 00:25:42,150
يعني بنكون اللي هو Contraposition و كأنها حالة

338
00:25:42,150 --> 00:25:46,720
خاصة من Contradiction show that if M زيادة N أصغر

339
00:25:46,720 --> 00:25:50,080
من تسعين then M أصغر من خمسة وأربعين or N أصغر من

340
00:25:50,080 --> 00:25:53,420
خمسة وأربعين بدنا نفترض الأن suppose M زيادة N

341
00:25:53,420 --> 00:25:59,280
أصغر من تسعين and suppose عكس هذا عكس هذا يعني

342
00:25:59,280 --> 00:26:03,000
بدنا نفترض الأن assume M زيادة N أصغر من تسعين مش

343
00:26:03,000 --> 00:26:06,920
تسعة وتمانين هذا تسعين طبعًا and بنفترض عكس هذا إيش

344
00:26:06,920 --> 00:26:11,380
عكس هذا أن M أكبر أو يساوي خمسة وأربعين وفي نفس

345
00:26:11,380 --> 00:26:16,720
الوقت لأنه نفي ال or andand n أكبر ويساوي 45 الآن

346
00:26:16,720 --> 00:26:21,360
then m زائد n طبعًا إحنا ماخدين m زائد n أصغر من

347
00:26:21,360 --> 00:26:29,820
تسعين من تسعين بس أنا غلط بس كتابة m زائد n الآن

348
00:26:29,820 --> 00:26:33,720
بما أن هذه أكبر من 45 وهذه أكبر من 45 إذا حاصل

349
00:26:33,720 --> 00:26:38,210
جمعهن أكبر أو يساوي 90 اللي صارت عندي M زائد N أكبر

350
00:26:38,210 --> 00:26:42,690
ويساوي 90 و M زائد N أصغر من 90 إذا هذا

351
00:26:42,690 --> 00:26:46,830
contradiction therefore اللي هو الفرضية اللي

352
00:26:46,830 --> 00:26:50,590
فرضناها مش صحيحة يعني بمعنى آخر لما ال M زائد N

353
00:26:50,590 --> 00:26:54,390
أصغر من 90 يعطينا ال M أصغر من 45 or

354
00:26:54,390 --> 00:27:00,110
N أصغر من مين من 45 هذه تسعين برضه الآن

355
00:27:00,110 --> 00:27:03,910
آخر جزء في المحاضرة هيكون أن ال mathematical

356
00:27:03,910 --> 00:27:08,830
induction أو الاستقراء الرياضي هي طريقة للبرهان

357
00:27:08,830 --> 00:27:13,610
لبرهان بعض الجمل المعينة اللي بتكون بدلالة اللي هي

358
00:27:13,610 --> 00:27:18,200
ال natural numbers أو ال integers if we have a

359
00:27:18,200 --> 00:27:21,680
propositional function P of N لو كان في عندنا اللي

360
00:27:21,680 --> 00:27:26,240
هي جملة بتعتمد على اللي هي من على N اللي هي ال

361
00:27:26,240 --> 00:27:29,840
natural number وبدنا نثبت أنه هذه الجملة P of N

362
00:27:29,840 --> 00:27:34,420
صحيحة لكل natural number N طبعًا إحنا هنعتبر ال

363
00:27:34,420 --> 00:27:37,240
natural number اللي هي عبارة عن واحد اثنين ثلاثة

364
00:27:37,240 --> 00:27:40,500
أربعة إلى ما انتهى مش هنعتبر السفر فيها في كل

365
00:27:40,500 --> 00:27:46,320
حديثنا اتفقنا نتفج عليك إن شاء الله الآن عشان نثبت

366
00:27:46,320 --> 00:27:49,240
هذه اللي هي ال P of N أنها صحيحة على كل natural

367
00:27:49,240 --> 00:27:53,240
number بنعمل ما يلي أول شيء بنثبت أنها صحيحة

368
00:27:53,240 --> 00:27:58,660
الجملة عند الان بتساوي واحد يعني بنثبت P واحد is

369
00:27:58,660 --> 00:28:02,540
true show that P واحد is true الخطوة الثانية هذه

370
00:28:02,540 --> 00:28:06,380
اللي بنسميها ال basic step الخطوة الثانية بنفترض

371
00:28:06,380 --> 00:28:12,790
أن ال P صحيحة عند number k وبنثبت أنها صحيحة عند

372
00:28:12,790 --> 00:28:18,010
P k زائد واحد يعني بنفترض أنه P of K صحيحة

373
00:28:18,010 --> 00:28:23,050
وبنثبت P of K زائد واحد لكل K element in N الـ N

374
00:28:23,050 --> 00:28:25,970
هذا اللي بنسميها الـ P of K is true بنفرضها ده

375
00:28:25,970 --> 00:28:30,550
بنسميها induction hypothesis اللي هي فرضية 

376
00:28:30,550 --> 00:28:36,190
الاستقراء، ومنها بنثبت b<sub>k</sub> زائد واحد لو خلصنا هذا

377
00:28:36,190 --> 00:28:40,950
الكلام هذه، وهذه كلها على بعض أثبتناها بنكون

378
00:28:40,950 --> 00:28:45,510
أثبتنا اللي هو then b of n must be true for any n

379
00:28:45,510 --> 00:28:48,630
element in N، هذه الطريقة بنسميها اللي هي ال

380
00:28:48,630 --> 00:28:53,290
mathematical induction أو الاستقراء الرياضي بنثبت

381
00:28:53,290 --> 00:28:57,260
الجملة صحيحة عند واحد، بعدين مفترض أن صحة الجملة عند

382
00:28:57,260 --> 00:29:01,560
b<sub>k</sub>، ومنها بنثبت أن نثبت صحة b<sub>k</sub> عند b<sub>k</sub> زائد واحد

383
00:29:01,560 --> 00:29:05,600
وبكون هي كأثبتنا أن هي صحيحة لكل n element in

384
00:29:05,600 --> 00:29:10,140
وخلينا ناخد أمثلة عملية، وهي أول مثال عملي بقول

385
00:29:10,140 --> 00:29:13,420
prove that 1 زائد 3 زائد 5 زائد 2

386
00:29:13,420 --> 00:29:17,800
n ناقص 1 بيساوي n تربيع، صحيحة هذا المقدار لو

387
00:29:17,800 --> 00:29:21,120
جمعته لبعض بيساوي دائماً n تربيع، صحيحة لكل n

388
00:29:21,120 --> 00:29:24,700
element in، بندنا نثبت هذه اللاحظة، إن الجملة تعتمد

389
00:29:24,700 --> 00:29:27,500
على مين؟ على الـ n اللي هي إيش؟ الـ natural numbers

390
00:29:27,500 --> 00:29:32,060
إذا الـ mathematical induction بتظبط فيها طبعاً هذه

391
00:29:32,060 --> 00:29:36,620
إيش معناتها هي؟ the sum of the first n odd integers

392
00:29:36,620 --> 00:29:40,600
يعني أول n من الـ odd integers، 1 زائد 3 زائد

393
00:29:40,600 --> 00:29:43,540
5 زائد 2 n ناقص 1، دول عدد n، لو جمعتها

394
00:29:43,540 --> 00:29:47,650
لبعض هيطلع n بيساوي n تربيع، الـ n مش هو هذا

395
00:29:47,650 --> 00:29:51,970
موضوعنا، موضوعنا بنثبت إن هذه صحيحة دائماً، الـ n مثال

396
00:29:51,970 --> 00:29:54,730
عليها بس عشان نوضع عليها هذه اللي هي عبارة عن لو

397
00:29:54,730 --> 00:29:57,750
جيت جمعت 1 زائد 3 اللي هو عددين فرديين اللي

398
00:29:57,750 --> 00:30:01,810
هو 2 تربيع اللي هي 4، لو جيت جمعت العدد

399
00:30:01,810 --> 00:30:04,790
الأول فردي، والثاني فردي، والثالث فردي هتطلع قداش؟

400
00:30:04,790 --> 00:30:10,170
اللي هي 9 اللي هي 3 تربيع، أو 4 أعداد 1، 2، 3، 4

401
00:30:10,170 --> 00:30:13,450
يعني 1 و 3 أو 5 و 7 اللي هو هيطلع

402
00:30:13,450 --> 00:30:19,150
قيمتنا 16 يعني 4 تربيع، هذا بس مثال توضيحي لأن

403
00:30:19,150 --> 00:30:22,090
نيجي لموضوعنا اللي هو برهان هذه by induction، الـ

404
00:30:22,090 --> 00:30:25,480
proof، أول حاجة بدنا نثبت صحة الجملة هذه، الـ basic

405
00:30:25,480 --> 00:30:29,840
step الأولى، بدنا نثبت صحة الجملة هذه صحيحة لمين؟

406
00:30:29,840 --> 00:30:34,920
لـ n بتساوي 1، يعني لما نعوض هنا بـ n لازم يطلع

407
00:30:34,920 --> 00:30:38,820
الطرف الأيسر هذا بيساوي الطرف الأيمن لو عوضنا هنا

408
00:30:38,820 --> 00:30:42,360
بـ n، طبعاً لو عوضنا هنا بـ n واضح أنه بيطلع عندي 1

409
00:30:42,360 --> 00:30:47,740
تربيع، يعني 1، طب نيجي نعوض هنا بـ n اللي هو لما إنه

410
00:30:47,740 --> 00:30:51,020
بقى 1، بصير 2 في 1 اللي هي 2 ناقص 1

411
00:30:51,020 --> 00:30:54,060
1، يعني ما فيش شيء بنجمعه إلا الـ 1 لحاله يعني

412
00:30:54,060 --> 00:30:57,980
هذه بس اللي هو أول term اللي هو الـ 1، الـ n the

413
00:30:57,980 --> 00:31:01,320
sum of the first odd number اللي هو 1 اللي هو

414
00:31:01,320 --> 00:31:05,280
الطرف الأيسر هذا وهذا بيساوي 1 تربيع، والثانية

415
00:31:05,280 --> 00:31:09,210
متساويين، مدام الثانية متساويين، إذا هذا الطرف بيساوي

416
00:31:09,210 --> 00:31:13,690
هذا for n بتساوي 1، إذا الـ basic step بتحققت، إذا

417
00:31:13,690 --> 00:31:17,630
صارت اللي هي الجملة دي صحيحة for n بتساوي 1

418
00:31:17,630 --> 00:31:22,130
نيجي الآن نثبت إن افترض صحتها، الـ inductive step

419
00:31:22,130 --> 00:31:27,490
بدنا نقول assume that this is true for n بتساوي k

420
00:31:27,490 --> 00:31:31,470
إيش يعني؟ يعني بدنا نفرض صحة 1 زائد 3 زائد

421
00:31:31,470 --> 00:31:37,400
5 زائد، ما دام للـ n k بنحط 2k-1 تساوي الـ k تربيع

422
00:31:37,400 --> 00:31:41,340
يعني فرضنا صحة هذه الجملة عند n بتساوي k يعني

423
00:31:41,340 --> 00:31:45,700
عوضنا أنا k و أنا k، الآن هذه صارت عندنا اللي هو

424
00:31:45,700 --> 00:31:51,460
مفترضين صحتها، بدنا نثبت من خلالها إن الجملة صحيحة

425
00:31:51,460 --> 00:31:56,020
now we prove that إن هذه صحيحة لـ k زائد 1، إيش

426
00:31:56,020 --> 00:32:00,280
معناتها لـ k زائد 1؟ يعني لما ننشيل الـ n ونحط

427
00:32:00,280 --> 00:32:04,340
مكانها k زائد 1، بتصير 1 زائد 3 زائد 5

428
00:32:04,340 --> 00:32:08,440
زائد 2 اللي هو k ناقص 1 زائد اللي هو آخر

429
00:32:08,440 --> 00:32:12,620
term هذا، مين اللي هو؟ 2 في k زائد 1 ناقص 1

430
00:32:12,620 --> 00:32:16,780
يعني شيلت الـ n هذه وحطيت مكانها k زائد 1، إذا

431
00:32:16,780 --> 00:32:19,780
كانت هذه مضايقاتكم سابقوها يعني أنا بقصد ونظل نجمع

432
00:32:19,780 --> 00:32:23,260
1 زائد 3 زائد 5 زائد 7، لما نصل لآخر

433
00:32:23,260 --> 00:32:27,960
term هذا اللي حطينا مكان الـ n اللي هو k زائد 1

434
00:32:27,960 --> 00:32:32,370
شيلت الـ n هيها وحطيت k زائد 1، بتثبت إن هذا بيساوي

435
00:32:32,370 --> 00:32:36,530
هذا المقدار لما أشيل الـ n هنا برضه أحط كمان إيش؟ k

436
00:32:36,530 --> 00:32:40,370
زائد 1، فبصير k زائد 1 لكل تربيع، هذا الآن هو

437
00:32:40,370 --> 00:32:44,850
اللي بدنا نثبته، لو أثبتته معناته وأثبتت صحة الجملة هذه

438
00:32:44,850 --> 00:32:48,550
في حالة الـ n بتساوي k زائد 1، يلا نشوف مع بعض

439
00:32:48,550 --> 00:32:53,090
طبعاً أكيد بنستعيني بهذه، أكيد تشوفوا الآن، ناخد الطرف

440
00:32:53,090 --> 00:32:57,870
الأيمن هذا الآن، أول حاجة من هنا من induction

441
00:32:57,870 --> 00:33:02,130
hypothesis، هيها هذه بيساوي k تربيع، يعني 1 زي

442
00:33:02,130 --> 00:33:06,230
3 زي 5 زي 2 k ناقص 1 بيساوي k تربيع

443
00:33:06,230 --> 00:33:10,050
بتعتمد على هدف الوصول من الطرف الأيسر هنا للطرف

444
00:33:10,050 --> 00:33:13,490
الأيمن، ناخد الطرف الأيسر هذا ماشي الحال، هي الطرف

445
00:33:13,490 --> 00:33:17,130
الأيسر هذا إيش هو؟ هو عبارة عن 1 زي 3 زي

446
00:33:17,130 --> 00:33:22,900
2 k كده ناقص 1 زي مين؟ زي هذا، هذا بدخل هذه بيصير

447
00:33:22,900 --> 00:33:28,560
2 k زائد 2 ناقص 1 زائد 2 ناقص 1

448
00:33:28,560 --> 00:33:32,440
يعني 1، يعني بيصير هذا المقدار هو عبارة عن 2

449
00:33:32,440 --> 00:33:38,450
k زائد 1، هذا لما نفكه بيصير 2 k زائد 1، طيب

450
00:33:38,450 --> 00:33:43,110
الجزء الأول هذا كله هيو من هنا لهنا هيو ما تنسيها يا

451
00:33:43,110 --> 00:33:46,190
في الـ induction hypothesis كتربيع، فبيصير هذه

452
00:33:46,190 --> 00:33:51,270
k تربيع، مكان كل هذا المقدار بيضل كمان جنبه من 2

453
00:33:51,270 --> 00:33:56,030
k زائد 1، هذا زائد هذا اللي هو مفكوك k زائد 1

454
00:33:56,030 --> 00:33:59,110
لكل تربيع، زي ما أنتم عارفين يعني إيش اللي وصلنا

455
00:33:59,110 --> 00:34:06,290
له؟ وصلنا لأن هذه اللي هي بتساوي هذه، يعني صار اللي

456
00:34:06,290 --> 00:34:11,390
هي الجملة لما ثبتت هذه بتساوي هذه، صارت الجملة اللي

457
00:34:11,390 --> 00:34:16,590
فوق صحيحة لـ k زائد 1، مدام خلصنا أطبطنا صحيحة لـ

458
00:34:16,590 --> 00:34:22,850
k زائد 1، نكون اللي هو الـ conclusion اللي هي الـ

459
00:34:22,850 --> 00:34:26,170
mathematical induction اكتملت، معناته إنه صارت هذه

460
00:34:26,170 --> 00:34:32,680
الجملة صحيحة لكل element in، الذي لم يتابع جيداً في

461
00:34:32,680 --> 00:34:35,340
هذا المثال يتابع في المثال اللي بعده برضه عن

462
00:34:35,340 --> 00:34:37,600
الـ mathematical induction، الآن يستخدم

463
00:34:37,600 --> 00:34:41,240
الـ mathematical induction لكي يثبت أن 1 زائد

464
00:34:41,240 --> 00:34:45,520
2 زائد n يساوي n في n زائد 1 هذا كله مجسوم

465
00:34:45,520 --> 00:34:49,930
على 2، لكل n element in، الآن بدنا نستخدم اللي

466
00:34:49,930 --> 00:34:53,190
هو الـ mathematical induction اللي اتبعت هذا أكيد

467
00:34:53,190 --> 00:34:56,290
الـ mathematical induction، ليش؟ لأنه بده يبقى اللي

468
00:34:56,290 --> 00:34:58,550
هو لكل n element in n، يعني بدنا نتبع صحة الجملة

469
00:34:58,550 --> 00:35:03,630
هذه لكل الـ natural numbers n، قولنا الـ natural

470
00:35:03,630 --> 00:35:08,120
numbers بنقصد فيها من 1 إلى ما لا نهاية، نيجي أول

471
00:35:08,120 --> 00:35:11,400
خطوة، أول خطوة زي ما اتفقنا بنثبت.. بنثبت صحة هذه

472
00:35:11,400 --> 00:35:15,340
الجملة اللي سميتها 1، أنا بنثبت صحتها لـ n بتساوي

473
00:35:15,340 --> 00:35:19,520
1، يعني لما نعوض في الطرف الأيسر بـ 1 لازم يطلع

474
00:35:19,520 --> 00:35:22,660
لـ.. بيساوي الطرف الأيسر لما.. لأي من لما نعوض

475
00:35:22,660 --> 00:35:26,420
فيه بـ 1، ده نجرب لـ basic step for n بتساوي

476
00:35:26,420 --> 00:35:31,780
1، since الـ n لما نعوض هنا بـ 1 بيصير بس 1

477
00:35:31,780 --> 00:35:36,200
يعني ما كنت جمعتش ولا شيء لسه، بيساوي 1 لأن الطرف

478
00:35:36,200 --> 00:35:40,380
الأيمن هنا إيش هو؟ بيصير 1 في 1 زائد 1

479
00:35:40,380 --> 00:35:43,900
1 زائد 1، 2 في 1 بـ 1، يعني 2 على

480
00:35:43,900 --> 00:35:49,270
2 بيساوي 1، إذا بما إن هذا الطرف بيساوي 1

481
00:35:49,270 --> 00:35:53,450
بيساوي اللي هو الطرف الأيسر، إذا صارت اللي هي 1

482
00:35:53,450 --> 00:35:57,110
هذه الجملة 1، مقصود فيها الجملة دي كلها، صارت هذه

483
00:35:57,110 --> 00:36:01,910
الجملة 1 is true for one بتساوي 1، رقمنا أنا

484
00:36:01,910 --> 00:36:05,850
1، عشان إن أسهر يسهر سهل التعامل معها، إذا صارت

485
00:36:05,850 --> 00:36:09,030
هذه عبارة عن صحيحة لـ n بتساوي 1، إذا الـ basic

486
00:36:09,030 --> 00:36:13,830
step اتحققت، الآن بدنا نفترض صحة، بدنا نيجي إلى الـ

487
00:36:13,830 --> 00:36:17,960
inductive step اللي هي inductive hypothesis اللي هي

488
00:36:17,960 --> 00:36:23,100
فرضية الاستقراء اللي هي إيش بتقول؟ نفترض أن الجملة

489
00:36:23,100 --> 00:36:28,020
صحيحة، assume that 1 is true for n بتساوي k

490
00:36:28,020 --> 00:36:32,200
بدنا نفترض أن صحة الجملة هذه لـ n بتساوي k، مدام

491
00:36:32,200 --> 00:36:36,920
فرضنا صحتها لـ n بتساوي k، إذا 1 زائد 2 لما

492
00:36:36,920 --> 00:36:41,810
نصل عند k، هيها هتساوي هذه k يا دماغها مش k مش n

493
00:36:41,810 --> 00:36:47,470
بتساوي k في k زائد 1، بتساوي k في k زائد 1

494
00:36:47,470 --> 00:36:51,790
إذن مدام فرضت إن هذا صحيح على k، بشيل الـ n وبحط

495
00:36:51,790 --> 00:36:55,450
مكانها k، وهذا اللي هي induction hypothesis الـ n

496
00:36:55,450 --> 00:37:02,110
منها بدي أثبت، now we prove that 1 is true for n

497
00:37:02,110 --> 00:37:06,550
إيش بتساوي k زائد 1؟ يعني بمعنى آخر إيش بدي أثبت؟

498
00:37:06,550 --> 00:37:12,720
we prove that 1 زائد 2 زائد k زائد 1، ماشي الحال، إذا

499
00:37:12,720 --> 00:37:15,480
1 زائد 2 لما نصل عند k زائد 1، لأنه

500
00:37:15,480 --> 00:37:18,760
شيلت الـ n إشمالها k زائد 1، طبعاً الجاب اللي k 

501
00:37:18,760 --> 00:37:20,880
زائد واحد هي الـ k زي ما احنا عارفين أنه بنجمع واحد

502
00:37:20,880 --> 00:37:23,890
زائد اثنين زائد ثلاثة زائد أربعة إلخ نبدأ نثبت

503
00:37:23,890 --> 00:37:27,630
بساوي مين؟ أشيل كل K و أضع مكانها K زائد واحد يعني

504
00:37:27,630 --> 00:37:31,690
K زائد واحد في اللي هي برضه K زائد واحد زائد واحد

505
00:37:31,690 --> 00:37:34,850
على اثنين يعني الآن أنا بدأ أثبت هذه الجملة

506
00:37:34,850 --> 00:37:38,990
بالاستعانة بمين؟ بالـ induction hypothesis اللي 

507
00:37:38,990 --> 00:37:43,150
فرضته هذا اللي هي دي K في K بساوي K في K زائد واحد

508
00:37:43,150 --> 00:37:46,910
على اثنين دعونا نشوف كده الآن ناخد الطرف الأيمن

509
00:37:46,910 --> 00:37:52,010
هذا proof بنثبت لهذه .. بنثبت لهذه هي عندنا أخدت

510
00:37:52,010 --> 00:37:56,750
الطرف الأيسر هنا هي من هنا لهنا بدأ أشيل هذا من

511
00:37:56,750 --> 00:38:00,970
هنا لهنا واحد زائد اثنين و أصل عند الـ K و أعوضها

512
00:38:00,970 --> 00:38:05,370
من هذا اللي فرضته هذا معناه جنبها دي K حسب هنا

513
00:38:05,370 --> 00:38:10,050
إيش هذي بيصير بدل هذه من هنا لهنا اللي هي K في K 

514
00:38:10,050 --> 00:38:13,830
زائد واحد على اثنين بعوض عنها بيصير K في K زائد

515
00:38:13,830 --> 00:38:18,790
واحد على اثنين زائد الأصلي هذه K زائد واحد الآن هنا

516
00:38:18,790 --> 00:38:21,670
بدي أوحد المقامات هنا المقام اللي تحت واحد هنا

517
00:38:21,670 --> 00:38:26,310
اثنين فلما أوحدهم بيصير كيف؟ K زائد واحد زائد

518
00:38:26,310 --> 00:38:30,790
اللي هو مين؟ اثنين في K زائد واحد الكل على اثنين

519
00:38:30,790 --> 00:38:35,050
عشان أوحد المقامات يساوي الآن هنا في عامل مشترك

520
00:38:35,050 --> 00:38:37,710
بقدر آخذ الـ K زائد واحد إيش مالها؟ عامل مشترك

521
00:38:37,710 --> 00:38:41,510
فباخد عامل مشترك من هنا اللي هي الـ K زائد واحد من

522
00:38:41,510 --> 00:38:45,290
هنا بظل اللي هي الـ K و هنا بظل الاثنين فبصير مضروبة

523
00:38:45,290 --> 00:38:48,770
في الـ K زائد الاثنين والكل مقسوم على اثنين هذه

524
00:38:48,770 --> 00:38:52,950
بالضبط هي عبارة عن K زائد واحد مضروبة في الـ K زائد

525
00:38:52,950 --> 00:38:56,810
اثنين هي عبارة عن K زائد واحد زائد واحد على اثنين

526
00:38:56,810 --> 00:39:02,330
إذا صارت اللي هو هذا المقدار بساوي هذا المقدار يعني

527
00:39:02,330 --> 00:39:08,730
أثبتت اللي هو هذه اللي هو أثبتت صحة واحد لمين؟ لأن

528
00:39:08,730 --> 00:39:12,610
بتساوي K زائد واحد ومدام أثبتتها لـ K زائد واحد

529
00:39:12,610 --> 00:39:15,910
معناته أنا اللي هو خلصت الـ induction hypothesis

530
00:39:15,910 --> 00:39:19,570
معناته جملتيها دي صارت صحيحة لكل N element in N

531
00:39:19,570 --> 00:39:23,630
يعني لو لخصنا إيش اللي سويناه؟ أثبتنا صحة هذه أول

532
00:39:23,630 --> 00:39:28,010
شيء لأن بتساوي واحد وبعدين فرضنا صحتها لأن بتساوي

533
00:39:28,010 --> 00:39:33,240
K ومنها أثبتنا صحتها لـ K زائد واحد وهذا كله على بعض

534
00:39:33,240 --> 00:39:35,920
هو اللي بنسميه الـ mathematical induction أو

535
00:39:35,920 --> 00:39:40,240
الاستقراء الرياضي وبكون هيك أثبتناها لكل N element 

536
00:39:40,240 --> 00:39:43,540
in N ناخد مثال آخر شوفوا المثال صلوا على النبي

537
00:39:43,540 --> 00:39:46,600
عليه الصلاة والسلام اللي بيقول show that N أصغر من

538
00:39:46,600 --> 00:39:51,320
2N لكل N element in N طبعا عارفينها دي الآن كيف

539
00:39:51,320 --> 00:39:54,420
نثبتها؟ برضه بنثبتها بـ Mathematical Induction

540
00:39:54,420 --> 00:39:58,880
لأنه اللي هي جملة تعتمد على اللي هو الـ integers أو

541
00:39:58,880 --> 00:40:02,180
الأعداد الطبيعية نشوف الـ proof أول حاجة الـ basic

542
00:40:02,180 --> 00:40:06,380
step الـ basic step اللي هي P of واحد هذا سميناها

543
00:40:06,380 --> 00:40:10,600
الجملة P of n يعني P of واحد يعني n عند n بتساوي

544
00:40:10,600 --> 00:40:15,400
واحد هذه بتساوي واحد وهذه بتساوي اثنين صح؟ إذا

545
00:40:15,400 --> 00:40:19,160
الواحد أصغر من اثنين إذا فعلا اللي هي n اللي هي

546
00:40:19,160 --> 00:40:23,700
واحد أصغر من اثنين is true دائما يعني صارت الـ P

547
00:40:23,700 --> 00:40:27,660
واحد is true لإن الواحد أصغر من اثنين في واحد اللي

548
00:40:27,660 --> 00:40:31,640
هو بيساوي إيش؟ اثنين الـ Inductive step بدنا نفترض

549
00:40:31,640 --> 00:40:37,060
الآن Assume that P of K is true وبدنا نثبت منها

550
00:40:37,060 --> 00:40:41,200
إنها P K زائد واحد is true إذن الآن بدنا نفترض إن P

551
00:40:41,200 --> 00:40:47,440
of K is true يعني نفترض صحة هذه الجملة عند K عند N

552
00:40:47,440 --> 00:40:52,240
بساوي K مثلا مثلا هي عند K إذن K أصغر من 2K طيب،

553
00:40:52,240 --> 00:40:56,560
لأن we need to show that P of K زائد واحد is true

554
00:40:56,560 --> 00:41:00,360
يعني بدنا نثبت صحة الجملة عند K زائد واحد، إيش

555
00:41:00,360 --> 00:41:04,460
يعني؟ بدنا نثبت صحة إن K زائد واحد هي أصغر من

556
00:41:04,460 --> 00:41:08,300
اثنين في K زائد واحد، لو أثبتنا هذه، بيكون خلصنا

557
00:41:08,300 --> 00:41:12,890
الـ induction hypothesis طيب الآن بدنا نثبت هذه الآن

558
00:41:12,890 --> 00:41:17,530
بدي أستخدم أكيد هذه عند الـ K أصغر من الـ 2 K ماشي

559
00:41:17,530 --> 00:41:21,870
الحال منها لو أضفت الآن واحد للجهتين بيصير K

560
00:41:21,870 --> 00:41:26,810
زائد واحد أصغر من 2 K زائد واحد أكيد بتطلع صح

561
00:41:26,810 --> 00:41:32,080
يعني الآن عند الـ K زائد واحد أصغر من 2 K زائد

562
00:41:32,080 --> 00:41:36,220
اثنين أكيد لأن هذا زيادة عن هذا بواحد طيب من هدول

563
00:41:36,220 --> 00:41:41,740
مع بعض التنتين بيصير 2 K زائد واحد هذه أصغر من

564
00:41:41,740 --> 00:41:45,800
2 K اثنين في K زائد واحد أخدت اثنين إيه شمالها

565
00:41:45,800 --> 00:41:52,940
عامل مشترك الآن أثبتت هذه من هذه وهذه أثبتها من فوق

566
00:41:52,940 --> 00:41:57,840
التنتين مع بعض together بيصير عندي اللي هو K زائد

567
00:41:57,840 --> 00:42:01,700
واحد أصغر من هذه وهذه بدورها أصغر من هذه إذا

568
00:42:01,700 --> 00:42:05,660
بخاصية التعدي هذه أصغر من هذه يعني K زائد واحد أصغر

569
00:42:05,660 --> 00:42:09,600
من اثنين في K زائد واحد وبهيك احنا بنكون أثبتنا

570
00:42:09,600 --> 00:42:14,000
اللي هو صحة الجملة عند K زائد واحد اللي هي اللي

571
00:42:14,000 --> 00:42:19,040
فوق هذه معناته إذا صارت صحيحة على كل element in ويا

572
00:42:19,040 --> 00:42:24,880
سيدي هاي كمان اللي هو الآن بنصل للي هو عندي الـ

573
00:42:24,880 --> 00:42:29,600
homework اللي بدنا إيّاه اللي هو للمحاضرة هذه كلها

574
00:42:29,600 --> 00:42:34,080
على طرق البرهان اللي هو الـ direct proof أو الـ

575
00:42:34,080 --> 00:42:37,700
indirect proof أو الـ mathematical induction وإلى

576
00:42:37,700 --> 00:42:41,600
لقاء آخر السلام عليكم ورحمة الله وبركاته