PL9fwy3NUQKwasVXkhUjp6LPUI_sOpX-0N/4L2irOydHGA_raw.srt

1
00:00:10,020 --> 00:00:15,610
بسم الله الرحمن الرحيممواصل ما ابتدأنا به في المرة

2
00:00:15,610 --> 00:00:20,670
الماضية و هو موضوع ال power series طبعا ابتدينا

3
00:00:20,670 --> 00:00:25,230
فيه المرة الماضية و أخدنا على ذلك أربعة أمثلة و

4
00:00:25,230 --> 00:00:29,950
بنعطي الآن مثال بشكل آخر غير الأشكال الأربع اللي

5
00:00:29,950 --> 00:00:34,790
شفناها في المرة الماضيةالمثال بقول ما ياتي هاتلي

6
00:00:34,790 --> 00:00:40,250
فترة التقارب لل power series اللي قدامنا هذه and

7
00:00:40,250 --> 00:00:44,290
find the sum of the series as a function وهاتلي

8
00:00:44,290 --> 00:00:49,170
مجموع هذه المتسلسلة كدالة يبقى في الأول بدنا نروح

9
00:00:49,170 --> 00:00:55,650
نجيب فترة التقارب لهذه ال series يبقى solution

10
00:00:58,390 --> 00:01:02,470
حابين اتعرف على شكل ال series فبجي بقول summation

11
00:01:02,470 --> 00:01:07,330
من N equal zero to infinity لل X تربيع زائد واحد

12
00:01:07,330 --> 00:01:13,250
على تلاتة to the power N الحد الأول بواحد الحد

13
00:01:13,250 --> 00:01:19,110
التاني X تربيع زائد واحد على تلاتة الحد التاني X

14
00:01:19,110 --> 00:01:24,220
تربيع زائد واحد على تلاتة لكل تربيعبنبقى الماشي

15
00:01:24,220 --> 00:01:30,500
لغاية ما نوصل ل X تربيع زائد واحد على تلاتة كله to

16
00:01:30,500 --> 00:01:38,080
the power N زائد إلى آخرين يبقى كتبنا ال series

17
00:01:38,080 --> 00:01:42,560
على الشكل اللي قدامنا السؤال هو هد ال series هل هي

18
00:01:42,560 --> 00:01:46,040
من ال series التلاتة المشهورة اللي كنا بنتعامل

19
00:01:46,040 --> 00:01:51,770
معاها طيلة هذا ال chapter بالمرة النهائيةيعني هذه

20
00:01:51,770 --> 00:01:55,070
ليست Geometric ليست P Series ليست Harmonic؟

21
00:01:55,070 --> 00:02:00,310
Geometric يعني يعني هي واحدة منها من التلاتة اقسم

22
00:02:00,310 --> 00:02:05,110
الحد هذا على هذا كده ايش بيطلع الجواب اكثر بيها زي

23
00:02:05,110 --> 00:02:07,950
واحدة على تلاتة اقسم هذا على هذا اكثر بيها زي

24
00:02:07,950 --> 00:02:12,050
واحدة على تلاتة يعني كده اذا هذه Geometric Series

25
00:02:12,050 --> 00:02:17,500
Convergedإذا كان الاساس تبعها هذا ماله أقل من

26
00:02:17,500 --> 00:02:25,200
الواحد الصحيح يبقى هذه Convergent Geometric Series

27
00:02:25,200 --> 00:02:33,660
إذا كان absolute value لل R لو بدي أسوأ absolute

28
00:02:33,660 --> 00:02:39,380
value لإكس تربية زي واحد على تلاتة أقل من مين أقل

29
00:02:39,380 --> 00:02:44,840
من واحدطيب هذه عمرها بتاخد قيمة سالبة تقول

30
00:02:44,840 --> 00:02:49,020
absolute value كتبناها والله شيلناها سياد يبقى هذا

31
00:02:49,020 --> 00:02:54,900
معناه ان ال X تربية زائد واحد على تلاتة اقل من مهم

32
00:02:54,900 --> 00:03:00,980
اقل من الواحد او ان شئتم فقولوا ان هذه convert

33
00:03:00,980 --> 00:03:10,310
geometricإذا كان ال X تربية زائد واحد أقل من من

34
00:03:10,310 --> 00:03:18,590
تلاتة وإن شئتم فقولوا X تربية أقل من اتنين وإذا

35
00:03:18,590 --> 00:03:23,570
خدنا الجدر التربية بيصير absolute value ل X أقل من

36
00:03:23,570 --> 00:03:28,730
square root للاتنينيبقى باجي بقوله the series

37
00:03:28,730 --> 00:03:39,070
converge on the interval على الفترة هذه ايش

38
00:03:39,070 --> 00:03:44,910
معناها؟ X محصولة من سلب جذر اتنين وجذر اتنين، اذا

39
00:03:44,910 --> 00:03:52,380
على الفترة من سلب جذر اتنين إلى جذر اتنينيبقى انت

40
00:03:52,380 --> 00:03:56,520
هنا من المطلوب الأول قال لي هاتلي فترة التقارب لل

41
00:03:56,520 --> 00:04:05,720
power series اللي عندنا ايوة السؤال

42
00:04:05,720 --> 00:04:10,280
بيسأل بيقول انت كانت بفترة مفتوحة بنفعش تكون مغلقة

43
00:04:10,280 --> 00:04:15,740
بنقوله تعالى نشوف بنفعله بنفعش ايش سمناها ال

44
00:04:15,740 --> 00:04:20,060
series هذه؟ Geometric وانتش ال geometric converge

45
00:04:22,530 --> 00:04:30,510
طب لو كانت تساوي واحد يعني بنفع نجفل هى؟ هى بنفع؟

46
00:04:30,510 --> 00:04:36,450
خلاص مايبقى مينفعش ليش؟ لأنه إذا كانت أكبر من أو

47
00:04:36,450 --> 00:04:40,230
تساوي واحد ال series مالها بي vary بقدرش أقول

48
00:04:40,230 --> 00:04:45,170
closed interval وإنما بقول open interval طب

49
00:04:45,170 --> 00:04:48,730
انتهينا من مقوب الأول مقوب التاني بيقوللي على فترة

50
00:04:48,730 --> 00:04:54,410
التقارب هذهبتجيب للمجموع تبع السيريز هذه as a

51
00:04:54,410 --> 00:05:03,270
function باجيب اقوله it's sum المجموع تبعها as بدي

52
00:05:03,270 --> 00:05:09,330
اديله capital S capital S يساوي الحد الاول على

53
00:05:09,330 --> 00:05:14,970
واحد ناقص الاساس الاساس يقول اكس تربيه زائد واحد

54
00:05:14,970 --> 00:05:22,000
على تلاتةهذه هى اللى هي بدها تساوي من تلاتة على

55
00:05:22,000 --> 00:05:29,280
مين على تلاتة ناقص x تربيع ناقص واحد او انشئتم

56
00:05:29,280 --> 00:05:37,700
فقولوا تلاتة على اتنين ناقص x تربيع سؤال هو أليست

57
00:05:37,700 --> 00:05:45,500
هذه function في xيبقى بناء عليه المجموعة S as a

58
00:05:45,500 --> 00:05:51,480
function of X فالـ F of X بده يسوى ثلاثة على

59
00:05:51,480 --> 00:05:58,920
الإتنين ناقص X تربيع المطلوب الثاني من المثلة

60
00:06:01,980 --> 00:06:06,340
الان انتهينا من الجزء الاول من هذا ال section بدنا

61
00:06:06,340 --> 00:06:10,500
ننتقل الى الجزء الثاني الجزء الثاني من هذا ال

62
00:06:10,500 --> 00:06:14,960
section هو differentiation term by termand

63
00:06:14,960 --> 00:06:22,620
integration term by term يبقى بدنا نيجي اللي هو

64
00:06:22,620 --> 00:06:27,100
differentiation term by term بالنسبة لل power

65
00:06:27,100 --> 00:06:35,000
series يبقى باجي بقوله term by term

66
00:06:35,000 --> 00:06:42,800
differentiation theorem

67
00:06:47,600 --> 00:06:55,200
النص التالي F summation من N equal zero to

68
00:06:55,200 --> 00:07:04,360
infinity ل C N X نقص ال A to the power N converge

69
00:07:04,360 --> 00:07:12,900
for ال A minus ال R أقل من X أقل من ال A زائد ال R

70
00:07:12,900 --> 00:07:15,880
for some

71
00:07:17,290 --> 00:07:31,270
اللي greater than zero it defines بتعرف

72
00:07:31,270 --> 00:07:40,410
a function هنسميها f of x تساوي هذا ال summation

73
00:07:40,410 --> 00:07:46,050
اللي عندنا summation من n equal zero to infinity

74
00:07:46,560 --> 00:07:54,940
للـCN الـ X نقص الـ A to the power M والـ X بتتحرك

75
00:07:54,940 --> 00:08:04,280
في الفترة من الـ A سالب R إلى الـ A plus R This

76
00:08:04,280 --> 00:08:14,350
function has a derivativesHas derivatives of all

77
00:08:14,350 --> 00:08:19,650
orders

78
00:08:19,650 --> 00:08:31,670
من كل الرتب Inside the interval of convergence

79
00:08:44,360 --> 00:08:49,660
interval of convergence as follow كتالة

80
00:09:25,800 --> 00:09:28,920
النقطة الأولى هي term by term differentiation

81
00:09:28,920 --> 00:09:33,060
theorem والنقطة التانية term by term integration

82
00:09:33,060 --> 00:09:38,300
theorem خلّينا مع النقطة الأولى في الأول فباجي

83
00:09:38,300 --> 00:09:42,700
بقول لو كانت ال series اللى عندنا هذى convert على

84
00:09:42,700 --> 00:09:48,640
الفترة اللى عندنا من a-r او ال x محصورة من a-rوالـ

85
00:09:48,640 --> 00:09:53,160
A زائد R إذا بتذكروا و احنا لما اتكلمنا في الجزء

86
00:09:53,160 --> 00:09:58,060
النظري تبع ال power series نقول لو عندنا فترة زي

87
00:09:58,060 --> 00:10:05,080
الفترة هذه و أجت A في منتصف الفترة كان هذا نصف قطر

88
00:10:05,080 --> 00:10:11,380
التقارب R وهذا نصف قطر التقارب R يبقى إحداثيات

89
00:10:11,380 --> 00:10:18,180
النقطة هذه A زائد Rوإحداثيات النقطة هذه لإيه

90
00:10:18,180 --> 00:10:24,220
الناقصات بعد النقطة هذه ال series مختلفة وقبل

91
00:10:24,220 --> 00:10:29,160
النقطة هذه ال series كذلك مختلفة وفي الداخل هنا ال

92
00:10:29,160 --> 00:10:34,090
series مالها مختلفة بالشكل اللي عندنا هذافبقول لو

93
00:10:34,090 --> 00:10:37,510
ال series converge على الفترة اللي عندنا هذه it

94
00:10:37,510 --> 00:10:43,170
defines a function يعني ال series هذه يمكن كتابتها

95
00:10:43,170 --> 00:10:48,230
على شكل function f of x تساوي هذا ال summation

96
00:10:48,230 --> 00:10:52,450
صارت هذه فترة التقارب لهذه دالة اللي هي تعتبر

97
00:10:52,450 --> 00:10:59,180
domain لمينDomain للدالة F of X يعني احنا لان

98
00:10:59,180 --> 00:11:05,200
كتبنا ال function على شكل power series بقولي هذه

99
00:11:05,200 --> 00:11:11,260
الدالة لها مشتقات من جميع الرتب خلال فترة التقارب

100
00:11:11,350 --> 00:11:17,250
تبع السيريز كيف؟ كالتالي يبقى احنا لو جينا و قولنا

101
00:11:17,250 --> 00:11:24,830
هذا ال F of X اللي تساوي ال summation يبقى C0 زيد

102
00:11:24,830 --> 00:11:34,620
C1 في X نقص ال Aزاد C2 في X نقص A لكل تربية زاد C3

103
00:11:34,620 --> 00:11:44,200
في X نقص A لكل تكعيب زاد زاد CN في X نقص A to the

104
00:11:44,200 --> 00:11:50,430
power N زاد الاخرينيبقى هذا الـ function كتبناها

105
00:11:50,430 --> 00:11:54,090
على شكل ال power series اللي قدامي يعنى اللي انا

106
00:11:54,090 --> 00:12:00,690
بدى ابدأ اشتق لو قلت f prime of x يبقى الأول هذا

107
00:12:00,690 --> 00:12:07,870
مشتقته بقداش مش هيظهر عندىC1 مقدار ثابت الـA

108
00:12:07,870 --> 00:12:15,010
مشتقتها بـ0 مشتقت الـX بـ1 في C1 مقدار ثابت C1 فقط

109
00:12:15,010 --> 00:12:23,690
C2 مقدار ثابت يبقى الأس في الجوس مرفوع لنفس الأس

110
00:12:23,690 --> 00:12:27,810
مطروح منه واحد في تفاضل مداخل القوس اللي هو مقدار

111
00:12:27,810 --> 00:12:29,210
ثابت C1 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C1 مقدار ثابت C2

112
00:12:29,210 --> 00:12:33,130
مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار

113
00:12:33,130 --> 00:12:34,210
ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2

114
00:12:34,210 --> 00:12:34,210
مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار

115
00:12:34,210 --> 00:12:36,110
ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مزائد ثلاثة C

116
00:12:36,110 --> 00:12:42,050
ثلاثة X ناقص ال A لكل تربية في مشتقة مداخل قصر

117
00:12:42,050 --> 00:12:51,030
اللي هو بقداش بواحد زائد زائد N CN X ناقص ال A to

118
00:12:51,030 --> 00:12:58,070
the power N plus one زائد الاخرين يبقى هذا الشغل

119
00:12:58,070 --> 00:13:04,570
اللي اشتغلنا اسمه differentiation term by termيبقى

120
00:13:04,570 --> 00:13:09,510
روحنا اشتقنا term by term كل series لغاية

121
00:13:09,510 --> 00:13:14,050
infinitive شو رايك اني بقدر اكتب هذه المشتقة على

122
00:13:14,050 --> 00:13:18,430
شكل power series بدل ما هي بالشكل الكبير بدي

123
00:13:18,430 --> 00:13:24,490
اكتبها بالشكل الجديد يبقى summation و بروح بحط

124
00:13:24,490 --> 00:13:31,220
الحد النوني N في CNفى ال X ناقص ال A to the power

125
00:13:31,220 --> 00:13:36,380
N plus one من عند ال N تسوى أكثر قدره لغاية

126
00:13:36,380 --> 00:13:41,440
Infinity من أين بدنا نبدأ؟ من عندهم تسوى قدره؟

127
00:13:41,440 --> 00:13:48,770
متأكدين؟ فما هو السبب؟ أنا موافق، بس ليش؟أيوة لأن

128
00:13:48,770 --> 00:13:52,730
الحد الأول هذا طاري يعني ال series نقصت حد من

129
00:13:52,730 --> 00:13:58,770
بداية ال series ومشان تتأكد ابدا حط ان واحد اتنين

130
00:13:58,770 --> 00:14:02,130
تلاتة في الصيغة اللي عندك شوف يطلع ال series اللي

131
00:14:02,130 --> 00:14:08,190
عندنا هذه ولا لأ فمثلا لو قلنا ان بواحد C واحد ودق

132
00:14:08,190 --> 00:14:14,670
ال zero اللي بواحد يبقى الجواب بس جديد C واحدحط N

133
00:14:14,670 --> 00:14:25,110
بـ 2 بصير 2C2 X ناقص A و S 1 يبقى 2C2 X ناقص A 2C2

134
00:14:25,110 --> 00:14:25,830
X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A

135
00:14:25,830 --> 00:14:27,450
2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص

136
00:14:27,450 --> 00:14:28,530
A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X

137
00:14:28,530 --> 00:14:28,610
ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2

138
00:14:28,610 --> 00:14:28,610
X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A

139
00:14:28,610 --> 00:14:33,930
2C2 X ناقص A 2C2

140
00:14:33,930 --> 00:14:39,130
X ناقص A

141
00:14:39,130 --> 00:14:40,590
2

142
00:14:45,040 --> 00:14:50,840
سي واحد مقدار ثابت يبقى مشتقته مع السلامة بصير هذا

143
00:14:50,840 --> 00:14:58,320
اتنين سي اتنين زائد ستة سي تلاتة في ال X نقص ال A

144
00:14:58,320 --> 00:15:06,520
زائد زائد N في N نقص واحد في C N في ال X نقص ال A

145
00:15:06,520 --> 00:15:12,320
تدفع power N زائد اتنين زائد الاخرينبدي اكتب هذا

146
00:15:12,320 --> 00:15:18,740
على شكل summation من N تساوي أبصر جداش لغاية ال

147
00:15:18,740 --> 00:15:26,560
infinity لل N في ال N ناقص واحد في ال C N في ال X

148
00:15:26,560 --> 00:15:35,160
ناقص ال A to the power N minus two N من وين؟ من

149
00:15:35,160 --> 00:15:41,340
ناجد اتنين متأكدين؟أه من عند اتنين لأنه طارت term

150
00:15:41,340 --> 00:15:46,120
الأول لأن هذا راح طب شوف تعالى تأكد كلامنا صح ولا

151
00:15:46,120 --> 00:15:50,640
لأ اتنين اتنين ناقص واحدة بواحد يبقى هذا كله

152
00:15:50,640 --> 00:15:55,300
باتنين سي اتنين وهذا zero يبقى واحد يبقى الحد

153
00:15:55,300 --> 00:16:00,960
الأول اتنين سي اتنين مظبوط بعد اتنين حط تلاتة بصير

154
00:16:00,960 --> 00:16:12,520
تلاتة في اتنين اللي هو بستةC3X-A1 يبقى 6C3X-A1

155
00:16:12,520 --> 00:16:17,320
وهكذا يبقى شغلنا سليم مائة بالمائة بنطلع من هذا

156
00:16:17,320 --> 00:16:22,820
الكلام يبقى انه عند الاشتقاق مرة ال index اللي تحت

157
00:16:22,820 --> 00:16:27,280
الصممش مينجس واحداشتق كمان مرة، بنقص كمان واحد،

158
00:16:27,280 --> 00:16:31,440
اشتق كمان مرة، بنقص كمان واحد، و هكذا يعني لو

159
00:16:31,440 --> 00:16:37,140
اشتقت N من ال K من المرات بيصير ال summation هذا

160
00:16:37,140 --> 00:16:43,620
من عند N تساوي K إلى Infinity وهذا بيصير K من

161
00:16:43,620 --> 00:16:50,020
المشتقات، تمام؟ طيب كويس، و هكذا لو استمرنا بهذه

162
00:16:50,020 --> 00:16:55,390
الطريقة، فمش بدنا نوصل ل Rصار عندنا two series

163
00:16:55,390 --> 00:17:01,590
جداد وعندنا ال series الأصلية هي هذي converge على

164
00:17:01,590 --> 00:17:06,720
الفترة اللي عندنا هذيالسيريز المشتقة التنتين هدول

165
00:17:06,720 --> 00:17:11,380
converge على نفس الفترة وكمان لو اشتقت ميت مرة

166
00:17:11,380 --> 00:17:16,680
كمان بعد ذلك برضه converge على مين يبقى السيريز

167
00:17:16,680 --> 00:17:24,200
الأصلية ومشتقتها converge على نفس الفترة يبقى بدنا

168
00:17:24,200 --> 00:17:27,740
نشيل هذا بما يأتي فبروح بقول

169
00:17:34,410 --> 00:17:41,350
هذه الـ derived كل

170
00:17:41,350 --> 00:17:46,510
واحد من هذه السلسلة الوحيدة الوحيدة

171
00:17:46,510 --> 00:17:54,250
الوحيدة موجودة في كل موقع

172
00:17:54,250 --> 00:17:57,570
في كل

173
00:17:57,570 --> 00:17:58,350
موقع في كل موقع في كل موقع

174
00:18:08,230 --> 00:18:15,550
مقارنة مقارنة مقارنة مقارنة مقارنة

175
00:18:24,950 --> 00:18:32,430
original series يبقى كل من المتسلسلات المشتقة

176
00:18:32,430 --> 00:18:36,670
converge على نفس الفترة الاسيسي الأصلية converge

177
00:18:36,670 --> 00:18:43,630
عليها بدأ نيجي للنقطة الثانية والاخيرة في هذا ال

178
00:18:43,630 --> 00:18:50,770
section term by term integration theorem بعد ما

179
00:18:50,770 --> 00:18:54,030
فاضلنا بدنا نروح هنا ان كامل

180
00:18:58,810 --> 00:19:05,930
بقول افترض انه suppose that suppose

181
00:19:05,930 --> 00:19:12,350
that ال F of X بده تسوي ال summation من N equal

182
00:19:12,350 --> 00:19:19,490
zero to infinity ل C N X نقص ال A to the power N

183
00:19:19,490 --> 00:19:30,510
converged for Xاللي هي أكبر من ال A ناقص ال R وأقل

184
00:19:30,510 --> 00:19:38,270
من ال A زائد ال R وال R greater than zero

185
00:20:02,330 --> 00:20:09,770
النفس الفترة اللي عندنا هذهالـ A ناقص الـ R إلى

186
00:20:09,770 --> 00:20:19,270
الـ A زائد R and وفي نفس الوقت تكامل لل F of X DX

187
00:20:19,270 --> 00:20:25,890
بدي ساوي اللي هو summation من N equal zero to

188
00:20:25,890 --> 00:20:35,140
infinity لمين؟ للـCN X ناقص الـ Ato the power n

189
00:20:35,140 --> 00:20:42,740
plus one على n plus one plus constant c على نفس

190
00:20:42,740 --> 00:20:53,220
الفترة اللي هو من a ناقص r إلى a زائد r examples

191
00:20:53,220 --> 00:20:59,040
consider

192
00:20:59,040 --> 00:20:59,960
the function

193
00:21:04,680 --> 00:21:12,160
يعتبر الدالة EO6 يساوي summation من N equal zero

194
00:21:12,160 --> 00:21:17,980
to infinityللـ x to the power n على n factorial

195
00:21:17,980 --> 00:21:25,260
اللي هي واحد زاد x زاد x تربيع اتنين factorial x

196
00:21:25,260 --> 00:21:30,100
تكيب على تلاتة factorial زاد x أس n على n

197
00:21:30,100 --> 00:21:41,040
factorial زاد الاخرين that converge for all x

198
00:21:42,530 --> 00:21:53,770
المطلوب الأول show that بيّلي ان مشتقة ال EO6 بده

199
00:21:53,770 --> 00:22:04,190
تساوي ال EO6 نمرا بيه show that بيّلي تكامل ال EO6

200
00:22:04,190 --> 00:22:09,830
DX بده يساوي ال EO6 زائد constant C

201
00:22:38,330 --> 00:22:43,830
أحنا هنا كنا بنتكلم عن الاشتقاق لل power series و

202
00:22:43,830 --> 00:22:48,930
as a functionمحطوطة ال series اللي عندنا as a

203
00:22:48,930 --> 00:22:53,170
function على الشكل اللي عندنا هذا اشتقنا مرة و

204
00:22:53,170 --> 00:22:57,930
مرتين و في كل مرة بتغير ال index اللي تحت ال

205
00:22:57,930 --> 00:23:04,550
summation كل اشتقاق بنجس ال index بمقدار واحد ال

206
00:23:04,550 --> 00:23:08,730
series المشتقة و ال series الأصلية كلهم converge

207
00:23:08,730 --> 00:23:13,530
على نفس الفترة تعليل ال integration term by term

208
00:23:14,010 --> 00:23:20,430
يعني بدنا نكامل كل term من حدود ال series ونعرف ما

209
00:23:20,430 --> 00:23:25,870
هو شكل ال series الناتجة يفترض ان ال F of X مكتوبة

210
00:23:25,870 --> 00:23:30,190
عندي على شكل summation بهذا الشكل طبعا يمكن

211
00:23:30,190 --> 00:23:35,420
تستغربواان ال function مكتوبة على شكل summation

212
00:23:35,420 --> 00:23:40,680
بهذا الشكل ولا استغرب ولا حاجة المحاضرة القادمة ان

213
00:23:40,680 --> 00:23:45,720
شاء الله يعني ال section القادم كله كيفية كتابة ال

214
00:23:45,720 --> 00:23:50,780
functions على شكل power series وهذه اللي بنسميها

215
00:23:50,780 --> 00:23:56,430
taylor series و maclaurin seriesيبقى افترض انه

216
00:23:56,430 --> 00:23:59,870
عنده function محطوط على شكل power series و هذي ت

217
00:23:59,870 --> 00:24:03,430
converge على نفس الفترة اللي عندنا هذي then

218
00:24:03,430 --> 00:24:08,710
summation على ال series هذي هذي شو بتفرق عن هذي سي

219
00:24:08,710 --> 00:24:13,250
ان مقدار ثابت زي ما هو يبقى aboveنا لل أس واحدة و

220
00:24:13,250 --> 00:24:18,570
قسمنا علمين على الأس الجديد يبقى كأنه اش عملنا

221
00:24:18,570 --> 00:24:24,190
لهذهعاملنا لها تكامل كأنه كاملناها يبقى ال series

222
00:24:24,190 --> 00:24:30,050
هذي converge على نفس الفترة وبالتالي تكامل لل f of

223
00:24:30,050 --> 00:24:34,490
x dx يسوى النتيجة اللي عندنا هذي بالضبط تماما زاد

224
00:24:34,490 --> 00:24:39,770
man زاد constant وعلى نفس ال interval اللي عندنا

225
00:24:42,060 --> 00:24:46,560
بناخد أمثلة على ال differentiation term by term و

226
00:24:46,560 --> 00:24:52,420
ال integration term by term سواء جلي او مجليش يعني

227
00:24:52,420 --> 00:24:54,740
مجليش استخدم ال differentiation او استخدم ال

228
00:24:54,740 --> 00:24:59,730
integration او اطالي مثلا و بده حلةبقول هنا اعتبر

229
00:24:59,730 --> 00:25:03,530
الدالة EO6 مكتوبة على شكل ال summation اللى عندنا

230
00:25:03,530 --> 00:25:07,770
هذا او ال summation الطويل اللى عندنا هذا بقول

231
00:25:07,770 --> 00:25:10,910
كويسه اللى بتبقى converge على كل ال real line

232
00:25:10,910 --> 00:25:15,070
بالاستثناء يعني ال interval of convergenceمن سالب

233
00:25:15,070 --> 00:25:19,370
infinity إلى infinity واحنا شوفنا في ال power

234
00:25:19,370 --> 00:25:23,510
series ممكن تكون ال series converge على كل ال real

235
00:25:23,510 --> 00:25:28,890
line بلا ستة نار المطلوب الأول بيقول إن مشتقة ال

236
00:25:28,890 --> 00:25:34,430
EO6 هي ال EO6 itself طب هذا خدناه أين؟

237
00:25:42,900 --> 00:25:46,640
أثبتنا إن مشتقة الـ EO6 هي الـ EO6 بس عن طريق الـ

238
00:25:46,640 --> 00:25:51,240
LEN هنا لأ بدك تثبت عن طريق الـ Power Series اتنين

239
00:25:51,240 --> 00:25:57,100
بدك تثبت تكمل الـ EO6 هو بالـ EO6 itself زاد كنصة

240
00:25:57,100 --> 00:26:02,280
برضه باستخدام من الـ Power Series نقوله كويس خلينا

241
00:26:02,280 --> 00:26:10,360
نمسك الأولىيبقى بداش اقوله D على D لل E وال6

242
00:26:10,360 --> 00:26:15,940
يساوي، بدى اشتق معناته هذه، يعني بدى اشتق كل

243
00:26:15,940 --> 00:26:21,740
الحدود اللي عندنا، مشتقة الواحد بقداش؟ Par هذا،

244
00:26:21,740 --> 00:26:30,240
مشتقة ال X بواحد؟اللي بعده 2x على 2 factorial زائد

245
00:26:30,240 --> 00:26:38,380
2x على 2 factorial زائد 3x تربيع على 3 factorial

246
00:26:38,380 --> 00:26:45,920
زائد n x أُس n ناقص واحد على n factorial زائد إلى

247
00:26:45,920 --> 00:26:54,760
آخرهمطيب تمام يبقى صار عندي D على DX لل EO6 يساوي

248
00:26:54,760 --> 00:27:03,400
واحد زائر هذه لو فكيتها عبارة عن اتنين في اتنين في

249
00:27:03,400 --> 00:27:10,100
واحد factorial هذه تلاتة في اتنين factorial هذه N

250
00:27:10,100 --> 00:27:15,760
في N ناقص واحد factorialيبقى الاتنين هتروح مع

251
00:27:15,760 --> 00:27:20,840
اتنين والتلاتة هتروح مع التلاتة يبقى بيظل عندي

252
00:27:20,840 --> 00:27:26,340
زائد x على واحد factorial زائد x تربيع على اتنين

253
00:27:26,340 --> 00:27:32,660
factorial زائد x تكيب على تلاتة factorial زائد

254
00:27:32,660 --> 00:27:40,770
زائدبتروح ال N مع ال N يبقى X أس N minus ال one N

255
00:27:40,770 --> 00:27:48,810
minus ال one factorial بالشكل اللي عندنا هنا زائد

256
00:27:48,810 --> 00:27:54,350
إلى آخرينيبقى الان بتروح اكتبها على شكل summation

257
00:27:54,350 --> 00:27:58,530
يبقى لو كتبتها على شكل summation بده أصير

258
00:27:58,530 --> 00:28:07,410
summation للحد انهني x أُس n-1 على n-1 factorial

259
00:28:07,410 --> 00:28:10,950
بالشكل اللي عندنا هذا طب ال index اللي تحت ال

260
00:28:10,950 --> 00:28:15,380
summation من وين بده يبدأ؟عند الواحدة لو أصلا عندي

261
00:28:15,380 --> 00:28:21,580
zero طار أول term يبقى summation من N equal one to

262
00:28:21,580 --> 00:28:26,120
infinity بالفعل لو بدأت أحط N بواحد و اتنين و

263
00:28:26,120 --> 00:28:31,320
تلاتة بلاقي ال series اللي عندنا هذه يبقى لا يزال

264
00:28:31,320 --> 00:28:35,720
المشكلة عندنا قائمة هل ال summation اللي احنا

265
00:28:35,720 --> 00:28:41,680
كتبناه هو ال E و ال six اللي احنا حكينا عليها هذه

266
00:28:43,190 --> 00:28:48,910
هي بالضبط و الله في خلاف اه في خلاف ال index اللى

267
00:28:48,910 --> 00:28:53,630
فوق بيبدأ من عند ال zero هذا ال index بيبدأ من وين

268
00:28:53,630 --> 00:28:58,990
من عند ال واحد مانفعش بدك يتساوي بها بدها تكون

269
00:28:58,990 --> 00:29:07,790
زيها رسمًا بنقوله كويس اذا أصبح عندي D على DX لل

270
00:29:07,790 --> 00:29:15,420
EO6 يساوي طلّال ال summation هذاممكن اخلّيه يبدأ

271
00:29:15,420 --> 00:29:20,240
من اندزيرو لو شيلت كل N وحطيت مكانها N زائد واحد

272
00:29:20,240 --> 00:29:24,540
يبقى بدي اشيل كل N وحط مكانها N زائد واحد ده يصير

273
00:29:24,540 --> 00:29:31,310
N زائد واحد تساوي واحد الى infinityلل X أُس N زائد

274
00:29:31,310 --> 00:29:36,750
واحد وين ناقص واحد على N زائد واحد ناقص واحد

275
00:29:36,750 --> 00:29:42,390
factorial يبقى هذه ال summation من عند N equal

276
00:29:42,390 --> 00:29:47,350
zero to infinity لل X to the power N على N

277
00:29:47,350 --> 00:29:52,270
factorial بروح واحد وسلب واحد وفوق واحد وسلب واحد

278
00:29:52,730 --> 00:29:57,310
مين هي هذه؟ مش هذه الصيغة لأن هذه بالضبط تماما

279
00:29:57,310 --> 00:30:04,570
يبقى هذه بدها تعطينا مين؟ EO6 وكأن هذا برهان أخر

280
00:30:04,570 --> 00:30:10,050
ليثبت أن ال derivative لل EO6 بيعطينا مين؟ EO6

281
00:30:10,050 --> 00:30:19,720
itself خلص المطلوب A، روح للمطلوب Bبنتكامل لل E أس

282
00:30:19,720 --> 00:30:26,040
X DX يبقى تكامل بدنا نشيل ال E أس X ونحط المفكوك

283
00:30:26,040 --> 00:30:30,980
تبعها اللي هو واحد زائد X زائد X تربيه على اتنين

284
00:30:30,980 --> 00:30:37,020
factorial X تكيب على تلاتة factorial زائد X أس N

285
00:30:37,020 --> 00:30:41,980
على N factorial زائد إلى ما شاء الله كله بالنسبة

286
00:30:41,980 --> 00:30:50,780
لمن؟ إلى DXإذا أصبح تكامل ال EOSX DX بده يساوي

287
00:30:50,780 --> 00:30:57,820
بدنا نكامل الحد الأول تكامله كده؟ التاني X تربيه

288
00:30:57,820 --> 00:31:03,160
على تانية تالت X تكايبعلى تلاتة في الاتنين

289
00:31:03,160 --> 00:31:08,920
factorial كما هي زيد ال X تلاتة بيصير X أص أربعة

290
00:31:08,920 --> 00:31:15,780
على أربعة في تلاتة factorial كما هي زيد X أص N

291
00:31:15,780 --> 00:31:22,520
plus one على N plus one في ال N factorial زيد إلى

292
00:31:22,520 --> 00:31:30,220
آخرى وهذه بيجيها كمان جداش يا شبابكنوس فانتبه عدت

293
00:31:30,220 --> 00:31:40,000
كامة فهذه بدات ساوية طلعليه كويس هنا ه هذه X هذه X

294
00:31:40,000 --> 00:31:44,460
تربيع اتنين هذه مش هبقى اقارب اتنين في واحد يعني

295
00:31:44,460 --> 00:31:50,180
اتنين factorial يبقى اتنين factorial وهذه واحد

296
00:31:50,180 --> 00:31:55,710
تاني واحد factorialوهذه x تكييب تلاتة في اتنين

297
00:31:55,710 --> 00:32:01,010
factorial يعني تلاتة factorial x أُص أربعة أربعة

298
00:32:01,010 --> 00:32:07,130
في تلاتة factorial تعني أربعة factorial زائد هذه

299
00:32:07,130 --> 00:32:13,450
كمان بنفس الطريقة xn زائد واحد على n زائد واحد

300
00:32:13,450 --> 00:32:21,430
اللي هو factorial زائد الآخرى زائد constant Cطيب

301
00:32:21,430 --> 00:32:27,670
الخطة أحطها على شكل summation يبقى هذه summation

302
00:32:27,670 --> 00:32:34,430
لمن؟ لل x to the power n plus one على n plus one

303
00:32:34,430 --> 00:32:41,490
factorial من عند n تسوى أبصر جداش ل infinity هل

304
00:32:41,490 --> 00:32:45,830
لما نكملنا هنا ال series هذه طار أي term من

305
00:32:45,830 --> 00:32:51,440
الترمات؟لا كله ظلم زي ما هو إذا ال index اللي تحت

306
00:32:51,440 --> 00:32:56,640
ال summation بتغير والله بيبقى كما هو يبقى كما هو

307
00:32:56,640 --> 00:33:02,440
كما ذكرنا في الجزء النظري قبل قليل يبقى بدء ظلم

308
00:33:02,440 --> 00:33:09,660
عند n تساوي zero إلى infinity طيب زاد ال constant

309
00:33:09,660 --> 00:33:10,220
C

310
00:33:13,470 --> 00:33:24,310
خلّيني اضغط و اقول C1 C1 C1 مثلا هل هذا شكل ال E و

311
00:33:24,310 --> 00:33:31,070
S X؟ طبعا لأ هذي بده تبقى X أس N و هذي N factorial

312
00:33:31,070 --> 00:33:36,050
بسيطة الشغلة في دينها إذا بدي أشيل كل N و أكتب

313
00:33:36,050 --> 00:33:41,490
مكانهان ناقص واحد يبقى هذا الكلام يساوي ال

314
00:33:41,490 --> 00:33:47,930
summation ن ناقص واحد تساوي zero الى infinity لل X

315
00:33:47,930 --> 00:33:54,510
أس N ناقص واحد زائد واحد على N ناقص واحد زائد واحد

316
00:33:54,510 --> 00:34:00,390
كله factorial ويساوي ال summation من N equal one

317
00:34:00,390 --> 00:34:06,290
to infinity لل X أس N على N factorial

318
00:34:08,940 --> 00:34:14,520
هل هادى يبقى .. طبعا في constant C1 يبقى هنا زائد

319
00:34:14,520 --> 00:34:25,000
C1 وهنا زائد C1 هل هادى هي ال exponential اللى

320
00:34:25,000 --> 00:34:30,470
عندنا هادى؟ لأ، من هنا بتبدأ من وين؟من اين دي

321
00:34:30,470 --> 00:34:35,230
Zero؟ من هنا بتبدأ من وين؟ بدنا حل هالمشكلة هذه

322
00:34:35,230 --> 00:34:40,170
وديها بالك بدك تحل وتحافظ على المكتسبات الوطنية

323
00:34:40,170 --> 00:34:45,350
اللي عندك هذه اللي حصلت عليها تلعبش يضيعاش ودبر

324
00:34:45,350 --> 00:34:53,110
حالك بأي طريقة رياضية سليمة اقترح ان احنا في أي حد

325
00:34:55,870 --> 00:35:01,410
ممتاز انا بدي شكل يعطيني الشكل هذا يعني بنفع احذف

326
00:35:01,410 --> 00:35:07,570
حد من الحدود من هنا نضيف نضيف مش نحذر طب ما هو

327
00:35:07,570 --> 00:35:13,390
الحد اللي جاي في بالك نضيفه كلام كويس ال zero هل

328
00:35:13,390 --> 00:35:18,910
ال zero بيغير من هذا الشكل بيغير بس ماتحطش zero

329
00:35:18,910 --> 00:35:23,310
حطه بشكل اخر اللي بدك تضيفه بدك تطرحه

330
00:35:26,950 --> 00:35:32,370
أنا لو روحت اضافت واحد و طرحت واحد كان ضائف كم؟

331
00:35:32,370 --> 00:35:39,050
Zero لان ليش اي اشكالية بقول كويس اذا هذه بقدر

332
00:35:39,050 --> 00:35:43,950
اكتبها واحد زاد summation من N equal one to

333
00:35:43,950 --> 00:35:50,770
infinity لل X to the power N على N factorial زاد C

334
00:35:50,770 --> 00:35:57,010
one ناقص واحديبقى اضافت واحد واطرحت واحد كأنه ضايف

335
00:35:57,010 --> 00:36:03,350
Zero كمقترحة أحدكم لكن ال Zero حطيت واحد وسلب واحد

336
00:36:03,350 --> 00:36:10,550
طيب شوف لهذا شو بيساوي هذا summation من N equal

337
00:36:10,550 --> 00:36:15,890
zero to infinity لل X to the power N على N

338
00:36:15,890 --> 00:36:22,930
factorial هذا الجزء يعني هذا صحيحيقولك ماشي مصدق

339
00:36:22,930 --> 00:36:30,170
جرب وضع ن بزيرو فاكتوريا اللي بيجي داشر بواحد هنا

340
00:36:30,170 --> 00:36:33,570
X و Zero بواحد يبقى واحد على واحد بواحد اللي هو

341
00:36:33,570 --> 00:36:38,950
الحد الاول زاد وضع ن بواحد بيجيب الحد التاني و

342
00:36:38,950 --> 00:36:45,190
الحد التالت والربع يبقى بالكلام سليم مائة بالمائة

343
00:36:45,480 --> 00:36:51,220
بالله ان دي زائد مين زاد هذا كله يعتبر constant

344
00:36:51,220 --> 00:36:57,340
كمان بده يسميه C يبقى هذا زائد constant C و ال C

345
00:36:57,340 --> 00:37:04,980
بده يساوي C one ناقص واحد أليست هذه هي ال E و ال 6

346
00:37:04,980 --> 00:37:13,500
زائد constant Cتمام؟ لتركها بكويسها لترك هو اللي

347
00:37:13,500 --> 00:37:18,520
جدر اللي جدرنا بواصفته نوصل للصيغة المطلوبة

348
00:37:18,520 --> 00:37:23,960
ويتكامل EO6 يساوي EO6 زائد constant وبالتالي كأنه

349
00:37:23,960 --> 00:37:29,760
احنا أثبتنا ان تكامل EO6 يساوي EO6 زايد constant

350
00:37:29,760 --> 00:37:35,620
بطريقة غير الطريقة المتعرف عليها قبل ذلك في

351
00:37:35,620 --> 00:37:38,600
section 7 3

352
00:37:48,580 --> 00:37:57,740
طيب، هذا مثال يوضح كيف استخدمنا التكامل في الحصول

353
00:37:57,740 --> 00:38:03,560
على شكل ال series وسليه قبله كانت فاضل، ايوة ما

354
00:38:03,560 --> 00:38:10,450
الاخر خطوة هذه؟ ابدا، لحد اين تمام هذه؟ضيف واحد

355
00:38:10,450 --> 00:38:16,970
واطرح واحد كأنك باقى فى قداش هل تتغير القيمة؟ لأ

356
00:38:16,970 --> 00:38:22,210
بدنا نضيف هي اضفنا واحد واطرحنا واحد الواحد هذا مع

357
00:38:22,210 --> 00:38:26,290
ال summation بدي اجملهم ب summation واحد يبقى هي

358
00:38:26,290 --> 00:38:29,810
جمالتهم ب summation واحد ممكن و لا مش ممكن تعالى

359
00:38:29,810 --> 00:38:35,670
نشوف حط N ب Zero بطلع الحد الاول عندك بواحدحط in

360
00:38:35,670 --> 00:38:38,310
من واحد إلى المقل النهائي بيعطيك ال sub machine

361
00:38:38,310 --> 00:38:42,670
التاني يبقى كلامنا سليم مئة بالمئة جينا على ال C

362
00:38:42,670 --> 00:38:46,310
والنقص واحد هذا كله constant سميته constant z

363
00:38:46,310 --> 00:38:50,390
ويسوى من C sub machine هو ال exponential function

364
00:38:50,390 --> 00:38:55,330
وده ال constant يبقى فعلا تكمل E وال6 بE وال6 زاد

365
00:38:55,330 --> 00:39:01,230
constant C طيب برضه بيناعطيك كمان مثال على هذا

366
00:39:01,230 --> 00:39:07,010
الموضوع وفتح عينك كويس دجج معايامثال رقم اتنين

367
00:39:07,010 --> 00:39:15,570
بيقول

368
00:39:15,570 --> 00:39:20,950
find a function

369
00:39:20,950 --> 00:39:29,730
f of x that represented

370
00:39:29,730 --> 00:39:31,690
by

371
00:39:37,510 --> 00:39:41,970
بعد عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

372
00:39:41,970 --> 00:39:56,610
عملية عملية عملية عملية عملية

373
00:39:59,320 --> 00:40:05,580
the result استخدم النتيجة اللي حصلت عليها to find

374
00:40:05,580 --> 00:40:10,080
a

375
00:40:10,080 --> 00:40:16,240
power series that

376
00:40:16,240 --> 00:40:22,120
represent that represent

377
00:40:22,120 --> 00:40:25,240
that

378
00:40:25,240 --> 00:40:27,780
represent the following

379
00:40:33,020 --> 00:40:39,520
التي تمثل الدوالة التالية الدالة الأولى نمره A

380
00:40:39,520 --> 00:40:47,120
الـG of X يساوي واحد على واحد زائد X لكل تربية

381
00:40:47,120 --> 00:40:56,660
نمره B الـG of X بده يساوي Len واحد زائد X

382
00:41:29,460 --> 00:41:35,240
هاتلي دالة تمثل هذه الـ Power Series

383
00:41:42,560 --> 00:41:48,140
بعد هيك النتيجة اللى تحصل عليها بدك تستخدمها في

384
00:41:48,140 --> 00:41:52,280
الحصول على power series لتو functions اللى عندك

385
00:41:52,280 --> 00:41:57,680
يعني عملية عكسية ماتيني power series بد اتدلتها

386
00:41:57,680 --> 00:42:01,460
تبعتها يبقى سعر اندي دالة و سعر power series بد

387
00:42:01,460 --> 00:42:07,160
تستخدم هذه النتيجة للحصول على شكل ال power series

388
00:42:07,160 --> 00:42:13,760
لها تين اتدلتينكم مطموض عندي في السؤال؟ ثلاثة،

389
00:42:13,760 --> 00:42:17,480
خلّينا المطموض الأول نجيبه وبعدين بروح ندور على A

390
00:42:17,480 --> 00:42:21,980
وBيبقى بدنا نيجي المطلوب الأول قبل ما نبدأ المطلوب

391
00:42:21,980 --> 00:42:26,220
الأول بدي أعرف ما هو الشكل ال power series اللي

392
00:42:26,220 --> 00:42:30,700
معطهالي هذه يبقى باجي بقوله summation من n equal

393
00:42:30,700 --> 00:42:35,640
zero to infinity لسالب واحد to the power n لل x to

394
00:42:35,640 --> 00:42:41,680
the power n هذه واحد ناقص x زائد x تربية ناقص x

395
00:42:41,680 --> 00:42:46,660
تكييب زائد ناقص واحد to the power n x to the power

396
00:42:46,660 --> 00:42:54,300
n زائد إلى آخرينطيب السؤال هو مين ال series هذه هل

397
00:42:54,300 --> 00:42:59,540
واحدة هذه من التلاتة series المشهورة ال geometric

398
00:42:59,540 --> 00:43:07,240
ال P ال harmonic هذه واحدة منهم geometric ليش اجسم

399
00:43:07,240 --> 00:43:14,240
اي حد على السابق له بطلع كله سالب X يبقى هذه بقوله

400
00:43:14,240 --> 00:43:21,810
convert geometric seriesإذا كان ال absolute value

401
00:43:21,810 --> 00:43:26,910
ل R هو absolute value ل سلب X قداش absolute value

402
00:43:26,910 --> 00:43:32,410
ل سلب X أليس هو absolute value ل X وهذا يجب أن

403
00:43:32,410 --> 00:43:35,830
يكون أقل من واحد إذا كان ال absolute value ل X أقل

404
00:43:35,830 --> 00:43:37,950
من واحد إذا كان ال absolute value ل X أقل من واحد

405
00:43:37,950 --> 00:43:42,690
إذا كان ال absolute value ل X أقل من واحد إذا كان

406
00:43:42,690 --> 00:43:42,910
ال absolute value ل X أقل من واحد إذا كان ال

407
00:43:42,910 --> 00:43:46,030
absolute value ل X أقل من واحد إذا كان ال absolute

408
00:43:46,030 --> 00:43:55,900
value ل X أقل من واحدinterval of convergence as

409
00:43:55,900 --> 00:43:58,120
سالب واحد و واحد

410
00:44:02,490 --> 00:44:06,490
يبقى الرياضة اصلا كده؟ برضه واحد بهمني شرية دي

411
00:44:06,490 --> 00:44:11,090
الصينة خلاص نجيبناله فترة التقارب تبع ال series

412
00:44:11,090 --> 00:44:16,070
يبقى على فترة التقارب من سلب واحد إلى واحد بقدر

413
00:44:16,070 --> 00:44:21,890
اوجد مجموع هذه ال series جالي هاتلي الدالة التي

414
00:44:21,890 --> 00:44:30,180
تمثل هذه ال power series يبقى باجي بقوله the sumof

415
00:44:30,180 --> 00:44:40,540
the series S ال S تساوي الحد الأول على واحد ناقص

416
00:44:40,540 --> 00:44:48,620
الأساس هذا شو بيعطينا؟ هذا بيعطينا أن ال S يساوي

417
00:44:48,620 --> 00:44:55,930
واحد على واحد زائد ال X أليس هذه function في X؟صح

418
00:44:55,930 --> 00:45:03,190
ولا لا؟ يبقى هذه بدها تساوي ال F of X تمام تمام

419
00:45:03,190 --> 00:45:09,990
يبقى هاي كتبتله المجموع تبع ال series as a

420
00:45:09,990 --> 00:45:14,690
function هات ال F of X التي تمثل بال power series

421
00:45:14,690 --> 00:45:18,390
يبقى كأنه جمعت ال power series فطلها المجموع

422
00:45:18,390 --> 00:45:25,940
بالشكل هذا يبقى هذا الذي يساوي منF of X. إذا خلصنا

423
00:45:25,940 --> 00:45:31,680
المطلوب الأول جيبنا دالة ان ال power series عندها

424
00:45:31,680 --> 00:45:36,660
المُعطَع يبقى ال power series كان هبقى L 1 على 1

425
00:45:36,660 --> 00:45:42,660
زائد X. تمام؟ طبعا كويس. بدنا نيجي الآن للمطلوب

426
00:45:42,660 --> 00:45:48,700
الأولجاب المبدأ المطلوب الأول بدي أقوله f of x ليه

427
00:45:48,700 --> 00:45:54,280
واحد على واحد زائد x وليه بدي تساوي واحد ناقص x

428
00:45:54,280 --> 00:46:00,340
زائد x تربية ناقص x تكييب زائد ناقص one to the

429
00:46:00,340 --> 00:46:04,060
power n x to the power n زائد إلى آخرين

430
00:46:09,070 --> 00:46:16,440
هذه المقارنة هي نفس النتيجة بس المقارنة مربعيعني

431
00:46:16,440 --> 00:46:21,200
نربعها و نمشي الحال خلاصنا طيب خلنا نناقش احنا

432
00:46:21,200 --> 00:46:27,380
وياكم لو ترمين وربعتهم بتطلع تلت ترمات ودي سهل

433
00:46:27,380 --> 00:46:32,880
مربع الأول اتنين حصل ضرب اتنين مربع التاني سهل طيب

434
00:46:32,880 --> 00:46:38,680
لو كانوا تلاتة بيبدأ الحرارة ترتفع عندك بتقدروا

435
00:46:38,680 --> 00:46:43,620
تلت ترمات زي تلت ترمات اضربهم ببعض طيب لو قلت خلي

436
00:46:43,620 --> 00:46:50,080
تملك أربعةبتبقى النبض يرتفع، مش هيك؟ لو قولتلك خمس

437
00:46:50,080 --> 00:46:55,040
ترمات، ستة بعشر ترمات، وقول اه ورا دي بدي أقعد

438
00:46:55,040 --> 00:46:59,360
ساعتين وانا أضرب فيهم ولا تلت ساعات، فما بالك إذا

439
00:46:59,360 --> 00:47:04,080
كان مالة نهاية من الحدود، يبقى إحكاية إن ربي

440
00:47:04,080 --> 00:47:10,480
أحصفها على شجة ده بتوصلكش إلى نتيجةطبعا فادبر حالك

441
00:47:10,480 --> 00:47:14,380
شو موضوع ده هنا موضوع من derivative term by term

442
00:47:14,380 --> 00:47:18,920
او integration term by term بدي بسأل نفسي هل الدلة

443
00:47:18,920 --> 00:47:23,240
دي لو عملت لها derivative او integral بحصل على

444
00:47:23,240 --> 00:47:28,740
واحد على واحد زي ديكستربية نشتاق نشتاق اذا لو

445
00:47:28,740 --> 00:47:33,040
اشتقنا بتطلع الدلة المطلوبة بقولك كويس يبقى اذا

446
00:47:33,040 --> 00:47:37,360
تعال نشتاق .. ماجالليش هو اشتق انا لحالة أرفكهذا

447
00:47:37,360 --> 00:47:41,640
يجب أن تبقى دقيق الملاحظة لما هو المطلوب، أما لو

448
00:47:41,640 --> 00:47:45,440
ربعتها تقول تربيها 12 أكل استراليزي، تقول يا الله

449
00:47:45,440 --> 00:47:49,010
من أعرففيش حاجة مش عارف انت بيجي جيبلي ال series

450
00:47:49,010 --> 00:47:53,470
اللي تمثله هذه الدلة و بعدين جالك ايش مش جالك روح

451
00:47:53,470 --> 00:47:58,970
ربها جالك use the result يعني قيدك كيف تشتغل بقوله

452
00:47:58,970 --> 00:48:05,310
انا بروح اشتقها يبقى هذه ال F prime of X سالب واحد

453
00:48:05,310 --> 00:48:10,710
على واحد زائد X لكل تربية whatو ساوي اظن الأول

454
00:48:10,710 --> 00:48:18,520
بيروح ناقص واحدزيدي اتنين X ناقص ثلاثة X تربية زيد

455
00:48:18,520 --> 00:48:25,360
أبصر مين؟ زائد ناقص واحد to the power N في ال N في

456
00:48:25,360 --> 00:48:29,140
ال X أس N ناقص واحد إلى ما شاء الله

457
00:48:31,830 --> 00:48:35,470
طب انا بديش سالب واحد على المقدار اللي عناها، بدي

458
00:48:35,470 --> 00:48:39,330
بياها مين؟ بالموجب، إذا بدي أضغط الطرفين كله في

459
00:48:39,330 --> 00:48:45,590
إشارة يبقى بيصير الـG of X اللي بده إياها واحد على

460
00:48:45,590 --> 00:48:52,030
واحد زاد X لكل تربية يساوي واحدنقص اتنين اكس زائد

461
00:48:52,030 --> 00:48:58,370
تلاتة اكس تربية نقص ابصر مين زائد نقص واحد قص ابصر

462
00:48:58,370 --> 00:49:04,990
جديش ان اكس نقص واحد زائد نقص واحد قص جديش

463
00:49:11,550 --> 00:49:15,650
أنا عندى ناقص واحد أس ان في الأصل وجدوا كمان إشارة

464
00:49:15,650 --> 00:49:18,770
سالب يعني كمان سالب واحد يبقى صير سالب واحد أس

465
00:49:18,770 --> 00:49:26,770
كده؟ N زائد واحد يبقى بصير أس N زائد واحد وهي هي

466
00:49:26,770 --> 00:49:32,870
سيدي على الشكل summation لناقص واحد أس N زائد واحد

467
00:49:32,870 --> 00:49:39,270
لل N X أس N ناقص واحد وال summation ببدأ من وين؟من

468
00:49:39,270 --> 00:49:46,950
عند الواحد لأنه طار أول term تمام؟ اللي هي مين؟

469
00:49:46,950 --> 00:49:52,230
انت عندك سالب واحد قسين أجاله كمان سالب واحد قس

470
00:49:52,230 --> 00:49:58,290
واحد بصير كده؟ تساوة الأساسات بنجمع الأساس بصير N

471
00:49:58,290 --> 00:50:04,090
زائد واحد خلصنا؟ يبقى يا بيخليها زي هيك يا حابب

472
00:50:04,390 --> 00:50:09,450
أخلّيها من عند ال zero بروح بشيل كل N و بحط مكانها

473
00:50:09,450 --> 00:50:14,750
N زائد واحد حابب زيكي أهلا وسهلا بدكش تقولي ال

474
00:50:14,750 --> 00:50:20,110
summation من عند ال zero ل infinity لنقص واحد أس N

475
00:50:20,110 --> 00:50:29,180
زائد اتنين لل N زائد واحد لل X أس Nيعني شيلت كل

476
00:50:29,180 --> 00:50:33,740
إنه حطيت مكانها، انزلت، كتبتها على الصيغة هذه، و

477
00:50:33,740 --> 00:50:38,560
الله على الصيغة هذه، الأتنين are the same طيب،

478
00:50:38,560 --> 00:50:43,200
خلصنا، نمر بيه؟ نمر بيه جالي هاتلي الدالة هذه،

479
00:50:43,200 --> 00:50:48,220
الدالة هذه عبارة عن إيش؟تكامل الدالة هذه مظبوط إذا

480
00:50:48,220 --> 00:50:56,740
لو جي تقوله ها ال جي of X هي تكامل واحد على واحد

481
00:50:56,740 --> 00:51:02,200
زائد X DX معناته الدالة اللي فوق بدي أعملها إيش

482
00:51:02,200 --> 00:51:08,660
integration term by term يبقى X ناقص X تربيه على

483
00:51:08,660 --> 00:51:12,380
اتنين زاد X تكيب على تلاتة

484
00:51:32,480 --> 00:51:39,300
يبقى هذا نتيجة التكامل بروح اضيف له زائد constant

485
00:51:39,300 --> 00:51:47,260
Cكويس الان شوفيش النتيجة اللى حصلنا عليها الان

486
00:51:47,260 --> 00:51:52,580
قولنا زيادة كونستانسية احنا عندنا ال interval و ال

487
00:51:52,580 --> 00:51:56,840
convergence اللى هذى اتدالى من و لا وين يعني محتوى

488
00:51:56,840 --> 00:52:07,280
على ال zero كويس بدي بقوله at x يساوي zeroبس قبل

489
00:52:07,280 --> 00:52:12,700
ال X يستوي Zero التكامل هذي بقداش أبلن absolute

490
00:52:12,700 --> 00:52:18,560
value ل 1 زائد X بدي أشوف هل ال absolute هذي

491
00:52:18,560 --> 00:52:22,510
ضرورية ولا ماهياش ضروريةأحنا عندنا ال interval من

492
00:52:22,510 --> 00:52:28,210
واحد لسالب واحد لا بيساوي واحد ولا بيساوي سالب

493
00:52:28,210 --> 00:52:33,290
واحد إذا عمره المقدار بين القوسين بدي أخد قيمة

494
00:52:33,290 --> 00:52:38,670
سالبة مش إمكانية على ال interval من سالب واحد إلى

495
00:52:38,670 --> 00:52:44,970
واحد يعني أكبر من سالب واحد و أجل من واحد إذا لا

496
00:52:44,970 --> 00:52:51,660
يمكن هذا عمره ياخد قيمةسالبة يبقى هذا بده يساوي لن

497
00:52:51,660 --> 00:52:58,580
واحد زائد X on الفترة من سالب واحد إلى واحد يبقى

498
00:52:58,580 --> 00:53:05,660
ايش حصل عندنا حصل عندنا اللي هو لن وقبل لن واحد

499
00:53:05,660 --> 00:53:13,700
زائد Xبالشكل أن هذا اللي هو g of x بده يسوي قداش x

500
00:53:13,700 --> 00:53:20,580
ناقص x تربيه على 2 زيد x تكيب على 3 ناقص x أربع

501
00:53:20,580 --> 00:53:27,780
على 4 زائد ناقص 1 to the power n x أس n زائد 1 n

502
00:53:27,780 --> 00:53:33,140
زائد 1 زائد constant Cالان zero موجود في الفترة

503
00:53:33,140 --> 00:53:37,260
عادية صحيح ولا لا ممكن احسب ال constant عند ال

504
00:53:37,260 --> 00:53:45,160
zero فبجي بقوله at x يساوي zero ويهربحط x بزيرو

505
00:53:45,160 --> 00:53:51,600
بظهر جداش لن الواحد لن الواحد اللي هو بزيرو زيرو

506
00:53:51,600 --> 00:53:57,200
زيرو كله زائد زيرو زائد زيرو زائد مش عارف ايه زائد

507
00:53:57,200 --> 00:54:01,560
ال constant c يبقى بناء عليها ال c جداش بده يساوي

508
00:54:01,560 --> 00:54:09,600
يبقى ال c بيساوي زيرو اذا أصبح عندي لن واحد زائد x

509
00:54:09,600 --> 00:54:21,210
هو x ناقص x تربيه علىاتنين زائدx تكيب على 3 ناقص x

510
00:54:21,210 --> 00:54:28,490
أس 4 على 4 زائد ناقص 1 to the power n x to the

511
00:54:28,490 --> 00:54:33,990
power n plus 1 على n plus 1 أو إذا حبيت تكتبها

512
00:54:33,990 --> 00:54:40,170
summation من عند ال n equal 0 to infinity لسالب 1

513
00:54:40,170 --> 00:54:47,620
to the power n ل x أس n زائد 1على n زائد واحد

514
00:54:47,620 --> 00:54:54,240
انتهى ال section وإليكم أرقام المسائل يبقى

515
00:54:54,240 --> 00:55:08,640
exercises اللي هو عشرة exercises عشرة عشرة سبعة

516
00:55:08,640 --> 00:55:15,290
عشرة سبعةالمسائل يا سيدي من واحد لتمانية واربعين

517
00:55:15,290 --> 00:55:25,430
من واحد لتمانية واربعين multiple of three الامتحان

518
00:55:25,430 --> 00:55:29,470
واصل حتى نهاية هذا ال section يعني ال section اللي

519
00:55:29,470 --> 00:55:35,030
نبدأ بكرا ان شاء الله مش داخل في الامتحان القادم

520
00:55:35,490 --> 00:55:40,350
يعني ابتداء من section تمانية تلاتة وحتى نهاية

521
00:55:40,350 --> 00:55:44,670
section عشرة سبعة ان شاء الله تعالى