{ "exam_metadata": { "branch": "Matematik", "stage": 2, "type": "question_and_solution", "year": 2019, "level": "middle_school", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "total_questions_found": 6, "language": "TR", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_folder": "Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019", "page_count": 3 }, "global_parameters": { "constants": {}, "formulas": [], "rules": [], "raw_text": "\n\nTÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU \n\n\n27. Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı\nİkinci Aşama Sınavı \n\n\n21 Aralık 2019 \n\n\nÇözümler" }, "questions": [ { "question_id": "2019-MATM-2-Q1", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "question_number": 1, "day_index": null, "char_start": 0, "char_end": 497, "status": "active", "cancellation_reason": null, "parent_context": null, "language_pairing": null, "question_stem": "\\(a\\) ve \\(n\\) pozitif tam sayılar ve \\(p\\) asal sayı olmak üzere \n\nequation\n\\[2a^2 + 3a - 44 = 3p^n\\]\n\n\ndenklemini sağlayan tüm \\((a, n, p)\\) üçlülerini bulunuz.", "options": [], "sub_questions": [], "premises": [], "has_figure": false, "has_choices": false, "visual_references": [ { "tag": "text", "bbox": [ 255, 81, 780, 103 ], "char_start": 17, "char_end": 72, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 295, 106, 737, 156 ], "char_start": 123, "char_end": 179, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 450, 163, 585, 182 ], "char_start": 243, "char_end": 299, "type": "ref_det" } ], "code_blocks": [], "latex_blocks": [ { "mode": "display", "content": "\\[2a^2 + 3a - 44 = 3p^n\\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] } ], "data_tables": [], "competitive_programming": null, "solution": { "explanation_text": "** Cevap: \\((5, 1, 7)\\), \\((7, 2, 5)\\) ve \\((23, 2, 19)\\). \n\n\nÖncelikle \\(2a^2 + 3a - 44 = (2a + 11)(a - 4)\\) olduğunu gözlemleyelim. \\(a > 0\\) ve \\(3p^n > 0\\) olduğundan \\(a > 4\\) olduğu görülür.. \\((2a + 11, a - 4) = d\\) olsun. O halde \\(d|2a + 11 - 2(a - 4) = 19\\) olur ve buradan \\(d \\in \\{1, 19\\}\\) olduğu görülür.", "solution_variants": [], "nested_proof_steps": [ { "type": "gözlem", "label": null, "content": "leyelim. \\(a > 0\\) ve \\(3p^n > 0\\) olduğundan \\(a > 4\\) olduğu görülür.. \\((2a + 11, a - 4) = d\\) olsun. O halde \\(d|2a + 11 - 2(a - 4) = 19\\) olur ve buradan \\(d \\in \\{1, 19\\}\\) olduğu görülür." } ], "derivation_steps": [], "solving_technique": null, "assumptions": [] }, "answer": { "answer_key": null, "short_answer": null, "symbolic_answer": null, "answer_frame_guidelines": null }, "scoring": { "scoring_weight": 7, "scoring_logic": null, "subtask_points": [] }, "topic_metadata": { "t_code": null, "discipline": "Sayılar Teorisi", "section_title": null, "keywords": [], "topic_tags": [ "Sayılar Teorisi", "Cebir" ] }, "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" }, "raw_text": "\\(a\\) ve \\(n\\) pozitif tam sayılar ve \\(p\\) asal sayı olmak üzere \n\nequation\n\\[2a^2 + 3a - 44 = 3p^n\\]\n\n\ndenklemini sağlayan tüm \\((a, n, p)\\) üçlülerini bulunuz. \n\n\n**Çözüm:** Cevap: \\((5, 1, 7)\\), \\((7, 2, 5)\\) ve \\((23, 2, 19)\\). \n\n\nÖncelikle \\(2a^2 + 3a - 44 = (2a + 11)(a - 4)\\) olduğunu gözlemleyelim. \\(a > 0\\) ve \\(3p^n > 0\\) olduğundan \\(a > 4\\) olduğu görülür.. \\((2a + 11, a - 4) = d\\) olsun. O halde \\(d|2a + 11 - 2(a - 4) = 19\\) olur ve buradan \\(d \\in \\{1, 19\\}\\) olduğu görülür.", "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_question.png", "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_solution.png", "inline_image_paths": [ "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_inline_1.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_inline_2.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_inline_3.png" ] }, { "question_id": "2019-MATM-2-Q1", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "question_number": 1, "day_index": null, "char_start": 499, "char_end": 858, "status": "active", "cancellation_reason": null, "parent_context": null, "language_pairing": null, "question_stem": "Durum: \\((2a + 11, a - 4) = 1\\). \n\n\nBu durumda \\(2a + 11\\) ve \\(a - 4\\) aralarında asal olduğundan tam olarak biri \\(p^n\\) ile bölünür ve dolayısıyla diğeri de 1 veya 3 olmalıdır. \\(2a + 11 \\ge 13\\) olduğu için \\(a - 4 \\in \\{1, 3\\}\\) olur. Başka bir deyişle, \\(a = 5\\) veya \\(a = 7\\). Bu iki durumdan \\((5, 1, 7)\\) ve \\((7, 2, 5)\\) çözümleri elde edilir.", "options": [], "sub_questions": [], "premises": [], "has_figure": false, "has_choices": false, "visual_references": [ { "tag": "equation", "bbox": [ 426, 290, 603, 310 ], "char_start": 512, "char_end": 572, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 91, 325, 536, 345 ], "char_start": 600, "char_end": 655, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 91, 361, 494, 383 ], "char_start": 716, "char_end": 771, "type": "ref_det" } ], "code_blocks": [], "latex_blocks": [], "data_tables": [], "competitive_programming": null, "solution": null, "answer": { "answer_key": null, "short_answer": null, "symbolic_answer": null, "answer_frame_guidelines": null }, "scoring": { "scoring_weight": 7, "scoring_logic": null, "subtask_points": [] }, "topic_metadata": { "t_code": null, "discipline": "Sayılar Teorisi", "section_title": null, "keywords": [], "topic_tags": [ "Sayılar Teorisi" ] }, "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" }, "raw_text": "Durum: \\((2a + 11, a - 4) = 1\\). \n\n\nBu durumda \\(2a + 11\\) ve \\(a - 4\\) aralarında asal olduğundan tam olarak biri \\(p^n\\) ile bölünür ve dolayısıyla diğeri de 1 veya 3 olmalıdır. \\(2a + 11 \\ge 13\\) olduğu için \\(a - 4 \\in \\{1, 3\\}\\) olur. Başka bir deyişle, \\(a = 5\\) veya \\(a = 7\\). Bu iki durumdan \\((5, 1, 7)\\) ve \\((7, 2, 5)\\) çözümleri elde edilir.", "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_question.png", "solution_image_path": null, "inline_image_paths": [ "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_inline_1.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_inline_2.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q1_inline_3.png" ] }, { "question_id": "2019-MATM-2-Q2", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "question_number": 2, "day_index": null, "char_start": 860, "char_end": 1140, "status": "active", "cancellation_reason": null, "parent_context": null, "language_pairing": null, "question_stem": "Durum: \\((2a + 11, a - 4) = 19\\). \n\n\nBu durumda \\(p = 19\\) olur ve dolayısıyla \\(2a + 11\\) ve \\(a - 4\\) sayılarından birinin 19 veya \\(3 \\cdot 19 = 57\\) olması gerektiği görülür. O halde \\(a \\in \\{4, 23, 61\\}\\) elde edilir. Bu durumlardan sadece \\((23, 2, 19)\\) çözümü gelir.", "options": [], "sub_questions": [], "premises": [], "has_figure": false, "has_choices": false, "visual_references": [], "code_blocks": [], "latex_blocks": [], "data_tables": [], "competitive_programming": null, "solution": null, "answer": { "answer_key": null, "short_answer": null, "symbolic_answer": null, "answer_frame_guidelines": null }, "scoring": { "scoring_weight": 7, "scoring_logic": null, "subtask_points": [] }, "topic_metadata": { "t_code": null, "discipline": null, "section_title": null, "keywords": [], "topic_tags": [] }, "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" }, "raw_text": "Durum: \\((2a + 11, a - 4) = 19\\). \n\n\nBu durumda \\(p = 19\\) olur ve dolayısıyla \\(2a + 11\\) ve \\(a - 4\\) sayılarından birinin 19 veya \\(3 \\cdot 19 = 57\\) olması gerektiği görülür. O halde \\(a \\in \\{4, 23, 61\\}\\) elde edilir. Bu durumlardan sadece \\((23, 2, 19)\\) çözümü gelir.", "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q2_question.png", "solution_image_path": null, "inline_image_paths": [] }, { "question_id": "2019-MATM-2-Q2", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "question_number": 2, "day_index": null, "char_start": 1142, "char_end": 2271, "status": "active", "cancellation_reason": null, "parent_context": null, "language_pairing": null, "question_stem": "\\(x, y, z\\) pozitif gerçel sayıları \\(xy + yz + zx = x^5 + y^5 + z^5\\) eşitliğini sağlıyorsa \n\nequation\n\\[x^2y + y^2z + z^2x \\le 3\\]\n\n\nolduğunu gösteriniz.", "options": [], "sub_questions": [], "premises": [], "has_figure": false, "has_choices": false, "visual_references": [ { "tag": "text", "bbox": [ 91, 472, 365, 490 ], "char_start": 1157, "char_end": 1212, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 91, 490, 944, 547 ], "char_start": 1251, "char_end": 1306, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 91, 563, 373, 583 ], "char_start": 1628, "char_end": 1683, "type": "ref_det" } ], "code_blocks": [], "latex_blocks": [ { "mode": "display", "content": "\\[x^2y + y^2z + z^2x \\le 3\\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] }, { "mode": "display", "content": "\\[ \n\\begin{align*}\nx^5 + y^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5xy \\\\\nx^5 + z^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5xz \\\\\nz^5 + y^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5yz\n\\end{align*}\n\\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] }, { "mode": "display", "content": "\\[\n\\begin{align*}\n\\overbrace{x^5 + \\cdots + x^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{xy + \\cdots + xy}^{10 \\text{ tane}} + y^5 &\\ge 15x^2y \\\\\n\\overbrace{y^5 + \\cdots + y^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{yz + \\cdots + yz}^{10 \\text{ tane}} + yz^2 &\\ge 15y^2z \\\\\n\\overbrace{z^5 + \\cdots + z^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{xz + \\cdots + xz}^{10 \\text{ tane}} + xz^2 &\\ge 15z^2x\n\\end{align*}\n\\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] }, { "mode": "display", "content": "\\[\nx^2y + y^2z + z^2x \\le A\n\\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] } ], "data_tables": [], "competitive_programming": null, "solution": { "explanation_text": "** \\(A = xy + yz + xz = x^5 + y^5 + z^5\\) olsun. AGO eşitsizliğinden \n\nequation\n\\[ \n\\begin{align*}\nx^5 + y^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5xy \\\\\nx^5 + z^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5xz \\\\\nz^5 + y^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5yz\n\\end{align*}\n\\]\n\n\nelde edilir ve bu eşitsizlikler taraf tarafa toplandığında \\(2A + 9 \\ge 5A\\) bulunur. O halde \\(A \\le 3\\).\n\n---\nequation\n\\[\n\\begin{align*}\n\\overbrace{x^5 + \\cdots + x^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{xy + \\cdots + xy}^{10 \\text{ tane}} + y^5 &\\ge 15x^2y \\\\\n\\overbrace{y^5 + \\cdots + y^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{yz + \\cdots + yz}^{10 \\text{ tane}} + yz^2 &\\ge 15y^2z \\\\\n\\overbrace{z^5 + \\cdots + z^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{xz + \\cdots + xz}^{10 \\text{ tane}} + xz^2 &\\ge 15z^2x\n\\end{align*}\n\\]\n\n\neşitsizlikleri elde edilir ve bunlar taraf tarafa toplanıp her iki taraf 15 ile bölündüğünde \n\nequation\n\\[\nx^2y + y^2z + z^2x \\le A\n\\]\n\n\nolduğu görülür. Sonuç olarak, \\(A \\le 3\\) olduğundan \\(x^2y + y^2z + z^2x \\le 3\\) elde edilir.", "solution_variants": [], "nested_proof_steps": [], "derivation_steps": [], "solving_technique": null, "assumptions": [] }, "answer": { "answer_key": null, "short_answer": null, "symbolic_answer": null, "answer_frame_guidelines": null }, "scoring": { "scoring_weight": 7, "scoring_logic": null, "subtask_points": [] }, "topic_metadata": { "t_code": null, "discipline": "Cebir", "section_title": null, "keywords": [], "topic_tags": [ "Cebir" ] }, "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" }, "raw_text": "\\(x, y, z\\) pozitif gerçel sayıları \\(xy + yz + zx = x^5 + y^5 + z^5\\) eşitliğini sağlıyorsa \n\nequation\n\\[x^2y + y^2z + z^2x \\le 3\\]\n\n\nolduğunu gösteriniz. \n\n\n**Çözüm:** \\(A = xy + yz + xz = x^5 + y^5 + z^5\\) olsun. AGO eşitsizliğinden \n\nequation\n\\[ \n\\begin{align*}\nx^5 + y^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5xy \\\\\nx^5 + z^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5xz \\\\\nz^5 + y^5 + 1 + 1 + 1 &\\ge 5yz\n\\end{align*}\n\\]\n\n\nelde edilir ve bu eşitsizlikler taraf tarafa toplandığında \\(2A + 9 \\ge 5A\\) bulunur. O halde \\(A \\le 3\\).\n\n---\nequation\n\\[\n\\begin{align*}\n\\overbrace{x^5 + \\cdots + x^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{xy + \\cdots + xy}^{10 \\text{ tane}} + y^5 &\\ge 15x^2y \\\\\n\\overbrace{y^5 + \\cdots + y^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{yz + \\cdots + yz}^{10 \\text{ tane}} + yz^2 &\\ge 15y^2z \\\\\n\\overbrace{z^5 + \\cdots + z^5}^{4 \\text{ tane}} + \\overbrace{xz + \\cdots + xz}^{10 \\text{ tane}} + xz^2 &\\ge 15z^2x\n\\end{align*}\n\\]\n\n\neşitsizlikleri elde edilir ve bunlar taraf tarafa toplanıp her iki taraf 15 ile bölündüğünde \n\nequation\n\\[\nx^2y + y^2z + z^2x \\le A\n\\]\n\n\nolduğu görülür. Sonuç olarak, \\(A \\le 3\\) olduğundan \\(x^2y + y^2z + z^2x \\le 3\\) elde edilir.", "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q2_question.png", "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q2_solution.png", "inline_image_paths": [ "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q2_inline_1.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q2_inline_2.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q2_inline_3.png" ] }, { "question_id": "2019-MATM-2-Q3", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "question_number": 3, "day_index": null, "char_start": 2273, "char_end": 3848, "status": "active", "cancellation_reason": null, "parent_context": null, "language_pairing": null, "question_stem": "ABC* üçgeninin iç teğet çemberinin *BC*, *CA* ve *AB* kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla *D*, *E* ve *F* olsun. A köşesine ait iç açıortayın *DE* ve *DF* yi kestiği noktalar *P* ve *Q* olsun. *DPQ* üçgeninin çevrel çember merkezinin [*BC*] nin orta noktası olduğunu gösteriniz.", "options": [], "sub_questions": [], "premises": [], "has_figure": false, "has_choices": false, "visual_references": [ { "tag": "text", "bbox": [ 91, 757, 682, 778 ], "char_start": 2344, "char_end": 2399, "type": "ref_det" }, { "tag": "equation", "bbox": [ 401, 789, 630, 856 ], "char_start": 2479, "char_end": 2539, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 91, 869, 875, 889 ], "char_start": 2675, "char_end": 2730, "type": "ref_det" } ], "code_blocks": [], "latex_blocks": [ { "mode": "display", "content": "\\[\n\\frac{|QD|}{|QF|} \\frac{|EF|}{|PD|} = \\frac{|ER|}{|RF|} = 1\n\\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] }, { "mode": "display", "content": "\\[ \\frac{|NC|}{|NB|} = \\frac{|NC|}{|ND|} \\cdot \\frac{|ND|}{|NB|} = \\frac{|EP|}{|PD|} \\cdot \\frac{|QD|}{|QF|} = 1 \\]", "immutable": true, "sanity_issues": [] } ], "data_tables": [], "competitive_programming": null, "solution": { "explanation_text": "[IMAGE] \n \n\n\n*DPQ* üçgeninin çevrel merkezine *N* ve [*EF*] nin orta noktasına *R* diyelim. Öncelikle *N* noktasının [*BC*] üzerinde olduğunu ispatlayalım. *P* den *AC* ye çizilen paralelin *BC* ile kesişimine *N*₁ dersek, \\(s(\\widehat{DN_1P}) = s(\\widehat{C})\\) ve \\(|N_1D| = |N_1P|\\) elde ederiz. \\(QR \\perp EF\\) ve \\(s(\\widehat{EFD}) = 90^\\circ - \\frac{s(\\widehat{C})}{2}\\) olduğundan, \\(s(\\widehat{PQD}) = 90^\\circ - s(\\widehat{EFD}) = \\frac{s(\\widehat{C})}{2}\\) bulunur. Dolayısıyla \\(s(\\widehat{DN_1P}) = 2 \\cdot s(\\widehat{DQP})\\) ve \\(|N_1D| = |N_1P|\\) olup, \\(N_1 = N\\) elde ederiz ve sonuç olarak \\(N \\in [BC]\\) olur. Ayrıca, \\(N_1 = N\\) olması \\(NP \\parallel EC\\) ve \\(NQ \\parallel BF\\) olduğunu da gösterir. Şimdi, \\(|NB| = |NC|\\) olduğunu göstermeliyiz. \n\n\n*DEF* üçgeninde *P*, *Q*, *R* noktalarına göre Menelaus teoreminden, \n\nequation\n\\[\n\\frac{|QD|}{|QF|} \\frac{|EF|}{|PD|} = \\frac{|ER|}{|RF|} = 1\n\\]\n\n---\nelde ederiz. \\(NQ \\parallel BF\\) olduğundan \\(\\frac{|QD|}{|QF|} = \\frac{|ND|}{|NB|}\\) ve aynı şekilde \\(NP \\parallel EC\\) olduğundan \\(\\frac{|EP|}{|PD|} = \\frac{|NC|}{|ND|}\\) bulunur. Dolayısıyla, \n\nequation\n\\[ \\frac{|NC|}{|NB|} = \\frac{|NC|}{|ND|} \\cdot \\frac{|ND|}{|NB|} = \\frac{|EP|}{|PD|} \\cdot \\frac{|QD|}{|QF|} = 1 \\]\n\n\nelde ederiz ve ispat biter.", "solution_variants": [], "nested_proof_steps": [], "derivation_steps": [], "solving_technique": null, "assumptions": [] }, "answer": { "answer_key": null, "short_answer": null, "symbolic_answer": null, "answer_frame_guidelines": null }, "scoring": { "scoring_weight": 7, "scoring_logic": null, "subtask_points": [] }, "topic_metadata": { "t_code": null, "discipline": "Geometri", "section_title": null, "keywords": [], "topic_tags": [ "Geometri" ] }, "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" }, "raw_text": "ABC* üçgeninin iç teğet çemberinin *BC*, *CA* ve *AB* kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla *D*, *E* ve *F* olsun. A köşesine ait iç açıortayın *DE* ve *DF* yi kestiği noktalar *P* ve *Q* olsun. *DPQ* üçgeninin çevrel çember merkezinin [*BC*] nin orta noktası olduğunu gösteriniz. \n\n\nÇözüm: \n\n [IMAGE] \n \n\n\n*DPQ* üçgeninin çevrel merkezine *N* ve [*EF*] nin orta noktasına *R* diyelim. Öncelikle *N* noktasının [*BC*] üzerinde olduğunu ispatlayalım. *P* den *AC* ye çizilen paralelin *BC* ile kesişimine *N*₁ dersek, \\(s(\\widehat{DN_1P}) = s(\\widehat{C})\\) ve \\(|N_1D| = |N_1P|\\) elde ederiz. \\(QR \\perp EF\\) ve \\(s(\\widehat{EFD}) = 90^\\circ - \\frac{s(\\widehat{C})}{2}\\) olduğundan, \\(s(\\widehat{PQD}) = 90^\\circ - s(\\widehat{EFD}) = \\frac{s(\\widehat{C})}{2}\\) bulunur. Dolayısıyla \\(s(\\widehat{DN_1P}) = 2 \\cdot s(\\widehat{DQP})\\) ve \\(|N_1D| = |N_1P|\\) olup, \\(N_1 = N\\) elde ederiz ve sonuç olarak \\(N \\in [BC]\\) olur. Ayrıca, \\(N_1 = N\\) olması \\(NP \\parallel EC\\) ve \\(NQ \\parallel BF\\) olduğunu da gösterir. Şimdi, \\(|NB| = |NC|\\) olduğunu göstermeliyiz. \n\n\n*DEF* üçgeninde *P*, *Q*, *R* noktalarına göre Menelaus teoreminden, \n\nequation\n\\[\n\\frac{|QD|}{|QF|} \\frac{|EF|}{|PD|} = \\frac{|ER|}{|RF|} = 1\n\\]\n\n---\nelde ederiz. \\(NQ \\parallel BF\\) olduğundan \\(\\frac{|QD|}{|QF|} = \\frac{|ND|}{|NB|}\\) ve aynı şekilde \\(NP \\parallel EC\\) olduğundan \\(\\frac{|EP|}{|PD|} = \\frac{|NC|}{|ND|}\\) bulunur. Dolayısıyla, \n\nequation\n\\[ \\frac{|NC|}{|NB|} = \\frac{|NC|}{|ND|} \\cdot \\frac{|ND|}{|NB|} = \\frac{|EP|}{|PD|} \\cdot \\frac{|QD|}{|QF|} = 1 \\]\n\n\nelde ederiz ve ispat biter.", "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q3_question.png", "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q3_solution.png", "inline_image_paths": [ "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q3_inline_1.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q3_inline_2.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q3_inline_3.png" ] }, { "question_id": "2019-MATM-2-Q4", "format_id": "FMT_MATH_MID_2_QS", "question_number": 4, "day_index": null, "char_start": 3850, "char_end": 6163, "status": "active", "cancellation_reason": null, "parent_context": null, "language_pairing": null, "question_stem": "Her biri renkli toplar içeren 27 karton kutu ve 27 plastik kutu bulunuyor. Aynı türden herhangi iki kutuda aynı renkte top bulunmuyor fakat farklı türden herhangi iki kutuda aynı renkte top bulunuyor. Her adımda, farklı türden kutularda bulunan aynı renkte iki top seçip bunları istediğimiz bir renge boyuyoruz. Başlangıç durumu nasıl olursa olsun, en fazla \\(n\\) adım sonucunda her kutunun aynı renkte en az iki top içermesini sağlayabiliyorsak, \\(n\\) en az kaç olabilir?", "options": [], "sub_questions": [], "premises": [], "has_figure": false, "has_choices": false, "visual_references": [ { "tag": "text", "bbox": [ 88, 419, 176, 439 ], "char_start": 4050, "char_end": 4105, "type": "ref_det" }, { "tag": "image", "bbox": [ 312, 451, 725, 679 ], "char_start": 4115, "char_end": 4172, "type": "ref_det" }, { "tag": "text", "bbox": [ 88, 700, 944, 849 ], "char_start": 4176, "char_end": 4231, "type": "ref_det" } ], "code_blocks": [], "latex_blocks": [], "data_tables": [], "competitive_programming": null, "solution": { "explanation_text": "** Cevap: 41. \n\n\nİlk önce 41 işlemin yeterli olacağını gösterelim. Kutuları her biri 2 karton ve 2 plastik kutu içeren 12 gruba ve 3 karton ve 3 plastik kutu içeren bir diğer gruba ayıralım. Birinci grubun \\(K_1\\) kutusundaki renkler \\(\\{1, 2, ...\\}\\), \\(K_2\\) kutusundaki renkler \\(\\{3, 4, ...\\}\\), \\(P_1\\) kutusundaki renkler \\(\\{1, 3, ...\\}\\) ve \\(P_2\\) kutusundaki renkler \\(\\{2, 4, ...\\}\\) olsun. Üç işlemde sırasıyla 2, 4 ve 3 renkli topları 1 rengine boyarsak bu gruptaki her kutu istenen koşulusağlayacaktır. Dört kutudan oluşan diğer 11 grupta da benzer şekilde işlemler yaparak 48 kutunun koşulu sağlanmasını sağlayabiliriz. \n\n\nSonuncu grubun \\(K_{25}\\) kutusundaki renkler \\(\\{49, 50, 51, ...\\}\\), \\(K_{26}\\) kutusundaki renkler \\(\\{52, 53, 54, ...\\}\\), \\(K_{27}\\) kutusundaki renkler \\(\\{55, 56, 57, ...\\}\\), \\(P_{25}\\) kutusundaki renkler \\(\\{49, 52, 55, ...\\}\\), \\(P_{26}\\) kutusundaki renkler \\(\\{50, 53, 56, ...\\}\\), ve \\(P_{27}\\) kutusundaki renkler \\(\\{51, 54, 57, ...\\}\\), olsun. Beş işlemde sırasıyla 50, 53, 54, 57 ve 55 renkli topları 49 rengine boyarsak bu gruptaki her kutu istenen koşulu sağlayacaktır. Dolayısıyla \\(3 \\cdot 12 + 5 = 41\\) işlem yeterli olacaktır. \n\n\nŞimdi en az 41 işlem gerektiren bir duruma örnek verelim. Farklı türden herhangi iki kutuda tam olarak bir top çifti aynı renkte olsun. Sadece bir işlem yapılan karton kutu sayısı \\(k\\) olsun. O zaman kalan karton kutulara en az \\(54 - 2k\\) ve toplamda karton kutulara en az \\(54 - k\\) işlem yapılacaktır. Bu \\(k\\) işlem kendi başına hiçbir plastik kutuda aynı renkli iki top oluşturmaz. Buna göre, 27 plastik kutunun her birine bu \\(k\\) işlem dışında işlem yapılması gerekir ve toplamda plastik kutulara en az \\(27 + k\\) işlem yapılacaktır. Sonuç olarak \\(\\max\\{54 - k, 27 + k\\} \\ge 41\\) olduğundan en az 41 işlem gerektiği görülür.", "solution_variants": [], "nested_proof_steps": [], "derivation_steps": [], "solving_technique": null, "assumptions": [] }, "answer": { "answer_key": null, "short_answer": "41.", "symbolic_answer": null, "answer_frame_guidelines": null }, "scoring": { "scoring_weight": 7, "scoring_logic": null, "subtask_points": [] }, "topic_metadata": { "t_code": null, "discipline": "Kombinatorik", "section_title": null, "keywords": [], "topic_tags": [ "Kombinatorik" ] }, "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" }, "raw_text": "Her biri renkli toplar içeren 27 karton kutu ve 27 plastik kutu bulunuyor. Aynı türden herhangi iki kutuda aynı renkte top bulunmuyor fakat farklı türden herhangi iki kutuda aynı renkte top bulunuyor. Her adımda, farklı türden kutularda bulunan aynı renkte iki top seçip bunları istediğimiz bir renge boyuyoruz. Başlangıç durumu nasıl olursa olsun, en fazla \\(n\\) adım sonucunda her kutunun aynı renkte en az iki top içermesini sağlayabiliyorsak, \\(n\\) en az kaç olabilir? \n\n\n**Çözüm:** Cevap: 41. \n\n\nİlk önce 41 işlemin yeterli olacağını gösterelim. Kutuları her biri 2 karton ve 2 plastik kutu içeren 12 gruba ve 3 karton ve 3 plastik kutu içeren bir diğer gruba ayıralım. Birinci grubun \\(K_1\\) kutusundaki renkler \\(\\{1, 2, ...\\}\\), \\(K_2\\) kutusundaki renkler \\(\\{3, 4, ...\\}\\), \\(P_1\\) kutusundaki renkler \\(\\{1, 3, ...\\}\\) ve \\(P_2\\) kutusundaki renkler \\(\\{2, 4, ...\\}\\) olsun. Üç işlemde sırasıyla 2, 4 ve 3 renkli topları 1 rengine boyarsak bu gruptaki her kutu istenen koşulusağlayacaktır. Dört kutudan oluşan diğer 11 grupta da benzer şekilde işlemler yaparak 48 kutunun koşulu sağlanmasını sağlayabiliriz. \n\n\nSonuncu grubun \\(K_{25}\\) kutusundaki renkler \\(\\{49, 50, 51, ...\\}\\), \\(K_{26}\\) kutusundaki renkler \\(\\{52, 53, 54, ...\\}\\), \\(K_{27}\\) kutusundaki renkler \\(\\{55, 56, 57, ...\\}\\), \\(P_{25}\\) kutusundaki renkler \\(\\{49, 52, 55, ...\\}\\), \\(P_{26}\\) kutusundaki renkler \\(\\{50, 53, 56, ...\\}\\), ve \\(P_{27}\\) kutusundaki renkler \\(\\{51, 54, 57, ...\\}\\), olsun. Beş işlemde sırasıyla 50, 53, 54, 57 ve 55 renkli topları 49 rengine boyarsak bu gruptaki her kutu istenen koşulu sağlayacaktır. Dolayısıyla \\(3 \\cdot 12 + 5 = 41\\) işlem yeterli olacaktır. \n\n\nŞimdi en az 41 işlem gerektiren bir duruma örnek verelim. Farklı türden herhangi iki kutuda tam olarak bir top çifti aynı renkte olsun. Sadece bir işlem yapılan karton kutu sayısı \\(k\\) olsun. O zaman kalan karton kutulara en az \\(54 - 2k\\) ve toplamda karton kutulara en az \\(54 - k\\) işlem yapılacaktır. Bu \\(k\\) işlem kendi başına hiçbir plastik kutuda aynı renkli iki top oluşturmaz. Buna göre, 27 plastik kutunun her birine bu \\(k\\) işlem dışında işlem yapılması gerekir ve toplamda plastik kutulara en az \\(27 + k\\) işlem yapılacaktır. Sonuç olarak \\(\\max\\{54 - k, 27 + k\\} \\ge 41\\) olduğundan en az 41 işlem gerektiği görülür.", "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q4_question.png", "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q4_solution.png", "inline_image_paths": [ "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q4_inline_1.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q4_inline_2.png", "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/q4_inline_3.png" ] } ], "global_answer_key": {}, "parent_contexts": [], "page_images": [ { "page_index": 0, "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/page_0000/result_with_boxes.jpg" }, { "page_index": 1, "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/page_0001/result_with_boxes.jpg" }, { "page_index": 2, "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/page_0002/result_with_boxes.jpg" } ], "provenance": { "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/2019.pdf", "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/ortaokulmat/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019/Ortaokul Matematik_2_Ikinci_Asama_2019.mmd", "ocr_engine": "Mathpix-mmd", "is_source": "combined_booklet" } }