Soruna biraz da pratik yönden bakalım:
Süreklilik tanımı böyle yapılırsa verdiğim örnekteki duruma ne diyebiliriz?
Limit alınacak noktanın fonksiyonun yığılma noktası olması koşulundan vazgeçilip, limit tanımı, benzer şekilde ( $\varepsilon-\delta$ ile) yapılırsa (tüm bu durumlarda) HER $L\in\mathbb{R}$ için $\lim_{x\to a}f(x)=L$ olur. (Limitin teklik özelliği bozulur) Bu durumu herhalde istemeyiz.
Buna izin verirsek, örneğimdeki gibi durumlarda $\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$ önermesinin doğru olup olmadığı tartışılacak bir konu haline gelir.
Lise düzeyinde yığılma noktası tanımı yapmak ve fonksiyonun tanım kümesinde ve tanım kümesinin yığılma noktalarında böyle tanımlamak, tanım kümesinin, yığılma noktası olmayan noktalarında fonksiyon süreklidir (veya süreksizdir) şeklinde tanımlamak düşünülebilir.
Birinci sorun: lise düzeyinde yığılma noktası tanımı yapmak bence pek iyi olmaz. Ayrıca iki sürekli fonksiyonun sürekli olduğu durumlarda (toplama,çıkarma vs işlemleri ile) üreteceğimiz üçüncü fonksiyonun sürekli olması önermesi (yığılma noktası olmayan noktalarda sürekli olarak tanımlarsak) doğru olur ama ispatı için değişik durumları incelemek gerekir. Aynı önerme (yığılma noktası olmayan noktalarda süreksiz olarak tanımlarsak) yanlış olur. (Örnek bulmak o kadar zor değil)
Bu nedenle süreklilik tanımı yaparken limit kavramını kullanmamak işi kolaylaştırıyor.
Noktamız aynı zamanda fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktası ise standart ($\varepsilon-\delta$ ile) süreklilik tanımından, bu eşitliği bir teorem olarak kolayca elde ediyoruz.