Matematiği güzelliği, zarafeti ve evrenin dokusuna dokunan örüntüleri kodlama kapasitesi için çalışıyoruz. Şekiller ve formüller içinde, laik algı düzeni ve yaratılış dilinin uzak yakalayıcı yankıları. Matematik, yüce olanı başarır; Bazen, tessellations ile olduğu gibi, sanat yükselir.
Tessellations - tanımlı şekillerdeki aralıksız mozaikler - mimari boyunca tekrarlayan oranlar, sabitler ve desenler türüne aittir, mikroskop altında kendini gösterir ve her petek ve ayçiçeği içinden yayılır. Geometri, fizik, olasılık ve istatistik, hatta jeomorfoloji ve kaos teorisi bile herhangi bir sayıda denklemleri seçin ve bir köşe taşı gibi yer alan pi (π) bulacaksınız. Euler'ın sayısı (e) baş, art arda, radyoaktif bozunma hesaplamaları, bileşik faiz formülleri ve bazı garip olasılık durumlarında tekrar tekrar yükselir. Altın oran (φ), insanların keşfeden önce, sanat, tasarım, mimarlık ve müziğin temelini oluşturmuştu, ayrıca yaprak ve gövdelerin, kemiklerin, damarların ve ayçiçeklerinin doğal düzenlemelerini tanımladılar veya beyin dalgalarının saat döngüsüyle eşleştiler [kaynak: Padovan, Weiss, Roopun]. Hatta başka bir uzun ömürlü desen favori, kendi benzersiz döşeme ilerlemesini üreten Fibonacci dizisi ile bir ilişki taşımaktadır.
Bilim, doğa ve sanat aynı zamanda mozaiklerle kaplıdır. Rep, e ve Like gibi, bu yinelenen kalıpların örnekleri, her gün, gündelik kaldırımlardan, duvar kağıtlarından, yapbozlardan ve karo zeminlerden Hollandalı grafik sanatçısı M.C. Escher, ya da 14. yüzyıla ait Mağribi surlarının nefes kesici çini işi, Granada, İspanya'daki Elhamra. Aslında, "tessellation" kelimesi Tessella, Latince kelimenin küçücük formu mozaik işiBir mozaik içinde bir birey, tipik olarak kare, karo. mozaik işi sırayla Yunanca kelime ortaya çıkabilir tessaresderken, dörde.
Matematik, bilim ve doğa, anlamları ne olursa olsun, bunlar gibi yararlı kalıplara dayanır. Bir mozaik veya gravürün aşkın güzelliğinin ötesinde, mozaikler, matematik, astronomi, biyoloji, botanik, ekoloji, bilgisayar grafikleri, malzeme bilimi ve yol sistemleri de dahil olmak üzere çeşitli simülasyonlar boyunca uygulamaları bulur.
Bu yazıda, bu matematiksel mozaiklerin ne olduğunu, ne tür simetriye sahip olduklarını ve matematikçiler ile bilim adamlarının özel problem çözme hilelerini araçlarında sakladıklarını göstereceğiz.
İlk olarak, bir tessellasyonun nasıl inşa edileceğine bakalım.
Tübler, gamı temelden boggling'e geçirir. En basit olanlar, herhangi bir boşluk bırakmadan iki boyutlu bir düzlemi kaplayan tek bir şekilden oluşur. Oradan, gökyüzünün sınırı, çok sayıda düzensiz şekilden oluşan karmaşık kalıplardan, alanı veya daha yüksek boyutları doldurmak için birbirine uyan üç boyutlu katılara kadar.
Üç düzenli geometrik şekil kendileriyle tessellate: eşkenar üçgenler, kareler ve altıgenler. Dikdörtgenler ve rhomboids (elmaslar) dahil olmak üzere diğer dört taraflı şekiller de var. Uzatma ile, tek taraflı üçgenler arka arkaya yerleştirilirse kesintisiz olarak döşenir, paralelkenarlar oluşturulur. Garip bir şekilde, karşıt kenarları eşit ise herhangi bir şeklin altıgenleri tessellate. Bu nedenle, dört taraflı bir şekil, arka arkaya yerleştirildiğinde, bir altıgen oluşturarak boşluksuz bir mozaik oluşturabilir.
Normal bir çokgeni birleştirerek veya belirli düzenlemelerde normal ve yarı çokgenleri karıştırarak bir uçağı da çizebilirsiniz. Poligonlar, üçgenler ve dikdörtgenler gibi çizgi parçalarından oluşan iki boyutlu şekillerdir. Normal poligonlar, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu özel poligon durumlarıdır. Eşkenar üçgenler ve kareler, normal çokgenlerin iyi örnekleridir.
Tüm tessellations, hatta M.C. gibi düzgün ve karmaşık olanlar. Escher, boşluk olmadan tekrarlayan bir şekil ile başlar. Hile şeklini değiştirmek - bir rhomboid - böylece hala birlikte rahatça uyuyor. Basit bir yaklaşım, bir şeklin bir taraftan kesilmesini ve diğerine yapıştırılmasını gerektirir. Bu, kendisiyle bütünleşen ve kolayca istiflenen bir şekil üretir. Daha fazla taraf değiştirirseniz, desen daha ilginç olur.
Daha maceracı hissediyorsanız, bir tarafa dalgalı bir çizgi çizmeyi deneyin ve ardından aynı çizgiyi karşı tarafa kopyalayın. Bu yaklaşım, parçaların düzgün bir şekilde kilitlenmesini sağlamak için biraz değişiklik gerektirebilir. Örneğin, çokgeninizde tek sayıda kenar varsa, kalan tarafını ikiye bölmek ve ardından bölmenin her iki tarafındaki ayna görüntüsü şekilleri çizmek isteyebilirsiniz. Bu kendi kendine kenetlenen bir taraf oluşturur.
Şansınızı, ikiye ya da daha fazla şekle sokarak deneyin. Bunu geometrik olarak yapabilir ya da sayfayı istediğiniz şekle doldurabilir ve negatif alana uyan bir görüntü hayal edebilirsiniz. İlgili bir yöntem, bilinen bir şekil verme şeklini daha küçük şekillerle doldurmayı gerektirir. Hatta var fraktal tessellations - birbirine sıkı sıkıya uyan ve çoklu ölçeklerde kendi kendine benzeyen şekillerin kalıpları.
İlk sonuçlarınız biraz saçma görünüyorsa endişelenmeyin. Bu çılgın mozaikleri ustalamak Escher yıllarını aldı ve hatta her zaman mantıklı olmayan eşleri vardı.
Şimdi zemin hazırladığımıza göre, araştırmacıların zor teorik ve uygulamalı problemleri çözmek için kullandıkları özel tessellations'a bir göz atalım.
M.C. Escher
Hiçbir mozaikleme yeteneği Hollandalı grafik sanatçısı M.C.'yi aşmıyor.Escher. Bir litografi, oduncu ve oymacı olan Escher, Alhambra'yı genç bir adam olarak ziyaret ettikten sonra yüce şekillere ilgi duymaya başladı [kaynak: St. Andrews Üniversitesi].
Geometrilerden geometrik formlardan organik ve fantastikalara geçen ilk kişi olmasa da, Escher kendini en iyi uygulayıcı olarak belirlemiştir. Hayalperest, göz kamaştırıcı ve çoğu zaman imkansız sanat eserleri günümüzde oldukça popülerdir.
Bu Voronoi tessellation, belirli bir bölgenin foton yoğunluğuna bakıyor. Hücredeki her nokta bir fotonu temsil eder.
Araştırmacılar, tessellations'ı araştırdıkça ve onları matematiksel olarak tanımladıkça, zor problemleri çözmek için mükemmel olan bazı türleri belirlediler. Bir popüler örnek Voronoi mozaikleme (VT) Dirichlet tessellation veya Thiessen polygons olarak da bilinir.
Bir VT, bir grafik üzerindeki yıldızlar gibi bir dizi noktaya dayalı bir mozaikleştirmedir. Her bir nokta poligonal bir hücre ile çevrelenir - çizgi parçalarından oluşan kapalı bir şekil - başka herhangi bir noktaya göre kendi tanımlama noktasına daha yakın olan tüm alanı kapsar. Hücre sınırları (veya çokgen segmentleri) iki noktaya eşittir; Üç veya daha fazla hücrenin buluştuğu düğümler, üç veya daha fazla tanım noktasına eşittir. VT'ler de daha yüksek boyutlara sahip olabilirler.
Ortaya çıkan VT paterni, bir gece boyunca nektar benderdan sonra yapılabilecek bir bal peteği örneğini andırır. Yine de, bu kokmuş hücreler güzellikte eksik olan şey, değerden daha fazlasını yapmaktan daha fazlasıdır.
Diğer damarlar gibi, VT'ler tekrar tekrar doğada açılır. Nedenini anlamak kolaydır: Bir kaya üzerinde liken sporları gibi sabit bir oranda birlikte büyüyen nokta kaynaklarını içeren herhangi bir fenomen, VT benzeri bir yapı üretecektir. Bağlantılı kabarcıkların koleksiyonları üç boyutlu VT'ler oluşturur, benzerlik araştırmacıları köpüğün modellenmesinden yararlanır.
VT'ler, veri desenlerini görselleştirmek ve analiz etmek için de faydalı bir yol sağlar. Çok kümelenmiş uzamsal veriler, hücreler ile yoğun alanlar olarak bir VT üzerinde göze çarpacaktır. Gökbilimciler bu kaliteyi galaksi kümelerini tanımlarken onlara yardımcı olmak için kullanırlar.
Bir bilgisayar işlemcisi, nokta kaynağı verileri ve bir dizi basit talimattan anında bir VT oluşturabildiğinden, VT'leri kullanarak, en son bilgisayar grafikleri üretmek veya karmaşık sistemleri simüle etmek için hem belleği hem de işleme gücünü önemli ölçüde işler. Gerekli hesaplamaları azaltarak, VT'ler, protein katlanması, hücresel modelleme ve doku simülasyonu gibi başka türlü imkansız araştırmalara kapı açmaktadır.
VT'ye yakın bir akraba Delaunay mozaikleme ayrıca çeşitli kullanımlara sahiptir. Bir Delaunay tessellation yapmak için, bir VT ile başlayın ve sonra her bir yeni çizginin iki Voronoi poligonunun paylaşılan bir çizgisi ile kesiştiği şekilde hücre tanımlama noktaları arasında çizgiler çizin. Tombul üçgenlerin oluşturduğu kafes, grafik ve araziyi basitleştirmek için kullanışlı bir yapı sağlar.
Matematikçiler ve istatistikçiler, uzaydaki her nokta için bir denklem çözme gibi tersine çevrilemez sorulara cevap vermek için Delaunay tessellations'larını kullanırlar. Bu sonsuz hesaplamayı denemek yerine, her bir Delaunay hücresi için bir çözüm hesaplarlar.
27 Ocak 1921'de, Berlin'deki Prusya Bilimler Akademisi'ne hitap eden Einstein, “Matematiğin yasaları gerçekliğe atıfta bulunduğunda, kesin değiller ve kesin oldukları sürece gerçeğe. " Açıkça, mozaikleştirilmiş yaklaşımlar mükemmellikten yetersiz kalmaktadır. Bununla birlikte, başka türlü istenmeyen problemleri mevcut hesaplama gücüyle yönetilebilen bir forma indirgeyerek ilerlemeyi sağlarlar. Dahası, bizi kozmosun temelini ve düzenini hatırlatıyorlar.
Korkulu Simetri
Tekrarlayan paternleri olan iki boyutlu düzlemlerin hepsi, simetri türlerini tanımlayan 17 "duvar kağıdı grubu" ndan birine girer (tüm damarlar simetrik olmasa da) [kaynak: Joyce]. Dört ana kategori şunları içerir:
Alhambra'nın ünlü mozaikleri simetri gruplarının 13 özelliğine sahiptir. Mısır sanatında 12 [kaynak: Grünbaum] kullanılmıştır.