9 İkili Sayı Sistemi (M.Ö. 350) Pingala, Panini’nin kardeşi olduğu söylenir.
10 Aristoteles’in ‘Syllogistic’ Mantığı (M.Ö. 350) Mantık bilimi Aristoteles’in bir dizi düşünceyle ilgili felsefi sezgiyi Prior Analytics’te Syllogism’ler biçiminde biraraya toplayıp düzenlemesiyle başladı.Syllogism’ler iki öncülden bir sonucun elde edildiği özel türde çıkarımlardır:Bütün çocuklar ben-merkezcidir. (Ana Öncül)Bazı insanlar ben-merkezci değildir. (İkincil Öncül)Bazı insanlar çocuk değildir. (Sonuç)Yalnızca aşağıdaki türden önermeler Aristoteles’in çıkarım şemalarında yer alır:Bütün A’lar B’dir.Bütün A’lar B değildir.Bazı A’lar B’dir.Bazı A’lar B değildir.
11 Öklid’in AksiyomlarıÖklid (Euclid) Elemanlar adlı kitabında 10 aksiyom öne sürmüştür. Bunlardan, genel kavramlar olarak adlandırdığı, 5 tanesi Geometriye özgü değildir:Aynı şeye eşit olan iki şey birbirine de eşittir.Eğer eşit iki şeye eşit miktarlar eklenirse, elde edilen bütünler de eşit olur.Eğer eşit iki şeyden eşit miktarlar çıkarılırsa, kalanlar da eşit olur.Birbiriyle çakışan/örtüşen şeyler birbirine eşittir.Bütün parçadan büyüktür.Diğer 5 aksiyom Geometriye özgüdür ve Öklid bunlara postülalar demiştir:Herhangi bir noktadan bir başka herhangi bir noktaya bir doğru çizmek mümkündür.Bir doğru boyunca sürekli olarak sonlu uzunlukta doğrular üretebiliriz.Verilen herhangi bir merkez ve herhangi bir mesafe ile bir çember tanımlayabiliriz.Bütün dik açılar birbirine eşittir.Eğer iki doğruyu kesen bir üçüncü doğru aynı tarafta iki dik açıdan daha küçük iç açılar oluşturuyorsa, kesilen iki doğru bu tarafta sonsuza kadar uzatılırsa kesişirler.
12 Megara Okulu - Eubulides Atina’daki felsefe okuluna rakip olan Megara Okulu Aristo’nun hep canını sıkmıştır. Bu Stoacı okulun kurucusu yine bir Öklid’dir.Megara okulundan filozof Eubulides (MÖ. 405 – 330) Aristocu paradigmadaki problemleri dört paradoks ile açığa çıkarmıştır (Seuren 2005):Kel Adam ya da Yığın (The Heap)Şapkalı Adam, Fark Edilmeyen Adam ya da Elektra (The Hooded Man, the Unnoticed Man, or the Electra)Boynuzlu Adam (The Horned Man)Yalancı (The Liar)
13 Kel Adam ParadoksuA: ‘Eğer bir adamın yalnızca bir saç teli olsaydı, ona kel der miydiniz?B: Evet.A: Eğer iki saç teli olsaydı kel der miydiniz?A: Eğer üç saç teli olsaydı,… vs.A: Öyleyse kel olma durumu ile kel olmama durumu arasındaki sınırı nereye çizeceğiz?’
14 Yığın Paradoksu Bir çıkarım şeması: N kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1)N kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2)(N-1) kum tanesi bir kum yığınıdır. (Sonuç)Uygulama:1,000,000 kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1)1,000,000 kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2)999,999 grains of sand is a heap of sand. (Conclusion)Çıkarım şemasını her defasında elde ettiğimiz sonuçla başlayarak defalarcauygularsak, neticede bir kum yığınının tek bir kum tanesinden oluşabileceğisonucunu kabul etmek zorunda kalırız.
15 Elektra ParadoksuWhile Agamemnon, king of Mycenes, was away to fight in the Trojan war, his wife Clytaemnestra had set up house with another man. Obviously, when Agamemnon was due back, there would be a problem. So when Agamemnon came home Clytaemnestra let him a warm bath, during which she chopped his head off with a sword. That would have been the end of the affair, had it not been for the children, in particular the son Orestes, who now had the holy duty to avenge his father. However, in order to do that, he would have to kill his mother, which would be a heinous crime. In order to sort out his moral dilemma, Orestes went to stay with an uncle for a while. At the end of that period he has made up his mind and has decided that the right thing to do, after all, is to kill his mother. So he returns to Mycenes, but, sensibly fearing to receive a treatment similar to his father’s, he disguises himself as a beggar so as not to be recognized. He then knocks at the gate and is let in. His sister Electra has him shown to the kitchen and given some soup. At this point in the story, Eubulides steps in and asks: ‘Is the sentence Electra knows that her brother Orestes is in the kitchen true or false?’
16 Boynuzlu Adam Paradoksu What you have not lost, you have. But you have not lost horns. Therefore you have horns.
17 Yalancının Paradoksu ‘Şu an bu cümleyle söylediğim yanlıştır.’ ‘Aşağıdaki cümle yanlıştır.’‘Yukarıdaki cümle doğrudur.’
18 Antikitera Makinesi (M.Ö. 125) 1902 yılında Ege’de sünger avcıları tarafından bir Roma gemi batığında bulundu.Adını Girit yakınlarında bulunan Antikhythera adlı küçük bir adadan alıyor.Aletin, yapıldığı tarihi izleyen 1000 yıl için bile en karmaşık makine olduğu tahmin ediliyor.Cardiff Üniversitesi’nden Mike Edmunds yaptığı araştırmada, 'Antikythera' adlı aletin Güneş ve Ay tutulmalarının Dünya, Ay ve Güneş’in birbirlerine konumundan tahmin edilmesine yaradığını öne sürüyor.Edmunds, aletin içindeki mekanizmanın bir çizimini çıkardı.
19 Kötümser Bir FilozofKant 1789’da, Saf Aklın Eleştirisi (Critique of Pure Reason) kitabının ikinci baskısının önsözünde şöyle diyordu:Mantık Aristo’dan bu yana hiçbir şey kaybetmedi ama hiçbir şey kazanmadı da. Ayrıca, gelecekte de mantık alanında hiçbir gelişme olmayacağına dair her türlü işaret var.
20 İyimser Bir FilozofDoğal dilin bütün çok anlamlılıklarından, muğlaklıklarından ve öznel ifadelerinden arınmış bir characteristica universalis, bir evrensel dil, geliştirilmesini önerdi. Bu dilin oluşturulmasında, sayıların asal çarpanlarının tek olmasına özel bir rol yükledi.Bu dilin sembollerinin manipülasyonu, ars combinatoria, doğrudan düşüncelerimizin işleyişine karşılık gelecekti.Kant’ın kötümser öngörüsünden yaklaşık yüz yıl kadar önce, Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) mantık alanında, modern mantık kuramlarında halen daha kullanılan düşünce ve yöntemler geliştirdi.Böylelikle, calculus ratiocinator içinde hesaplama yaparak, doğal dil ile ifade edilmiş düşünce zincirlerinin geçerliliğini kontrol etmek mümkün olacaktı:“Öyleyse, artık düşüncelerin farklılaşması halinde, nasıl iki hesap makinesi tartışmıyorsa, iki filozofun da tartışmasına gerek kalmayacak. Kağıdı kalemi ellerine alıp, abaküsün karşısına geçip (eğer istiyorlarsa bir arkadaşlarının tanıklığında) birbirlerine calculesmus demeleri yeterli olacak.”
22 Mekanik Hesap Makinesi - 1642 Blaise Pascal 1642 Yılında Pascaline adlı mekanik hesap makinesini geliştirdi.Bu, 20. Yüzyılda mikro işlemcilerin geliştirilmesine kadar uzanan mekanik hesap makineleri dönemini başlattı.
23 Boole Mantığı ve De Morgan Yasaları 19. YY. matematikçisi George Boole’dan adını alan Boole Mantığı (Boolean Logic), bütün değerlerin Doğru ya da Yanlış’a indirgendiği bir Cebir türüdür. Bool mantığı her bitin alabileceği 0 ve 1 değerlerinden oluşan ikili sistemle çok iyi örtüştüğü için Bilgisayar Bilimleri açısından özel bir önem taşır.19. YY. mantık ve matematikçisi Augustus De Morgan’dan adını alan De Morgan Yasaları (ya da De Morgan Teoremi) Bool Cebrinin ve Küme Teorisinin iki önemli prensibini oluşturur:değil (P ve Q) = (değil P) veya (değil Q)değil (P veya Q) = (değil P) ve (değil Q)
24 Modern Yüklem MantığıFriedrich Ludwig Gottlob Frege, Aristocu ‘syllogistic’ mantık ile Stoacı düşünceleri birleştirdi.Aristo’nun özne-yüklem formundaki önermelerini almakla birlikte, iki (ya da daha fazla) şey arasındaki ilişkileri ifade eden cümleleri de mantığa kazandırdı.Artık, aktif cümlelerin pasif biçimleri ile ‘eşanlamlılıkları’ görülebilecekti:Yunanlılar Plataea’da Persleri yendi.Persler Plataea’da Yunanlılara yenildi.Ayrıca, aşağıdaki türden çıkarımları yapmak da mümkün olacaktı:Ali Banu’dan uzundur.Banu Cem’den uzundur.Ali Cem’den uzundur.
25 İlk Sayısal Bilgisayar Tasarımı Charles Babbage, 1822 Yılında İngiliz Hükümetine bir Fark Motoru Tasarımı sundu.Charles Babbage, 1837 Yılında ölümüne kadar geliştirmeyi sürdüreceği genel amaçlı Analitik Makinesi’ni tasarladı.
26 Delikli Kart Önerisi (1832) Bilgiyi depolamak ve depolanmış bilgide arama yapmak için delikli kart kullanmayı öneren Semen Korsakov, “doğal” zekayı geliştirmek için ‘homoescope’ ve ‘ideoscope’ adlı makineler tasarlamıştır.
27 Vakum Tüpler (1906)Lee De Forest, ilk bilgisayarların inşasında kullanılan vakum tüpü geliştirdi.
28 ‘Bütün Doğrulara’ Erişme Girişimi Russellın Paradoks’u: Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümeleri içeren küme.Matematiğin bütün doğrularını, yüklem mantığı içinde, iyi tanımlanmış bir aksiyomlar ve çıkarım kuralları kümesinden çıkarma girişimi.
29 Hilbert ProgramıHilbert proposed to ground all existing theories to a finite, complete set of axioms, and provide a proof that these axioms were consistent. Hilbert proposed that the consistency of more complicated systems, such as real analysis, could be proven in terms of simpler systems. Ultimately, the consistency of all of mathematics could be reduced to basic arithmetic.
30 Gödel’in Eksiklik Teoremi Gödel Yalancının Paradoksunu aşağıdaki şekilde değiştirdi:“Bu önerme ispatlanabilir değildir.”…Aritmetiğin her tutarlı biçimselleştirilmesi için öyle aritmetik doğrular vardır ki, bunlar bu biçimsel sistem içinde ispatlanabilir değillerdir.
31 Gödel’in Eksiklik Teoremi (1931) Gödel Yalancının Paradoksunu aşağıdaki şekilde değiştirdi:“Bu önerme ispatlanabilir değildir.”…Aritmetiğin her tutarlı biçimselleştirilmesi için öyle aritmetik doğrular vardır ki, bunlar bu biçimsel sistem içinde ispatlanabilir değillerdir.
32 Evrensel Bilgisayar Tasarımı 23 Haziran 1912’ de Londra’ da doğdu.1936’da Turing Makinelerini tasarladı.1938’de ABD Princetown Üniversitesi’nde Alonzo Church’un yanında hazırladığı teziyle doktor oldu.İngiltere’ye döndüğünde, II.Dünya Savaşı sırasında Almanların “Enigma” kodlarının çözülmesinde önemli rol oynadı.1945’ te Automatic Computing Engine (ACE) olarak adlandırılan büyük bir bilgisayarın tasarım, yapım ve kullanım çalışmalarını yönetti.1950 yılında Mind dergisinde yayınlanan “Computing Machinery and Intelligence” adlı makalesinde bugün TURING TESTİ olarak bilinen ünlü testi açıklamıştır.1954’te intihar ederek öldüğü sanılıyor.
33 Z3 – İlk Programlanabilir Bilgisayar 1941’de Almanya’da Konrad Zuse tarafından inşa edilen Z3, savaşta tahrip edilmiştir.Konrad Zuse ve1961’de yeniden inşa edilen Z3.Z3’ün mimarisi.
34 ColossusColossus adlı bilgisayar 1943 yılında İngiltere’de inşa edilmiştir.
35 Von Neumann MakinesiVon Neumann Makinesinin mimarisi (1947)
36 İlk Genel Amaçlı Elektronik Bilgisayar 1946 Yılında duyurulan ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), ilk genel amaçlı elektronik bilgisayardır. Turing’in matematiksel modelini tam olarak gerçeklemiştir.
37 Mikroişlemciler (1970’lerin başı) Çift çekirdekli Pentium D işlemcisiIntel 4004, İlk genel amaçlı ticari mikroişlemci
38 Mikrobilgisayarlar (1970’lerin ortası) “Gelecekte bilgisyarlar 1.5 tondan daha ağır olmayabilirler.” (Popular Mechanics, 1949)Commodore 64 – İlk popüler mikrobilgisayarİlk mikrobilgisayar
39 Internet (1980’ler ve sonrası) Küresel internet bağlantılarının kısa zamanlı küçük bir fragmanı