3
KURT GÖDEL Kurt Gödel Avusturyalı-Amerikan mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan Gödel'in Eksiklik Teoremi ile tanınır.AvusturyalıAmerikanmatematikçi Gödel'in Eksiklik Teoremi
4
Teoremlerinde tam sayı aritmetiğini içerecek kadar karmaşık herhangi bir sistemin içinde, sistemin aksiyomlarından yola çıkarak doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamayacak önermeler bulunacağını ispatlamıştır.tam sayı Bunun için ise Gödel numaralandırması ismi verilen bir metod geliştirmiştir. Meşhur teoremini Viyana Üniversitesindeki doktora çalışması sırasında 1931 yılında ispatlamış, bununla 20. yüzyıl matematiğinin yönünü değiştirmiştir.Gödel numaralandırmasıViyana1931
5
Bugünkü modern matematiksel mantığın Gödel’in eseri olduğu rahatlıkla söylenebilir. Çok genç bir yaşta, aritmetikte doğruluğu ya da yanlışlığı kanıtlanamayan önermelerin mutlaka olmak zorunda olduğunu kanıtlamışltır (Birinci Eksiklik Teoremi, yayımlanması 1931) Gödel en çok bu teoremiyle bilinir. Eksiklik Teoremi şunu söyler: Doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı ifade edecek güçte olan ve neyin belit olup olmadığı anlaşılabilen çelişkisiz bir sistemde, doğru olan ama kanıtlanamayan bir önerme olmak zorundadır..
6
Gödel, “ben kanıtlanamam” diyen matematiksel bir tümce yazmayı başarır. Bu tümcenin kanıtı olsa, sistem çelişkili olurdu. Demek ki sistem çelişkisizse tümcenin kanıtı olamaz. Tümcenin kanıtı olmadığından, “ben kanıtlanamam” tümcesi doğrudur. Demek ki matematik çelişkisizse, “ben kanıtlanamam” tümcesi doğrudur ama kanıtlanamaz. Gödel, bu tümceyi yazmak için doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı kullanmıştır; matematiksel tümceleri ve kanıtları aritmetikte sayılarla kodlamıştır. Bu kodlamaya göre her tümcenin ve her kanıtın bir “Gödel sayısı” vardır.
7
ADI: David Hilbert YAŞADIĞI DÖNEM: UYRUĞU: Alman matematikçi MATEMATİĞE KATKISI: Hilbert uzayı kavramına öncülük etti…
8
DAVİD HİLBERT David Hilbert, ( ) ünlü Alman matematikçi. Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve matematiğin biçimsel temellerinin oluşturulmasına önemli katkıda bulunan Alman matematikçi David Hilbert integralli denklemlere ilişkin çalışmalarıyla fonksiyonel analizin 20. yüzyıldaki gelişmesine öncülük etmiştir.
9
1897 yılında cisim kavramını ve cebirsel sayılar cisminin kuramını kurdu yıllarındaki ilk çalışmaları sırasında, cebirsel geometri ve modern cebirde önemli bir rol oynayan çok terimli idealleri kuramının temellerini atarak, invaryantlar kuramının temel kanunlarını ortaya koymayı başardı yılında, geometrinin temelleri üstüne araştırmalarının bir sentezi olan "Geometrinin Temelleri" adlı eserini yayınladı. Bu, matematiğin çeşitli bölümlerinde aksiyomlaştırma amacına yönelen birçok verimli çalışmaya yol açtı.
10
Somut görüntülere başvurmaktan kaçınan Hilbert, noktalar, doğrular ve düzlemler diye adlandırdığı "Üç nesne sistemini" matematiğe soktu. Ne oldukları kesin olarak gösterilmeyen bu nesneler, 5 grupta toplanmış 21 aksiyomla açıklanan bazı ilişkiler ortaya koyar. Ait olma, sıra, eşitlik veya denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomu bunlardandır
11
ADI: Bertrand Russell (Bertrand Rasıl) YAŞADIĞI DÖNEM: UYRUĞU: Britanyalı matematikçi MATEMATİĞE KATKISI: Felsefe alanında “mantıksal atomculuk” öğretisini geliştirdi. Whitehead'le birlikte “Principia Mathematica” kitabını yazdı.
12
Başlıca ilk çalışması ve felsefeye yaptığı en kalıcı katkı matematiksel mantık alanında, A. N. Whitehead'le birlikte ortaya koyduğu, matematiği mantığa indirgemeye yönelik bir çalışma olan, anıtsal Principia Mathematica'dır ( ). Bir deneyci olduğundan, Russell bu mantıksal dilin değişkenlerinin deneyimlerimizle doldurulacağını öne sürdü.
13
Matematikte bu değerler, sözgelimi 'bir', 'iki', 'üç' gibi sayıların ne anlama geldiğini biliyorsak onunla sağlanacaktı, bilimde ve günlük yaşamda ise deneyimle, duyu verileri ve zihinsel imgeler gibi şeylerle bilinebilen şeylerden oluşacaklardı.
14
Matematikte ya da bilimsel ve günlük bilgideki her şey bu temel verilerden 'mantıksal inşa' yoluyla, ilki için Principia Mathematica'da diğerleri için Our Knowledge of the External World'de (1914: Dış Dünya Üzerine Bilgimiz), The Philosophy of Logical Atomism'de (1918: Mantıksal Atomculuğun Felsefesi ) ve Human Knowledge: Its Scope and Limits'de (1948: İnsan Bilgisi: Alanı ve Sınırları) gösterildiği gibi kurulacaktı.
15
ADI: Gottlob Frege (Gotlob Frege) YAŞADIĞI DÖNEM: UYRUĞU: Alman matematikçi ve mantıkçı MATEMATİĞE KATKISI: Önermeler (sembolik) mantığının kurucularından…
16
GOTTLOB FREGE Frege, en temelinde önerme'nin fonksiyon- argüman analizi, özel isimlerin anlam ve gönderim ayrımı, kavram ve nesne ayrımı ve bağlam prensibinin geliştirilmesi bulunan, Dil felsefesi'ne yaptığı derin sistematik katkılarla Analitik Felsefe'nin kurucularından sayılır. Edmund Husserl ve Max Schröder gibi zamanının önde gelen birçok mantıkçı ve felsefecisiyle yazışmıştır.
17
Frege, mantıkçılığın, matematiğin mantığına indirgenebileceği düşüncesinin önde gelen ilk savunucusudur. Grundgesetze der Aritmetik isimli çalışmasında, aritmetiğin kanunlarını mantıktan çıkarmaya çalışır. (Masraflarını kendi karşıladığı) ilk cildi yayınladığında, Russell ismiyle anılan paradoksu keşfetmiş ve Grundgesetzenin aksiyomlarının bu çelişkiye yol açtığını ifade etmiştir.
18
Frege, bu paradoksun varlığını kabul edip, kitabın ikinci cildinin ek kısmında bu soruna yol açtığını düşündüğü aksiyomu belirtmişse de, aksiyomlarında tatmin edici bir değişikliğe gidememiştir. Russell ve John Von Neumann'ın sonraki çalışmalarında, bu problemin nasıl çözümleneceği yer almıştır. Frege ayrıca kesişim ve bileşimi de bulmuştur.
19
ADI: Jan Brouwer YAŞADIĞI DÖNEM: 1881 yılında Hollanda‘da doğdu MATEMATİĞE KATKISI: Matematikte, sezgisel yöntem denilen yeni bir çığırın doğuşunu hazırladı
20
JAN BROUWER Matematik bilimleriyle mantık arasındaki bağıntıların genel kuramını buldu. Geometri ve özellikle topolojide çok sayıda çalışmaları vardır. Matematikte, sezgisel yöntem denilen yeni bir çığırın doğuşunu hazırladı.
21
Whitehead ve Russell'ın kuramlarına karşıt olarak, saf mantıktan tümden gelim yoluyla matematik ilkelerini kurmanın olanaksızlığını ve mantığın, matematik bilimlerini aşmaksızın bunlarla beraber gelişen bir yönteme indirgenmesi fikrini savunur. Hollanda'lı bu matematikçi, matematiğin kuruluşuna döndü ve sezgisel yöntemin önderi oldu. Matematik sezgicilik olarak adlandırılmaktadır.
22
Matematiksel belitler (aksiyom) doğrudan doğruya sezgi yoluyla kavranabilirler. Matematiksel önsellikler sezgi yoluyla kavranırlar ve bu nedenle de bu durum, matematiğin üstünlüğünü gösterir.
23
S ORULAR 1) Mantıkçılığın, matematiğin mantığa indirgenebileceği düşüncesinin önde gelen ilk savunucusu kimdir? 2) Russell’ın matematiği mantığa indirgemeye yönelik bir anıtsal çalışma olarak nitelendirilen kitabın adı nedir? 3) Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve matematiğin biçimsel temellerinin oluşturulmasına önemli katkıda bulunan matematikçi kimdir?
24
C EVAPLAR 1) Gottlob Frege 2) Principia Mathematica'dır 3) David Hilbert