Voronoi Diyagramları belirlenmiş bir bölge içinde, noktalardan ya da nesnelerden oluşan bir kümenin birbirlerine göre yakınlık bilgilerini gösterir. Bu gösterim biçimi de hayatımızda oldukça işimizi kolaylaştırır.
Bir çok hastanesi olan bir şehir düşünün. Aniden rahatsızlanan birinin en yakın hastaneye gitmesini veya götürülmesini istersiniz. İhtiyacınız olan şey ise bir harita. Bu harita hastanelerin havza alanını (yazının devamında bu kelime daha anlaşılır bir hal alacaktır.) göstersin. Öyle ki her hastane kendisine ait olunan bölgedeki insanlara diğer hastanelerden daha yakın olsun. Peki böyle bir haritayı nasıl yapılabiliriz? Çok zor değil fakat elle yapmaya kalkarsanız biraz sıkıcı olacaktır. Ama yine de anlamak adına işe elle başlayacağız. A ve B adlı iki hastanenin olduğu bir harita üzerinde A ve B hastanelerini birbirine bağlayan bir doğru parçası çizelim. Sonrasında bu doğru parçasının orta dikmesini çizelim. Bu çizilen doğru şehri iki bölgeye ayıracaktır. A hastanesinin bulunduğu bölgedeki her insan A hastanesine B hastanesine göre daha yakın olacaktır.
Şimdi 3. hastane olan C hastanesini de şehir haritasına ekleyelim. Ve aynı şart yine sağlansın. 3 hastane 3 bölge. Her bir bölgenin sakinleri yaşadıkları bölgenin hastanesine diğer hastanelere göre daha yakın olacaktır. Yukarıda yapılan işlemleri tekrarlamak suretiyle A ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının ve B ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının orta dikmelerini çizelim. Bunların hepsi ortak bir F noktasında kesişecektir. Bu F noktası ile A, C hastaneleri ile B, C hastanelerini birleştiren doğru parçası dışında kalan kısımların silinmesiyle harita aşağıdaki şekli alacaktır.
Şehir haritasındaki tüm hastaneler bitene kadar bu şekilde devam edilerek oluşturulan bölgelerin sakinleri kendi hastanelerine diğer hastanelerden daha yakın olacaktır. Böylelikle ihtiyacımız olan haritayı elde etmiş oluruz. Bu yapılan harita Voronoi Diyagramının bir uygulamasıdır. Voronoi ismi Rus matematikçi Gregory Voronoi’den gelmektedir.
Kolera Salgını ve John Snow’un Haritalandırma Çalışması
Voronoi diyagramları bir çok alanda kullanılabilir ve de oldukça yararlıdır. Bu yazıdaki tıbbi benzetmeyi bir nedenden ötürü seçtik. John Snow (1813-1858) genellikle “Epidemiyolojinin Babası” olarak anılır. Bir felaketle ilgili araştırması epidemiyologlar arasında klasik kabul edilir. 1850lerde kolera salgını Londra Soho’daki nüfusun %10unu öldürüyordu ve günler içerisinde tüm aileleri yok ediyordu. Snow, bunun kirli bir su kaynağından kaynaklandığını düşündü. Bu yüzden Kolera ölümleri hakkında Genel Kayıt Ofisi’nden bilgi aldı.
Snow insanları ikna edebilmek için ilk iş olarak Soho haritasında her adresteki ölüm sayısını işaretledi. Daha sonra 40 Brood Caddesindeki (Şu an Broadwick Caddesi) belirli bir su pompasının havza alanını belirledi. Bu alandaki noktalar Broad caddesindeki bu pompaya diğer pompalardan daha yakındı. Yalnız yukarıda yapılanlardan farklı olarak Snow o iki noktayı birleştiren doğru parçasını (iki nokta arasındaki en kısa mesafe) kullanmak yerine sokaklar ve sokaklar arasındaki yürüme mesafesini tercih etti. Ve sonuç; haritada işaretlenen neredeyse tüm ölümlerin Broad Caddesindeki pompanın havza alanının içinde olduğuydu. Bu veriler koleranın su yoluyla yayılmasına ilişkin teorisini destekledi. Broad Street pompasının su kaynağının kirlenmiş olduğunu anladı. Snow, bulgularını yerel yetkililere sundu, pompa kaldırıldı ve yerel kolera salgını sona erdi.
Örnek Bir Voronoi Diyagramı
Görselde 42 noktadan oluşan bir Voronoi diyagramı gösterilmiştir. Geogebra da bu diyagramı oluşturmak oldukça kolaydır. Tek yapılması gereken noktaları belirlemektir. Sonrasını yazılımın kendisinde hazır bulunan komutla oluşturabilirsiniz.
Göz Atmak İsterseniz
Kaynakça:
- Maths in a minute: Voronoi diagrams; https://plus.maths.org/
- Üçgenleme yöntemleri; https://www.harita.gov.tr/
Matematiksel