Yakınlarda lotoda 1-34-35-36-37-38 çıkmış, olasılık gündeme gelmiş, o zaman gün bugündür yazayım. Olasılık çok garip bir konu. Hayata çok yakın, o yüzden aslında herkes oldukça iyi bilir temel prensiplerini ama çok da incelikli bir konu, profesyonel matematikçileri bile kolaylıkla madara edebiliyor.
İşimizi biraz kolaylaştırmak için sadece 0 ve 1 ile yazılan sonlu dizilere bakalım. Böyle rastgele dizileri, mesela yazı-tura atarak, rastgele oluşturabiliriz. 23 kere yazı-tura (0-1) attım ve sonuçlar
- 000000000000000000000000
- 01101010000010011110011
- 11011110011101011111011
çıktı desem çoğunuz ilk sonuca süpheyle yaklaşır, son ikisini makul karşılar. Peki, neden? Belki bu soru nihayetinde matematiğin değil psikolojinin ya da nörobilimin daha güvenilir cevaplar verebileceği türden bir sorudur, ama bu bizi durdurmasın, yine de soralım:
Sonlu 0-1 dizilerinin rastgele olup olmadığına karar vermenin matematiksel olarak manalı bir yolu var mı?
Zor sorulara yanıtlamak için cevabın ne olduğunu doğrudan bulmaya çalışmaktansa öncelikle cevabın temel özelliklerini keşfetmek, sonra bu temel özellikleri kullanarak cevabı köşeye sıkıştırmak çok etkili bir tekniktir. Rastgele bir sonlu dizi ne demek bilmiyor olsak bile böyle dizilerin ne özellikleri olmalı onu düşünelim. Rastgele bir dizi alsak ve bu rastgele dizi üzerinde rastgele bir değişiklik yapsak sonuç yine rastgele bir dizi olmalı. Mesela, $$a_1 a_2 \dots a_n$$ n uzunlukta rastgele bir dizi olsun. Bir yazı-tura atsak, sonuca göre bu dizinin sonuna 1 ya da 0 eklesek, ortaya çıkan dizi yine rastgele olmalı. Yani dizinin sonuna (ya da başına) 0 eklemek de 1 eklemek de bize yine rastgele bir dizi verir. Böyle böyle devam edersek şu can sıkıcı sonuca ulaşırız:
$a_1 a_2 \dots a_n$ dizisini içeren her 0-1 dizisi rastgeledir.
Daha da fenası şu: $n$ kere yazı tura atsam, buradaki yazı sayısı $k$ ise $a_k$ sayısını birden sıfıra, ya da sıfırdan bire çevirsem ortaya çıkan dizi de rastgele olmalı! İşte bu fena, çünkü sonuç olarak bu dizinin istediğimiz basamağını değiştirdiğimizde sonucun yine rastgele olduğu, haliyle her $n$ uzunlukta dizinin rastgele olduğu ortaya çıkar.
Bir sonraki adımda $n$ kere yazı tura atıp, $k$ tane yazı geldiyse diziden $a_k$ sayısını sileceğimi anlamışsınızdır. Bütün bunları altalta koyarsak şu sonuca ulaşırız:
Bir tane rastgele sonlu dizi varsa, bütün sonlu diziler rastgeledir.
Bu yüzden sonlu dizilerin ya tamamı rastgeledir, ya da tamamı planlı bir operasyon sonucu elde edilmiştir.