Trigonometri, adından da anlaşılacağı gibi, tamamen üçgenlerle ilgilidir.
Daha spesifik olarak, trigonometri, iç açılardan birinin 90 ° olduğu dik açılı üçgenlerle ilgilidir. Trigonometri, bir üçgende eksik veya bilinmeyen kenar uzunlukları veya açıları bulmamıza yardımcı olan bir sistemdir.
Burada daha fazla okumadan önce temel bilgileri tazelemeniz gerekirse Çokgenler sayfamızda üçgenler hakkında daha fazla bilgi var.
İçindekiler
Sağ Açılı Üçgenler: Bir Hatırlatma
Dik üçgenin tek bir dik açısı vardır. Tanım gereği bu, tüm tarafların aynı uzunlukta olamayacağı anlamına gelir. Tipik bir dik açılı üçgen aşağıda gösterilmiştir.
Sağ Açılı Üçgenler için Önemli Terimler
Doğru açı, köşedeki küçük kutu ile belirtilir.
(Genellikle) bildiğimiz diğer açı, θ (teta) ile gösterilir.
En uzun taraf olan dik açının karşısındaki tarafa hipotenüs denir.
Θ’nin karşısındaki taraf, tersi olarak adlandırılır.
Hipotenüs olmayan θ’nin yanındaki tarafa bitişik denir.
Sinüs, Kosinüs ve Tanjant Tanıtımı
Trigonometride üç temel fonksiyon vardır, bunların her biri dik üçgenin bir tarafı diğeriyle bölünür.
Üç işlev şunlardır:
|İsim||Kısaltma||Üçgenin kenarlarıyla ilişki|
|Sinüs||Olmadan||Günah (θ)=Ters/hipotenüs|
|Kosinüs||Çünkü||Cos (θ)=Bitişik/hipotenüs|
|Teğet||Tan||Tan (θ)=Zıt/bitişik|
Sinüs, Kosinüs ve Tanjantı SOH CAH TOA olarak hatırlamak faydalı olabilir.
Trigonometrik fonksiyonları hatırlamak başlangıçta zor ve kafa karıştırıcı olabilir. SOH CAH TOA bile zor olabilir. Hatırlamana yardımcı olması için komik bir anımsatıcı uydurmayı deneyebilirsin. Sadece her üç harflik grubu aynı sırada tutun.
Örneğin, TOA SOH CAH, ‘Eski Arkeolog Ceketine ve Şapkasına Oturdu’ olabilir.
Bir Çemberde Trigonometri
Daireler hakkında daha fazla bilgi için veya hızlı bir tazeleme için Daireler ve Eğri Şekiller sayfamıza bakın.
Üçgenleri ele alırken, 90 ° ‘den küçük açılarla sınırlıyız. Bununla birlikte, trigonometri, 0 ila 360 ° arasındaki tüm açılara eşit olarak uygulanabilir. Trigonometrik fonksiyonların 90 ° ‘den büyük açılarla nasıl çalıştığını anlamak için, bir daire içinde oluşturulan üçgenler hakkında düşünmek yardımcı olur.
Dört çeyreğe bölünmüş bir daire düşünün.
Geleneksel olarak, dairenin merkezi (0,0) Kartezyen koordinatı olarak kabul edilir. Yani x değeri 0 ve y değeri 0’dır. Bununla ilgili daha fazla bilgi için Kartezyen koordinatlar sayfamıza bakın.
Merkezin solundaki herhangi bir şeyin x değeri 0’dan küçüktür veya negatiftir, sağdaki herhangi bir şey ise pozitif bir değere sahiptir.
Benzer şekilde, merkez noktasının altındaki herhangi bir şeyin y değeri 0’dan küçüktür veya negatiftir ve çemberin üstündeki herhangi bir nokta pozitif bir y değerine sahiptir.
Diyagram i, dairenin merkezinden x ekseni boyunca sağa doğru bir yarıçap çizersek ne olacağını gösterir (bunun pozitif yönde olduğunu söylüyoruz).
Daha sonra yarıçapı bir teta θ açısı boyunca saat yönünün tersine döndürürüz. Bu, dik açılı bir üçgen oluşturur.
|Günah θ=||ters (kırmızı çizgi)|
|hipotenüs (mavi çizgi)|
|Cos θ=||bitişik (yeşil çizgi)|
|hipotenüs (mavi çizgi)|
Diyagram ii’de, yarıçapı saatin tersi yönde daha fazla döndürdük, düşeyden (y ekseni) sonraki çeyreğe geçtik. Burada θ 90 ° ile 180 ° arasında geniş bir açıdır. Referans açısı alfa α 180 ° # θ’ye eşittir ve dik açılı üçgen içindeki dar açıdır.
|Günah θ=Günah α=||ters (kırmızı çizgi)|
|hipotenüs (mavi çizgi)|
Hem mavi hem de kırmızı çizgiler pozitiftir, dolayısıyla günah θ pozitiftir.
|Cos θ=−Cos α=||bitişik (yeşil çizgi)|
|hipotenüs (mavi çizgi)|
Cos θ negatiftir, çünkü yeşil çizgi negatiftir (orijinin (0,0) solunda x ekseni boyunca uzanır, dolayısıyla x ekseninin negatif bölümünde bulunur).
Diyagram iii’te, yarıçap saat yönünün tersine bir sonraki çeyreğe doğru daha fazla dönmüştür, böylece θ değeri 180 ° ile 270 ° arasındadır. Yeşil, kırmızı ve mavi çizgilerin tümü negatif değerlere sahiptir ve α=θ # 180 °. Sinüsler ve kosinüsler bu nedenle değer olarak pozitiftir.
Diyagram iv, son çeyreği göstermektedir. Θ değeri 270 ° ile 360 ° arasındadır, yeşil çizgi pozitiftir, ancak kırmızı ve mavi çizgiler negatiftir. Bu nedenle Sin positive pozitiftir ve Cos θ negatiftir. α=360 ° # θ.
Birim Çember
‘Birim Çemberi’, yukarıdaki diyagramlarda gösterilen çemberin özel bir halidir. Birim Çemberin yarıçapı 1’dir.
Birim çemberle çalışırken doğrudan cos, sin ve tan ölçebiliriz:
Sinüs, Kosinüs ve Tanjant Grafikleri
Açı ile günah veya cos arasındaki ilişki bir grafik olarak çizilebilir:
- y=günah (θ)
- y=marul (θ)
Gördüğünüz gibi θ 0 olduğunda sinüs de öyle. Yukarıdaki birim çember şemasına baktığınızda bu mantıklı geliyor. Θ=0 olduğunda, hem bitişik hem de hipotenüs, pozitif x ekseni boyunca uzanır ve günah θ değerini gösteren kırmızı çizgi kaybolur (üçgen yoktur).
Kosinüs grafiği sinüsle aynı şekle sahiptir, ancak θ=0 olduğunda 1 değerine sahiptir. Yukarıdaki daireye tekrar bakıldığında, θ=0 olduğunda, bitişik ve hipotenüs hem pozitif x ekseni boyunca uzanır hem de aynı değere sahiptir, çok bitişik/hipotenüs=1.
Tanjant grafiğin (tan θ) özellikleri oldukça farklıdır. Teğet grafiğin bir genliği (dalga benzeri özellikler) yoktur, çünkü maksimum veya minimum tepe değerleri yoktur. Her 180 ° ‘de 0’dan geçerek −∞’dan+∞’a (negatif ve pozitif sonsuz) değişir:
Sonsuzda (pozitif veya negatif) tanımsız olduğu söylenir. Tan θ=sin θ/cos θ denklemini düşündüğümüzde bu grafiği daha iyi anlayabiliriz. Günah θ sıfır olduğunda, tan θ da sıfır olmalıdır. Tersine, cos θ sıfır olduğunda, denklemdeki payda sıfır olur. Sıfıra bölünen herhangi bir şeyin bir sonsuzluk değeri vardır, dolayısıyla kosinüsü sıfır olan değerleri de grafikte sonsuz tanjantına sahiptir. Infinity’nin kesin bir değeri yoktur, bu nedenle y ekseni gittikçe daha büyük değerlere yükseldikçe teğet grafiğindeki çizgiler gittikçe daha dikey hale gelir. Çizgiler, belirli θ değerleri için, örneğin 90 ° ‘de, grafikteki dikey çizgilere gittikçe yaklaşır. Bu dikey çizgilerin her birine asimptot denir.
Sinüs, Kosinüs ve Tanjantın Tersi
Ayrıca, sin, cos ve tan’ın ters fonksiyonunu da hesaplayabilirsiniz; bu, 1’in bu fonksiyona bölünmesi anlamına gelir. Sin/cos/tan -1 olarak adlandırılırlar. Bu, eğer günahınız, cos veya bronzluğunuz varsa, açıyı hesaplamanızı sağlar.
Başka bir deyişle:
- Günah (90)=1
- Günah # 1 (1)=90 °
Trigonometri ve Hesap Makineleri
Bilimsel hesap makinelerinin sin, cos ve tan işlevlerinin yanı sıra ters işlevleri vardır. Hesap makinenizin nasıl çalıştığını hesaplamak için birkaç dakikanızı ayırmaya değer, çünkü bu, ihtiyacınız olduğunda saatlerce uğraşmanıza engel olabilir.
Diğer Üçgenler ve Trigonometri
Trigonometri aynı şekilde diğer üçgenler için de işe yarar. Bunun yerine, aşağıdaki gibi bir üçgeni temel alan iki kural vardır:
Sinüs kuralı:
a/sin A=b/sin B=c/sin C
Kosinüs Kuralı:
c2=a2+b2 # 2ab cos (C)
Trigonometriye Neden İhtiyacım Var?
Bu makul bir sorudur ve cevabı en azından kısmen birçok ülkede matematik müfredatına karar verenlerin bunu bilmeniz gerektiğini düşünmelerinden ve çok iyi bir nedenden kaynaklanmaktadır.
Trigonometrinin şimdiye kadar keşfedilen en önemli matematiksel ilişki olduğu söyleniyor. Üçgenler, doğada bulunan en basit formlardan biridir, ancak matematiği, özellikle hassas mesafe ölçümlerinin gerekli olduğu yerlerde hayati öneme sahiptir. Doğru mesafelerin önemli olduğu uygulamaları düşünmeye başladığımızda, deniz ve havacılık sistemlerinde navigasyon, astronomi, uydu sistemleri, coğrafi araştırmalar ve haritacılık (haritalar), mimari ve yapı mühendisliği, grafik tasarım dahil onlarca kişinin olduğu anlaşılıyor. ve bilgisayar tarafından oluşturulan görüntüler.
Bunların çoğu, trigonometri kavramlarını uygulayan, üçgenleme olarak bilinen bir ölçüm tekniğine dayanır.
Örnek: Trigonometri ve Navigasyon
Yelken veya denizde seyir halindeyken, son bulduğunuz yer şunlardan etkilenir:
- Yönlendirdiğiniz yön;
- Bu yönde seyahat ettiğiniz hız (yani motor veya rüzgar hızı); ve
- Gelgitin yönü ve hızı.
Bir yöne doğru gidiyor olabilirsiniz, ancak dalga bir taraftan gelip sizi diğer tarafa itebilir. Ne kadar uzağa ve hangi yönde seyahat edeceğinizi hesaplamak için trigonometriye ihtiyacınız olacak.
Haklı olarak, tüm bunlar kadar basit olmadığını anlamış olacaksınız, çünkü gerçek seyahat yönü gelgit hızına ve hızınıza bağlıdır, ancak muhtemelen trigonometrinin neden önemli olabileceğini anlayabilirsiniz!
Çalışılan Örnek
Bir günlük deniz yolculuğuna çıkarsınız ve nereye gideceğinize gerçekten aldırış etmeyin. Doğuya doğru yola çıktınız ve 10 km/s seyir hızında bir saat yelken açmayı planlıyorsunuz. Gelgit kuzeyden kaynaklanıyor ve saatte 5 km hızla ilerliyor. Hangi yöne gideceksin?
Önce üçgeninizi çizin ve kenarları etiketleyin. Doğuya doğru ilerliyorsunuz, bu yüzden onu üçgenin altı, uzunluğu 10 km yapalım. Gelgit sizi kuzeye doğru itecek, o yüzden bunu sağ taraf yapalım. Ve hangi yöne gideceğinizi bilmek istiyorsunuz, bu yüzden bu θ açısı.
Karşıt ve bitişik olana sahipsiniz, bu da teğet kullanmanız gerektiği anlamına gelir. Tan θ=Zıt/bitişik=5/10=0.5.
Şimdi ters bronzlaşma işlevini kullanmanın tam zamanı. 0.5’in ters bronzluk 26.6 ° ‘dir. Diğer bir deyişle, tan 26.6=0.5.
Yön (navigasyondaki ‘yönünüz’), pusulanızda 0 ° olan Kuzeyden ölçülür. Ancak (3) ‘ten cevabınız 90 ° veya Doğu ile ölçülür. Bu nedenle cevabı elde etmek için cevabınızı 90 ° ‘den çıkarmanız gerekecek: Kuzey Doğu (45 °) ve Doğu Kuzey Doğu (67,5 °) arasında 63,4 °’ lik bir yönde (yön) seyahat ediyorsunuz.
Bu neden önemli? Elbette, eve gitmek için hangi yöne gittiğinizi bilmeniz gerekecek!
Gerçek hayatta, o zamana kadar gelgitin değişmiş olabileceğini de hatırlamanız gerekecek…
Sonuç
Trigonometri pek çok günlük uygulamaya sahip olmayabilir, ancak üçgenlerle daha kolay çalışmanıza yardımcı olur. Bu, geometri ve gerçek ölçümler için yararlı bir tamamlayıcıdır ve bu nedenle, daha fazla ilerlemek istemeseniz bile, temelleri anlamaya değer.