Geometri
- Geometri; etrafımızı çevreleyen uzayın ve uzayda oluşabilecek şekillerin tasvirini kapsar. Bu başlık altında, matematiğin en eski branşlarından birini oluşturur. Geometrinin kökenleri eski çağlara dayanır: Alanlar, hacimler, ölçümler, planlar yapma vs… hesaplamalarının gerekliliği geometrinin ortaya çıkmasına sebep olmuştur.
- Mısırlılar, Babilliler ve Mezopotamyalılarm geometri üzerindeki bilgileri hakkında çok az şeyler biliyoruz. Yunanlılar ise daha geniş çalışmalar yaparak Thales, Pythagore, Archime‘de Apollonios gibi bilim adamları ile geometriyi geliştirmişlerdir. Euclide’in yazdığı “Elemanlar” geometrinin sistemli ve kesin kuruluşunu gerçekleştiren ilk eser olmuştur.
- XVI. yüzyıldan XIX. yüzyıla kadar geometri gelişip, değişmiştir; analitik geometri ve Euclidienne olmayan “iz düşümsel geometri” gibi yeni branşlar ortaya çıkmıştır.
- XIX. yüzyıla kadar geometri; matematik bünyesinden çok önemli bir yer işgal etmiştir ve geometri ile ilgilenen matematikçiler “geometriciler” olarak adlandırılmıştır. Oysa, günümüzde özerk bir disiplin olmaktan çıkarak ayrı bir bilim olmuştur.
- Geometri hakkında ilk kesin bilgileri Euclide‘in “Elemanlarf‘nda bulmaktayız. Bu kitap üç temele dayalı olarak yazılmıştır. Tarifler; ortak kavramlar ve postülalar.
- Tarifler; nokta, doğru, düzlem, çizgi vs. gibi kelimeleri ifade eder. Mesela “nokta alt kümeleri olmayandır” “doğrusal çizgi, her noktasında kendine benzer olandır”
- Ortak kavramlar, büyüklüklerin incelendiği bütün bilimler için geçerli ve kaçınılmaz olarak kabul edilen gerçeklerdir. Söz gelişi; bütün; bölümden daha büyüktür.
- Postülalar ise; ispat edilemeyen, hepsi kaçınılmaz olmayan özellikleri belirtir. Euclide‘in en önemli postülası şudur: “Bir noktadan, verilen bir doğruya bir ve bir tek paralel çizilebilir”
- Çok uzun süre için, geometri bir bilimin sıkı bir gösteriliş modeli olarak kabul edildi. Euclide’in ispat edilmesi umutlanan postülası tek karanlık noktaydı. XIX. yüzyılda bazı matematik¬çiler bu yapının bazı yanlışlarını gün ışığına çıkardılar: Tarifler, gerçek tarifler değildir; çünkü daha önceki kelimeleri kullanmamaktadır; bu yapının kabul edilebilmesi için tanımlanmayan birincil kelimeleri kavram olarak kabul etmek gerekir. Ayrıca Euclidien yapıda bütün aksiyom ve postülalar açık değildir. Matematikçi Hilbert (1862-1943) “geometrinin temelleri” (1899) adlı eserinde Euclidien geometrinin kabullerine tam bir açıklık getirmiştir.
- Ancak bu temellerin gösteriminden önce geometri gelişerek, yeni branşlar halinde farklanmıştır.
- XVII. yüzyılda Descartes (1596-1650) ve çağdaşı Fermat (1601-1665)’nın çalışmaları ile “analitik geometri” ortaya çıkmıştır. Analitik geometrinin temel prensibi; cebirsel hesabın ve analizin bir uygulaması şekline konulmuş koordinatları kapsamasıdır. Şüphesiz bu matematikçiler; bu kavranılan ilk kullananlar değildir, ancak bütün geometriye uygulanabilen genel kavramlara ilk ulaşanlardır. Analitik geometri ile bazı eğri düzlemleri ve bu eğrilere teğetleri incelemişlerdir. Bu kavramın üç boyuta uygulanması ile düzlemsel olmayan eğriler ve alanların incelenmesi gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmalar üç boyuttan fazla boyutlardaki uzay düzlemlerine genelleşmeyi sağlamıştır.
- Yine XVII. yüzyılda matematikçi Desargues~(1593-1662) koni ile ilgili yaptığı çalışmalarda “izdüşüm geometrisini” ortaya atmıştır. Geometrinin bu branşında izdüşüm metodu kullanılarak özellikler incelenir.
- Euclide‘den XVIII. yüzyıla kadar Euclide‘in postülasını ispat etmek için sayısız girişimlerde bulunulmuştur. XIX. yüzyılda diğer geometrilerin bu aksiyomun kabul edilmediği ortaya çıkması; Euclide postülasının geometrinin diğer aksiyomlarının bir sonucu olmadığı gerçeğini ortava çıkarmıştır.
- Euclide geometrisinin tersine, Lobatcheusky (1793-1856) geometrisinde, şu postülla kabul edilir: Bir d doğrusu ve bu doğru dışında A noktası verildiğinde, bu doğruya A noktasından sonsuz sayıda paralel çizilebilir. Bu geometride, bir üçgenin açılan toplamı, iki dik açıdan her zaman küçüktür. Oysa euclidenne geometride bir üçgenin açılan toplamı, iki dik açıya (180 derece) eşittir.
- Riemann geometrisinde (1826-1866) farklı bir postüla ortaya konur: Bir d doğrusu ve bu doğru dışında bir A noktası verildiğinde, A’dan geçen ve d ile rastlaşmayan hiçbir doğru çizilemez.
- Bu tür geometride, parallellik kavramı yoktur, doğrunun sonlu bir uzunluğu vardır ve üçgenin açılan toplamı her zaman iki dik açıdan fazladır.
- Euclidyen olmayan bu geometrilerin her biri için, teoriler bu durumları gösteren durumlar seçilerek geliştirilebilir, Euclita postülası ise geometrinin diğer aksiyomlarının bir sonucu değildir.
- XIX ve XX. yüzyıllarda matematiğin geçirdiği büyük evrim, geometrinin matematik bünyesinde işgal ettiği önemli yerin yitirilmesine sebep olmuştur, günümüzde geometri daha genel yapı ve teoriler örneği ve uygulaması olarak ortaya çıkar.
- Gruplar teorisi, geometrinin birçok görünüşünü göz önüne çıkarmıştır.
- “Metrik geometri” uzunlukla ve uzunluğu ilgilendiren dönüşümlerle ilgilenir. Metrik geometri dönüşümler grubu translasyon, rotasyon ve simetrileri içerir. Bu dönüşümler, yerdeğişim olarak da adlandırılır.
- Eğer metrik geometri dönüşümlerine homotetiler eklenirse benzerlikler grubu veya euclidienne geometri dönüşümleri grubu elde edilir.
- Afin geometri ise paralellik özelliklerini inceler. Grup dönüşümleri ve afin geometri grup dönüşümleri ile afin geometri grubu doğruların paralelliğini oluşturur. Bunlar afinitelerin eklendiği euclidien geometri grubunun dönüşümleridir.
- Bu geometrilerin nasıl birbiri içine girdiği görülüyor, afin geometri için ispat edilen bütün özellikler diğer ilk T geometri türü için de geçerlidir. Örnek olarak Thales teoremi, paralel kenar özellikleri gösterilebilir. Tersine, metrik geometride gösterilen bazı özellikler, afin geometri ile sınırlandığında ispat edilemezler, söz gelimi Pythagore teoremi gibi uzunlukları içeren bütün özellikler.
- “Sonlu geometriye” bazı örnekler verelim. Düzlemsel geometri aksiyomlanndan üç bir çizginin, bir cismin bir çizgiye bir cisme rastlarken izlediği yön aksiyomunu göz önüne alalım. İki tür nesne söz konusudur. Noktalar ve doğrular. Bunların arasında şu bağıntılar gerçekleştirilebilir;
I: İki ayn nokta her zaman bir doğruyu belirler.
II: Bir doğrunun iki ayn noktası bu doğruyu belirler ve bütün doğru üzerinde en az iki nokta vardır.
III: d doğrusunun dışında alınan A noktasından d ile kesişmeyen bir ve bir tek doğru çizilebilir.
- Bu aksiyomlarla sonlu sistemler oluşturulabilir. Dört noktalı a,b,c,d küme örneğini düşünelim. İki elemanlı her alt kümeyi bir doğru olarak kabul edelim; {a, b\, {a, c),\a, d), \b,c\, \b,d\ \cd\. {a, b } ve { c, d } doğrularının kesişmediğim görürüz; aynı şekilde \a,c\ ve \b, d,\ veya {a, d\ ve \b, c) doğrulan da kesişmezler. O hâlde üç doğru yönü vardır.
- Yalnızca I ve II aksiyomlannın gerçekleştiği, 111 aksiyomunun gerçekleşmediği bir sistemin oluşturulması da mümkündür. Bu da bize III aksiyomunun diğer ikisinin sonucu olmadığım gösterir. Yedi noktalı {a, b, c, d, e.f.g) bir örneği inceleyelim. {a, b, c\, [a, g.d}, \a.f.e\, \cj,ş\,-\c,e,d\, \e,b,g\, {b, d, fi alt kümeleri yedi doğruyu oluştursun. Bu durumda; iki ayn doğrunun her zaman ortak bir noktalan olur; yani paralel yoktur. Buna rağmen ilk iki aksiyom gerçekleşmiştir.
- Bu incelemeler bize I, II ve III aksiyomlannın Euclide‘in belirlediği gibi bir geometri oluşturmaya yeterli olmadığını gösterir. Bu aksiyomlara, diğer başka aksiyomların da eklenmesi gerekir, bunu Hilbert başarmıştır.
- Yalnızca cetvel ve pergel kullanarak bazı geometrik şekiller oluşturulabilir. Bu şekiller; düzlem geometrinin basit kavranılan kullanılarak gerçekleştirilir. Şimdi de teknik çizimlerde kullanılan bazı geometrik yapılann çizimini inceleyelim.
Verilen bir doğru parçasının orta dikmesinin çizimi
- AB doğru parçasının orta dikmesi; bu doğru parçasının A ve B uçlarına eşit uzaklıktaki dik doğrudur. AB uzunluğunun yansından fazla uzaklık için pergel açılır, aynı yançaplı iki daire çizilir. Bu iki dairenin ortak iki noktası vardır ki, bu iki nokta orta dikmeye aittir. Bir cetvel ile bu iki nokta birleştirildiğinde orta dikme elde edilmiş olur.
Verilen bir açının açı ortayının çizimi
- Bir açının açı ortayı, verilen açıyı iki eşit açıya bölen doğrudur. Bir pergel yardımıyla, 0 merkezli bir daire çizilir; bu her iki uçta da bir nokta belirler. A ve B bu iki nokta olsun. Aym yançaplı; biri A, diğeri B merkezli iki dairenin kesişim noktası aranan açı ortayın noktalandır. (Bu aynı zamanda AB’nin orta dikmesidir). Bu noktalardan biri açının tepe noktası ile birleştirildiğinde açı ortay çizilmiş olur.
Verilen bir noktadan geçen, bir doğruya dikin çizimi
- D verilen doğru, A ise verilen nokta olsun. Pergel yardımı ile A merkezli, D doğrusunu B ve C noktalarında kesen bir çember çizilir. Sorun A noktasından geçen BC’nin ortadikmesinin çizimi şekline dönüşür. B ve C merkezli birbirini kesen iki çember oluşur.
Verilen bir açıyla aynı ölçülü bir diğer açının çizimi
- Verilen açının iki kenan Ox ve Oy ve S de çizilecek açının tepe noktası olşun.O ve S merkez olarak alınarak aym yançaplı iki çember çizilir. Ox ve Oy kenarlan O merkezli çember üzerinde, pergel yardımı ile S merkezli çember üzerine taşınacak olan yayı oluştururlar. Bu yayın iki ucu S ile birleştirildiğinde, xOy açısıyla aynı ölçülü açının iki kenan oluşturulmuş olur.
Verilen bir noktadan geçen verilen bir doğruya paralelin çizimi
- Verilen doğru O, verilen nokta A olduğunda, A’dan D doğrusunu B noktasında kesen bir doğru çizilir. Sorun, A’dan geçen D’ doğrusunun çizimi hâline dönüşür, bu arada AB doğrusuyla oluşan açılar, D doğrusunun AB doğrusuyla oluşturduğu açılar ile aynı ölçüde olmalıdır.
İki noktadan geçen çemberlerin çizimi
Verilen iki A,B noktasından geçen çemberler AB doğru parçasının orta dikmesi merkezlidirler.
Aynı çizgi üzerinde olmayan üç noktadan geçen çemberin çizimi
- Aynı çizgi üzerinde olmayan üç A,B,C noktası verilsin. Bu üç noktadan geçen çemberin merkezi; AB, AC ve BC doğru parçalarının orta dikmelerinin kesiştiği noktadır. Mesele yine orta dikmelerin oluşturulmasıdır: Bu orta dikmelerin ikisinin kesişimi dıştaki çemberin merkezini oluşturur.
- Verilen iki doğruya teğet olan çemberler, iki doğru birbirine paralel değilse; bu iki doğruya teğet olan çemberin merkezi; bu iki doğrunun oluşturduğu açıların açıortaylarının biri veya diğeri üzerindedir. İki doğrunun paralel olduğu durumda ise, çemberlerin merkezleri her iki paralele eşit uzaklıktaki paralelin üzerindedir.
- ‘Verilen üç doğruya teğet olan çemberler”, Bu üç doğru bir üçgen oluşturuyorsa, üçgenin açılarının açıortaylarının çizimi söz konusudur: Üçgenin içinde bir çember elde edilir ve üçgenin dışında da üç çember elde edilir. İki doğru birbirine paralel, üçüncü doğru da bunlan kesiyorsa, üç doğruya teğet iki çember meydana gelir. Üç doğru da paralelse, çözüm yoktur.
- Ölçüsü belli bir açının altındaki bir doğru parçasının noktalarının yen merkezleri doğru parçasının orta dikmesi üzerinde bulunan ve uçlara teğetlerin doğru parçası ile verilen ölçüm değerine sahip bir açı oluşturduğu iki yay ile bu yer saptanabilir.
Verilen bir oran içinde bir doğru parçasını paylaşan M noktalarının çizimi
- AB doğru parçası gözönüne alınır ve B’den geçen diğer bir doğru üzerinde herhangi bir noktaya M’ adı verilir. Şu eşitlikleri sağlayan A, ve A2 noktalan oluşturulur: M’A,=M’A2=k.M’B. M’den geçen A A paralelinin, AB doğrusu ile kesişimi bize ilk M, çözümünü verir, M’den geçen AA 2 paralelinin AB doğrusu ile kesiştiği nokta da yine olası olan M2 ikinci çözümünü verir.
- MA ve MB doğru parçalannın uzunluk¬larının belli bir k oranında olduğu M noktalarının yerinin belirlenmesi
- Bu; çapı MjM2 doğru parçası olan bir çemberdir. Bu çemberin çiziminin gerçekleştiril-mesi için doğru parçasının orta dikmesinin dibi olan merkezinin belirlenmesi yeterlidir.
”60° lik açının çizimi”
6O°’lik bir açı elde edebilmek için; yarıçapa eşit uzunluklu bir kirişi olan çemberin çizilmesi yeterlidir.
“Bir çembere içten teğet olan altıgenin ve eşkenar üçgenin çizimi”
- Bir çembere iç teğet olan altıgenin kenar uzunluğu çemberin yarıçapına eşittir. Altıgenin çizimi için; uzunlukları çemberin yançapına eşit olan altı kirişin uç uca çizilmesi yeterlidir. Altıgenin köşeleri ikişer ikişer birleştirildiğinde eşkenar üçgen elde edilir. Bir kehan AB kabul edip, A ve B merkezli, yarıçapı AB uzunluğuna eşit iki çember çizilerek de eşkenar üçgen elde edilebilir; bu durumda olası iki tepe noktası elde edilir.
Bir çembere iç teğet olan bir kare ve sekizgenin çizimi
- Bir çembere içten teğet olan karenin dört köşesini elde etmek için, çemberin dik iki çapının çizilmesi yeterlidir. Sekizgenin sekiz köşesini elde etmek için de, kare çizimiyle işe başlanır, daha sonra da dik iki çap tarafından oluşturulan açıların açı ortayları çizilir.
Verilen bir noktadan geçen çembere teğetlerin çizimi
- Verilen C çemberinin merkezi 0 ve teğet oluşt; .rulacak nokta da M olsun. Teğet ve yarıçap temas noktalarında dik bir açı oluşturur; bu nokta^ OM çaplı çember üzerindedir. M den çıkan teğetlerin çembere temas noktaları C çemberinin OM çaplı çemberle kesiştiği noktalardır; iki teğet oluşur.
- İki çemberin ortak teğetleri”C ve C çemberlerinin merkezleri O ve O’ olsun. C çemberi üzerinde OM yarı¬çapı çizilir ve O’M’ ve O’M” parelel yarıçapları da C: çemberi üzerinde gösterilir. MM’ doğrusu ve MM” doğrusu OO’ doğrusunu T ve J noktalarında keser, bunlar iki çemberin homoteti merkezleridir. I ve J’den çıkan ve çemberlerden birine teğet olan doğrular diğerine teğettirler. I ve J çemberin dışında iseler, dört ortak teğet sözkonusudur. I ve J’den sadece biri çemberin dışında ise iki ortak teğet; her ikisi de çemberin dışında değilse; ortak teğet oluşmaz.