Soru:
Her tamsayının 1’e bölündüğü açık. O zaman birinci önerme doğrudur.
Bundan sonraki önermeleri ikişer ikişer değerlendirelim, yani ardışık iki tanesinin yanlış olduğunu varsayalım.
Aklımda tuttuğum sayı 2’ye ve 3’e bölünmüyorsa 2’nin ve 3’ün katlarına da bölünmez. Eğer tuttuğum sayı için bu iki önerme yanlış ve diğerleri doğru olsaydı tuttuğum sayı 4’e bölünüyor olmalıydı ama 4’e bölünen bir sayı aynı zamanda 2’ye de bölünmeli. Bu durumda ikiden fazla önerme yanlış olacaktı. O zaman bu iki önerme aynı anda yanlış olamaz. Soruya göre ardışık iki önerme yanlış olacağına göre en azından bu önermelerin ilki yanlış olamaz, çünkü yukarıda da gördüğümüz gibi ilk önerme doğruydu. Demek ki tuttuğum sayı 2’ye bölünüyor.
Bu sayı 3’e ve 4’e bölünmüyorsa bunların katlarına da bölünmez. Demek ki 3’e de bölünüyor.
Tuttuğum sayı 4’e ve 5’e bölünmüyorsa 4’ün ve 5’in katlarına da bölünmez. O zaman tuttuğum sayı dörde bölünüyor olmalı.
Bu yöntemi kullanarak önermelerin ilk onbeş tanesinin doğru olduğu gösterilebilir. Eğer sayı 15’e ve 16’ya bölünmüyorsa 30’a da bölünmez. O zaman da en az üç önerme yanlış olur. Demek ki 15’e de bölünüyor.
Peki aradığımız iki önerme de 15’ten büyük sayıları içeriyorsa nasıl bir yöntem izleyebiliriz? O zaman da diğer bütün önermeler doğru olacağından bu iki önermedeki sayılardan birini 15’ten küçük, aralarında asal, iki sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışalım. Eğer başarırsak bu iki önermenin aynı anda yanlış olamayacağını gösterebiliriz. Bu
Örnek: Tuttuğum sayı sadece 19 ve 20 sayılarına bölünmesin. 30'a kadar diğer
bütün sayılara bölünsün. Bu sayı hem 4'e hem de 5'e bölünebildiğine göre o zaman
bu iki sayının çarpımına da, yani 20'ye de bölünebilmek zorunda. Demek ki
varsayımım yanlışmış ve tuttuğum sayı ya 19 ve 20 sayılarına bölünmüyor olamaz. Burada 15'ten küçük sayılar seçilirken dikkat edilecek şey iki sayının da
aralarında asal olması. Örneğin bu örnek için 2 ve 10 sayılarını da alabilirdik.
İkisinin de çarpımı 20 ama bir sayının bu iki sayıya bölünmesi bu sayının 20'ye
bölünmesi anlamına gelmez. En basit örnek olarak 10 sayısı hem 2'ye hem de 10'a
bölünür ama 20'ye bölünmez.
Bu küçük analizden sonra kalan sayıları daha hızlı eleyebiliriz sanıyorum. Aşağıdaki tabloda yanlış olabilecek ardışık önermeleri ve bu iki önermenin aynı anda yanlış olamayacağını (diğer bütün önermelerin doğru olduğu takdirde) gösteren açıklamalar yazdım. Ayrıca okumayı kolaylaştırmak için yanlış olacak önermelerin de tersini yazdım, yani “Bu sayı 5’e bölünüyor” önermesi yanlış olacaksa “Bu sayı 5’e bölünmüyor” şeklinde yazdım.
[table id=52 /]
Bu tabloda da görüldüğü gibi 16 ve 17 önermeleri dışında her durumda ya bu iki önermenin ikisi birden yanlış olamıyor ya da doğru olması gereken önermelerden biri daha yanlış olmak zorunda oluyor. Tablonun ilk yarısında eğer bu sayı önermedeki sayılardan birine bölünmüyorsa bu sayının iki katına da bölünemeyeceğinden yanlış önerme sayısı ikiden fazla oluyor. Tablonun ikinci yarısında ise tuttuğum sayı tablonun ilk yarısındaki sayılara bölünmek zorunda olduğundan verilen önerme çiftlerindeki sayıların birini bu ilk onbeşte aralarında asal iki sayının çarpımı halinde yazmaya çalışıyoruz. Eğer bunu yazabilirsek sayımız yanlış olması gereken önermedeki sayıya da bölünmek zorunda olacağından bu iki önerme aynı anda yanlış olamıyor. Bu şekilde tabloda her komşu önerme için karşı örnekler mevcut, sadece bu sayı 16’ya bölünmüyor ve bu sayı 17’ye bölünmüyor önermeleri için karşı örnek yok. Demek ki soruda aranan önermeler bunlar olmalı.