Bayes Teoremi, 18. yüzyılda İngiliz Bakan ve matematikçi olan Thomas Bayes (1702 – 1761) tarafından öne sürülmüş ve özellikle geçtiğimiz son yarım yüzyılda önemi giderek daha fazla anlaşılmıştır. Günümüzde Bayes teoremi fizikten kanser araştırmalarına, çevre bilimden psikolojiye kadar bir çok yerde kendine bir uygulama alanı bulmuştur. Fizikçiler, kuantum mekaniğinin Bayesçi yorumlarıyla sicim ve çoklu evren teorilerinin Bayes savunmasını önerdiler. Filozoflar, bilimin Bayesçi süreç olarak görülebileceğini ve Bayes’in bilimsel bakışının, Karl Popper tarafından öne sürülen yanlışlanabilirlik kuramına göre sahte bilimden ayırt edici bir yöntem olarak kullanımının uygun olduğunu iddia ediyorlar.
Google’ın kendi kendine giden arabalarının tasarımcıları da dahil olmak üzere yapay zeka araştırmacıları, makinelerin kalıpları tanımasına ve karar vermesine yardımcı olmak için Bayes yazılımını kullanıyor. Bilişsel bilimciler, beyinlerimizin algılarında ve karar mekanizmalarında Bayesçi algoritmalar içerdiğini varsayar.
Bayes Teoremi Nedir?
Olasılık için P, düşünce için B ve kanıt için E simgeleri kullanılsın. B’nin doğru olma olasılığı P(B) ve E’nin doğru olma olasılığı P(E)‘dir. P(B|E), eğer E doğruysa B’nin ve P(E|B) eğer B doğruysa E’nin olasılığını verir. Bu durumda matematiksel formül aşağıdaki gibi olur.
P(B|E) = [P(B). P(E|B)] / P(E)
Formülü (veya bu konudaki herhangi bir formülü) ezberlemekten daha önemlisi ne yaptığını ve neden bilmeye değer olduğunu anlamaktır. Bayes teoremi, iki olayın koşullu olasılığını ilişkilendirmemizi sağlar. B olayının verildiği A olayının olasılığı, A olayının verildiği B olayının olasılığı ile ilgilidir. Bunlar eşit değillerdir ancak yukarıdaki denklem ndeniyle birbirleri ile ilişkilidir.
Bir Bayes Teoremi Uygulama Örneği
Tıbbi testlerden örnek vermek, formülü anlamaya genellikle yardımcı olabilir. Diyelim ki yaş grubunuzdaki insanların yüzde birinde meydana geldiği tahmin edilen bir kanser türü için test yaptırdınız. Test yüzde 100 güvenilirse pozitif bir testin ne anlama geldiğini bilmek için Bayes teoremine ihtiyacınız yok. Ancak yine de teoremi sadece nasıl çalıştığını görmek için kullanalım. Hastalık yüz kişiden birinde görüldüğü için P (B) yüzde bir veya 0,01’dir. Testin pozitif çıkma olasılığı olan P (E) de öyle. Pay ve payda birbirine eşit oldukları için bunları denklemde yerlerine yerleştirdiğiniz zaman birbirlerini sadeleştirler ve P (B | E) = P (E | B) = 1 olur. Böyle bir durum da kanser olma olasılığınız kesindir.
Ancak gerçek bir dünyada testler nadiren yüzde yüz güvenilirdir. Diyelim ki testiniz yüzde 99 güvenilir. Peki bu durumda pozitif bir sonucun kanser olma olasılığı nedir? Bayes teoremi gücünü burada gösterir. Çoğu insan cevabın yüzde 99 veya buna yakın olduğunu varsayar. Oysa ki Bayes teoreminin verdiği cevap sadece yüzde 50’dir. Nedenini bulmak için verileri Bayes denkleminin sağ tarafına yerleştirelim.
P(B) hala 0,01’dir. Çünkü bu hastalık 100 kişiden birinde rastlanıyor. Kanser hastalığınız varsa testin pozitif çıkma olasılığı olan P(E|B) ise 0,99 olur. Çünkü test 100 vakadan 99’unu doğru hesaplayabiliyor. Bu durumda P(B).P(E|B) = (0,01).(0,99) yani 0,0099’a eşittir. Bu, kanser olma yani gerçekten pozitif çıkma olasılığınızı gösteren değerdir. Peki, payda P(E) ne olacak? İşte burası işlerin zorlaştığı yer. P(E), kanser olup olmadığınıza bakılmaksızın testin pozitif çıkma olasılığıdır. Başka bir deyişle, P(E) kanser olma ile olmama olasılığınızın toplamı kadardır.
Biraz önce kanser olma olasılığı için yaptığımız hesaplamayı şimdi bir kere daha yapmamız gerekir. Testimiz yüzde 99 güveniliyor ise yüzde bir yani 0,01 hata veriyor demektir. Hastalık 100 kişiden birinde gözlemleniyorsa 100 kişiden 99’unda gözlemlenmiyor demektir. Bu 0,99 anlamına gelir. Bu iki değeri de birbiri ile çarparsanız sonuç 0,0099’a olacaktır. Bu durumda P(E)= 0.0099 + 0.0099= 0.0198 olarak hesaplanır. Bunu da formüle eklerseniz sonuç aşağıdaki gibi olur. Yani test sonucunuz pozitif çıksa bile bu teste bakarak kanser olduğunuzu anlama olasılığınız yüzde 50’dir.
P(B|E) = 0,0198 / 0,0099 = 0,5
Testi tekrar yaptırırsanız, belirsizliği büyük ölçüde azaltabilirsiniz. Çünkü kanser olma olasılığınız P(B), şimdi yüzde bir yerine yüzde 50’dir. İkinci testiniz de pozitif çıkarsa, Bayes teoremi size kanser olma olasılığınızın yüzde 99 olduğunu söyler. Bu örneğin gösterdiği gibi, Bayes teoremini yinelemek son derece kesin bilgiler verebilir. Ancak testinizin güvenilirliği yüzde 90 ise testin sonucunda iki kez pozitif çıksanız bile kansere yakalanma şansınız hala yüzde 50’den azdır. Doktorlar da dâhil olmak üzere çoğu insan için bu olasılıkları anlamak zordur. Kanser testi vakası örneği bize yanlış pozitiflere dikkat etmemiz konusunda bir uyarıdır.
Teoremin Kötüye Kullanımı Mümkün müdür?
Bayes teoremini genele yayarsak şu şekilde de yorumlayabiliriz. Düşüncenizin akla yatkınlığı kanıtları ne ölçüde açıkladığına bağlıdır. Kanıt için ne kadar alternatif açıklamalar varsa, düşünceniz o kadar az mantıklıdır.” Alternatif açıklamalar” birçok şeyi kapsayabilir. Kanıtınızın hatası; hatalı çalışan bir cihaz, hatalı bir analiz ve hatta sahtekârlık nedeniyle çarpıtılmış veriler olabilir. Başka bir deyişle, iyi bir kanıtınız varsa, Bayes teoremi iyi sonuçlar verebilir. Kanıtınız zayıfsa, Bayes teoremi pek işe yaramayacaktır.
Bayes’in kötüye kullanım potansiyeli, ilk tahmin olan P(B) ile başlar. Yukarıdaki kanser testi örneğinde önce bize kanser risk değeri için yüzde bir gibi bir bilgi verildi. Gerçek dünyada uzmanlar, kanserlerin olasılıkları konusunda hemfikir değiller. Bu nedenle gerçekte önceki bilginiz, genellikle tek bir sayı yerine bir dizi olasılıktan oluşacaktır. Yani önceki bilgi sadece bir tahminden ibarettir ve bu durum öznel faktörlerin hesaplamalara girmesine izin verir. İnançlar, çoklu evreler, enflasyon veya önyargılar gibi kanserin aksine var olmayan bir şeyin olasılığını tahmin ediyor iseniz şüpheli inancınızı desteklemek için şüpheli kanıtlardan beslenebilirsiniz. Bu durum da Bayes teoremi, sahte bilimi ve batıl inancı da teşvik edebilir.
Kanıtınız için alternatif açıklamalar aramada titiz değilseniz, kanıtlar zaten inandığınızı doğrulayacaktır. Bilim insanları genellikle bu hükmü dikkate almazlar ve bu da neden bu kadar çok bilimsel iddianın hatalı olduğunu açıklamaya yardımcı olur.
Kaynak: Bu yazı John Horgan tarafından kaleme alınan Bayes’s Theorem: What’s the Big Deal?; isimli yazıdan uyarlanmıştır.
Matematiksel