Bu makalede, özde kompozisyonu veya tekil değer ayrıştırması (SVD) gibi matris çarpanlara ayırma yöntemlerini anlamanın ilginç bir yolu olan temel kavramı hakkında bilgi edineceksiniz.
Baz vektör, boşluklar (vektörlerin küme) tanımlamak için kullanılan bir koordinat sistemidir. Sayıları geometrik vektörlerle ilişkilendirmek için kullandığınız bir referanstır.
Temel olarak değerlendirilmek üzere, bir dizi vektörün:
Veri Bilimi için Temel Matematik bölüm 7.4'te gösterildiği gibi , bir kümedeki vektörlerin sayısı uzayın boyutlarından büyükse, doğrusal olarak bağımsız olamazlar. Bir küme, boyut sayısından daha az vektör içeriyorsa, bu vektörler tüm uzayı kaplayamaz.
Vektörler, başlangıç noktasından uzayda bir noktaya giden oklar olarak gösterilebilir. Bu noktanın koordinatları bir listede saklanabilir. Kartezyen düzlemdeki bir vektörün geometrik temsili, bir referans aldığımızı gösterir: x ve y eksenleri tarafından verilen yönler .
Temel vektörler , bu referansa karşılık gelen vektörlerdir. Kartezyen düzlemde, temel vektörler, genel olarak i ve j olarak gösterilen ortogonal birim vektörlerdir (bir uzunluk) .
Örneğin, Şekil 1'de, temel vektörler i ve j sırasıyla x ve y ekseni yönünde işaret etmektedir. Bu vektörler standart temeli verir. Bu temel vektörleri bir matrise koyarsanız, aşağıdaki kimlik matrisine sahip olursunuz (özdeşlik matrisleri hakkında daha fazla ayrıntı için Veri Bilimi için Temel Matematik , 6.4.3'e bakın ):
Böylece, I ₂ span ℝ² sütunları . Aynı şekilde, I ₃ span ℝ³ sütunları vb.
Ortogonal temel
Temel vektörler ortogonal olabilir çünkü ortogonal vektörler bağımsızdır. Bununla birlikte, bunun tersi mutlaka doğru değildir: ortogonal olmayan vektörler doğrusal olarak bağımsız olabilir ve bu nedenle bir temel oluşturabilir (ancak standart bir temel olamaz).
Vektör uzayınızın temeli çok önemlidir çünkü vektörlere karşılık gelen koordinatların değerleri bu temele bağlıdır. Bu arada, örneğin Şekil 2'dekiler gibi farklı temel vektörler seçebilirsiniz.
Vektör koordinatlarının örtük bir temel vektör seçimine bağlı olduğunu unutmayın.
Bir vektör uzayındaki herhangi bir vektörü, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak düşünebilirsiniz.
Örneğin, aşağıdaki iki boyutlu v vektörünü alın :
Vektör bileşenleri v üzerinde çıkıntılar olan X -Axis ve ilgili y (-Axis v_x ve v_y Şekil 3'te gösterildiği gibi). V vektörü , bileşenlerinin toplamına karşılık gelir: v = v_x + v_y ve bu bileşenleri temel vektörleri ölçekleyerek elde edebilirsiniz: v_x = 2 i ve v_y = -0.5 j . Bu nedenle, Şekil 3'te gösterilen vektör v , iki temel vektör i ve j'nin doğrusal bir kombinasyonu olarak düşünülebilir :
Özdeşlik matrislerinin sütunları, doğrusal olarak bağımsız sütun vektörlerinin tek durumu değildir. ℝⁿ'de doğrusal olarak bağımsız diğer n vektör kümelerini bulmak mümkündür .
Örneğin, ℝ² cinsinden aşağıdaki vektörleri ele alalım :
ve
Yukarıdaki tanımdan, v ve w vektörleri bir temeldir çünkü doğrusal olarak bağımsızdırlar (bunlardan birini diğerinin kombinasyonlarından elde edemezsiniz) ve alanı yayarlar (tüm alana doğrusal kombinasyonlardan ulaşılabilir. bu vektörler).
Vektör bileşenlerini (örneğin v_x ve v_y , v vektörünün x ve y bileşenleri ) kullandığınızda, değerlerin seçtiğiniz temele göre olduğunu akılda tutmak önemlidir . Başka bir temel kullanırsanız, bu değerler farklı olacaktır.
Veri Bilimi için Temel Matematik Bölüm 09 ve 10'da , temelleri değiştirme yeteneğinin doğrusal cebirde temel olduğunu ve eigende bileşimini veya Tekil Değer Ayrışımını anlamanın anahtarı olduğunu göreceksiniz.
Geometrik vektörleri (uzaydaki oklar) koordinat vektörleriyle (sayı dizileri) ilişkilendirmek için bir referansa ihtiyacınız olduğunu gördünüz. Bu referans, vektör uzayınızın temelidir. Bu nedenle, bir vektör her zaman bir temele göre tanımlanmalıdır.
Aşağıdaki vektörü alalım:
Değerleri X ve Y parçaları sırasıyla 2 ve -0.5 bulunmaktadır. Standart temel, belirtilmediğinde kullanılır.
Bu sayıların standart temele göre koordinatlara karşılık geldiğini belirtmek için Iv yazabilirsiniz . Bu durumda, ben temel matris değişimi olarak adlandırılır .
I'den başka bir matris kullanarak vektörleri başka bir tabana göre tanımlayabilirsiniz .
Vektör uzayları (olası vektörler kümesi) bir temele göre karakterize edilir. Geometrik vektörün bir sayı dizisi olarak ifade edilmesi, bir temel seçtiğiniz anlamına gelir. Farklı bir temelde, aynı v vektörü farklı sayılarla ilişkilendirilir.
Temelin, uzayı kapsayan doğrusal bağımsız vektörler kümesi olduğunu gördünüz. Daha doğrusu, uzaydaki her vektör, temelin bileşenlerinin sonlu bir doğrusal kombinasyonu olarak tanımlanabiliyorsa ve küme doğrusal olarak bağımsızsa, bir vektör kümesi temel oluşturur.
Aşağıdaki iki boyutlu vektörü düşünün:
Gelen ℝ² Kartezyen düzlemde, dikkate olabilir v standart baz vektörlerinin lineer bir kombinasyonu olarak i ve j Şekil 5 'de gösterildiği gibi,.
Ancak başka bir koordinat sistemi kullanırsanız, v yeni sayılarla ilişkilendirilir. Şekil 6, v vektörünün yeni bir koordinat sistemi ( i ' ve j ' ) ile temsilini göstermektedir .
Yeni temelde, v yeni bir sayı dizisidir:
Bir temelden diğerine gitmek için bir temel matris değişikliği kullanabilirsiniz . Yeni temel vektörlere karşılık gelen matrisi bulmak için, bu yeni temel vektörleri ( i ' ve j ' ) eski temelde ( i ve j ) koordinatlar olarak ifade edebilirsiniz .
Önceki örneği tekrar ele alalım. Var:
ve
Bu, Şekil 7'de gösterilmektedir.
Temel vektörler olduklarından, i ' ve j ' , i ve j'nin doğrusal kombinasyonları olarak ifade edilebilir :
Bu denklemleri matris formunun altına yazalım ( Veri Bilimi için Temel Matematik Bölüm 08'deki denklem sistemlerinin matris formu hakkında daha fazla ayrıntı ):
Temel vektörleri sütun olarak elde etmek için matrisleri transpoze etmeniz gerekir. Sen alırsın:
Bu matrise, temel matrisin değişimi denir. Buna C diyelim :
Fark edebileceğiniz gibi, temel matris değişikliğinin her bir sütunu yeni temele ilişkin bir temel vektördür. Daha sonra, vektörleri çıktı tabanından girdi tabanına dönüştürmek için C temel matrisinin değişikliğini kullanabileceğinizi göreceksiniz .
Temel değişimi ve doğrusal dönüşüm
Temel değişikliği ile doğrusal dönüşüm arasındaki fark kavramsaldır. Bazen bir matrisin etkisini bir temel değişikliği olarak düşünmek yararlıdır; bazen bunu doğrusal bir dönüşüm olarak düşündüğünüzde daha fazla içgörü elde edersiniz.
Ya vektörü hareket ettirirsiniz ya da referansını taşırsınız. Bu nedenle koordinat sistemini döndürmenin, vektörün kendisini döndürmeye kıyasla ters bir etkisi vardır.
Özdeşleştirme ve SVD için, bu görünümlerin her ikisi de genellikle birlikte ele alınır ve bu, ilk başta kafa karıştırıcı olabilir. Bu farkı akılda tutmak kitabın sonunda faydalı olacaktır.
İkisi arasındaki temel teknik fark, doğrusal dönüşümler için gerekli olmayan temel değişikliğinin tersine çevrilebilir olmasıdır.
Temel Matris Değişikliğini Bulmak
Temel matris değişikliği, girdi temelini çıktı temeline eşler. İ ve j temel vektörleriyle B ₁ girdi tabanını ve i ' ve j ' temel vektörleriyle B ₂ çıktı tabanını diyelim . Var:
ve
Temel değişim denkleminden, şunlara sahipsiniz:
Eğer baz matrisi verilmiş değişikliği bulmak istiyorsanız Yatak ₁ ve B ₂ , sen tersini hesaplamak gerekir B ₁ izolatı için C :
Diğer bir deyişle, girdi temel matrisinin ( sütun olarak girdi temel vektörlerini içeren B ₁ ^ {- 1} ) çıktı tabanı matrisiyle ( B ₂ , aşağıdakileri içeren ) çarpılarak temel matrisin değişimini temel vektörleri sütun olarak çıktılar).
Converting vectors from the output to the input basis
Dikkatli olun, baz matrisinin Bu değişikliğin vektörleri dönüştürmek sağlar B ₂ için B ₁ değil tam tersi. Sezgisel olarak bunun nedeni, bir nesneyi hareket ettirmenin, referansı hareket ettirmenin tersi olmasıdır. Böylece, gelen gitmek için B ₁ için B ₂ Eğer baz matris değişiminin tersini kullanmalıdır, C {- 1} ^ .
Girdi temeli standart temel ise ( B ₁ = I ), o zaman temel matris değişikliğinin yalnızca çıktı temel matrisi olduğunu unutmayın:
Temel vektörler doğrusal olarak bağımsız olduğu için, C'nin sütunları doğrusal olarak bağımsızdır ve bu nedenle, Essential Math for Data Science bölüm 7.4'te belirtildiği gibi , C tersinirdir.
Yine Şekil 6'da gösterilen geometrik vektörleri kullanarak bir v vektörünün temelini değiştirelim .
Sen temelini değiştireceğiz v yeni temele standart temelden. Standart temeli B ₁ ve yeni temeli B ₂ olarak gösterelim . Temelin, temel vektörleri sütun olarak içeren bir matris olduğunu unutmayın. Var:
ve
B ₁ tabanına göre v vektörünü [ v ] B ₁ olarak gösterelim :
Amaç, [ v ] B ₂ olarak gösterilen B ₂ tabanına göre v'nin koordinatlarını bulmaktır .
Köşeli parantez gösterimi
Bir vektörü tanımlamak için kullanılan temeli ayırt etmek için , köşeli parantez içindeki vektör adından sonra alt simgeye temel adı ( B ₁ gibi ) koyabilirsiniz. Ancak, Orta indis kısıtlamaları nedeniyle, biz, örneğin [yazacağım v ] B vektörü göstermek için metinde ₁ v temeli göreli B ₁. Ayrıca adı temsili bir v göre B ₁.
V vektörünü giriş ve çıkış temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edelim :
C₁ ve c₂ skalerleri , girdi temel vektörlerinin lineer kombinasyonunu ağırlıklandırır ve skalarlar d₁ ve d₂ , çıktı baz vektörlerinin lineer kombinasyonunu ağırlıklandırır. İki denklemi birleştirebilirsiniz:
Şimdi bu denklemi matris biçiminde yazalım:
İhtiva eden vektör skalar c₁ ve c₂ karşılık geldiği [ h ] B ₁ ve ihtiva eden vektör skalerler d₁ ve d₂ karşılık geldiği [ h ] B ₂ . Var:
Bu iyi, bu bulmak istediğiniz terimle bir denklem: [ v ] B ₂ . Her iki tarafı B ₂ ^ {- 1} ile çarparak izole edebilirsiniz :
Ayrıca şunlara sahipsiniz:
Terimi, B ₂ ^ {1 -} B ₁ tersi olan B ₁ ^ {1 -} B ₂ baz matris değişiklik, C daha önce tarif edildiği. Bu Şekil Cı {1 -} ^ bir giriş baz vektörleri dönüştürmek sağlar B ₁ bir çıkış baz için B ₂ ve C den B ₂ için B ₁ .
Bu örnek bağlamında, B ₁ standart temel olduğundan, aşağıdakileri basitleştirir:
Bu, B ^ {- 1} matrisini [ v ] B _1'e uygulamak, matrisin temelini B ₂ olarak değiştirmenize izin verdiği anlamına gelir .
Bunu kodlayalım:
array([ 0.86757991, -1.00456621])
Sonuç
Temel kavramını anlamak, eigendecomposition veya singular value discomposition (SVD) gibi matris ayrıştırmasına ( matris çarpanlara ayırma olarak da adlandırılır ) yaklaşmanın güzel bir yoludur . Bu terimlerle, matris ayrışmasını, bir dönüşümle ilişkili matrisin belirli özelliklere sahip olduğu bir temel bulma olarak düşünebilirsiniz: çarpanlara ayırma, temel matrisin, yeni dönüşüm matrisinin ve son olarak temel matrisin değişmesinin tersidir. ilk temele geri dönün ( Veri Bilimi için Temel Matematik Bölüm 09 ve 10'da daha fazla ayrıntı ).
Bu yazı, Veri Bilimi için Temel Matematik kitabımın bir örneğidir !
Pandalar ve Numpy, veri analizi ve manipülasyonu için kullanılan en popüler iki Python kütüphanesidir. Pandalar birçok pratik ve kullanışlı işlevle donatılmıştır.
Her klasik vampir filminde, yakında kurban olacak kişinin evinin eşiğinde oyalandığı ve çekici bir vampirin eğilip masumca "Beni içeri davet etmeyecek misin?" diye sorduğu bir an vardır. Daha önce hiç vampir filmi izlememiş olan bahtsız kahraman, bir şekilde o vahim sözleri söylüyor, “Ne kadar kabayım. Lütfen içeri gelin” ve kaderi mühürlendi.
MIT Seçim Laboratuvarı'nda yüksek lisans araştırmacısı ve doktora derecesi olan Jesse Clark tarafından yazılmıştır.
Oakland, CA'da halka açık verileri kullanarak hava kalitesini tahmin etmek Google ve EDF, Oakland'daki hava kirliliğini haritalama çalışmalarını yayınladığında, bu çalışmanın sonuçları büyük ilgi gördü. Yayınladıkları veriler, hava kalitesinin Doğu ve Batı Oakland'daki şehir bloklarına göre nasıl değiştiğini gösteren ilk veri kümelerinden biriydi.
Daniel Fleck ve David Lubert ile yazılmıştır Dizimizin ilk blogu, bir veri bilimi projesini uygun şekilde değerlendirmek için Net Şimdiki Değer (NPV), İç Getiri Oranı (IRR) ve Karlılık Endeksi'ni (PI) kullanmaya odaklanacaktır. Ayrıca, bir veri bilimi metodolojisinin kullanılmasının, bu aynı ekonomik ölçütlerin girdilerini daha yüksek kaliteli değerlendirmeler geliştirmek için nasıl daha da iyileştirebileceğini tartışacağız.
Erasmus programında yer alan 200 bin öğrenim değişimiyle bir veri setini analiz etmenin sonuçları 2011–12 1987'den beri, Erasmus programı her yıl yüz binlerce Avrupalı öğrenciye yurt dışında, başka bir Avrupa ülkesinde bir yarıyıl veya bir yıl geçirme fırsatı vermektedir. onlara kolay bir değişim süreci ve ekonomik destek sunuyor. Zihinlerini ve kalplerini Avrupa'nın çeşitli insanlarına, dillerine ve kültürlerine açan gerçekten değerli bir deneyim.
"Yıldızlarla Dans Etmek" ünlüsü Mel C, kendisini son iki sırada bulduktan sonra şok edici "Grease" Night elemesinden dolayı "boşverdi".
'Vanderpump Kuralları'ndan Lala Kent daha önce Randall Emmett'in kendisini aldattığını göremediğini söylemişti. Ayrıca onun en iyi arkadaşı olduğunu söyledi.
Eski '90 Day Nişanlısı' yıldızı Varya Malina, Geoffrey Paschel ile birlikte olduğunu doğruladı ve onun için toplandı ve takipçilerinden maddi yardım istedi.
Colin Powell ve eşi Alma Powell, neredeyse altmış yıldır evlilerdi. Çiftin evliliği gerçekten zaman testinden geçti.
Facebook'ta adınızı değiştirmek ister misiniz? Sadece birkaç basit adımda yapmak kolaydır.
Her zaman 10.000 adımlık bu keyfi günlük hedefin gerisinde kalıyorsanız, iyi haberlerimiz var. Daha az adım atarsanız sağlığınız da aynı derecede fayda sağlayabilir.
Garden State, ABD'de kendi gazınızı pompalamanın yasa dışı olduğu tek eyalettir. Ne oluyor?
Bu arada, alacakaranlıkta ve dolunayda araba kullanmak da size bir iyilik yapmıyor.
Everybody Loves Raymond'un yaratıcısından profesyonel bir gezinti tutkusu olan Phil Rosenthal'ın Netflix seyahat yemeği dizisi Somebody Feed Phil'in hayranı olarak kayıtlara geçiyorum. Anthony Bourdain veya Andrew Zimmern'in damarlarında tatlı, neşeli, alaycı olmayan bir gösteri, ancak 58 yaşındaki bir çocuğun vücudundaki 12 yaşındaki bir sunucuyla - karşılaştığı her deneyim ve yemek yeni ve heyecan verici .
Kuzey Amerika'daki en büyük masa üstü oyun kongresi, katılım rekorları kırmaya devam ediyor ve cosplayer'lar tüm gücüyle ortaya çıkıyor. Bu yıl yüzlerce oyuncu, en sevdikleri karakterleri ve orijinal yapımları sergilemek için harika kıyafetlerini giydi ve incelemeniz için en harika ve en tuhaflarını bir araya getirdik.
Bu kesinlikle sizi düşündürüyor. McDonald's'tan bir Big Mac'in ne kadar lezzetli ve kısaca tatmin edici olduğu hakkında.
Fotoğraf: Jamie McCarthy / Getty Images Cadılar Bayramı için giyinme zamanı geldiğinde, birkaç denenmiş ve gerçek seçeneğiniz var. Tabii ki, (ugh) seksi ile gidebilirsiniz; bütün gece kostümünüzü açıklayarak yüksek konsepte gidebilirsiniz; soruna tonlarca zaman ve para harcayarak etraftaki en özenli kişi olabilirsiniz; gerçekten iğrenç olmaya çalışabilirsin.
Maggie Gyllenhaal ve Dakota Johnson Londra'daki bir galada poz veriyor, Vanessa Hudgens LA'deki spor salonundan ayrılıyor, Christian Siriano 'Project Runway' 19. sezonu ve daha fazlasını kutlamak için NYC'de. Hollywood'dan New York'a ve aradaki her yere, en sevdiğiniz yıldızların neler yaptığını görün
Utanmaz mezunu Emma Kenney, Showtime dizisinde Emmy Rossum ile çalışma deneyimi hakkında konuştu.
HIV pozitif ve kanserden kurtulan Javier Muñoz, PEOPLE'a “Alınma şansı yoktu” diyor.
Rachael Ray Extra'da "Pek çok insan bana yazdı ve ulaştı ve bizim de çok şey kaybettiğimizi söyledi" dedi.