Soldan bir ile başlayıp her satırda ki ardışık iki terimin toplamı bir alt satırda ve toplanan sayıların arasına yazılarak oluşturulan görüntüye Pascal üçgeni denir.
Bu örüntü de elde edilen sayıların her biri kombinasyon ile de ifade edilir ve belli bir kural oluşturulabilir.
Şimdi arkadaşlar.
Aşağıda verilen örüntü de sıfırıncı satır her zaman bire denk gelir.
Birinci satır 1 1 ile başlar, ikinci satır ise birinci satırda ki ardışık iki terimin toplamıdır.
Bir ile topladığım iki yaptı.
O halde devam ediyorum.
Birlik'i topladığım üç yaptı iki de biri topladım.
Yine üç yaptı, bu ardışık iki terimin toplamı bana ortada ekini verir.
Fakat soldan hep bir ile başlayacak aynı şekilde bir ile bitecek.
Devam ediyorum.
Birle üçü topladığım dört üçlü, üçü topladığım altı 2'yle biri topladığım dört.
İşte bu sonsuza kadar bu şekilde gidiyor ve biz bu görüntüye Pascal Üçgeni diyoruz.
Tabii ki bu örüntü aynı zamanda kombinasyonundan faydalanarak da çözülebilir.
Şimdi başlayalım sıfırıncı satırda ne var?
Sıfırın sıfırlı sırası zaten sıfırın sıfır lirası nedir?
Birdir.
Birin sıfır duası birdir.
Birim birisi bu da birdir.
2'nin Sıfır Isı Yine Birdir 2'nin birisi 2'dir.
2'nin İkilisi birdir.
Bu şekilde bu da Sonsuza Kadar Gidiyor.
Şimdi Buz Burada biz ne dedik?
Ardışık iki sayının toplamı aşağıya veriliyorsa eğer, aynı kural kombinasyonuna da geçerli.
2'nin Sıfırdı sürecinin bilgisini topladım.
Üçün birisini elde ettim.
2nin Birliği sürecinin ikilisini topladım.
Üçün ikilisini elde ettim veya Üçün Birincisi Üçün İkilisi Topladığım Dördün ikilisini reddettim.
Fark ettiyseniz topladığım iki sayının bir fazlasını her zaman yukarı yazıyoruz.
O yüzden ben şöyle bir kural yazabilirim.
Emin Rallisi.
İlim nin realist mesela üçün birisi olsun üçün ikilisi yani Rehn'in bir fazlası engin r artı bir lisi.
Bana neyi veriyor?
Dördün ikilisini veriyor.
Yani E'nin bir fazlasını veriyor.
En artı bir ve sonunda ne var?
Gene iki var.
Yani R artı 1 yeni elde ettim.
İşte arkadaşlar bu kural bu Pascal üçgeninden faydalanarak buluyoruz ve bu kural çok karşımıza çıkıyor, bunu bilmiş olmamız gerekiyor.
Şimdi şöyle bir örnek verelim.
Mesela beşinci satırın.
Beşinci satırın üçüncü sütunu.
Hemen bakalım beşinci satır nedir gösterilmiş zaten üçüncü sütunun nedir?
Bir, iki, üç.
Aynı şeyi kombinasyonuna bakalım.
Beşinci satırın üçüncü sütunu bir, iki, üç.
Ne bulduk?
Beşin ikilisini bulduk.
Devam ediyorum.
Başka bir örnek vereyim.
Üçüncü satırın.
İkinci sütunu diyelim.
Üçüncü satarım dediğim ney üçüncü furyası üçün birisi.
İkinci sütunu ney üçün birisi.
Bu da üçün birisini verdi bana.
Fark ettiyseniz kaçıncı satırı veriyorsa bana oraya en yazıyoruz.
O halde şöyle yazalım.
50'inci satır rın mesela üçüncü sütunu ise 2'yi yazıyoruz.
İkinci sütun ise 1 yazıyoruz.
Yani bir eksiği şöyle yazabiliriz.
R Artı birinci sütunu.
Bana Her Zaman Neyi Verir?
Engin Rallisi'ni verir, işte bu da sorularda çok karşımıza çıkıyor arkadaşlar.
Şöyle de diyebiliriz aynı zamanda.
Mesela beşinci satırda kaç tane terim var?
Bir, iki, üç, dört, beş, altı, altı tane terim var veya dördüncü satırı.
Bakalım bir, iki, üç, dört, beş.
Dördüncü satırda beş tane terim var.
Hep bir fazlası.
Üçüncü satırda bir, iki, üç, dört, dört tane terim var.
Yani bana terim sayısının bir eksi satır sayısını veriyor, bana o 10 tane terim bir ifade veriyorsa bunun kaçıncı satırda olduğunu biliyorum.
Ben artık dokuzuncu satırda olduğunu biliyorum.
Bu da sorularda çok karşımıza çıkıyor.
Şimdi örneklere geçelim.
Pascal üçgeni nedir?
Pascal üçgeni, her satırdaki ardışık iki terimin toplamı bir alt satırda ve toplanan sayıların arasına yazılarak oluşturulan örüntüye sahip bir üçgendir. (x + y)n gibi iki terimli ifadelerin katsayılarını hızlıca bulmaya yarar. Örüntüde elde edilen sayıların her biri kombinasyon ile de ifade edilir ve belli bir kural oluşturulur. Aslında, Pascal üçgeninin sadece katsayıları bulmaya yaradığını söylemek pek de doğru olmayacaktır, çünkü bu üçgenin içinde adeta bir matematiksel hazine vardır. Pascal üçgeni ismi, Fransız matematikçi Blaise Pascal’dan gelmektedir. Ayrıca, Ömer Hayyam’ın yaptığı çalışmalardan dolayı Hayyam üçgeni olarak da bilinir.
Pascal üçgeni formülü nedir?
n sayısı satır sayısını, r sayısı sütun sayısını vermek üzere, Pascal üçgeninde istediğimiz satır ve sütunda hangi sayının bulunduğunu bu formül ile kolaylıkla bulabiliriz:
Not: Pascal üçgeni 0. satırdan başlamaktadır, yani en üstte sadece 1’in bulunduğu satır 0. satır olarak kabul edilir.
Pascal üçgeni özellikleri nelerdir?
- Her sayı, üst satırdaki iki yanında bulunan sayıların toplamıdır.
- Üçgeni çevreleyen sayılar 1’dir.
- Üçgenin simetrik olma özelliği vardır.
- Her satırdaki sayıları ondalık açılımlarına göre yazıp topladığımızda 11’in kuvvetlerine eşit olur.
- Pascal üçgeninde aynı satır numarasındaki sayıların toplamı 2’nin kuvvetlerine eşittir.