Pek de tanınmayan emekli bir istatistikçi olan Thomas Royen, 17 Temmuz 2014 sabahı dişlerini fırçalarken, on yıllardır uzmanların elinden kurtulmayı başaran; geometri, olasılık teorisi ve istatistiğin kesişiminde yer alan ünlü bir varsayıma dair ani bir aydınlanma yaşadı.
Gauss korelasyon eşitsizliği (GCI) olarak bilinen varsayım, 1950lerde ortaya çıkmış ve en düzenli haliyle 1972 yılında ileri sürülmüştür. O günden beri de matematikçileri adeta kendisine köle yapmıştır. Pennsylvania State University'den istatistikçi Donald Richards, varsayım üzerinde 40 yıldır çalışan insanlar tanıdığını söylüyor.
Thomas Royen ise 17 Temmuz sabahı varsayımı nasıl ispatlayacağına dair o ham düşünce aklına gelene kadar, Gauss korelasyon eşitsizliği üzerine çok fazla kafa yormamıştı. Daha öncesinde bir ilaç şirketi çalışanı olan Royen, ilaç deneme verilerine dair istatistiksel formülleri iyileştirmek adına daha fazla zamana sahip olması için 1985'te Almanya Bingen'deki küçük bir teknik üniversiteye geçti. Temmuz 2014'te, 67 yaşında bir emekli olarak halen formülleriyle ilgili çalışmakta olan Royen, GCI'nın; kendisinin uzun zamandan beri uzmanlaşmış olduğu istatistiksel dağılımlarla ilgili bir açıklamaya dönüştürülebileceğini keşfetti. 17 Temmuz sabahı, kanıtın kilidini açan bu genişletilmiş GCI için önemli bir türevin nasıl hesaplanacağını gördü. O günün akşamı, ispatın ilk taslağını yazdı ve bir sonraki yıl ispatını akademik önbaskı sitesi olan arxiv.org'a yükledi. Richards, Royen'in makalesini görür görmez eşitsizliğin çözüldüğünü anladığını söylüyor.
On yıllardır, Donald Richards'ın da aralarında bulunduğu uzmanlar, giderek daha da karmaşıklaşan konveks geometri, olasılık teorisi ya da analizindeki cesur yeni fikirlere ihtiyaç duyulacağı kesin olan matematiksel metodlarla GCI'yı çözmeye çalışıyorlardı. Eşitsizlik üzerinde yıllarca çalışan bazı matematikçiler ise, çözmeye çalışmaktan yorulmuş ve eşitsizliğin yanlış olduğunu düşünmeye başlamıştı. Ancak Royen'in ispatı ise yalnızca birkaç sayfa süren, oldukça kısa ve klasik tekniklerin kullanıldığı basit bir çözümdü.
Richards, durumdan birkaç meslektaşına daha bahsetti ve Royen'in LaTeX'deki kağıdını daha profesyonel görünmesi için tekrar yazmasına yardım etti. Ancak Richards ve Royen'in iletişime geçtiği diğer uzmanlar; Royen'in bu dramatik iddiasını küçümsüyor gibi görünüyordu. GCI'nın yanlış ispatları, arxiv.org'da 2010'dan beri ortaya çıkan ikisi de dahil olmak üzere on yıllar boyunca adeta art arda akıyordu. Weizmann Bilimler Enstitüsü ve Tel Aviv Üniversitesi'nden Bo'az Klartag, 2015 yılında bir meslektaşından; Royen'inkinin de aralarında bulunduğu üç ispatı içeren bir e-posta aldığını hatırladığını söylüyor. İspatlardan bir tanesini kontrol edip bir hata bulan Klartag, diğer ispatları zaman eksikliğinden kaynaklı bir kenara bıraktığını söylüyor. Bu ve diğer nedenlerden kaynaklı da Royen'in başarısı yine fark edilmedi.
Belirsiz bir kaynağın ispatları bazen ilk bakışta göz ardı edilir, fakat bu durum uzun sürmez. Royen'inki gibi önemli bir makale, normal olarak Annals of Statistics gibi yerlere yüklenmiş olsaydı, muhtemelen herkes bundan haberdar olacaktı. Fakat, Royen'in, bir kariyer telaşı olmadığı için, kendisi en iyi dergilerde tipik olarak görülen; yavaş ve çoğunlukla talep edilen hakemlik incelemesini atlamayı seçti. Bunun yerine, uzmanlar tarafından bilinmeyen ve Hindistan'ın Allahabad kentinde kurulu bir dergi olan Far East Journal of Theoretical Statistics'de hızlı bir şekilde yayınlanmasını tercih etti.
Üzerinde bulunan bu kırmızı bayrakla, ispat, göz ardı edilmeye devam etti. Sonunda Aralık 2015'te Polonyalı matematikçi Rafal Latala ve öğrencisi Dariusz Matlak, Royen'in ispatını tanıtan bir makale yayımladı. Bu makale bazı insanların Royen'in ispatını takibini kolaylaştırdı. Haber artık etrafta dolaşıyordu. Bingen'den yaklaşık 100 km uzaktaki Heidelberg Teorik Araştırmalar Enstütüsü'nden istatistikçi Tilmann Gneiting, Temmuz 2016'da, GCI'nın ispat edildiğini iki yıl sonra öğrendiği için şok olduğunu söylüyor. Philadelphia'daki Temple Üniversitesi'nden istatistikçi Alan İzenman, Şubat (2017)'de açıklama isteyene kadar Royen'in ispatından haberdar bile değildi.
Klartag, 21. yüzyılda hiç kimsenin Royen'in ispat haberinin bu denli yavaş yayılmasının nedeni hakkında pek bilgi sahibi olmadığını ve iletişim kurmanın çok kolay olduğu bir çağda bunun açıkça bir iletişim eksikliğinden kaynaklandığını söylüyor.
1972'de formüle edilen en ünlü formunda; Gauss Korelasyon Eşitsizliği, olasılık ve geometriyi birbirine bağlar: Daha yüksek boyutlardaki varsayımsal dart oyunları da dahil olmak üzere, dart oyunundaki bir oyuncunun olasılığına bir alt sınır koyar.
Bir dikdörtgen ve bir daire gibi, hedef bir noktada merkezlenmiş iki dışbükey çokgen düşünün. Hedefe atılan dart okları, çan eğrisine veya merkez noktanın etrafındaki konumların "Gauss dağılımı"na düşerler. Gauss Korelasyon Eşitsizliği, bir dart okunun hem dikdörtgenin hem de dairenin içerisine düşme ihtimalinin; her zaman, yalnızca dikdörtgenin içine düşme olasılığının ve yalnızca dairenin içine düşme olasılığının çarpımına eşit veya daha yüksek olduğunu söyler. Daha basit ifadeyle; iki şekil üst üste örtüştüğünden, birisine saplama şansınız aynı zamanda da diğerine saplama şansınızı arttırır. Aynı eşitsizliğin herhangi bir noktada ortalanmış herhangi bir sayıda dışbükey simetrik şekil için de geçerli olduğu düşünülmüştür.
GCI'nın bazı özel durumları daha önce ispatlanmıştı. Örneğin; 1977 yılında Virginia Üniversitesi'nden Loren Pitt, iki boyutlu dış bükey şekiller için eşitsizliğin doğru olduğunu ortaya koymuştu, fakat eşitsizliğin genel durumu ise onu ispatlamaya çalışan bütün matematikçilerin elinden kurtulmayı başarmıştı. Pitt, 1973 yılından bu yana, New Mexico Albuquerque'deki bir toplantıda meslektaşları ile bir öğle yemeği arasında duyduğu eşitsizlik üzerinde çalışıyordu. Pitt, eşitsizliği ilk duyduğu o gün için; "Kibirli bir genç matematikçi olmak... Kendilerini saygın bir matematik ve bilim insanı olarak gördüğüm yetişkinlerin buna cevap veremediğini gördüğümde şok oldum." diyor. Kendisini bir motel odasına kilitleyen ve ortaya çıkmadan önce de bu eşitsizliği kanıtlayacağına veya yanlışlayacağına emin olan Pitt; "50 yıl, belki daha da fazla bir süre geçti ancak cevabı hala bilmiyorum." diyor.
Hiçbir yere götürmeyen yüzlerce sayfalık hesaplamalara rağmen, Pitt ve diğer matematikçiler; 2 boyutlu ispatın GCI'nın dışbükey geometri çerçevesindeki genel ispata götürecek delil olduğundan tamamen emindi. Bu konuya ilişkin kavramsal bir düşünce yaklaşımı geliştirdiğini ve belki de aşırı bağlandığını söyleyen Pitt; Royen'in ispatının kendisinin aklından geçen şeye tamamen zıt olduğunu kabul ettiğini belirtiyor.
Royen'in ispatı, ilaç endüstrisindeki köklerine ve Gauss korelasyon eşitsizliğinin belirsiz kaynağına geri döndü. Dışbükey simetrik şekiller hakkında bir açıklama yapılmadan önce, GCI, 1959'da Amerikalı istatistikçi Olive Dunn tarafından "eşzamanlı güven aralıkları" veya birden çok değişkenin hepsinin dizildiği tahmin edilen aralıkları hesaplamak için formüle edildi.
Diyelim ki; belirli bir popülasyonun yüzde 95'inin denk düştüğü ağırlık ve boy aralığını ölçüm örneklemine dayalı olarak tahmin etmek istiyorsunuz. Eğer ki insanların ağırlık ve boylarını bir x-y düzleminde çizerseniz; ağırlıklar, x-ekseni boyunca bir Gauss çan eğrisi dağılımı oluşturur ve boylar da y-ekseninde bir çan eğrisi oluşturur. Yani, ağırlıklar ve boylar birlikte iki boyutlu bir çan eğrisini izler. Şunu sorabilirsiniz: Nüfusun yüzde 95'i bu aralıkların oluşturduğu dikdörtgenin içine düşecek şekilde ağırlık ve boy aralıkları (diyelim ki; –w < x < w ve –h < y < h ) nedir?
Eğer ki, ağırlık ve boy bağımsızsa; –w < x < w aralığına düşen belirli bir ağırlık değerini ve –h < y < h aralığına düşen belirli bir boy değerini hesaplayabilirsiniz. Ardından bunları çarparak her iki durumu da karşılayan değeri bulabilirsiniz. Fakat ağırlık ve boy ilişkili ise; dart okları ve üst üste binen şekillerdeki gibi, eğer birisinin ağırlığı, normal aralığa düşüyorsa, bu kişinin normal bir boya sahip olma ihtimali çok daha yüksektir. Eşitsizliği genelleştiren Dunn, şunları ileri sürdü: Her iki Gauss rastgele değişkeninin aynı anda dikdörtgen bölgesine düşme ihtimali; daima, her değişkenin ayrı ayrı kendi olası aralıklarına düşme olasılıklarının çarpımına eşit ya da büyüktür. (Bu, herhangi bir sayıdaki değişken için de genellenebilir.) Eğer ki, değişkenler bağımsızsa; ortak olasılık, ayrı ayrı olasılıkların çarpımıdır. Fakat değişkenler arasındaki herhangi bir korelasyon söz konusu ise bu durum ortak olasılığın artmasına neden olur.
Royen, GCI'nın yalnızca rastgele değişkenlerin Gauss dağılımına değil, belirli istatistiksel testlerde kullanılan ve gama dağılımları olarak isimlendirilen Gauss dağılımlarının kareleriyle ilgili daha genel istatistiksel dağılımlara uygulamak üzere genelleştirilebileceğini bulmuştur.
Royen, genelleştirilmiş GCI değişkenleri arasındaki korelasyon miktarını C olarak adlandırabileceğimiz bir faktörle temsil etti ve değeri C'ye bağlı olan yeni bir fonksiyon tanımladı. C=0 olduğunda (ağırlık ve göz rengi gibi bağımsız değişkenlere uyumlu), fonksiyon ayrı olasılıkların çarpımına eşittir. Korelasyonu maksimuma çıkardığınızda ise C=1 olur ve fonksiyon ortak olasılığa eşittir. İkincisinin birinciden daha büyük olduğunu ve GCI'nın doğru olduğunu ispatlamak için, Royen, C arttıkça; fonksiyonunun daima arttığını göstermek zorundaydı. Ve bu ancak, C'ye bağlı türev ya da değişim oranı her zaman pozitifse (0<C') mümkündür.
Gama dağılımlarına olan aşinalığı Royen'in "banyo lavabosunda bir parlamaya" neden oldu. Fonksiyonunu daha basit bir fonksiyona dönüştürmek için klasik bir numara uygulayabileceğini biliyordu. Aniden, bu dönüştürülmüş fonksiyonun türevinin orijinal fonksiyonun türevinin dönüşümü ile eşdeğer olduğunu fark etti. Son türevin her zaman pozitif olduğunu kolaylıkla gösterebilirdi ve bu da GCI'yı ispatlıyordu.
Ancak bazı araştırmacılar, GCI'nın hala; konveks geometrideki bazı yeni ve garip gerçeklikleri açıklamaya yardımcı olacak geometrik bir ispata ihtiyaç olduğunu düşünüyor. Örneğin Pitt, GCI'nın, konveks geometrinin yeni bir alt alanına dönüşebilen üst üste gelebilen dışbükey şekil yüzeyleri üzerindeki vektörler arasındaki ilginç bir ilişkiyi tanımladığını söylüyor.
GCI'nin geometrik uygulamalarının dışında, Richards, eşitsizlikteki bir değişkenin, istatistikçilerin, hisse senedi fiyatları gibi değişkenlerin zaman içinde dalgalandığı aralıkları daha iyi tahmin edebilmelerine yardımcı olabileceğini söylüyor. Olasılık teorisinde, GCI ispatı artık; "küçük top" olasılıklarında ortaya çıkan ve bir akışkan içinde hareket eden parçacıkların rastgele yollarıyla ilgili oranlar üzerinde kesin hesaplamalar yapmaya olanak tanır. Richards, GCI'yı genişleten ve artık Royen'in yaklaşımını kullanarak kanıtlanmaya çalışılabilecek birkaç eşitsizliği öne sürdüğünü söylüyor.
Royen'in en büyük ilgisi, örneğin; bir ilacın hastanın reaksiyon zamanı ve vücuttaki etkisi gibi çeşitli değişkenlerin ölçümlerine dayanarak yorulmaya neden olup olmadığını belirlemek için kullanılan birçok istatistiksel testteki formüllerin hesaplamasını geliştirmektir. GCI'nın genişletilmiş ispatının bazı çalışmalarını kolaylaştırdığını söyleyen Royen, ispatının sessizce kabulünün kendisini hayal kırıklığına uğratmadığını ya da şaşırtmadığını belirtiyor:"Üst düzey Alman üniversitelerindeki bilim insanları beni çoğunlukla görmezden geldiler. 'Ağ kurma' ve çok sayıda kişiyle bağlantılı olma konusunda pek de yetenekli birisi değilimdir. Yaşam kalitem için de böyle şeylere ihtiyacım yok. Önemli bir ispatı bulmanın beraberinde getirdiği derin sevinç benim için yeterli bir ödüldür. Bir problem üzerinde uzun bir süre boyunca çalışabiliriz ve aniden bir "melek" —burada nöronlarımızın gizemini şairene biçimde ifade ediyor— iyi bir fikir getirir. "
- A Long-Sought Proof, Found and Almost Lost. Quanta Magazine, (March 28, 2017) https://www.quantamagazine.org/statistician-proves-gaussian-correlation-inequality-20170328? (accessed December 3, 2017)
Dilediğiniz miktarda aylık veya tek seferlik bağış yapabilirsiniz.Destek Ol