Aşikar olmayan bir örnek diye sormak istemiştim aslında. $\mathbb{Q}$ cisim olduğu için doğal olarak yerel bir halka ama örnekte en azından ben genel örneklerin ne gibi olabileceğinin ipucunu göremiyorum.
Genel olarak verdiğiniz örnekteki durumun olması gerektiği açık. Tersinir olmayan bir elemanın tersinir bir elemana gitmesi gerekiyor, yerel halka homomorfizmaması için. Ve örnekteki fonksiyon bir cisme gittiği için otomatikman bu şartı sağlıyor. Ancak.. Diyerek itiraz edecektim ama bu örneğin aslında genel duruma dair bir fikir verdiğini fark ettim.
Örneğin $A,\mathcal{m}_A$ ve$B,\mathcal{m}_B$ iki yerel halka olsunlar ve $\varphi$ bunlar arasında bunlar arasında bir halka homomorfizması olsun. Ve ekstra olarak $A$ halkasının tek üreteçli ideal bölgesi olduğunu varsayalım ve $\pi$ de $\mathcal{A}_A$'nın bir üreteci olsun. Eğer $(\pi)=\mathcal{m}_A$'dan bir elemanın görüntüsü tersinir ise $\pi$'nin görüntüsü de tersini olmak zorunda. Bu da şu demek oluyor. Eğer $\varphi$ yerel halka homomorfizması değilse, $B$ halkası için $B_{\phi(\pi)}=B$ olmalı. Mesela $\varphi$ birebir ise bu $B$ halkası $A$'nın kesirler biçiminin izomorfik bir kopyasını içeriyor demek.
Buradan yola çıkarak şu örnek de verilebilir:
$$k[x]_{(x)}\hookrightarrow k(x)[y]_{(y)}$$.
Yine de birebir olmayan ilginç bir örnek görmeyi isterim.