Türevin geometrik yorumu
Türev nedir sayfamızdaki tanımlardan da anlayabileceğiniz üzere, türev bir fonksiyonun ne hızla değiştiğini ölçer. Bir fonksiyon belirli bir aralıkta sabit kalıyorsa, o aralıktaki türevi sıfırdır. İlgili fonksiyonun değeri yükseliyorsa türevi pozitif, düşüyorsa türevi negatiftir. Hızlı ya da yavaş değişmesi türevin büyüklüğünü belirler.
Yukarıdaki şekil incelenirse,
1. Turuncu fonksiyonlar X'in değişiminden etkilenmedikleri ve hep sabit kaldıkları için, bu fonksiyonların türevi sıfırdır. Yani değişim miktarları sıfırdır. Yine bu fonksiyonların eğimi sıfırdır.
2. Yeşil fonksiyon ise X'in artışıyla yükselmektedir. Bu fonksiyonun eğimi ya da türevi sabittir ve pozitif bir sayıdır. Buradaki sabitlik, aynı eğimle devam ettiğini ifade eder. Eğimi %5 olan bir yola benzetebilirsiniz.
3. Mavi fonksiyonun eğimi ya da türevi yeşil fonksiyona göre daha büyüktür. Bunu da eğimi %10 olan bir yola benzetebilirsiniz. Bu mavi yol boyunca eğrinin eğimi, ve böylece türevi sabittir.
4. Kırmızı fonksiyon X büyüdükçe azalmaktadır. Yani eğimi ve türevi sabit olmakla birlikte negatiftir. Buradaki sabitlik, eğimin X'e göre değişmediğini ifade eder. Yolun başında da sonunda da %-5 eğimli bir yola benziyor.
5. Sağ taraftaki sarı fonksiyon incelenirse, ilk başlarda (küçük X'ler için) X'in artmasına rağmen Y'de çok fazla bir değişikliğe sebep olmadığı görünüyor. Demek ki buralardaki türev ya da eğim sıfıra çok yakın. Daha sonradan, X'in artışına göre Y'nin daha fazla arttığını görebiliyoruz. Dolayısıyla, bu fonksiyonun türevi X'te sağa doğru gidildikçe büyüyor.
6. Turkuaz fonksiyonun eğimi veya türevi sarı fonksiyona göre hep daha büyük görünüyor. Herhangi bir X noktasında hangisi daha eğimli diye sorsak, herkesin cevabı turkuaz olan yol şeklinde olacaktır. Demek ki turkuaz fonksiyonun eğimi ve türevi bu görünen aralıkta sarı fonksiyondan daha büyük.
7. Mor fonksiyonu bir bayıra ya da tepeye benzetebiliriz. İlk aşamada oldukça eğimli bir yolda hareket etmek gerekiyor. Yani, başlarda türevi oldukça büyük. Tepeye yaklaştıkça, eğim azalıyor. Buradan türevin de azaldığı sonucunu çıkartabiliriz. Tepe noktasına ulaştığımızda eğimsiz bir noktaya gelmiş bulunacağız. Bu noktada fonksiyonun türevi sıfırdır. Daha sonrada, tepeden aşağıya doğru inmeye başlıyoruz. Artık, negatif bir eğimle ya da türevle karşı karşıya kalıyoruz. Aşağıda doğru indikçe eğim negatif olarak artmaya devam ediyor.