Bir kutu el yazması ve üç defter. Efsanevi Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan’ın çalışmalarından bize geriye kalanlar bunlardan ibaret. Ancak bu kadarı bile bizleri şaşırtmaya devam ediyor. Emory Üniversitesi’nden iki matematikçi, onun sararmış sayfaları içerisinde büyüleyici bir keşif yaptı. Bu keşif Ramanujan’ın zamanının çok daha ilerisinde olduğunu bir kere daha gösterdi. Ayrıca matematik tarihindeki önemli noktalar arasında güzel bir bağlantı sağladı. Aslında anlaşıldı ki Ramanujan, ilginç sonuçlar doğuran bir teori geliştirmekle meşguldü. Sadece yayınlayacak kadar uzun yaşamamıştı. Keşfin bir ucunda bir çoğumuzun adını duyduğu 1729 sayısı diğer adıyla Taksi sayılar bulunuyordu.
Taksi sayılar ile matematik dünyası G.H. Hardy tarafından anlatılan anekdot ile tanıştı. Anekdot şu şekildeydi: “Bir keresinde Putney’de hasta olduğu zaman (Ramanujan’ı) görmeye gittiğimi anımsıyorum. 1729 numaralı bir taksi ile yolculuk yaptım ve bu sayının bana oldukça sıkıcı geldiğini söyledim. ‘Hayır’ diye yanıtladı, ‘Çok ilginç bir sayı. İki küpün toplamı olarak iki farklı şekilde ifade edilebilen en küçük sayıdır.’
.Ramanujan aslında 1993’te Andrew Wiles tarafından kanıtlanmış olan Fermat’ın Son Teoremi nedeniyle iki küpün toplamıyla ilgileniyordu. Ramanujan’ın söylemeye çalıştığı da aslında şuydu. 1729=13+123=93+103. Notları arasından bulunan aşağıdaki sararmış sayfada bunun bir kanıtıydı.
Ramanujan’ın Notlarında Fermat’ın Son Teoremi
1637’de Fransız matematikçi Pierre de Fermat tarafından öne sürülen ifade ” Eğer n, 2’den büyük bir sayı ise xn+yn=zn denklemini sağlayan x, y ve z gibi pozitif tam sayılar yoktur.” biçimindeydi. Denklemi karşılayan herhangi bir pozitif tam sayı üçlüsü Fermat’nın iddiasını, yanlış hale getirecekti.
Ramanujan x, y ve z’nin tam sayı değerleri için x3 + y3 = z3 ± 1 biçimindeki denklemleri araştırıyordu. Sonsuz sayıda çözüm olduğunu gösterdi ve ayrıca çözümleri elde etme prosedürünün ana hatlarını çizdi. Yukarıda gördüğünüz defterindeki 93 + 103 = 123 + 1, 63 + 83 = 93 – 1 işlemleri özel çözümleri içeriyordu. Sondaki 1 sayısını da 13 olarak düşündüğünüzde bu eşitlikler Taksi Sayılarını veriyordu. Ama bu kadarla da kalmadı.
Emory Üniversitesi’nde sayı teorisyeni Ken Ono ve lisansüstü öğrencisi Sarah Trebat-Leder Ramanujan’ın çalışmalarındaki diğer sayfalara göz gezdirirken, ilginç bir şeye daha rastladılar. Ono ve Trebat-Leder, Ramanujan’ın eliptik eğriler teorisini incelediğini fark ettiler. Eliptik eğriler, 1990’larda Andrew Wiles’ı nihayete erdiren kanıtında önemli bir role sahip olmuştu. Ancak Ramanujan, Wiles’ın izlediği yoldan gitmemişti. Bunun yerine eliptik eğrilerden daha karmaşık bir nesne keşfetmişti. Bu tür nesneler Ernst Kummer, Erich Kähler ve Kunihiko Kodaira’nın katkılarıyla kırk yıl sonra yeniden keşfedildiğinde K2 dağı kadar tırmanması zor olduğu için K3 yüzeyleri adı ile anılmaya başlanacaktı. Ramanujan, K3 yüzeyi için formüller geliştirmek için 1729 sayısı ve eliptik eğrileri kullanıyordu. Matematikçiler günümüzde hala K3 yüzeylerini hesaplamak için çalışmalarına devam etmektedir.
Taksi Sayılar Nedir?
Genel hali ile Taksi sayılarını Tα (n), iki pozitif küpün n farklı şekilde toplamı olarak ifade edilebilen en küçük sayı olarak tanımlanır. Taksi sayılar denmesinin nedeni de yukarıda aktardığımız anekdottur. Hardy’nin bu hikayeyi sık sık tekrarlaması, 1.729’un matematikte en iyi bilinen sayılardan biri olmasını sağladı. Aslında bu sayının benzersiz özelliklerini ilk not eden Ramanujan değildi. Fransız matematikçi Bernard Frénicle de Bessy de 1600’lerde aynı konuda çalışmalar yapmıştı. Ancak Taksi hikayesi sonraki matematikçilerin konuyu incelemesine ve uygulama alanını genişletmesine sebep oldu.
Tα (n) ‘nin tüm n değerleri için var olduğu aslında kanıtlandı. Hatta 2014 yılına kadar ilk altı taksi sayı yani Tα (1), Tα (2), …, Tα (6) bulundu. Özellikle son üç sayının hesaplanabilmesi için süper bilgisayarların kullanılması gerekiyordu. Günümüzde daha büyük Taksi sayıları içinde aramalar devam etmektedir. Bu sayıları gördükten sonra bir işe yarayıp yaramadıkları sorusu muhtemel aklınıza gelecektir. Bu sayılar matematikte pratik anlamda fazla bir işe yaramaz. Ancak matematikçiler bu tür arayışlarını sürdürürken de bununla fazla ilgilenmez.
Kaynak:
- Plus Magazine, Marianne Freiberger, Ramanujan Suprises Again, https://plus.maths.org/content/ramanujan
- How a ‘rather dull’ taxi number inspired Ramanujan to make a math discovery decades ahead of his time; https://www.zmescience.com
- The Math Book: Big Ideas Simply Explained; DK; ISBN: 1465480242
Matematiksel