Türev ve integral, matematiksel evrenin yapı taşlarındandır. Sadece okullarda bu ikili yüzeysel olarak ve çoğunlukla ezbere dayalı çözümlerle anlatılır. İki kavram da aslında öylesine temel ve öylesine basittir.
ilk düşünceler MÖ 200’lerde Arkhimedes’den ve 17.yy’da Fermat’dan geldi. İngiltere’de Newton ve Almanya’da Leibniz birbirlerinden bağımsız olarak bu kavramların temellerini attılar. Böylece Kalkülüs terimi oluşmaya başladı ve bununla beraber onun temelini oluşturan türev ve integral.
Bu iki kavram bir araya kalkülüsün temel teoremi ile gelebildi. Bu temel teorem der ki: “İntegral ve türev birbirlerinin tersidirler, bir fonksiyonun türevinin integrali fonksiyonun kendisine eşittir.”
İnce bir S’ye benzeyen ∫ sembolüne “integral işareti” denir ve sonsuz toplamı temsil eder.
Türev ve integral kavramlarının kendileri de daha temel bir şeyden gelmekte idi. Türev ve integral şu soruları yanıtlama arzusunun sonucu olarak bulunmuşlardı:
i. Bir eğri ile sınırlanmış bir bölgenin alanı nedir?
ii. Hareket eden bir parçacığın anlık hızı nedir?
Bunlar, matematiğin, çağıl bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır.
Türev, herhangi bir süre aralığındaki değişiklik miktardır. Kısaca “değişiklik“i ölçmek için kullanılır. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişiklik miktarını, ifade etmek için kullanılır.
Teknik tanımlara girmeden pratikte anlatmaya çalışalım bu kavramları sizlere.
Mesela damlayan musluğun altına bir kova koyduğunuzu düşünelim. Birim zamanda (mesela 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişiklik miktarı türev ile hesaplanır. Bu durumda türev, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. ( Musluğun düzenli akıttığını kabul edelim)
İntegral ise, belli bir değerin, belli bir öteki değere göre değişiminin toplamıdır.
Mesela damlatan musluğumuzu düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.
Grafiklerin Türev ve İntegrali
Bu aşamada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir öteki nokta da anlaşılır hale gelebilir.
Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: “türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle anlatılır.”
Türevin anlamını hatırlayın: değişiklik!
Elimizdeki grafik (ya da “geometrik eğri”) bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir “anındaki”) değişiklik, eğri üstünde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişiklik geçirmemiz gerektiğidir.
Bunu tam olarak saptamak mümkün değildir, sadece o noktada grafiğe çizilen bir teğet, dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. Teğet ne kadar “dik” ise, o denli süratli bir değişiklik var anlamına gelir, ne kadar yataysa, değişiklik o denli azdır.
İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Esasen tanımı gereği, integralin “iki aralık içinde değişen bir değişkenin toplamı” olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.
Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana gore integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir.
Sadece ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak bulunduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki süre sınırı içinde alınan toplam yola eşittir.
İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine gore (Δx yada dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik içinde kalan alanı hesaplamış olmuş olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.