Not: Yazıdaki matematik sembollerini düzgün görüntülemek için LateX yazı tiplerinin 15-20 sn kadar yüklenmesini bekleyin..
Pi sayısı, herkesin okul yıllarından iyi ya da kötü hatıralarla hatırladığı, çizebileceğiniz her çemberin çevresinin çapına oranına eşit olan bir sayı. Sayı doğrusunda tam sayılar ve rasyonel sayıların dışındaki tüm boşlukları dolduran gerçel sayıların bir üyesi ve ondalık gösteriminde virgülden sonra rakamları kendini tekrar etmeden sonsuza kadar gidiyor. Bu özelliği sayesinde örneğin $\pi$ sayısı içinde kendi doğum tarihinizi ard arda gelecek şekilde gün-ay-yıl-saat-dakika-sn sıralamasında kesin olarak bulunduğunu biliyorsunuz (denemek isteyenler için) fakat bunun hangi basamakta olacağını kesin olarak tahmin etmek çok güç.. Bu konu başlı başına bir $\pi$ Günü yazısı olabilir fakat benim bahsedeceğim, $\pi$'nin bana göre çok daha ilginç ve ağzı açık bırakan başka bir özelliği: Pi sayısının istenilen herhangi bir basamağını basit bilardo topları ile hesaplayabilen bir yöntem..
Kullanacağımız yöntem matematiksel fizikte ifade edilmesi oldukça kolay fakat çözümü ile ortaya çıkan sonuçları muhteşem karmaşıklıktaki problemlerden biri: Bilardo problemi.. Özellikle dinamik sistemler ve istatistiksel mekanikte çokça referans verilen ve içinde oldukça derin yöntem ve sonuçlar barındıran bu problemlerden en basitini düşünelim: Elimizde biri diğerinden daha ağır iki tane ideal bilardo topu ve düz bir doğru üzerinde bir tarafta bir duvarımız var. Bilardo toplarını duvara göre kütlesi az olan ortada olacak şekilde yerleştiriyoruz ve kütlesi büyük olanı hızla gönderip ufak olana çarptırıyoruz.
Örneğin $N=1$ olsun; bu durumda $M/m=100^1=100$ yani büyük top, küçük topun kütlesinin 100 katı kadar.. Bu durumda sistemdeki çarpışma sayısı $\pi$'nin ilk 1 basamağı, yani 3. Eğer $N=2$ ise yani $M/m=100^2 = 10000$ ise çarpışma sayısı $\pi$'nin ilk 2 basamağı: 34. $N=3$ için çarpışma sayısı 314, $N=4$ için ise 3141. Günün sayısı 31415 için ise $N=5$ almamız yeterli.. Bu yöntemle çarpışan cisimlerin kütle oranlarını $N$'ye bağlı olarak değiştirerek $\pi$ sayısının istediğimiz basamağını tam olarak hesaplayabiliyoruz... Bu yöntemi etkileyici kılan şey, yazının da başında belirttiğim üzere $\pi$ sayısının basamakları kendini tekrar etmediğinden dolayı istediğiniz bir basamağını ancak elle ya da bilgisayarla hesaplamak durumundasınız.. Artık elinizde bir başka yönteminiz daha var: iki bilardo topunu çarpıştırmak!
$\pi$ Gününüz kutlu olsun!
Meraklılar İçin Kaynaklar:
Problem ve çözümüyle ilk karşılaştığım yer Numberphile videosu: Pi and Bouncing Balls
Bu yöntemi ortaya koyan G. Galperin'in problemin çözümüne dair yazdığı harika makale: Playing Pool with Pi
'Bilardo topları' probleminin dinamik sistemler ve kaos konusuyla ilişkili olarak nelere kadir olduğuna dair Plus dergisindeki yazı: Chaos on the Billiard Table
Tübitak Yayınlarından zamanında yayınlanan 'Pi Coşkusu' kitabı..