Topolojinin başlangıcı,ünlü Königsberg Köprüleri problemi'nin 1736'da çözülüşüne dayanır.Königsberg (18.yy da alman kentiydi,şimdi rusya'da.) pregel ırmağı üzerindeki iki adadan oluşan bir kenttir.Adalar yedi köprüyle birbirine bağlanır.Adalardan biri ırmağın iki kıyısına ikişer köprü;diğeri de birer köprü ile bağlanmıştır.Ayrıca iki ada arasında bir köprü vardır.Kentte pazar günleri her köprüden yalnızca bir kez geçerek,bütün köprülerin üzerinden geçmeye çalışmak gelenekselleşmişti.Bu problem İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in (1707-1783) dikkatini çekinceye kadar hiç kimse tarafından çözülememişti.O sırada Euler St. Petersburg'da Rusya çariçesi Büyük Katerina'nın hizmetindeydi.Euler bu problemi çözerken matematiğin topoloji alanının temellerini attı.Königsberg Köprüleri problemi'ni, topolojinin günümüzde graf (çizge) teorisi olarak bilinen alanını kullanarak çözdü.Grafları kullanarak her köprüden bir kez geçmenin olanaksız olduğunu kanıtladı.
19 yy'da matematikçiler,diğer Öklit dışı geometrilerle birlikte topoloji alanında da çalışmalar yapmışlardı.Topoloji konusunda ilk kitap 1847'de yazılmıştır.Graf (çizge) ,temel olarak bir problemin çizimidir.Königsberg Köprüleri problemi'ni gösteren çizge yandaki gibidir.bir graf düğümler ve kirişlerden oluşur.Her kirişten yalnızca bir kez geçerek bütün kirişlerden geçersek ,grafı dolaşmış oluruz.Düğümlerden istediğimiz kadar geçebiliriz.Çizimde Königsberg Köprüleri problemi'ndeki düğümler A,B,C,D olarak gösterilmiştir.Her düğümden geçen kirişlerin sayısına bakarsak,A,D ve B'deb 3'er,C'den 5 kiriş geçtiğini görürüz.hepsi tek sayı olduğundan bunlara tek dereceli düğümler denir.Çift dereceli bir düğümden çift sayıda kiriş geçer.Euler,bir grafın tek dereceli ve çift dereceli düğümlerinin sayılarına ve grafın dolaşılabilir olmasına ilişkin birçok özellik buldu.Bir düğümün tek dereceli olması için,grafı dolaşmaya ya o düğümden başlanması ya da orada bitirilmesi gerektiğini belirtti.Bir grafın yalnızca tek bir başlangıç ve tek bir bitiş noktası olması gerektiğini;böylece dolaşılabilir bir grafın yalnızca 2 tane tek dereceli düğümünün olabileceğini ortaya çıkardı.Bunun sonucunda ,Königsberg Köprüleri problemi'nin grafında 4 tane tek dereceli düğüm olduğu için,bu grafın dolaşılamaz olduğu bulundu.