Sürekli rastgele değişken, türleri ve dağılımı
Sonlu veya sayılabilir sonsuz değerleri alan rastgele değişken, ayrık rastgele değişken olarak bilinir ve olasılıklı çifti, ayrık rastgele değişkenin dağılımını oluşturur. Şimdi değerleri sayılamayan olarak alan rastgele değişken için, tartışacağımız olasılık ve kalan özellikler ne olurdu. Dolayısıyla kısaca sürekli rastgele değişken, değerleri sayılamayan rastgele değişkendir. Sürekli rastgele değişken için gerçek yaşam örneği, elektrikli veya elektronik bileşenlerin ömrü ve belirli bir kamu aracının duraklara gelişi vb.
Sürekli rastgele değişken ve olasılık yoğunluk fonksiyonu
Rastgele değişken x üzerinde negatif olmayan gerçek değerli bir fonksiyon için ise sürekli rastgele değişken olacaktır. ∈ ℝ ve B ⊆ ℝ ve
bu fonksiyon f olarak bilinir Olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen rastgele değişken X'in
The olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki olasılık aksiyomlarını açıkça karşılar
Olasılığın aksiyomlarından toplam olasılığın bir olduğunu bildiğimiz için
Sürekli rastgele değişken için olasılık, f fonksiyonu cinsinden hesaplanacaktır, diyelim ki [a, b] sürekli aralığı için olasılığı bulmak istediğimizi varsayalım, o zaman şöyle olur:
Bildiğimiz gibi, entegrasyon eğrinin altındaki alanı temsil eder, bu nedenle bu olasılık, olasılık için böyle bir alanı gösterir.
a=b'yi eşitleyerek değer
ve benzer şekilde, bunu izleyerek belirli bir değerden küçük veya ona eşit değerin olasılığı şöyle olacaktır:
Örnek: Elektronik bileşenin sürekli çalışma süresi, sürekli rastgele değişken şeklinde ifade edilir ve olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:
bileşenin 50 ila 150 saat arasında etkin bir şekilde çalışma olasılığını ve 100 saatten az olma olasılığını bulun.
Rastgele değişken sürekli rastgele değişkeni temsil ettiğinden, soruda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu toplam olasılığı şu şekilde verir:
Böylece değerini alacağız λ
λ =1/100
50 saatten 150 saate kadar olan olasılık için
benzer şekilde 100'den küçük olasılık
Örnek: Bilgisayar tabanlı cihaz, olasılık yoğunluk fonksiyonu tarafından verilen ömrü olan çok sayıda yonga setine sahiptir.
150 saat sonra toplam 2 çipten 5 çip setini değiştirmemiz olasılığını bulun.
düşünelim Ei i-th yonga setini değiştirme olayı olacak. yani böyle bir olayın olasılığı
tüm çiplerin bağımsız çalışması nedeniyle 2'nin değiştirilme olasılığı
Kümülatif dağılım fonksiyonu
Sürekli rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu, olasılık dağılım fonksiyonu yardımıyla şu şekilde tanımlanır:
başka bir biçimde
olasılık yoğunluk fonksiyonunu dağılım fonksiyonu yardımıyla şu şekilde elde edebiliriz:
Sürekli rasgele değişkenin Matematiksel Beklenti ve Varyansı
Beklenti
The sürekli rastgele değişkenin matematiksel beklentisi veya ortalaması olasılık yoğunluk fonksiyonu ile şu şekilde tanımlanabilir
- Sürekli rastgele değişkenli herhangi bir reel değerli fonksiyon için X beklentisi
g gerçek değerlidir işlev.
- Herhangi bir negatif olmayan sürekli için rastgele değişken Y beklenti olacak
- a ve b sabitleri için
E[aX + b] = aE[X] + b
Varyans
Sürekli rastgele değişken X'in parametre ortalaması veya beklentisi ile varyansı ayrık rastgele değişken olarak benzer şekilde tanımlanabilir
Yukarıdakilerin hepsinin kanıtı beklenti ve varyans özellikleri kesikli rasgele değişkende sahip olduğumuz adımları ve sürekli rasgele değişken açısından beklenti, varyans ve olasılık tanımlarını takip ederek kolayca elde edebiliriz.
Örnek: Sürekli rasgele değişken X'in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilirse:
sonra sürekli rasgele değişken X'in beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm: Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu için
tanım gereği beklenen değer
Şimdi ihtiyacımız olan varyansı bulmak için E[X2]
Dan beri
so
Tek tip rastgele değişken
Sürekli rasgele değişken X, tarafından verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahipse
(0,1) aralığı boyunca bu dağılım düzgün dağılım olarak bilinir ve rastgele değişken düzgün rastgele değişken olarak bilinir.
- 0 olacak şekilde herhangi bir a ve b sabiti için
Tekdüzen rasgele değişkenin Beklenti ve Varyansı
Genel aralıktaki (α , β) tekdüze sürekli rastgele değişken X için tanım gereği beklenti şöyle olacaktır:
ve ilk E[X'i bulursak elde edeceğimiz varyans2]
so
Örnek E-posta: Belirli bir istasyonda, belirtilen varış yeri için trenler sabah 15'den itibaren 7 dakika sıklıkta gelir 7 ile 7.30 saatleri arasında istasyonda olan yolcu için eşit dağılmış durumda olan yolcunun 5 dakika içinde trene binmesi olasılığı kaçtır? ve 10 dakikadan fazla olasılık ne olacak.
Çözüm: 7'den 7.30'a kadar olan süre, tren istasyonunda olacak yolcu için üniform olarak dağıtıldığından, bunu tek tip rasgele değişken X ile ifade edin. bu nedenle aralık (0, 30) olacaktır.
5 dakika içinde trene binmek için yolcunun istasyonda 7.10 ile 7.15 veya 7.25 ile 7.30 arasında olması gerektiğinden, olasılık şöyle olacaktır:
= 1 / 3
Benzer şekilde, 10 dakikadan fazla bekledikten sonra trene binmek için yolcunun 7'den 7.05'e veya 7.15'ten 7.20'ye kadar istasyonda olması gerekir, bu nedenle olasılık olacaktır.
Örnek: (0,10 ) aralığında dağıtılan tek tip rastgele değişken X'in olasılığını bulun.
X<3, X>6 ve 3 için
Çözüm: rasgele değişken düzgün dağılmış olarak verildiğinden, olasılıklar
Örnek E-posta: (Bertrands Paradoksu) Bir dairenin herhangi bir rastgele akoru için. Bu rastgele kirişin uzunluğunun, aynı daire içinde yazılı eşkenar üçgenin kenarından daha büyük olma olasılığı nedir?
Bu problemin rasgele kiriş hakkında bir açıklığı olmadığı için bu problem çap veya açı açısından yeniden formüle edilmiş ve ardından 1/3 olarak cevap elde edilmiştir.
Sonuç:
Bu makalede sürekli rasgele değişken kavramı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu ile dağılımı tartışılmış ve sürekli rasgele değişken için istatistiksel parametre ortalaması, varyansı verilmiştir. Birbirini izleyen makalede sürekli rastgele değişkenin türü olan tekdüze rastgele değişken ve örnekle dağılımı verilmiştir, uygun örnekler ve özelliklerle bazı önemli sürekli rastgele değişken türlerine odaklanacağız. , daha fazla okumak istiyorsanız, şuraya gidin:
Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Matematik hakkında daha fazla konu okumak istiyorsanız, devam edin Matematik Sayfası.