Ana Sayfa » Yıl 8, Sayı 31 (Ekim 2013) » BOYAMAK NE KADAR ZOR OLABİLİR?
MAKALELER
Doç. Dr. Cansu Betin - Yrd. Doç. Dr. İnci Erhan
16.08.2013 tarihinde Cumhuriyet gazetesi Bilim Teknoloji ekinde yayımlanmıştır.
BOYAMAK NE KADAR ZOR OLABİLİR?
Botaniğe ve dağcılığa meraklı olan 21 yaşındaki İngiliz genç Francis Guthrie (1831- 1899) bir gün elindeki İngiltere haritasını boyarken bir şey fark etti. Görünüşe göre bütün haritayı, birbirine komşu* bölgeler farklı renklerden olacak şekilde, boyamak için dört renk yeterli idi. Bunu ispatlayabilir miydi? Francis matematik eğitimi gördüğü Londra Üniversitesinden iki yıl önce mezun olmuş, ardından da hukuk eğitimi almıştı. Bu çıkarımını, kendisi gibi matematik eğitimi gören küçük kardeşi Frederick aracılığı ile, öğrencisi olduğu dönemin ünlü matematikçilerinden Augustus De Morgan’a iletti (23 Ekim 1852). Dört Renk Problemi De Morgan’ı çok etkilemiş ve heyecanlandırmıştı. Öyle ki aynı gün meslektaşı Sir William Rowan Hamilton’a bir mektup yazarak problemi anlattı.
“Sevgili Hamilton,
...
Bugün bir öğrencim bana doğruluğunu bilmediğim bir olgunun nedenini sordu ki bunun doğruluğunu hala bilmiyorum. Öğrencimin iddiasına göre, düzlemsel bir şekli bölümlere ayırıp, ortak sınırı olan bölümleri farklı renklere boyamak için sadece dört renk yeterlidir.
...Bunu ne kadar çok düşünürsem, o kadar aşikar (açık) görünüyor. Kendimi aptal bir hayvan gibi hissettirecek basit bir aksi örnek sunabilirsen, bu konuda sanırım Sfenks kadar sessiz kalmalıyım.
...
İçten Dileklerimle
A De Morgan”
Ancak dört gün sonra Hamilton problemi ilginç bulmadığını belirten bir yanıt yazdı. Bu cevap De Morgan’ın heyecanını etkilememişti. Dört Renk Problemi De Morgan aracılığı ile matematik dünyasında tanındı ve birçok matematikçi tarafından çözülmeye çalışıldı.
1878 yılında Arthur Cayley, Londra Matematik Cemiyeti’ne sordu: “Dört Renk Savı hala ispatlanamadı mı?” Cayley her ne kadar problemi çözemese de kolay gibi görünen bu sorunun analizini yaptı ve zorluklarını anlatan bir makale yazdı. Bir yıl sonra müjdeli haber Alfred Bray Kempe’den geldi. Bugün “Kempe Zincirleri” diye adlandırılan yeni bir yöntemle Dört Renk Savı’nın doğruluğunu ispatlayan bir makale yayınladı. Ayrıca 1880’de fizikçi Peter Guthrie Tait tarafından ünlü savın bir başka ispatı yayınlandı. Problem artık çözülmüştü!


On yıl sonra Dört Renk Problemi yeniden tartışma konusu oldu. 1890 yılında İngiliz matematikçi Percy John Headwood, Kempe tarafından yapılan ispatta bir hata buldu. Sonrasında Headwood bu problemi tüm matematik hayatının merkezine koyacaktı. Headwood, bu problemi beş renk için ispatladı ve problemi düzlem yerine küre ve torus (simit) gibi kapalı yüzeylerde çözmeye çalıştı. Kempe’den bir yıl sonra Tait’in ispatının da yanlış olduğu anlaşıldı.
Acaba matematikçilerin sonuca ulaşmak için ellerindeki malzemeler yeterli miydi? Başkanlığını yürüttüğü enstitünün ihtiyaçları sorulduğunda ünlü matematikçi Andre Weil şöyle cevap vermişti: “Bize yeterli tebeşir verin.”
|Francis Guthrie|
Dört Renk Problemi yüz yılı aşkın bir süre boyunca matematikçiler tarafından tebeşirle tahta başında veya kağıt-kalem kullanılarak çözülmeye çalışıldı. Nihayet 1976 yılında Kenneth Appel ve Wolfgang Haken, Dört Renk Savı’nı ispatladığını duyurdu. Ancak ispat bilgisayar kullanılarak yapılmıştı. Bütün olasılıkların kontrol edilmesi için bilgisayar yaklaşık 1200 saat (50 gün) çalışmıştı. Bu dünyanın ilk bilgisayar destekli matematik ispatı idi.
Bu önemli olayın duyurulması matematik dünyasında büyük heyecan yaratmadı. 100 yılı aşkın bir süre sonra gelen ispat hak ettiği ilgiyi göremedi. Bunun sebebi ispatın bilgisayar tarafından yapılması ve doğrulunun kağıt-kalem ile kontrol edilemez olmasıydı. Ayrıca matematiği bir sanat olarak gören kimi matematikçiler için bu çözüm “estetik” değildi.


Bilgisayar destekli ispat konusu matematikçileri ikiye böldü. Örneğin Halmos, bilgisayarın yaptığı ispatları ünlü falcıların söylediklerine benzetti. Deligne isimli bir başka matematikçi bilgisayar ispatlarına inanmadığını belirtti. Bunun dışında, bilgisayar ispatının destekçileri de az değildi. 1981 yılında Bures-Sur-Yvette isimli matematikçi Feigenbaum Savı’nı bilgisayar yardımıyla ispatladı. 1988’de Concordia Üniversitesinde bir grup araştırmacı, geometri ispatlarında çeşitli durumları incelemede bilgisayar kullandı. İlerleyen yıllarda Appel ve Haken’in Dört Renk Teoremi’nin ispatında kullandıkları algoritma matematikçiler tarafından geliştirilerek günümüzün bilgisayarları ile çok daha hızlı sonuç veren hale geldi.
Dört Renk Teoremi, son derece basit görünen bir matematik problemi olmasına rağmen yüzyıldan fazla bir süre matematikçilerin ilgisini çekti. Daha da ötesi, bu teorem matematikçilerin ispat kavramını ve yöntemlerini sorgulamalarına neden olarak matematik tarihinde özel yerini almış oldu.
|Kenneth Appel ve Wolfgang Haken|
* Bu problemde, iki ülkenin sınırı noktasal ise bu iki ülke komşu sayılmamaktadır.
Kaynaklar:
1) The Four-Color Theorem, R. Fritsch, G. Fritsch
2) The Journey of The Four Color Theorem Through Time, A. S. Calude
3)http://www-history.mcs.st andrews.ac.uk/Obits2/Weil_NYTimes.html
4. Four Colur Suffice, R. Wilson, EMS Newsletters, Aralık 2002.
Yayın Kurulu: Prof.Dr. İsmail Bircan, Uzman Nilüfer Ünal, Osman Kutlu
Editör: Gülden A Pınarcı
3 Ayda bir yayınlanır.