Türev ve İntegrali Anlamak
Bu yazının içerik özgünlüğü henüz kategorize edilmemiştir. Eğer merak ediyorsanız ve/veya belirtilmesini istiyorsanız, gözden geçirmemiz ve içerik özgünlüğünü belirlememiz için [email protected] üzerinden bize ulaşabilirsiniz.
Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır. İyi, bu işlemleri yapalım da... Neden? Ne işe yarıyor? Ya da öğrencilerin daha sık sorduğu şekliyle: Gerçek hayatta ne işimize yarayacak?
En başından şu kadarını söyleyeyelim: 21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri, türev ve integrale dayalıdır! Dolayısıyla gelin bu iki kavramın gerçekten ne olduğunu, basit bir şekilde anlayalım:
Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak
Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız: Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani "değişim"i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da "biriken değişim miktarını" ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.
Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranı türevdir! Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş (ya da genel olarak, değişen hızlarda) akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. İşte tavanın akıtma hızını matematiksel olarak ifade eden formül her neyse, o formülün zamana göre "türevini almak", birim zamandaki değişim miktarını bulmanızı sağlar. Eğer ki tavan her saniye 1 damla akıtıyorsa, bu davranış V=t formülüyle temsil edilebilir. Neden? Çünkü t, yani zaman her 1 birim (örneğin 1 saniye) arttığında, hacim de 1 birim (örneğin 1 damla) artacaktır. 10 saniye sonra, kovada 10 damla su bulunacaktır. Peki ya değişim? Türevini alalım: y=t formülünün t'ye göre türevi 1'dir. Mantıklı, öyle değil mi? Çünkü her saniye hacmin 1 damla arttığını zaten söylemiştik. Dolayısıyla türevin "1 damla" sonucunu vermesi çok normal. Çünkü türev, değişimdir!
Peki ya her saniye damla sayısı 2 katına çıkacak olsaydı? 1. saniye 1 damla, 2. saniye 2 damla, 3. saniye 4 damla, 4. saniye 8 damla, 5. saniye 16 damla ve böyle gidiyor. Bunun formülü V=(2^t)-1 olacaktır. Örneğin 4. saniyede toplam hacmi bulmak için, t'yi 4 alırsanız, V, yani hacim 15 damla olacaktır. Gerçekten de, her saniyde damlayan miktarı birbirine ekleyecek olursanız 1+2+4+8 = 15'tir! Bu durumda değişim miktarı için, formülün t'ye göre türevini alacak olursak, bu türev 2^(t-1) olacaktır. İşte bu, katlanarak artan damlama miktarının her bir saniyedeki değişimidir. Örneğin 3. saniye ile 4. saniye arasında kaç damla aktığını merak ediyorsanız, t'yi 4 alıp türev formülüne koyun: 2^(4-1) = 2^3 = 8. Gördünüz mü? Tam da başta belirlediğimiz gibi, dördüncü saniyede 8 damla damlamıştır. Kovaya 8 yeni damla eklenmiştir. Yani değişim miktarı, 8 damladır. Türev, bize bunu vermektedir!
Görebileceğiniz gibi değişimin yapısı basitse, türev de son derece basittir. Çoğu zaman türev, çok basit düzeyde çarpım, toplam ve üs alma işlemlerinden ibarettir.
Kısaca, değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. Bu bakımdan türev, evrimsel biyoloji için de çok kıymetlidir. Çünkü evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının nesiller içerisindeki değişimdir. Bu, aynı zamanda türevin tanımının ta kendisidir!
Görseldeki İntegrali Anlamak
İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz. Ana görselimizdeki "edebî integrali" ele alalım. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.
Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır.
Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim: "Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir."
Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir. Adım adım takip edelim:
• Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır.
• Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.
• İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum.
• Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm.
• İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır.
•Son olaraksa, değişken Δ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman, "birim zaman" demektir.
İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!
Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Örneğin, mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu "belli bir düzeni takip eden birden fazla terimin toplamı" anlamına gelen meşhur ∑ işaretiyle ifade edip, görselde "mutluluk" yerine ∑(küçük başarılar) yazabilirdik. Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik. Ancak burada önemli olan, integralin nasıl alındığı değil; neden alındığı. Amacımız, mutluluğu doğumdan ölüme kadar, ufak zaman aralıklarını takip eden bir seri halinde toplamak. Böylece "yaşam"ı elde ediyoruz. En azından edebiyatçılardan bir kısmı öyle diyor.
Bu, gerçek hayatta gerçek sorunlarla boğuşan bilim insanlarının yaptığı şeydir. Belli bir zaman boyunca değişen parametreleri tespit ederler, bunların değişimlerini matematiksel olarak modellerler ve integrali kullanarak toplam değişim miktarını belirleyebilirler. İntegralin nasıl çözüleceği, liselerde öğrendiğimiz metotlara kalmıştır. Bu metotları ezberleyebilir veya neden o şekilde çalıştıklarını düşünerek özümseyebilirsiniz.
Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak
Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir."
İyi de neden?
Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.
İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: İlki, fiziktir. Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım: "Konum, hızın zamana göre integralidir." Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konum değişiminin verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir.
Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.
Bu konuda daha pekçok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.
Kaynaklar ve İleri Okuma:
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci