Gelen matematik , bir dizi olan toplam bir terimlerin sonsuz dizisinin numaralarının.
Sonsuz bir dizi göz önüne alındığında , N inci kısmi toplamı ilk toplamıdır n olan dizi açısından,
Bir dizi yakınsak kısmi toplamlar dizisi halinde bir eğilimi sınır ; bu kısmi toplamları belirli bir sayıda daha yakın ve daha yakın hale gelmesi anlamına gelir zaman süreleri sayısı artmaktadır. Daha kesin olarak, bir dizi yakınsar, bir dizi varsa herhangi bir keyfi küçük pozitif bir sayı için bu tür bir (yeterince büyük) bulunmaktadır tamsayıdır , öyle ki tüm ,
Seri yakınsak ise, sayı (zorunlu olarak benzersiz) olarak adlandırılır seriye toplamı .
Yakınsak söylenir edilmeyen tüm serileri olmak farklı .
yakınsak ve ıraksak dizi örnekleri
- Tersinin pozitif tamsayılar bir üretirler ıraksak dizi ( harmonik serisi ):
- Pozitif tamsayılar tersinin işaretleri Alternatif bir yakınsak dizi üretir:
- Ait reciprocals asal sayılar bir üretirler ıraksak dizi (şimdiye asal kümesi "dir large "):
- Ait reciprocals üçgen sayılar yakınsak bir dizi üretmek:
- Reciprocals faktöriyel (bkz yakınsak serisi üretmek e ):
- Ait reciprocals kare sayılar yakınsak bir dizi (üretmek Basel problemi ):
- Ait reciprocals 2'nin kuvveti yakınsak bir dizi (bu yüzden "dir 2 yetkilerinin seti üretmek küçük "):
- Ait reciprocals 1> Herhangi n yetkileri yakınsak bir dizi üretmek:
- Tersinin işaretleri Alternatif 2 yetkileri de yakınsak bir dizi üretir:
- > 1 yakınsak bir dizi üretir herhangi n yetkileri tersinin işaretleri Alternatif:
- Ait reciprocals Fibonacci sayıları (bkz yakınsak bir dizi üretmek ψ ):
yakınsama testleri
Bir dizi birleşir veya olmadığını belirleme yöntemleri vardır ıraksadığını .
Mavi serisi, varsa , o zaman daha küçük dizi yakınsama kanıtlanmış edilebilir yakınsama gerekir. Kırmızı serisi ise, tersine olarak, sapmak için kanıtlanmış, daha sonra da sapmak gerekir.
Karşılaştırma testi . Dizisinin terimleribaşka bir diziyle kişilerce karşılaştırılır. Eğer,
Herkes için n , ve yakınsak, o zaman yapar
Ancak, eğer,
Herkes için n , ve ıraksadığını ardından yapar
Oran testi . Herkes için varsayın n ,. Var olduğu varsayalımöyle
Eğer r <1, daha sonra seri mutlak yakınsaktır. Eğer r > 1, daha sonra seri ıraksar. Eğer R = 1, oran testi yetersizdir ve seri yakınsak veya farklı olabilir.
Kök testi veya n kök testi inci . Söz konusu sekansın koşulları olduğunu varsayalım negatif olmayan . Define r şöyle:
- "lim sup" terimi burada üstün sınırı (muhtemelen ∞, limit varsa aynı değerdir).
Eğer r <1, daha sonra seri yakınsar. Eğer r > 1, daha sonra seri ıraksar. Eğer R = 1, kök testi yetersizdir ve seri yakınsak veya farklı olabilir.
oran testi ve kök testi hem geometrik serisi ile karşılaştırılmasına dayanmaktadır, ve bu şekilde, benzer durumlarda çalışır. oran testi çalışır Aslında, o zaman kök testi yapar (sınır vardır ve 1'e eşit olmadığı anlamına gelir); tersi ise doğru değildir. Kök testi daha genel nedenle uygulanabilir, ancak pratik bir mesele olarak sınır serisinin sık görülen türleri için hesaplamak için genellikle zordur.
İntegral testi . Dizi yakınlaşma veya farkl kurmak ayrılmaz ile karşılaştırılabilir. Letolumlu ve olması monoton olarak azalan işlevi . Eğer
Sonra seri yakınsar. Ama ayrılmaz bir farklılık gösteriyorsa, o zaman serileri yüzden de yapar.
Karşılaştırma testi sınırlayın . Eğer, ve sınırvar ve sıfır değil, o zamanyakınsar ancak ve ancak yakınlaşıyor.
Dizi testi Alternatif . Diğer bir deyişle Leibniz kriter , alternatif serisi testi , bir için bildiren seriden formunun, eğermonotonik olarak bir azalma , ve sonsuzda 0 bir sınırı vardır, daha sonra seri yakınsar.
Cauchy yoğunlaşma deneyi . Eğersekansı azalan pozitif monoton, daha sonra
sadece ve sadece yakınsarbirleşir.
Dirichlet testi
Abel testi
Raabe testi
Koşullu ve mutlak yakınsama
Exp [gücü dizisinin mutlak yakınsama Çizim z
değerlendirilen 0 civarında] z = Exp [ i / 3 ]
. Çizgisinin uzunluğu sonlu.
Log gücü serisi (şartlı yakınsama Çizim z
değerlendirilen 0 yaklaşık 1) z = exp ((π- 1 / 3 ) i ).
Çizgisinin uzunluğu sonsuzdur.
Herhangi bir sekans için , her n için. Bu nedenle,
Bu ise anlamına gelir yakınsak, daha sonra da (ancak bunun tam tersi) birleşir.
Dizi halinde birleşir, sonra seri olduğunu kesinlikle yakınsak . Kesinlikle yakınsak dizi kısmi toplamı birlikte artışlarla tüm birleştirilmesiyle oluşturulan hattın uzunluğu sonlu olarak uzun olduğu bir tanesidir. Güç serileri üstel fonksiyonu her yerde mutlak yakınsak olduğunu.
Serisi ise serisi ama birleşir uzaklaşan, daha sonra seri olduğunu şartlı yakınsak . Şartlı yakınsak dizi kısmi toplam bağlanarak oluşturulan yol sonsuz uzundur. Güç serileri logaritma şartlı yakınsak olduğunu.
Riemann serisi teoremi bir dizi şartlı yakınsar, seri herhangi bir değere, hatta ıraksadığını yakınsaması şekilde seri şartlarını yeniden düzenlemek mümkün olduğunu belirtmektedir.
Düzgün yakınsaklık
Let fonksiyonları bir dizi olabilir. Seri muntazam konverjans söylenen f
dizisi halinde kısmi toplamlarının tarafından tanımlanan
muntazam yakınsar f .
Denilen fonksiyonların sonsuz serisi için karşılaştırma testi analog vardır Weierstrass M testi .
Cauchy yakınsama kriteri
Cauchy yakınsama kriteri bir dizi belirtiyor
yakınsar ancak ve ancak dizisi kısmi toplamlar bir Cauchy sekansı . Bu, her için anlamına gelir pozitif tamsayı vardır herkes için böyle Elimizdeki
bu eşdeğerdir
Ayrıca bakınız
Dış bağlantılar