|28 Kasım 2014, 22:56||#1|


Binom dağılımı
Binom dağılımı
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet/hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı(=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlıkolasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p, ile tam olarak tanımlanır. Matematik notasyon olarak bir rassal değişken X binom dağılım gösterirse şöyle ifade edilir:
X ~ B(n,p)Bu şekilde başarı/başarısızlık sonucu veren her bir deneme Bernoulli denemesi olarak da anılır. Eğer n=1 olursa, bu binom dağılım, yani B(1, p), gerçekte bir Bernoulli dağılımı ile aynıdır. Binom dağılımı çıkarımsal istatistik analiz ve pratik problem çözüm çabaları içinde çok popüler olan kullanılan binom testi için temel teoriyi ortaya çıkarır.
Örnekler
Binom dağılımı için en basit örnek bir zarın 10 defa atılıp kaç tane 6 elde edildiğinin sayılmasıdır. Bu rassal sayının (yani 10 deneyde kaç tane 6 elde edilmesi) dağılımı, n=10 ve p=1/6 parametreleri olan bir binom dağılımdır.
Diğer bir örnek, çok büyük bir halk kitlesinin içinde yeşil gözlü olanların incelenmesinden ortaya çıkar. Araştırmamız yeşil gözlüler hakkında olduğu için başarı kategorisi yeşil gözlü kişi gözlemi için kullanılır ve başarısızlık kategorisi yeşil gözlü olmayan kişi gözlemi karşılığı olarak ele alınır. Bu halk kitlesi içindeki yeşil gözlüler oranının, (yani başarı olasılığının) %5 olduğu bilinsin. 100 kişiyi kapsayan bir basit rasgele örneklem seçelim ve örneklem içinde bulunan her bir kişinin göz rengini gözleyelim. Bu işlemin binom dağılım açıklamasına göre karşılığı 100 tane bağımsız deneme yapılmasıdır yani n=100 dur. Bu örnekde içinde gözlemi yapılan yeşil gözlü kişi sayısı, 0 ile 100 arasında değerler alabilen, X rassal değişken olarak kabul edilsin. X için olasılık n=100 ve p=0.05 parametreleri olan bir binom dağılım ile bulunur.
Tanımlama
Olasılık kütle fonksiyonu
Genel olarak, eğer bir rassal değişken K n ve p parametresi olan bir binom dağılım gösterirse, şöyle ifade edilir:
K ~ B(n, p).Tam k sayıda başarı elde etmek için olasılık şu olasılık kütle fonksiyonu ile açıklanır:
burada k = 0, 1, 2, ..., n ve
terimi binom katsayısıdır yani "n choose k" olur. Bunun değişik bir ifadesi
C(n, k) veya nCkolarak verilebilir. Böylece dağılımın adının nereden ortaya çıkartıldığı görülmektedir. Bu formülün biraz daha detayli açıklanması şöyle yapılabilir. k sayıda başarı (pk) ve n - k sayıda başarısızlık (1 - p)n - k istemekteyiz. Ancak, ksayıda başarı n sayıda denemenin belirli olmayan her bir tarafında ortaya çıkabilir. n deneme sayısı içinde k başarı sayısı C(n,k) değişik şekilde yerleştirilebilir.
Binom dağılıma uyan problemlerde olasılık bulmak için hazırlanmış referans tablosu bir sıra alt-tablodan oluşur ve her bir alt-tablo n/2 sayıya kadar değerle ile doldurulur. k>n/2 olduğu için olasılık değeri şu formülün uygulaması ile
bulunur. Böylece aranan olasılık değeri (binom genellikle simetrik olmadığı için) tablolarda gösterilen değişik değerde k ve değişik değerde p kullanarak bulunur.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş tam olmayan beta fonksiyonu kullanılması ile şöyle ifade edilebilir:
Ancak k 'in kesirsiz bir tamsayı ve
0 ≤ k ≤ nolması gereklidir.
Eğer x gerçek bir tamsayı değilse veya pozitif değerde değilse, bu ifade şu alternatif şekile getirilebilir
Eğer k ≤ np ise dağılım fonksiyonun aşağı kuyruk tarafı için yukarı sınırlar değerleri ortaya çıkartılabilir. Özellikle, önce Hoeffding'in eşitsizliği kullanılarak sınır değeri şöyle bulunur:
ve sonra Chernoff'un eşitsizliği kullanılarak şu sınır ortaya çıkartılir:
Ortalama, varyans ve mod
Eğer X binom dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu gerçek şöyle ifade edilir. X ~ B(n,p) ise, X in beklenen değeri
olur ve varyans değeri ise
olur.
Bu gerçeğin isbatı şöyle yapılabilir: Önce yalnız tek bir Bernoulli denemesi incelensin. Bunun sonucu ya 1 (başarı) veya 0 olabilir; bunların olasılıkları sırasıyla p ve 1 - p olur. Bu deneyin ortalamasının μ = p oldugu bilinmektedir. Varyans ise tanımına göre
olur. Şimdi n sayıda Bernoulli denemesi (yani genel bir binom dağılımı) ele aldındığı kabul edelsin. Eğer denemelerin her biri bağımsız ise, her bir denemenin varyansı diğer deneme varyanslarıyla birlikte toplamları alınırsa şu ifadeyi elde edilir:
X in mod değerini bulmak için bir tamsayı olan
m = (n + 1)pifadesi tanımlanır ve X in (n + 1)p değerinden daha eksik değerde veya ayni değerde en büyük tamsayı olduğu bilinir. Böylece hem m - 1 hem de m iki ayrı mod değeri oluştururlar.
Burada dikkat edilmesi gereken bir gerçek de binom dağılımının çift mod göstermesine rağmen her çift mod gösteren dağılımın bir binom dağılımı olmadığıdır.
Ortalama ve varyansın açık olarak elde edilmeleri [
Binom dağılım için ortalama ve varyans değerleri açıkca ilk tanımsal prensipler kullanılarak elde edilebilirler. Bu iki değerin ortaya çıkartılması için şu toplamlar kullanılır. Bu toplamlardaki terimlerin yerleri değiştirilerek binom [[Binom Dağılım#Olasılık kütle fonksiyonu]|olasılık kütle fonksiyonu]]nun tümünde toplamın her zaman 1'e eşit olmasını sağlarız.
Ortalama
Bir ayrık rassal değişken için beklenen değer tanımını bir binom dağılım için uygulanir.
Bu seride k=0 indeksli birinci terimin değeri 0 'a eşittir; çünkü birinci faktör k sıfırdır. Bunu bertaraf edersek alt limiti k=1 'e indirgenmis olunur.
»Binom dağılımı - www.ForumSevgisi.Com


|Bookmarks|
|Etiketler|
|binom, dagilimi|
|Seçenekler|
|Stil|
|Yasal Uyarı||Forum|


ForumSevgisi.Com, paylaşım sitesidir.Bu nedenle yazılı, görsel ve diğer materyaller sitemize kayıtlı üyelerimiz tarafından kontrol edilmeksizin eklenmektedir.Bu nedenden ötürü doğabilecek yasal sorumluluklar yazan kullanıcılara aittir.Sitemiz hak sahiplerinin şikayetleri doğrultusunda yazılı, görsel ve diğer materyalleri 48 saat içerisinde sitemizden kaldırmaktadır. Gerekli Şikayet Bildirimleri "Bize Yazın" kısmından yapabilirsiniz.


Telif Hakları vBulletin® Copyright ©2000 - 2016, ve Jelsoft Enterprises Ltd.'e Aittir.


Bu forum, en iyi 1366 x 768 ekran çözünürlüğünde Mozilla ve Chrome ile görüntülenebilir.
www.ForumSevgisi.Com © 2014-2016