1- $\mathbb{Z}_p$'nin karakteristiği sıfır, $\mathbb{F}_p$'nin $p$. Yani birinci şıkta söylendiği gibi bir gömme yapamazsın.
2- "Tam sayılar halkasınıda"'daki da ayrı olacak.
$f$'nin indirgenemez olduğunu ve genişlemenin Galois olduğunu varsayarak...
Tamsayılar cisminden söz etmek için bir değer fonksiyonuna gerek yoktur. Her ne kadar bu durumda bir tanecik değer fonksiyonu olsa da, herhangi bir Dedekind bölgesinin kesirler cisminin genişlemesinde tamsayı halkasında söz edilebilir. (Serre, Local Fields, birinci chapter.)
$\mathbb{Q}_p$ tam (complete) bir cisim olacağı için üzerindeki $p$-sel norm sonlu genişlemelere tek türlü genişleyebilir. $K$ cismi üzerindeki değer fonksiyonu cisim genişlemesine bağlı olarak tanımlanan norm fonksiyonu vasıtasıyla elde edebilirsin. (Serre'in adı geçen kitabı ikinci chapter. Daha işlemsel bir yaklaşım için Fesenko-Vostokov Local Fields and Their Extension, yine ikinci chapter). Daha açık olarak, $K$'daki bir elemanın değerini hesaplamak için onun norm'u alınır ve aşağıdaki cisme inilir ve oradaki değer fonksiyonu kullanılır. Böyle yapıldığında ilk başta aşağıdaki cisimde değeri bir olan bir elemanın değeri haliyle $\deg f$'e eşit olur. İlk normun sabit kalması isteniyorsa bu yeni tanımlanan norm $\frac{1}{[K:\mathbb{Q}_p]}$ çarpanı ile kaydırılır. Bu durumda değerlendirmenin görüntüsü $\mathbb{Z}$ yerine, herhangi bir pozitif $e$ tamsayısı için $\frac{1}{e}\mathbb{Z}$ grubuna eşit olur. Eğer $e=1$ ise bu genişlemeye dallanmamış denir. Yok eğer değilse, dallanmış denir. Bu $e$'nin şöyle güzel bir özelliği vardır: $$e|\deg f$$
$T$ her zaman $\mathbb{Z}_p$'nin integral bir genişlemesidir.
$G$'nin elemanlarını tek başına böyle tarif etmek pek mümkün değil. Ama şu mümkün. Eğer $k$ ile $K$'nın kalıntı (residur) cismini gösterirsek, $k/\mathbb{F}_p$ sonlu cisim genişlemesi mevcuttur ve $G$'den bu genişlemenin Galois grubuna örten bir grup homomorfizması vardır. Yukarıdaki $e=1$ olduğu durumda bu homomorfizma aynı zamanda birebir olur. Yani, o durumda $G\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ olur.
Son sorunun yanıtı da evet. Hatta bütün $K$ için doğru bu. Galois grubunun elemanlarının etkisi izometridir.
Sonda verilen bilgiler tanım değil, notasyon.