Büyük Sayılar Yasası Ne Anlatır?
Büyük Sayılar Yasası, ilk olarak 16. yüzyılda matematikçi Gerolama Cardano tarafından fakredildi ama bunu asla ispatlayamadı.
Yasa, ilk olarak İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli tarafından Ars Conjectandi, Türkçesiyle “Varsayımın Sanatı” adlı eserinde 1713 yılında kanıtlamıştır.
Bernoulli’nin yeterli derecede hassas bir kanıtı geliştirebilmesi onun yirmi yılına mal olmuş ve sonrasında da kuramını “Altın Teoremi” olarak adlandırmıştır. Ancak her ne kadar Altın Teoremi olarak adlandırsa da yaygın olarak “Bernoulli Kuramı” olarak bilinmektedir. Yalnız bu adlandırma akışkanlar mekaniğinde kullanılan meşhur formül “Bernoulli Kuramı” ile karıştırılmaması gerekir.
St.Petersburg matematik okulunun kurucusu olan Pafnuty Chebyshev ve diğer tanınmış bir çok matematikçi tarafından u kuram geliştirilmeye devam etti. İsimsel karışıklığın giderilmesi adına, S.D. Poisson adında bir matematikçi,1835’te bu yasayı “La loi des grands nombres” Türkçesiyle; “Büyük Sayılar Yasası” olarak adlandırmıştır.
Bernoulli ve Poisson ortaya çıkardıkları çalışmalarını yayımladıktan sonra, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli ve Kolmogorov‘un da aralarında yer aldığı diğer pek çok matematikçi de yasanın geliştirilmesine katkı sağlamışlardır.
Bu çalışmalar sonucunda yasanın iki belirgin biçiminin ortaya konulmuştur. Bunlar;
“Zayıf Yasa” ve “Güçlü Yasa” olarak adlandırılmaktadır.
Ortaya konulan bu biçimler farklı yasaları tanımlamamaktadır, sadece ölçülmüş olasılığın, gerçek olasılığa yakınsamasını, “yakınlaşacağını” tanımlamanın farklı yollarıdır. Ayrıca Güçlü Yasa, Zayıf Yasayı içerir.
Konu üzerine yapılmış deneylere bakıldığında durum biraz daha anlaşılır olacaktır.
Zar Deneyi
Yukarıda verilen grafik hilesiz bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deney gösterir ki, ilk başlarda zar atışlarının ortalaması yüksek dalgalanma gösterir. Büyük sayılar yasasının ispat ettiği üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama da haliyle beklenen değer olan 3,5’in etrafında dengeleyen bir seyir izler..
Öyle ki, multinom dağılım sonucunda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarının gelme olasılığı eşittir. Bu sonuçların ortalaması olan “beklenen değer” de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 işleminden bulunur.
Madeni Para Deneyi
Madeni para atılmasında da benzer bir durumun etkisi görülmektedir.
Hilesiz bir madeni paranın art arda atılması durumunda yazı veyahut tura sıklığı, yapılan gözlem sayısı arttıkça yazı ya da tura gelme olasılığı yüzde elliye (%50) yaklaşacak ve normalde olacak olasılık olan %50’yi yakınsayacaktır.
Örnek vermek gerekirse;
Madeni paranın 1000 tane atışından sonra gözlemlenen 520 yazı, 480 tura
10000 atışından sonra ise 5096 yazı, 4004 tura görülebilir.
Böylesi bir durumda ortalama yazı gelmesinin 520/1000’den 5096/10000’e gittiğini, yani %52’den %50,96’ya giderek beklenen değer olan %50’ye yaklaştığı görülecektir.
Başlangıç miktarlarda görülen durum ne olursa olsun, paranın yazı-tura için havaya atılış sayısı arttıkça, yani sayısını sonsuza yakın arttırdıkça %50’ye yaklaşacaktır.
Yandaki gifte benzer bir durumun görülme olasılığı gösterilmiştir.
Büyük Sayılar Yasası Uyarıyor!
Büyük sayılar yasasının söyledikleri önemlidir, çünkü rastgele olan olaylardan kararlı ve uzun vadeli sonuçların alınabileceğini “Garanti eder”. Kumarhanelerin çalışmam mantığına da bu sistem eşlik eder; bir gazino bir tane Rulet dönüşünden para kaybedebilir, ancak binlerce dönüşte oynanan paranın tamamına yakınını neredeyse kesin olarak elde edecektir.
Martingale teorisi gibi teoriler bu durumu desteklemektedir. Ancak bir oyuncunun elde ettiği kazancı, oyunun başlıca parametreleri tarafından tekrar soğrulacak ya da kesin kazancı sağlayabileceği para kaynağı hiçbir zaman yeterli olmayacağı için sonu hüsranla bitecektir.
Bu yasanın büyük miktarlardaki gözlemler sonucu etkili olacağı unutulmamalıdır. Küçük miktardaki gözlemlerin sonucun beklenen değerine yaklaşacağını veyahut bir sapmanın başka bir sapmayla “dengeleneceğini” beklemek için bir sebep yoktur. Böylesi durumlar için kumarbaz yanılgısına düşmemek gerekir.