Uzayda bir nokta rastgele hareket ettiğinde neler olduğunu incelemek isteyebileceğimiz birçok fiziksel neden vardır. Örneğin, Robert Brown, bir polen tanesinin suda asılı haldeyken nasıl hareket ettiğini 1827'de izlediğinde bunu tamamen düşündü.
Bu tür rastgele hareket, bir parçacığın, çevreleyen parçacıkların çarpışırken onu yeni bir yöne itecek kadar hafif olduğu her durumda gerçekleşir. Çevreleyen tüm bu parçacıkların nasıl hareket edeceğini belirleyici olarak tahmin edemediğimiz için, parçacık hareketinin olasılıksal olarak modellenmesi gerekir.
Ancak bunun için motivasyonu bir kenara atsak bile, Brown hareketi heyecan verici ve tuhaf, tamamen matematiksel sonuçlara yol açtı. Harmonik analiz gibi görünüşte alakasız alanlarda bile bir araçtır.
Bu makale size Brownian hareketi kavramını tanıtacak ve ardından bazı garip sonuçlara girecektir.
Yukarıdaki giriş, Brown hareketinin arkasındaki kavramı zaten içeriyor: uzayda hareket eden, rastgele yön değiştiren bir nokta parçacığı. Sadece bunu nasıl resmileştireceğimizi bulmalıyız.
Aşırı olasılık terminolojisinden kaçınmak için, Brownian hareketini, hareketli bir nokta tarafından izlenen uzayda gerçek bir yol olarak düşüneceğiz.
Ancak, uyarıda bulunun, bu teknik olarak stokastik bir süreç ve bu nedenle, eğer bunu dikkatli bir şekilde geliştirirsek, her şeyi bir olasılık kümesi 0'a kadar nitelendirmemiz gerekir.
Başlangıç olarak, şimdilik sadece ℝ² uçağını düşünelim. Bu, noktamızın iki boyutta hareket edeceği anlamına gelir.
Bir yolu iki boyutlu olarak nasıl tanımlarız? Pekala, bu bir
B fonksiyonudur : [0, ∞) → ℝ² girdileri "zaman" ve çıkışları o andaki konum olarak düşüneceğimiz yerde.
B (0) = (a, b) başlangıç noktasıdır (0 zamanı). Şu andan itibaren, yolun başlangıç noktasından başladığını varsayacağız: B (0) = (0,0). Bu, hiçbir şey kaybetmeden işleri kolaylaştırır.
Sonra B (t) bize noktanın / parçacığın t anında nerede olduğunu söyler. Umarım bu tanıdık bir kavramdır.
Böyle her yolun Brown hareketi olmadığı aşikâr olmalıdır. Şimdi, belirli bir konumun gelecekteki bir zamanda herhangi bir yönde rastgele olma şansına sahip olduğu ve kısa zaman ölçeklerinde yakın olma olasılığının çok daha yüksek olduğu gerçeğini nasıl tanımlayacağımızı bulmalıyız.
İlk özellik, bağımsız artışlara sahip olarak adlandırılır . Matematiksel olarak bu, yolu bir demet parçaya bölersek, B (a), B (b), B (c),…, sonra her bir parça B (b) -B (a), B (c) anlamına gelir. -B (b),… bağımsız bir rastgele değişkendir.
Yine, buradaki terminolojide kaybolmayın.
Sadece, herhangi bir zamanda, parçacığın gideceği yeni yönün, kendisinden önce gelen hiçbir şeye bağlı olmadığını söylüyor. Her seferinde gerçekten rastgeledir.
İkinci özellik, rastgeleliğin normal dağılım olarak da bilinen bir Bell eğrisini takip etmesidir.
Yine, bu matematiksel olarak kesin bir ifadedir. Daha önce gördüyseniz, hemen almalısınız. Eğer görmediyseniz, bu makalede olasılık teorisindeki ilk kursun tüm nüanslarının üzerinden geçmeye yer yok.
Bu resim yardımcı olmalı:
A zamanında, parçacık B (a) etiketli noktaya hareket etmiştir. Yakın gelecekte kırmızı bölgede olma ihtimali yüksek. Portakal içinde olma olasılığı daha düşüktür. Sarının içinde olma olasılığı çok çok daha azdır ve bu böyle devam eder.
Olasılık, dışarıya doğru gittikçe 0'a meyillidir, ancak gerçekte asla 0 değildir. Bu, 0,5 saniyede (2,3) 'den (12345, 9000000)' e atlama olasılığının küçük olduğu, ancak çok daha yüksek bir şekilde ( 2.1, 2.9).
Herhangi bir yönde olma ihtimalinin eşit olduğuna dikkat edin (başka bir deyişle, olasılık, noktada ortalanmış herhangi bir daire boyunca aynıdır). Bunun nedeni, normal dağılımların radyal olarak simetrik olmasıdır .
Son koşul, B (t) 'nin sürekli olmasıdır. Bunun ayrıntıları üzerinde durmayalım. Bu koşulu, B (t) 'nin a²'de hareket eden bir nesnenin oluşturduğu ve etrafa ışınlanmayan gerçek bir yolu izlediğini söyleyerek düşünmelisiniz.
Bu koşulları sağlayan herhangi bir B (t) Brown hareketi olarak adlandırılır .
İşte üç örnek yol:
Şimdi kafanda bir milyon soru olmalı. Değilse, meraklandırmak için bazılarını burada bulabilirsiniz.
Brown hareketinin var olduğu hiç de açık değildir.
Neden böyle rastgele (sürekli) bir süreç var olsun? Wiener tarafından 1923'te, tanımlanması daha kolay süreçlerin bir sınırı alınarak ve ardından bu sınırlayıcı nesnenin gerçekten koşulları karşılayıp karşılamadığını kontrol ederek var olduğu kanıtlandı.
Kanıt, yazılmış birçok sayfadır ve daha önce sınırlarla çalıştıysanız, bazı tuhaf şeyler olabileceğini biliyorsunuzdur.
Brown hareketi, herhangi bir zamanda herhangi bir yönde hareket etme eğilimindedir. Yani, sağa doğru her biraz hareket ettiğinde, muhtemelen bir sonraki sola da hareket edecek. 1 yarıçaplı çemberi terk ettiğini düşünüyorsanız, neden hareketlerin birbirini iptal etmediğini tartışmalısınız.
Yapacağınız herhangi bir argümanın çoğu muhtemelen 1.000.000 yarıçap için de geçerli olacaktır. Yani aslında başlangıç noktasından keyfi olarak uzaklaşacağını söylüyorsunuz. Bu, her zaman kendini iptal ettiği için çok mantık dışıdır.
Bunu başka bir şekilde ifade etmek için. Brown hareketinin tam tanımı, parçacığın bir yönde çok uzağa "kaymasına" izin vermemelidir, çünkü bu, bir yön için "önyargı" olduğu anlamına gelir. Ama tanım gereği yok!
Şimdi, sizi 1 yarıçaplı çemberi terk etmemesi gerektiğine ikna etmek için zaman harcadıktan sonra, öyle olduğu ortaya çıktı. Aslında, herhangi bir yarıçap verildiğinde, Brown hareketi dairenin dışına çıkacaktır. Sonsuz sayıda defalarca ayrılacak ve yeniden girecek.
Bunun tek bir yönde “sürüklenme” anlamına gelmemesinin nedeni, bunu farklı yönlerde yapmaya devam edecek olmasıdır.
İşlerin gerçekten tuhaflaştığı yer burası. Yoldaki rastgele bir nokta verildiğinde, Brown hareketinin bu noktadan geçme olasılığı 0'dır.
Yine de, Brown hareketi sonsuz sayıda kez kendisiyle kesişir.
Bununla ilgili bir kavram mahalle tekrarlayan olmaktır . Bu temelde, herhangi bir nokta (a, b) ∈ℝ² ve herhangi bir ϵ> 0 verildiğinde, Brown hareketinin (a, b) merkezli sonsuz sayıda ϵ yarıçaplı daireye girdiğini söyler!
Diğer bir deyişle, ℝ²'deki her noktaya keyfi olarak yaklaşır, sadece bir kez değil, sonsuz sayıda kez! Her zaman her noktaya yaklaşıyor. Biraz topoloji görmüşseniz , bu Brown hareketinin ℝ² cinsinden yoğun olduğu anlamına gelir .
Bu biraz kafa karıştırıcı olmalı. Ayrıca 6. soru için bunu unutmayın.
Bu, üzerinde durmayacağımız. Hiçbir yerde ayırt edilemez. Bu oldukça sezgisel. Hareket her seferinde ileri geri hareket ediyor. Size neler olup bittiğine dair daha iyi bir fikir vermesi için temel olarak bu özelliği ekledim.
Yol, hayal edebileceğiniz gibi düzgün bir eğri değil. Hausdorff boyutunun (aka "fraktal boyut") 2 olması anlamında aslında fraktal gibidir.
Brown hareketinin üç veya daha fazla boyutta kökten farklı olduğu ortaya çıktı. Yine de ℝ³ üzerinden rastgele, pürüzlü bir yolun resmine sahip olmalısınız, ancak yukarıdaki sonuçlar farklıdır.
2-D'de, yol her yere sonsuz sıklıkta gider.
3-D'de yol sonsuza gider! Herhangi bir küre verildiğinde, ne kadar büyük olursa olsun, sonunda o küreyi terk edecek ve yalnızca sonlu sayıda kez içine dönecektir.
Bu bir tür sezginin çılgınca kırılması ve bir sonraki bölümde, içinde bulunduğumuz boyutun diğer özellikleri belirlediğini göreceğiz.
Ama bir süreliğine bunun tuhaflığı üzerinde durmanızı istiyorum. Tanım 2-D ve 3-D'de tamamen aynıdır, ancak 2-D'de sonsuz sayıda (0,0) yakınına döner. 3-D'de sonsuza gider ve geri dönmez.
Bu "kavşaklar" fikrine devam edelim.
İki bağımsız Brown hareketimiz olduğunu varsayalım. Bu yüzden ikisini de başlangıçta başlatıyoruz ve kaçmalarına izin veriyoruz. Hiç geçip geçmediklerini merak edebiliriz.
Muhtemelen 2-D'de yaptıklarını ama 3-D'de olmadıklarını düşünüyorsunuz, ama yanılıyorsunuz!
Hem 2 boyutlu hem de 3 boyutlu olarak, sonsuz sayıda kez geçecekler. Ancak 4 boyutlu ve daha yüksek sürümlerde, asla kesişmezler (başlangıç noktası hariç).
Bunu düşünmeye devam edelim. Ya üç Brown hareketimiz varsa?
Açık olmak gerekirse, üçünün de kesiştiği noktalardan bahsediyoruz. Yukarıda, siyah, kırmızı ve yeşil 3 ayrı Brown hareketidir ve 2 ortak kesişme noktası vardır.
2-D'de, her üç Brown hareketi için sonsuz sayıda ortak geçiş noktası olacağı ortaya çıktı. Ancak 3 ve daha büyük boyutlar için hiçbiri olmayacak (başlangıç noktası hariç)!
Daha da tuhaflaşalım ve kendi kendine geçen bir Brown hareketi düşünelim.
4-D'de asla kendisiyle kesişmez. 3-D'de, kendisiyle tam olarak bir kez kesiştiği sonsuz sayıda yer vardır ve kendisiyle iki kez kesiştiği yer yoktur.
Şimdi süper tuhaf şey için. 2-B'de, herhangi bir p> 0 için, kendisiyle tam olarak p kez kesiştiği sonsuz sayıda yer vardır .
Dürüst olmak gerekirse, bunların ne kadar tuhaf ve mantığa aykırı olabileceğine dair yüzeyi bile çizmedik. Bu ve ilgili konularda her hafta yeni makaleler üretilmektedir. Çok aktif bir araştırma alanı (ve hatta önemi nedeniyle bazı insanlara büyük ödüller kazanıyor).
Burada bulunan her şey , Peter Mörters ve Yuval Peres'in Brownian Motion adlı kitabının çeşitli bölümlerinden damıtıldı . Daha fazla öğrenmek istiyorsanız, konuya inanılmaz derecede okunabilir bir giriş.
Albert Einstein'ın ilk karısı olan Mileva Maric, kocasının fizik alanındaki çığır açan çalışmasına yaptığı potansiyel katkılarla ilgili olarak uzun süredir spekülasyon ve tartışma konusu olmuştur. Görelilik ve kütle-enerji denkliği teorileriyle evren anlayışımızı sonsuza dek değiştiren Einstein, geniş çapta 20. yüzyılın en etkili bilim adamlarından biri olarak kabul edilirken, Maric'in çalışmalarındaki rolü genellikle göz ardı edildi veya küçümsendi.
Yapay Zekaya Giriş Yapay Zeka (AI), endüstrilerde devrim yaratma, yaşama ve çalışma şeklimizi değiştirme ve topluma sayısız fayda sağlama potansiyeline sahip, hızla gelişen bir teknolojidir. Ancak, her yeni teknolojide olduğu gibi, dikkate alınması gereken etik hususlar da vardır.
Bir zamanlar bir blog yazmıştım… Ta 2016 yılının Temmuz ayında bir blog yazmaya başlamıştım. Bu blog.
"En sıcak aşk, en soğuk sona sahiptir." — Yunan filozofu Sokrates “Aşk, iki bedende yaşayan tek bir ruhtan oluşur.
Modern veri bulutunun içinde ve sırada ne var? Veri adası sorunları ve ilk 8 trend Prelude Data Cloud uçsuz bucaksız bir alemdir.