Leaning Tower
Eğik Kule
1983 yılında Leslie Scott oyunlar dünyamıza Jenga adıyla yeni bir oyun kazandırdı.
Jenga, genişlikleri, uzunlukları ve yükseklikleri birbirinin aynı olan n tane tahta parçası
ile oynanır. Parçalar, her bir katta aynı şekilde yanyana dizilmiş 3 Jenga parçası ve her
kattaki 3’lü yığın bir alt kattaki 3’lü yığına dik olacak şekilde bir kule gibi dizilir (n
sayısının 3 ile bölünebilmesi gerektiğine dikkat edelim!). Oyuncular sırasıyla 1 parça
çeker ve çektiği parçayı kulenin en üstüne istediği şekilde yerleştirir. Yanlış parçayı
çekerek ya da doğru çektiği bir parçayı yanlış yere koyarak kuleyi deviren oyuncu oyunu
kaybeder.
Bu tür oyunlarda, parçaların boyutları ve diziliş şekli bir fizik problemi ve oyunu kimin
kazanacağı bir matematik problemidir. Her bir Jenga parçasının aynı boyutlarda
olmasının önemli bir veri olduğunu hatırlatalım ve Jenga parçaları ile oynayacağımız
sıradaki “oyun”umuza geçelim: Bir masanın kenarına, masaya ve herbiri diğerine çıkıntı
yapacak şekilde ama masadan düşmeyecek şekilde kaç tane Jenga parçasını üst üste
dizebiliriz? Bu şekilde oluşturabileceğimiz en uzun çıkıntının uç noktasının, masaya
uzaklığı ne olabilir? En az sayıda parça kullanarak en uzun çıkıntıyı bulan oyuncu oyunu
kazanır. Bu “oyun”, “Eğilmiş Para Kulesi” olarak bilinen ünlü bir “problem”dir. Bu
“problem”in ilk olarak 19. Yüzyılın başlarında yayınlanan bir makalede ele alındığını
söyleyip çalışmanın günümüze kadar olan gelişimini yazımızın sonuna bırakalım.
“Oyun”umuzun, halen çalışılan bilimsel bir “problem” olduğunu düşünerek Jenga
parçalarımızı daha ciddi parçalarla mesela standart büyüklüklere sahip kitaplar ile
değiştirelim. Bu kadar çok ve aynı boyutlardaki kitabı nereden mi edineceğiz? Elbette
MD dergilerimizi kullanacağız…
Kitaplarımız ile masadan çıkıntı yapacak en basit kuleyi, kulenin her katına sadece bir
kitap koyacak şekilde birkaç kitabı üstüste koyup masanın kenarından mümkün
olduğunca taşırarak elde ederiz. En büyük çıkıntı masadan itibaren elde ettiğimiz
uzunluktur.
Kurallara uyarak bu yolla, keyfi yükseklikte bir kule ile en büyük çıkıntıyı elde edebiliriz.
Daha büyük bir çıkıntı elde etmek için aşağıdaki gibi “karşıt-ağırlıklar” yöntemini de
kullanabiliriz:
Bu yöntemle gerçekten daha büyük bir çıkıntı üretebiliriz. Fakat karmaşık görünen bu
problemi daha sonraya bırakıp problemimizi en basit hali ile anlamaya çalışalım. Yani,
kısıtlamamız şu olsun: Kulenin her katına sadece bir kitap koyulabilir.
“Oyun”umuzun matematik modelini oluşturmak için, 0 noktası masanın tam sağ
kenarında olan ve masanın sağına doğru uzanan bir sayı doğrusu hayal edelim.
Bir kitabın eninin 2 birim ve kütlesinin 1 birim olduğunu ve n-kitaplı kulenin ağırlık
merkezi 0 dan küçük olduğu durumlarda masanın kenarında dengede kalacağını kabul
edelim (sıfır noktasında da hala dengededir).
1. adım: Masaya ilk kitabı öyle yerleştirelim ki sağ kenarı sıfırda olsun. Böylece
kitabın ağırlık merkezi -1 de olacaktır.
Ağırlık merkezi, -1’den 0’a gelinceye kadar kitabı sağa kaydıralım. Kitabın 0 noktasında
dengede olduğunu hatırlayalım. Kitabın eni 2 birim ve ağırlık merkezi -1 de olduğu için
kitabı düşürmemek için sadece eninin yarısı kadar (1 birim) sağa kaydırabildik.
Bu 1-kitaplı kulenin ağırlık merkezi 0 noktasında ve verdiği çıkıntı Ç1= 1 birimdir.
2. Adım: İkinci kitabı yine masanın üzerine ve sağ kenarı sıfır noktasında olacak
şekilde koyalım. Üzerine önceki adımda elde ettiğimiz 1-kitaplı kuleyi
koyalım.Yeni kule de dengede kalacaktır.
Hatırlatma: Herhangi iki noktaya, x1 ve x2 diyelim, yerleştirilen ve kütleleri M1 ve M2
olan iki cismin c ağırlık merkezi
formulü ile bulunur.
Öyleyse, 2-kitaplı kulenin ağırlık merkezi
noktasıdır. Kuleyi, ağırlık merkezi 0’a gelinceye kadar sağa kaydıralım. Kulemizin
dengede kalabilmesi için kuleyi sadece 1/2 birim sağa kaydırdık.
Böylece, 2-kitaplı kulenin kütlesi M2= 2, ağırlık merkezi c2=0 ve elde edeceğimiz çıkıntı
Ç2= 1+ 1/2 olur.
3. Adım: Kulemizi bir basamak daha yükseltelim. Üçüncü bir kitabı yine masanın
üzerine sağ kenarı sıfırda olacak şekilde koyalım ve 2-kitaplı kuleyi de üzerine
koyalım. Yeni kule de dengede kalacaktır.
3-kitaplı kulenin ağırlık merkezi:
noktasıdır. Kuleyi, ağırlık merkezi 0’a gelinceye kadar sağa kaydıralım. 3-kitaplı kulenin
dengede kalabilmesi için kuleyi sadece 1/3 birim sağa kaydırdık.
Böylece, 3-kitaplı kulenin kütlesi M3=3, ağırlık merkezi c3= 0 ve elde edilen çıkıntı Ç3=
1+1/2+1/3 olur.
4.adım: Kuleyi bir basamak daha yükseltmek için yine sağ kenarı sıfırda olacak
şekilde yeni bir kitabı masaya koyalım ve üzerine de yukardaki 3-kitaplı kulemizi
koyalım. Kule yine dengededir.
4-kitaplı kulenin ağırlık merkezi:
noktasıdır. Ağırlık merkezi 0 noktasına gelinceye kadar kuleyi sağa kaydıralım. 4-kitaplı
kulenin dengede kalabilmesi için kuleyi sadece 1/4 birim sağa kaydırdık.
Böylece, kütlesi M4=4, ağırlık merkezi c4=0 ve elde edilen çıkıntı Ç4= 1+1/2+1/3+1/4
olur.
n. adım: Yukardaki şekilde devam edersek n-kitaplı bir kule elde ederiz:
Bu kulenin kütlesi Mn=n, ağırlık merkezi cn=0 ve vereceği çıkıntı da Çn = 1+1/2+...+1/n
olacaktır.
Şimdi masanın üzerine tekrar sağ kenarı sıfırda olan yeni bir kitap ve üzerine de
yukardaki n-kitaplı kuleyi koyalım. Elde edeceğimiz (n+1)-kitaplı yeni kulenin ağırlık
merkezi
olur. Kuleyi, ağırlık merkezi sıfırda olacak şekilde sağa doğru kaydırdığımızda
Çn+1 = 1 + +1/2 + ... + +1/n+1
çıkıntısı oluşur.
Böylece, tümevarımla masanın kenarında dengede duran ve Ç n birim çıkıntısı bulunan Nkitaplı bir kule oluşturduğumuza ve elde edilen çıkıntının
harmonik ıraksak dizi verdiğine dikkat edelim. Bu küçük “oyun” ile aşağıdaki gibi zengin
bir tabloyu kolayca oluşturabiliriz:
Arzulanan çıkıntı İhtiyaç duyulan kitap sayısı (n)
2
n=4
4
n= 31
10
n= 12,367
22
n= 2,012,783,315
40
n = 132,159,290,357,566,703
İlk olarak, J.G.Coffin 1923 yılında, "Paranın Kulesine Eğilmek" adlı bu ”basit oyun”u
problem olarak ortaya koyar fakat problemin çözümü üzerine ilk çalışmalar 1955 yılında
P.B.Johnson ile başlar. Yukarıda koyduğumuz kısıtlamayı kaldırarak elde edebileceğimiz
en uzun çıkıntının ne olduğu ve uzunlukları ve ağırlıkları farklı parçalar kullanılarak elde
edilecek en uzun çıkıntının ne olduğu halen çalışılmakta olan problemlerdir. Bu
çalışmaların ayrıntılarını merak edenler için aşağıdaki kaynak listesini verelim ve
araştırmaların geldiği son noktada elde edilen en düşük toplam ağırlıklı ve en uzun
çıkıntıyı veren iki dizilişle yazımızı bitirelim: Simetrik dizilişle elde edilen “abajur” ve
simetrik olmayan dizilişle elde edilen “gaz lambası”:
Kaynaklar:
J.G.Coffin (NewYork City), “Problem 3009”, American Math. Monthly 30(2) 1923 p.76.
Johnson, Paul B. “Leaning Tower of Lire” Amer. J. Physics. 23 (4) 1955 p.240.
M.Paterson and U.Zwick, “Overhang” Amer. Math. Monthly 116 (1) 2009 p.19.