Matematikte bazı terimler tanımsız kabul edilmektedir. Örneğin nokta, doğru, düzlem kavramları tanımsız terimlerdir. Bunların ne olduğunun herkes tarafından bilindiği ve anlaşıldığı kabul edilmektedir. Ancak bazı terimlerin tanımını verirken neden bazı terimleri tanımsız bırakıyoruz?
Antik çağlarda geometriciler her terimi tanımlamaya çalışırdı. Ancak, 19. Yüzyıldan itibaren matematikçiler her terimi tanımlamanın döngüsel tanımlara yol açacağını fark ettiler. Bu nedenle bazı terimler tanımsız bırakılacaktı. Sonrasında da bunlara ‘temel kavram (primitive notion)’ dendi.
Ancak, bir terimin tanımsız olması, onun tarif edilemeyeceği anlamına gelmez. Bir öğretmen geometri dersinde noktanın tanımını yapmayabilir. Ancak, öğrencilerin zihninde bu kavramın oluşması için bazı örnekler vermek, basit tarifler yapmak en iyisidir. Örneğin “nokta kalemin bıraktığı izdir” denebilir.
Benim kendi tarifim genelde şöyle olur: “Nokta, yer belirten bir işarettir.” Gerçekten de düşününce noktanın tek görevinin yer belirtmek olduğunu anlarız. “Tahtanın sağ üst köşesine bakın” dediğimiz zaman herkes aynı yere bakar. Tahtaya bir işaret koyup yanına A yazarsak, herkes A dendiğinde nereye bakması gerektiğini bilir.
ABC üçgeni dediğimiz zaman herkes neden söz ettiğimizi anlar. Kısaca tanımsız terimlerin tarifini yapmakta yanlış bir şey yoktur. Ancak bunun resmi bir tanım olmadığını, sadece bir tarif olduğunu belirtmek yerinde olur. Modern matematiğin temelinde yer alan küme kavramı da bazı teknik nedenlerden ötürü tanımsız terim kabul edilmiştir.
9. sınıf matematik kitabında (2020 yılı); kümeler konusunun girişinde yapılan küme tanımı
Burada, kümenin tanımsız bir terim olduğuna dair hiçbir bilgi verilmemiş. Cantor’un tanımı da küme tanımı olarak kabul edilmiştir. Bu metin de, esasında İngilizce Wikipedia’nın sadeleştirilmiş bir çevirisidir. (Bakınız: Şekil-2)
Ancak, ne yazık ki bu çeviride, kümenin tanımsız bir terim olduğunu söyleyen son paragraf atlanmıştır. Son paragrafın çevirisi şöyledir.
“Teknik nedenlerden dolayı, Cantor’un küme tanımının uygun olmadığı ortaya çıkmıştır. Günümüzde tutarlılığın önemli olduğu durumlarda, aksiyomatik küme kuramı kullanılmaktadır. Bu kuramda küme kavramı tanımsız terim kabul edilmektedir. (…)” Yani kısaca, küme kavramı tanımsız kabul edilmiştir.
Küme Tanımı İle İlgili Sorun Nereden Gelmektedir?
Sorun, modern matematiğin kurucularından olan Gottlob Frege ve Bertrand Russell arasındaki bir yazışmayla başlıyor. Frege, 20 yıl üzerinde çalıştığı ve matematiği mantığa indirgeyen kitabını yayınladıktan kısa bir süre sonra Russell’dan şu mektubu alır:
“Sayın Bayım, bugüne değin sizinki kadar titiz bir eserle karşılaşmamıştım. Her söylediğinize katılıyorum. Ancak bir konu kafamı çok kurcalamakta ve kendi başıma işin içinden çıkamadım. Kümelerin kendi kendini içerebileceğini söylemişsiniz. Kendi kendini içermeyen tüm kümelerin kümesi, kendi kendini içerir mi? İşte bu soruya bir yanıt bulamadım.”
Frege bu mektubu aldığında tüm kuramının çöktüğünü anlar, üzüntüden hastanelik olur. Russell, bu paradoksu Cantor’un çalışmalarını incelerken keşfetmiştir. Cantor’un “iyi tanımlanmış her nesneler topluluğu bir kümedir” tanımı, paradoksa yol açmaktadır.
Birçok küme kendisinin elemanı değildir. Örneğin, doğal sayılar kümesi, doğal sayı olmadığı için kendisinin elemanı değildir. Ama kendisinin elemanı olan kümeler de vardır. Örneğin domates olmayan tüm nesnelerin kümesi domates olmadığı için kendisinin elemanıdır.
Bu durumda ‘kendisinin elemanı olmayan tüm kümelerin kümesi, kendisinin elemanı mıdır?’ sorusu paradoksa yol açar. (Eğer kendinin elemanı olsaydı, o halde kendinin elemanı olmaması gerekirdi. Eğer kendinin elemanı değilse, o halde kendinin elemanı olması gerekir.)
Bu paradoksun gerçekten de anlaşılması biraz zordur. Bu nedenle daha anlaşılır eski bir paradoksu örnek verelim. Buna ‘Berber Paradoksu’ denir. Kısaca: “Yalnızca kendini tıraş edemeyenleri tıraş eden bir berber kendi kendini tıraş edebilir mi?” biçimindedir. Bu ifadenin bir paradoksa yol açtığını görünüz.
Russell Paradoksu da Berber Paradoksu’nun bir çeşididir. Russell, kendi geliştirdiği tipler kuramıyla paradoksu çözdü. Ancak çalışması hem çok karmaşıktı hem de mantık kuralları üzerinde bazı değişiklikler yapılmasını gerektirmişti.
Russel Paradoksu ile Kümenin Tanımına Yeni Bir Bakış Açısı Geldi
Günümüzde, Frege’nin birçok fikrine yer veren Zermelo-Fraenkel Küme Kuramı’nın aksiyomları kullanılmaktadır. Bu kuram paradoksu ortadan kaldırmaktadır, ancak kuram içinde küme kavramı tanımsız bırakılmıştır.
Not: Russell tarafından 1901’de keşfedilen paradoks, Zermelo tarafından 1899’da, Russell’dan önce keşfedilmişti. Ayrıca Cantor da 1890’lı yılların sonlarına doğru kendi tanımının paradoksa yol açtığını fark etmiş ve bu durumu Hilbert ve birkaç kişiye daha bildirmişti.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Russell’s Paradox: Here’s Why Math Can’t Have A Set Of Everything; Yayınlanma tarihi: 25 Kasım 2013; Bağlantı:https://www.businessinsider.com/
- Mathematical mysteries: The Barber’s Paradox. Yayınlanma tarihi: 1 Mayıs 2002; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/index.php/mathematical-mysteries-barbers-paradox
Dip Not:
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım