Kanıtlamak istediğim şey: $n^{f(n)}$ sınırlıdır ancak ve ancak $f(n)\to 0$. Ya da buna benzer bir şey.
Buradaki $f(n)$, $n$ değişkenine bağlı bir fonksiyon. Pozitif olma koşulu olmasa güzel olur ama gerekliyse pozitif olduğu varsayılabilir.
Bu sorunun soldan sağa kanıtı kolay: $f(n)$ dizisi sıfıra yakınsamasa bir $\epsilon$ pozitif sayısından büyük kalır, bu da $n^\epsilon<n^{f(n)}$ eşitsizliğini verir.
Soldan sağa kısmı için kanıt yapamadım, doğru olduğundan da şüpheliyim açıkçası.
Temel olarak; $n^{f(n)}$ dizisinin sınırlı olması için $f(n)$ dizisi üzerinde ne gibi bir gerek ve yeter koşul olmalıdır?
Örneğin, $c$ sabit bir sayı olmak üzere eğer $f(n)\leq c \frac{1}{n}$ gibi bir şey olsa, o zaman daha güçlü bir şey kanıtlanmış oluyor, $n^{f(n)}$ dizisinin $1$'e yakınsadığı çıkıyor buradan.