Öğrenme hedefleri
Bu bölümde şunları yapacaksınız:
- Doğrudan varyasyon problemlerini çözün.
- Ters varyasyon problemlerini çözün.
- Eklem varyasyonunu içeren problemleri çözün.
Bir kullanılmış araba şirketi az önce en iyi adayı olan Nicole'e satışta bir pozisyon teklif etti. Örneğin, 4.600 dolara bir araç satarsa, 736 dolar kazanacaktır. Teklifi değerlendirmek istiyor ama nasıl yapacağından emin değil. Bu bölümde, bunun gibi kazançlar, satışlar ve komisyon oranı arasındaki ilişkilere bakacağız.
Doğrudan Varyasyon Problemlerini Çözme
Yukarıdaki örnekte, Nicole'ün kazancı, satışlarını komisyonuyla çarparak bulunabilir. (e=0.16s) formülü bize onun kazancını, (e), 0.16'nın ürününden, komisyonundan ve aracın satış fiyatını söyler. Bir tablo oluşturduğumuzda, satış fiyatı arttıkça kazancın da arttığını gözlemliyoruz, ki bu sezgisel olmalı. Görmek Tablo 5.8.1.
|(s), satış fiyatı||(e=0.16s)||Tercüme|
|$9,200||(e=0.16(9.200)=1,472)||9.200 dolarlık bir aracın satışı 1472 dolarlık kazançla sonuçlanır.|
|$4,600||(e=0.16(4,600)=736)||4.600 dolarlık bir aracın satışı, 736 dolarlık kazançla sonuçlanır.|
|$18,400||(e=0.16(18.400)=2.944)||18.400 dolarlık bir aracın satışı 2944 dolarlık kazançla sonuçlanır.|
Tablo 5.8.1
Kazançların satışların katı olduğuna dikkat edin. Satışlar arttıkça, kazançlar öngörülebilir bir şekilde artar. Aracın satışlarını 4.600$'dan 9.200$'a ikiye katladık ve kazancımızı da 736$'dan 1.472$'a iki katına çıkardık. Girdi arttıkça çıktı girdinin katı olarak artar. Bir niceliğin başka bir nicelik ile çarpıp sabit olduğu ilişkiye denir. doğrudan varyasyon. Bu ilişki türündeki her değişken doğrudan değişir diğerleriyle birlikte.
Şekil 5.8.1, Nicole'ün potansiyel kazançlarına ilişkin verileri temsil etmektedir. Kazançların doğrudan arabanın satış fiyatına göre değiştiğini söylüyoruz. Doğrudan varyasyon için (y=kx^n) formülü kullanılır. (k) değeri sıfırdan büyük sıfırdan farklı bir sabittir ve varyasyon sabiti. Bu durumda, (k=0.16) ve (n=1). Güç fonksiyonlarını tartışırken bunun gibi fonksiyonları gördük.
Şekil geçersiz kaynağa sahip: resim kaydedilene kadar görülebilir... src="/@api/deki/pages/=Bookshelves%252FPrecalculus%252FBook%25253A_Precalculus_(OpenStax)%252F03%25253A_Polynomial_and_Rational_Functions%252F3.9%25253A_Modelingari_001_Usd jpg
Genel Not: DOĞRUDAN VARYASYON
(x) ve (y) formun bir denklemi ile ilişkiliyse
(y=kx^n)
o zaman ilişki olduğunu söylüyoruz doğrudan varyasyon ve (y) doğrudan değişir (x)'in (n)inci kuvvetiyle veya onunla orantılıdır. Doğrudan varyasyon ilişkilerinde, sıfırdan farklı bir sabit oran (k=dfrac{y}{x^n}) vardır, burada (k) varyasyon sabitideğişkenler arasındaki ilişkiyi tanımlamaya yardımcı olan .
Bir doğrudan varyasyon probleminin tanımı verildiğinde, bilinmeyeni çözün.
- Girdiyi, (x) ve çıktıyı, (y) tanımlayın.
- Varyasyon sabitini belirleyin. Varyasyon sabitini belirlemek için (y)'yi (x)'in belirtilen gücüne bölmeniz gerekebilir.
- İlişki için bir denklem yazmak için varyasyon sabitini kullanın.
- Bilinmeyeni bulmak için bilinen değerleri denklemde yerine koyun.
Örnek
Doğrudan Varyasyon Problemini Çözme
(y) miktarı, (x)'in küpüyle doğrudan değişir. (x=2 olduğunda (y=25) ise, (x) (6) olduğunda (y)'yi bulun.
Çözüm
Bir küple doğrudan varyasyonun genel formülü (y=kx^3) şeklindedir. Sabit, (y)'nin (x) küpüne bölünmesiyle bulunabilir.
(k=dfrac{y}{x^3})
(=dfrac{25}{2^3})
(=dfrac{25}{8})
Şimdi bu ilişkiyi temsil eden bir denklem yazmak için sabiti kullanın.
(y=dfrac{25}{8}x^3)
(x=6) yerine koyun ve (y) için çözün.
(y=dfrac{25}{8}{(6)}^3)
(=675)
analiz
Bu denklemin grafiği, gösterildiği gibi basit bir kübiktir. Şekil 5.8.2.
Soru-Cevap
Tüm doğrudan varyasyon denklemlerinin grafikleri Örnek gibi mi görünüyor?
Hayır. Doğrudan varyasyon denklemleri güç fonksiyonlarıdır—doğrusal, ikinci dereceden, kübik, kuartik, radikal vb. olabilir. Ancak tüm grafikler ((0,0)'dan geçer).
Egzersiz yapmak
(y) miktarı, (x)'in karesiyle doğrudan değişir. (x=3 olduğunda (y=24) ise, (x) 4 olduğunda (y)'yi bulun.
Çözüm
(frac{128}{3})
Ters Varyasyon Problemlerini Çözme
Bir okyanustaki su sıcaklığı, suyun derinliği ile ters orantılı olarak değişir. (T=frac{14.000}{d}) formülü bize Dünya yüzeyinin fit olarak altındaki bir derinlikte Fahrenheit derece cinsinden sıcaklığı verir. Dünya yüzeyinin %22'sini kaplayan Atlantik Okyanusu'nu düşünün. Belirli bir yerde, 500 fit derinlikte, sıcaklık 28°F olabilir.
eğer yaratırsak Tablo 5.8.2, derinlik arttıkça su sıcaklığının düştüğünü gözlemliyoruz.
|(d), derinlik||(T=frac{14.000}{d})||Tercüme|
|500 fit||(frac{14.000}{500}=28)||500 ft derinlikte, su sıcaklığı 28 ° F'dir.|
|1000 fit||(frac{14.000}{1000}=14)||1000 ft derinlikte, su sıcaklığı 14 ° F'dir.|
|2000 fit||(frac{14.000}{2000}=7)||2.000 ft derinlikte, su sıcaklığı 7 ° F'dir.|
Tablo 5.8.2
Bu değişkenler arasındaki ilişkide, bir nicelik arttıkça diğerinin azaldığını fark ederiz. İki miktar olduğu söyleniyor ters orantı ve her dönem ters orantılı olarak değişir diğerleriyle birlikte. Ters orantılı ilişkilere de denir. ters varyasyonlar.
Örneğimiz için, Şekil 5.8.3 ters varyasyonu gösterir. Su sıcaklığının suyun derinliği ile ters orantılı değiştiğini söylüyoruz çünkü derinlik arttıkça sıcaklık düşüyor. Bu durumda ters varyasyon için (y=frac{k}{x}) formülü (k=14,000) kullanır.
Genel Not: TERS DEĞİŞİM
(x) ve (y) formun bir denklemi ile ilişkiliyse
(y=frac{k}{x^n})
burada (k) sıfırdan farklı bir sabittir, o zaman (y) deriz ters orantılı olarak değişir (x)'in (n)inci kuvveti ile. İçinde ters orantı ilişkiler veya ters varyasyonlar, sabit bir çoklu (k=x^ny) vardır.
Örnek
Ters Orantılı Bir İlişki İçin Formül Yazma
Bir turist 100 mil sürmeyi planlıyor. Turistin kullandığı hızın bir fonksiyonu olarak yolculuğun alacağı süre için bir formül bulun.
Çözüm
Hızın zamanla çarpılmasının mesafeyi verdiğini hatırlayın. (t)'nin saat cinsinden sürüş süresini ve (v)'nin turistin sürdüğü hızı (hız veya oran) temsil etmesine izin verirsek, o zaman (vt=)mesafe. Mesafe 100 mil olarak sabitlendiğinden, (vt=100) yani (t=frac{100}{v}). Zaman hızın bir fonksiyonu olduğu için (t(v)) yazabiliriz.
(t(v)=frac{100}{v})
(=100v^{−1})
Varyasyon sabitinin 100 olduğunu görebiliriz ve ilişkiyi negatif üs kullanarak yazabilsek de, kesir olarak yazıldığını görmek daha yaygındır. Zamanın hız ile ters orantılı değiştiğini söylüyoruz.
Dolaylı bir varyasyon probleminin tanımı verildiğinde, bilinmeyeni çözün.
- Girdiyi, (x) ve çıktıyı (y) tanımlayın.
- Varyasyon sabitini belirleyin. Varyasyon sabitini belirlemek için (y)'yi (x)'in belirtilen gücüyle çarpmanız gerekebilir.
- İlişki için bir denklem yazmak için varyasyon sabitini kullanın.
- Bilinmeyeni bulmak için bilinen değerleri denklemde yerine koyun.
Örnek
Ters Varyasyon Problemini Çözme
Bir nicelik (y) (x)'nin küpüyle ters orantılı olarak değişir. (x=2 olduğunda (y=25) ise, (x) (6) olduğunda (y)'yi bulun.
Çözüm
Bir küpün ters varyasyonunun genel formülü (y=frac{k}{x^3}) şeklindedir. Sabit, (y) ile (x)'nin küpü çarpılarak bulunabilir.
(k=x^3y)
(=2^3⋅25)
(=200)
Şimdi bu ilişkiyi temsil eden bir denklem yazmak için sabiti kullanıyoruz.
(y=dfrac{k}{x^3}), ( k=200)
(y=dfrac{200}{x^3})
(x=6) yerine koyun ve (y) için çözün.
(y=dfrac{200}{6^3})
(=dfrac{25}{27})
analiz
Bu denklemin grafiği, gösterildiği gibi rasyonel bir fonksiyondur. Şekil 5.8.4.
Egzersiz yapmak
Bir nicelik (y) (x)'nin karesiyle ters orantılı olarak değişir. (x=3 olduğunda (y=8) ise, (x) (4) olduğunda (y)'yi bulun.
Çözüm
(frac{9}{2})
Eklem Varyasyonu İçeren Sorunları Çözme
Birçok durum, temel bir doğrudan varyasyon veya ters varyasyon modelinden daha karmaşıktır. Bir değişken genellikle birden fazla değişkene bağlıdır. Bir değişken, iki veya daha fazla değişkenin çarpımına veya bölümüne bağlı olduğunda buna denir. ortak varyasyon. Örneğin, her okul gezisi için öğrenci taşıma maliyeti, katılan öğrenci sayısına ve okuldan uzaklığa göre değişir. (c),cost değişkeni öğrenci sayısı, (n) ve uzaklık (d) ile birlikte değişir.
Genel Not: ORTAK VARYASYON
Ortak varyasyon, bir değişken birden fazla değişkenle doğrudan veya ters olarak değiştiğinde ortaya çıkar.
Örneğin, (x) hem (y) hem de (z) ile doğrudan değişiyorsa, (x=kyz) elde ederiz. (x) (y) ile doğrudan ve (z) ile ters olarak değişiyorsa, (x=frac{ky}{z}) var demektir. Ortak varyasyon denkleminde yalnızca bir sabit kullandığımıza dikkat edin.
Örnek
Ortak Varyasyon İçeren Sorunları Çözme
Bir (x) niceliği, (y)'nin karesiyle doğrudan ve (z)'nin küp köküyle ters orantılı olarak değişir. (y=2) ve (z=8) olduğunda (x=6) ise, (y=1) ve (z=27) olduğunda (x)'i bulun.
Çözüm
Değişkenler arasındaki ilişkiyi göstermek için bir denklem yazarak başlayın.
(x=dfrac{ky^2}{sqrt[3]{z}})
(k) sabitinin değerini bulmak için (x=6), (y=2) ve (z=8) yerine koyun.
(6=dfrac{k2^2}{sqrt[3]{8}})
(6=dfrac{4k}{2})
(3=k)
Şimdi sabitin değerini ilişki için denklemin yerine koyabiliriz.
(x=dfrac{3y^2}{sqrt[3]{z}})
(y=1) ve (z=27) olduğunda (x)'i bulmak için, denklemimize (y) ve (z) değerlerini koyacağız.
(x=dfrac{3{(1)}^2}{sqrt[3]{27}})
(=1)
Egzersiz yapmak
Bir (x) niceliği, (y)'nin karesiyle doğrudan ve (z) ile ters orantılı olarak değişir. (y=4) ve (z=2) olduğunda (x=40) ise, (y=10) ve (z=25) olduğunda (x)'i bulun.
Çözüm
(x=20)
Anahtar Denklemler
Doğrudan varyasyon
(y=kx^n), (k) sıfırdan farklı bir sabittir.
ters varyasyon
(y=dfrac{k}{x^n}), (k) sıfırdan farklı bir sabittir.
Anahtar kavramlar
- Bir miktarın başka bir nicelikle çarpımı sabit olduğu ilişkiye doğrudan değişim denir. Örneğe bakın.
- Birbiriyle doğru orantılı olan iki değişkenin oranı sabit olacaktır.
- Bir miktarın diğer bir niceliğe bölümüyle sabit olduğu ilişkiye ters varyasyon denir. Örneğe bakın.
- Birbiriyle ters orantılı olan iki değişkenin sabit bir katı olacaktır. Örneğe bakın.
- Birçok problemde, bir değişken birden fazla değişkenle doğrudan veya ters olarak değişir. Bu tür bir ilişkiye ortak varyasyon diyoruz. Örneğe bakın.
Somut Temsili Soyut Modeli Kullanarak Matematik Öğretimi
CRA Modeli, matematik öğretimi için bir öğretim yaklaşımıdır. Üç aşamadan oluşur:
Somut aşamada, uygulamalı manipülatifleri kullanmaya odaklanıyoruz. Öğrenciler, düşüncelerini temsil etmek için 3B nesneleri hareket ettirebilmeli ve manipüle edebilmelidir. Bunun bir örneği, bir toplama ifadesini temsil eden on taban bloğu olabilir.
Temsil aşamasında, temsiller çiziyoruz. Örneğin, bir önceki resimdeki taban onlukları onluk taban bloklarının bir çizimi ile gösterebiliriz.
Soyut aşamada düşüncemizi rakamlar ve sembollerle temsil ederiz. Örneğin, on tabanlı bloklar artık bir denklem olarak gösterilebilir.
BOŞLUK"
Pek çok öğrencimizin matematiksel anlama ve akıcılığında büyük bir boşluk olduğu bir sır değil. Neden bazı öğrenciler matematiği “alıyor” ve bazıları hiç almıyor?
Bu boşluğun nedeninin somut öğrenmeye odaklanma eksikliği olduğuna inanıyorum.
Soyut etkinliklere daha hızlı ulaşmak için somut etkinliklerde acele etmekten suçlu olduğumu biliyorum. Senin varmi? Soyut aşamayı, –'e ulaşmak için acele ettiğimiz nihai hedef olarak görmek kolay ama bu gerçekten bizim nihai hedefimiz mi? Yoksa amaç, öğrencilerimizin anlayışlarını oluşturmalarına ve esnek düşünürler olmalarına yardımcı olmak mı?
Matematikle mücadele eden öğrencileriniz varsa, zayıflıklarının nedeninin matematiği kafalarında “görmemeleri” olabileceğini düşünmenizi tavsiye ederim. 25'i iki onluk ve beş birlik olarak görmek yerine kelimenin tam anlamıyla "2" ve "5" olarak görüyorlar. Bu, bağlantı kurmalarını ve ilişkileri görmelerini çok zorlaştırır.
Öğrencilerimize, matematikte gelecekteki başarıları için gerekli olan anlayışı inşa etmeleri için somut materyallerle fırsatlar vererek bu boşluğu doldurmaya yardımcı olabiliriz.
CRA MODELİNİ DİKKATE ALINARAK DERS TASARLAMAK
Bir matematik dersi öğretirken, aynı derse somut, temsili ve soyutu dahil etmeyi hedefleyin. Bu şekilde, anlayışlarının neresinde olurlarsa olsunlar, tüm öğrencileriniz için farklılaştığınızdan emin olabilirsiniz.
CRA modelini sıralı bir dizi adımdan ziyade bir Venn şeması olarak düşünmek yardımcı olur.
CRA modelini derslerinize sorunsuz bir şekilde dahil etmek için bazı ipuçları:
- Manipülatiflerinizi çekmecede saklamayın ve sadece özel günler için dışarı çıkarın! Bunlar matematik öğretiminizin düzenli bir parçası olmalıdır.
- Manipülatifleri öğrencilerin masa gruplarında bulundurun, böylece ihtiyaç duyanlar için kolayca erişilebilir olurlar.
- Tüm sınıf matematik konuşması sırasında, düşünmeyi çeşitli şekillerde temsil edin. Her öğrencinin aynı düşünmediğini unutmayın.
- Düşüncenizi değiştirin - amaç esnek düşünmekse, zamanın büyük kısmı manipülatiflerle harcanmalıdır. Öğrenciler matematiği kafalarında "gördüklerinde", soyut aşama doğal, basit bir ilerleme olacaktır. Bu aynı zamanda daha az müdahale ve yeniden öğretime ihtiyaç duyulacağı anlamına da gelecektir.
CRA MODELİ İLE ÖĞRETİM ARAÇLARI
İşte CRA modelini çeşitli matematik görevlerine dahil etmenin en sevdiğim yollarından bazıları.
CRA modelini sınıfınızda nasıl kullanıyorsunuz? Aşağıdaki yorumlarda bana bildirin!
COMSTAT Verilerini Kullanarak Biyofilm Yapılarının Matematiksel Modellenmesi
Matematiksel modelleme, biyofilm büyümesini sınırlamak veya teşvik etmek için kullanılan kimyasal ajanların varlığında veya yokluğunda biyofilm büyümesini nicel olarak tanımlamak için büyük bir potansiyele sahiptir. Bu yazıda, karmaşık verilerin birkaç parametre açısından karakterizasyonuna ve (i) farklı deneyleri ve farklı ajanlara maruz kalma durumlarını karşılaştırma, (ii) biyofilm büyümesiyle ilgili farklı hipotezleri test etme kabiliyetine izin veren genel bir matematiksel/istatistiksel çerçeve tanımlıyoruz. ve farklı ajanlarla etkileşim ve (iii) ajanların keyfi yönetimlerini simüle etme. Matematiksel çerçeve, canlı biyofilm büyümesini ve ölü hücre birikimini karakterize eden yeni modeller de dahil olmak üzere biyofilmi karakterize eden alt modellere bölünmüştür, ajanların kinetiklerini inhibe eden veya teşvik eden ajanlarla etkileşim. İstatistiksel çerçeve, ölçüm ve deneyler arası varyasyonu hesaba katabilir. COMSTAT bilgisayar programı kullanılarak elde edilen konfokal mikroskopi verilerini kullanarak modellerin (bazılarının) uygulamasını gösteriyoruz.
1. Giriş
Biyofilmler, bir yüzeye yapışık polisakkaritler, proteinler ve hücre dışı DNA'dan oluşan hücre dışı bir matris içine alınmış yapılandırılmış bakteri topluluklarıdır [1]. Planktonik bakterilerden farklı olarak, biyofilmler metabolizma, antibiyotik toleransı ve bağışıklık sisteminden kaçma yeteneği açısından farklılıklar gösterir ve bu da biyofilmlerden kaynaklanan enfeksiyonların tedavi edilmesini zorlaştırır [2]. Biyofilmler, yabancı cisim enfeksiyonları, orta kulak iltihabı ve idrar yolu enfeksiyonları dahil olmak üzere akut ve kronik enfeksiyonların ana nedenidir.
Bir biyofilm içinde organize olan bir mikroorganizma popülasyonu büyüdüğünde, farklı fazlardan geçmesi muhtemeldir. Büyümenin başlangıcından önceki çevresel koşullar optimal değilse, büyüme bir dinlenme dönemini takip edebilir. Sonunda, hücreler bölünmeye ve yapılanmaya başlar ve biyofilm, genel hücre bölünme hızının, ölüm hızına üstün geldiği bir döneme dönüşür. Uygun koşullar altında, büyüme bir süre için sınırsız (dolayısıyla üstel) olarak kabul edilebilir, ancak nihayetinde [3] (i) mevcut besinlerin tükenmesi, (ii) inhibitör metabolitlerin veya son ürünlerin birikmesi gibi fizyolojik ve fiziksel sınırlar, ve (iii) alanın tükenmesi araya girer. Sonuç olarak, büyüme hızı azalır ve koloni maksimum boyutuna ulaşır. Bu çevresel veya fizyolojik stres faktörlerine tekrar tekrar veya sürekli maruz kalma, biyofilm boyutunda bir düşüşe neden olabilir [4].
İn vitro biyofilmler genellikle terapi ile ilgili çalışmalarda, bakteri popülasyonlarının çeşitli ajanlara karşı reaksiyonları ile ilgilenen çalışmalarda kullanılır: ilaçlar, örneğin antibiyotikler veya mutajenler [5-8]. Biyofilm yapılarına dışarıdan uygulanarak ortamlarını değiştirirler veya bakterileri doğrudan yok ederler (öldürürler) veya üreme kapasitelerini azaltırlar.
Sadece bakteri aktivitesine bağlı olarak ortamdaki dinamiklerin araştırılmasında bakteri büyümesini tanımlamak için çeşitli matematiksel modeller kullanılmıştır [9, 10]. Benzer şekilde, farklı ajanların, özellikle ilaçların etkisini ve etkileşimlerini açıklamak için bir dizi model önerilmiştir [11-13]. Bu makalenin amacı, biyofilm büyümesinin farklı aşamalarını, farklı ajanların etkisini ve canlı ve ölü biyofilm için ortaya çıkan kinetiklerin eşzamanlı modellemesini açıklayan modeller sağlayan entegre bir çerçeve elde etmektir. Bu verilerin kullanımıyla, özellikle de farklı değişkenlik kaynaklarının tedavisiyle ilgili istatistiksel sorunlar da ele alınmaktadır.
Konfokal mikroskopi ve COMSTAT [14] aracılığıyla elde edilen verileri kullanarak elde edilen genel modellerin kullanımını gösteriyoruz. COMSTAT, konfokal mikroskop tarafından oluşturulan görüntü yığınlarını kaynak veri olarak alır ve bir veya daha fazla metin dosyası olarak çıkarılan biyofilm yapılarının nicelleştirilmesi için on adede kadar görüntü analiz özelliği üretir. Bu yazıda tanımladığımız modeller tek değişkenli ölçümler için geçerlidir: toplam biyokütle, belirli bir katmandaki alan, ortalama kalınlık ve alt tabakada tanımlanan mikrokoloni hacimleri (COMSTAT ayrıca kalınlık dağılımı gibi nicelleştirme için kullanılabilen çok değişkenli verileri de elde eder). biyofilmdeki üç boyutlu yapılar Bu tür verilerin modellenmesi, mevcut modelleme araştırmasının konusudur ve gelecekteki iletişimlerde rapor edilecektir.).
2. Yöntemler
2.1. Matematiksel modelleme
Biyofilm büyümesinin modellenmesi, üç bileşenin spesifikasyonunu gerektirir. Birincisi, bir fonksiyon
, büyümeyi sınırlayan veya teşvik eden ajanların yokluğunda biyofilmin büyümesini açıklar. İkincisi, negatif olmayan bir fonksiyon
, ajanlarla etkileşimi açıklar. Üçüncü,
, biyofilm üzerinde etkili olan ajanların zamansal varyasyonunu (kinetik) tanımlar. Düşündüğümüz genel model, biyofilmin değişim oranını şu şekilde ifade etmektedir:
nerede zaman, sistemde bulunan biyofilm miktarı mı, başlangıç koşulları mı yoksa biyofilm miktarı mı ve o andaki ajan konsantrasyonudur. ± işareti, modelin inhibisyonu veya stimülasyonu tanımlayabildiğini gösterir.
2.1.1. Biyofilm Büyümesi
Bakteriyel büyümeyi tanımlamak için çok sayıda model önerilmiştir, örneğin, [15-17]. Bu makalenin amacı doğrultusunda, sadece sınırsız büyüme (üssel) için en basit modeli ve sınırlı büyüme için üç yarı-ampirik modeli tanımlıyoruz. Üstel biyofilm büyümesi, büyüme hızının sistemde bulunan hücre miktarıyla orantılı olduğunu ve dolayısıyla büyümede herhangi bir sınırlama olmadığını varsayar.
biyofilmin büyüme hızı nerede. (2)'nin analitik çözümü üstel bir büyümedir:
Genel olarak, üstel büyüme, biyofilm büyümesinin yalnızca erken aşamalarını tanımlayabilir. Besin arzındaki sınırlamalardan veya mekanik kısıtlamalardan veya metabolit birikiminden kaynaklanan çoğalmadaki azalmayı hesaba katmak için bir dizi yarı deneysel model kullanılabilir. Lojistik, Gompertz ve Bertalanffy modellerini ele alıyoruz. Lojistik [18] aşağıdaki formu alır:
ulaşılabilecek maksimum biyofilm seviyesi nerede. Karşılık gelen analitik çözüm aşağıdaki gibidir:
Gompertz modeli [19–21] aşağıdaki formu alır:
Son olarak Bertalanffy modeli [22], büyümenin biyofilm yüzey alanıyla orantılı olarak gerçekleştiğini, biyofilm kaybının ise biyofilmle orantılı olduğunu varsayar:
biyofilm için ölüm oranı nerede. (8)'in çözümü de şekil olarak sigmoidaldir ve doğum ve ölüm terimlerinin birbirini dengelediği zaman arttıkça bir asimptot eğilimi gösterir. Bertalanffy modelinin genel bir versiyonu şu şekildedir [22]:
. Lojistik denklem, bu modelin özel bir halidir.
2.1.2. Ajanların Biyofilm ile Etkileşimi
Bakteriyel biyofilmin bir ajan ile etkileşimini tanımlayan en basit model, ajanın etkisinin ürün ajanı ve biyofilm ile orantılı olduğunu varsayar:
şimdi etkileşimi nicelleştirdiği yer. Bir inhibitör ajan için (10) üstel büyüme (2) elde edilir. Bu modele göre ajan konsantrasyonu sabit seviyede tutulursa büyüme hızı sıfırdır. Bu konsantrasyon, ajanı öldüren bakteri veya BIC'nin minimum konsantrasyonudur. BIC sıklıkla planktonik, in vitro deneyler ve klinik ortamlarda bakteri üremesini karakterize etmek için kullanılır (örn., [23]). Büyüme hızı üstel değilse, BIC'nin sabit olmadığını, ancak mevcut biyofilm miktarına bağlı olduğunu unutmayın. Örneğin, Lojistik model için, bir inhibitör ajan eyleminin dahil edilmesi aşağıdaki formu alır: ve BIC aşağıdaki denklemle verilir:
bu, BIC'nin bir fonksiyonu olarak nasıl azaldığını gösterir. Benzer şekilde, Gompertz modeli için, etkileşim ajanı/biyofilm için daha karmaşık modeller kullanılabilir, örneğin, ajanın konsantrasyonu bir eşiğe ulaştığında etkili olduğu eşik modelleri,
burada parametre, örneğin farmakodinamikte [13] kullanılana benzer doygunluk kinetiğini izleyen eşik veya modellerdir, burada şimdi, yüksek ajan konsantrasyonları için öldürme hızı asimptottur. İki ajanın varlığında ve , modeller (10) ve (16) ajanlar öldürme oranını farklı şekillerde etkileyebileceğinden karmaşıklık artar. Örneğin, lineer model (10) şu şekilde genelleştirilebilir: veya ajanların etkileşimi için öldürme oranı nerede. Tek ajan modelinde (16) olduğu gibi doygunluk kinetiği mevcut olduğunda, farmakodinamik, enzimoloji veya bağlanma deneylerinde sıklıkla uygulanan katkı maddesi, sinerjistik ve antagonistik modeller üreten bir dizi olasılık ortaya çıkar [12]. Örneğin, iki ajan arasındaki rekabetçi etkileşim için bir modelin dahil edilmesi,
model toplamsallık gösterir ve rekabetçi antagonizma modeline düştüğünde ve verimleri
2.1.3. Ajan Kinetiği
Etkilerini biyofilm üzerine dahil etmek için ajanların kinetiklerinin matematiksel bir temsiline ihtiyaç vardır. Bu genel olarak belirli zorluklar göstermez. Bunu yapmak için analitik çözümler veya diferansiyel denklem setleri kullanılabilir [24, 25]. Alternatif olarak, eğri çizgileri yumuşatma [26] gibi verilerin “modelden bağımsız” temsilleri veya kinetik verilerindeki ölçüm hatası düşük olduğunda, aşağıda bildirilen örneklerde yaptığımız gibi daha da basit bir lineer interpolant kullanılabilir.
2.1.4. Ölü Biyofilm Modelleme
Konfokal mikroskopi verileri, hem canlı hem de ölü hücrelerin ölçülmesine izin verir (bkz. Veri bölümü). tarafından gösteren
Sistemde o anda mevcut olan ölü biyofilm, canlı hücrelerde etkenin varlığından kaynaklanan kayıp veya kazanç belirlenerek, oluşum hızı, yukarıda belirtilen büyüme denklemlerinden doğrudan elde edilebilir. Lojistik büyüme oranı denklemi (4) için, bu verir ve genelleştirilmiş Bertalanffy model denklemi (8) için bir inhibitör ajan elde edilir Gompertz modeli için, büyüme denklemi doğrudan bir hücre kaybı oranını ifade etmeye yol açmaz çünkü sadece biyofilm büyümesiyle ters orantılı olarak büyüme hızının azalmasını ifade eder. Bir olasılık, ölü biyofilmi şu şekilde ifade etmektir: üstel büyümeden kaynaklanan şey ile gerçek biyofilm seviyesi arasındaki fark.
2.1.5. Plato Sonrası Biyofilm Azalmasını Modelleme
Biyofilm boyutunda plato sonrası düşüşe yol açan etkileri hesaba katmak için [4], varsayımsal bir endojen değişken sunulabilir,
, bu mevcut biyofilm miktarıyla orantılı olarak azalır [27, 28].
azalma oranı nerede. sıfır zamanında keyfi olarak 1'e ayarlanır, arttıkça pozitiftir, ancak sonunda negatif olur (ilişkiden görülebileceği gibi)
). Biyofilmin büyüme hızı şu şekli alır: burada ( (4) veya (6) ile verilir. Örneğin, Lojistik büyüme için,
Denklemlerin (25) ve (26) sağ tarafı zaman geçtikçe negatif olur ve asimptotu sıfıra (asimptotlar negatif bir değere) götürür. Modelin ana sınırlaması, biyofilmin herhangi bir değeri için her zaman 0'a asimptot vermesidir. Bunu önlemek için model aşağıdaki gibi değiştirilebilir:
endojen maddenin üretim ve eliminasyon oranları nerede ve nerededir. Ölü hücreler için denklemler daha önce olduğu gibi elde edilir.
Özellikle in vivo sistemlerde, tohumlama ve dağılma ile ilişkili döngüsel büyümenin plato öncesi veya sonrası görünümünün gözlemlenebileceğini belirtiyoruz [29, 30]. Bu durumları modellemek için, saf bir zaman gecikmesinden sonra veya bir eşik biyofilm değerine bağlı olarak değeri değiştiren zamanla değişen bir değişken kullanılabilir.
2.1.6. Modelleme Dormansisi
Biyofilm büyümesi, (saf) bir gecikme süresi kullanılarak kolayca ifade edilebilen bir başlangıç uyku hali dönemini takip edebilir. Büyüme oranı olur
2.2. İstatistiksel Modelleme ve Model Seçimi
Biyofilm verileri genellikle farklı durumlarda bir dizi büyüyen “hücre” üzerinde yapılan birkaç ölçümden oluşur. Ölçümler farklı rasgele varyasyon seviyeleri sunar: belirli bir hücre içindeki ölçümler arasında (hücre içi varyasyon), hücreler arasında (hücreler arası varyasyon) ve interoccasion. Bu tür verileri temsil etmek için hiyerarşik bir doğrusal olmayan karma etki modeli [31] kullanılabilir. Bu modele göre
th hücre ve th deneyi,
nerede karşılık gelen örnekleme zamanıdır, zaman, parametreler ve tahmin edilen yanıt arasındaki ilişkiyi tanımlayan doğrusal olmayan bir fonksiyondur ve her hücre için sabit bir etki ortalama parametre vektörüne, hücreler arası rastgele etki parametrelerinin bir vektörüne bağlı olan parametre değerlerini tanımlar. , , ve varyans-kovaryans matrisi ile ortalama sıfır ve belirli, tipik olarak çok değişkenli normal dağılıma sahip hücreler arası rastgele etki parametrelerinin bir vektörü
. Rastgele etki, tipik olarak varsayılan (çok değişkenli) hücre içi değişkenliği (örneğin, ölçüm hatası) ve ortalama sıfır ve kovaryans matrisi ile normal olarak dağıtıldığını gösterir.
(basitlik için ayrıntıları atlıyoruz) ve bilinmeyen bir parametre vektörüne bağlı olabilir
. Karma etki modellerini verilere uydurmak için kullanılan popüler yöntemler, NONMEM [32] ve NLME [33] gibi bilgisayar programlarında uygulanmaktadır; bu, tahminler için karşılık gelen ikinci dereceden istatistiklerin, özellikle büyük örnek varyans-kovaryansının hesaplanmasına izin verir. parametre matrisi, deneysel Bayes tahminleri olarak bireysel parametreler ve tahminlere bağlı olarak karşılık gelen tahminler.
Farklı modeller arasında seçim yapmak için tahminlere, gözlemlere ve artıklara dayalı olağan grafiksel gösterimlerle birlikte istatistiksel model seçim kriterleri kullanılabilir. Bazı istatistiksel model seçim kriterleri Hannan-Quinn (HQ) [34] ve Akaike (AKA) [35]'dir. çok fazla' parametre. HQ en muhafazakar olanıdır, ceza olarak gözlem sayısının iki katı çarpı parametre sayısının logunu kullanır, AKA ise parametre sayısının iki katı kullanır.
2.3. Veri
Pseudomonas aeruginosa Yeşil floresan protein (GFP) ile etiketlenmiş PAO1, [36]'da açıklanan akış odası deneylerinde incelenmiştir. Kısaca, biyofilmler akış odalarında 30°C'de büyütüldü. Her akış odası 250 ile aşılandı μOD'ye seyreltilmiş bir gecelik PAO1 kültürünün L'si600 0.05 ve bir saat boyunca akışsız kaldı. Bir saat sonra, peristaltik bir pompa (Watson Marlow 205 S) kullanılarak 20 ml/saatlik bir akış hızında minimal ortam ile akış başlatıldı. 24 veya 72 saat boyunca kültivasyondan sonra akış durduruldu ve minimal ortam, aralıklı bolus olarak uygulandığı istenen Meropenem (MEM) veya Tobramisin (TOB) konsantrasyonunu içeren bir antibiyotik şişesiyle değiştirildi. Bu antibiyotik şişesi kabarcık kapanlarına ve ekili PAO1 biyofilmlerini içeren akış odalarına bağlıdır. Akış yeniden başlatıldı ve minimal ortam, seyreltme şişesinden antibiyotik şişesine, antibiyotiğin eliminasyon hızı sabitini taklit edecek şekilde hesaplanan sabit bir hızda akış odalarına pompalandı. MEM ve TOB, California Üniversitesi San Francisco Tıp Merkezi eczanesinden elde edilmiştir [37]. Konsantrasyon-zaman profilleri, sağlıklı gönüllülerden ve kistik fibrozlu hastalardan alınan MEM ve TOB'nin önceden tanımlanmış PK parametrelerine dayanıyordu [38, 39]. İnsan popülasyonu değerlerine dayalı hedef MEM pik konsantrasyonu, 107.53 mg/L olarak hesaplanmıştır.
H. 70 kg'lık bir yetişkinde 10 mg/kg'lık bir doza dayalı olarak hedef TOB pik konsantrasyonu 32.79 mg/L idi.
H. Numuneler, sıvı kromatografi-tandem kütle spektrometrisi (LC-MS/MS) [40] ile analiz edildi.
Akış hücrelerinin mikroskobik gözlemleri, argon/kripton lazerli bir Leica TCS SP2 konfokal lazer tarama mikroskobu (CLSM) ve canlı hücre boyaması için GFP'nin (uyarma, 488 nm emisyon, 517 nm) eşzamanlı izlenmesi için dedektörler ve filtre setleri kullanılarak tamamlandı. ve ölü hücre boyaması için propidyum iyodür (uyarma, 543 nm emisyon, 565 nm). Görüntüler yaklaşık 1'de alındı μm aralıkları
biyofilm boyunca aşağı yön. Akış odasının her kanalı, zaman noktası başına iki ayrı konumda rastgele görüntülendi. CLSM görüntüleri COMSTAT [14] kullanılarak analiz edildi.
3. Sonuçlar
Biyofilm Büyüme Modelleri: Simülasyon. Şekil 1(a), Gompertz ve Lojistik modellerinin (bkz. (7) ve (5)) parametre değerleriyle bir grafiğini göstermektedir,
Çözüm
(1) Değişkenleri tanımlayın ve seçin:
Belirli bir yerdeki gün ışığı saatleri için bir model bulmak istiyoruz. Önce bir yer seçiyoruz: Rohnert Park, California (yazarın memleketi). Gün ışığı miktarı yıl boyunca değiştiğinden, dikkate alınması gereken bir değişken zamandır. Yılın farklı günlerinde farklı miktarlarda gün ışığına sahibiz, ancak her yıl döngü kendini tekrar eder (az ya da çok), bu nedenle tarihlerle çalışmak zorunda değiliz, sadece yılın günleri ile. Gün ışığı saat ve dakika olarak ölçülebilir, bu nedenle modeldeki başka bir değişkendir.
Gün ışığı miktarı, yılın gününün periyodik bir fonksiyonudur. Yılın $t$ gününde saat cinsinden gün ışığı miktarını veren $f(t)$ fonksiyonunu bulacağız. Her yılın aynı modeli izlediğini varsayıyoruz ki bu gerçekliğin biraz basitleştirilmesidir.
Gün doğumu/gün batımı verileri veren birçok web sitesi var. Örneğin
Verilerin bir bölümü burada gösterilmektedir:
Tam veri tablosunda 365 gün gün doğumu ve gün batımı verilerimiz var. Gün içindeki gün ışığı miktarını hesaplamak için kullanabiliriz. Her gün için gün ışığı saatlerini hesaplamak yerine, verileri modellemek için sinüzoidal bir fonksiyon seçersek sadece iki güne ihtiyacımız olur - en uzun ve en kısa gün.
En uzun gün, gün doğumu 0447 (4:47) ve gün batımı 1938 (19:38) ile 21 Haziran'dır. Bu 14 saat 51 dakika gün ışığı verir. We convert this number to hours and get $14+51/60 = 14.85$ hours.
The shortest day is December 21 with sunrise at 7:24 and sunset at 16:54, which gives $9+30/60 = 9.5$ hours of daylight. Therefore we are looking for a sinusoidal function with amplitude equal $(14.85-9.48)/2 = 2.68$ hours and midline $(14.85+9.5)/2 = 12.175$ hours. The period of the function is 365. If we choose $t=0$ to correspond to June 21, the longest day of the year, we can use a cosine function without horizontal shift for our model:
A graph of the function shows all important features:
(3)(4)(5) Use the model and see if the answer makes sense:
We are asked to use the model to find the hours of daylight on our birthday. My birthday is January 14, which is 207 days after the longest day of the year. Öyleyse,
$f(207) = 2.675cos(2pi/365 cdot 207)+12.175 approx 9.734.$
So on my birthday there are about 9 hours and 44 minutes of daylight. This number seems reasonable given that January 14 is a little more than 3 weeks after the shortest day of the year with 9.5 hours of daylight.
5.8: Modeling Using Variation - Mathematics
Ever teach kids math using the Model Method but discovered that you do not know how to draw the diagram? If you have, you might want to know that you are not alone. Many parents are facing the same problem as you simply because you were not taught Math this way when you were young. The Model building approach to solving word problems was developed locally years ago by a team of educators from the Singapore Ministry of Education led by Dr Kho Tek Hong. This team included some well-known educators like Mr Hector Chee, Sin Kwai Meng, among others, all of whom are very experienced Mathematics teachers. They helped to promote the method to Singapore teachers in the mid-eighties, and this method has since been widely used in the teaching of kids math in primary schools (or elementary schools if you prefer) in Singapore. Kids in Singapore are introduced to the method from as young as Primary One (the equivalent of Grade One).
Students in Singapore (and probably everywhere else) typically find word problems difficult due to various reasons: they are weak in the Mathematical language they have limited understanding of the arithmetic operations they are unable to relate the knowns to the unknowns when the problem structure is difficult to understand and they are unable to analyze problem situations.
This method is especially useful when: you teach kids who respond better to visual stimuli (e.g. pictures, drawings, etc) you try to provide math homework help but the conventional methods do not really work well with your kids and your kids has not learnt algebra yet and solving the math problems with algebra is not an option.
However, without proper guidance, you may not be able to experience the full benefits of the Bar Model Approach. We have therefore created this website to share with you how the Method is applied to different scenarios so that you could confidently teach kids math problems even when you do not have prior knowledge of this Method. It essentially becomes a good entry level tool to help the kids understand and break the questions down into component parts making solving and learning math a breeze.
The model approach requires kids to draw rectangular boxes to represent part-whole relationships and math values (both known or unknown values) in the math problems. The word problems are typically designed to depict real-life situations such as grocery shopping and division of money.
By drawing such boxes/blocks, they can visualize the math problems more clearly and are able to make tacit knowledge explicit. Word problem solving is a major part of the curriculum in Primary Mathematics in Singapore.
This technique of model building is a visual way of picturing a situation. Instead of forming simultaneous equations and solving for the variables, model building involves using blocks or boxes to solve the problem. The power of using models can be best illustrated by problems, often involving fractions, ratios or percentages, which appear difficult but if models can be drawn to show the situation, the solution becomes clearer, sometimes even obvious.
Constant of Variation
NS constant of variation in a direct variation is the constant (unchanged) ratio of two variable quantities.
The formula for direct variation is
where k is the constant of variation .
If y varies directly as x and y = 15 when x = 24 , find x when y = 25 .
Find the constant of variation.
k = y x = 15 24 = 5 8 y = 5 8 x
To find x , substitute 25 for y .
NS constant of variation in an indirect variation is the constant (unchanged) product between two variable quantities.
The formula for indirect variation is
where k is the constant of variation .
If it takes 4 hours at an average speed of 90 km/h to do a certain journey, how long would it take at 120 km/h?
Find the constant of variation.
Download our free learning tools apps and test prep books
Names of standardized tests are owned by the trademark holders and are not affiliated with Varsity Tutors LLC.
4.9/5.0 Satisfaction Rating over the last 100,000 sessions. As of 4/27/18.
Media outlet trademarks are owned by the respective media outlets and are not affiliated with Varsity Tutors.
Award-Winning claim based on CBS Local and Houston Press awards.
Varsity Tutors does not have affiliation with universities mentioned on its website.
Varsity Tutors connects learners with experts. Instructors are independent contractors who tailor their services to each client, using their own style, methods and materials.
Method for partial differential equations with beta-derivative
4.1 Introduction
The real problem with linear or nonlinear equation is to find a suitable analytical method that can be used to derive their exact or special solutions. It is no wonder that many scholars have devoted their attention in developing methods to handle these equations. Several methods were proposed for instance, the Laplace transform method [ 75–77 ], the Mellin transform method [ 78 ], the Fourier transform method [ 79, 80 ], the Sumudu transform method [ 81–83 ], and the Green function method [ 84 ] for linear cases. The perturbation method [ 85 ], variational iteration method [ 86–88 ], homotopy decomposition and perturbation method [ 89–92 ], and others were developed for both linear and nonlinear cases. On the other hand, we should mention that mathematical models are a simplified description of physical reality expressed in mathematical terms. Thus, the investigation of the exact or approximate solution helps us to understand the means of these mathematical models. In most cases, it is difficult, or infeasible, to find the analytical solution, but a good numerical solution of the problems can be obtained. Numerical solutions or approximate analytical solutions become necessary. Numerical methods typically yield approximate solutions to the governing equation through the discretization of space and time, and can relax the rigid idealized conditions of analytical models or lumped-parameter models. They can, therefore, be more realistic and flexible for simulating field conditions. Within the discredited problem domain, the variable internal properties, boundaries, and stresses of the system are approximated. The main aim of this section is to present some iterative and numerical methods that will be used to solve ordinary and partial differential equation with beta-derivative. This will be presented in details in the next section, starting with iterative methods.
Further Topics
10.6 Modeling Heterogeneous Detection Probabilities
The same methods that have been used to account for heterogeneity in detection probabilities for single-season occupancy models (e.g., finite-mixtures, abundance-induced heterogeneity, and random effects Chapter 7 ), could also be applied to the multi-season case. This requires additional model structure for the within-season detection process, with the between-season model structure for the occupancy dynamics being, largely, unchanged.
The use of finite-mixtures to account for detection heterogeneity has been incorporated into the software packages Program PRESENCE ( Hines, 2006 ) and Program MARK ( White and Burnham, 1999 ). There are some additional considerations involved with the use of finite-mixture models in the multi-season situation compared to the single-season case. Finite-mixtures involve defining that the occupied units consist of a fixed number of groups, each with a different detection probability . From the available data, group membership is unknown, hence the analysis must account for that fact that a unit may belong to any of the defined groups each season. One consideration is whether group membership is independent each season, or whether a unit will tend to be in the same group, e.g., the group with lower detection probability, in consecutive seasons. In other words, is group membership randomly ‘assigned’ each season or does it follow a first-order Markov process. Random group membership has been implemented in PRESENCE and MARK, which involves group membership probabilities (for occupied units) being estimated for each season, each group with a potentially different detection probability. Which group a unit may have belonged to in the previous season, has no effect on which group that unit may belong to in the current season. Alternatively, a finite-mixture approach could be developed where group membership in a season does depend on group membership in the previous season. For example, if a unit belonged to the ‘low detection’ group in one season, it is more likely to be in the ‘low detection’ group in the next season.
This can be accomplished using the multi-season multi-state occupancy model, particularly the conditional-binomial parameterization, where the dynamic occupancy parameters (for a finite-mixture with two groups ψ t [ 0 ] , ψ t [ 1 ] , and ψ t [ 2 ] Chapter 9 ) are the colonization and persistence (the complement of local extinction) probabilities. That is, ψ t [ 0 ] equates to colonization, and ψ t [ 1 ] and ψ t [ 2 ] are both persistence probabilities (species present in consecutive seasons), for each detection group. The dynamic ‘reproduction’ probabilities ( R t [ 0 ] , R t [ 1 ] , and R t [ 2 ] ) now become the probabilities of group membership, conditional upon the unit's group in the previous year. A key consideration is the structure of the detection matrix. Presuming there are only two possible observations, nondetection and detection, the detection probability matrix may therefore be defined as:
where p 1 , t , j and p 2 , t , j are the detection probabilities for each group in survey J of season T. Recall that each column of P is associated with a type of observation, in this case the first column relates to nondetection and the second column to detection. This is the same structure as that used in the derivation of the finite-mixture model as a multi-state model in Chapter 7 . We have not actually attempted to fit this model to data ourselves, and it may be that some constraints on parameters are required to ensure identifiability, but the model is certainly conceptually possible.
Another approach to the modeling of detection heterogeneity in multiple season data would be to extend the abundance distribution modeling of Royle and Nichols (2003) (see Chapter 7 ). Under this model, the probability of detecting the species at unit ben, in survey J of season T ( p t , i j [ N t , i ] is the probability of detecting at least one individual at the unit if there are N t , i individuals at the unit in season T) is modeled as a function of the detection probability of individual animals ( r t , i j ):
The N t i could be modeled as independent values each season (i.e., N t + 1 , i does not depend on N t , i ), where abundance at each unit is assumed to be a random value from an appropriate distribution (e.g., Poisson or negative binomial distribution), which may be different in each season. This would be a non-Markovian approach. A Markovian dynamics model could be constructed by defining N t + 1 , i in terms of the number of ‘survivors’ from season T at the unit and number of ‘recruits’ ( Rossman et al., 2016 ). That is:
where φ t is the probability of an individual ‘surviving’ at unit ben between seasons T and t + 1 , and G t , i is the number of ‘recruits’ or gains to the local population of individuals between seasons T and t + 1 , which could be assumed to be a random value from an appropriate discrete distribution (e.g., Poisson Rossman et al., 2016 ). Local extinction of the species would therefore be the probability of all individuals dying or dispersing from the unit and no new individuals arriving at the unit:
The probability of the species colonizing an unoccupied unit ben between seasons T and t + 1 , hence N t , i = 0 , would be:
In this approach, colonization and local extinction probabilities are derived parameters and the modeling would have to be performed in terms of changes in local abundance because of the defined model for detection probabilities. As the N t , i values are unknown, they would have to be integrated out of the probability statement, as in the single-season model of Royle and Nichols (2003) , by accounting for all possible combinations of N t , i and N t + 1 , i that are consistent with the data. Alternatively, the complete data likelihood approach could be used which would avoid complex integration terms, particularly with MCMC estimation methods (e.g., Rossman et al., 2016 ).
However, we would advise caution in the interpretation of the resulting estimates of the abundance-related parameters for two reasons. First, the demographic parameters associated with individual ‘survival’ and ‘recruitment’ include an among-unit movement aspect. If all individuals move from one unit to another, that would be modeled as 100% mortality at one unit and recruitment at another unit, although there has been no actual change in the number of individuals within the area of interest. Second, all of the information about ‘abundance’ and parameters associated with changes in ‘abundance’ is from among-unit variation in detection probabilities, and changes in that variation over time, from detection/nondetection data, that may be due to sources other than abundance. Therefore, as with the Royle and Nichols (2003) model (Chapter 7 ), we would suggest this above approach may be a suitable method for improving inferences about occupancy-level dynamic processes by accounting for detection heterogeneity, but will typically provide weaker inference about abundance-level dynamic processes, particularly where individuals are more numerous or likely to move among units.
A third approach would be a ‘random effects’ model where each parameter for a specific unit is a random value from some defined distribution, similar to the approach outlined in Chapter 7 . In some circumstances it may be reasonable to consider that some random values for a unit may be correlated. For instance units with a high detection probability (due to abundance say) may have a low extinction probability. As such the ‘random effects’ could be modeled as a random draw from a multivariate distribution with some covariance or correlation structure. Such a model could be difficult to implement using a maximum likelihood approach, but could be very easily implemented using MCMC algorithms, including software such as OpenBUGS or JAGS.
Using Mathematics and Computational Thinking
Although there are differences in how mathematics and computational thinking are applied in science and in engineering, mathematics often brings these two fields together by enabling engineers to apply the mathematical form of scientific theories and by enabling scientists to use powerful information technologies designed by engineers. Both kinds of professionals can thereby accomplish investigations and analyses and build complex models, which might otherwise be out of the question. (NRC Framework, 2012, p. 65)
Students are expected to use mathematics to represent physical variables and their relationships, and to make quantitative predictions. Other applications of mathematics in science and engineering include logic, geometry, and at the highest levels, calculus. Computers and digital tools can enhance the power of mathematics by automating calculations, approximating solutions to problems that cannot be calculated precisely, and analyzing large data sets available to identify meaningful patterns. Students are expected to use laboratory tools connected to computers for observing, measuring, recording, and processing data. Students are also expected to engage in computational thinking, which involves strategies for organizing and searching data, creating sequences of steps called algorithms, and using and developing new simulations of natural and designed systems. Mathematics is a tool that is key to understanding science. As such, classroom instruction must include critical skills of mathematics. The NGSS displays many of those skills through the performance expectations, but classroom instruction should enhance all of science through the use of quality mathematical and computational thinking.
A Transparent, Mathematical Model to Evaluate Proposals for Healthcare Reform
Gabriel M. Knight, BA, Northwestern University Feinberg School of Medicine Kevin Schulman, MD , Arnold Milstein, MD, MPH , Clinical Excellence Research Center, Stanford University School of Medicine Sheridan Rea, BS Giovanni Malloy, BS Usman Khaliq, BEng David Scheinker, PhD, Stanford University School of Engineering
Cite as: Gabriel M. Knight, Kevin Schulman, Arnold Milstein, Sheridan Rea, Giovanni Malloy, Usman Khaliq, David Scheinker. 2019. A Transparent, Mathematical Model to Evaluate Proposals for Healthcare Reform. Health Management Policy and Innovation, Volume 4, Issue 3.
The U.S. Needs Transparent, Mathematical, Prospective Analyses of Policy Proposals
The United States spends nearly twice as much as other high-income countries on healthcare despite similar utilization rates and access to fewer services. [1] American health expenditures are expected to continue to increase by an average of 5.8 percent annually through at least 2024 if current laws and practices persist. [1–3] Moreover, the cost of healthcare, whether preventive services or the treatment of illness, profoundly impacts nearly every American’s life, making the issues of healthcare costs and access a deeply personal and often emotional subject of discussion. There is significant intellectual debate about efforts to reform and restructure the healthcare system in the country.
We suggest that the current healthcare policy debate would be less partisan and more effective if there were a means to separate questions of principle from technical implementation. Issues of principle in the debate include whether access to healthcare is a right or whether it is a discretionary consumer service where the appropriate boundary between personal responsibility and social support lies and how society should allocate healthcare resources to those with and without means. Clearly, these issues engender personal, passionate debate.
The issues of technical implementation include quality, efficiency, and cost current and proposed incentives the timeline of implementation and other economic considerations. These are technical issues that engender much less passionate response on the part of the public—though experts may still have passionate disagreements about some of these factors. Developing a public, transparent model could force health policy analysts to discuss the technical aspects of policy proposals early, so that when policy proposals are released to the public, there would be less conflation of principle and technical arguments.
The nonpartisan Congressional Budget Office (CBO) produces a detailed quantitative report estimating the impact of proposed legislation. However, the models used by CBO are often not broadly available for outside interrogation or modification. Furthermore, while the CBO is a nonpartisan support arm of the United States Congress, some parameters of their models do reflect political influence, as was the case, for instance, in the debate over dynamic modeling of the 2017 tax cuts. [4]
Many proposed health policies can be readily parameterized, including reimbursement rates, the start and duration of the implementation period, and the subset of the industry to which various provisions apply. Modern data simulation and visualization technology make it possible to create relatively simple, flexible models suitable for simulating a large range of policy proposals and economic scenarios. If even a fraction of the debate around healthcare reform involved elements of shared models, the public could become more engaged in the discussion.
We propose a real-time simulation and visualization model to guide and assess basic structural questions underlying healthcare policy. We illustrate the idea of how such a tool may function by drawing on a recently published paper describing a proposed version of Medicare for All (MFA). [5-8] The attention paid to this proposal suggests it is an interesting example to explore.
This essay has three goals. We first describe three properties of a good health policy model. Second, we catalog sources of data. Third, we develop a simple proof-of-concept version of the MFA tool and explore basic questions about this proposed policy.
Parameterizing Health Policy: An Illustration Using Variants of “Medicare for All” (MFA)
Properties of a useful policy simulation tool
A useful policy simulation model has three characteristics. First, the model must illustrate policies through an easy-to-use visual interface. While no useful tool can simulate all healthcare reform policies, users could consider the high-level components of many proposals as dynamic parameters. Second, it should incorporate values and parameters for which evidence is uncontroversial, such as the number of hospitals in the U.S. and the revenue of each hospital. For the values and parameters for which no consensus exists, such as the time needed to adopt a reform or changes in efficiency that result from the reform, the model must allow dynamic manipulation. Third, the model should be transparent, so that people interested in testing other policies or assumptions can modify it. This is necessary to address criticisms such as “the model fails to account for these phenomena.”
Feasibility: Data sources
Several public and private sources provide data for the model we propose. Data on payments (private, public, out-of-pocket) and costs (e.g., labor, supply, infrastructure, subsidies) broken down by hospital are necessary to model how reforms affect hospitals and systems across different entity types (e.g., academic versus community, nonprofit versus for-profit) and locations (e.g., regions, states, urban vs rural). Below we describe which data are available and which, if made available through policy changes or research, would help create the model.
First consider cost versus payment data. Data on costs for hospitals and providers is more readily available than data on payments—particularly prices paid by private insurers, which involve high price variation and little transparency. Cost data are available from the Centers for Medicare & Medicaid Services (CMS) Hospital Cost Report, which contains total costs for hospitals for fiscal years 2014–2017. [9] Additionally, the CMS Market Basket dataset, which is a hospital input price index, reflects price inflation facing providers of medical services.
Despite the limits of existing payment data, payments by specific hospitals or groups of hospitals could be estimated using data sources such as the CMS Case Mix File Hospital Inpatient Prospective Payment System. This file contains hospitals’ case mix indices, representing the average diagnosis-related group relative weight for that hospital, as well as the number of cases at the hospital for 2014–2017. [10] This data could then be multiplied by payer mixes for individual hospitals, which exist in Definitive Healthcare’s Essential Data on Hospitals and IDNs database. [11] This, in turn, could be multiplied by approximate reimbursement rates as a percentage of the Medicare reimbursement rate for specific payer mixes or diagnosis-related groups. The Medicare reimbursement rate could be estimated using the CMS Physician Fee Schedule as well as recently published data about average disparities between Medicare and private reimbursements for different procedure types. [5,12]
To the best of our knowledge, detailed datasets reporting payments and reimbursement rates associated with individual hospitals and systems do not exist. Future efforts should create this information. A recently proposed rule from the Department of Health and Human Services would require hospitals publish the prices that they charge private insurers, which would facilitate the analyses we propose. [13]
Subsidy data has mixed availability. Estimates exist regarding total dollars associated with some subsidy programs, such as the 340B drug pricing program and Disproportionate Share Hospital payments for hospitals that serve relatively large numbers of Medicaid and uninsured individuals. [14–16] However, we lack granular data on subsidies and other savings afforded to certain centers of care. Fortunately, because subsidies represent a small fraction of healthcare spending, this has limited impact on the power of the model.
Additional data about hospital characteristics will be needed to allow users to explore how certain reforms might affect different types of hospitals. For example, to filter key demographic information, U.S. Census data could be cross-walked with zip codes, cities, or other localizing data associated with which patients visit which hospitals. The type of entity (e.g., academic versus community, nonprofit versus for-profit) could be obtained from Definitive Healthcare’s Essential Data on Hospitals and IDNs database. [11] For users interested in evaluating how reforms will affect locales associated with different health outcomes, data could be extracted from Robert Wood Johnson Foundation County Health Rankings data. [17] Similar approaches could be applied to many other factors.
Ultimately, a trustworthy simulation model should move beyond dollars to forecast impact on all six aims of healthcare that the Institute of Medicine’s famous “Crossing the Quality Chasm” report highlights. [18] To achieve this, we will need access to electronic health record data as well as key patient-reported outcomes such as patient experience. While our proposed model focuses on economic and operational effects, it could serve as the foundation for a more comprehensive effort.
A simple proof of concept: Exploring variants of “Medicare for All”
The focus of our MFA model is the impact of reimbursement changes on hospital financial and performance. We consider both sources of funds, including insurance payments and other payments and subsidies, as well as uses of funds, including property, plant and equipment, labor, and medications and supplies. Costs were further divided into variable costs and committed cost. [24] To allow the user to simulate variants of the MFA proposal by Schulman and Milstein, [5] we used modifiable parameters of: the duration of the transition period to the new payment model, the policy payment rate as a percentage of Medicare payment rates, and changes in hospital productivity in response to a policy change. We discuss these in more detail below.
Measurement Parameters
Policy parameters
- Reimbursement rate as percent of Medicare prices. In the proposed MFA policy, the reimbursement rate is set, implicitly, to 100 percent. One may readily imagine policies that set all private prices to a higher percentage of Medicare prices. For example, in her proposed MFA plan, Senator Elizabeth Warren has argued in favor of setting reimbursements to 110 percent of the current Medicare rate. [19]
- The start and duration of the implementation period. Schulman et al.’s proposal explored the hypothetical change if the policy was implemented from one year to the next. [5] In practice, a transition would likely be set to start several years in the future and phase in over several more years.
- The rate at which reimbursement changes over the years of the implementation period. This rate is partly determined by the total reimbursement change and the duration of the implementation period.
- The sizes and characteristics of hospitals to which various versions of the policy apply. While the original proposal grouped all hospitals together, different MFA proposals would likely apply differently across categories of hospitals such as critical-access hospitals.
Impact parameters
- The rate at which hospitals improve efficiency in response. The premise of the original proposal, supported by empirical evidence, is that hospitals would respond to price pressure by reducing costs. Though the original proposal did not explore this explicitly, a simulation model could incorporate this as a parameter.
- The rate at which hospitals convert revenue shortfalls into full-time equivalent (FTE) reductions. The original paper calculated the number of FTEs hospitals would have to reduce to offset the entire projected revenue shortfall associated with a transition to MFA. In practice, hospitals would likely find a variety of ways to respond to revenue shortfalls. For example, price pressure might force hospitals to increase FTEs in areas associated with productivity improvement.
Calculated outcomes
- The costs and revenues of each hospital in each year.
- Total healthcare spending at the national and local levels.
- The change in the number of FTEs and the corresponding job creation and losses across various parts of the country.
Several figures depict the core ideas. Figure 1 provides a schematic illustrating the logic underpinning a proof-of-concept framework for adoption of MFA. Figure 2 is a more detailed logic diagram. Figure 3 offers a sample data visualization of the model output. In the model, users can modulate: (1) the number of years for which to iterate the model (2) annual efficiency improvement (i.e., % cost reduction) in response to reform (3) annual healthcare cost growth (4) target Medicare reimbursement rate (as a percentage of the 2018 rate) (5) years needed to fully phase in reform and accompanying reimbursement models and (6) percentage of change in hospital revenue addressed by FTE changes. For this proof-of-concept, we have set values for these parameters to those found in Schulman and Milstein’s essay on MFA. [5] In particular, the target reimbursement rate is 100 percent of the 2018 Medicare rate and the percentage in revenue changes addressed by FTE changes to 100%. [6]
Figure 1. A general schematic illustrating the logic underlying a model for adoption of Medicare for All.
Figure 2. A more detailed schematic illustrating the logic underlying a model for adoption of Medicare for All.
Figure 3. A proof of concept. This model would allow users to dynamically modulate key parameters in which they are interested or for which no consensus currently exists.
While designed for one specific, simple proposal, this sample model could readily be modified to apply to other policies recently proposed. In addition to “Medicare for all,” examples include (1) a new national health insurance program for all U.S. residents with an opt-out for qualified coverage (2) a new public plan option that would be offered to individuals through the Affordable Care Act (ACA) marketplace (3) a Medicaid buy-in option that states could elect to offer to individuals through the ACA marketplace and (4) a Medicare buy-in option for older individuals not yet eligible for the current Medicare program. [20]
The plans proposed by the 2020 Democratic presidential candidates all involve extending public insurance. [20,21] These proposals would likely have a number of direct effects that can be estimated, including: (1) overall payments to hospitals and health systems (2) impact of changes to hospital subsidies such as the 340B drug pricing program and (3) decreasing certain labor and infrastructure costs associated with a complex, multi-payer system, where each payer has its own policies and procedures. [5,22,23] Each of these proposals would precipitate these changes and an effective model would allow the user the ability to quickly and clearly change the values for the different parameters that distinguish these different reforms in order to objectively and meaningfully compare them and evaluate their impacts.
Looking Forward: Create an Objective Model for Technical Implementation
The debate over healthcare reform would be less partisan with explicit distinctions between matters of principle and technical implementation. An objective, transparent, and versatile simulation and visualization model could simulate the results of a variety of technical policy proposals. Such a model would allow policymakers and the public to compare the potential impact of various healthcare reform proposals. We demonstrated the feasibility of such a model and the availability of much of the necessary data with a simple proof-of-concept. A commitment to making data more available and developing a more robust model are necessary steps toward a more fruitful debate on healthcare reform.
Notes and References
[1] Papanicolas I, Woskie LR, Jha AK. Health care spending in the United States and other high-income countries. Journal of the American Medical Association 2018319(10):1024-1039.
[2] Morgan, L. U.S. healthcare annual spending estimated to rise by 5.8% on average through 2024. American Health & Drug Benefits 20158(5):272.
[3] McCarthy M. U.S. healthcare spending will reach 20% of GDP by 2024, says report. British Medical Journal 2015 August 3351(3):h4204.
[5] Schulman KA, Milstein A. The implications of “Medicare for All” for U.S. hospitals. Journal of the American Medical Association 2019321(17):1661-1662.
[6] Rosenthal E. ‘Medicare for All’ could kill two million jobs, and that’s O.K. The New York Times 2019 May 16. Available at: https://www.nytimes.com/2019/05/16/opinion/medicare-for-all-jobs.html.
[7] Rosenthal E. That beloved hospital? It’s driving up health care costs. The New York Times 2019 September 1. Available at: https://www.nytimes.com/2019/09/01/opinion/hospital-spending.html.
[8] Abelson R. Hospitals stand to lose billions under ‘Medicare for All’. The New York Times 2019 April 21. Available at: https://www.nytimes.com/2019/04/21/health/medicare-for-all-hospitals.html?smid=nytcore-ios-share.
[9] The National Bureau of Economic Research. Healthcare Cost Report Information System (HCRIS) data. The Centers for Medicare & Medicaid Services 2019. Available at: https://www.nber.org/data/hcris.html.
[10] The National Bureau of Economic Research. CMS Casemix File Hospital Inpatient Prospective Payment System (IPPS). The Centers for Medicare & Medicaid Services 2017. Available at: https://www.nber.org/data/cms-casemix-file-hospital-inpatient-prospective-payment-system-ipps.html.
[11] Definitive Healthcare. Hospitals and IDNs database. Definitive Healthcare, LLC, 2019. Available at: https://www.definitivehc.com/product/our-databases/hospitals-and-idns.
[12] CMS.gov. Physician Fee Schedule. Centers for Medicare & Medicaid Services 2019. Available at: https://www.cms.gov/Medicare/Medicare-Fee-for-Service-Payment/PhysicianFeeSched/index.html.
[13] Uhrmacher K, Schaul K, Firozi P, Stein J. Where 2020 Democrats stand on Medicare-for-all. The Washington Post 2019 December 2. Available at: https://www.washingtonpost.com/graphics/politics/policy-2020/medicare-for-all/.
[14] Dickson S, Coukell A, Reynolds I. The size of the 340B Program and its impact on manufacturer revenues. Health Affairs 2019 August 8. Available at: https://www.healthaffairs.org/do/10.1377/hblog20180807.985552/full/.
[15] Lagasse J. Hospitals saved an average of $11.8 million due to 340B drug discount program. Healthcare Finance 2019 June 17. Available at: https://www.healthcarefinancenews.com/node/138838.
[16] Bristol N. Medicaid DSH Payment cuts could add to financial woes of safety-net hospitals. The Commonwealth Fund 2012. Available at: https://www.commonwealthfund.org/publications/newsletter-article/medicaid-dsh-payment-cuts-could-add-financial-woes-safety-net.
[17] County Health Rankings & Roadmaps. 2019 County Health Rankings. Robert Wood Johnson Foundation, 2019. Available at: https://www.countyhealthrankings.org/explore-health-rankings/rankings-data-documentation.
[18] Institute of Medicine. Crossing the quality chasm: A new health system for the 21 st Century. National Academy of Sciences 2001. Available at: http://www.nationalacademies.org/hmd/
[19] Sanger-Katz M, Kliff S. Elizabeth Warren’s ‘Medicare for All’ math. The New York Times 2019 November 11. Available at: https://www.nytimes.com/2019/11/01/upshot/elizabeth-warrens-medicare-for-all-math.html.
[20] KFF Health Reform. Comparing Medicare-for-all and public plan proposals. Kaiser Family Foundation 2019. Available at: https://www.kff.org/interactive/compare-medicare-for-all-public-plan-proposals/.
[21] Uhrmacher K et al. Where 2020 Democrats stand on Medicare-for-all. The Washington Post 2019 December 2. Available at: https://www.washingtonpost.com/graphics/politics/policy-2020/medicare-for-all/.
[22] Liu JL, Eibner C. National health spending estimates under Medicare for All. RAND 2019. Available at: https://www.rand.org/pubs/research_reports/RR3106.html.
[23] Jawani A. et al. Billing and insurance-related administrative costs in United States’ health care: Synthesis of micro-costing evidence. BMC Health Services Research 201414:556.
[24] Though certain costs are fixed for years at a time, labor costs are never truly fixed, so we use the term “committed” as suggested by Professor Robert Kaplan of Harvard Business School.