Bugünlerin kaçınılmaz soruları: Virüs kaç kişiye bulaşır, hastaneler dolar taşar mı, ne zaman normale döneriz, sürü bağışıklığına ne kadar yolumuz var? Bu endişe dolu sorular hakkında nasıl düşünebileceğimizi bilmenin önemi bugünü aşıyor, hem ayrıca öğrenmesi çok da keyifli. O yüzden buyrun salgın modellerine.
Salgın modellemenin en sade yolunun adı SIR modelidir. Öncelikle nüfusu sabitleyelim, bir milyon, on milyon ne isterseniz, adına $N$ diyelim. Bütün bireyleri şu üç gruba ayıralım:
- $S$ = Hastalığa yakalanabilecek kişiler (Susceptible)
- $I$ = Hastalığa yakalanmış kişiler (Infected)
- $R$ = Hastalığı geçirip iyileşmiş kişiler (Recovered)
Tahmin edeceğiniz gibi SIR modelinin adı da bu üç gruptan geliyor. Bütün nüfusu bu üç gruba ayırdığımıza göre $N = S + I + R$ demiş oluyoruz, bu bir kenarda dursun. Toplam nüfus, $N$, sabit olmasına rağmen diğer gruplardaki insan sayısı sürekli değişiyor. Birileri hastalanıyor, birileri iyileşiyor vs. Bu yüzden aslında bir de zaman değişkenimiz var ve $S, I, R$ grupları sabit değil zamanla ($t$ olarak gösterelim) değişen ve aşağıdaki eşitliği sağlayan fonksiyonlar: $$S(t) + I(t) + R(t) = N$$
Başlangıç durumunu da sabitleyelim. Diyelim $t=0$ anında sadece bir kişi enfekte hiçkimse hastalığı geçirip iyileşmemiş, haliyle bir kişi hariç herkes de hastalığa yakalanabilecek grupta. Enfekte olan o bir kişi, biraraya geldiği herkese belirli bir olasılıkla hastalığı bulaştıracak, buna enfeksiyonun bulaşıcılığı (transmissibility) denir ve genelde $\tau$ ile gösterilir. Elbette hasta ne kadar çok kişiyle biraraya gelirse o kadar çok kişiye hastalığı bulaştırma şansı olacaktır, onun adı da $c$ olsun. Haliyle her hasta $$\beta = \tau \cdot c$$ kadar kişiye hastalık bulaştırıyor. Eğer bir de enfeksiyon $d$ gün sürüyorsa hastalar yaklaşık $R_0 = \tau \cdot c \cdot d = \beta \cdot d$ kişiye hastalığı bulaştırıyor. $R_0$ önemli, virüsün üreme katsayısı (reproduction number) olarak bilinir ve elbette ne kadar yüksekse virüs o kadar çok kişiye yayılır.
Elbette bu $R_0$’ı tam olarak bilemeyiz. Sadece virüsün özelliklerine değil insanların sosyal alışkanlıklarına, sağlık durumlarına, hijyen kurallarına ne kadar uyduklarına, yaşadıkları şehirlerdeki nüfus yoğunluklarına ve saymakla bitmeyecek pek çok etkene bağlı $R_0$. Çiçek hastalığında 5, kabakulakta 10 civarındadır. Covid-19 içinse konu daha tartışmalı, 1.5’tan 5’e kadar farklı değerler öne süren ciddi çalışmalara var, 3’te anlaşabiliriz sanırım. Sosyal mesafeler, maskeler, evde kalmalar hepsi bu 3’ü aşağıya çekmek için, 1’in altına inerse kurtarıyoruz.
Peki inmezse ne oluyor, sağlık sistemi tıkanır mı, ne kadar zamanda tıkanır, aşı bulsak kaç kişiyi aşılamak gerekir? Bunları anlamak için yukarıdaki eşitliklere bir de bu sayıların nasıl değiştiğini söyleyen denklemleri yazmak gerekir, o kadar teknik detaya girmeyeceğim ama birazdan bağlantısını vereceğim kodlarda bu denklemler var. Bu denklemleri çözerek kaç kişi hastalanacak, hangi gün salgın tepe noktasına ulaşır sorularına aşağıda gördüğünüz gibi sonuç bulabiliyoruz.
Elbette bu sayıları çok ciddiye almamalıyız. $R_0$ değerini bilmiyoruz, bu değerin demografik özelliklere göre nasıl değiştiğini bilmiyoruz, sosyal mesafe ve diğer tedbirlerin etkisini dikkate almadık vs. Öte yandan hedeflerimizin ne olması gerektiğini tespit etmek, önlemlerin işe yarayıp yaramadığını anlamak ve daha gerçeğe yakın modellerin yolunu açmak için SIR modeli çok önemli. Daha bir kaç gün önce Angela Merkel televizyonda güzel güzel anlatıyordu $R_0 = 1.1$ olursa şöyle olur, 1.2 olursa böyle olur diye. Ne güzel şansölyeler var hayattta.