Euklidesçi Olmayan Geometriler
Euklides, Unsurlar (İng. Elements) adlı eserini, M.Ö. 300 yıllarında yazdı. İnsanlık tarihinin en ünlü ve belki de en çok okunan kitaplarından birisi olan bu kitap, beş aksiyoma dayanarak pek çok geometri teoreminin ispat edilmesini içeriyordu.
Aksiyom ile postüla arasında bir fark bulunmaktadır. Euklides, bazı işlemlerin yapılabileceğine dair kabuller olarak postülalardan söz etmiştir. Biz burada, genel bir teamülü izleyerek “aksiyom” terimini kullanacağız.
1. Bir noktadan bir başka noktaya doğru bir çizgi çizilebilir (veya iki noktadan bir doğru geçer).
2. Bir doğru çizgi üzerinde sonlu ve sürekli bir doğru parçası çizilebilir (veya iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur).
3. Belli bir noktayı merkez ve herhangi bir uzunluğu yarıçap olarak alarak bir çember çizilebilir (veya bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bir çemberdir).
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.
5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde, kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulunduğu tarafta kesişir.
Bunlara ek olarak, Euklides ve onu izleyen geometriciler, doğru çizgilerin sonsuz olduğunu ya da iki yönde de sonsuzca uzatılabileceğini düşünüyorlardı. Bunun beşinci aksiyom ile bir ilgisi olabileceğini düşünmüyorlardı. Görüldüğü gibi, ilk dört aksiyomun basitliği ve açıklığına karşın beşinci aksiyom daha karmaşık duruyordu. Belki, Euklides’in kendisi de beşinci aksiyom ile ilgili belli kaygılar taşı- yordu. Verdiği ilk 28 ispatta, bu beşinci aksiyomu kullanmadı.
Proclus (410-485), Unsurlar üzerine bir şerh kaleme aldı ve beşinci aksiyomun ilk dördünden türetilmesine ilişkin çabalara yer verdi. Ptolemy’nin (Batlamyus) yanlı ş bir ispat verdiğini de belirtti. Kendisi de bir ispat vermeye çalıştı fakat bu ispat da yanlıştı. Öte yandan, beşinci aksiyoma eşdeğer bir başka aksiyom öne sürdü:
Bir doğru ve bu doğru üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, bu noktadan geçen ve doğruya paralel olan bir ve yalnız bir doğru çizilebilir.
Proclus’un bu postülası, 1795’te John Playfair’in yazdığı bir şerhten sonra, Playfair’in aksiyomu olarak anılır oldu. Playfair, kendi şerhinde beşinci aksiyomun kendi aksiyomu ile değiştirilmesini öneriyordu.
Tarihsel bakımdan önem atfedilen bir ispat girişimi, 1697 yılında Girolomo Saccheri tarafından gerçekleştirildi. Saccheri’yi önemli kılan, yaklaşımındaki farklılıktı. Saccheri, beşinci aksiyomun yanlış olduğunu varsayıp buradan hareketle bir çelişki türetmeye çalışmıştı. Paralel iki doğruyu kesen doğrunun 90 dereceden az bir açı yaptığı varsayımı altında, Euklidesçi geometriye ait olmayan birçok teoremi ispatladı. Sonuçta, bir çelişki bulduğunu da iddia etti. Bir düzlem üzerinde sonsuz uzaklıkta bir nokta bulunduğu varsayımı altında; dar açı varsayımı bir çelişkiye yol açıyordu.
1766 yılında Lambert, Saccheri’ye benzer bir yöntem izledi. Ancak onun amacı, bir çelişki ortaya koymak değildi. Lambert, dar açı varsayımı altında, bir üçgenin alanı azaldıkça iç açılar toplamının arttığını gösterdi.
Legendre yaşamının neredeyse 40 yılını paralel aksiyomuna ilişkin araştırmalara vakfetti. Eléments de Géométrie adlı kitabının ekinde, Euklides’in beşinci aksiyomun “Bir üçgenin iç açıları toplamı iki dik açısın toplamına eşittir.” aksiyomuna eşdeğer olduğunu gösteren bir ispat verdi. Legendre’in ispatı, tıpkı Saccheri’nin ispatı gibi, doğru çizgilerin sonsuz olduğu varsayımına dayanıyordu ancak bu yanlışlığı Legendre fark etmemişti.
Tüm bu sonuçsuz çabalar karşısında D’Alembert, paralel aksiyomuna ilişkin sorunları “temel geometrinin skandal” olarak adlandırdı. Belki de paralel aksiyomunun ardında yatan sorunu ilk anlayan matematikçi, Gauss olmuştu. Gauss, 1792 yılından itibaren paralel aksiyomu üzerinde çalışmaya başlamıştı. 1813 yılında “Paraleller kuramı konusunda şu anda bile Euklides’ten ileride değiliz. Bu matematiğin utanç verici bir kısmıdır…” demek zorunda kaldı.
1817’ye gelene kadar Gauss, beşinci aksiyomun diğer dördünden bağımsız olduğuna kani olmuştu. Bir doğruya kendi dışındaki bir noktadan birden fazla paralel çizilmesine izin veren bir geometri fikrinin sonuçları üzerinde çalışmaya başladı. Ancak, Gauss bu çalışmalarını yayımlamadı ve gizli tuttu. O yıllarda Kant’ın sentetik a priori anlayışı hâkimdi ve Euklidesçi geometrinin saf görünün bir zorunluluğu olduğu fikri yaygındı. Tarihçilerin belirttiklerine göre ise Gauss, bu tür konularda çatışmaya girmekten hoşlanan bir akademisyen değildi.
Gauss, paralel aksiyomu üzerinde meslektaşı Farkas Bolyai ile görüş alışverişinde bulunurdu. Farkas Bolyai de geçmişte, sonradan yanlış olduğu ortaya çıkan ispatlar yapmıştı. Konunun ne denli zor olduğunu ve bunu takıntı haline getirmenin zararlarını biliyordu. Bolyai, matematikçi olarak yetiştirdiği oğlu János Bolyai’ye, beşinci aksiyom problemi üzerine bir saat bile harcamamasını salık veriyordu. Ancak János Bolyai babasını dinlemedi. Yaptığı çalışmaların sonucunu babasına bildirmek üzere 1823’te babasına yazdığı mektupta, “Keşfettiğim şeyler o kadar harika ki şaşkına döndüm.. Hiçlikten başlayarak acayip yeni bir dünya yarattım.” yazıyordu. Oğul Bolyai’nin, bu acayip yeni dünyayı anlattığı çalışmasını yazarak tamamlaması iki yıl daha aldı ve çalışmasını babasının geometri kitabının ekinde yayımladı.
Bolyai’nin gerçekleştirdiği sıçrama, yeni bir geometrinin olanaklı olmasıydı. Gauss bu çalışmayı okudu ve bir arkadaşına yazdığı bir mektupta Bolyai’yi bir dahi olarak andı. Öte yandan, Bolyai’nin şevkini kıracak biçimde, kendisinin de bunu daha önce keşfettiğini ama yayınlamadığını söyledi.
Bu gelişmelere paralel olarak bir Rus matematikçi Lobachevsky, Gauss’un ve Bolyai’nin çalışmalarından habersiz olarak 1829’da, Euklidesçi olmayan geometriler üzerine bir çalışma yayımladı. Çalışma, Rusça yazıldığı ve yerel bir üniversitenin dergisinde yayımlandığı için geniş bir okur kitlesine ulaşamadı. Lobachevsky, daha sonra 1837 yılında, çalışmasını Fransızca olarak Crelle’s Journal’da yayımladı. Daha sonra da 1840 yılında çalışmasını ayrıntılı olarak anlatan bir kitapçık kaleme aldı ve burada Euklides’in paralel aksiyomunu şu şekilde değiştirdi: Bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan o çizgiye iki paralel çizilebilir. Lobachevsky, bu aksiyomdan hareketle, trigonometrik özdeşlikler üzerinde çalıştı ve üçgenler küçüldükçe trigonometrik özdeşliklerin Euklides geometrisinde olan biçime yakınsadığını gösterdi.
Gauss’un doktora öğrencilerinde olan Riemann, 10 Haziran 1854 tarihinde verdiği açılış dersinde, yeni bir geometri anlayışından söz etti. Riemann bu konuşmasında, bir doğruya kendi dışındaki bir noktadan hiçbir paralelin çizilemeyeceği “küresel” geometriyi anlattı.
Bolyai ve Lobachevsky’nin ortaya koyduğu geometrilerin, tutarlı olduğuna dair bir ispat verilmemişti. Bir teoremin hem kendisinin hem de değillemesinin ispatının verilemeyeceği henüz gösterilememişti. Öte yandan, Euklidesçi geometri hakkında da bu biçimde verilmiş bir ispat yoktu. Yüzyıllardır yapılan ispatlarda bir tutarsızlık ortaya çıkmamıştı. Daha sonra Riemann, Euklidesçi olmayan geometrilerin göreli olarak tutarlı olduğunu gösterdi: Euklidesçi olmayan geometriler, ancak ve ancak Euklidesçi geometri tutarlı ise tutarlıdır.
Euklidesçi olmayan geometrilerin bir modele sahip olabileceğini ilk kez Eugenio Beltrami (1835 – 1900) ortaya koydu. 1868 yılında yazdığı, Essay on the interpretation of non-euclidean geometry adlı eserinde Beltrami 3 boyutlu Euklides geometrisi içerisinde, 2 boyutlu Euklidesçi olmayan geometri için bir model ortaya koydu. Bu model, sahte küre adı da verilen ve bir traktriksin asimptotu üzerinde döndürülmesi ile elde edilen bir yüzeydi.
Daha sonra Klein, 1871 yılında Riemann’ın, Euklidesçi olmayan geometrisi de dâhil olmak üzere tüm Euklidesçi olmayan geometriler için birer model ortaya koydu. Klein, temel olarak üç farklı geometri olduğunu gösterdi: Bolyai, Lobachevsky geometrisinde doğru çizgiler iki sonsuz uzaklıkta noktaya sahiptir. Riemann geometrisinde böyle sonsuz uzaklıkta bir nokta bulunmamaktadır. Euklides geometrisinde ise her bir çizgi için üst üste çakışan iki sonsuz uzaklıkta nokta vardır.
Hazırlayan: Sosyolog Ömer YILDIRIM
Kaynak: Ömer YILDIRIM’ın Kişisel Ders Notları. Atatürk Üniversitesi Sosyoloji Bölümü 1. Sınıf “Felsefeye Giriş” ve 2., 3., 4. Sınıf “Felsefe Tarihi” Dersleri Ders Notları (Ömer YILDIRIM); Açık Öğretim Felsefe Ders Kitabı