Ali Törün
“Ondan, aşağılık bir ilişkiden nefret ettiğin kadar nefret etmelisin. Senin tüm servetini, sağlığını, rahatını ve yaşamının tüm mutluluğunu kaybettirebilir. Bu dipsiz karanlık belki de doruklardaki binlerce Newton’u yutacak ve dünya hiçbir zaman aydınlanmayacak.(…) Bu lanet olası ölü denizin bütün kayalıklarının yanından geçtim ve her seferinde kırık bir direk, yırtık bir yelkenle geri döndüm.”
Yukarıdaki satırlar Macar matematikçi Farkas Bolyai’nin 1820’de oğluna gönderdiği bir mektuptan alıntılanmıştır. Baba Farkas, orduda subay olan oğlu Janos Bolyai’nin bir Öklid aksiyomuyla uğraşıyor olmasından son derece rahatsızdır; çünkü kendisi de bu aksiyomu kanıtlayabilmek için çok çabalamış, ama başarılı olamamıştır. Yaşadığı hayal kırıklığını oğlunun da yaşamasından korkar.
Janos Bolyai babasının telkinlerine kulak asmaz. 1823’te babasına yazdığı mektupta şu satırlar yer alır: “Öylesine şaşırtıcı şeyler buldum ki, şaşkınlık içindeyim… Bir hiçten yepyeni bir dünya yarattım.”
Janos Bolyai’nin keşfettiği yenidünyaya sonradan şu ad verilecektir: Öklid-dışı geometri. Bolyai, 2000 yıl boyunca geçerliliği sorgulanmayacak kadar mutlak bir gerçeklik olan Öklid geometrisinden bağımsız bir geometriyi ortaya çıkarmanın heyecanını yaşamaktadır. 24 sayfalık çalışmasının bir kopyasını babasına gönderir. Metin Mekânın Mutlak Bilimi gibi oldukça iddialı bir isme sahiptir, ama baba Farkas oğlunun fikirlerinin mutlak doğruluğundan şüphe duymaktadır. Bu metni kadim dostu Carl Friedrich Gauss’a göndererek görüşlerini yazmasını rica eder. Yaşadığı dönemde de efsanevi bir matematikçi olan Gauss’tan gelecek olan “Çok güzel ve çok doğru bir çalışma” gibi bir cevabın oğlunun matematik kariyeri için mükemmel bir sonuç olacağını düşünür. Ama Gauss ilginç ve bir o kadar da Janos Bolyai için yıkıcı bir cevap verir: “Oğlunuzun bu çalışmasını takdir etmem mümkün değil, çünkü bu çalışmayı takdir etmem demek kendimi takdir etmem demek. Oğlunuzun izlediği yöntem ve ulaştığı sonuçlar 30-35 yıldır benim de zihnimi kurcalayan düşüncelerle neredeyse bire bir aynı. Gerçekten çok şaşkınım. Kendi çalışmama gelince, şu ana kadar çok azını kâğıda dökmüştüm ve hayattayken yayımlamak gibi bir niyetim de yoktu.”
O dönemde Öklid geometrisi o kadar kesin ve tartışılmazdır ki bir matematikçinin Öklid-dışı geometriyi kendisine bile itiraf etmesi kolay değildir! Gauss da sıra dışı fikirlerini özellikle “aptallar” olarak nitelendirdiği Kant’çı filozlardan gelecek tepkilerden çekindiği için yayımlamamış olabilir. Ve mektubuna şöyle devam eder: “Öte yandan bu bilginin benimle birlikte yok olup gitmemesi için tüm bunları daha sonra yazıya dökmeyi düşünüyordum. Ama şimdi bu zahmetten kurtulmuş olduğumu görmek hoş bir sürpriz oldu. Ayıca benden önce davranıp bunu büyük bir başarıyla gerçekleştiren kişinin eski dostumun oğlu olması da çok sevindirici.”
Oğlunun çalışmalarından övgüyle söz eden Gauss’un bu cevabı yaşlı Bolyai’yi sevindirmiştir, ama harcadığı bütün çabanın aslında Gauss’un yıllar önce yürüdüğü yoldan yürümek olduğunu öğrenen Janos Bolyai için tam bir yıkım olur. Hatta başlangıçta babasından şüphelenir, çalışmalarının sonuçlarını Gauss’a sızdırdığını düşünür, ama Gauss’un bu konuda yıllar öncesine uzanan çalışmalar yaptığı gerçeğini öğrenince hepten morali bozulur. Sonraki matematiksel çalışmaları öncekilerin yanında sönük kalır.
Gauss’un yıllarca Öklid-dışı geometri üzerine çalıştığından hiç kuşku yoktur. Gauss, Bolyai’nin 24 sayfalık araştırmasından tam 10 yıl önce 1813’te günlüğüne şu sözleri yazmıştır: “Şu anda paralel doğrular teorisinde Öklid’den daha ileride değiliz. Bu, er geç değişmek zorunda olan matematiğin bir ayıbıdır.”
Beşinci Aksiyom matematiğin ayıbı mıydı?
Öklid geometrisinin inşasını başlatan MÖ 300 dolaylarında yaşamış Yunanlı matematikçi İskenderiyeli Öklid’tir. 13 ciltlik Elemanlar adlı eseriyle matematikte aksiyomatik sisteminin kurucusu olarak kabul edilir. Öte yandan, Antik Yunan’dan günümüze hiçbir belgenin aslı gelmediğinden, tarih boyunca birçok kopyası yapılan Elemanlar’a kopyayı yapanlar tarafından ekler koyulduğu bilinmektedir. Bu yüzden Elemanlar’ın bazı bölümlerinin ortaklaşa yazıldığı düşünülmektedir.
Öklid tartışılmaz olduğunu varsaydığı 10 önermeyle işe başlar. Bu 10 önermeyi aksiyom ve postülatlar olarak 5’erli iki gruba ayırır. Günümüzde bu teknik ayrımı dikkate almadan tüm önermelere sadece aksiyom adını veriyoruz. Aksiyomları oyunun kuralları olarak görebiliriz ve en önemli özellikleri doğruluğu apaçık olan önemeler olmalarıdır. Örneğin Öklid’in ilk aksiyomu şöyledir: “İki nokta arasındaki en kısa yol bir doğrudur.” Diğer üç aksiyom ise şöyle: İkinci aksiyom: “Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi boyunca uzatılabilir.” Üçüncü aksiyom: “Bir çemberi herhangi bir merkez ve yarıçapla belirleyebiliriz.” Dördüncü aksiyom: “Bütün dik açılar birbirine eşittir.”
Görüldüğü gibi ilk dört aksiyom son derece öz ve kısadır, fakat beşinci aksiyom hem daha uzun hem de formülasyon olarak daha karmaşıktır. Beşinci aksiyom: “ İki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğruyla aynı tarafta olan ve açılarının ölçüleri toplamı iki dik açının ölçüleri toplamından küçük iç açılar oluşturuyorsa, bu iki doğru o yönde uzatıldığında kesişir.” Bu önerme en iyi bir şekille anlaşılabilir. Aksiyoma göre aşağıdaki şekilde α ve β’nın toplamı iki dik açının ölçüleri toplamından küçük olduğundan doğrular, ölçüleri α ve β olan açıların bulunduğu tarafta kesişiyor.
Doğruluğundan hiç kimse kuşku duymamış olsa da bu önerme, aksiyomlardan beklenen “apaçık doğru olmalı” ilkesine uymuyor. Örneğin açıların seçimine bağlı olarak doğruların kesiştikleri noktayı görmek bile mümkün olmayabilir. Matematikte aksiyomlar ispatsız olarak doğru kabul edilen önermelerdir. Acaba beşinci aksiyom ispatlanması gereken bir önerme mi, yani bir teorem mi? İşte yüzyıllar boyunca onlarca matematikçi bu soruyu yanıtlamak için uğraştı, yani ilk dört aksiyomu kullanarak beşincisini kanıtlamaya çalıştılar. Hatta Öklid bile Elemanlar’da ilk 28 önermenin ispatında beşinci aksiyomu kullanmamıştır. Belki o da bu önermenin bir aksiyom olmasından şüphe ediyordu.
Matematiksel kesinliği olan bir sonuçtan şüphe edilemez. Bir matematikçi bilinmedik bir derinlik sezmeye görsün, üstüne üstüne gider. İşte, beşinci aksiyom da böylesi bir şüpheyi taşıyordu ve artık matematikçiler için çözülmesi gereken bir “problemdi”. Önce onu daha kolay anlaşılır bir başkasıyla değiştirmek için uğraştılar ve İskoçyalı matematikçi John Playfair ( 1748-1819) beşinci aksiyoma mantıksal açıdan denk olan daha özlü bir önerme ifade etti: “Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebilir.” Aşağıdaki şekil Playfair Aksiyomu’nun görsel ifadesidir.
Bu aksiyom ilk kez John Playfair tarafından dile getirildiğinden Playfair Aksiyomu olarak bilinir; fakat aslında Eski Yunanlı filozof Proklos’a (410-485) aittir. Playfair’in önermesinden sonra beşinci aksiyom genellikle Paralellik Aksiyomu adıyla anılır.
Sonraki 1500 yılın büyük bir bölümünde birçok matematikçi Paralellik Aksiyomunu kanıtlamaya çalışmıştır. Ama kanıtlama çabalarının neredeyse tamamında aksiyomun kendisi kapalı bir şekilde kanıt sürecindeki adımlarda kullanıldığından sonuç alınamaz. Bazı matematikçiler ise ilk dört aksiyomdan farklı önermelerle beşinci aksiyomu kanıtladıklarını düşünmüşlerdir. Sonuç olarak aksiyom kanıtlanamaz. Birçok matematikçinin emeği ve zamanı “heba” olmuştur. Paralellik Aksiyomu matematikçiler arasında geometrinin düşmanı olarak görülmeye başlanmıştır. 1759’da ünlü Fransız matematikçi, filozof d’Alembert, Paralellik Aksiyomu probleminin “geometrinin yüzkarası olduğunu” söylemiştir.
Sancı ve doğum…
Doğrudan ispat çabalarının başarısızlığa uğramasıyla, matematikçiler dolaylı yollara yönelirler. Bu yaklaşımın sonucu olarak Girolamo Saccheri, Heinrich Lambert gibi matematikçiler Paralellik Aksiyomunu çelişki elde ederek (olmayana ergi yöntemiyle) kanıtlamaya çalışır ve bu çalışmalarda ortaya çıkan sonuçlar aslında bir doğumun habercisidir.
18’inci yüzyılın sonlarına doğru matematikçiler ilk kez Paralellik Aksiyomunun belki de diğer dört aksiyomdan hareketle kanıtlanmayacağını düşünmeye başlarlar. Artık ilginç bir “Acaba?” sorusuna yanıt aranıyordur. Acaba beşinci aksiyomun yerine farklı bir aksiyom koymak mümkün mü? Bu soruya ilk olarak Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860), Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1793-1856) gibi matematikçiler “Evet mümkün” yanıtını vererek Öklid-dışı geometrilerin doğmasına önayak olurlar.
Öklid’in diğer bütün aksiyomlarının sağlandığı ama beşinci aksiyomun sağlanmadığı Öklid-dışı geometrilerin keşfiyle adeta kurallar değiştirilerek farklı bir oyun oynanıyordur. İki farklı Öklid-dışı geometrinin olduğunun farkına varılır. Günümüzde Lobaçevski geometrisi (hiperbolik geometri) ve Riemann geometrisi (eliptik geometri) olarak adlandırılan bu iki Öklid-dışı geometride Paralellik Aksiyomu şu iki aksiyoma karşılık gelir: Hiperbolik geometri: Bir doğruya dışındaki bir noktadan en az iki paralel doğru çizilebilir. Eliptik geometri: Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel doğru çizilemez. (Burada sözü edilen “doğru” kavramı Öklid geometrisinden farklıdır elbette, örneğin eliptik geometride “doğru” ile ifade edilen şey küre yüzeyinin “büyük çemberdir”.)
Öklid-dışı geometriler Öklid geometrisinin üç boyutlu modelleri üzerinde inşa edilmiştir. Örneğin eliptik geometrinin bütün aksiyomları küre yüzeyi üzerinde tanımlanır. Bu geometrilerin Paralellik Aksiyomunun yerini alan aksiyomla birlikte tutarlı ve çelişkisiz olduğu gösterilmiştir. Küre üç boyutlu Öklid geometrisinin bir modeli olduğuna göre bu durumda iki seçenekle karşı karşıya geliriz: Ya Öklid geometrisi tamamen yanlış, ya da Paralellik Aksiyomu kanıtlanamaz. İlk seçenek doğru olmadığına göre Paralellik Aksiyomunun mantıksal olarak diğer aksiyomlardan bağımsız olduğu ve onlardan türetilemeyeceği sonucuna ulaşırız. O halde Öklid’in böyle bir aksiyomun gerekliliğine ilişkin sezgisi doğrulanmıştır. Böylece beşinci aksiyomun matematiğin bir ayıbı olmadığı yaklaşık 2000 yıl sonra kesinlikle anlaşılmıştır.
2000 yılı aşkın bir süre boyunca Öklid geometrisinin evren ve gerçek hakkında açık ve şüphe edilmez doğrular içerdiğine inanılmıştır. Öklid-dışı geometrilerin keşfi matematikçiler, bilim insanları ve filozoflar arasında adeta şok etkisi yaratmıştır. Matematik tarihinde böylesine şiddetli bir karşı koyuşla karşılaşmış gelişme pek azdır. Spinoza, Kant gibi filozoflar Öklid geometrisini fiziksel uzayın modeli olarak görürlerken, zamanla gerçeğin tam olarak böyle olmadığı anlaşılmıştır. Küçük ölçeklerde (günlük hayatımızda ve yeryüzündeki bazı ölçümlerde) mükemmel ve basit bir model olan Öklid geometrisinin uzay ve evren için model olamayacağı ortaya çıkmıştır.
Öklid geometrisiyle evreni anlamak bir buz dağının vuruş gücünü su üstündeki parçasıyla hesaplamaya benzetilebilir. Evreni anlama çabası gözle görünenin ötesindekileri de kapsayacak bir geometriyi zorunlu kılmış ve bu görevi beşinci aksiyom zincirini kıran Öklid-dışı geometriler üstlenmiştir. Eliptik geometriyi keşfeden ünlü Alman matematikçi Bernhard Riemann’ın ortaya koydukları 60 yıl sonra Genel Görelilik Teorisini mükemmel bir şekilde haklı çıkarmış, fizik ve evren bilim dallarında devrim niteliğinde sonuçlara yol açmıştır. Albert Einstein, “Riemann’ın bu çalışmasından haberim olmasaydı görelilik kuramını hiçbir zaman geliştiremeyecektim” demiştir. Sonuç olarak, binlerce yıl süren beşinci aksiyom sancısı Gauss, Bolyai, Lobaçevski, Riemann gibi matematikçiler sayesinde mükemmel bir doğumla son bulmuştur.
Kaynaklar
1) www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/…/Bolyai_letter.html
2) Şafak Alpay , www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/1996.