... konulu sunumlar: "LİMİT. Matematiğin, ekonomi ve diğer uygulamalı bilimlerde en çok kullanılan kavramları olan türev ve integral kavramları limit kavramı üzerine inşa edilmiştir."— Sunum transkripti:
2
Matematiğin, ekonomi ve diğer uygulamalı bilimlerde en çok kullanılan kavramları olan türev ve integral kavramları limit kavramı üzerine inşa edilmiştir. Limit kavramı, x bağımsız değişkeninin belirli bir sayıya yaklaşırken y=f(x) fonksiyon değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını konu alır.
3
Bağımsız değişken olan x sayısının verilen bir sayıya yaklaşması demek, a sabit bir sayı olmak üzere, x ile a arasındaki fark x değiştiğinde istenildiği kadar küçük bir sayıdan daha küçük kalıyorsa x sayısı a sayısına yaklaşıyor demektir. Başka bir deyişle x değişkeni a dan farklı ve a sayısına istenildiği kadar yakın değerler alıyorsa x, a sayısına yaklaşıyor denir. Sembolik olarak şeklinde gösterilir.
4
Eğer x değişkeni a sayısına a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve ile gösterilir. Eğer x değişkeni a sayısına a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve ile gösterilir.
7
•f(x) değerlerinin anlamlı olması için a ya yaklaşan x değerlerinin fonksiyonun tanım kümesine ait olması gerekir. Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. x değişkeni 2 ye yaklaşırken f(x) fonksiyon değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığı aşağıdaki tabloda incelenmiştir.
9
Tabloda görüldüğü üzere hem için hem de için fonksiyon değerleri 1 sayısına yaklaşmaktadır. İşte bu 1 sayısına f(x) fonksiyonunun 2 noktasındaki limiti denir ve sembolik olarak biçiminde gösterilir.
10
Bu fonksiyonun 2 noktasındaki limitini aşağıdaki grafikte inceleyebiliriz.
11
•LİMİT ÖZELLİKLERİ 1. c bir sabit sayı ve olmak üzere; olur. 2. olur.
12
3. fonksiyonları verilsin ve olsun. Bu durumda f+g fonksiyonlarının x=a noktasında limiti vardır ve olur. Toplamın limiti limitler toplamına eşittir. Aynı şekilde çıkarmanın limiti çıkarılan fonksiyonların limitlerinin farkına eşittir.
13
4. fonksiyonları verilsin ve olsun. f.g fonksiyonunun x=a noktasında limiti var ve olur. Çarpımların limiti limitlerin çarpımına eşittir.
14
5. fonksiyonları verilsin, ve ise fonksiyonunun a noktasında limiti vardır ve olur.
15
6. fonksiyonu verilsin ve olsun. olmak üzere, olur.
16
7. fonksiyonları verilsin ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için eşitsizliği sağlansın. Eğer oluyorsa bu durumda f fonksiyonunun a noktasında limiti vardır ve olur.
17
8. için limit alınırken aşağıdaki kurallar uygulanır. * a>1 olmak üzere: * olmak üzere: *
18
9. ile ilgili işlemler aşağıdaki gibi tanımlanır.
21
•Tek Yönlü Limitler: Eğer için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa bu limite a noktasındaki sağdan limit denir ve biçiminde gösterilir. Eğer için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa bu limite a noktasındaki soldan limit denir ve biçiminde gösterilir.
22
•Bir sayının belirli bir noktada limitinin olması için o noktada sağdan ve soldan limitlerinin olması ve bunların eşit olması gerekir. Aksi takdirde fonksiyonun o noktada limiti yoktur denir.
23
•Örnek: limitini hesaplayalım. olur. Sağdan ve soldan limitler vardır fakat eşit değildir. Bu durumda bu verilen noktada fonksiyonun limiti yoktur denir.