Rastgele Değişkenler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti
Rastgele Değişkenler
Doğrudan örnek setinin kendisini ve denklemi göz önünde bulundurarak elde edebiliriz. Ancak, daha karmaşık durumlarda, olasılıkları birleştirme yasaları, olayların birleşik olasılığını açık ve net bir şekilde hesaplamamızı sağlar.
P(EorF)’yi hesaplarken, E ve F olaylarının karşılıklı olarak dışlayıcı olmasını şart koştuk ve madeni para alıştırmasında bunu ayrı madeni paralar kullanarak garanti ettik. Durum böyle değilse ne yapılabilir? 1’den 6’ya kadar numaralandırılmış geleneksel altı yüze sahip bir zarın atıldığı durumu düşünün.
Herhangi bir yüzün gelme olasılığı 1/6’dır. Ancak üçten küçük bir sayının veya bir çift sayının gelme olasılığı nedir sorusunu sorabiliriz. Sonucun üçten küçük olduğu durumlar 1 ve 2, çift olduğu durumlar ise 2, 4 ve 6’dır. Naif bir şekilde doğru yanıtın 5/6 olduğu düşünülebilir.
Ancak bunlar birbirini dışlayan durumlar değildir çünkü 2 sayısı hem bir çift sayıdır hem de üçten küçüktür. Bu nedenle, tek farklı durumlar 1, 2, 4 ve 6 olduğu için 2’yi iki kez saydık, böylece doğru sonuç 4/6 olur. Genel olarak bu sonuç ifade edilebilir.
Bu yasaları bir Venn diyagramı aracılığıyla grafiksel olarak ifade edebiliriz. Bağımlı olasılıkların basit toplamı, Venn diyagramındaki kesişimi iki kez sayar ve bu nedenle toplamdan çıkarılması gerekir.
Olasılıklar
Rastgele bir süreci, sürecin sonucunun tahmin edilemediği bir süreç olarak tanımlayabiliriz. Örneğin, bir madeni paranın havaya atılması ya ‘tura’ ya da ‘yazı’ üretecektir, ancak madeni paraların atılması sonucunda hangisinin olacağı tam bir kesinlikle tahmin edilemez.
Eğer ‘tura’ya 1 ve ‘yazıya’ 0 atarsak, art arda yazı tura atmalar, öngörülebilir bir sıralamaya sahip olmayan bir dizi 1 ve 0 üretecektir. Sonlu bir döndürme dizisini ikili bir sayı olarak kabul edersek, değeri önceden tahmin edilemeyeceği için ona rasgele bir sayı diyebiliriz.
Aynı uzunluktaki sonlu dizilerin herhangi bir ayrılması, daha önceki sayılardan hiçbir sayının tahmin edilemeyeceği rastgele ikili sayıların bir ayrılmasını üretecektir. Aynı deneyi, sonuçların 1’den 6’ya kadar değişeceği ve dizilerin altı tabanlı rasgele sayılar oluşturacağı zarla da gerçekleştirebiliriz.
Şimdi, rasgele sayımızı üreten dizi, örnek küme sonlu olsa bile keyfi uzunlukta olabilir, ancak her zaman sayısal bir değeri olacaktır. Rastgele bir değişkeni, örnek sette tanımlanan sayısal olarak değerli herhangi bir fonksiyon olarak tanımlayabiliriz. Seçtiğimiz durumda, beş basamaklı veya daha az olan tüm sayılar olabilir.
Örnek setin elemanlarını xi sayısal değerlerine sahip olacak şekilde tanımlayalım. Madeni para söz konusu olduğunda bunlar, ‘tura’ ve ‘yazı’ya atadığımız 1’ler ve 0’lar olacaktır. Zar için bunlar sadece yüzlerin değerleridir. O zaman, tanımı yoluyla rastgele bir süreç olarak görünen herhangi bir rastgele değişken, örnek küme xi’nin değerlerine bağlı olan Xj(xi) = Xj sonucuna sahip olacaktır.
Ayrık rastgele değişkenler
Rassal değişken örnekleri
Sürekli rassal değişken nedir
Sürekli Rastgele değişkenler ve olasılık DAĞILIMLARI
Kesikli rassal değişken Nedir
Kesikli Rassal değişken
Rassal değişken formülü
Sürekli rastgele değişken örnekleri
Xj’nin herhangi bir özel değerinin ortaya çıkma olasılığı Pj, Xj rasgele değişkeninin sayısal değerini üreten xi değerleri ile ilişkili pi olasılıklarına bağlı olacaktır. O zaman “Örnek kümeden Xj rasgele değişkeninin n değerini üretirsek, Xj’nin beklememiz gereken en olası değeri nedir?” diye sorabiliriz. Bu Xj değerine, X’in beklenen veya beklenen değeri diyeceğiz ve verilecektir.
Madeni para atma gibi basit bir durumu göz önünde bulundurun ve “Belirli bir iki madeni para atma denemesinde bir ‘tura’ elde etmenin beklenti değeri nedir?” diye sorun. Olasılıklar, her iki madeni paranın da “tura” gelip hiç “tura” vermemesi veya bir madeni paranın “tura” ve diğerinin “yazı” olabilmesi veya her ikisinin de “tura” olabilmesidir.
İlk ve sonuncunun olma olasılığı 1⁄4’tür, ancak madeni paralardan biri ‘tura’, diğeri ‘yazı’ olabileceğinden, ortadaki olasılık iki ayrı durumu temsil eder. Dolayısıyla ‘kafa’ sayısı için beklenen değer tamdır.
İlk terim, her bir deneme için elde edilen tura sayısı ile bu denemenin olasılığının çarpımından oluşurken, bu toplamın diğer gösterimi, belirgin şekilde farklı Xj değerlerinin bu değerlerin meydana gelme olasılığı ile çarpımını gösterir.
Sonuç olarak, iki madeni paranın atılmasıyla bir ‘tura’ bekleyebiliriz. Rastgele bir değişkenin beklenti değeri, bir tür ortalama değer veya daha doğrusu o değişkenin de en olası değeridir.
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları
Yazı tura atma deneyine ilişkin analizimizden, rastgele değişkenin tüm değerlerinin (örn. ‘kafa’ sayısı) gerçekleşme olasılığının eşit olmadığı açıktır. Bir “kafa” veren deneylerin, “kafa” olmaması veya iki “kafa” olması ihtimalinin iki katıdır. Oluşma sıklığı, basitçe rastgele değişkenin toplam olasılığı ile de belirlenecektir.
Oluşma olasılığının rastgele değişkenin değerine bağımlılığına olasılık dağılımı denir. Bu örnekte, rastgele değişkenin değeri için oldukça sınırlı sayıda olasılık vardır. Bu tür durumlara ayrık olasılık dağılımları da denir.
Rastgele değişkenimizi iki zarın atılmasından beklenen değer olarak tanımlarsak, o zaman değerler 2-12 arasında değişebilir ve daha geniş bir ayrık olasılık dağılımına sahip oluruz. Genel olarak, ölçülen değerler rastgele değişkenler için sonlu bir rakam seti içerir ve bunların olasılık dağılımları da her zaman ayrıktır.
Bununla birlikte, analitik olarak kullanımları daha kolay olduğu için sürekli rasgele değişkenleri dikkate almak faydalıdır. Olasılık tanımımızda dikkatli de olmalıyız.
Diferansiyel hesabında kullanılan standart limit uygulamasını takip edebilir ve x ile x+∆x arasındaki aralıkta meydana gelen sürekli rasgele değişken x’in diferansiyel olasılığını da tanımlayabiliriz.
f(x) fonksiyonu olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu olarak bilinirken, P(a,b) fonksiyonu olasılık dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır. Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ve bunlarla ilişkili olasılık dağılım fonksiyonlarının kullanımı, bilimde de merkezi bir analiz aracı oluşturur.
Ayrık rastgele değişkenler Kesikli Rassal değişken Kesikli rassal değişken Nedir Rassal değişken formülü Rassal değişken örnekleri Sürekli rassal değişken nedir Sürekli rastgele değişken örnekleri Sürekli Rastgele değişkenler ve olasılık DAĞILIMLARI