If you have ever read advanced textbooks or papers about electronics, you may have been amazed to see the use of complex numbers used in the analysis of AC circuits. A complex number has two parts: a real part and an imaginary part. I’ve often thought that a lot of books and classes just kind of gloss over what this really means. What part of electrical power is imaginary? Why do we do this?
The short answer is phase angle: the time delay between a voltage and a current in a circuit. how can an angle be a time? That’s part of what I’ll need to explain.
First, consider a resistor. If you apply a voltage to it, a certain current will flow that you can identify by Ohm’s law. If you know the immediate voltage across the resistor, you can derive the current and you can find the power–how much work that electrical power will do. That’s fine for DC current through resistors. but components like capacitors and inductors with an AC current don’t obey Ohm’s law. Take a capacitor. current only flows when the capacitor is charging or discharging, so the current through it relates to the rate of change of the voltage, not the immediate voltage level.
That implies that if you plot the sine wave voltage against the current, the top of the voltage will be where the current is minimal, and the top current will be where the voltage is at zero. You can see that in this image, where the yellow wave is voltage (V) and the green wave is current (I). See how the green top is where the yellow curve crosses zero? and the yellow top is where the green curve crosses zero?
These linked sine and cosine waves might remind you of something — the X and Y coordinates of a point being swept around a circle at a constant rate, and that’s our connection to complex numbers. By the end of the post, you’ll see it isn’t all that complicated and the “imaginary” quantity isn’t imaginary at all.
Simplifying Assumptions
Start with an audio signal of someone speaking and feed that into your circuit. It is awash with different frequencies that change constantly. If you had a circuit with only resistors in it, you could pick a point in time, find all the frequency components present or the immediate amplitude, derive the immediate currents, and you could use conventional techniques on it. You’d just have to do it over and over and over again. If the circuit involves inductors or capacitors, whose behavior depends on much more than just the voltage across them, this becomes very challenging very quickly.
Instead, it is simpler to start with a sine wave at a single frequency and assume that a complex signal of numerous different frequencies is just the sum of numerous single sines. One way to think of a capacitor is to consider it a resistor that has higher resistance at lower frequencies. An inductor acts like a resistor that gets larger at higher frequencies. because we are only considering a single frequency, we can convert any capacitance and inductance values to an impedance: a resistance that is only good at the frequency of interest. What’s much more is that we can represent impedance as a complex number so that we can track the phase angle of the circuit, which directly relates to a particular time delay between voltage and current.
For a true resistor, the imaginary part is 0. That makes sense because the voltage and current are in phase and for that reason there is no time delay at all. For a pure capacitor or inductor, the real part is zero. real circuits will have combinations and thus will have a combination of real and imaginary parts. Numbers like that are complex numbers and you can write them in several different ways.
Complex Review
The first thing to remember is that the word imaginary is just an arbitrary term. maybe it is better to forget the normal implying of the word imaginary. These imaginary quantities are not some kind of magic electricity or resistance. We use imaginary numbers to represent time delays in circuits. Bu kadar.
There is a long story about what imaginary numbers imply in pure math and why they are called imaginary. You can look that up if you are a math-head, but you ought to know that math books use the symbol i for the imaginary part of a complex number. However, because electrical engineers use i for current, we use j instead. You just have to remember when reading math books, you’ll see i and it isn’t a current, and it is the same as j in electrical books.
There are several ways to represent a complex number. The simplest way is to write the real part and the imaginary part as being added together along with j. So consider this:
5 + 3j
We say the real part is 5 and the imaginary part is 3. Numbers written in this form are in rectangular format. You can plot it on the number lines like this:
That leads to the second way to write a complex number: polar notation. If the point on the graph is 5 + 3j, you can note that a vector can represent the saMe point. Uzunluğu veya büyüklüğü ve bir açı olacaktır (grafiğin x ekseni ile yaptığı açı). Bu durumda, büyüklük 5.83 (yaklaşık) ve açı, 31 derecenin biraz altında.
Bu ilginç çünkü bir vektör ve vektörleri manipüle etmek için çok iyi matematik araçları var. Bir dakikada gerçekten çok önemli olacak çünkü açı bir devrede bir faz açısına karşılık gelebilir ve büyüklüğün de doğrudan bir fiziksel ilişkiye sahip olmasıdır.
Faz açısı
Tek bir frekansta bir AC analizi yaptığımızı söylediğimi unutmayın. AC voltajını ve akımın bir frekansta bir dirençten geçtiğini ve akımın tamamını çizerseniz, iki sinüs dalgası tam olarak sıraya girer. Çünkü bir direnç zamanın hiçbir şeyi geciktirmemesidir. Direnç boyunca faz açısının sıfır derecesi olduğunu söylerdik.
Bununla birlikte, bir kapasitör için, akımın bir miktar süre boyunca voltajdan önce yükseleceği görülecektir. Bu, DC’deki kapasitörler hakkındaki sezgilerinizi düşünürseniz mantıklı. Bir kapasitör boşaldığında, bunun içindeki voltaj yoktur, ancak çok fazla akım tüketir – geçici olarak kısa devre gibi görünüyor. Şarj inşa ederken, voltaj, kapasitör tamamen şarj olana kadar akım damlaları yükselir. Bu noktada voltaj maksimumda, ancak akım sıfır veya neredeyse yani.
İndüktörler zıt düzenlemeye sahiptir: voltaj akımı akımı sağlar, bu nedenle eğriler aynı görünecektir ancak V eğrisi şimdi I ve I eğrisi artık V.’dir. tıpkı Ohm kanununda olduğu gibi voltaj. Bir devrede faz kayması hakkında konuşurken, geçerli bir frekansta voltajın ne kadar çıktığını veya geciktiğini gerçekten ima eder. Bu önemli bir fikirdir: faz kayması veya açısı, akımın yol açtığı veya voltajı geciktirir. İki farklı voltaj kaynağı gibi diğer şeyler arasındaki aşamayı da ölçebilirsiniz, ancak tipik olarak “bu devre 22 derecelik bir faz kaymasına sahip” derken, geçerli zaman gecikmesini voltajı ima eder.
Aklınızda tutun Bir sinüs dalgası, bir çizgiye uyacak şekilde bükülmüş bir daire gibidir. Öyleyse sinüs dalgasının başlangıcı 0 derece ise, pozitif üstün üst kısmı 90 derecedir. İkinci 0 geçiş 180 derecedir ve negatif üst, sadece bir daire üzerindeki noktalar gibi 270 derecedir. Sinüs dalgası sabit bir frekansta olduğu için, belirli bir dereceye kadar bir şey koymak, bir zaman ifade etmekle aynıdır.
Bir direnç durumunda, vardiya 0 derecedir. Böylece karmaşık gösterimde, 100 Ohm direnç 100 + 0J’dir. Ayrıca 100∠0 olabilir. Bir kapasitör için, akım voltajdan önce 90 derece yükselir, böylece bir kapasitörün -90 faz kaymasına sahiptir. Ama büyüklük nedir?
Muhtemelen, kapasitif reaktansın F’nin Hz’deki frekans olduğu 1 / (2πfc) eşit olduğunu öğrendiniz. Kutup formunun büyüklüğü budur. Tabii ki, -90 derece doğrudan sayı çizgisinin aşağı doğru olduğu için, aynı zamanda dikdörtgen formun hayali bir parçasıdır (ve gerçek kısım sıfırdır). Kapasitif reaktanse (XC) 50’ye eşitse, örneğin, 0-50J veya 50∠-90 yazabilirsiniz. İndüktörler aynı çalışır, ancak reaktans (XL) 2πfl’dir ve faz açısı 90 derecedir. Yani aynı reaktanlığa sahip bir indüktör 0 + 50J veya 50∠90 olacaktır.
Gücü bulma
Bu faz açılarının nasıl iyi olduğuna dair hızlı bir örneğe bakalım: Gücü hesaplama. Gücün voltaj zaman akımı olduğunu biliyorsunuz. Öyleyse, bir kapasitörün (zirve) 1 V’u varsa (zirve) ve 1 A’dan 1’i çizerse (tepe), güç 1 watt mı? Hayır, çünkü aynı anda 1 A’da 1 V çizmez.
Bu simülasyonu düşünün (bkz. Sağdaki Şekil). Soldaki izlerin, 90 derece faz kaymasını çok net bir şekilde görebiliyorsunuz (yeşil iz voltajdır ve sarı olanı mevcut). Üst voltaj 1.85 V ve akım zirveleri yaklaşık 4.65 mA’dır. Gerilim sürelerinin ürünü, akımın 8.6 MW’dır. Ama bu en iyi cevap değil. Güç aslında 4.29 MW’dır (sağdaki grafiğe bakınız). İdeal bir kapasitörde, güç tüketilmez. Depolanır ve serbest bırakılır, bu yüzden güç negatif geçer. Elbette, gerçek kapasitörler, biraz kayıp sergileyin.
Güç kaynağının 4.29 MW teklif etmediğini ancak çok daha az olduğunu unutmayın. Çünkü direnç tüketen tek şey tek şeydir. Gerilim ve akım, bunun için fazda ve dağıttığı güçlerin bir kısmı kapasitörün depolanan şarjından geliyor.
Devreler
Vektörin büyüklüğü Ohm yasalarında kullanılabilir. Örneğin, 40 Hz’de, örnek devrenin XC’nin sadece 400’in altındadır. Böylece RC devresi için toplam karmaşık empedans 1000 – 400J’dir.
Vektörler ile ustasanız, 1000∠0 + 400∠-90 yazarak polar yapabilirsiniz. Bununla birlikte, genellikle dikdörtgen versiyonu yazmak ve kutuplara dönüştürmek daha basittir (Wolfram Alpha bu konuda iyidir; sadece J yerine i kullanmayı unutmayın). Büyüklük sadece Pisagor teoremidir ve açı kolay trig. Buna girmeyeceğim, ama burada R ve J’nin sırasıyla gerçek ve hayali parçalar olduğu formül.
mag = sqrt (r^ 2 + j ^ 2)
Faz = Arctan (J / R)
Örneğimiz, daha sonra, 1077∠-21.8’dir.
Peki, voltaj kaynağından çıkan güç nedir? Güç, e ^ 2 / r (veya aslında, e ~ 2 / z, bu durumda). Yani 25/1077 = 23 MW zirvesi. Simülasyon 22.29 gösterir ve çünkü birkaç değeri yuvarlarım, bu yeterince yakın.
Bu kadar?
Tabii ki bu değil, ama çok amaçlı bilmeniz gereken tek şey bu. Sayısız hobi düzeyinde elektronik metinler ayrıntılara yakındır ve sadece büyüklüklerle çalışır. Kolay devreler için, bu işe yarayabilir, ancak karmaşık bir şey için (amaçlanan punta yok), hızlı bir şekilde tutuyor.
Bu arada, bu örnek serideki öğelere gösterdi. Ancak, paralel olarak paralel olarak reaktanlar ekleyebilirsiniz.
Hatırlamanız gereken temel kavramlar:
Bir AC devresinin analizi çoğunlukla sinüs dalga girişi olan tek bir frekansta meydana gelir.
Hayali sayılar hayali değil.
Polar formlardaki karmaşık sayıların büyüklükleri bir direnç gibi davranılabilir.
Faz açısı, voltaj ve akım dalga formu arasındaki zaman gecikmesidir.
Parlatıldığım çok fazla ayrıntı var. Muhtemelen gerçekten negatif olanın karekökü olduğumu bilmenize gerek yok. Ya da Euler’in numarası bunun içine nasıl oynuyor ve bir genlik ve faz açısı ile yazılmış sinüs dalgalarını entegre etme ve farklılaştırma sadeliği. Matematik tarihi ile ilgileniyorsanız, hayali sayıların arkasında oldukça bir hikaye var. Çok daha pratik bir şey istiyorsanız, Khan Academy’nin bazı yararlı videoları var. Ancak, burada kapsanan, AC devreleriyle çalışmayı bilmeniz gereken tek şey olmalı.