Karmaşık sayı - Complex number
Bir kompleks sayı a, sayı şekilde ifade edilebilir a + çift , bir ve b reel sayılardır, ve i denklemin bir çözüm x 2 -1 = . Hiçbir Çünkü gerçek sayı bu denklemi tatmin, ben bir denir hayali numara . Karmaşık sayı için a + bi , bir denir gerçek kısmı ve b olarak adlandırılan sanal kısmı . "Hayali" tarihsel terminoloji rağmen, karmaşık sayılar tıpkı gerçek sayı olarak "gerçek" gibi matematiksel bilimlerde kabul ve doğal dünyanın bilimsel açıklamanın birçok açıdan temel olan edilir.
Karmaşık sayı sistemi olarak tanımlanabilir cebirsel uzantısı hayali sayısına bölünmesiyle gerçek sayılar i . Bu karmaşık sayılar değişken polinomlar gibi, ilave çıkarılır ve çarpılır anlamına gelir i kuralına, i 2 = -1 koydu. Ayrıca, karmaşık sayılar da sıfırdan farklı bir kompleks sayı ile ayrılabilir. Genel olarak, karmaşık sayı sistemi olan tarla .
Karmaşık sayılar doğuran cebir temel teoremi : Her sabit olmayan polinom kompleks katsayılı denklem karmaşık bir çözüm vardır. Bu özellik karmaşık sayılar, ancak realse için de geçerlidir. 16. yüzyıl İtalyan matematikçisi Gerolamo Cardano çözüm bulmak için yaptığı girişimlerde karmaşık sayıları tanıtan ile yatırılmaktadır kübik denklemleri .
Geometrik olarak, karmaşık sayılar kavramı uzanan tek boyutlu sayı hattı için iki boyutlu kompleks düzlem kullanılarak yatay eksen gerçek kısmı için dikey eksen hayali bölümü. Kompleks sayı bir + iki nokta ile tespit edilebilir ( bir , b ) kompleks düzlem. Asıl bir kısmının sıfır bahsedilen edilir saf olduğu bir karmaşık sayı hayali ; Bu numaralar için puan, kompleks düzlemin dikey eksen üzerinde yer alır. Sanal kısmı sıfır gerçek bir sayı olarak görülebilir olan bir karmaşık sayı; Bunu noktası, kompleks düzlemin yatay eksende yer alır. Karmaşık sayılar da kökenli (, büyüklüğü) olan mesafesi her bir karmaşık sayı ilişkilendiren kutupsal formda olarak bilinen belirli bir açı ile temsil edilebilir argüman , bu karmaşık sayının.
içindekiler
- 1 Genel bakış
- 2 Eşitlik ve sipariş ilişkileri
- 3 Temel işlemler
- 4 kutupsal gösterimi
- 5 Üs
- 6 Özellikleri
- 7 resmi yapı
- 8 Kompleks analiz
-
9 Uygulamalar
- 9.1 Denetim kuramı
- 9.2 Genelleştirilmiş integraller
- 9.3 Akışkan dinamiği
- 9.4 Dinamik denklemler
- 9.5 Elektromagnetizma ve elektrik mühendisliği
- 9.6 Sinyal analizi
- 9.7 Kuantum mekaniği
- 9.8 Görelilik
- 9.9 Geometri
- 9.10 cebirsel sayı teorisi
- 9.11 Analitik sayılar teorisi
- 10 Tarihçe
- 11 genellemeler ve ilgili kavramlar
- 12 Ayrıca bakınız
- 13 Notlar
- 14 Kaynaklar
- 15 Ek okumalar
- 16 Dış bağlantılar
genel bakış
Kompleks sayılar hiçbir çözümler var belli denklemlerin çözüm sağlayan gerçek sayılar . Örneğin, Denklem
Gerçek sayının kare negatif olamaz çünkü hiçbir gerçek çözümü vardır. Kompleks sayılar bu soruna bir çözüm sağlar. Fikir için uzanan bir gerçek sayılar belirsiz ı (bazen hayali birimi ilişkiyi tatmin için alınır) i 2 = -1 , böylece bir bulunabilir Önceki durum gibi denklemlerin çözümleri. Bu durumda, çözeltilerdir -1 + 3 i ve 1 - 3 i , aslında kullanılarak doğrulanabilir olarak bu i 2 = -1 :
Tanım
Bir kompleks sayı bir şekilde bir sayıdır a + çift , bir ve b reel sayılardır ve i belirsiz bir tatmin edici olan i 2 = -1 . Örneğin, 2 + 3 i karmaşık bir sayıdır.
Bir kompleks sayı nedenle tek belirsiz bir polinom olarak tanımlanabilir i ilişkisi, i 2 + 1 = 0 koydu. Bu tanım kaynaktan, karmaşık sayılar polinomları için toplama ve çarpma kullanılarak ilave veya çoğaltılabilir. Biçimsel olarak, karmaşık sayılar dizi bölüm halkası arasında polinom halka belirsiz olarak i ile, bir ideal polinom ile oluşturulan i 2 + 1 (bakınız aşağıda ). Set tüm karmaşık sayılar ile gösterilir (kalın dik) ya da ( tahta kalın ).
Reel sayı , bir adlandırılan gerçek parça kompleksi numarası a + çift ; gerçek sayı b denir sanal kısmı arasında bir + bi . Bu Kural olarak, sanal kısmı bir faktör içermez i : dolayısıyla b değil, bi , hayali bir parçasıdır. Bir karmaşık sayının gerçek parçası z ile gösterilmiştir Re ( Z ) ya da ℜ ( Z ) ; bir karmaşık sayı hayali bölümü , z ile gösterilmiştir Im ( Z ) ya da ℑ ( z ) . Örneğin,
Bir reel sayı , bir karmaşık sayı olarak kabul edilebilir a + 0 ı , sanal kısmı 0'dır Saf sanal sayı iki karmaşık sayı 0 + iki gerçek kısmı sıfirdır. Yazmak için ortak bir için bir +0 i ve bi için 0 + bi . Sanal kısmı negatif Bundan başka, yazmak için ortak olan bir - bi ile b > 0 yerine bir + (- b ) i , örneğin, 3-4 ı yerine 3 + (-4) i .
Kartezyen form ve sipariş çiftleri üzerinden tanım
Bir kompleks sayı ve böylece ile tespit edilebilir bir sıralı ikili (Re ( z ), Im ( Z )) Kartezyen düzlemde, bazen Kartezyen formu olarak bilinen bir tanımlama z . Aslında, bir karmaşık sayı olabilir tanımlanmış sıralı bir çift olarak ( a , b ) , ancak daha sonra ek olarak ve çoğalması için kuralları da tanımının bir parçası olarak dahil edilebilir (bakınız , aşağıda ). William Rowan Hamilton karmaşık sayı sistemi tanımlamak için bu yaklaşım getirdi.
Kompleks düzlem
Bir kompleks sayı bir nokta ya da izlenebilir konum vektörü , iki boyutlu bir de kartezyen koordinat sisteminde kompleks düzlem ya da denilen Argand diyagramı (bakınız Pedoe 1988 ve Solomentsev 2001 , adını) Jean-Robert Argand . Sayıları geleneksel dikey olarak yatay bileşeni, ve sanal parçanın (bakınız Şekil 1) gibi gerçek kısmı kullanılarak çizilmiştir. Belirli bir karmaşık sayı tespit için kullanılan bu iki değer dolayısıyla adlandırılmaktadırlar Kartezyen , dikdörtgen ya da cebirsel formu .
Bir konum vektörü ayrıca kökeni ve büyüklüğü ve yönü açısından tanımlanabilir. Bunlar karmaşık Buradaki sayı vurgulanmıştır kutupsal formda . Hesaplamalarda karmaşık sayının kutupsal formu matematiksel sonuçların daha sezgisel yorumlanmasına yol açabilir. Özellikle, ek olarak ve çarpma işlemleri karmaşık sayılar yer vektörlerinin olarak görülmektedir, bir çok doğal bir geometrik karakter bile: ilaveli karşılık gelen vektör ek çarpma bunların büyüklüklerinin çarpılması ve açıları yani birlikte (kendi bağımsız değişken ekleyerek tekabül ederken X ekseni ). Bir karmaşık sayının çarpımı Bu perspektifte i konum vektörü döner tekabül yönünün tersine çeyrek ile sırayla ( 90 ° : kökeni ile ilgili) ( a + bi ) i = ai + bi 2 - = b + ai .
kısaca Tarihçesi
- Ana bölüm: Tarih
(Olmadan radikaller çözüm trigonometrik fonksiyonlar genel kübik denklemin) kare kökleri içeren negatif sayılar her üç kökleri reel sayılar olduğunda, yardımıyla faktoring yoluyla giderilemeyen bir durum rasyonel kök testi küp ise indirgenemez ( sözde 'savaş irreducibilis ). Bu muamma İtalyan matematikçi açtı Gerolamo Cardano onun anlayışı gelişmemiş olmasına rağmen, etrafında 1545 yılında kompleks sayıların gebe.
Genel polinom sorun çalışmaları sonunda yol cebir temel teoremi karmaşık sayılar ile, bir çözelti, her için var olduğunu gösterir, polinom derecesi bir ya da daha yüksek bir denklemi. Kompleks sayılar böylece bir formu cebirsel kapalı alan herhangi polinom denklemi bir sahiptir kök .
Birçok matematikçi Karmaşık sayıların tam gelişimine katkıda bulunmuştur. Toplama, çıkarma, çarpma ve karmaşık sayılar bölünmesi için kurallar İtalyan matematikçi tarafından geliştirilmiştir Rafael BOMBELLI . Karmaşık sayılar için daha soyutlanması ayrıca İrlandalı matematikçi tarafından geliştirilmiştir William Rowan Hamilton teorisine bu soyutlama uzatıldı, quaternions .
Gösterim
O belirsiz bir polinom olduğundan i , bir + ib yerine yazılabilir bir + bi zaman genellikle amaca olan b bir radikaldir. Bazı disiplinlerde, özellikle elektromanyetizma ve elektrik mühendisliği , j yerine kullanılır i beri ben sık kullanılan elektrik akımı . Bu durumlarda karmaşık sayılar olarak yazılır bir + bj veya bir + jb .
Eşitlik ve sipariş ilişkileri
İki karmaşık sayılar eşittir ve ancak eğer hem gerçek ve sanal kısımları eşittir. Yani karmaşık sayılar ve ancak ve ancak eşit ve . Karmaşık sayılar kutupsal formda yazılı ise aynı argüman ve aynı büyüklüğe sahiptir ve ancak, bunlar eşittir.
Karmaşık sayılar doğal olarak iki boyutlu düzlemde mevcut olarak düşünülebilir olduğundan, hiçbir doğal yoktur doğrusal sipariş karmaşık sayılar setinde. Ayrıca, hiçbir orada doğrusal sipariş toplama ve çarpma ile uyumludur karmaşık sayılar üzerinde - karmaşık sayılar bir yapısı olamaz sipariş alanda . Bu sıralı bir alanda herhangi bir kare en az olduğu için olan 0 , ancak ben 2 = -1 .
İlköğretim operasyonlar
eşlenik
Kompleks bir eşlenik kompleks numarası z = x + yi verilir x - yi . Ya ile gösterilir ya da Z * . Bu tekli işlem karmaşık sayılar sadece temel işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme uygulanarak ifade edilemez.
Geometrik olarak, bir "yansıma" arasında z gerçek eksen etrafında. İki kez conjugating orijinal karmaşık sayı verir
hangi bu işlem bir hale getirir involusyonu . Yansıma gerçek bölümünü ve büyüklüğünü hem yaprakları değişmeden, yani
- ve
Sanal kısmı ve bir karmaşık sayının argüman konjugasyon altında işaretini değiştirmek
- ve
Argüman ve büyüklük ile ilgili ayrıntılar için bkz #Polar formu .
Karmaşık sayının ürün ve konjugat her zaman pozitif bir reel sayıdır ve her birinin büyüklüğü karesini eşittir:
Bu özellik, belirli bir payda konjugat ile Pay ve paydayı fraksiyonunun hem genişleterek gerçek payda ile eşdeğer bir fraksiyonuna kompleks payda olan bir bölüm dönüştürmek için kullanılan kullanılabilir. Bu süreç bazen "denir rasyonalizasyon (son ifadede payda irrasyonel gerçek sayı olabilir halde) bir paydada basit ifadelerden kökleri kaldırmak için yöntem andıran çünkü paydanın".
Kompleks numarası gerçek ve sanal parça z konjugasyon kullanılarak ekstre edilebilir:
- ve
ve kendi konjügeyi eşittir yalnızca Ayrıca, eğer bir karmaşık sayı gerçek.
Konjugasyon temel kompleks aritmetik işlemlerin üzerinde dağıtır:
Konjugasyon da kullanılmaktadır Inversive geometrisi , bir çizgi ile ilgili olanlardan daha genel geometri okuyan yansımaları bir dalı. Gelen elektrik devrelerinin ağ analizi , kompleks bir eş zaman eşdeğer empedans bulunmasında kullanılan maksimum güç transferi teoremi aranmaktadır.
Toplama ve çıkarma
İki karmaşık sayılar ve en kolay olan katma ayrı ayrı summands onların gerçek ve hayali parçaları ekleyerek. Demek ki:
Benzer şekilde, çıkarma gibi gerçekleştirilebilir
Karmaşık düzlemde karmaşık sayılar görselleştirme kullanılarak, eklenen aşağıdaki geometrik yorumu vardır: İki karmaşık sayının toplamı ve karmaşık düzlemde noktaları olarak yorumlanır, bir yapı ile elde edilen nokta paralel kenar üç köşeler ve etiketli oklar noktaları ve (bir hat üzerinde olmaması şartıyla). Aynı şekilde, bu kredi çağrı sırasıyla ve paralel kenarın dördüncü noktası üçgenler ve vardır uyumlu . Çıkarma bir görselleştirme negatif ilave dikkate alınarak elde edilebilir çıkanın .
Çarpma işlemi
Gerçek bir parçası olduğundan, sanal kısmı ve belirsiz bir karmaşık sayının içinde kendileri sayıların, iki karmaşık sayılar olarak verildiği gibi kabul edilir ve kuralları çerçevesinde çarpılır dağıtıcı özelliği , değişmeli özellikleri ve tanımlanması özelliği de takip eden yol
Karşılıklı ve bölme
Konjugasyon kullanarak, karşılıklı sıfır olmayan bir kompleks numarası z = x + yi her zaman için bölünebilir
çünkü sıfır olmayan ima sıfırdan büyüktür.
Bu isteğe bağlı bir karmaşık sayının bir bölümü ifade etmek için kullanılabilir , sıfır olmayan bir karmaşık sayı ile olduğu gibi
Kare kök
Karekök bir + bi ile ( b ≠ 0 ) vardır , burada
ve
burada SGN olan sinyalnum fonksiyonu. Bu karesi alınarak görülebilir elde etmek bir + bi . İşte denir modülü arasında bir + bi ve karekök işareti negatif olmayan reel kısmı ile karekökünü gösterir denilen başlıca karekökünü ; Ayrıca nerede
kutupsal formu
Mutlak değer ve argüman
Bir nokta tanımlama için alternatif bir yol P , kompleks düzlemde kullanılarak dışında x - ve y -coordinates gelen noktasının mesafesini kullanmaktır O ,, koordinatları olan nokta (0, 0) ( kökenli ), birlikte arasındaki açı ile pozitif bir reel eksene ve çizgi parçası OP saat yönüne ters yönde. Bu fikir Karmaşık sayıların kutupsal forma yol açar.
Mutlak değeri (ya da modülü ya da büyüklüğü karmaşık sayısı) z = x + il olduğu
Eğer Z bir reel sayı (takdirde, olduğu y = 0 , o) r = | x | . Gerçek bir sayının mutlak değeri bir karmaşık sayı olarak mutlak değerine eşit olduğu.
Mutlak değer kare
burada bir kompleks eşleniği bir
Bağımsız değişken bölgesinin z ( "faz" olarak adlandırılır birçok uygulamalarda) açısıdır yarıçapı OP pozitif reel eksene sahip ve olarak yazılır . Modülü olduğu gibi, bağımsız değişken dikdörtgen şeklinde bulunabilir :
Yukarıda verildiği gibi, normal olarak, temel değer aralığında (-π, π] seçilir. Değerler aralığı [0, 2π) ilave edilmesiyle elde edilir 2n değeri negatif ise. Değeri cp olarak ifade edilir radyan bu yazıda. Bu herhangi bir tamsayı katına çıkabilir 2n ve hala aynı açıyı verir. Olarak Dolayısıyla, arg fonksiyonu bazen kabul edilir birden çok değerli . Karmaşık sayının 0 kutup açısı belirsiz olmakla birlikte, açı 0 keyfi bir seçim yaygındır.
Değeri cp sonucunu eşittir atan2 :
Birlikte, R ve φ karmaşık sayılar, temsil eden bir yöntem sağlamak , polar formu tam düzlemdeki bir noktadan konumunu belirtmek modülü ve değişken kombinasyonu olarak,. Polar bir formundan orjinal dikdörtgen koordinatları kurtarma adlandırılan formül ile yapılır trigonometrik bir şekilde
Kullanılması Euler formülünü bu şekilde yazılabilir
Kullanılması sis fonksiyonu, bu bazen kısaltılır
kutupsal formda Çarpma ve bölme
Çarpma, bölme ve üs için formüller, Kartezyen koordinatlarında, karşılık gelen formüllere göre kutupsal formda basittir. Verilen iki karmaşık sayılar z 1 = r, 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) ve z 2 = R 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) , çünkü trigonometrik kimliklerin
biz elde edebilir
Diğer bir deyişle, mutlak değer çarpılır ve bağımsız değişkenler ürünün polar biçimini üretmek üzere ilave edilir. Örneğin, ile çarparak i bir çeyrek tekabül dönüş geri verir saat yönünün tersine, i 2 = -1 . Sağdaki resim çoğalmasını göstermektedir
Gerçek ve sanal kısmı yana 5 + 5 i eşittir, bu sayının fazı 45 derece ya da π / 4 (içinde radyan ). Öte yandan, kırmızı ve mavi üçgen kökenine açılarının toplamı da vardır olduğunu arctan (1/3) ve sırasıyla arctan (1/2). Böylece, formül
tutar. Olarak açının fonksiyon oldukça verimli bir şekilde yaklaşık olarak hesaplanabilir, bu bilinen şekilde gibi formüller Machin benzeri formüller yüksek hassasiyetli yaklaşık değerler için kullanılan misin tt .
Benzer bir şekilde, bölme ile verilir
Üs
Euler formülü
Euler formülü devletler olduğunu, herhangi bir gerçek sayı için x ,
- ,
burada E bir doğal logaritma tabanı . Bu gözlenmesiyle indüksiyonu ile ispat edilebilir
ve benzeri, ve göz önünde bulundurarak Taylor serisi açılımlarını e ix , çünkü x ve sin x :
Her dizi olduğu için terimlerin yeniden düzenlenmesi haklı kesinlikle yakınsak .
Doğal logaritma
Bu Euler formülünden takip ettiği, herhangi bir karmaşık sayı için z kutupsal formda yazılı
burada r, negatif olmayan bir reel sayı için, olası bir değerdir kompleks logaritma arasında z olduğu
Kosinüs ve sinüs periyodik fonksiyonları için, diğer olası değerler elde edilebilir. Örneğin , her ikisi de ve doğal logaritması için iki olası değerler .
Belirli bir girdi için birden fazla olası değeri varlığı ile başa çıkmak için, kompleks logaritma çok değerli fonksiyonu olan kabul edilebilir
Alternatif olarak, bir dal kesme kompleks logaritmasının bir tek değerli "dal" tanımlamak için kullanılabilir.
Tamsayı ve fraksiyonel üsteller
Biz kimliğini kullanabilir
Aynı şekilde çoklu değerli karmaşık üs tanımlamak için:
Ne zaman n bir tam sayıdır, bu basitleştiren Moivre formülü de :
N inci kökleri arasında z ile verilir
herhangi bir tamsayı için k tatmin 0 ≤ k ≤ n - 1 . İşte n √ (pozitif) olağandır n pozitif reel sayı inci kök r . İse N pozitif bir reel sayı kök inci r olacak şekilde seçilir pozitif gerçek sayı C tatmin c , n = r belirli bir kompleks ayırt eden doğal bir yolu yoktur n karmaşık sayının kök inci. Bu nedenle, n, kök inci z bir şekilde kabul edilir birden çok işlevi (de z olağan fonksiyonu aksine) f olan, f ( Z ) benzersiz tanımlanan bir sayıdır. Gibi formüller
(Pozitif reel sayılar için tutan), karmaşık sayılar için tutamaz genel olarak yapılacak.
Özellikleri
Saha yapısı
Set C karmaşık sayılar bir olan tarla . İlk olarak, herhangi iki karmaşık sayılar ilave edildi ve diğer bir karmaşık sayı üretmek üzere çarpılabilir: Özetle, bu, aşağıdaki gerçekleri sahip olduğu anlamına gelir. İkinci olarak, herhangi bir karmaşık sayı için z'nin onun katkı ters - Z , aynı zamanda kompleks bir sayıdır; ve üçüncü olarak, her sıfır olmayan kompleks sayı bir sahiptir karşılıklı karmaşık sayı. Ayrıca, bu işlem bir dizi yasa, örneğin yasaya komutatiflik herhangi iki karmaşık sayılar için ilave ve çarpma z 1 ve z 2 :
Bu iki kanun ve bir alanda diğer koşulları gerçek sayılar kendilerini bir alan oluşturacak gerçeğini kullanarak, yukarıda verilen formüllerle ispat edilebilir.
Gerçekten mi farklı olarak, Cı bir değildir sıralı alanı , bu bir ilişki tanımlamak mümkün değildir, demek ki Z 1 < z 2 ek ve çarpma ile uyumludur. Aslında, herhangi bir düzenli alanında, herhangi bir elemanın kare zorunlu pozitif, yani i 2 = -1 , bir varlığını engelleyen sipariş üzerine C .
Matematiksel bir konu veya yapı için temel alan kompleks sayı sistemleri olduğunda, konunun adı genellikle gerçeği yansıtacak şekilde değiştirilir. Örneğin: karmaşık analiz , kompleks matris , kompleks polinom ve karmaşık Lie cebir .
polinom denklemlerin çözümleri
Herhangi bir karmaşık sayılar (denilen Verilen katsayılar ) bir 0 , ..., bir n , denklem
en az bir kompleks solüsyonun z , yüksek katsayıları, en az bir olması koşuluyla , bir 1 , ..., bir n sıfırdan farklıdır. Bu beyanı olan cebirin temel teoremi arasında Carl Friedrich Gauss ve Jean le Rond d'Alembert . Bu durum nedeniyle, C bir denir cebirsel kapalı alan . Bu özellik için tutmaz rasyonel sayılar alanında Q (polinom x 2 - 2 beri, rasyonel bir kök yoktur √ rasyonel sayı değildir), ne de gerçek sayılar R (polinom x 2 + a sahip değil için gerçek kök , bir > 0 karesi beri, x herhangi bir gerçek sayı için pozitif olması x ).
Gibi analitik yöntemlerle ya bu teoremin çeşitli deliller vardır Liouville teoremi veya topolojik gibi olanlar sarma numara veya birleştirerek bir kanıtı Galois teorisi ve herhangi gerçek polinom gerçeğini garip derecede en az bir gerçek kök vardır.
cebirsel karakterizasyonu
Alan Cı aşağıdaki üç özelliklere sahiptir: İlk olarak, sahip olduğu karakteristik 0 değerini Bu demektir ki, 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 (bir eşit, her biri) summands herhangi bir sayı için. İkincisi, onun aşma derecesi üzerinde Q , asal alan bir C olduğu sürekliliğinin kardinalitesi . Üçüncüsü, bir cebirsel kapalı (yukarıya bakınız). Özelliklere sahip olan herhangi bir alan olduğu gösterilebilir izomorfik için (bir alan olarak) C . Örneğin, cebirsel kapatma bölgesinin S p (ancak topolojik alanları gibi alanlar gibi), aynı zamanda, bu üç özellikleri taşıyorsa, bu nedenle bu iki alanın izomorfik. Aynı zamanda, Cı kompleksi alanında izomorf Puiseux serisi . Ancak, bir izomorfizm belirterek gerektirir seçme aksiyomu . Bu cebirsel karakterizasyonu diğer bir sonucu olduğunu C izomorf olan birçok uygun alt alanlara içeren C .
Topolojik alanı olarak karakterizasyonu
Önceki karakterizasyonu C yalnızca cebirsel yönlerini tarif C . Yani özellikleri, demek ki yakınlığı ve süreklilik gibi alanlarda önemli, analiz ve topoloji , ele alınmamıştır. Aşağıdaki açıklama C bir şekilde topolojik alan (yani, bir ile donatılmış bir alandır topoloji yakınsama kavramını sağlar) topolojik özellikler dikkate alır. Cı- bir alt grubu içeren P , aşağıdaki üç koşulları karşılayan sıfır olmayan elemanları (pozitif gerçek sayılar yani resim):
- P ekleme, çarpma, alma terslerinin altında kapalıdır.
- Eğer X ve Y ayrı elemanlardır P , o zaman her iki X - Y veya Y - X olan P .
- Eğer S herhangi boş olmayan bir alt kümesi olup , P , daha sonra S + P = x + p bazıları için , x in C .
Herhangi bir alan K , bu özelliklere sahip olan bebekler alarak topolojisi ile donatılmış olabilir B ( x , p ) = { y | p - ( y - x ) ( y - x ) * ∈ P } bir şekilde bir baz , X alanı üzerinde değişmektedir s boyunca aralıklar P . Bu topoloji ile F bir şekilde izomorftur topolojik için sahada C .
Sadece bağlı yerel kompakt topolojik alanlar şunlardır R ve C . Bu bir başka karakterizasyonu verir C , çünkü bir topolojik alan olarak Cı ayırt edilebilir R , sıfır olmayan karmaşık sayılar, çünkü bağlanmış sıfırdan farklı gerçek sayılar değil iken.
Biçimsel yapı
sipariş çiftleri olarak İnşaat
Grubu Cı karmaşık sayılar grubu olarak tanımlanabilir R 2 arasında sıralı çiftleri ( a , b ) Toplama ve çoğalması için aşağıdaki kurallar empoze edildiği gerçek sayılar,:
Daha sonra ifade etmek gösterimde meselesi olduğunu ( a , b ) olarak bir + bi .
Bir bölüm alanı olarak İnşaat
Bu düşük seviyeli yapı doğru karmaşık sayılar yapısını tarif etmez de, aşağıdaki eşdeğer tanımı cebirsel doğasını ortaya çıkarır, C daha hemen. Bu karakterizasyon alanları ve polinomların kavramına dayanır. Bir alan rasyonel sayılar, diyelim ki, tanıdık olduğu gibi davranırlar toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri sahip kümesidir. Örneğin, dağıtım hukuk
herhangi bir üç elemanları için geçerli olmalıdır , x , y ve z bir alanın. Set R reel sayıların bir alan oluşturmak yapar. Bir polinom p ( X ) gerçek ile katsayıları şeklinde bir ifadesidir
- ,
Karmaşık sayılar grubu olarak tanımlanır bölüm halka R, [ X ] / ( x 2 + 1) . Bu uzantı alanı, iki kare kök içeren -1 , yani ( Kosetler arasında) X ve - X , sırasıyla. (Arasında Kosetler) 1 ve X, bir temel oluşturan R [ X ] / ( x 2 + 1) gerçek olarak vektör alan uzatma alanının her öğe, eşsiz bir şekilde yazılabilir anlamına gelir, lineer kombinasyonu , bu iki eleman içinde . Aynı şekilde, uzantı alanı unsurları sıralı çiftleri olarak yazılabilir ( a , b ) reel sayılar. Çünkü bölüm halkası, bir alandır x 2 + 1 olduğu indirgenemez fazla R , bu nedenle oluşturur idealdir maksimal .
Halka içinde ek ve çoğalması için formüller R [ X ] , ilişki modulo X 2 = 1 sıralı çiftleri olarak tanımlanmış bir kompleks sayı ilavesi ve çoğalması için formüllere karşılık gelir. Yani alan iki tanımları C olan izomorf (alanlar gibi).
Karmaşık sayıların matris gösterimi
Kompleks sayılar , bir + iki tarafından da temsil edilebilir 2 × 2 matrisler aşağıdaki biçime sahiptir:
İşte girişleri a ve b reel sayılardır. İki tür matrislerin toplamı ve ürün bu formun yine, ve karmaşık sayılar toplamı ve ürün toplamı ve karşılık gelen bir ürün bu matrisler, ürün varlığının:
Karmaşık sayıların çarpılması geometrik tanımı da ifade edilebilir dönüş matrisler karmaşık sayı ve bu matrisler arasındaki yazışma kullanılarak gerçekleştirilir. Ayrıca, bir karmaşık sayının mutlak değerinin kare bir matris eşittir olarak ifade belirleyici bu matrisin:
Konjugat tekabül devrik matris.
Matrisleri ile karmaşık sayılar bu temsilidir rağmen en yaygın, diğer birçok gösterimleri matrisleri kaynaklanan dışındaki bir negatif o meydanda kimlik matrisinin . İle ilgili makaleye bakın 2 × 2 reel matrisler kompleks sayıların diğer beyanlar.
Karmaşık analiz
Karmaşık fonksiyonlarda çalışma olarak bilinen kompleks analiz ve büyük pratik bir kullanımı vardır uygulamalı matematik olarak matematik diğer dalları. Çoğu zaman, içinde tablolar için en doğal deliller gerçek analiz ve hatta sayılar teorisi kompleks analiz (bkz gelen tekniklerini kullanan asal sayı teoremi bir örnek için). Genel olarak iki boyutlu bir grafik olarak temsil edilir gerçek fonksiyonlar, farklı olarak, kompleks fonksiyonlar dört boyutlu grafikler ve yararlı bir renk kodlu ile izah edilebilir , üç boyutlu bir grafik dört boyutu önermek veya kompleks fonksiyon dinamik dönüşümü hareketlendirerek kompleks düzlem.
Kavramları yakınsak serisi ve sürekli fonksiyonların (gerçek) analizde kompleks analiz doğal analogları vardır. Karmaşık bir sayı dizisi söylenir yakınsama ve gerçek ve sanal parça yapmak modelledik. Bu eşdeğerdir limitlerinin (ε, δ) definition gerçek sayılar mutlak değeri, karmaşık sayılar biriyle değiştirilir. Görünüşünün daha soyut açıdan, Cı , sahip metrik
herhangi iki karmaşık sayılar için z 1 ve Z 2 .
Gerçek trigonometrik fonksiyonlar tanımlayarak serisi sinüs ve kosinüs gibi hiperbolik fonksiyonlar SINH ve Cosh, ayrıca değişiklik olmaksızın karmaşık argümanları aktarılır. Gibi diğer trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar için teğet tanımlayan serisi tüm karmaşık değerleri için yakınsama yok gibi, işler biraz daha karmaşık. Bu nedenle, tek bir yöntemi kullanarak, eşdeğer sinüs, kosinüs ve üstel veya açısından bunları ya tanımlamalıdır analitik devamında .
Euler formülü belirtir:
Herhangi bir gerçek sayı için cp , özellikle
Gerçek sayılar durumda farklı olarak, bir orada sonsuzluk karmaşık çözümler arasında z denkleminin
herhangi bir karmaşık sayı için ağırlık ≠ 0 . Tür bir çözüm olduğu gösterilebilir z -bunlara kompleks logaritma arasında ağırlık -satisfies
Arg olduğu argüman tanımlandığı yukarıda ve (gerçek) ln doğal logaritması . Arg bir olduğu gibi çok değerli fonksiyon sadece 2 'lik bir katına kadar eşsiz, π , günlük de birden çok değerli olduğunu. Temel değer günlük sıklıkta sanal kısmı sınırlayan alınır aralığı (-π, π] .
Kompleks üs z ω olarak tanımlanmaktadır
ve dışında, multi-değerli bir tamsayıdır. İçin co = / 1 , n , bir doğal sayı için n , bu olmayan teklik kurtarır n yukarıda belirtilen kökler inci.
Kompleks sayılar, gerçek sayılar aksine etmediklerinin genel değiştirilmemiş güç ve logaritma kimliklerini, özellikle safça-tek değerli işlevleri olarak kabul tatmin; bkz güç ve logaritma kimliklerin başarısızlığını . Örneğin, uymaz
Denklemin iki tarafı burada verilen karmaşık üs tanımına göre birden çok değerli olan ve soldaki değerler sağda olanların bir alt kümesidir.
Holomorfik fonksiyonlar
Kompleks analiz gerçek analizde belirgin bazı özellikleri göstermektedir. Örneğin, herhangi iki holomorfik fonksiyonları f ve g bir keyfi küçük üzerinde anlaşmaya açık alt bölgesinin C mutlaka her kabul eder. Meromorfik fonksiyonlar , lokal olarak yazılabilir fonksiyonları f ( z ) / ( z - z 0 ) n bir holomorf fonksiyon ile f , yine Holomorfik fonksiyonların bazı özellikleri paylaşır. Diğer fonksiyonlar sahip temel tekillik gibi, sin (1 / z ) de z = 0 .
Uygulamalar
Kompleks sayılar gibi bilimsel ve ilgili alanlarda, çeşitli temel beton uygulamalar sahip sinyal işleme , kontrol teori , elektromanyetizma , sıvı dinamiği , kuantum mekaniği , kartoğrafya ve titreşim analizi . Karmaşık sayıların bazı uygulamalar şunlardır:
Kontrol teorisi
Olarak kontrol teori , sistemler genellikle dönüştürülmüş olan zaman alanına için frekans alanında kullanarak Laplace dönüşümü . Sistemin sıfırlar ve kutuplar sonra analiz edilir karmaşık düzlemde . Köklerin geometrik , Nyquist arsa ve Nichols arsa teknikleri tüm karmaşık düzlemde faydalanmak.
Kök yer eğrisi yöntemi, sıfırlar ve kutuplar, yani sol veya sağ yarım düzlemlerde olduğundan daha büyük veya sıfırdan küçük gerçek kısmı olup olmadığı önemlidir. lineer, zamanla değişmeyen (LTI) sistemi olan kutup varsa
- Sağ yarım düzlemde, öyle olacak kararsız ,
- Bütün sol yarım düzlemde, öyle olacak kararlı ,
- Hayali eksen, bir olacaktır marjinal stabilite .
Bir sistem sağ yarım düzlemde sıfır varsa, bir olduğunu , minimum faz sistemi.
Genelleştirilmiş integraller
Uygulamalı alanlarda, karmaşık sayılar genellikle belirli reel değerli hesaplamak için kullanılan uygunsuz integraller kompleks değerli fonksiyonları vasıtasıyla,. Çeşitli yöntemler Bunu yapmak için vardır; bkz kontur entegrasyon yöntemleri .
Akışkan dinamiği
Dinamik denklemler
Olarak diferansiyel denklemler , her şeyden önce karmaşık kökleri bulmak için ortak olan r ait karakteristik denkleminin a lineer diferansiyel denklem veya denklem ve form baz fonksiyonları açısından sistemini çözmek için girişimi f ( t ) = E , oda sıcaklığında . Benzer bir şekilde, fark denklemleri , kompleks kökler R fark denklemi sistemin karakteristik denkleminin bir şekilde taban fonksiyonları açısından sistemi gidermek için yapılan kullanılır f ( t ) = R t .
Elektromagnetizma ve elektrik mühendisliği
Gelen elektrik mühendisliği , Fourier dönüşümü değişen analiz etmek için kullanılır gerilimleri ve akımları . Tedavi dirençler , kapasitörler ve endüktörlerin daha sonra ikinci iki hayali, frekansa bağlı dirençlerin sokulması ve adı verilen tek bir karmaşık sayı her üç birleştirerek birleşik olabilir empedans . Bu yaklaşım denir fazör hesabı.
Elektrik Mühendisliği olarak, hayali bir birim ile gösterilir j ile karışıklığı önlemek için, I göstermek için kullanımı genel olarak, elektrik akımı daha özel olarak, ya da, Ben anlık elektrik akımı belirtmek için kullanımı genel olarak,.
Ölçülebilir miktar elde etmek için, gerçek kısmı alınır:
Karmaşık-değerli bir sinyal olarak adlandırılır analitik gerçek-değerli, ölçülebilir bir sinyal gösterimi .
Sinyal analizi
Kompleks sayılar kullanılan sinyal analizi periyodik olarak değişen sinyalleri için uygun bir açıklama için ve diğer alanlarda kullanılmaktadır. Çoğu zaman karmaşık fonksiyonları gelen sinüs ve cosines açısından, gerçek bir fiziksel miktarlar temsil verilen gerçek işlevini yapar kabul edilir için gerçek parçalar orijinal miktarlardır. Bir için sinüs dalgasının belirli bir bölgesinin sıklığı , mutlak değer | z | karşılık gelen z olan genlik ve bağımsız değişken arg ( z ) olduğu faz .
Eğer Fourier analizi , periyodik fonksiyonların bir toplamı olarak verilen bir gerçek değerli sinyal yazmak için kullanılır, bu periyodik fonksiyonlar genellikle formun kompleks değerli fonksiyonların olarak yazılır
ve
ω temsil eder açısal frekans ve karmaşık sayı bir yukarıda açıklandığı gibi faz ve genlik kodlar.
Bu kullanımı da içine uzatılır dijital sinyal işleme ve dijital görüntü işleme Fourier analizi (ve dijital versiyonlarını kullanan, dalgacık analizi), iletmek için sıkıştırmak , geri yükleme ve aksi işlemek dijital ses hala sinyalleri, resimler ve görüntü sinyallerini.
İki yan bantları ile ilgili diğer bir örnek, genlik modülasyonu AM radyo etmektedir:
Kuantum mekaniği
Kompleks sayı alanı için esas olan kuantum mekaniği matematiksel formülasyonlar kompleksi, Hilbert uzayları en standart belki uygun ve kolay böyle bir formülasyon için bağlam sağlar. Kuantum mekaniği-orijinal vakıf formülleri Schrödinger denklemi ve Heisenberg'in matris mekaniği -hukukun karmaşık sayılar kullanımı.
izafiyet
Gelen özel ve genel görelilik üzerinde metrik için bazı formüller uzay- tek hayali olmaya uzay-zaman sürekliliğinin zaman bileşeni alırsa daha basit hale gelir. (Bu yaklaşım artık klasik görelilikte standarttır, ancak önemli bir şekilde kullanılan içinde kuantum alan teorisinin .) Karmaşık sayılar için gerekli olan spinörleri bir genelleme vardır, tensörlerle görelilikte kullandı.
Geometri
Şekiller
Üç kolineer olmayan noktalar düzleminde tespit şekli üçgen . Kompleks düzlemde noktaları yerlerinin, bir üçgen bu şekil gibi karmaşık aritmetik ile ifade edilebilir
Şekil kompleks düzlem (bir çevirisini veya dilatasyon ile transforme edildiğinde, bir üçgenin aynı kalır benzeşik transformasyon ) şeklin sezgisel kavramına uygun ve tarif, benzerlik . Bu nedenle, her bir üçgen bir olan benzerlik sınıfı , aynı şekle sahip üçgenler.
Fraktal geometri
Mandelbrot kümesi kompleks düzlemde oluşturulan bir fraktal popüler bir örnektir. Her bir konum çizilerek tanımlandığı sekansı yineleme etmez sapmak zaman tekrarlanır sonsuz. Benzer şekilde, Julia setleri durumlar hariç, aynı kurallara sahip sabit kalır.
üçgenler
Her üçgen benzersiz vardır Steiner inellipse -bir elips üçgenin üç tarafı orta noktalarından için üçgen ve teğet içeride. Odaklar , aşağıdaki gibi bir üçgen Steiner inellipse ile uyumlu olarak, bulunabilir Marden teoreminin : kompleks düzlemde üçgenin köşe Ifade bir = x A + y A i , B = x B + y B i ve C = X C + y Cı i . Yazın kübik denklemi onun türevini almak, ve sıfıra türev (kuadratik) eşit. Marden Teoremi Bu denklemin çözümleri Steiner inellipse iki odaklarının yerlerini gösteren karmaşık sayılar olduğunu söyler.
Cebirsel sayılar teorisi
Yukarıda zikredildiği gibi, (karmaşık katsayıları) herhangi bir sabit olmayan polinom bir çözüm vardır C . Denklemi rasyonel katsayıları varsa Bir ziyade, aynı durum geçerlidir. Böyle denklemlerin kökleri denir cebirsel sayılar - onlar çalışmanın ana amacı vardır cebirsel sayılar teorisi . Kıyasla Q , cebirsel kapatılması Q , tüm cebirsel numaralarını içeren, Cı geometrik açısından kolay anlaşılır olma avantajına sahiptir. Bu şekilde, cebirsel yöntemler, geometrik sorular ve tersi incelemek için kullanılabilir. Daha özel olarak makine uygulanması cebirsel yöntemler ile, alan teorisine için sayı alanının içeren birlik kökleri , düzenli inşa etmek mümkün olmadığı gösterilebilir nonagon sadece pusula ve mastar kullanılarak saf geometrik - sorun.
Analitik sayılar teorisi
Onlar analitik yöntemler kullanılabileceği karmaşık sayılar, olarak kabul edilebileceği gerçeğine yararlanarak Analitik sayılar teorisi çalışmaları sayılar, genellikle tamsayılar ya rationals. Bu kompleks değerli fonksiyonlarda sayı-teorik bilgileri kodlayarak yapılır. Örneğin, Riemann zeta fonksiyonu ζ ( ler ) dağılımı ile ilgili olup, asal sayılar .
Tarihçe
İçin en erken kısacık referans köklerini kare arasında negatif sayılar belki çalışmalarına oluştuğu söylenebilir Yunan matematikçi İskenderiye Kahramanı 1. yüzyıla içinde MS onun içinde, Stereometrica o görünüşte yanlışlıkla, gördüğü imkansız bir hacmi kesik arasında bir piramit vadede ulaşmak için negatif miktarlar içinde tasavvur değil, ancak, onun hesaplamalarda Helenistik matematik ve Heron sadece (olumlu ederek yerini ).
Zaman kendisi ilk 16. yüzyılda ortaya çıkan itici gücü bir konusu olarak karmaşık sayıları incelemek için cebirsel çözümler köklerine için kübik ve quartic polinomların İtalyan matematikçi (bkz tarafından keşfedildi Niccolò Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Yakında bir gerçek çözümleri sadece ilgilenen bile bu formüller, bazen olumsuz sayıların kare köklerinin manipülasyon gerekli olduğu anlaşıldı. Bir örnek olarak, bir form kübik denklem için Tartaglia formülü denklemi çözüm veren x 3 = x olarak
İlk bakışta bu saçma gibi görünüyor. Bununla birlikte karmaşık sayılar ile resmi hesaplamalar denklemi göstermektedir z 3 = i çözümler vardır - ı , ve . İçin sırayla bu ikame Tartaglia en kübik formülde ve basitleştirilmesi, bir 0, 1 olur ve -1 çözeltiler gibi x 3 - x = 0 . Tabii bu özel denklemi bakışta çözülebilir ancak genel formüller sonra matematikçiler titizlikle gösterdi, sonra gerçek kökleri ile kübik denklemleri çözmek için kullanıldığında, karmaşık sayı kullanımı olduğunu göstermektedir gelmez kaçınılmazdır . Rafael BOMBELLI açıkça kübik denklemlerin bu görünüşte paradoksal çözümler hitap eden ilk oldu ve bu sorunların çözümü için çalışıyoruz karmaşık aritmetik için kurallar geliştirdi.
Bu miktarlar için "hayali" terimi tarafından icat edildi René Descartes onların hayali doğasını vurgulamak için ağrıları olmasına rağmen, 1637 yılında
[...] bazen sadece hayali, ben her denklemde söylediği gibi biri gibi birçok hayal edebiliyorum, ama bazen hayal olanı maçları hiçbir miktar vardır.
([...] quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en IMAGINER autant que j'ai dit tr chaque denklemi, mais qu'il n'ya quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu 'üzerine düşünün.)
Karışıklık bir başka kaynağı denklem oldu cebirsel kimliği ile keyfi olarak tutarsız gibiydi negatif olmayan gerçek sayılar için geçerlidir, a ve b , ve aynı zamanda bir ile karmaşık sayı hesaplamalarda kullanılmıştır bir , b pozitif ve diğer olumsuz. Bu kimlik (ve ilgili kimlik yanlış kullanımı durumunda) hem de bir ve b negatif olsa bile Euler çileden. Bu zorluk sonunda özel sembol kullanarak kongre yol açtı ı yerine √ bu hatadan korunmak için. Buna rağmen, Euler doğal çok daha erken şu anda olduğu daha karmaşık sayılar öğrencilere tanıtmak düşündü. Onun temel cebir metin kitabında, Cebri Elements , neredeyse aynı anda bu numaraları tanıtır ve ardından boyunca doğal bir şekilde bunları kullanır.
Karmaşık ifadelerin resmi manipülasyon trigonometrik fonksiyonlar içeren hesaplamaları basitleştirmek için kullanılabileceği fark edilmiştir olarak 18. yüzyılda karmaşık sayılar, geniş kullanım kazanmıştır. Örneğin, 1730 yılında Abraham de Moivre karmaşık kimlikler sadece kendi adını taşıyan aşağıdaki tanınmış formülü ile yeniden ifade edilebileceğine dair açının trigonometrik fonksiyonlar güçlere bir açı tam katları arasında trigonometrik fonksiyonlar ile ilgili olduğunu kaydetti de Moivre formülü :
resmen karmaşık manipüle ederek güç serileri ve bu formül daha basit üstel kimlikler için herhangi trigonometrik kimliğini azaltmak için kullanılabileceği görülmüştür.
(Karmaşık düzlemde bir nokta olarak karmaşık sayının fikri yukarıda ) ilk tarafından tarif edilmiştir Caspar Wessel o kadar erken 1685 olarak beklenen olmuştu, ancak 1799 yılında Wallis ' De Cebir Tractatus'un .
Wessel anı Proceedings of göründü Kopenhag Akademisi ama büyük ölçüde fark etti. 1806 yılında Jean-Robert Argand bağımsız bir şekilde, karmaşık sayılar bir broşür verilmiş ve sıkı bir kanıtı temin cebir temel teoremi . Carl Friedrich Gauss daha önce esasen yayınladığı topolojik 1797 yılında teoremin kanıtını ama "-1 karekökü gerçek metafizik" hakkında zamanda onun şüpheleri dile getirdi. Onun bu şüpheleri üstesinden ve büyük ölçüde modern bir gösterim ve terminoloji oluşturulması, düzlemde noktaları olarak karmaşık sayılar üzerine tez yayınladığı 1831 yılına kadar değildi. 19. yüzyılın başlarında, diğer matematikçiler bağımsız Karmaşık sayıların geometrik gösterimi keşfetti: buée, Mourey , Warren , Français ve kardeşi Bellavitis .
İngiliz matematikçi GH Hardy gibi matematikçiler rağmen Gauss 'gerçekten emin ve bilimsel bir şekilde' karmaşık sayılar kullanan ilk matematikçi olduğunu belirtti Niels Henrik Abel ve Carl Gustav Jacob Jacobi Gauss yaptığı 1831 inceleme yayınladı rutin önce mutlaka bunları kullanıyorlardı. Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann birlikte temel fikir getirilen kompleks analiz Cauchy durumda 1825 civarında başlayan, bir tamamlama yüksek duruma.
Teoride kullanılan ortak terimler esas kurucuları kaynaklanmaktadır. Argand adı yönü faktörü ve modülüne ; (1828), Cauchy adı indirgenmiş formu (l'ekspresyon réduite) ve görünüşe göre terimi kişiye argüman ; Gauss kullanılan i için terimi kişiye karmaşık sayı için bir + bi ve adı verilen bir 2 + b 2 normu . Sentezleme yön katsayısı genellikle kullanılan, , Hankel (1867) ve bağlı olduğu mutlak değer, için modülü, Weierstrass kaynaklanmaktadır.
Alan uzanan bir işlem R için reals C olarak bilinir Cayley- Dickson yapı . Bu, sonuçta yüksek boyutlara daha yapılabilir quaternions H ve oktonyonu O sırasıyla boyut 4 ve 8 (a gerçek vektör alanı olarak). Bu bağlamda karmaşık sayılar denir edilmiştir binarions .
Sadece özelliğini real için konstrüksiyon uygulanarak olarak sipariş kaybolur, gerçek ve karmaşık sayılar tanıdık özellikleri, her uzantılı kaybolur. Kuaternionlar : örneğin, değişmeli kaybeder x · y ≠ Y · x bazı Kuaternionlar için x , y , ve çoğalması oktonyon cebirleri değişmeli olmayan ilave olarak, birleştirici olduğu başarısız: ( x · y ) · Z ≠ x · ( y · Z ) bazı oktonyonu için x , y , z .
Reals, karmaşık sayılar, kuaterniyonlar ve oktonyonu tüm olan bölme cebirlerini normlu fazla R . By Hurwitz teoremi sadece olanlardır; sedenions , Cayley-Dickson yapımında bir sonraki adım bu yapıya sahip olduğu başarısız olur.
Bazı sabit karmaşık sayısı ağırlık bir ile temsil edilebilir 2 × 2 matris (bir kez bir temel seçilmiştir). Esasına göre birlikte (1, ı ) bu matrisi
: Kare kimlik matrisinin negatif özelliğine sahip J 2 - = ı . Sonra
Ayrıca alan izomorf C ve alternatif bir kompleks yapı verir R 2 . Bu kavramı ile genelleştirilmiş doğrusal kompleks yapı .
Hypercomplex sayılar da generalize R , C , H ve O . Örneğin, bu kavram içeren ayrık karmaşık sayılar halka elemanı olan, R, [ X ] / ( x 2 - 1) (karşıt olarak R [ X ] / ( x 2 + 1) ). Bu halkada, denklem , bir 2 = 1 dört çözümler vardır.
Alan R tamamlanmasıdır Q , alanında rasyonel sayı her zaman ile ilgili olarak, mutlak değer metrik . Diğer seçenekler metrik üzerindeki S fields kurşun S p ve p -adic numaraları (herhangi asal sayı p ve böylece benzer olan), R . Tamamlama başka aşikar olmayan yollar vardır Q daha R ve Q, p ile, Ostrowski teoremi . Cebirsel kapaklar arasında S p hala normuna sahip ancak (aksine C ), buna göre tam değildir. Tamamlama bölgesinin üzerinden döner cebirsel kapalı olması. Bu alan adı verilir p kıyas yoluyla -adic kompleks sayılar.
Alanları R ve Q, p ve da dahil olmak üzere, sonlu alan uzantıları, C , olan , yerel alanlar .
Ayrıca bakınız
|Wikimedia Commons ile ilgili çoklu ortam kategorisi bulunur Kompleks sayılar .|
- cebirsel yüzey
- karmaşık sayılar kullanılarak dairesel hareket
- Kompleks-baz sistemi
- Karmaşık şekilli
- Karmaşık karekök
- Eisenstein tamsayı
- Euler özdeşliği
- Gauss tamsayı
- Riemann küresi (genişletilmiş kompleks düzlem)
- birlik Kök
- Birim karmaşık sayı
notlar
Referanslar
Matematiksel referanslar
- Ahlfors Lars (1979), kompleks analiz (3.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
- Conway, John B. (1986), Bir Kompleks değişkenli fonksiyonlar I , Springer, ISBN 0-387-90328-3
- Joshi Kapil D. (1989), ayrık Matematik Temelleri , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-21152-6
- Pedoe Dan (1988), Geometri: Kapsamlı bir ders , Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling WT; Flannery, BP (2007), "Bölüm 5.5 Kompleks Aritmetik" , Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanat Cambridge University Press: (. 3. baskı), New York ISBN 978-0-521-88068-8
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Karmaşık sayı" , içinde Hazewinkel, Michiel , Matematik Ansiklopedisi , Springer BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Tarihsel referanslar
- Burton, David M. (1995), Matematik Tarih (3 ed.), New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-009465-9
- Katz, Victor J. (2004), Matematik, Kısa Versiyon A History , Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-16193-2
-
Nahin, Paul J. (1998), Hayali Hikayesi: Öyküsü , Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1
- Karmaşık sayıların tarihinin kolay bir başlangıç ve karmaşık analiz başlangıçlar.
-
HD Ebbinghaus; H Hermes; F. Hirzebruch; M. Koecher; K. Mainzer; J. Neukirch; A. Prestel; R. Remmert (1991), sayı (ciltli ed.), Springer, ISBN 0-387-97497-0
- sayı kavramının tarihsel gelişimi üzerine gelişmiş bir bakış açısı.
daha fazla okuma
- Gerçeklik Giden Yol: Evrenin Yasaları A Complete Guide tarafından, Roger Penrose ; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8 . Yoğun (ve heyecanla) karmaşık sayılar, özellikle bir anlaşma bölümler 4-7.
- Bilinmeyen Adet: Cebir Bir Gerçek ve Sanal Tarih John Derbyshire tarafından; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (ciltli 2006). Polinom denklemleri ve modern cebir yapılarını çözme vurgu ile çok okunabilir tarih.
- Görsel Kompleks Analiz ile Tristan Needham ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (ciltli, 1997). Karmaşık sayılar, ilgi çekici ve kullanışlı görsel yorumlarla kompleks analiz Tarihi.
- Conway, John B., bir Karmaşık Değişken I'in fonksiyonları (Matematik Derecesi Metinler), Springer; 2 edition (12 Eylül 2005). ISBN 0-387-90328-3 .
|Vikiversite hakkında bilgi kaynağı vardır Kompleks Sayılar|
|: Vikikitap'ın konusunda bir kitabı var Matematik / Karmaşık sayılar|
|Vikikaynak metnini sahiptir 1911 Britannica Ansiklopedisi makale sayısı / Kompleks Sayılar .|
- Hazewinkel Michiel , ed. (2001) [1994], "Karmaşık sayı" , Matematik Ansiklopedisi , Springer BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Han Akademisi Kompleks Sayıların giriş
- Hayali Numaraları üzerinde In Our Zamanda at BBC
- Denklem Roots üzerine Euler Araştırmalar Yakınsama de. MAA Matematik Bilimleri Dijital Kütüphane.
- Karmaşık Sayılar sayesinde John ve Betty Yolculuğu
- Boyutlar: matematik filmi. Bölüm 5 karmaşık aritmetik ve giriş niteliği taşıyor stereografik projeksiyon . Bölüm 6 Kompleks düzlemin dönüşümleri tartışır, Julia setleri ve Mandelbrot set .