Güven aralığı - Confidence interval
Olarak istatistik , bir güven aralığı ( CI ) bir tür tahmin ölçülen verilerden hesaplanır. Bu, bilinmeyen bir parametre için bir dizi değer verir (örneğin, bir popülasyon ortalaması). Aralık, araştırmacı tarafından seçilen ilişkili bir güven düzeyine sahiptir . Belirli bir örneklemdeki belirli bir tahmin için daha yüksek bir güven düzeyi kullanmak daha geniş (yani daha az kesin) bir güven aralığı oluşturur. Genel anlamda, bilinmeyen bir parametre için bir güven aralığı, karşılık gelen bir tahmin edicinin dağılımının örneklenmesine dayanır .
Bu, güven seviyesinin , bilinmeyen popülasyon parametresinin gerçek değerini içeren güven aralıklarının teorik uzun dönemli sıklığını (yani oranı) temsil ettiği anlamına gelir . Başka bir deyişle, %90 güven düzeyinde hesaplanan güven aralıklarının %90'ı parametreyi, %95 güven düzeyinde hesaplanan güven aralıklarının %95'i parametreyi, %99 güven düzeyinde hesaplanan güven aralıklarının %99'u aşağıdakileri içerir: parametre vb.
Veriler incelenmeden önce güven düzeyi belirlenir. En yaygın olarak, %95 güven düzeyi kullanılır. Ancak, bazen %90 veya %99 gibi diğer güven seviyeleri kullanılır.
Güven aralığının genişliğini etkileyen faktörler, örneğin boyutunu, güven düzeyini ve örnekteki değişkenliği içerir. Daha büyük bir örnek, diğer tüm faktörler eşit olduğunda, popülasyon parametresinin daha iyi bir tahminini üretme eğiliminde olacaktır. Daha yüksek bir güven seviyesi, daha geniş bir güven aralığı üretme eğiliminde olacaktır.
Güven aralığı biçimini ifade etmenin başka bir yolu, iki parametreden oluşan bir settir: (nokta tahmini – hata sınırı, nokta tahmini + hata sınırı) veya sembolik olarak (–EBM, +EBM) olarak ifade edilir , burada (nokta tahmini) bir m (popülasyon ortalaması) için tahmin ve EBM, bir popülasyon ortalaması için hata sınırıdır.
Hata payı (EBM) güven düzeyine bağlıdır.
Kesin bir genel tanım:
Rastgele değişkenlerin gerçekleştirilmesi olarak modellenen bir veri kümesinin verildiğini varsayalım . Let ilgi parametresi, ve olmayacak örnek istatistiklerini orada varsa, 0 arasında bir sayı ve 1. ve öyle ki:
her değeri için
sonra , nerede ve , için bir güven aralığı olarak adlandırılır . Numara denir güven seviyesi .
kavramsal temel
Tanıtım
Aralık tahmini , nokta tahmini ile karşılaştırılabilir . Nokta tahmini, ilgilenilen bir popülasyon parametresinin tahmini olarak verilen tek bir değerdir, örneğin bir miktarın ortalaması. Bir aralık tahmini, bunun yerine parametrenin içinde bulunduğu tahmin edilen bir aralığı belirtir. Güven aralıkları, tahminlerin güvenilirliğini göstermek için genellikle aynı parametrelerin nokta tahminleriyle birlikte tablolarda veya grafiklerde rapor edilir .
Örneğin, anket sonuçlarının ne kadar güvenilir olduğunu açıklamak için bir güven aralığı kullanılabilir. Bir seçim-oylama niyetleri anketinde, ankete katılanların %40'ının belirli bir partiye oy verme niyetinde olduğu sonucuna varılabilir. Ankette aynı amaca sahip tüm popülasyondaki oran için %99 güven aralığı %30 ile %50 arasında olabilir. Aynı verilerden, bu durumda %37 ile %43 arasında olabilecek %90'lık bir güven aralığı hesaplanabilir. Bir güven aralığının uzunluğunu belirleyen önemli bir faktör , tahmin prosedüründe kullanılan örneğin büyüklüğü, örneğin bir ankete katılan kişi sayısıdır.
Anlam ve yorum
Bir güven aralığının çeşitli yorumları verilebilir (aşağıda örnek olarak %90 güven aralığı alınır).
- Güven aralığı, numuneler (veya tekrarlanan numuneler ) cinsinden ifade edilebilir : " Bu prosedür çok sayıda numune üzerinde tekrarlanacak olsaydı, gerçek popülasyon parametresini kapsayan hesaplanan güven aralıklarının (her numune için farklılık gösterecek olan) fraksiyonu doğru eğilim gösterirdi. %90."
- Güven aralığı, tek bir örnekle ifade edilebilir: " Gelecekteki bir deneyden hesaplanan güven aralığının, popülasyon parametresinin gerçek değerini kapsama olasılığı %90'dır ." Bu, popülasyon parametresi değil, güven aralığı hakkında bir olasılık ifadesidir. Bu, tedavilerin çalışma öğelerine rastgele tahsisi için argümanların yapıldığı aynı bağlamda, deney öncesi bir bakış açısından bir güven aralığı ile ilişkili olasılığı dikkate alır. Burada deneyci, bir güven aralığını hesaplamayı ve gerçek deneyi yapmadan önce, hesaplayacakları aralığın gerçek ama bilinmeyen değeri kapsama konusunda belirli bir şansı olduğunu bilmeyi amaçladıkları yolu belirler. Bu, herhangi bir anlamlı anlamda tekrarlanamayan bir örnekleme prosedürünün varsayımsal tekrarlarını dikkate almaktan kaçınması dışında, yukarıdaki "tekrarlanan örnek" yorumuna çok benzer. Neyman yapımına bakın .
- Bir güven aralığının açıklaması şu şekilde olabilir: " Güven aralığı, parametre ile gözlemlenen tahmin arasındaki farkın %10 düzeyinde istatistiksel olarak anlamlı olmadığı popülasyon parametresi değerlerini temsil eder ". Bu yorum, deneylerini doğrulamak için güven aralıklarını kullanan bilimsel makalelerde yaygındır, ancak güven aralıklarına aşırı güvenmek de sorunlara neden olabilir .
Yukarıdakilerin her birinde aşağıdakiler geçerlidir: Parametrenin gerçek değeri %90 güven aralığının dışındaysa, bir örnekleme olayı meydana gelmiştir (yani, parametrenin gerçek parametre değerinden en az bu kadar uzakta bir nokta tahmininin elde edilmesi) ) tesadüfen olma olasılığı %10 (veya daha az) olan.
yanlış anlamalar
Güven aralıkları ve seviyeleri sıklıkla yanlış anlaşılır ve yayınlanmış araştırmalar, profesyonel bilim adamlarının bile sıklıkla onları yanlış yorumladığını göstermiştir.
- %95 güven düzeyi, belirli bir gerçekleşen aralık için popülasyon parametresinin aralık içinde yer alma olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez (yani, aralığın popülasyon parametresini kapsaması için %95 olasılık). Kesin frekans yorumuna göre, bir kez bir aralık hesaplandığında, bu aralık ya parametre değerini kapsar ya da kapsamaz; artık bir olasılık meselesi değil. %95 olasılık, belirli bir hesaplanmış aralığa değil, tahmin prosedürünün güvenilirliğine ilişkindir. Neyman'ın kendisi (güven aralıklarının asıl savunucusu) orijinal makalesinde bu noktaya değindi:
"Yukarıdaki açıklamada, olasılık ifadelerinin, istatistikçinin gelecekte ilgileneceği tahmin problemlerine atıfta bulunduğu fark edilecektir. Aslında, doğru sonuçların sıklığının α eğiliminde olacağını defalarca belirttim . Şimdi durum örnek zaten çizilir ve hesaplamalar [belirli limitler] verdik zaman. biz [bu sınırlar arasında düşen] gerçek değerin olasılığı eşittir bu özel durumda olduğunu söyleyebilir misin a ? cevap olduğu açıktır negatif. Parametre bilinmeyen bir sabittir ve değeriyle ilgili herhangi bir olasılık ifadesi yapılamaz..."
- Deborah Mayo bu konuyu şu şekilde daha da genişletiyor:
Bununla birlikte, [verilerin] değerini gördükten sonra, Neyman-Pearson teorisinin, oluşturulan spesifik güven aralığının 0'ın gerçek değerini kapsadığı sonucuna hiçbir zaman (1 - α )% 100 olasılıkla izin vermediği vurgulanmalıdır. veya (1 − α )%100 güven derecesi Seidenfeld'in sözleri, Neyman-Pearson güven aralıklarının meşru olarak sağlayamayacakları bir şeyi, yani olasılık derecesinin, inancın, veya bilinmeyen bir parametre değerinin belirli bir aralıkta yer aldığını destekleyin.Savage'i (1962) takip ederek, bir parametrenin belirli bir aralıkta olma olasılığına nihai kesinlik ölçüsü olarak atıfta bulunulabilir.Son kesinliğin bir ölçüsü arzu edilebilir görünse de, ve güven seviyeleri genellikle (yanlış) böyle bir ölçü sağladığı şeklinde yorumlansa da, böyle bir yorum garanti edilmez. Kabul etmek gerekir ki, böyle bir yanlış yorumlama 'güven' kelimesiyle teşvik edilir."
- %95 güven düzeyi, örnek verilerin %95'inin güven aralığı içinde olduğu anlamına gelmez.
- Bir güven aralığı, popülasyon parametresi için makul değerlerin bir tahmini olarak anlaşılabilmesine rağmen, numune parametresi için kesin bir makul değerler aralığı değildir.
- Bir deneyden hesaplanan %95'lik belirli bir güven düzeyi, deneyin tekrarından elde edilen bir örnek parametrenin bu aralığa düşme olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez.
Tarih
Güven aralıkları, 1937'de yayınlanan bir makalede Jerzy Neyman tarafından istatistiklere tanıtıldı . Ancak, güven aralıklarının doğru ve rutin olarak kullanılması oldukça uzun zaman aldı.
Dyken ve White tarafından 1959'da yayınlanan akut inme için bir tıbbi tedaviye ilişkin en eski modern kontrollü klinik denemede , araştırmacılar kortizolün inme üzerinde hiçbir etkisi olmadığına dair boş hipotezi reddedemediler . Bununla birlikte, denemelerinin "kortizonla tedavinin olası hiçbir avantajını açıkça göstermediği" sonucuna varmışlardır. Dyken ve White, o zamanlar tıpta nadir görülen güven aralıklarını hesaplamadı. Peter Sandercock 2015 yılında verileri yeniden değerlendirdiğinde, %95 güven aralığının riskte %12 azalmadan %140 risk artışına kadar uzandığını buldu. Bu nedenle, yazarların ifadesi deneyleri tarafından desteklenmedi. Sandercock, özellikle veri kümelerinin küçük olabileceği tıp bilimlerinde, bir etkinin boyutu ve yönü etrafındaki belirsizliği ölçmek için güven aralıklarının hipotez testlerinden daha iyi olduğu sonucuna varmıştır.
Dergilerin makalelerde raporlanması için güven aralıkları ve p değerleri gerektirmesi 1980'lere kadar değildi. 1992'ye gelindiğinde, büyük denemeler için bile kesin olmayan tahminler hala yaygındı. Bu, sıfır hipotezi ile ilgili net bir kararı engelledi. Örneğin, akut inme için tıbbi tedaviler üzerine bir çalışma, inme tedavilerinin mortaliteyi azaltabileceği veya %10-20 oranında artırabileceği sonucuna varmıştır. Çalışmaya kesinlikle kabul, öngörülemeyen hataları ortaya çıkardı ve sonuçtaki belirsizliği daha da artırdı. Çalışmalar devam etti ve 1997 yılına kadar büyük bir örneklem havuzu ve kabul edilebilir güven aralığı ile kesin bir cevap veremedi: kortizol tedavisi akut inme riskini azaltmaz.
felsefi konular
Güven aralıklarının ardındaki ilke , bir popülasyonun yalnızca rastgele seçilmiş bir alt kümesi olan verilerden elde edilen sonuçların doğasında bulunan belirsizlikle nasıl başa çıkılacağına ilişkin istatistiksel çıkarımda ortaya çıkan soruya bir yanıt sağlamak için formüle edilmiştir . Başka cevaplar da var, özellikle de Bayes çıkarımının güvenilir aralıklar şeklinde sağladığı cevaplar . Güven aralıkları, bu kuralın esasen herhangi bir veri elde edilmeden veya bir deney yapılmadan önce belirlendiği, güven sınırlarını belirlemek için seçilen bir kurala karşılık gelir. Kural, elde edilebilecek tüm olası veri kümeleri üzerinde, kural tarafından belirlenen aralığın, söz konusu miktarın gerçek değerini içerme olasılığı yüksek ("yüksek" özellikle niceldir) olacak şekilde tanımlanır. Bayes yaklaşımı, "olasılığın" Bayes olasılığı olarak yorumlanmasının kabul edilmesine bağlı olarak, belirli bir veri kümesinden hesaplanan belirli aralığın, aşağıdaki koşullara bağlı olarak, gerçek değeri içerme konusunda belirli bir olasılığa sahip olduğu şeklinde yorumlanabilecek aralıklar sunuyor gibi görünmektedir. veriler ve diğer bilgiler mevcuttur. Güven aralığı yaklaşımı buna izin vermez çünkü bu formülasyonda ve aynı aşamada hem aralığın sınırları hem de gerçek değerler sabit değerlerdir ve rastgelelik söz konusu değildir. Öte yandan, Bayes yaklaşımı yalnızca hesaplamada kullanılan önceki olasılık kadar geçerlidir, oysa güven aralığı önceki olasılığa ilişkin varsayımlara bağlı değildir.
Bir tahminde belirsizliği ifade eden bir aralığın nasıl formüle edilebileceği ve bu aralıkların nasıl yorumlanabileceği ile ilgili sorular, kesinlikle matematiksel problemler değildir ve felsefi olarak problemlidir. Matematik, bir 'çıkarıma' yaklaşımın temel ilkeleri oluşturulduktan sonra devralabilir, ancak bir yaklaşımın neden diğerine tercih edilmesi gerektiğini söylemede yalnızca sınırlı bir rolü vardır: Örneğin, matematikte genellikle %95'lik bir güven düzeyi kullanılır. biyolojik bilimler , ancak bu sözleşme veya tahkim meselesidir. Gelen fiziksel bilimler , çok daha yüksek bir seviyede kullanılabilir.
Diğer istatistiksel konularla ilişki
İstatistiksel hipotez testi
Güven aralıkları, istatistiksel anlamlılık testiyle yakından ilişkilidir . Örneğin, bazı tahmin parametresi için ise θ bir test etmek isteyen sıfır hipotezini θ bu alternatif karşı = 0 θ ≠ 0 olduğunda, bu test için güven aralığı belirlenmesi ile gerçekleştirilebilir İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin 0 içerir.
Daha genel olarak, herhangi bir θ 0 değeri için θ ≠ θ 0 alternatifine karşı θ = θ 0 boş hipotezini test edebilen bir hipotez test prosedürünün mevcudiyeti göz önüne alındığında, γ = 1 − α güven düzeyine sahip bir güven aralığı olabilir. α anlamlılık düzeyinde karşılık gelen boş hipotezin reddedilmediği herhangi bir θ 0 sayısını içeren olarak tanımlanır .
İki parametrenin tahminleri (örneğin, iki bağımsız gruptaki bir değişkenin ortalama değerleri) örtüşmeyen güven aralıklarına sahipse, o zaman iki değer arasındaki fark , α'nın bireysel değerleriyle gösterilenden daha önemlidir . Dolayısıyla, bu "test" çok tutucudur ve α'nın göstereceği bireysel değerlerden daha önemli bir sonuca yol açabilir . İki güven aralığı örtüşürse, iki ortalama hala önemli ölçüde farklı olabilir. Buna göre ve Mantel-Haenszel Ki-kare testi ile tutarlı olarak , karşılaştırma yapmadan önce ½'nin (0.707107) karekökü ile çarpılarak iki araç için hata sınırlarının azaltıldığı önerilen bir düzeltmedir.
Güven aralıkları ve istatistiksel hipotez testi kavramlarının formülasyonları farklı olmakla birlikte, bazı açılardan ilişkili ve bir dereceye kadar tamamlayıcıdır. Tüm güven aralıkları bu şekilde oluşturulmasa da, güven aralıklarını oluşturmaya yönelik genel amaçlı bir yaklaşım , hipotez testinin θ = θ olduğu tüm θ 0 değerlerinden oluşan % 100(1 − α ) bir güven aralığı tanımlamaktır. 0 , %100α anlamlılık düzeyinde reddedilmez. Böyle bir yaklaşım, uygun bir anlamlılık testinin pratikte kullanılabilirliğini varsaydığından her zaman mevcut olmayabilir. Doğal olarak, anlamlılık testi için gereken varsayımlar güven aralıklarına taşınacaktır.
Bir güven aralığındaki parametre değerlerinin, bir hipotez testi tarafından reddedilmeyecek değerlere eşdeğer olduğu genel yazışmasını yapmak uygun olabilir, ancak bu tehlikeli olabilir. Birçok durumda, alıntılanan güven aralıkları yalnızca yaklaşık olarak geçerlidir, belki de "artı veya eksi iki katı standart hatadan" türetilmiştir ve bunun sözde karşılık gelen hipotez testleri için sonuçları genellikle bilinmemektedir.
Bir parametrenin güven aralığının, bazen düşünüldüğü gibi, bu parametre için bir testin kabul bölgesi ile aynı olmadığını belirtmekte fayda var. Güven aralığı parametre uzayının bir parçasıdır, kabul bölgesi ise örnek uzayın bir parçasıdır. Aynı nedenle, güven düzeyi, anlamlılık düzeyinin tamamlayıcı olasılığı ile aynı değildir.
güven bölgesi
Güven bölgeleri , çoklu niceliklerle başa çıkmak için güven aralığı kavramını genelleştirir. Bu tür bölgeler yalnızca olası örnekleme hatalarının kapsamını göstermekle kalmaz, aynı zamanda (örneğin) bir miktar için tahminin güvenilir olmaması durumunda diğerinin de muhtemelen güvenilmez olup olmadığını ortaya çıkarabilir.
güven bandı
Sınırlı veya gürültülü verilere dayalı bir eğri veya fonksiyonun tahminindeki belirsizliği temsil etmek için istatistiksel analizde bir güven bandı kullanılır . Benzer şekilde, eğri üzerindeki yeni bir veri noktasının değeri hakkındaki belirsizliği temsil etmek için bir tahmin bandı kullanılır, ancak gürültüye tabidir. Güven ve tahmin bantları genellikle bir regresyon analizinin sonuçlarının grafik sunumunun bir parçası olarak kullanılır .
Güven bantları, tek bir sayısal değerin tahminindeki belirsizliği temsil eden güven aralıklarıyla yakından ilişkilidir. "Güven aralıkları, yapı gereği yalnızca tek bir noktaya atıfta bulunduğundan, (bu noktada) aynı anda birçok noktada tutması gereken bir güven aralığından daha dardır."
Basit adımlar
Bu örnek, örneklerin normal bir dağılımdan alındığını varsayar . Bir popülasyon ortalaması için bir güven aralığını hesaplamak için temel prosedür aşağıdaki gibidir:
- Örnek ortalamayı tanımlayın, .
- Popülasyon standart sapmasının bilinip bilinmediğini veya bilinmediğini ve örnek standart sapması ile tahmin edilip edilmediğini belirleyin .
- Nüfus standart sapması sonra biliniyorsa , nerede güven seviyesi ve bir CDF ait standart normal dağılımın kritik değer olarak kullanılmaktadır. Bu değer yalnızca testin güven düzeyine bağlıdır. Tipik iki taraflı güven seviyeleri şunlardır:
C z* %99 2.576 %98 2.326 %95 1.96 %90 1.645
- Popülasyon standart sapması bilinmiyorsa , kritik değer olarak Student t dağılımı kullanılır. Bu değer, testin güven düzeyine (C) ve serbestlik derecelerine bağlıdır. Serbestlik dereceleri, gözlem sayısından bir çıkarılarak bulunur, n − 1. Kritik değer, t-dağılım tablosundan bulunur. Bu tabloda kritik değer, serbestlik dereceleri nerede ve şeklinde yazılır .
- Nüfus standart sapması sonra biliniyorsa , nerede güven seviyesi ve bir CDF ait standart normal dağılımın kritik değer olarak kullanılmaktadır. Bu değer yalnızca testin güven düzeyine bağlıdır. Tipik iki taraflı güven seviyeleri şunlardır:
- Bulunan değerleri uygun denklemlerle değiştirin:
- Bilinen bir standart sapma için:
- Bilinmeyen bir standart sapma için:
t-tablolarının ve z-tablolarının önemi
Güven aralıkları, yukarıdaki temel örnekte gösterildiği gibi iki farklı değer kullanılarak hesaplanabilir: t-değerleri veya z-değerleri. Her iki değer de, serbestlik derecelerine ve bir olasılık dağılımının kuyruğuna dayalı olarak tablolarda tablo haline getirilir. Daha sık olarak, z değerleri kullanılır. Bunlar sağ kuyruk olasılığı ile normal dağılımın kritik değerleridir. Ancak, örneklem büyüklüğü 30'un altında olduğunda ve standart sapma bilinmediğinde t-değerleri kullanılır.
Varyans bilinmediğinde, farklı bir tahmin edici kullanmalıyız: . Bu, yalnızca bağlı olan ve yoğunluğu açıkça ifade edilebilen bir dağılımın oluşmasına izin verir .
Tanım: sürekli bir rastgele değişken parametre m, ile bir t-dağılımına sahip olan olasılık yoğunluk ile verilir ise, bir tam sayı olduğu için burada, . Bu dağılım ile gösterilir ve m serbestlik dereceli t-dağılımı olarak adlandırılır.
Örnek
- Örnek boyutundan serbestlik derecesini (df) bulun :
- Örneklem büyüklüğü = 10 ise, df = 9.
- Güven aralığını (CL) 1'den çıkarın ve ardından ikiye bölün. Bu değer alfa seviyesidir. (alfa + CL = 1)
- t dağılımı tablosunda df ve alpha'ya bakın. df = 9 ve alpha = 0.01 için tablo 2.821 değerini verir. Tablodan elde edilen bu değer t-skorudur.
istatistiksel teori
Tanım
Let X, bir olmak gelişigüzel bir örnek, bir gelen olasılık dağılımı ile istatistiksel parametre İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin bir miktar tahmin edilmesi için, ve cp hemen çıkar olmayan miktarlarda temsil. Bir güven aralığı parametresi için İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin güven seviyesinde ya da güven katsayısı, y , rasgele uç noktaları (bir aralık olan U ( X ), V ( X, çifti tarafından belirlenir)), rastgele değişken U ( X ) ve v ( x ) , özelliği ile:
İstatistiksel teorinin bunlarla başa çıkmak için bir yol bulması gerektiğinden, hemen ilgilenilmeyen niceliklere φ rahatsız edici parametreler denir . Tipik değerleri 1'e yakın olan ancak 1'den büyük olmayan γ sayısı bazen 1 − α (veya yüzde 100·(1 − α ) olarak) şeklinde verilir; burada α negatif olmayan küçük bir sayıdır, yakın 0'a.
Burada Pr θ , φ ( θ , φ ) ile karakterize edilen X'in olasılık dağılımını gösterir . Bu tanımlamanın önemli bir kısmı, rastgele aralığın ( u ( X ), v ( X ) ) bilinmeyen θ değerini θ'nin gerçek değeri ne olursa olsun yüksek bir olasılıkla kapsamasıdır .
Burada Pr θ , φ'nin açıkça verilen parametreli bir dağılım ailesine atıfta bulunması gerekmediğine dikkat edin, ancak çoğu zaman bunu yapar. Rastgele değişken X'in aynı popülasyondan veya aynı gerçeklik versiyonundan x'in diğer olası gerçekleşmelerine kavramsal olarak karşılık gelmesi gibi, parametreler ( θ , φ ) X'in dağılımının içinde olabileceği diğer gerçeklik versiyonlarını düşünmemiz gerektiğini gösterir. farklı özelliklere sahiptir.
Belirli bir durumda, x örneğinin sonucu X olduğunda , ( u ( x ), v ( x ) ) aralığı da θ için bir güven aralığı olarak adlandırılır . (Gözlemlenen) aralığın ( u ( x ), v ( x ) ) θ parametresini içerme olasılığının γ olduğunu söylemenin artık mümkün olmadığına dikkat edin . Bu gözlemlenen aralık, olasılık ifadesinin tuttuğu tüm olası aralıkların yalnızca bir gerçekleşmesidir.
Yaklaşık güven aralıkları
Pek çok uygulamada, tam olarak gerekli güven düzeyine sahip güven aralıklarını oluşturmak zordur. Ancak pratik olarak yararlı aralıklar hala bulunabilir: aralığı oluşturma kuralı, eğer aşağıdaki durumlarda düzeyde bir güven aralığı sağlamak olarak kabul edilebilir:
kabul edilebilir bir yakınsama düzeyine Alternatif olarak, bazı yazarlar basitçe şunu gerektirir:
bu, olasılıklar yalnızca kısmen tanımlanmışsa veya kesin değilse ve ayrıca ayrık dağılımlarla uğraşırken yararlıdır . Formun güven sınırları ve muhafazakar denir ; buna göre, muhafazakar güven aralıklarından ve genel olarak bölgelerden söz edilir.
Istenen özellikler
Standart istatistiksel prosedürleri uygularken, genellikle güven aralıkları oluşturmanın standart yolları olacaktır. Bunlar, prosedürün dayandığı varsayımların doğru olduğu göz önüne alındığında geçerli olacak belirli arzu edilen özellikleri karşılayacak şekilde tasarlanacaktır. Bu istenen özellikler şu şekilde tanımlanabilir: geçerlilik, optimallik ve değişmezlik. Bunlardan "geçerlilik" en önemlisidir ve onu "optimalite" yakından takip eder. "Değişmezlik", aralığı oluşturma kuralından ziyade bir güven aralığı türetme yönteminin bir özelliği olarak düşünülebilir. Standart olmayan uygulamalarda aynı istenen özellikler aranacaktır.
- Geçerlilik. Bu , güven aralığının nominal kapsama olasılığının (güven düzeyi) ya tam olarak ya da iyi bir yaklaşıma sahip olması gerektiği anlamına gelir .
- Optimallik. Bu, güven aralığı oluşturma kuralının veri kümesindeki bilgiyi mümkün olduğunca fazla kullanması gerektiği anlamına gelir. Bir veri kümesinin yarısının atılabileceğini ve yine de geçerli bir güven aralığı elde edilebileceğini hatırlayın. Optimalliği değerlendirmenin bir yolu, aralığın uzunluğudur, böylece bir güven aralığı oluşturmaya yönelik bir kural, uzunlukları tipik olarak daha kısa olan aralıklara yol açıyorsa, diğerinden daha iyi yargılanır.
- değişmezlik. Birçok uygulamada, tahmin edilen miktar bu şekilde sıkı bir şekilde tanımlanmayabilir. Örneğin, bir anket bir popülasyondaki medyan gelirin tahminiyle sonuçlanabilir, ancak bunun grafiksel sonuçların sunulması için yaygın bir ölçek olduğu göz önüne alındığında, medyan gelirin logaritmasının bir tahminini sağladığı da düşünülebilir. Medyan gelir için bir güven aralığı oluşturmak için kullanılan yöntemin, medyan gelirin logaritması için bir güven aralığı oluşturmaya uygulandığında eşdeğer sonuçlar vermesi arzu edilir: özellikle ikinci aralığın sonundaki değerler logaritma olacaktır. eski aralığın sonundaki değerlerin.
türetme yöntemleri
Standart olmayan uygulamalar için, güven aralıklarının oluşturulması için bir kural türetmek üzere alınabilecek birkaç yol vardır. Standart prosedürler için yerleşik kurallar, bu yollardan birkaçı aracılığıyla gerekçelendirilebilir veya açıklanabilir. Tipik olarak, güven aralıkları oluşturmak için bir kural , dikkate alınan niceliğin nokta tahminini bulmanın belirli bir yoluna yakından bağlıdır .
- Özet istatistikler
- Bu, tahmin için moment yöntemiyle yakından ilgilidir . Tahmin edilecek miktarın ortalama olduğu basit bir örnek ortaya çıkar, bu durumda doğal bir tahmin numune ortalamasıdır. Olağan argümanlar, örnek varyansının, örnek ortalamasının varyansını tahmin etmek için kullanılabileceğini gösterir. Gerçek ortalama için bir güven aralığı, örnek varyansının karekökünün katları olan bir genişliğe sahip örnek ortalamasının merkezinde oluşturulabilir.
- olasılık teorisi
- Tahminlerin maksimum olabilirlik ilkesi kullanılarak oluşturulduğu durumlarda , bunun teorisi, tahminler için güven aralıkları veya güven bölgeleri oluşturmanın iki yolunu sağlar. Bir yol, aşağıdaki kısıtlamayı karşılayan tüm olası değerleri bulmak için Wilks teoremini kullanmaktır :
- denklemleri tahmin etme
- Buradaki tahmin yaklaşımı, hem momentler yönteminin genelleştirilmesi hem de maksimum olabilirlik yaklaşımının genelleştirilmesi olarak düşünülebilir. Tahmin denklemlerinden türetilen tahminlere dayalı olarak güven aralıklarının oluşturulmasına izin veren maksimum olabilirlik teorisinin sonuçlarının karşılık gelen genellemeleri vardır .
- Hipotez testi
- Bir parametrenin genel değerleri için anlamlılık testleri mevcutsa , gerçek değerin verilen değer olduğu sıfır hipotezinin anlamlılık testinin olduğu tüm noktalar % 100 p güven bölgesine dahil edilerek güven aralıkları/bölgeleri oluşturulabilir. (1 - p ) anlamlılık düzeyinde reddedilmemiştir .
- Önyükleme
- Yukarıdaki yöntemlerin dağılım varsayımlarının belirsiz olduğu veya ihlal edildiği durumlarda, yeniden örnekleme yöntemleri, güven aralıklarının veya tahmin aralıklarının oluşturulmasına izin verir. Gözlenen veri dağılımı ve iç korelasyonlar, daha geniş popülasyondaki korelasyonlar için vekil olarak kullanılır.
Örnekler
Tıbbi örnekler
Tıbbi araştırmalar genellikle belirli bir popülasyonda bir müdahalenin veya maruz kalmanın etkilerini tahmin eder. Genellikle, araştırmacılar etkilerin önemini p-değerine göre belirlemiştir; ancak, son zamanlarda tahminler için daha güçlü bir temel sağlamak amacıyla daha fazla istatistiksel bilgi için bir baskı olmuştur. Bu sorunu çözmenin bir yolu da güven aralığının raporlanmasını istemektir. Aşağıda, araştırma için güven aralıklarının nasıl kullanıldığına ve rapor edildiğine dair iki örnek verilmiştir.
2004 yılında yapılan bir çalışmada, Briton ve meslektaşları, kısırlığın yumurtalık kanseri ile ilişkisini değerlendirmek üzerine bir araştırma yaptı. 1,98'lik insidans oranı, 1,4 ila 2,6 oran aralığı ile %95 Güven (CI) aralığı için rapor edilmiştir. İstatistik, makalede şu şekilde rapor edildi: "(standartlaştırılmış insidans oranı = 1.98; %95 GA, 1.4-2.6)." Bu, çalışılan örneğe dayanarak, kısır kadınların, kısır olmayan kadınlardan 1,98 kat daha fazla yumurtalık kanseri insidansına sahip olduğu anlamına gelir. Ayrıca, tüm infertil kadın popülasyonundaki gerçek insidans oranının 1,4 ile 2,6 aralığında olduğundan %95 emin olduğumuz anlamına gelir. Genel olarak, güven aralığı, incelenen değişken için meydana gelmesi muhtemel en düşük ve en büyük etkileri rapor ederken, yine de gözlemlenen etkilerin önemi hakkında bilgi sağladığı için daha fazla istatistiksel bilgi sağlamıştır.
2018 yılında yapılan bir çalışmada, ABD Yetişkin Popülasyonunda atopik dermatitin prevalansı ve hastalık yükü %95 güven aralığı kullanılarak anlaşılmıştır. Katılan 1.278 yetişkin arasında atopik dermatit prevalansının %7.3 (5.9-8.8) olduğu bildirildi. Ayrıca, katılımcıların %60.1'i (56.1–64.1) hafif atopik dermatit olarak sınıflandırılırken, %28.9'u (25.3–32.7) orta ve %11'i (8.6–13.7) şiddetli olarak sınıflandırıldı. Çalışma, popülasyonda yüksek bir atopik dermatit prevalansı ve hastalık yükü olduğunu doğruladı.
teorik örnek
n − 1 serbestlik dereceli bir Student t dağılımına sahiptir . T dağılımının gözlemlenemeyen μ ve σ 2 parametrelerinin değerlerine bağlı olmadığına dikkat edin ; yani, önemli bir miktardır . μ için %95'lik bir güven aralığı hesaplamak istediğimizi varsayalım . Daha sonra, c bu dağılımın 97.5. yüzdelik dilimi olarak gösterilerek ,
Önceki ifadelerde "97.5" ve "0.95" değerlerinin doğru olduğuna dikkat edin. ' den küçük olma olasılığı %2,5 ve büyük olma olasılığı %2,5'tir . Bu nedenle, olasılık arasında olacaktır ve % 95.
Sonuç olarak,
ve μ için teorik (stokastik) %95 güven aralığına sahibiz .
Buluruz örnek görüldükten sonra değerleri x için X ve s için S olan zaman güven aralığını hesaplamak
uç noktaları olarak sabit sayıları olan ve artık μ parametresini içermesi için kesin bir olasılık olduğunu söyleyemeyeceğimiz bir aralık ; ya μ bu aralıktadır ya da değildir.
Alternatifler ve eleştiriler
Güven aralıkları, bir aralık tahmini yöntemidir ve en sık kullanılan istatistiklerde en yaygın olarak kullanılan yöntemdir . An benzer kavram Bayesian İstatistik olan güvenilir aralıklar alternatif frequentist yöntem bunun iken, tahmin aralıkları yerine tahmin yerine, parametreleri, sonucunu tahmin geleceği örneklerinin. Aralıkları kullanarak belirsizliği ifade etmeye yönelik diğer yaklaşımlar için, bkz. aralık tahmini .
Tahmin aralıklarıyla karşılaştırma
Bir önceden haber verme aralığı bir için rastgele değişkenin bir için bir güven aralığı benzer bir şekilde tanımlanır istatistiksel parametre . Rastgele örnek X'e istatistiksel olarak bağımlı olabilen veya olmayabilen ek bir rasgele değişken Y düşünün . Daha sonra, ( u ( X ), V ( X )) bir sağlar kestirim aralığı olarak-henüz-olduğu gözlenen değer için y arasında Y ise
Bayes aralık tahminleriyle karşılaştırma
Bir Bayes aralığı tahmini, güvenilir bir aralık olarak adlandırılır . Yukarıda olduğu kadar aynı gösterimin kullanarak, bilinmeyen gerçek değeri için inandırıcı aralığının tanımı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin Verilen için olduğu y ,
İşte Θ bilinmeyen değeri vurgulamak için kullanılır İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin rastgele değişken olarak tedavi altına alındı. İki tür aralığın tanımları aşağıdaki gibi karşılaştırılabilir.
- Bir güven aralığının tanımı, verilen bir ( θ , φ ) (veya bu değerlere bağlı) için X'in dağılımından hesaplanan olasılıkları içerir ve koşulun tüm ( θ , φ ) değerleri için geçerli olması gerekir .
- Güvenilir bir aralığın tanımı, X = x'in gözlemlenen değerlerine koşullu Θ dağılımından hesaplanan ve Φ değerleri üzerinden marjinalize edilmiş (veya ortalaması alınmış) olasılıkları içerir ; burada bu son miktar, rahatsızlık hakkındaki belirsizliğe karşılık gelen rastgele değişkendir. φ içindeki parametreler .
Yukarıdaki rahatsız edici parametrelerin ele alınmasının genellikle güven ve güvenilir aralıkları karşılaştıran tartışmalardan çıkarıldığına, ancak iki durum arasında belirgin bir şekilde farklı olduğuna dikkat edin.
Bazı durumlarda, belirli bir veri kümesi kullanılarak belirli bir parametre için hesaplanan güven aralığı ve güvenilir aralık aynıdır. Ancak diğer durumlarda, özellikle Bayes analizine bilgilendirici ön bilgiler dahil edildiğinde, ikisi çok farklı olabilir .
Bu yöntemlerden hangisinin en yararlı sonuçları ürettiği konusunda anlaşmazlık vardır: hesaplamaların matematiği nadiren sorgulanır – güven aralıkları örnekleme dağılımlarına dayanır, güvenilir aralıklar Bayes teoremine dayanır – ancak bu yöntemlerin uygulanması, fayda üretilen istatistiklerin yorumlanması ve yorumlanması tartışılmaktadır.
Bir yığın ortalamasının yaklaşık güven aralığı güvenerek, normalde nüfusa dağıtılan değildir rastgele değişkenler için yapılabilir merkezi limit teoremi ise, örnek boyutu ve sayımlar büyük yeterlidir. Formüller yukarıdaki durumla aynıdır (örnek ortalamasının aslında popülasyon ortalaması etrafında normal olarak dağıldığı). Eğer yaklaşım numunede sadece birkaç düzine gözlemlerle oldukça iyi olacak olasılık dağılımı rastgele değişkenin çok farklı değildir normal dağılıma (örneğin onun kümülatif dağılım fonksiyonu herhangi yoktur kopukluklar ve çarpıklık makuldür).
Örnek ortalamanın bir türü, doğru için 1 değerini ve yanlış için 0 değerini alan bir gösterge değişkeninin ortalamasıdır . Böyle bir değişkenin ortalaması, değişkenin bire eşit olduğu orana eşittir (hem popülasyonda hem de herhangi bir örneklemde). Bu, özellikle hipotez testi için gösterge değişkenlerinin yararlı bir özelliğidir. Merkezi limit teoremini uygulamak için yeterince büyük bir örnek kullanmak gerekir. Kaba bir kural, göstergenin 1 olduğu en az 5 ve 0 olduğu en az 5 durum görülmesi gerektiğidir. Yukarıdaki formüller kullanılarak oluşturulan güven aralıkları, negatif sayılar veya 1'den büyük sayılar içerebilir, ancak oranlar açıktır. negatif veya 1'i geçemez. Ek olarak, örnek oranları yalnızca sınırlı sayıda değer alabilir, bu nedenle merkezi limit teoremi ve normal dağılım, bir güven aralığı oluşturmak için en iyi araçlar değildir. Bu duruma özgü daha iyi yöntemler için " Binom oranı güven aralığı " bölümüne bakın .
karşı örnekler
Güven aralığı teorisi önerildiğinden, güven aralıklarının yorumlanmasının nasıl sorunlu olabileceğini göstermek için teoriye karşı bir dizi karşı örnek geliştirilmiştir, en azından biri onları naif bir şekilde yorumlarsa.
Tek tip konum için güven prosedürü
Welch, güven aralıkları teorisi ile diğer aralık tahmini teorileri (Fisher'ın referans aralıkları ve objektif Bayes aralıkları dahil) arasındaki farkı açıkça gösteren bir örnek sundu . Robinson bu örneği "[p]muhtemelen Neyman'ın güven aralığı teorisi versiyonu için en iyi bilinen karşı örnek" olarak adlandırdı. Welch'e göre, güven aralığı teorisinin üstünlüğünü gösterdi; teorinin eleştirmenlerine göre bir eksiklik gösterir. Burada basitleştirilmiş bir versiyon sunuyoruz.
Bunların Uniform ( θ − 1/2, θ + 1/2) dağılımından bağımsız gözlemler olduğunu varsayalım . O zaman optimal %50 güven prosedürü
Aralık tahminini elde etmek için güvenilir veya nesnel bir Bayes argümanı kullanılabilir.
bu da %50 güven prosedürüdür. Welch, güven aralığı teorisinden istenen özelliklere göre, birinci güven prosedürünün ikincisine baskın olduğunu gösterdi; Her için , birinci işlem içerir olasılığı olduğu için eşit ya da daha düşük ikinci bir prosedür içerir olasılık . İlk prosedürdeki aralıkların ortalama genişliği, ikincininkinden daha azdır. Bu nedenle, klasik güven aralığı teorisi altında birinci prosedür tercih edilir.
Bununla birlikte, ilk prosedürdeki aralıkların gerçek değeri içermesi garanti edildiğinde : Bu nedenle, nominal %50 güven katsayısı belirsizlikle ilgisizdir, belirli bir aralığın gerçek değeri içerdiğine sahip olmamız gerekir. İkinci prosedür bu özelliğe sahip değildir.
Ayrıca, ilk prosedür çok kısa bir aralık oluşturduğunda, bu birbirine çok yakın olduğunu ve dolayısıyla bilgiyi yalnızca tek bir veri noktasında sunduğunu gösterir. Yine de ilk aralık, kısa genişliği nedeniyle parametrenin neredeyse tüm makul değerlerini hariç tutacaktır. İkinci prosedür bu özelliğe sahip değildir.
İlk prosedürün iki karşıt-sezgisel özelliği— uzak olduğunda %100 kapsama ve birbirine yakın olduğunda neredeyse %0 kapsama —ortalama %50 kapsama sağlamak için dengelenir. Bununla birlikte, ilk prosedür optimal olmasına rağmen, onun aralıkları ne tahminin kesinliğine dair bir değerlendirme, ne de aralığın gerçek değeri içerdiğine dair bir kişinin sahip olması gereken belirsizliğin bir değerlendirmesini sunar.
Bu karşı örnek, güven aralıklarının naif yorumlarına karşı çıkmak için kullanılır. Bir güven prosedürünün nominal kapsamın ötesinde özelliklere sahip olduğu iddia edilirse (kesinlikle ilişki veya Bayes çıkarımıyla bir ilişki gibi), bu özelliklerin kanıtlanması gerekir; bir prosedürün bir güven prosedürü olduğu gerçeğinden hareket etmezler.
ω 2 için güven prosedürü
Steiger , ANOVA'da ortak etki büyüklüğü ölçümleri için bir dizi güven prosedürü önerdi . Morey et al. ω 2 için olanı da dahil olmak üzere, bu güven prosedürlerinin birçoğunun, F istatistiği giderek küçüldükçe - tüm olası ω 2 değerleriyle uyumsuzluğa işaret ederek - güven aralığının küçüldüğü ve hatta yalnızca tek bir değeri içerebileceği özelliğine sahip olduğuna dikkat edin. ω 2 = 0; yani, CI sonsuz derecede dardır (bu, bir CI için olduğunda ortaya çıkar ).
Bu davranış, güven prosedürü ile anlamlılık testi arasındaki ilişki ile tutarlıdır: F grup ortalamaları tesadüfen beklediğimizden çok daha yakın olacak kadar küçük hale geldiğinden, bir anlamlılık testi ω 2 değerlerinin çoğu veya tamamı için reddedildiğini gösterebilir . Bu nedenle, aralık çok dar veya hatta boş olacaktır (veya Steiger tarafından önerilen ve yalnızca 0 içeren bir kurala göre). Ancak bu yok değil tahmini göstermektedir ω 2 çok hassas. Bir anlamda tam tersini gösterir: sonuçların güvenilirliğinden şüphe duyulabilir. Bu, tahminin kesinliğini ortaya koydukları güven aralıklarının yaygın yorumuna aykırıdır.
Ayrıca bakınız
- Kümülatif dağılım fonksiyonu tabanlı parametrik olmayan güven aralığı
- CL'lerin üst limitleri (parçacık fiziği)
- Güven dağılımı
- Güvenilirlik (istatistikler)
- Hata çubuğu
- Tahmin istatistikleri
- p değeri
- Sağlam güven aralıkları
- güven bölgesi
- Güvenilir aralık
Belirli dağılımlar için güven aralığı
- Binom dağılımı için güven aralığı
- Güç yasası dağılımının üssü için güven aralığı
- Üstel dağılımın ortalaması için güven aralığı
- Poisson dağılımının ortalaması için güven aralığı
- Normal dağılımın ortalaması ve varyansı için güven aralıkları
Referanslar
bibliyografya
- Fisher, RA (1956) İstatistiksel Yöntemler ve Bilimsel Çıkarım. Oliver ve Boyd, Edinburg. (Bkz. s. 32.)
- Freund, JE (1962) Matematiksel İstatistik Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (Bkz. s. 227–228.)
- Hacking, I. (1965) İstatistiksel Çıkarımın Mantığı. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-05165-7
- Keeping, ES (1962) İstatistiksel Çıkarsama Giriş. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
- Kiefer, J. (1977). "Koşullu Güven İfadeleri ve Güven Tahmincileri (tartışmalı)". Amerikan İstatistik Derneği Dergisi . 72 (360a): 789-827. doi : 10.1080/01621459.1977.10479956 . JSTOR 2286460 .
- Mayo, DG (1981) "Güven aralıklarına ilişkin Neyman-Pearson teorisinin savunmasında" , Felsefe Bilimi , 48 (2), 269-280. JSTOR 187185
- Neyman, J. (1937) "Klasik Olasılık Teorisine Dayalı İstatistiksel Tahmin Teorisinin Anahatları" Royal Society of London A, 236, 333-380'in Felsefi İşlemleri . (Önemli iş.)
- Robinson, GK (1975). "Güven Aralıkları Teorisine Bazı Karşı Örnekler". Biyometrik . 62 (1): 155-161. doi : 10.1093/biomet/62.1.155 . JSTOR 2334498 .
- Savage, LJ (1962), İstatistiksel Çıkarımın Temelleri . Methuen, Londra.
- Smithson, M. (2003) Güven aralıkları . Sosyal Bilimler Dizisinde Nicel Uygulamalar, No. 140. Belmont, CA: SAGE Publications. ISBN 978-0-7619-2499-9 .
- Mehta, S. (2014) İstatistik Konuları ISBN 978-1-4992-7353-3
- "Güven tahmini" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- Morey, RD; Hoekstra, R.; Rouder, JN; Lee, MD; Arabacılar, E.-J. (2016). "Güven aralıklarına güvenmenin yanlışlığı" . Psikonomik Bülten ve İnceleme . 23 (1): 103–123. doi : 10.3758/s13423-015-0947-8 . PMC 4742505 . PMID 26450628 .
|Wikimedia Commons, Güven aralığı ile ilgili medyaya sahiptir .|
- Excel altında çalışan Güven Aralıkları için Keşif Yazılımı eğitim programları
- R-Kareler , Regresyon Katsayıları ve Regresyon Kesişmeleri için güven aralığı hesaplayıcıları
- Weisstein, Eric W. "Güven Aralığı" . Matematik Dünyası .
- NEDENweb.org Güven Aralıkları da dahil olmak üzere istatistikleri öğretmek için birçok kaynak.
- Güven Aralıklarına etkileşimli bir giriş
- Güven Aralıkları: Güven Düzeyi, Örneklem Büyüklüğü ve Hata Marjı , Wolfram Gösteriler Projesi Eric Schulz tarafından.
- Halk Sağlığında Güven Aralıkları . Örneklerle ve 0'a yakın küçük numune boyutları veya oranları hakkında ne yapılması gerektiğiyle ilgili anlaşılır açıklama.