Bu derste üçgenlerle ilgili üç kavram öğreneceğiz:
Bir üçgende, bir köşeden karşısındaki kenara (veya bu kenarın uzantısına) dik olarak indirilen doğru parçasına bu kenara ait yükseklik denir.
Bir kenar ile bu kenara ait yükseklik arasındaki açı her zaman 90 derecedir.
Bazı üçgenlerde yükseklik direk olarak kenarın üzerine gelir.
Örneğin, yukarıdaki üçgende BC kenarına ait yükseklik, BC kenarı ile kesişmektedir. Yukarıdaki üçgende BC’ye ait yükseklik AD ile tanımlanmıştır.
Bazı üçgenlerde ise yükseklik, kenarla değil de, kenarın uzantısı ile kesişir.
Örneğin, yukarıdaki üçgende BC kenarının yüksekliği, bu kenarın uzantısı ile kesişmektedir.
Bir üçgende 3 kenar olduğu için, her bir kenara 1 tane olmak üzere, 3 farklı yükseklik tanımlanabilir.
Yukarıdaki grafiklerde
gösterilmiştir.
Tüm üçgenlerde, üç yükseklik bir noktada kesişirler. Kesişme noktası, üçgenin iç açılarına göre üçgenin içinde, dışında veya bir köşesinde olabilir.
Eğer üçgenin tüm açıları 90 dereceden küçükse, yüksekliklerin kesişme noktası üçgenin içindedir.
Eğer üçgenin açılarından biri 90 dereceden büyükse, yüksekliklerin uzantıları üçgenin dışında kesişir.
Eğer üçgenin bir açısı 90 derece ise, yüksekliklerin kesişme noktası, açısı 90 derece olan köşededir.
Bir kenarın orta noktası ile karşısındaki köşe arasına çekilen doğru parçasına kenarortay denir.
Yükselikte olduğu gibi, üçgenin her bir kenarına ait bir kenarortayı vardır.
Yukarıdaki grafiklerde
gösterilmiştir.
Bir üçgendeki üç kenarortay bir noktada kesişirler. Bu nokta, her zaman üçgenin içindedir.
Bir köşeden, karşısındaki kenara kadar giden ve bu köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına, açıortay denir.
Her bir köşedeki açının bir açıortayı olduğu için, bir üçgende 3 açıortay vardır.
Yukarıdaki grafiklerde
gösterilmiştir.
Bir üçgendeki üç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta, her zaman üçgenin içindedir.
Üçgenin alanını bulabilmek için bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliği çarpar sonucu ikiye böleriz.
Örneğin, yukarıdaki üçgenin alanı,
$$\text{Alan}={|BC|.|AD| \over 2}$$
formülü ile bulunur.
Eşkenar bir üçgen için, açıortay, kenarortay ve yükseklik aynı doğru parçasıdır.
Örneğin yukarıdaki eşkenar üçgende AD doğru parçası, hem BC’nin yüksekliği, hem kenarortayı, hem de A açısının açıortayıdır. Benzer şekilde, diğer kenarlar için de yükseklik, açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır.
İkizkenar bir üçgende farklı olan kenara ait yükseklik, kenarortay ve eş olan kenarlar arasındaki açının açıortayı aynı doğru parçasıdır.