g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri.
Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin ardından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.
Teorem
U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z - z0| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın. C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun. O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı
ifadesi doğru olur.
Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir. Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z0) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar. Özellikle, f aslında
ile sonsuz kere türevlenebilirdir. Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir.
C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir. Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir.
Kanıt taslağı
Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir. f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir. Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki
integrali 2πi 'ye eşittir. Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysa
ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin
Örnek
|z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve
ele alınsın.
g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir. z1 = − 1 + i ve z2 = − 1 − i ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir:
Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar. Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z1 ve z2 etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu küçük kontürler z1 ve z2 için sırasıyla C1 ve C2 olsun.
C1 etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin
formunda yazılmasına olanak verir. Şimdi
olur. Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa
elde edilir.