İki katlı integral. Görevler. özellikleri 2019
İki katlı integral. Görevler. özellikleri
"Çift katlı" kavramına yol açan problemler.
- Bir düzlem materyali varsayalımYoğunluğun bilindiği her noktada bir plaka. Bu tabağın kütlesini bulmamız gerek. Bu plaka net boyutlara sahip olduğundan, bir dikdörtgen içine alınabilir. Plakanın yoğunluğu aşağıdaki şekilde de anlaşılabilir: dikdörtgenin plakaya ait olmayan noktalarında, yoğunluğun sıfır olduğunu varsayarız. Eşit sayıda parçacık halinde eşit bir bölünme tanımlarız. Böylece, verilen şekil, temel dikdörtgenlere ayrılacaktır. Bu dikdörtgenlerden birini düşünün. Bu dikdörtgenin herhangi bir noktasını seçiyoruz. Böyle bir dikdörtgenin küçük boyutu nedeniyle, verilen dikdörtgenin her noktasındaki yoğunluğun sabit bir değer olduğunu varsayacağız. Daha sonra, böyle bir dikdörtgen parçacık kütlesi, bu noktada yoğunluğun dikdörtgenin alanı ile çarpımı olarak tanımlanacaktır. Alan, bildiğiniz gibi, dikdörtgenin uzunluğunun genişlikle çarpılmasıdır. Ve koordinat düzleminde - bu adım bir adımla değişiyor. Daha sonra, tüm plakanın kütlesi, bu gibi dikdörtgenlerin kütlelerinin toplamı olacaktır. Eğer böyle bir ilişkide sınırlara gidersek, kesin bir ilişki kurabiliriz.
- Sınırlanmış bir mekansal beden tanımlarızkoordinatların kaynağı ve bazı işlevler. Belirtilen bedenin hacmini bulmak gereklidir. Önceki durumda olduğu gibi, alanı dikdörtgenlere ayırıyoruz. Etki alanına ait olmayan noktalarda, fonksiyonun 0 olacağı varsayılacaktır. Dikdörtgen bölümlerden birini düşünelim. Bu dikdörtgenin kenarları boyunca, apsis ve ordinat eksenlerine dik olan düzlemler çiziyoruz. Aşağıda, aplikatörün eksenine göre düzlem tarafından alttan sınırlanan ve yukarıdan, problemin durumunda belirtilen işlevle bir paralele elde edilir. Dikdörtgenin ortasında bir nokta seçiyoruz. Bu dikdörtgenin küçük boyutu nedeniyle, bu dikdörtgenin içindeki fonksiyonun sabit bir değere sahip olduğunu varsayabiliriz ve sonra dikdörtgenin hacmini hesaplayabilirsiniz. Ve bir rakamın hacmi, bu gibi dikdörtgenlerin tüm hacimlerinin toplamına eşit olacaktır. Tam değeri elde etmek için, sınırlara gitmelisiniz.
Ortaya çıkan sorunlardan da anlaşılacağı gibi, her bir örnekte, farklı problemlerin aynı türden çifte toplamları dikkate aldığına varıyoruz.
Çift katlı integralin özellikleri.
Problemi koyalım. Belirli bir kapalı bölgede, verilen fonksiyonun sürekli olduğu iki değişkenli bir fonksiyonun verildiğini varsayalım. Bölge sınırlı olduğundan, söz konusu alanın noktasının özelliklerini tamamen içeren herhangi bir dikdörtgene yerleştirebilirsiniz. Dikdörtgeni eşit parçalara böleriz. Ortaya çıkan dikdörtgenlerden en büyük çaprazı kırmanın çapını çağırıyoruz. Şimdi böyle bir dikdörtgenin sınırlarında bir nokta seçiyoruz. Eğer bu noktada toplamı eklemek için bir değer bulursak, o zaman bu tür bir verilen alandaki fonksiyon için integral olarak adlandırılacaktır. Böyle bir ayrılmaz toplamın sınırının, bozulmanın çapının 0'a ve dikdörtgenlerin sayısının sonsuzluğa kadarki koşulları altında bulunur. Eğer böyle bir sınır mevcutsa ve bölgenin dikdörtgenlere ve bir nokta seçimine nasıl bölündüğüne bağlı değilse, o zaman çift integral olarak adlandırılır.
Çift integralin geometrik içeriği: çift integral, Problem 2'de tarif edilen vücudun hacmine sayısal olarak eşittir.
Çift integrali (tanım) bilmek, aşağıdaki özellikleri ayarlayabilirsiniz:
- Sabit, integral işaretinin dışında alınabilir.
- Toplamın (fark) ayrılmazı integrallerin toplamına (farkına) eşittir.
- Fonksiyonlardan, çift integrali daha küçük olandan daha azdır.
- Modül, ikili integral işareti altında tanıtılabilir.
İki katlı integral. Görevler. özellikleri 2019
Related news
İki katlı integral. Görevler. özellikleri