Topoloji/Süreklilik
Çözümlü Alıştırmalar[değiştir]
SORU : (a) Tanım kümesi üzerinde ayrık topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.
(b) Değer kümesi üzerinde indiskret topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.
Çözüm : (a) ve topolojik uzay, bir fonksiyon olsun. üzerindeki topolojinin ayrık topoloji olduğunu düşünelim.
, 'de bir açık küme olsun. Bu durumda 'tir. üzerinde ayrık topoloji bulunduğundan 'in her alt kümesi açıktır ve buradan kümesi de 'te açıktır ve böylece sürekli olur.
(b) ve topolojik uzay, bir fonksiyon olsun ve üzerindeki topolojinin indiskret topoloji olduğunu düşünelim. Bu durumda 'deki açık kümeler yalnızca ve 'dir. Üstelik olduğundan,
olur. üzerindeki topoloji ne olursa olsun ve açık kümeler olacaklarından 'den alınan her bir açığın ters görüntüsü 'te açıktır ve böylece sürekli bir fonksiyondur.