Königsberg’in Yedi Köprüsü Problemi şudur: Şehrin herhangi bir noktasından başlayıp, her köprüden yalnızca bir defa geçmek şartıyla bir şehir turu yapılabilir mi?
Königsberg’in Yedi Köprüsü Problemi şudur: Şehrin herhangi bir noktasından başlayıp, her köprüden yalnızca bir defa geçmek şartıyla bir şehir turu yapılabilir mi?
Çözüme geçmeden önce, Matematikte çok farklı kapılar açan bu problemi çözmeyi denemenizi tavsiye ediyorum.
Anlaşılması basit olan bu probleme çözüm bulunamamış, neden bulunamadığı ise 1736 yılında ünlü matematikçi Leonhard Euler’in çözümüyle açıklığa kavuşmuştur.
Euler çözümünde kara parçalarını harflerle, köprüleri ise sayılarla işaretlemiştir. Çözümü kolaylaştırmak ve şekli daha sade hale getirmek amacıyla kara parçalarının noktalarla, köprülerin ise çizgilerle temsil edildiği ikinci bir şekil yani graf (çizge) çizilir. Graflar graf elemanı, noktalar düğüm, düğüme bağlı olan elemanların sayısı ise düğüm derecesi olarak adladırılmak üzere soru, grafın herhangi bir düğümünden başlayarak yedi elemanının her birini bir ve yalnız bir kere kullanarak dolaşma problemine dönüşmüş olur. Bu grafta A, B ve D düğümlerinin derecesi 3, C düğümünün derecesi ise 5’tir.
1736’da Euler’in incelemeleri böyle bir gezintinin mümkün olmadığını kanıtlamış ve bu tür dolaşmayı mümkün kılacak grafların şu özelliklere sahip olmaları gerektiğini göstermiştir: Birleşik bir grafın bütün elemanlarını bir ve yalnız bir defa kullanarak dolaşmak için o grafın tek dereceli düğümlerinin sayısı eğer varsa iki olmalıdır. Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafta böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.
Leonhard Euler’in bu araştırmaları matematikte tamamıyla yeni bir dal olan graf teorisinin ilk teoremi ve topolojinin keşfinin habercisi olmuştur. Çözümün ardından Euler, “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” isimli makaleyi yayımlamıştır.
Ayrıt rotalama problemleri, pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir rota en iyilemesi problemidir. Bu problemin, gerçek hayatta mektup dağıtımı, yol bakımı, kar temizleme, çöp toplama, devriye araçları ve yol tuzlama konularında pek çok uygulaması vardır. Gerek hükümetler gerekse de işletmeler her yıl bu işlemler için önemli harcamalar yapmaktadırlar. Fakat planlamanın etkin olarak yapılamaması durumunda önemli miktarlarda kaynak israfı söz konusudur.
Yararlanılan Kaynak: https://tr.wikipedia.org/wiki/Königsberg’in_yedi_köprüsü
matematikciler.com
Türev ve integral matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı, kavramların ne anlama geldiği öğrenciye söylenmeden, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır.
Örneğin türev için “sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt” denmekte, integrali anlatmak içinse “üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz” gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.
Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak
Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki… Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:
Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim”i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.
Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.
Görseldeki İntegrali Anlamak
Trigonometri konusunun olmazsa olmazlarıdır özel açıların trigonometrik oranları.
Eşkenar üçgeni, ikizkenar üçgeni ve pisagor bağıntısını bilen herkes aslında bu oranları hesaplayabilir.
30°-60°-90° ve 45°-45°-90° üçgenlerinin çizilmesiyle bu açıların oranları karşımıza çıkmaktadır.
Ancak bu çıkarımları yapmaktansa kimi zaman öğrencilere ezberlemek daha kolay gelir.
Parmak hesabı trigonometri ile sinüs ve kosinüs değerlerini nasıl bulabileceğinizi aşağıdan görebilirsiniz.
Tanjant ve kotanjantı da siz hesaplayabilirsiniz.
(Biliyorsunuz ki tanjant=sinüs/kosinüs ve kotanjant=kosinüs/sinüs’e eşittir.)
İki sayı birbirinin kendisi hariç pozitif bölenleri toplamına eşitse bu sayılara arkadaş sayılar denir.
En küçük arkadaş sayı çifti 200 ve 284’tür.
Bu iki sayı arkadaş sayıdır çünkü 220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 284’e, 284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı 220’ye eşittir.
220’nin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
284’ün kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1636’da Fermat 17296 ve 18416’nın arkadaş sayı olduklarını keşfetti.
Üçüncü çifti Descartes keşfetti.
Leonhard Euler ise, kendi bulduğu 59 çift ile birlikte 62 çiftten oluşan bir liste hazırladı.
1866’da 16 yaşındaki İtalyan Nicolo Paganini 1184 ve 1210 sayılarının da böyle bir çift olduğunu gösterdi.
İlk 10 arkadaş sayı çifti (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), ve (66928, 66992)’dir.
matematikciler.org
GeoGebra, eğitimin tüm seviyeleri için geometri, cebir, hesap tabloları, grafik, istatistik ve calculus’ü kullanımı kolay bir pakette birleştiren dinamik bir matematik yazılımıdır. GeoGebra, nerdeyse her ülkede yerleşik milyonlarca kullanıcıyla hızla genişleyen bir topluluktur. GeoGebra, fen bilimleri, teknoloji, mühendislik ve matematik eğitimini (STEM) ve dünya genelinde öğrenim ve öğretimde innovasyonu destekleyerek önde gelen bir dinamik matematik yazılımı haline gelmiştir.
GeoGebra, ilkokul seviyesinden üniversite seviyesine kadar, öğrencilerin matematiği ve bilimi daha iyi anlamaları için geliştirilen bir dinamik matematik yazılımıdır. 2001 yılında Salzburg Universitesi’ nde yüksek lisans öğrencisi olan Markus Hohenwarter’ ın tezi için geliştirilen GeoGebra 62 dile çevrilip 190 ülkede öğrenciler, öğretmenler ve araştırmacılar tarafından kullanılmaktadır (Hohenwarter & Fuchs, 2004; Lavicza, 2014). GeoGebra’ yı kullanarak oluşturulan materyalleri paylaşmak amacı ile farklı ülkelerde GeoGebra Enstitüleri kuruluştur.
Bugün 85 ülkede 153 tane GeoGebra Enstitüsü bulunmaktadır (Lavicza, 2014).
Sizin de gördüğünüz gibi GeoGebra’ nın popülerlliği her geçen gün artmaktadır. Bir ay içerisinde 1.000.000’ dan fazla kişi GeoGebra’ nın resmi sitesini ziyaret etmektedir (Lavicza, 2014).Bu noktada,GeoGebra’ nın neden bu kadar popüler bir araç olduğunu merak edebilirsiniz. Aslında bu sorunun beni teşvik etmesi sonucu araştırmalar yaptım ve elde ettiğim ilk bulgularımı aşağıda sizinle paylaşmak istiyorum.
Kısa Bilgiler
» Geometri, Cebir ve Hesap tabloları ilişkilendirilmiştir ve tamamen dinamiktir
» Kullanımı kolay bir arayüz ve çok güçlü özellikler
» Web sayfası olarak etkileşimli öğrenme materyali oluşturmak için yardımcı bir araç
» Dünyanın her yerindeki milyonlarca kullanıcı için her dilde mevcut
» Açık kaynak kodlu yazılım Ticari olmayan kullanımlar için ücretsiz
Geogebra programını:
» Windows tabletinizde, iPadinizde, Android tabletinizde,
» Windows bilgisayarınızda, Mac bilgisayarınızda, Linux bilgisayarınızda,
» Android telefonunuzda kullanabilirsiniz.
GEOGEBRA PROGRAMINI İNDİR http://www.geogebra.org/download
matematikciler.org
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
# Alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel çokgensel bölgelerden oluşan, yan yüzleri ise dörtgensel bölge olan geometrik cisimlere prizma adı verilir.
# Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. (Örneğin tabanları birbirine paralel eş üçgensel bölge olan prizmaya üçgen prizma adı verilir.)
# Prizmanın temel elemanları; tabanları, yan yüzleri, ayrıtları, köşeleri ve yüksekliğidir.
# Prizmanın yüksekliği tabanları arasındaki dik uzaklıktır. Tabanlardan birinin herhangi bir noktasından diğer tabanına indirilen dikmedir.
# Tabanlarının kaşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtları (yan yüzdeki ayrıtları) tabana dik olan prizmalara dik prizma, dik olmayan prizmalara eğik prizma denir.
# Dik prizmaların yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden, eğik prizmaların yan yüzleri paralelkenarsal bölgelerden oluşur.
# Prizmaların taban merkezlerinden geçen doğruya eksen adı verilir.
# Bir prizma ekseni etrafında 360°’den daha küçük bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle en az bir kere çakışıyorsa dönme simetrisine sahiptir. Dönme simetrisine sahip bir şeklin ilk defa kendisiyle çakıştığı açıya en küçük dönme simetri açısı denir.
# Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, tabanlarının dış açılarına eşittir.
# Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, 360’ı taban kenar sayısına bölerek bulunabilir.
Örneğin: Eşkenar üçgen dik prizmanın en küçük dönme simetri açısı : 360/3 =120°
# Bir çokgensel bölgeyi oluşturan bütün noktaların, bu noktaların bulunduğu düzlemin dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme piramit adı verilir.
# Piramitler tabanlarına göre isimlendirilirler. (Örneğin üçgen piramit, kare piramit, dörtgen piramit gibi.)
# Piramidin temel elemanları; tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.
# Piramidin yüksekliği, tepe noktası ile tabanı arasındaki dik uzaklıktır. Tepe noktasından tabanına indirilen dikmedir.
# Piramidin tabanı çokgensel bölge, yan yüzleri üçgensel bölgedir.
# Piramidin tepe noktasını tabanının merkezine (tabanın ağırlık merkezine) birleştiren doğru parçası tabana dik ise böyle piramide dik piramit, dik değil ise eğik piramit adı verilir.
# Dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde elde edilen iki parçadan tepe noktasının bulduğu kısım yine dik piramit olur. Tabana paralel olmayan bir düzlemle (tabanı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyen) kesilirse eğik piramit olur.
# Tabanı düzgün çokgen olan dik piramitlerde, prizmalarda olduğu gibi dönme simetrisi vardır.
Örneğin tabanı kare olan dik piramidin en küçük dönme simetri açısı: 360/4 =90°
# Bir dairenin bütün noktalarının dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme koni adı verilir.
# Koninin temel elemanları; dairesel bölge olan tabanı, taban düzlemi dışındaki bir nokta olan tepe noktası, tepe noktasıyla taban merkezinden geçen doğru olan ekseni, tepe noktasıyla taban çevresi üzerindeki bir noktadan geçen ana doğrusu (doğuran), ana doğrunun taban çevresi etrafında döndürülmesiyle oluşan yanal yüzeyidir.
# Ekseni tabana dik olan konilere dik koni (veya dönel koni), dik olmayan konilere eğik koni adı verilir.
# Dik koni tabanına paralel bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça dik koni oluşturur. Tabanına paralel olmayan, tabanından ve tepe noktasından geçmeyen bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça eğik koni oluşturur.
# Dik koniler her açıda dönme simetrisine sahiptirler.
# Dik koninin yanal yüzü, bir dairenin belirli bir açı ile elde edilen dilimidir (sektör). Bu daire diliminin yarıçapı koninin anadoğrusunun tepe noktasıyla taban çevresi arasında kalan parçasına eşittir.
Taban cevresi = Daire dilimi cevresi
2π r= 2π a.α/360
r=a.α/360
r/a =α/360
# Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine küre denir.
# Kürenin temel elemanları; merkezi, yarıçapı ve yüzeyidir.
# Bir düzlemin küre ile olan arakesiti en büyük daire ise bu düzlem kürenin merkezinden geçer. Oluşan arakesit dairedir, bu dairenin merkezi kürenin de merkezidir ve bu dairenin yarıçapı kürenin de yarıçapıdır.
# Merkezinden geçen düzlemlerle kürenin ara kesitine büyük daire, küre yüzeyinin ara kesitine büyük çember adı verilir.
# Özel bir küre, merkezi ve yarıçapı ile belirlenir.
# Küre açınımı yüzünden diğer cisimlerden ayrılır çünkü tam olarak açılamaz.
Acaba doğru besleniyor muyuz ?
İnsan vücudu mükemmel bir fabrika gibi kusursuzca çalışıyor, bu fabrikaya gerekli ilgiyi ve bakımı göstermediğimiz zaman arıza veriyor,sonucunda hastalıklar oluşuyor.
Yemediğimiz, içtiğimiz gıdaların çok büyük bir rolü var bu vücut dengesini sağlamak üzerine.
Özellikle sınavlara hazırlananlar beslenmeniz çok önemli; Lütfen dikkatle okuyunuz…
Çoğu arkadaşımız;
Konsantre olamamaktan,
Öğrendiklerini çabucak unutmaktan,
Dikkatini veremeyip aynı sayfayı/soruyu tekrar tekrar okuduklarından yakınıyorlar
Acaba hangi besinler beynimizin daha iyi çalışmasına yardımcı olur..?
Ceviz, fındık, fıstık:
Konferanslarda, derslerde, uzun araba yolculuklarında, sinirleri kuvvetlendirirken, beyindeki haber alma maddelerinin oluşumunu hareketlendirirler.
Soğan:
Aşırı yıpranmaya, fiziksel yorgunluğa karşı. Kanı sulandırır, beyin oksijeni daha iyi alır.
Karides:
Beyin besinidir. Vücuda önemli omega 3 yağ asitleri sağlar. Dikkat verme süresini daha uzatır.
..
Lahana
Tiroit bezlerinin aktivitesini yavaşlattığı için daha stressiz öğrenmeyi sağlar. Stresin getirdiği atıştırma krizlerinde, düşük kalorisi sayesinde bol bol çiğ olarak yenebilir.
Limon- Portakal:
C vitamininden dolayı canlandırır, algılama yeteneğini artırır. Çalışma ve sınav öncesi, limonata veya portakal suyu
Yaban mersini:
Beynin kanla daha iyi beslenmesi için, uzun süreli bir öğrenmede ideal bir meyvedir.
Havuç:
Beyin metabolizmasını canlandırarak, hatırlama yeteneğini arttırır, Bir şey ezberlerken bir küçük tabak sıvı yağlı havuç salatası yiyin.
Ananas:
Uzun bir metin ezberleyebilmek için fazla miktarda C vitaminine ihtiyaç vardır. Ayrıca önemli bir eser halinde element olan mangan içerir.
Avokado:
Kısa süreli hafıza içindir. Fazla miktarda yağ asidi içerir. Yarım avokado yeterlidir.
Zencefil: İçerdiği maddeler beynin yeni fikirler üretmesini sağlar. Kan sulandığı için vücutta daha serbest akar, beyin oksijenle beslenir.
Kimyon: İçerdiği uçucu yağlar bütün sinir sistemini uyarır. Aniden bir fikre, bir buluşa ihtiyacı olan kimyon çayı içmelidir (bir fincana iki tatlı kaşığı dolusu kimyonla).
Çilek: Bir küçük kase çilek, stresi giderir, mutluluk verir.
Muz: Serotonin içerdiği için mutluluk verir.
Kırmızı biber: Aroma maddeleri vücudun mutluluk hormonu endorphinin salgılanmasını sağlar. Çiğ ve acı olanı en etkilidir.
(Çilek ve muz: unutmayın 🙂 (ballı olsun)
STRESE KARŞI:
Gerginken yenmek istenen çikolata, hamur işi,tatlı gibi besinler, kola, kahve gibi içecekler çok miktarda şeker ve kafein içerdikleri için sinirleri bozarlar. Doğru bir beslenme stresli zamanların üstesinden gelmemizde bize yardımcı olacaktır. Bunun için de yanlış alışkanlıklarımızı değiştirmemiz gerekecektir.
Nedir Bu Pi Sayısı?
Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen sayıdır. Bu oran her daire için aynı değeri aldığından, π sayısı bir matematiksel sabittir.
Günlük kullanımda basitçe π ≈ 3,1416 olarak ifade edilmesine rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır.
İlk 65 basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:
3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923
Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.
Nedir Pi Sayısını Çekici Kılan?
Pi, kültürel açıdan matematiksel sabitler içersinde en çok etki yaratanıdır. Bunu en basit nedenleri çok eskiden beri bilinmesi, çember gibi çok yaygın bir geometrik cisimle ilgili olmasi ise de bir başka nedeni de görünüşe göre bir kural izlemeyen ondalık açılımının insan aklını zorlayan kavranışıdır. Her ne kadar matematiksel açıdan π çok az bir gizem içerse de popüler kültürde bunun aksini işleyen eserler bolca mevcuttur. Ayrıca Eski Ahit’in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, kökten dinci hristiyanlar arasında π’nin değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesini savunanlar da vardır.
Pi Sayısının ilk 12 rakamını ezberlemek için yazılmış bir şiir (Davut AltınSu) :
Sen çözebilirmisin o sırlı rakamları?
3 14 1 5 9
Bu sözümü düşün, Çöz gizli sırımızı!
2 6 5 3 5 8
Pi Sayısının Adı Nerden Geliyor?
Pi sayısı ismini, Yunanca περίμετρον yani “çevre” sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi’nde Pİ ile sembolize edilir. Ayrıca pi sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.
Pi Sayısının Tarihçesi
Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte.
Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.
Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.
Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur.
Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.
Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler.
Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır.
Doğada görülebilen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı verilebilir. Fraktala en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.
Fraktalın özellikleri Nelerdir ?
Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler,düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)
Fraktalların bir başka önemli özelliği de, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan fraktalların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyut, genellikle tam sayı olmayan bir sayıyla, yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut, bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.
Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4’e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir; yani;
3d =4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1,26’dır. Fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.
Fraktal Nerelerde Yararlanılır Kullanılır ?
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.
Fraktal örnekleri:
matematikciler.org