Sonlu ve Sonsuz kümeler birbirinden tamamen farklıdır. Sonlu küme sayılabilir ve sonlu sayıda eleman içerir. Sonlu olmayan kümeye sonsuz küme denir. Sonsuz bir kümede bulunan elemanların sayısı sayılabilir değildir ve sonsuza kadar uzanır.
Sayfa içeriği
- Sonlu ve Sonsuz Kümelerin Tanımı
- Sonlu ve Sonsuz Kümeler Arasındaki Fark
- Sonlu ve Sonsuz Kümelerin Kardinalitesi
- Sonlu ve Sonsuz Kümeler Venn Şeması
- Sonlu ve Sonsuz Kümeler Hakkında SSS
Sonlu ve Sonsuz Kümelerin Tanımı
sonlu kümeler Sonlu veya sayılabilir sayıda elemana sahip kümelerdir. İçinde bulunan elemanlar sayılabilir olduğu için sayılabilir kümeler olarak da bilinir. Sonlu kümede eleman sayma işlemi sona erer. Sette başlangıç ve bitiş öğeleri bulunur. Sonlu bir kümenin bir alt kümesi ve bir kuvvet kümesi sonludur. İki sonlu kümenin birleşimi sonludur. Ve liste gösterimi biçiminde kolayca temsil edilebilir. Örneğin, İngiliz alfabesindeki ünlüler kümesi, küme A={a, e, i, o, u} kümesinin elemanları sayılabilir olduğu için sonlu bir kümedir.
sonsuz küme sonlu olmayan bir küme olarak anlaşılabilir. Sonsuz bir kümenin elemanlarını saymak mümkün değildir. Elementler sonsuzdur veya sayılamaz. Herhangi bir kümenin başından veya sonundan sonsuz olması veya her iki tarafının da sürekliliği varsa, o kümenin sonsuz olduğunu söyleyebiliriz. İki sonsuz kümenin birleşimi, sonsuz bir kümenin kuvvet kümesi ve sonsuz bir kümenin üst kümesi de sonsuzdur.
Örneğin, W={0, 1, 2, 3, ……..} yani tüm tam sayılar kümesi, elemanları sayılabilir olmadığından sonsuz bir kümedir.
Z={……… -2, -1, 0, 1, 2, ……….} yani tüm tamsayılar kümesi, elemanları sayılabilir olmadığından sonsuz bir kümedir.
Noktalar kümenin sonsuzluğunu temsil ettiği için sonsuz bir kümenin elemanları noktalarla temsil edilir. Liste şeklinde temsil edilemez.
Sonlu ve Sonsuz Kümeler Arasındaki Fark
Sonlu ve sonsuz kümeler birbirine zıttır. Aşağıda listelenen noktalar, aralarındaki farkı gösterir.
- Sonlu bir kümede elemanlar sayılabilirken, sonsuz kümede birden fazla eleman sayılamaz.
- Sonlu kümelerde başlangıç ve bitiş öğeleri bulunur, bu nedenle süreklilik yoktur, oysa sonsuz kümeler baştan veya sondan sonsuzdur veya her iki tarafın da sürekliliği olabilir.
- İki sonlu kümenin birleşimi sonlu, iki sonsuz kümenin birleşimi ise sonsuzdur.
- Sonlu bir kümenin kuvvet kümesi sonluyken, sonsuz bir kümenin kuvvet kümesi sonsuzdur.
- Sonlu kümeler, liste biçiminde kolayca temsil edilebilirken, sonsuz kümeler, liste biçiminde temsil edilemez.
Sonlu ve Sonsuz Kümelerin Kardinalitesi
Bir kümenin kardinalitesi temel olarak kümenin boyutudur. Bu durumda sonlu kümeler, varsayalım ki G kümesi yalnızca sonlu sayıda öğeye sahipse, kardinalitesi G kümesindeki öğelerin sayısı olacaktır. Örneğin, bir yıldaki ayları içeren bir küme, öğeler sayılabilir olduğu için sonlu bir kümedir, bu nedenle bu kümenin kardinalitesi 12’dir.
Bu durumda sonsuz kümeler, kardinalite “∞” dir çünkü sonsuz kümeler bu formda N={1, 2, 3, ……….} yazılabilir. Fakat elemanlar listelenemez veya sayılamaz.
Boş Olmayan Sonlu Kümenin Kardinalitesi
Bir küme, başlangıç ve bitiş öğeleri içeriyorsa, o küme sonlu bir kümedir. Böylece, n(A) bir doğal sayı olmak üzere, n(A) ile eleman sayısı ile gösterilebilir. Örneğin, N={1,2,3….n} burada N, n’ye kadar olan doğal sayılar kümesidir ve boş olmayan sonlu bir kümedir, bu nedenle N kümesinin kardinalitesi n’dir.
Boş Sonlu kümenin kardinalitesi
Boş küme, elemanı olmayan ve { } veya ∅ olarak gösterilebilen bir kümedir. Örneğin P={ } Veya ∅. P kümesi boş bir kümedir. Yukarıda tartıştığımız gibi, sonlu kümenin sayılabilir sayıda elemanı vardır. Boş kümenin sıfır elemanı vardır, dolayısıyla sürekliliği olmayan sonlu sayıda elemana sahiptir. Yani bir boş küme, kardinalitesi sıfır olan sonlu bir kümedir..
Sonlu ve Sonsuz Kümeler Venn Şeması
Bir Venn diyagramı, her biri bir kümeyi temsil eden çoğunlukla dairelerden oluşan kapalı eğrilerin üst üste gelmesiyle oluşturulur veya başka bir deyişle, kümeler veya nesne grupları arasındaki ilişkileri göstermek için kullanılan bir şekildir. Aşağıdaki Venn şeması görüntüsü, sonlu küme ile sonsuz küme arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
Yukarıdaki görüntüde, {1, 13, 27} öğelerini içeren küme sonlu bir kümedir ve bir doğal sayılar kümesi ve bir tam sayı kümesi sonsuz kümelerdir. Sonsuz bir kümeden oluşturulabilecek birden çok sonlu küme vardır. Yukarıda verilen görüntü, sonlu bir kümenin sonsuz kümelerin içinde bulunduğu bir örneğini göstermektedir.
Sonlu ve Sonsuz Kümeler Hakkında SSS
Matematikte Sonlu ve Sonsuz Kümeler Nedir?
Önceden belirlenmiş veya sonlu sayıda elemanı olan bir kümenin sonlu bir küme olduğu söylenir; örneğin, D={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi, kardinalitesi 6 olan sonlu bir kümedir. Bir kümenin elemanları sayılamayan veya sonsuz ise kümeye sonsuz küme denir, örneğin bir düzlemdeki tüm noktaların kümesi sonsuz kümedir çünkü kümede sınır yoktur.
Sonlu ve Sonsuz küme arasındaki fark nedir?
Sonlu kümeler, sabit sayıda elemana sahip, sayılabilir ve liste şeklinde yazılabilen kümelerdir. Sonsuz bir küme, sonlu olmayan bir kümedir ve kümenin elemanları sonsuz veya sayılamayandır ve liste biçiminde yazılamaz. Bu, sonlu ve sonsuz kümeler arasındaki temel farktır.
Boş küme Sonlu mu Sonsuz mu?
Boş küme, eleman içermediği için sonlu kümedir. Kümede süreklilik olmadığı için boş küme sonsuz küme değildir.
Sonlu ve Sonsuz Kümenin Kardinalitesi Nedir?
Sonlu ve sonsuz bir kümenin kardinalitesi, kümede bulunan üye veya elemanların sayısıdır. Örneğin, A kümesi tüm İngiliz alfabelerinin bir kümesidir, sonlu bir kümedir. 26 eleman içerdiğinden sonlu kümenin kardinalitesi 26’dır.
Sonsuz bir kümenin kardinalitesi, eleman sayısı sınırsız olduğu için “∞” dir.
Sonlu ve Sonsuz Küme Örnekleri Nelerdir?
Sonlu ve sonsuz kümelerin bazı yaygın örnekleri aşağıda verilmiştir:
- Haftanın günleri kümesi W olsun. O halde W sonlu bir kümedir.
- Bir doğru üzerindeki noktaların kümesi Q olsun. O halde Q sonsuz bir kümedir.
- M bir yıldaki aylar kümesi olsun, o zaman M sonlu bir küme olsun.
Bir Kümenin Sonlu mu Sonsuz mu olduğunu nasıl anlarız?
Bir kümenin sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğunu belirleyen noktalar şunlardır:
- Sonsuz bir küme, baştan veya sondan sınırsızdır. Fakat her iki taraf da dayanıklılığa sahip olabilir. Sonlu kümede hem başlangıç hem de bitiş elemanları vardır.
- Bir küme sınırsız sayıda elemana sahipse bu küme sonsuz, elemanları sayılabilir ise sonlu kümedir.