Ortogonal koordinatlar
Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = (q1, q2, ..., qd) bir d koordinat kümesi olarak tanımlanır,hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir(not: üstsimge indis'tir, üstel değildir).Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi qk eğrilik, yüzey, veya hiperyüzey veya hangisiyse qk bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar (x, y, z) bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için x = sabit, y = sabit, ve z = sabit.,yüzeyler dik açıda buluşurlar,bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.
Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece,küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.
Konu başlıkları
Alıştırma[değiştir | kaynağı değiştir]
Vektör işlemleri ve fiziksel yasalar normalde Kartezyen koordinatlar'da kolay olsa da non-kartezyen ortogonal koordinatlar sıklıka farklı problemlerin çözümünde kullanılır,kuantum mekaniğinin alan teorisi, akışkan, elektrodinamik ve kimyasal türlerin difuzyon'u veya ısı'da bu gibi ortaya çıkan özellikle sınır değer probleminde..
Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece,küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.
Ortogonal koordinatların tercih nedeni genel eğrisel koordinatlar'ın basitleşirilebilmesidir: koordinatları ortogonal olmadığı durumlarda birçok komplikasyonlar ortaya çıkar. örneğin birçok problem,ortogonal koordinatlarda değişkenlerin ayrılmasıyla çözülür. Değişkenlere ayırma bir matematik tekniktir bir kompleksd-boyutlu problem, d tek-boyutlu problemlere dönüştürülerek bilinen fonksiyonun içindeki terimler çözülebilir. Birçok denklem Laplace denklemi veya Helmholtz denklemine indirgenebilir. Laplace denklemi ile 13 ortogonal koordinat sistemine, ve Helmholtz denklemi ile 11 ortogonal koordinat sistemine ayrılır. [1][2]
Metrik tensör içindeki off-diagonal terimler asla ortogonal koordinatlar değildirler Diğer bir deyişle, sonsuz kare uzunluğu ds2 her zaman kare sonsuz koordinat yer değiştirmelerinin bir ölçekli toplamı olarak yazılabilir
burada d boyuttur ve ölçek fonksiyonudur (veya ölçek faktörüdür)
metrik tensör çapraz bileşenlerinin karekök veya aşağıda açıklanan yerel bazda vektörlerin uzunlukları eşittir.
Burada ölçekleme fonksiyonu hi yeni koordinatlarda,gradient,Laplacian, diverjens ve curl. gibi diferansiyel operatörleri hesaplamak için kullanılıyor Kartezyen koordinat (x, y) standart bir iki boyutlu grid konformal haritalaması iki boyutlu ortogonal koordinat sistemleri üretmek için basit bir yöntemdir. Bir karmaşık sayı z = x + iy, gerçek koordinatlar x and y ile oluşturulabilmektedir.i kare kökü -1 temsil eder. ortaya çıkan karmaşık sayı yazılmış w = u + iv yazılmış ise Herhangi bir holomorfik fonksiyonu w = f(z) sıfır olmayan karmaşık türev ile bir konformal haritalama üretecektir.Daha sonra sabit biruve v, en eğrileri sabit xve y özgün çizgileri yaptığı gibi, dik açıda kesişir. iki boyutlu bir koordinat sisteminden üç ve daha yüksek boyutlarda ortogonal koordinatlar ya da (silindrik coordinatlar) içine çıkıntı yapan ya da kendi simetri ekseni yaklaşık bir iki boyutlu bir sistemin döndürülerek,ortogonal yeni bir boyut oluşturulabilir. Ancak, bu tür , iki boyutlu bir sistemin, çıkıntı veya çevirerek elipsoidal koordinatları elde edilemeyen üç boyutlu diğer ortogonal koordinat sistemleri vardır. Daha genel olarak dik koordinatlar bazı gerekli koordinat yüzeyleri ve dik yörüngeleri dikkate alınarak elde edilebilir.
Taban vektörler[değiştir | kaynağı değiştir]
Kovariant taban[değiştir | kaynağı değiştir]
Kartezyen koordinatlarda,taban vektörler(sabit) sabitlenir. daha genel çerçeve olan eğrisel koordinatlarda, uzayda nokta koordinatları ile belirtilir ve bu tür noktalar genellikle taban vektörler kümesi sabit değildir: Bu genel olarak eğrisel koordinatlar özüdür ve çok önemli bir kavramdır. ortogonal koordinatları ayıran temel vektörleri farklı olsa da, her zaman birbirlerine göreortogonaldir, yani. Diğer bir deyişle,
eğriliği tanjant vektörleri tarafından tanımlanan bu taban vektörler diğerlerini sabit tutmak bir koordinat değiştirmek sureti ile elde edilen, :
Burada r ve bir qi noktasında baz vektörlerin elde edildiği koordinattır . Sabitlenmemiş koordinat bir parametrik eğri eğri olarak zengindir ve parametreye (değişen koordinat) göre eğrinin türevi olduğu koordinatı için taban vektörüdür, başka bir deyişle, bir A eğrisi hariç tüm bir koordinat sabitleme ile elde edilmektedir Vektörlerin eşit uzunlukta olması gerekmediğini unutmayın.Normalize baz vektörleri bir şapka ile notaya ve uzunluğu ile bölünmesi ile elde edilir:
Bir vektör alanı baz vektörleri veya normalize baz vektörleri ile ilgili bileşenleri tarafından belirtilebilir. Normalize bazında bileşenlerin niceliklerinde netlik (örneğin, bir teğet hız yerine teğet hız kez ölçek faktörü ile uğraşmak isteyebilirsiniz) için uygulamalarda en yaygın, daha karmaşık olduğu derivasyonlarda normalize tabanlarda daha az yaygın görülür . Kullanılan bu fonksiyonlar ölçek faktörü olarak bilinir(bazen Lamé katsayıları olarak adlandırılan, bu biraz daha iyi bilinen katsayılardan kaçınılmalıdır in doğrusal elastisite aynı adı taşıyan) of the coordinates are basit uzunluğu taban vektörlerin uzunluğu(aşağıdaki tabloya bakınız).
Kontravariant taban[değiştir | kaynağı değiştir]
Yukardaki taban vektörler kovaryanttaban vektörler(çünkü bu birlikte "eş-değişir" vektörler)dir. Ortogonal koordinat durumunda, kontravaryant bazın vektörleri bildirdiğinden vektörleri olarak aynı doğrultuda olacak çünkü bulmak kolaydır ama karşılıklı uzunluğu (bu nedenle, birbirine göre iki set temel vektörleri karşılıklı olduğu söylenir ):
Bu, tanımı gereği gerçeğinin bir sonucudur, ,Kronecker delta kullanılıyor.
Şimdi yaygın olarak ortogonal koordinatlardaki üç farklı bazın vektörlerini tanımlamak için kullanılan kümelerle karşı karşıya: kovaryant bazınei, kontravaryant bazın ei, ve normalize tabana êi. Bir vektör kimliği herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız, yani bir nesnel miktar iken, bir vektörün bileşenleri vektör içeri gösterimi hangi baza bağlıdır Kafa karışıklığını önlemek için, vektörün bileşenleri x ile sırasıylaei taban gösterimi olarak xi, bileşenler sırasıyla ei taban gösterimi olarak xi:
İndis gösteriminin pozisyonu bileşenler ile şöyle hesaplanıyor(Üst indisi ile karıştırılmamalıdırüs). Burada toplam sembolü Σ (capital Sigma)olduğunu unutmayalım ve toplam sınırı, Tüm olarak vektörler üzerinden toplam belirten(i = 1, 2, ..., d),sıklıkla ihmaledilir.Bileşenler basitçe aşağıdaki ile ilgili:
Normalize tabana göre vektör bileşenleri için kullanılan herhangi bir ayırt edici yaygın gösterim vardır, bu yazıda vektör bileşenleri için indisler kullanmak ve bileşenleri normalize bazında nasıl hesaplanır buna dikkat edeceğiz..
Vektör cebri[değiştir | kaynağı değiştir]
Vektör ekleme ve olumsuzlama gibi herhangi bir komplikasyon ile kartezyen koordinatlarda akıllı-bileşen olacaktır. Ekstra hususlar diğer vektör işlemleri için gerekli olabilir Tüm bu işlemler için,bir vektör alanında iki vektörün (diğer bir deyişle, vektörlerin kuyrukları denk) aynı noktaya bağlı olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır.İki vektör, bileşenleri,uzayda farklı noktalarda hesaplanarak ilave edildiği takdirde baz vektörleri genel olarak, ortogonal koordinat değiştikleri için, farklı baz vektörleri düşünülmesi gerekir
Nokta çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]
Kartezyen koordinatlarda nokta çarpım (Öklid uzayı ile ortonormal taban kümesi) basit bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır.Dik koordinatlarda, x vey iki vektörün nokta çarpım vektörlerin bileşenleri normalize bazında hesaplanan familial form halini alır:
Bu noktada normalize edilmiş olarak, bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturmak gerçeğinin bir sonucudur :ortonormal baz grubu.
Kovaryant veya kontravaryant tabanlarındaki bileşenler için
Bu, kolaylıkla elde edilebilir, bileşen formu içindeki vektörler dışarı yazma temelinde taban vektörleri normalize ve nokta çarpım alarak elde edilebilir. Örneğin, 2D:
burada normalize kontravaryant ve kovaryant üsleri eşit olduğu gerçeği kullanılmıştır
Çapraz çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]
çapraz çarpım 3D kartezyen koordinatlarda:
Bileşenleri normalize bazında hesaplanır, yukarıdaki formül sonra ortogonal koordinatlarda geçerli kalır
Kovaryant veya kontravaryant üsleri ile dik koordinatlarda çapraz çarpımı oluşturmak için yine basitçe temel vektörleri normalize gerekir Örneğin:
açılımı yazılırsa,
Ortogonal olmayan koordinatları daha yüksek boyutlara basitleştirilmiş genellemesi çapraz çarpım için kısa ve öz gösterim ile Levi-Civita tensörü ile mümkündür bu ölçek faktörlerini bir değilse diğer billeşenler bir ve sıfır olacaktır.
Taban vektör formulleri[değiştir | kaynağı değiştir]
-
değişken eleman Vektörler Skalerler Doğrusal eleman koordinat eğrisinin tanjant vektörü qi: sonsuz uzunluk yüzey elemanı Normal koordinat yüzeyiqk = sabit: sonsuzyüzey Hacim elemanı N/A sonsuz hacim
burada
Jacobian determinanttır, Bu hacimdeki deformasyondan sonsuz küb dxdydzye ortogonal koordinatlar içinde sonsuz eğrilik hacminin geometrik karşılaştırma idi.
İntegral[değiştir | kaynağı değiştir]
Bir koordinatla başlanıp açıklanan yüzey alanı için bir sonsuz eleman qk sabittir:
Benzer şekilde, volum elemanı:
Bir örnek olarak, the Bir vektör fonksiyonu Fin yüzeysel integrali üzerinde bir q1 = sabit yüzey 3D içinde :
dir Not olarak F1/h1 normal yüzeyinin F bileşenidir .
Üç boyutlu diferansiyel operatörler[değiştir | kaynağı değiştir]
Bu işlemler uygulamada yaygın olduğu için, bu bölümdeki tüm vektör bileşenleri normalize esasına göre sunulmaktadır.
- bir vektör alanı'nın |Diverjans'ı
Operator Expression bir skaler alan Gradyan Bir vektör alanınınCurl Bir skaler alanın Laplasyeni
Ortogonal koordinatlar tablosu[değiştir | kaynağı değiştir]
-
Eğrisel koordinatlar (q1, q2, q3) Kartezyenden dönüşüm(x, y, z) ölçek çarpanı Küresel kutupsal koordinatlar Silindrik kutupsal koordinatlar Parabolik silindrik koordinatlar Paraboloidal koordinatlar Eliptik silindrik koordinatlar Yayvan küresel koordinatlar Yatık küresel koordinatlar Elipsoidal koordinatlar
where
Bipolar koordinatlar Toroidal koordinatlar Konikal koordinatlar
Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]
Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]
- ^ Eric W. Weisstein. "Orthogonal Coordinate System". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html. Erişim tarihi: 10 July 2008.
- ^ Morse and Feshbach 1953, Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
- ^ Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
- ^ a b Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]
- Korn GA ve Korn TM. (1961), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, ss. 164–182
- Morse & Feshbach (1953), Methods of Theoretical Physics, Volume 1, McGraw-Hill
- Margenau H. ve Murphy GM. (1956), The Mathematics of Physics and Chemistry, 2. basım, Van Nostrand,, ss. 172–192
- Leonid P. Lebedev ve Michael J. Cloud (2003), Tensor Analysis, ss. 81–88