2 Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
3 10. Eylemsizlik Momentleri Bu bölümde, bir alanın ve belli bir kütleye sahip bir cismin eylemsizlik momentini belirlemek için kullanılan yöntemi inceleyeceğiz. Alan eylemsizlik momenti, analiz ve tasarımlar yapılırken gerekli olduğundan, mühendislikte önemli konulardandır. Kütle eylemsizlik momenti de cismin hareketi incelenirken gerekli olmaktadır. 9. Bölümde bir alanın geometrik merkezini alanın bir eksene göre birinci momentini ele alarak belirledik. Hesaplamada xda şeklideki bir integralle karşılaştık. Bir alanın x 2 da gibi ikinci momentinin integralleri, alanın eylemsizlik momenti olarak adlandırılır.
4 10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Bir alanın eylemsizlik momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişen bir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar. y 2 da integrali, x eksenine göre alanın eylemsizlik momentidir.
5 10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Eylemsizlik Momenti. da diferansiyel elemanın x ve y eksenlerine göre eylemsizlik momentleri, sırasıyla di x =y 2 da ve di y =x 2 da ile tanımlanır. Tüm alan için eylemsizlik momentleri integralle belirlenir:
6 10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Eylemsizlik Momenti. da diferansiyel alanının O kutbuna veya z eksenine göre ikinci momenti: dj O =r 2 da olarak verilir. Buna kutupsal eylemsizlik momenti adı verilir. Buradaki r, da elemanının kutba (z eksenine) uzaklığını gösterir. Tüm alanın kutupsal eylemsizlik momenti:
7 10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Eylemsizlik Momenti. r 2 =x 2 +y 2 olduğundan, J O ile I x ve I y arasında bir bağıntı olduğu açıktır. Formüllerden J O ile I x ve I y nin daima pozitif olduğu görülmektedir. Eylemsizlik momenti birimleri, uzunluğun dördüncü kuvvetini içermektedir.
8 10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi Bir alanın geometrik merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti biliniyorsa, paralel eksen teoremi kullanılarak bu eksene paralel başka bir eksene göre eylemsizlik momentini belirlemek mümkündür. Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre eylemsizlik momentidir. İkinci integral sıfırdır. Üçüncü integral toplam alanı verir.
9 10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi Benzer ifadeler I y ve J O için de yazılabilir. Bu denklemlerin her biri, bir alanın bir eksene göre eylemsizlik momentinin, alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti ile alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının toplamına eşit olduğunu ifade eder.
10 10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi Bu kirişin mukavemet ve yer değiştirmesinin belirlenebilmesi için, kirişin kesit alanının eylemsizlik momentinin hesaplanması gerekir.
11 10.3 Alanın Eylemsizlik Yarıçapı Bir düzlemsel alanın eylemsizlik yarıçapı uzunluk birimindedir. Kolonların tasarımında sıkça kullanılan bir büyüklüktür. Alanlar ve eylemsizlik momentleri biliniyorsa, yandaki formüller yazılabilir. Bu denklemler kolayca hatırlanabilir. Çünkü, bir diferansiyel alanın bir eksene göre eylemsizlik momentini bulurken kullanılan denkleme benzemektedir. Örneğin, I x =k x2 A iken, bir diferansiyel eleman için di x =y 2 da dır.
12 10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması Bir düzlemsel alanın sınırları matematiksel fonksiyonlarla ifade edilebiliyorsa, alanın eylemsizlik momentlerini belirlemek için aşağıdaki denklem kullanılabilir. İntegrasyon için seçilen alan elemanı, şekildeki gibi iki doğrultuda diferansiyel boyuta sahipse, eylemsizlik momenti iki katlı integralle hesaplanır. Ancak, çoğu kez sadece bir doğrultuda diferansiyel boyuta veya kalınlığa sahip eleman seçilerek integral hesaplamak çok daha kolaydır.
13 10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması Analizde İzlenecek Yol. Bir alanın bir eksene göre eylemsizlik momenti tek bir integral işlemi ile belirlenecekse, önce da elemanını belirlemek gerekir. Bu eleman, çoğu kez bir sonlu uzunluk ve diferansiyel genişlik içeren bir dikdörtgen olur. Eleman, alanın sınırını keyfi (x, y) noktasında kesecek şekilde olmalıdır. Elemanın konumunu eylemsizlik momenti belirlenecek eksene göre seçmek için kullanılabilecek iki yol vardır.
14 10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilebilir. Bu hal, alanın I y eylemsizlik momentini belirlemek için şekildeki dikdörtgen eleman kullanılırsa söz konusu olur. Bu durumda, I y = x 2 da doğrudan uygulanabilir. Çünkü, eleman sonsuz küçük dx kalınlığına sahiptir ve dolayısıyla elemanın bütün parçaları y ekseninden x moment kolu mesafesinde bulunur.
15 10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilebilir. Bu hal, alanın I x eylemsizlik momentini belirlemek için şekildeki dikdörtgen eleman kullanılırsa söz konusu olur. Bu durumda, I x = y 2 da doğrudan uygulanabilir. Çünkü, eleman sonsuz küçük dy kalınlığına sahiptir ve dolayısıyla elemanın bütün parçaları x ekseninden y moment kolu mesafesinde bulunur.
16 10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması 2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik seçilebilir. Burada önceki denklemler kullanılamaz, çünkü elemanın bütün parçaları ilgili eksenlerden aynı moment kolu mesafesinde değildir. Örneğin, alanın I y sini belirlemek için şekildeki eleman kullanılırsa, önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksenler teoremi kullanılarak elemanın y eksenine göre eylemsizlik momenti belirlenmelidir.
17 Örnek 10-1 Şekilde gösterilen dikdörtgensel alanın: (a) x geometrik merkez eksenine göre, (b) Dikdörtgenin tabanından geçen x b eksenine göre ve (c) x y düzlemine dik olan ve C alan merkezinden geçen kutba veya z eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
18 Örnek Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilir. (a). (b). (c).
19 Örnek 10-2 Şekilde gösterilen taralı alanın x eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
20 Örnek Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel.
21 Örnek Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik.
22 Örnek 10-3 Şekilde gösterilen dairenin x eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
23 Örnek Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel.
24 Örnek Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik.
25 10.5 Bileşik Alanların Eylemsizlik Momentleri Bileşik alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi bitişik «basit» parça veya şekilden oluşur. Bileşik alanın eylemsizlik momenti, tüm parçaların eylemsizlik momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.
26 Örnek 10-5 Şekilde gösterilen bileşik alanın x eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.
27 Örnek 10-5 Daire Toplam Dikdörtgen
28 Örnek 10-6 Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y geometrik merkez eksenlerine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.
29 Örnek 10-6 A ve D Dikdörtgenleri B Dikdörtgeni Toplam
30 *10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti Bir alanın eylemsizlik momenti genellikle hesaplanan her eksen için farklı olur. Yapı veya mekanik tasarım uygulamalarında, alan için maksimum ve minimum eylemsizlik momentlerini veren eksenlerin yöneliminin bilinmesi gerekir. Bu eksenlerin yöneliminin belirlenebilmesi için öncelikle çarpım eylemsizlik momentlerinin belirlenmesi gerekir.
31 *10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti Seçilen alan elemanı, şekildeki gibi, iki doğrultuda diferansiyel boyuta sahipse, I xy nin bulunması için iki katlı integral alınması gerekir. Ancak, sadece bir doğrultuda diferansiyel boyuta sahip bir eleman seçilirse, tek bir integral işlemi yeterli olur.
32 *10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti x veya y ekseni alanın simetri ekseni ise I xy sıfır olur. Şekildeki (x,y) konumlu her da elemanına, (x,-y) konumlu bir da elemanı karşı gelir. Bu elemanların çarpım eylemsizlik momentleri sırasıyla xyda ve xyda olduğundan, bu şekilde seçilen bütün elemanların cebirsel toplamı veya integrali birbirini götürür.
33 *10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti I xy nin büyüklüğünün «işareti», alanın koordinat sisteminde yer aldığı çeyrek bölgeye bağlıdır.
34 *10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti Paralel Eksen Teoremi. da nın x ve y eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momenti ise, tüm alan için olur.
35 Örnek 10-7 Şekilde gösterilen üçgenin I xy çarpım eylemsizlik momentini hesaplayınız.
36 Örnek 10-7 Çözüm I
37 Örnek 10-7 Çözüm II
38 Örnek 10-8 Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y geometrik merkez eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momentini hesaplayınız.
39 Örnek 10-8 A Dikdörtgeni B Dikdörtgeni D Dikdörtgeni Toplam
40 *10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Tasarımlarda bazen θ, I x, I y ve I xy biliniyorken, bir u, v eğik eksen takımına göre I u, I v ve I uv eylemsizlik momentlerini hesaplamak gerekir. Bunun için, x ve y yi u ve v koordinatlarına bağlayan dönüşüm denklemlerini kullanırız. da nın u, v eksenlerine göre eylemsizlik momentleri
41 *10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri
42 *10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Birinci ve ikinci denklemler taraf tarafa toplanırsa, O noktasından geçen z eksenine göre kutupsal eylemsizlik momentinin, u ve v eksenlerinin yöneliminden bağımsız olduğu görülür.
43 *10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Asal Eylemsizlik Momentleri. Şimdi, alanın I u ve I v eylemsizlik momentlerinin maksimum olduğu u, v eksenlerinin yönelimini belirleyeceğiz. Bu özel eksen takımına alanın asal eksenleri ve bu eksenlere göre eylemsizlik momentlerine de asal eylemsizlik momentleri denir.
44 *10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Asal Eylemsizlik Momentleri. Bu denklemin, birbirinden 90 farklı, asal eksenlerin eğimini belirten iki kökü vardır. Asal eksenler için I uv =0 dır. Yani, herhangi bir simetri ekseni alanın bir asal eylemsizlik eksenini gösterir.
45 Örnek 10-9 Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının geometrik merkezden geçen bir eksene göre asal eylemsizlik momentlerini hesaplayınız.
46 Örnek 10-9
47 *10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Yukarıdaki denklemler, kullanımı ve hatırda tutulması kolay olan grafiksel bir çözüme sahiptir. Soldaki denklemlerin birinci ve üçüncüsünün kareleri alınır ve sonuçlar topmanırsa, aşağıdaki ifade elde edilir.
48 *10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Verilen bir problemde, I u ve I uv değişkendir ve I x, I y ve I xy bilinen sabitlerdir. Buna göre, aşağıdaki ifade yazılabilir. Bu denklemin koordinat eksenleri sırasıyla eylemsizlik momenti ve çarpım eylemsizlik moment eksenleri alınarak grafiği çizilirse, a=(i x +I y )/2 olmak üzere, (a,0) merkezli ve R yarıçaplı bir çember elde edilir. Bu çembere, Mohr çemberi denir.
49 *10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Küçük asal eylemsizlik momenti ekseni, I min Büyük asal eylemsizlik momenti ekseni, I maks Bu çembere, Mohr çemberi denir.
50 *10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Analizde İzlenecek Yol. Mohr çemberinin kullanılmasındaki temel amaç, I x, I y ve I xy nin asal eylesizlik momentlerine dönüşümü için uygun bir araç oluşturmaktır. I x, I y ve I xy. Alan için, P noktası orijinli x, y eksenleri oluşturulur ve I x, I y ve I xy belirlenir. Küçük asal eylemsizlik momenti ekseni, I min Büyük asal eylemsizlik momenti ekseni, I maks
51 *10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Çember. Apsisi I ve ordinatı I xy olan bir dik koordinat sistemi oluşturulur. Çemberin, orijinden (I x +I y )/2 uzaklıkta bulunan O merkezi belirlenir ve (I x, I xy ) koordinatlı A referans noktası işaretlenir. Tanım gereği, I x daima pozitiftir, I xy pozitif veya negatif olabilir. A noktası çemberin merkeziyle birleştirilir ve trigonometri yardımıyla OA uzaklığı belirlenir. Bu uzaklık, çemberin yarıçapını gösterir. Asal Eylemsizlik Momentleri. Çemberin apsisi kestiği noktalar I min ve I maks değerlerini verir. Bu noktalarda I xy sıfırdır.
52 *10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Asal Eksenler. Büyük asal eksenin doğrultusunu belirlemek için, trigonometri yardımıyla OA yarıçapından pozitif I eksenine doğru ölçülen 2θ p1 açısı belirlenir. Bu açı, söz konusu alanın x ekseninden I maks eksenine doğru ölçülen açının iki katını gösterir. Çemberdeki 2θ p1 açısı ile alanda x ekseniyle yapılan θ p1 açısı aynı yönde ölçülmelidir. I min ekseni I maks eksenine diktir.
53 Örnek Mohr çemberini kullanarak şekilde gösterilen kirişin kesit alanının geometrik merkezden geçen bir eksene göre asal eylemsizlik momentlerini hesaplayınız.
54 Örnek I x, I y ve I xy. Çember. Asal Eylemsizlik Momentleri.
55 Örnek Asal Eksenler.
56 10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti Bir cismin kütle eylemsizlik momenti, cismin açısal ivmesine direncini ölçen bir özelliktir. Dinamikte, dönme hareketinin incelenmesinde kullanılır. Birimi kg m 2 dir. Kütle eylemsizlik momenti, cismi oluşturan bütün dm kütle elemanlarının bir eksene göre ikinci momentlerinin integrali olarak tanımlanır. G kütle merkezinden geçen eksene göre hesaplanan eylemsizlik momenti I G ile gösterilir.
57 Örnek Şekilde gösterilen silindirin z eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız. Malzemenin ρ yoğunluğu sabittir.
58 Örnek 10-11
59 10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti Paralel Eksen Teoremi. Cismin, kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti bilinirse, paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti paralel eksen teoremi kullanılarak belirlenebilir.
60 10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti Eylemsizlik Yarıçapı. Bazen bir cismin özel bir eksene göre eylemsizlik momenti, kitaplarda eylemsizlik yarıçapı, k, kullanılarak verilir. Bu, uzunluk birimindedir ve bu değer ve cismin m kütlesi bilindiği zaman, eylemsizlik momenti belirlenebilir.
61 Örnek Kalınlık 0.01 m Gösterilen plağın yoğunluğu 8000 kg/m 3 ve kalınlığı 0.01 m olduğuna göre, O noktasından geçen ve sayfa düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.
62 Örnek Kalınlık 0.01 m Disk. Delik.
63 Örnek Sarkaç, şekilde gösterildiği gibi, O noktasından asılı her biri 10 lb ağırlığındaki iki ince çubuktan oluşmuştur. Sarkacın, (a) O daki pimden, (b) G kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
64 Örnek (a). OA Çubuğu Aynı değer paralel eksen teoremi ile de hesaplanabilirdi. BC Çubuğu
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
STATİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI, ALAN ATALET YARIÇAPI
ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 7 İç Kuvvetler Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 7. İç Kuvvetler Bu bölümde, bir
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık
Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli
BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER b) İkinci süreç eğik atış hareketine karşılık geliyor. Orada örendiğin problem çözüm adımlarını kullanarak topun sopadan ayrıldığı andaki hızını bağıntı olarak
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük
Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN KAYNAK KİTAPLAR Cisimlerin Mukavemeti F.P. BEER, E.R. JOHNSTON Mukavemet-2 Prof.Dr. Onur SAYMAN, Prof.Dr. Ramazan Karakuzu Mukavemet Mehmet H. OMURTAG 1 SİMETRİK
Fizik-1 UYGULAMA-7 Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi 1) Bir tekerlek üzerinde bir noktanın açısal konumu olarak verilmektedir. a) t=0 ve t=3s için bu noktanın açısal konumunu, açısal hızını
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Kuvvet Sistemi Bileşkeleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 4. Kuvvet Sitemi Bileşkeleri
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
Tanışma ve İletişim... Doç. Dr. Muhammet Cerit Öğretim Üyesi Makine Mühendisliği Bölümü (Mekanik Ana Bilim Dalı) Elektronik posta (e-mail): email@example.com Öğrenci Başarısı Değerlendirme... Öğrencinin
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin kullanılması daha kolay olacak.
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu
STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği STATİK Ağırlık Merkezi Örnek Sorular 2 Değişmeyen madde miktarına kütle denir. Diğer bir anlamda cismin hacmini dolduran
BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,
1 STATİK AĞIRLIK MERKEZİ 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 3.5 Pappus-Guldinus Teoremi 3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük 3.7 Sıvı
T.C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE DOĞA BİLİMLERİ FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER II DERSİ İÇ BASINÇ ETKİSİNDEKİ İNCE CIDARLI SİLİNDİRLERDE GERİLME ANALİZİ DENEYİ
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla
Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde; Kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemleri çözmede kullanılacaktır. Bölüm 3 DOÇ.DR.
KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 13 Parçacık Kinetiği: Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 13 Parçacık
Deney No : M3 Deneyin Adı : EYLEMSİZLİK MOMENTİ VE AÇISAL İVMELENME Deneyin Amacı : Dönme hareketinde eylemsizlik momentinin ne demek olduğunu ve nelere bağlı olduğunu deneysel olarak gözlemlemek. Teorik
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
YTÜ Makine Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı Özel Laboratuvar Dersi Strain Gauge Deneyi Çalışma Notu Laboratuar Yeri: B Blok en alt kat Mekanik Laboratuarı Laboratuar Adı: Strain Gauge Deneyi Konu:
AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik
KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi
DİNAMİK - 11 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 11. HAFTA Kapsam: İmpuls Momentum yöntemi İmpuls ve momentum ilkesi
Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller
EĞİLME Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır. EĞİLME Mühendislikte en önemli yapı ve makine elemanları mil ve kirişlerdir. Bu bölümde, mil ve kirişlerde
Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi firstname.lastname@example.org
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner email@example.com 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket
Fiz 1011 - Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik
Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü
Elemanlardaki İç Kuvvetler Bölüm Öğrenme Çıktıları Yapı elemanlarında oluşan iç kuvvetler. Eksenel kuvvet, Kesme kuvvet ve Eğilme Momenti Denklemleri ve Diyagramları. Bölüm Öğrenme Çıktıları Elemanlarda
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 14 Parçacık Kinetiği: İş ve Enerji Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 14 Parçacık
Q1-1 İki Mekanik Problemi (10 puan) Bu soruya başlamadan önce lütfen ayrı bir zarfta verilen genel talimatları okuyunuz. Kısım A. Gizli Disk (3.5 puan) r 1 yarıçaplı h 1 kalınlıklı tahtadan yapılmış katı
BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları
00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. T E CHAPTER 7 Gerilme MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Dönüşümleri Fatih Alibeoğlu 00 The McGraw-Hill
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji) Partikülün kinetiği bahsinde, hız ve yer değiştirme içeren problemlerin iş ve enerji prensibini kullanarak kolayca çözülebildiği söylenmişti. Ayrıca, kuvvet
-Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
BASİT MESNETLİ KİRİŞTE SEHİM DENEYİ Deneyin Amacı Farklı malzeme ve kalınlığa sahip kirişlerin uygulanan yükün kirişin eğilme miktarına oranı olan rijitlik değerin değişik olduğunun gösterilmesi. Kiriş
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Bu bölümde, düzlemsel levhaların veya düzlem levha gibi davranış sergileyen üç boyutlu cisimlerin hareketi üzerinde durulacaktır. Diğer bir ifadeyle, katı cisim üzerine etki
Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak
Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü
2-MANYETIK ALANLAR İÇİN GAUSS YASASI Elektrik yükleri yani pozitif ve negatif yükler birbirlerinden ayrı ve izole halde düşünülebilirler. Bu durum, Kuzey ve güney manyetik kutuplar için de söz konusu olabilir
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
www.sakarya.edu.tr MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ www.sakarya.edu.tr 1. DÜŞEY YÜKLÜ KİRİŞLER Cisimlerin mukavemeti konusunun esas problemi, herhangi bir yapıya uygulanan bir kuvvetin oluşturacağı gerilme
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. 4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta
Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 11 Enerji Yöntemleri Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 11.1 Giriş Önceki bölümlerde
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
İÇ KUVVETLER maçlar: ir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler ir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı,
2.1. Kuvvet 2.1.1. Kuvvet ve cisimlere etkileri Kuvvetler vektörel büyüklüklerdir. Kuvvet vektörünün; uygulama noktası, kuvvetin cisme etkidiği nokta; doğrultu ve yönü, kuvvetin doğrultu ve yönü; modülüyse
VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
-Fizik I 2013-2014 Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel: 2924332 İçerik Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği Açısal ve Doğrusal Nicelikler
Doç. Dr. Bilge DORAN Bilgisayar teknolojisinin ilerlemesi doğal olarak Yapı Mühendisliğinin bir bölümü olarak tanımlanabilecek sistem analizi (hesabı) kısmına yansımıştır. Mühendislik biliminde bilindiği
MUKAEMET I ÇÖZÜMÜ ÖRNEKER ders notu Yard. Doç. Dr. Erdem DAMCI Şubat 15 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler / 7 Örnek 1. Üzerinde yalnızca yayılı yük bulunan ve açıklığı olan bir basit kirişe ait eğilme momenti
İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin
DENEY 9 DENEYİN ADI BIOT-SAVART YASASI DENEYİN AMACI Akım uygulanan dairesel iletken bir telin manyetik alanı ölçülerek Biot-Savart kanunu deneysel olarak incelemek ve bobinde meydana gelen manyetik alan
EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele alınmıştı. Bu bölümde ise, eksenel yüklü elemanların şekil
DİNAMİK Ders_10 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2016-2017 GÜZ KÜTLE ATALET MOMENTİ Bugünün Hedefleri: 1. Rijit bir cismin