Üstel fonksiyon
Üstel işlev veya üstel fonksiyon, matematikte kullanılan işlevlerden biridir. Genel tanımı ax şeklindedir, burada taban a artı değere sahip bir sabittir ve üst x değişekendir. Çoğunlukla kullanılan şekli ex veya exp(x) sembolleriyle gösterilen şeklidir. Burada e, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, x ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.
Bazı kaynaklarda üstel fonksiyon, herhangi bir pozitif a tabanı için ax olarak tanımlanır. Bu maddede e tabanlı üstel fonksiyon anlatılacaktır. (Farklı tabanlı üstel fonksiyonlar ax = ex·ln a bağlantısı sayesinde e tabanlı üstel fonksiyona dönüştürülebilirler, bu yüzden de e tabanlı fonksiyonu incelemek yeterlidir.)
Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]
Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:
- Limit tanımı:
- Sonsuz seri tanımı:
- Türevsel denklem tanımı:
-
- ve eşitliklerini sağlayan fonksiyonuna denir.
- İntegral tanımı:
-
- eşitliğini sağlayan pozitif sayısına denir.
Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.
Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]
Yukarıdaki tanımlardan herhangi birinden yola çıkılarak şu özellikler kanıtlanabilir: