Umarım bu bölüm, çok çeşitli grafik teorisi konuları ve bu çalışmaların neden ilginç olduğu konusunda size biraz fikir vermiştir. Dikkate alınması gereken daha birçok ilginç alan var ve liste her geçen gün artıyor; grafik teorisi, matematiksel araştırmanın aktif bir alanıdır.
Graf teorisinin bu kadar zengin bir çalışma alanı olmasının bir nedeni, böylesine temel bir kavramla uğraşmasıdır: herhangi bir nesne çifti ya ilişkili olabilir ya da olmayabilir. Nesnelerin ne olduğu ve “ilgili”nin ne anlama geldiği bağlama göre değişir ve bu, grafik teorisinin bilime ve diğer matematiğin diğer alanlarına birçok uygulamasına yol açar. Nesneler ülkeler olabilir ve eğer bir sınırı paylaşıyorlarsa iki ülke ilişkili olabilir. Nesneler, aralarında bir köprü varsa, ilişkili olan kara kütleleri olabilir. Nesneler, birinden diğerine bir bağlantı varsa, ilgili web siteleri olabilir. Ya da tamamen soyut olabiliriz: nesneler aralarında bir kenar ise ilişkili olan köşelerdir.
Grafik hakkında sorduğumuz soru uygulamaya bağlıdır, ancak çoğu zaman başlı başına incelemeye değer daha derin, genel ve soyut sorulara yol açar. Düşündüğümüz soru türlerinin kısa bir özetini aşağıda bulabilirsiniz:
- Grafik, kenarlar kesişmeden düzlemde çizilebilir mi? Eğer öyleyse, bu çizim düzlemi kaç bölgeye ayırıyor?
- Grafiğin köşelerini, az sayıda renk kullanarak ilgili köşelerin farklı renklere sahip olması için renklendirmek mümkün müdür? Kaç renk gerekli?
- Kaleminizi kaldırmadan grafiğin her kenarını tam olarak bir kez izlemek mümkün müdür? Bir grafikte başka ne tür “yollar” olabilir?
- Belirli özelliklere sahip alt grafikler bulabilir misiniz? Örneğin, (iki parçalı) bir grafik ne zaman tüm köşelerin yalnızca bir başka köşeyle ilişkili olduğu bir alt grafiği içerir?
Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bu sorular genellikle birbirleriyle ilişkilidir. Örneğin, bir grafiğin kromatik sayısı, grafik düzlemsel olduğunda 4'ten büyük olamaz. Grafiğin bir Euler yoluna sahip olup olmadığı, her bir köşenin kaç tane köşeye bitişik olduğuna (ve bu sayıların her zaman çift olup olmadığına) bağlıdır. İki parçalı grafiklerde eşleşmelerin varlığı bile yollar kullanılarak kanıtlanabilir.
Bölüm İncelemesi
1
Aşağıdaki grafiklerden hangileri (varsa) aynıdır? Hangileri farklı? Açıklamak.
- Çözüm
Birinci ve üçüncü grafikler aynıdır (resimleri eşleştirmek için köşeleri sürüklemeyi deneyin), ancak ortadaki grafik farklıdır (örneğin, orta grafiğin yalnızca bir derece 2 köşesine sahip olduğunu not ederek görebilirsiniz) , diğerlerinde bu tür iki köşe bulunur).