İkinci dereceden bir denklemin kökleri bir formül yardımı ile kolayca bulunabilir. Peki ya üçüncü ve dördüncü derece polinom denklemler? Onlar için benzer formüller kullanmak mümkün müdür? Kübik diğer adıyla üçüncü dereceden denklemler, a≠ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlerdir. Matematikçiler bu denklemleri çok eski zamanlardan beri bilir ve bir çözüm bulmaya çalışır. Günümüze ulaşmış Babillilere ait tabletlerde kübik denklemleri çözmek için kullanılmış hesaplamalara erişmek mümkündür. Ayrıca üçüncü dereceden denklemlerin genel çözümlerinin bulunması hikâyesi de, matematik tarihinin en ilginç hikâyelerinden biridir.
Tüm üçüncü dereceden denklemleri çözebilecek bir yöntem geliştirmek isteyen Hayyam, konikleri kullanarak bu denkleminin geometrik bir çözümünü bulan ilk kişidir. (Detay için yazımıza göz atabilirsiniz). Ömer Hayyam, kübik denklemler üzerindeki büyük başarısına rağmen, ikinci dereceden denklemlerin çözümü için kullanılana benzer genel bir formül bulmayı başaramadı. Bu genel çözüm için bir kaç yüzyıl daha geçmesi ve matematikçilerin cebir ile başa çıkmayı öğrenmesi gerekecekti. Bu başarı, İtalyan matematikçiler Scipione del Ferro (1465–1526), Niccolò Tartaglia (1500–1557) ve Gerolamo Cardano’nun (1501–1576) çalışmaları sayesinde elde edildi.
Üçüncü Dereceden Denklemlerin Genel Çözümleri Nasıl Bulundu?
Genel formülün keşfedilme hikayesi, matematik tarihindeki en tartışmalı olanlarından biridir. Hikâye Rönesans İtalya’sında geçer. İtalyan matematikçi Scipione del Ferro, 1526’daki ölüm döşeğinde, öğrencilerinden biri olan Antonio Maria Fior’a belirli bir kübik denklemin nasıl çözüleceğini anlatır. Genelde matematik seyirlik bir aktivite olarak görülmez; ancak 1500’lerde durum farklıdır. Matematikçiler çeşitli sorular ortaya atıp birbirlerine meydan okuyarak kendilerine bir geçim yolu bulmuşlardı. Başka bir matematikçi bu meydan okumaya karşılık verdiğinde düello başlamış oluyordu. Matematiğe ilgili bir insan kitlesinin önünde yapılan bu gösterilerde seyirciler –hiç fikir sahibi olmasalar da- bahse girerlerdi. Bu düellolarda kazanan matematikçiler hem ortaya konan para ya da ziyafet gibi ödülleri elde ediyor, hem de itibar kazanarak, üniversitelerde daha iyi bir pozisyon bulma şansı yakalıyorlardı. Kübik denklemin çözümünü öğrenen Fior, Dokuz yıl sonra matematikçi Niccolo Tartaglia’yı böyle bir düelloya davet etti. Tartaglia (italyanca’da kekeme) namı ile tanınan Niccolò Fontana adlı matematikçi de bu zor düelloyu kabul etti.
30’ar adet soru ortaya atılmıştı ve hepsi de üçüncü dereceden denklemlerin belli bir formu şeklindeydi. Tartaglia hepsini çözerek düelloyu kazandı. Yarışmayı duyduktan sonra ilginç yaşamı ve kumarbazlığıyla tanınan matematikçi Girolamo Cardano, yöntemi hakkında bilgi almak için Tartaglia ile temasa geçti. Cardano, o sıralar kapsamlı bir matematik kitabı yazmakla uğraşmaktaydı. Kitabına dönemin bu meşhur probleminin çözümünü de ekleyebilirse, bu eserin kendisine bolca ün ve para kazandırması gayet mümkündü.
Üçüncü Dereceden Denklemlerin Genel Çözümünü İlk Kim Buldu?
Tartaglia ona çözümünü ancak bunu gizli tutmayı kabul ettikten sonra anlattı. Tartaglia çözümü ilk bulanan kendisi olduğunu düşünüyor ve bunu kitabında yayınlamak istiyordu. Genel olarak üçüncü dereceden bir denklem ax3+bx2+cx+d=0 şeklindedir. Tartaglia’nın çözümü, bu genel formda değil, sadece a=1 ve b=0 olduğunda, yani özel bir formda kullanılabiliyordu. Cardano genel çözüm arayışına girdi. Önce üçüncü dereceden denklemleri 13 tipe ayırdı. Bunlardan ilk üçü Tartaglia’nın çözümünü verdiği denklem tipleriydi. Cardano bazı matematik hileleriyle diğer 10 denklemi bu 3 denkleme dönüştürdü. Böylece hepsini çözmüş oldu! Bu buluşu kitabında yayınladığı takdirde çok büyük bir üne kavuşacağı kesindi. Ama Tartaglia’ya yayınlamayacağına dair yemin etmişti.
Cardano’nun dahi öğrencisi Ferrari
Cardano’nun sadece ev işlerine yardımcı olsun diye işe aldığı Lodovico Ferrari onun el yazması matematik çalışmalarını temize çekmeye ve giderek matematik problemleri çözmeye başladı. Birlikte Bologna’ya yaptıkları bir gezide, üçüncü dereceden denklem çözümleriyle uğraşmış Del Ferro’nun el yazması çalışmalarını incelediler ve Tartaglia ile aynı yöntemi kullandığını keşfettiler. Yani Tartaglia’dan çok daha önce, bu yöntemi bulan başka bir matematikçi vardı. Bu durumda yemin geçersiz olmuştu. Cardano, matematik tarihinde önemli bir yeri olacak olan kitabı Ars Magna (Büyük Sanat) adlı eserini 1545’de yayınladı. Tartaglia’nın (ya da Del Ferro’nun) çözümü de kitapta yer alıyordu. Cardano çözümün kime ait olduğu konusunda yalan söylemiyor, her iki ismi de kitabında andı. Cardano’nun kitabı kübiklerin çözümünü içermesi bakımından çok büyük ses getirmişti ve Tartaglia’nın itirazları çok da taraftar toplamamıştı.
Üçüncü dereceden bir denklemin genel çözümü için aynı ikinci dereceden denklemlerde olduğu gibi discriminanta ( D) bakmak gerekir. D> 0 ise, üç farklı gerçek kök vardır. D = 0 ise, ya üç eşit gerçek kök (üçlü kök) ya da iki eşit kök (çift kök) ve bunlardan farklı basit bir kök vardır. Tüm kökler gerçektir. D <0 ise, o zaman yalnızca bir gerçek kök vardır. Diğer iki kök, karmaşık eşlenik sayılardır. D=a2b2 + 18abc − 4b3 − 4a3c − 27c2 formülü ile hesaplanır.
Kübik bir denklemle karşılaştığınızda, amaç her zaman var olacak bir gerçek kök bulmaktır ve ardından diğer iki gerçek kök polinom bölünmesi ve ikinci dereceden formülle bulunabilir. Pratik açıdan bakıldığında, tamsayı bir çözüm bulmayı başarırsanız, Cardano’nun formülünü kullanarak hesaplamalar yapmanıza gerek kalmaz. Tüm bunlar ne işe yaradı derseniz…Üçüncü dereceden denklemlerin genel çözümlerinin bulunması karmaşık sayıların varlığını anlamamız ve geliştirmemiz açısından önemli bir adımdı.
Kaynakça:
- Discriminant; https://www.britannica.com/science/discriminant
- Şahin Koçak, Vakıf Cafer. Kareli ve Küplü “Şey”lerin Serüveni. TÜBİTAK Yayınları. 2016.
- Boris Pritsker, The Equations World, Dover Publications, Inc., 2019.
- The Cubic Formula; https://math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/
Matematiksel