6 Mayıs 2009 Çarşamba
İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır?
Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey, ölçeği belli bir harita bulduktan sonra, buradan kıyı şeridinin uzunluğunu, sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak, kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir.
Peki, kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer, harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip, tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi... Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça, kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır!
Bu basit ve çarpıcı sonuç, Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde, ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı. Mandelbrot, tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anlamına gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’, belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir.
Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Mandelbrot’un fraktalleri ise, kesirli boyutlara sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyultu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir...
Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşuruken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir kaç tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında, işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır. Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu, internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (fractal explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun, bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak, matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki, bu tekrarlayan işlem serileri, tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.
Fraktalların bir başka çarpıcı özelliği, doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (self similarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız:Örneğin ağaçların bir çok tipinde, dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin, yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediğine belki de daha önce dikkat etmişsinizdir. Daha çarpıcı bir örnek olarak, atom-altı düzeyi de düşünebiliriz. Bu düzeyde ulaştığımız mikro-alem, aynen uzay boşluğu gibi karanlık, nisbi olarak korkunç mesafelerle birbirlerinden ayrılmış bileşenlerden (elektronlar - protonlar vb.) oluşan bir boşluktur ve atomun ardında, yeni bir ‘uzay boşluğu’, farklı ölçeklerle de olsa bizi bekler gibidir! İşte bu özellikler, fraktal geometrinin sadece ağlenceli bir oyun olmaktan ziyade, hayatın kendisini daha iyi anlamamızda yardımcı bir araç olarak kullanılması konusunda bizi defaatle ikaz ediyor.Yapısındaki bıktırıcı ve binlerce tekrara dayalı matematiksel altyapıya rağmen fraktal geometri, özellikle günümüz yazılım teknolojisinin nimetleriyle de birleşince artık oldukça yaygınlaşmış durumda. Günümüzde fraktalleri oluşturmak için uzmanlığa gerek olmadığı gibi, güzelliklerini ve bize anlattıklarını anlayabilmek/takdir edebilmek için matematik dehası olmak gerekmiyor. Tek şart, insanî bir merak ve iştiyak sahibi olmak; hepsi o kadar.
Balonla seyehat etmekte olan bir grup yolunu kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye yaklaşırlar.
İçlerinden biri aşağıya bağırır:
-Heyyy! Şu anda nerdeyiz?
Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve biraz düşünüp dalgın dalgın cevap verir:
-Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız.
Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına:
-Biliyor musunuz bu adam matematikçi der.
Bunun üzerine balondaki diğer şahıslar bunu nerden anladığını sorduklarında şöyle yanıtlar:
-Birincisi, çok düşündü,ikincisi söylediği şey kesin olarak doğru,üçüncüsü,bir işe yaramıyor.
Deney
Bir matematikçi,bir fizikçi ve bir kimyacıyı bir ay süreliğine ayrı ayrı odalara kapatmışlar.
Odalarda kilitli bir buzdolabı ve çeşitli araç gereç varmış.
Bir ay sonunda odaların kapılarını açıp bakmışlar.
Fizikçi mekanik bir makine yaparak buzdolabının kapısını kırmış ve karnını doyurmuş.
Kimyacı çeşitli elementleri karıştırarak bir sıvı yapıp buzdolabının kapısını eritmiş.
Son olarak matematikçinin odasına girmişler.
Matematikçinin kurumuş cesedi duvara dayanmış bir halde yerde kanla şunlar yazılıymış:
Teorem: Buzdolabını açamazsam ölürüm.
İspat: Buzdolabını açtığımı varsayalım...
İndirgeme
Bir matematikçi ve fizikçi fakültenin dinlenme salonun da oturup kahvelerini yudumlarken bakarlarki kahve makinası tutuşmuş.Fizikçi hemen koşarak eline aldığı kovayı doldurarak ateşi söndürür.
İkinci gün olacak ya aynı olay tekrar vuku bulur.
Bunun üzerine matematikçi koşar kovayı alır getirir ve fizikçinin eline tutuşturarak problemi daha önce çözümlenmiş olanına indirger.
Yangın
Bir mühendis,bir fizikçi ve bir matematikçi bir hoteldedir.
Derken mühendis burnuna gelen duman kokusuyla uyanır,hole çıkar,bir de bakar ki bi yangın var.
Eline geçirdiği bir kovaya su doldurarak yangını söndürmeye çalışır.
Daha sonra fizikçi uyanır,aynı yangını görür ve yangın hortumunu bulur ve başlar hesap yapmaya;
Su basıncı,alevin şiddeti,aradaki mesafe falan derken yaptığı hesaplara göre yangının sönmeyeceği ortaya çıkar ve yatağına geri döner.Daha sonra matematikçi kalkar kokunun etkisiyle ve hole koşar,bir de bakar yangın var.
Çözüm aramaya koyulur.
Derken yangın hortumunu bulur ve ”çözümü buldum” diye bağırarak yatağına geri döner.
5 Mayıs 2009 Salı
6 tane FF13 çıkarılacak, altısı da birbirinden farklı olacak; farklı karakterlere, hikayeye ve farklı dünyalara sahip olacak. Square Enix, FF13 serisini genel bir isimle, "FABULA NOVA CRYSTALLIS" olarak adlandırıyor. Şu an altı seriden sadece üçü duyuruldu ve ilk üçü Playstation 3 ve PSP için çıkarılacak. Diğer üçünün hangi platformlara çıkacağı, oyun mu, yoksa animasyon filmi mi olacağı şu an belli değil.
İşte bunlardan biri olan FinaL fantaSy Versus XIII tanıtım vidyosu.Ps3 ün eşsiz görseLLiği ile...
4 Mayıs 2009 Pazartesi
Geometri Nil kıyılarında doğdu. Bu ırmağın düzenli aralıklarla taşması, tarlaların sınırlarını siliyor, Mısırlıları güç sorunlarla karşı karşıya bırakıyordu: çünkü tarlaların sınırlarını yeniden çizmek, herkese kendi yerini vermek, bunun için de tarlaların yüzölçümünü hesaplamak, nirengiler dikmek, kısacası, geometri yapmak gerekiyordu.
Doğru Kavramının Anlaşılması İçin
insanlara, yer ölçümüne ilişkin somut sorunları çözümleme olanağını veren geometriden, giderek soyut bir geometri doğdu. Böylece aynı kavramın değişik durumlara uygulanabileceği anlaşıldı. Sözgelimi, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle çekülün gergin ipi arasında hiç bir maddi ortaklık yoktur; ama ikisi de geometride doğru adı verilen kavramı belirtir; doğru kavramı, ancak bunun gibi somut örneklere bakılarak anlaşılabilecek bir kavramdır.
Bir kâğıdın üstüne çizilen düz bir çizgi, doğru hakkında yaklaşık bir fikir verir. Oysa doğru, sınırlı değildir (çizgi ise yaprağın kenarında biter) ve doğrunun kalınlığı yoktur (çizginin ise ne kadar ince çizilmiş olursa olsun, bir kalınlığı vardır). Bunun gibi, bir topa, bir küreye bakılarak küre kavramı hakkında bir fikir sahibi olunabilir.
Eukleides'in Aksiyomları ve Teoremleri
İskenderiyeli bir Yunan bilgini olan Eukleides, M.Ö. III. yy .da geometri hakkında ilk mükemmel kitabı yazdı. Eukleides o zamanki kitaplarında (bunlar somut sorunların çözümünü gösteren basit «reçete» derlemeleriydi) farklı bir açıdan bakarak, öne sürdüğü sonuçları, kesin kanıtlara başvurma yoluyla kanıtlamak istiyordu.
Bunun için önce, sezgiye dayanan birtakım kavramlar (nokta, doğru, düzlem) kabul etti (aksiyom), sonra doğru sandığı, ama doğruluğunu kanıtlayamadığı birtakım gerçekleri belirledi (bütün, parçadan daha büyüktür; üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik birbirine de eşittir) [postulat]. Bu aksiyom'larla postülat'lara dayanılarak geometri teorem'leri kurulur.
Kuşkusuz Eukleides, aksiyomlarının doğruluğunu kanıtlayamazdı, ama ona ve çağdaşlarına göre bunlar, tartışma götürmez gerçeklerdi. Sözgelimi, dik açı konusunda kesin bir yargıya varabiliyordu, çünkü gerçek hayatta, deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle, elindeki bir çekülün yaptığı dik açıyı gözleriyle görebiliyordu.
Eukleides geometrisi, üstünde yaşadığımız dünyayı anlamak için mükemmel bir araçtır; bu geometri, bilim ve tekniğin ilerlemesinde önemli bir etken olmuştur.
Eukleides Dışı Geometriler
Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy .dan itibaren tartışılmağa başladı. Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi Lobaçevski, Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler) doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi).
Cebir tekniklerinin geometriye uygulanması, noktaları sayılara veya koordinatlara bağlayarak bütün eğrileri hesaplamak ve saptamak olanağı sağlayan analitik geometri'yi doğurdu (Descartes).
Rönesans Ressamları ve Tasarı Geometri
Tasarı geometri'de, uzay geometrinin şekilleri veya öğeleri, tam ve aslına uygun biçimde bir düzleme (üzerine şekil çizilen kâğıt) aktarılır. Rönesans'ın büyük ressam ve mimarları tasarı geometriden yararlanmışlarsa da, onu gerçek bir matematik sistemi haline getiren (temel geometri, kaba perspektif), matematikçi Monge olmuştur.
İzdüşüm geometrisi (bir şeklin herhangi bir noktasını esas alarak tümünü bir düzleme izdüşümle aktarmak), resim ve süsleme sanatı için de çok önemlidir. Ama asıl yeri, aksiyomları ve ilişkileri bakımından izdüşüm geometrisi, matematiğin bir dalıdır.
Saf (Katıksız) Geometri
Geometride, her yerde geçerli kesin belirlemeler giderek azalmakta, başlangıç aksiyomları artık sadece belirli bir geometri için doğru sayılmaktadır. Burada gerçek olan başka bir yerde yanlış olabilir. Her şeye rağmen, maddi gerçeklerin incelenmesinde uygulamalı geometrinin sağladığı olanaklar sonsuzdur.
Yüzölçümü hesaplanmak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gökcisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar, geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir.
Bununla birlikte, matematik çalışmaları daha ileriyi, uzak geleceği de göz önünde tutar. Hemen yararlanma kaygısına kapılmadan yapılan matematik araştırmalar saymakla bitmez. Bu çalışmalar, doğruluğu mevcut koşullara bağlı olmayan kusursuz örnekler yaratma amacı güder. Saf geometrinin esası budur.
Thales
Ünlü bir bilgin ve filozof olan (Yunanistan'ın Yedi Bilge'sinden biridir) Miletoslu Thales (M.Ö. 640-562), düzlem geometrinin ilk teoremlerini hazırladı. Thales, bir yapının yüksekliğini, onun gölgesini ölçerek hesaplayabiliyordu.
Pithagoras
«Bir dik üçgende, hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerine kurulan kare öteki iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir»: bu teoremi M.Ö. VI. yy.da yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçisi Pithagoras bulmuştur. Çarpım tablosunu ve telli çalgılarda gamı icat eden de odur.
Monge
Tasarı geometrinin yaratıcısı ve analitik geometrinin büyük kuramcısı Gaspard Monge (1746-1818), bütün XIX. yy. matematikçilerinin eşsiz ustasıdır.
3 Mayıs 2009 Pazar
Mısırlılarda Kesirler:
· Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
· Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir.
Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır. Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde R2R6R21 ifade edilmiştir.
Kesirler Ve Romalılar:
Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir.
1 Pound = 454 gram, 1 Ounc= 28,3 gram
1 Pound = 16 Ounc
ve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır. Bu da 340 gcrama tekabül eder.
Rasyonel Sayılar ve Yunanlılar:
Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu.
Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı.
TARİHSEL NOTLAR
Kesir:
İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır.
“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak bir çizgidir.” der.
Bölme Sembolü ( ¸)
Bölme sembolü; John Wallis (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da (:) iki nokta üst üste kullanılıyordu.)
1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de ¸ işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.
Bölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım. Bundan sonra ¸ işareti matematiksel bir ifade haline dönüştü.
RASYONEL SAYILAR
Bu yüzden; 1¸ 2 = k
Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.
Ayakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 - ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır.
Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır.
Buna rağmen, bazıları değilidir.
Rasyonel sayılar:
Rasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.
Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir. Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.
Rasyonel Sayıların İnşası:
1. (a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )
(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)
Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz.
(a, b) ~ (c,d) Þ a x d = b x c
bu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz.
Denklik İlişkisi:
(a,b) ~ (c,d) biçiminde gösterilir.
(a,b) ~ (c,d) Û ad = bc
örnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir.
Denklik Sınıfı:
Örnek: ( ) = {....., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4).......}
= {(x,2x): x e Z ve x ¹ 0}’ dır.
Rasyonel Sayılar Ve Kesirler:
Rasyonel Sayı:
Mesela ; ( ) = {........., ,......... }
Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir. temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.
Önemli Notlar
¸ verilmiş ve c ¹ 0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz b ¹ 0 ya da d ¹ 0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.
Rasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.
= 1,66666...., =0,142857142, = 0,5
Rasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir. Bu alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir.
2 Mayıs 2009 Cumartesi
1903 yılında Russel paradoksu ilk kez ortaya atıldı. Bu paradoks. Fregenin ki¬tabının ikinci cildinde yer aldı. Çalışmanın konusu, matematiğin kümeler kavramı üze¬rine kurulmasını olanaksız kılıyordu. Kendisini öğe olarak kabul eden kümelerin kümesi anlamsızdır şeklinde olan bu paradoks her şeyin küme olarak alınamayacağım ortaya koydu. Ernest Zermelo, paradoksal kümelere olanak vermeyen ilk aksiyom sistemim önerdi. Russell ve Whitehead 1910 yılında dikkat çekici olan Matematiğin İlkeleri isim¬li eserlerini yayınladılar. Paradokslardan kaçınmak için tipler kuramı adı altında karma¬şık bir yazım önerdiler. Bu teknik bazı bilgisayar dilleri için temel oluşturdu.
Abraham Fraenkel, 1922 yılında Zermelonun aksiyom sistemini geliştirdi. Günümüzde Zermelo - Fraenkel İsmiyle anılan bu sistem yaygın bir kullanım alanı buldu. John Von Neumann 1924 yılında kümeler kuramım aksiyomatik hale getirmek için temel iki kavrama, yani paradoks olabilecek sınıflara ve kümelere dayanan bir çözüm önerdi. Kurt Gödel 1940 yılında sonlu ötesi sayıların tanımlanmasında zorunlu olan seçme aksiyomu ve bu sayılara tutarlı bir temel hazırlayan süreklilik varsayımının kuramın diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Paul Joseph Cohen 1963 yılında, bu iki önermenin olumsuzunun da kuramın diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Cohenİn süreklilik varsayımı hakkındaki bu sonucu rahatsız edicidir. Nasıl kurulduğu belirtilmeksizin bir doğrunun noktalarının kümesi ve doğal sayıların sayılabilirliği arasında sonsuz büyüklükte keyfi bir sayının sabitleştirilebileceğini işaret eder. Bu konu üzerindeki araştırmalar devam etmektedir.
Kümelerin bu biçimde kurulması sağlandıktan sonra kümelerin dili yazılmıştır. Bu dille kümeler üzerinde bileşim, kesişim, fark. simetrik fark ve tümleyen gibi tanımlar yapılmış ve bu tanımlarla kümelerin kullanılması sağlanmıştır. Kümeler üzerindeki bağıntılar bu dalın bilgisayarlara nasıl yüklenebileceğini göstermiştir. Bu konudaki İlk çalışmaları George Boole (1815 -1864) yapmıştır ikinci ilk adım da Georg Cantor (1845 -1918) tarafından atılmıştır.
Kümelerin sıralanması, sıralama tipleri, kümelerin sayılabilmeleri, kardinal sayılar, sonlu ve sonsuz kümeler, kuvvet kümeleri. Cantor sürekliliği bu alanın başlıca konula¬rıdır. Bu konularla yeni yeni modeller oluşturulabilir. Hatta eski mantığın bugün yeni modellerle matematiksel formüle bağlandığı bir gerçektir.
Bu arada Cantor paradoksunu da yazalım. Buna daha çok yalancı paradoksu denir. Eskiçağdan beri bilinen bu paradoksun ilk ifadesi şu şekilde yapılmıştır; bütün Giritliler yalancıdır. Epimenides de Giritlidir. "Ben yalan söylüyorum” diyor. Daha kısa bir söyleyişle ben bir yalancıyım. Bu halde Epimenides doğruyu söylüyor mu? Hayır. Çünkü kendisi Giritlidir, o halde yalancıdır. Ama "yalan söylüyorum" derken yalan söy¬lüyorsa o zaman doğruyu söylüyor. Bu durumda çelişki kaçınılmazdır.