Elbette hesaplayabilirsiniz, örneğin sinüs 90 dereceyi hesaplamak ve 1 olduğunu bulmak çok kolay ama 78 derece biraz zor olur.
Sinüs, Merkezi orijin olan 1 birim yarıçaplı çember üzerindeki bir noktanın y eksenine göre koordinatıdır.
Örneğin sinüs 90 derece tam olarak 1'e karşılık geliyor. Bakın, hemen hesapladık. Ama sinüs 78 derece tam olarak nereye geliyor hesaplayabilir misiniz? Belki deli gibi çalışarak bulabilirsiniz.
İster derece cinsinden oldun, ister radyan istediğiniz açıyı çembere yerleştirip y eksenine göre koordinatını ölçerseniz bulabilirsiniz, diğer trigonometrik fonksiyonları da bulabilirsiniz tabii, ben sadece sinüsten örnek verdim. Hesap makinesi kullanmadan tam doğru şekilde bunu bulmak çok zahmetli ama isterseniz deneyebilirsiniz.
Trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için Taylor serisi açılımlarını kullanabilirsiniz.
sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7!+ ...
sonsuz serisi sinus fonksiyonunu tanımlar. Payda kısmındaki faktöriyel elemenlarının giderek ne kadar büyüdüğünü görebilirsiniz. Seriyi ne kadar uzatırsanız, gerçek sonuca o kadar yaklaşırsınız ancak değişim virgülden sonrasında ihmal edilebilir düzeyde küçük olacaktır. Yukarıdaki gibi 7!e kadar hesaplamanız, hesap Makinesinin vereceği cevaba çok yakın bir şey bulmanıza yeterli olur. Sorun şu ki, x7/7! İşlemi için de hesap makinesi gerekebilir. :)
Sin 78 in bulunuşu için aşağıda, 36-72-72 üçgenini kullandım. Elbette farklı açılar için farklı yöntemler gerekir ve kolay değildir. Temel trigonometrik özdeşlikleri bildiğinizi varsaydım.
Daha genel bir yöntem sinx in seri açılımını kullanarak yaklaşmak olabilir,
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +.......
şöyle bir durum var ki derece cinsinden tamsayı bir açının köklü ifadelerle açılımını yapabiliyor olman için o sayının 3'ün katı olması lazım. Çünkü 18 derecenin trigonometrik değerleri 36-36-108 veya 72-72-36 gibi altın orana sahip üçgenler yardımıyla hesaplanabiliyor ve 15 derece de 30-60-90 üçgeni üzerinden hesaplanabiliyor. Dolayısıyla 18-15=3 derece de hesaplanabilir, 3 derece yazılabildiği için 3'ün katı tüm açılar yazılabilir.
Eğer 3'ün katı olmayan bir açının trigonometrik değerleri yazılabiliyor ise 1 dereceyi de yazabiliriz. Bunun sebebi 3 ile aralarında asal olan bir A sayısı için Ax+3y=1 denkleminin tamsayılarda sonsuz çözümü olmasıdır. A derecenin değeri bilindiğinden Ax derece de bulunur, 3y de bulunur, dolayısıyla Ax+3y=1 derece de bulunur. Eğer 1 derecenin trigonometrik değerleri yazılabiliyorsa tüm tamsayılar için de trigonometrik değerler yazılabilir.
Yani asıl olay 3'ün katı olmayan bir tamsayıyı köklü ifadelerle yazabilmek. Bunun için sin3x=3sinx-4sin^3x denklemi kullanılabilir. x=10 için sin10=t dersek 8t^3-6t+1=0 denklemi elde edilebilir. 3. dereceden bir denklemin de çözüm yöntemi vardır fakat bu denkleme uyguladığımızda kök içerisinde sanal sayılar ortaya çıkmaktadır (Bunlardan r*cis(x) olarak yazıp kurtulabilirsin ama bunu yapınca bulacağın değer sin10 olacaktır :) ). Dolayısıyla 3'ün katı olamayan bir derece için şimdilik bir köklü sonuç bilmiyoruz. (Belki de sadece ben bilmiyorum, bir yerlerde bulunmuş olabilir.)
O yüzden teorikte 78'in trigonometrik değerini köklü ifadelerle gösterebilirsin -ki göstermişler- fakat tüm tamsayılar için iş biraz zor.