M.Ö. 5. yüzyılda, Elealı Yunan filozof Zeno, hareketin yalnızca aşağıdaki yanılsamaları önererek bir yanılsama olduğunu göstermeye çalışmıştır:
Aşil, savaşçı bir kaplumbağa ile bir ayaktadır, ancak Aşil kaplumbağaya 100 metrelik bir kafa başlangıcı vermiştir. Eğer Aşil kaplumbağanın 10 katı kadar hızlı koşarsa, kaplumbağanın başlangıç noktasına yetiştiği zaman, kaplumbağa 10 metre daha ilerleyecekti. Kaplumbağa, şimdi, kaplumbağanın şimdi olduğu yere yaklaştığı zaman, kaplumbağanın tekrar ilerlemiş… ve bu, sona ermeksizin sona erecek durumda olacak. Bu mantıkla, Aşil kaplumbağaları asla yakalamayacak!
Bugün biliyoruz ki bu paradoks - uzay ve zamanla ilgilenen birkaç paralının yarattığı - hareketle ilgili bir şey yapmayan bir şey yoktur, ama yine de bunun hakkında konuşuyoruz çünkü 17'ye kadar kapsamlı bir tedaviye girmeyecek ilginç bir matematik getirdi.inci yüzyıl A.D., Gottfried Leibniz calculus'u icat ettiğinde. Aşil'in kaplumbağanın son olduğu yere yetiştiği nokta sayısı sonsuz olsa da, tüm bu noktalar arasındaki toplam sonludur. Bu fenomeni "yakınsak dizi" olarak adlandırıyoruz.
Bu sorunun daha basit bir versiyonu şaka olarak söylenir. Sonsuz sayıda matematikçi bir bara girer. İlk siparişler yarım bira; ikinci çeyrek emir; Üçüncü bir sekizinci. Hattı inceledikten sonra, barmen "Hepiniz aptalsınız" diye haykırıyor! hepsini paylaşmak için bir bira döküyor ve sekmeyi kapatıyor.
Bu durumda, bu sonsuz sayıda siparişin toplamının bir biraya katacağını görmek oldukça kolay. Toplamdaki terimler, toplamın bir miktar üzerinde birleştiği yere yeteri kadar hızlı bir şekilde küçükleşir.
Bir pasta grafikte şöyle görünürdü:
Zeno'nun Paradoksuna dönersek, önce düzenli cebir kullanarak bir cevap alalım. X'e olan uzaklığı ayarlamak ve uzaklığı × zaman olarak anlamak ve Achilles'in oranı kaplumbağanın 10 katıdır.t), aşağıdaki iki denklemimiz var:
Eğer x için çözersek, yaklaşık 111.11 metrelik bir mesafe alırız. Aşil'in kaplumbağanın bulunduğu yere kadar yakaladığı tüm noktaların arasındaki mesafeyi ekleyerek, aslında Achilles'in kaplumbağayı yakalayacağı mesafeyi hesaplayabilir miyiz?
Evet! Bu problemi, tıpkı bir barda yürürken sonsuz sayıda matematikçi ile yaptığımız gibi yazabiliriz.
Daha önce olduğu gibi, bilinmeyen mesafeyi x olarak ayarlayarak başlarız. Her koşuyu, koşucuların hızları ile üsler kullanarak da yazıyoruz.
Her tarafı 1/10 ile çarparsak, aşağıdakileri alırız:
İkinci denklemi ilkinden çıkararak, şunu elde ederiz:
Buradan görüyoruz ki kesinlikle Daha önce olduğu gibi aynı cevap. Bu sonuç son derece önemlidir. Birlikte sonsuz sayıda şey ekleyebilmemiz ve sonsuz bir cevap alabilmemiz, matematik için tüm temeldir!
Kaplumbağa yerine Aşil'in iki katı kadar hızlı koşarsa ne olur? Achilles, kaplumbağanın daha önce bulunduğu yere her geldiğinde kaplumbağanın ilerlemiş olduğunu tekrar keşfederdi… sadece bu sefer kaplumbağa, uzaklaşıp uzaklaşmaya devam eder!
Sayılar gittikçe büyüdüğü için, böyle bir dizinin "ıraksak" olduğu söylenir. Aşil şakısının şu an ne kadar karışık olması gerektiğine karar vermeden önce, neler olduğunu görmek için analizi tekrar etmeden tekrarlayalım.
Beklendiği gibi, sonsuza kadar ekler. Bu, Achilles'in asla kaplumbağayı yakalamadığına karşılık gelir. Bunu kontrol etmek için bunun yerine düzenli cebir ile çözersek ne olur?
X için çözme, -100m değerini verir. negatif 100 metre). Bu cevap ilk başta garip gelebilir, ama aslında bir şey ifade ediyor. Aşil ve kaplumbağanın yarışın başlamasından önce koştuğunu varsayarsak, bu sayı kaplumbağanın Aşil'den geçtiği başlangıç çizgisinin arkasındaki mesafeye karşılık gelir.
Bu konuda gerçekten şaşırtıcı olan şey, bu cevabı almak için sonsuz serileri hala kullanabiliriz. MinutePhysics'teki milletler, sıralı olarak iki kat daha büyük olan sonsuz sayıda şey eklerken olumsuz bir yanıt alırlar. Bu nasıl çalışıyor? Doğru mu?
Şey, evet ve hayır. Her şey yeşil olan bu parçaya geliyor:
Yeşil kısım kesinlikle sonsuzdur, ancak gariptir ki, sadece görmezden gelerek anlamlı bir cevap bulabiliriz. Hata yapma, bu toplam hala sonsuzAncak, sonsuz kısmı uzaklaştırarak, yine de anlamlı bir cevap bulabilir ve bunu "doğru" yolu ile yapamayacağımız şeyleri öğrenebiliriz.
Bu parçanın yeşile sıfıra ayarlanması, sonuç toplamı -100m'ye, daha önce olduğu gibi aynı cevaba gelir. Bu "anlamlı cevap" ile kastedilen şeydir. “Doğru” cevap olmasa da, bu, bilgi birikimine sahip olabileceğimiz bir şey elde etmek için farklı bir dizinin sonsuz kısımlarını soymak için bir yol olduğunu gösterir.