Güneş, Ay, Dünya ve Güneş Sistemini oluşturan diğer gezegenler ve onların uydularının hemen hemen tamamı yaklaşık olarak küresel şekildedir. Bunda tabiatta iş gören dört temel kuvvetten genel çekim kuvvetinin küresel simetriye sahip olması başlıca işlevi üstlenir. İkinci temel kuvvet olan Coulomb kuvveti de küresel simetriye sahip olduğundan, bu kuvvet altında hareket eden atomlar ve atomları oluşturan yüklü tanecikler hem mikroskopik hem de makroskopik bazda küresel şekiller oluşturma eğilimindedirler. Kürenin merkezinden geçen her dönme ekseni ve her düzlem bir simetri işlemidir ve kürenin sonsuz adette simetrisi vardır. Kürenin anlattığımız bu özelliklerinin bir kısmını ve evrenin her yerinde oluşunu eski insanlar da biliyorlardı. Örneğin Pisagorcular Dünyanın küresel olduğunu biliyordu. Hatta Eratosthenes Dünyanın çevresini (ve dolayısıyla yarı çapını) ölçmek için deneyler yapmıştı. Burada yeri gelmişken belirtelim: Dünyanın küresel olduğu Antik Çağlardan beri bilim adamları arasında pek tartışma konusu olmamıştır. Üç aşağı beş yukarı hepsi Dünyanın küresel olduğu hususunda hem fikirdirler.
Kürenin hacmini ve yüzey alanını ise -integral analizi kullanmadan- ilk defa hesaplayan kişi Arşimet'tir. Kendisi bunu ömrünün en büyük başarısı addetmiş hatta ispatta kullandığı yöntemin mezar taşına yazılmasını da istemiştir. Arşimet'in Siraküza şehrinde cahil bir Romalı asker tarafından katledildiğini biliyoruz. Eski Yunan kültürünün Roma İmparatorluğu'nun savaş makinesine mağlup olmasıyla, bir zamanlar Arşimetler yetiştiren Siraküza, zaman içerisinde yetiştirdiği dahilerden dahi bihaber bir duruma düşmüştür. Antik Roma döneminin meşhur yazar ve devlet adamlarından Cicero, Arşimet'in mezarını nasıl bulduğunu aşağıdaki satırlarda anlatıyor. Konumuzla ilgili olduğu için aşağıdaki parçayı bu vesileyle Arşimet'in hatırasına saygı bağlamında burada paylaşmak istiyorum.
Lakin Dionysius'un kendi şehri Siraküza'dan, Dionysius'tan yıllar sonra yaşamış, pek az tanınan, küçük bir adama, Arşimet'e, bir zamanlar cetveliyle üzerinde çizgiler çizdiği topraktan çağrıda bulunacağım. Sicilya'da vergi tahsilat memuru olarak vazife yaptığım dönemde [MÖ 75'te, Arşimet'in vefatından 137 yıl sonra] onun mezarının izini bulmaya muvaffak oldum. Siraküzalılar mezar hakkında bir şey bilmedikleri gibi mezarın varlığını da inkar ediyorlardı. Ama işte karşımdaydı, böğürtlen çalıları ve dikenleriyle tamamen sarılmış ve saklanmış bir halde oradaydı. Arşimet'in mezar taşının tepesine yazılmış, bir küre ve silindire atıfta bulunan, önceden duyduğum bazı basit mısraları hatırladım ve Agrigento Kapısı'nın yanında duran sayısız mezarı iyice inceledim. Nihayet, üstünde bir küre ve silindir duran ve çalılardan zar zor görünen bir sütunu farkettim. Derhal Siraküzalılar'a, ki şehrin öndegelenlerinden bazıları da o an benimle beraberdi, peşinde olduğum şeyin bu olduğuna inandığımı söyledim. Anıt mahallini temizlemek üzere oraklı adamlar gönderildi ve anıta bir yol açıldığında doğrudan anıta doğru yürüdük. Her ne kadar lahitteki her satırın takriben ikinci yarısı aşınmış bulunsa da, mısralar hala görülebiliyordu.
Hem Yunan dünyasının en meşhur yerleşim merkezlerinden birisi hem de eski günlerinde büyük bir eğitim merkezi olan bu şehir, Arpinumlu bir adam [Cicero, kendini kastediyor.] çıkıp göstermeseydi, şimdiye kadar yetiştirdiği en büyük yurttaşının kabrinden tamamıyla bihaber kalacaktı!
Cicero, On The Good Life. (İngilizce tercümesinden Türkçe'ye yerölçüsü için çevirdim. MD)
Biz bu postada kürenin hacmini hesaplayacağız ama kullanacağımız yöntem Cavalieri teoremine dayanacak. Tıpkı Arşimet gibi yarı çapı $R$ olan bir yarım küreyi, tabanının yarı çapı ve yüksekliği $R$ olan bir silindirin içine yerleştireceğiz. Dolayısıyla silindirin tavanı ile yarım kürenin kuzey kutbu birbirlerine teğet olacaklar. Daha sonra tabanı silindirin tavanıyla çakışık, yükseliği ise yine $R$ olan bir koniyi yine aynı silindirin içine yerleştireceğiz. Cavalieri'nin teoremini uygulayabilmek için silindirin tabanına (ya da tavanına) paralel bir düzlem ile bu cisimleri keseceğiz. Düzlem ile koninin kesişimi küçük bir çember vermektedir. Küre ile silindir arasında kalan bölgeyle düzlemin kesişimi ise bir halka tasvir ediyor.
Daha fazla ilerlemeden Cavalieri'nin teoremine ispatsız yer verelim.
Teorem: (Cavalieri) Üç boyutlu uzayda iki tane katı cisim birbirine paralel iki düzlem arasında bulunsun. Bu düzlemlere paralel her düzlem, söz konusu katı cisimleri eşit kesit alanları üretecek şekilde kesiyorsa, o zaman bu iki katı cismin hacimleri eşittir.
Cavalieri'nin teoreminde bahsettiği iki paralel düzlem bizim çalışmamızda üç boyutlu resimdeki silindirin tabanını ve tavanını kapsayan düzlemlerdir. Bu düzlemlere paralel bir düzlemi yine şekilde gösterdik. Amacımız söz konusu düzlemin, koniden kestiği dairesel alan ile, yarım küre ve silindir arasında kalan bölgeden kestiği alanların eşit olduğunu ispatlamak. Üç boyutlu resimdeki düzlemi yandaki çizimde kesikli çizgilerle gösterdik. Bu çizimde silindirin tabanına ve tavanına dik ve kürenin merkezini de kapsayan bir düzlemin kestiği bölge gösterilmektedir. Şimdi, silindirin yarı çapının ve yüksekliğinin eşit olduğu dikkate alınırsa, bu silindire yerleştirilen koninin aslında ikizkenar dik üçgenin $90^{\circ}$'lik tepe açısı etrafında döndürülmesiyle elde edildiği kolayca anlaşılır. Çalıştığımız paralel düzlem silindirin tabanından $x$ yükseklikte cisimleri $A,B,C$ noktalarında kessin. Koninin kesit alanı ikizkenar dik üçgen olduğundan $|OO^{\prime}|=|CO^{\prime}|=:x$ olacaktır. Dolayısıyla düzlemin koniden kestiği dairenin alanı $S_{1} := \pi x^{2}$ kadardır.
Pisagor teoreminin basit bir uygulamasıyla $(|BC|+x)^{2}+x^{2}=R^{2}$ ya da $|BC|=\sqrt{R^{2}-x^{2}}-x$ olduğu görülür. Yine şekile referansla, paralel düzlemin silindir ile küre arasında kalan bölgeden kestiği halkanın kalınlığı $u$ için $u=R-|BC|-x$ ya da $u=R-\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu halkanın alanı ise $S_{2}:=\pi R^{2} -\pi (R-u)^{2}$ olduğundan, $S_{2}=\pi x^{2}$ olduğu kolayca görülür. Demek ki $S_{1}=S_{2}$ imiş.
Cavalieri teoremi uyarınca silindirin içindeki koninin hacmi ile, yarım küre ile silindir arasında kalan bölgenin hacimleri aynı olmalıdır. Ama daha önce bu blogda yaptığımız çalışmalar uyarınca koninin hacmi \begin{equation*} V_{C} := \frac{1}{3} \pi R^{3} \end{equation*} olmalıdır. O zaman yarım kürenin hacmi \begin{equation*} V_{HS} := \pi R^{3} - \frac{1}{3} \pi R^{3} = \frac{2}{3} \pi R^{3} \end{equation*} bulunur. Buradan da kürenin hacmi olan $V_{S} := 2V_{HS} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ formülüne kolayca uzanılır.