Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir ümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.
İçindekiler
İnşa[düzenle | kaynağı değiştir]
Topolojik uzaylara cebirsel değişmezler inşasında amaç şudur: her bir uzayı için olarak gösterilecek bir cebirsel nesne kurulacak. Ayrıca uzayından uzayına sürekli bir gönderimi, uzaylara karşılık gelen bu yeni cebirsel nesneler arasında cebirsel yapıları gözeten ve olarak gösterilecek gönderimler tarif edecek. Örneğin bir grup/halka/cisim/modül olarak inşa edilmişse, gönderimi grup/halka/cisim/modül homomorfizması olacak. Üstelik, inşa gereği, bu cebirsel nesneler ve gönderimler şu özellikleri sağlayacak:
(1) ve için
olacak.
(1') Ya da 'nin cinsine göre olacak.
(2) birim gönderimine karşılık gelen , birim gönderim olacak.
Topolojik uzaylara karşılık gelen ve bu koşulları sağlayan bir cebirsel nesnesi icat edilmiş olsun. Eğer , 'ten 'ye bir topolojik eşyapıysa, 'nin tersi vardır ( diyelim) ve de bir eşyapıdır. Dolayısıyla topolojik eşyapının tanımı gereği ve olur. Yukarıdaki (1) ve (2) koşullarından,
ve
elde edilir. Birinci eşitlikten örten ikinciden birebir olmak zorunda kalır. Yani bir cebirsel eşyapı olur.
Şunu göstermiş olduk: (1) ve (2) sağlandığı sürece eşyapısal topolojik uzayların cebirsel nesneleri (grup, halka vs.) de birbirlerine eşyapısal olacak.
Örnekler[düzenle | kaynağı değiştir]
Burada birkaç cebirsel topolojik değişmez inşası özetlenecek.
Topolojik uzaylara karşılık gelen en basit cebirsel değişmezdir. Bir uzayı ve içinde bir noktasına karşılık, olarak gösterilen bir gruptur.
Öncelikle, uzayında sürekli bir eğri, [0,1] kapalı aralığından 'e giden sürekli bir gönderimdir. ve iki eğri olsun. ile 'nin ucuca eklenmesiyle oluşan eğriyi olarak gösterelim. noktasından başlayan ve aynı noktada biten tüm eğrilerin kümesiniyse ile gösterelim. Eğer herhangi iki eğriyi anlatan gönderimler birbirlerine homotopikse bu iki eğriye denk eğriler diyeceğiz. Gösterilebilir ki bu ilişki üzerinde gerçekten bir denklik bağıntısıdır. Böylece oluşturulan denklik sınıflarının kümesi üzerinde ucuca ekleme işlemi hala iyi tanımlıdır; yani eğer eğrisi 'ye eğrisi de 'ye homotopikse, ile eğrileri de birbirine homotopiktir. Bu denklik sınıflarını eleman olarak ve ucuca eklemeyi de işlem olarak kabul eden cebirsel nesne, gösterilebilir ki bir gruptur. ve verildiğinde böylece inşa edilen gruba 'in 'daki temel grubu denir ve olarak gösterilir.
Örneğin gerçel sayı doğrusunun () herhangi bir noktasındaki temel grubu tırışka (aşikar) gruptur; yani tek elemanlı gruptur. Oysa çemberin () herhangi bir noktasındaki temel grubu grubuna izomorfiktir. Dolayısıyla, ile birbirlerine topolojik eşyapısal olamazlar. Bunu daha önceden de biliyorduk; çünkü kompakt değildir ama kompakttır.
Yukarıdaki örneklerin aksine, genelde değişmeli bir grup değildir.