Belli bir yapısı olan bir ya da birden çok kümenin öğelerinin kendi aralarında birleşmesini sağlayan kurallar bütünü. Hesap her ne kadar bütün matematik alanına yayıldıysa da, alışılması başlangıçta güç, yayılması da son derece yavaş olmuş, yazılı hesap uygulaması uzun süre, seçkin bir topluluğun ayrıcalığı olarak kalmıştır.
Parmak Hesabı
İnsan, sayma işlemine ilk olarak parmak hesabıyla başladı. Daha sonra çörkü ortaya çıktı. Çörkü,üstüne tahtadan ya da camdan yapılmış bilyaların geçirildiği belli sayıda maden çubuktan oluşur ve bilyalar çubuklar üstünde hareket ettirilerek hesap yapılır; her çubuk da bir ondalık basamağı belirtir.
Yazılı Aritmetik Hesabı
Bu hesabın da kökeni çok eski çağlara uzanır; Babillilerin kilden tabletleri üstünde çarpım tabloları bulunmuştur. Bu hesabın, yazılı sayılama sistemlerinin gelişmesine bağlı olan evrimi hem çok karmaşıktır, hem de iyi bilinmez. Nitekim Yunanlı matematikçilerin çok iyi tanınmalarına karşın, Eski Yunandaki hesap uygulamaları konusunda çok az belge vardır. Ayrıca, sözgelimi, Romalıların, son derece karışık olan sayılama sistemi, hesabın gelişmesine elverişli değildi. Buna karşılık, Hintlilerin hesaba ilgi duydukları bilinmektedir; Araplar tarafından daha sonra Avrupa’ya yayılan modern sayılamayı bulanlar da Hintlilerdir. Yazılı hesabın evrimindeki değişimler ne olursa olsun, bu evrim iki akımla belirlenir:
Bir yandan,işlem tekniklerinin yalınlaştırılması ve mekanikleştirilmesi; öte yandan da bu tekniklerin aritmetik tam sayılarla ilgili buluşların başka sayı kümelerine (bağıl tam sayılar, oranlı (rasyoneli, gerçek, karmaşık sayılar), daha sonra da yapısal kümelerin çoğuna (sözgelimi, vektörel uzay) yayılması. Günümüzde pek çok hesap türü vardır.
CEBİRSEL HESAPLAR. Aritmetik hesabın ilk yayılma alanını oluşturur. Bunların arasında en basit olanı değişmeli (komütatif) bir cisim içinde yapılır (oranlı sayılar topluluğu, gerçek sayılar topluluğu). Bu da toplama, çarpma, çıkarma, bölme gibi klasik işlemlerle sınırlanıldığında hesabın sayılara yayılmasıdır. Halkalar ya da cisimlerde olduğu gibi, öbür cebirsel yapılar özel hesap türlerine yol açar. Cebirsel hesaplar arasında, lineer ya da vektörel uzamlarla ilgili olan hesap, sayısız uygulamaları nedeniyle büyük önem taşır. Çözümlemede (analiz) pek çok uygulama alanı bulunan lineer hesap, fizik için çok yararlı olan vektörel hesaptan doğmuştur.
ÇÖZÜMLEME HESAPLARI. Cebirsel bir yapının öğeleri ya da sayılarıyla değil, fonksiyonlarla ilgilidir. Buna karşılık, çözümsel(analitik) hesap, cebirsel hesaba oldukça yakındır ve ilgi alanları birbiriyle kesişir. Sözgelimi, 3x-2=5 denklemini çözmek, kuşkusuz cebirsel bir hesap yapmaktır, ama bu, aynı zamanda, y=3x-7 fonksiyonunun, x’in hangi değeri için sıfır değerini aldığını da aramaktır. En basitleri birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümleri olan çözümsel (analitik) hesapların kökeni Babillilere kadar uzanır. Buna karşılık, 3. ve 4. dereceden denklemlerin çözüm yöntemleri ancak Rönesans döneminde kesin olarak ortaya çıkmıştır. Çözümlemedeki gerçek hesap, diferansiyel ve integral hesapla ya da sonsuz küçük hesabıyla başlar; bu hesabı en yüksek genelleme derecesine çıkaran Newton ve Leibniz olmuştur ama Pascal ve Fermat’nın yaklaşımları da bütünleyici etkenler sayılır. İ.Ö. III. yy’da Arkhimedes bunun kurallarını anlamaya çalışmıştı. Gerçek sayısal fonksiyonların türev ve integral kavramlarına dayanan diferansiyel ve integral hesap, lineer hesabın ve topolojinin yardımıyla çok çabuk genelleştirildi. Çözümsel (analitik) hesap olmadan, ne modern fizik, ne de uygulamalı matematiğin büyük bir bölümü varolabilirdi. Cebirsel hesabın asıl konusu eşitlikler olduğu halde, çözümleme hesapları temel yaklaşım kavramı üstünde yoğunlaşır. Basit “sayısal” hesap da böylece, bir dizi limitinin yerine bu dizinin bir terimi, bir integralin yerine yaklaşık bir formül, sayısal bir fonksiyonun yerine bir çok terimli (polinom), vb. koyarak yaklaşım ve yanılgı yöntemlerini işler. Bu hesap, matematiğin her pratik uygulamasında değişmez bir kullanımdır. İktisadi ve parasal hesaplar, istatistik ya da olasılık hesaplan gibi pek çok uygulaması (yerbilim, biyoloji) bilinen bütün hesaplar, bu iki temel hesap türünden,yani cebirsel ve analitik hesaptan çıkmıştır.
Hesap Makinesi
Klavye üstündeki tuşlara basılarak kaydedilen sayılar aracılığıyla hesap yapmaya yarayan araca hesap makinesi denir. İlk hesap makinesini bulan ve yapan Blaise Pascal (1623-1662) olmuştur. Günümüzde kullanılan mekanik hesap makineleri, dört temel aritmetik işlemi yaparken büyük oranda Pascal makinesinin ilkesine dayanmaktadır. İkinci Dünya savaşının yarattığı gereksinimlerden doğan elektronik hesap makineleri her türlü bilimsel araştırmaya hız vermiştir. Yüzlerce yıl gerektirecek hesaplar artık birkaç gün ya da birkaç saat içinde yapılabilmektedir. Nitekim, gezegenlere ilişkin kuramlar elektronik hesap makineleri sayesinde yeniden ele alınmıştır.
Hesap makineleri içinde elle kumanda edilen mekanik hesap makineleri, elektrikle çalışan hesap makineleri ve elektronik hesap makinelerini sayabiliriz. Tümleşik (entegre) devrelerle yarı iletken belleklerin son zamanlarda gelişmesi sonucu, bürolarda kullanılan,elle ya da elektromekanik kumandalı hesap makineleriyle mekanografide kullanılan delikli kartlı hesap makineleri gitgide ortadan kalkmaktadır. Mekanik çizim atölyelerinin yerlerini günümüzde, hesaplan daha çabuk ve daha az gürültüyle yapabilen mini bilgisayarlar almış bulunmaktadır. Cep tipi en basit hesap makineleri dört işlemi yapmakta ve genel olarak ara sonuçların biriktirildiği ve yeniden kullanıldığı bir belleğe sahip bulunmaktadır. Hacimlerinin en büyük bölümünü tuşlar, sonuç bildirme düzeneği (elektroışılı diyotlar ya da sıvı billurlar) ile piller ya da aküler kaplamaktadır; makinenin bellek ve hesap devrelerini içeren etkin bölümüyse toplam hacmin ancak % 5 ile 10’una denk düşmektedir. En gelişmişlerinde bir magnetik kart üstüne programlar kaydedilebilmekte ve bir bilgisayardaki gibi bu programlardan yararlanılabilmektedir.
Mini hesap makinelerinde yeni geliş¬meler olmuştur: Çok düşük bir akım, araç kapalı olsa bile, hafızada biriken verilerin saklanmasını sağlamaktadır. Silinmeyen bu bellek düzeneği özellikle programlanabilir mini hesap makineleri için ilgi çekicidir.