Görüntüleri eşitleyen denklemin bir çözümü x1=x2 dir. Fakat biz x1?x2 alırsak, tersi bir örnekle ek olarak daha iyi anlaşılacaktır.
x1?x2f(x1)x21x1=f(x2)=x22?=x2 ve x1=-x2
Görüntüleri eşitleyen denklemin 2. bir çözümü de bulunmaktadır. Bir tanesi x1=x2 olmalı, fakat diğeri, bir tanesi diğerinin aykırı işaretlisi olabilmektedir. Bu örnekten anlaşılacağı gibi bir puan da yalnızca x'in çift üslerini bulunduran fonksiyonlar şayet tanım kümesi uygunsa bire bir fonksiyondur. Yukarıdaki örnekte fonksiyon bu şekilde tanımlansaydı birebir örten fonksiyon olacaktı.
Örnek: Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı bizzat mesleği ile eşleştiren bağıntı bir fonksiyon mudur?
Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her kişinin en çok miktarda bir ve en az bir adet mesleği olmalıdır. Halbuki gerçekte bir takım kişilerin 2 mesleği meydana geldiği benzeri bir takım insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı bir fonksiyon olmamaktadır.
Birebir örten fonksiyona örnek: Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı bizzat yuvası ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur?
Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olması amaçlı her hayvanın en fazla ve en az bir adet yuvası olmalıdır. Halbuki gerçekte bir takım hayvanların yuvalarının olmadığını bilmekteyiz. Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
Örnek: Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babası ile eşleştiren bağıntı bir fonksiyon mudur?
Çözüm: Bu bağıntının bir fonksiyon olması amaçlıdır. Her çocuğun en fazla ve en az bir adet babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun kesinlikle bir babası vardır ve bir çocuğun 2 babasının olması ihtimali yoktur. Bu bağıntı bir fonksiyondur.
Birebir örten fonksiyona örnek: Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları fiyatları eşleştiren bağıntı bir fonksiyon mudur?
Çözüm: Bu bağıntı da fonksiyondur. Ama bedavaya personel olmayacağı amaçlı her işçinin bir fiyatı kesinlikle bulunmaktadır. Hiç bir patron bir işçiye 2 kat para vermeyeceğine göre her işçinin en çok miktarda bir adet fiyatı bulunmaktadır. Bu bağıntı bir fonksiyondur.
Fonksiyonlar çoğunlukla yapılmış olan eşlemeyi anlatan kurallarla verilir.