Çarpanlara ayırma ile ilgili soruları çözer iken özdeşliklerden de faydalanırız.Özdeşlikler,içerisindeki bilinmeyenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere denir.Çarpanlara ayırma sorularında ve çözümlerinde kullandığımız bazı önemli özdeşlikler vardır.Bunlar aşağıda sıralanmıştır.
- Tam kare özdeşliği:Çarpanlara ayırma sorularında sıkça sorulan bir özdeşlik olan bu konunun da 3 temel biçimi vardır.Bunlar:İki sayının toplamının karesi,iki sayının farkının karesi ve üç sayının toplamının karesidir.
- iki terimin toplamının karesi:(a+b) ifadesinin karesi:a kare+b kare+2.a.b
- iki terimin farkının karesi:(a-b) ifadesinin karesi:a kare+b kare-2.a.b
- üç terimin toplamının karesi:(a+b+c) ifadesinin karesi:a kare+b kare+c kare+2.(a.b+a.c+b.c) şeklindedir.
- İki terimin toplamı veya farkının küpü:Birinci terimin küpü,birinci terimin karesi ile ikinci terimin çarpımının 3 katı,birinci terim ile ikinci terimin karesinin çarpımının 3 katı,ikinci terimin küpü bu ifadelerin toplanması ya da çıkartılması şeklinde olan ifadelerdir.Bu tarz açılımlara binom açılımı da söylenmektedir.
- iki terimin toplamının küpü:(a+b) ifadesinin küpü:a küp+3.a kare.b+3.a.b kare+b küp
- iki terimin farkının küpü:(a-b) ifadesinin küpü:a küp-3.a kare.b+3.a.b kare-b küp şeklindedir.
Bu özdeşlikler bu şekilde devam etmektedir.Paskal üçgeni yardımı ile 4,5,6... derecelerdeki iki terimli sayıların toplamının veya farkının özdeşliklerini yazabiliriz.
- İki kare farkı özdeşliği: İki terim toplamı ile iki terim farkının çarpımının;birincisinin karesi ile ikincisinin farkına eşit olur.
(a+b).(a-b)=a kare-b kare
Özdeşlikleri daha iyi anlamak için bir kaç örnek çözelim.
Örnek:İki sayının toplamı 17,kareleri toplamı 145 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?
Çözüm:x kare+y kare=(x+y) ifadesinin karesi-2.x.y
2.x.y=289-145
2.x.y=144
x.y=72
Sonuç:72
Çarpanlara ayırma da bazı bilmemiz gereken kurallar vardır.Bunlar aşağıda verilmiştir.
- Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma:Her terimde ortak olarak bulunan terimler parantez dışına alınır.Her terimin ortak çarpana bölümü de parantez içine alınır.
Örnek:5a+5b=5(a+b)
- Gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma:Bütün terimlerde ortak çarpan yok ise işlemi kolaylaştırmak amacı ile ifadeleri ikişer ikişer,üçer üçer gruplandırma yaparak çarpanlara ayırırız.
Örnek:xy-xb-yb+b kare=x(y-b)+b(b-y)
- Bir terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma:Verilen ifade çarpanlarına ayrılamıyor ise uygun bir terim ekleme çıkarma yöntemi ile tam kare veya iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir.
- x kare+bx+c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırma:Çarpımları c olan,toplamları b olan iki tam sayı bulunur.Bu iki tam sayının çarpımları pozitif ise işaretleri aynı olur,eğer çarpımları farklı ise işaretleri farklı olur.Eğer bu iki sayının toplamları pozitif ise sayıların ikisinin işareti de pozitif olur.Eğer bu iki sayının toplamları negatif olursa sayıların ikisinin işareti de negatif olmalıdır.Çarpımları negatif toplamları pozitif olma durumlarında ise çarpım durumunda ki sayıların büyük olanının işareti pozitif olmalıdır.Bu durumun tersi de geçerlidir.Yani çarpımları negatif toplamları negatif olma durumunda da çarpım durumunda ki sayılardan büyük olanının işareti negatif olmak zorundadır.Bu durumu şöyle bir örnek vererek açıklayabiliriz.
Örnek:xkare+5x+6 ifadesini çarpanlara ayıralım.
Çözüm:6 sayısının çarpanlarını topladığımız zaman 5 sayısını elde etmemiz gerekmektedir.Bunun için 2 ve 3 sayılarını çarpan olarak kullanabiliriz.Bu durumda ifademiz (x+3).(x+2) şeklinde ifade edilebilir.
- ax kare+bx+c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırma:Böyle durumlar da a ve c sayıları çarpanlarına ayrılır. A'nın çarpanlarına m ve n diyelim. C'nin çarpanlarına da k ve l diyelim.Eğer m ve l sayılarının çarpımının toplamı ile n ve k sayılarının çarpımının toplamı b sayısını veriyorsa ifadenin yazılımı (mx+k).(nx+l) şeklinde olmalıdır.Yani çapraz çarpıyor isek düz bir şekilde topluyoruz.Eğer düz çarpar isek çapraz şekilde toplamamız gerekir.Şimdi bu durumu bir örnek vererek açıklayalım.
Örnek:6x kare+7x-3 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm:3 sayısını 3 ve (-1) şeklinde çarpanlarına ayırırız.7 sayısı pozitif olduğu için büyük sayıya yani 3 sayısına pozitif işaret verdik.6 sayısı çarpanlarına iki şekilde ayrılır.Bunlar 6 ve 1 sayıları ya da 3 ve 2 sayıları olarak ama 6 ve 1 sayılarını kullandığımız zaman 7 sayısına ulaşamayız.Bu yüzden 3 ve 2 sayılarını kullanırız.3 ve 3 sayılarının çarpımının sonucu 9 eder ve 2 ve (-1) sayılarının çarpımının sonucu (-2) eder son olarak ta 9 ve (-2) sayılarını toplar isek 7 sayısına ulaşabiliriz.Bu durumda ifademizi (3x-1).(2x+3) şeklinde çarpanlarına ayırmış olarak yazabiliriz.
İyi Çalışmalar arkadaşlar.