Periyot, doğal titreşim periyodu, frekans, açısal frekans, doğal titreşim frekansı gibi kavramlar titreşim, dalga gibi döngüsel hareketlerin özelliklerini tanımlayan temel parametrelerdir.
Bu kavramları ve hesaplanma yöntemlerini açıklamak için öncelikle periyot, frekans ve açısal frekans terimlerini temel seviyede hatırlamak gerekir.
Periyot Nedir?
Periyodun tanımını netleştirmek için bir sarkaç hareketi ya da daire etrafında dönen cismin hareketini ele alalım.
Sarkaçın hareketi için periyot nedir sorusunu yanıtlayalım; Periyot; 1 noktasından harekete başlayan cismin 2 noktasına gitmesi, ardından 1 noktasından geçerek 3 noktasına varması ve tekrar 1 noktasına dönmesi için geçen toplam süredir. Dairesel hareket örneğimizde periyot; ise 1 noktasından harekete başlayan cismin sırasıyla 2, 3, 4 (ya da tam tersi 4, 3, 2) noktalarından geçerek başlangıç konumuna yani 1 noktasına dönmesi için geçen süredir. Yukarıdaki grafikte gösterilen harekette örneğin 8 saniyede başlangıç noktasına dönülmüştür. Bu hareketin periyodu 8 saniyedir.
“Kısaca periyot döngüsel hareketlerde, hareketin tam bir tur tamamlanmasında geçen süredir.”
Genel olarak periyodun birimi saniye olarak kullanılsa da, hareketin süresine bağlı olarak farklı “zaman birimleri” de kullanılır. Genellikle “T” harfi ile ifade edilir.
Frekans Nedir?
Frekans, döngüsel hareket yapan cismin birim zamanda gerçekleştirdiği döngü sayısını ifade eder. Dolayısıyla frekans periyodun tersi, yani (periyodun birimi saniye ise) 1 saniyeye oranlanmış haldir. Genellikle “f” harfi ile ifade edilir.
T=1/f ‘dir
Frekansın birimi hertzdir.
Örneğin yukarıda örnek için periyodu 8 saniye olan fareketin frekansı; f=1/T →f=1/8=0,125 hertz’dir.
Açısal Frekans Nedir?
Açısal frekans; cismin dairesel hareketinde birim zamanda taranan açıdır.
Dolayısıyla açısal frekansın formülünü; ω=2π/T olarak yazabiliriz. Burada açısal frekansın birimi bilindiği üzere radyan/saniye’dir.
Buraya kadar anlatılanlar temel fizik bilgisi dahilindeki kavramların hatırlatılmasıydı. Şimdi mühendislik alanında sıkça kullanılan doğal titreşim frekansı ve doğal titreşim periyodu kavramlarını inceleyelim.
Doğal Titreşim Periyodu Nedir? Doğal Titreşim Frekansı ve Doğal Açısal Frekans Nedir?
Doğal titreşim periyodu ve doğal titreşim frekansı kavramlarından önce serbest titreşimden bahsedersek;
Serbest Titreşim: Bir sistem statik denge konumundan uzaklaştırıldığında titreşime başlıyor ve dış ortamlardan herhangi bir etki olmadan titreşimine devam edebiliyorsa bu tarz titreşimlere serbest titreşim denilmektedir.
Doğal Frekans: Cisimlerin ve yapıların rijitlik ve kütlelerine bağlı olan ve bu frekans değerinde titreştiklerinde yüksek genliklerde ve sönüm olmadığı durumda sürekli titreşmeye devam edeceği frekans değerine doğal frekans denilmektedir. Bir sistemin doğal frekans sayısı sistemin serbestlik derecesi sayısına bağlıdır, sistemin sahip olduğu serbestlik derecesi kadar doğal frekansı vardır. (TBDY 2018’e göre doğal titreşim periyodu nasıl hesaplanır? )
Doğal titreşim periyodu ve doğal titreşim frekansı kavramlarını tanımlamak için tek serbestlik dereceli bir sistemin serbest titreşimini ele alalım.
Yer değişimi-zaman eğrisinin a-b-c-d-e ile gösterilen parçası, sistemin serbest titreşiminin bir döngüsünü tanımlar. Kütle, a’daki statik denge (şekil değişimi öncesi) konumundan sağa sola hareket eder; b noktasında + işaretli en büyük yer değişimi değerine (u0) ulaşır; bu anda hız 0 (sıfır) olur ve yerdeğişimi azalmaya başlar. Böylece kütle tekrar c’deki denge konumunda geri döner, bu anda hız en büyük değerine ulaştığından kütle sola doğru hareketine devam eder ve d noktasında eksi işaretli en büyük yer değişimi değerine (-u0) ulaşır. Bu anda hız yeniden sıfır olur; yer değişimi mutlak değerce artmaya başlar ve kütle e noktasındaki denge konumuna geri döner. a noktasından e noktasına varana dek 2Π/ωn saniye geçer. Kütlenin, e noktasındaki durum değişkenleri (konum ve hız), a noktasındaki değeriyle aynıdır ve kütle bir sonraki titreşim döngüsüne başlamaya hazır durumdadır.
Not: Titreşimin Doğal Frekansı ωn =√(k/m)’dir. Bu formülün çıkarımı sayfanın alt kısmında gösterilmiştir.
Sönümsüz sistemin bir titreşim döngüsünü tamamlaması için gereken süreye sistemin doğal titreşim periyodu denir. Burada Tn ile gösterilen bu periyodun birimi saniyedir. Sistemin periyodu ile titreşimin doğal açısal frekansı ωn (birimi radyan/saniye) arasında aşağıdaki ilişki vardır.
Tn = 2Π/ωn
Sistem 1 saniyede döngüsünün 1/Tn kadarını tamamlar. Titreşimin doğal devir frekansı denen bu nicelik,
fn=1/Tn
ile belirtilir. fn ‘in birimi hertz’dir. [hz; saniye başına döngü (devir) sayısı] ve anlaşılacağı gibi ωn ile ilişkisi,
fn=ωn/2Π
biçimindedir. Titreşimin doğal frekansı deyişi hem ωn hem de fn için kullanılır.
Doğal titreşim özellikleri ωn , Tn ve fn yapının yalnız kütle ve rijitlik özelliklerine bağlıdır. Aynı kütleli tek serbestlik dereceli sistemden daha rijit olanının daha yüksek doğal frekansı ve daha kısa doğal periyodu olur. Benzer biçimde rijitlikleri aynı olan iki yapıdan daha ağır (kütlesi daha büyük) olanın daha düşük doğal frekansı ve daha uzun doğal periyodu olur. Burada ωn , Tn ve fn tanımlanırken kullanılan doğal nitelemesi bunların, dış yükler olmadan serbestçe titreşen sistemin doğal özellikleri olduğunu vurgulamak içindir. Sistem doğrusal olduğundan bu özellikler başlangıç konumu ve hızından bağımsızdır.
Genlik Nedir?
Sönümsüz sistem, artı ve eksi işaretli uç noktaları u0 ve -u0 arasında ileri geri salınır. Her iki yöndeki hareketin büyüklüğü de u0 kadardır; buna hareketin genliği denir.
Doğal Titreşim Frekansı Çıkarımı
Bilindiği üzere sönümsüz serbest titreşim hareket denklemi
mü+ku=0’dır
(burada m= kütle, k=rijitliktir)