f(2007)=2008 ve her x,y reel sayısı için,
f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))
koşulunu sağlayan tüm reel fonksiyonları bulunuz.
f(2007)=2008 ve her x,y reel sayısı için,
koşulunu sağlayan tüm reel fonksiyonları bulunuz.
2. Gün:
1. ABC dar açılı bir üçgen ve A1, B1, C1 noktaları, A1B1C1 üçgeni ABC üçgenine benzer olacak şekilde sırasıyla BC, CA, AB üzerinde olsun. A1B1C1 üçgeninin diklik merkezinin ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ile çakıştığını ispatlayınız.
1. Gün:
1. Altı köşeli bağlı şemaların (connected graphs) sayılarını bulunuz. (köşelerin farklı oldukları kabul ediliyor)
2. İki A ve B noktaları ve bunlardan geçen bir w çemberi veriliyor. P (A ve B den farklı), w çemberi üzerinde değişken bir noktadır. M noktası için, MP doğrusu APB açısının açı ortayı (M noktası çemberin dışında) ve MP=AP+BP dir. M noktasının geometrik yerini bulunuz.
2. Derece:
1. k bir pozitif sayı ve P tamsayı katsayılı bir polinom olsun. P(1)+P(2)+…+P(N) nin k ile tam bölüneceği, bir pozitif n tamsayısı olduğunu ispatlayınız.
2. |CA|≠|CB| olan bir ABC üçgeninde, A1 ve B1 noktaları sırasıyla CB ve CA kenarlarına dış teğet çemberlerin teğet noktaları ve I da iç teğet çember olsun. CI doğrusu ABC üçgeninin çevrel çemberini P noktasında kessin. P den geçen ve CP ye dik olan doğru, AB doğrusunu Q noktasında keserse, QI ve A1B1 doğrularının paralel olduklarını ispatlayınız.
1. k, 3 den büyük yada eşit bir tek sayıdır. Aşağıdaki özelliklere sahip, tamsayı katsayılı olmayan, k. derecesi tamsayı değerli bir polinom bulunduğunu ispatlayınız:
a. f(0)=0, f(1)=1
b. Sonsuz sayıda pozitif n tamsayısı vardır öyle ki, denkleminin tamsayı çözümleri ise, olur.
1. Derece
1. P noktası AB çaplı yarıçemberin bir iç noktasıdır (APB geniş açı). ABC üçgeninin iç çemberi AP ve BP ye sırasıyla M ve N noktalarında değiyor. MN doğrusu yarıçemberi X ve Y de kesiyor. olduğunu ispatlayınız.
1. ABC üçgeninin diklik merkezi (orta dikmelerin kesişim noktası) H dir. D, E ve F noktaları, AD||BE||CF olacak şekilde ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerindedir. S,T,U noktaları, BC, CA, AB ye göre simetrik noktalardır. S, T, U, H noktalarının aynı çemberde bulunduğunu ispatlayınız.
1. O1 ve O2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B olsun. R noktası O1 çemberinin AB yayı üzerinde, T noktası da O2 çemberinin AB yayı üzerinde birer nokta olsun. AR ve BR, O2 çemberini C ve D noktalarında, AT ve BT ise O1 çemberini Q ve P noktalarında kessin. Eğer PR ve TD doğruları E’de ve QR ile TC doğruları da F’de kesişiyorsa, AE.BT.BR=BF.AT.AR olduğunu ispatlayınız.
1. A kümesi, N* pozitif tamsayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer herhangi yeterince büyük pozitif bir tamsayı, A kümesindeki iki elemanın (farklı olmak zorunda değiller) toplamı olarak yazılabiliyorsa, A kümesine iki değerlikli bir kök (divalent radical) denir. x>=1 için, A kümesindeki x’den büyük olmayan tüm elemanların kümesini A(x) ile gösterelim. Her x>=1 için, olacak şekilde bir iki değerlikli kök A ve bir sabit sayı C bulunacağını ispatlayınız.