Pi’nin Tarihçesi:
Hemen hemen tüm matematik kitaplarında, özellikle matematiği genelde bilime ilgi duyan kişilerin okuması için yazan kitaplarda, p ve onun özelliklerinden söz edilmeden geçilmemiştir. Archimedes'ten sonra p sayısı üzerinde çok çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan ilki, p sayısının irrasyonel bir sayı olduğunun gösterilmesidir. Lindemann (1852-1939), 1882 yılında p sayısının transandant (aşkın) bir sayı olduğunu göstermiştir.
p'yi hesaplamak için kullanılan en ilginç yollardan birini, 18. yy'da Fransız doğa bilimci Buffon, İğne Problemi’nde kullanmıştır. Bir düzlem, araları d birim olan paralel çizgilerle ayrılmıştır. Uzunluğu d'den kısa olan bir iğne, bu çizgili yüzeye düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse, iyi atış olarak kabul edilir. Buffon'un şaşırtıcı buluşu; iyi atışların kötü atışlara oranının p'yi içeren bir açıklamasının olmasıdır. Eğer iğnenin uzunluğu d birimse, iyi atış olasılığı 2/p’ dir. 1901'de Lazzerini 3408 atış yaparak p'nin değerini 3.1415929 olarak hesaplamıştır ki; bu altı ondalık basamağa kadar doğruydu. p'yi hesaplamak için başka bir olasılık yöntemi, 1904'de
R.Charles tarafından bulundu. Buna göre; rasgele yazılan iki sayının göreceli asal olmalarının olasılığı 6/p2 dir. p’nin hesabı için çok değişik yöntemler kullanılmakla birlikte, günümüzde yakınsak sonsuz seriler, çarpımlar ve ardışık yineleme bağıntıları kullanılmaktadır.
Rasgelelik Nedir?
Bir olay, eğer varolan koşullar çerçevesi içinde söz konusu sürecin özünden zorunlu olarak doğmuyorsa, yani başka türlü de gerçekleşmesi olanaklıysa ve oluşmasına hiç gerek yoksa rasgeledir. Her rasgelelik olgusunun kendi nedenleri vardır. Başka bir deyişle rasgelelik nedensellikle koşullanır. Zorunluluk ile rasgelelik arasındaki karşıtlık mutlak değil görecelidir, yani böyle bir karşıtlıktan ancak belirli koşullar çerçevesinde söz edilebilir.
Meydana gelmesi belli koşullar altında zorunlu olan bir olay, başka koşullar altında rasgele olabileceği gibi, bunun tersi de olanaklıdır. Rasgele bir olay, süreç içinde zorunluluklara dönüşebilir. Zorunluluğun daima rasgelelik ile ortaya çıkması açısından rasgelelik, zorunluluğun tamamlayıcısıdır, yani zorunlu bir olay daima rasgele öğelerle tamamlanır. Rasgelelik, nedenleri bilinmeyen zorunluluk değildir; rasgeleliğin nedenlerinin bilinmesi, onun rasgelelik niteliğini değiştirmez. Evrende her olgu ve olay, iç nedenlerinin etkisiyle zorunlu olarak oluşur. Fakat evrendeki her olgu ve olay, aynı zamanda, dış nedenlerden de etkilenir. Dış nedenler, iç nedenler gibi temel ve belirleyici değildir. Doğada ve toplumda var olan her şey, şu ya da bu biçimde birbirine bağlıdır ve her şey birbirini etkileme durumundadır.
Herhangi bir olgu ya da olayın rasgelelik veya zorunluluk olup olmadığını anlamak için, onun bir iç nedenin mi yoksa bir dış nedenin mi ürünü olduğunu saptamak gerekir. Gerekli önlemler alınarak rasgelelik içeren olaylar ortadan kaldırılabilir. Bir piyangoda ikramiye çıkması şans sayılır, ama böylesine bir şansa ulaşmak için piyango bileti almak zorunludur. Bir kişinin trafik kazası yapması rasgeledir, ancak herkesin trafik kurallarına uyduğu, yaya ve taşıt yollarının düzenli ve kullanışlı olduğu, toplu taşım araçlarının kullanıldığı bir toplumda kaza yapma olasılığı azalacaktır. Rasgelelik nesneldir, yani insan düşüncesinden ve iradesinden bağımsızdır. Rasgelelik kimi yerde zorunluluğun işleyişini bir zaman engelleyebilir. Zorunluluk, çeşitli rasgelelikler arasından kendi yolunu açar ve görevini yerine getirir.
Rasgele olay belirli koşullarda ortaya çıkabilen ya da ortaya çıkması mümkün olmayan olaydır. Ancak, felsefi bilimlerde ikili karakter taşımış ve birbirine karşı olmuştur. Bir kısım filozoflar, ortaya çıkan olayları kesin, yasaya uygun kabul ederek rasgeleliği reddetmişler; diğerleri ise bütün olayları rasgeleliğe mal etmişlerdir.
Bilim, her şeyin doğanın yasalarına boyun eğdiğini ve aman bilmez zorunluluk tarafından yönetildiğini göstermektedir. Hiçbir şey gerçeklikte olduğundan başka bir yolla olamaz. Bir olayın kesin yasaya karşıt olarak olabileceği ve olmasına gerek olmayan bir olay rasgele bir olay olarak varsayılınca, bu, nedensiz bir olay yani mucize olur. Oysa mucizeler olmamaktadır, olamazlar da. Bazı filozoflar, doğada hiçbir şeyin rasgele olarak olmadığı ve her şeyin önceden belirlendiği yargısına ulaşmışlardır. Bu düşünceyi benimseyenler, Newton'un determinist klasik mekaniğinin yasalarında doğru yargıya ulaştıklarını düşünmüşler ve mekanikçi belirlenimcilik, uzun yıllar insanlığı egemenliği altına almıştır. Ancak, bilim, tek tek cisimlerin yörüngelerinden daha karmaşık şeylerle yüz yüze geldiğinde, mekanikçi belirlenimciliğin temelini çökertmiştir. Her olayın önüne geçilmez bir biçimde belirlendiğini ve kaçınılmaz olduğunu kabul ederek yazgıcılığa varmış oluruz. Her şeyin değiştirilemez bir biçimde önceden belirlenmiş olduğunu kabul etmek, zorunlu olarak mekanikçi belirlenimciliğin sonucudur.
Gerek doğada, gerek toplumda, hiçbir süreç özdeş biçimde yinelenemez. Yine de mutlak olmayan ama yaklaşık olan bazı bağıntıların yinelenmesi zorunlu olarak gerçekleşir. Zorunluluğun kendini açıklaması tam da böyledir. Tek tek olaylar yasadan belli sınırlar içinde sapabilir, ama hiçbir olay yasa ile çelişmez. Bu olanaksızdır.
Doğada ve toplumda, bilmediğimiz veya hesaba katmadığımız nedenlerle değişen sonuçlar veren olaylarla çoğu zaman karşılaşılır. Gerçekliği ifade eden, matematiksel fonksiyonlar değildir. Gerçekliği ifade eden, büyüklüklerin deneyle belirlendiği dağılım fonksiyonlarıdır. Bilim giderek katı belirlenimcilik anlayışını terk etmekte ve günlük yaşam ölçeğiyle belirlenmiş yasaları değiştirmeden, olguların temelinde yatan daha esnek bir "istatistik belirlenimcilik" anlayışına yaklaşmaktadır.
Tek tek her nesne, daha derin bir düzeyde, bir nesneler yığınına varır ve bu nesnenin bağlı bulunduğu yasa, nesneyi oluşturan pek çok sayıdaki öğelerde olagelen düzensizliklerin toplamıdır. Yasa, bir bireyin karşı karşıya geleceği herhangi bir özel rasgeleliği yükümlenmez. Yüzyıllardan beri doğru olan bir yasanın gelecek sene de doğru olup olmayacağı sorusuna karşı, şundan başka bir yanıt verilemez: "Yasanın gelecek seneye doğru çıkmaması pek az olasıdır."
Dikkatli bir şekilde baktığımızda, içinde yaşadığımız dünyanın olasılıklı özelliklere sahip olduğunu görebiliriz. Yaşamımızı rasgelelik olgusu olmadan düşünemeyiz. Şimdi, “Rasgelelik nedir?” sorusuna aşağıdaki gibi yanıt verebiliriz.
* Evrenin karşılıklı bağımlılığının ve ilişkililiğinin sonucudur.
* Belirsizliğin sonucudur.
* Madde ve maddenin hareket biçimlerinin sonucudur.
Bu nedenle rasgeleliği, evrenin kendi özelliklerine sahip olması, bir de olayların karşılıklı bağımlılığı ve ilişkililiği ile açıklamak mümkündür.
Model, Rasgelelik, Simülasyon ve <!--[if !vml]--><!--[endif]--> Sayısı:
<!--[if !vml]--><!--[endif]--> sayısının neden bu başlık altında incelendiği; “Model”, “Rasgelelik” ve “Simülasyon” kavramlarından biraz bahsettikten sonra açıklık kazanacaktır.
Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma çabası içinde olan insan; ilgilendiği olay ve süreçlerle ilgili çeşitli modeller kurar ve bu modeller üzerinde çalışarak, gelecekte ne gibi durumlar ortaya çıkabileceğini bilmeye çalışır. Model; gerçek dünyadaki bir sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model; gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir temsilidir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması nedeniyle modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek onları belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey, model kurucunun gerçeği "anlayışının" bir ürünüdür ve her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir.
Modeller değişik biçimlerde sınıflandırılmaktadır. Matematiksel modeller, anlatım gücü en fazla ve en geçerli olan modellerdir. Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya bakış açısına bağlı olarak, modellemede farklı durumlar söz konusu olabilir.
Gerçek dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede, insan aklının en güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik; özellikle, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde ön plana çıkmaktadır. Bu durumda, “Rasgelelik nedir?” sorusu önem taşımaktadır.
Pagels, "Rasgelelik nedir?" sorusuna cevap vermeye çalışırken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri arasında ayrım yapmanın önemine değinmiştir ve “Matematiksel problem, sayılar veya fonksiyonların rasgele sırasının ne anlama geldiğini tanımlayan bir mantıksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi, gerçek fiziksel olayların rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup uymadığını belirlemektir. Rasgeleliğin matematiksel bir tanımına sahip olana kadar, doğal olayların bir dizisinin gerçekten rasgele olup olmadığını belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir tanımımız olunca, o zaman, gerçek olayların böyle bir tanıma karşılık gelip gelmediğini belirleme konulu ek deneysel bir problemimiz olur. Burada ilk problemle karşılaşırız: Matematikçiler, rasgeleliğin kesin bir tanımını verme ya da onunla bağlantılı bir iş olan olasılığı tanımlama işinde hiçbir zaman başarı sağlayamamıştır...” demiştir.
Yine Pagels; <!--[if !vml]--><!--[endif]--> sayısının ondalık açılımındaki sayıların, rasgelelik testlerinden geçebileceğini veya bu sayıların çeşitli olasılık dağılımlarına uyabileceğini belirtmiştir. Dolayısıyla pi’ye, bir de rasgelelik açısından bakılmasında yarar vardır.
Yine <!--[if !vml]--><!--[endif]-->'yi tahmin etmek için, “ <!--[if !vml]--><!--[endif]-->” özelliği kullanılarak Monte Carlo İntegrasyonu olarak bilinen yöntem kullanılabilir. <!--[if !vml]--><!--[endif]--> rasgele değişkenleri <!--[if !vml]--><!--[endif]--> aralığında düzgün dağılıma sahip olmak üzere (hesap makinalarındaki RND tuşu, bilgisayarlardaki RND fonksiyonu veya rasgele rakamlar tablosu kullanılarak bu sayılar elde edilebilir)
<!--[if !vml]--><!--[endif]--> toplamı ; <!--[if !vml]--><!--[endif]--> için bir tahmin verecektir.
Ekonometri, Sayısal Çözümleme, Şifreleme, Bilgisayar Programlama, Deneysel Fizik, İstatistik gibi birçok uygulamalı bilim alanında rasgele sayılar, simülasyon (benzetim) aşamasında kullanılmaktadır. Kısaca simülasyon, model üzerinde deney yapmadır. Rasgelelik içeren olay ve süreçlerin, bilgisayar ortamında deneyinin yapılmasıdır. Bir olay, süreç veya sistemle ilgili bir özelliğin ya da davranışın model üzerinde gözlenmesine simülasyon (simulation) denir. "Simulation"; taklit, benzetim anlamına gelen bir sözcüktür.
Matematiksel modellerde, analitik veya sayısal bir çözüm bulunamadığında simülasyona başvurulduğunu ve optimal bir sonuç yerine, değişik koşullar altında yapılan denemelerle birtakım "gözlem" sonuçlarının elde edildiğini belirtelim. Modeller kurulduktan sonra, bu modellerden sonuç çıkarma yöntemlerinden veya başka bir ifadeyle çözüm yöntemlerinden biri olan simülasyon; analitik veya sayısal çözümler arasında en son başvurulması gereken bir çare olarak düşünülmesine karşılık, bilgisayar ve diğer teknolojik gelişmeler sonucunda çok kullanılan bir yöntem haline gelmiştir. Bununla birlikte, simülasyon ile elde edilen gözlemlerin gerçek dünyadakine göre ucuz, çabuk ve tekrarlanabilir şekilde elde edilmesi ve özellikle rasgelelik içeren modellerde çok değişik koşullar altında gözlem yapma olanağı vermesi, bazı durumlarda simülasyonu birinci sırada tercih edilen bir yöntem haline getirmektedir. Ancak, simülasyon sonucunda gerçek olay, süreç veya sistemle ilgili "model üzerinde yapılan deneyler" ile bazı gözlem değerlerinin elde edildiği unutulmamalıdır.
Simülasyon, eğitimde maliyeti düşük ve kullanışlı bir yöntemdir. Özellikle rasgele değişken içeren modellerdeki simülasyonda rasgeleliğin sağlanması (olasılık dağılımlarından rasgele sayı üretilmesi) ve simülasyon sonucunda elde edilen "gözlem" değerlerine bağlı sonuçların "iyiliği" sorunları, istatistiksel olarak çözülmesi gerekenlerden başlıca ikisidir. Olasılık dağılımlarından rasgele sayı üretilmesinin esası, düzgün dağılımdan sayı üretilmesine bağlıdır. Düzgün dağılıma sahip sayıların üretimi de, kendi başına bir araştırma konusudur. Son yıllarda, simülasyon, özellikle eğitim alanında kullanılan yöntemlerin başında gelmektedir. Simülasyonun temelinde de rasgele sayılar yatmaktadır. Yapılan simülasyon işleminin gerçek dünyadaki olayı iyi bir şekilde taklit edebilmesi istenir; eğer taklit iyi yapılamıyorsa, deney gerçek dünyadaki olayı iyi temsil edemeyecektir. Bu nedenlerle rasgele dizi kavramının uygulama açısından önemi büyüktür. İstatistiksel dağılımlardan örnek almak (model üzerinde deney yapma, bilgisayarda deney yapma, gözlem alma) için aralığında düzgün dağılıma sahip rasgele değişkenlerin çeşitli fonksiyonları kullanılır. Eğer aralığındaki düzgün dağılımdan rasgele sayı üretilemiyorsa doğaldır ki; diğer dağılımlardan da sayı üretmek mümkün olamamaktadır. Bunun için çeşitli üreteçler (fonksiyonel ilişki) kullanılmakta ve çeşitli istatistiksel özellikleri sağlayan üreteçler, rasgele sayı üreteçleri olarak kullanılmaktadır. Bu sayılar belirli kurallara göre üretildiklerinden, "sözde rasgele sayı" olarak bilinmektedir.
Hepimizin yakından bildiği bilgisayar oyunlarının da temeli bu rasgele sayılara bağlıdır. Tavla oyununda zar atışının bilgisayarda yapılabilmesi için, yine rasgele sayı üreteçlerinden yararlanılır. Bilgisayarda oynanan talih oyunlarında da rasgele sayı üreteçleri kullanılır. Bazı kişiler, bu rasgele sayı üreteçlerinin formülünü keşfederek bu oyunlarda hile yapmaktadır. Bununla ilgili son zamanlarda haklarında kanuni yaptırımlar uygulanan kişiler de bulunmaktadır. Kısaca bilgisayarda oyun oynayan ya da oyun programları yazanların, rasgele sayıları kullanmadan herhangi bir şey yapmaları olanaklı değildir.
Eğitimde de simülasyon; hem masrafsız hem de kolay olduğundan, bilgisayar destekli eğitim programları, son yıllarda kullandığımız programların başında gelmektedir. Bu programlar, öğrenenin, konuya ilgisini çekmek için hareketli görüntüler ve grafikler kullanılarak, aktif bir şekilde öğrenme sürecine girmesini sağlar. Bilindiği gibi kişinin konuya ilgi duyması, eğitim açısından çok önemlidir. Öğrenen; konunun temel kavramlarını tanıdıktan sonra, çeşitli modeller üzerinde programın elverdiği ölçüde girdilerini değiştirerek sonuçları bilgisayar ekranında görebilir. Biraz programlama bilgisi olan bir kişi, kendi simülasyonlarını kendisi de kolaylıkla yapabilir.
Özellikle çeşitli araçların kullanımı ile ilgili eğitimde (Uçak, Gemi, Uzay araçları gibi); bu araçların hangi ortamda nasıl kullanılacağını ve kontrol edileceğini öğretmek amacıyla, kullanıcının gerçek durumda karşılaşabileceği farklı ortamlar hazırlanır ve kullanıcı bu durumlara göre davranış biçimleri ortaya koyar. Eğer kullanıcıya belirli, sabit, değişmeyen ortamlar oluşturulursa; belli bir süre sonra kullanıcı bunlara alışacağından, gerçeğin kendisinden uzaklaşmış olur. Bu nedenle kullanıcıya hep farklı durumlarla karşılaşabileceği ortamların, yani gerçek dünyada “rasgele” olarak karşısına çıkabilecek ortamların oluşturulması gerekir ki; bu da ancak rasgele sayıların kullanılmasıyla olur.
Günümüzde bilgisayar teknolojilerinin gelişmesi ile beraber, <!--[if !vml]--><!--[endif]-->'nin milyarlarca ondalık basamağı CD-ROM'lara kaydedilerek simulasyon çalışması yapanların kullanımına sunulmuştur. <!--[if !vml]--><!--[endif]--> sayısı, doğal rasgele sayı üreteci olarak adlandırılmıştır