Pi (π) Sayısının Kaç Basamağını Bilmek Yeterlidir?
NASA Mühendisleri veya Kozmologlar, Pi Sayısının Kaç Basamağını Kullanıyor?
14 Mart, Dünya Pi Günü olarak kutlanır. π\pi sayısının ilk üç basamağı 3.14 olduğundan 3. ayın 14. günü Pi Günü olarak seçilmiştir. Bu tarih, ABD'de kullanılan formatla, 3/14 olarak belirtilir. Aslında diğer ülkelerde de bu "özel gün" aynı gün yaşanır; ancak tarih formatının farklılığından ötürü 14/3 şeklinde gösterilir ve 3.14 olamaz. Bu yüzden bazı bölgelerde 22 Temmuz günü (yani 22/7), π\pi'nin kesirli gösterimini temsil ettiğinden Pi Günü olarak daha uygun bulunabilir.[1]
İrrasyonel bir sayı olduğu için sonsuz basamağı olan π\pi'nin tamamını yazmak mümkün değildir. Bir kesir kullanarak ona yakın bir sayı elde edebilirsiniz (ama asla birebir pi sayısını elde edemezsiniz; zaten "irrasyonel", bu anlama gelir) veya sadece birkaç basamağı yazabilirsiniz. Tabii sonsuza kadar gittiği düşünülen bir sayıyı "3", "3.1" veya "3.14" kadar kısa kullanmak da biraz absürt gelmektedir. Mesela 3.14159 veya 3.14159265359 ya da bir trilyon basamaklı bir gösterim daha iyi olmaz mıydı? Sahi, bu basamakların kaç tanesine ihtiyacımız var?[2]
Pi Nedir?
π\pi sembolüyle de gösterilen pi'yi tanımlamakla başlayalım. En basit tanımıyla π\pi, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır. Yani bir çemberin etrafının uzunluğunu (çevresini) ölçüp, bir noktasından en uzaktaki noktaya olan mesafesine (çapına) bölerseniz π\pi sayısını bulursunuz. Nasıl bir çember kullandığınız fark etmez, bu oran her çemberde aynıdır. Bu cümlenin sonundaki noktada da ekvator çemberinde de oran aynı ve π\pi'ye eşittir.
Ayrıca, π\pi sadece çemberlerde değil birçok yerde karşımıza çıkar. Rastgele bir yürüyüşte ve salınan bir yayın yukarı ve aşağı gitmesi için geçen süre içinde, sallanan bir sarkaçta veya rastgele bir sayı dizisinde π\pi'yi bulabilirsiniz. Son olarak, basit görünen ancak adeta sihirli bir eşitlik olan Euler Eşitliği'nde de π\pi görülür:[3]
eiπ+1=0\Large e^{i\pi}+1=0
Euler Denklemi'nin parçaları, salınım devrelerinde veya Schrödinger'in kuantum mekaniği denklemleri gibi diferansiyel denklemlerin çözümünde ortaya çıkar.
Pi'nin Sadece Bir Kısmını Kullansak Olmaz mı?
Zaten öyle yapıyoruz. Kimse π\pi'nin tüm basamaklarını yazmıyor, yazamaz da. Önemli olan, π\pi'nin ne kadarının yeterli olduğu.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Hemen hemen her fizik dersinde π\pi'yi 3.14 olarak alırız. Peki sadece 3 alsaydık? Böylece hesaplamalar çok daha kolay olurdu. π\pi'yi 3'e eşit kabul edersek neler olacağına bir bakalım:
Pi ve Hız Göstergeniz
Arabanızdaki hız göstergesiyle başlayalım. Telefonunuzun haritasındaki hız ölçerden bahsetmiyoruz, arabanızdaki 0 ila 200 gibi değerler arasını gösteren hızöçere bakalım. Bu gösterge, tekerleklerin dönüş sayısına göre hızınızı hesaplar. Benzer olarak, kilometre sayacınız da tekerleklerin dönüşüne göre ne kadar yol katettiğinizi bulur.
Tekerleğin 1 tur dönmesi, arabayı tekerleğin çevresi kadar ilerleteceğinden, kilometre sayacı için şu eşitlik yazılabilir:
Burada ss, alınan yolu; ff ise tur sayısını ifade ediyor. Tekerlek bir tam tur dönerse (yani ff = 1 ise) alınan yol (ss) 2π\piRR olacaktır. Bu ifadede ff, tam veya kesirli turları ifade edebilir. Derece veya radyanla ölçülen bir açıyı kullanmak da mümkündür, ancak şimdilik formülü basit tutalım.
Kilometre sayacına dönersek; alınan yolu bildiğimize göre hız, alınan yolun zamana oranıdır. Böylece aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:
v=ΔsΔt=(2πR)ΔfΔt\Large v=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=(2\pi R)\frac{\Delta f}{\Delta t}
Yani, bu formülle, çizgisel hızı tekerleğin açısal hızından elde ederiz. Tek ihtiyacımız olanlar, tekerleğin yarıçapı ve π\pi'nin değeridir.
Şimdi, tekerleri 25 cm yarıçapındaki arabamızın 50 m/saat (saniyede 22.352 metre) hızla gittiğini düşünelim. Bu da tekerlerin saniyede 14.2297 kez dönmesi demektir.
Ancak diğer yolu kullanır, yani π\pi'yi 3 alırsak hız göstergesi 47.7466 m/saat hızla gittiğimizi gösterecektir. Bu da hızda %4.5'luk bir hata yapmak demektir.
Fakat buradaki asıl sorunun π\pi olmadığına dikkat etmek gerekir; çünkü aslında hız göstergeleri zaten mükemmel çalışamaz. Ayrıca tekerleklerin çapı da önemli bir etkendir. Daha küçük çaplı tekerler kullanırsanız, tekerleklerin her dönüşünde araba daha az yol alacaktır. Bu halde sayacınız gittiğiniz yolu olduğundan daha fazla gibi gösterir. Ayrıca, aşınan veya uygun şekilde şişirilmeyen tekerleklerin de çapı beklenenden farklı olacaktır.
Aslına bakarsanız ABD Ulaştırma Bakanlığına göre, bir sayacın mükemmel ölçümler yapmasına da gerek yoktur: Saatte 5 metrelik bir hata payı içeren bir ölçüm, "yeterince doğru" bir ölçüm sayılmaktadır.[4] Yani saatte 50 km'lik bir hız 45 veya 55 km şeklinde okunsa bile, ölçüm yeterince doğru olacaktır. O halde, π\pi'yi 3 almamızda hiçbir sorun yoktur. En azından bu örnek için...
Dünyanın Yoğunluğunu Bulurken Ne Olur?
Şimdi, başka bir hesaplamada π\pi'yi 3 almayı deneyelim. Küremsi şekildeki Dünya'mızın yoğunluğunu hesaplayalım.
Yoğunluk, kütlenin hacme oranı olarak tanımlanır (d=mVd=\frac{m}{V}). Dünya'nın kütlesini bulmak için yerçekimi kuvvetinden yararlanabiliriz.[5] Dünya'nın yarıçapını bulmak içinse birkaç farklı yol var.[6] Bunları bulunca, geriye sadece hacmi bulmak kalıyor.
Hayatın ilk yılları sevgiyi büyütmek içindir. Diğer her şey bundan sonra gelir. O sizin çocuğunuz. Sizin mucizeniz. Şimdi kollarınızın arasındaki bu varlık bir gün kendi ayakları üzerinde yürüyecek… O güne kadar birlikte bir ritim yakalamalı, beraber olmaktan mutlu olacağınız bir aile yaratmalı, çocuğunuzun kabul gördüğü ve ihtiyaç duyduğu her an dönebileceğini bildiği bir alan inşa etmelisiniz: Bir yuva.
Ünlü psikolog ve aile terapisti Hedvig Montgomery, 23 dilde yayımlanıp büyük beğeni toplayan Anne Baba Sihri serisinin ikinci kitabında bebeklik dönemine, o büyülü ve fırtınalı 24 aya odaklanıyor. Bebeği nasıl uyutacağımız, ağladığında nasıl sakinleştireceğimiz, emzirme, dil becerisi, bakıcılı hayat gibi anne babanın karşılaşması muhtemel gündelik sorunlar ve önemli eşikler için anlaşılır ve somut çözümler öneren Montgomery, aynı zamanda çocuğumuzla aramızdaki o eşsiz bağı nasıl kuracağımızı, duyguların ve sevginin kökenine inmenin inceliklerini, geçmişimize dair unuttuğumuz her şeyi çocuğumuzla birlikte hatırlamayı, hayat boyu ona eşlik edecek güven duygusunu kazandırmanın yollarını anlatıyor.
Tabii ki yukarıda verdiğimiz basit yoğunluk formülü, Dünya'nın yoğunluğunun yaklaşık bir değerini verecektir. Çünkü Dünya'nın yüzeyi gibi bazı bölgeleri, çekirdeğinden daha az yoğundur. Ancak yine de Dünya'nın kütlesi 5.972 x 1024 kg ve yarıçapı yaklaşık 6.3781 x 106 metredir. Böylece Dünya'nın yoğunluğunu metreküp başına 5,494.87 kg olarak buluruz.
π\pi'yi 3 almış olsaydık, yoğunluğu 5,754.21 kg/m3 bulacaktık. İki yoğunluk değeri arasında büyük fark varmış gibi görünse de her iki değer de tam olarak doğru değildir. Bunun sebebi Dünya'nın küre değil geoit şeklinde olmasıdır. Dönme hareketinden dolayı Dünya'nın yarıçapı ekvatorda daha genişken kutuplardan geçen bir çemberin yarıçapı daha küçüktür. Sonuç olarak, π\pi 'yi 3 almak burada da büyük bir sorun yaratmaz.
Peki Ya Trigonometrik Fonksiyonlar?
Birçok klasik matematik problemi, trigonometrik fonksiyonlarla çözülür. Biz, aşağıdaki basit gölge problemine bakacağız:
Ağaç yere dik olduğundan, gölgesi bir dik üçgenin kenarınlarından birini oluşturur. İşte, trigonometri! Bu dik üçgenin açılarından birinin ölçüsünü ve bu açının komşu kenarının uzunluğunu biliyoruz. Ağacın boyunu aradığımıza göre, bize diğer kenarın uzunluğu gerekiyor. Bu da bizi tanjant fonksiyonuna götürür (yani "karşı kenar bölü komşu kenar").
Peki bu hesaplamada π\pi'yi 3 alsak ne değişirdi? Hiçbir şey! Basit trigonometrik fonksiyonlar dik üçgenlerin kenarlarının birbirlerine oranlarıdır. 34 derecelik bir dik üçgeniniz varsa, karşı kenarın komşu kenara oranı her zaman 0.6745 olacaktır. Yani π\pi'nin değeriyle oynamak hiçbir şeyi değiştirmez. Üçgen de kenarların oranı da aynı kalacaktır.
O halde farklı açıların sin\sin, cos\cos veya tan\tan değerlerini nasıl buluyoruz? En eski yol, trigonometrik tabloya başvurmaktır. Bu tablolar, açıların sin\sin, cos\cos veya tan\tan değerlerinin yazdığı basit tablolardır:[7]
Cebinizdeki hesap makinesi de bu yöntemi kullanır. Tabloya ve girdiğiniz açının yaklaşık değerine bakar. Ama anlayacağınız, bu örnekte de π\pi'nin kaç alındığı önemsizdir.
NASA, Pi Sayısının Kaç Basamağını Kullanıyor?
Bakalım muazzam büyüklükleri hesaplarken π\pi'nin kaç basamağının kullanıldığının bir önemi var mı?
NASA, uzaydaki mesafeler gibi birçok hesaplamada, pi sayısının ilk 15 basamağını kullanıyor. Peki 15 basamak yeterli mi? NASA'nın bu soruya verdiği cevabın tam metnine buradan ulaşabilirsiniz, ancak biz de burada kısa bir cevap vereceğiz.
Merak ediyorsanız, modern bilimin en uç mühendislik konularından olan uzay mühendisliği için NASA, noktadan sonra 15 basamağa kadar kullanmaktadır:[8]
π=3.141592653589793\pi=3.141592653589793
NASA'nın Dawn misyonunun direktörü ve baş mühendisi Marc Rayman, bu tercihi şöyle temellendiriyor:[8]
Neden daha fazla ondalık basamak kullanmadığımızı anlamak için, buna biraz daha yakından bakalım. Sanırım, bilim insanlarının şimdiye kadar gerçekleştirdiği ve noktadan sonra sizin sunduğunuz kadar (noktadan sonra onlarca) basamak sayıyı dahil etmenin gerekli olmadığını, fiziksel olarak gerçekçi hesaplamaları kullanarak bile görebiliriz.
Şu örneği düşünün: Dünya'dan en uzak uzay aracı Voyager 1'dir. Bu yazının yazıldığı gün itibariyle, yaklaşık 20.1 milyar kilometre uzaktadır. Diyelim ki tam olarak bu büyüklükte (veya 40.2 milyar kilometre çapında) bir yarıçapa sahip bir dairemiz var ve çevreyi hesaplamak istiyoruz, yani π×yarıçap×2\pi\times\text{yarıçap}\times2 (veya daha bilimsel tabiriyle: 2π\piRR). Yukarıda verdiğim gibi 15. ondalık basamağa yuvarlanan pi kullanırsak, bu çarpımın 125.5 milyar kilometreden biraz fazla çıktığını görürüz. Burada değerin tam olarak ne olduğuyla (isterseniz çarpabilirsiniz) ilgilenmemize gerek yok; daha ziyade, pi'nin daha fazla basamağını kullanmayarak sebep olduğumuz hatanın ne düzeyde olduğuna bakmamız gerekiyor. Başka bir deyişle, pi'yi 15. ondalık noktasından keserek, o daire için birazcık hatalı bir çevre hesaplamış olduk. Bu hata payı, 40.2 milyar kilometre çapındaki daire için sadece 3,8 santimetre civarındadır. Bunu bir düşünün: Etrafımızda 125.5 milyar kilometreden büyük bir dairemiz var ve bu mesafeyi pi'nin 15 basamağıyla hesaplarsak, serçe parmağınızın uzunluğundan bile daha az hata payımız olacak.Bu Reklamı Kapat
Bunu gezegenimiz Dünya üzerinden de düşünebiliriz: Dünya, ekvatorda 12.755 kilometre çapındadır. O zaman çevresi 40.072 kilometredir. Dünyanın çevresini dolaşsaydınız (ve tepeler, vadiler, binalar gibi engeller, dinlenme durakları, okyanustaki dalgalar vb. göz ardı etseydiniz), bu kadar mesafe katederdiniz. pi'nin az önceki gibi 15 basamağa kadar olan, sınırlı versiyonunu kullansaydınız, kilometre sayacınız ne kadar hatalı olurdu? 1 molekül boyutunda olurdu! Elbette moleküller farklı boyutlarda olabilirler; ama sanıyorum bu, pi'yi 15 basamağa kadar kullanmanın sebep olduğu hata payının küçüklüğü hakkında size bir fikir verir. Bunu görmenin başka bir yolu da, daha fazla pi rakamı kullanmayarak kabullendiğiniz hata miktarının, Dünya çevresindeki yolculuğunuz için bir saç telinden 10.000 kat daha ince olacağıdır!
Gelelim en büyük boyuta: Gözlenebilir Evren'e... Evren'in yarıçapı yaklaşık 46 milyar ışık yılıdır. Şimdi farklı bir soru sorayım: Yarıçapı 46 milyar ışıkyılı olan bir dairenin çevresini bir hidrojen atomunun (en basit atomun) çapına eşit bir doğrulukla hesaplamak için, pi sayısının noktadan sonra kaç tane rakamına ihtiyacımız var? Cevap, 39 veya 40 ondalık basamaktır. Evren'in ne kadar fevkalade uçsuz bucaksız olduğunu bir düşünün - ki Evren, gerçekten de kavrayabileceğimizin çok ötesindedir; hatta en karanlık, en güzel, yıldızlarla dolu gecede bile gözlerinizle görebileceğinizin kesinlikle çok çok çok ötesindedir. Bu kadar devasa bir Evren'de tek bir atom ne kadar inanılmaz derecede küçük olduğunu düşünürseniz, böylesi hassas bir hesap için bile sadece 39-40 basamağın yeterli olduğunu görebilir, dolayısıyla birçok mühendislik uygulaması için sadece 10-15 basamağın fazlasıyla yeterli olduğunu anlayabilirsiniz.
Anlayacağınız, pratik tüm amaçlar için 3.14 bile fazlasıyla yeterlidir; garanticiyseniz 3.14159 alabilirsiniz; NASA seviyesinde hassasiyet istiyorsanız 3.141592653589793 alabilirsiniz.
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
İlginizi Çekebilecek Sorular
- Evrimi öğrenmeye yeni başladım hangi kitapları okumamı tavsiye edersiniz?
- Ermeni soykırımı gerçek mi?
- Karadelikler kaç boyutludur? Arkasını veya yan taraflarını gözlemleme şansımız var mıdır?
- 6
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- C. Nast. Finding An Even Better Fractional Representation Of Pi. (24 Mart 2011). Alındığı Yer: Wired | Arşiv Bağlantısı
- C. Nast. Google Just Smashed The World Record For Calculating Digits Of Pi. (14 Mart 2019). Alındığı Yer: Wired UK | Arşiv Bağlantısı
- Wikipedia. Euler Equation. (12 Temmuz 2001). Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
- Federal Motor Carrier Safety Administration. Regulations Part 393. Alındığı Yer: Federal Motor Carrier Safety Administration | Arşiv Bağlantısı
- C. Nast. How To Figure Out The Mass Of Earth—With Balls And String. (8 Mart 2021). Alındığı Yer: Wired | Arşiv Bağlantısı
- C. Nast. How To Estimate The Radius Of The Earth With A Lake. (14 Haziran 2011). Alındığı Yer: Wired | Arşiv Bağlantısı
- Wikipedia. Overview About Trigonometric Tables. (23 Kasım 2002). Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
- M. Rayman. How Many Decimals Of Pi Do We Really Need?. (16 Mart 2016). Alındığı Tarih: 14 Mart 2022. Alındığı Yer: NASA JPL | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 20/05/2022 14:19:28 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11583
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.