İstatistik, çoğu zaman karmaşık ve anlaşılması zor gibi görünen bir bilim dalıdır. Ancak, bir kez temel prensipleri anladığınızda, verilerin ve sayıların etrafımızdaki dünyayı nasıl şekillendirdiğini görmek gerçekten heyecan verici olabilir. Bu yazımızda, temel prensiplerden biri olan büyük sayılar yasası ve bu yasanın, nasıl daha doğru istatistiksel sonuçlara ulaşmamıza yardımcı olduğunu irdeleyeceğiz.
Büyük Sayılar Yasası Nedir?
Büyük sayılar yasası, olasılık teorisi ve istatistikte önemli bir kavramdır. Bu yasa, aynı dağılıma sahip rastgele değişkenlerin büyük bir örnekleminin ortalamasının, değişkenlerin beklenen değerine yakınsadığını belirtir. Başka bir deyişle, bir deneyi yeterince çok kez tekrarladığınızda, deneyin sonuçlarının ortalama değeri, teorik ortalama değere yaklaşır. Bu yönüyle küçük sayılar yasasından farklıdır.
Olasılık teorisi ve istatistik bilim dallarında önemli bir kavram olan bu yasa, büyük bir örneklem alındığında, örneklem ortalamasının gerçek popülasyon ortalamasına yaklaştığını ifade eder. Başka bir deyişle, deneylerin sayısı arttıkça, gözlemlenen olayların oranı, gerçek olasılığa yaklaşır.
Büyük Sayılar Yasası, ilk olarak 16. yüzyılda matematikçi Gerolama Cardano tarafından fakredildi ama kendisi ne yazık ki ispatlayamadı.
Yasanın ispatı, ilk olarak 1713 yılında İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli tarafından yazılan Ars Conjectandi (Türkçesiyle “Varsayımın Sanatı“) adlı eserde kanıtlamıştır.
Bernoulli’nin yeterli derecede hassas bir kanıtı geliştirebilmesi onun yaklaşık yirmi yılına mal olmuş ve belki de bu yüzden “Altın Teoremi” olarak adlandırmıştır. Her ne kadar “Altın Teoremi” olarak adlandırsa da yaygın olarak “Bernoulli Kuramı” olarak bilinmektedir. Yalnız bu adlandırma akışkanlar mekaniğinde kullanılan meşhur formül “Bernoulli Kuramı” ile karıştırılmamalıdır.
Yasa Bernoulli’nin ispatladığı şekilde kalmamıştır. St.Petersburg matematik okulunun kurucusu olan Pafnuty Chebyshev ve diğer tanınmış bir çok matematikçi tarafından geliştirilmeye devam etmiştir. Az önce de bahsettiğimiz üzere akışkanlar mekaniğinde kullanılan kuramın da aynı ada sahip olması nedeniyle bu karışıklığın giderilmesi elzem olmuştur. 1835 yılında, S.D. Poisson adında bir matematikçi, yasayı “La loi des grands nombres” (Türkçesiyle; “Büyük Sayılar Yasası“) olarak adlandırmıştır.
Bernoulli ve Poisson ortaya çıkardıkları çalışmalarını yayımladıkta sonra, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli ve Kolmogorov’un da aralarında yer aldığı diğer pek çok matematikçi yasanın geliştirilmesine katkı sağlamışlar ve bu çalışmalar sonucunda yasanın iki belirgin formunu ortaya çıkarmışlardır:
- Zayıf yasa
- Güçlü yasa
Zayıf Büyük Sayılar Yasası (Bernoulli’nin Büyük Sayılar Yasası): Bağımsız ve aynı dağılıma sahip rasgele değişkenlerin (örneğin, Bernoulli deneyleri) ortalamalarının, deney sayısı büyüdükçe popülasyon ortalamasına yaklaştığını belirtir.
Güçlü Büyük Sayılar Yasası: Bağımsız ve aynı dağılıma sahip rasgele değişkenlerin ortalamalarının, neredeyse kesin olarak popülasyon ortalamasına yaklaştığını belirtir. Bu, deney sayısı arttıkça örneklem ortalamasının gerçek popülasyon ortalamasına yaklaşma olasılığının 1’e yaklaşacağını ifade eder.
Kuramın en bilindik deneyleri, zar ve madeni para ile yapılan sürümleridir. Bu tür deneylerde büyük sayılar yasası, deney sayısı arttıkça gözlemlediğimiz sonuçların gerçek olasılıklara yaklaşacağını öngörür. Bu nedenle, zar ve madeni para deneyleri olasılık teorisi ve büyük sayılar yasası ile doğrudan ilişkilidir.
Zar Deneyi
Yukarıda verilen grafik hilesiz bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deney gösterir ki, ilk başlarda zar atışlarının ortalaması yüksek dalgalanma gösterir. Büyük sayılar yasasının ispat ettiği üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama da haliyle beklenen değer olan 3,5’in etrafında dengeleyen bir seyir izler..
Öyle ki, multinom dağılım sonucunda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarının gelme olasılığı eşittir. Bu sonuçların ortalaması olan “beklenen değer” de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 işleminden bulunur.
Madeni Para Deneyi
Madeni para atılmasında da benzer bir durumun etkisi görülmektedir.
Hilesiz bir madeni paranın art arda atılması durumunda yazı veyahut tura sıklığı, yapılan gözlem sayısı arttıkça yazı ya da tura gelme olasılığı yüzde elliye (%50) yaklaşacak ve normalde olacak olasılık olan %50’yi yakınsayacaktır.
Örneğin, madeni paranın 1000 tane atışından sonra gözlemlenen 520 yazı ile 480 tura, 10000 atışından sonra ise 5096 yazı ile 4004 tura görülebilir.
Böylesi bir durumda ortalama yazı gelmesinin 520/1000’den 5096/10000’e gittiğini, yani %52’den %50,96’ya giderek beklenen değer olan %50’ye yaklaştığı görülecektir.
Başlangıç miktarlarda görülen durum ne olursa olsun, paranın yazı-tura için havaya atılış sayısı arttıkça, yani sayısını sonsuza yakın arttırdıkça %50’ye yaklaşacaktır.
Büyük Sayılar Yasası ve Kumar
Büyük sayılar yasasının söyledikleri önemlidir çünkü rastgele olan olaylardan kararlı ve uzun vadeli sonuçların alınabileceğini “garanti eder”. Kumarhanelerin çalışma mantığına da bu sistemin etkisi görülür. Örneğin bir gazino bir tane rulet dönüşünden para kaybedebilir, ancak binlerce dönüşte oynanan paranın büyük bir kısmını kazancaktır.
Martingale teorisi gibi teoriler bu durumu desteklemektedir. Ancak bir oyuncunun elde ettiği kazancı, oyunun başlıca parametreleri tarafından tekrar soğrulacak ya da kesin kazancı sağlayabileceği para kaynağı hiçbir zaman yeterli olmayacağı için sonu hüsranla bitecektir.
Bu yasanın büyük miktarlardaki gözlemler sonucu etkili olacağı unutulmamalıdır. Küçük miktardaki gözlemlerin sonucun beklenen değerine yaklaşacağını veyahut bir sapmanın başka bir sapmayla “dengeleneceğini” beklemek için bir sebep yoktur. Böylesi durumlar için kumarbaz yanılgısına düşmemek gerekir.