Kendilerinden ve 1’den başka böleni olmayan asal sayılar, aritmetiğin atomları olarak bilinir. Çünkü tüm tam sayılar, tıpkı moleküllerin atomlardan oluşması gibi, asal sayıların birleşimi biçiminde ifade edilebilir. Bu ve daha bir çok özelliği nedeniyle de asal sayılar matematikçileri büyüler. Bu büyülenmenin nedenlerinden birisi de matematikte çözülememiş problemlerin bazılarının asal sayılar ile ilgili olmasıdır. Bunlardan biri de asal sayıların sayı doğrusu üzerinde dağılımı ve yazımızın konusu olan ikiz asallar ile ilgilidir.
Asal sayılar sayı doğrusu başında bol miktarda bulunmalarına rağmen dağılımları eşit aralıklarla değildir. Sayılar büyüdükçe birbirlerinden giderek uzaklaşırlar. Örneğin, ilk 10 sayıyı düşünürsek 2,3,5 ve 7 yani yüzde 40’ı asaldır. Ancak ilk 100 sayı içinde 25 tane asal sayı olduğunu görürüz. 1001 ile 1100 arasında yalnızca 16, 100001 ve 100100 sayıları arasında da sadece altı tane asal sayı vardır. 10 basamaklı sayıların tamamını ele aldığımızda bu sayıların yalnızca yaklaşık yüzde 4’ü asaldır.
Asal Sayıların Dağılımını Anlamak Kolay iş Değildir!
Gördüğünüz gibi asal sayılar giderek azalır. Başka bir deyişle, ardışık iki asal sayı arasındaki mesafe giderek artar. Neyse ki matematikçiler, asal sayıların ortalama olarak nasıl azaldığını bilirler. Asal sayılar arasındaki beklenen boşluk, basamak sayısının yaklaşık 2,3 katıdır.
Örneğin 100 basamaklı sayıları ele alırsak iki asal sayının arasında yaklaşık 230 asal olmayan sayının bulunmasını bekleriz. Ancak hatırlatalım, bu elbette yaklaşık bir ortalamadır. Bazı asal sayılar birbirine bu ortalamadan çok daha yakın, bazıları ise çok daha uzaktır. Matematikçiler mevcut asal sayıların dağılımlarına bakarak bir sonraki asal sayının nerede olacağını bulmaya çalışırlar. Ancak bu çok da kolay değildir. Asal sayıların hangi kurala göre tam sayıların içine dağıldığını anlamamız henüz mümkün değil.
İkiz Asallar Nedir?
Aralarındaki fark 2 olan ardışık asal sayılara ikiz asallar denir. Örneğin (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139) çiftleri ikiz asal sayılardır. Sayılar evrenine girdikçe asal sayılar giderek daha seyrek hale gelse de, başka bir ikiz asal çifti karşımıza çıkar.
Örneğin, 1129’dan sonra, sonraki 21 sayı içinde bulamazsınız; sonra aniden 1151 ve 1153 asalları ortaya çıkar. Çok büyük ikiz asallar vardır fakat en büyüğünün ne olduğunu bilemiyoruz. Ama yine de ikiz asallardan sonsuz tane olduğunu düşünüyoruz. İşte bu varsayım yani ikiz asallar varsayımı, sayılar teorisinde ifade edilmesi kolay, ancak kanıtlanması son derece zor olan o cezbedici problemlerden biridir.
Matematikçiler 18. yüzyıldan beri asal sayıların daha küçük sayılar arasında daha yaygın olduğunu biliyor. Daha büyük sayılara baktıkça bu sayılar giderek daha nadir hale geliyor. Üstelik İkiz asal sayılar, sıradan asal sayılara göre daha da nadirdir. Bu nedenle onları bulmak da kolay değildir. ( İlk milyon tam sayı arasında yalnızca 8169 tane vardır.)
Yine de, sonsuz sayıda ikiz asal sayı olduğuna dair çoğu istatistiksel olmak üzere kanıtlar vardır. 1920’lerde, G. H. Hardy ve J. E. Littlewood, ikiz asal sayıların olasılık dağılımı olduğuna inandıkları şeyi buldular.
Ne Kadar İlerleme Kaydettik?
Daha fazla destek, Chen Jingrun’un 1966’daki çalışmaları ile geldi. Kendisi p’nin asal, q’nun da asal ya da iki asal sayının çarpımı olması durumunda sonsuz tane (p,q) ikilisinin yazılabileceğini ortaya koydu. Bu, varsayımın kanıtı için umut verse de büyük bir sorun var. Sonsuz sayıda q’dan hangisinin gerçekten asal olduğunu kontrol etmenin bir yolu yok.
Bugüne kadar, kaç tanesinin asal olduğunu kontrol etmenin tek yolu, onlara tek tek bakmaktır ki bu elbette sınırlı bir süre içinde imkansızdır. “Parite problemi” olarak adlandırılan bu karar problemi, matematiğin çeşitli alanlarında karşımıza çıkar ve birçok matematikçinin baş ağrısından sorumludur.
Bu konu ile ilgili bir araştırma da geçtiğimiz yıllarda bizi mutlu etmişti. Boğaziçi Üniversitesi’nden Prof. Dr. Cem Yalçın Yıldırım çalışma arkadaşları Daniel Goldston ve Janos Pintz ile birlikte sanı hakkında önemli bir gelişmeye imza atmışlardı. Çalışmaları sonsuz sayıda ikiz asal olduğunu kanıtlamasa da, bu yönde atılmış önemli bir adımdı. Bu sayede de sayılar teorisi alanında 2014 Frank Nelson Cole Ödülü – kısaca Cole ödülü – sahibi olmuşlardı.
Bu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi? Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti bilebilir miyiz? Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi. James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi. Terence Tao başkanlığında bir ekip bu sayıyı 246’ya indirdi. Ancak sonrasında ilerleme durdu.
Alternatif Bir Evrende Olsa da Varsayım Çözüldü
Matematikçiler, problemi tamamen çözmek için yeni bir fikre ihtiyaç duyduklarını anladılar. Bunun içinde sonlu sayı sistemleri ile uğraşmaya karar verdiler. Bu mantıkla 2019 yılında iki matematikçi varsayımının – en azından bir çeşit alternatif evrende – doğru olduğunu kanıtladı. Kötü haber şu ki, kanıtları geometriye dayandığından bu kanıtı ikiz asallara uygulamak muhtemelen mümkün olmayacak. Ancak unutmayalım, matematikte sıklıkla olduğu gibi, teoremin kendisinden ziyade kullanılan yöntemler geleceğin yolunu açar. Bu nedenle bu yeni gelişmenin bizlere hangi yolu açabileceğini henüz bilmiyoruz.
Kaynaklar ve ileri Okumalar:
- Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap; Yayınlanma tarihi: 19 Mayıs 2013; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
- Mathematicians Solve ‘Twin Prime Conjecture’ — In an Alternate Universe; yayınlanma tarihi: 29 Ekim 2019; bağlantı: https://www.livescience.com/
- Elusive twins; yayınlanma tarihi: 2 Haziran 2005; bağlantı: https://plus.maths.org/
- Mathematical mysteries: twin primes; Yayınlanma tarihi: 1 Ocak 1998; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Matematiksel