Yukarıda sözünü ettiğim “kendi üzerine dönüşümlü” sistemler ile Altın Oran arasında yakın bir ilişki vardır. Bu oran sadece matematik bir ilgi odağı olmayıp fizik ve dolayısıyla doğa ile de yakından ilgilidir. Altın oran çok eski dönemlerden beri bilinmektedir. Kadim Mısır kültürü ehramların yapısında bu oranı kullanmış, kadim Yunan filozof ve matematikle ilgilenen düşünürler de Altın Oranı onlardan öğrenmiştir.
Altın oran mantığı şudur. Bir doğru parçasını öyle bir noktasından bölün ki tüm uzunluğunun uzun parçaya oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşit olsun.
Yani l-----------------l-------------l şeklinde bir doğru parçasında (A+B)/A = A/B
A B
Kolaylık olsun diye A = x ve B = 1 seçelim. Bu durumda x^2 = x + 1 olur.
Bu denklemi x^2 – x – 1 = 0 şeklinde yazıp köklerini bulursak x(1) = 1.6180339887…ve x(2) = – 0.6180339887…buluruz. Bu iki kökten pozitif olan x(1)’e büyük T adını verelim.
T irrasyonel bir sayıdır. Yani iki tam sayının oranı olarak gösterilemez. Fakat iki tam sayının oranı kendi üstüne dönüşümlü bir kural dahilinde T sayısına yaklaşır. Bu kuralı Fibonacci dizisinden çıkarırız. Asıl adı Leonardo Pissano olan Fibonacci (1170-1250) İtalyada doğmuş fakat Mısırda büyümüştür. Matematik meraki da o dönemde çok ileri düzeye ulaşmış İslam matematiğinden kaynaklanmıştır.
Fibonacci 1,1 çiftinden başlayarak son iki sayının toplamından yeni bir sayı üretmiş ve bu kendi üstüne dönüşümlü kuralı tekrarlayarak şu diziyi elde etmiştir:
1,1,2, 3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,………….
Bu dizide ard arda olan iki sayıdan büyüğünü küçüğüne bölerseniz görürsünüz ki T sayısına doğru yakınsar. Örneğin, 233/144 = 1.618055 iken 6765/4181 = 1.618033 olup gittikçe T sayısına doğru yaklaştığımızı görürüz.
Bu durumun birçok ilginç açılımı vardır:
1- Kendi üstüne dönüşümlü önermeler belirsizliklere ulaşırlar. İki Fibonacci sayısının peş-peşe oranı da kendi üstüne dönüşümlü bir kural içerir. Bu bakımdan T sayısı sonlu bir sayı olmayıp sonsuza kadar kesirleri sürer gider. Bu “irrasyonel” olma özelliği tüm doğa sabitlerinin ortak özelliğidir.
2- T sayısı “kuadratik” (kareli terim içeren) bir denklemin köküdür. Kareli terim ise kendi üstüne dönüşümlü olduğunda Kaos (karmaşa) yaratır. Bu durumu bir önceki Kelebek etkisi başlıklı yazımda açıkladım.
3- Fibonacci dizisi iki tane “1” sayısından başlayarak ard-arda iki terimin toplamından oluşuyor. T sayısı ise ard-arda iki terimin bölümünden oluşuyor. Yani, hem diziyi oluşturmak için hem de T sayısına yaklaşmak için son iki sayıyı bilmek yetiyor. Dolayısıyla teklikten ikiliğe geçilirken yeniden tekliğe yaklaşılıyor.
Bu son noktanın önemli fiziksel ve felsefi sonuçları vardır. Bu noktayı daha iyi anlayabilmek için Altın Oranı iki boyutlu bir dikdörtgene uygulayalım. Öyle bir dikdörtgen bulalım ki uzun kenarı ile kısa kenarının toplamının uzun kenara oranı, uzun kenarın kısa kenara oranına eşit olsun. Gene oranın 1.6180339887… olduğunu görürüz. Eğer bu oranı tekrarlarsak şekildeki gibi bir noktaya doğru yakınsadığını görürüz. ABEF noktalarından geçen kare CFGK noktalarından geçen kareye göre kenarı T kadar daha büyüktür. Aynı oranı defalarca küçülterek tekrarlarsak şekil çok küçük bir kareye doğru yakınsar. BD ve CE köşegenlerinin kesim noktası şeklin odak noktasıdır. İki köşegenin oranı ise gene T sayısıdır.
Bu şekilde bir kareden başlayarak kendine benzeyen ve kendi üzerine dönüşümlü karelerin bir odak noktasına doğru yakınsadıklarını görüyoruz. Bu noktaya “Acayip Çekici” nokta adı verilmiştir. Çünkü bu nokta sistemin denge noktası olup tüm kuvvetlerin bu noktadan kaynaklandığını düşünebiliriz. Ayrıca köşelerden geçen kırmızı çizgi bir spiral çizmekte sonsuzluğa yaklaşan girdap görünümü vermektedir.
Doğada da bu tür girdaplara oldukça sık rastlamaktayız.