Önce bu ispata başlamadan önce $\sqrt{3}$ veya $\sqrt{5}$ sayısının irrasyonel olduğunu göstermeliyiz.
Ben $\sqrt{3}$'ün irrasyonelliğinin ispatını daha kolay gördüm bu sebepten ötürü $\sqrt{3}$ ile başlayacağım:
Aynen $\sqrt{2}$'de oldupu gibi $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ yazalım
Karesini alalım; $\dfrac{p^2}{q^2}=3$ olur
$3q^2=p^2$ olur. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için sol ve sağ tarafların tek olması gerekir çünkü sol tarafta tek olan bir çarpan mevcuttur... (burada $p$ ve $q$ nun aralarında asal olduğu ve ikisinin de tamkare olduğunu dikkate alarak bu sonuca ulaştım)
O zaman $p=2n+1$ ve $q=2k+1$ diyelim
$3.(4k^2+4k+1)=(4n^2+4n+1)$ olur, şimdi biraz düzenleme yapılacak olursa elimizdeki denklemin
$6k^2+6k+1=2.(n^2+2n)$ olacaktır. (Gerekli sadeleştirmeleri atladım)
Sol taraf $tek$ ve sağ taraf $cift$ olacağı için bu eşitlik sağlanmaz. Dolayasıyla $\sqrt{3}$ irrasyoneldir.
Şimdi Özgür Hoca'nın dediği gibi $x$'in karesini alalım;
$x^2=8+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$
Bu sayı rasyonel olsaydı karesi de rasyonel olurdu, ancak karesi rasyonel değil çünkü çarpanları arasında irrasyonel bir sayı var ($\sqrt{3}$). Çok güçlü bir sav gibi görünmemekle beraber bunu şöyle açıklayabilirim;
Rasyonel sayıların her birinin devirli bir ondalık gösterimi vardır (yani virgülden sonrası periyotludur,tek sayı veya binlerce sayı ama yine de devreder) $8$ rasyonel bir sayıdır $0$'ı devreder (virgülden sonra) şimdilik $\sqrt{5}$'in irrasyonel olduğunu bilmesek bile vürgülden sonra hiç bir devredeni bulunmayan bir sayıyla devredeni çarpsak bile devretmeyen bir ifade elde ederiz. İkisi de devretmeyen sayılar olursa (yani irrasyonel sayılar) karmaşa daha da büyür (Tabii bu sayıların çarpımı kök içinde bir tamkare veya o derecenin muadilini belirtmemeli ki $\sqrt{15}$ bu duruma uygun). Ve bunu virgülden sonra etkisi olmayan bir sayı olan $8$ ile topluyoruz...
Sonuç olarak $x$'in karesini aldık ve karesinin rasyonel olmadığını gördük eğer $x$ rasyonelse karesi de rasyoneldir ama karesi rasyonel olmadığına göre $x$ rasyonel değildir. $x$ rasyonel değilse de irrasyoneldir. ($\sqrt{5}$'in de irrasyonelliği de $\sqrt{3}$ gibi gösterilebilir)