Ali Törün
İki kişiyle oynanan, kuralları çok basit bir oyun: Bir kâğıda birbirlerinden farklı herhangi iki pozitif tamsayı yazılır. İlk oyuncu bu sayıların farkını alarak bulduğu pozitif tamsayıyı (iki sayının farkı pozitif olması gerekiyor, bu yüzden daima büyük sayıdan küçük olan çıkarılıyor) kâğıda üçüncü sayı olarak yazar. Ardından ikinci oyuncu üç sayı arasından farkları kâğıt üzerinde olmayacak şekilde seçtiği herhangi iki sayının farkını dördüncü sayı olarak yazar. Oyun, bu şekilde oyuncuların sırasıyla her defasında farkları kâğıt üzerinde bulunmayan iki sayıyı seçip, farkını kâğıda yazmalarıyla devam eder. Herhangi bir oyuncu, farkları kâğıt üzerinde olmayan iki sayıyı bulamadığında oyun sona erer ve bu oyuncu kaybeder.
Örneğin başlangıçta kâğıda 16 ve 40 sayılarının yazıldığını varsayarsak, A ve B gibi iki oyuncu sırasıyla aşağıdaki gibi oynayabilirler:
16, 40
A: 16, 40, 24
B: 16, 40, 24, 8
A: 16, 40, 24, 8, 32
B: 16, 40, 24, 8, 32, ?!
Bu durumda B kaybeder, çünkü bir önceki elde A, beşinci sayı olarak 32’yi yazdı ve artık bu beş sayı içinde farkı kâğıt üzerinde olmayan herhangi iki sayı bulmak mümkün değil.
Şimdi, yazının başlığındaki soruya dönelim: Bu oyunu her defasında kazanabilir miyiz? Eğer oyuna kimin başlayacağına biz karar veriyorsak bu sorunun yanıtı olumlu. Oyuna başlanacak iki sayı belirlendikten sonra ilk oyuncunun kazanıp kazanamayacağını aşağıdaki gibi basit bir akıl yürütmeyle bulabiliriz.
Başlangıçta seçilen iki sayı ve olsun, olduğunu varsayalım ve önce aşağıdaki teoremi kanıtlayalım.
Teorem. ve pozitif tamsayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü (obeb) ise oyun sonunda kağıt üzerindeki tüm sayılar ’nin tam katıdır.
Kanıt. ve ’nin obeb’i ise ve aralarında asal sayılar olmak üzere ve dir. O halde yazabiliriz. Böylece ilk oyuncunun üçüncü sayı olarak yazacağı sayının ’nin katı olduğunu ve bu şekilde devam edilerek kâğıda yazılacak diğer sayıların da ’nin katı olduğu gösterilmiş olur.
Oyun bittiğinde kağıt üzerinde tane sayı olacaktır, çünkü tüm sayılar birbirlerinden çıkarıldığı için ’nin ’den küçük ve eşit tüm pozitif tamsayı katları kağıtta bulunur ve bu sayılar arasında ’nin en büyük katı olan sayı ’dır.
Bu durumda kesrinde yerine yazarsak oyun bittiğinde kâğıt üzerindeki tüm sayıların sayısı olarak bulunur.
Sonuç. Eğer tek sayıysa oyuna ilk başlayan, çift sayıysa ikinci başlayan daima kazanır, yani başlangıçta belirlenen iki sayının obeb’ini bulup, büyük sayıya böldüğümüzde çıkan sayı tek ise oyuna ilk başlayan, çift ise ikinci başlayan taraf olmalıyız.
Bu oyunu oynamak sıkıcı olabilir, özellikle de başlangıçta belirlenen sayılardan büyük olanının obeb’e oranı büyüdükçe oyun uzuyor ve artarda gelen bıktırıcı çıkarma işlemleriyle karşılaşıyorsunuz. Bu yüzden oyunun analizini yapmak oynamaktan daha zevkli; ama öte yandan bu oyunda ulaştığımız sonucun dışında bir kazanma stratejisi de yok.
Şimdi, bu oyuna biraz tuz biber ekleyelim ve yukarıdakinden daha lezzetli bir hale getirelim.
Daha ilginç bir oyun
Bu oyun da yukarıdaki oyun gibi iki kişiyle oynanıyor ve yine başlangıçta kâğıda herhangi iki pozitif tamsayı (birbirlerinden farklı) yazılıyor. İlk oyuncu, küçük sayının herhangi bir pozitif tam katını (dilediğince) alıp büyük sayıdan çıkarıyor, ama küçük sayının katını alırken “farkın sonucu negatif olmamalı” koşuluna uygun davranıyor. Farktan elde ettiği bu sayıyla birlikte oyun başında yazılan iki sayıdan küçüğünü kâğıda yazıyor Böylece, artık oyun bu iki sayıyla oynanıyor. İkinci oyuncu da son yazılan iki sayı için aynı işlemleri yapıyor. Bu şekilde devam eden oyunda sıfır sayısını bulan oyuncu kazanıyor.
Örneğin oyunun 51 – 30 sayı çiftiyle başladığını, A ve B gibi iki oyuncunun aşağıdaki hamleleri yaptığını varsayalım:
51 – 30
A: 30, 21
B: 21, 9
A: 9, 3
B: 3, 0
Bu durumda B kazanıyor. Ama aynı sayı çiftiyle başlayan aşağıdaki oyunda bu kez, A ikinci hamlesini değiştiriyor ve kazanıyor:
51 – 30
A: 30, 21
B: 21, 9
A: 12, 9
B: 9, 3
A: 3, 0
Yukarıdaki örneklerden de sezebildiğimiz gibi bu oyunda oyunculardan biri için kazanma stratejisi var. Oyun, nx, n durumuna geldikten sonra ilk hamleyi yapan oyuncu kazanıyor. İlk oyuncu, oyunu nx, n durumuna getirmemek için bir strateji geliştirebilir. İlk oyuncunun hangi koşullarda bir kazanma stratejisi vardır? Bu sorunun yanıtını ve oyunun analizini gelecek sayıda vereceğiz.