Matematikte keşifler nasıl yapılır? Bazen masa başında çalışırken, çoğu zaman ise alakasız bir etkinlik ile meşgulken. Yürüyüş yaparken, yemek pişirirken veya yarı uyanık uyumak üzereyken. Her durumda ise bu keşiften önce uzun süreli ve yoğun bir çalışma süreci vardır.
İçimizde bir çoğumuz lise yıllarında karmaşık sayıları görmüştür. Bu konu bize ilk başta değişik gelse de zamanla alıştık. Peki gerçek kısım ve sanal kısımdan oluşan iki boyutlu karmaşık sayılar üç boyutlu olabilir mi?
İşte İrlandalı Matematikçi Sir William Hamilton, karmaşık sayıları üç boyutlu uzaya genişletmeyi umuyordu. Hamilton, karmaşık sayıların düzlemde bir nokta göstermesine karşılık uzay için benzer bir yol arıyordu.
Kuaterniyonları buluncaya kadar, uzayda noktalar sayı üçlüleri olarak gösteriliyor, bu üçlüler toplanabiliyor, çıkarılabiliyor fakat çarpıp bölünemiyordu.
Modem cebirdeki en önemli gelişmelerden biri l843’te kuaterniyonların keşfi ile yaşandı. Başarı hiç beklenmedik bir şekilde geldi. Üç-boyutlu arayışlar beyhudeydi , cevap dört-boyutlu simgelerde yatıyordu.
Hamilton, 16 Ekim 1843 Pazartesi günü, Kraliyet Ailesi’nin bir Konsey toplantısına başkanlık yapmak için Kraliyet Kanalı boyunca eşiyle birlikte yürürken aklına bir fikir geldi, o esnada tam da Brougham Köprüsü’nün üzerindeydi, kalemini çıkardı ve oradaki taşa temel formülü çizdi:
Bugün bunun hiçbir izi bulunamadı, ancak 1958’de keşfi hatırlatan ve formülü gösteren bir hatıra plaketi kuruldu.
Dünyanın dört bir yanından insanlar bu köprüyü “Hamilton Köprüsü” olarak anmaya başladı. Sir William Hamilton’ın Akademiye birkaç hafta sonra Kasım 1843’te sunduğu teoride, kuaterniyon terimi, belirli bir dörtlü ifadeyi adlandırmak için kullanıldı.
Hamilton, kompleks sayıları “q=d+ai+bj+ck” biçiminde genelleştirmiştir.
Bir kuaterniyon q ile gösterilmek üzere şeklinde yazılabilir. Burada; “d” reel kısım, “ ai+bj+ck” üçlüsü de vektörel (kuaterniyonun hayali) kısımdır. Reel parçanın karesi her zaman pozitiftir, ancak ikinci bölümün karesi her zaman negatif bir niceliktir.
(Burada a, b, c ve d gerçek sayılardır ve i, j ve k, x, y ve z eksenleri boyunca birim vektörlerdir.)
Peki Hamilton’un kuaterniyonları bulması ne gibi katkı sağlamıştır?
Biz biliyoruz ki Öklid uzayında vektörü vektöre bölemeyiz. Aslında kuaterniyonların çıkış noktası da budur. Hamilton kuaterniyonları tanımlayarak iki vektör için bölme işleminin de mümkün olabileceğini göstermiştir. Karmaşık sayılar 2-boyutlu koordinat sistemindeki noktalar olarak düşünülebiliyorsa, kuaterniyonlarda 4-boyutlu koordinat sistemindeki noktalar olarak düşünülmeye başlanmıştır bu buluştan sonra.
Hamilton’un 173 sene önce bugün yaptığı keşifin etkilerini fizikten bilgisayar grafiklerine kadar birçok alanda bulmak mümkün.
Ceyda Cevahir
KAYNAKLAR: