Asal sayılar, geçmişten günümüze dek pek çok insanın ilgisini çekmeyi başarmıştır. Bu yazımızda da yine ilginç bir asal sayı problemini ve çok uzun yıllar sonra gelen tek cümlelik bir kanıtı ele alalım…
Bir asal sayı, iki pozitif doğal sayının kareleri toplamı şeklinde yazılabilir mi?
Gördüğünüz üzere her asal sayıyı iki pozitif doğal sayının kareleri toplamı şeklinde yazamıyoruz.
Peki bu şekilde yazılabilen asal sayıların ortak bir özelliği var mı?
Bu problemin tarihçesine baktığımız zaman, ilk olarak 1625 yılında Albert Girard aynı soruyu sadece asallar için değil tüm pozitif tam sayılar için düşünmüştür.
Bu tarihten 15 yıl sonra, teoreme de adını verecek olan Pierre de Fermat karşımıza çıkıyor.
Fermat, yukarıda yazdığımız gibi birçok asal sayıyı kare toplamı şeklinde yazmaya çalıştı. Sonunda problemi formülize etmeyi başardı.
İki pozitif doğal sayının kareleri toplamı şeklinde yazılabilen asal sayıların (2 hariç) 4’e bölümünden kalanın 1 olduğunu kanıt olmaksızın ortaya koydu. Dikkat edilirse, iki kare toplamı şeklinde yazamadığımız asal sayıların da 4’e bölümünden kalan 3 oluyor.
“Bunu çok sıklıkla gördüm, teorem doğru olmalı…”
Fermat’nın İki Kare Toplamı Teoremi:
p bir asal tek sayı olsun. x ve y herhangi iki pozitif doğal sayı ise
Daha sonra yıllarda bu teoremin farklı kanıtları yapıldı. İlk olarak 1750’de Euler, daha sonraları Gauss, Lagrange ve Dedekind gibi önemli matematikçiler tarafından farklı kanıtlar sunuldu. 1990 yılında ise Don Zagier tarafından bu teorem “tek cümle” ile kanıtlandı.
Zagier, “A One-Sentence Proof That Every Prime Is A Sum of Two Squares”(4’e bölümünden kalanın 1 olduğu her asalın iki kare toplamı olduğunun tek cümle ile kanıtı” başlıklı yazısında gerçekten de bir matematikçinin tek cümle ile anlayabileceği çok şık bir kanıt verdi.
Matematiksel