Matematik olimpiyatlarında sorulan birçok problemin çözümü sıra dışı, akıl dolu ve çok ilginç adımlardan oluşur. Çözümün sonunda adeta usta bir satranç oyuncusunun birkaç hamle sonra ortaya çıkacak olan o pırıltılı hamlesi gibi bir sürprizle karşılaşırsınız.
Aşağıda ele alacağımız olimpiyat sorusunun çözümündeki yöntemin de bu özelliklere sahip olduğunu ve meraklı okuru heyecanlandıracağını düşünüyorum.
Bu problem 2013’te Avustralya Matematik Olimpiyatı’nda 11-15 yaş grubundaki öğrencilere zorluk derecelerine göre puanlanan 10 sorudan biri olarak sorulmuş ve en yüksek 5 puanlı bir problemin olduğu sınavda 4 puanlık bir soruymuş.1
Problem. a, b, c, d pozitif tamsayılarının toplamı 63 ise ab + bc + cd değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Bu problem, belki sezgisel yolla deneme yapılarak “çözülebilir”, ama biliyoruz ki böylesi çözümlerin hiçbir matematiksel değeri yok. Aşağıda birbirinden güzel iki çözüm vereceğiz, ama yaratıcılık ve zarafet ölçütlerine göre benim seçimim birinciden yana.
Ayrıca, çözümlerde kullanılan bilgilerin ortaokul düzeyinde olduğunu belirtmek isterim.
Birinci çözüm: Aşağıdaki şekilde kenar uzunlukları a, b, c, d ve alanları b x c= bc, a x b= ab, c x d= cd, a x d= ad olan dikdörtgenler çizilmiştir.
ab + bc + cd toplamının en büyük değerini istediğimiz için doğal olarak, yukarıdaki şekilde griye boyanmış bölgenin alanını büyütmemiz gerekiyor. O zaman ad‘yi küçültmeliyiz. a ve d pozitif tamsayı olduğundan alabilecekleri en küçük değer 1’dir. Dolayısıyla ad= 1 olur. Aşağıdaki şekil a= d= 1 durumunu göstermektedir.
Yukarıdaki en büyük dikdörtgenin uzun kenarını u ile, kısa kenarını da v ile gözterelim ve u= a + c ve v= b + d eşitliklerini yazalım. Öte yandan a= d= 1 ve u= a + 1, v= b + 1 ve u + v = 63 olduğunu biliyoruz.
Şimdi, en büyük değerini bulmak istediğimiz griye boyalı bölgenin alanını S ile gösterelim ve bu alanı en büyük dikdörtgenin alanından kenar uzunlukları 1 birim olan karenin alanını çıkartarak ifade edelim:
S = uv – 1.
Bu ifadede uv’nin en büyük olmasını istiyoruz ve ayrıca u + v’nin de 63 olduğunu biliyoruz. Yapacağımız birkaç denemeyle toplamları sabit iki pozitif tamsayının çarpımlarının en büyük olması için bu sayıların birbirlerine en yakın, hatta eşit olması gerektiğini görebiliriz. (Bu sonuç parabol veya türev bilgisiyle genel olarak kanıtlanabilir.)
uv’nin en büyük değerini bulabilmemiz için u = v = 63/2 olmalı, ama u ve v pozitif tam sayı olduğundan u ve v sayılarından birini 31 diğerini de 32 almalıyız. Bu durumda en büyük olmasını istediğimiz S değeri 31 x 32 – 1 = 991 olur ki, bu sayı ab + bc + cd toplamının alabileceği en büyük değerdir.
İkinci çözüm: Bir reel sayının karesinin ya pozitif bir sayıya ya da sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. Bu yüzden . Parantez kareyi açarsak,
olur. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki yanına 2xy terimini eklersek
elde edilir. Şimdi, a + c = x ve b + d = y alalım, ve yukarıdaki eşitsizlikte x ve y yerine bu değerleri yazalım.
Bu eşitsizliğin sol tarafını dağılma özelliğini kullanarak düzenleyelim ve a + c + b + d yenine 63 yazalım:
a, b, c, d pozitif tamsayı olduğundan 992’nin küsuratını atabiliriz:
Bu eşitsizlikte ab + bc + cd toplamının en büyük değerini bulmak istediğimiz için ad’ye en küçük değerini vermeliyiz. Ki bu değer de a = d = 1 iken 1’dir. Dolayısıyla
eşitsizliği elde edilir. O halde ab + bc + cd toplamının en büyük değeri 991’dir.
KAYNAK
1) http://alekdimitrov.com/downloads/aimo_test.pdf