Sayısal Fonksiyonlar
- Düşen bir cismin hızı, düşüş zamanı ile orantılıdır. Uzayda katettiği yol; katedilen zamanın karesine benzer bir katsayı ile değişir. Fonksiyon kavramı bir sayı dizisinin ölçülebilir değişimine tekabül eder ve bilimsel deneyin temelini oluşturur.
- İnsanoğlu saymaya başladığından beri,, sayısal fonksiyonlar üzerinde çalışmaya başlamıştır. Sayılar kümesindeki bütün tatbikler, reel (gerçel) sayılar kümesindeki tanım kümeleri olarak nitelendirilirler. Sayısal bir fonksiyon; tanım kümesindeki veri ve bu kümedeki görüntüsünden oluşur. Sayısal fonksiyon terimi aslında, gerçel değerler alan bir değişkenin, gerçel değerler alan fonksiyonu olarak tanımlanabilir.
- Genellikle fonksiyonlar f ile gösterilir. Herhangi bir x elementinin görüntüsü f (x) ile ifade edilir. Koordinat düzleminde sayısal fonksiyonların grafikleri düzenlenebilir, Değişken sayı x ve x’in görüntüsü y=f(x) sırasıyla noktanın absis ve ordinatına tekabül ederler. Noktalar kümesi eğriyi tanımlar. Mesela her tamsayıya o tam sayının üç katı tekabül ederse, koordinat eksenlerinin kesiştiği noktadan geçen bir doğru elde edilir.
- ” f(x)=ax tipindeki gerçel sayılan tanım kümesi kabul eden bütün fonksiyonlar “lineer fonksiyonlar” olarak adlandırılırlar. Bu fonksiyonların iki temel özelliği vardır,
îki sayının toplamının görüntüsü, bu her iki sayının görüntüleri toplamına eşittir.
- f(kx)=k f(x)
Bir sayının k sabitiyle çarpımının görüntüsü, bu sayının görüntüsünün k sabitiyle çarpımına eşittir.
Bu tür bir fonksiyonun grafiği koordinat ekseninin merkezinden (orijin) geçen doğru temsil edilir.
- f(x)=ax+b ile gösterilen ve gerçel sayıları tanım kümesi kabul eden fonksiyonlar (a ve b sabit sayılar) doğrusal (afin) fonksiyonlardır.
- Bu tür bir fonksiyon bir doğru ile gösterilir. Doğrunun çizimi için iki nokta belirlemek yeterlidir. Bu amaçla iki x değeri alınarak, görüntüleri hesaplanır.
- Sayısal bir fonksiyon nasıl incelenmelidir?Önce tanım kümesi bulunur. Fonksiyonun değişim yönü ya direkt olarak belirlenir ya da f türevi hesaplanır.
- Bir fonksiyonun türevi; değişken sıfıra gittiğinde herhangi bir değer için, fonksiyondaki artış miktarının değişkenin artışına oranının aldığı limit değerdir. Değişkenin herhangi bir a değeri için f fonksiyonunun türevi, eğrinin bu değere tekabül eden noktasındaki teğetin eğimidir. Bir noktadaki türev bilindiğinde, bu noktada teğetin eşitliğinin yazımı kolaydır.
- Eğimin işareti, fonksiyonun değişim tablosunu verecektir. Türevin pozitif olduğu aralıkta, fonksiyon artan fonksiyon olacaktır. Türevin negatif olduğu aralıkta ise fonksiyon eksilen fonksiyon olarak tanımlanacaktır. Türevin sıfır olduğu durumda ise, bu aralıkta fonksiyon sabit olacaktır.
- Bu şekilde bazı ilginç değerler belirtilerek, gerekliyse limit değerler de göz önüne alınarak fonksiyonun değişim tablosu gerçekleştirilebilir. Fonksiyonu belirleyen eğrinin çizimi gerçekleştiri lir.
Mesela.f fonksiyonu f (x)=x2-4x
Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayıları kapsar.
Türevi f (x)=2x-4’tür. Türev x>2 için pozitif ve x< için negatiftir.
- Bu fonksiyona tekabül eden eğri, x=l ve y=2 de iki asimptotu olan bir paraboldür.
- f ve g adlı iki sayısal fonksiyonun toplamı gerçekleştirilebilir. Toplam fonksiyonda x’in görüntüsü, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının görüntülerinin toplamına eşittir. Bu özelliklerin incelenmesi ile bazı fonksiyon kümelerine grup yapısı kazandırılır.
- Ayni şekilde, bir sayısal fonksiyonun, bir sayı ile çarpımı gerçekleştirilebilir. Bu işlem ve toplama bazı fonksiyon kümelerine vektörel düzlemler özelliği kazandırır.
- Ayrıca çok değişkenli fonksiyonlarda incelenmiştir. Bu tür fonksiyonların incelenmesi daha karmaşıktır; çünkü boyutları fonksiyonun değişken sayısından bir fazla olan uzay düzlemleri gerektirir.