Gauss yasası - Gauss's law
|yazı dizisi hakkında bir kısmı|
|elektromanyetizm|
In fiziği , Gauss yasası olarak da bilinen, Gauss akı teoremi , dağılımını ilgili bir yasadır elektrik yükü çıkan üzere elektrik alanı . Söz konusu yüzey, bir küresel bir yüzey gibi bir hacmi kuşatan bir kapalı biri olabilir.
Yasa, ilk olarak formüle edildi Joseph-Louis Lagrange , ardından 1773 yılında Carl Friedrich Gauss elips cazibe bağlamda her iki, 1813. Bu biridir Maxwell'in dört denklem temelini oluşturur, klasik elektrodinamik . Gauss yasası türetmek için kullanılabilir Coulomb kanunu tersi, vb.
içindekiler
- 1 Nitel açıklaması
- 2 karıştığı Denklem E alanını
- 3 içeren Denklem D alanı
- 4 toplam ve serbest yük tabloların Denklik
- 5 lineer malzemeler için Denklem
- 6 Yorumlama
- 7 Coulomb yasasına İlişkisi
- 8 Ayrıca bakınız
- 9 Notlar
- 10 Atıflar
- 11 Kaynaklar
- 12 Dış bağlantılar
nitel açıklama
Yani Gauss yasası belirtiyor
Gauss yasası gibi fizik diğer alanlarda kanunlar bir dizi ile yakın matematiksel benzerlik vardır manyetizma için Gauss yasası ve yerçekimi için Gauss yasası . Aslında, herhangi bir ters kare yasası Gauss yasasına benzer bir şekilde formüle edilebilir: örneğin, Gauss yasası kendisi ters kare esasen eşdeğerdir Coulomb yasası ve yerçekimi için Gauss yasası ters kare esasen eşdeğerdir Newton yerçekimi kanunu .
Yasa kullanılarak, matematiksel olarak ifade edilebilir vektör analizi içinde yekpare biçimde ve diferansiyel şeklini temsil eder; bunlar arasındaki ilişki şöyledir beri hem eşdeğerdir sapma teoremi de Gauss teoremi denir. Arasında bir ilişki açısından: da bu biçimlerin her biri ayrıca iki şekilde ifade edilebilir elektrik alanı E ve toplam elektrik yükünde veya açısından elektrik değiştirme alanı D ve serbest elektrik yükü .
İçeren Denklem E alanını
İntegral formu
Gauss yasası olarak ifade edilebilir:
burada Φ e olan elektrik akısı kapalı bir yüzey üzerinden S hacim bakımından herhangi bir çevreleyen V , Q, toplam bir yük içinde kapalı V ve ε 0 olan elektrik sabit . Elektrik akısı Φ E olarak tanımlanır edilir yüzey integrali arasında elektrik alanı :
Akı bir olarak tanımlanmaktadır yana ayrılmaz elektrik alanın, Gauss yasasının bu ifadesi denir ayrılmaz formu .
yekpare formu uygulanması
elektrik alan her yerde biliniyor ise, Gauss yasası mümkün elektrik yükü dağılımını bulmak için yapar: Herhangi bir bölgede yük akışını bulmak için elektrik alanı entegre ederek çıkarılabilir.
(Elektrik yükü dağılımı bilinir ve elektrik alanı hesaplanması gerekmektedir) ters sorun çok daha zordur. Belirli bir yüzeyden geçen toplam akı elektrik alanı hakkında çok az bilgi verir ve keyfi karmaşık desenleri ve yüzeyin dışına gidebilir.
Bazı varsa bir istisna simetri elektrik alanı düzgün bir şekilde yüzeye geçer mandates problem. Toplam akı biliniyorsa Sonra, alan kendisinin her noktada çıkarılabilir. Gauss yasasına kendilerini ödünç simetrileri yaygın örnekleri şunlardır: silindirik bir simetriye, düzlemsel simetriye ve küresel bir simetriye. Makale Bkz Gauss yüzeyi bu simetrileri elektrik alanları hesaplamak için istismar edilmektedir örnekler için.
Diferansiyel formu
By sapma teoremi , Gauss yasası alternatif yazılabilir diferansiyel formda :
integral ve türev formlarının denklik
İntegral ve diferansiyel formlar tarafından, matematiksel olarak eşdeğerdir sapma teoremi . İşte daha spesifik bir argümandır.
İspat Anahat Gauss yasasının ayrılmaz biçimidir:
Herhangi bir kapalı yüzey için S şarj içeren Q . Sapma teoremi olarak, bu denklem eşdeğerdir:
herhangi bir hacim için V şarj içeren Q . Yük ve yük yoğunluğu arasındaki ilişki bu denklem eşdeğerdir:
herhangi bir hacim için V . Bu denklem olması için de aynı anda doğru için her olası hacim V integraller her yerde eşit olması için, gerekli (ve yeterli) 'dir. Bu nedenle, bu denklem eşdeğerdir:
Böylece entegre ve diferansiyel formlar eşdeğerdir.
İçeren Denklem D alanını
Ücretsiz, bağlı ve toplam yük
En basit ders kitabı durumda ortaya çıkar elektrik yükü "ücretsiz" -için örnekte, aktarılır masraf olarak sınıflandırılacak statik elektrik ya da üzerinde ücret kondansatör plakası. Bunun aksine, "bağlı yük", sadece bağlamında ortaya çıkan dielektrik (polarize) olabilir. (Tüm malzemeler bir ölçüde polarize bulunmaktadır.) Bu tür malzemeler, elektronlar, kendi atomlarına bağlı kalır, dış elektrik alanında yerleştirilmiş, ama alana tepki olarak bir mikroskopik mesafe kayması olduğunda, daha bir tarafta yapmayacak şekilde diğer daha atomun. Tüm bu mikroskobik deplasmanlar makroskobik net yük dağılımını vermek kadar ekleyin ve bu "sınır yükü" oluşturmaktadır.
Mikroskobik tüm şarj temelde aynı olmasına rağmen, ücretsiz farklı bağlı şarj tedavi etmek isteyen için pratik nedenler sıklıkla vardır. Sonuç, daha fazla temel Gauss yasası, açısından olmasıdır E (yukarıda), bazen açısından aşağıda eşdeğer form içine konur D ve tek ücretsiz.
İntegral formu
Gauss yasasının Bu formülasyon toplam yük formunu belirtir:
Diferansiyel formu
Sadece serbest yükü içeren Gauss yasasının diferansiyel formu, devletler:
nerede ∇ · D olan sapma elektrik yer değiştirme alanının ve ρ ücretsiz bedava elektrik yükü yoğunluğu.
toplam ve serbest yük tabloların Denklik
ücretsiz açısından Gauss yasasının formülasyonları toplam yükü içeren formülasyonlar eşdeğerdir kanıtı. Bu ispat, biz denklemin gösterecektir
denkleme eşdeğerdir
biz sadece diferansiyel formlar değil, ayrılmaz formları ile ilgileniyor unutmayın, ancak diferansiyel ve entegral formlar her durumda eşdeğer olduğundan bu sapma teoremi ile yeterlidir.
Biz tanıtmak polarizasyon yoğunluğu P aşağıdaki ilişki vardır, E ve D :
ve bağlı ücret için aşağıdaki ilişki:
Şimdi, üç denklemi göz önünde bulundurun:
Anahtar fikir ilk iki denklem toplamı üçüncü denklem olmasıdır. Bu ispatı tamamlar: İlk denklem tanımı gereği doğrudur ve bu nedenle ikinci denklemi doğrudur ancak ve ancak üçüncü denklemi doğrudur. Yani ikinci ve üçüncü denklemler ispat etmek istediğini olan eşdeğerdir.
Doğrusal malzemeler için Denklem
yekpare formu için, ve
diferansiyel formu.
Yorumlama
kuvvet alanları açısından
Gauss teoremi şöyle alanın kuvvet çizgileri bakımından yorumlanabilir:
kapalı bir yüzeyden geçen akı büyüklük ve yüzeyine nüfuz elektrik alanı çizgilerinin yönü hem de bağlıdır. Genel olarak, bir pozitif akım, bu yüzey sonra da hat yüzey ve negatif akı bırakarak bu hatlar ile tanımlanır. Bu olumsuz bir akı oluşturma pozitif akı neden pozitif yüklerin ve negatif yüklerin sonuçlanır. Bu elektrik alanı çizgileri şarj kaynağı kare oluşturan bir mesafe üzerinde bir kat mukavemeti azalan sonsuz kadar uzanacaktır. Daha büyük bir ücret çıkan alan çizgilerinin sayısı daha büyük bir yükün büyüklüğü ve birbirine daha yakın alan çizgileri dosyalanan elektrik büyük büyüklüğü vardır. Bu, bir uzak yüklü parçacık hareket ederken zayıf oluyor elektrik alanın doğal sonucu vardır, ama bu parçacığı çıkan net elektrik alan aynı kalacak şekilde yüzey alanı da artar. Diğer bir deyişle, elektrik alanın kapalı entegre ve bölgenin türevinin nokta ürünün serbest alan dielektrik bölünmesiyle kapalı net yüke eşit olacaktır.
Coulomb yasasına İlişkisi
Coulomb yasasından Gauss yasasını türetilmesi
Açıkçası, Gauss yasası elde edilemez Coulomb yasası Coulomb yasası nedeniyle bireysel için elektrik alanı verir, çünkü tek başına nokta yük sadece. Ancak, Gauss yasası olabilir o ek olarak varsayılır ise elektrik alanı uyduğunu, Coulomb yasasından kanıtlanmış süperpozisyon prensibi . Süperpozisyon prensibi (ücrete alanı düzgün dağılması durumunda veya entegre) elde edilen alan, her bir partikül tarafından üretilen alanların vektör toplamı olduğunu söyler.
İspat Anahat Coulomb yasası sabit nedeniyle elektrik alanı belirten nokta yük geçerli:
nerede
- e r radyaldir birim vektör ,
- r yarıçapı, | r | ,
- ε 0 olan elektrik sabit ,
- q, yer varsayılır partikül yükü olan kaynaklı .
Coulomb yasasından ifadesini kullanarak, toplam alanı açıp r at alanı toplamak için ayrılmaz kullanarak r dolayı birbirlerine noktasında sonsuz küçük ücret ler uzayda vermek
burada ρ yük yoğunluğudur. Biz göre bu denklemin her iki tarafında birbirinden uzaklaşmalarını alırsak r ve bilinen teoremi kullanmak
burada δ ( r ) olan Dirac delta fonksiyonu , sonuç
"Kullanarak eleme özelliği Dirac delta fonksiyonunun", biz varmak
ki arzu edildiği gibi, Gauss hakları ayırıcı formudur.
Coulomb yasası sadece sabit ücretler için geçerlidir, çünkü Gauss yasası tek başına bu türetme göre ücretler hareket ettirmek için tutmaya beklemek için hiçbir neden yoktur unutmayın. Aslında, Gauss yasası ücretleri hareketli için de geçerli değil ve bu konuda Gauss yasası Coulomb yasası daha geneldir.
Gauss yasasından Coulomb kanunu türetilmesi
Gauss yasası ile ilgili herhangi bir bilgi vermez çünkü Açıkçası, Coulomb yasası, yalnız Gauss yasasından elde edilemez kıvrılma ait E (bkz Helmholtz ayrışma ve Faraday yasası ). Ancak, Coulomb yasası olabilir o ek olarak kabul edilir eğer gelen elektrik alanı olduğunu, Gauss yasasından kanıtlanmış nokta yük yük sabit ve yaklaşık doğruysa küresel simetriktir (Coulomb yasası kendisi gibi bu varsayım, tam olarak doğrudur ücret) hareket halinde ise.
İspat Anahat Alarak S Gauss yasa yekpare biçimde yarıçaplı küresel bir yüzey olarak r nokta yük merkezli, Q , elimizdeki
küresel bir simetriye varsayımı ile, integrali yekpare takım alınabilir bir sabittir. sonucudur
burada r, a, birim vektör radyal olarak uzağa şarjdan işaret. Yine de küresel bir simetriye, göre D radyal yönde noktaları ve bu nedenle olsun
hangi Coulomb yasasına esasen eşdeğerdir. Böylece ters-kare yasası Coulomb yasasında elektrik alanın bağımlılığı Gauss yasasından izler.
Ayrıca bakınız
notlar
Atıflar
Referanslar
- Jackson, John David (1998). Klasik elektrodinamik (3 ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X . David J. Griffiths (6. Bas.)
- MİT video Lecture Series (30 x 50 dakikalık dersler) - Elektrik ve Manyetizma Profesör tarafından öğretilen Walter Lewin .
- Bir online kitabında Gauss kanunu bölüm
- Misn-0-132 Küresel Simetri Gauss Yasası ( PDF dosyası için Peter Signell tarafından) Projesi PHYSNET .
- Misn-0-133 Silindirik ve Düzlemsel Yük Dağılımlarına Gauss Yasası Uygulamalı Peter Signell tarafından (PDF dosyası) Projesi PHYSNET .