Asal Sayı Nedir?
1’den ve kendisinden başka sayılara bölünmeyen sayılara asal sayılar denir. Bu sayılar eski Yunanlılardan beri bilinir. Asal sayılar sonsuz sayıdadır. Bunun ispatı şöyle yapılmıştır.
- Önce asal sayıların sonlu olduğu var sayılır.
- Daha sonra bunların hepsi çarpılıp sonuca bir eklenir.
- Elde ettiğimiz bu sayıyı hiçbir asal sayı bölemez
- Elde ettiğimiz bu sayı hem asal sayı hem de diğer asal sayılardan büyük olduğuna göre ilk varsayımımız yanlıştır.
- Dolayısıyla asal sayılar sonsuzdur.
Daha sonra ünlü matematikçilerden Dirichlet aritmetik işlemlerle asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu gösterdi.
Bir Sayının Asal Sayı Olduğunu Nasıl Anlarız?
Bir sayının asal sayı olduğunu anlamak çok kolay değildir. Yani küçük sayılar için biraz düşünerek bulabiliriz fakat sayılar büyüdükçe bu iş zorlaşır. Bu yüzden Geçmişten günümüze kadar farklı birçok yöntem geliştirilmeye çalışılmıştır.
- Eratosten Kalburu, Bu sistemde asal sayılar 100’e kadar 10×10’luk bir tablo şeklinde yazılır. Daha sonra en küçük asal sayı olan 2 ve 2’nin katları işaretlenir. Daha sonra sırasıyla diğer asal sayılar için bu işlem yapılır. Ortaya çıkan tabloda işaretlenmemiş olan sayılar asal sayılardır. Bu 100’e kadar olan asal sayılar kullanılarak 1000’e kadar olanlar bulunur. Bu böylece sonsuza kadar devam eder.
- Fermat Küçük Teoremi, Bu teorem Fermat’ın meşhur son teoremi ile karıştırılmamalıdır. Bu teorem şunu söyler herhangi 1 ile p-1 arasındaki bir a sayısı için eğer p bir asal sayı ise ap-1-1, p’ye bölünür. Yani mesela 7 sayısının asal sayı olduğunu anlamak için bir a sayısı mesela 2 sayısını ele alalım. 2 üzeri 6 (7-1) 64’tür. Bir eksiği 63. 63, 7’ye bölünür. Tabi ki bu sistem büyük sayılar için uygulandığında bilgisayarlarla işlem yapmak gerekir.
Asal Sayılar Ne İşe Yarar?
- Öncelikle asal sayılar, bütün sayıları inşa eden tuğlalardır. Liseden hatırlayacağımız üzere Bütün sayılar asal sayıların çarpanları şekline yazılabilir. Aslında sadece bu bile asal sayıların çok önemli aletler olduğunu gösterir. Matematiği asal sayıla inşa etmiştir diyebiliriz.
- Şifreleme bilimi diye de bilinen kriptoloji dalında asal sayılar devrim yaratmıştır. Elinizde asal olmayan çok büyük bir sayı var ise bu sayının asal çarpanlarını bulmak bilgisayar gücü ile bile zordur. İşte kriptoloji bilimi bu bilgiyi kullanır. Büyük sayılar ile şifreleme yapar. Bugün mesajlarınızın, kredi kartı şifrelerinizin ve daha birçok özel yaşantınızın saklayabilmenizi asal sayılara borçlusunuz.
- Ses tanıma sisteminde de asal sayılar kullanılır. Çünkü bir asal sayı sadece bir şekilde yazılabilir. Yani her özel sese bir asal sayı bağlanarak bu tanıma işlemi yapılabilir.