Bugün internette Gödel’in Eksiklik Teoremi ile ilgili çok sayıda İngilizce kaynak bulunabiliyor. Türkçe kaynaklar ise sayıları biraz kısıtlı olsa da, teoremin genelini anlamak için yeterli görülebilirler. Ancak bu konuda yeni araştırma yapmaya başlamışsanız, teoremin kendisinden çok teoremle ilişkili olan diğer bazı kavramlara aklınızın takılması çok normal bir durumdur. Bu yazı, teoremi açıklamaya çalışmaktan daha çok konuyu yeni araştırmaya başlamış olanların, daha hızlı yol almaları ve karşılaştıkları bazı kavramları daha kolay anlamalarını sağlamak amacıyla yazılmıştır.
Kurt Gödel (1906-1978), 1930 yılında, henüz 24 yaşında iken, doktora tezini verir ve bir yıl kadar sonra bir başka çalışma kaleme alır; Principia Mathematica ve İlişkili Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine [1]. Bu çalışmayı anlatmadan önce, bu çalışmanın hazırlanması sırasında temas edilen ve okuyucunun çalışmayı anlamasında hayati önem taşıyan bazı kavramları açıklayalım. İlk olarak çalışmanın ismi ile başlayalım.
Principia Mathematica (PM), A. North Whitehead ve Bertrand Russell tarafından ilk cildi 1910 yılında yayınlanan üç ciltlik meşhur bir eser (Newton’un eseri ile karıştırmayalım) . Bu üç ciltlik serinin temel amacı, matematiği mantığa indirgemek [2, s.67]. Yani matematikteki tüm doğruların, bir aksiyom kümesi ve Mantık’taki çıkarım kuralları kullanılarak türetilebileceğini göstermek [7]. Peki, neden bunu yapmaya çalışıyorlar? Çünkü eğer bunu gerçekleştirebilirlerse, matematik aksiyomlarının tutarlılığı sorusunu doğrudan “mantığın temel aksiyomları tutarlı mıdır” sorusuna indirgenmiş olacaklardı ki, bu da matematiğin mutlak doğruluğunun önünü açmış olacaktı [3, s.64]. Peki PM’nin uğraştığı bu aksiyom da neyin nesidir?
Bilimsel yöntemde, doğruluğu ispatlanmaya gerek görülmeyen, baştan doğru kabul edilen önermelere aksiyom (belit) denir. Yani bazı önermelerin doğru olduğu varsayılır ve diğer önermeler bunun üzerine inşa edilir. Örneğin, Öklid Geometrisi’nin temel taşlarını oluşturan beş aksiyom vardır. Bunlardan birisi mesela “İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.” aksiyomudur. Yüzyıllarca geometri Öklid’in çalışması üzerinden ilerlemiş, kimse de bu ve benzeri aksiyomların doğruluğunu sorgulamamıştır. Ta ki 19. yy’da Riemann ve diğer bazı bilim adamları farklı geometrik sistemler ortaya koyana dek.
Öklid dışı geometrilerin kabulü ile matematikte özde bir doğruluk yerine kendi içinde tutarlılık ve kanıtlanabilirlik üzerine gidilmeye başlandı [3]. Çünkü bu yeni geometrik sistemler bu niteliklere (kendi içinde tutarlılık ve kanıtlanabilirlik) sahiptiler ve bu sistemler hakkında bir doğruluk – yanlışlık yorumu getirilemezdi. Böylece biçimselleştirme önem kazandı. Yani artık aksiyomların içeriğinin doğruluğuna bakmak yerine biçimsel tutarlığına bakılmaya başlandı [3, s.xii].
Gelelim “biçimsel olarak karar verme” meselesine. Biçimselleştirme (formalisation) bir ifadeyi içeriğinden bağımsız olarak inceleyebilmek için ifadenin “şeklini” değiştirmeye denir. Peki, bu neden yapılır? Örnek verelim[3, s.68]:
Eğer psikanaliz modaya uygunsa demek ki ya psikanaliz modaya uygundur veya baş ağrısı hapları çok
ucuzdur.
Böylesi karmaşık bir cümle üzerinde işlem yapmaya çalışmakla uğraşmaktansa bunu biçimselleştirip mantık elemanları ile temsil eder ve içerikten bağımsız hale getirirsek:
p→(p∨q)
halini alır. Görüldüğü üzere bu biçim hem daha az karmaşıktır, hem de kelimelerin anlamları dolayısıyla yaptıkları çağrışımların bizi yanıltmasının önüne geçilir.
Önermeler de bildiğiniz gibi Mantık’ta doğruluğu ya da yanlışlığı üzerine karar verilmeye çalışılan ifadelere denir. Dolayısıyla Gödel’in eserinin ismi şimdi bizim için daha açıktır. “Principia Mathematica ve İlişkili Dizgelerin Biçimsel Olarak Kararlaştırılamayan Önermeleri Üzerine ”. Yani, Gödel’in çalışması PM ve benzeri aksiyomatik sistemlerin, biçimsel halleri incelendiğinde dahi doğru mu yanlış mı olduğuna karar verilemeyecek önermeler içermesi ile ilgilidir.
Gödel’in teoreminin anlatmaya başlamadan evvel temas edeceğimiz bir başka konu da paradokslar. Doğruluğu konusunda çelişki içeren önermelere paradoks diyoruz. Şunu da belirtmeliyiz ki paradokslar ne zeka sorularıdır ne de çözülmeyi beklerler. Tam aksine içinden çıkılamayacak karşıt durumlar içerirler. Eğer bu özelliklerini kaybederlerse zaten paradoks olmazlar. Paradoksların en ünlülerinden biri Epimenides’e ait olan “Tüm Giritliler yalancıdır” önermesidir [2, S.60]. Birçok farklı versiyonu da olan bu önerme, kolaylıkla görülebilecek bir çelişki içermektedir; eğer Epimenides doğru söylüyorsa Giritli olduğu için yalancı olması gerekir bu durumda da doğru söyleyemez. Yok eğer Epimenides yalan söylüyorsa önermenin yanlış olması gerekir, ancak bu durumda da Epimenides yalan söyleyemez. Dolayısıyla Epimenides’in önermesi ne doğru ne de yanlıştır. Ortada bir paradoks vardır.
Gödel’in çalışması ile ilgili olan paradoks ise Bertnard Russell’a ait olan Russell Paradoksu’dur. Bu paradoks da özetle şöyledir: Tüm kümeleri iki grup altında toplayalım. Birinci grubun adı normal kümeler olsun ve “kendi kendisinin elemanı olmayan kümeler”i içersin. Diğer grubun adı da normal-olmayan kümeler olsun ve “kendi kendisinin elemanı olan kümeler”i içersin. Örnek verelim. “Meyveler kümesi”, meyvelerin eleman olarak yer aldığı bir kümedir. Ancak meyveler kümesinin kendisi bir meyve değildir, bir kümedir. Dolayısıyla kendi kendisinin elemanı olmadığı için normal bir kümedir. Şimdi de “düşünülebilen şeyler kümesi” ni ele alalım. Düşünülebilen şeyler kümesinin elemanları, düşünülebilen şeylerdir. Düşünülebilen şeyler kümesinin kendisi de düşünülebilen bir şey olduğundan kendi kendisinin bir elemanıdır yani normal olmayan bir kümedir [3]. Russell’ın sorusu ise şudur: Normal kümeler kümesi, normal bir küme midir yoksa normal-olmayan bir küme midir?
Eğer normal kümeler kümesi, normal bir kümesi ise kendi kendisinin elemanı olmamalıdır. Oysa biz şu halde kendi kendisinin elemanı yaptık. Demek ki değilmiş. Bu durumda, normal kümeler kümesinin, normal olmayan bir küme olmasa gerekir. Ama eğer normal olmayan bir küme ise, kendi kendisinin elemanı olmalıdır. Ancak normal olmayan küme olduğu durumda da normal kümeler kümesi içinde yer almalıdır ama değildir. Demek ki normal-olmayan bir küme de olamaz. Özetle normal kümeler kümesinin normal bir küme mi, normal-olmayan bir küme mi olduğuna karar verilemez. İşte bu duruma da Russell Paradoks’u denir.
Son olarak bahsetmemiz gereken konu ise Hilbert Programı. Alman matematikçi David Hilbert (1862-1943) bugün meta-matematik dediğimiz, matematiğin kurallarını matematik için kullanma metodunun fikir babasıdır. Hilbert, matematiği, matematiğin kurallarını ve yöntemlerini kullanarak analiz ederek çelişkilerden kurtarmak amacıyla çalışan bir bilim adamı idi [1]. Ayrıca Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, bu sayede matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti [4]. İşte buna Hilbert Programı diyoruz.
İşte Gödel, Hilbert Programı ve Principia Mathematica gibi matematiğin mutlak doğruluğu üzerine fikirlerin hakim olduğu bir dönemde ortaya çıkmış ve Russell Paradoksu’na benzer bir anlayışı kullanarak -bu önerme bu teoremde ispat edilemez önermesini kullanarak- çalışmasını yürütmüş, ancak sonuçta Hilbert Programı’nın umduğundan farklı bir sonuç elde etmiştir.
Gödel’in çalışmasında ulaştığı iki temel sonuç vardır[4]:
1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz (complete) değildir.
2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinde (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.
Gödel’in burada bahsettiği iki önemli kavramın açıklaması ise şöyledir:
– Tutarlık: Bir dizge tutarlı ise bu dizgenin aksiyomlardan birbiriyle çelişen önermelerin
çıkarılmaması gerekir.
– Eksiksizlik (Tamlık): Sistemin her doğru önermesi sistemin aksiyomları kullanılarak
türetilebilmelidir.
Ali Nesin’in deyişiyle [6]:
Teorem 1. Matematiğin çelişkisiz olduğu kanıtlanamaz. Teorem, “matematiğin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamadım, denedim yapamadım” demiyor. “Kanıtlanamaz” diyor. Yani boşu boşuna kimse denememeli. Kanıtlanamaz.
Teorem 2. Doğal sayılarla, toplamayla ve çarpmayla ilgili öyle bir önerme vardır ki, aritmetik kuramının kabul edilen belitleriyle ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu kanıtlanabilir.
Hofstadter’in deyişiyle [2, s.61:]:
Sayı kuramının bütün tutarlı, ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir.
Özetle, Gödel’in kanıtlamasından çıkan şudur: “kendine gönderme yapan (self reference) bir dizge içinde
karar verilemeyen önermeler vardır” yani dizge tam olamaz (incompleteness) [3, s.xvi:]. Ancak, Gödel’in teoremi matematiğin mutlak sınırlarının çizildiği anlamına gelmez. Zira eksikliğin nedeni bizim aksiyomatikleştirmemizden ileri gelmektedir [3, s.xvii:]. Yani Gödel yalnızca matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır [5].
Afşin Kapusuzoğlu, 2011, İstanbul
Not: Teorem ve ilişkili kavramlar bu şekilde özetlenebilir. Eğer konuya meraklı iseniz Gödel Kanıtlaması kitabından başlayarak yola devam etmeniz iyi bir seçim olacaktır. Bunun dışında, matematikçi değilseniz orijinal metni almanızı pek tavsiye etmem .
Kaynakça
[1] Kurt Gödel, Principia Mathematica ve İlişkili Dizgelerin Biçimsel Olarak Kararlaştırılamayan
Önermeleri Üzerine- 1, 2010, Çev. Özge Ekin, Boğaziçi Üniversitesi Yayınları
[2] Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach : Bir Ebedi Gökçe Belik, 2001, Kabalcı Yayınları
[3] Nagel-Newman, Gödel Kanıtlaması,2010, Çev. Bülent Gözkan, Boğaziçi Üniversitesi Yayınları
[4] Fatih GELGI, bm-dergi, Gödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine Etkileri, 2003
[5] http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/202_214_paradoks.pdf
[6] http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/216_221_hilbert.pdf
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica