“Önceki yazı” dan devam…
Euler bu tip sorularda alanları, köşeler olarak adlandırdığı noktalarla gösterebileceğini ve bunlara gelen ve bunlardan giden köprüleri de yaylarla bağlayabileceğini düşündü. Konigsberg sorusunda alanları kırmızı noktalar ve bağlantıları da siyah yaylarla gösterelim:
Yayları düzenli bir şekilde çizersek:
Problem şu aşamada, elini kaldırmadan ve geçilen yerden tekrar geçmeden bu şekli çizmeye dönüştü. Şimdi düşünün: 4 köşenin her birinden tek sayıda yay geçmektedir. Bu köşelerden birini, diyelim 3 yayın geçtiği birini alalım. Yukarıdaki şekli, el kaldırmadan çizmekte olduğumuzu farzedelim.
Bu aldığımız köşeye ilk geldiğimizde, çıkış için bir köşe bulabiliriz; ama sonraki gelişte çıkış olmayacaktır. Yani bu köşeye geldiğimizde şekil tamamlanmış olmalıdır. Yada bu köşeden başladığımızı farzetsek, geri dönüşte çıkabilsek de, bir daha bu köşeye dönemeyiz. Demek ki, tek sayıda yayın geçtiği köşe ya başlangıç yada sonuç noktası olmalıdır.
Sonuçta tek sayıda yayın geçtiği sadece 2 köşe bulunmalıdır. Yukarıdaki şekilde 2 den fazla böyle nokta olduğundan bu şekil el kaldırmadan çizilemez.
Çizgi Teorisine Genelleme
Euler yukarıdaki düşünceyi aşağıdaki tanım ve teoremlerle çizgi teorisinde genelleştirdi:
Tanım: Birbiriyle kesişmeyen eğrilerle (yaylarla) bağlanmış noktalardan (köşelerden) oluşan şekle ağ denir.
Tanım: Birköşeden tek sayıda yay geçiyorsa, bu köşeye tek adı verilir; aksi takdirde çift denir.
Tanım: Her bir yaydan bir kere geçen devamlı yola, Euler rotası(yolu) denir.
Teorem: Eğer bir ağda ikiden fazla tek köşe varsa, o ağda Euler rotası yoktur.
Teorem: Eğer bir ağda iki veya daha az tek köşe varsa, o ağda en az bir Euler rotası vardır.
Böylece ilk yazıda verilen birinci problemin cevabı bulundu: Mümkün değil.