Matematiksel İspat
Matematikçiler için gerçekleri keşfetmek ve onları anlatmak birer hedeftir. Matematik, matematikçilerin dilidir. Matematiksel ispat ise matematik gerçeklerin ikna edici olmalarını sağlayan, bir başkasının da o gerçekleri öğrenmesine vesile olan, matematikçilerin kullandığı matematik diline ait bir sunuş yöntemidir. Matematik dilinin dikkate değer bir özelliği, onun hassas olmasıdır. Bu yüzden matematik dilinin yöntemi olan ispat, düzgün sunulabilir yani, hiçbir şekilde belirsizlik içermez olmalıdır. Doğruluğunda asla şüphe uyandıracak rahatsız edici bir yön bulunmamalıdır. İşte matematik dilinin sunuş yöntemi olan ispatın temel dil bilgisini, çok iyi kavramak ve anlamak gerekir ki matematiğin ortaya koyduğu gerçekler anlaşılabilsin.
İspat Nedir?
Matematik dilinde bir ifadenin inandırıcı, ikna edici olması için matematik diliyle doğru şekilde ifade edilmesi zorunludur. Bu, matematik dilini başkalarına aktarmada kullanılacak sözcüklerin tümünün ne denli önem arz ettiğini anlatması açısından önemlidir. Örneğin matematikte bir ifadenin doğru veya yanlış bir cümle olarak ifade edilişine bakalım ve bu bağlamda birkaç örneği inceleyelim:
- Farklı ve doğrusal üç noktadan yalnız birisi, öteki ikisinin arasındadır.
- 1 = 0'dır.
- x gerçek sayı olmak üzere x > 0'dır (x, 0'dan büyüktür).
- cos(t)=t olduğu bir t değeri vardır.
Gözlemlersek bu ifadelerden (1)'in doğru, (2)'nin yanlış ve (3)'ün, verilen x değişkeninin değerine bağlı olarak doğru veya yanlış olduğunu hemen söyleyebiliriz. Belki (4) numaralı ifade de doğrudur. Ama bunun doğruluğu veya yanlışlığı şu aşamada net değildir. Aslında doğru gibi görünen bir deyim; ama bunu henüz bilmiyoruz. Açıkçası gerçekten doğru ifadeler, delilleriyle birlikte genel hatlarıyla ders kitaplarında veya makalelerde verilir. Bunun bir nedeni, sonunda daha zor ifadeleri ispatlamak, böylece takip edilmesi kolay örnekler sağlamaktır. Bir ispatın hitap ettiği kişi (ya da kişiler) için inandırıcı olması, o ispatın yeterli matematiksel ayrıntıları içermesiyle mümkündür. Örneğin yukarıdaki (4) numaralı ifade için aşağıdaki grafik verilsin. Verdiğim bu grafik bir matematik profesörü için, $\cos (t)=t$ olacak bir t değerinin varlığı konusunda ikna edici sayılabilir. Oysa bir lise öğrencisi, doğru ve detaylandırılmış bir ispatı görmelidir ve hatta belki işe kosinüsün tanımını öğrenmekle başlamalıdır. Kısaca, ispatta kullanılacak deliller, kendi matematiksel düzeyimizde olsun olmasın, herkesi (mesela bir amatör matematikçiyi veya bir öğrenciyi de) ikna etmek için yeterli ayrıntı içermelidir. Genellikle bir ispatı okumayı ve anlamayı zorlaştıran şey, ispat için gereken tüm ayrıntıların eksikliğidir.
Buraya kadar iyi bir ispatın, daha doğrusu ispatın ispat olarak kabul edilebilmesi için, herkesi ikna edecek şekilde tüm detayları içermesi gerektiğini söyledik. Ama ispat nedir sorusuna cevap vermedik. Sabredin, o sorunun da cevabını vereceğiz. Şimdi, iyi bir ispatı nasıl oluştururuz, bundan bahsetmek istiyorum.
A ve B gibi iki ifade verildiğinde, bu iki ifadeden A doğru ya da yanlış olabilir, benzer şekilde B doğru veya yanlış olabilir ya da hem A hem B doğru veya hem A hem B yanlış olabilir. Burada matematiksel anlamda temel sorun, koşullu ifadeyi gösteren veya içeren mantıksal dizimi ifade etmektir. Şöyle: Eğer A doğru ise B de doğrudur! Burada gerçek olduğu gösterilmesi gereken ifade B'dir. Bir çıkarımı doğrulamak kimi zaman kolay değildir. Ama B'nin gerçekliğini doğrulamak, çıkarımın doğruluğunu göstermek için zorunludur. Buna karşılık, A gerçeği doğrulamak için nispeten kolay bir deyim olsun.
Eğer gerçeği doğrulamak için A'nın doğruluğu konusunda şüphe yoksa, yani "A doğruysa, o zaman B doğrudur" diyebiliyorsak en sonda, o zaman B'nin de doğru olduğunu bileceğiz ve dolayısıyla çıkarımı doğrulamış, daha doğrusu ispatlamış olacağız. Kolay olsun diye çoğu kez "A doğruysa, o zaman B doğrudur" ifadesini kısaltırız ve "A ise B" veya "A gerektirir B'yi" deriz. Matematikçiler olarak sembolik bir kestirme gösterim geliştirmişizdir. Çoğunlukla "A ise B" veya "A gerektirir B'yi" yerine sembolik olarak "$A \Rightarrow B$" yazarız. "A gerektirir B" ile çalışırken üç ayrı ifade olduğunu fark etmek önemlidir: Hipotez denilen A ifadesi, sonuç denilen B ifadesi ve "A gerektirir B" ifadesi. (Devam edecek)...