Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
TANIM1: bir -vektör uzayı ve olsun. Bu durumda olmak üzere denklemi yalnızca durumunda sağlanıyorsa, elemanlarına lineer bağımsızdır denir.
Burada en çok karıştırılan nokta şudur:
" durumunda zaten denklemi sağlanıyor. O halde lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir. elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul denkleminin haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani, elemanları lineer bağımsız ve sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.
TANIM2: bir -vektör uzayı olsun. Eğer, lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:
lineer bağımlıdır
Yani, denkleminde en az bir sıfırdan farklı olabiliyorsa elemanları lineer bağımlıdır.
Basitten karmaşığa doğru örnekler verelim:
ÖRNEK1: olsun.
olduğundan ve elemanları lineer bağımsızdır.
ÖRNEK2: Örnek1'i genelleştirelim. olmak üzere , olsun.
olduğundan kümesi lineer bağımsızdır.
ÖRNEK3: olsun.
yerine basitlik için kullanalım:
.
biçiminde, iki bilinmeyenli bir denklemi çözmemiz gerekir. Şimdi bu denklemi çözelim:
Şimdi bu denklemleri taraf tarafa toplayalım:
O halde 'dır. Buradan da denkleminde yerine yazılırsa bulunur. Dolayısıyla ve vektörleri lineer bağımsızdır.
ÖRNEK4: olsun. seçersek, olduğu halde
dır. O halde vektörleri lineer bağımlıdır.
ÖRNEK5: olsun.
seçersek, olduğu halde
olur. O halde vektörleri lineer bağımlıdır.
sayısını seçtiğimiz gibi, sıfırdan farklı herhangi bir sayı da seçebilirdik. Fakat bunun bir önemi yoktur. Çünkü lineer bağımlılığın tanımına göre sıfırdan farklı en az bir katsayı bulmak yeterlidir. Burada basitlik için seçtik.
Sıfır, yani elemanı, kümesine dahil olduğu için kümesi lineer bağımlı oldu. Bu, sadece uzayı için böyle değildir. Genelde de doğrudur. herhangi bir -vektör uzayı olsun. kümesini 'yı içeren herhangi bir sonlu küme seçelim. O halde biçimindedir.
seçilirse
olduğundan kümesi lineer bağımlı olur.
ÖRNEK6: bir -vektör uzayı olsun. Bu takdirde olduğundan,
olur. O halde lineer bağımsızdır.
ÖRNEK7: olsun.
ve fonksiyonlarının lineer bağımsız olduğunu göstermek için olduğunu göstermeliyiz:
için
,
için
elde edilir. Birinci eşitlikteki ikinci eşitlikte yerine yazılırsa,
ve elde edilir. O halde ve fonksiyonları lineer bağımsızdır.
ÖRNEK8: olsun.
diyelim.
için
için .
O halde fonksiyonları lineer bağımsızdır.
ÖRNEK9: olsun.
(Burada ile fonksiyonu gösterilmektedir.)
seçilirse olduğu halde
olduğundan fonksiyonları lineer bağımlıdır.
ÖNERME1: bir -vektör uzayı ve olsun. Bu takdirde 'nın lineer bağımlı olması için gerek ve yeter koşul, bir elemanın diğerlerinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılmasıdır. Daha açık bir ifadeyle,
lineer bağımlıdır
ÖRNEK10: olsun.
ÖNERME2: bir -vektör uzayı ve lineer bağımsız olsun. Bu takdirde 'nın her bir elemanı, olmak üzere tek bir
gösterimine sahiptir.
ÖNERME3: bir -vektör uzayı ve lineer bağımlı olsun. Bu takdirde 'ya sonlu eleman eklenmesiyle oluşturulan yeni küme de lineer bağımlıdır.
SONUÇ1: bir -vektör uzayı ve lineer bağımsız olsun. Bu takdirde 'nın her alt kümesi de lineer bağımsızdır.
'nın bir alt kümesi lineer bağımlı olsaydı 'nın diğer elemalarını 'ye eklediğimizde Önerme3'e göre da lineer bağımlı olurdu. Dolayısıyla lineer bağımsız bir kümenin her alt kümesi lineer bağımsızdır.
Şimdiye kadar hep sonlu kümelerin lineer bağımsızlığından ve lineer bağımlılığından bahsettik. Şimdi de sonsuz kümelerin lineer bağımsızlığından ve lineer bağımlılığından bahsedelim:
TANIM3: bir -vektör uzayı ve sonsuz bir küme olsun. Eğer 'nın her sonlu alt kümesi lineer bağımsızsa 'ya lineer bağımsızdır denir. Aksi taktirde lineer bağımlıdır denir. Yani 'nın lineer bağımlı en az bir sonlu alt kümesi varsa 'ya lineer bağımlıdır denir.
ÖRNEK11: olsun.
'nın lineer bağımsız olduğunu gösterelim:
(*) diyelim. İki taraftan türev alalım.
. Bir daha türev alalım.
. Bu şekilde türeve kadar devam edersek
elde ederiz. Buradan da bulunur. Bulduğumuz bu sonucunu (*) denkleminde yerine yazarsak
(**) elde ederiz. (*) denklemine uyguladığımız türev işleminin aynısını (**) denklemine defa uygularsak , yani elde ederiz. Sonra bu sonucu da (**) denkleminde yerine yazar ve bu süreci böyle devam ettirirsek elde ederiz. O halde kümesi lineer bağımsızdır.
SONUÇ4 (POLİNOM EŞİTLİĞİ): olmak üzere ve polinomlarını ele alalım. İki polinomun birbirine eşit olması için gerek ve yeter koşul katsayılarının eşit olmasıdır. Şimdi bunu ispatlayalım. Katsayılarının eşit olması durumunda polinomların eşit olması açıktır. Biz tersini gösterelim. Varsayalım ki 'tir. Şimdi katsayılarının eşit olduğunu gösterelim. Genellikten birşey kaybetmeden varsayabiliriz.
Örnek11'e göre kümesi lineer bağımsız olduğundan katsayılar sıfıra eşittir. O halde,
, yani
'dır.
İstenen elde edildi.
Lineer bağımsızlık veya bağımlılık cisme göre değişebilir. Bunun için örnekler verelim:
.
O halde ve lineer bağımsızdır.
aynı zamanda kendi üzerinde de bir vektör uzayıdır. Şimdi kümesini bu koşullar altında inceleyelim. 'yi yine üzerinde bir vektör uzayı olarak düşündüğümüz için skalerleri 'den seçebiliriz. ve olarak seçilirse
olduğundan ve lineer bağımlıdır.
Peki ve lineer bağımlı mıdır lineer bağımsız mı? Size böyle bir soru sorulduğunda şunu söylemesiniz:
"Hangi cisim üzerinde?"
üzerinde ise lineer bağımlı, üzerinde ise lineer bağımsızdır.