Euler formülü
Euler denklemi,
Bir örnekle ispatı
Bu basit türev denklemlerini kullanarak,
Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:
Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.
Formülün varyantları
Euler formülü'nde x yerine
- ,
- ,
- ,
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:
Cebirsel gösterim
ifadesinde x yerine konursa
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
- ,
- elde edilir
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)
ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla
toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa
İki katlı üstel
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
x yerine
- konursa;
İmajiner trigonometrik
x-->ln(x) alınırsa
Karma bağıntılar
Üslerin toplamına göre
ve
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
sonuç olarak
elde edilir.
ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.
Üslerin çarpımına göre
Buradaki ifadeler
veya
eşitliğidir.
x yerine -x konursa;
Bell sayıları ile ilgisi
Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.