Denklemlerin doğasına ilişkin bu oldukça görsel incelemeye başlamadan önce, bir denklemin bir ilişki olduğunu ve bu ilişkinin birden fazla şekilde yazılabileceğini hatırlamalıyız.
Bu makale boyunca, uzun zaman önce öğrendiğiniz eski gelenekleri unutmanız ve unutmanız önemlidir, çünkü bu tamamen yeni (en azından benim için) bir düşünce biçimidir.
Okulda çoğumuz bir denklemin dengede eski bir ölçek gibi olduğunu öğrendik.
Dengeyi sağlamanız gerekir, bu yüzden bir tarafa bir sayı eklerseniz, diğer tarafa da aynı numarayı eklemeniz gerekir. Elbette aynı şey diğer operasyonlar için de geçerli.
Bu, bir denklemin gerçekten tek bir şey söylemesine rağmen birden fazla şekilde temsil edilebileceği anlamına gelir. Örneğin, a + b = c denklemine bir göz atalım, burada a, b ve c bu denklemi sağlayan keyfi sayılardır.
Bu ilişki aslında üç farklı şekilde temsil edilebilir, yani
Bunları ilk denklemde değiştirirseniz, temsil aynı kalır çünkü a + b = b + a , eğer onları ikinci denklemde değiştirirseniz, üçüncü elde edersiniz ve bunun tersi de olur, ancak ilişkiyi değiştirmezsiniz ( denklemin gerçeği).
A ve c'yi değiştirirseniz bunun doğru olmadığını unutmayın !
Bu simetriyi tüm temsillerle birlikte tek bir nesnede göstermenin bir yolu olmalı, sonra asimetrilerle ilgili bazı kurallarla birlikte geliyor.
Ne oldu. Var!
Matematiksel grafikler kullanmanızı öneririm.
Bir grafik, düğümleri birbirine bağlayan düğümlerden ve kenarlardan (ilişkiler) oluşur.
Örneğin, Facebook gibi bir sosyal ağı, insanları düğümler ve arkadaşlıklar kenarları olan dev bir grafik olarak görüntüleyebilirsiniz.
Denklem grafiğimizdeki düğümler ve kenarlar sırasıyla sayılar ve sayılar arasındaki işlemler olacaktır. Bu şekilde, tüm temsilleri tek bir nesnede özetliyoruz.
Size yeni notasyonu vereyim ve sonra neden bu kadar harika olduğunu açıklayayım.
Aşağıdaki grafik (dilerseniz üçgen) a + b = c denklemini temsil eder .
Öncelikle, c'den gelen kenarların a ve b'yi işaret eden oklar şeklinde (yakından bakarsanız) yönlendirildiğine dikkat edin .
Bu, c ve diğer iki sayı arasındaki asimetrileri gösterir .
Buna ek grafik diyelim .
Peki bunu nasıl okuyacağız?
Bu grafiği üç şekilde okuyabilirsiniz. Kural, iki düğüm (sayı) arasındaki bir kenarı takip ederseniz, bu toplam veya farkın karşılık geldiği şey, kalan sayıya eşittir.
Örneğin, yukarıdaki üçgende. Yönlendirilmiş kenarı c'den a'ya takip edersek, c - a = b der, c'den b'ye diğer yönlendirilmiş kenarı takip edersek c - b = a der ve a'dan b'ye bağlanan kenarı izlersek her iki yönde de a + b = c alacağız.
Bence bu, genç öğrencilere denklemleri nasıl çözeceklerini öğrenmek için zaten iyi bir anımsatıcı kuraldır.
Denklemin her iki tarafında da işlemler varsa nasıl olur?
Aşağıda a + b = c + d denkleminin grafiği yer almaktadır .
Bunun yukarıdaki mantıkla ne kadar iyi hizalandığına dikkat edin, örneğin a + b ne olursa olsun ortadaki boş düğüm tarafından temsil edilir ve düğümü boş düğümden d numarasına kadar takip edersek, o zaman bu a + b - d = c.
Burada durmayacağız. Tam olarak aynı desene sahip ancak farklı işlemlere sahip başka bir üçgenimiz var - çarpımsal grafik.
A⋅ b = c şeklinde bir denklemimiz olduğunu hayal edin . Bunun yine üç temsili vardır.
Grafikleri renklendirmemize gerek yok , ancak yakında göreceğiniz gibi biraz sonra yardımcı olacak.
Uyarı yeniden arasındaki simetri bir ve b olarak arasındaki eğri simetri bir ve c ve b ve c .
Elbette bu üçgen için de aynı kurallar geçerlidir, yani bir kenarı takip ederiz ve karşılık gelen hesaplama kalan düğüme eşittir.
Bu kuralın bu grafikte de anlamlı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
Bunları birleştirip, çizginin y koordinatı cinsinden x koordinatı için bir formül bulmaya karşılık gelen bir denklem çözelim.
X için çözmemiz gereken aşağıdaki denkleme sahip olduğumuzu varsayalım :
ax + b = y.
Bunu yeni aracımızla tek adımda çözeceğiz!
Bu denklemin grafik evrenimizde gerçekte neye benzediğini görelim.
Burada mantık değeri ne olursa olsun olmasıdır balta biz eklerseniz (Çarpımsal üçgenin tepesinde etiketsiz köşe tarafından temsil edilmektedir b aldığımız y .
Şimdi gelen kenar izleyerek bilinmeyen mavi vertexe katkı üçgen aşağı çökebilir y için b . Biz alırız
ve yb'den a'ya doğru kenarı takip ederek cevabı doğrudan bu üçgenden okuyabiliriz.
x = (y - b) / a.
Pek çok yasa bizim için ikinci doğa haline geldi. Ancak bu yasalar, bu üçgen evrende bel kemiğimizde değildir, bu yüzden onlarla denklem çözmede etkili olmak için kendimizi onlara alıştırmalıyız.
Bazı kanunları belirleyelim ve bunları yeni görsel dilimizde yazalım.
Örneğin birleşme yasasına sahibiz , yani a + (b + c) = (a + b) + c.
Bu, tek bir grafikte formüle edilebilir.
Aynı şekilde, dağılım yasasını a ⋅ (b + c) = a ⋅b + a ⋅ c olarak yazabiliriz
İsterseniz başka kanunlar da bulabilirsiniz.
Henüz tartışmadığımız bir şey var. Ve bu şu:
Asimetrik bir ilişkide iki sayıyı değiştirirseniz ne olur?
Peki, "a + b = c" üçgene bir göz atalım.
Örneğin a ve c'yi değiştirirsek , denklem artık geçerli olmaz, ancak eğer b'yi tersiyle değiştirirsek (bu toplam durumda -b ile) o zaman üçgen doğru ilişkiyi gösterecektir.
Yukarıdaki üçgeni aşağıdakilerle karşılaştırın:
Bu üçgen elbette şunu söylüyor:
Bir sayıyı bir kesire nasıl böleceğinizi unuttuğunuzu varsayalım, yani c / (a / b) nedir? ancak ac / (bc) = a / b olduğunu hatırlıyorsunuz .
İşte bir numara.
İndirgeme kuralı ac / (bc) = a / b (geri çağırma, c (a / bc) yazılabilir) aşağıdaki şekilde yazılabilir:
A / b'den c'ye, yani (a / b) / c = a / (bc) kenarını takip ederek bir kesri bir sayıya nasıl böleceğinizi hemen ücretsiz olarak aldığınıza dikkat edin .
Peşinde olduğumuz bu değildi, ama bedava yemek yiyeceğiz, değil mi?
Çarpımsal üçgenler için yukarıdan gelen asimetrik kurala göre, bu aşağıdakine eşdeğerdir:
ve bu tam olarak c / (a / b) = bc / a olduğunu söylüyor ve bu tabii ki bir kesire bölme kuralı (bunun tersiyle çarparsınız).
Denklemleri bu şekilde çözmenin sadece yüzeyini kazıdık ve muhtemelen keşfedilecek birçok ilginç model var. Bunu yapmanı öneririm. En azından yapacağım.
Üs almaya ne dersiniz? Sorduğuna sevindim! Bu, güçleri, kökleri ve logaritmaları birbirine bağlayan tamamen asimetrik bir üçgeni keşfedeceğimiz sonraki makale için.
Yapay Zekaya Giriş Yapay Zeka (AI), endüstrilerde devrim yaratma, yaşama ve çalışma şeklimizi değiştirme ve topluma sayısız fayda sağlama potansiyeline sahip, hızla gelişen bir teknolojidir. Ancak, her yeni teknolojide olduğu gibi, dikkate alınması gereken etik hususlar da vardır.
Albert Einstein'ın ilk karısı olan Mileva Maric, kocasının fizik alanındaki çığır açan çalışmasına yaptığı potansiyel katkılarla ilgili olarak uzun süredir spekülasyon ve tartışma konusu olmuştur. Görelilik ve kütle-enerji denkliği teorileriyle evren anlayışımızı sonsuza dek değiştiren Einstein, geniş çapta 20. yüzyılın en etkili bilim adamlarından biri olarak kabul edilirken, Maric'in çalışmalarındaki rolü genellikle göz ardı edildi veya küçümsendi.
Rust'ın rand kasası için daha iyi bir kriptografik olmayan yazılıma ihtiyacı var. Bu, bir tane tasarlamaya nasıl başladığımın bir açıklaması.
Gözlerimi kapatıp zamanda geriye döndüğümde, profesör kara tahtanın yanında dururken, üzerine tebeşirle matematiksel tanımlar yazarken arka sırada oturan ve üzgün görünen bir üniversite öğrencisi görüyorum. Profesör tahtaya her yazı yazışında tıklama, tıklama, tıklama sesi hala açıktı.
Hepimiz çocukken iki sayıyı nasıl çarpacağımızı öğrendik. (😄) 'yı unutmuşsak, 19 ve 95 sayılarının nasıl çarpılacağına bakalım.
Aşağıdaki makale, Florida Üniversitesi'nde lisans öğrencisiyken 2014'te yazılmıştı; matematik bölümünün matematik tarihi ve / veya felsefesi üzerine yazmak için Robert Long Ödülü'nü kazandı. Araya giren zamanda, matematiksel nesnelerin ontolojik / epistemolojik durumuna ilişkin görüşlerim bir şekilde gelişti.