Yunan matematikçilerin gelecek nesillere miras olarak bıraktıkları çözülememiş problemler arasında şu üçü dilden dile dolaşmıştır:
1. Çemberin karelenmesi
2. Küpün iki katına çıkartılması
3. Bir açının üçe bölünmesi
Sadece ölçüsüz cetvel ve pergel ile bu üç problemin çözülebilirliği haklı olarak uzun yıllar almıştır. Çünkü çözülmesi mümkün değildir. Dolayısıyla aslında zaman alan bu üç problemin sadece bu araçlarla çözülemeyişinin ispatlanmasıydı.
Bu arada daha net anlaşılması adına ölçüsüz cetvel ve pergelden ne anlamalıyız?
- Ölçüsüz cetvelle sadece verilen iki noktayı birleştiren bir doğru çizebiliriz.
- Pergel ile de merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizebiliriz.
Bu iki aletin bunlar dışında kullanımına izin yok. Mesela iki alet de uzaklığın aktarımı olarak kullanılamaz, bu yüzden ölçüsüz cetvel ölçülendirilemez ya da herhangi bir şekilde işaretlenemez ve pergelin kullanımı her iki ucu da kağıt üzerinden kalkmasıyla sonlandırılmalıdır.
1.Çemberin Karelenmesi
Problem: Ölçüsüz cetvel ve pergel ile verilen bir dairenin alanına eşit alanlı bir kare oluşturmak mümkün müdür?
On dokuzuncu yüzyıla gelindiğinde matematikçiler sadece bu iki aletle bu işin başarılamayacağını ispatladılar. Ve bu ispat geometri değil cebir fikrini barındırıyordu. Belki de ispatın bu kadar gecikmesinin bir sebebi de bu olabilir.
Yarıçapı r olan bir dairenin alanı dir. Aynı alana sahip bir karenin bir kenarı da a birim olsun. Bu durumda olmalıdır. Buradan da olur. Yani sadece bu iki aracı kullanarak uzunluğunu çizebilseydik problem çözülmüş olacaktı. Ama ne yazık ki bu mümkün değildir. Lindmann tarafından 1882 yılında pinin aşkın bir sayı olduğu ve aşkın sayıların da sadece cetvel ve pergel yardımıyla çizilemeyeceğinin gösterilmesiyle bu serüven son bulmuş oldu.
2. Küpün İki Katına Çıkartılması
Problem: Ölçüsüz cetvel ve pergel ile verilen bir küpün hacmini iki katına çıkarmak mümkün müdür?
Ölçüsüz cetvel ve pergel ile verilen bir karenin alanını iki katına çıkarmanın yolu: Bir kenarı a birim olan karenin alanının iki katına eşit olan bir kare çizmek istiyoruz. Karenin alanı a2 dir. Bizden istenen yeni karenin bir kenarı b birim olsun. Bu durumda b2=2a2 olmalıdır. Buradan da gelir. O halde bize verilen bir a birim uzunluğundaki doğru parçasının katını çizebilirsek problem çözülmüş olur. Çözüm de aşağıdaki şekilde görülmektedir.
Verilen bir karenin alanının iki katına eşit olan bir kareyi bu araçlarla elde ettikten sonra, akla üç boyuta geçerek bu sorunun gelmesi gayet tabi bir durumdur. Lakin düzlemde başarılabilen uzayda başarılamamıştır.
Ama bu alanda Hippocrates’in (Yunan tıbbının dehası olan değil) çalışmaları takdire şayandır. Hippocrates, problemin verilen bir doğru ile onun iki katı olan başka bir doğru arasında orta orantı bulmaya indirgenebileceğini göstermiştir.
Şimdi bunu nasıl yaptığını görelim:
a ve 2a verilen iki doğru ise x ve y onlar arasına yerleştirilebilecek orta orantı ise, a,x,y ve 2a geometrik olarak artar, yani
dır.
ilk iki orandan dir. İkinci oranlardan dir. Bu denklemlerden
buradan da olduğu ortaya çıkar.
Başka bir deyişle, kenar uzunluğu x birim olan küpün hacmi, kenar uzunluğu a birim olan küpün hacminin iki katına eşittir. Yalnız katı cisim geometrisini düzlem geometrisine indirmeyi başarmasına rağmen ölçüsüz cetvel ve pergelle orta orantıyı bulmayı başaramamıştır.
3. Bir Açının Üçe Bölünmesi
Problem: Ölçüsüz cetvel ve pergel ile verilen bir açı üç eş parçaya bölünebilir mi?
Ölçüsüz cetvel ve pergel ile herhangi bir açı çok kolay bir şekilde iki eş parçaya ayrılabilir. Aşağıdaki şekilde bunu görmek mümkündür.
Peki üç eş parçaya ayrılması mümkün mü?
1837’de Paris’teki Ecole Polytechnique’den Pierre Wantzel (1814-1848) herhangi bir açının sadece ölçüsüz cetvel ve pergel kullanılarak üçe bölünemeyeceği ile ilgili ilk formel ispatı verdi. Liouville’in Journal de Mathematiques dergisinde yayınlanan aynı makalede, Wantzel küpün iki katına çıkartılması probleminin anlamsızlığını da özel bir yöntemle gösterdi. Bu sonucun anahtarı bu iki problemin denklemler teorisindeki sorulara dönüştürülmesiydi. Wantzel ölçüsüz cetvel ve pergelle inşa edilebilecek rasyonel katsayılı polinom bir denklemin çözümüne izin veren basit cebirsel kriterler elde etti. Klasik geometri problemleri olan açının üçe bölünmesi ve küpün iki katına çıkartılması Wantzel’in şartlarını sağlamayan bir kübik denklem vermektedir ve sonuç olarak söz konusu inşalar gerçekleştirilemez.
Aykut Çelikel
Kaynakça: BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017
Matematiksel