Bir dizi içinde düzlemde bir noktanın bir mahalle etrafında küçük bir disk halinde bulunur .
Gelen topoloji ve ilgili alanlarda matematik , bir mahalle (ya mahalle ) bir temel kavramlardan biridir topolojik uzay . Açık set ve iç mekan kavramlarıyla yakından ilgilidir . Sezgisel olarak konuşursak, bir noktanın komşuluğu, kümeden ayrılmadan o noktadan herhangi bir yöne bir miktar uzağa hareket ettirilebilen o noktayı içeren bir noktalar kümesidir.
Tanımlar
Bir noktanın mahallesi
Eğer bir olan topolojik uzay ve bir noktadır , bir mahalle içinde bir olan alt küme ait olduğunu bir içermektedir açık kümesi içeren ,
Bu aynı zamanda denk olmak iç arasında .
Mahallenin kendisinin açık bir set olması gerekmez. Açıksa buna biraçık mahalle . Bazı matematikçiler mahallelerin açık olmasını ister, bu yüzden kurallara dikkat etmek önemlidir.
Kapalı bir dikdörtgen, herhangi bir köşesinin (veya sınırın üzerindeki noktaların) bir komşusu değildir.
Noktalarının her birinin komşuluğu olan bir küme, her noktasını içeren açık kümelerin birleşimi olarak ifade edilebildiği için açıktır. Şekilde gösterildiği gibi bir dikdörtgen, tüm noktalarının bir komşusu değildir; dikdörtgenin kenarları veya köşelerindeki noktalar, dikdörtgenin içerdiği herhangi bir açık kümede yer almaz.
Bir noktanın tüm mahallelerinin toplanmasına o noktada mahalle sistemi denir .
Bir setin mahalle
Eğer S a, alt kümesi topolojik boşluk, X sonra mahalle arasında S bir dizi V açık kümesi içerir u ihtiva eden S . Bir dizi izler V bir mahalle S o noktaları tüm bir mahalle ve ancak eğer S . Ayrıca, ancak ve ancak S , V'nin iç kısmının bir alt kümesiyse , V , S'nin bir komşuluğudur . Bir mahalle S ayrıca açık kümesi olan bir denir açık mahalle arasında S . Bir noktanın komşuluğu bu tanımın sadece özel bir durumudur.
Bir metrik uzayda
Bir dizi düzlemde ve tek tip bir mahalle arasında .
Gerçek sayı doğrusundaki bir
a sayısının epsilon mahallesi .
Bir de metrik uzay , bir dizi bir olan mahalle bir noktanın bir mevcutsa açık topu merkezi ile ve yarıçapı , öyle
içinde bulunur .
denir üniforma mahalle kümesinin pozitif bir sayı vardır eğer öyle ki tüm elemanları arasında ,
içinde bulunur .
İçin -neighbourhood kümesinden tüm noktaları kümesi olan daha az bir uzaklıkta olduğu gelen (ya da eşdeğer şekilde, radius açık topları her birleşimi olan bir noktada en ortalanır ):
Buradan, bir mahallenin tek tip bir mahalle olduğu ve bir kümenin, ancak ve ancak bir değeri için bir mahalle içeriyorsa tek tip bir mahalle olduğu sonucu çıkar .
Örnekler
M kümesi, a sayısının bir komşuluğudur, çünkü M'nin bir alt kümesi olan a'nın bir ε-komşuluğu vardır.
Normal Öklid metriğine sahip gerçek sayılar kümesi ve şu şekilde tanımlanan
bir alt küme verildiğinde:
Sonra kümesi için bir mahalle arasında doğal sayılar , ama değil bu setin tek tip bir mahalle.
Mahallelerden topoloji
Yukarıdaki tanım, açık küme kavramı zaten tanımlanmışsa kullanışlıdır . Bir topolojiyi tanımlamanın alternatif bir yolu vardır, önce komşuluk sistemini tanımlayın ve ardından kümeleri noktalarının her birinin bir komşuluğunu içeren kümeler olarak açın.
Bir komşuluk sistemi, her bir giriş için alt kümelerin bir filtresinin atanmasıdır , öyle ki
- nokta her bir eleman olarak
- Her de ihtiva etmekteyse de her biri için bu tür in , içinde .
Her iki tanımın da uyumlu olduğu gösterilebilir, yani açık kümeler kullanılarak tanımlanan komşuluk sisteminden elde edilen topoloji orijinaldir ve bir komşu sistemden başlarken bunun tersi de geçerlidir.
Tek tip mahalleler
Bir de tek tip boşluk , bir denir üniform mahalle arasında bir mevcutsa maiyetini böyle tüm noktalarını içeren olduğunu bazı noktasına -yakın ; yani, herkes için .
Mahalle silindi
Bir mahalle silinen bir noktanın (bazen denir delinmiş mahalle ) bir mahalle olmadan . Örneğin, aralık bir mahalle içinde gerçek hat seti böylece, bir silinmiş mahalle . Belirli bir noktanın silinmiş bir mahallesi, aslında noktanın bir mahallesi değildir. Silinen komşuluk kavramı, bir fonksiyonun sınırının tanımında ortaya çıkar .
Ayrıca bakınız
Referanslar