Ortogonal Polinomlar – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti
Ortogonal Polinomlar
Polinomlarla ilgili bu bölümü bitirmeden önce, ortogonal polinomlar olarak bilinen özel ama çok önemli bir polinom sınıfını tartışmamız uygun olacaktır. Ortogonal polinomlar, birbirlerine göre ve bağımsız değişkenin önceden belirlenmiş bir aralığı boyunca davranışları açısından tanımlanır.
Bu nedenle, belirli bir polinomun dikliği önemli bir kavram değildir. Aslında, bu ifade tek başına bir anlam ifade etmez. Ortogonallik kavramı, söz konusu nesnenin ortogonal olduğu bir şeyin varlığını ima eder. Polinomlar söz konusu olduğunda, bu bir şey diğer polinomlar olur.
Bölümde vektörler için diklik kavramını tartıştık ve bir vektörler kümesinin ortogonal olması için kümenin hiçbir öğesinin kümenin diğer üyeleri cinsinden ifade edilemeyeceğini bulduk. Bu aynı zamanda ortogonal polinomlar için de geçerli olacaktır.
Vektörler söz konusu olduğunda, küme tamamlandıysa, bir vektör uzayını kapsadığı söylenir ve bu uzaydaki herhangi bir vektör, ortogonal temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.
Ortogonallik kavramı iki şeyin birbirine dik olmasına bağlı gibi göründüğünden, f1(x) ve f2(x) fonksiyonlarının her yerde birbirlerine dik olmaları durumunda ortogonal olduklarını söylemek makul görünmektedir.
Her fonksiyonun her noktasında tanımlanmış rt1(x) ve rt2(x) teğet vektörlerini hayal edersek, o zaman denklem (3.3.1)’den f1(x) ve f2(x)’in her bir değerde karşılıklı olarak dik olduğu sonucuna varılabilirse x’in x’in aralığının, her bir x değerinin bir boyutu temsil ettiği ve böylece rt1 (x) vektörlerinin o uzaydaki temel vektörleri temsil ettiği sonsuz boyutlu bir vektör uzayını temsil ettiği düşünülürse, o zaman ortogonallik şu şekilde ifade edilebilir:
Burada, ağırlık fonksiyonu olarak adlandırılan ek bir w(x) fonksiyonu ekledik. Dolayısıyla, doğru ifade, eğer denklem (3.3.4)’ü sağlıyorlarsa, bir w(x) ağırlık fonksiyonuna göre a- x -b aralığında iki fonksiyonun ortonormal olduğu söylenir. Bu bölümde, polinomlar olarak bilinen fonksiyonların alt kümesini ele alacağız.
Denklem (3.3.4)’ten ortonormal polinomların ağırlık fonksiyonu ve x aralığı tarafından tanımlanan kümeler halinde geldiği açıktır. Bu parametreler sonsuz sayıda bu tür küme sağlar, ancak daha önemli olanlardan yalnızca birkaçını tartışacağız. Bağımsız değişkenin aralığını üç farklı kategoriyle karakterize etmeyi nispeten kolay bulsak da, ağırlık fonksiyonu için koşullar çok daha az katıdır. Gerçekten de w(x) üzerindeki tek bir kısıtlama olabilir.
Pozitif olmayan ağırlık fonksiyonları için ortogonal fonksiyonlar bulunabilirken, bunların benzersiz olmadığı ve dolayısıyla iyi tanımlanmadığı ortaya çıkıyor. Ağırlık fonksiyonunu basitçe a-b aralığındaki pozitif tanımlı fonksiyonlarla sınırlamak, yine de sonsuz sayıda bu tür ağırlık fonksiyonlarına ve dolayısıyla sonsuz sayıda ortogonal polinom kümesine izin verir.
Bu tür polinomların nasıl üretilebileceğini görmek için ortogonallik koşullarını kullanarak ortogonal polinomları aramaya başlayalım. Basit olması için, a’dan b’ye sonlu bir aralığı ele alalım.
Ortogonal polinom Nedir
Ortogonal Nedir
Polinom Temel Kavramlar
Şimdi bir ortogonal polinom φi(x), polinomlar kümesinin kendisinden başka her üyesine ortogonal da olacaktır. Ek olarak, polinomların tam bir küme oluşturacağını (kanıtlanabileceğini) varsayacağız, böylece herhangi bir polinom, aynı derecede veya daha az ortogonal polinomların doğrusal bir kombinasyonundan da üretilebilir. Böylece, eğer qi(x) i dereceli keyfi bir polinom ise yazabiliriz.
Ui(x) fonksiyonu, φi(x) polinomlarının üretici fonksiyonu olarak adlandırılır ve kendisi 2i dereceli bir polinomdur, dolayısıyla i’inci türev Ui(i) i’inci dereceli bir polinomdur. Şimdi denklemi (3.3.7) kısım kısım i-kez elde etmek için de entegre edin.
Bu, denklem tarafından verilen 2i sınır koşullarına bağlı olarak 2i+1 mertebesinde bir diferansiyel denklem oluşturur. Çözümü benzersiz bir şekilde belirtmek için gereken geri kalan koşul, φi2(x) birliğinin integralini yapmak için gereken normalizasyon sabitinden gelir. Dolayısıyla bu noktada Ui(x)’i bir ölçek faktörü kadar belirsiz bırakabiliriz. Şimdi bazı özgül ağırlık fonksiyonları w(x) için denklem (3.3.9) tarafından verilen sınır koşullarına bağlı olarak (3.3.10) denkleminin çözümüne de dönelim.
-1’den +1’e kadar sonlu aralığı kapsayan ve üyeleri w(x) = 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan ortogonal polinomlar kümesi, açıkça ortogonal polinomların da en basitidir. Kendimizi böylesine belirli bir aralıkla sınırlamak için gereksiz yere kısıtlayıcı davrandığımız söylenebilir, ancak durum böyle değil. Denklem (3.3.15), formun lineer dönüşümü yoluyla herhangi bir sonlu aralığa da dönüştürülebilir.
Legendre Polinomları
Legendre polinomlarının herhangi bir sonlu aralıkta tanımlanabileceğini belirtmişken, örneğin aralık gibi bir aralığa ulaşmak için gereken doğrusal dönüşüm polinomları etkilemediğinden, farklı şekilde ele alınması gereken üç ayrı aralık olduğundan daha önce de bahsetmiştik.
Burada bunların ikincisine geçiyoruz – 0 ≤ -x ≤ -∞ olan yarı sonsuz aralık. Açıkçası, bu aralığın sınırlarına herhangi bir sonlu aralıktan doğrusal bir dönüşümle de ulaşılamaz.
Bu sonucu elde edecek doğrusal olmayan bir dönüşüm, sonlu aralıkta elde edilen herhangi bir polinomun polinom doğasını da yok edecektir. Ek olarak, x’teki herhangi bir polinom ıraksayarak normalizasyon koşulunu karşılamayı imkansız hale getireceğinden, x olarak asimptotik olarak sıfıra yaklaşan bir ağırlık fonksiyonunu dikkate almamız da gerekecek.
Uzaklaşan bir polinomu x → ∞ olarak sıfıra zorlayacak belki de en basit ağırlık fonksiyonu e-α x’tir. Bu nedenle ortogonal polinomlarımız şeklini de alacaktır.
Hermite Polinomları
Açıkçası, sonlu bir aralıktan veya yarı-sonsuz aralıktan lineer dönüşüm yoluyla ulaşılamayan kalan aralık, tam sonsuz aralıktır -∞ ≤ -x ≤ -+∞. Yine x’te simetrik olması için polinomu her iki uç noktada sıfıra götürecek bir ağırlık fonksiyonuna ihtiyacımız olacak. Böylece yarı-sonsuz aralık için ağırlık fonksiyonu da çalışmaz. Bunun yerine, en basitini de seçiyoruz.
Artık gerçek değişkenin üç temel aralığını kapsayan ortonormal polinom kümeleri de geliştirdik. Diğer ağırlık fonksiyonlarına göre ortogonal olan başka birçok polinom geliştirilebilir, ancak bu polinomlar en önemlileridir ve bilimin her alanında da sıklıkla görülürler.