Mart ayında yayınlanan yaklaşık 400 sayfalık bir makalede, Columbia Üniversitesi’nden matematikçiler Mohammed Abouzaid ve Andrew Blumberg, son yıllarda geometrideki en büyük ilerlemelerden birinin büyük bir uzantısını oluşturdular. Üzerinde inşa ettikleri çalışma, Vladimir Arnold tarafından 1960’larda yapılan ve iyi bilinen bir varsayımla ilgilidir. Arnold klasik mekanik okuyordu ve gezegenlerin yörüngelerinin ne zaman sabit olduğunu ve ne zaman belirli bir süre sonra orijinal konfigürasyonlarına geri döndüğünü bilmek istedi.
Arnold’un çalışması, zıplayan bilardo topları veya yörüngedeki gezegenler gibi fiziksel bir sistemin alabileceği tüm farklı konfigürasyonlarla ilgili bir matematik alanındaydı. Bu konfigürasyonlar, simplektik geometri adı verilen gelişen bir matematiksel alanda yer alan, faz uzayları adı verilen geometrik nesnelerde kodlanmıştı.
Arnold, belirli bir türdeki her faz uzayının, tanımladığı sistemin başladığı yere geri döndüğü minimum sayıda konfigürasyon içerdiğini öngördü. Bu, bilardo toplarının daha önce tuttukları konumları ve hızları işgal etmeye gelmesi gibi olurdu. Bu minimum sayının en azından, bir küre (deliği olmayan) veya bir halka (bir tanesi olan) gibi nesneler şeklini alabilen tüm faz uzayındaki deliklerin sayısına eşit olduğunu öngördü.
Arnold varsayımı, bir şekil hakkında temelde farklı iki düşünme biçimini birbirine bağladı. Matematikçilerin, belirli bir şekildeki nesnelerin hareketi hakkında (kaç tane konfigürasyonun nesneyi başladığı yere geri döndürdüğüne yansır), yumuşak topolojik özellikleri (kaç deliği olduğu) açısından bilgi edinebileceğini öne sürdü.
“Tipik olarak, basit şeyler, tamamen topolojik şeylerden daha zordur. Stanford Üniversitesi’nden Ciprian Manolescu, bu nedenle topolojik bilgilerden basit bir şekilde bir şeyler söyleyebilmek ana ilgi alanıdır” dedi.
Arnold varsayımındaki ilk büyük ilerleme, on yıllar sonra, 1980’lerde, Andreas Floer adında genç bir matematikçinin delikleri saymak için yeni ve radikal bir yol geliştirmesiyle gerçekleşti. Floer’in teorisi, kısa sürede simplektik geometride merkezi araçlardan biri haline geldi. Yine de matematikçiler Floer’in fikirlerini kullanırken bile, onun teorisinin kendisini aşmanın – Floer’in açtığı yeni bakış açısının ışığında başka teoriler geliştirmenin – mümkün olabileceğini düşündüler.
Sonunda Abouzaid ve Blumberg başardı. Mart makalelerinde, Floer’ın öncülük ettiği delikleri sayma teknikleri açısından bir başka önemli topolojik teoriyi yeniden oluşturuyorlar. Floer’ın çalışmasını yankılayarak, daha sonra bu yeni teoriyi Arnold varsayımının bir versiyonunu kanıtlamak için kullanırlar. Bu erken kavram kanıtı sonucu, matematikçilerin sonunda Abouzaid ve Blumberg’in fikirleri için daha fazla kullanım bulacağını tahmin ediyor. Cambridge Üniversitesi’nden Ailsa Keating, “Bu, hem kanıtladığı teorem hem de sunduğu teknikler açısından alan için çok önemli bir gelişme” dedi.
Hareketin geometrisi
Fiziksel bir sistemin konfigürasyonlarının geometrik bir nesne oluşturmak için nasıl kullanılabileceğini anlamak için, uzayda hareket eden bir gezegen hayal edin. Gezegenin konumu ve momentumu, her özellik için üç olmak üzere altı sayı ile tanımlanabilir. Gezegenin konumunun ve momentumunun farklı konfigürasyonlarının her birini altı koordinatlı bir nokta olarak temsil ederseniz, sistemin faz uzayını yaratmış olursunuz. Bu durumda, düz altı boyutlu uzay şekline sahiptir. Tek bir gezegenin hareketi, bu boşluktan geçen bir çizgi olarak temsil edilebilir.
Faz uzayları çok farklı şekiller alabilir. Örneğin, sallanan bir sarkacın konumu bir daire üzerinde bir nokta olarak ve momentumu bir çizgi üzerinde bir nokta olarak temsil edilebilir. Bir sarkacın faz uzayı, bir silindir oluşturan bir çizgi ile çaprazlanmış bir dairedir.
Simplektik geometri, simplektik manifoldlar olarak adlandırılan genel faz uzaylarının özelliklerini inceler. Bu manifoldlarda, bazı yollar kendi kendilerine dönerek kapalı yörüngeler oluştururlar. Bu kapalı yörüngeleri tanımlamak klasik ve zorlu bir problemdir. Daha basit bir soru bile – fiziksel bir sistemin kapalı yörüngeleri var mı? — cevaplaması genellikle zordur. Bu nedenle, 1960’larda Vladimir Arnold, kapalı yörüngeleri saymanın zor görevini, daha basit olan delik sayma açısından yeniden şekillendirmeye çalıştı.
Sayma Delikleri
Delikler, geometrik şekiller gibi farklı boyutlara sahiptir. Tek boyutlu delikler bir lastik bandın iç kısmına benzer. İki boyutlu delikler, bir balonun içi gibi bir bölgeyi kaplar. Matematikçiler daha yüksek boyutlu delikler üzerinde çalışırlar, ancak onları görselleştirmek neredeyse imkansızdır. Daha düşük boyutlarda bile, delikler hakkındaki sezgimiz titrek: Bir kase bir delik midir? Bir samanın kaç deliği vardır? Topoloji alanında homoloji, delikleri saymanın resmi yoludur. Homoloji, her bir boyuttaki delik sayısı gibi bilgileri çıkarmak için kullanılabilen cebirsel bir nesneyi her şekle ilişkilendirir. İlişkilendirmeyi gerçekleştirmek için matematikçiler önce şekli farklı boyutlardaki üçgenlere benzeyen bileşen parçalarına ayırırlar: tek boyutlu çizgiler, iki boyutlu üçgenler, üç boyutlu dört yüzlüler vb. Bir tür cebir kullanarak, topologlar hangi bileşenlerin bir deliği çevrelediğini belirler, birbirine bağlı üç çizginin bir döngü oluşturması gibi. Floer’ın çalışması açıkça bir şekilde devrimciydi. Sadece bu sorun için değil, aynı zamanda alana bir bütün olarak bakma şekli için.”Bu hesaplamalar tipik olarak tamsayılar veya tam sayılar kullanılarak yapılır. Ancak, rasyonel sayılar (kesirler olarak ifade edilebilenler) veya bir saat gibi daireleri sayan döngüsel sayı sistemleri gibi diğer sayı sistemleri ile yapılabilirler.
Mors teorisi ve çeşitli sayı sistemleri
Çeşitli sayı sistemleri, Arnold varsayımının farklı varyantlarını üretir, çünkü kapalı döngülerin sayısını delik sayısıyla ilişkilendirme sorusu, bu delikleri saymak için kullandığınız sayı sistemine bağlı olarak biraz farklı şekilde ortaya çıkar.Abouzaid ve Blumberg’in son makalesi, homolojinin döngüsel bir sayı sistemi ile hesaplandığı varsayımını kanıtlıyor. Ancak oraya ulaşmak için önce, 30 yıldan daha uzun bir süre önce homolojiyi rasyonel sayılarla hesaplamayı mümkün kılacak tamamen yeni bir teori yaratan Andreas Floer’ın fikirlerini geliştirmeleri gerekiyordu.”Floer’in çalışması açıkçası bir şekilde devrimciydi. Sadece bu sorun için değil, aynı zamanda alana bir bütün olarak nasıl bakılacağı için de” dedi Cambridge’den Ivan Smith,
Arnold varsayımını kanıtlamak için Floer’ın kapalı yörüngeleri sayması gerekiyordu. Faz uzayı boyunca döngüler çizerek başladı ve ardından geometrik nesneler oluşturmak için komşu döngüleri birleştirdi. Bu geometrik nesnelerin en küçüğünün, onları oluşturan döngüler kapalı yörüngeler olduğunda ortaya çıktığını belirledi. Bu nesneler kritik noktalar olarak adlandırılan bir şeye karşılık gelir.
Matematikçiler zaten bu kritik noktaları incelemek için Mors teorisi olarak bilinen bir yönteme sahiptiler. Mors teorisini anlamak için, yavaşça suyla dolan bir kovada asılı duran bir simit hayal edin. Suyun yüzeyi dört farklı anda şekil değiştirir: yükselen su ilk kez simitin tabanına, deliğin tabanına, deliğin tepesine ve simitin tepesine dokunduğunda.
Yükselen su, şeklin homolojisini elde etmek için kullanılabilecek önemli topolojik bilgiler verir. Bu şekilde Mors teorisi, bir şeklin kritik noktalarını onun homolojisine ve dolayısıyla her boyuttaki delik sayısına bağlar.Blumberg, “Nesnenin topolojisini bir nevi tarıyorsunuz,” dedi.
Mors teorisi, Arnold varsayımını çözmek için neredeyse yeterliydi, ancak bir sınırlaması var: Genellikle yalnızca sonlu boyutlarda çalışır. Ancak Floer, Mors teorisini ilgilendiği döngülerin sonsuz boyutlu uzaylarına uygulamanın bir yolunu buldu. Yapısı Floer homolojisi olarak bilinir ve bu, Arnold varsayımını çözmenin köprüsü oldu: Arnold varsayımındaki kapalı yörüngeler kritik hale gelir. Floer’ın Morse teorisinin değiştirilmiş versiyonunu kullanarak homolojiye (veya boşluktaki delik sayısına) bağlı olan bir döngü uzayındaki noktalar.“[Floer] homoloji teorisi yalnızca manifoldunuzun topolojisine bağlıdır. [Bu] Floer’ın inanılmaz kavrayışı,” dedi İleri Araştırma Enstitüsü’nden Agustin Moreno.
Sıfıra bölme
Floer teorisi, ayna simetrisi ve düğümlerin incelenmesi de dahil olmak üzere, geometri ve topolojinin birçok alanında çılgınca yararlı oldu. Manolescu, “Konunun ana aracı bu,” dedi. Ancak Floer teorisi, Arnold varsayımını tamamen çözmedi çünkü Floer’in yöntemi yalnızca bir tür manifold üzerinde çalıştı. Sonraki yirmi yıl boyunca, simplektik geometriciler bu engeli aşmak için büyük bir topluluk çabası içine girdiler. Sonunda, çalışma, homolojinin rasyonel sayılar kullanılarak hesaplandığı Arnold varsayımının bir kanıtına yol açtı. Ancak delikler döngüsel sayılar gibi diğer sayı sistemleri kullanılarak sayıldığında Arnold varsayımını çözmedi.
Çalışmanın döngüsel sayı sistemlerini kapsamamasının nedeni, ispatın belirli bir nesnenin simetri sayısına bölünmesini içermesidir. Rasyonel sayılarda bu her zaman mümkündür. Ancak döngüsel sayılarla bölme daha titizdir. Sayı sistemi beşten sonra geri dönerse – 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4 sayarak – o zaman 5 ve 10 sayılarının her ikisi de sıfıra eşittir. (Bu, 13:00’in 13:00 ile aynı olmasına benzer.) Sonuç olarak, bu ayarda 5’e bölme, sıfıra bölme ile aynıdır – matematikte yasak olan bir şeydir. Birisinin bu sorunu aşmak için yeni araçlar geliştirmesi gerektiği açıktı. Abouzaid, “Birisi bana Floer teorisinin gelişmesini engelleyen teknik şeylerin neler olduğunu sorarsa, akla gelen ilk şey, bu paydaları tanıtmamız gerektiğidir” dedi. Floer’in teorisini genişletmek ve Arnold varsayımını döngüsel sayılarla kanıtlamak için Abouzaid ve Blumberg’in homolojinin ötesine bakmaları gerekiyordu.
Topolog kulesine tırmanmak
Matematikçiler genellikle homolojiyi bir şekle belirli bir tarifi uygulamanın sonucu olarak düşünürler. 20. yüzyıl boyunca, topologlar homolojiye, onu yaratmak için kullanılan süreçten bağımsız olarak kendi terimleriyle bakmaya başladılar. “Tarifi düşünmeyelim. Tariften ne çıkacağını düşünelim. Bu homoloji grubu hangi yapıya, hangi özelliklere sahipti?” dedi Abouzaid.
Topologlar, homoloji ile aynı temel özellikleri karşılayan başka teoriler aradılar. Bunlar genelleştirilmiş homoloji teorileri olarak bilinir hale geldi. Temelde homoloji ile topologlar, tümü uzayları sınıflandırmak için kullanılabilecek, giderek karmaşıklaşan genelleştirilmiş homoloji teorilerinden oluşan bir kule inşa ettiler. Floer homoloji, zemin kat homoloji teorisini yansıtır. Ancak simplektik geometriciler, kulenin yukarısında topolojik teorilerin Floer versiyonlarını geliştirmenin mümkün olup olmadığını uzun zamandır merak ediyor: Genelleştirilmiş homolojiyi, tıpkı Floer’in orijinal teorisinin yaptığı gibi, sonsuz boyutlu bir ortamda bir uzayın belirli özellikleriyle birleştiren teoriler.
Floer, 1991’de 34 yaşında öldükten sonra, bu çalışmayı kendisi deneme fırsatı bulamadı. Ancak matematikçiler, fikirlerini genişletmenin yollarını aramaya devam ettiler.
Şimdi, yaklaşık beş yıllık bir çalışmanın ardından Abouzaid ve Blumberg bu vizyonu gerçekleştirdiler. Yeni makaleleri, daha sonra döngüsel sayı sistemleri için Arnold varsayımını kanıtlamak için kullandıkları Morava K-teorisinin bir Floer versiyonunu geliştiriyor. Keating, “Bunun bizim için Floer’ın orijinal çalışmasına kadar uzanan bir döngüyü tamamladığı hissi var” dedi.
Yüksek boyutlu delikleri saymak…
Morava K-teorisi, 1970’lerde topolojik teorilerin kulesini genişletmek için oluşturuldu. O zaman, bunun, basit geometri veya Arnold varsayımıyla açık bir bağlantısı yoktu. Tüm genel homoloji teorileri gibi, Morava K-teorisi de değişmezdir, yani temeldeki bir şeklin bazı temel ve değişmeyen özelliklerini yakalar. Abouzaid ve Blumberg, Morava K-teorisinin Floer versiyonunun Arnold varsayımının yeni bir versiyonunu kanıtlamanın anahtarı olduğunu fark ettiler.
Üretilmiş bu orijinal yöntem, belirli nesnelerin fazla sayılmasından kaynaklanan bir gereklilik olan belirli sayıda simetriye bölmeyi içerdiğinden, Arnold varsayımını döngüsel sayı sistemleriyle çözemedi. Ancak Morava K-teorisinin Floer versiyonu bu bölmeyi gerektirmez çünkü her nesne yalnızca bir kez sayılır. Sonuç olarak, matematikçiler artık bunu daha yüksek boyutlu delikleri saymak ve döngüsel sayı sistemlerini kullanarak Arnold varsayımını kanıtlamak için kullanabilirler. Ancak yazarlar, Floer Morava K-teorisi veya Floer homotopi teorisi olarak adlandırılan yeni buluşlarının gerçekten Arnold varsayımıyla ilgili olmadığı konusunda netler.
Blumberg, “Bunu Arnold varsayımını çözmek için yapmadık” diyor ve ekliyor, “Arnold olayı, doğru türde şeyler yaptığınızdan emin olmak için yapılan bir akıl sağlığı kontrolü gibidir.”
Matematikçiler, yeni Floer Morava K-teorisinin yalnızca Arnold varsayımı için değil, birçok problem için faydalı olacağı konusunda umutlu. Stony Brook Üniversitesi’nden ortak yazarlar Smith ve Mark McLean ile birlikte Abouzaid, simplektik geometride 25 yıllık bir varsayımı yanıtlayan yeni bir makalede kullanmaya başladı bile. Diğer uygulamaların izleyeceği neredeyse kesin ve matematikçiler yeni bir teorinin eşiğinde dururken tahmin edilmesi zor şekillerde. Johns Hopkins Üniversitesi’nde matematikçi ve Morava K-teorisinin mucidi Jack Morava, “Matematikle ilgili heyecan verici şeylerden biri de bu” dedi. “Bir kapıdan geçebilirsin ve tamamen farklı bir evrende kendini bulursun. Alice Harikalar Diyarında’ya çok benziyor.”