Ana içerik
Fizik Kütüphanesi
- Airbus A380 Kalkış Mesafesi
- Zaman, İvme ve İlk Hıza Göre Yer Değiştirmenin Hesaplanması
- Atış Hareketinde Yer Değişimi, İvme ve Hız'ın Grafikte Gösterimi
- Atış Hareketinde Yükseklik
- Atış Hareketinde Zamana Göre Maksimum Yer Değişimi
- Yüksekliğe Göre Çarpma Anındaki Hız
- g'yi Dünyadaki Yer Çekimi Alanının Değeri Olarak Görme
- Kinematik Formüller Nelerdir?
- Kinematik Denklem Seçimleri
- Sabit İvmeli Problemler Kurma
- Tek Boyutta Kinematik Problemler
Kinematik Formüller Nelerdir?
İvmenin sabit olduğu durumları analiz etmek için kullanabileceğiniz temel denklemler bunlardır:
Kinematik formüller nelerdir?
Kinematik formüller, aşağıda listelenmiş beş kinematik değişkeni ilişkilendiren bir dizi formüldür.
Eğer sabit ivme ye sahip bir nesne için bu beş değişkenden üç tanesini bilirsek, bilinmeyen değişkenlerden bir tanesini bulmak için aşağıdaki kinematik formülü kullanabiliriz.
Kinematik formüller genelde aşağıdaki dört denklem olarak yazılır.
Kinematik formüller sadece dikkate alınan zaman aralığında ivme sabit ise doğru olduğundan, bunları ivme değişirken kullanmamaya dikkat etmeliyiz. Ayrıca, kinematik formüller tüm değişkenlerin aynı yönü belirttiğini varsayar: yatay , düşey , vb.
Serbest uçan nesne nedir (örneğin eğik atış)?
Kinematik formüllerin sadece ivmenin sabit olduğu zaman aralıkları için geçerli olmasının, bu formüllerin uygulanabilirliğini önemli ölçüde kısıtladığı düşünülebilir. Bununla birlikte, hareketin en sık karşılaşılan formlarından birisi olan serbest düşüşte sabit ivme gözlemlenir.
Kütlelerinden bağımsız olarak, dünyadaki tüm serbest düşen nesneler (fırlatma hareketi veya eğik atış olarak da adlandırılır), büyüklükteki yer çekimine bağlı olarak aşağı yönlü sabit ivmeye sahiptir.
Serbest düşen bir nesne, sadece yer çekimi etkisiyle ivmelenen herhangi bir nesne olarak tanımlanır. Genelde hava direncinin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu varsayarız; bu, düşürülen, atılan veya herhangi bir şekilde havada serbestçe düşen her nesnenin büyüklükte aşağı yönlü sabit ivmeyle düşen bir nesne olarak kabul edildiği anlamını taşır.
Aslında bu hem garip hem de tesadüfidir. Gariptir; çünkü bu büyük bir kaya parçasının küçük bir çakıl taşı ile aşağı doğru aynı ivmeyle ivme kazanacağı ve eğer aynı yükseklikten bırakılırlarsa, yere aynı anda çarpacakları anlamını taşır.
Aynı zamanda tesadüfidir çünkü kinematik formüller çözerken nesnenin kütlesini bilmemize gerek yoktur. Bunun sebebi serbest bir şekilde uçan nesnenin kütlesi ne olursa olsun (ve hava direncini göz ardı ettiğimiz sürece) aynı hızlanma büyüklüğüne () sahip olmasıdır.
Dikkat ederseniz, sadece yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğüdür. Eğer yukarı doğru pozitif olarak seçilirse, bir atış için kinematik formüllere koyarken, yer çekimine bağlı ivmeyi negatif almalıyız.
Uyarı: Kinematik formülleri kullanırken en sık yapılan hatalardan birisi, negatif işaretleri koymayı unutmaktır.
Bir kinematik formülü nasıl seçer ve kullanırsınız?
Hem aradığımız değişkeni hem halihazırda bildiğimiz üç kinematik değişkeni içeren kinematik formülü seçiyoruz. Bu yolla aradığımız değişkeni bulabiliriz, formüldeki tek bilinmeyen bu değişken olacak.
Örneğin, yerde duran bir kitaba ileri doğru başlangıç hızı ile vurulduğunu ve 'lik bir zaman aralığından sonra kitabın kayarak yer değiştirdiğini varsayalım. Kitabın bilinmeyen ivmesini cebir yoluyla bulmak için kinematik formülü kullanabilirdik (ivmenin sabit olduğu varsayıldığında), çünkü formülde dışındaki değişkenlerin hepsini zaten biliyoruz.
Problem çözümü için ipucu: Her kinematik formülde, beş kinematik değişkenden () bir tanesinin eksik olduğuna dikkat edin.
Sizin probleminiz için doğru olan kinematik formülü seçmek için, size verilmemiş olan ve bulmanızın istenmediği değişkenin hangisi olduğunu belirleyin. Örneğin yukarıda verilen problemde, kitabın son hızı ne verilmiştir ne de sorulmuştur, dolayısıyla 'yi içermeyen bir formül seçmeliyiz. formülünde olmadığından, bu durumda ivmeyi bulmak için doğru seçenek budur.
Birinci kinematik formülü, , nasıl elde edersiniz?
En kolay elde edilen kinematik formül muhtemelen budur, çünkü aslında sadece ivme tanımının yeniden düzenlemiş versiyonudur. İvme tanımı
ile başlayabiliriz.
Şimdi yerine hızdaki değişikliği gösteren 'ı koyabiliriz:
Son olarak, 'yi bulmak için denklemi çözersek şunu elde ederiz:
Eğer için sadece kullanırsak, bu birinci kinematik formül olur.
İkinci kinematik formülü, , nasıl elde ederiz?
Bu kinematik formülü görsel olarak elde etmenin havalı bir yolu, aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi sabit ivmeye sahip (başka bir deyişle sabit eğime sahip) ve başlangıç hızıyla başlayan bir nesnenin hız grafiğini dikkate almaktır.
Herhangi bir hız grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi verir. Buna göre, bu hız grafiğinin altındaki alan nesnenin yer değiştirmesi olacaktır.
Bu alanı, yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi bir mavi dikdörtgene ve bir kırmızı üçgene ayırıyoruz.
Mavi dikdörtgenin yüksekliği ve genişliği olduğundan, mavi dikdörtgenin alanı 'dir.
Kırmızı üçgenin tabanı ve yüksekliği 'dır, buna göre kırmızı üçgenin alanı 'dır.
Kırmızı üçgenin tabanı ve yüksekliği 'dır, buna göre kırmızı üçgenin alanı 'dır.
Toplam alan, mavi dikdörtgenin ve kırmızı üçgenin alanlarının toplamı olacaktır.
Eğer çarpanını dağıtırsak, bunu elde ederiz:
elde ederiz.
terimlerini birleştirerek sadeleştirdiğimizde,
Son olarak, ikinci kinematik formülü elde etmek için sağ tarafı tekrar yazabiliriz.
Bu formül ilginçtir çünkü her iki tarafı 'yee bölerseniz elde edersiniz. Bu formül, ortalama hızın başlangıç ve bitiş hızlarının ortalamasına eşit olduğunu gösterir. Bununla birlikte, bu sadece ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğrudur zira bu formülü sabit eğim/ivmeye sahip bir hız grafiğinden elde ettik.
Üçüncü kinematik formülü, , nasıl elde ederiz?
denklemini elde etmenin birkaç yolu bulunmaktadır. Havalı bir geometrik türetme yöntemi ve yerine koyarak elde etme yöntemi bulunmaktadır. İlk olarak, geometrik yöntemi ele alacağız.
Aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi, hızıyla başlayan ve son hızına kadar sabit ivmeyi koruyan bir nesneyi düşünün.
Bir hız grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi verdiğinden, formülünün sağ tarafındaki her terim yukarıdaki grafikte bir alanı temsil eder.
terimi mavi dikdörtgenin alanını temsil eder çünkü 'dur.
terimi kırmızı üçgenin alanını temsil eder, çünkü 'dir.
İşte budur. formülü doğru olmalıdır, çünkü yer değiştirme eğrinin altındaki toplam alan ile verilmelidir. Üçgen formülünü kullanabilmek için hız grafiğinin düzgün bir köşegen doğru olduğunu varsaydık, dolayısıyla diğer kinematik formüller gibi bu kinematik formül de sadece ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğrudur.
Alternatif yerine koyma ve türetme yönetiminden bahsedelim. Üçüncü kinematik formül, birinci kinematik formülü () ikinci kinematik formüle () koyarak elde edilebilir.
Eğer ikinci kinematik formülle başlarsak,
yerine koyduğumuzda, bunu elde ederiz:
Sağ tarafı açarsak,
Sağ taraftaki terimlerini birleştirirsek, bunu elde ederiz:
Son olarak, her iki tarafı süre ile çarpmak bize üçüncü kinematik formülü verir.
Yine sabit ivme koşulu olan diğer kinematik formülleri kullandık; dolayısıyla bu üçüncü kinematik formül de sadece ivmenin sabit olduğu varsayımıyla geçerlidir.
Dördüncü kinematik formülü, , nasıl elde edersiniz?
Dördüncü kinematik formülü elde etmek için, ikinci kinematik formülle başlayacağız:
ile başlayacağız.
Bu formülde süreyi yok etmek istiyoruz. Bunu yapmak için, birinci kinematik formülü süre için çözerek 'yı elde edeceğiz. Şimdi ikinci kinematik formüle süre yerine bu ifadeyi koyarak,
elde ederiz.
Sağ taraftaki kesirleri çarptığımızda, bunu elde ederiz:
elde ederiz.
Ve şimdi için çözdüğümüzde, dördüncü kinematik formülü elde ederiz.
Kinematik formüllerin kafa karıştırıcı bir yönü var mı?
İnsanlar genelde *kinematik formülün sadece ilgili zaman aralığında ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğru olduğunu *unuturlar.
Bazen bir problemde bilinen bir değişken açıkça verilmez, ancak belirli kelime kalıpları kullanılarak belirtilir. Örneğin, ''hareketsiz durumdan başlar'' anlamına gelir, "düşürülmüştür" genelde anlamına gelir ve "sonunda durur" anlamına gelir. Ayrıca, serbest düşüşteki tüm nesnelerdeki yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğü olarak varsayılır, dolayısıyla bu ivme bir problemde açıkça verilmez ancak serbest düşüşteki bir nesne için ima edilir.
İnsanlar hariç tüm kinematik değişkenlerin -- negatif olabileceğini unutur. Eksik olan bir eksi işareti sık rastlanılan hatalardan birisidir. Eğer yukarı doğru pozitif olarak kabul edilmişse, bu durumda serbest düşen bir nesne için yer çekimine bağlı ivme negatif olmalıdır: .
Üçüncü kinematik formül ikinci dereceden formülün kullanılmasını gerektirebilir (aşağıda çözülen 3. örneğe bakın).
İnsanlar sabit hızlanma boyunca herhangi bir zaman aralığını seçebileceğimiz hâlde kinematik formüle koyduğumuz kinematik değişkenlerin o zaman aralığıyla tutarlı olması gerektiğini unuturlar. Başka bir deyişle, ilk hız nesnenin ilk konumdaki ve zaman aralığının başındaki hızı olmalıdır. Benzer şekilde, son hız de son konumdaki ve zaman aralığının sonundaki hız olmalıdır.
Kinematik formüllerle ilgili çözümlü örnekler görebilir miyim?
Örnek 1: Birinci kinematik formül,
Meyve suyu ile doldurulmuş bir su balonu çok yüksek bir binanın tepesinden atılır.
Su balonunun düştükten sonraki hızı nedir?
Yukarı doğrunun pozitif yön olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
(Çünkü su balonu düşürülmüştür ve durağan konumdan başlamıştır.)
(Bu, sonrasındaki hızı bulmak istediğimiz zaman aralığıydı.)
(Bu ima edilmiştir çünkü su balonu serbest düşen bir nesnedir.)
(Bu, sonrasındaki hızı bulmak istediğimiz zaman aralığıydı.)
(Bu ima edilmiştir çünkü su balonu serbest düşen bir nesnedir.)
Bu durumda hareket düşeydir, bu nedenle konum değişkenimiz olarak yerine kullanacağız. Tutarlı olduğumuz sürece seçeceğimiz sembol fark etmez, ancak genelde düşey hareketi belirtmek için kullanılır.
Yer değiştirme 'yi bilmediğimiz ve bize yer değiştirme sorulmadığı için, birinci kinematik formülü kullanacağız (bu formülde yoktur).
Not: Son hız negatifti, çünkü su balonunun yönü aşağı doğruydu.
Örnek 2: İkinci kinematik formül,
Bir leopar 6,2 m/s hızla koşmaktadır ve bir dondurma arabası şeklindeki serabı gördükten sonra 3,3 s'lik sürede 23,1 m/s'ye hızlanır.
Leopar 6,2 m/s'den 23,1 m/s'ye ulaşırken ne kadar yol almıştır?
Yolculuğun başlangıçtaki yönünün pozitif olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
(Leoparın başlangıç sürati)
(Leoparın son sürati)
(Leoparın hızlanması sırasında geçen süre)
(Leoparın son sürati)
(Leoparın hızlanması sırasında geçen süre)
İvmeyi bilmediğimiz için ve bize ivme sorulmadığı için, yatay yön için ikinci kinematik formül 'yi kullanacağız (bunda yoktur).
Örnek 3: Üçüncü kinematik formül,
Bir öğrenci kinematik formül ödevinden çok sıkılmıştır ve kurşun kalemini tam olarak yukarıya doğru 18,3 m/s ile atar.
Kurşun kalemin atıldığı yerden 12,2 m daha yüksek bir noktaya ilk kez ulaşması ne kadar sürer?
Yukarı doğrunun pozitif yön olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
(Kalemin başlangıçtaki yukarı yönlü hızı)
(Kurşun kalemin bu yer değiştirmeyi yaptığı zamanı bilmek istiyoruz.)
(Kalem serbest şekilde uçan bir nesnedir.)
(Kurşun kalemin bu yer değiştirmeyi yaptığı zamanı bilmek istiyoruz.)
(Kalem serbest şekilde uçan bir nesnedir.)
Son hızı bilmediğimiz ve bize son hız sorulmadığı için, düşey yön için üçüncü kinematik formülü kullanacağız, bu formülde yoktur.
Normalde ifademizi bulmak istediğimiz değişken için cebirsel olarak çözerdik, ancak eğer terimlerden hiç birisi sıfır değilse bu kinetik formül şu an cebir yoluyla çözülemez. Bunun sebebi terimlerin hiçbirisi sıfır olmadığında ve bilinmeyen değişken olduğunda, bu denklemin ikinci dereceden bir denklem haline gelmesidir. Bunu, bilinen değerleri yerine koyarak görebiliriz.
Bunu daha kolay çözülebilecek bir denklem olarak yazalım. Bunun için her şeyi denklemin bir tarafına toplayalım. Her iki taraftan da 12,2 m çıkarırsak şunu elde ederiz:
Bu noktada ikinci dereceden denklemi süre için çözeriz. formundaki ikinci dereceden bir denklemin çözümleri, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak bulunur. kinematik denklemimiz için, ve 'dir.
Buna göre, ikinci dereceden denklem formülüne koyduğumuzda bunu elde ediyoruz:
İkinci dereceden denklem formülünde bir artı veya eksi işareti olduğundan, süre için iki cevap elde ederiz: birisi kullandığımızda ve diğeri kullandığımızda. Yukarıdaki ikinci dereceden denklem formülünü çözmek, bu iki süreyi verir:
ve
Kurşun kalemin 12,2 m yükseklikte olduğu iki zaman olduğundan, iki pozitif çözüm vardır. Daha küçük olan zaman yukarı doğru gitmek ve birinci 12,2 m'lik yer değiştirmeye ulaşmak için gereken süreyi gösterir. Daha büyük olan zaman yukarı doğru gitmek, 12,2 m'lik yüksekliği geçmek, maksimum yüksekliğe ulaşmak ve daha sonra aşağı düşerek 12,2 m'lik yükseklikteki noktaya ulaşmak için gereken süreyi gösterir.
Buna göre, "Kalemin atıldığı yerden 12,2 m daha yüksekteki bir noktaya ilk kez ulaşması ne kadar sürer?" sorusuna cevap vermek için daha kısa süre olan 'yi seçmeliyiz.
Örnek 4: Dördüncü kinematik formül,
Bir motosikletli 23,4 m/s hızla yolculuğuna başlar ve ilerideki trafiği gördüğünde 50,2 m'lik bir mesafede büyüklükte sabit ivme kaybederek yavaşlamaya karar verir. Motosikletlinin tüm yolculuk boyunca ileri doğru hareket ettiğini varsayın.
Motosikletlinin 50,2 m yavaşladıktan sonra yeni hızı neydi?
Yolculuğun başlangıçtaki yönünün pozitif olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
(Motosikletin ileri doğru başlangıç hızı)
(İvme negatiftir çünkü motosiklet yavaşlamaktadır ve ileri doğru hareketin pozitif olduğunu varsaydık.)
(Motosikletin bu yer değiştirmeden sonraki hızını bilmek istiyoruz.)
(İvme negatiftir çünkü motosiklet yavaşlamaktadır ve ileri doğru hareketin pozitif olduğunu varsaydık.)
(Motosikletin bu yer değiştirmeden sonraki hızını bilmek istiyoruz.)
Zamanı yani 'yi bilmediğimiz ve bizden zamanı bulmamız istenmediği için, yatay yön için dördüncü kinematik formülü kullanacağız, bu formülde yoktur.
Karekök aldığınızda iki olası cevap (pozitif veya negatif) elde ettiğinize dikkat edin. Motosikletlimiz hala harekete başladığı yöne gidiyor olduğundan ve bunun yönün pozitif olduğunu varsaydığımızdan, pozitif cevap olan 'i seçeceğiz.
Şimdi değerleri yerine koyarak şunu elde ederiz:
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.