Bu madde Vikipedi standartlarına uygun değildir. Sayfayı Vikipedi standartlarına uygun biçimde düzenleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. Gerekli düzenleme yapılmadan bu şablon kaldırılmamalıdır.(Ekim 2014)
J-değişmez (aşağıda bkz.), bazı sonsuz toplamları bakımından tamamen tanımlanabilir iken, bu eliptik eğrilerin eşyapı sınıfları dikkate alınarak motive edilebilir.Her eliptik eğri üzerinde bir karmaşık tordur, ve böylece bir rank 2 kafesi ile eşlenebilir; yani,nin iki boyutlu kafesidir. Bu veri ile kafes içinde her paralelkenarın karşı köşesi belirlenir. Bu, karmaşık sayılar kafesle çarpılarak çıkan kafes döndürme ve ölçeklemeye karşılık gelir, eliptik eğrinin izomorfizm sınıfı korunur ve böylece biz 1 tarafından oluşturulan kafes düşünebiliriz (burada üstyarı-düzlemdir). Tersine, eğer şöyle tanımlarsak
olarak gösterilebilen on iki ağırlığının bir modular formudur ve dört ağırlığının bir dir, böylece onun üçüncü kuvveti ayrıca on iki ağırlığınındır. Böylece bölüm, ve bunun için ağırlık sıfırın bir modüler fonksiyonudur, özel olarak bir meromorfik fonksiyon ifadesi nin hareketi altında değişmezdir.Aşağıda açıklandığı gibi,, örtendir, bunun anlamı o verilen üzerinde eliptik eğrilerin bir eşyapı sınıfları arasındaki tanımlansın ve karmaşık sayılar.
Üst yarı düzlem üzerinde hareket eden modüler grubunun temel etki alanı.
İki dönüşüm τ → τ + 1 ve τ → τ−1 birlikte bir grup üretir adına modüler grup denir, bunu biz ile izdüşümsel özel doğrusal grup olarak olarak tespit edebiliriz.Bu gruba ait olan dönüşümün uygun bir seçimi ile, τ → (aτ + b)/(cτ + d),ad − bc = 1 ile, Biz j için aynı değeri veren ve temel bölgesinde yer alan,bir değere τ'yi indirgeyebiliriz,τ koşulları tatmin edici değerlerden oluşur ki;
Bu bölgeye sınırlı fonksiyonu j(τ) yine tam bir kez karmaşık sayılar her değer alır.Başka bir deyişle, her için, burada τ temel bölge içinde bir eşsizdir ve c=j(τ).Böylece,j tüm karmaşık düzleme temel bölgeyi haritalama özelliğine sahiptir.
Riemann yüzeyi olarak, temel bölge cins 0 var, ve her (seviye bir) modüler fonksiyonj içinde bir rasyonel fonksiyondur; ve, tersine, j içindeki her rasyonel fonksiyon bir modüler fonksiyondur.Diğer bir deyişle modüler fonksiyonların alanı dir.
j-değişmezi çok dikkat çekici özelliklere sahiptir. Bunlardan biri, τ tekil modülünün herhangi biri ise, pozitif sanal bir parçası olan sanal kuadratik alanın herhangi bir öğesi (böylece j tanımlandığı gibidir), daha sonra bir cebirsel tam sayı olmasıdır.[1] Alan uzantısı
bu abelyen Galois grupanlamıyla abelyendir.Biz karmaşık düzlem içinde bir kafes 1 ve τ ile tanımlarız, ve alanının ögelerinin hepsinin görünmesi kolaydır bu bir halka ile birimlerin çarpma formu altında diğer kafes noktasına gönderir ve bir düzen denir. Aynı sırada benzer biçimde ilişkili 1 ve τ' jeneratöri ile diğer kafesler üzerinde nun cebirsel eşleniğini tanımlar. nun dahil altında eşsiz maksimal sırası cebirsel tam sayıların halkasıdır,ve τ'nin ilişkili sıra olarak sahip olduğu değerleri 'nun dallanmamış uzatmalarına yol açabilir . Bu klasik sonuçlar karmaşık çarpımın teorisi için başlangıç noktasıdır.
1937 de Theodor Schneider anılan sonucu kanıtlamıştırki eğer üst yarı düzlem j() içinde bir kuadratik irrasyonel sayı ise
bir cebrik tam sayıdır.Buna ek olarak kanıtlanmıştırki eğer bir cebirsel sayı ama sanal kuadratik değil ise j() aşkındır.
j fonksiyonunun numaralı diğer aşkın özellikleri var.Kurt Mahler sanısının bu özel aşkın sonuçları Mahler sanısı olarak sıklıkla ona ithaf edilir,gerçi sonuçlarının bir doğal sonucu olarak Yu tarafından kanıtlanmıştı. V. Nesternko ve Patrice Phillipon 1990 yılında. Mahler sanısı şu idi ki eğer üst yarı düzlemde ise exp(2πi) ve j() ikisi birden asla eşzamanlı cebri değildir.Güçlü sonuçlar artık bilinmektedir, örneğin eğer exp(2πi) cebirsel ise aşağıdaki üç sayı cebrik bağımsızdır , ve böylece aşkın:
Daha dikkat çekici,q pozitif üslerin için Fourier katsayıları canavar grupay ışığı modül denilen bir sonsuz boyutlu dereceli cebir gösterim kısmının boyutları - özellikle katsayısı- ay ışığı modülünün parçası derece n in boyutudur.ilk örneği Griess cebiri 196.884 boyuta sahiptir terimine karşılık bu şaşırtıcı gözlem ay ışığı teorisi için başlangıç noktası oldu.
ise Thompson yalnız burada şunu gösterdiki böyle fonksiyonların sonlu bir sayısı (bazı sonlu seviyelerin)sonludur, ve Cummins
sonra göstermiştir ki orada tam olarak bunların sayısı 6.486 dır,bunların 616'sı integral katsayılarıdır.[2]
nın altı herhangi değeri için Onların tersinme oranları sınırsız halde olsa bile eliptik fonksiyonların periyotları yüksek hassasiyetli hesaplamalar sağlayan etkinleştirme yoluyla uygulamalarla son derece alakalıdır.Bununla ilgili bir sonuç büyüklükler sanal eksenin noktalarında j nin değerlerinin ikinci dereceden kökleri ile ifade edilebilir olduğundan 2'nin kuvvetleridir (böylece pusula ve cetvel inşaatlarına izin ). Bir ikinci sonuç dolayısıyla seviye 2 nin pek belirgin modüler denklemi kübiktir.
de temel domeninj-değişmezi "köşede" kaybolur.Burada birkaç özel değerler (bunun yalnızca ilk dördü iyi biliniyor; aşağıdakiler içinde, j anlamı J/1728 boyunca):
Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 41, New York: Springer-Verlag, MR0422157. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR1028322 Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.