27. SAYFAYA BENZER SAYFALAR
tabs_sener_yagiz_191898 - Sayfa ...
27. SAYFA ICERIGI
Sonuç 1.3.4 ün kullanabilmesi için un (z) serisinin her kompakt küme üzerinde yakınn0
sak olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için oldukça kullanışlı olan Weierstrass teoremi verilecektir.
1.3.5. Teorem (Weierstrass M Testi). E C ve (un), n N olmak üzere un : E C fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Eğer
i. her bir n N ve her z E için |un(z)| Mn olacak şekilde bir Mn R sayısı var,
ii. M n serisi yakınsak n0
şartları gerçekleniyorsa un (z) serisi E üzerinde düzgün yakınsaktır ve üstelik her bir n0
z E için un (z) serisi mutlak yakınsaktır (Jones ve Singerman 1987). n0
Weierstrass M testi, özellikle bir fonksiyon dizisinin veya serisinin normsal yakınsak olduğu gösterilmek istenildiğinde de oldukça sık kullanılır.
1.3.6 Tanım. f sınırlı bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun normu f = f E = sup{f(z) : z E}
olmak üzere (un), fonksiyonların bir dizisi olsun. Eğer i. her bir un fonksiyonu E üzerinde sınırlı,
ii. un serisi yakınsak şartları gerçekleniyorsa un (z) serisine E üzerinde normsal yakınsaktır denir.
Yukarıda verilen Weierstrass M testinde, Mn = un olarak alındığında, eğer un serisi normsal yakınsak ise un serisinin mutlak ve düzgün yakınsak olduğu görülür. Böylece
daha önce belirtildiği gibi, normsal yakınsaklık kavramının mutlak ve düzgün yakınsaklık kavramlarını içine alan bir kavram olduğu da görülmüş olur.
Örneğin, her bir un fonksiyonu belli bir R bölgesinde analitik ise un (z) fonksiyonu
sürekli ve dolayısıyla her bir kompakt K R kümesi için un K vardır. un K serisi
18