Uluer Aydoğdu
Birçok itirazlara rağmen ünlü matematikçi Mandelbrot “herhangi bir kıyı kenar çizgisinin -bir anlamda- sonsuz uzunlukta olduğunu söylüyordu“.
Sezgilerimizin bizi nasıl da yanıltabileceğini göreceğiz birazdan. Belki şimdi soracağımız soru saçma gelebilir, ama Türkiye sahillerinin uzunluğu nedir, diye soralım biz. Ünlü matematikçi Benoit Mandelbrot, düşünce dünyasında bir dönüm noktası olan How Long Is the Cost of Britain (Britanya Sahillerinin Uzunluğu Nedir) makalesinde böyle bir soruyu cevaplar 1960’lı yıllarda. “Mandelbrot bu kıyı kenar çizgisi sorusuna İngiliz bilim insanı Lewis F. Richardson‘ın ölümünden sonra yayımlanan, pek az bilinen bir makalesinde rastlamıştı.” Birçok itirazlara rağmen Mandelbrot “herhangi bir kıyı kenar çizgisinin -bir anlamda- sonsuz uzunlukta olduğunu söylüyordu“.
Sorun elinize aldığınız cetvelin uzunluğuna bağlıdır. “Eğer topograf eline aldığı pergelin uçlarını bir metre olacak şekilde açarsa ve böyle ölçüm yaparsa kıyı kenar çizgisinin uzunluğu yaklaşık bir değer olacaktır, çünkü pergel bir metrenin altındaki girinti çıkıntıların üzerinden atlayacak, dolayısıyla da o uzunluk bir metre olarak kaydedilecektir. Şimdi pergeli 10 santimetre olarak ayarlayalım ve böyle ölçelim, o bir metre daha büyük bir uzunluk değerinde olacaktır.” Ya da “İngiltere kıyı kenar çizgisinin uzunluğunu bir uydudan hesaplamaya çalışan kişinin yapacağı tahmin, bu kıyının bütün koylarını ve plajlarını yürüyerek hesaplamaya çalışırken ulaşacağı tahminden daha küçük bir değer olacaktır.” Tabii aynı zamanda da “yürüyerek ölçüm yapan kişinin tahmini de her bir çakıl taşını aşmaya çalışan bir salyangozun tahmininden daha küçük olacaktır.”
Sonuçta “Mandelbrot ölçümde temel alınan ölçekler küçüldükçe kıyı kenar çizgisinin uzunluğunun sınırsız arttığını belirledi; koylarda ve körfezlerde daha da küçük alt koylar ve alt körfezler ortaya çıkıyor, bu artış hiç değilse atomik düzeye kadar sürüyor ve ancak (o da belki) o düzeyde sona eriyordu.”
Koch Eğrisi
Mandelbrot’un deyişiyle Koch Eğrisi “Kaba saba ama sağlam bir kıyı kenar çizgisi modelidir.” Gayet basit bir şekilde “Bir Koch Eğrisi yapmak için, kenarları 1’er birim olan bir üçgenle işe başlayın. Her bir kenarın ortasına, kenarın üçte biri boyutlarında birer üçgen ekleyin ve bu işleme aynen devam edin. Kenar uzunluğu 3 x 4/3 x 4/3 x 4/3… şeklinde sonsuza kadar artar. Ama bu alan ilk üçgenin çevresine çizilen dairenin alanından daha küçük olmaya devam eder. Asla o alanın dışına çıkmaz. Böylece sonlu bir alanı çevreleyen sonsuz uzunlukta bir çizgi ortaya çıkar.”
Sonsuzluğun sonlu bir alana sıkıştırılması belki kafada tam olarak canlandırılamaz ama Koch Eğrisi, sezgilerimize aykırı bir şekilde sonlu, sınırlı bir alanda sonsuz uzunluktadır ve fraktal geometri bunu bütün açıklığıyla gösterir. Bu arada fraktal sözcüğünün de “her şeyden önce kendine benzeyen demek” olduğunu ekleyeyim.