“Bir kez yapılan her zaman yinelenebilir.” Zenon’a atfedilen bu beylik cümle matematikte limit kavramının temelini aydınlığa kavuşturmuştur. Poincare daha da ileri gidecek ve “İnsan usu, bir eylem bir kez olanaklı ise, o eylemin sonsuz kereler yinelenebilmesini kavrayacak yapıdadır.” diyecektir. Aşağıdaki üç sorunun ışığında yukarıdaki sözlerin doğruluğunu test edelim. Gerçekten aklımız sonsuz kereler yinelenme işinde ne kadar mahir ve bu konuda Poincare ne kadar haklı?
- A noktasından B noktasına gitmek istiyoruz. Önce yolun yarısını gidelim, sonra kalan yolun yarısını, sonra da yine kalanın yarısını… bu şekilde devam ettiğimizde sonuç ne olur?
- Bu soruyu bir de tersten soralım. A noktasından B noktasına gitmek istiyoruz. Önce yolun yarısını gitmeliyiz. Yolun yarısını gidebilmek için de mevcut gitmemiz gereken yolun yarısının yarısını gitmeliyiz. Bu süreci devam ettirirsek ilk adımı ne zaman atarız ya da atabilir miyiz?
- Bir çemberin içine köşeleri çemberin üzerinde olan bir eşkenar üçgen çizelim. Sonrasında çember üzerinde ardışık iki noktanın orta noktasını belirleyip üçgenin köşeleriyle birleştirip altıgeni çizelim. Sonrasında yine aynısını defalarca yapalım. Çokgenin kenar sayısı arttıkça çokgen neye benzeyecektir?
Bu gibi soruları çoğaltabiliriz. Amacımız bu yazıda sezgilerimize ters gelen kısımları açığa kavuşturmak olacak. Ama işe, bu sorulardan başka, çözdüğümüzde bizi daha mutlu edecek bir problemle başlayacağız.
Limit İle İlgili Bir Problem
Problem: Aralarındaki uzaklık 300 km olan iki araba tek yönlü bir yolda birbirlerine doğru saatte 100 km hızla hareket etmeye başladıkları anda bu arabaların birinin ön camının üzerinde bulunan bir arı arabalarının hareketiyle birlikte saatte 200 km hızla karşıdan gelen arabayı uyarmak için uçmaya başlar, arabaya ulaşır ulaşmaz hiç durmaksızın bu sefer diğer arabaya doğru uçmaya başlar, arı bu uçuşuna facianın olduğu ana kadar devam eder. Bu zavallı arı toplam kaç km uçar?
I.Çözüm: Şekil-1 e bakıldığında arının kat edeceği yollar |AK1|+|K1K2|+|K2K3|+|K3K4|+… (çarpışma anına kadar) şeklinde olacaktır. Bu mesafeleri hesaplayalım: Arının hızı araçların hızlarının iki katı olduğundan her seferinde aralarındaki yolun 2/3 ünü arı, 1/3 ünü araba alacaktır. Dolayısıyla arının alacağı yollar toplandığında sonuç aşağıdaki şeklinde olacaktır. Peki parantez içindeki sonsuz toplam işleminin sonucunu nasıl bulacağız?
II.Çözüm: Arının hızı belli. Eğer arının ne kadar süre uçacağını (yaşayacağını) bilebilirsek soru çözüme kavuşmuş olacak. Çünkü yol=hız x zaman dır. Arının uçacağı toplam süre iki aracın kavuşma (çarpışma) anına kadar geçecek olan süreyle aynıdır. İki aracın basit bir hesaplamayla 1,5 saat sonra çarpışacağını bulabiliriz. Arının alacağı toplam yol da 200.1,5=300 km olacaktır.
Sonuç: İki çözümü karşılaştırdığımızda (eğer ikisinden de eminsek) ilk çözümün sonunda bulduğumuz sonsuza kadar gidecek olan işlemin sonucunun 1/2 çıkması gerekmektedir. Şimdi biraz hesaplama yapalım. Bu yaklaşma bu serinin toplamının o sayıya (0,5) eşit olacağını söyleyebilmemiz için yeterli midir? Sezgilerimize kulak verirsek evet gibi, ama ya matematiksel olarak ifade etmek gerekirse…
Limit Ne İşe Yarıyor?
İki eşitliğe dikkatlice bakıldığında ilkinde toplam sonlu sayıda terimden oluşmaktadır. İkincisinde ise sonsuz sayıda terim vardır. İlkinde eşitliğin sağ tarafında rn varken ikinci eşitlikte bu kaybolmaktadır. Peki bu dönüşüm nasıl sağlanmaktadır ve rn in formülden çıkarılmasına ne neden olmaktadır?
Bunun cevabını vermeden bu seriyi (2) rastgele kullanırsak anlamsız bazı şeyler elde edebiliriz. Nitekim 17. ve 18. yüzyıllarda birtakım matematikçiler gelişigüzel kullanımından dolayı büyük hatalara, saçmalıklara düşmüşlerdir. Guido Grandi (Pisa’lı papaz ve profesör) (2) nolu seride r yerine -1 alarak 1-1+1-1+1-1+1-…=1/2 eşitliğini elde etmiş ve devamında eşitliğin solundaki sayıları çiftler halinde gruplandırarak (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0. Sonuç olarak 0=1/2 sonucuna ulaşmıştır.
Buradan da dünyanın yoktan var edilmiş olabileceğini matematiksel! olarak kanıtladığını iddia etmiştir. Yine aynı dönem matematikçilerinden Euler de benzer hatalara düşmüştür. Buna en büyük sebep ise serilerin yakınsaklığına aldırış etmemeleridir. Yeterince dikkat edilmezse aynı saçmalığa geometrik olarak da düşülebilir.
Şekile bakıldığında (dıştan içe doğru) turuncu olan çember yayının kırmızı, mavi ve mor şeklinde gittikçe siyah çizgiye yaklaştığını, yakınsadığını dolayısıyla da eşit olduğunu söyleyebilir miyiz? Mümkün mü? Gerçek, biraz lise geometri bilgisiyle turuncu, kırmızı, mavi ve mor çember yaylarının uzunluk olarak birbirine eşit olduğudur. Dolayısıyla hiçbir zaman siyah çizgiye yaklaşılamayacaktır. Şimdi yaklaşım mantığına uygun örnekler verelim. Bunlardan ilki türevle, ikincisi ise integralle ilgilidir.
Limit Kendini Göstermeye Başlıyor!
Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere çembere P noktasında teğet çizilmek isteniyor. Ve bunun içinde P noktasının dışında bir A noktası alınarak çizilen kirişler, noktalar B, C, D ve E şeklinde gittikçe istenilen teğet doğrusuna yaklaşmaktadır. Bu örnek aynı zamanda türev kavramının temel sorularından biridir. “Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi” nasıl bulunur? Bir doğrunun eğimini bulabilmek için iki noktaya ihtiyaç vardır. Elimizde ise sadece bir eğri (denklemi) ve teğet çizeceğimiz nokta vardır. İşte bu sorunun çözümü türevi gerektirir. Türev ise limit kavramı üzerinden tanımlanmıştır.
Şekli dikkatle irdelersek; eğrinin altına dikdörtgenler çizilmiştir. İlkinde 5, ikincisinde 8 ve üçüncüsünde 15 tane dikdörtgen vardır. Eğrinin altında kalan alan gittikçe dikdörtgenlerle kaplanmıştır. Bu işlemi devam ettirdiğimizde dikdörtgenlerin kapladığı toplam alan, eğrinin altında kalan alana yaklaşacaktır. Bu sorunun çözümü ise integrali gerektirir. İntegralde türevde olduğu gibi limit kavramı üzerinden tanımlanmıştır. Türev ve integral kavramlarıyla birlikte değişimin matematiğine de sahip olmaktayız. Böylece şimdiye kadar durağan yapılarla ilgilenen matematik bir anda evrenin her yerinde söz sahibi olduğunu göstermiştir. Limitin çok değerli bu iki kavramın tanımlarında (köklerinde) yer alması ise son derece mühimdir.
(1/3)n dizisini ele alalım. Dizinin terimleri; {1/3,1/9,1/27…} şeklinde sonsuza kadar gidecektir. Dizinin elemanlarına bakarsak; Birinci terim ile yaklaşılan değer arasında 1/3 birim varken, ikinci terimin bu değerle arasındaki fark 1/9 birimdir. Onuncu terimde ise fark yaklaşık 0,00001693508 dir. Yüzüncü terimdeyse bu fark 0,000….00019403252 ( 40 küsur tane sıfır var) olacaktır.
Terimler ilerledikçe yaklaşılan değerle terimler arasındaki fark azalacaktır. Sonuç olarak dizi uzadıkça (sonsuza giderken) ardışık terimler arasındaki fark gittikçe küçülmektedir. Bu matematiksel işlemler ise bizi limit tanımına götürmektedir. Burada dikkat edilecek bir husus vardır. Bu dizinin terimleri 0’a yaklaştığı gibi, -1’e , -2’ye vs. sayılarına da yaklaşmaktadır. Peki bizi bu dizinin terimlerinin 0’a yaklaştığını söylememize iten sebep ne olabilir?
Limitin Tanımı
17. ve 18. yüzyıllarda serilerin, diferansiyel hesabın (Calculus) gelişigüzel dikkatsizce kullanılmasından ötürü ortaya çıkan sakıncalı durumlar ve saçmalıklar 19. yüzyılla birlikte bertaraf edilmeye çalışılmıştır. 19. yüzyıl matematiğinin en belirgin özelliği kesinliğin ve katı mantıksal bir yaklaşımının baskın olmasıdır. Önceden gelen belirsizliklerin ortadan kaldırılması bu sayede mümkün olmuştur. Bu dönem matematikçileri bu titizlikle çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Bu çabanın eseri olarak Newton ve Leibniz’le başlayan türev ve integralin sağlam bir zemine oturtulması sürecinde limit kavramsal olarak ortaya çıkarılmış ve matematiksel tanımının verilmesiyle birlikte sezgilerimize meze olmaktan kurtarılmıştır.
“Bir büyüklük kendisinden küçük olacak şekilde verilen herhangi bir ikinci büyüklüğe yaklaşabildiği zaman, ikinci büyüklüğün, birincinin limiti olduğu söylenir; bununla birlikte ilk büyüklük, yaklaştığı büyüklüğü hiçbir zaman aşamayacaktır.”[1]
“Bir değişken sabit bir değere peş peşe sonsuz hamle ile yeterince yaklaştığında (aralarındaki uzaklık istenildiği kadar küçük olduğunda) bu değere diğerlerinin limiti denir.” [2]
Yukarıdaki iki tanıma biraz daha yakından bakarsak iki dönem matematiği arasındaki farkı daha net bir şekilde görebiliriz. İlk tanım 18.yüzyıl matematikçisi d’Alembert’e diğeri ise 19. yüzyıl matematikçisi Cauchy’e (1789-1857) aittir. İlkinde tamamen sezgiler ön plandayken ikincisinde matematiksel dil biraz daha hakimdir. Buradan limit kavramının ilk sağlam tanımını Augustin-Louis Cauchy yapmıştır diyebiliriz.
Cauchy’e ait olan ikinci tanımda bir önceki yazının sonunda sorduğumuz sorunun cevabını bulabiliriz. Nitekim tanımdaki parantez içerisindeki cümleye dikkat edersek terimlerle yaklaşılan değerler arasındaki fark istenildiği kadar küçük olabilecek. (1/3)n dizisinin terimleri 0’a yaklaşıyor derken tam olarak kast edilen budur. Yoksa bu dizi -1’e de yakınsıyor dersek dizinin terimleriyle yaklaşılan değer arasını istediğimiz kadar küçük yapamayız. Bu tanım bizi sınırlandırmış oluyor ve 0 demek mecburiyetinde bırakıyor. Birinci bölümde sorduğumuz soruya dönersek; (rn in formülden çıkarılmasına ne neden olmaktadır?) n sonsuza giderken rn in yok olması problemi rn in 0 olması demektir. Bu da 0’a yakınsaması demektir. O zaman bu soruyu şöyle çevirebiliriz?
Hangi durumlarda n sonsuza giderken, rn 0’a yakınsar?
Bunun cevabını ise bizlere Cauchy vermiştir. Söz konusu serilerin (1) den (2) ye geçişte sadece |r|=<1 iken anlamlı olabileceğini göstermiştir. Yani (2) nolu seride r yerine basit kesir yazıldıkça çıkacak olan sonuçlar anlamlı olacaktır. Cauchy ile başlayan analizi temellendirme süreci Weierstrass ve arkadaşlarıyla devam etti. Weierstrass analizi geometrik akıl yürütme ve sezgisel anlayıştan kurtardı. Yani analizi aritmetikleştirdi. (bu deyiş 1895 te Felix Klein tarafından ortaya atılmıştır). Meşhur ifadeyle epsilon-delta tanımı böylelikle hayatımıza girmiş oldu. Ve şu an kullanmış olduğumuz “x, x0‘a yaklaşırken ki limit” standart görünümüne Weierstrass ile kavuşmuş oldu.[3]
Limit benim ne işime yarayacak?
Bu soruyu matematikçi kimliğim ile cevaplayacak olursam, buna verilecek cevabım iki türlüdür. İlki matematiğe katkı sağlamak, ikincisi ise hayatımı devam ettirmek. Dolayısıyla limitte bunun bir parçası. Fakat doğrudan matematikle ilgisi olmayan birine “Günlük yaşamda limit ne işine yarayacak?” diye sorulursa; buna cevap vermek pek kolay değil. Hatta doğrudan hiçbir işine yaramayacak desek çok da yanılmış olmayız. Tabi büyük resme odaklanırsak bazı şeyler değişecektir. Ama öncesinde şu soruya cevap verelim.
Bir şeyin yararlı olması demek, beşeri ihtiyaçları karşılama kapasitesine sahip olmak demektir.[4] İşe yararlılık durumu ise kişinin mesleğine, yaşına, hayattaki konumuna göre değişecektir. Kesin bir şekilde şunu söyleyebiliriz ki matematiği kullanmayan disiplin (dolayısıyla da birey) yoktur. Herkes bir ölçüde az veya çok, kıyısından da olsa matematiğe değecektir. Asıl sorumuzun cevabına dönersek; türev ve integral değişimin matematiğidir. Dolayısıyla değişimin olduğu her yerde bu iki kavram kendisini gösterecektir. Bunların olduğu her yerde de limit. Yaşadığımız evrende değişimin olmadığı an ve yer var mıdır? Böylelikle gezegenlerin hareketi, dünyanın herhangi bir anda nerede ve ne hızda olduğu, uçaktan atılan bir roketin izleyeceği yol ya da düşeceği yer, gibi hareketi ve değişimi ilgilendiren her problem artık matematiğin bu yeni dalıyla birlikte rahatlıkla çözüme ulaşmış oldu.
Yazımın başında ” Matematikte Limit Nedir? “sorduğum soruların cevabına artık sahibiz. Bundan böyle gönül rahatlığıyla herhangi bir A noktasından B noktasına gidebiliriz. Yeter ki bu yol mevcut olsun.
- [1] Burton, D.M. (2017). Matematik Tarihi Giriş. içinde (s.605). (Prof. Dr. Soner DURMUŞ Çev. Ed.). İstanbul: Nobel Yaşam.
- [2] Argün, Z., Arıkan, A., Bulut, S.,Halıcıoğlu, S. (2014). Temel Matematik Kavramlarının Künyesi.içinde (s.318).Ankara: Gazi Kitabevi
- [3] Burton, D.M. (2017). Matematik Tarihi Giriş. içinde (s.620). (Prof. Dr. Soner DURMUŞ Çev. Ed.). İstanbul: Nobel Yaşam
- [4] DAVIS, P.J., HERSH, R. Matematiğin Seyir Defteri. içinde(s.103). (Ender ABADOĞLU). Ankara: Doruk Yayıncılık