Genel bir $n$ pozitif tam sayısını ele alalım. Elemanların artan bir şekilde sıraladığımızı düşünelim.
Tek elemanı $n$ tane farklı toplam gelir. İki elemanlı için $n$. elemanın yanına ekleyeceğimiz diğer elemanlar ilk toplamlardan farklı olur. Buradan en az $n-1$ toplam gelir. Aynı şekilde $n$. ve $(n-1)$. elemanlarla toplayacağım üçüncü bir eleman ile elde edeceğimiz toplam diğerlerinden büyük olacağından $n-2$ tane farklı toplam elde ederiz. Bu şekilde toplamda $1$'den $n$'e kadar olan sayıların toplamı alt sınır olur. Bu alt sınırı $\{1,\ldots,n\}$ kümesi sağlar.
Ek: Eğer elemanları $2$'nin kuvvetleri ile oluşturursak tüm toplamlar farklı olur. Taban aritmetiği ile bunu biliyoruz. Bu küme de üst sınırı sağlar.