Schild'in merdiveni
Genel görelilik teorisinde, ve daha geneli diferansiyel geometri de, Schild'in merdiveni için bir eğri boyunca bir vektörün paralel taşınım yaklaşıklığı için yalnızca bir ilk-sıra metot olan afinleştirilmiş ölçeklendirme geodezikleri kullanılıyor.Alfred Schild kendi adına olan bu metodu Princeton Üniversitesinde ders sırasında tanıttı.
Yapım[değiştir | kaynağı değiştir]
Birim uzunluk ın bir jeodezik segmenti ile bir noktasında bir tanjant vektörü x tanımlamak ve Levi-Civita paralelkenarımsının bir yaklaşığı olarak yaklaşık paralel taraf ve ile yaklaşık bir paralelkenar oluşturmak için bir fikirdir; Yeni parça böylece de bir yaklaşık paralel öteleme tanjant vektörüne karşılık gelir
Resmi olarak, bir γ eğrisi düşünelim bir Riemann manifoldu M içinde bir A0 noktası yardımıyla, ve diyelimki x A0'da bir tanjant vektör olsun. x ise bir jeodezik parça ile ayrıştırılabilir A0X0 yoluyla üstel göndermedir. Bu jeodezik σ yeterlidir
Schild'in merdiveni yapımı adımlardır:
- Diyelimki X0 = σ(1), böylece jeodezik parça birim uzunluk var.
- şimdi diyelimki A1 γüzerinde bir nokta olsun A0 ya yakın, ve jeodezik yapı X0A1.
- Diyelimki bu hassaslık içinde X0A1'ın orta noktası P1 olsun X0P1 parçaları ve P1A1 bir afin geçiş için parametre eşit alınır.
- A0P1 jeodezik yapımı, ve bu bir nokta X1'a uzanır böylece A0X1'in parametre uzunluğu A0P1'in bu çiftidir.
- Sonuçta A1X1 jeodezik yapımıdır.Bu jeodezik x1'e tanjant paralel taşınım ise X0'ın A1'ya, en azından ilk sırasına.
Yaklaşıklık[değiştir | kaynağı değiştir]
Bir eğri uzay içinde, hata holonomi ile veriliyor üçgeni çevresinde bu üçgenin içi üzerinde eğrinin integraline eşittir,Ambrose-Singer teoremi ile; bu Green teoreminin bir formudur (iç üzerinde integrale ilişkin bir eğri çevresindeki integral).
Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]
- Schild'in merdiveni jeodezikler ama aynı zamanda jeodezikler birlikte göreceli mesafe sadece gerektirmez. Bağıl mesafe gerekli orta noktaları tespit edilebilir olan jeodezikler arasında afin parametreleriyle ile sağlanabilir.
- Schild'in merdiveni paralel taşıma ille torsiyon-serbest inşa edilmiştir
- Bir Riemannian metrik jeodezikler oluşturmak için gerekli değildir.Geodezikler bir Riemann metrik oluşturulur eğer bu bağlantı torsiyon serbest olarak tanımlanır çünkü Ama, Schild'in merdiveni ile sınıra inşa edilmiştir paralel taşıma Levi-Civita bağlantısı olarak aynıdır.
Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]
- Kheyfets, Arkady; Miller, Warner A.; Newton, Gregory A., Schild's ladder parallel transport procedure for an arbitrary connection. International Journal of Theoretical Physics
20001200, Volume 39, Issue 12, pp 2891-2898 .