Doğrusal karmaşık yapısı - Linear complex structure
Gelen matematik , bir kompleks bir yapı , bir ilgili gerçek vektör uzayı V bir bir otomorfizm ait V olduğu eksi kareler kimlik , -I . Böyle bir yapı, V , bir ile çarpma için imkan sağlar kompleks skalerler kabul edecek şekilde bir standart bir şekilde V kompleks bir vektör alanı olarak.
Her kompleks vektör uzayı uyumlu kompleks bir yapı ile donatılmış olabilir, bununla birlikte, genel olarak herhangi bir standart bu yapıda bulunmaktadır. Karmaşık yapıları kullanım alanına sahip temsil teorisi yanı sıra kompleks geometrisi bu tanımında önemli bir rol oynamaktadır , neredeyse karmaşık manifoldlar zıt olarak, karmaşık manifoldlar . Burada kullanılan "karmaşık olan" genellikle manifold bu yapısını ifade eder; Bu vektör uzayı bir yapı yerine gelir, bunun bir "denebilir doğrusal karmaşık olan".
içindekiler
Tanımı ve özellikleri
öyle ki
Burada J 2 anlamına gelir J oluşan kendisi ile İd V olan özdeşlik ile V . Bu uygulamanın etkisi olduğunu J iki ile çarpımı olarak aynıdır -1 . Bu tarafından çarpma anımsatır , hayali birimin i . Bir kompleks yapısı bir kavuşturulması sağlar V bir yapısı ile kompleks vektör alanı . Kompleks skaler çarpımı ile tanımlanabilir
Tüm gerçek sayılar için x , y ve bütün vektörler v içinde V . Bir Bu, aslında, elde olmadığını kontrol edebilir v biz ifade kompleks bir vektör alan yapısını V J .
Bir kompleks bir vektör alanı ile başlarsa bu, diğer yönde giden B daha sonra bir tanımlayarak yatan gerçek alanı, karmaşık bir yapıya tanımlayabilir Jw = iw Tüm w ∈ W .
Daha teorik gerçek vektör alanı doğrusal bir kompleks yapı, bir cebri gösterimi arasında karmaşık sayılar C , harici olarak bir düşünce birleştirici cebir fazla gerçek sayılar . Bu cebir somut olarak gerçekleşmiştir
buna karşılık i 2 = -1 . Daha sonra bir temsili C gerçek vektör alanıdır V birlikte bir hareket ile, C üzerinde V (harita Cı → sonu ( V ) ). Somut olarak, bu sadece bir eylemdir i Bu cebir oluşturur ve temsil operatörü olarak, i (görüntü i içinde End ( V ) ) tam olarak J .
Eğer V J kompleksi, boyut N , sonra V gerçek boyutuna sahip olmalı 2 , n . Bu sonlu boyutlu alanı olan V hatta boyutlu yalnızca kompleks bir yapıya kabul eder. Her hatta boyutlu vektör uzayı karmaşık bir yapısı itiraf olduğunu görmek zor değildir. Bir tanımlayabilir J çiftleri ilgili e , f ve baz Vektörlerin Je = f ve Jf = - e ve daha sonra tüm doğrusallık tarafından uzanan V . Eğer ( v 1 , ..., v , n ) kompleks vektör uzayı için bir bazdır V J sonra ( V 1 , Jv 1 , ..., v , n , Jv , n ) yatan gerçek alanı için bir temel V .
Gerçek bir doğrusal dönüşüm A : V → V a, kompleks karşılık gelen karmaşık bir alan lineer transformasyon V J ancak ve ancak bir ile değiştirilirse J yani ancak ve ancak
Benzer şekilde, gerçek bir alt uzay u arasında V karmaşık bir alt uzay olan V J , ancak ve ancak, eğer J korur U , yani ancak ve ancak
Örnekler
Cı- n-
Doğrusal kompleks yapının temel örnek, yapıdır R 2 , n karmaşık yapısından gelen Cı- n . Bu kompleks, bir n- boyutlu alan Cı n da gerçek bir 2 N aynı vektör ilavesini ve gerçek skalar çarpım kullanılarak - - karmaşık sayı ile çarpma sırasında boyutlu alan I , sadece a, kompleks uzayın dönüşümü, düşünce karmaşık bir vektör alanı olarak değil, aynı zamanda , gerçek lineer gerçek vektör alanı olarak, mekan düşünce dönüşümü. Somut olarak, bu skaler çarpımı tarafından çünkü ben gerçek sayılar tarafından skaler çarpma ile değiştirilirse - ve vektör ek genelinde dağıtır. Kompleks olarak n x n matris, bu sadece bir skaler matris ile i diyagonal. Karşılık gelen gerçek 2 , n x 2 , n matris gösterilir J .
Bir temel göz önüne alındığında bunlar tarafından çarpılan bu vektörler ile kompleks alanı, bu set için, i, yani gerçek alanı için bir temel oluşturmaktadır. Biri olarak tensör ürünü yazıyor olmadığına soyut gelen bu temel sipariş iki doğal yolu vardır veya bunun yerine
Bir şekilde temel sıralar halinde için matrisi daha sonra J alır diagonal form (simgeler boyutu belirtmek için ilave edildi):
Bu sıralama bu için temel burada, yani kompleks vektör uzayı doğrudan miktarda saygı avantajı için aynıdır
Bir temel emir Diğer taraftan, hem daha sonra da matris J blok antidiagonal olduğu:
Biri gibi gerçek uzay düşünürse Bu sipariş daha doğal direkt toplamı aşağıda tartışıldığı gibi, gerçek mekân.
Gerçek vektör alanı ve veri J matrisin tam kompleks vektör alan verileri ile aynı olduğunu J matrisin bir kompleks çarpmayı için imkan sağlar. Seviyesinde Lie cebirleri ve Lie grupları , bu gl dahil (karşılık gelen , n , Cı- gl (2) n, , R ) (Lie cebiri - matrisler, zorunlu olarak tersi değil) ve GL ( n , Cı- ) GL ( 2 , n , R ' ):
- gl ( n , Cı- ) 'gl ( 2n , R ) ve GL ( n , Cı- )' GL ( 2n , R ).
Dahil alt grubu GL (iken, kompleks bir yapı unutma (ve sadece gerçek tutulması) karşılık gelen n , Cı- ) karakterize edilebilir matrisler gibi (denklem verilen) gidip ile J:
- GL ( n , Cı- ) =
Yalan cebirlerin ilgili karşılık gelen açıklamada alt cebiri gl (yani , n , Cı kompleksi matrislerin) olan olanlardır Lie ile J anlamına kaybolur, ile paranteze haritasının çekirdek olarak, başka bir deyişle , J
Olarak bu ifadelere için belirleyici denklemler, aynı olduğuna dikkat aynı gibidir aynı olan kaybolan Yalan parantez anlamı azaltıyor anlamı daha geometrik olarak daha az acil olsa.
Doğrudan toplamı
Eğer V , herhangi bir gerçek vektör alanıdır bir standart karmaşık bir yapı vardır direk toplam V ⊕ V ile verilen
Blok matris biçimi, J olduğu
burada ilgili özdeşlik olan V . Bu tensör ürün karmaşık yapıya tekabül
diğer yapılarla uyumluluk
Eğer B a, iki doğrusal bir şekilde ilgili V sonra söylemek J koruyan B ise
tüm u , v ∈ V . Eşdeğer bir karakterizasyonu olmasıdır J olan eğri eşlenik ile ilgili olarak B :
Eğer gr bir bir iç çarpım ile V daha sonra J muhafaza g , ancak ve ancak J , bir olduğunu dikgen dönüştürme . Benzer şekilde, J , bir muhafaza dejenere olmayan , ters simetrik bir şekilde ω ancak ve ancak J a, simplektik dönüşüm (yani, eğer ω ( Ju , Jv ) = ω ( u , v )) . Simplektik formları için co arasında uyumluluk için ek bir sınırlama orada genellikle J ve w , yani
sıfır olmayan tüm için u olarak V . Bu durum daha sonra memnun değilse J söylenir evcilleştirmek Q'dan .
Bir simplektik formu göz önüne alındığında ω ve bir doğrusal kompleks yapı J , tek bir ilişkili simetrik çift doğrusal bir şekilde tanımlayabilir g J ilgili V J
- .
Bir nedeniyle simplektik şekilde dejenere olmayan, yani ilişkili iki-doğrusal formudur. Ayrıca, ilişkili bir şekilde tarafından korunur J eğer simplektik biçimidir, yalnızca, ve eğer ω ile terbiye J sonra ilişkili formdur pozitif tanımlı . Bu nedenle, bu durumda, ilgili bir şekilde a, Hermitesel formu ve V J bir bir iç çarpım alanı .
complexifications için İlişkisi
Bu olan kompleks boyutu gerçek boyutuna eşit olan bir kompleks vektör alanıdır V . Bu standart olan kompleks çekimi tarafından tanımlanan
Eğer J üzerinde karmaşık bir yapıdır V , biz uzanabilir J için doğrusallığı göre V C :
burada V + ve V - olan Aygen + ve i - ve i , sırasıyla. Kompleks konjügasyon kavşak V + ve V - . Çıkıntı üzerine eşler V ± Aygen tarafından verilmektedir
Böylece
Orada arasında doğal karmaşık bir doğrusal izomorfizm olan V J ve V + ise, bu yüzden, bu vektör alanları aynı kabul edilebilir V - olarak kabul edilebilir karmaşık eşlenik arasında V J .
Eğer Not V J karmaşık bir boyuta sahiptir , n daha sonra her iki V + ve V - karmaşık bir boyuta sahiptir , n ise V Cı kompleksi Boyutu 2 sahiptir n .
Bir kompleks vektör uzayı başlarsa, soyut olarak, W ve altta yatan gerçek alan karmaşıklaştırma alır, bir doğrudan toplamına izomorfik bir boşluk elde W ve konjugat
Let V kompleks bir yapı ile gerçek vektör uzayı J . Çift alan V * doğal karmaşık bir yapısı vardır J çift verilen * (ya da devrik ) ait J . Çift alanı (karmaşıklaştırma V *) C , bu yüzden doğal ayrışma sahip
± içine ı arasında Aygen J *. (Doğal tanımlama altında V *) C (ile V C ) * bir (karakterize edilebilir V *) + sıfırlanır bu karmaşık bir doğrusal fonksiyonellerin olarak V - . Benzer şekilde ( V *) - sıfırlanır bu karmaşık bir doğrusal fonksiyonellerin oluşur V + .
(Kompleks) tensör , simetrik ve dış cebir üzerinde V C de Ayırma kabul etmektedirler. Dış cebir belki de bu ayrışma en önemli uygulamadır. Bir vektör uzayı Genel olarak, U bir ayrışma kabul U = S ⊕ T daha sonra dış güçler U , aşağıdaki gibi dekompoze olabilir:
Bir kompleks yapı J ilgili V nedenle ayrışma indükler
nerede
Tüm dış güçler karmaşık sayılar üzerinde alınır. Bu nedenle, eğer V J kompleks boyuta sahip n (gerçek boyut 2 , n sonra)
Boyutları, bir sonucu olarak düzgün toplayın Vandermonde kimliği .
(Uzay s , q ) Λ -biçimleri s , q, V J * (kompleks) alanıdır çoklu doğrusal formları ile ilgili V C sürece homojen unsurları ortadan s vardır V + ve q vardır V - . Λ olmaması da mümkündür p , q, V J gerçek alanı olarak * çoklu doğrusal haritalar gelen V J için C karmaşık doğrusal s şartlar ve konjügat doğrusal olarak q açısından.
Ayrıca bakınız
- Neredeyse karmaşık manifoldu
- Karmaşık manifoldu
- Kompleks farklı form
- Kompleks konjugat vektör uzayı
- Hermitesel yapı
- Gerçek yapı
Referanslar
- Kobayashi, S. ve Nomizu K., Diferansiyel Geometrinin Temelleri , John Wiley & Sons, 1969 , ISBN 0-470-49648-7 . (karmaşık yapılar Cilt II tartışılmaktadır, Bölüm IX, bölüm 1).
- Budinich, S. ve Trautman, A. Spinorial Chessboard , Springer-Verlag, 1988 , ISBN 0-387-19078-3 . (karmaşık yapılar Bölüm 3.1'de açıklanan).
- Goldberg SI, Eğrilik ve Homoloji , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (karmaşık yapılar ve hemen hemen karmaşık manifoldlar Bölüm 5.2'de açıklanan).