|TARİHTE HVAC – İrrasyonel Sayılar|
Mühendislik bilimlerinin olmazsa olmazı matematik ve matematiğin temeli kabul edilen sayıları ele almasaydık bu köşe mutlaka eksik kalacaktı. Her ne kadar her yazımızda matematiğin bir köşesinden yakalasak da bir yazımızı bu alana ayırmayı düşünüyordum. Ağustos yazımızda bu alanda ilginç sonuçları ve uygulamaları olan irrasyonel sayılara yer vermek istedim.
Konumuza hatırlamayanlar için irrasyonel sayıların tanımı ile başlayalım. İrrasyonel sayılar, kesir şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. Diğer bir deyişle, irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar gibi iki tam sayının bölümü olarak ifade edilemezler. Ayrıca irrasyonel sayılar tekrar eden ondalık kesirlerle de tanımlanamazlar ve ondalık basamakları sonsuz ve tekrarsızdır. Bu halleri ile eşsiz ve benzersizdirler. En bilindik irrasyonel sayılara birkaç örnek verelim: Pi sayısı, Euler (e) sayısı, Altın oran, .
İrrasyonel sayılar, tarihsel olarak matematikçilerin kesirli sayıların sınırlarını daha iyi anlamalarıyla keşfedildi. Antik Yunan döneminde, matematikçiler genellikle sayıları iki tam sayının bölümü olarak, kesirli şekilde ifade edebiliyorlardı. Bir tam sayının ondalıklı bir şekilde bölünebilirliği, sonucun bir kesir olarak ifade edilebilir olması anlamına geliyordu. Ancak matematikçiler bazı sayıların özellikle de uzunlukların ondalıklı şekilde ifade edilemeyeceklerini bu çağda fark ettiler. Bu farkındalık, Pythagoras’ın öğrencilerinden Hipasus tarafından M.Ö. 5. yüzyılda yapılan bir keşifle önemli bir adım atılmasını sağladı. Hipasus, √2’nin kesirli bir oran olarak ifade edilemeyeceğini gösterdi. Bu, bir kenarının uzunluğu 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğunu ifade eden bir değerdi. Hipasus’un bu keşfi Pythagoras Okulu’nun temel öğretilerine ters düşüyordu ve okulun üyeleri arasında büyük bir çelişki ve endişe yarattı. Hipasus’un keşfinin ardından denize atıldığı ve öldürüldüğüne dair bazı efsaneler olsa da, kesin bir bilgi bulunmamaktadır. Hipasus’un çalışmaları, irrasyonel sayıların varlığını tam olarak anlamak için yeterli değildi. Bu kavramın daha sağlam bir temele oturtulması, Evdoksus, Arşimet ve diğer antik Yunan matematikçilerinin çalışmalarıyla gerçekleşti. Bu matematikçiler, irrasyonel sayıları ondalık kesirlerle ifade etmek yerine, oranlarla ve geometrik incelemelerle yaklaşarak bu sayıların varlığını gösterdiler. Antik Yunan’ın ardından, Orta Çağ boyunca irrasyonel sayılarla ilgili çalışmalar sınırlı kaldı. Sadece Hint ve Arap matematikçiler bu alanda bazı çalışmalarda bulundu.
Önemli bir irrasyonel sayı olan altın oran da antik çağlardan bu yana bilinen, matematikte ve sanatta sıkça karşılaşılan bir sayıdır. Ancak altın oranı ilk kimin keşfettiği bilinmemektedir. Altın oran, tarihsel olarak belirli bir kişi tarafından bulunmuş bir değer değil, matematiksel düşünce ve gözlem sonucu ortaya çıkan bir orandır. Bu sayı yaklaşık olarak 1,618 olarak ifade edilir. Tam olarak ifadesi ise şeklindedir. Bu oranın estetik açıdan hoş bir dengeyi temsil ettiği düşünülür ve birçok sanat eseri, mimari yapı ve tasarım bu oran kullanılarak oluşturulmuştur. Altın oranın tanımı ise şu şekilde: iki sayıdan büyük olanın küçük olana oranı ile bu sayıların toplamının büyük sayıya olan oranının eşit olduğu değerdir.
Bir diğer önemli irrasyonel sayı ise Euler veya e sayısıdır. Yaklaşık olarak 2,7182818284 şeklinde ifade edilmektedir. Logaritma, trigonometri, bileşik faiz hesabı, olasılık ve istatistik hesaplamalarında e sayısı mutlaka karşımıza çıkmaktadır. Euler sayısının temelleri, matematikçi John Napier’in logaritma konseptini geliştirdiği 17. yüzyıla dayanır. Napier’in ardından Jacob Bernoulli bileşik faiz hesabı üzerine çalışırken bu sayıyı keşfetmiş ancak bu irrasyonel sayının bugünkü anlamını kavrayamamıştı. “e” sayısının modern anlamdaki keşfi ve tanımı ise 18. yüzyılda gerçekleşti. İsviçreli bilim insanı Leonhard Euler, 18. yüzyılın başlarında logaritma ve analitik matematik üzerine çalışıyordu. Çalışmaları sonucunda 1727’de yayımladığı “Mechanica” adlı eserinde “e” harfi olarak gösterilmese de, ilk kez bu sayıdan bahsettiği görülmüştür. Euler, sayının ilk 18 basamağını hesaplamış ve bu sayının bir irrasyonel sayı olduğunu anlamıştır.
E ve pi Sayısını İçeren Matematiğin En Güzel Denklemi
Yazımızı bitirmeden en meşhur irrasyonel sayı olan pi sayısına da değinelim. Bilindiği gibi pi sayısı bir çemberin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilen orandır. Günümüzde pi sayısının trilyonlarca ondalık basamağa kadar değeri hesaplanmıştır ancak hiçbir düzenli tekrar eden desene ulaşılamamıştır. Ayrıca pi sayısı bir transendental sayıdır. Diğer bir deyişle rasyonel katsayılara sahip bir polinomun kökü olarak ifade edilemez. Bu kadar ilginç bir sayı bildiğiniz gibi geometri, trigonometri vb. birçok alanda kullanılmakta ve onsuz matematiğin eksik kalacağı çok açıktır. Antik çağlardan itibaren Mısırlılar, Babilliler, Çinliler ve Yunanlılar pi sayısı hakkında çalışarak değerini hesaplamışlardır. İlk başlarda 3, 3,16, 3,125 gibi değerlere ulaşılmıştır. 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz gibi matematikçiler, pi sayısının ondalık kesir ifadesini sonsuz seriler kullanarak hesaplamışlardır. Günümüzde, yukarıda da belirttiğimiz gibi pi sayısının virgülden sonra trilyonlarca basamağı hesaplanmış ve kitap olarak da basılmıştır.
İrrasyonel sayılar matematiğin evrimi içinde önemli bir yere sahiptir. Antik Yunan’dan modern matematiğe kadar geçen süreçte, insanlar doğanın düzenini anlamaya ve sayılar dünyasını keşfetmeye devam ettiler. Bu süreçte irrasyonel sayıların keşfi ve anlamı, matematiksel düşüncenin evriminin bir yansımasıdır ve bu sayılar günümüz dünyasında da büyük bir yer kaplamaya devam etmektedir.