Eukleides ( Öklit- İ.Ö-3.yy ) hiç şüphesiz 13 ciltlik eseri Elemanlar ile Matematik tarihinde geometrinin gelişimini çağlar boyunca etkileyen kurucu ve ekol bir isimdir.
Öklit’in tanımlar,aksiyomlar ve genel kavramları kuran ve içeren eserinin en önemli bölümünde şu beş aksiyom yer alır:
1.Verilen iki noktayı bir aralık birleştirir.( İki noktadan bir doğru geçer )
2.Bir aralık her iki ucundan sonsuza dek uzatılabilir.
3.Merkezi ve bir noktası verilen bir çember çizilebilir.
4.Tüm dik açılar eşittir.
5.Verilen bir noktadan verilen bir doğruya yalnız ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.
Öklit bu aksiyomları ile geometriyi kendi içinde çelişkisiz ve tutarlı bir bilim durumuna getirmiştir.Ta ki kendinden iki bin yıl sonrasına kadar.
Öklit’in bu tanımlamaları ve kurduğu geometri 17. ve 18.yy.a kadar kesin hakimiyetini sürdürmüş ve bu yıllarda R.Descartes, Monge , Pascal ve Poncelet’in oluşturduğu cebirsel, analitik, tasarı ve izdüşümsel geometriler de Öklitçi temellere oturmaktan kurtulamamışlardır.Ancak Öklit’in “ bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.” dediği 5. aksiyomu 19. yy.ın başlarında matematikçiler arasında büyük tartışmaların kaynağı olmuş ve yeni geometrilerin kurulmasına ilham vermiştir.
19.yy.ın başlarında matematiğin geldiği noktada, Öklit’in 5. aksiyomunun yanlış olduğu varsayılarak, yerine başka aksiyom(lar) yerleştirilerek çok ilginç özellikler taşıyan yeni geometriler kurulmaya başlanmıştır.Bu dönemde Rus matematikçi N.Lobachevsky ( 1793-1856 ) , Macar matematikçi j.Bolyai ( 1802-1860 ) ve matematiğin taçsız kralı C.F.Gauss, Öklit’in 5. aksiyomunu kanıtlamak yerine bir başkası ile değiştirmeyi seçmekle yeni geometriler kurulabileceğini gösterdiler. N.Lobachevsky ve J.Bolyai birbirinden bağımsız olarak Hiperbolik Geometri’yi buldular.Hiperbolik geometride bir “doğru”nun düz olması gerekmez ve paralel doğrular kesişmemelerine rağmen asimptot oldukları için birbirlerinden eşit uzaklıkta kalmaz.
1854’te G.F.Bernhard Riemann ( Alman matematikçi ) 5. aksiyomun tersini kabul ederek : “Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez.” şeklinde ve “bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.” aksiyomunu da “bir doğru sınırsızdır ama sonsuz değildir.” ( yani doğrunun başlangıç ve bitiş noktaları yoktur ama uzunluğu sonludur.) şeklinde değiştirdi.Böylece küresel
yada Eliptik Geometri’yi kurdu. B.Riemann’ın aksiyomları tüm doğruların büyük çemberler olduğu kürenin yüzeyindeki geometride gerçekleşebilir.( Büyük çember: merkezi kürenin merkezi olan kürenin yüzeyindeki bir çemberdir.Küresel geometrideki doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir.Bu yüzden hiçbir doğru paralel değildir.) B.Riemann’ın kurduğu bu eliptik geometri geliştirdiği n-boyutlu eğri uzay kavramı ve bulduğu “iki nokta arasındaki uzaklığı tanımlamanın bir geometri kurmak için yeterli olduğu” gerçeği yeni bir dönüm noktası olmuştur.
Bu noktada söyleyebileceğimiz en önemli sonuç Öklit geometrisi dışında bir bakış açısı ile baktığımızda içinde Öklit dışı geometrilerin yer alabileceği değişik “dünya”ların tanımlanabilmesidir.
Örneğin küresel geometride üçgenin iç açılarının toplamı 1800 den büyüktür ve üçgenin alanı büyüdükçe açılarının toplamı da artar.
“Dünyanın yüzeyi yassı/flat değildir.Dünyanın yüzeyinde sürünen yassı yaratıklar dünyanın yüzeyindeki geometrinin Euklides geometrisi olduğu vargısını çıkarmayacaklardır.
Bunu görmek için, iyi bir yaklaşıklık olarak yüzeyin küresel olduğunu ve yassı bir yaratığın [yerküre üzerinde] A noktası ile belirtilen Kuzey Kutbundan yola çıkmak üzere üçgen bir yolcuğa başladığını varsayalım. Greenwich boylamı boyunca güneye doğru yola başlar ve B noktasında ekvatora ulaşır. Sonra sola döner ve ekvator boyunca doğru/straight bir yolda ilerleyerek Dünya çevresindeki uzaklığın bir çeyreği kadar gidip C noktasına varır. Sonra C’den geçen boylam boyunca sola döner ve A başlangıç noktasına ulaşır.
Yolculuğuna başladığı yöne bakmak için yine sola dönmek zorunda olduğunu görür. Başka bir deyişle, bir Euklides üçgeninin üç açısının toplamının yalnızca 180° olması gerekirken, kendisi sola üç kez dönerek toplam 270° olan bir dönüş yapmıştır. Bu dönüşleri yapmış olması dışında, yassı yaratığımız doğru bir yoldan sapmamıştır; böylece doğru çizgilerden yapılan gerçek bir üçgen betimlememiş olmakla suçlanamaz.”
Burada ussal olanın tam olarak Orwell’i haklı çıkaran bir yolda nasıl bastırıldığını doğal bilincin kendisi de herşeye karşın dolaysızca algılar,
2 + 2 = 5 olmadığını herşeye karşın bilir, çünkü kendinde ussaldır. Ama usdışını doğrulamada ciddi bir güçlük yaşamaz, çünkü usunun yetkesine değil, usdışı yetkeye dayanmayı yeğler çünküyetkedir.
(Aslında bu son türde aritmetiksel uydurmaları geçerli gören bakış açıları da ‘geliştirilmiştir,’ ve nasıl ‘uslamlamalar’ kullanıldığını merak etsek de, çocuklaşmayı bu düzeye dek götürmenin burada hiçbir gereği yoktur).