Manyetik Alanın Kaynakları BİOT-SAVART YASASI Jean Biot ve Felix Savart isimli bilim adamları akım taşıyan bir tel parçasının yakınlarında oluşan manyetik alanın matematiksel olarak nelere bağlı olduğunu ortaya koyabilmek için bir dizi deneyler gerçekleştirmişlerdir. Bu deney 𝐼 akımı taşıyan ve şekilde gösterilen bir tel parçasıyla ilgili olup bu tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alanla ilgilidir. Yapılan deneylerde şu sonuçlar elde edilmiştir. 1. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alan vektörü, hem 𝑑𝒔 vektörüne (akım yönüne) hem de 𝑑𝒔 den 𝑃’ ye doğru yönelen 𝒓 birim vektörüne diktir. 2. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alan vektörünün büyüklüğü 𝑟 2 ile ters orantılıdır. Burada 𝑟, 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasına olan uzaklığıdır. 3. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alan vektörünün büyüklüğü tel içinden geçen akımla (yani 𝐼) ve 𝑑𝒔 uzunluk elemanın büyüklüğü (yani 𝑑𝑠) ile orantılıdır. 4. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alan vektörünün büyüklüğü sin(𝜃) ile orantılıdır. Burada ifade edilen 𝜃 , 𝑑𝒔 uzunluk elemanı vektörü ile 𝒓 birim vektörüne arasındaki açıdır. Bu gözlemler ışığı altında Biot-Savart yasasına göre bir tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alan matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. Serbest uzayın manyetik alan geçirgenliği Manyetik alanın yönü; Baş parmak akımın gösterecek biçimde sağ-el ile tel kavranır, diğer dört parmak manyetik alanın yönünü gösterir. Bu ifade bir tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alanın matematiksel ifadesidir. Tüm telin 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑩 manyetik alan ise yukarıdaki ifadenin her iki tarafının integrali alınarak hesaplanır. Örnek: İnce Doğrusal Bir İletkeni Çevreleyen Manyetik Alan Şekilde gösterildiği gibi 𝑥 ekseni boyunca yerleştirilen ve sabit bir 𝐼 akımı taşıyan ince doğrusal bir tel veriliyor. Bu telden geçen akımın 𝑃 noktasında oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğünü ve yönünü belirleyiniz. Çözüm: Çözüm için önce tel üzerinde 𝑑𝒔 kadar çok çok küçük bir uzunluk elemanı alalım ve bu elemanın 𝑃 ye olan uzaklığı 𝑟 olsun. 𝑑𝒔 × 𝒓 vektörel çarpımını yapmaya çalışalım. 𝑑𝒔 = 𝑑𝑥𝒙 𝒓 bir birim vektör olup büyüklüğü birdir. Şekle göre bu vektör 𝒓 = cos 𝜃 𝒙 + sin(𝜃)𝒚 ile ifade edilir. 𝑑𝒔 = 𝑑𝑥𝒙 Dolayısıyla 𝒓 = cos 𝜃 𝒙 + sin(𝜃)𝒚 𝑑𝒔 × 𝒓 vektörel çarpımı; 𝑑𝒔 × 𝒓 = {𝑑𝑥𝒙} ×{cos 𝜃 𝒙 + sin(𝜃)𝒚}= 𝑑𝑥sin(𝜃)𝒛 Bu sonuca göre 𝑑𝑩 manyetik alan vektörü 𝒛 ekseninde olup sayfa düzlemi dışına doğrudur. Elde edilen bu yön, sağ el kuralı ile de bulunabilir. Bu durumda tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alanın matematiksel ifadesi; Elde edilen bu ifadenin integrali alınarak tüm iletkenin 𝑃 de oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü bulunabilir. Ancak ifadeye bakıldığında 𝑑𝑥 , 𝜃 ve 𝑟 birer değişkendir. Bu nedenle bu değişkenlerinin birbiri cinsinden ifade edilmesi gerekmektedir. Şekil incelendiğinde;𝑟nin değeri dik üçgenden aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Kosekant Aynı şekilde dik üçgenden aşağıdaki ifade yazılabilir. Şekle göre negatif 𝑥 eksenidir. Buradan 𝑥 çekilirse; Her iki tarafın türevi alınırsa; Yukarıdaki ifade de elde edilen değerler yerine yazılırsa sadece 𝜃 değişkenine bağlı bir ifade elde edilir.; Elde edilen bu ifade aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi açı değerleri 𝜃1 den 𝜃2 ye kadar olan tüm elemanlar üzerinden integral alınırsa manyetik alanın büyüklüğü aşağıdaki gibi elde edilir. Özel bir durum olarak akım taşıyan tel sonsuz uzunlukta olursa uzunluk elemanları için 𝜃1 = 0 ve 𝜃2 = 𝜋 olur ve bu durum için (cos 𝜃1 − cos 𝜃2 = (cos 0 − cos 𝜋 = 2) elde edilerek sonsuz uzunluktaki iletkenin 𝑃 noktasında oluşturduğu manyetik alan ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir. Örnek: Kavisli Bir Tel Parçasından Kaynaklanan Manyetik Alan Şekilde gösterilen akım-taşıyan tel parçası için 𝑂 noktasındaki manyetik alanı hesaplayınız. Tel, iki doğru parçası ve bir 𝜃 açısını gören 𝑅 yarıçaplı çembersel bir yaydan oluşmuştur. Tel üzerindeki ok uçları akımın yönünü göstermektedir. Çözüm: 𝐴𝐴′ ve 𝐶𝐶 ′ doğru parçalarındaki akımların 𝑂 noktasında oluşturdukları manyetik alan sıfırdır. Çünkü bu yollar boyunca 𝑑𝑠 uzunluk elemanları vektörü ile 𝑟 birim vektörleri birbirine paraleldir. (𝑑𝒔 × 𝒓=0) Öte yandan 𝐴𝐶 yolu boyunca her 𝑑𝒔 uzunluk elemanı, 𝑂 noktasından 𝑅 kadar uzaklıkta olup her elemandaki akım 𝑂 noktasında düzlemden içe doru yönelmiş bir 𝑑𝐁 manyetik alanı oluşturmaktadır. Bu yolun bir çember olması nedeniyle 𝐴𝐶 üzerindeki her noktada 𝑑𝒔 uzunluk elemanları vektörü ile 𝒓 birim vektörleri birbirine diktir. Bu nedenle 𝐴𝐶 parçası için 𝑑𝒔 × 𝒓= 𝑑𝒔 olup bu vektörel çarpımın büyüklüğü 𝑑𝑠 dir. Dolayısıyla 𝐴𝐶 yolu boyunca her 𝑑𝒔 uzunluk elemanını 𝑂 noktasında oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Bu ifadenin her iki tarafının integrali alınırsa tüm telin 𝑂 noktasında oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü elde edilebilir. Burada 𝐼 ve 𝑅 sabittir.