Geometri dalı neden olan matematik okuyan rakamlar arasında düzlemi ve boşluk ( Öklit geometrisi ). Sonundan itibaren XVIII inci yüzyılın geometrisi de boşluk diğer tip (ait rakamlar çalışmalar yansıtmalı geometri , Öklid dışı geometrisi , örneğin).
Başından bu yana XX inci : yüzyılda, bu boşlukların çalışma yöntemleri bazı şekiller otonom matematik dalları dönüştürülmüştür topoloji , diferansiyel geometri ve cebirsel geometri , örneğin. Bütün bu anlamları kapsamak istersek, bugün geometrinin ne olduğunu tanımlamak zor. Bunun nedeni, "çağdaş geometri"nin çeşitli dallarının birliğinin bir yöntemler veya nesneler topluluğundan çok tarihsel kökenlerde bulunmasıdır.
Yukarıdaki geometriler, boşlukların boyutları değiştirilerek, skalerlerin alanı değiştirilerek (gerçek doğrudan farklı çizgiler kullanılarak) veya uzaya bir eğrilik verilerek genelleştirilebilir. Bu geometrilerin hala klasik olduğu söyleniyor.
Ayrıca, klasik geometri aksiyomlaştırılabilir veya farklı şekillerde incelenebilir.
Lineer cebirin (vektör uzayları, kuadratik formlar, değişen çift doğrusal formlar, Hermit ve antihermit formları, vb.) bu geometrilerde karşılaşılan yapıların çoğunun açık modellerini oluşturmaya izin vermesi dikkat çekicidir. Bu nedenle klasik geometriye belirli bir birlik verir.
Öklid uzaylarının figürlerinin incelenmesinden doğan, ancak matematiğin özerk dallarına dönüşen ve Öklid uzaylarına daldırılması zorunlu olmayan uzayları inceleyen matematik dalları vardır:
Klasik geometrinin farklı uzayları topoloji, diferansiyel geometri ve cebirsel geometri ile incelenebilir.
Yazarlara göre geometri birçok anlamı kabul eder. Tam anlamıyla geometri, “şekillerin ve şekillerin boyutlarının incelenmesidir”. Bu tanım bir şekilde geometri ortaya çıkması ile tutarlıdır bilim altında Yunan medeniyetinin sırasında klasik dönem . Jean-Pierre Kahane'nin bir raporuna göre , bu tanım, insanların öğretilen bir konu olarak geometriye sahip oldukları fikriyle örtüşüyor: " uzayı anlamayı öğrendiğimiz yer ".
1739'da Leonhard Euler , Königsberg'in yedi köprüsü problemini inceledi ; Çalışması, geometride herhangi bir ölçüme bağlı olmayan, topolojik olarak nitelendirilecek ilk sonuçlardan biri olarak kabul edilir. Sırasında sorulan sorular XIX inci yüzyıl formu ve kavramlarını yeniden düşünmeye yol açtı boşluk Öklit mesafeler sertliğini atarak,. Endüklenen metriği korumadan bir yüzeyi sürekli olarak deforme etme olasılığı, örneğin bir küreyi bir elipsoide deforme etme olasılığı göz önünde bulundurulmuştur. Bu deformasyonların incelenmesi topolojinin ortaya çıkmasına neden oldu : çalışma nesneleri, yakınlık ve süreklilik kavramının komşuluk kavramıyla birlikte tanımlandığı topolojik uzaylar olan kümelerdir . Bazı matematikçilere göre topoloji, geometrinin ayrılmaz bir parçasıdır, hatta temel bir dalıdır. Bu sınıflandırma başkaları tarafından sorgulanabilir.
Felix Klein'ın ( 1849 - 1925 ) bakış açısına göre , analitik geometri "aslında sonradan ayrışan iki özelliği sentezledi: temelde metrik karakteri ve homojenliği". İlk karakter, mesafelerin geometrik özelliklerini inceleyen metrik geometride bulunur . İkincisi, geometriyi grup eylemi değişmezlerinin çalışması olarak tanımlayan Erlangen'in programının temelidir .
Geometri olarak bilinen araştırma alanlarındaki mevcut çalışmalar, verilen ilk tanımı sorgulama eğilimindedir. Jean-Jacques Szczeciniarcz'a göre, geometri "uzaya basit referans, hatta figürasyon veya görselleştirme [üzerine]" üzerine inşa edilmemiştir, ancak gelişimi yoluyla anlaşılmaktadır: "geometri emilir ama aynı zamanda bize görünür. kavramlara bir anlam yüklerken aynı zamanda ilk anlama dönüş izlenimi vermektir”. Jean-Jacques Sczeciniarcz, matematiksel araştırmalarda geometrinin genişlemesine veya parçalanmasına yol açan iki hareketi not eder:
Bir uzantı olarak, geometriye artık birleşik bir disiplin olarak değil, matematiğin bir vizyonu veya nesnelere bir yaklaşım olarak yaklaşılabilir. Gerhard Heinzmann'a göre, geometri " en çeşitli alanlarda bir dil çerçevesi olarak " noktalar ", " mesafe " veya " boyut " gibi geometrik terimlerin ve içeriklerin kullanımıyla karakterize edilir ve buna ampirik bir yaklaşım arasında bir denge eşlik eder. ve teorik bir yaklaşım.
Geometrinin icadı eski Mısır'a kadar uzanır .
İçin Poincaré'nin , geometrik alanı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometriler, uzayın bu katı sensu tanımına karşılık gelir. Böyle bir geometri oluşturmak, dört temel nesnenin düzenleme kurallarını belirtmekten ibarettir: nokta , doğru , düzlem ve uzay . Bu çalışma, ex nihilo çalışan tek şey olan saf geometrinin ayrıcalığı olarak kalır .
Projektif geometri en minimalist olanıdır, bu da onu diğer geometriler için ortak bir çekirdek haline getirir. Aksiyomlara dayanır:
Uygun olmayan öğelerin projektif geometride ayırt edilmesi, tartışmacı geometriyi karakterize eder . Daha sonra bu uygun olmayan elemanların ortadan kaldırılmasından afin geometri doğar. Noktaların bu şekilde silinmesi paralellik kavramını yaratır, çünkü bundan böyle belirli eşdüzlemli doğru çiftleri kesişmeyi bırakır. Kaldırılan uygun olmayan nokta , bu düz çizgilerin yönü ile karşılaştırılabilir . Ayrıca, iki nokta sadece bir segment (uygunsuz noktası içermeyen iki) tanımlar ve kavramı tanıtmaktır anlamı veya yönlendirme (demek ki, bu ayırt edilmelerine olanak gelen ).uyum Öklid ve Öklid olmayan geometriler
Bir doğrunun dışındaki bir noktadan her zaman bu doğruya paralel ve sadece bir tane geçer.
Felix Klein'ın ( Erlangen programının yazarı) anlayışında geometri, dönüşüm gruplarının (simetriler de denir) üzerinde çalıştığı noktaların uzaylarının ve bu gruplar için değişmez olan niceliklerin ve özelliklerin incelenmesidir. (Düzlemde ve küre, örneğin, her ikisi de 2-boyutlu alanlarda, homojen (imtiyazlı noktası) ve izotropik (imtiyazlı yönü), ancak simetri gruplarında farklılık grubu Öklid biri için, dönme grubu için diğer).
Bu nedenle bu bir disiplin meselesi değil, her bir geometrinin özelliklerine dair net bir görüş sağlayan önemli bir sentez çalışması meselesidir. Bu program bu nedenle geometriyi temel aldığından daha fazla karakterize eder. Öklidyen olmayan geometrilerin doğası ve analitik ve sentetik geometriler arasındaki tartışmalara ilişkin tartışmalarda arabulucu bir rolü vardı .
Orada diferansiyel geometri ve cebirsel geometride Lie grupları ve cebirsel gruplar , kendileri homojen uzaylara sahiptir ve klasik geometri genellikle bu homojen uzayların çalışmasına indirgenir. Afin ve projektif geometriler lineer gruplarla, Öklid, küresel, eliptik ve hiperbolik geometriler ise ortogonal gruplarla ilgilidir.
Lie veya cebirsel grupların veya belirli hipotezleri karşılayan homojen uzaylarının açık sınıflandırmaları olduğunda (Lie grupları veya basit cebirsel, simetrik uzaylar, genelleştirilmiş bayrak çeşitleri, sabit eğrilik uzayları, örneğin), bu sınıflandırmaların ana unsurları bazen klasik geometriden gelir. , ve bu klasik geometrilerin ilişkili olduğu gruplar klasik gruplar olarak adlandırılan gruplarla (örneğin doğrusal, ortogonal, simplektik gruplar) bağlantılıdır.
Çoğu klasik geometri, Lie gruplarıyla veya klasik olarak adlandırılan basit cebirle ilgilidir (doğrusal cebirden türetilmiştir). Başka Lie grupları veya basit cebirler de vardır ve bunların "istisnai" oldukları söylenir ve klasik geometriye belirli analojilerle istisnai geometriye yol açarlar. Bu ayrım, basit grupların (belirli varsayımlar altında) birkaç sonsuz seri (genellikle dört) ve sonlu sayıda başka grup (genellikle beş) olarak sınıflandırılması gerçeğinden kaynaklanmaktadır ve istisnai olan bu son gruplardır. lineer cebir kapsamına girmez (en azından aynı şekilde değil): genellikle ilişkisel olmayan cebirsel yapılarla bağlantılıdırlar ( örneğin sekizli cebirler, istisnai Jordan cebirleri).
To Lie grupları veya basit cebirler, Dynkin diyagramlarıyla (bir tür grafik) ilişkilidir ve bu geometrilerin belirli özellikleri bu diyagramlarda okunabilir.
Riemannsal geometri Öklid geometrisinin bir uzantısı olarak görülebilir. Çalışması , teğet vektörler kavramını sunan ve bu vektörleri ölçmeyi mümkün kılan bir metrik ( Riemann metriği ) ile donatılmış uzayların ( çeşitlerin ) geometrik özelliklerine odaklanmaktadır . Karşılaşılan ilk örnekler , metrik özellikleri Gauss tarafından 1820'lerde incelenen 3 boyutlu Öklid uzayının yüzeyleridir.Öklid çarpımı, çeşitli tanjant düzlemlerine kısıtlama ile incelenen yüzey üzerinde bir metrik indükler. Metrik'in içsel tanımı, Riemann tarafından daha yüksek boyutta resmileştirildi. Paralel taşıma kavramı manifoldun iki farklı noktasındaki teğet uzayların karşılaştırılmasına izin verir: Riemann manifoldu üzerinde çizilen bir eğri boyunca bir vektörü tutarlı bir şekilde taşımayı amaçlar. Bir Riemann manifoldunun eğriliği, tanım gereği, paralel taşımanın bir noktadan diğerine onları bağlayan eğriye olası bağımlılığını ölçer.
Metrik, Riemann mesafesinin tanımını türeten eğrilerin uzunluğunun tanımına yol açar. Ancak üçgenlerin metrik özellikleri Öklid trigonometrisinden farklı olabilir. Bu fark kısmen Toponogov'un teoremi aracılığıyla incelenmiştir , bu da en azından yerel olarak model uzayları ile çalışılan Riemann manifoldunu kesit eğriliği üzerinde bilinen eşitsizliklere göre karşılaştırmayı mümkün kılar. Model uzayları arasında:
Kompleks geometrisi yerel olarak tespit edilebilir alanın özellikleri ile ilgilidir . Bu nesneler ( karmaşık manifold ), bir fonksiyonun birkaç değişkenli analitik bir uzantısının benzersizliğinden kaynaklanan belirli bir katılık sunar.
Simplektik geometrisi farklı geometri bir dalıdır ve bu formlar çift doğrusal alternatif ilgilidir boyut 2. karşılaşılan yönlendirilmiş alanı kavramı daha yüksek boyutlara bir genelleme olarak sokulabilir. Bu geometrinin nesneleri, bir alternatif çift doğrusal şekiller alanı ile sağlanan diferansiyel manifoldlar olan simplektik manifoldlardır. Örneğin, değişen bir dejenere olmayan çift doğrusal biçime sahip bir vektör uzayına bağlı bir afin uzay, bir simplektik manifolddur.
İletişim geometrisi bazı özellikleri doğrulanması hiperdüzlemler teğet boşlukların alanı ile donatılmış diferansiyel manifoldlar olan temas çeşitleri, okuyan diferansiyel geometrisinin bir dalıdır. Örneğin, yansıtmalı uzay, değişen bir dejenere olmayan çift doğrusal form ile sağlanan bir vektör uzayının bir temas manifoldu olduğu sonucunu çıkarır.
Uzun zamandır geometri ve astronomi birbirine bağlıydı. Temel düzeyde, ayın boyutlarının, Güneş'in ve bunların Dünya'ya olan uzaklıklarının hesaplanması Thales teoremini kullanır . Güneş sisteminin ilk modellerinde, her gezegen bir Platonik katı ile ilişkilendirildi . Newton'un çalışmasıyla doğrulanan Kepler'in astronomik gözlemlerinden , gezegenlerin Güneş'in odak noktalarından biri olduğu eliptik bir yörüngeyi takip ettikleri kanıtlanmıştır . Geometrik nitelikteki bu tür düşünceler , yörüngeleri niteliksel olarak tanımlamak için klasik mekaniğe yaygın olarak müdahale edebilir .
Bu anlamda, geometri, mekanik bir sistemin kararlılığının incelenmesinde mühendisliğe müdahale eder. Ama endüstriyel tasarıma daha da doğal bir şekilde müdahale ediyor . Endüstriyel çizim, üç boyutlu bir nesnenin kesitlerini veya izdüşümlerini gösterir ve uzunlukları ve açıları ile açıklamalıdır. Bu, endüstriyel tasarım projesi oluşturmanın ilk adımıdır . Son zamanlarda, geometrinin bilgisayar bilimi ile evliliği, bilgisayar destekli tasarımın (CAD), sonlu eleman hesaplamalarının ve bilgisayar grafiklerinin ortaya çıkmasını sağlamıştır .
Öklid trigonometrisi, örneğin ışığın kırınımını tedavi etmek için optikte kullanılır. Aynı zamanda navigasyonun gelişiminin kökenindedir : yıldızlarla deniz navigasyonu ( sektantlarla ), haritacılık, hava navigasyonu (fenerlerden gelen sinyalleri kullanan aletlerle pilotluk).
En geometride Yeni gelişmeler XIX inci yüzyıl fizik yankıları bulundu. Riemann geometrisinin başlangıçta Gauss'un Dünya'nın haritalanmasıyla ilgili soruları tarafından motive edildiği sıklıkla söylenir . Özellikle uzaydaki yüzeylerin geometrisini dikkate alır . Uzantılarından biri olan Lorentz geometrisi , genel görelilik yasalarını formüle etmek için ideal biçimciliği sağladı . Diferansiyel geometri ile sonrası Newton yeni fiziksel uygulamalar bulunan şeritlerinin teori veya membranlar .
Matematik öğretiminde geometri ayrıcalıklı bir yere sahiptir . Çok sayıda eğitim çalışması onun ilgisini kanıtlamaktadır : öğrencilerin problemler üzerinde bir yansıma geliştirmelerine, düzlem ve uzay figürlerini görselleştirmelerine, gösteriler yazmalarına , belirtilen hipotezlerden sonuçlar çıkarmasına olanak tanır . Ama dahası, "geometrik akıl yürütme, basit biçimsel çıkarımdan çok daha zengindir", çünkü "şekillerin gözlemlenmesinden" doğan sezgiye dayanır.
1960'larda Fransa'da matematik eğitimi geometri problemlerini günlük yaşamda uygulamaya koymakta ısrar etti. Özellikle, Pisagor teoremi , 3, 4, 5 kuralı ve bunun marangozluktaki kullanımı ile gösterilmiştir. İnvolüsyonlar, harmonik bölümler ve çapraz oranlar lise müfredatının bir parçasıydı. Ancak Amerika Birleşik Devletleri'nde doğan ve Avrupa'da uyarlanan modern matematiğin reformu, lineer cebiri ikinci derecede tanıtmak için geometride öğretilen bilgide önemli bir azalmaya yol açtı . Birçok ülkede, bu reform şiddetle eleştirildi ve okul başarısızlıklarından sorumlu olarak belirlendi . Jean-Pierre Kahane'nin bir raporu, geometrinin katkısı üzerine "gerçek bir ön didaktik düşüncenin" eksikliğini kınar: özellikle, bir "vektör geometrisi uygulaması" öğrenciyi vektör uzayının biçimsel kavramlarının daha iyi özümsenmesi için hazırlar, bilinear ...
Diğer konuların öğretiminde figürlerin kullanılması, öğrencilerin sunulan argümanları daha iyi anlamalarını sağlar. Not: Matematik didaktiğinde, genellikle "çizim" (cetvel, pergel gibi araçlarla yürütülen), "diyagram" (serbest elle yürütülen ve soyut akıl yürütme için somut bir destek görevi gören) kavramları arasındaki farkı yaparız. gerçekleştirmek) ve "şekil" (akıl yürütmenin nihayetinde ilgili olduğu ve her birinin kendi zihinsel temsiline sahip olduğu soyut geometrik nesne: örneğin, "şekil" eşkenar üçgeninin benzerliği ile farklı bir zihinsel temsiline sahip olabiliriz). Bu ayrımlarla, grafiksel olarak temsil edilen şey bu nedenle bir "figür" uyandırır, ancak bir olmaz. .