FraktallarGiriş
Doğada çevremize bakarken, aşağıdaki gibi karmaşık bitkileri fark etmiş olabilirsiniz:
Başlangıçta, bunlar son derece karmaşık şekiller gibi görünür - ancak daha yakından baktığınızda, her ikisinin de nispeten basit bir desen izlediğini fark edebilirsiniz: bitkilerin her bir birimi bitkinin bütününe benzer, sadece daha küçüklerdir. Aynı desen daha küçük ölçeklerde tekrar tekrar yenilenir.
Matematikte, bu özelliğe kendine benzerlik diyoruz ve buna sahip şekillere
Kendi fraktallarımızı oluşturmak için basit bir desenle işe başlayıp daha sonra daha küçük ölçeklerde tekrar tekrar yenileyerek devam etmeliyiz.
En basit örüntülerden biri bir ucundan iki doğru parçası dahaçıkan bir doğru parçasıdır. Bu örüntüyü tekrarlarsak, bu mavi segmentlerin her ikisinin de uçlarından iki dal daha çıkacaktır.
Tüm dalların uzunluğunu ve açısını değiştirmek için mavi noktaları hareket ettirebilirsiniz. Ardından, aşağıdaki çubuğu](->#fern-slider) kaydırarak {yin} tekrarlanma sayısını artırın.
Dalların konumuna bağlı olarak, yukarıdaki , veya gibi görünen tamamen farklı desenleri oluşturabilirsiniz. Başka hangi şekilleri oluşturabilirsiniz?
Bir başka ünlü fraktal da
Son şeklin bütününün üç özdeş birimden](target:x) nasıl oluştuğuna ve bunların her birinin, tüm üçgenin, daha da küçük kopyalarından oluştuğuna dikkat edin! Üçgeni sonsuza dek büyütmeye devam ettiğinizde, desenler ve şekillerin her zaman tekrarlanmaya devam ettiğini görürsünüz.
Bu bölümün başında gördüğümüz bitkiler fraktallar 'a benziyorlar, ancak gerçek hayatta hakiki fraktal oluşturmak mümkün değildir. Aynı modeli tekrar tekrar, daha küçük ve daha küçük tekrarlarsak bile, sonunda bölünemeyecek olan hücrelere, moleküllere veya atomlara ulaşırdık.
Ancak, matematik sayesinde gerçek fraktalların “sahip olacağı” özellikleri düşünebiliriz - ve bunlar çok çok şaşırtıcı…
Fraktalların Boyutları
İlk olarak, fraktalların boyutlarını düşünelim. Bir doğru parçasının boyutu
Bir kare
Bir küpün
Şimdi ise Sierpinski üçgenine bakalım. Bu üçgeni 2 katına çıkarırsak, "alan" ın
Diyelim ki d, Sierpinski üçgeninin boyutu. Yukarıdaki ile aynı modeli kullanarak
Ama durun… bir şeyin tamsayı olmayan bir boyutu nasıl olabilir? İmkansız görünüyor, ama bu fraktalların garip özelliklerinden sadece biri. Aslında, fraktallara isimlerini veren de budur: Fraktalların, kesirli bir boyutu vardır.
Her yinelemede, Sierpinski üçgeninin bazı bölgelerini yok ediyoruz. Bunu sonsuza kadar birçok kez yapabilseydik, aslında herhangi bir yüzeyi kalmazdı: bu yüzden Sierpinski üçgeni 2 boyutlu bir yüzey ile 1 boyutlu bir çizgi arasında bir şeydir.
Birçok fraktal kendine benzer olmakla birlikte, daha iyi bir tanım fraktalların tamsayı olmayan bir boyuta sahip olan şekiller, olduğudur.
Koch Kar Tanesi
Doğada fraktallara benzeyen birçok şekil var. Bu bölümün başında, zaten bazı bitkiler görmüştük. Diğer harika örnekler, kar taneleri ve buz kristalleridir:
Kendi fraktal kar tanemizi oluşturmak için, tekrar tekrar uygulayabileceğimiz basit bir prosedür bulmak zorundayız.
Sierpinski üçgeni gibi, tek bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bununla birlikte, her adımda daha küçük üçgenleri _silmek yerine, kenar boyunca ekleyelim. Her yeni, küçük üçgenin kenar uzunluğu, önceki adımdaki üçgenlerin
Ortaya çıkan şekle, İsveçli matematikçi
Koch Kar Tanesi'nin bir kenarını 3 katı büyüttüğümüzde, uzunluğu
Yukarıdaki boyutlar ve büyüme ölçekleri arasındaki aynı ilişkiyi kullanarak,
Alan
Koch kar taneleri oluşturmak neredeyse
İlk adımdan sonra, eklenen yeni üçgenlerin sayısı her adımda
Diyelim ki
Sonsuz
Çevre
Koch kar tanesinin, çevresini de hesaplamaya çalışabiliriz. Daha önce gördüğümüz gibi, çevre uzunluğu her adımda
Bu, bir kez daha geometrik bir serimiz olduğu anlamına gelir - ancak bu durumda çevra, [[>>>>,|0'a yaklaşır|dilk terimi yoktur] 'herhangi bir sayoya yaklaşmaz. Bu, Koch kar tanesi çevresinin aslında sonsuz uzunluğunda olduğu anlamına gelir!
Bu mantıksız görünüyorsa, çevreyi her adımda
Aynı anda sonlu alanı ve sonsuz çevresi olan bir şekil neredeyse düşünülemez - ancak bu, fraktalların beklenmedik birçok özelliğinden sadece biridir.
Kendi fraktallarınızı yaratmanın başka yollarını bulabilir misiniz?
Menger Süngeri
Fraktalların, yukarıdaki örneklerde olduğu gibi hep "düzlemsel" olmaları gerekmez. 3 boyutlu olan en ünlü fraktallardan biri, ilk olarak 1926'da matematikçi
Tek bir küple başlıyoruz ve her bir yüzüne tekrar tekrar daha küçük ve daha küçük delikler açıyoruz. Her yeni adımda oluşan kübik delik, önceki deliğin genişliğinin
Normalde, (3x3x3) bir küp (347}) 27 küçük küpten oluşur, ancak şekilde gördüğüniz gibi bunlardan bazılarını sildik. Dolayısı ile Menger süngeri, kendisinden 3 kat daha küçük olan
Şimdi, yukarıdaki Koch kar tanesi için yaptığımız gibi Menger süngerinin de d boyutunu hesaplamaya çalışabiliriz. Bu durumda
Sonsuza kadar delik açmaya devam ettiğimizi varsayarsak, aslında geriye bir hacim kalmaz. Bu yüzden bu küp “tam olarak” 3 boyutlu değildir!
Fraktal Sahil Şeritleri
Şimdiye kadar gördüğümüz tüm fraktalların temel özelliklerinden biri, sonsuza dek “yakınlaştırabilmemiz” ve her zaman aynı örüntüleri bulabilmenizdir. 1920 yılı dolaylarında, İngiliz matematikçi
Ülkenin temel şekli ile başlayıp, yakınlaştırdıkça nehir girişleri, koylar ve körfezleri ekleyip, ardından her bir sahili, kayaları, çakıl taşlarını eklemek gibi
Bir ülkenin sınırının uzunluğunu hesaplamaya çalışırken - ne kadar yakınlaştıracağınıza ve hangi köşe ve girinti ve çıkıntıları dahil edeceğinize karar vermek, önemli bir sorundur.
Britanya'nın kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmenin yollarından biri, uzun bir cetvel almak, plajlarında dolaşmak ve sonra tüm mesafeleri toplamaktır.
Cetvel
Daha küçük ve daha küçük cetvellerle bu işe devam edebiliriz, kıyı şeridinin uzunluğuna ilişkin sonuç her seferinde biraz daha uzun olur. Tıpkı daha önce Koch Kar tanesinde olduğu gibi, İngiltere'nin sahil şeridi sonsuza kadar uzuyormuş gibi gözüküyor! Buna genellikle kıyı şeridi paradoksu denir.
On yıllar sonra, matematikçi
Britanya'nın kıyı şeridi kesinlikle fraktal "görünüyor", ancak daha önce gördüğümüz diğer fraktallar gibi kendine benzer değil. Boyutunu bulmak için, kareli bir kağıda çizebilir ve kesiştiği kare sayısını sayabiliriz.
Başlangıçta 88 kesişen kare vardır. Kıyı şeridini 2 kat büyütürsek, 197 kesişen kare olur - iki katından fazla!
Kıyı şeridinin boyutu
Bunu daha büyük karelerle tekrarlarsak, İngiltere sahil şeridinin boyutunun aslında yaklaşık 1.21 olduğunu görürüz. Mandelbrot, bu fraktal boyutun aynı zamanda bir şeklin pürüzlülüğünün bir ölçüsü olduğunu fark etti - bu yeni kavram ile, matematik ve bilimin diğer birçok alanında önemli uygulamalar buldu.
Doğa ve Teknolojiden Daha Fazla Fraktal
Gerçek fraktallar hiçbir zaman doğada görünmezken, fraktallara neredeyse benzeyen birçok nesne vardır. Zaten bitkiler, kar taneleri ve sahil şeritlerini görmüştük ve işte size birkaç örnek daha:
Tüm bu nesneler, tamamen rastgele oluşmuş gibi görünebilir, ancak tıpkı fraktallar gibi, bunların nasıl oluştuğunu belirleyen bir örüntü vardır. Matematik, şekilleri daha iyi anlamamıza yardımcı olabilir ve fraktalların tıp, biyoloji, jeoloji ve meteoroloji gibi alanlarda uygulamaları vardır.
Fraktalları, video oyunlarında veya bilgisayar tarafından oluşturulan filmlerde kullanılan manzaralar ve dokular gibi gerçekçi doğa “kopyaları” oluşturmak için de kullanabiliriz. Bu görüntüdeki su, dağlar ve bulutlar tamamen bir bilgisayar tarafından, fraktalların yardımıyla yapıldı!
Ayrıca, dijital görüntüleri sıkıştırmak, dosya boyutlarını azaltmak için bu işlemi tam tersine de çevirebiliriz. Bu konuyla ilgili ilk algoritmalar 1980'lerde Michael Barnsley ve Alan Sloan tarafından geliştirildi ve bugün hala yeni algoritmalar araştırılıyor.