Bazı 2 sayının karesi 3. bir sayının karesine eşit olabilir. Mesela 52 +122=132 Peki 2 sayının küpünün toplamı 3. bir sayının küpüne eşit olabilir mi? Ya da 4. 5. ya da daha büyük kuvvetlerin? Bu durum biraz ilginç görünebilir ama cevap hayırdır. İşte Fermat’ın son teorimi n, 2’den büyük olmak üzere xn+yn=zn denkleminin çözümsüz olduğunu söyler. Fermat, bu teoreminin muhteşem bir ispatı olduğunu söylemiştir ama ispatı yazmamıştır.
Bu teorem bir Diofantus denklemidir. Diofantus, adını İskenderiyeli Diofanus’tan almıştır. Bu denklem, yalnızca tam sayı çözümleri kabul eder. Mesela 32+22= √13 olduğu için bu çözüm geçersizdir. Çünkü Diofantus denklemlerinde yalnızca tam sayılar geçerlidir.
x2+y2=z2 denkleminin üçgenlerle bağlantısı vardır. bir dik üçgenin kenarlarına x, y, z dersek bu denklemi sağlarlar. Zaten bu denkleme Pisagor Teoremi de denmektedir.
Bu teoremin ispatlarından biri şu şekildedir; 3×3’lük bir kareyi parçalayıp 4×4’lük bir karenin çevresine sarılırsa 5×5’lik bir kare elde edilir. Ya da 5×5’lik bir kareyi parçalayarak 12×12’lik bir karenin etrafına sararsak 13×13’lük bir kare ede ederiz…
x3+y3=z3 denkleminin çözümü için kare değil de küp kullanmamız gerekiyor. Bir küpü parçalayarak başka bir küpün etrafına sararsak yeni bir küp elde edebilir miyiz? Bunu yapmak imkansızdır. Bu denklemin tek bir çözümünün bulunması yukarı da anlattığımız gibi Fermat’ı ünlü son teoremine götürdü: n, 2’den büyük olmak üzere xn+yn=zn denklemi çözümsüzdür.
Formülün İspatını Yapmaya Çalışanlar
Fermat, n değerlerini teker teker incelemeyi denemiştir. 18. ve 19. yy’larda Euler n=3 durumunu, Adrien-Marie Legendre n=5 durumunu, Gabriel Lame n=7 durumunu ispatlamıştır.
Ernst Kummer 1843’te genel teoremi ispatladığını açıklamıştır. Ama Dirichlet bu ispatta hata bulmuştur. Kummer, teoremi 100’den küçük sayılar için ispatlamıştır. Bir tek 37, 67 ve 59 buna dahil değildir. Teoremi hatalı olsa da Fransız Bilim Akademisinin bu teoreminin çözümü için koyulan 3000 frank ödülü almıştır.
Teoremi ispatlamada başarısız olsa bile bu çalışması soyut cebirde önemli tekniklerin keşfedilmesini sağlamıştır.
1907 yılında Ferdinand von Lindemann teoremi ispatladığını iddia etmiştir. Fakat sonradan yanıldığı ortaya çıkmıştır.
1908 yılında Paul Wolfskehl teoremi ilk ispatlayacak kişiye 100 yıl içinde geçerli olan ve 100.000 mark değerinde ödül koymuştur. 5000 civarında gelen ispatların hepsi reddedilmiştir.
Pisagor teoremi ve Fermat’ın son teoremi arasında geometriyle ilişki vardır. Bu ilişki Japon matematikçiler Yutaka Taniyama ve Goro Shimura‘nın öne sürdüğü sanı ve eğriler kuramında yatıyordu. 1993’te Andrew Wiles, Cambridge‘de bu kuram üzerine bir ders verdi ve Fermat’ın teoremini bu dersin bir parçası olarak ispatladı ama bu ispat da yanlıştı.
Ve Nihayet İspat
Andrew Wiles kendini her şeyden soyutladı ve aralıksız çalışmaya başladı. Wiles arkadaşlarının da yardımıyla ispattaki hatayı düzeltmeyi başardı ve 1995’te ispatı yayınladı. Wolfskehl’in koyduğu ödülün zamanı dolmadığı için bu ödülü de kazandı ve dünyaca ünlü bir matematikçi oldu.