Harmonik Fonksiyonlar, Harmonik Fonksiyon Nedir
Harmonik fonksiyon, herhangi bir noktadaki değeri, bu noktanın çevresindeki herhangi bir çember üzerindeki değerlerinin aritmetik ortalamasına eşit olan iki değişkenli matematiksel fonksiyon (fonksiyonun bu çemberin içinde tanımlı olması koşuluyla). Bu ortalama içinde sonsuz sayıda nokta bulunduğu için, fonksiyon, sonsuz bir toplamı ifade eden integral yardımıyla bulunur. Fizikte harmonik fonksiyonlar, bir bölgede, örneğin sıcaklığın ya da elektrik yük dağılımının bölgenin her noktasında sabit bir değerde kalmasına karşılık gelen denge koşullarını tanımlar.
Harmonik fonksiyonlar, Laplace denklemini sağlayan fonksiyonlar olarak da tanımlanabilir. Bir harmonik fonksiyonun belirlediği yüzeyin dışbükeyliği sıfırdır; bu nedenle de bu fonksiyonların, tanımlandıkları bölge içinde maksimum ya da minimum değer almamak gibi önemli bir özelliği vardır. Harmonik fonksiyonlar analitiktir; bir başka deyişle bütün türevleri vardır ve sonsuz sayıda terim içeren ve kuvvet serisi olarak adlandırılan polinomlarla ifade edilebilirler.
Üç boyutlu uzaydaki kütle çekimi ve elektrik alanlarının, ayrıca magnetik alanların ya da bazı akışkan akışı türlerinde oluşan alanların incelenmesinde küresel koordinat sistemi (uzaydaki bir noktanın konumunun, koordinat merkezinden uzaklığıyla [rl ve astronomide olduğu gibi yükseklik ;’/] ve açıklık [<p açılarıyla belirlendiği koordinat sistemi) kullanıldığında küresel harmonik fonksiyonlar ortaya çıkar.
İki tür küresel harmonik vardır:
1) Katı küresel harmonikler, Rn(x,y,z), bir kürenin içindeki bütün noktalar için bir değeri bulunan «’inci dereceden özel polinomlardır;
2)yüzey küresel harmonikler,S„(ti, ip), yalnızca küre yüzeyinde bir fonksiyon tanımlar.
Bu iki harmonik türü arasında R„(x,y,z)=r”S„( 8,tp) bağıntısı vardır. Kuramda zor olan, yüzey küresel harmoniklerin belirlenmesidir. Bu harmonik, iki fonksiyonun çarpımı biçiminde yazılabilir; bunlardan biri e±imtp fonksiyonudur,buradan, sıfır ya da pozitif bir sayıdır. İkinci fonksiyon ise daha karmaşık bir fonksiyondur ve yalnızca 0 ‘ya bağımlıdır. Yalnızca d ‘ya bağımlı olan kısım “yardımcı Legendre denklemi” olarak bilinen diferansiyel denklemin çözümüdür ve “yardımcı Legendre fonksiyonu” olarak adlandırılır.
Laplace denkleminin her çözümü (sonsuz sayıda olabilen) katı küresel harmoniklerin toplamı biçiminde yazılabilir.