Ana içerik
Cebir 2
Karmaşık Sayılar
Karmaşık sayıların ne olduğunu, ayrıca karmaşık sayıların gerçel (reel) ve sanal (imajiner) kısımlarını öğrenelim.
Gerçel sayı sisteminde, denkleminin çözümü yoktur. Bu derste, bu denklemin çözümünün olduğu yeni bir sayı sistemi üstünde çalışacağız.
Bu yeni sayı sisteminin belkemiği, sayısıdır.
Bu imajiner birimin katlarını alarak, sonsuz sayıda çok yeni sayı yaratabiliriz. Örneğin, , ve , veya 'nin sıfır haricinde bir gerçek sayı olduğu formundaki sayıların tümü, yalın majiner sayılardır.
Gerçek sayıları bu yalın imajiner sayılara eklemek ve gibi sayılar verir. Bunlar yalın imajiner sayılar olmamakla birlikte, gerçek sayı da değildir. Bu sayılar, karmaşık sayılar olarak sınıflandırılırlar.
Karmaşık sayıları tanımlama
Bir karmaşık sayı, şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıdır, burada imajiner birimdir ve ve gerçek sayılardır.
Sayının kısmı veya , yalın imajiner sayıya eklenen gerçek sayıdır.
Sayının kısmı veya , yalın imajiner sayının gerçek sayı katsayısıdır.
Aşağıdaki tablo karmaşık sayılar için örnekler göstermektedir, bu sayıların gerçel ve imajiner kısımları belirtilmiştir. Bazı kişiler, sayı standart formda yazıldığında, gerçel ve imajiner kısımları belirlemeyi daha kolay bulurlar.
|Karmaşık Sayı||Standart Form||Parçaların tanımı|
|Gerçel kısım ve imajiner kısım .|
|Gerçel kısım ve imajiner kısım|
|Gerçel kısım ve imajiner kısım|
|Gerçel kısım ve imajiner kısım|
Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin
Problem 1
'in gerçel kısmı nedir?
Problem 2
'nin imajiner kısmı nedir?
Problem 3
'nin gerçel kısmı nedir?
Karmaşık sayıları sınıflandırma
Yukarıda karmaşık sayılara örnek olarak ve 'nin verildiğini fark etmiş olabilirsiniz, ancak bunlar sırasıyla yalın imajiner ve gerçel olarak sınıflandırılabilirler.
Buna daha yakından bakalım ve sayıların nasıl bir araya geldiğini anlamaya çaışalım.
bir yalın imajiner sayıdır. Bu sayıyı ayrıca olarak ifade edebiliriz. Buna göre, bir yalın imajiner sayıdır ve bir karmaşık sayıdır! Aslında, her yalın imajiner sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Benzer şekilde, bir yalın imajiner sayıdır. 'yi ayrıca olarak ifade edebiliriz. Buna göre, bir yalın imajiner sayıdır ve bir karmaşık sayıdır! Aslında, her yalın imajiner sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Genel olarak, sıfır haricindeki herhangi bir karmaşık sayısı, aynı zamanda ...
- ...eğer ise yalın imajiner bir sayı.
- ...eğer ise gerçel bir sayı.
Aşağıdaki şemada gerçel, yalın imajiner ve karmaşık sayı setlerine ilişkin bilgi ve her tür için örnek sayılar verilmiştir.
Düşünme sorusu
Aşağıdaki ifade doğru mudur, yanlış mıdır?
Her karmaşık sayı, ya gerçel ya da yalın imajinerdir.
Örnekler
Aşağıdaki tabloda bazı sayıları gerçek, yalın imajiner ve/veya karmaşık olarak sınıflandırdık.
|X|
|X||X|
|X||X|
|X||X|
|X||X|
Dikkat ederseniz, tabloda listelenmiş sayıların hepsi karmaşık sayılardır! Bu, genel olarak doğrudur!
Şimdi siz deneyin!
Problem 4
ne tür bir sayıdır?
Problem 5
ne tür bir sayıdır?
Problem 6
ne tür bir sayıdır?
Bu sayılar neden önemli?
Peki biz neden karmaşık sayıları öğreniyoruz? İster inanın ister inanmayın, karmaşık sayılar pek çok alanda kullanılmaktadır; birkaç alanın ismini vermek gerekirse, örneğin elektrik mühendisliği ve kuantum mekaniği!
Tamamen matematiksel bir bakış açısıyla, karmaşık sayılara ilişkin harika olan şey, herhangi bir polinom denklemi çözmemizi sağlamalarıdır.
Örneğin, polinom denkleminin gerçel çözümü veya yalın imajiner çözümü yoktur. Bununla birlikte, iki karmaşık sayı çözümü vardır. Bunlar ve 'dir.
Matematik alanındaki çalışmalarımıza devam ettikçe, bu sayılar ve nasıl kullanıldıkları hakkında daha fazla şey öğreneceğiz.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
- Yukarıda "Benzer şekilde, -2 bir yalın imajiner sayıdır." yazıyor. Çeviri hatası olabilir mi?(4 oy)
- Yanlis yazilmis. -2 gercel sayi ayni zamanda karmasik sayi.(4 oy)