Bir milyar üç yüz milyon yıl önce iki kocaman kara delik çarpıştı ve bunların kütleçekim dalgaları Dünya’ya doğru yol almaya başladı. Bu dalgalar eğer hemen Dünya’ya ulaşmış olsalardı fotosentez yaparak yaşayan bakterilerden başka hiçbir şey bulamayacaklardı. Oysa 2016 yılında Dünya’dan geçerken kendilerini bekleyen ve onları ölçmek için gerekli bilgi ve teknolojiyi geliştirmiş akıllı varlıklarla karşılaştılar. Bu akıllı varlıklar o dalgaları bekliyordu, çünkü yüz yıl önce bir genç adam bu çeşit dalgaların bir ara Dünya’ya uğraması gerektiğini söylemişti. Bu adam uzayın zaman parametresiyle beraber düşünüldüğünde eğimli bir yapı sergileyeceğini öne sürmüştü ve iddialarını kendinden altmış bir yıl önce yirmi sekiz yaşında bir başka gencin sunduğu bir geometri tezindeki kavramlara dayandırıyordu. Oysa o tez, o sıralar yetmiş yedi yaşında olan huysuz tez hocasının aksiliği tutmasa hiç yazılmayacaktı.
Riemann ve Matematik
Bernhard Riemann 1826 yılında bir din adamının altı çocuğundan biri olarak hayata başladı. On yaşına kadar babası onun eğitimiyle kendi ilgilendi. Liseye başladığında matematiğe olan yatkınlığı hocalarını şaşırtıyordu. Hatta bir ara bir hocasının kendisine ödünç verdiği, Legendre’ın dokuz yüz sayfalık sayılar kuramı kitabını bir haftada okudu. Ama babası gibi din adamı olmak istiyordu. Yirmi yaşında ilahiyat okumak için Göttingen Üniversitesi’ne kaydoldu. İnsanlık nefesini tutarak bu gencin seçmeli bir ders alıp Gauss’tan matematik dinlemesinin sonucunu bekledi.
Riemann’ın Doktora Tezi
Daha sonra Humboldt Üniversitesi adını alacak olan Berlin Üniversitesi o sıralar çok sayıda matematik yıldızını barındırıyordu. Genç Riemann, artık yaşlandığı için yoğun olarak ders veremeyen hocasını bırakıp iki sene Berlin’de çalıştı. Döndükten sonra Gauss’un yanında doktora tezini hazırladı. Yirmi beş yaşında sunduğu tezi bugün hâlâ karmaşık analizin başyapıtı olarak bilinir. Konuya çağdaşlarından çok farklı, algoritmik değil kavramsal olarak yaklaşmış ve bugün hem matematikte hem de fizikte önemli bir yer tutan Riemann yüzeyleri kavramını ortaya atmıştır.
Matematikteki “her önemli eserde mutlaka bir hata vardır” kuralının bir uzantısı olarak Riemann’ın doktora tezinde de matematikçileri en az elli yıl uğraştıracak bir hata vardı. Bugün Riemann Açık Gösterim Teoremi olarak bilinen bu teorem düzlem üzerinde karmaşık analiz yapmaya değer ve düzlemin kendisinden küçük yegâne bölgenin birim daire olduğunu söyler. Başka uygun bölgeler varsa da onların birim daireyle özdeş olacağını kanıtlar.
Daha sonra Weierstrass bu kanıtta bazı sorunlar olduğunu gösterir. Riemann “kanıtım sorunlu olabilir ama teoremim doğru” der. Bundan sonra yıllarca matematikçiler Riemann’ın kanıtını kurtarmaya çalıştı. Bugün aynı teoremin Riemann’ın kullanmadığı yöntemlerle yapılan ve herkesin kabul ettiği kanıtları var. Teorem sonuç olarak Riemann’ın dediği gibi doğrudur.
Hocalığa İlk Adım
Doktora teziyle bu kadar olay yaratan adamın bir sonraki tezi elbette merakla bekleniyordu. Üniversitede ders verme yetkisi almak için yazmak zorunda olduğu tezini 1854 yılında yazdı. Fonksiyonların trigonometrik fonksiyonlar yardımıyla temsili üzerine yazılan bu tezde Riemann integrali kavramını ortaya attı. Şimdi bir de uygulamalı bir ders verip hocalık yapmaya yetkin olduğunu göstermesi gerekiyordu. Artık bu safha rutin bir süreç içeriyordu. Genç aday ne kadar çok şey bildiğini göstermek için birbirinden farklı üç konu önerecek, hocası da birinci sırada önerilen konuyu seçecek ve aday da sunumunu yapıp hocalık hakkına kavuşacak.
Riemann birinci konu olarak yazılı tezinin konusunun tarihini sunmayı önerdi. İkinci konu olarak bazı denklem çözümleriyle ilgili bir sunum önerdi. Hiç seçilme şansı olmayan üçüncü konu olarak da “Geometrinin Temelinde Yatan Önermeler” başlıklı, nereye varacağı belirsiz ama geometri de bildiğini ima edecek bir konu önerdi.
Hocası Gauss uzaydaki yüzeylerin nasıl eğilip büküldüğü üzerine gençliğinde çalışmış, hatta “Muhteşem Teorem” adını verdiği bir teorem de ispatlamıştı. Yaşlılığında öğrencileriyle sohbet ederken zaman zaman bu teoremine atıfta bulunup bunun daha yüksek boyutlara genellemesini yapmak için yüksek boyutlu uzaylarda bir mesafe kavramına gerek olacağı yönünde tahminlerde bulunuyor, ama bunun nasıl uydurulacağı konusunda hiçbir fikri olmadığından dem vuruyordu.
Her İşte Bir Hayır Vardır
Gauss huysuzluğu, geçimsizliği ve kendini beğenmişliğiyle gençleri matematikten soğutmasıyla bilinir. Pek çok genç matematikçi yaptığı önemli bir çalışmayı Gauss’a getirip gösterdiğinde “ben bunu yıllar önce yapmıştım, ama kimseye göstermeye değer bulmamıştım” cevabını alıp yıkılmıştır. Bu yetmezmiş gibi Gauss bir de çekmecesini açıp, tozlanmış bir demet kâğıt çıkarıp gencin önüne atar ve o kâğıtlarda gerçekten o gencin bulduğu sonucun ya aynısı ya da daha iyisi vardır.
Riemann’ın fikirleri beğenen Gauss, raporunu “Sunum için üçüncü konuyu seçiyorum ve sınavı belirtilen tarihte yapacağım” diye bitirir.
Riemann bu beklenmedik seçim karşısında matematiğe küser. Evine kapanır ve uydurduğu bu başlığın içini doldurmak için çalışır. 10 Haziran 1854 tarihinde yirmi sekiz yaşındaki bu genç, Gauss başkanlığında toplanmış sınav jürisi önünde geometrinin temellerinde yatan önermeleri anlatmaya başlar.
Riemann, adayın nasıl ders işlediğine bakıp not verileceği için matematik bölümü dışından da üyelerin olduğu jüri sunumdan kopmasın diye konuyu hemen hemen hiç denklem kullanmadan anlatmaktadır. Kimseye iltifat ettiği duyulmayan Gauss’un bu sunumdan sonra Riemann’ın fikirlerini övmesi elbette hayra alamet değildi. Belki de misyonunu bitirdiğini anlamıştı ve yerine gönderilen kişiyi tanımıştı. Nitekim ertesi yıl yetmiş sekiz yaşında öldü.
Riemann Geometrisi
Riemann’ın anlattığı konu, çok boyutlu bir uzayda etrafınıza baktığınızda gördüklerinizle uzayı ne kadar ve ne şekilde tanıyacağınızla ilgiliydi. Bazı özelliklerin ölçülerek bulunacağını, bazı özelliklerin de bu ölçümler kullanılarak hesaplanacağını anlatıyordu.
1915 yılında yirmi beş yaşında bir gencin, Albert Einstein’ın, uzayın eğilip büküleceğini ve buna dayanarak yapılacak hesapların fizik olgularını daha hassas modelleyeceğini öne sürerken kullandığı matematik model Riemann’ın ortaya attığı Riemann geometrisiydi.
Riemann’a Durmak Yok
Daha yirmi sekiz yaşındayken Riemann yüzeyleri, Riemann integrali ve Riemann geometrisi gibi kavramları matematik literatürüne sokan bir adamın artık rahat oturmasını ve elde ettiği prestijin tadını çıkarmasını beklemek yerinde olurdu. Nitekim üç yıl sonra doktora tezinin devamı sayılacak bir çalışma daha yayımladı. Abelyen Fonksiyonlar Kuramı adını taşıyan bu çalışmasıyla Berlin Akademisi’ne seçildi ve Göttingen’de doçent oldu.
Riemann’ın bu çalışmasında bulduğu en kuramsal sonuçlardan biri de bir Riemann yüzeyinde belli özellikleri sağlayan fonksiyonlardan ne kadar bulunacağı yönünde bir eşitsizliktir. Dört yıl sonra onunla çalışmaya gelen yirmi iki yaşında bir delikanlı bu eşitsizlik üzerine düşünmeye başlar ve hangi eklemelerle bu eşitsizliğin bir eşitlik haline getirileceğini bulup sonuçları 1863 yılında yayımlar. Bugün bu eşitlik Riemann-Roch teoremi diye anılır.
Yaklaşık yüz yıl sonra Valery Goppa adlı genç bir Rus matematikçi Riemann-Roch teoremini kullanarak kodlama kuramında yeni kodlar buldu ve bu çalışmasıyla ödül aldı. Kodlama kuramı, haberleşmede kullanılan mesajların yolda bozulsalar bile vardıkları yerde tekrar tanınabilmesi için nasıl kodlanmaları gerektiği üzerine kafa yoran bir bilim dalıdır. Örneğin DVD’lerin üzeri çizildiğinde kaybedilen bilgi okunan diğer bilgiler sayesinde, kodlama kuramı teknikleri kullanılarak tekrar oluşturulabilir ve görüntü kesintisiz izlenir. Bu bilgiler gerçek hayatta ne işimize yarayacak diyenlere ithaf olunur!
Asal Sayılar Her Yerde
1857 yılına dönersek, Riemann’ın Berlin Akademisi’ne seçilmesi nedeniyle âdet olduğu üzere son çalışmalarını özetleyen bir rapor yayımlaması bekleniyordu. Hazırladığı makale Riemann’ın hayatı boyunca sayılar kuramı üzerine yazdığı ilk ve tek makaledir. Verilen bir sayıdan küçük kaç asal sayı olduğunu hesaplamaya yönelik bu makale, Euler’in reel sayılar için kullandığı bir fonksiyonu alıp karmaşık sayılarla yeniden hesaplamaya kalkışır. Kurduğu bu fonksiyon bugün Riemann’ın zeta fonksiyonu olarak bilinir. Aslında düzlemin sadece bir kısmında tanımlı olan bu fonksiyonu gamma fonksiyonu yardımıyla tüm düzleme yayar ve asal sayıların dağılımıyla bu fonksiyonun sıfırları arasında ilişkiler kurar. Özellikle bu fonksiyonun sıfırlarının, reel kısmı 0 ve 1 arasında olanlarının, asalların dağılımda söz sahibi olduğunu gösterir.
Bir paragrafın ortasında ve laf arasında “bu sıfırların hepsinin reel kısmı ½ gibi görünüyor. Biraz uğraştım gösteremedim, ama zaten şimdilik o kadar da gerekli değil” der. Bugün Riemann sanısı diye anılan ve matematik tarihinin çözülmemiş en büyük problemi işte böyle doğmuştur. Riemann o sıralar sadece otuz bir yaşındaydı.
1900 yılında Dünya Matematikçiler Birliği toplantısında açıklanan ve yirminci yüzyıl matematiğine yön veren yirmi üç problemden sekizincisi Riemann sanısıdır. Bu listedeki tüm problemler, aralarında Riemann sanısının da bulunduğu üç problem hariç, çözülmüştür. Bugün de Clay Matematik Enstitüsü’nün çözene bir milyon dolar vermeyi vaat ettiği yedi problemden henüz çözülemeyen altı tanesinden biri Riemann sanısıdır.
Her Güzel Şeyin Bir Sonu Vardır
Riemann otuz üç yaşına geldiğinde profesör olur ve Gauss’un ölümüyle Dirichlet’ye verilen ama onun da ölümüyle boşalan kürsünün başına getirilir. Üç yıl sonra evlenir. Mutlu bir evliliği vardır ama sağlık sorunları yakasını bırakmaz. Doktorların tavsiyesi üzerine sık sık Güney’e, İtalya’ya gidip kışları orada geçirmeye başlar. 1866 yılında, kırk yaşında, İtalya’nın Seleca kasabasında Maggiore Gölü kıyısında karısıyla el ele tutuşup dua ederek canını teslim eder. Son sözü “çocuğumuzu öp” olur.
O muhteşem beyin artık hesaplamayı durdurmuştur. Yerlerine geçtiği Gauss’un ve Dirichlet’nin beyinleri Göttingen Üniversitesi Fizyoloji Bölümü’nde saklanmaktadır. Onun beyni ise geldiği yere, toprağa dönmüştür.
Bugün matematikte seksene yakın kavram Riemann adıyla anılır. Ay’ın üzerindeki 110 km çapında bir kratere onun adı verilmiştir. 4167 kod numaralı gezegen de onun adıyla anılır.
Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz tarafından Bilim Teknik Dergisi Mayıs 2016 sayısı için kaleme alınan bu yazı, hocamızın izni ile web için düzenlenerek sitemize eklenmiştir.
Matematiksel