İçimizde bir çoğumuz lise yıllarında karmaşık sayıları görmüştür. Bu konu bize ilk başta değişik gelse de zamanla alıştık. Karmaşık düzlem, i’nin negatif bir sayının karekökü olduğu sorununu unutmamızı sağlar. İlgilenmemiz gereken tek şey, a + bi karmaşık sayısının, a ve b’nin gerçek sayı olduğu koordinatları (a, b) temsil etmesi ve koordinatları toplayıp çarptığımızda belirli kurallara uymalarıdır. Ancak bu matematikçiler için yeterli değildir. Bu nedenle süreç içinde matematikçiler üç boyutlu uzayda bu tür bir kolaylaştırma yapıp yapamayacağımızı sorgulamaya başlamışlardır. Bu fikir üzerine en çok düşünen de İrlandalı matematikçi William Hamilton olmuştur.
Hamilton, 16 Ekim 1843 Pazartesi günü, Kraliyet Ailesi’nin bir Konsey toplantısına başkanlık yapmak için Kraliyet Kanalı boyunca eşiyle birlikte yürürken bu sorunun çözümü aklına bir an da geldi ve matematikteki en ünlü vandalizm eylemini gerçekleştirdi. O esnada tam da Brougham Köprüsü’nün üzerindeydi, kalemini çıkardı ve oradaki taşa aklına gelen formülü çizdi.
Yazdığı formül şu şekildeydi: i2 = j2 = k2 = ijk = –1. Hamilton, üç rakamlı koordinatlar için matematiksel olarak geçerli kurallar bulmanın imkansız olduğunu, ancak bunun dört rakamla çalışmasını sağlayabileceğini fark etmişti. Buluşunu “kuaterniyonlar” ( dördey) olarak adlandırdı. Modem cebirdeki en önemli gelişmelerden biri l843’te kuaterniyonların keşfi ile yaşandı.
Sir William Hamilton’ın Akademiye birkaç hafta sonra Kasım 1843’te sunduğu teoride, kuaterniyon terimi, belirli bir dörtlü ifadeyi adlandırmak için kullanıldı. Hamilton, karmaşık sayıları “q=a+bi+cj+dk” biçiminde genelleştirmişti.
Kuaterniyonlar Nedir?
Bir kuaterniyon q ile gösterilmek üzere q=a + bi + cj + dk şeklinde yazılabilir. Burada a, b, c ve d gerçek sayılar ve i, j ve k ise sanal sayılardır yani karşılıkları √-1 ‘dir.. Bu dörtlüyü kısaca (a, b, c, d) biçiminde gösterebiliriz. Buradaki i, j ve k sanal sayılar olmasına rağmen her birinin vektörel anlamda anlamları birbirinden farklıdır. Kuaterniyonlar fikrinin ve kelimesinin kulağa biraz garip geldiğini düşünüyorsanız, yalnız değilsiniz. Hamilton’un akranları da bir süre onun bu buluşuyla alay ettiler. Ancak tarih Hamilton’u haklı çıkartacaktı. Hamilton’un sayı kavramını kuaterniyonları içerecek şekilde genişletmesi, sayılar ve onların anlamı arasındaki bağı kopardı. Artık matematikçilerin tamamen biçimsel tanımlara dayalı yeni sayı türleri yaratması mümkündü.
Ne İşe Yarar?
Hamilton’un yaptığı keşfin etkilerini günümüzde astronotik, robotik, navigasyon, bilgisayar görselleştirme, animasyon ve filmlerde özel efektler ve diğer birçok alanda görmek mümkündür. Kuaterniyonlar, uçakları ve roketleri yönlendiren kontrol sistemleri için de hayati önem taşır. Beş, altı veya yedi sıralı gerçek sayılarla tutarlı bir sayı sistemi oluşturmak imkansızdır, ancak sekizde sorun yoktur ve bu tür sayılara da oktonyon denir. Oktonyon cebirinin günümüzde halen tam olarak ne işe yarayacağını bulamasak da, bu bekleyiş çok uzun sürmeyebilir. Kuantum mekaniğini ve genel göreliliği bağdaştıran bir “her şeyin teorisi” nin ana konularından biri sicim teorisinin bir versiyonu olan olan M-teorisidir. M-teorisi on bir boyut gerektirir ve bunları sekiz oktonyon boyutunun üzerine uzayın üç boyutunu koyarak tanımlar. Hamilton fikirlerini bir köprüye karalamış olabilir ancak bunlar belki de çoktan kozmosun dokusuna işlenmiştir.
Göz Atmak İsterseniz
KAYNAKLAR:
- The Mathematical Optics of Sir William Rowan Hamilton:Conical Refraction and Quaternions; http://www.maa.org
- The Many Modern Uses of Quaternions; https://thatsmaths.com/
Matematiksel