Kuantum mekaniği, en azından ilk bakışta ve kısmen, mikroskobik boyutlardaki parçacıkların hareketlerini ön görmek için kullandığımız matematiksel bir makinadır – veya en azından bu davranışları incelemek için kullandığımız ölçüm yöntemi – ve bu kapasitede, olağanüstü derecede başarılıdır: Güç ve kesinlik açısından, şimdiye kadar sahip olduğumuz tüm teorilerin üzerindedir. Matematiksel olarak teori iyi anlaşılmıştır; özelliklerinin ne olduğunu, nasıl bir araya geldiklerini ve neden mekanik anlamda (yani, dişli çarkların gürültüsüz çalışmaları için yapılan taşlama işlemini açıklayarak cevaplayabilecek bir anlamda), bir uçtan beslenen bilginin diğer uçtan çıkan şeye nasıl dönüştüğü gibi her şeyi olduğu gibi açıkladığını biliyoruz. Bununla birlikte, kuantum mekaniğinin nasıl bir dünya resmettiği sorusu tartışmalıdır; fizikçiler veya fizik felsefecileri arasında kuantum teorisinin gözünden fiziksel dünyanın nasıl göründüğü hakkında bir fikir birliği yoktur. Çok yüzeysel bir şekilde bahsedersek kuantum teorisi, günlük dilde ya da klasik fizikte kullandığımız terimler ve ölçüm aletleri üzerindeki etkisi gibi mikro dünyanın makro dünyayı nasıl etkilediği hakkında bir dizi gerçeği açıklar. Anlaşmazlık, algılarımızı öngörülen şekilde etkileyen mikro bir dünyanın ne olduğu veya özünde nasıl olabileceği veya teorinin kendisini, mikro dünyada tarif ettiği şekilde algımıza nasıl yansıtabileceğimiz ve yeniden inşa edebileceğimiz soruları üzerinde toplanır.
Kuantum kuramıyla elde edilmek istenen potansiyel cevaplardan biri şudur: Kuantum mekaniğine göre dünyanın yukarıdan aşağıya ve doğası gereği neye benzediğinin bir açıklaması. Bir yorum yapma/açıklama getirmenin oluşturduğu problemlere diğer bölümlerde değineceğiz (sadece bize rahatlatıcı ve normal gelen, sağduyumuza uygun açıklamalar değil, herhangi bir açıklama getirmenin). Bu yazıda ise sadece, teorinin matematiksel kalbi, matematiksel bir makine olarak kapasitesi ve bunların ışığında elde edeceğimiz doğru olan sonuçlar her ne ise – teorinin bu kısmı oldukça mantıklıdır – onlar üzerinde duracağız.
İçindekiler
- 1. Terminoloji
- 2. Matematik
- 2.1 Vektörler ve Vektör Uzayları
- 2.2 Operatörler
- 3. Quantum Mekaniği
- 4. Hilbert Uzayında Yapılar
- Kaynakça
- Yeni Başlayanlar için Yararlı Kitaplar
- Kuantum Mekaniği Ders Kitapları
- Matematik ve Fizikte Yararlı Genel Metinler
- Kuantum Fiziği Felsefesi Üzerine Kitaplar
1. Terminoloji
Fiziksel sistemler, değişmeyen (veya ‘durumdan bağımsız’) özelliklerine göre türlere ayrılır ve bir sistemin belli bir andaki durumu, zamanla değişen özelliklerinin (‘duruma bağlı’ özellikleri) tam bir belirtiminden oluşur. O halde, bir sistemin tam bir tanımını verebilmemiz için, onun ne tür bir sistem olduğunu ve geçmişindeki her anındaki durumunun ne olduğunu söyleyebiliyor olmamız gerekir.
Fiziksel bir nicelik, birbirini dışlayan ama birlikteyken kapsamlı ve geniş olan bir fiziksel özellikler ailesidir (bu alanın terimlerine aşina olan birisi için, bir bölümdeki hücrelerin yapısına sahip bir özellikler ailesidir de diyebiliriz). Bir niceliğin ne tür değerler aldığını bilmek, oluştuğu özellikler arasındaki ilişkiler hakkında bize çok şey söyleyebilir. Örneğin, iki değerlikli bir niceliğin değerleri iki üyeli bir küme oluşturur; gerçek değerli bir niceliğin tanım kümesini gerçek sayılar oluşturur. Bu, yazının ilerleyen kısımlarında da tekrar tekrar göreceğimiz bir şeyin özel durumudur, yani hangi tür matematiksel denklemlerin bazı kümelerdeki başlangıçları ve doğa olaylarını temsil ettiğini bilmek (burada, fiziksel bir niceliğin değerleri; yazının ilerleyen kısımlarında ise, bir sistemin varsayılabileceği durumlar, ya da onlara ait nicelikler) bize aralarındaki ilişkiler hakkında çok fazla şey söyler (aslında, tartışmalı olarak, bilinmesi gereken her şeyi) Kuantum Mekaniği bağlamında konuşurken, ‘fiziksel büyüklük’ teriminin yerine, birbirini karşılayan ‘gözlemlenebilir’ kavramını kullanırız, bu ifade aynı anlama sahip teknik bir terim olarak görünmelidir. Kuantum kuramının ilk geliştiricilerinin bu terimi seçmesinin tabii ki sebepleri vardır, ancak bu seçim, günümüzde genelde kabul görmeyen nedenlerle yapılmıştır. Bir sistemin durum-uzayı (Ç.N: birinci dereceden diferansiyel denklemler veya fark denklemler ile ilişkili bir girdi çıktı ve durum değişkenleri kümesi olarak fiziksel bir sistemin matematiksel bir temsilidir), olası durumların kümesi tarafından oluşturulan uzaydır, yani sistemin durumunu karakterize eden dinamik değişkenlere değer atamanın olası yollarının toplamını temsil eder diyebiliriz. Klasik teorilerde, geri kalanı için bir denetim temeli oluşturan bir nicelikler kümesi tipik olarak ‘temel’ veya ‘esas’ olarak tanımlanır ve bu kümenin değerlerini birleştirmenin matematiksel olarak mümkün olduğu fiziksel bir olasılıktan bahsedebildiğimizden dolayı, durum-uzayı basitçe bu değerleri koordinat olarak alınarak elde edililebilir. Örneğin, 6n gerçek değerli niceliklerin (sistemdeki her bir parçacık için üç konum bileşeni ve üç momentum) değerlerini belirleyerek elde edilen n parçacıktan oluşan klasik bir mekanik sistemin durum uzayını 6n boyutlu koordinat alanında ifade ederiz. (ÇN: örneğin, matematikte ve fizikte kullanılan ‘faz uzayı’ 6N boyutludur. Bir faz uzayı, içinde bir sistemin tüm olası durumlarının temsil edildiği bir uzaydır ve sistemin her olası durumuna karşılık faz uzayında tek bir nokta vardır. N parçacıklı bir sistemin durumu, her parçacığın tüm koordinatlarını ve momentumunu belirleyerek tanımlanır. Yani, mekanik sistemler için, konum ve momentum değişkenlerinin tüm olası değerlerinden oluşur) Böyle bir sistemin olası her durumu, uzaydaki bir noktaya karşılık gelir ve aynı şekilde, uzaydaki her nokta böyle bir sistemin olası bir durumuna karşılık gelir. Kuantum mekaniğinde ise durum biraz farklıdır. Bunun sebebi ise kuantum mekaniğinin, niceliklerin değerlerini birleştirmek için matematiksel olarak sunduğu yöntem, fiziksel anlamda olası durumları temsil etmez.
Birazdan göreceğimiz gibi, kuantum mekaniğinin durum uzayları, Hilbert uzayları olarak bilinen ‘özel vektör uzayları’ türleridir ve klasik muadillerinden daha fazla içyapıya sahiptirler. (ÇN: Hilbert uzayı, Öklid uzayını nicem mekaniğiyle uyumlu biçime dönüştüren soyut vektör uzayıdır. Kuantum Teorisinin matematiksel çerçevesini ve dilini ifade eder, soyut bir mekânla olmakla beraber evrenin en küçük aralığı kabul edilir. Uzay ne kadar küçülürse enerji o kadar çoğalır ve zaman etkisi de o derece azalır. Bu nedenden dolayı, soyut matematik uzay modellerinin en önde gelenlerindendir.)
Yapı, üzerinde belirli işlemlerin ve ilişkilerin tanımlandığı bir dizi öğedir; matematiksel yapı, öğelerin yalnızca matematiksel nesneler (sayılar, kümeler, vektörler) ve işlemlerin matematiksel olduğu bir yapıdır; bir model, dünyadaki fiziksel olarak önemli bazı yapıları temsil etmek için kullanılan matematiksel bir yapıdır.
Kuantum mekaniğinin kalbi ve ruhu, kuantum mekaniği sistemlerinin durum uzaylarını temsil eden Hilbert uzaylarıdır. Durumlar ve nicelikler arasındaki iç ilişkiler (ÇN: iç ilişkiler doktrini, tüm ilişkilerin taşıyıcıları için içsel oldukları, onların kendileri için gerekli olduğu ve taşıyıcıların onlarsız, oldukları gibi olamayacağı ile ilgili felsefi bir doktrindir.) ve bunun kuantum mekaniği sistemlerinin davranış biçimleriyle ilgili kapsadığı her şey, onları temsil eden matematiksel nesneler arasındaki ilişkilerde somutlaşan bu uzayların yapısına işlenmiştir. Bu yüzden, kuantum mekaniğe göre bir sistemin neye benzediğini anlayabilmemiz için bu alanların iç yapısına da aşina olmamız gerekiyor. Hilbert uzayının etrafındaki yolunuzu bilirseniz ve vektörlerin içinden geçtiği yolları tanımlayan dinamik yasalarına aşina olursanız, teorinin sağladığı terimlerle, tanımladığı sistemler hakkında bilinmesi gereken her şeyin bilgisine sahip olursunuz.
Hilbert uzayına aşina olun derken, bir açıklamasına veya haritasına sahip olmaktan daha fazlasını kastediyorum; kitaplığında bir kuantum mekaniği ders kitabı olanlar buna daha aşinalardır. Demek istediğim, içinde yaşadığın şehrin yollarını bildiğin gibi Hilbert uzayını ve kendi konumunu bil. Bu, aslında bir tür pratik bilgi türüdür ve en iyi şekilde şunun gibi problemleri çözmeyi öğrenerek elde edilir: A noktasından B noktasına nasıl giderim? C’den geçmeden oraya gidebilir miyim? Ve en kısa yol nedir? Fizik yüksek lisans öğrencileri, Hilbert uzayının köşe ve çatlaklarına aşinalık kazanmak, konuda önemli olan noktaları tespit etmek ve içinden çıkabilmek, dövülmüş yollarda yürümek, gizli geçitlerin ve çıkmazların nerede olduğunu öğrenmek ve bölgenin genel yerleşimi hakkında bir fikir geliştirmek için uzun yıllar geçirirler. Bir taksi şoförünün, kendi şehrinde gezinmeyi öğrendiği gibi Hilbert uzayında gezinmeyi öğrenirler.
Teori ile ilişkili felsefi problemlere yaklaşmak için bu türden ne kadar bilgiye ihtiyacımız var? Başlangıçta, çok fazla değil: sadece, manzaranın geometrisiyle ilgili en genel gerçekler (her durumda, çoğu şehrinkinden farklı olarak, güzelce düzenlenmiştir) ve sistemlerin (durumlarını temsil eden vektörlerin) geçtiği yollar. Burada inceleyeceğimiz şey budur: Önce biraz kolay matematik, sonra da özetle teori.
2. Matematik
2.1. Vektörler ve Vektör Uzayları
‘|A⟩’ şeklinde yazılmış bir A vektörü, |A| uzunluğu ve yönü ile karakterize edilen matematiksel bir nesnedir. Uzunluğu 1 olan vektör birim vektördür; yani |A|=1. Vektörler birbirine eklenebilir, sabitlerle (karmaşık sayılar dâhil) ve birbirleriyle çarpılabilirler. Vektörlerde toplama işlemi, herhangi bir vektör çiftini başka bir vektöre, uzunluğunu veya yönünü değiştirmeden, birinci vektörün başlangıç noktasıyla ikinci vektörün bitiş noktasının birleştirilmesi ve yeni bir vektör çizilmesiyle yapılır. Bu toplama kuralı paralelkenar yasası olarak bilinir. (Ç.N. temel geometrideki şekliyle, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.) Örneğin, |A⟩ ve |B⟩ vektörlerini toplarsak Şekil 1’deki |C⟩(=|A⟩+|B⟩) vektörünü elde ederiz:
|A⟩ vektörünün sabit bir değere sahip olan n ile çarpılmasıyla, |A⟩ ile aynı yönde olan ama uzunluğu n kere |A⟩ uzunluğunda olan bir vektör elde edilir.
Gerçek bir vektör uzayında, bir |A⟩ ve |B⟩ vektör çiftinin (iç veya skaler) çarpımı ‘⟨A∣B⟩’, uzunluklarının (veya ‘normlarının’) çarpımı ile aralarındaki θ açısının kosinüsünün çarpımına eşit bir skalerdir.
⟨ A ∣ B ⟩ = | A | | B | cosθ
⟨ A1 ∣ A2 ⟩ = 0 olan, uzunluğu 1 birim olan (’’birim vektör’’) | A1 ⟩ ve | A2 ⟩ vektörlerimiz olsun. (Dolayısıyla, bu iki birim vektör arasındaki açı 90° olmak zorundadır.) Sonrasında, iki boyutlu herhangi bir vektör olan |B⟩ vektörünü, birim vektörler cinsinden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
| B ⟩ = b1| A1 ⟩ + b2| A2 ⟩
Örneğin, aşağıda |B⟩’yi nasıl iki birim vektör olan |A1⟩ ve |A2⟩’nin toplamı şeklinde yazabileceğimizin grafiğini görebiliriz:
Şimdi iç çarpım ⟨A ∣ B⟩ tanımını, karmaşık alanlara uygulanabilecek şekilde ifade edeceğiz. c karmaşık sayısının karmaşık eşleniği olan c* değerine sahip olalım (c, a ± bi formunda bir karmaşık sayı iken, c’nin karmaşık eşleniği olan c* yi aşağıdaki gibi tanımlarız:
[a + bi]* = a − bi
[a − bi]* = a + bi
Dolayısıyla, bütün c karmaşık sayıları için [c*]* = c iken c’nin gerçek sayı olduğu durumlarda c* = c’dir. Şimdi ise karmaşık uzaylar için|A⟩ ve |B⟩’nin iç çarpımının tanımını, karmaşık sayıların katsayılarının (gerçek sayı değiller, sanal sayı olabilirler) eşlenikleri cinsinden ifade ederek verelim. Daha önceden de bahsettiğimiz gibi |A1⟩ ve |A2⟩‘yi birim vektörler olarak kabul edersek, |A⟩ = a1|A1⟩ + a2 | A2 ⟩ ve |B⟩ = b1 | A1 ⟩ + b2 | A2 ⟩ ve böylece:
⟨A ∣ B⟩ = (a1*) (b1) + (a1*) (b2)
Bir vektör uzayı, vektör ekleme ve sabitlerle çarpma işlemine kapalı bir vektörler kümesidir; bir iç çarpım uzayı, üzerinde vektör çarpma işleminin tanımlandığı bir vektör uzayıdır ve böyle bir boşluğun boyutu, sıfırdan farklı olan, içerdiği karşılıklı olarak dikey vektörlerin maksimum sayısıdır.
N boyutlu bir vektör uzayında, kümedeki tüm vektörler karşılıklı olarak dik ve birim uzunluğunun tamamı ise ortonormal bir temel (Ç.N: Doğrusal cebirde, iç çarpım uzayındaki iki vektör, dik ve birim vektörler ise ortonormaldir.) oluşturur. Birim vektörlerden oluşan |A1⟩,…,|AN⟩ vektörlerimiz olsun. Böylece uzaydaki her vektör, çarpımların toplamı formunda ifade edilebilir:
Vektörlerin genişleme katsayılarını (verilen belirli bir temele göre) bir sütuna yazarak, vektörleri başka bir şekilde de ifade edebiliriz. Örneğin:
Sonsuz boyutlu vektör uzaylarıyla uğraşırken, bir vektörü ifade edebilmemiz için gerekli olan genişleme katsayılarının, sonsuz uzunlukta olması gerektiğinden dolayı tümünü yazamayız. Bunun yerine, bu katsayıları değer olarak alan fonksiyonu (Q ‘dalga fonksiyonu’ olarak adlandırılır ve genellikle ψ(i) şeklinde temsil edilir) yazarız. Yani şu şekilde:
Bir vektör uzayındaki herhangi bir vektör ve bunun herhangi bir tabanı verildiğinde, vektörün dalga fonksiyonunu bu tabanda elde edebiliriz; ve bir vektör için bir dalga fonksiyonu verildiğinde, belirli bir tabanda dalga fonksiyonu olan vektörü oluşturabiliriz. Vektörler üzerindeki önemli işlemlerin çoğunun dalga fonksiyonları üzerindeki basit cebirsel işlemlere karşılık geldiğinden, durum vektörlerini ifade etmenin olağan yolu budur.
Bir çift fiziksel sistem etkileşime girdiğinde, bileşik bir sistem oluştururlar ve kuantum mekaniğinde, klasik mekanikte de olduğu gibi, bileşik bir sistemin durum-uzayını bileşenlerinkinden yansıtabilmemiz için bir kural vardır: Durum uzaylarından sırasıyla A ve B için HA ve HB yi nasıl elde edeceğimizi söyleyen, HA ve HB vektör uzayının tensör ürünü ve çift doğrusal bileşimin çalışması ile donatılmış bir vektör alanı olan HA⊗HB. Bu kural ile ilgili önemli olan iki şey var: Birincisi, HA ve HB Hilbert uzayları oldukları sürece, HA ⊗ HB de öyle olacaktır. İkincisi ise, HA ⊗ HB’nin HA ve HB ile arasındaki bağlantıda, karmaşık sistem ve parçaları arasındaki ilişkiler için şaşırtıcı sonuçları olan bazı gerçekler var. Özellikle, bir bileşik sistemin durumunun, bileşenlerinkilerle benzersiz bir şekilde birbirine uyuşmadığını gözlemliyoruz. Bunun anlamı, veya en azından görünen anlamı, kuantum mekaniğine göre bileşik sistemlerin, bileşenleri hakkındaki gerçekleri ile tutarsız olan (ve bunlar yalnızca uzamsal konfigürasyonları hakkındaki gerçekler de değil) özellikleri vardır. Bu, bileşik sistemlerin parçaları ve bu parçaların uzaydaki temsilleri hakkında ortada birbirine uyuşmayan gerçekler olduğu anlamına gelir. Teorinin bu özelliğinin önemi abartılamaz; şu ya da bu şekilde en zor sorunlarının çoğunda yer alır.
2.2 Operatörler
Hilbert uzaylarının tam olarak ne olduklarını belirlemeden önce iki tanım daha yapalım, sonrasında ise kuantum mekaniğine geri döneceğiz. Sadece ve sadece, O|B⟩ = a|B⟩ ise |B⟩ O’nun a özdeğeri ile özvektörüdür deriz. (Ç.N: Özvektörler, dışarı çıktığı zaman girdiği haliyle aynı yönü gösteren vektörlerdir. Vektörün kendisiyle aynı değildir, sadece yönleri aynıdır ve bu tipik olan başka bir yönü gösterme davranışının tersidir.) Farklı operatörlerin farklı özvektörleri olabilir ancak özvektör ile operatör ilişkisi ifade edildikleri belirli taban vektörlere değil, yalnızca söz konusu operatöre ve vektörlere bağlıdır; yani özvektör/operatör ilişkisi taban vektör değişikliğinden etkilenmez. Bir hermit operatörü, özvektörlerinden oluşan, ortonormal bir taban olan ve buradaki özdeğerlerinin hepsinin gerçek sayılardan oluştuğu bir operatördür.
Ve son olarak Hilbert uzayı, tanımlanmış bir tam uzay olan bir iç çarpım uzayıdır, yani skaler çarpımla tanımlanan norma göre Cauchy dizileri yakınsak olan (yani tam uzay olan) uzaya Hilbert uzayı denir. Bütün sonlu boyutlu iç çarpım uzaylarını tam bir şekilde biliyoruz, bu yazıyı da sadece bu uzaylarla sınırlandırıyoruz. Sonsuz olma durumu, bu aşamada verimli bir şekilde işimize yaramayacak bazı zorlukları içerir.
3. Kuantum Mekaniği
Kuantum Mekaniğinin dört temel özelliğiyle başlayalım:
(3.1) Fiziksel Durum. Bütün fiziksel sistemler bir Hilbert Uzayı ile bağlantılıdır, uzaydaki her birim vektör, sistemin olası bir saf durumuna ve olası her saf durum, uzaydaki bir vektöre karşılık gelir.[7]
(3.2) Fiziksel Nicelik. Bir sistemle ilişkili Hilbert uzayındaki Hermit operatörleri fiziksel büyüklükleri fiziksel nicelikleri ve onların özdeğerleri de bu niceliklerin ölçümlerinin olası sonuçlarını temsil ederler.
Bir sistemin zaman-evrimi ile olan yakın ilişkisi nedeniyle kuantum teorisinde özel bir rol oynayan Hamilton diye adlandırdığımız bir operatör var. Buna göre bir sistemin dinamikleri, sistemin evrimini takip ederek uygun şekilde formüle edilebilir. H veya şeklinde gösterilen Hamilton, sistemin toplam enerjisini ifade eder. Hamilton operatörlerinin özdeğerleri, toplam enerji ölçümlerinde elde edilebilecek olası sonuçlardır. Sistem bileşenlerinin kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplanmasıyla verilir.
(3.3) Yapı. Kompleks (karmaşık) bir sistemle ilişkili olan Hilbert Uzayı, oluşturduğu basit sistemlerle (göreli olmayan kuantum mekaniğin teorisindeki bireysel parçacıklar) ilişkili olanların tensör ürünüdür.
Bu iki bağlamla ilgili bilmemiz gereken iki önemli nokta şunlardır:
- Tip 1 ve tip 2 dinamiğin bağlamları arasındaki ayrımın kuantum mekaniği terimleriyle yapılması gerekiyor; buna rağmen, teorinin sağladığı terimlerle hangi bağlamların ölçüm bağlamları olduğunu tatmin edici bir şekilde göstermede istenilen başarıya gelinememiştir ve
- Bu şekilde bir ayrım başarıyla yapılsa bile, ikinci dinamik bağlamlarda bahsettiğimiz türden bağlamların olup olmadığı daha çok herkese açık bir yorumlama sorusu gibidir; yani, sistemlerin Schrödinger denkleminden farklı bir dinamik kural tarafından yöneltildiği herhangi bir bağlam olup olmadığı yoruma açık sorulardır.
4. Hilbert Uzayında Yapılar
Yukarıda daha önceden belirttiğim gibi, bir şehirdeki konumlar arasındaki ilişkiler hakkında sahip olduğumuz tüm bilgilerin, onları temsil eden bir harita üzerindeki notalar arasındaki mekânsal ilişkilerde somutlaşmasına benzer şekilde, kuantum mekaniğindeki durumlar ve nicelikler arasındaki iç ilişkiler hakkında sahip olduğumuz tüm bilgiler, onları temsil eden vektörler ve operatörler arasındaki matematiksel ilişkilerde somutlaşmıştır.[10] Matematiksel bir bakış açısından bakarsak, kuantum mekaniğini klasik öncüllerinden gerçekten ayıran şey, kuantum mekaniğindeki durumların ve niceliklerin daha zengin bir yapıya sahip olmasıdır; yani, öğeleri arasında daha ilginç bir ilişki ağına sahip aileler oluşturur.
Kuantum mekaniği sistemlerinin davranışlarının fiziksel olarak sonuçsal özelliklerinin tümü, bu ilişkilerin matematiksel özelliklerinin sonucudur ve bunların en önemlilerini şu şekilde kısaca özetleyebiliriz:
(P1) Hilbert Uzayında vektör eklemenin veya vektörleri skalerlerle çarpmanın herhangi bir yolu, aynı zamanda uzayda da bulunan bir vektör verecektir. Vektörün normalize edilmesi durumunda, [(3.1)’den], sistemin olası bir fiziksel durumunu temsil edecektir. Buna ek olarak, farklı özdeğerlere sahip bir gözlemlenebilir B’nin bir çift özvektörünün toplamı olması durumunda kendisi B’nin bir özvektörü olmayacak, ancak [(3.4b)’den] B ölçümlerindeki bir veya daha fazla sonucu gösterme olasılıkları ile ilişkilendirilecektir.
(P2) Hilbert Uzayındaki herhangi bir hermit operatörü için, onunla aynı uzayda bulunan ve tüm özvektörlerin kümesini paylaşmayan başka operatörler de vardır; aslında, ortak özvektörleri olmayan bu tür başka operatörlerin de olduğunu göstermek kolaydır.
Eğer birtakım ek açıklamalar yaparsak, çok daha fazlasını söyleyebiliriz. Mesela şunları varsayın:
(4.1) Bir sistemle ilişkili Hilbert uzayındaki her bir Hermit operatörü farklı gözlemlenebilir ve (dolayısıyla) her birim vektör, farklı bir durumu temsil eder.
Ve
(4.2) Bir sistemin durumunu temsil eden vektör ancak ve ancak A operatörünün bir özvektörü ise gözlemlenebilir A için bir değere sahiptir. Böyle bir durumda sahip olduğu değer, sadece o özvektörle ilişkili özdeğerdir.
(3.1)’deki (P2)’den, hiçbir kuantum mekaniği durumunun tüm gözlemlenebilenlerin bir özdurumu olmadığını (ve aslında, ortak özdurumları olmayan gözlemlenebilirlerin varlığını) söyleyebiliriz. Dolayısıyla, (3.2)’ye göre, hiçbir kuantum mekaniği sistemi, kendisine ait tüm nicelikler için eş zamanlı değerlere sahip değildir (ve aslında hiçbir kuantum mekaniği durumunun eş zamanlı değerleri belirleyemediği nicelik çiftleri vardır).
Bir çift Hilbert uzayı olan H1 ve H2’nin tensör ürünü olan H1 ⊗ H2 üzerinde Hermit operatörleri vardır. H1 ve H2’nin S1 ve S2’nin durum uzayları olduğu durumlarda, H1 ⊗ H2 karmaşık sistem olan (S1 + S2)’nin durum uzayıdır. Burada (4.1)’den yola çıkarak şunu söyleyebiliriz: Değerleri tekli bir şekilde ikisine ait gözlemlenebilir değeri ile belirlenmeyen (S1 + S2) ile ilgili gözlemlenebilirler vardır.
Bunların tümü, Hilbert uzayında durumları ve operatörleri temsil edebilmek için vektörleri ve operatörleri kullanmanın ve durum belirlemelerine ampirik bir anlam vermek için Born kuralını (ve sonrasında da (4.1) ve (4.2)) uygulamanın açık sonuçlarıdır. (Ç.N: Born kuralı, Schrödinger eşitliği kullanılarak bulunan dalga boyunun karesini almaktır ve bize elektronun belli bir noktada bulunma olasılığını verir.) Şu ana kadar bahsettiğim kısımları çok iyi anlıyoruz; ama kuantum mekaniğini anlamadaki gerçek zorluk, teorinin fiziksel, metafizik ve epistemolojik sonuçlarının üstesinden gelmekte yatar.
Kuantum mekaniğinin dünya hakkında ne söylediğine kulak vermek isteyen birisinin, geriye kalan bir diğer gerçekle daha yüzleşmesi gerekiyor. Bu problem Hilbert uzaylarıyla ilgili bir sorun değil ama dinamikleriyle ilgili, yani sistemlerin uzay boyunca izlediği yörüngeleri tanımlayan kurallarla ilgili bir sorun. Fiziksel bir bakış açısından, böyle bir problem, bu noktaya kadar tartıştığımız her şeyden çok daha endişe vericidir aslında. Bunun sebebi ise, teoriye bir yorumlama getirmeye çalışan birine çıkardığı zorluklara ek olarak, aynı zamanda teorinin direk kendi temellerindeki mantıksal bir tutarsızlığa işaret ediyormuş gibi görünüyor olmasıdır.
Ve bu şekilde devam ediyor. Sezgisel olarak, S*’nin bazı gözlemlenebilir özellikleri olması durumunda, gözlenebilir bir A için ölçüm aracı olduğunu söyleyebiliriz (bu özelliğin ne olduğu önemli değil, sadece değerleri cihaza bakılarak tespit edilebilen bir şey olabilir), yani etkileşimden sonra S*’nin gözlemlenebilir durumundan bu değerleri okuyabileceğimiz bir şekilde ona beslenen sistemlerin A değerleri ile ilişkilendirilir. Felsefi tabirle S*, uygun bir etkileşime girdiği sistemlerin A değerlerini izleyen veya gösteren S*’nin bazı gözlenebilir özellikleri olması durumunda, A için bir ölçüm aracıdır.
Ancak bu, daha önceden bahsettiğimiz tip 2 bağlamları için olan dinamik kuralla tutarsızdır, tip 2 bağlamları için dinamik kural (ve eğer bu tarz bir bağlam varsa, bu sadece oluşabilecek birisidir), etkileşimden sonraki çiftin durumu ya;
2. tip bağlamlar için dinamik kuralı reddederek mantıksal tutarlılığı yeniden kurmaya çalışabiliriz (veya dinamik kuralı reddetmekle neredeyse aynı anlama gelecek şekilde, bu tür bağlamların varlığını reddederek), ancak o zaman deneyimle tutarsızlık sorunu ortaya çıkar. Çünkü bu kuralın teoriye dâhil edilmesini sadece basit bir hata olarak göremeyiz; bir sistemin belirli bir gözlemlenebilir özdurumunda olduğunda neye benzediğini ve ölçümden sonra ölçüm aparatının gözlemlenebilir göstericinin bir özdurumunda olduğunu biliyoruz. Ve en başından biliyoruz ki, eğer bir teori bize ölçüm cihazlarının ölçüm sonrası durumları hakkında tutarsız bir şey söylerse, bu başka bir şey ne olursa olsun yanlıştır.
Özetle, kuantum mekaniğindeki Ölçüm Problemi; teorinin herhangi bir yorumu, kuantum mekaniğine göre içinde yaşadığımız dünyanın nasıl bir şeye benzediği ile ilgili ayrıntılı senaryolar ve özellikle de ölçümlerinin yapıldığı dünyanın parçaları bu tarz problemlerle uğraşmak zorundadır.
Tam olarak çözülememiş problemler
Karmaşık durumlar, ağırlıklı olarak saf durumların toplamlarıdır ve bileşenleri farklı saf hallerde olan bileşiklerin durumlarını veya hakkında sadece kısmi bilgiye sahip olduğumuz bireysel sistem durumlarını temsil etmek için kullanılabilirler. İlk durumda, belirli bir saf durumla ilişkili olan ağırlık, o durumda olan topluluğun bileşeninin boyutunu yansıtır (ve dolayısıyla, topluluğun keyfi bir üyesinin var olması için nesnel olasılığını); ikinci durumda ise, durumunun belirlendiği söz konusu sistemin o durumda olma epistemik olasılığını yansıtırlar. Saf ve karmaşık durumlar arasındaki ayrımı kaybetmek istemiyorsak, onları temsil eden (uygun şekilde biçimlendirilmiş) saf haller kümesini (eşdeğer olarak, onlarla ilişkili olasılık fonksiyonlarının) temsil etmede vektörleri eklemekten farklı bir yola ihtiyacımız var ve bu şu anlama gelir: Karmaşık durumları temsil etmenin alternatif bir yoluna ya da saf ve karmaşık durumların arasındaki ayrımı başarılı bir şekilde koruyan, ikisini birden aynı anda temsil edebilmenin tek tip bir yoluna ihtiyacımız var. Hilbert uzaylarında, modern yeterlilikte iyi temellendiren, yoğunluk operatörü adı verilen bir tür operatör vardır ve durum vektörleri hakkında söylenen her şeyi yoğunluk operatörü açısından yeniden ifade etmek kolay bir hâle gelmiştir artık. (Ç.N: Yoğunluk matrisi ya da yoğunluk operatörü, kuantum mekaniğindeki saf ya da karmaşık olan bir sistemin istatistiksel durumunu tanımlayan bir operatördür.) Dolayısıyla yaygın olan, saf durumların vektörlerle temsil ediliyormuş gibi konuşulması olsa da aslında literatürde olan, saf ve karmaşık durumların kuantum mekaniğinde yoğunluk operatörleri tarafından temsil edilmesidir.
Her ne kadar karmaşık durumlar, daha önceden bahsettiğimiz gibi, aslında farklı saf durumlarda olan sistemlerin durumları hakkında bilgisizliğimizi bir nebze olsun örtebilmek için kullanılabilse de ve bu çoğu kişiye klasik bağlamlarda karmaşık durumları yorumlamak için yeterli bir yol gibi görünse de kuantum mekaniğe uygulanmasında gerçekten ciddi engeller vardır. Bu sorunlara bakmak isterseniz, Stanford Encyclopedia of Philosophy sitesindeki kuantum mekaniği hakkındaki yazılarda detaylı bir şekilde tartışmalar bulabilirsiniz.
Açıkça söylemek gerekirse, gözlemlenebilirler hakkında söylenen her şey, yalnızca gözlemlenebilirin değerlerinin ayrı bir küme oluşturduğu durumlar için geçerlidir; sürekli gözlemlenebilirler durumuna genellemek ve tüm sistemlere geçerli hâle getirebilmemiz için gerekli olan matematiksel nitelikler karmaşıktır ve daha teknik nitelikte problemler ortaya çıkarır. Bunları ayrıntılı bir tartışmaya bırakmak en iyisi olacaktır.
Bu yazıya ise, kuantum mekaniğinin felsefi boyuttaki tartışmalarına derinlemesine hâkim olabilmek için gereken bir ön hazırlık gibi yaklaşılmalı. Ancak, bunun sadece bir ‘ilk adım’ olduğu unutulmamalı. Hilbert uzayında vektörler ve operatörler ile ilgili ve aralarındaki ilişkiler hakkında, basit sistemlerin uzay durumlarının karmaşık olanlarla nasıl ilişkili olduğu hakkında ve durum vektörlerinin uzayda nasıl hareket ettiğini tanımlayan denklemlerle ilgili olarak daha fazla şey öğrenilirse, teoriyle bağlantılı problemlerin hem doğasını daha iyi anlamak hem de zorluklarının farkında olmak açısından daha iyi bir bilme pozisyonunda oluruz. Kuantum mekaniğini bu kadar ilgi çekici ve keyifli yapan, onu bir filozof için sonsuza dek özümsemesini istemesine sebep olacak şey, yeni şeyler öğrendikçe karşılaşılan problemlerin de o kadar zorlaşmasıdır.
Kaynakça
Yeni başlayanlar için uygun olan kitaplar
- Travis Norsen, T., 2017, Foundations of Quantum Mechanics: An Exploration of the Physical Meaning of Quantum Theory, Cham: Springer.
Bu kitap, kuantum mekaniğinin özellikle fiziksel özelliklerini öğrenmek isteyen birisi için bir ders kitabıdır. Kitap, kuantum fiziğine standart bir girişin konularını kapsamakla birlikte, genellikle standart metinlerle ön plana çıkan ve ilgi odağı olan ontolojik sorulara odaklanır. Kuantum mekaniğini ya temellerini öğrenmek için hazırlık olarak ya da sadece ‘Kuantum dünyasındaki temel nesneler nelerdir?’, ‘’Ne tür biçimlendirmeleri varsayabilirler?’, ‘Nasıl hareket ediyorlar ve birbirleriyle etkileşime giriyorlar?’ gibi sorulara net cevaplar bulabilecek şekilde öğrenmek isteyen birisi için bu kitaptan daha iyi bir başlangıç olamaz.
- Susskind, L. and Friedman, A., 2014, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum (2nd edition), New York: Basic Books.
384 sayfalık bu kitap, başlığın önerdiği kadar kısa ve öz değil. Herhangi bir geçmişi olmayan bir fizik öğrencisi için kuantum mekaniğinin ilkelerinin çok net bir sunumunu sağlar. Bu kitap, standart bir üniversite dersinde kuantum mekaniğini nasıl öğreneceğinizin bir araya gelmiş hâlidir.
Kuantum Mekaniği Ders Kitapları
Kuantum mekaniğini çalışmak için çok sayıda güzel ders kitabı mevcut. İşte aralarında seçimlere rehberlik edebilecek bazı notların bulunduğu, özellikle önemli olan birkaç tanesini burada bulabilirsiniz. Kuantum mekaniği öğrenirken aynı anda iki veya üç metinle aynı anda çalışmak iyidir. Hiçbir metin bütünüyle mükemmel değildir ve yaklaşımdaki farklılıklar konuyu farklı açılardan aydınlatabilir.
- Ballentine, L., 1998, Quantum Mechanics: A Modern Approach, Singapore: World Scientific Publishing Company.
Bu kitabı yeni başlayanlar için ders kitabı olarak önermiyorum. Kuantum mekaniğinin temel kavramlarının anlaşılmasını daha da derinleştirmek için bakılabilecek olan bu kitap için teknik bir altyapıya sahip olunması önerilir.
- Basdevant, J.L., and J. Dalibard, 2005, Quantum Mechanics, Berlin: Springer.
Kısa ama etkileyici bir giriş. Çok fazla sayıda problemden bahsedilmiyor kitap içerisinde ama dâhil olanlar için ayrıntılı çözümler sağlanıyor. Buna ek olarak, görselleştirme için çok yararlı olabilecek bir CD-ROM ile birlikte geliyor.
- Cohen-Tannoudji, C., 2006, Quantum Mechanics, New York: Wiley-Interscience.
Kapsamlı, ansiklopedik bir kitaptır. Öğrenmek için en iyisi değil ama gerçekten iyi bir referans kitabı.
- Gasiorowicz, S., 1995, Quantum Physics (3rd edition), New York: Wiley.
Nispeten iyi bir dille yazılmış, yeterli bir kitaptır.
- Griffiths, D., 1995, Introduction to Quantum Mechanics (2nd edition), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
Kuantum mekaniğiyle ilgili standart bir lisans eğitimi kitabıdır ve bunu yeni başlayanlar için bir başlangıç noktası olarak tavsiye ederim. Kısa ve okunması çok kolay olan bir kitaptır. Literatürdeki kavramsal gelişim üzerinde duruyor. Ne yazık ki, kitapta üzerine iyi düşünülmüş örnekler yok ve sorunlara getirilen cevaplar sadece eğitmenlere açık. Bulması kolay olan, yakın zamanda güncellenmiş bir kitap.
- Liboff, R., 1998, Introductory Quantum Mechanics (4th edition), San Francisco: Addison-Wesley.
Nispeten iyi yazılmış, güzel tasarlanmış bir kitap. Yeni başlayanlar için iyi bir başlangıç noktası olmasına rağmen, Shankar’ın kitabı kadar kapsamlı değildir.
- Merzbacher, E., 1997, Quantum Mechanics (3rd edition), New York: Wiley.
ABD’de standart bir yüksek lisans kitabıdır. Dolayısıyla, yeni başlayanlar için önerilme, ancak ileri düzey bir anlayış kazanmak için oldukça iyidir.
- Sakurai, J.J., 1993, Modern Quantum Mechanics (revised edition), Reading, MA: Addison Wesley.
Genellikle mezun olmadan hemen önce kullanılan bir kitaptır. Çok kapsamlı bir iyi yazılmış içeriğe sahip ve deneysel fenomenlere ve Bell’in eşitsizliği gibi önemli noktalara vurgu yapılıyor. Griffiths ve Shankar’ın materyallerinden matematiksel anlamda çok daha yüksek bir düzeydedir. Kitap içerisinde çok fazla problemden bahsediyor ancak bunlara çok az çözüm getiriliyor. Bu özelliği de onu, bir sınıf ortamında veya iyi bir şekilde hazırlanmış örnekler ve türetmeler içeren başka bir ek kitapla birlikte en kullanışlı hâle getiriyor.
- Schwinger, J., 2003, Quantum Mechanics (corrected edition), Berlin: Springer.
Kitabın yoğunluğu önemli bir miktarda matematikseldir. Kuantum mekaniğindeki kavramlardan fazla bahsedilmez, dolayısıyla önemli bir miktarda kavramsal gelişim edindikten sonra matematiksel temeli için kendinizi geliştirmek istiyorsanız, iyi bir seçim olacaktır. Problemlere yönelik oldukça açıklayıcı bir yaklaşımı vardır. Kısmen formüllerin bir kısmının soyut ve alışılmadık olmasından dolayı okuması zor olmasına rağmen, entelektüel hazzı yüksek bir kitaptır. Kitap içerisinde dile getirilen problemler gerçekten mükemmel ama maalesef problemlere getirilen çözümlere kitapta yer verilmemiştir.
- Shankar, R., 1994, Principles of Quantum Mechanics (2nd edition), Berlin: Springer.
Başlangıç noktası olarak şiddetle tavsiye ediyorum bu kitabı. Kuantum mekaniğini iyi bir şekilde anlayabilmemiz için gerekli olan matematiksel temeli sıfırdan başlayarak, muazzam bir açıklıkla anlatır. Konuyu kendi başına öğrenmek isteyen öğrenciler için Grifittihs’in kitabından daha iyi ve arkadaş canlısı bir kitaptır. 115. sayfaya kadar kuantum mekaniğinden bahsetmiyor bile. Doğrusal cebir için geniş bir anlayış kazanmak için yazdığı giriş bölümü çok iyidir. Toplamda 676 sayfa olan bu kitap, oldukça kapsamlıdır. Feynman’in yol integrali formülasyonunu (kuantum mekaniğinde klasik mekaniğin eylem prensibini genelleyen bir denklem) alandaki diğer kitaplardan çok daha detaylı bir şekilde inceler. Buna ek olarak, çözülmüş problemler içerir. Eğer kuantum mekaniği hakkında sadece bir kitap almak istiyorsanız, bu iyi bir seçimdir.
- Zettili, N., 2009, Quantum Mechanics: Concepts and Applications, Chichester: John Wiley & Sons, Ltd.
Bu da çok iyi bir kitaptır. Alandaki teorileri ve getirilen çözümleri birlikte ele alır. Teorinin deneysel temeli ile ilgili problemler ve çözümlerle dolu olan bu kitabı takip etmesi kolaydır.
Matematikte ve Fizikte Yararlı Genel Metinler
Kuantum mekaniğini ister kendi başınıza ister bir sınıf ortamında çalışıyor olun, bu kitapları size eşlik etmesi için yanınızda bulundurmanız yararlı olacaktır. Tecrübeli bir eğitmenin bile kendisini bu kitaplara başvururken bulması oldukça doğaldır:
- Benenson, W., J. Harris, H. Stoecker, , and H. Lutz, 2006, Handbook of Physics (2nd edition), Berlin: Springer.
- Bronshtein, I.N., and K.A. Semendyayev, 2007, Handbook of Mathematics (5th edition), Berlin: Springer.
- Halliday, D., R. Resnick, and J. Walker, 2008, Fundamentals of Physics (8th edition), Hoboken, NJ: Wiley.
- Halmos, P., 1957, Introduction to Hilbert Space (2nd edition), Providence: AMS Chelsea Publishing.
Kuantum Fiziği Felsefesi Üzerine Kitaplar
Özellikle son otuz yıl, kuantum mekaniğinin temellerini incelemek ve teoriyi daha iyi anlayabilmek için altın bir çağ oldu. Aktif bir şekilde yürütülen çalışmaların çoğunluğu dergilerde yayınlanmaya devam etmektedir. Standart göreceli olmayan kuantum mekaniğini çevreleyen tartışma, detaylı bir şekilde haritasını çıkarmaya yetecek kadar ilerletildi ve geliştirildi. Burada bahsettiğim son üç kitap, bu otuz yılın çalışmalarını iyice özümser ve organize eder.
- Barrett, J., 2019, The Conceptual Foundations of Quantum Mechanics, New York: Oxford University Press.
Kuantum mekaniğinin tarihsel gelişimi ve kavramsal temelleri üzerine yeni bir kitaptır. Felsefe öğrencileri için kuantum mekaniğinin temelleri üzerine mükemmel bir ana metin sunmakla kalmayıp, aynı zamanda fizik öğrencilerinin de standart kuantum fiziği metinlerine mükemmel bir tamamlayıcı olacaktır.
- Lewis, P., 2016, Quantum Ontology: A Guide to the Metaphysics of Quantum Mechanics, New York: Oxford University Press.
Lewis’in kitabı, biçimciliğin en etkili ve en iyi geliştirilmiş yorumlarının çok iyi bir sunumunu verir ve dengeli bir şekilde karşılaştırmalı değerlendirme sağlar. Gelişmiş analizleri ve yorumlarıyla güncel bir araştırma ortamı sunar. Kitap, içerisindeki hazinelerle, konuya ciddi bir ilgi duyan kişiler için vazgeçilmezdir. Tartışmalar, aşırı teknik olmayacak bir şekilde ele alınmakla beraber ileri derecede geliştirilmiştir ve felsefi analiz mesleki olmayan bir dille yönetilir.
- Maudlin, T., 2019, Philosophy of Physics: Quantum Theory, Princeton: Princeton University Press.
Kuantum temellerine zorlayıcı olsa da, harika bir giriş. Kitap, netlik açısından benzersizdir ve ontolojik anlaşılabilirlik konusundaki ısrarı bakımından taviz vermez. Lewis ve Barrett’in kitaplarından daha seçicidir [Çoklu dünyalar yorumu, pilot dalga teorisi ve kendiliğinden çöküş teorilerini kapsar, ancak Kopenhag yorumunu (Ç.N: Kopenhag yorumu, Çift Yarık Deneyi’nin sonuçları üzerine yapılmış yorumlardan birisidir ve deneyde gözlem yapmanın sonucu değiştirdiği durumu, ‘’dalga fonksiyonlarının çökmesi’’ ile açıklamaya çalışmıştır. Yani gözlemci bir gözlem yaptığında, o ana kadar ‘’kuantum olasılıkları’’ olarak var olan dalga fonksiyonu tek bir olasılığa indirgeniz, dolayısıyla sadece bu olasılığın gerçek olmasından bahsedebiliriz. Bu yorumun getirdiği sonuç, sadece bir evrenin olduğu ve bizim, o evrenin içinde yaşamadığımızdır.) açık bir ontolojiye sahip olmadığı için reddeder]. Yazar, konuya dair kendi sempati ve ilgisinin nereden kaynaklandığına dair hiçbir şey söylemiyor, ama şu açık ki, yeni başlayan herhangi bir öğrencinin ya da konuya hâkim birisinin çalışmasını ödüllendirecek bir eser ortaya koymuş.
Ve burada da size kuantum fiziği felsefesini tanıtacak bazı genel metinler:
- Albert, D., 1994, Quantum Mechanics and Experience, Cambridge, MA: Harvard University Press.
- Bell, J.S., 1987, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge: Cambridge University Press.
- Busch, P., P. Lahti, and P. Mittelstaedt, 1991, The Quantum Theory of Measurement, Berlin: Springer-Verlag.
- Clifton, R.K. (ed.), 1996, Perspectives on Quantum Reality, Dordrecht: Kluwer.
- d’Espagnat, B., 1995, Veiled Reality, Reading, MA: Addison-Wesley.
- Hughes, R.I.G., 1989, Structure and Interpretation of Quantum Mechanics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
- Omnès, R., 1994, The Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton University Press.
- Primas, H., 1983, Quantum Mechanics, Chemistry and Reductionism (2nd edition), Berlin: Springer.
- Rae, A., 1986, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge: Cambridge University Press.
- Redhead, M.L.G., 1989, Incompleteness, Nonlocality and Realism, Oxford: Clarendon Press.
- Squires, E., 1990, Conscious Mind in the Physical World, Bristol, New York: Adam Hilger.
- Whitaker, A., 1996, Einstein, Bohr and the Quantum Dilemma, Cambridge: Cambridge University Press.
Ve şimdi de belli bir alanda yoğunlaşmış metinler:
- Becker, A., 2018, What is Real? The Unfinished Quest for the Meaning of Quantum Mechanics, New York: Basic Books.
Bohr’un bir nesil fizikçiye, kuantum ontolojisinin net bir açıklaması beklentisinin nasıl bir şekilde uygunsuz olduğunu ikna ettiğini açıklayan, kuantum teorisinin erken tarihinin yeniden anlatımıdır. Fizik tarihinde kişiliklerin, felsefi sempatiler kadar derin bir şekilde çatıştığı çalkantılı bir zamanın sürükleyici bir hikâyesi.
- Carroll, S., 2019, Something Deeply Hidden: Quantum Worlds and the Emergence of Spacetime, New York: Dutton
Everettçi bakış açısının (çoklu dünyalar yorumu) günümüze modernleştirilmiş, standart göreceli olmayan teorinin ötesine bakan ve kuantum mekaniğinin Genel Görelilik ile uzlaştırılmasının, uzay-zamanın temel olmadığını iddia etmekle eşit olduğunu savunan, bir hâlidir.
Jenann Ismael, “Quantum Mechanics”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2020 Edition), Edward N. Zalta (ed.), (Erişim Tarihi: 09.10.2020), Erişim Kaynağı: https://plato.stanford.edu/entries/qm/
Çevirmen: Alparslan Bayrak
Çeviri Editörü: Can Kalender