Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğuna giriş
Bir eğrinin uzunluğu, "yay uzunluğu", belirli bir integral kullanılarak bulunabilir.
Arka plan
Yay uzunluğu nedir?
Genelde uzunluğu bir doğruyla ölçeriz, ancak eğrilerin de uzunlukları vardır. Aşina olunan bir örnek, yarıçapı için olan, bir çemberin uzunluğudur. Genel olarak, bir eğrinin uzunluğu yay uzunluğu olarak adlandırılır. Ancak, herhangi bir eğrinin yay uzunluğunu nasıl buluruz? Bunu birlikte bulalım.
Neye ulaşıyoruz
- Bir eğrinin yay uzunluğunu şu formda bir integralle bulabilirsiniz:Bu integralin limitleri eğriyi nasıl tanımladığınıza bağlıdır.
- Bu eğri fonksiyonunun grafiğiyse, integraldeki teriminin yerine yazın, sonra 'i dışarı alın.
Isınma: Yay uzunluğunu kestirme
Aşağıdaki denklemle tanımlanan parabole bakalım:
Eğrinin ile arasındaki kısmını düşünün.
Anahtar soru: Bu eğrinin yay uzunluğu nedir?
Sorunun daha net anlaşılması için, eğrinin bir ip parçası olduğunu düşünün. Bu ipi düz hale getirerek bir cetvelle ölçüyorsunuz.
Eğer tahmin etmeniz gerekseydi, bu eğriyi bazı doğrularla kestirerek başlayabilirdiniz. Bu, şöyle gözükebilirdi:
- 'ten 'e bir doğru
- 'den 'a bir doğru
- 'dan 'e bir doğru
- 'den 'e bir doğru
Sıkıcı olsa da, Pisagor teoremini kullanarak her bir doğru parçasının uzunluğunu bulabilir, ve bunları toplayabilirdiniz.
Kavram kontrolü: Doğrunun 'ten 'e uzunluğu nedir?
Kareköklü, tam bir cevap girin:
Daha doğru bir kestirim için, eğriyi pek çok küçük doğru kullanarak kestirebilirdiniz:
Tüm uzunlukları hesaplama ve toplama, zihin uyuşturucu olur, ama neye benzeyeceğini ayrıştıralım. Bu küçük çizgilerden birini yakınlaşın.
Önce, çizginin başından sonuna kadar değerindeki değişime bakalım. Bunu olarak adlandıralım. Benzer şekilde, değerindeki değişime diyelim. Sonra, Pisagor teoremini kullanarak, çizginin uzunluğunu şöyle yazabiliriz:
Bu durumda, eğrinin uzunluğu için kestirimimiz, bu küçük doğruların tümünün uzunluklarının toplamı olacaktır. Böyle bir fikri sembollerle gösterirken, yazan kişiler gösterimde katı kurallara uymayarak aşağıdaki gibi bir şey yazabilirler:
İntegrali işin içine katma
Hmm, bir bakalım... bir eğriyi birçok minik adımlar kestiriyoruz, ve sonra çok küçük şeylerden çok büyük miktarda topluyoruz. Daha minik adımlarla ve daha büyük toplamla, daha iyi bir kestirim elde ediyoruz. Tanıdık geldi mi?
Bunun gibi problemler, integrallerin tam olarak neden yapıldığını belirtir.
Çoğu kişi, integral almayla ilk kez bir eğrinin altındaki alanı hesaplarken tanışır. Bu alanı pek çok ince dikdörtgenle kestirdiğinizi hayal edersiniz. Her dikdörtgenin genişliği "" olarak düşünülür, bu değerindeki çok küçük bir değişikliktir. Verilen bir değerinde dikdörtgenin yüksekliği 'tir. Bu nedenle, her dikdörtgenin alanı,
Eğrinin tam alanı bu durumda bir integralle temsil edilir:
Steroidlerdeki gibi, bu integral kuvvetli bir makinedir. Sadece belirli ve küçük bir değeri için değerlerini toplamakla kalmaz; böyle bir toplamın küçük genişliği 'a giderken limit değerini de dikkate alır. Başka şekilde ifade edersek, dikdörtgenler kullanan kestirim giderek eğrinin altındaki gerçek alana yakınsar.
Ancak bu kuvvetli makine, bir eğrinin altındaki alanla ilgili olmayan pek çok bağlamda da kullanılabilir. Çok küçük şeylerden çok fazla sayıda toplamak istediğiniz herhangi bir anda, integral hemen devreye girer ve her şeyin hem daha az can sıkıcı olmasını hem de daha doğru olmasını sağlar.
Örneğin, yay uzunluğunu bu belirsiz toplamla kestirdiğimizde böyle hissederiz:
Böylece integrali şu hale çeviririz:
Bu gösterimin iyi açıklamadığı bir şey, 'nin (küçük kestirme çizgilerimizden birisindeki yükseklik değişimi) 'e (bu doğrunun yatay bileşeni) bağlı olduğudur. Özellikle, eğri ilişkisi ile tanımlı olduğundan,'nin 'e nasıl bağlı olduğunu görmek için iki tarafın da türevini alabiliriz,
Bunu integralimize koyduğumuzda, biraz daha tanıdık gelir.
Bu integrale sınırlar koyma konusunda bilerek tembellik ettim, ancak artık integralin içindeki her şey cinsinden olduğu ve ortalığı karıştıran hiç olmadığına göre, integralin sınırını değeri cinsinden tanımlamak mantıklıdır; buradaki durumda bu 'den 'yedir.
Bu hesaplayabileceğimiz bir şey gibi görünüyor. Aslında, bu durumda, gayet zor bir integrale benziyor, ama bu çağda, gerekirse, integralleri bir bilgisayara koyabiliriz. Buradaki olar, eğrimizin uzunluğunu küçük çizgilerle kestirmek, bunu ilk başta biçimsel olmayan bir gösterimli yazmıştık, ama şimdi somut, hesaplanabilir bir integrale dönüştü.
Şimdilik, bu integralin detaylarında boğulmak yerine (bir sonraki makalede bundan bir sürü geliyor), bu örnekten bazı noktalar vurgulamak istiyorum.
Çıkarılacak dersler
- Hatırlamanız gereken merkezdeki ifade, yay uzunluğunu kullanarak ve cinsinden minik bir yay uzunluğu birimini temsil eden 'dir.
- Oluşturduğunuz yay uzunluğu integrali, hayatına şöyle başlar:
- İntegrali hesaplamadan önce, diferansiyelini diferansiyeli cinsinden yazmamız gerekiyordu. Bunu yapmak için, eğriyi tanımlayan fonksiyonun türevini almamız gerekiyordu.
- Genelde, bir integral sadece bir diferansiyele göre hesaplanabilir, ve diferansiyeller arasındaki ilişkileri bulmak türev kullanılarak yapılabilir.
- Belki de, buradan alınacak en önemli ders, integrallerin eğrinin altındaki alandan başka şeyler yapmamk için de kullanılabildiğidir.
Alıştırma
Öğrendiklerinizi pekiştirmek için, sonraki makalede daha fazla yay uzunluğu problemi çözebilirsiniz.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.