FraktallarSierpinski Üçgeni
Önceki bölümde gördüğümüz fraktallardan biri de, Polonyalı matematikçi
Wacław Sierpiński bu üçgenin özelliklerini düşünen ilk matematikçi idi, ancak bu desen, sanat ve mozaiklerde yüzyıllar önce ortaya çıkmıştı bile.
Roma'daki farklı kiliselerdeki yer döşemelerinden bazı örnekler:
Görünüşe göre, Sierpinski üçgeni matematiğin de içinde olduğu geniş bir yelpazede karşımıza çıkıyor ve onu oluşturmanın birçok farklı yolu var. Bu bölümde, bu yolların bazılarını keşfedeceğiz!
Pascal Üçgeni
Sierpinski üçgenini
Pascal üçgeni sonsuza kadar aşağıya doğru devam edebilir ve Sierpinski modeli daha büyük ve daha büyük üçgenlerle devam eder. Daha büyük bir üçgenin başlangıcını, 16. satırdan başlayarak görebilirsiniz.
İki bitişik hücre 2 ile bölünebilirse, altındaki hücredeki toplamları da 2 ile bölünebilir olmalıdır - bu yüzden sadece renkli üçgenler alabiliriz. Elbette, 2_ dışındaki _sayılara bölünebilen tüm hücreleri boyamayı da deneyebiliriz. Bu durumda ne olacağını tahmin edebilir misiniz?
Burada Pascal’ın üçgeninin ilk 128 satırını gösteren küçük bir versiyonunu görebilirsiniz.
Her sayı için Sierpinski üçgenine benzeyen farklı bir üçgen elde ederiz. Bir
Kaos Oyunu
Burada bir eşkenar üçgenin üç köşesini görebilirsiniz. Dördüncü bir nokta oluşturmak için gri alanda herhangi bir yere dokunun.
Şimdi basit bir oyun oynayalım: üçgenin köşelerinden birini rastgele seçiyoruz, noktamızla köşe noktası arasında bir doğru parçası çiziyoruz ve sonra o parçanın orta noktasını buluyoruz.
Şimdi işlemi tekrarlıyoruz: başka bir rastgele köşe seçiyoruz, doğru parçasını son noktamızdan çiziyoruz ve sonra yine orta noktayı buluyoruz. Bu yeni noktaları, seçtiğimiz köşe noktasının rengine göre renklendirdiğimizi unutmayın.
Şimdiye kadar şaşırtıcı bir şey olmadı - ama aynı işlemi çok daha fazla tekrarladığımız zaman neler olduğunu izleyin:
Bu işleme Kaos Oyunu adı verilir. Başlangıçta sadece birkaç başıboş nokta olarak görülen desen, aynı adımları birçok kez tekrarladığımızda, Sierpinski üçgeni gibi görünmeye başlar!
Bu oyunun birçok versiyonu var - örneğin, bir kare veya beşgen ile başlayabiliriz, aynı köşeyi arka arkaya iki kez seçememek veya bir sonraki noktayı
veya bu
Hücresel Otomata
Bir hücresel otomatı birçok ayrı hücreden oluşan bir ızgaradır. Her hücre farklı "durumlarda" (örneğin farklı renklerde) olabilir ve her hücrenin durumu çevresindeki hücreler tarafından belirlenir.
Bu örnekte, her hücre siyah veya beyaz olmalıdır. Sadece tek bir siyah kare içeren bir satırla başlayalım. Takip eden her satırda, her hücrenin rengi, hemen üstündeki üç hücre tarafından belirlenir. Hücrelerin renklerini çevirmek için aşağıdaki sekiz olası seçenekten birine dokunun - Sierpinski üçgenine benzer bir desen oluşturan bir dizi kural bulabilir misiniz?
Sekiz seçeneğin her biri için iki seçenek vardır, yani toplamda
Hücresel otomatlar, tıpkı fraktallar gibi çok basit kurallarla nasıl oldukça karmaşık desenlerin oluşturulabileceğini gösterirler. Doğada da birçok süreç basit kuralları takip ederek oluşup inanılmaz derecede karmaşık sistemler üretebilir.
Bazı durumlarda, örneğin bu salyangozun kabuğundaki renklerin oluşması gibi, hücresel otomatlara benzeyen desenlerin ortaya çıkmasına sebep olabilir.
Sierpinski Piramidi
Sierpinski üçgeninin birçok çeşidi olduğu gibi, benzer özelliklere ya da yaratma süreçlerine sahip başka bazı fraktallar da vardır. Bazıları, yukarıda gördüğünüz Sierpinski Halısı gibi 2 boyutlu olup, diğerleri bu örnekler gibi 3 boyutlu olabilir: