Bir koninin
eğimli bir düzlemle kesişimi olarak elde edilen bir elips (kırmızı) .
Elipsler: artan eksantrikliğe sahip örnekler
Gelen matematik , bir elips , bir bir düzlem eğri iki çevreleyen odak noktaları eğrisi üzerinde tüm noktalar için, odak noktaları iki mesafelerin toplamı sabit olacak şekilde,. Bu nedenle, iki odak noktasının aynı olduğu özel elips türü olan bir daireyi genelleştirir . Bir elipsin uzaması, e = 0'dan ( bir dairenin sınırlayıcı durumu ) e = 1'e (sonsuz uzamanın sınırlayıcı durumu, artık bir elips değil, bir parabol ) değişen bir sayı olan eksantrikliği e ile ölçülür .
Analitik olarak , standart bir elips denklem 2 genişliği merkezi orijinde bir ve yüksekliği 2 B olduğu:
A ≥ b varsayıldığında , odaklar (± c , 0) içindir . Standart parametrik denklem:
Elipsler, kapalı konik bölüm türüdür : bir koninin bir düzlemle kesişimini izleyen bir düzlem eğrisi (şekle bakın). Elipsler , her ikisi de açık ve sınırsız olan diğer iki konik kesit biçimi olan paraboller ve hiperbollerle birçok benzerliğe sahiptir . Bir açılı kesiti a silindir da bir elipstir.
Bir elips aynı zamanda bir odak noktası ve elipsin dışında bir doğru olarak da tanımlanabilir : elipsteki tüm noktalar için, odağa olan uzaklık ile doğrultuya olan uzaklık arasındaki oran sabittir. Bu sabit oran, yukarıda belirtilen eksantrikliktir:
-
.
Elipsler fizik , astronomi ve mühendislikte yaygındır . Örneğin , güneş sistemindeki her gezegenin yörüngesi , Güneş'in bir odak noktasında olduğu yaklaşık bir elipstir (daha doğrusu, odak Güneş-gezegen çiftinin merkez merkezidir ). Aynısı gezegenlerin yörüngesindeki uydular ve iki astronomik cismin diğer tüm sistemleri için de geçerlidir. Gezegenlerin ve yıldızların şekilleri genellikle elipsoidlerle iyi tanımlanır . Yan açıdan bakıldığında bir daire bir elips gibi görünür: yani elips, paralel veya perspektif izdüşüm altındaki bir dairenin görüntüsüdür . Elips aynı zamanda yatay ve dikey hareketler aynı frekansa sahip sinüzoidler olduğunda oluşan en basit Lissajous figürüdür : benzer bir etki , optikte ışığın eliptik polarizasyonuna yol açar .
Ad, ἔλλειψις ( élleipsis , "ihmal") tarafından verildi Pergeli Apollonius onun içinde Koniklerin .
Noktaların yeri olarak tanım
Elips: odaklara olan uzaklıkların toplamına göre tanım
Elips: odak ve dairesel yönerge ile tanım
Bir elips, geometrik olarak Öklid düzlemindeki noktaların bir kümesi veya konumu olarak tanımlanabilir :
- Odaklar olarak adlandırılan iki sabit nokta ve odaklar arasındaki mesafeden daha büyük bir mesafe verildiğinde, elips, mesafelerin toplamı şuna eşit olacak şekilde noktalar kümesidir :
Odakları birleştiren çizgi parçasının orta noktasına elipsin merkezi denir . Odaklardan geçen çizgiye ana eksen denir ve merkez boyunca ona dik olan çizgi küçük eksendir . Ana eksen , merkeze uzaklığı olan tepe noktalarında elipsi keser . Uzaktan merkezi odaklarının denir odak mesafesi ya da doğrusal eksantriklik. Bölüm , eksantrikliktir .
Durum bir daire verir ve özel bir elips türü olarak dahil edilir.
Denklem farklı bir şekilde görüntülenebilir (şekle bakın):
- Eğer orta ile dairedir ve yarıçapı , ardından noktanın uzaklığı daireye odak uzaklığı eşittir :
elipsin dairesel doğrultu (odakla ilgili ) olarak adlandırılır . Bu özellik, aşağıdaki bir directrix çizgisini kullanan bir elipsin tanımı ile karıştırılmamalıdır.
Dandelin kürelerini kullanarak , düzlemin tepeyi içermediği ve koni üzerindeki çizgilerden daha az eğime sahip olduğu varsayılarak, bir düzleme sahip bir koninin herhangi bir düzlem bölümünün bir elips olduğu kanıtlanabilir.
Kartezyen koordinatlarda
Şekil parametreleri:
-
a : yarı büyük eksen,
-
b : yarı küçük eksen,
-
c : doğrusal eksantriklik,
-
p : yarı latus rektum (genellikle ).
Standart denklem
Kartezyen koordinatlarda bir elipsin standart biçimi, orijinin elipsin merkezi olduğunu, x ekseninin ana eksen olduğunu ve:
- odak noktalar ,
- köşeler .
Keyfi bir noktası için odak uzaklığı olan
ve diğer odaklanma . Bu nedenle, her zaman nokta elips üzerindedir:
Çıkarma radikalleri , uygun Squarings tarafından kullanılarak elips standart denklemi oluşturur:
veya y için çözüldü :
Genişlik ve yükseklik parametreleri olarak adlandırılır yarı büyük ve yan küçük eksenler . Üst ve alt noktaları olan ko-noktalar . Elips üzerindeki bir noktadan sol ve sağ odaklara olan mesafeler ve .
Denklemden, elipsin koordinat eksenlerine göre ve dolayısıyla orijine göre simetrik olduğu sonucu çıkar.
Parametreler
Ana eksenler
Bu makale boyunca, yarı büyük ve yarı küçük eksenler sırasıyla belirtilmiştir ve , yani
Prensip olarak, kanonik elips denklemi olabilir (ve dolayısıyla elips genişliğinden daha uzun olur). Bu form, değişken adlarının ve parametre adlarının aktarılmasıyla standart forma dönüştürülebilir ve
Doğrusal eksantriklik
Bu bir odağa merkezine uzaklığı: .
Eksantriklik
Eksantriklik şu şekilde ifade edilebilir:
-
,
Eşit eksenli bir elipsin ( ) sıfır eksantrikliğe sahip olduğunu ve bir daire olduğunu varsayarsak .
Yarı latus rektum
Akorun ana eksene dik olan bir odak boyunca uzunluğuna latus rektum denir . Bir yarısı yarı latus rektumdur . Bir hesaplama şunu gösterir:
Yarı latus rektum , köşelerdeki eğrilik yarıçapına eşittir (bkz. Bölüm eğriliği ).
Teğet
Rasgele bir çizgi , sırasıyla bir dış çizgi , teğet ve sekant olarak adlandırılan bir elipsi 0, 1 veya 2 noktadan keser . Elipsin herhangi bir noktasında benzersiz bir teğet vardır. Elipsin bir noktasındaki teğet koordinat denklemine sahiptir:
Tanjantın vektör parametrik denklemi :
-
ile
İspat:
Izin vermek bir elips üzerinde bir nokta ve içeren herhangi bir doğrunun denklemi olsun . Doğrunun denklemini elips denklemine eklemek ve verime saygı duymak:
-
- O zaman durumlar vardır:
-
O zaman doğru ve elipsin tek ortak noktası vardır ve bir tanjanttır. Teğet yönünün dik vektörü vardır , bu nedenle teğet doğrunun bazıları için denklemi vardır . Çünkü teğet ve elips üzerindedir, kişi elde eder .
-
O zaman doğrunun elips ile ortak ikinci bir noktası vardır ve bir sekanttır.
(1) 'i kullanarak , vektör denklemini kanıtlayan noktada teğet vektör bulunur .
Eğer ve bu şekilde elipsin iki nokta vardır sonra puan iki yalan, eşlenik çap (bakınız aşağıda ). ( Elips bir çember ise ve "eşlenik", "ortogonal" anlamına gelir.)
Kaydırılmış elips
Standart elips merkeze kaydırılırsa denklemi
Eksenler hala x ve y eksenlerine paraleldir.
Genel elips
Gelen analitik geometri noktaları kümesi:, elips kuadratik olarak tanımlanır ve Kartezyen düzlemde dejenere olmayan durumlarda tatmin kapalı denklem
sağlanan
Ayırt etmek dejenere vakaları dejenere olmamış gelen, let Δ olmak belirleyici
O zaman elips, ancak ve ancak C∆ <0 ise, dejenere olmayan gerçek bir elipstir. C∆ > 0 ise, hayali bir elipsimiz ve ∆ = 0 ise, bir nokta elipsimiz vardır.
Genel denklemin katsayıları, aşağıdaki formüller kullanılarak bilinen yarı büyük eksen , yarı küçük eksen , merkez koordinatları ve dönüş açısından (pozitif yatay eksenden elipsin ana eksenine olan açı) elde edilebilir:
Bu ifadeler , koordinatların afin dönüşümü ile kanonik denklemden türetilebilir :
Tersine, kanonik form parametreleri aşağıdaki denklemlerle genel form katsayılarından elde edilebilir:
Parametrik gösterim
De la Hire'dan kaynaklanan parametrik denklem ve t
parametresinin yorumlanmasına dayalı noktaların oluşturulması
Eşit aralıklı parametrelere sahip rasyonel gösterimle hesaplanan elips noktaları ( ).
Standart parametrik gösterim
Trigonometrik fonksiyonları kullanarak , standart elipsin parametrik bir gösterimi şöyledir:
T parametresi ( astronomide eksantrik anomali olarak adlandırılır ) x ekseni ile açı değildir , ancak Philippe de La Hire'dan dolayı geometrik bir anlama sahiptir ( aşağıdaki elips çizimine bakınız).
Rasyonel temsil
İkame ve trigonometrik formüllerle elde edilen
ve bir elipsin rasyonel parametrik denklemi
sol köşe hariç elipsin herhangi bir noktasını kaplar .
İçin bu formül artan saat yönünün tersine hareket eden elips sağ üst dörtte birini sol köşe sınırı
Konik kesitlerin rasyonel temsilleri, Bilgisayar Destekli Tasarımda yaygın olarak kullanılmaktadır (bkz. Bezier eğrisi ).
Parametre olarak teğet eğim
Tanjantın eğimini elipsin bir noktasında kullanan parametrik bir gösterim, standart gösterimin türevinden elde edilebilir :
Trigonometrik formüllerin yardımıyla
elde edilenler:
Değiştirilmesi ve standart temsilin verimi:
İşte ilgili elips noktasındaki tanjantın eğimi, elipsin üst ve alt yarısıdır. Dikey teğetlere sahip köşeler temsil kapsamında değildir.
Tanjantın noktadaki denklemi forma sahiptir . Halen bilinmeyen , karşılık gelen elips noktasının koordinatlarını girerek belirlenebilir :
Bir elipsin teğetlerinin bu açıklaması, bir elipsin ortoptiğinin belirlenmesi için gerekli bir araçtır . Ortoptik makale, diferansiyel hesap ve trigonometrik formüller içermeyen başka bir kanıt içerir.
Genel elips
Birim çemberin afin görüntüsü olarak elips
Elipsin başka bir tanımı afin dönüşümleri kullanır :
- Herhangi bir elips , denklemli birim çemberin afin bir görüntüsüdür .
- parametrik gösterim
Öklid düzleminin afin dönüşümü , bir düzenli matrisin (sıfır olmayan belirleyicili ) ve rastgele bir vektör olduğu forma sahiptir . Eğer matris sütun vektörleridir , birim çember , elips üzerine eşlenir:
Burada merkez ve iki eşlenik çapın yönleri, genel olarak dik değil.
- köşeler
Elipsin dört köşesi, aşağıdakiler tarafından tanımlanan bir parametre içindir :
(Eğer öyleyse .) Bu aşağıdaki gibi türetilmiştir. Noktadaki teğet vektör :
Bir köşe parametresinde , teğet, büyük / küçük eksenlere diktir, bu nedenle:
Kimlikleri genişletmek ve uygulamak için denklemi verir .
- örtük temsil
Parametrik gösterimi Cramer kuralına göre çözerek ve kullanarak , örtük gösterim elde edilir
-
.
- uzayda elips
Bu bölümdeki bir elipsin tanımı, uzayda vektör olmasına izin veriyorsa, uzayda bile rastgele bir elipsin parametrik temsilini verir .
Kutup formları
Merkeze göre kutup biçimi
Merkezde merkezlenmiş kutupsal koordinatlar.
Gelen kutupsal koordinatlarda elipsin merkezinde kökenli ile, açısal koordinat büyük eksene ölçülen Elipsin denklemidir
Odaklanmaya göre kutupsal form
Odak merkezli kutupsal koordinatlar.
Bunun yerine, bir odak noktasında orijini olan kutupsal koordinatları kullanırsak, açısal koordinat hala ana eksenden ölçüldüğünde, elipsin denklemi
burada paydadaki işaret, referans yönü merkeze dönükse negatiftir (sağda gösterildiği gibi) ve bu yön merkezden uzaklaşıyorsa pozitiftir.
Bir odak başlangıç noktasında ve diğer odak açısal koordinatta olan biraz daha genel bir elips durumunda , kutupsal form şu şekildedir:
Bu formüllerdeki açı , noktanın gerçek anomalisi olarak adlandırılır . Bu formüllerin payı yarı latus rektumdur .
Eksantriklik ve directrix özelliği
Ellipse: directrix özelliği
İki hattın her biri küçük eksenine paralel ve bir mesafe ondan bir adlandırılır doğrultmanını (şekle bakınız), elipsin.
- Elipsin gelişigüzel bir noktası için, mesafenin bir odağa ve karşılık gelen doğrultuya (diyagrama bakınız) oranı eksantrikliğe eşittir:
Çiftin kanıtı , denklemin
gerçeğinden kaynaklanır ve
İkinci durum benzer şekilde kanıtlanmıştır.
Bunun tersi de doğrudur ve bir elipsi tanımlamak için kullanılabilir (bir parabolün tanımına benzer bir şekilde):
- Herhangi bir nokta (odak) için, içinden geçmeyen herhangi bir çizgi (directrix) ve elipse sahip olan herhangi bir gerçek sayı , noktalara ve doğruya olan mesafelerin bölümünün şu olduğu noktaların konumudur :
Bir çemberin eksantrikliği olan seçime bu bağlamda izin verilmez. Bir çemberin yönlülüğünün sonsuzdaki doğru olduğu düşünülebilir.
(Seçim bir verir parabol ise, ve , bir hiperbol .)
Ortak bir tepe noktası ve ortak yarı latus rektumu olan konik kalem
- Kanıt
Let ve farz eğrisi üzerindeki bir noktadır. Directrix'in denklemi vardır . İle ilişkisi, denklemler üretir
-
ve
İkame verimi
Bu, bir elipsin ( ) veya bir parabolün ( ) veya bir hiperbolun ( ) denklemidir . Tüm bu dejenere olmayan koniklerin ortak noktası, bir tepe noktası olarak kökene sahiptir (diyagrama bakınız).
Eğer , yeni parametreler ekleyin, böylece yukarıdaki denklem olur
merkez ile bir elipsin denklemi , x ekseni ana eksen ve büyük / küçük yarı eksen .
- Genel elips
Odak ve yönlülük ise , denklem elde edilir
(Denklemin sağ tarafı , mesafeyi hesaplamak için bir doğrunun Hesse normal biçimini kullanır .)
Odak-odak yansıtma özelliği
Elips: teğet, çizgiler arasındaki açının odaklara olan ek açısını ikiye böler.
Bir odaktan gelen ışınlar, diğer odaktan geçmek için elipsten yansır.
Bir elips aşağıdaki özelliğe sahiptir:
- Bir noktadaki normal , çizgiler arasındaki açıyı ikiye böler .
- Kanıt
Tanjant normale dik olduğundan, ifade, çizgiler arasındaki açının odaklara olan tanjant ve ek açısı için de geçerlidir (şemaya bakınız).
Izin hattı üzerinde noktası mesafe ile odak , elips yarı-büyük eksendir. Doğru, çizgiler arasındaki açıya göre ek açının açıortayı olsun . Kanıtlamak için noktasında teğet olan , herhangi bir nokta, bir kontrol hattı üzerinde farklı elips olamaz. Bu nedenle , elips ile tek ortak noktaya sahiptir ve bu nedenle, noktadaki teğettir .
Diyagram ve Dan üçgen eşitsizliği bir tanıdığı olan araçlar, tutar: . Ancak elipsin bir noktasıysa, toplam olmalıdır .
- Uygulama
Bir odaktan gelen ışınlar elips tarafından ikinci odak noktasına yansıtılır. Bu özellik, bir parabolün yansıtma özelliğine benzer optik ve akustik uygulamalara sahiptir ( fısıldayan galeriye bakın ).
Eşlenik çapları
Bir teğet karesi olan bir dairenin ortogonal çapları, paralel akorların orta noktaları ve eşlenik çaplara sahip bir elips, bir paralelkenar paralelkenarı ve akorların orta noktaları olan bir afin görüntü.
Bir daire aşağıdaki özelliğe sahiptir:
- Paralel akorların orta noktaları bir çap üzerindedir.
Afin bir dönüşüm paralelliği ve çizgi parçalarının orta noktalarını korur, bu nedenle bu özellik herhangi bir elips için geçerlidir. (Paralel akorların ve çapın artık ortogonal olmadığını unutmayın.)
- Tanım
Bir elipsin iki çapı eşleniktir, eğer akorların orta noktaları paraleldir .
Diyagramdan şu bulunur:
- Bir elipsin iki çapı , teğetler paralel olduğunda ve buna paralel olduğunda eşleniktir .
Bir elipsteki eşlenik çapları, bir çemberdeki ortogonal çapları genelleştirir.
Yukarıda verilen genel bir elips için parametrik denklemde,
herhangi bir çift nokta bir çapa aittir ve çifti eşlenik çapına aittir.
Eşlenik çaplar üzerine Apollonios teoremi
Elips: eşlenik çapları üzerine Apollonios teoremi
Yarı eksenli bir elips için aşağıdakiler doğrudur:
- Izin vermek ve iki eşlenik çapın yarısı olsun (şemaya bakın) o zaman
-
,
- üçgen ile oluşturulan sabit bir alana sahiptir
- verilen eşlenik çaplarına bitişik teğetlerin paralelkenarı,
- Kanıt
Elipsin parametrik denklem ile kanonik formda olmasına izin verin
-
.
İki nokta eşlenik çaplar üzerindedir (önceki bölüme bakın). Trigonometrik formüllerden elde edilir ve
Tarafından üretilen üçgenin alanı IS
ve diyagramdan paralelkenarın alanının 8 katı olduğu görülebilir . Bu nedenle
Ortogonal teğetler
Elips için ortogonal teğetlerin kesişme noktaları çemberin üzerindedir .
Bu daireye, elipsin ortoptik veya yönlendirici çemberi denir (yukarıda tanımlanan dairesel yönerge ile karıştırılmamalıdır).
Elips çizme
Dairelerin merkezi izdüşümü (kapı)
Elipsler , dairelerin görüntüleri (paralel veya merkezi izdüşüm) olarak tanımlayıcı geometride görünür . Elips çizmek için çeşitli araçlar vardır. Bilgisayarlar, bir elips çizmek için en hızlı ve en doğru yöntemi sağlar. Bununla birlikte, bilgisayar olmadan bir elips çizmek için teknik araçlar ( elipsograflar ) mevcuttur. Elipsografların ilkesi, Arşimet ve Proklos gibi Yunan matematikçiler tarafından biliniyordu .
Elipsograf mevcut değilse , köşelerdeki dört oskülasyon dairesi ile bir yaklaşım kullanarak bir elips çizilebilir .
Aşağıda açıklanan herhangi bir yöntem için, eksenler ve yarı eksenler hakkında bilgi gereklidir (veya eşdeğer olarak: odaklar ve yarı ana eksen). Bu varsayım yerine getirilmezse, en az iki eşlenik çapı bilmek gerekir. Yardımıyla RYTZ inşası eksenleri ve yarı eksenleri alınabilir.
de La Hire'ın nokta inşaatı
Bir elipsin tek noktalarının aşağıdaki yapısı de La Hire'dan kaynaklanmaktadır . Bu dayanan standart parametrik temsili bir elipsin:
- Elipsin merkezinde, yarıçapları ve elipsin eksenleri olan iki daireyi çizin .
- Merkez boyunca, iki daireyi sırasıyla ve noktalarında kesen bir çizgi çizin .
- İçinden küçük eksene paralel bir çizgi ve bunun içinden ana eksene paralel bir çizgi çizin . Bu çizgiler bir elips noktasında buluşur (şekle bakınız).
- Merkez boyunca farklı çizgilerle (2) ve (3) adımlarını tekrarlayın.
Elips: bahçıvanın yöntemi
Pins-and-string yöntemi
Bir elipsin, odaklara olan mesafelerin toplamının sabit olması için noktaların konumu olarak nitelendirilmesi, iki çizim pimi , bir ip uzunluğu ve bir kalem kullanarak bir çizim yöntemine götürür . Bu yöntemde, elipsin odağı haline gelen iğneler kağıda iki noktadan itilir. İki pime her iki uçta bir ip bağlanmıştır; bağladıktan sonra uzunluğu . Kalemin ucu, ipi gergin tutarken hareket ettirilirse bir elips çizer. Bahçıvanlar, iki mandal ve bir ip kullanarak bu prosedürü eliptik bir çiçek yatağının ana hatlarını çizmek için kullanır - bu nedenle bahçıvan elipsi denir .
Kapalı bir tel ile eş odaklı elipsler çizmenin benzer bir yöntemi İrlandalı piskopos Charles Graves'e bağlıdır .
Kağıt şerit yöntemleri
Aşağıdaki iki yöntem parametrik gösterime dayanır ( yukarıdaki parametrik temsil bölümüne bakın ):
Bu gösterim teknik olarak iki basit yöntemle modellenebilir. Her iki durumda da merkez, eksenler ve yarı eksenler bilinmelidir.
- Yöntem 1
İlk yöntem şununla başlar:
- uzunlukta bir şerit kağıt .
Yarım eksenlerin birleştiği nokta ile işaretlenmiştir . Şerit, istenen elipsin eksenlerinde her iki uçta kayarsa, P noktası elipsi izler. Kanıt için, noktanın parametrik gösterime sahip olduğunu gösterir , burada parametre kağıt şeridin eğiminin açısıdır.
Kağıt şeridin hareketinin teknik olarak gerçekleştirilmesi bir Tusi çifti ile elde edilebilir (animasyona bakınız). Cihaz, büyük dairenin yarıçapı olan sabit bir toplamla herhangi bir elipsi çizebilir . Bu kısıtlama gerçek hayatta bir dezavantaj olabilir. Daha esnek olan ikinci kağıt şerit yöntemidir.
-
Elips yapımı: kağıt şerit yöntemi 1
-
Tusi çiftiyle üç nokta. İki örnek: kırmızı ve camgöbeği.
Kağıt şerit yönteminin (1) bir varyasyonu, kağıt şeridin orta noktasının , merkezi (elipsin) ve yarıçapı olan daire üzerinde hareket ettiği gözlemini kullanır . Bu nedenle, kağıt şerit noktadan ikiye bölünebilir, yine bir bağlantı ile birleştirilebilir ve kayan uç merkeze sabitlenebilir (şemaya bakınız). Bu işlemden sonra kağıt şeridinin değişmemiş yarısının hareketi değişmez. Bu varyasyon yalnızca bir kayar pabuç gerektirir.
-
Kağıt şerit yönteminin değişimi 1
-
Kağıt şerit yönteminin varyasyonunun animasyonu 1
Elips yapımı: kağıt şerit yöntemi 2
- Yöntem 2
İkinci yöntem şununla başlar:
- uzunlukta bir şerit kağıt .
Bir markaları iki uzunluğunun substrips içine şerit bölen noktası, ve . Şerit, diyagramda açıklandığı gibi eksenlerin üzerine yerleştirilir. Daha sonra, şerit hareket ettirilirken şeridin serbest ucu bir elips izler. Kanıt için, izleme noktasının parametrik olarak tanımlanabileceği kabul edilir , burada parametre , kağıt şeridin eğim açısıdır.
Bu yöntem birkaç elipsografın temelidir (aşağıdaki bölüme bakın).
Kağıt şerit yönteminin (1) varyasyonuna benzer şekilde, eksenler arasındaki kısım yarıya kesilerek kağıt şerit usulünün (2) bir varyasyonu oluşturulabilir (diyagrama bakınız).
Elipsograf çizim aletlerinin çoğu, ikinci kağıt şeridi yöntemine dayanır.
Salınımlı dairelerle bir elipsin yaklaştırılması
Salınımlı dairelerle yaklaşım
Gönderen Metrik özelliklerinden biri alır, aşağıda:
- Köşelerdeki eğrilik yarıçapı :
- Eş köşelerdeki eğrilik yarıçapı :
Diyagram , sırasıyla tepe ve eş tepe noktalarında eğrilik merkezlerini bulmanın kolay bir yolunu göstermektedir :
- yardımcı noktayı işaretleyin ve çizgi parçasını çizin
- çizgiye dik olan çizgiyi çizin
- bu doğrunun eksenlerle kesişme noktaları salınımlı dairelerin merkezleridir.
(kanıt: basit hesaplama.)
Kalan köşelerin merkezleri simetri ile bulunur.
Bir Fransız eğrisinin yardımıyla , salınımlı dairelere yumuşak bir temas sağlayan bir eğri çizilir.
Steiner üretimi
Bir elipsin tek noktalarını oluşturmak için aşağıdaki yöntem, Steiner'ın bir konik kesit oluşturmasına dayanır :
- İki verilen kalem iki nokta çizgilerin (tüm hatlar ihtiva eden ve sırasıyla) ve yansıtmalı ancak perspektif bir eşleme arasında üzerine , daha sonra karşılık gelen hatları kesişme noktaları dejenere olmayan bir yansıtmalı konik bölüm oluşturur.
Elipsin noktalarının oluşturulması için köşelerdeki kalemler kullanılır . Izin vermek elipsin bir üst eş-tepe noktası ve .
dikdörtgenin merkezidir . Dikdörtgenin kenarı eşit aralıklı n tane çizgi parçasına bölünmüştür ve bu bölme, çizgi parçası üzerine yön olarak köşegenle paralel olarak yansıtılır ve bölmeyi diyagramda gösterildiği gibi atar. Oryantasyonun tersi ile birlikte paralel izdüşüm, kalemlerin arasında ve ihtiyaç duyulan yansıtmalı eşlemenin bir parçasıdır . Herhangi iki ilgili hatların kesişme noktaları ve benzersiz tanımlanan elipsin noktalarıdır. Noktalar yardımıyla elipsin ikinci çeyreğinin noktaları belirlenebilir. Benzer şekilde, elipsin alt yarısının noktaları elde edilir.
Steiner üretimi, hiperboller ve paraboller için de tanımlanabilir. Dikdörtgen yerine paralelkenar ile başlayan köşeler yerine başka noktalar kullanılabildiği için bazen paralelkenar yöntemi olarak adlandırılır .
Hipotrokoid olarak
R = 2 r ile hipotrokoidin özel bir durumu olarak bir elips (kırmızı)
Elips, bitişik görüntüde gösterildiği gibi, R = 2 r olduğunda hipotrokoidin özel bir durumudur . Yarıçaplı bir daire içinde yarıçapı olan hareketli bir dairenin özel durumuna Tusi çifti denir .
Yazılı açılar ve üç noktalı form
Çevreler
Daire: yazılı açı teoremi
Denklemli bir daire , bir doğru üzerinde olmayan üç nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir . Parametreleri belirlemenin basit bir yolu, daireler için yazılı açı teoremini kullanır :
- Dört nokta için (şemaya bakın) aşağıdaki ifade doğrudur:
- Dört nokta bir daire üzerindedir ancak ve ancak açıları eşit ve eşitse.
Genellikle bir kişi yazılı açıları bir derece veya radyan θ ile ölçer , ancak burada aşağıdaki ölçüm daha uygundur:
- İki çizgi arasındaki açıyı denklemlerle ölçmek için bölüm kullanılır:
Daireler için yazılı açı teoremi
Bir doğru üzerinde üçü olmayan dört nokta için aşağıdakilere sahibiz (şemaya bakın):
- Ve açılar sadece eğer dört nokta, bir daire üzerinde bulunmaktadır ve eşittir. Yukarıdaki açı ölçümü açısından bunun anlamı:
İlk başta ölçü yalnızca y eksenine paralel olmayan akorlar için kullanılabilir, ancak son formül herhangi bir akor için çalışır.
Üç noktalı daire denklemi
- Sonuç olarak, eş doğrusal olmayan üç nokta tarafından belirlenen daire için bir denklem elde edilir :
Örneğin , üç noktalı denklem için:
-
olarak yeniden düzenlenebilir
Vektörler, nokta ürünleri ve determinantlar kullanılarak bu formül daha net bir şekilde düzenlenebilir, böylece :
Çemberin merkezi tatmin edici:
Yarıçap, üç noktanın herhangi biri ile merkez arasındaki mesafedir.
Elipsler
Bu bölümde, sabit bir eksantrikliğe sahip denklemlerle tanımlanan elips ailesini ele alıyoruz e . Parametreyi kullanmak uygundur:
ve elips denklemini şu şekilde yazmak için:
burada q, sabit ve gerçek sayılar değişebilir. (Bu tür elipslerin eksenleri koordinat eksenlerine paraleldir: eğer , ana eksen x eksenine paralelse; eğer , y eksenine paralelse.)
Bir elips için yazılı açı teoremi
Bir daire gibi, böyle bir elips, bir doğru üzerinde olmayan üç nokta tarafından belirlenir.
Bu elips ailesi için , olağan açı ölçüsünün bir fonksiyonu olmayan aşağıdaki q-analog açı ölçüsü tanıtılır θ :
- Denklemlerle iki çizgi arasındaki açıyı ölçmek için, bölüm kullanılır:
Elipsler için yazılı açı teoremi
- Dört nokta verildiğinde , bunların üçü bir doğru üzerinde değil (şemaya bakın).
- Dört nokta denklemle bir elips Hangi eğer açılar sadece ve ölçüm yukarıda olduğu anlamında eşittir, eğer
İlk başta ölçü yalnızca y eksenine paralel olmayan akorlar için kullanılabilir. Ancak son formül herhangi bir akor için işe yarar. Kanıt, basit bir hesaplamadan kaynaklanır. Noktaların bir elips üzerinde olduğu verilen ispat yönü için, elipsin merkezinin başlangıç noktası olduğu varsayılabilir.
Üç noktalı elips denklemi
- Sonuç olarak, elips için eş doğrusal olmayan üç nokta tarafından belirlenen bir denklem elde edilir :
Örneğin, için ve bir üç noktalı biçimini elde
-
ve dönüşümden sonra
Daire durumuna benzer şekilde, denklem vektörler kullanılarak daha net yazılabilir:
değiştirilmiş iç çarpım nerede
Kutup-kutup ilişkisi
Elips: kutup-kutup ilişkisi
Herhangi bir elips, uygun bir koordinat sisteminde bir denklemle tanımlanabilir . Elipsin bir noktasındaki tanjantın denklemi: Eğer biri noktanın orijinden farklı bir nokta olmasına izin veriyorsa , o zaman
- nokta elipsin ortasından değil , çizgiye eşlenir .
Nokta ve çizgiler arasındaki bu bağlantı, a, bijection .
Ters fonksiyon haritaları
- noktaya çizgi ve
- noktaya çizgi
Bir koni tarafından oluşturulan noktalar ve çizgiler arasındaki böyle bir ilişki, kutup-kutup ilişkisi veya kutupluluk olarak adlandırılır . Kutup nokta, kutup çizgidir.
Hesaplama yoluyla, elipsin kutup-kutup ilişkisinin aşağıdaki özellikleri doğrulanabilir:
- Elips üzerindeki bir nokta (kutup) için kutup, bu noktadaki tanjanttır (diyagrama bakınız:) .
- Elipsin dışındaki bir kutup için , kutupunun elipsin kesişme noktaları, geçen iki teğetin teğet noktalarıdır (şema :) .
- Elipsin içindeki bir nokta için, kutbun elips ile ortak bir noktası yoktur. (şemaya bakınız:) .
- İki kutbun kesişme noktası, çizginin kutuplarından geçen kutbudur.
- Odaklar ve sırasıyla ve yönlerden ve aittir kutup ve kutupsal çiftleri sırasıyla.
Kutup-kutup ilişkileri hiperboller ve paraboller için de mevcuttur.
Metrik özellikler
Aşağıda verilen tüm metrik özellikler, denklemli bir elips ile ilgilidir .
Alan
Alan oval bir çerçeve olup:
Sırasıyla yarı büyük ve yarı küçük eksenlerin uzunlukları nerede ve bunlardır. Alan formülü sezgiseldir: yarıçaplı bir çemberle başlayın (yani alanı öyle ) ve bir elips yapmak için onu bir faktör kadar uzatın. Bu, alanı aynı faktöre göre ölçeklendirir: Alan formülünü aşağıdaki gibi entegrasyonu kullanarak kesin bir şekilde kanıtlamak da kolaydır . Denklem ( 1 ), bu eğri için elipsin üst yarısı olduğu için yeniden yazılabilir . Yani aralığın iki katı integrali elipsin alanı olacaktır:
İkinci integral, yarıçaplı bir çemberin alanıdır, yani
Alana göre örtük olarak tanımlanan bir elips
Alan aynı zamanda eksantriklik ve yarı büyük eksenin uzunluğu cinsinden de ifade edilebilir (yassılaştırma için çözülerek, ardından yarı küçük ekseni hesaplayarak elde edilir).
Çevre
Aynı çevreye sahip elipsler
Çevresi bir elips olduğu:
burada yine yarı büyük eksenin uzunluğu , eksantrikliktir ve fonksiyon , ikinci türün tam eliptik integralidir ,
bu genel olarak temel bir işlev değildir .
Elipsin çevresi Gauss'un aritmetik-geometrik ortalamasını kullanarak değerlendirilebilir ; bu, ikinci dereceden yakınsayan bir yinelemeli yöntemdir.
Kesin sonsuz seriler :
burada bir çift faktörlü (nüks ilişki (2 negatif tek tamsayı genişletilmiş n -1) !! = (2 , n + 1) !! / (2 n, 1), için n 0 ≤). Bu dizi yakınsıyor, ancak James Ivory ve Bessel açısından genişleyerek, çok daha hızlı yakınsayan bir ifade türetmiştir:
Srinivasa Ramanujan "Modüler Denklemler ve Yaklaşımlar" ın 16. maddesinde çevre için iki yakın yaklaşıklık verir ; onlar
ve
Ampirik olarak elde edilen bu yaklaşımlardaki hatalar sırasıyla ve sıralıdır.
Daha genel olarak, çevrenin bir kısmının yay uzunluğu , tabi tutulan açının (veya elipsin üst yarısındaki herhangi iki noktanın x koordinatlarının) bir fonksiyonu olarak, tamamlanmamış bir eliptik integral ile verilir . Bir elipsin üst yarısı şu şekilde parametrelendirilir:
Daha sonra yay uzunluğu ile ilgili hiç bir:
Bu eşdeğerdir
parametre ile ikinci türün tamamlanmamış eliptik integrali nerede
Ters fonksiyon , yay uzunluğunun bir fonksiyonu olarak açı, belirli verilir eliptik fonksiyonu .
Kanonik elips çevresi üzerinde bazı alt ve üst sınırları ile olan
Burada üst sınırı bir çevresidir sınırlı eş daire elipsin büyük ekseni uç noktaları içinden geçen ve alt sınır olan çevre , bir ait çizilebilen eşkenar dörtgen ile köşe büyük ve küçük eksenleri arasında uç noktalarında.
Eğrilik
Eğrilik verilir eğrilik yarıçapı noktasında :
İki köşedeki eğrilik yarıçapı ve eğrilik merkezi:
İki eş köşedeki ve eğrilik merkezlerindeki eğrilik yarıçapı:
Üçgen geometride
Elipsler, üçgen geometride şu şekilde görünür:
-
Steiner elips : merkez merkezde olmak üzere üçgenin köşeleri boyunca elips,
-
inellipsler : bir üçgenin kenarlarına dokunan elipsler. Özel durumlar Steiner inellipse ve Mandart inellipse'dir .
Kuadriklerin düzlem bölümleri olarak
Elipsler, aşağıdaki kuadriklerin düzlem bölümleri olarak görünür :
-
Tek yaprağın hiperboloidi
Uygulamalar
Fizik
Eliptik reflektörler ve akustik
Eliptik bir su tankının bir odağında suyun yüzeyi bozulursa, bu rahatsızlığın dairesel dalgaları , duvarlardan yansıttıktan sonra , aynı anda tek bir noktaya, yani ikinci odak noktasına yaklaşır . Bu, toplam hareket uzunluğunun, iki odak arasındaki herhangi bir duvardan sıçrayan yol boyunca aynı olmasının bir sonucudur.
Benzer şekilde, bir eliptik aynanın bir odağına bir ışık kaynağı yerleştirilirse , elips düzlemindeki tüm ışık ışınları ikinci odak noktasına yansıtılır. Başka hiçbir düz eğri böyle bir özelliğe sahip olmadığından, elipsin alternatif bir tanımı olarak kullanılabilir. (Merkezinde bir kaynağı olan bir dairenin özel durumunda, tüm ışık merkeze geri yansıtılır.) Elips, bir elipsoidal ayna (özellikle bir prolat sferoit ) oluşturmak için ana ekseni boyunca döndürülürse , bu özellik geçerli olur. kaynak dışındaki tüm ışınlar için. Alternatif olarak, eliptik enine kesite sahip silindirik bir ayna , kağıdın bir çizgisi boyunca doğrusal bir floresan lambadan gelen ışığı odaklamak için kullanılabilir ; bu tür aynalar bazı belge tarayıcılarda kullanılmaktadır .
Ses dalgaları benzer bir şekilde yansıtılır, bu nedenle geniş bir eliptik odada bir odakta duran bir kişi diğer odakta duran bir kişiyi oldukça iyi duyabilir. Etki, bir prolat sferoitin bir bölümü olarak şekillendirilmiş tonozlu bir çatı altında daha da belirgindir . Böyle bir odaya fısıltı odası denir . Aynı etki, böyle bir sferoitin uç kapakları gibi şekillendirilmiş, birbirine bakacak şekilde uygun mesafede yerleştirilmiş iki reflektörle gösterilebilir. Örnekler , Birleşik Devletler Başkenti’ndeki Ulusal Heykel Salonu ( John Quincy Adams’ın bu mülkü siyasi konularda gizli dinleme için kullandığı söylenir); Mormon Tabernacle at Temple Square in Salt Lake City , Utah ; En sesi bir sergi de Bilim ve Endüstri Müzesi içinde Chicago ; Urbana – Champaign Foellinger Oditoryumu'ndaki Illinois Üniversitesi'nin önünde ; ve ayrıca Alhambra'daki V. Charles Sarayı'nın bir yan odasında .
Gezegen yörüngeleri
17. yüzyılda Johannes Kepler , gezegenlerin Güneş etrafında dolaştığı yörüngelerin , gezegensel hareketin birinci yasasında Güneş'in [yaklaşık olarak] tek odakta olduğu elipsler olduğunu keşfetti . Isaac Newton daha sonra bunu evrensel çekim yasasının bir sonucu olarak açıkladı .
Daha genel olarak, kütleçekimsel iki cisim probleminde , eğer iki cisim birbirine bağlıysa (yani, toplam enerji negatifse), yörüngeleri benzer elipslerdir ve ortak barycenter her bir elipsin odak noktalarından biridir. Her iki elipsin diğer odağının bilinen bir fiziksel önemi yoktur. Diğerinin referans çerçevesindeki herhangi bir cismin yörüngesi de bir elipstir ve diğer cisim aynı odaktadır.
Keplerian eliptik yörüngeler, gücü uzaklığın karesiyle ters orantılı olan herhangi bir radyal olarak yönlendirilmiş çekim kuvvetinin sonucudur. Bu nedenle, prensip olarak, iki zıt yüklü parçacığın boş uzaydaki hareketi de bir elips olacaktır. (Bununla birlikte, bu sonuç , parçacıklar yüksek hızda hareket ederken önemli hale gelen elektromanyetik radyasyon ve kuantum etkilerinden kaynaklanan kayıpları göz ardı eder .)
İçin eliptik yörüngeler , merkezcillik içeren yararlı ilişkiler şunlardır:
nerede
Ayrıca açısından ve yarı-büyük eksene kendi olan aritmetik ortalama yarı küçük ekseni, bunların bir geometrik ortalama ve yarı latus rektum bunların bir harmonik ortalama . Başka bir deyişle,
-
.
Harmonik osilatörler
İki veya daha fazla boyuttaki harmonik bir osilatör için genel çözüm de bir elipstir. Örneğin, iki boyutta hareket etmekte serbest olan uzun bir sarkaç durumu böyledir; tamamen elastik bir yay ile sabit bir noktaya tutturulmuş bir kütlenin ; veya sabit çekiciden uzaklığıyla doğru orantılı olan çekici bir kuvvetin etkisi altında hareket eden herhangi bir nesnenin. Bununla birlikte, Keplerian yörüngelerinden farklı olarak, bu "harmonik yörüngeler", elipsin geometrik merkezinde çekim merkezine sahiptir ve oldukça basit hareket denklemlerine sahiptir.
Faz görselleştirme
Olarak elektronik iki sinüzoidal sinyallerin nispi faz bir dikey ve yatay girişlerine ne yedirilmeleri ile karşılaştırılabilir osiloskop . Eğer Lissajous Şekil ekran bir elips, yerine bir düz çizgi, iki sinyal faz dışındadır.
Eliptik dişliler
Her biri bir odak etrafında dönen ve uygun açıda konumlandırılan, aynı eliptik çerçeveye sahip dairesel olmayan iki dişli , her zaman teması korurken yumuşak bir şekilde dönüyor. Alternatif olarak, bir bağlantı zinciri veya zamanlama kayışı ile bağlanabilirler veya bir bisiklet durumunda, ana aynakol dişlisi eliptik veya elips şeklindeki bir elips benzeri bir oval olabilir . Bu tür eliptik dişliler , tahrik aksının sabit bir dönüşünden değişken açısal hız veya tork üretmek için mekanik ekipmanda veya tersine değişen mekanik avantaj ile değişen bir krank dönüş hızına izin vermek için bir bisiklet durumunda kullanılabilir .
Eliptik bisiklet dişlileri, vites değiştirirken zincirin dişliden kaymasını kolaylaştırır.
Örnek bir dişli uygulaması, ipliği bir eğirme makinesindeki konik bir bobine saran bir cihaz olabilir . Bobinin, iplik apekse yakın olduğu zaman tabana yakın olduğu duruma göre daha hızlı sarılması gerekecektir.
Optik
- Optik olarak anizotropik ( çift kırılma ) olan bir malzemede kırılma indisi ışığın yönüne bağlıdır. Bağımlılık, bir dizin elipsoidi ile tanımlanabilir . (Malzeme optik olarak izotropik ise , bu elipsoid bir küredir.)
- Lambayla pompalanan katı hal lazerlerinde, ışığı pompa lambasından (bir elips odak ekseniyle eş eksenli) aktif ortam çubuğuna (ikinci odak ekseniyle eş eksenli) yönlendirmek için eliptik silindir şekilli reflektörler kullanılmıştır.
- Mikroçip litografide kullanılan lazer-plazma ile üretilen EUV ışık kaynaklarında EUV ışığı, bir elipsoid aynanın birincil odağına yerleştirilen plazma tarafından üretilir ve litografi makinesinin girişindeki ikincil odakta toplanır.
İstatistik ve finans
Olarak istatistik , bir iki değişkenli rasgele vektör ( X , Y ) olduğu ortak eliptik dağıtılmış olan izo-yoğunluklu hatları-lokuslar yoğunluğunun eşit değerler elips fonksiyon ise. Kavram, rastgele vektörün rastgele sayıdaki elemanlarına kadar uzanır, bu durumda genel olarak izo-yoğunluk konturları elipsoidlerdir . Özel bir durum, çok değişkenli normal dağılımdır . Eliptik dağılımlar finansta önemlidir çünkü varlıkların getiri oranları birlikte eliptik olarak dağıtılırsa, tüm portföyler tamamen ortalamaları ve varyansları ile karakterize edilebilir - yani, aynı ortalamaya ve portföy getirisi varyansına sahip herhangi iki portföy aynı portföy dağılımına sahiptir dönüş.
Bilgisayar grafikleri
Grafik ilkel olarak bir elips çizmek , MacIntosh QuickDraw API ve Windows'ta Direct2D gibi standart görüntüleme kitaplıklarında yaygındır . IBM'deki Jack Bresenham , en çok, taşıma bitinde toplama ve dallanma gibi hızlı tamsayı işlemlerini kullanan çizgi ve daire çizimi dahil olmak üzere 2D çizim ilkellerinin icadıyla ünlüdür. MLV Pitteway, 1967'de Bresenham'ın çizgiler için algoritmasını koniğe çevirdi. Elips çizmek için başka bir etkili genelleme, 1984 yılında Jerry Van Aken tarafından icat edildi.
1970'de Danny Cohen, İngiltere'deki "Computer Graphics 1970" konferansında elips ve daire çizmek için doğrusal bir algoritma sundu. 1971'de LB Smith, tüm konik kesitler için benzer algoritmalar yayınladı ve bunların iyi özelliklere sahip olduğunu kanıtladı. Bu algoritmalar, her vektörü hesaplamak için yalnızca birkaç çarpmaya ve toplamaya ihtiyaç duyar.
Bilgisayar grafiklerinde parametrik bir formülasyon kullanmak faydalıdır çünkü en fazla eğriliğin olduğu yerde noktaların yoğunluğu en fazladır. Böylece, her bir ardışık nokta arasındaki eğimdeki değişiklik küçüktür ve yaklaşımın görünen "pürüzlülüğünü" azaltır.
- Bézier yollarıyla çizim
Herhangi bir elips bir dairenin afin dönüşümü olarak yorumlanabileceğinden, kompozit Bézier eğrileri , yeterli doğrulukta bir elips çizmek için de kullanılabilir . Bir daire çizmek için kullanılan spline yöntemleri, bir elips çizmek için kullanılabilir, çünkü bileşen Bézier eğrileri bu tür dönüşümler altında uygun şekilde davranır.
Optimizasyon teorisi
Bazen bir nokta kümesi üzerinde minimum sınırlayıcı elipsi bulmak yararlıdır. Elipsoid bir yöntem olarak bu problemi çözmenin için oldukça yararlıdır.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
-
Besant, WH (1907). "Bölüm III. Elips" . Konik Bölümler . Londra: George Bell and Sons. s. 50.CS1 bakımlı: ref = harv ( bağlantı )
-
Coxeter, HSM (1969). Geometriye Giriş (2. baskı). New York: Wiley. s. 115–9 .
-
Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Geometri Temel Kavramları , Dover, ISBN 978-0-486-63415-9
-
Miller, Charles D .; Lial, Margaret L .; Schneider, David I. (1990). College Cebirinin Temelleri (3. baskı). Scott Foresman / Küçük. s. 381 . ISBN 978-0-673-38638-0.
-
Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , LCCN 76087042
Dış bağlantılar