1,2,3’ten başlayarak sıralı giden sayıları içgüdüsel olarak kolayca anlarız. Ama gerçekten düşünürseniz, bu rakamlar aslında nelerdir? Mesela kayı içgüdüsü olmayan bir uzaylıya onları nasıl anlatırsınız? İşte bu sorunun cevabını İtalyan matematikçi Giuseppe Peano vermiştir.
Derler ki dünyada tüm kuralları insanlarca oluşturulmuş iki temel disiplin vardır. Birincisi elbette hukuktur. İkincisi ise matematik. O zaman gelin şimdi bazı kurallar koyalım.
- Elimizde boş olmayan bir sayı kümesi vardır ve 1 elemanını kapsar. ( Bazı tanımlamalar 0 elemanını kapsar biçimindedir.)
- Her doğal sayının bir ve yalnız bir ardılı vardır.
- Ardılı 1 olan hiçbir doğal sayı yoktur.
- Herhangi iki doğal sayının ardılları eşit ise kendileri de eşittir.
- Bir doğal sayılar topluluğu 1’i içeriyorsa ve başka herhangi bir doğal sayıyı içerdiğinde onun ardılını da içeriyorsa, o zaman bu doğal sayılar topluluğu bütün doğal sayıları içerir.
Evet az önce bu yazıyı okuyan tüm okurların gözleri önünde mucizevi bir olaya imza attık. Doğal Sayılar kümesini oluşturduk! Aslında az önce okuduklarınız Peano Aksiyomları idi.
Yukarıda okuduğunuz ilk dört maddenin anlaşılması oldukça kolay. Sonucunda ilk aksiyom 1 sayısının varlığını garanti ediyor. İkincisi diğer bütün doğal sayıların ardıllar aracılığı ile var olduğunu, üçüncüsü başlangıç noktamızı, dördüncüsü ise sayıların birbirine hangi şartlarda eşit olacağını gösteriyor. Bu dört aksiyomdan hareketle, verilen bir doğal sayılar topluluğunun doğal sayılar kümesi olup olmadığını anlamamız olanaksız. Bunu son aksiyom sayesinde yapıyoruz.
Giuseppe Peano Adı ile Anılan Aksiyomlarını Neden Yazdı?
Giuseppe Peano (1858 – 1932) İtalyan bir matematikçidir. 200’den fazla kitap ve makalenin yazarı, birçok notasyona katkıda bulunduğu matematiksel mantık ve küme teorisinin kurucusuydu. Doğal sayıların standart aksiyomatizasyonu, onuruna Peano aksiyomları olarak adlandırılmaktadır.
Peano yoksul bir ailenin zeki çocuğuydu. Okuduğu üniversitede pek çok hocası bu keskin zekasını akademik düzeyde bir matematikle köreltmemesini ve mühendis olmasını tavsiye ettiyse de o matematik tutkusundan vazgeçmemiş hatta aritmetik ve küme teorisi alanında çok ciddi çalışmalar yapmıştır.
Günümüzde kullanılan birleşim kesişim fark gibi küme işaretlerini tanımlayıp ilk kez kullanan da kendisi olmuştur. Kısacası matematikten bir hukuk yaratmıştır. Ancak genel kullanıcının çok da ilgisini çekmeyen hatta heyecanını kaybetmesine sebep olan, öte yandan matematikçileri ise büyük bir heyecana iten, bu aksiyomlar neydi, ne işe yarıyordu? Gerekli miydi?
Peano Aksiyomları Neden Önemlidir?
Adına matematik dediğimiz büyük yapı çevremizde içinde “kesinlik” “mutlaklık” kavramlarını içinde barındırabilme ihtimali en yüksek olan yapı. Bu da kurallarının insanlarca oluşturulmuş olması cümlesini anlamsız kılıyor gibi gözükmekte.
Tersten bakalım, hukukla düzenlenen durumlar için de aynı şeyi söylemek pekala mümkün. Örneğin yasa güvencesinde olan insanların en temel hakkı olan yaşam hakkı. O kadar temel, bahsetmeye lüzum duyulmayan bir hak olmasına rağmen önce bu düzenlenir. Çeşitli ceza sistemleriyle koruma altına alınır. Ve bu bir kabuldür. Bir bir toplumsal uzlaşıdır.
Peano Aksiyomları Herkesin Uzlaşacağı Bir Zemin Yarattı
Peano Aksiyomları ile yapılan şey tüm matematikçilerin üzerinde uzlaşıyla çalışabileceği hukuki zemin yaratmaktır. Çünkü matematik için 2+2=4 işlemi yan yana getirilen ikişer parmağın birleşerek dört parmak oluşturması işlemi değildir. Parmağın, koyunun, kuzunun olmadığı bir soyut düzlemde de 2+2=4 sonucunun ortaya konulabilmesi için ihtiyaç duyulan şey bir kabulden başka şey değildir.
Eğer kabul 2+2=5 biçiminde olsaydı, matematik bu yönde şekillenirdi ve gerçekten de 2+2=5 olurdu. Yani bir anlamda Dostoyevski’nin rüyası gerçek olurdu ya da George Orwell’ın kabusu…Böyle bir dünyada ise artık 2+3’ün ise 5 yapmayacağı yeni bir düzen olurdu. Bilinen tüm toplama işlemlerinin sonucu değişir ve yine kendi içinde örtük bir matematik oluşurdu.
Durum böyle olsaydı bunun fiziksel dünyanın gerçekleriyle çelişeceğini dolayısıyla ciddi sıkıntılar ortaya çıkabileceğini düşünebilirsiniz. Ortaya çıkan bu farazi durumda gerçekten kendi içinde çelişkisiz bir matematik ortaya konulabilseydi belki günümüzdekinden daha zor daha kompleks işlemler ortaya çıkardı.
Matematik bir yasalar ve kabuller bütünü. Bir hukuk. Ve hukuk zaman zaman fiziksel dünyanın gerçekleriyle çelişen yasalar inşa edebilir. Hatırlayalım. İnsanlar da köleliğin yasal olduğu bir dünyada binlerce yıl geçirdiler. Yazının devamında göz atmak isterseniz: Matematikte İşlem Önceliğini Kim Neye Göre Belirlemiştir?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Peano Axioms Explained — Without The Crazy Math; Yayınlanma tarihi: 9 Eylül 2020; Bağlantı: https://medium.com/
- Peano’s Axioms; Bağlantı: https://mathworld.wolfram.com/
- Peano axioms; Bağlantı: https://www.britannica.com/science/Peano-axioms
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel