Minkowski Uzayı - Minkowski Uzayı Nedir - Fizik - Minkowski Uzayı Hakkında - Fizikte Minkowski Uzayı
Fizikte, Özel görelilik kuramının geçerli olduğu dört boyutlu uzayzamana Minkowski uzayı denir. Üç uzayboyutu ve bir zaman boyutu içerdiğinden buradaki "olay"lar dört boyutlu manifoldlar olarak ifâde edilir. Adını Almanmatematikçi Hermann Minkowski'den alır.
Dörtyöneylerde Minkovski iççarpımı
Bir dörtyöney ya da dörtvektör, dört adet koordinat bileşeni olan yöneye denir. Bu maddede dörtyöneyler, koyu ve büyük harflerle gösterilecektir; koyu ve küçük harflerle gösterilenler de üçyöneyler, yâni bilinen üç boyutlu yöneyler olacaktır.
Bilindik iççarpıma oldukça benzeyen, hattâ bilindik iççarpım cinsinden yazılabilen Minkovski iççarpımı, dört boyutlu "hiperbolik" bir iççarpım sunmaktadır. Eğer dörtyöneyleri ve olarak seçersek, Minkovski iççarpımı, bileşenler cinsinden
olarak tanımlanabilir. Bilindik iççarpım cinsinden de
biçimini alır. Buradan hareketle bir dörtyöneyin boyu da,
===olarak bulunur.
Minkovski iççarpımı, Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak da tanımlanabilir. ifâdesi, birim yöneylerin olan bileşenlerini ifâde edecek şekilde her dörtyöney, ve olarak yazılabilir. Burada birim yöneylerin Minkovski iççarpımları Minkovski metriğinin birim öğesine eşit olarak tanımlanır:
Böylece Minkovski iççarpımı
olarak yazılmış olur. Burada
vν = ημνvμ olarak tanımlandığında iççarpım,
biçimini alır. Bu gösterim genel görelilik kuramı çerçevesinde tensör gösterimlerinde sıkça kullanılmaktadır.
Daha ilerisi için genel görelilik kuramının biçimsel gelişimi maddesine bakınız Bilinen yöneylerde olanın tersine, dörtyöneylerin boyları çıkabilir. olduğu zaman dörtyöneyin boyu sıfırdan küçük olacaktır. Bu durum hiperbolik sayılarda da böyle olduğundan bazen dörtyöneyler hiperbolik dördübir sayılarla da ifâde edilir:
Burada olarak tanımlanan (ve hiçbiri 1e eşit olmayan) hiperbolik birim sayılardır. Dörtyöneyin boyu yine aynı kalır. Bazen sadece,
olarak da gösterildiği olur. Burada aynı şekilde olarak tanımlanır. Bu durumda dörtyöneyin boyu
olarak elde edilir.
Dörtkonum
Bilinen şekliyle uzayda yöneyler, üç koordinatla gösterilirler: x, y, z. Ancak özel görelilikte ayrıca zaman koordinatı da uzayın, daha doğrusu uzayzamanın bir parçasıdır. Bu yüzden burada yöneyler, dört koordinata sahip olurlar. Örneğin bilinen biçimiyle bir konum yöneyi,
şeklindedir (Bu maddede küçük kalın harfler, üçyöneyleri betimleyecektir). Bu yöney, birimindedir. Bu yöneye bir de t koordinatını eklersek birim karmaşası olacağından onun yerine dördüncü koordinat ct olarak alınır. Burada c ışık hızı olduğundan bu koordinat yine metre biriminde olacaktır. O halde bir dörtyöney,
olarak gösterilmiş olur.
Bir dörtkonumun boyu
olarak elde edilir. Burada dörtkonum bir Lorentz değişmezidir, yâni Lorentz dönüşümleri altında eylemsiz tüm başvuru çerçevelerine göre değişmezdir. dörtkonumu bir S başvuru çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ve dörtkonumu da S 'ye göre sabit u hızında hareket eden bir başka çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ifâde etsin. O halde,
olduğu Lorentz dönüşümleri kullanılarak kolaylıkla gösterilebilir. Bu durum ışık için de geçerlidir ki aslında ışık için dörtkonum doğrudan özel görelilik kuramının ikinci ilkesi olan ışık hızının her gözlemciye göre değişmezliği ilkesini ifâde eder. Eğer ışık her gözlemciye göre sabit hızla gidiyorsa, x=vt ifâdesinden dolayı her iki yönü de kapsayacak şekilde
olarak yazılır. Bu ifâdenin karesi alındığında
olur ve buradan
c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0 çıkarsanır. Minkovski uzayzamanında bu türden bir yöneye ışınsı yöney denir. Bu yöneyler c ışık hızında giden parçacıkların hareket denklemidir. Herhangi bir gözlemci için
ise, bu tür yöneylere zamansı yöney denir. Bu yöneyler, c hızından düşük hızlarda hareket eden gözlemcileri betimler. Yine eğer bir gözlemci için,
oluyorsa (olabildiği, Minkovski iççarpımı altbaşlığında irdelenmişti) bu durumda bu yöneylere uzamsı yöney denir. Bu yöneyler de c hızından yüksek hızlardaki gözlemcileri betimler. Bu tür parçacıklara takyon dendiği de olur.
Dörthız
Bilindik biçimiyle bir hız yöneyi üç koordinata sahiptir:
Bir hız yöneyi, konum yöneyinin zamana göre türevi şeklinde tanımlandığına göre, yani τ özel zaman olmak üzere;
olduğundan, dörthız yöneyi de aynı şekilde dörtkonumun zaman göre türevi olarak tanımlanmalıdır:
Burada dt = γdτ olduğundan
olduğu görülür.
Ayrıca dörthızın boyunun
=ημνUμUν==olduğu görülebilir. Burada Lorentz çarpanı
olarak yeniden yazılabilir, o halde dörthız yöneyinin,
olduğu görülür.
Dörtmomentum
Momentum, kütle ile hızın çarpımıydı,
Burada da aynı usavurum devam ediyor ancak küçük ayrıntılar oluşmakta:
Burada m0 durgun kütle ve m göreli kütledir.
Burada dikkat edilmesi gereken şey, dördüncü koordinatın sadece kütle oluşudur (sonuçta c bir sabit). Bu yüzden dörtmomentumun korunumu aslında Newton fiziğinde "momentumun korunumu" ile "kütlenin korunumu" ilkelerinin ikisini birden kapsar. Böylece iki denklemi
(momentumun korunumu)m1 + m2 = m'1 + m'2(kütlenin korunumu)olarak yazmak yerine,
(4-momentumun korunumu) gibi tek bir denklem yazılmış olur. Bunun yanı sıra olduğundan aslında bu enerjinin de korunumudur ve dörtmomentumun dördüncü bileşenini enerji yapar:
O halde dörtmomentumun boyu, yukarıdaki dörthızın boyunda elde edilen sonuç kullanılarak
==şeklinde elde edilir. Ayrıca, doğrudan boyladığımızda
===olduğundan, bu iki ifâde eşitlenince
ortaya özel göreliliğin en temel denklemlerinden biri olan momentum enerji bağıntısı, yâni
bağıntısı çıkar.
Dörtivme
İvme, hızın zaman göre türevidir. Bilindik ivme
şeklinde idi. Bu durumda dörtivme,
====olarak elde edilir (burada , üçivmedir). Bu ifādedeki 4. bileşen hızla ivmenin nokta çarpımıdır. Bu çarpım, merkezcil hareketlerde sıfır olur, yani;
olur. Eğer gözlemciyle aynı andaşlık düzlemindeki ivmeyi inceleyecek olursak, u=0 olacağından
bulunur. O halde, yalnız özel ivme olduğunda dörtivme olacaktır. Oysa olsa bile dörthız sıfırlanmıyordu.