$A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $A$ kümesine ait olan her gerçel sayının -toplamaya göre- tersi de $A$ kümesinde ise bu kümeye simetrik küme diyelim. Şimdi tek ve çift fonksiyon tanımlarını hatırlayalım:
$A\subseteq\mathbb{R}$ simetrik bir küme ve $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere
$$f, \text{ tek fonksiyon}:\Leftrightarrow (\forall x\in A)(f(-x)=-f(x))$$ ve
$$f, \text{ çift fonksiyon}:\Leftrightarrow (\forall x\in A)(f(-x)=f(x)).$$
Burada ilk olarak şunu belirtmekte fayda var:
Bir fonksiyonun tek veya çift olmasından veya olmamasından bahsedebilmek için fonksiyonun tanım kümesinin simetrik bir küme olması gerekir. Aksi taktirde fonksiyonun tek veya çift olması veya olmaması SÖZ KONUSU edilmez. Mesela $$f(x)=\ln x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu için "bu $f$ fonksiyonu tek midir veya çift midir" sorusu anlamsız bir sorudur. Sorunun anlamlı olması için -gerçel değişkenli ve gerçel değerli- bir fonksiyonun tanım kümesinin simetrik bir küme olması gerekir.
Şimdi tekrar tanıma dönecek olursak demek ki tanım kümesi simetrik olan bir fonksiyonun TEK olması $$(\forall x\in A)(f(-x)=-f(x))$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. Benzer şekilde tanım kümesi simetrik olan bir fonksiyonun ÇİFT olması $$(\forall x\in A)(f(-x)=f(x))$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor.
Senin sorun ise boş fonksiyon tek midir veya çift midir? Öncelikle boş fonksiyon tek midir veya çift midir sorusunu sorabilmemiz için boş fonksiyonun tanım kümesi simetrik bir küme midir diye bakmamız lazım. Boş fonksiyonun tanım kümesi ise boş $(\emptyset)$ kümedir. Acaba boş küme simetrik bir küme midir? Boş küme simetrik bir küme ise boş fonksiyonun tek veya çift olup olmamasını araştırmaya hakkımız var demektir. En üstte verdiğim tanımı matematiksel ifadelerle şöyle yazarız:
$$A, \text{ simetrik küme}:\Leftrightarrow \forall x (x\in A\Leftrightarrow -x\in A).$$
Şimdi $A$ gördüğümüz yere $\emptyset$ (boş küme) yazarsak
$$\forall x (x\in \emptyset\Leftrightarrow -x\in \emptyset)$$ önermesini elde ederiz. Bu önerme doğru ise $\emptyset$ simetrik kümedir diyeceğiz. Bu önerme doğru mudur? Ne dersin? Senin yorumuna göre sonra kaldığımız yerden devam ederiz.