Sponsor
Sponsor
Gelen Trafik Koşullarında ve Tek Girişte Asansör RTT'si Türetme
Sponsor
Lütfi El-Şerif, Hasan Algzawi ve Ahmed Hammoudeh tarafından
RTT, asansör sistemleri tasarlamanın temelidir. Bunu hesaplamak için birkaç farklı yöntem (hem analitik hem de sayısal) vardır. Bir binanın trafik koşulları daha karmaşık hale geldikçe, analitik yöntemler zorlu hale gelir. Sayısal yöntemler, asansörün yolcuları ana girişten alıp binadaki varış noktalarına teslim ettiği ve ana girişe geri döndüğü tam bir gidiş-dönüş yolculuğu tamamlamak için geçen süre olan RTT'yi hesaplamak için çekici bir alternatif sunar. .
MCMC yönteminin kullanılması, RTT'yi bulmak için kullanılan Monte Carlo simülasyonuna uygun bir alternatiftir. Bu makale, gelen trafik koşullarında ve tek bir girişte bir gidiş-dönüş sırasında asansör için geçiş-olasılık matrisini oluşturmak için gerekli formülleri türetmektedir. Ardından, RTT'yi değerlendirmek için yöntemin pratik kullanımını gösteren sayısal bir örnek sağlar.
RTT'nin değerlendirilmesi, asansör trafik sistemlerinin tasarımı için kritik öneme sahiptir. Niceliksel ve niteliksel kullanıcı gereksinimlerine göre bir binada gerekli sayıda asansör bulmak için kullanılabilir.[1] Analitik-denklem tabanlı[2 ve 3] veya sayısal yöntemler kullanılarak elde edilebilir.[4] Analitik yöntemler, bir kat yolculukta en yüksek hıza ulaşılamayan ve kat yüksekliklerinin eşit olmadığı durumlarla ilgilenemedikleri için uygulama alanları sınırlıdır, ancak bu alanda bazı çalışmalar yapılmıştır.[5] Sayısal yöntemlerin avantajı, tek kat yolculuğunda ulaşılamayan en yüksek hız, eşit olmayan kat yükseklikleri, eşit olmayan kat popülasyonları ve çoklu girişler gibi özel durumların herhangi birinde uygulanabilmeleridir. RTT'nin değerlendirilmesinde şu anda kullanılan tek sayısal yöntem Monte Carlo yöntemidir.[4]
Bu makale ayrıca geçiş olasılığı matrisini türetmek için bir metodoloji sunar. RTT'nin değerlendirilmesinde MCMC yönteminin kullanılmasına ilişkin adım adım bir kılavuz, söz konusu değerlendirmenin sayısal bir örneği ile birlikte sunulmaktadır. Burada tanıtılan MCMC yöntemi, tek girişli bina durumuyla sınırlıdır. Birden fazla giriş durumu, Lutfi Al-Sharif ve Ahmad Hammoudeh'in “Markov Zinciri Monte Carlo Kullanarak Çoklu Girişler ve Gelen Trafik Koşulları için Asansör Gidiş Dönüş Süresinin Değerlendirilmesi” başlıklı makalesinde tam olarak ele alınmıştır (www.inderscience.com/info/ingeneral/forthcoming. php?jcode=ijise).
Geçiş Olasılığı Matrisi
Gidiş-dönüş süresini değerlendirmek için MCMC yöntemini kullanmak için öncelikle geçiş olasılık matrisinin türetilmesi gerekir.[6] Geçiş olasılık matrisindeki her bir eleman, asansörün halihazırda i katında olduğu göz önüne alındığında, asansörün i katından j katına hareket etme şansı sağlar. Bu aşağıda gösterilmiştir:
Matris için genel bir format Tablo 1'de gösterilmiştir. Asansör aynı katta kalamayacağı için köşegenin sıfır olduğu görülebilir. Trafik geldiği için zemin kata dönmek dışında trafik bir alt kata geçemez. Matrisin üst üçgeni, asansörün bir üst kata hareket etme olasılıklarını temsil eder. İlk sütun, zemin kata geri dönme olasılığını temsil eder. Her hücre için genel ifadeyi almak ve genişletmek şunları verir:
Böylece, i katlarından j'ye geçiş olasılığı, bu ikisi arasında herhangi bir katta durmama olasılığına, i katında durma olasılığına, gidiş-dönüş i katında durma olasılığına eşittir. Ancak, "bir gidiş-dönüşte i katından j'ye yolculuk" olayının, tanımı gereği, i'den bir yolculuk için "bir gidiş dönüşte i katında durmak" olayının bir alt kümesi olduğunu belirtmekte fayda var. j'nin gerçekleşmesi için asansörün önce i katında durması gerekir. Bu şurada gösterilir:
Ancak, bir A olayı başka bir B olayının alt kümesiyse, kesişmeleri olay A'dır. Dolayısıyla, Denklem 2'deki olasılık aşağıda gösterildiği gibi basitleştirilebilir:
Denklem 4'ü Denklem 2'de değiştirmek, aşağıdaki önemli sonucu verir:
Bu nedenle, her satırdaki değerler, bir katta durma olasılığına bölünmelidir. Zemin kat tek giriştir. Bu nedenle tanım gereği asansörün yolcuları (P) yukarı kaldırmak için o katta durması gerekir. Böylece asansörün bir gidiş dönüşte bu katta durma olasılığı 1'dir.
Tablo 2'deki ilk sütun, asansörün o katta durduğu göz önüne alındığında, bir gidiş-dönüşte belirli bir katın en yüksek dönüş katı olma olasılığını temsil eder. Bu aşağıda gösterilmiştir:
Bu, i. katın en yüksek dönüş katı olması ve i. katta durma olasılığının bir gidiş-dönüşte i. katta durma olasılığına bölünmesine eşittir. Ancak, "i. katın en yüksek dönüş katı olması" olayının "bir gidiş dönüşte i. katta durma" olayının bir alt kümesi olduğunu belirtmekte fayda var, i. katın en yüksek dönüş olması için kat (tanım gereği), asansör başlamak için i. katta durmalıdır. Bu aşağıda gösterilmiştir:
Ancak, bir A olayı başka bir B olayının alt kümesiyse, kesişmeleri olay A'dır. Dolayısıyla, Denklem 7'deki olasılık, Denklem 9'da gösterildiği gibi basitleştirilebilir:
Denklem 9'de Denklem 7'u değiştirmek önemli sonucu verir:
Böylece, birinci sütundaki elemanlar, bir katın en yüksek dönüş katı olma olasılığının o katta durma olasılığına bölünmesiyle elde edilebilir. Son değiştirilmiş geçiş olasılığı matrisi Tablo 2'de gösterilmiştir. Geçiş olasılığı matrisini türetmek için aşağıdaki olayların olasılığı için formüllere sahip olmak gerekir:
- Ara katlarda durmadan iki kat arasında yolculuk yapma olasılığı
- Bir katın en yüksek dönüş katı olma olasılığı
- Bir katta durma olasılığı
Bu üç formül bir sonraki bölümde türetilmiştir.
Denklemler
Bir gidiş-dönüşte i ve j katları arasında (arada herhangi bir katta durmadan) bir yolculuk olma olasılığının aşağıdaki Denklem 11'de gösterilen aşağıdaki ifade ile verildiği gösterilmiştir:[5]
Asansörün zemin kattan başladığı özel durum için (yani tek giriş), Denklem 11 aşağıdaki özel durum denklemine indirgenir:[5]
Gidiş dönüş sırasında asansörün i katında durma olasılığı, aşağıda gösterildiği gibi, o kattaki nüfusa ve kabine binen yolcu sayısına bağlıdır:[5]
Zemin kat tek giriştir. Bu nedenle, tanım gereği, yolcuları (P) yukarı kaldırmak için asansörün o katta durması gerekir. Böylece asansörün bir gidiş dönüşte bu katta durma olasılığı 1'dir.
Geçiş olasılığı matrisinde görülebileceği gibi (tek girişli bir düzenleme için), ilk sütun, gidiş-dönüş sırasında o katta bir durak olduğu göz önüne alındığında, belirli bir katın en yüksek dönüş katı olma olasılığını temsil eder. Bir katın en yüksek dönüş katı olma olasılığı formülü aşağıda gösterilmiştir:[5]
Katlar arası seyahat süresini de hesaplamak gerekir. Anma hızı v, beyan ivmesi (a) ve beyan sarsıntısı (j) ile bir (d) mesafesi ile ayrılan herhangi iki kat arasındaki bu süre, üç farklı koşul için Denklem 16-18'de gösterildiği gibi hesaplanabilir. (sırasıyla, nominal hıza ulaşıldı, nominal hıza ulaşılmadı ancak nominal hızlanmaya ulaşıldı ve nominal hıza ulaşılmadı ve nominal hızlanmaya ulaşılmadı):[7]
Elde edilen nominal hız: eğer:
Nominal hıza ulaşılamadı, ancak nominal ivmeye ulaşıldı: eğer , o zaman
Ne nominal hıza ne de nominal ivmeye ulaşılmadı:
eğer öyleyse
Bu, i ve j katları arasında seyahat etmek için gereken süreyi gösteren iki boyutlu bir matris üretir. Böyle bir matrisin bir temsili Tablo 3'te gösterilmektedir. Görülebileceği gibi, aynı kata hareket etmek için zaman gerekmediğinden köşegen sıfırdır. Köşegenin üstündeki matrisin üst üçgeninin, köşegenin altındaki alt üçgenin ayna görüntüsü olduğu da görülebilir.
RTT'nin hesaplanması
Aşağıda, Markov Zinciri Monte Carlo yöntemini kullanarak bir RTT değerlendirmesi yapmak için atılacak adımlara genel bir bakış yer almaktadır:
- Kinematik matrisi geliştirin.
- Geçiş olasılığı matrisini geliştirin.
- Geçiş olasılığı matrisindeki karşılık gelen satırdan binanın her katı için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) çıkarın.
- 3. adımda elde edilen her PDF'yi kümülatif dağıtım işlevine (CDF) dönüştürün.
- Asansörün başlangıç konumunun ana giriş (G katı veya 0) olduğunu varsayarak, geçiş olasılık matrisinin ilk satırından üretilen CDF'den rastgele bir örnek çizin. Bu, asansörün bir sonraki hedefini sağlayacaktır.
- Bir sonraki hedefe karşılık gelen satırı kullanarak, bir sonraki hedefi oluşturmak için o satırın CDF'sini kullanın.
- Asansör zemin kata dönene kadar 6. adımı tekrarlayın. Bu tam bir gidiş-dönüş oluşturur.
- 1. adımda geliştirilen kinematik matrisi kullanarak gidiş-dönüş yolculuğun seyahat süresi bileşenini hesaplayın.
- 7. adımda bulunan yolculuktaki durak sayısına göre, gidiş-dönüş yolculuğun kapı süresi bileşenini hesaplayın.
- Geçiş olasılığı matrisinin geliştirildiği yolcu sayısına göre gidiş-dönüş yolcu geçiş bileşenini hesaplayın.
- Gidiş dönüş, 8, 9 ve 10. adımlardaki üç terimin toplamıdır.
- Belirli sayıda denemede (örn. 5) 11-10,000 arasındaki adımları tekrarlayın, ardından tüm denemelerin ortalamasını alarak RTT'yi elde edin.
Sayısal örnek
Bir binanın ana girişin (zemin kat) üzerinde beş katı (N) vardır. Asansör kabini altı yolcuyla doluyor; bu nedenle, zemin katta P = 6. Binanın kat yüksekliği eşittir: df = 4.5 m. Kapı açma süresi (tdo) 2 s, kapı kapanma süresi (tdc) 3 s'dir. Asansöre yolcu transfer süresi (tpi) 1.2 sn.; asansörden çıkmak için (tpo), 1.2 s'dir. Nominal hız (v) 1.6 ms-1'dir; nominal ivme (a) 1 ms-2'dir; anma sarsıntısı (j) 1 ms-3'tür.
Örneğin geçiş olasılığı matrisinde (Tablo 4), beklendiği gibi, herhangi bir satırdaki öğelerin toplamı 1, köşegen sıfır ve alt üçgen sıfırdır (ilk sütun hariç). Her satır için PDF ve CDF oluşturulur ve tam bir gidiş-dönüş oluşturmak için rastgele örnekleme yapmak için kullanılır. Binadaki asansörün hareketini aşağıdaki gibi oluşturmak için rastgele sayılar üretilir ve kullanılır:
- Rastgele() = 0.244: 0'dan 1'e
- Rastgele() = 0.746: 1'dan 3'e
- Rastgele() = 0.796: 3'dan 5'e
- 5 itibaren 0 için
Böylece tam yolculuk 0'dan 1'e, 1'den 3'e, 3'ten 5'e, sonra 5'ten 0'a olur. RTT'nin ilk terimini hesaplamak için kinematik matrisi bulmak gerekir. Bu, asansörün herhangi iki kat arasında, nominal hız, hızlanma ve sarsıntıdan başlayarak hareket etmesi için gereken süreyi temsil eder. Bu zamanlar Denklem 16-18 kullanılarak hesaplanabilir. Bunlar, bu bina ve asansörün kinematik parametreleri için Tablo 5'te gösterilmektedir.
RTT üç bileşenden oluşur. Bunlardan ilki seyahat süresidir:
İkinci dönem kapı zamanıdır. Bu, yolculuk sırasındaki durak sayısının kapı açma ve kapama süresi ile çarpılmasıyla hesaplanabilir. Bu durumda durak sayısı dörttür (0, 1, 3 ve 5'te durur):
RTT denklemindeki üçüncü ve son terim, yolcunun biniş ve iniş süresini temsil eder ve ile gösterilir. τP. Bu, yolcu sayısını yolcu başına biniş ve iniş süresinin toplamı ile çarparak kolayca hesaplanabilir:
Üç RTT teriminin tümünü eklemek, RTT'nin ilk denemesini verir:
Bu prosedürü 10,000 kez tekrarlamak, 76.3231 s'lik nihai bir RTT değeri verir. Analitik denklemi kullanan kesin değer 76.4031 s'dir.
Sonuç
MCMC yöntemini kullanarak RTT değerini değerlendirmek için net bir dizi adım özetlenmiştir. Bir gidiş-dönüş sırasında asansör hareketlerinin geçiş olasılığı matrisini geliştirmek için denklemler türetilmiştir. Bir deneme için RTT'yi değerlendirmek için yöntemin kullanımını gösteren sayısal bir pratik örnek verilmiştir. Yöntem, özellikle tek kat gezisinde en yüksek hıza ulaşılamadığı ve eşit olmayan kat yükseklikleri olduğu gibi özel bina koşulları için analitik denklemlerin bulunmadığı durumlarda güçlüdür.