Deney ve sonuçlarından hareketle, örneklem uzayını yazabileceksiniz.
Vida üreten bir firmada kalite kontrol uzmanı olarak görev yapan Ragıp Keskingöz üretim hattından rasgele bir vida alarak vidanın hatalı olup olmadığını inceler. Ragıp Keskingöz’ün bir vidayı inceleme eylemi istatistiksel deneye bir örnektir. Bu inceleme sonucunda vida hatasız ya da hatalı biçiminde değerlendirilecektir. Bu iki gözlem bilgisine deneyin sonucu (outcome) denirken, bu sonuçların birlikte ele alınması neticesindeyse bu deneyin örneklem uzayı oluşur.
Pek çok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleşmesi sürecine “deney”, bu gözlemlere “deneyin sonuçları” ve bu sonuçların tümüne ise “deneyin örneklem uzayı” denmektedir.
Bir örneklem (örnek) uzayı S harfiyle ifade edilmekte olup yukarıda verilen vida inceleme deneyine ilişkin örneklem uzayı,
S = {hatasız, hatalı}
biçiminde gösterilmektedir. Bu örneklem uzayının elemanlarına da örneklem noktaları denmektedir.
Bir deneyin örneklem uzayı Venn ya da ağaç diyagramı çizilerek de oluşturulabilmektedir. Venn diyagramı, bir deneyin tüm olası sonuçlarının (kare, dikdörtgen ya da daire gibi) bir resimle gösterilmesidir. Ağaç diyagramındaysa her bir sonuç, ağacın bir dalıyla ifade edilmektedir. Venn ve ağaç diyagramları olasılık kavramlarının, görsel ifade yoluyla kolay anlaşılmasına yardımcı olmaktadır.
Paranın bir kez atılması deneyinin Venn ve ağaç diyagramlarını çiziniz.
Çözüm
Bu deneyin iki olası sonucu yazı ve tura olup örneklem uzayı Y = Yazı, T = Tura olmak üzere,
S = {Y, T}
biçimindedir.
Bu örneğin Venn diyagramı olarak bir dikdörtgen çizilir ve bu dikdörtgen içerisinde iki sonucu göstermek üzere iki nokta konarak yazı ve tura işaretlenir. Örneklem uzayını belirtmek üzere de dikdörtgenin dışına S harfi yazılır (Şekil 4.1 a). Bu örneğin ağaç diyagramıysa aynı noktadan başlayan iki dal çizilmekte ve dallardan biri yazıyı diğeri turayı ifade etmek üzere dalların sonuna da sonuçlar (Y ve T) yazılmaktadır (Şekil 4.1 b).
Paranın iki kez atılması deneyinin Venn ve ağaç diyagramlarını çiziniz.
Çözüm
Bu deney, paranın ilk ve ikinci atılışında yazı ya da tura gelme durumuna göre iki bölümde şekillenir. ilk para atılışında yazı geldiğinde ikincisinde yazı ya da tura gelebilecektir. Yani yazı geldiğinde YY (birinci ve ikinci atışta yazı), tura geldiğindeyse YT (birinci atışta yazı, ikinci atışta tura) sonucuyla karşılaşılacaktır. Bu durumun tersi de düşünülebilir. İlk atış tura, ikinci atış yazı (TY) gelebilir. Öte yandan ilk atış tura iken, ikinci atışta tura (TT) gelebilir. Sonuç olarak iki kez atılan para deneyinin örneklem uzayı,
S = {YY, YT, TY, TT}
biçimindedir ve bu deneye ilişkin Venn ve ağaç diyagramları da aşağıdaki Şekil 4.2’deki gibidir.
Bir işyerinde çalışan personel arasında rasgele iki tanesinin seçildiği ve cinsiyetlerinin ( E = Erkek, K= Kadın ) kaydedildiği düşünülsün. Bu deneyin tüm sonuçlarını yazınız, Venn ve ağaç diyagramlarını çiziniz.
Çözüm
Bu deney de paranın iki kez atılması deneyiyle aynıdır. Çünkü para atma deneyindeki Y ve T biçimindeki iki sonuç, bu deneyde E ve K olarak görülecektir. Aşağıdaki Venn ve ağaç diyagramlarında da (Şekil 4.3) görüleceği gibi bu deneyin sonuçları da EE, EK, KE, KK biçiminde dört noktayla ifade edilmektedir, örneklem uzayı da,
S = {EE, EK, KE, KK}
biçiminde yazılmaktadır.
Basit ve Bileşik Olaylar
Olay, bir deneyin bir ya da daha çok sonucundan oluşur. Olay: Bir olay, bir deneyin bir ya da daha çok sonucunun kümesidir. Olay, basit ya da bileşik olabilmektedir. Basit olaya aynı zamanda “elementer olay” denirken, bileşik olaya da “katışık olay” denir.
Basit Olay
Herhangi bir deneyin nihai sonuçlarına basit olay denir. Yani bir basit olay sadece ve sadece bir tane sonuç içermekte ve E 1 , E 2 , E 3 , …. ya da A, B, C, ….biçimindeki harflerle gösterilmektedir.
Yukarıda verdiğimiz örnek 4.3. deki iki personel seçimi deneyinde, elde edilen (EE EK KE KK) verdiğimiz dört nihai sonucun her biri bu deneyin basit olaylarıdır ve sırasıyla E 1 , E 2 , E 3 ve E 4 biçiminde gösterilir.
E 1 = (EE), E 2 = (EK) , E 3 = (KE) , E 4 = (KK)
Bileşik Olay
Bir bileşik olay birden çok sonuçtan oluşmaktadır. Bileşik olaylar A, B, C, D,…. ya da A 1 , A 2 , A 3 , ….., B 1 , B 2 , B 3 ,…. biçiminde gösterilmektedir.
Bir işyerinde çalışan personel arasından rasgele iki personelin seçilmesi ve cinsiyetlerinin kaydedilmesi biçimindeki, örnek 4.3. tekrar düşünülsün ve A olayı, en çok bir erkeğin seçilmiş olduğu durum olarak tanımlansın. A olayı hiç erkek olmaması ya da bir erkek olması durumunda gerçekleşecektir ve aşağıdaki gibi gösterilecektir.
A = {EK, KE, KK}
A olayı, birden çok sonuçlu olduğu için bir bileşik olaydır. Bu olayın Venn diyagramı yardımıyla grafiksel gösterimi aşağıdadır.
Bir grup insandan bir kısmı, genetik kopyalamayı, olumlu bulup desteklemekte, geri kalanı karşı çıkmaktadır. Bu gruptan rasgele iki kişi seçilmiş ve genetik kopyalamaya ilişkin görüşleri sorulmuştur. Kaç farklı sonuç söz konusudur? Bu deneye ilişkin Venn ve ağaç diyagramlarını çiziniz.
Aşağıda verilen olayların içerdiği sonuçları listeleyiniz ve bu olayların basit mi yoksa bileşik mi olduğunu belirtiniz.
a) Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor.
b) En çok bir kişi genetik kopyalamaya karşıdır.
c) Kesinlikle bir kişi genetik kopyalamayı destekliyor.
Çözüm
D =Genetik kopyalamayı destekliyor,
K = Genetik kopyalamaya karşı olmak üzere dört sonuç aşağıdadır.
DD = Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor.
DK = Birinci kişi genetik kopyalamayı desteklerken ikincisi karşıdır.
KD = Birinci kişi genetik kopyalamaya karşıyken ikincisi destekliyor.
KK = Her iki kişi de genetik kopyalamaya karşıdır.
Bu deneyin dört nihai sonucuna ilişkin Venn ve ağaç diyagramı şöyledir.
a) “Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor” olayının gerçekleşmesi A ile ifade edilmek üzere, A = {DD} biçiminde gösterilir ve bu olay, deneyin dört nihai sonucundan sadece bir tanesini içerdiği için “basit olaydır”.
b) “En çok bir kişi genetik kopyalamaya karşı” olayının gerçekleşmesi iki kişinin ya da iki kişiden birinin genetik kopyalamayı desteklemesi durumlarında söz konusudur. B ile ifade edilen olay, B = {DD, DK, KD} sonuçları nedeniyle (birden çok sonuç) “bileşik olaydır”.
c) “Kesinlikle bir kişi genetik kopyalamayı destekliyor” olayının gerçekleşmesi, iki kişiden birisinin genetik kopyalamayı desteklerken, diğer kişinin karşı olduğu durumda söz konusudur. C ile ifade edilen ve C = {DK, KD} biçiminde gösterilen olay birden çok sayıda sonuç içermesi nedeniyle “bileşik olaydır”.
1. Deney, sonuç, örneklem uzayı, basit olay, bileşik olay kavramlarını açıklayınız.
2. Aşağıdaki istatistiksel deneyler için basit olayları S örneklem uzayını yazınız.
a. Bir zarın bir kez atılması,
b. Bir paranın üç kez atılması,
c. Bir paranın bir kez ve bir zarın bir kez atılması.
3. Devlet bütçesindeki açığın kapatılabilmesi için zenginlerden alınan verginin arttırılmasını bazı seçmenler isterken, bazıları karşı çıkmaktadır. Seçmenler arasından rasgele üç kişi seçilip görüşleri sorulacak olursa, toplam kaç olası sonuçla karşılaşılır? Bu deneyin ağaç diyagramını çiziniz ve sonuçları S örneklem uzayında gösteriniz.