Futbola Muğla Amatör Ligi takımlarından Yatağanspor'da başladı. 1955 yılında Altay'a transfer oldu ve 1957'ye kadar bu takımda santrafor olarak oynadı.
1957-1958 sezonunda Beşiktaş’a transfer oldu. Siyah-Beyazlı ekipteki ilk yılında Federasyon Kupası Şampiyonluğu yaşayan Köstepen, 1970 yılına kadar Beşiktaş forması giydi. Siyah-Beyazlı ekibin orta sahasının değişmez ismi olan ve çok kritik gollere de imza atan Kaya Köstepen, Beşiktaş’ta 4 Lig Şampiyonluğu yaşadı. 3 kez A Milli formayı giydi. 332 Birinci Lig maçında 7 gol kaydetti. Kaya Köstepen, futbolu bıraktıktan sonra teknik adamlık yaptı. Aydınspor, Beşiktaş, Muğlaspor ve Balıkesirspor'da teknik direktör olarak başarılı hizmetler verdi. Teknik adam olarak en son hatırlandığında da kapanmışlığı dolayısıyla artık Türk futbol tarihinin sayfalarına gömülmüş olan Süleymaniye Sirkeci'yi çalıştırıyordu.
27 Kasım 1958'de Real Madrid'le oynanan Şampiyon Kulüpler Kupası rövanş maçında Kaya Köstepen sayı kaydederek maçın 1-1 bitmesini sağlamış ve Beşiktaş'ın Avrupa Kupalarındaki ilk golünü atmıştı.
Rukiye Köstepen ile evli olan Kaya Köstepen'in Hakan ve Kaan adında iki oğlu ve Ali Ilett Kostepen, Selin Kate Köstepen, ve Armağan Köstepen adında üç torunu vardır. 29 Haziran 2011'de Muğla'nın Datça ilçesinde vefat etti.