-
(bkz: diferansiyel eleman)
-
bu gizemli kavram isminin yaptığı çağrışıma uymakla beraber, bilinenden farklıdır. öncelikle şunu belirtelim sonsuz küçük diferansiyel eleman kavramıyla aynı şey değildir. (bkz: #21498890)
önce sezgilere hitap edelim: bir gram altın aldınız onu en küçük parçalarına ayırmak istiyoruz. önce yarıya böldük ve ikinci yarısını ayırdık. elimizde yarım gram altın var. onun da yarısını ayırdık ve çeyrek gram altın kaldı. hep yarıya bölelim un tanesi kadar kalacak elimizde, ama devam edelim bölmeye. bir zaman sonra elimizde 1 tane atom kalacak, altın atomu. onu da bölelim elektronlar falan filan var şimdi. daha devam edebilir miyiz?
bilim yakın zamanda bu soruyu sonsuz küçük kavramıyla açıklamaya girişmiş durumda.
bunun mümkün matematiksel bir modelinin olduğu şaşırtıcı bir gerçektir. şöyle ki...
aklınızdan bir pozitif sayı tutun ama küçük bir sayı olsun, isterseniz 5 isterseniz 3 ya da üçün yarısı yani 3/2. ilk olarak amacımız daima daha küçük sayı bulmak olacak.*
diyelim ki tuttuğunuz sayı 1
1 den küçük 1/2 var.
en başta 1/2 deseydik, bu sefer 1/2 daha küçük sayı olarak 1/3'ü alabiliriz. elimizde şu var:
1/3 < 1/2 < 1
isterseniz hep daha küçük sayılar bulabiliriz, mesela
1/100000 < 1/10000 < 1/1000 < 1/100 < 1/10 < 1/3 < 1/2 < 1
gördüğünüz gibi artık 1 çok büyük bir sayı. küçük sayı seçmek için n sayısını büyük seçip 1/n sayısına bakabiliriz.
bir daha deniyelim: diyelim ilk tuttuğunuz sayı bir bölü bir milyon 1/1,000,000. bu sayıdan daha küçük bir sayı olarak 1/1,000,003 verilebilir.
yaptığımız şeyi daha iyi ifade edelim: x bir pozitif sayı ise her zaman x'ten küçük pozitif bir sayı bulabiliriz. buna arşimed ilkesi denir.
şimdi soru şu: bütün 1/n'lerden daha küçük bir pozitif sayı bulabilir miyiz?
cevap: yok. arşimed ilkesi tam olarak bunu söylüyor. böyle bir reel sayı yoktur.
peki ya olsaydı? diye sormuş matematikçiler.
diyelim ki var böyle bir sayı adı da s olsun.
yani s bütün 1/n 'lerden küçük ama sıfırdan büyük:
0 < s < ... < 1/1,000,003 < 1/1,000,000 < 1/100,000 < 1/10,000 < 1/1,000 < 1/100 < 1/10 < 1/3 < 1/2 < 1
bu s matematikte sonsuz küçük olarak adlandırılır. ve abraham robinson tarafından inşa edilen non-standard analysis kavramıdır. reel sayılar kümesine sonsuz küçük sayılar eklediğimizde elde ettiğimiz yeni küme her açıdan makuldur.
altın örneğine geri dönelim.
0 elimizde hiçbir şey kalmadı demek.
1/1,100,000 demek elimizde 1/1,000,000 gram altın var demek.
peki s ne demek?**
-
diferansiyel hesapta limit, türev ve integrali farklı bir yaklaşımla tanımlamakta da kullanılır. genelde bilinen yöntem epsilon-delta yöntemidir. fakat keisler, elementary calculus: an infinitesimal approach kitabında bu sonsuz küçükler yardımıyla öğrencilerin diferansiyel hesabın temel bazı kavramlarını kavramsal olarak daha iyi anlayabildiğini iddia eder. tabii bu yaklaşıma karşı birçok eleştiri de mevcut. yeterince rigorous bulmayanlar falan filan. alternatif bir yaklaşım olarak öğrenmekte fayda vardır. keisler' in yukarıda zikredilen kitabına bakılabilir.
edit:
matematikçiler ne diyor diye biraz araştırayım dedim.
şimdi bu kavramı ortaya atarak ortalığı karıştıran gottfried wilhelm leibniz denen ömrü-uzundur.
ailecek matematikle kafayı bozmuş bernoulliler de bu konuya bigane kalamıyor. john bernoulli sonsuz küçüğü, sonlu niceliklere eklenerek o niceliğin miktarını değiştirmeyen nicelikler olarak görüyor. l'hopital de bu abilerden ders aldığı için bu fikirlerin izlerini onda da görmek mümkündür.
joseph louis lagrange bu kavrama çok sıcak bakmayanlardan : "leibniz'in kendi kalkülüsünün zeminini oluşturan sonsuz küçük kavramının yarattığı zorlukları biliyoruz " diyor.
biliyorsunuz bernhard bolzano ve karl wilhelm weierstrass matematik öğrencilerinin başının belası olan limitin epsilon ve delta ile tanımını yaparak limit tanımına son şeklini veriyor. fakat felix klein (bkz şişesi) sonsuz küçük kavramının eğitim açısından değerini takdir eden adamlardan biridir. diyor ki:
"böyle yaklaşımların ikna olma(anlama) üzerindeki etkisi kişiden kişiye değişir. ben de dahil çoğu kişi bu tip şeyleri gayet tatmin edici bulur. sadece mantıksal açıdan doğuştan kabiliyetli olanlar bunları tamamen anlamsız görür. "
(newton ile leibniz arasındaki husumet uzun bir yazının konusu olarak ele alınmalıdır. newton' ı hiç karıştırmadım o yüzden. )
(bkz: nonstandart analysis)
(bkz: infinitesimal)
-
ilk olarak 1670 yılı civarında nicolas marecator ya da gottfried wilhelm leibniz tarafından kullanılmıştır. genel anlamla sonsuz küçük bir cisim herhangi bir uygulanabilir ölçümden küçük olan ama boyut olarak sıfırdan farklı ya da çok küçük olan ve bu nedenle sıfırdan ayırt edilemeyecek durumdaki cisimdir. bundan dolayı sonsuz küçük ifadesi sıfat olarak kullanıldığında aşırı derecede küçük anlamına gelmektedir.
-
yok gibi ama var.