Polinom halka - Polynomial ring


Cebirsel yapı → Halka teorisi|
Halka teorisi
Gelen matematik , özellikle alanında cebri bir polinom halka veya polinom cebir a, halka (aynı zamanda bir değişmeli cebir oluşturulmuş) grubu arasında polinom bir ya da daha fazla değişkenli (geleneksel olarak da adlandırılır değişkenler başka katsayılı) halka , genellikle bir tarla .
Çoğunlukla, "polinom halka" terimi, bir alan üzerinde belirsiz bir yerde bir polinom halkasının özel durumunu ifade eder. Bu tür polinom halkaların önemi, tamsayıların halkası ile ortak olan yüksek sayıda özelliğe dayanır.
Polinom halkaları oluşur ve genellikle matematiğin sayı teorisi , değişmeli cebir ve halka teorisi ve cebirsel geometri gibi birçok bölümünde temeldir . Gibi halkaların Birçok sınıfları, tek çarpanlara etki , düzenli halkalar , grup yüzük , biçimsel güç serisinin yüzük , Cevher polinomları , dereceli halkalar , polinom halkaları bazı özelliklerini yaygınlaştırma tanıtılmıştır.
Tanım (tek değişkenli durum)
Polinom halka , K [ X ] , içerisinde X , bir fazla alan (ya da daha genel olarak bir değişmeli halka ) K tanımlanabilir ifadeleri grubu olarak adlandırılan (yaygın olarak kullanılan diğer eşdeğer tanım vardır) polinomlar içinde X , şeklinde
burada p 0 , p 1 , ..., p m , katsayılar ve p , öğeleridir K , p m ≠ 0 ise m > 0 , ve X , X, 2 , ..., olarak kabul edilen, semboller X'in " üslerini " ve üslemenin olağan kurallarını izleyin : X 0 = 1 , X 1 = X ve herhangi bir negatif olmayan tamsayı için k ve l . X sembolüne belirsiz veya değişken denir. ("Değişken" terimi, polinom fonksiyonlarının terminolojisinden gelir . Bununla birlikte, burada, X'in herhangi bir değeri yoktur (kendisinden başka) ve polinom halkasında bir sabit olarak değişemez.)
Her bir X k'nin karşılık gelen katsayıları eşit olduğunda iki polinom eşittir.
Bir halka düşünebiliriz K [ X ] kaynaklanan olarak K yeni bir elemanı ekleyerek X harici olan K tüm elemanları ile, çok önemli bir ulaşım K ve, başka bir belirli özelliklere sahiptir. (Bu, polinom halkalarını tanımlamak için kullanılabilir.)
X bölü K'deki polinom halkası, onu değişmeli bir cebir yapan bir toplama, çarpma ve bir skaler çarpma ile donatılmıştır . Bu işlemler, cebirsel ifadeleri işlemek için sıradan kurallara göre tanımlanır. Özellikle, eğer
ve
sonra
ve
burada k = max ( m , n ), l = m + n ,
ve
Bu formüllerde, p ve q polinomları , sıfır katsayılı "kukla terimler" eklenerek genişletilir, böylece formüllerde görünen tüm p i ve q i tanımlanır. Spesifik olarak, m < n ise , m < i ≤ n için p i = 0 olur .
Skaler çarpım, p = p 0'ın sabit terimine ( X'ten bağımsız olan terim) indirgendiği özel çarpma durumudur ; yani
Bu üç işlemin K üzerinden bir değişmeli cebirin aksiyomlarını sağladığını doğrulamak kolaydır . Bu nedenle, polinom halkalarına polinom cebirleri de denir .
Daha az sezgisel olmasına rağmen sıklıkla tercih edilen başka bir eşdeğer tanım, çünkü onu tamamen titiz hale getirmek daha kolaydır; bu, bir polinomu K'nin elemanlarının sonsuz dizisi ( p 0 , p 1 , p 2 ,…) olarak tanımlamayı içerir . Yalnızca sonlu sayıda eleman sıfırdan farklıdır veya eşdeğer olarak, n > m için p n = 0 olacak şekilde bir m olduğu bir dizi . Bu durumda, p 0 ve X , sırasıyla ( p 0 , 0, 0, ...) ve (0, 1, 0, 0, ...) dizileri için alternatif gösterimler olarak kabul edilir . Operasyon kurallarının basit kullanımı, ifadenin
o zaman dizi için alternatif bir gösterimdir
- ( p 0 , p 1 , p 2 , ..., p m , 0, 0,…) .
Terminoloji
İzin Vermek
sıfırdan farklı bir polinom olmak
Sabit terim ve p olan Sıfır polinom durumunda sıfırdır.
Derece arasında p , yazılı ° ( p ) olan büyük k katsayısı şekilde X, k sıfır değildir.
Önde gelen katsayısı arasında p olan
Tüm katsayıları sıfır olan sıfır polinomunun özel durumunda, baş katsayısı tanımsızdır ve derece çeşitli şekillerde tanımsız bırakılmıştır, –1 olarak tanımlanmıştır veya –∞ olarak tanımlanmıştır .
Bir sabit polinom ya sıfır polinom veya sıfır derece bir polinomdur.
Sıfır olmayan bir polinom, baş katsayısı ise moniktir.
İki polinom p ve q verildiğinde , birinin
İse, bu hemen ardından K tamamlayıcı etki alanı, o zaman bir K [ X ] .
Biri diğerinin bir birimle çarpımı ise iki polinom ilişkilidir .
Bir alan üzerinde, sıfır olmayan her polinom, benzersiz bir monik polinomla ilişkilendirilir.
Verilen iki polinomlar, p ve q , tek söylüyor s bölme q , s a, bölen bir q veya q, bir katı olan p bir polinom varsa, R şekilde q = pr .
Bir polinom, sabit olmayan iki polinomun çarpımı değilse veya bölenleri sabit polinomlarsa veya aynı dereceye sahipse eşdeğer olarak indirgenemez .
Polinom değerlendirme
Let K daha genel bir alan ya da bir olduğu değişmeli halka ve R ihtiva eden bir halka K . Herhangi bir polinom için p de K [X] ve bir eleman a olarak R , ikame X için bir de p bir elemanı tanımlanmıştır R olduğu, belirtilen P ( a ) . Bu element, polinomun ifadesiyle belirtilen işlemlerin ikameden sonra R'de sürdürülerek elde edilir . Bu hesaplama denir değerlendirmeyi ait P de bir . Örneğin, eğer sahipsek
sahibiz
(ilk örnekte R = K ve ikincisinde R = K [ X ] ). İkame X kendisi ile sonuçlanır için
" P bir polinom olsun" ve " P ( X ) bir polinom olsun" cümlelerinin neden eşdeğer olduğunu açıklamak.
Polinom fonksiyonu bir polinom ile tanımlanan P den fonksiyonudur K içine K ile tanımlanır ise K sonsuz alan iki farklı polinomları farklı polinom işlevler tanımlamak, ancak bu özellik, sonlu alanlar için yanlıştır. Örneğin, K , q elemanlı bir alansa, 0 ve X q - X polinomlarının her ikisi de sıfır fonksiyonunu tanımlar.
Her için a içinde R , en değerlendirme bir olduğunu, harita bir tanımlayan cebir homomorfizması den K [ X ] ile R eşsiz homomorfizması olup, K [ X ] ile R bu düzeltmeleri K ve harita X için bir . Başka bir deyişle, K [ X ] aşağıdaki evrensel özelliğe sahiptir . Her bir halka için R ihtiva eden K , ve her eleman a ait R , benzersiz bir cebri homomorfizması vardır K [ X ] ile R bu düzeltmeleri K ve harita X için bir . Tüm evrensel özelliklere gelince, bu, çifti ( K [ X ], X ) benzersiz bir izomorfizme kadar tanımlar ve bu nedenle K [ X ] ' in bir tanımı olarak alınabilir .
Bir alan üzerinde tek değişkenli polinomlar
Eğer K a, alan , polinom halka K [ X ] ile benzer pek çok özelliğe sahiptir halka tamsayılar bu benzerlikler arasında en çok arasındaki benzerlik sonucu tamsayılar uzun bölme ve polinomların uzun bölme .
Bu bölümde listelenen K [ X ] özelliklerinin çoğu, K bir alan değilse veya bir çok belirsizlikteki polinomlar düşünüldüğünde doğru kalmaz.
Tamsayılar için olduğu gibi , polinomların Öklid bölünmesinin bir benzersizlik özelliği vardır. Yani, iki polinom verilir bir ve b ≠ 0 olarak K [ X ] , benzersiz bir çift vardır ( q , r ) polinomların bu şekilde bir = bq + r , ve her iki R = 0 ya da C (r) <C ( b) . Bu, K [ X ] 'i bir Öklid alanı yapar . Bununla birlikte, diğer Öklid etki alanlarının çoğu (tamsayılar hariç) bölme için herhangi bir benzersiz özelliğe veya Öklid bölünmesini hesaplamak için kolay bir algoritmaya (uzun bölme gibi) sahip değildir.
Öklid bölümü, iki polinomun en büyük ortak bölenini hesaplayan polinomlar için Öklid algoritmasının temelidir . Burada "en büyük", "maksimum dereceye sahip olmak" veya eşdeğer olarak, derece ile tanımlanan ön sipariş için maksimum olmak anlamına gelir . İki polinomun en büyük ortak bölenleri verildiğinde, diğer en büyük ortak bölenler, sıfır olmayan bir sabitle çarpılarak elde edilir (yani, a ve b'nin en büyük ortak bölenleri ilişkilidir). Özellikle, her ikisi de sıfır olmayan iki polinom, tek bir en büyük ortak bölene sahiptir (baş katsayısı eşittir1 ).
Uzatılmış Öklid algoritması işlem (ve deney) sağlar Bezout kimliği . K [ X ] durumunda aşağıdaki gibi ifade edilebilir. İlgili m ve n derecelerine sahip iki polinom p ve q verildiğinde , monik en büyük ortak bölenleri g , d derecesine sahipse , o zaman benzersiz bir polinom çifti ( a , b ) vardır , öyle ki
ve
(Bunu, m = d veya n = d' nin olduğu sınırlayıcı durumda doğru yapmak için , sıfır polinomunun derecesini negatif olarak tanımlamak gerekir. Ayrıca, eşitlik ancak p ve q ilişkilendirilirse oluşabilir .) daha çok K [ X ] 'e özgüdür . Tamsayılar söz konusu olduğunda, aynı özellik doğrudur, eğer dereceler mutlak değerlerle değiştirilmişse, ancak benzersizliğe sahip olmak için, bir > 0 gerektirmelidir .
Öklid lemması K [ X ] için geçerlidir . Eğer bir O , bir bölme bc ve bir göreceli asal olan b , daha sonra bir bölme olan C . Burada coprime , monik en büyük ortak bölenin1 . Korumalı: hipotez ve Bezout özdeşlik ile vardır E , p ve q bu şekilde ae = bc ve 1 = p + bq . Yani
Tek çarpanlara özelliği Öklid lemmasının kaynaklanır. Tamsayılar söz konusu olduğunda, bu aritmetiğin temel teoremidir . K [ X ] durumunda, şu şekilde ifade edilebilir: sabit olmayan her polinom, bir sabit ve bir veya birkaç indirgenemez monik polinomun ürünü olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir; bu ayrıştırma faktörlerin sırasına göre benzersizdir. Diğer bir deyişle K [ X ] , benzersiz bir çarpanlara ayırma alanıdır . Eğer K Karmaşık sayıların bir alandır, cebirin temel teoremi tek değişkenli polinom derecesi biridir ancak ve ancak indirgenemez olduğunu ileri sürer. Bu durumda, benzersiz çarpanlara ayırma özelliği şu şekilde yeniden ifade edilebilir: Karmaşık sayılar üzerindeki sabit olmayan her tek değişkenli polinom, bir sabitin ve X - r biçimindeki bir veya birkaç polinomun çarpımı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir ; bu ayrıştırma faktörlerin sırasına göre benzersizdir. Her faktörü için, r, a, kök polinom ve bir faktör ortaya çıkma sayısı olan çokluğu gelen kök.
Türetme
(Formal) türevi polinom
polinomdur
Gerçek veya karmaşık katsayılı polinomlar söz konusu olduğunda , bu standart türevdir . Yukarıdaki formül, katsayılar üzerinde herhangi bir sınır kavramının tanımlanmadığı bir halkaya ait olsa bile, bir polinomun türevini tanımlar . Türev, polinom halkasını diferansiyel bir cebir yapar .
Türevin varlığı, tamsayılarla paylaşılmayan bir polinom halkasının temel özelliklerinden biridir ve bir polinom halkasında bazı hesaplamaları tam sayılardan daha kolay hale getirir.
Karesiz çarpanlara ayırma
Lagrange enterpolasyonu
Polinom ayrışma
Faktorizasyon
Çarpanlara hariç önceki tüm özellikleri K [ X ] olan etkili ispatları, çünkü genel hatlarıyla anlatılan yukarıdaki gibi, ilişkili, algoritma özelliği test olan ve varlığı iddia edilmektedir polinomları hesaplanması için. Dahası, bu algoritmalar, hesaplama karmaşıklıkları girdi boyutunun ikinci dereceden bir işlevi olduğu için etkilidir .
Çarpanlara ayırma için durum tamamen farklıdır: benzersiz çarpanlara ayırmanın kanıtı, çarpanlara ayırma yöntemi için herhangi bir ipucu vermez. Zaten tamsayılar için, onları polinom zamanında çarpanlara ayırmak için bilinen bir algoritma yoktur . Bu, güvenli İnternet iletişimi için yaygın olarak kullanılan RSA şifreleme sisteminin temelidir .
K [ X ] durumunda , faktörler ve bunları hesaplama yöntemleri büyük ölçüde K'ye bağlıdır . Karmaşık sayılar üzerinde, indirgenemez faktörlerin (daha fazla çarpanlara ayrılamayanlar) tümü birinci derecedir, gerçek sayıların üzerinde ise, 2. derecenin indirgenemez polinomları vardır ve rasyonel sayıların üzerinde, herhangi birisinin indirgenemez polinomları vardır. derece. Örneğin, polinom , rasyonel sayılar üzerinde indirgenemez , gerçek sayılar üzerinde ve karmaşık sayılar üzerinde olduğu gibi çarpanlarına ayrılır .
Çarpanlara ayırma algoritmasının varlığı ayrıca zemin alanına da bağlıdır. Reel veya karmaşık sayılar durumunda, Abel-Ruffini teoremi , bazı polinomların köklerinin ve dolayısıyla indirgenemez faktörlerin tam olarak hesaplanamayacağını gösterir. Bu nedenle, çarpanlara ayırma algoritması, faktörlerin yalnızca yaklaşıklıklarını hesaplayabilir. Bu tür yaklaşımları hesaplamak için çeşitli algoritmalar tasarlanmıştır, bkz . Polinomların kök bulma .
Bir alan bir örnek vardır K aritmetik işlemler için tam algoritmaları bulunmaktadır mevcut olacak şekilde K , ama biçimde bir polinom karar vermek için herhangi bir algoritma orada var olamaz olan indirgenemez veya alt derece polinom bir ürünüdür.
Öte yandan, sonlu alanlar rasyonel sayılar defalarca durum iyiye daha tamsayı çarpanlara ayırma olduğu gibi, Çarpanlara algoritmaları bir var polinom karmaşıklığını . Çoğu genel amaçlı bilgisayar cebir sistemlerinde uygulanmaktadırlar .
Minimal polinom
Eğer θ bir unsuru olan birleştirici K cebiri L , polinom değerlendirme de İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin benzersiz cebir homomorfizmi φ den K [ X ] içine L harita X için İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ve elemanlarını etkilemez K kendisi (o kimlik map üzerinde K ). Bu oluşur ikame X için İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin her polinom içinde. Yani,
Bu değerlendirme homomorfizminin görüntüsü , zorunlu olarak değişmeli olan x tarafından üretilen alt cebirdir. Φ enjekte edildiyse , θ tarafından üretilen alt cebir K [ X ] 'e izomorfiktir . Bu durumda, bu alt cebir genellikle K [ θ ] ile gösterilir . Gösterim belirsizliği, izomorfizm nedeniyle genellikle zararsızdır.
Değerlendirme homomorfizmi enjekte edici değilse, bu, çekirdeğinin sıfır olmayan bir ideal olduğu anlamına gelir; X , θ ile ikame edildiğinde sıfır olan tüm polinomlardan oluşur . Bu ideal , x'in minimal polinomu olarak adlandırılan bir monik polinomun tüm katlarından oluşur . Minimal terimi , idealin unsurlarının dereceleri arasında derecesinin minimum olması gerçeğiyle motive edilir.
Minimal polinomların dikkate alındığı iki ana durum vardır.
In alan teorisinin ve sayılar teorisi , bir element θ bir bir uzantısı alanı L arasında K ise cebirsel üzerinde K içeri katsayılı bazı polinomun bir kök ise K . Minimal polinom üzerinde K arasında İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin böylece sahip minimal derece mghorta polinom olan θ bir kök olarak. Çünkü L bir alan, bu minimum polinom zorunlu olan indirgenemez fazla K. Örneğin, minimal polinom (reals fazla aynı zamanda fazla kesirli) karmaşık sayının i olan X ^ 2 + 1 . Devirli polinomlar minimal polinomları olan birlik kökleri .
Olarak lineer cebir , n, x , n kare matrisler üzerinde K , bir oluşturan birleştirici K cebiri (bir vektör alanı olarak) sonlu boyutlu. Bu nedenle değerlendirme homomorfizmi enjekte edilemez ve her matrisin minimum bir polinomu vardır (mutlaka indirgenemez). Tarafından Cayley- Hamilton teoremi , değerlendirme homomorfizması sıfır eşleştiren karakteristik polinom matris. Bunu, minimal polinomun karakteristik polinomu böldüğü ve bu nedenle minimal polinomun derecesinin en fazla n olduğu sonucu çıkar .
Bölüm halkası
Durumunda K [ X ] , bölüm halkası bir ideal ile bir dizi olarak, genel durumda olduğu gibi, inşa edilebilir denklik sınıfları . Bununla birlikte, her eşdeğerlik sınıfı tam olarak minimum derecede bir polinom içerdiğinden, başka bir yapı genellikle daha uygundur.
Polinom verilen p derecesi d , bölüm halkası arasında K [ X ] ile ideale tarafından üretilen p ile tespit edilebilir vektör uzayı az derece polinom d "çarpma modülo ile, p bir çarpma gibi" polinomların (olağan) çarpımının p'ye bölünmesi altında kalan kısımdan oluşan çarpım modülo p . Bu bölüm halkası, çeşitli şekillerde veya basitçe
Halka , ancak ve ancak p , indirgenemez bir polinom ise bir alandır . Aslında, s indirgenemez her sıfırdan farklı bir polinom q, düşük derece ile göreceli asal olan p ve Bezout kimlik işlem sağlar r ve s , öyle ki sp + qr = 1 ; bu nedenle, r, bir çarpımsal ters arasında q modülo p . Tersine, eğer p indirgenebilir ise, o zaman , ab = p ≡ 0 (mod q ) olacak şekilde deg ( p ) ' den daha düşük derecelerde polinomlar vardır ; bu nedenle a , sıfırdan farklı bir bölen modülo p'dir ve tersine çevrilemez.
Örneğin, karmaşık sayıların alanının standart tanımı, bölüm halkası olduğu söylenerek özetlenebilir.
ve X in görüntüsünün i ile gösterildiğini . Aslında, yukarıdaki açıklama ile, bu bölüm derecesi bir bütün polinomların oluşur i şekli vardır, bir + çift ile, bir ve b olarak bölüm halkasının iki elemanın çoğaltılması için gerekli olan Öklid bölünmesinde kalan değiştirilmesi ile elde edilir i 2 tarafından -1 (bu tam komple sayının ürünün normal tanımıdır) polinomların olarak ürün elde edilir.
Let θ bir olmak cebirsel elemanı bir de K cebiri A . Tarafından cebirsel bir aracının θ az bir polinom sahip p . Birinci halka izomorfizm teoremi ikame homomorfizması bir neden olduğunu iddia izomorfizm bir görüntü üzerine K [ θ ] ikame homomorfizmasının arasında. Özellikle, eğer A , θ tarafından üretilen K'nin basit bir uzantısı ise , bu A'nın tanımlanmasını sağlar ve Bu tanımlama cebirsel sayı teorisinde yaygın olarak kullanılır .
Modüller
Bir ana doğru alanı üzerinde sonlu oluşturulan modüller için yapı teoremi için geçerlidir K [ X zaman] K bir alandır. Boyunca her sonlu oluşturulan modül, bu araçlar K [ X ] bir ayrılmıştır edilebilir direkt toplamı a serbest modül ve form sonlu sayıda modül , P bir bir indirgenemez polinom üzerinde K ve k bir pozitif tamsayıyı.
Tanım (çok değişkenli durum)
bu belirsizliklerin muhtemelen negatif olmayan bir güce yükseltilmiş biçimsel bir ürünüdür. Her zaman olduğu gibi, üsler bire eşit ve üssü sıfır olan faktörler ihmal edilebilir. Özellikle,
Demet üstlerin α = ( α 1 , ..., α n ) olarak adlandırılır multidegree veya üs vektörü monomial. Daha az külfetli bir gösterim için kısaltma
sıklıkla kullanılır. Tek terimli bir X α'nın derecesi , sıklıkla deg α veya | α | , üslerinin toplamıdır:
katsayılı K . Derecesi sıfır olmayan bir polinom sıfır olmayan katsayıları ile monomials derecelerinin maksimumdur.
doğal olarak yapan bir çarpma ile (aşağı bakınız) ile donatılmıştır halka ve bir birleştirici cebir fazla K adı verilen, polinom halka n değişkenli fazla K (kesin maddesi bu benzersiz adına kadar tanımlandığını gösterir ve düzenin halka Eğer BELİRSİZLİKLER. K ise değişmeli , ayrıca değişmeli halkadır.
Operasyon K [ X 1 , ..., X n ]
Toplama ve skalar çarpım polinom bir olanlardır vektör alan ya da serbest modülü (burada monomials temeli) spesifik bir şekilde ile donatılmış. Açıkça, izin burada I ve J üs vektörlerin sonlu kümeleridir.
Skaler çarpım p ve skaler olduğunu
İlavesi, p ve q olduğu
burada eğer ve ise Dahası, eğer biri için varsa karşılık gelen sıfır terimi sonuçtan çıkarılır.
Çarpma
burada tek bir üs vektörünün toplamları grubu olan I ve oneother J (vektörlerin her zamanki toplamı). Özellikle, iki tek terimlinin çarpımı, üs vektörü faktörlerin üs vektörlerinin toplamı olan bir tek terimlidir.
Bir ilişkisel cebirin aksiyomlarının doğrulanması basittir.
Polinom ifadesi
Bir polinom ifadesi , skalerler ( K'nin elemanları ), belirsizlikler ve negatif olmayan tamsayı güçlerine toplama, çarpma ve üsleme operatörleriyle oluşturulmuş bir ifadedir .
Tüm bu işlemler bir polinom ifadesinde tanımlandığı için, bir polinomu temsil eder, bu, bir polinomun, monomların doğrusal bir kombinasyonu olarak tanımlanması, genellikle kanonik form , normal form veya genişletilmiş form olarak adlandırılan belirli bir polinom ifadesidir. polinom. Bir polinom ifadesi verildiğinde , temsil edilen polinomun genişletilmiş formu, faktörleri arasında bir toplamı olan tüm ürünleri dağıtım yasası ile genişleterek ve daha sonra değişme özelliğini (iki skalerin çarpımı hariç) ve dönüştürme için birleşme özelliğini kullanarak hesaplanabilir. elde edilen toplamın terimleri bir skaler ve bir tek terimli ürünlere; daha sonra benzer terimleri yeniden gruplayarak kanonik form elde edilir .
Bir polinom ifadesi ile temsil ettiği polinom arasındaki ayrım nispeten yenidir ve esas olarak bilgisayar cebirinin yükselişiyle motive edilir; burada, örneğin, iki polinom ifadesinin aynı polinomu temsil edip etmediğini test etmek önemsiz bir hesaplama olabilir.
Kategorik karakterizasyon
Eğer K değişmeli bir halka, polinom halkadır K [ X 1 , ..., x n ] , aşağıdaki sahiptir evrensel özellik her için: değişmeli K cebiri A ve her n, - tuple ( X 1 , ..., x n ) elemanlarının a , eşsiz olduğu cebir homomorfizması den K [ X 1 , ..., x n ] için a her eşleştiren karşılık gelen bu homomorfizması olan değerlendirme homomorfizmasının ikame oluşur için her polinom olarak.
Her evrensel özellikte olduğu gibi, bu, çifti benzersiz bir izomorfizme kadar karakterize eder .
Bu aynı zamanda eş işlevler açısından da yorumlanabilir . Daha kesin olarak, SET ve ALG sırasıyla kümeler ve değişmeli K- cebir kategorileri olsun (burada ve aşağıda morfizmler önemsiz bir şekilde tanımlanmıştır). Bir yoktur unutkan funktor onların altında yatan kümelerine cebirlerini eşler. Öte yandan, harita diğer yönde bir functor tanımlar . (Eğer X, sonsuz, K [ X ] elemanlarının sonlu sayıda tüm polinomların kümesidir X ).
Polinom halkasının evrensel özelliği, F ve POL'ın ek işlevler olduğu anlamına gelir . Yani, bir bijeksiyon var
Bu, polinom halkalarının, değişmeli cebirler kategorisindeki serbest nesneler oldukları için serbest değişmeli cebirler olduğu söylenerek de ifade edilebilir . Benzer şekilde, tamsayı katsayıları olan bir polinom halkası , değişkenleri kümesi üzerindeki serbest değişmeli halkadır , çünkü tamsayılar üzerindeki değişmeli halkalar ve değişmeli cebirler aynı şeydir.
Kademeli yapı
Bir halka üzerinde tek değişkenli ve çok değişkenli
Bir polinom , özdeşliği kullanarak aynı gücü içeren terimleri yeniden gruplandırarak halka üzerindeki belirsizde tek değişkenli bir polinom olarak düşünülebilir.
bu, halka işlemlerinin dağıtılabilirliği ve ilişkiselliğinden kaynaklanır.
Bu, birinin cebir izomorfizmine sahip olduğu anlamına gelir
her bir belirsizliği kendine eşleyen. (Bu izomorfizm genellikle, polinom halkalarının benzersiz bir izomorfizme kadar tanımlandığı gerçeğiyle doğrulanan bir eşitlik olarak yazılır .)
Başka bir deyişle, çok değişkenli bir polinom halka, daha küçük bir polinom halka üzerinde tek değişkenli bir polinom olarak düşünülebilir. Bu, çok değişkenli polinom halkalarının özelliklerini belirsizlerin sayısı üzerinde indüksiyonla kanıtlamak için yaygın olarak kullanılır .
Bu tür ana özellikler aşağıda listelenmiştir.
Geçmesi özellikleri R için R [ X ]
Bu bölümde, R değişmeli bir halkadır, K bir alandır, X tek bir belirsizliği belirtir ve her zamanki gibi tamsayılar halkasıdır. İşte R'den R [ X ] ' e geçerken doğru kalan ana halka özelliklerinin listesi .
- Eğer R bir integral alan ise, o zaman aynı şey R [ X ] için de geçerlidir (çünkü polinomların bir ürününün baş katsayısı, faktörlerin önde gelen katsayılarının çarpımıdır, sıfır değilse).
- Özellikle ve integral alanlardır.
- Eğer R, a, tek çarpanlama daha sonra aynı için de geçerlidir R [ X ] . Bu, Gauss'un lemasından ve L' nin R'nin kesirlerinin alanı olduğu benzersiz çarpanlara ayırma özelliğinden kaynaklanır .
- Özellikle ve benzersiz çarpanlara ayırma alanlarıdır.
- Eğer R, a, Notherian halka , daha sonra aynı için de geçerlidir R [ X ] .
- Özellikle ve Noetherian halkalarıdır; bu Hilbert'in temel teoremidir .
- Eğer R bir Noetherian halkası ise, o zaman " " Krull boyutunu belirtir .
- Özellikle ve
- Eğer R, a, düzenli bir halka , daha sonra aynı için de geçerlidir R [ X ] ; bu durumda, biri var
- " " küresel boyutu belirtir .
- Özellikle ve düzenli halkalardır ve İkinci eşitlik,
Bir alan üzerinde birkaç belirsizlik
Bir alan üzerinde birkaç değişkenli polinom halkaları, değişmez teori ve cebirsel geometride temeldir . Yukarıda açıklananlar gibi özelliklerinden bazıları, tek bir belirsizlik durumuna indirgenebilir, ancak bu her zaman böyle değildir. Özellikle, geometrik uygulamalar nedeniyle , belirsizlerin afin veya yansıtmalı dönüşümleri altında birçok ilginç özellik değişmez olmalıdır . Bu genellikle, belirsizlikler üzerinde bir tekrarlama için belirsiz olanlardan birinin seçilemeyeceği anlamına gelir.
Hilbert's Nullstellensatz
Nullstellensatz (Almanca "sıfır konum teoremi" için), ilk olarak David Hilbert tarafından kanıtlanan ve cebirin temel teoreminin bazı yönlerini çok değişkenli duruma genişleten bir teoremdir . Örtük polinom denklemleriyle tanımlanan (kabaca konuşursak) noktalar kümesi olan cebirsel çeşitlerin cebirsel özellikleri ile geometrik özellikleri arasında güçlü bir bağlantı kuran cebirsel geometrinin temelini oluşturur .
Nullstellensatz, her biri diğerinin doğal sonucu olan üç ana versiyona sahiptir. Bu versiyonlardan ikisi aşağıda verilmiştir. Üçüncü versiyon için okuyucu, Nullstellensatz'daki ana makaleye yönlendirilir.
İlk versiyon, sıfır olmayan tek değişkenli bir polinomun, ancak ve ancak sabit değilse, karmaşık bir sıfıra sahip olduğu gerçeğini genelleştirir . İfadedir: polinom bir dizi S olarak bir ortak bir sıfır sahip cebirsel olarak kapalı alan ihtiva eden K , ancak ve ancak 1 does not ait bir ideal tarafından oluşturulan S ise, olduğu, 1 bir değil doğrusal bir kombinasyon elemanlarının S polinom katsayıları ile .
İkinci versiyon gerçeğini genelleştirir indirgenemez tek değişkenli polinomları karmaşık sayılar bitti ortak formun bir polinom için : ifadedir ise K cebirsel, daha sonra kapatılır maksimal idealleri arasında form var
Bézout teoremi
Bezout teoremi bir versiyonunun, çok değişkenli bir genelleme olarak görülebilir cebir temel teoremi iddia bu derece tek değişkenli polinom n sahiptir , n onların çokluklar ile sayılır ise kompleks kökleri.
Durumunda iki değişkenli polinomlar , bu derece iki polinomları bildiren d ve e pozitif derece ortak faktörler iki değişken bölgesi, tam bilgisi de bir ortak sıfır cebirsel olarak kapalı alan sıfır ile sayılır eğer katsayılarını içeren çoklukları ve sonsuzda sıfırları içerir .
Genel durumu belirtmek ve "sonsuzda sıfır" ı özel sıfırlar olarak düşünmemek için, homojen polinomlarla çalışmak ve yansıtmalı bir uzayda sıfırları düşünmek uygundur . Bu bağlamda, homojen bir polinomun projektif sıfırı , bir ölçeklendirmeye kadar , farklı formda (0, ..., 0) olan K elemanlarının bir ( n + 1) - demetidir ve burada, " bir ölçeklendirmeye kadar " , herhangi bir sıfır olmayan için aynı sıfır anlamına gelir ve bu sıfır olarak kabul edilir . Başka bir deyişle, sıfır, n boyutunun yansıtmalı uzayındaki bir noktanın homojen koordinatlarının bir kümesidir .
Daha sonra, Bezout teoremi durumları: Verilen n derece homojen polinomlar içinde , n + 1 , bir ortak yansıtmalı sıfır yalnızca sınırlı sayıda değişkenli, cebirsel olarak kapalı uzantısı arasında K , daha sonra toplamı çokluklar şu sıfır ürünüdür
Jacobian varsayımı
Genellemeler
Polinom halkaları, genelleştirilmiş üsleri olan polinom halkaları, kuvvet serisi halkalar, değişmeyen polinom halkaları , çarpık polinom halkaları ve polinom teçhizatları dahil olmak üzere pek çok şekilde genelleştirilebilir .
Sonsuz sayıda değişken
Polinom halkalarının küçük bir genellemesi, sonsuz sayıda belirsizliğe izin vermektir. Her bir tek terimli hala yalnızca sınırlı sayıda belirsizlik içerir (böylece derecesi sonlu kalır) ve her bir polinom, monomların hala (sonlu) doğrusal bir kombinasyonudur. Bu nedenle, herhangi bir tekil polinom yalnızca sonlu çok sayıda belirsizlik içerir ve polinomları içeren herhangi bir sonlu hesaplama, sonlu sayıda belirsizlikte polinomların bazı alt halkalarının içinde kalır. Bu genelleme, normal polinom halkalarıyla aynı, serbest değişmeli cebir olma özelliğine sahiptir; tek fark, sonsuz bir küme üzerinde serbest bir nesne olmasıdır .
Sınırlı bir dereceye sahip monomların sonsuz (veya sonlu) bir toplamı genelleştirilmiş bir polinom olarak tanımlanarak, kesinlikle daha büyük bir halka da düşünülebilir. Bu halka, sonsuz sayıda değişken toplamı içerdiğinden, normal polinom halkasından daha büyüktür. Bununla birlikte, sonsuz sayıda değişken bakımından güç serilerinin halkasından daha küçüktür . Böyle bir halka, sonsuz bir küme üzerinde simetrik fonksiyonlar halkasını oluşturmak için kullanılır .
Genelleştirilmiş üsler
Basit bir genelleme, yalnızca değişken üzerindeki üslerin çizildiği kümeyi değiştirir. Toplama ve çarpma formülleri, üsler eklenebildiği sürece anlamlıdır: X i · X j = X i + j . Toplamanın anlamlı olduğu (kapalı ve ilişkisel) bir küme monoid olarak adlandırılır . Bir monoid fonksiyonların bir grubu N bir halka için R sadece sonlu sayıda yerlerde sıfırdan farklı olarak bilinen bir halka yapısını verilebilir R [ N ], monoid halkası arasında N katsayılı R . Ayrıca, parça-odaklı olarak tanımlanan bu yüzden, eğer C = bir + b , o zaman c , n = bir N + b , n her için n de N . Çarpma, auchy ürünü olarak tanımlanmıştır, öyle ki eğer c = bir · b her biri daha sonra, n de , N , c , n toplamını olan bir ı b j i , j aralığı bütün elemanları çifti boyunca N toplamı için n .
Zaman , N değişmeli, işlev göstermek için uygun a olarak R [ N ] resmi toplamı olarak:
ve sonra toplama ve çarpma formülleri tanıdık gelir:
ve
ikinci toplamı üzerinden alınır burada i , j, içinde N için bu miktar n .
( Lang 2002 , II, §3) gibi bazı yazarlar bu monoid tanımı başlangıç noktası olarak alacak kadar ileri giderler ve düzenli tek değişkenli polinomlar, N'nin negatif olmayan tam sayıların monoid olduğu özel durumdur . Çeşitli değişkenlerdeki polinomlar, N'yi negatif olmayan tam sayıların monoidinin birkaç kopyasının doğrudan çarpımı olarak alır. harv hatası: hedef yok: CITEREFLang2002 ( yardım )
N'nin negatif olmayan rasyonel sayılardan oluşan toplamsal monoid olarak alınmasıyla birkaç ilginç halka ve grup örneği oluşturulur ( Osbourne 2000 , §4.4) . Ayrıca Puiseux serisine bakın . harv hatası: hedef yok: CITEREFOsbourne2000 ( yardım )
Güç serisi
Kuvvet serileri sıfırdan farklı sonsuz sayıda terime izin vererek üs seçimini farklı bir yönde genelleştirir. Bu , Cauchy ürünündeki toplamların sonlu toplamlar olmasını sağlamak için üsler için kullanılan monoid N üzerine çeşitli hipotezler gerektirir . Alternatif olarak, halkaya bir topoloji yerleştirilebilir ve ardından bir tanesi yakınsak sonsuz toplamlarla sınırlandırılır. Negatif olmayan tam sayılar olan N'nin standart seçimi için herhangi bir sorun yoktur ve biçimsel kuvvet serilerinin halkası, bileşen bazlı toplama ile N'den R halkasına kadar olan fonksiyonlar kümesi ve Cauchy tarafından verilen çarpım olarak tanımlanır. ürün. Kuvvet serisi halkası, x tarafından üretilen ideale göre polinom halkasının halka tamamlaması olarak da görülebilir .
Değişmeyen polinom halkaları
Birden fazla değişkenli polinom halkaları için, X · Y ve Y · X ürünleri basitçe eşit olarak tanımlanır. Bu iki resmi ürün arasındaki ayrım korunduğunda daha genel bir polinom halkası kavramı elde edilir. Biçimsel olarak, polinom halka n halka katsayılı değişkenler yerdeğişmez R olduğu monoid halka R, [ N monoid], N olan serbest monoid üzerinde , n , aynı zamanda, bir alfabe fazla dizi kümesini olarak bilinen harfler, n sembolleri , birleştirme ile verilen çarpma ile. Ne katsayıların ne de değişkenlerin kendi aralarında değişmeleri gerekmez, ancak katsayılar ve değişkenler birbiriyle gidip gelir.
Polinom halka gibi , n değişmeli halka katsayılı değişken Ar serbest değişmeli R rank cebiri n , OLMAYAN polinom halka n değişmeli halka katsayılı değişken R serbest birleştirici, unital olan R cebiri ile n üreteçler, n > 1 olduğunda değişmeli değildir .
Diferansiyel ve çarpık polinom halkaları
Polinomların diğer genelleştirmeleri diferansiyel ve eğri polinom halkalardır.
Bir diferansiyel polinom halka bir halkadır diferansiyel operatörlerin bir halka meydana R ve türetme ö bir R içine R . Bu türetme R üzerinde çalışır ve bir operatör olarak görüldüğünde X olarak gösterilecektir . R'nin elemanları da çarpma yoluyla R üzerinde çalışır . Operatörlerin bileşim olağan çarpımı olarak ifade edilir. Δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b ilişkisinin şu şekilde yeniden yazılabileceğini izler:
Bu ilişki, X'teki iki polinom arasında , R'deki katsayılarla bir çarpma çarpımını tanımlamak için genişletilebilir , bu da onları değişmeli olmayan bir halka yapar.
Bir adlandırılan standart bir örnek, Weyl cebri alır R bir (alışılmış) polinom halka olduğu k [ Y ] ve δ standart polinom türevi olması . Alarak bir = Y yukarıdaki ilişkili olarak, tek alır kanonik komütasyon ilişkisini , X · Y - Y · X = 1. açıkça inşa sağlar çağrışımsal ve distributivity bu ilişkiyi genişletme Weyl cebir . ( Lam 2001 , §1, ex1.9 ).
Eğri-terimli bir halka bir halka için benzer şekilde tanımlanan R ve bir halka Endomorfizma f arasında R ilişkisi gelen çarpma genişleterek, X · r = f ( r ) · X, bir ilişkisel çarpma üretilmesi için standart ekleme üzerine dağıtır. Daha genel olarak, bir homomorfizması verilen F monoid gelen N Endomorfizma halkaya pozitif tamsayılar R , formül X , n · r = F ( n ) ( r ) · X , n , bir eğri-polinom halkasının inşa sağlar. ( Lam, 2001 , §1, örnek 1.11) Eğri polinom halkaları, çapraz çarpım cebirleri ile yakından ilişkilidir .
Polinom kuleler
Bir polinom halkasının tanımı, cebirsel yapı R'nin bir alan veya halka olması gerekliliğini, R'nin yalnızca bir yarı alan veya teçhizat olması gerekliliğine göre gevşeterek genelleştirilebilir ; elde edilen polinom yapısı / uzantısı R [ X ] bir polinom teçhizattır . Örneğin, doğal sayı katsayılarına sahip tüm çok değişkenli polinomların kümesi bir polinom teçhizattır.
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Herstein s. 153
- Herstein, Hall s. 73
- Lang s. 97
- Herstein s. 154
- Lang s. 100
- Anton, Howard; Bivens, Irl C .; Davis, Stephen (2012), Matematik Tek Değişkenli , John Wiley & Sons, s. 31, ISBN 9780470647707.
- Sendra, J. Rafael; Winkler, Franz; Pérez-Diaz, Sonia (2007), Rasyonel Cebirsel Eğriler: Bir Bilgisayar Cebir Yaklaşımı , Matematikte Algoritmalar ve Hesaplama, 22 , Springer, s. 250, ISBN 9783540737247.
- Eves, Howard Whitley (1980), Temel Matris Teorisi , Dover, s. 183, ISBN 9780486150277.
- Herstein s. 155, 162
- Herstein s. 162
- Fröhlich, A .; Shepherson, JC (1955), "Polinomların sonlu sayıda adımda çarpanlara ayrılması hakkında", Mathematische Zeitschrift , 62 (1): 331–334 , doi : 10.1007 / BF01180640 , ISSN 0025-5874
- Salon, FM (1969). "Bölüm 3.6". Soyut Cebire Giriş . 2 . Cambridge University Press. ISBN 0521084849.
-
Herstein, IN (1975). "Bölüm 3.9". Cebirde Konular . Wiley. ISBN 0471010901.
polinom halkası.
- Lam, Tsit-Yuen (2001) , Değişmeyen Halkalarda İlk Kurs , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
- Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revize üçüncü baskı), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Osborne, M. Scott (2000), Basic homological cebebra , Graduate Texts in Mathematics, 196 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1278-2 , ISBN 978-0-387-98934-1, MR 1757274