Euclides ‘in elementler kitabında yer verdiği ve geometrinin temel taşlarını oluşturan postulatları şunlardır:
1. İki noktadan bir doğru geçirilebilir.
2. Sonlu bir doğru, istenildiği kadar uzatılabilir.
3. Çember, merkez ve üzerindeki bir nokta ile tarif edilebilir. 4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları 180o den küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.
Matematik tarihinde hiçbir önerme beşinci postulat yani paralellik postulatı kadar etkili olmamıştır.Bu postulat daha baştan kuşkuyla karşılanmış, yüzyıllar boyunca doğruluğu tartışma konusu olmuştur.
Euclides'in paralellik postulatı bağımsız mıydı ya da diğer postulatlardan çıkartılabilir miydi? Bu soru matematikçileri 2000 yıl boyunca uğraştırmıştır. 18.yüzyılda da Lambert ve Legendre bunun cevabını bulmaya çalıştı. Postulatı kanıtlamaya çalışmış bu çalışmalarda çok önemli sonuçlar bulmuş ancak asıl hedefleri hep sonuçsuz kalmıştır.
Euclides-dışı geometri düşüncesini ilk gerçekleştiren ve 2000 yıllık geleneğe meydan okuyup düşüncelerini yayımlayan rus matematikçi Lobachevsky olmuştur. Lobachevsky'nin oluşturduğu yeni geometride beşinci postulatın yerine şu postulat kullanılmıştır. ‘Bir düzlem üzerinde bulunan d doğrusuna, dışındaki A gibi bir noktadan d doğrusuyla kesişmeyen birden fazla doğru çizilebilir.' Lobachevsky'nin çıkardığı bu geometriye günümüzde ‘hiperbolik geometri' denmektedir.
Euclides-dışı Geometri adını ilk kullanan ise Gauss'tur.O tarihlerde Kant'a göre geometrik önermeler zorunlu doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi. Euclides-dışı geometriyi ciddiye almayı reddettikleri için otuz, kırk yıl boyunca matematiğin anlaşılması güç bir alanı olarak kalmıştır. Birçok matematikçinin önceleri görmezden geldiği ve yok saydığı Euclides-dışı geometrinin önemini ilk kavrayan Riemann'dır . Yaptığı çalışmalar sonucunda Riemann geometrileri denilen birçok yeni geometri ortaya çıkmıştır. Riemann geometrisine günümüzde ‘eliptik geometri ’ denmektedir.1868 yılında da İtalyan matematikçi Beltrami Euclides-dışı geometrilerin kendi içlerinde tutarlılığını ispatlayarak artık bu konuda kalan tüm tereddütleri ortadan kaldırmıştır.Böylece başka geometrilerin belirlediği başka uzaylarında olduğu belki de yaşadığımız evrenin de bu uzaylardan birine uyduğu düşünceleri ortaya çıkmıştır.
Yukarıda zikredilen dönemde vuku bulan çalışmalar yani ‘matematiğin temeli/temelleri nedir’ sorusu büyük oranda ‘matematik doğrunun tanımı nedir’ sorusuna bağlı olarak yürüdü; bu soruya ilişkin verilen cevaplar ise matematik nesnelerin mahiyetini sorgulayan ‘matematik nesneler nedir? sorusunu merkeze aldı. Bu soruların yanında, matematik ile fizik biliminin ilişkisi, matematik yapıların fizik dünyayı temsil etmesinin anlamı ve değeri gibi pek çok sorun gündeme geldi. Peano, Russell, Whitehead, Hilbert, Frege, Poincaré, Klein, Tarski, Gödel, Brouwer vb. bir çok matematikçi-filozofun eğildiği bu sorular, esasen, Öklit-dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla sarsılan ‘matematik bilginin güvenirliğini’ yeniden sağlamak için cevaplandırılması elzem sorulardı. Muhtelif düşünürlerin bu sorulara kendi felsefî yönelimlerine bağlı olarak ürettiği cevaplar, modern ve çağdaş matematik felsefesinde, aynı zamanda, çeşitli ‘-izmler’in de türemesine neden oldu. Bu -izmlerin içerisinde nispeten merkezî bir yer edinen ve modern matematik-geometri felsefe çalışmalarında belirleyici bir rol oynayan "Formalizm", takip ettiği ‘aksiyomatik’ yaklaşımla Peano ve Frege’nin aritmetiği saf mantıkî bir disiplin haline getirmelerine benzer şekilde geometriyi mekanın saf sezgisel idrakine dayanan bir bilim olmaktan kurtarmaya ve modern geometriyi formel aksiyomatik bir bilim olarak kurmaya çalıştı.
2. Bahsi geçen dönemlerde matematik felsefesi çalışmalarında ortaya çıkan muhtelif -izmlerin herbirisi matematik tarihini, bu çalışmanın konusu olması itibariyle geometri tarihini kendilerine has yöntemleri ve kavramları açısından değerlendirmeye tabi tuttu. Bu eleştirilerden aslan payını özellikle Euclides’in Elemanlar adlı eseri aldı. Çünkü bu eser tarihte geometriyi mantıkî bir şekilde düzenleyen, bu açıdan da mantıkî/aklî organizasyonun en mükemmel örneklerinden birisi olarak kabul edilir. Bu yargı, eserin bütünü için değilse bile, geneli için doğrudur; ayrıca ikibinyıl süren tatbikî değeri bu aklî tutarlılığını gösterir. Eserin böyle bir özelliği hâiz olması, Aristoteles mantığı ile bu mantığa dayanarak üretilen geometrik sonuçların mekandaki temsilinin beraberce yürütülmesiyle son derece alakalıdır. Bu açıdan Elemanlar, geometrinin Batı Avrupa’da Lobachevski’nin yeni geometrisine kadarki mantıkî gelişmesini garanti altına alan bir program olmuştur.
Modern -izmler herşeyden önce bütün Yunan matematiğini ‘bir tür geometri’ olarak gördü. Bu yargı, Pythagorasçı ‘aritmetika’yı temsil eden Nicomachos’un Aritmetiğe Giriş adlı eseri ile modern çalışmaların ortaya koyduğu gibi büyük oranda Sümer-Babil matematik geleneğinin bir devamcısı olan Diophantos’un Aritmetika isimli çalışması ve Archimedes’in sayısal analizleri haricinde doğrudur. Bir tür geometri olarak görülen Yunan matematik çalışmalarının ana eseri olan Elemanlar ise hemen hemen bütün -izmler açısından eleştiriye uğradı. Bu eleştiricilerin başında ise Formalizm bulunur.
3. Modern matematik felsefelerinin Euclides’in Elemanları’na yönelttiği eleştiriler şu şekilde özetlenebilir:
Ana kavramlara ait tanımlar açık değildir; hatta bazı tanımlar hiç bir anlam ifade etmez.