Bir dersle, dört fayda
- Green teoremi
- 2D diverjans teoremi
- Stokes teoremi
- 3D Diverjans teoremi
Neye ulaşıyoruz
- Kurulum:
- iki boyutlu bir vektör alanıdır.
- düzlemindeki bir bölgedir.
- bu bölgenin sınırıdır, yönü saat yönünün tersinedir.
- iki boyutlu bir vektör alanıdır.
- Green teoremi 'nin sınırı etrafında çizgi integralinin 'nin içinde rotasyonelinin çift katlı integraliyle aynı olduğunu belirtir:
- Sol tarafı bir bölgesindeki her noktadaki küçük dönme parçalarını topluyor olarak ve sağ tarafı 'nin sınırı etrafındaki toplam sıvı dönüşünü ölçüyor olarak düşünün.
- Genelde, bileşenlerine göre aşağıdaki gibi yazılır:ve cinsinden, Green teoremi şuna benzer:
Sınır etrafında sıvı döndürme
- , vektör alanı için fonksiyondur. Ayrıca, eğer vektör alanına ilişkin buna benzer makaleleri okuduysanız muhtemelen öğrendiğiniz gibi, 'nin bir sıvı akışını temsil ettiğini varsayın.
- düzlemindeki bir bölgedir. Uygulamada ve problemlerde bu bölge daire gibi iyi tanımlanmış bir şekil veya iki grafik arasındaki sınır olacaktır; ancak ben soyut olarak düşünürken bu bölgeyi bir damla şeklinde çizmeyi tercih ediyorum.
- 'nin saat yönünün tersine sınırıdır. Bu yönü hatırlayın, çünkü problemleri çözerken yön gerçekten önemlidir. Saat yönünün tersine. Hatırlıyor musunuz? Saat yönünün tersine.
Sınırı içeri getirme
Bölgeyi kesin
Tekrar kesin
Pek çok kez kesin
Rotasyonelin integralini alma
- seçtiğiniz parça olsun, burada sınır 'dir.
- 'nin alanını temsil ediyor olsun, bunu çok küçük bir sayı olarak düşünüyoruz.
- bu parçanın içindeki herhangi bir nokta olsun.
- Skaler değerli bir fonksiyonu kapsar,
- Toplam, iki boyutlu bölgenin () pek çok küçük parçası () toplanarak alınır.
- Toplamın içindeki her parça için, fonksiyonun bu parça içindeki bir nokta için değeri bulunur, ve alanıyla çarpılır.
Alternatif gösterim
Özet
- çizgi integralini, eğrisi etrafında vektör alanıyla temsil edilen sıvı akışının dönüşünü ölçüyor olarak düşünebilirsiniz. Genelde saat yönünün tersine yön pozitif olarak kabul edilir, bu durumda saat yönünün tersine yönlendirilmelidir.
- ile çevrelenen iki boyutlu bölgesini pek çok küçük parçaya böldüğünüzü düşünün. Bu parçaların sınırlarını adlandırın ve bunları saat yönünün tersine yönlendirin. Bu durumda 'nin her sınır parçası etrafındaki çizgi integrallerini toplamak, bütün sınırı etrafındaki çizgi integraliyle aynı şey olur.Yani, bu küçük çizgi integralleri içindeki kesikler boyunca birbirini götürür
- Giderek küçülen parçaları ele aldığınızda, her küçük parçanın etrafındaki çizgi integrali iki boyutlu bir rotasyonel kullanılarak kestirilebilir:
- 'de çift katlı bir integral kullanarak "rotasyonel parçalarını" topladığımızda, ve iç kesitler boyunca çizgi integrallerinin toplamının birbirini götürdüğü gerçeğini uyguladığımızda, Green teoremini elde ederiz: