

Operatörlerin spektral teorisi matematik, fizik ve mekaniğin çeşitli alanlarında geniş bir şekilde kullanılmaktadır. Lineer operatörlerin spektral teorisinin esas kaynakları bir yandan lineer cebir olmak üzere diğer yandan titreşim teorisinin problemleridir (telin titreşimi, zar titreşimi, vb.). Lineer cebir problemleri ve titreşim teorisi problemleri arasındaki benzerliklerin farkına varılması çok eskilere dayanır. İntegral denklemler teorisinde yapılan çalışmalarda bu benzerliklerden sürekli faydalanan ilk olarak D. Hilbert olmuştur. Bunların sonucu olarak önce uzayı daha sonraları ise genel Hilbert uzayı meydana gelmiştir. Matematikte ve soyut Hilbert uzayı tanımlandıktan sonra da lineer self-adjoint operatörler teorisi hızla gelişmeye başlamıştır. XIX.–XX. asırlarda birçok matematikçi bu teoriye önemli katkılar sunmuşlardır. Özel olarak bu çalışmalarda özdeğerler, özfonksiyonlar, spektral fonksiyon, normlaştırıcı sayılar gibi spektral veriler tanımlanmış ve farklı yöntemlerle bunlar için asimptotik formüller bulunmuştur. Regüler ve singüler olmak üzere iki tür diferansiyel operatör tanımlanmış ve bunların spektral teorileri yapılandırılmıştır. Tanım bölgesi sonlu ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan diferansiyel operatöre regüler; tanım bölgesi sonsuz veya katsayıları (bazıları veya tamamı) toplanabilir olmayan (veya her ikisi sağlanacak şekilde) diferansiyel operatörlere singülerdir denir. İkinci mertebeden regüler operatörler için spektral teori günümüzde Sturm-Liouville teorisi olarak bilinir. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak H. Weyl tarafından incelenmiştir. Daha sonra F. Rietsz, J. Fon-Neumann, K. O. Friedrichs ve diğer matematikçiler tarafından simetrik ve self-adjoint opeatörlerin genel spektral teorisi oluşturulmuştur. Diferansiyel operatörün öz fonksiyonunun, spektral karekteristiklerinin, spektral fonksiyonunun v.b. bulunması problemi düz problem olarak adlandırılır. Lineer diferansiyel operatörler teorisinde spektral analizin ters problemleri önemli bir yere sahiptir. Diferansiyel operatörler için ters problem aşağıdaki şekilde tanımlanır:
1. Hangi spektral verilere göre operatörün kendisini bulmak (veya yapısını kurmak) mümkündür?
2. Spektral verilere göre operatör birebir olarak mı tanımlanır?
3. Bu verilere göre operatörlerin tanımlanması (kurulması) yöntemlerinin bulunması
Ters problemlerle ilgili ilk sonuç, V. A. Ambartsumyan’ a aittir. 1929 yılında V. A. Ambartsumyan Sturm-Liouville operatörleri için ters problemlerle ilgili aşağıdaki teoremi ispatlamıştır.
Teorem 1. 1 , aralığında reel değerli sürekli fonksiyon olmak üzere ’ler
(1.1)
(1.2)
probleminin özdeğerleri olsun. Eğer ise dır.
V. A. Ambartsumyan’ın bu çalışmasından sonra ters problemler teorisinde çeşitli problemler ortaya çıkmış ve bu tip problemlerin çözümü için farklı yöntemler verilmiştir. Bu problemlerle ilgili en önemli sonuçlardan birisi G. Borg’a aittir. G. Borg diferansiyel operatörün tek olarak belirtilmesi için bir tek spektrumunun yeterli olmadığını göstermiştir. O yüzden de, V. A. Ambartsumyan’ın sonucu istisna bir durum olarak düşünülmektedir. Bu çalışmadan sonra potansiyelin simetriklik koşulunu sağlaması durumunda bir spektrumun Sturm-Liouville operatörünü tanımladığını N. Levinson ispatlamıştır. Sturm-Liouville denkleminin inceleme sürecinde kullanılan yöntemlerden biri de ters problemin çözümünde önemli bir araç olan dönüşüm operatörü kavramı olmuştur. Bu kavram operatörlerin genelleştirilmiş ötelemesi teorisinde J. Delsarte, J. Lions, B. M. Levitan tarafından verilmiştir. Keyfi Sturm-Liouville denklemleri için dönüşüm operatörünün yapısını ilk olarak A. V. Povzner kendi çalışmalarında göstermiştir. Daha sonra ikinci mertebeden lineer diferansiyel operatörler için ters problemler teorisinde teklik problemiyle ilgili en önemli çalışmalar A. N. Tichknof ve V. A. Marchenko tarafından yapılmıştır. Sturm-Liouville operatörü için ters problemin iki spektruma göre tam çözümü 1964 yılında B. M. Levitan ve M. G. Gasimov arafından yapılan bir çalışmada verilmiştir. Bu çalışmada iki spektruma göre ters problemin çözümü için gerek ve yeter koşullar tanımlanmıştır. Amaç: Bu çalışmada difüzyon operatörü için ters problemin iyi tanımlılığı incelenmiştir. Kapsam: Difüzyon operatörü için farklı potansitel fonksiyona sahip ters problemler ele alınmıştır. Yöntem: A. Mizutani tarafından regüler Sturm-Liouville problemi için verilen metod uygulanmıştır.
Bulgular: Difüzyon operatörü için ele alınan iki farklı ters problemin potansiyelleri farkı için eşitsizlik elde edilmiştir.
Sonuç: Spektral karekteristiklerde yapılan küçük perturbasyonların potansiyel fonksiyonda da küçük pertürbasyonlara neden olduğu görülmüştür.
Anahtar Kelimeler: Ters Problem, Difüzyon Operatörü, Wellposedness