Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğu, örnekler
Farklı fonksiyon grafiklerinin yay uzunluğunu bulma alıştırmaları yapın.
1. Örnek: Yarım daireyle alıştırma
Sağdaki resimde görünen yarıçapı ve merkezi başlangıç noktası olan yarım çemberi düşünün. Geometriden, bu eğrinin uzunluğunun olduğunu biliyoruz. Yarım çemberin yay uzunluğunu yeniden keşfetmek için yeni bulduğumuz bu yöntemi uygulayalım.
Tanıma göre, tüm noktaları, başlangıç noktasından uzaklıkta bir çemberin üstündedir, böylece
'yi cinsinden bir fonksiyon olarak yeniden yazarsak,
Yay uzunluğu integralini kurarken, bu eğriyi birkaç küçük çizgiyle kestirmeyi hayal etmek yardımcı olur.
Yay-uzunluğu integralini yazarken, bir anlığına limitleri yoksayarsak, şunu elde ederiz:
Daha önceki gibi, integrandının, eğriyi kestiren bu küçük doğrulardan bir tanesinin uzunluğunu temsil ettiğini (Pisagor teoremiyle) düşünüyoruz.
Şimdi eğrimizin tanımını integrale koymaya başlıyoruz.
1. Adım: 'yi cinsinden yazma
'yi cinsinden yazmak için, olduğu gerçeğinden yararlanın.
2. Adım: İntegralde yerine koyun
için bu ifadeyi integrale koyarak integralin içindeki ifadeyi tamamen ve cinsinden yazın.
3. Adım: İntegrale sınır koyun ve çözün
Eğri ile arasında tanımlı olduğundan, bu değerleri integralinizin limitleri olarak ayarlayın ve bunu çözün.
(Üzgünüz, gülen yeşil tik işareti olan bir kutu olmadığı için. Geometriden yay uzunluğunun olduğunu biliyoruz, ama işin ilginç tarafı, yay uzunluğu integralini kullanırken, 'nin ortaya çıktığını görmektir.)
Yay uzunluğu integrallerini kurma alıştırması
Yay uzunluğu için elde ettiğiniz esas integrali hesaplamak genelde zor olur. Ancak, alıştırmasını yapmanız gereken önemli beceri, bu integrali kurmaktır. Sonuçtaki integrali hesaplamayı düşünmeden bununla birkaç kere alıştırma yapalım (somut integrali elde ettikten sonra, bir hesap makinesi veya wolfram alpha kullanabilirsiniz).
2. Örnek: Sinüs eğrisi
grafiğinin ile arasındaki yay uzunluğunu hangi integral temsil eder?
3. Örnek: Yukarı, sağa değil
Temsil eden eğriyi düşünün
olduğu tüm değerler için. Bu eğrinin yay uzunluğunu ifade eden bir integral bulun. Ama bu sefer, her şeyi değil, cinsinden yazın.
4. Örnek: Tam genellik
Bir fonksiyonunu düşünelim, bunun türevi 'tir. Aşağıdakilerden hangisi
grafiğinin
ve noktaları arasındaki yay uzunluğunu temsil eder?
Genelde, yay uzunluğunu anlatmaya başlarken, bu formül verilir. Şahsen, bunun kişinin kendisinin keşfetmesindeki eğlenceyi yok ettiğini ve bunun gerçekten ne anlama geldiğini anlamayı zorlaştırdığını düşünüyorum.
Özet
- Bir eğrinin uzunluğunu tanımlamak için yay uzunluğu sözcüklerini kullanırız. Eğriyi bir ip gibi düşünürseniz, bu gerdiğiniz ipin uzunluğudur.
- Eğrinin yay uzunluğunu şu formda bir integralle bulabilirsiniz
- Eğri fonksiyonunun grafiğiyse, integraldeki terimi yerine koyun, sonra 'i dışarı alın. İntegralin sınır değerleri eğrinin en soldaki ve en sağdaki -değerleri olacaktır.
- Yay uzunluğunun integralini kurarken, eğri üzerinde nasıl yürümeyi seçtiğinizi düşünmek faydalı olur.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.