Tutarlılık, Geçerlilik, Eşdeğerlilik
Önermelerin tutarlı, eşdeğer veya geçerli; çıkarımların ise geçerli olup olmadığını araştırma, belirleme veya tespit etme işlemine denetleme denir. Sembolik mantıkta bu denetleme işlemi iki yolla yapılır:
- Doğruluk tablosu (veya doğruluk çizelgesi),
- Çözümleyici çizelge ile. Önce, doğruluk tablosuyla denetlemenin nasıl yapıldığını görelim.
1- Tutarlılık Denetlemesi
- a. Bileşik Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi: Bileşik önermenin tutarlılığını denetlerken öncelikle doğruluk çizelgesi oluşturulur. Bir önermenin sonuç bölümünde en az bir doğrulayıcı (D) yorumu bulunan bir bileşik önerme tutarlıdır. Bir önermenin doğruluk tablosunda almış olduğu değerlerin tümü yanlış (Y) ise önerme tutarsız; en az biri doğru (D) ise tutarlı; tüm yorumlamaları doğru (D) ise önerme totolojiktir.
- b. Birden Fazla Önermenin Tutarlılığının Denetlenmesi: Birden fazla bileşik önermenin birbiriyle tutarlılığını denetlerken önermelerin sonuç bölümlerinin aynı satırda en az bir defa “D” değeri alıyorsa verilen önermeler birbiriyle tutarlıdır. Bu tutarlılık, doğruluk tablosunda aynı doğruluk değerlerini gösteren yatay dizilişin altının çizilmesi ile belirtilir.
2- Önermelerin Geçerliliğinin Denetlenme
Bir önermenin sonuç bölümünde yanlışlayıcı (Y) hiçbir yorumu yoksa yani önermenin sonuç bölümünde bütün yorumlarında “D” değeri alıyorsa önerme geçerlidir. Sonuç bölümünde “Y” değeri bulunan önerme geçersizdir. Şuna dikkat edilmelidir: Basit önermelerin ve birbirinden bağımsız birden fazla önermenin geçerlilik denetlemesi yapılamaz.
3- Eş Değerlilik Denetlenmesi
Eşdeğerlilik, iki önermenin tüm doğruluk değerlerinin aynı olması, yani tüm satırlarda aynı doğruluk değerlerini almasıdır. Eşdeğerlilik “≡” şeklinde gösterilir.
4- Çıkarımların Geçerliliğinin Denetlenmesi
Bir çıkarım, sembolik olarak “p, q ∴ r” şeklinde gösterilir. Bir çıkarımın geçerli olabilmesi için öncüllerin ve sonucun birlikte en az bir satırda “D” değeri alması gerekir. Öncülleri doğru olduğu halde sonuç yanlış olursa çıkarım geçersiz olur. Bu, aynı zamanda koşul önermesinin de kuralıdır. Bir çıkarımın geçerliliği iki yolla denetlenebilir.
- Yol: Çıkarımdaki öncüller, tümel evetleme eklemi (∧) ile; elde edilen bu yeni tümel evetleme önermesi ise koşul eklemi (→) ile sonuç önermesine bağlanır. En son elde edilen bu koşul önermesinin geçerli olup olmadığı doğruluk çizelgesi yardımıyla denetlenir. Koşul önermesi geçerliyse çıkarım da geçerlidir.
- Yol: Öncülleri olduğu gibi, sonuç önermesinin ise değillemesi alınarak önermelerin tutarlı olup olmadığına bakılır. Bunun için ilk önce, sonuç önermesinin değillemesi alınır. Çıkarımın öncül ve sonuç önermeleri ayrı ayrı önermeler olarak düşünülür. Eğer önermeler birlikte tutarlı değilse çıkarım geçerlidir. Önermeler birlikte tutarlı ise çıkarım geçersizdir.