Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Üçgenler konusunu öğreneceğiz.
Üçgende Yardımcı Elemanlar (Kenarortay, Açıortay, Yükseklik)
Bir üçgende bir kenarın orta noktasını, karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına, o kenara ait kenarortay denir. Bir üçgende üç kenarortay vardır. Kenarortaylar aynı noktada kesişir.
Bu noktaya üçgenin “ağırlık merkezi” denir ve “G” harfiyle gösterilir. Üçgenin ağırlık merkezi ve kenarortayları üçgenin iç bölgesinde kalır.
Aşağıda verilen ABC üçgeninin açıortaylarını çizelim.
ABC üçgeninde A köşesinin açısı 60°’dir. Açıortay, A açısını 30°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak A köşesinin açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
B köşesinin açısı 40° olduğundan, B açısını, 20°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak B açısının açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
C köşesinin açısı 80° olduğundan açıortay C köşesini 40°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak C köşesinin açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
Böylece ABC üçgenin açıortaylarını çizmiş oluruz.
*** Bir üçgenin bir iç açısını ortalayan ışının, iç açı karşısındaki kenarı kestiği noktayla açının köşesi arasında kalan doğru parçasına, o açıya ait “açıortay” denir. Bir üçgende tüm iç açıların açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta ve açıortaylar üçgenin iç bölgesinde kalır.
*** Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.
Geniş açılı bir üçgen çizelim ve bu üçgene ait yüksekliklerin kesiştikleri noktayı bulalım.
ABC üçgeni, geniş açılı bir üçgendir. Çizilen üçgende a ve b kenarlarına ait yükseklikler, üçgenin dışındadır. Bu nedenle yüksekliklerin kesiştiği nokta, üçgenin dışında bulunan K noktasıdır.
*** Bir üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara çizilen dik doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir. Yükseklik, köşenin karşı kenara olan uzaklığı olarak da ifade edilebilir.
Paralel doğruların, eş uzaklıklı doğrular olduğunu hatırlayınız. Bu durumda üçgenin bir köşesinden geçen ve karşı kenara paralel olan doğrunun üzerindeki herhangi bir noktadan inen dikmeye ya da dikmenin uzunluğuna da yükseklik denilebileceğini unutmayınız. Ancak üçgen
geniş açılı ise köşelerden çizilen yüksekliklerin ikisi üçgenin
dışında kalır.
Bir üçgende üç yükseklik aynı noktada kesişir.
Üçgen, dar açılı ise üçgen kenarına ait yükseklikler, üçgenin içinde kesişir.
Üçgen, dik açılı üçgen ise yükseklikler, dik açının köşesinde kesişir.
Üçgen, geniş açılı üçgen ise yükseklikler, üçgenin dışında kesişir.
Aşağıda verilen ABC ikizkenar üçgeninde eş açıların açıortaylarını, kenarortaylarını ve yüksekliklerini karşılaştıralım ve aradaki ilişkiyi belirleyelim.
*** İkizkenar üçgenlerde eşit açılardan çizilen; kenarortay, açıortay ve yükseklikler kendi aralarında eşittir.
Aşağıda verilen ABC ikizkenar dik üçgeninde a kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve A açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.
ABC üçgenine ait ha yüksekliği, üçgenin aynı zamanda açıortayı ve kenarortayıdır.
ABC ikizkenar üçgeninde, tepe açısına ait açıortay, tabana ait kenarortay ve tabana ait yükseklik, çakışıktır.
*** İkizkenar üçgende farklı olan açıdan (tepe açısı) çizilen yükseklik ile açıortay, kenarortay doğruları eş, uzunlukları eşittir.
Aşağıdaki DEF eşkenar üçgeninde her bir kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve her bir iç açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.
DEF üçgenine ait hd yüksekliği üçgenin aynı zamanda d kenarına ait kenarortayı ve D açısının açıortayıdır.
hd = Vd = nD
DEF üçgenine ait he yüksekliği üçgenin aynı zamanda e kenarına ait kenarortayı ve E kenarının açıortayıdır.
he = Ve = nE
DEF üçgenine ait hf yüksekliği üçgenin aynı zamanda f kenarına ait kenarortayı ve F açısının açıortayıdır.
hf = Vf = nF
DEF eşkenar üçgeninde açıortay, yükseklik ve kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.
*** Eşkenar üçgende açının açıortayı ile açının karşısındaki kenarın kenarortayı ve yüksekliği aynı doğru parçasıdır.
Eşkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin uzunlukları eşittir.
Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar
Üçgende bir kenarın uzunluğu; diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.
|a – b|
Kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm olan bir üçgen oluşturabilir. Kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliklerini sağladığını gösterelim.
Örnek: Aşağıdaki üçgene ait verilere göre |KM| =x’in alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.
|KN| = 8 cm
|NM| = 3 cm
|LM| = 6 cm
|KL| = 5 cm
Çözüm:
KLM üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
|5 – 6| KMN üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
|3 – 8| |KM| = x değeri her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. O halde;
1 5 5 ile 11 arasındaki tam sayılar 6, 7, 8, 9, 10 olur.
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar ve eş açıların karşısında eş kenarlar bulunur. Bu kuralın tersi de doğrudur.
Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denildiğini biliyorsunuz. Dik üçgende 90° lik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar denir. 90° nin karşısındaki kenara da “hipotenüs” (dik üçgende en uzun kenar) adı verilir.
Dik üçgende en büyük açı dik açıdır. Dik açının karşısında bulunan hipotenüs de en uzun kenardır.
Aşağıdaki şekilde verilen açı ölçülerinden yararlanarak şeklin en uzun kenarını bulalım.
Üçgen Çizimleri
Bir kenar uzunluğu ile bu kenarın uçlarındaki iki iç açısının ölçüsü verilen bir üçgen her zaman çizilebilir.
Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.
Kenar uzunlukları a = 3,5 cm, b = 3 cm ve c = 4 cm olan ABC üçgenini çizelim.
Önce taslak üçgeni çizelim ve verilenleri taslak üçgen üzerinde gösterelim. Daha sonra 1, 2, 3 ve 4. adımları takip ederek ABC üçgenini çizelim.
1. |BC| = a = 3,5 cm’lik BC doğru parçasını çizelim.
2. B merkezli ve |BA| = c = 4 cm yarıçaplı çember yayını çizelim.
3. C merkezli ve |CA| = b = 3 cm yarıçaplı çember yayını çizelim. Çizdiğimiz
yayların kesim noktası, üçgenin A köşesidir.
4. A noktasını C noktasıyla birleştirerek b kenarını çizelim. Böylece verilen ölçülere uygun ABC üçgenini elde ederiz.
*** Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.
*** İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısının ölçüsü verilen üçgen, her zaman çizilebilir.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.