Mohr dairesi - Mohr's circle
Bir gerçekleştirdikten sonra gerilme analizi bir şekilde kabul edilen bir malzeme gövdesi üzerinde süreklilik , belirli bir malzeme noktasında Cauchy gerilme tensörünün bileşenleri ile ilgili olarak bilinmektedir koordinat sistemi . Mohr daire o noktasından geçen bir farklı odaklı düzlem üzerinde hareket eden, yani, bir rotasyonlu koordinat sisteminde etki eden grafiksel gerilme bileşenleri belirlemek için kullanılır.
Apsis , ve ordinat , çemberin üzerindeki her noktanın, rotasyonlu koordinat sistemine etki eden, sırasıyla normal gerilme ve kesme kuvveti bileşenlerinin büyüklükleri vardır. Diğer bir deyişle, halka eksenleri gerilme elemanının ana eksenleri temsil tüm yönlerde, tek tek düzlemde stres durumunu temsil noktaları eğrisinin olup.
Karl Culmann sırasında yatay kiriş boyuna ve dikey gerilmeler göz önüne alarak stresleri için bir grafik gösterimini gebe ilk bükme . Mohr katkısı iki ve üç boyutlu hem gerilmeler için bu temsilin kullanımını genişletilmiş ve stres daire dayalı bir başarısızlık kriteri geliştirdi.
içindekiler
- 1 Mohr daire için motivasyon
-
2 stres iki boyutlu durum için Mohr daire
- 2.1 Mohr daire Denklemi
- 2.2 İşaret konvansiyonlar
- 2.3 Çizim Mohr daire
- 2.4 ana normal stresleri bulma
- 2.5 maksimum ve minimum kayma gerilmeleri bulma
- 2.6 keyfi bir düzlemde stres bileşenlerini bulma
- 2.7 ana düzlem yönünü bulma
- 2.8 Örnek
- 3 streslerin genel üç boyutlu durum için Mohr daire
- 4 Ayrıca bakınız
- 5 Kaynaklar
- 6 Kaynakça
- 7 Dış bağlantılar
Mohr Dairesi için motivasyon
İç kuvvetler bir şekilde kabul deforme edilebilir bir nesne parçacıklar arasında üretilir süreklilik uygulanan dış kuvvetlerin, örneğin, ya bir reaksiyon olarak, yüzey kuvvetleri ya da gövde kuvvetleri . Bu tepkime aşağıdaki hareket Euler yasalarına eşdeğer bir süreklilik için, Newton hareket yasaları bir parçacık için. Bu iç yoğunluğuna bir ölçüsü güçlerinin denir stres . Nesne bir devamı olarak kabul edilir çünkü bu iç kuvvetler nesnenin hacmi içinde sürekli olarak dağıtılır.
Mühendisliğinde, örneğin, yapısal , mekanik ya da jeoteknik , örneğin, bir nesne içindeki basınç dağılımı, bir tünel, uçak kanadı veya bina kolonlarının çevresinde bir kaya kütlesi gerilmeler, bir ile belirlenir gerilme analizi . Gerilim dağılımı hesaplanması nesnenin her nokta (malzeme parçacık) baskılara belirlenmesini işaret eder. Göre Cauch , herhangi bir noktada stres bir nesne (Şekil 2), Sürekli, tamamen dokuz gerilme bileşenleri ile tanımlanır kabul ikinci dereceden tensör bir türü (2,0) olarak bilinen Cauchy gerilme tensörü , :
Nesne içinde basınç dağılımı, bir koordinat sistemine göre belirlenir sonra , belirli bir malzeme noktasındaki stres tensörünün bileşenleri hesaplamak için gerekli olabilir döndürülmüş bir koordinat sistemi ile ilgili olarak , yani, gerilmeler bir düzlemde hareket eden farklı yönlendirme koordinat sistemi ile bir açı 'i oluşturan ilgi bu noktadan geçerek ile (Şekil 3). Örneğin, maksimum normal stres ve maksimum kayma gerilimi, aynı zamanda, üzerinde etkili düzlemler yönlenişinin bulunması ilgi konusudur. Bu amaca ulaşmak için, koordinat sisteminin bir dönme altında bir tensör dönüşümü gerçekleştirmek için gereklidir. Tanımından tensörü , Cauchy gerilme tensör itaat tensör dönüşümü yasasını . Cauchy gerilme tensörü için bu dönüşüm kanunun bir grafik gösterimi stres için Mohr döngü.
stresin iki boyutlu durum için Mohr dairesi
İki boyutta, belirli bir malzeme noktasındaki stres tensör herhangi iki dikey yönde göre tamamen sadece üç gerilme bileşenleri ile tanımlanır. Özellikle koordinat sistemi için bu gerilme bileşenleri vardır: normal gerilmeler ve ve kesme gerilimi . Açısal momentum dengesinin kaynaktan, auchy gerilme tensörünün simetri ortaya konulabilir. Bu simetri anlamına gelir . Böylece, Cauchy stres tensör olarak yazılabilir:
Amacı, gerilme bileşenleri ortaya çıkarmak için Mohr daire kullanmaktır ve koordinat sistemine döndürülmüş ile içinden geçen bir çok farklı yönlendirilmiş düzlemde, yani dik ve - düzlem (Şekil 4). Rotasyonlu koordinat sistemi bir açı yapar orijinal koordinat sistemi ile .
Mohr daire denklemleri
İki boyutlu durumlar için Mohr daire denklemini türetmek için düzlem gerilme ve düzlem gerilimi ilk olarak bir malzeme noktası etrafında bir iki boyutlu sonsuz malzeme öğesine, paralel yönde bir birim alan ile, (Şekil 4) - düzlem, yani sayfaya veya ekrana dik.
Sonsuz eleman üzerinde kuvvetlerin denge kaynaktan, normal gerilme büyüklükleri ve kesme stresi ile verilir:
Mohr çemberi parametrik denklemler türetilmesi - kuvvetlerinin Denge Yönünde kuvvetler dengesi kaynaktan ( ekseni) (Şekil 4), ve düzlem alanı bilerek hareket olup , var:
Ancak, bilerek
elde ederiz
Şimdi, yönünde kuvvetler dengesi ile ilgili ( ekseni) (Şekil 4), ve düzlem alanı bilerek hareket olup , var:
Ancak, bilerek
elde ederiz
Her iki denklem de yönünde kuvvetler, statik dengesini gerçekleştirmek eşdeğerdir bilinen Cauchy gerilme tensörü hakkında tensör dönüşüm kanunu uygulanarak elde edilebilir ve .
Mohr çemberi parametrik denklemler türetilmesi - tensör dönüşümü Stres tensör dönüşümü yasası olarak ifade edilebilir
Sağ tarafını Genişleyen ve bilerek ve elimizde:
Ancak, bilerek
elde ederiz
Ancak, bilerek
elde ederiz
Bu an stres bileşeni hesaplamak için de gerekli değildir aksiyonu düzlemine dik bir düzlemde hareket eden bu Mohr daire denklemi türetmek için gerekli değildir olarak.
Bu iki denklem vardır parametrik denklemler Mohr dairesinin. Bu denklemlerde, parametredir ve ve koordinatlarıdır. Bu apsis ile bir koordinat sistemi seçerek anlamına gelir ve ordinat parametre değerleri veren bir daire üzerinde bulunan elde edilen noktalar yerleştirir.
Parametresi ortadan kaldırılması , bu parametrik denklemler Mohr daire parametrik olmayan denklem verecektir. Bu denklemler yeniden düzenlenmesi ile elde edilebilir ve birinci birinci denklemde ilk dönem aktarılması ve daha sonra bunları ilave denklemlerinin her biri her iki kare alma. Böylece elimizdeki
nerede
Bu denklemi olan daire formu (Mohr daire)
yarıçaplı koordinatları ile bir noktada merkezli olarak koordinat sistemi.
İşaret konvansiyonlar
Orada Mohr Dairesi kullanırken dikkat edilmesi gereken işareti sözleşmelerin iki ayrı grupları şunlardır: "fiziksel alan" stres bileşenleri için bir işareti kongre ve "Mohr-Çember-uzay" stres bileşenleri için başka. Buna ek olarak, işaret sözleşmelerin iki kümesinin her biri içinde, mühendislik mekaniği ( inşaat mühendisliği ve makine mühendisliği ) literatür farklı bir işaret kullanılan adlandırmadır Jeomekanik literatür. Hiçbir standart işareti kongre olduğunu ve belirli bir işareti kongre seçimi eldeki sorun için hesaplanması ve yorumlanması için kolaylık etkilenir. Bu işaret sözleşmelerin daha ayrıntılı bir açıklama aşağıda sunulmuştur.
Şekil 4 kullanılarak Mohr daire denklemi için önceki türetilmesi tekniği mekanik işareti kullanılan adlandırmadır. Mühendislik mekaniği işareti kongre Bu yazı için kullanılacaktır .
Fiziksel-uzay işareti kongre
Cauchy gerilme tensörü (Şekil 3 ve Şekil 4) kongre kaynaktan, gerilme bileşenleri ilk indis stres bağlantılı eylem ve ikinci indis stres bileşenin yönünü işaret eden yüzü belirtmektedir. Bu nedenle pozitif yönde normal vektör ile yüz üzerinde etki yapan yırtılma stres -Axis ve pozitif yönde -Axis.
Fiziksel-alan işaret terminolojide, pozitif normal gerilmeler dışarı doğru etki (gerilim) düzlemine, ve negatif normal gerilmeler eylem (sıkıştırma) (Şekil 5) düzlemine içeri doğru bulunmaktadır.
Fiziksel-alan işaret terminolojide, pozitif kayma gerilmeleri bir eksen pozitif yönde malzeme elemanının pozitif yüzlerinde hareket ederler. Ayrıca, pozitif kayma gerilmeleri bir eksen negatif yönde malzeme elemanının negatif yüzlerinde hareket ederler. Pozitif yüzü bir eksen pozitif yönde normal vektörü ve bir negatif yüzü bir eksen olumsuz yönde normal vektörü vardır. Örneğin, kayma gerilmeleri ve pozitif yüzleri üzerinde etki pozitif ve bunlar pozitif yönde hem hareket -Axis ve -Axis sırasıyla (Şekil 3). Benzer bir şekilde, ilgili karşı kayma gerilmeleri ve bu olumsuz yönde hareket ettikleri için negatif yüzleri hareket pozitif bir işaret -Axis ve sırasıyla -Axis.
Mohr daire-alan işaret kongre
pozitif normal gerilmeler hareket düzlemine dışarı doğru hareket eder, ve negatif normal gerilmeler hareket düzlemine içeri doğru hareket: Mohr daire-alan işaret terminolojide, normal gerilmeler fiziksel alan işaret esası normal gerilmeler ile aynı işaret.
Kesme gerilimleri, ancak, fiziksel alan esası ile karşılaştırıldığında Mohr daire alanı farklı kuralını sahiptir. Mohr daire-alan işaret terminolojide, pozitif kayma gerilmeleri ters saat doğrultusunda malzeme elemanını döndürmek ve negatif kayma gerilmeleri saat yönünde malzeme döndürün. Bu şekilde, kayma gerilmesi bileşeni Mohr daire alanı pozitiftir ve kesilme baskısı bileşeni Mohr daire alanı negatiftir.
İki seçenek bir matematiksel doğru Mohr daire oluşturmak Mohr daire alanı çizim ana kadar:
- Pozitif kayma gerilmeleri yukarı doğru çizilir (şekil 5, işaret kongre # 1)
- Pozitif kayma gerilmeleri, yani, aşağı doğru çizilir (Şekil 5, işaret Kongre # 2) -Axis alt üst edilir.
Pozitif kayma gerilmeleri çizimi yukarı doğru açı yapan Mohr daire üzerinde fiziksel alan esası zıt olan bir pozitif dönüş yönünde, var. Bazı yazarlar açı yapar aşağıya doğru pozitif kayma stresleri komplo tercih nedeni budur Mohr dairesinin üzerinde kayma gerilimleri için fiziksel mekan kongre benzer yönünün tersine pozitif döndürmeye sahiptir.
Mohr daire alanı aşağı doğru eksen kesme stresine sahip "sorunu" üstesinden gelmek için, bir olduğu alternatif pozitif kayma gerilmeleri döndürmek varsayılır saat yönünde ve negatif kesme stresleri ile malzeme elemanını döndürmek varsayılır işaret kongre ters saat doğrultusunda malzeme elemanının (Şekil 5, bir seçenek 3). Bu şekilde, pozitif kayma gerilmeleri Mohr daire alanı yukarı doğru çizilir ve açı Mohr daire alanı yönünün tersine pozitif dönme eksenine sahiptir. Bu alternatif işaret kongre pozitif kayma gerilmesi için, Şekil 5'de işaret Kongre 2. aynı olan bir daire oluşturur da saatin ters yönünde bir kayma gerilmesi, ve hem aşağıya hem de grafiksel olarak gösterilmiştir. Aynı zamanda, negatif kesme gerilmesi saat yönünde bir kayma gerilmesi, ve her ikisi de yukarı doğru çizilir.
Bu makalede, fiziksel alan ve mühendislik mekanik işaret kuralını aşağıdaki alternatif (Şekil 5'de işaret kongre # 3) Mohr daire alanı işareti esası
Mohr çemberi Çizim
Stresle bileşenleri biliyoruz varsayarsak , ve bir noktada , Şekil 4'te gösterildiği gibi, üzerinde çalışılan nesne olarak aşağıdaki baskılara durum için Mohr daire oluşturmak için adım :
- Kartezyen koordinat sisteminin çizmek yatay ile -Axis ve bir dikey -Axis.
- İki puan Konu ve de bilinen diğer stres iki dik düzlem ile ilgili bileşenlere karşılık gelen alan ve sırasıyla (Şekil 4 ve 6), aşağıdaki seçilmiş bir işaret esası.
- Dairenin çapı çizin birleştirme nokta ve düz bir çizgi ile .
- Mohr Dairesi çizin . Merkez çember çapı hattı ve orta noktası olan bu çizginin kesişimi tekabül eksen.
asli normal stresleri Bulma
Büyüklüğü asal gerilmelerin noktaları abscissas olan ve daire kesişen (Şekil 6) -Axis. Büyük asal gerilme büyüklüğü her zaman bu iki nokta herhangi birinin apsis en büyük mutlak değeridir. Benzer bir şekilde, küçük bir ana stres büyüklüğü her zaman bu iki nokta arasında apsis en düşük mutlak değeridir. Beklendiği gibi, bu iki nokta arasında koordine sıfır temel düzlem üzerinde kesilme baskısı bileşenlerin büyüklüğüne tekabül eden vardır. Alternatif olarak, ana gerilmelerin değerleri bulunabilir
nerede büyüklüğü ortalama normal gerilme merkezinin apsis olduğunu verdiği,
ve uzunluğu yarıçapı (iki noktadan geçen bir dairenin denkleme göre) dairenin, ile verilmektedir
maksimum ve minimum kayma gerilmelerini Bulma
Maksimum ve minimum kayma gerilmeleri sırasıyla daire üzerinde en yüksek ve en düşük noktalarının ordinatları karşılık gelmektedir. Bu noktalar, dairenin merkezi üzerinden geçen düşey çizgi ile bir daire kesişiminde yer almaktadır . Bu durumda, en yüksek ve en düşük kesme gerilimlerinin büyüklüğü çemberin yarıçapı değerine eşittir
keyfi bir düzlemde stres bileşenlerini bulma
Daha önce belirtildiği gibi, iki boyutlu gerilme analizi yapıldıktan sonra, biz stres bileşenlerini biliyoruz , ve maddi bir noktada . Bu gerilme bileşenleri, iki dik düzlem içinde hareket ve içinden geçen stres bileşenleri ortaya çıkarmak için kullanılan, Şekil 5 ve 6'da Mohr daire içinde gösterilen ve , diğer bir deyişle herhangi bir koordinatları başka bir düzlemde hareket eden daire üzerinde geçerek bir yapım açılı düzlem ile . Bunun için, iki yaklaşım kullanılabilir: uçakların çift açı ve kutup veya orijini.
Çift açı
Şekil 6'da gösterildiği gibi, gerilme bileşenleri belirlemek için bir düzlemde hareket eden bir açıda düzleme yönünün tersine üzerinde biz bir açı seyahat hareket bilinen stres noktası daire etrafında aynı yöne işaret etmek , yani, bir açı hat arasında ve Mohr daire.
Çift açılı bir yaklaşım açısı gerçeğine dayanır geçen her iki fiziksel düzlemde normal vektörleri arasında (Şekil 4), iki karşılık gelen stres noktalarını birleştiren çizgiler arasında yarım açı Mohr daire üzerinde dairenin merkezine.
Bu çift açılı ilişki Mohr dairesi için parametrik denklemler bir fonksiyonu olmasından gelmektedir . Aynı zamanda, görülebileceği gibi, uçaklar ve malzeme elemanının etrafında bir açı ile ayrılan, Şekil 5 Mohr daire içinde bir ile temsil edilir, bir açı (çift açı).
Kutup veya uçakların kökenli
İkinci yaklaşım, Mohr daire üzerindeki bir noktanın belirlenmesi adı içerir kutup veya uçakların kökeni . Kutup çekilen herhangi düz bir çizgi bu hat ile uzay içinde aynı yönde (paralel) ile eğimli bir düzlem üzerinde stres durumunu temsil eden bir noktada Mohr daire kesişecektir. Bu nedenle, stres bileşenleri bilerek ve herhangi bir düzlem üzerinde, belirli bir koordinatlardan bu düzleme paralel bir çizgi çizmek ve Mohr daire üzerinde Mohr daire ile bu hat kesişimi olarak kutup bulabilirsiniz. Bir örnek olarak, en biz stres bileşenleri ile gerilimli bir durum var varsayalım , ve biz nokta bir çizgi çizebilirsiniz, Şekil 7. Birinci gösterildiği gibi, eylem düzlemine paralel başka türlü bir seçerseniz, ya noktası hat aksiyonu düzlemine paralel . Mohr daire ile bu iki çizgi arasında bir kesişme kutbudur. Kutup belirlendikten sonra, bir açı yapan bir düzlem üzerinde stres durumunu bulmaya dikey ya da başka bir deyişle, bir uçak, bir açı oluşturan normal vektör olan , yatay düzlem ile, o zaman kutup bir çizgi çizmek bu düzleme paralel (Şekil 7). Uçağa normal ve kayma gerilmeleri daha sonra hat Mohr daire arasındaki kesişme noktasının koordinatları bulunmaktadır.
temel düzlemlerinin yönünü bulma
En yüksek ve en düşük temel olarak da bilinen hareket vurgulamaktadır düzlemlerin yönlendirme ana düzlemler Mohr daire açıları sırasıyla ∠BOC ve ∠BOE, ölçme ve bu açıların her birinin yarı alınarak belirlenebilir. Böylece arasındaki açı ∠BOC ve çift açılı olan en büyük ana düzlemi düzlem ile yapar .
Açılar ve ayrıca aşağıdaki denklemden bulunabilir
Bu denklem için iki değer tanımlar olan ayrı (Şekil). Bu denklem, ya da, dairenin parametre denklemi yaparak çemberin geometrisi şirketinden elde edilebilir (esas düzlemlerde kesme gerilmesi her zaman sıfırdır) sıfıra eşittir.
Örnek
yatay düzleme göre 10 ° yönlendirilmiş yan kenarlarının birinin düzlemi ile, Şekil 8 ve Şekil 9'da gösterildiği gibi bir stres durumuna altında bir malzemenin elemanı varsayalım. Mohr çemberi kullanarak, bulmak:
- bunların etki düzlemlerinin yönelimi.
- maksimum kayma gerilmeleri ve etki düzlemlerinin yönelimi.
- yatay bir düzlemde gerilme bileşenleri.
Stres dönüşüm formülleri veya stres dönüşüm yasasını kullanarak cevapları kontrol edin.
Çözüm: fiziksel alan (Şekil 5) için mühendislik mekanik işaret esası sonra, bu örnekte, malzeme elemanının gerilme bileşenleri şunlardır:
- .
Stres bu özel durum için Mohr daire çizim için adımların ardından, ilk olarak bir Kartezyen koordinat sisteminin çekmek ile yukarı doğru -Axis.
Daha sonra iki noktası A (50,40) ve B arsa (-10, -40), her ikisi Şekil 'de gösterildiği üzere A düzlemi stresin durumunu ve B içeren 8 ve 9'a Bu noktalar mühendisliği mekanik işaret kuralını için aşağıdaki pozitif normalleri kabul Mohr daire alanı (Şekil 5), malzeme elemanının saat yönünde döner, her düzlemde bir malzeme öğesi ve pozitif kayma gerilimleri dışarı doğru vurgular. Bu şekilde, düzlem B üzerinde etkiyen kesme stresi negatif ve A düzlemi üzerinde etki yapan yırtılma stresi pozitiftir. Dairenin çapı hattı birleştirme noktası A ve B çemberin merkezi ile bu hattın kesiştiği -Axis. Çapının merkezi ve uzunluğu yerini hem bilerek, biz stres bu özel durum için Mohr çemberi çizdirmek edebiliyoruz.
Kesişen iki nokta E ve C (Şekil 8 ve Şekil 9) abscissas -Axis sırasıyla minimum ve maksimum normal gerilmeler, büyüklükleri vardır; Her iki nokta E ve C ordinatları ana sıfır olduğu sırasıyla hem küçük ve büyük ana düzlem üzerinde etki yapan yırtılma stresleri, büyüklükleri vardır.
Mohr daire kullanarak fikri grafiksel aslında daire üzerinde farklı noktalarda için koordinatları ölçerek farklı gerilme bileşenleri bulmak için olsa da, analitik sonuçları doğrulamak için daha uygundur. Bu nedenle, yarıçap ve çemberin merkezinin apsis olan
ve ana gerilimler
Her iki nokta H ve G (Şekil 8 ve Şekil 9) koordinatları, sırasıyla minimum ve maksimum kayma gerilmeleri, büyüklükleri vardır; Her iki nokta H ve G abscissas minimum ve maksimum kayma gerilmeleri sırasıyla hareket aynı düzlemde hareket eden, normal gerilmeler için büyüklüklerdir. Minimum ve maksimum kayma gerilmeleri büyüklükleri ile analitik olarak bulunabilir
ve normal stresler, minimum ve maksimum kayma gerilmeleri hareket eşit olan aynı düzlem üzerinde etki
Bu tercih ya asli normal gerilmeler ve ana kesme stresleri yönlenişinin bulunması çift açılı bir yaklaşım (Şekil 8) veya kutup yaklaşımı (Şekil 9) kullanabilir.
Biz Mohr Dairesi açıları ∠BOC ve ∠BOE ölçmek çift açılı yaklaşımı (Şekil 8) kullanarak büyük asal gerilme ve minimum asal gerilme fiziksel uzayda düzlem B ile yapmak çift açıyı bulmak için. elle açıları ölçme yerine, bu açılar için daha doğru bir değer elde etmek için, analitik ifade kullanabilirsiniz
Bir çözüm: . Şekil 8 kontrol kaynaktan, bu değer açısı ∠BOE karşılık gelir. Bu nedenle, küçük ana açısıdır
Daha sonra en önemli temel açısı
Bu özel örnekte, unutmayın ve aksiyon düzlemine göre açı vardır (yönlendirilmiş eylem düzlemine göre ekseni) ve açıları (yönlendirilmiş ekseni).
Kutup yaklaşımdan yararlanarak ilk Pole veya uçakların kaynağını saptamak. Bunun için, bir çizgi, diğer bir deyişle, yatay ile 10 ° eğimli veya Mohr daire üzerinde noktası üzerinden çizmek, düzlem A paralel bir hat, burada hareket eder. Bu satır Mohr daire (Şekil 9) kesiştiği Kutbu. Pole konumunu doğrulamak için, biz düzlem B'ye Mohr dairesi paralel B noktasından bir çizgi gibi sorunsuz davranır. Bu hat ayrıca, Pole (Şekil 9), Mohr daire kesişecektir.
Pole, biz Mohr dairesinin farklı noktalara çizgiler çizin. Bu hatlar Mohr daire kesiştiği noktalarının koordinatları gerilme bileşenleri hattı ile aynı eğime sahip olan fiziksel alan bir düzlemde hareket eden göstermektedir. Daire fiziksel alan düzlem ile aynı eğime sahiptir Mesela, direk satır C noktasına hareket eder. Bu düzlem, Mohr daire alanı ve fiziksel alan hem de düzlem B ile 63,435 ° 'lik bir açı yapar. Aynı şekilde, çizgiler aynı yönlenme ile düzlemlerde gerilme bileşenleri ortaya çıkarmak için E, D, F, G ve H noktaları için kutbundan takip edilir.
streslerin genel üç boyutlu durum için Mohr daire
Bunun yerine, genel bir koordinat sistemi olarak ana eksenleri göz önüne alındığında , , koordinat sistemi ve varsayılarak , daha sonra normal ve kayma parçaları stres vektörün , birim vektör ile, belirli bir düzlem için , aşağıdaki denklemleri karşılayan
Bilerek , biz çözebilir , , kullanılarak, Gauss eliminasyon yöntemi elde edilir
Yana ve negatif olmayan olduğunu bu denklemlerinden numerators tatmin
- payda olarak ve
- payda olarak ve
- payda olarak ve
Bu ifadeler olarak tekrar yazılabilir
hangi üç Mohr çevrelerinin denklemleri stres içindir , ve yarıçapları ile, , , ve koordinatları ile ve kendi merkezleri , , sırasıyla.
Mohr çevreler için Bu denklemler tüm kabul edilebilir gerilme noktaları olduğunu göstermektedir (bakınız Şekil 10) bu çevrelerin üzerinde ya da onlar tarafından kapalı gölgeli alan içinde yatar. Stres noktası daire için aşağıdaki eşitliği karşılayacak ile yalan veya dış çevreye . Stres noktası daire için aşağıdaki eşitliği karşılayacak ile yalan veya iç çemberin . Ve son olarak, stres noktaları daire için tatmin edici denklemi üzerine yalan, ya da dış çember .
Ayrıca bakınız
Referanslar
Kaynakça
- Bira, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston; John T. DeWolf (1992). Malzemelerin Mekaniği . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-112939-1 .
- Brady, BHG; ET Brown (1993). Yeraltı Madencilik İçin Kaya Mekaniği (Üçüncü ed.). Kluwer Academic Publishers. s. 17-29. ISBN 0-412-47550-2 .
- Davis, RO; Selvadurai. APS (1996). Esneklik ve jeomekanik . Cambridge University Press. s. 16-26. ISBN 0-521-49827-9 .
- Holtz Robert D .; Kovacs, William D. (1981). Jeoteknik mühendisliğe giriş . Prentice-Hall inşaat mühendisliği ve mühendislik mekaniği serisi. Prentice-Hall. ISBN 0-13-484394-0 .
- Jaeger, John Conrad; Cook, NGW; Zimmerman, RW (2007). Kaya mekaniği Temelleri (Dördüncü Baskı.). Wiley-Blackwell. s. 9-41. ISBN 0-632-05759-9 .
- Jumikis, Alfreds R. (1969). Teorik zemin mekaniği: zemin mekaniği ve temel mühendisliği pratik uygulamaları ile . Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0-442-04199-3 .
- Parry Richard Hawley Gri (2004). Mohr daire, stres yolları ve jeoteknik (2 ed.). Taylor & Francis. s. 1-30. ISBN 0-415-27297-1 .
- Timoşenko , Stephen P .; James Norman Goodier (1970). Elastisite Teorisi (Üçüncü ed.). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5 .
- Timoşenko , Stephen P. (1983). Mukavemet Tarih: elastikiyet ve yapıların teorisi teorisinin tarihi hakkında kısa bir hesapla . Fizik Dover Kitapları. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6 .
|Vikiversite hakkında bilgi kaynağı vardır Mohr çemberi|
|Wikimedia Commons ile ilgili çoklu ortam kategorisi bulunur Mohr çemberi .|