1872 yılında Erzurum’da doğan Abdullah Püskülcü’nün çocukluğu ve gençliği, babası Püskülcüzade İsmail Zühtü Paşanın askeri görevi nedeni ile 3’ncü Ordu etki alanındaki Ortadoğu coğrafyasında geçti. 1890 yılında babasının görevli olduğu Bağdat'da Sanayi Mektebi’nden mezun oldu.
Babasının Bağdat’da görevli iken vefat etmesinden sonra, annesi ile birlikte Erzurum’a döndü. Sarıkamış-Erzurum Dar Hat Demir Yolu’nun Erzurum Cer atölyelerinde göreve başladı. Soyadı Kanunu kabul edilince, dede lakabı olan" Püskülcü" soyadını aldı.
Abdullah Püskülcü Erzurum'un ilk saatçilerindendir ve bundan dolayı aile Erzurum'da "Saatçiler" olarak anılır. Erzurum Saat Kulesi’ndeki saatin bakımını, 1928 yılından 1934 yılın da vefat edinceye kadar para karşılığı olmadan yapmış ve haftalık periyodlarda saati kurmuştur.
Bir dönem istifa eden Erzurum Belediye Başkanı’nın yerine atanan ve o makamı dolduramayan bir zat için sarf ettiği “Hûma uçtu yuvasından yerine koydular bum’i (baykuş), görenler eyvah dedi hûma dedikleri bumi!” beyiti ünlüdür.