Multinom dağılımı
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.
Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçdan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani
p1, …, pk bulunmaktadır; bunlar için
pi ≥ 0 eger i = 1, …, k ve n sayıda bağımsız deneme yapılır.
O zaman rassal değişkenler olan Xi n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade
eder. ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı
gosterir. Vektör p=(p1, …, pk) olarak da yazılabilir.
Tanımlama
Olasılık kütle fonksiyonu
Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:
burada x1, …, xk negatif olmayan tamsayılardır.
Özellikleri
Beklenen değer şudur:
Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:
Bu matrisin orta çarpazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:
Orta çapraz dışındakı elemenlar kovaryans değerleridir:
Burada i, j birinden her zaman farklıdır.
Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.
Bu kovaryans matrisi rankı k − 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.
Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanlari şöyle bulunurlar:
ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve pi parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.
Bir multinom dağılımı için destek
değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı
olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.