Lebesgue’in ortaya attığı evrensel örtü problemi, matematikçilerden yeterince ilgi görmedi ama bu amatör bir ruhun konu ile ilgilenmesine engel olmadı…
Bu yılın başlarında yayımlanan bir makalede, herhangi bir alanı, atomik ölçüdeki doğrulukta hesaplama gücüne dayanan yüz yıllık bir problemde çok büyük bir ilerleme kaydedildi. Bu ilerlemeyi, Philip Gibbs isimli, profesyonel anlamda matematikle uğraşmayan birisi kaydetti üstelik!
Problem, ilk kez, Fransız matematikçi Henri Lebesgue’in, arkadaşı Julius Pal’e 1914’te yazdığı mektupta ortaya kondu. Lebesgue’in, Pal’e sorduğu soru şuydu: (Hepsi belirli bir ortak özelliğe sahip olan) tüm geometrik şekillerin kümesini tamamen kaplayacak biçimdeki en küçük alana sahip geometrik şekil nedir?
Sorunun cevabına giden yoldaki ilk adımı, gözlerimizin önüne, çeşitli büyüklük ve şekillerde kesilmiş bir düzine kağıt parçası getirerek atalım. Şimdi, bu kağıt parçalarının tümünü birden kaplayacak büyüklükte bir geometrik şekil tasarlamamız istendiğini hayal edelim. Bu bir düzine kağıt parçasını evirip, çevirerek çözüme giden yolu bulacağımızı düşünebiliriz. Fakat, bir evrensel örtü bulduğumuz zaman, onun, en küçük evrensel örtü olduğunu nereden bileceğiz?
İşte, Lebesgue’in evrensel örtü probleminin ruhu tam olarak budur!
Lebesgue, kesilmiş kağıt parçaları yerine, iki noktası arasında bir birimden fazla uzaklık bulunmayan geometrik şekilleri düşünür. Bir birim çaplı çember akla ilk gelen geometrik şekil olmakla birlikte, bu özelliğe sahip sonsuz sayıda geometrik şekil vardır. Bunların bazıları, eşkenar üçgen, düzgün beşgen, düzgün altıgen ve Reuleaux üçgeni olarak bilinen, şişkin kenarlı üçgendir.
Lebesgue’in mektubunu aldıktan bir süre sonra Pal, düzgün altıgenin, evrensel bir örtü olduğunu fark etti. Sonra daha iyi bir tahminde bulunarak, düzgün altıgenin ardışık olmayan iki köşesini keserek elde ettiği şeklin daha az yer kapladığını ve buna rağmen, bu şeklin evrensel bir örtü olma özelliğini koruduğunu keşfetti.
Kişisel matematik bloguna*, 2013 yılında yazdığı yazıda, Lebesgue’in ünlü evrensel örtü problemini yeniden gün yüzüne çıkaran, Kaliforniya Üniversitesi’nden John Baez, şunları söyledi: “Bu probleme olan ilgim dehşet verici düzeyde. Problemin önemine dair, herhangi bir işaret göremiyor veya problemin matematiğin diğer güzel taraflarıyla olan bağlantısını çözemiyor oluşum, şaşılacak biçimde, problemle arama mesafe koymama sebep olmuyor.”
Hikayemizin asıl kahramanı, Philip Gibbs ise, Baez’in bloguna eklediği yazıyla karşılaştığı zaman şöyle düşündüğünü belirtti: “Bu kesinlikle benim aradığım şey!”
Bir bilim insanı olma hayali ile yola çıkan Gibbs, Matematik alanındaki lisans derecesini Cambridge Üniversitesinden, teorik fizik alanındaki doktora derecesini ise Glasgow Üniversitesinden aldı. Fakat sonra bilim insanı olmak yerine yazılım mühendisliği yapmaya karar verdi. 2006 yılında emekli olmadan önce yaptığı işler arasında, gemi dizayn sistemleri, hava trafik kontrol ve finans var.
Gibbs, akademik konulara olan ilgisini kaybetmemesine rağmen, profesyonel olmayan bir araştırmacı için yapacak çok fazla şeyin olmadığının farkındaydı. “Bağımsız bir araştırmacı olarak, olan biten her şeyi takip etmeye çalışmak kolay iş değil.” diyen Gibbs, sözlerine şöyle devam etti: “Yine de uygun boşluğu bulduğunuz zaman, bir şeyler yapıp, işe yarar sonuçlar elde etmek mümkün.”
Lebesgue’in evrensel örtü problemi, tam olarak, Gibbs’in sözünü ettiği bir boşluktu. Problem, matematikçilerden yeterince ilgi görmemişti ve dolayısıyla amatör bir ruhun ilerleme kaydetmeye çalışmasında bir sakınca yoktu. Yazılım geçmişini de problemi çözmeye çalışma işinde avantaja çevirebileceğini fark eden Gibbs, “Her zaman, bilgisayarları işin içine katabileceğim ve böylece deneysel matematik yapabileceğim problemlerin peşindeydim.” dedi.
2014’te, bilgisayar simulasyonu ile elde ettiği, bir birim çaplı, 200 farklı geometrik şekil ile işe başlayan Gibbs, bu simulasyonlar sayesinde, daha önce elde edilen en küçük örtünün en üst köşesinden bir parça alanın kesilip atılarak, daha küçük bir en küçük örtü elde edilebileceğini fark etti ve bu yeni örtünün tüm bir birim çaplı geometrik şekilleri kaplayacağı fikrini ispata döktü. Gibbs, daha sonra bu ispatı Baez’e gönderdi. Baez ve öğrencilerinden Karine Bagdasaryan, Gibbs’in gönderdiği ispatı daha formel ve matematiksel bir biçimde yazdıktan sonra, üçünün adını taşıyan makale 2015 yılının Şubat ayında yayınlandı.
Gibbs ve Baez’in problemin nihai sonucuna vardığını düşünmemelerine rağmen, şimdilik, en küçük evrensel örtüyü bulma ipini göğüsleyen kişi olma unvanı halen Gibbs’in.
Matematiksel