Herhangi bir noktanın uzaydaki konumunu belirlemek ve göstermek içineksenlerden ya da yüzeylerden oluşan koordinat sistemlerindenyararlanılır. Noktanın, belirli bir koordinat sistemi içindeki konumuda, o noktanın koordinatları denen bir sayı dizisiyle gösterilir. Bunuaçıklayabilmek için örnek üzerinden gidelim.
En basit ve en yaygın kullanılan koordinat sistemi, kartezyenkoordinatlardır. (Kartezyen sözcüğü, geometrinin büyük adlarındanFransız matematikçi ve filozof Rene Descartes'ın Latince adı olanRenatius Cartesius'dan gelir.) Bir kâğıt üzerine birbirine dik ikiçizgi çizelim. Yatay çizgiye X ekseni, dik çizgiye Y ekseni diyelim. Buiki eksenin kesiştiği O noktasına "başlangıç noktası" denir. Bunoktadan başlayarak da, OX ve OY eksenlerini eşit aralıklarlaölçeklendirelim. Yüzey üzerinde bir N noktasını alalım. Bu noktanınkonumunu, yani koordinatlarını bulmak için, noktadan X ve Y eksenlerinebirer dik çıkarız. Bu diklerin eksenleri kestiği yerler noktanınkonumunu verir. Örneğimizde, N noktasının koordinatları (6,5) biçimindeyazılır. Bir noktanın koordinatları yazılırken, önce yatay X ekseni,sonra dik Y ekseni değerleri verilir.
Birbirine dik eksenlerden oluşan kartezyen koordinat sisteminedikdörtgenel sistem denir. Ama X ve Y eksenleri birbirine yatık daolabilir. Ayrıca, X ve Y eksenlerine dik, yani kâğıdın yüzeyindenyukarı, bir Z ekseni daha çizilebilir. Bu durumda, yalnızca düzlemdekideğil, uzaydaki herhangi bir noktanın konumu da, bu üçboyutlu kartezyenkoordinat sistemi üzerinde (x, y, z) koordinatları biçimindegösterilebilir.
Kartezyen koordinatlardan sonra en yaygın kullanılan sistem, kutupsalkoordinat sistemidir. Kutupsal koordinatlar ikiboyutlu (yani düzlemsel)ya da üçboyutlu olabilir. Üçboyutlu kutupsal koordinatlara "küreselkutupsal koordinatlar" denir. Kartezyen koordinat sisteminde, birnoktanın konumunun (x, y) koordinatlarıyla gösterildiğini görmüştük;kutupsal koordinatlar ise (r, @) olarak gösterilir. Burada r, noktanınbaşlangıç noktası @ 'ya olan uzaklığını; @ ise, başlangıç noktası ilekonumu aranan noktayı birleştiren ON doğrusunun seçilmiş bir eksenle (Xekseni) yaptığı açıyı gösterir.
Kartezyen ve kutupsal koordinatlar birbirine dönüştürülebilir; yani birsistemdeki koordinatların öbür sistemde ne olduğu bulunabilir. Bununiçin, değerlerin sinüs ve kosinüslerinden yararlanılır .
Kartezyen sistemdeki (x, y) koordinatları ile kutupsal sistemdeki (r, @) koordinatları arasındaki bağıntı şöyledir.Kartezyen ve kutupsalsistemlerin dışında da birçok koordinat sistemi vardır. Mekanik,meteoroloji ve öbür fizik problemlerinin çözümünde değişik koordinatsistemlerinden yararlanılabilir
Koordinatlar ile ilgili bilimsel makalelere devam ediyoruz.Burada da , farklı bilgiler almanız mümkün arkadaşlar.
Geometride, bir noktanın bir doğru üstünde, bir düzlem içinde ya dauzayda belirtilmesi için kullanılan sayılar. Koordinatlarla ilgili ilkbilgilerin Rene Descartes tarafından ortaya atıldığı ileri sürülür.
Bir D DOĞRUSU ÜSTÜNDE, bir M noktasını belirtmek için, budoğru üstünde bir O başlangıç noktasıyla, D doğrultusunda, sıfırolmayan bir Lvektörü seçilir. Bu durumda OM = xi olacak biçimde bir veyalnız bir, gerçek x sayısı vardır; bu sayı M'nin apsisi olarakadlandırılır.
DÜZLEM İÇİNDE, aynı biçimde, bir M noktasını göstermek için, budüzlemin içinde bir O başlangıç noktasıyla O' dan geçen ayrı iki doğruve bu doğrulanıl doğrultusundaki sıfır olmayan iki vektörü seçilir.
Bu doğrular koordinat eksenleri adını alır.
olacak biçimde bir ve yalnız bir (x,y) gerçek sayılar çifti bulunur; xve y sayılarına M'nin koordinatları ya da daha açık olarak apsis veordinat denir.
UZAYDA, üç Ox, Oy ve Oz koordinat ekseni alınır. Bu durumda birM noktası x apsisi, y ordinatı ve z boyutuyla gösterilir. Bukoordinatlara kartezyen koordinatları adı verilir.
EUKLEİDES DÜZLEMİ İÇİNDE, kompleks bir sayının modül vegenliğini anımsatan kutupsal koordinatlar kullanılır. Birbirine dik ikiOx ve Oy koordinat ekseni alınarak her M noktası, OM ile taşman bir ubirim vektörüyle birleştirilir. OM'nin u 'ya göre cebirsel ölçümüneyarıçap vektörü denir ve p ile gösterilir; u üe Ox eksenininoluşturduğu ö açısına, M'nin kutupsal açısı denir. M. O'da olduğu zamano belirsiz ve p da sıfırdır. M, O'da bulunmadığı zaman u için iki olasıseçim, dolayısıyla p için de karşıt iki değer vardır; u'nun seçimiyapılarak, ile belirlenir,
Burada k, rasyonel bir tamsayıdır.
EUKLEİDES UZAYINDA, silindirik koordinatlar kullanılır: Bir M noktası, xOy düzlemi üstündeki m izdüşümünün kutupsal koordinatları ve z boyutuyla gösterilir.
Ayrıca küresel koordinatlardan da yararlanılır: M noktası, xOy düzlemindeki m'nin kutupsal açısıyla ve M'nin, Oz ve m'den geçen düzlem içindeki r ve φ kutupsal koordinatlarıyla gösterilir.
Sözgelimi, yeryuvarlağı bir küre olarak göz önüne alınırsa, r sabit veYer yarıçapına eşit olmak koşuluyla Yer' in yüzeyi üstündeki birnoktanın boylamı ve φ enlemiyle belirtildiği görülür.
ANALİTİK GEOMETRİDE, genellikle 2 ya da 3 boyutlu bir .uzayınnoktaları, incelenmek üzere, gerçek sayılar bütünü üstüne değil, birkompleks sayılar bütünü üstüne taşınır. Bu durumda, bir noktanın,kartezyen koordinatları, kompleks sayılardır.
Som olarak, kartezyen ya da homogen koordinatların kullanımı, herhangibir cisim üstünde herhangi boyutlu vektör uzayları durumunda dageçerlidir; bu uygulayım matris hesabını ortaya çıkarır.
İZDÜŞÜMSEL GEOMETRİDE, homojen koordinatlara başvurulur.Sözgelimi, düzlem durumunda kartezyen koordinatları x ve y olan bir Mnoktası (X.Y,T) üçlüsüyle gösterilir;
Burada
Bu yöntemin yararı, koordinatların sonsuzdaki noktalarauygulanabilmesidir; bunlar, üçüncü homejen koordinatı sıfır olannoktalardır.
ZARFLAR KURAMINDA, aşağıdaki bağıntının belirlediği üç u, v ve w sayısına, bu doğru denkleminin teğetsel koordinatları denir: ux + vy + w = o
Bir zarfın teğetsel denklemi (1) doğru denkleminin bu zarfa teğetolması için, u, v ve w sayılarıyla ilgili gerekli ve yeterli birkoşuldur Bacon’da eksik olduğuna değindiğimiz teori ve matematik anlayışı René Descartes ta fazlasıyla vardı. Düşüncesi, doğa bilimlerinin yöntemi üzerinde ince çözümlemelere dayanan Dekart, aynı zamanda büyük bir matematikçiydi. Analitik geometrinin kurucusu olarak kazandığı ünün, modern felsefenin babası sayılması ölçüsünde büyük ve haklı olduğu bsöylenebilir. Bilim, felsefe ve matematikte önemli çalışmalar yapan Dekart, tüm bu alanlarda bir amatör olarak kalmış, herhangi bir üniversite ya da öğretim kurumu ile bağlantısı olmamıştır.Doğa felsefesindeki çalışması başlıca şu iki hedefe yönelmişti: 1. Mekanik biliminde gelişen ve uygulama alanı bulan matematiksel yöntemi açıklamak ve diğer alanlara genellemek; 2. Bu yöntemi kullanarak doğanın işleyişinin genel bir mekanik açıklamasını yapmak. Galileo'nun İtalya’da engizisyon mahkemesi önüne çıkarılmasıyla Fransa’da da özgür düşünmeye olanak kalmadığı endişesine kapılan Descartes, Hollanda’ya geçmek zorunda kaldı, ünlü Metot Üzerine Konuşma kitabını orada yayınladı. Aslında matematik ve optik üzerine yazmayı tasarladığı bir esere önsöz olarak hazırladığı bu kitap, iki bölümden oluşur. İlk bölüm matematik-dedüktif yöntemin bir çözümlemesini; ikinci bölüm fiziksel dünya görüşünün genişçe bir özetini vermektedir. Daha sonra Felsefenin İlkeleri adı altında genişletilen bu ikinci bölüm 17. yy’da oldukça etkili olmuştur. Descartes,skolasik düşünceye ve geleneksel önyargılara karşı çıkan Bacon’ı olumlu bulur. Ne var ki yöntem üzerindeki görüşünü beğenmez. Ona göre Bacon,empirik olguları öne almakla soruna ters yönden yaklaşmıştır; oysa doğru olan dedüktif çıkarımlarımıza temel olacak genel ilkeleri saptamaktır. Bu ilkelerin doğrulukları, sezgisel olarak açık seçik ve hiçbir kuşkuya yer vermeyecek biçimde kesin olmalıdır. Öyle ki, matematik veya geometride olduğu gibi, doğruluğu apaçık bu ilkelerden çıkarılacak sonuçlar, hem kesinlik kazansın, hem de verinin önemli özelliklerini dile getirmiş olsun. Böylece akıl yürütmeye büyük yer ayıran Descartes, doğa bilimlerini matematik modele göre kurmak ister. Onun aradığı kesinliktir; matematikte ulaşılan kesinliğe aynı yoldan gidilerek bilimlerde de ulaşılabileceğini düşünür. Dedüksiyona büyük önem veren Descartes gibi rasyonalist düşünürlerin gözden kaçırdıkları noktaları şu üç başlık altında toplayabiliriz: 1.Bir çıkarım veya ispat biçimi olan dedüksiyonun bir bilgi üretme yolu olarak görülmesi 2. Aksiyom veya postülat denilen ilk önermelerin inkarı imkansız birer mutlak doğru sanılması 3. Akıl veya sezgi yoluyla ulaşılan, doğruluğu zorunlu ilkelerden olgusal dünyaya ilişkin sonuçların çıkarılabileceğine inanılması Öte yandan Descartes’in dedüktif yaklaşımı hipotezin önem ve yerini anlama yönünden modern anlayışa çok yakındır. Optik üzerindeki araştırmalarında bizim şimdi “hipotetik-dedüktif” dediğimiz yöntemi kullandığını belirtmekten geri kalmaz. Metot Üzerine Konuşma’sında bazı sonuçlara hipotez kurarak ulaştığını söyler. Ona göre bu hipotezin doğrulanması verdiği sonuçlara bağlıdır. Bilimsel açıklama konusunda derin bir anlayışı gösteren şu sözleri üzerinde dikkatle durulmaya değer: “ hipotezlerden çıkarılan sonuçlar deneysel verilerle kesinlik kazandığından, hipotezler onları ispat etmemekte,ancak açıklamaktadır. Oysa, hipotezlerin ispatı bu sonuçlara bağlıdır.” Bu anlayışının,hipotezlere sırf olguları “kurtarma” için yer verildiğinden eğlenerek şikayetçi görünen Bacon’un tek yanlı ve çoğu kez yüzeysel kalan anlayışından çok ilerde olduğu açıktır. Descartes’in yöntem üzerine söyledikleri burada bitmiyor. Analiz, sentez ve analoji gibi konularda ortaya koyduğu düşünceler de ilginçtir. Descartes hipotetik-dedüktif yöntemin her zaman geçerli veya hiç değilse etkili olmadığı kanısını saklamamıştır. Örnek olarak “paralel ışınları bir noktada toplayacak merceğin biçimini bulma” problemini gösterir. Ona göre bu konuda ne gözlem ne deney,ne de matematiksel çıkarım işe yarar;yapılması gereken şey, her şeyden önce problemi en basit parçalarına ayırmaktır. Bunun için inceleme, farklı ortamlarda değişik ışınların ilişkilerinden başlayarak genellikle ışığın davranış bilgisine dek sürdürülür. Analitik nitelikteki bu süreci,olgusal olarak test edebileceğimiz sonuca ulaşmak amacıyla ters yönde giden bir sentez süreciyle tamamlamak gerekir. Descartes’in önerdiği bu analız-sentez yöntemiyle Bacon’un,yüzeysel özelliklerin var ve yokluğuna bakarak olguları gruplamasını bir tutmak son derece yanlış olur. Descartes “analiz” derken,olguların yüzeyinde kalmayıp kökenine inmeyi,başka bir deyişle, olayın ilk koşullarına gitmeyi , gerçeği görünmeyen ilişkilerde yakalamayı kastediyordu. Üstelik bu işlem yanılma-denemenin ötesinde planlı ve sistematik bir araştırma içeriyordu. Kant’ın daha sonraki deyişiyle “soruları ile doğayı cevap vermeye zorlayan” bir araştırma yöntemiydi bu. Yöntem konusunda son derece ihtiyatlı konuşan Newton bile Optik adlı kitabının sonunda “analız-sentez” yönteminden övgüyle söz eder. Ona göre bilimsel araştırmanın güvenle kullanabileceği yöntemin özünü Descartes ortaya koymuştur. Descartes’in yöntem öğretisinin aynı derecede etkili, fakat belki de daha rasyonal başka bir yanı da analojiyle ilgilidir. Analiz, karmaşık bir problemi basit öğelerine indirgeyerek anlamayı kolaylaştırma aracıdır. Ne var ki bize apaçık görünen bu basit öğeler hakkındaki bilgilerimiz her zaman güçlüklenden sıyrılmış değildir. Descartes bu güçlüğü görmüştür: Örneğin ışığın davranış niteliklerini düpedüz analiz yoluyla saptayamıyorsak bize,benzer doğa kuvvetlerine başvurarak problemi analoji yoluyla anlayabileceğimizi öğütler. Bu öğütte bilimlerin gelişmesiyle giderek önem kazanan “model” kullanma uygulamasının ilk örneğini bulmamaya olanak var mı? Tüm bu görüşlerde ulaştığı inceliğe karşın,Descartes’ta asıl olan matematiksel düşünmenin sağladığı kesinlik endişesidir. Onun analiz yöntemi bile matematiksel analizin bir uzantısı veya türü olmaktan ileri geçmez. Bir durum veya problem, en basit öğelerine indirgendiğinde,bu öğelerin arasındaki ilişkilerin zorunluluğunun açık, seçik ve kesinlikle görülebileceğine inanıyordu. Onun aradığı hipotezlerini sadece sonuçlarına giderek doğrulamak değil,fakat onları bir takım daha temel ve “ilkel doğrulara” giderek kanıtlamaktı. Descartes bu aradığını dinamikte bulduğuna inanıyordu. Newton’dan 40 yıl önce formüle ettiği hareketin birinci yasasını buna bir örnek olarak gösteriyordu. Descartes bu yasayı,doğruluğunu apaçık olarak kabul ettiği şu ilkeden çıkarmıştı: Hareket de herhangi bir özellik gibi ait olduğu cismin bir hali olduğuna göre,bu halin değişikliğe uğraması için bir dış etken veya kuvvetin etkisine ihtiyaç vardır;aksi halde,cisim düzgün hareket halini sürdürür. Kuşkusuz Descartes aldanıyordu. Doğruluğu apaçık bir ilkeden çıkardığını sandığı yasanın öncülleri arasında farkında olmaksızın olgusal içerikli varsayımlar soktuğunu, bu arada evrensel nedensellik ilkesini üstü örtük kabul ettiğini bilmiyordu. Bununla birlikte,onun haklı olduğu noktayı da gözden açtırmamak gerekir: Bir hipotez ve yasa olguları açıklayıcı bir ilke olduğu kadar,ait olduğu bilimin en temel kavram ve ilkeleriyle de çok sıkı bir ilişki içindedir. Açıkladığı olgular(s:113) onu doğrulamakta,ilişki içinde olduğu temel kavram ve ilkeler ise ona geçerlik kazandırmaktadır. Descartesi’in Bilime Katkısı Descartes,çok kere bir düşünür olarak kavranır. Oysa onun özellikle matematik katkıları vardır. Gerçi,matematik ve bir ölçüde optik dışında Descartes’in bilime katkısı parlak değildir. Fizik ve kozmolojiye ilişkin fikirlerinin çoğu,yaşadığı yüzyılda bir hayli etkili olmakla birlikte yanlıştır. Descartes,matematikteki üstün yeteneklerini daha gençliğinde ortaya koydu,ama mistik nitelikte bir deneyim yaşadı: Karşısında beliren bir “ruh” veya “melek” ona doğanın tüm sırlarının anahtarının matematikte olduğunu söyledi. Bunun üzerine çalışmaya koyulan Descartes çok geçmeden cebirsel yöntemleri geometriye uygulayarak analitik veya koordinat geometriyi kurar. Descartesin geometriye getirdiği bu yeniliğin,Öklitten beri bu alan kendini gösteren en büyük gelişme olduğu söylenebilir. Uzay ilişkilerinin analitik olarak,sayısal ilişkilerin de geometrik olarak saptanabileceğini gösteren bu çalışma Descartes’da tüm fiziğin uzay ilişkilerine indirgenebileceği düşüncesini uyandırdı. Nitekim o da bunu gerçekleştirmeye çalıştı.;hatta daha ileri giderek yıldızları,gezegenleri, canlı ve cansız varlıklarıyla tüm evreni matematiksel olarak açıklamayı tasarladı. Buna paralel olarak bütün bilimlerin birleştiğini ve her şeyin tek bir yöntemle,matematikle incelenmesi gerektiğini savundu. Bu yanıyla Descartes’in geniş ölçüde Aristoteles’i andırdığı söylenebilir. Gerçekten,Aristoteles sisteminin yıkılışı ile ortaya çıkan boşluğu Descartes daha bilimsel görünen yeni bir sistemle doldurur gibidir. Onun Kıta Avrupa’sında bir süre moda haline gelmesi belki de bu boşluğu doldurma çabasından ileri gelmiştir. Bu sistem kuşkusuz ortaçağların teolojik sistemleri gibi rahat ve kolay anlaşılır türden değildi. Duygusal olmaktan çok rasyoneldi. Evrendeki varlıklar ruh ve madde olarak ikiye ayrılmıştı. İnsan ruhu düşünen bir nesneydi;onun dışındaki her şey madde ve hareketten ibaretti. Bunların üstünde yer alan tanrı da tüm olup bitenlerin matematiksel kurallara uygunluğunu sağlayan yüce güçtü. Descartes’e göre maddi nesnelerin temel niteliği uzam yani hacim(yer kaplama) dir. Bunun dışındaki özellikler gözlemcilerin nesnelere yüklediği niteliklerdir. Böylece Aristoteles gibi boşluğa olanak tanımaz. Uzayda maddeyle dolu olmayan yerlerin “esir” denilen daha ince bir maddeyle doldurulmuş olması gerekir. Katılık,ağırlık,renk ve duyular üzerindeki diğer etkiler,maddene çeşitli biçim,büyüklük ve hareket parçacıklarına ayrılmış olmasıyla açıklanmıştır. Her türlü değişiklik sadece yersel hareketten ibarettir. Hareket gerçek olup,geçişi sadece bir cisimden bir başka cisme olabilir. Bu düşünce Descartes’i ünlü girdap teorisine götürür. Buna göre,dünyada temas halinde olan tüm cisimler biri ötekinin yerini alarak ve girdap yaratarak hareket eder. Gök cisimlerinin dolanımı da bu girdaplar aracılığıyla olur. Descartes doğrudan etki olmaksızın hiçbir harekete olanak tanımaz. Uzaktan etki fikrini kabul ettiği ve fiziksel nedenleri görmezden geldiği için Galileo’yu eleştirir. Yerçekiminin de girdaplarla açıklanabileceğini savunur. Descartes bu girdapların zorunlu özelliklerini de belirtmeyi ihmal etmez. Ne var ki,aradan 40 yıl geçmeden bu özelliklerin gözlemlere uymadığının Newton matematiksel olarak gösterir. Girdap teorisi geçerliğini yitirir, ama onun yerini alan Newton’un yerçekimi kuramının da tam bir açıklamaya dayandığı söylenemezAnalitik Geometri(Osmanlıca Tahlili hendese, Fransızca Géometri analytique), Geometrikçalışmaya cebrik analizi tatbik eden ve cebrik problemlerin çözümündegeometrik kavramları kullanan bir matematik dalı. Bütün bunlarkartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanılmasıylamümkündür. Kartezyen kelimesi, batıda analitik geometride ilk ilmiçalışmayı yapan René Descartes"tan gelmektedir.
Fransız düşünürü Descartes"ınçok önemli bir buluşudur. Descartes"a gelinceye kadar geometriproblemleri ayrı ayrı yöntemlerle, sistemsiz olarak ve anlak gücüyleçözümleniyordu. Descartes"ın Kartezyen koordinat sistemini kullanarakve cebir dilini geometriye uygulayarak bulduğu bu yöntemle geometriproblemleri cebir denklemelerine çevrildi ve cebirle çözümlendiktensonra geometri diliyle açıklandı. Birçok fizik probleminin çözümü de buyöntemle kolaylaşmış oldu.
Uzay analitik geometride temelbir konu, bir eğrinin veya belirli şartlar altında herhangi bir doğruveya noktanın kendi hareketiyle meydana getirdiği yüzeyin denklemidir.Denklem, eğriyi meydana getiren her bir nokta kümesi tarafındansağlanan sayısal terimlerle ifade edilir. Mesela, merkezi başlangıçtaolan birim yarıçaplı daire, başlangıçtan, birim uzaklıktaki noktalarkümesidir. Bir çember üzerindeki herhangi bir nokta (x,y)koordinatlarına sahipse, birim yarıçaplı çemberin denklemi :
x² + y² = 1 olur.
Bu denklem, çember üzerindekiher noktanın koordinatları tarafından sağlanır. Benzer şekilde x² + y²=4 denklemi merkezi başlangıçta ve yarıçapı iki birim olan çemberindenklemidir. Bazı geometrik ifadeler eşitsizliklerle ifade edilebilir. Mesela;
x² + y² < 1 yukarıda tarif edilen çemberin içindeki bütün noktaları;
x² + y² > 1 denklemi de dışındaki bütün noktaları ifade eder.
1< x² + y² < 4 eşitsizliği x² + y² = 1 ve x² + y² = 4 denklemi buiki çember arasındaki alanın noktalarını gösterir. Analitik geometri, xve y eksenlerine bir noktada dik olan üçüncü bir z ekseni ilegenişletilir. x, y ve z eksenleriyle gösterilen bir denklem yüzey ifadeeder. Mesela,
x² + y² + z² = 1 merkezi başlangıçta yarıçapı birbirim olan kürenin denklemidir. Yüzeylerin ve eğrilerin önemliözelliklerini araştırmada kullanılan analitik geometri metatlarson üçasırda bilimin en önemli araçlarından biri haline gelmiştir.
MsXLabs (Mavi Karanlık) Forum, son kullanıcıların çeşitli web teknolojileri ile ilgili sorularını cevaplamak ve geniş kapsamlı bir Türkçe bilgi paylaşımı platformu oluşturmak amacıyla 2005 yılından bu yana hizmet vermektedir.