Ağırlık ölçüleri olarak 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1/2, 1/10, 1/20 birim ağırlığında geometrik şekillerde ağırlıklar oluştumuşlardır, ki buradaki ağırlık birimi 28 gramdır (yaklaşık olarak 1 ons).
Ayrıca kazılarda her birimi 3,4 cm olan 10 birimlik bir cetvel bulunmuştur. Bu dönemde insanların ürettiği tuğlaların ebatlarının da 4:2:1 sayıları ile orantılı olduğu öğrenilmiştir. Bu ve benzer birçok bulgu bu medeniyetin matematik kullandığını açıkça belirtiyor.
Bu ilk dönemlerde günlük bilgiler sözlü olarak aktarılıyordu ve bu bilgilere Veda deniyordu (Veda Sanskrit dilinde bilgi demektir). Daha sonra bu bilgiler Sanskritçede yazı altına alınmaya başlanmıştır. Bu yazılarda matematiksel bilgiler de bulunmaktadır, bunlar genellikle dini uğraşlarla alakalıydı. Örneğin şahin biçiminde bir ateş altarı (altar: sunak, kurban kesilen yer, mihrap) inşa etmek için bazı geometrik çizim ve hesaplar elde edilmiştir. Bu çizimlerde paralelkenarlar, üçgenler, kareler vb geometrik şekiller kullanılmıştır. Aşağıdaki resimde bu altara ait bir çizim bulunmaktadır. Ayrıca M.Ö.1.200-900 arasındaki yazılarda, daha önceden hiç kullanılmayan, 1012 gibi büyük sayılarla işlemler yapıldığı görülmüştür[1]. Ayrıca aynı alana sahip çeşitli geometrik yapılar elde etme problemiyle uğraşılmış, daireyi kareleme veya tersi ile uğraşılması sonucu pi sayısına çeşitli yaklaşımlar elde edilmiştir.
M.Ö.800-200 arasında dönemin en önemli yazılı eserlerinden olan sulba-sutra denilen yazıtlar kaleme alınmıştır. Sanskrit dilinde sulba kiriş demektir. Sutra ise bir çeşit yazım formatıdır. Sutra formatında problem kolay ezberlenmesi için dizeler halinde verilip devamında probleme ilişkin çeşitli yorumlar ve çözümler düzyazı biçiminde verilir. Sulba-sutralarda genel olarak değişik şekillerde ama aynı alanı kaplayacak şekilde altarların nasıl inşa edileceğine ilişkin bilgiler verilmiştir[2]. Bu amaçla da birçok geometrik ve cebirsel yöntemler içermektedir. Toplam üç adet sulba-sutra vardır. En meşhur sulba-sutra, M.Ö.800 de Baudhayana tarafından yazılan Baudhayana sulba-sutrasıdır. İçeriğinde bazı Pisagor üçlüleri ve Pisagor teoreminin çeşitli durumlar için ifadesi bulunmaktadır[3]. Ayrıca Baudhayana nin yaklaşık değerini veren bir de formül vermiştir. Bu formül:
olarak verilmiştir ve ye virgülden sonra 5 basamağa kadar doğru yaklaşmıştır[4]. Çok önceleri Babilliler de Plimton 322 tabletinde ye başka bir metotla 5 basamak yaklaşmışlardı. Bu metod:
şeklinde 60 tabanında hesaba dayanıyordu. Plimton 322 de de sulba-sutralar gibi Pisagor üçlüleri bulunuyordu. Diğer iki sulba-sutra da M.Ö.750-650 arasında Manava tarafından kaleme alındığı düşünülen Manava sulba-sutrası ve M.Ö.600 de Apastamba tarafından yazılan Apastamba sulba-sutrasıdır. Bu iki sulba-sutra da Baudhayana sulba-sutrası ile benzer sonuçlar içermektedir.
Milattan önce 6. Yüzyılda Hindistan’da önemli dini reformlar olmuştur. Bunlardan en önemlisi, Mahavira’nın kurduğu Cainizm (jainism) dini ve felsefesidir. Bu felsefedeki varlık, yokluk, ruh gibi bazı dini kavramlardan etkilenilerek bu dönemde 2588gibi o zamana dek hiç gündeme gelmemiş büyüklükte sayılar matematiksel işlemlerde kullanılmış ve ilk defa matematiksel anlamda sonsuzluk kavramı gündeme gelmiştir. Cainistler sonsuzluğu da kendi arasında beş kategoriye ayırarak sınıflamışlardır. Ancak bu sonsuzluklar matematiksel bilgileri doğrultusunda değil tamamen dini inançları doğrultusunda tanımlanmışlardır. Yine bu dini inanç ve felsefenin etkisiyle cainistler matematiksel anlamda yokluk ve boşluk kavramlarını shunya (Sanskritçe de yok, boş anlamında) kelimesini kullanarak belirtmişler ve tarihte ilk defa bugünkü anlamda sıfır sayısını kullanmışlardır. Bu shunya kelimesi, bir milenyum sonra, uzun bir yolculuktan, birçok çeviri ve değişimden sonra bugünkü kullandığımız sıfır (zero) ismini alacaktır. Bu dönemin en dikkat çekici matematikçilerinden birisi Pingala’dır. Kaleme aldığı Chandas Sutra isimli eserde, kendisi Binom teoremini bilmemesine rağmen binom katsayılarını elde etmeye yönelik metotlar geliştirmiştir[5][6]. Bu çalışmada ayrıca Bugün Fibonacci Sayıları olarak bilinen sayılara ilişkin olduğu düşünülen bazı bölümler de dikkat çekmektedir. Metnin içeriğinden ayrıca Pingala’nın
Cainizm döneminden günümüze kadar ulaşabilen en eski yazılı belge, 300-600 arası bir tarihte yazıldığı tahmin edilen, huş ağacı kabuğuna yazılmış olan Bakshali el yazmasıdır. Bu elyazması belge de sutra formatında yazılmış olup, tutarlı karekök yaklaşımları, belirsiz katsayılı çok değişkenli denklemlerin çözümleri gibi bazı konular içermektedir. Bu metinde sıfır yerine nokta kullanıldığı dikkat çekmektedir. Daha önce Pingala tarafından tanıtılan sıfır sayısı işlemlerde kullanılmıştır. Tarihte ilk defa sıfır sayısı ile işlemler bu metinde yapılmıştır. Ayrıca bu metinde ikinci dereceden denklemler ve formüller de bulunmaktadır. Bu belgede karekök için
Bu dönemin en önemli çalışmalardan bir diğeri de 499 da Aryabhatia ve Arya Siddhanta kitaplarıdır. Bunlar astronomi üzerine olup Aryabhata tarafından yazılmıştır. Maalesef ikinci kitap günümüze ulaşamamıştır. Aryabhatiada aritmetik, düzlem ve küresel geometri, trigonometri, ikinci dereceden denklemler, kuvvet seri toplamları ve bir sinüs fnksiyonu değer tablosu bulunmaktadır. Bu tablo Yunanlıların çalışmasından farklıdır. Bu çalışmada Aryabhata, şeklinde belirsiz katsayılı denklemler üzerinde durmuş ve bugün bildiğimiz Öklid (Euclid) algoritmasına denk bir çözüm yöntemi geliştirmiştir. Aşağıdaki resim bu metindeki sinüs tablosunu göstermektedir.
İfadelerini de ispatsız olarak vermiştir bu metinlerde. Brahmagupta’nın en dikkat çeken sonuçları dış teğet çemberi olan dörtgenler ile alakalı olan sonuçlarıdır. Brahmagupta, eğer bu şekildeki bir dörtgenin köşegenleri birbirini dik kesiyor ise, bir kenara çekilen dikme karşı kenarı iki eşit parçaya böler demiştir. Ayrıca Brahmagupta bu şekildeki bir dörtgenin alanını veren bir formül de vermiştir. bu formüle göre kenarları a, b, c, d olan ve dış teğet çemberi olan bir dörtgenin alanı
dır. Burada s ise dörtgenin çevresinin yarısıdır. Brahmagupta ayrıca ikinci dereceden denklemlerin çözümleri ile de uğraşmıştır bu eserlerde.
ax2+bx+c=0 denklemini çözümünü Brahmagupta
olarak vermiştir ve kitaplarında bu formülü birçok özel denklemde uygulamıştır. Bu eserlerde dikkat çeken bir ayrıntı da Brahmagupta’nın sıfır ile bölerek işlemler yapmasıydı. Yani 0/0 ve n/0 ifadelerini birer sayı olarak kabul ediyordu.
Hayashi, Takao (2005), “Indian Mathematics”, pp. 360-361
- Hayashi, Takao (2003), “Indian Mathematics”, in Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, p 118.
- Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, p 229.
- , Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course, New York: Wiley-Interscience, p 200.
- Fowler, David (1996), “Binomial Coefficient Function”, The American Mathematical Monthly 103 (1): 1–17.
- , A. N. (1936), “On the Use of Series in Hindu Mathematics”, Osiris 1 (1): 606–628.