Elimizde bir çift yavru tavşan olsun. Yavru tavşanlar bir ayda olgunlaşsın, olgunlaşana kadar yavru vermesin; olgun tavşanlar ise her ayın sonunda 1 çift yavru yavrulasın.
- Bu durumda başlangıçtan itibaren bir ay içerisinde yavrular olgunlaşacak ve 2. ayın başında elimizde 1 çift olgun tavşan olacak.
- 2. ayın sonunda bu 1 çift olgun tavşan bir 1 yavru tavşan verecek böylece 3. ayın başında 1 çift olgun tavşan ile 1 çift yavru tavşanımız olacak.
- 3. ayın sonunda yavru tavşanlar olgunlaşmış olacak ve zaten olgun olan tavşanlar 1 çift yavru verecek. 4.ayın başında 2 çift olgun tavşanımız ve 1 çift yavru tavşanımız olacak.
- 4. ayın sonunda yavru tavşanlar olgunlaşmış olacak ve zaten olgun olan 2 çift tavşan 2 çift yavru verecek. 5. ayın başında 3 çift olgun tavşanımız ve 2 çift yavru tavşanımız olacak.
- 5. ayın sonunda 2 çift yavru tavşan olgunlaşmış olacak ve zaten olgun olan 3 çift tavşan 3 çift yavru verecek. 6.ayın başında 5 çift olgun tavşanımız ve 3 çift yavru tavşanımız olacak.
Bu şekilde tavşanların sayısı artmaya devam edecek. Tavşanların hiç ölmediğini varsayalım. Buna göre mesela 100. aybaşında elimizde toplam kaç çift tavşan olur?
Esasen problemi genel olarak şöyle düşünebiliriz. n pozitif tamsayı olmak üzere n. ayın başında elimizde kaç çift tavşan olur?
(Öncelikle problemin aşağıdaki çözümünü okumadan, yukarıdaki ilerleyişi iyice bir okumanızı tavsiye ederim.)
n. ayın başında elimizdeki tavşanların bir kısmı yavru bir kısmı ise olgun. Bu tavşanların geçen ay nerede olduklarına bakalım:
- n. ayın başındaki yavruları, bir önceki ayda olgun olan tavşanlar yavruladı. Bu nedenle n-1. ayın başında kaç çift olgun tavşan varsa, n. ayın başında o kadar çift yavru olacak.
- n-1.ayın başındaki olgun tavşanların bir kısmı n-2.ayın başında da olgun olan tavşanlar, kalanı ise n-2.ayın başındaki yavru tavşanlar.
- n-2.ayın başında olgun olan tavşanlar, bir sonraki ay olan n-1.ayda da olgun olarak sayıldılar.
- n-2.ayın başındaki yavrular ise, bir aylık olgunlaşma süresinden sonra n-1.ayın başında olgun olarak sayıldılar.
- Yani n-1.ayın başındaki olgun tavşanların sayısı n-2.ayın başındaki tavşan sayısına eşit.
- n-1.ayın başındaki olgun tavşanların bir kısmı n-2.ayın başında da olgun olan tavşanlar, kalanı ise n-2.ayın başındaki yavru tavşanlar.
- n. ayın başındaki olgunlar ya yeni olgunlaştı ya da bir önceki ayda da olgundu.
- n-1. ayın başındaki yavru tavşanlar n. ayın başında olgun oldular.
- n-1. ayın başındaki olgun tavşanlar ise n. ayda da olgun olarak devam ettiler.
- Yani n. ayın başındaki olgun tavşanların sayısı n-1. ayın başındaki tavşan sayısına eşit.
Şimdi eğer n. ayın başındaki tavşan çifti sayısına F(n), n. ayın başındaki olgun tavşan çifti sayısına O(n), n. ayın başındaki yavru tavşan çifti sayısına Y(n) dersek, bu durumda yukarıda söylediklerimizi şöyle yazabiliriz.
Y(n) = O(n-1) =O(n-2)+Y(n-2)=F(n-2)
O(n)=O(n-1)+Y(n-1)=F(n-1)
F(n)= Y(n)+O(n) =F(n-2)+F(n-1)
Böylece n. ayın başındaki tavşan çifti sayısının, n-1. ve n. ayın başındaki tavşan çifti sayılarının toplamına eşit olduğunu ispatladık.
Fakat hala n. ayın başında kaç çift tavşanımız olduğunu bilmiyoruz. Yine de F(n)’leri bulabileceğimizi biliyoruz.
1.ayın başında 1 çift tavşan 2.ayın başında bir çift tavşan vardı. Yani F(1)=F(2)=1
Şimdi yukarıdaki denklemin bize ne söylediğine bakalım.
F(3)=F(1)+F(2)=1+1=2
F(4)=F(2)+F(3)=1+2=3
F(5)=F(3)+F(4)=2+3=5
F(6)=F(4)+F(5)=3+5=8
F(7)=F(5)+F(6)=5+8=13
F(8)=F(6)+F(7)=8+13=21
F(9)=F(7)+F(8)=13+21=34
F(10)=F(8)+F(9)=21+34=55
Böylece 100.ayın başında kaç çift tavşan olduğunu bulamasak da 10.ayın başında 55 çift tavşanımız olacağını öğrendik. Eğer yukarıdaki hesabı ilerletip 100.ayı bulmayı planlıyorsanız bol şans, kaleme kuvvet!
Fakat biz gelecek yazımızda F(n)’leri hesaplamak için F(n)= F(n-1)+F(n-2) denklemini ve üslü sayıları kullanarak güzel bir çözüm önereceğiz.
Yazar: Yasin Karacan