Üç boyutlu bir dünyada yaşıyoruz. Yukarı ve aşağı, sağ ve sol, ileri ve geri. Birbirine dik açı yapan üç yöne sahibiz. Düz bir çizgi gibi tek boyutlu bir şeyi veya bir kağıda çizilmiş kare gibi iki boyutlu bir şeyi hayal etmek kolay. Ama aşina olduklarımızdan daha fazla bir boyutta görmeyi nasıl öğrenebiliriz?
Bildiğimiz üçüne dik olan bu ek yön yani dördüncü boyut nerede? Hatta fizikçilerin gördüklerini iddia ettikleri diğer boyutlar ne anlama geliyor? Nokta sıfır boyutludur, doğru bir boyutludur, düzlem iki boyutludur ve uzay üç boyutludur. Bize ilkokulda, ortaokulda, lisede hep böyle öğretildi. Peki ya hepsi bu kadar mı? Dördüncü, beşinci, altıncı, … boyutlarda neler var? Hatta soruyu daha da basite indirgersek boyut nedir?
Boyut Nedir?
En basit tanımıyla; bir nesnenin boyutu, o nesnenin üzerindeki bir noktayı belirtmek için gereken minimum koordinat sayısı olarak tanımlanır. Bu tanıma göre yukarıda verilen örneklerin doğru olduğu bariz bir şekilde görülür: Nokta sıfır boyutludur çünkü üzerinde belirtebileceğimiz tek nokta kendisidir. Doğru bir boyutludur çünkü üzerinden alınan bir nokta tek koordinatla belirtilebilir, örneğin reel sayı doğrusundaki 3 sayısı. Aynı şekilde ikinci ve üçüncü boyutlar için iki ve üç boyutlu koordinat sistemlerinden seçilen noktalar örnek verilebilir.
Latince kökenli bir terim olan boyut (dimension) kelimesi, ölçü anlamına gelir. Bu nedenle dördüncü boyut, uzayda fazladan bir yönden başka bir şey de olabilir. Örneğin fizikte diğer büyüklüklerin yapı taşlarını oluşturan temel boyutlar uzunluk, kütle, zaman ve elektrik yükü olarak kabul edilir. Farklı bir bağlamda fizikçiler uzayın üç boyutlu olduğundan ve bir de zamandan bahsederler. Bu Albert Einstein’ın yaşadığımız dünyada uzay ve zamanın her zaman uzay-zaman denilen tek bir varlıkta birbirine bağlı olduğunu göstermesinden kaynaklı bir durum.
Dördüncü Boyut Fikri Nasıl Doğdu?
İnsanlara, dördüncü boyutun gerçekten de var olabileceğinin düşüncesi Edwin A. Abbott’un Düzdünya adlı romanıyla yayılmaya başlamıştı. Bu kitapta, genel olarak, iki boyutlu bir dünyada yaşayan karenin üçüncü boyuttan bir küre tarafından ziyaret edilmesi ve onun üçüncü boyutu anlamasındaki zorluklar konu alınmıştı. Bu dünyadakilerin yaşadığı algısal ve kavramsal zorluklar, bırakın daha üst boyutları dört boyutlu bir dünyayı gözümüzün önüne getirmeye çalışırken yaşadığımız zorlukların aynısıdır.
Görelilik teorisi ortaya çıkmadan önce bile, uzayda istediğimiz şekilde hareket edebildiğimiz gibi, zaman boyutu boyunca da ileri ve geri hareket etme olasılığı hakkında bazı varsayımlar vardı. 1895 yılında H.G. Well’s tarafından kaleme alınan Time Machine isimli kitap, bir zaman gezgininin hikâyesini anlatır. 1800’lerin sonları, birçok insanın medyumların iddialarına ve ölülerle iletişim kurma ihtimaline ilgi duyduğu bir dönemdi. Bu nedenle insanlar ölümden sonraki yaşamın bizimkine paralel dördüncü bir boyutta var olup olamayacağını sorgulamaya başladılar.
Daha yüksek boyutları görselleştiremememiz, dördüncü boyutun bir şekilde gizemli veya bildiğimiz her şeye yabancı olduğunu düşünmemize neden oldu. Yine de matematikçiler, özelliklerini tanımlamak için gerçekte neye benzediklerini görmeden, dört boyutlu nesnelerle veya uzaylarla çalışırken herhangi bir sorun yaşamadılar. Sonuçta matematiksel anlamda boyutları oluşturmak sanılandan daha kolaydır.
Sonuçta 2 boyutlu bir düzlemde bulunan herhangi bir şeyi (5,6) gibi iki sayı ile tanımlamamız mümkündür. Benzer bir biçimde 3 boyutlu uzay da (5,6,3) gibi üçlü sayılarla tanımlanacaktır. Elbette bu düşünceye devam edebiliriz. Bu nedenle, bir matematikçi için 4 boyutlu uzayı, (5,6,3,2) gibi dörtlü reel sayı kümeleriyle tanımlanır. Bu sayede bir çember denklemi kolaylıkla farklı boyutlara genişletilir.
Dördüncü Boyut İle İlgili Bilimsel Çalışmalar Nasıl Başladı?
Dördüncü bir uzaysal boyuta matematiksel ilgi, on dokuzuncu yüzyılın ilk yarısında Alman matematikçi Ferdinand Möbius’un çalışmasıyla başladı. Kendisini adını taşıyan bir şekil olan Möbius şeridi ile tanıyoruz. On dokuzuncu yüzyılın ikinci yarısında, üç matematikçi çok boyutlu geometrinin yeni dünyasının kaşifleri olarak öne çıktı: İsviçreli Ludwig Schläfli, İngiliz Arthur Cayley ve Alman Bernhard Riemann. Bu çalışmalar sayesinde, matematikçiler karmaşık cebirin 4 boyutlu olarak nasıl yapılacağını öğrendiler.
Öklid tarafından öngörülen kuralların ötesine geçen çok boyutlu geometrilere daldılar. Ama yine de yapamadıkları şey aslında dördüncü boyutu görmekti. Bu sorun İngiliz matematikçi, Charles Howard Hilton’un ilgisini çekti. Çalışmaları sonucunda “Dördüncü Boyut Nedir?” Adlı makalesini kaleme aldı. Üç boyutta hareket eden parçacıkların, dört boyutta var olan çizgi ve eğrilerin kesitleri olarak düşünülebileceği fikrini ortaya koydu.
Daha sonradan Einstein ortaya çıkınca dört-boyutlu uzay fikri daha ciddi bir hal aldı. Einstein’a göre dördüncü boyut zamandı. Bu da dört-boyutlu geometriyi çoğu insan için daha anlaşılır bir hale getirdi.
Dört Boyutlu Küp Yani Bir Tesseract Yapalım
Dördüncü boyuttaki küplere tesseract denir. Yukarıda aktardığımız mantığı dört boyutlu bir küpün gerçek görünümünü kavramak içinde kullanabiliriz. Şimdi birlikte bir dört-boyutlu bir küp inşa edelim. Bunun için köşe sayısı ve kenar sayısını bulmamız yeterlidir. Aslında bir n-boyutlu küpün köşelerini, n-boyutlu bir koordinat sisteminde sadece sıfır ve birlerden oluşan noktaların kümesi olarak düşünebiliriz. Örneğin, bir küpün köşelerini şekilde gösterildiği gibi ele alabiliriz.
Bir n-boyutlu küp, n-boyutlu koordinat sistemindeki sıfır ve birlerden oluşan bütün noktaları içerdiğinden dolayı bu küpün 2n tane köşesi vardır. Kenar sayısı ise biraz daha uğraştırıcıdır. Yukarıdaki küpümüzde hangi noktaların hangi noktalar arasında kenar olduğuna bakalım. Sadece koordinatları arasında bir sayı farklılığı olan noktalar birbirleriyle eşleşmiş.
Buradan güzel bir mantık yürütmeyle kenar sayısının da formülünü bulabiliriz. N-boyutlu küpün her köşesi n tane köşeyle bağlantılıdır diyebiliriz. Sonuçta her köşenin n bileşenli koordinatı vardır. O zaman n.2n bize kenar sayısının iki katını verir. Çünkü bu çarpımda her köşe ayrı ayrı incelenirken aynı kenarlar ikişer kere sayılmıştır. Demek ki kenar sayımız da n.2n-1. Buradan da n=4 için, dört-boyutlu küpümüzün köşe sayısı 16 ve kenar sayısı 32 diyebiliriz. Aşağıda da dört-boyutlu küpün iki boyuttaki izdüşümü verilmiştir (kenar ve köşe sayıları tam da bulduğumuz gibidir).
Evren Kaç Boyutludur?
Günümüzde hala kanıtlanmamış olan sicim teorisi uzay-zamanın 10 ya da 26 boyutlu olduğu söylüyor. Peki biz neden sadece üç uzay ve bir zaman boyutunun farkına varabiliyoruz? Hawking’in bu soruya cevabı şöyle: Diğer boyutlar uzayda çok küçük kıvrımlılardır. O kadar küçük ki onları fark edemiyoruz. Şöyle düşünün, elinize bir tane küçük çubuk alın.
Eğer bu çubuğa yakından bakarsanız bu çubuğu iki boyutlu olarak görürsünüz (en ve boy). Şimdi ise aynı çubuğa uzaktan bakın. Bu sefer çubuğu enini göremeyeceksiniz ve o size sadece bir boyutluymuş (boy) gibi gelecek. Uzay-zaman da böyledir. Küçük bir ölçekten baktığınızda 10 boyutludur ve çok kıvrımlıdır. Fakat büyük ölçekten baktığınızda ise ekstra boyutları göremezsiniz.
Kaynaklar ve ileri İleri Okumalar:
- Understanding the Fourth Dimension From Our 3D Perspective; yayınlanma tarihi: 4 Mayıs 2017; Bağlantı: https://interestingengineering.com/
- -Hawking, S. (2016). A brief history of time. Great Britain: Penguin Random House UK
- -Gowers, T.(2013). Matematik. Ankara: Dost Kitabevi Yayınları
- -Abbott, E. (2019). Düzdünya. İstanbul: Sola Unitas Yayınları
Dip Not
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım