İşte örnek olarak eklediğimiz bir ters çevirme uygulaması; kitapta bundan sonra kullanmayacağız.
Teorem (PageIndex{1}) Ptolemy'nin kimliği.
(ABCD) yazılı bir dörtgen olsun. (A,B,C) ve (D) noktalarının çember üzerinde aynı sırada göründüğünü varsayın. Sonra
(AB cdot CD + BC cdot DA = AC cdot BD.)
- Kanıt
(A,B,C,D) noktalarının bu sırada bir doğru üzerinde olduğunu varsayın.
(x = AB), (y = BC), (z = CD) olarak ayarlayın. Bunu not et
(x cdot z + y cdot (x + y + z) = (x + y) cdot (y + z).)
(AC = x + y), (BD = y + z) ve (DA = x + y + z) olduğundan, özdeşliği ispatlar.
Geriye, (ABCD) dörtgeninin bir daire içine yazıldığı, diyelim ki (Gamma) durumunu ele almak kalıyor.
Kimlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
(dfrac{AB cdot DC}{BD cdot CA} + dfrac{BC cdot AD}{CA cdot DB} = 1.)
Sol tarafta iki çapraz oranımız var. Teorem 10.3.1a'ya göre, her noktaya bir inversiyon uygularsak sol taraf değişmez.
(Gamma) üzerinde (A) ve (D) arasında bulunan bir (O) noktasında merkezli bir daire içinde bir ters çevirme düşünün. Teorem Teorem 10.3.2'ye göre, bu inversiyon (Gamma)'yı bir çizgiye eşler. Bu, sorunu, (A, B, C) ve (D)'nin zaten düşünülmüş olan bir satırda olduğu duruma indirger.
Yukarıdaki ispatta, Ptolemy'nin kimliğini tersine çevirmeye göre değişmez bir biçimde yeniden yazıyoruz ve ardından ifadeyi belirginleştiren bir tersine çevirme uyguluyoruz. Aşağıdaki alıştırmanın çözümü de aynı fikre dayanmaktadır; kişi doğru bir inversiyon seçimi yapmak zorundadır.
Alıştırma (PageIndex{1})
Dört dairenin birbirine teğet olduğunu varsayalım. Teğet noktalarından dördünün (altı arasında) bir çember üzerinde olduğunu gösterin.
- İpucu
Teğet noktalarını şemadaki gibi (X, Y , A, B, P) ve (Q) ile etiketleyin. Merkezi (P) olacak şekilde bir ters çevirme uygulayın. (P) noktasında teğet olan iki dairenin paralel doğrulara dönüştüğünü ve kalan iki dairenin birbirine ve bu iki paralel doğruya teğet olduğunu gözlemleyin.
Paralel çizgilerle (A'), (B'), (X') ve (Y') teğet noktalarının bir karenin tepe noktaları olduğuna dikkat edin; özellikle bir daire üzerinde uzanırlar. Bu noktalar, ters çevirme altındaki (A, B, X) ve (Y)'nin görüntüleridir. Teorem Teorem 10.3.1'e göre, (A, B, X) ve (Y) noktaları da bir çember üzerinde bulunur.
Alıştırma (PageIndex{2})
Resimde gösterildiği gibi birbirine ve iki paralel doğruya teğet üç daire olduğunu varsayalım.
(A) ve (B) noktalarından geçen doğrunun aynı zamanda (A) noktasındaki iki daireye teğet olduğunu gösterin.
- İpucu
İnversiyonu merkezi (A) olan bir daireye uygulayın. (A) noktası sonsuza gidecek, (A) noktasında teğet olan iki daire paralel doğru olacak ve iki paralel doğru da (A) noktasında teğet olacak; diyagrama bakın.
Kesikli çizginin ((AB')) diğer iki çizgiye paralel olduğunu göstermek için kalır.
Gauss-Ürdün Eliminasyonu
Gauss-Jordan Eliminasyonu, lineer denklem sistemlerini çözmek için bir algoritma olan Gauss Eliminasyon'un bir uzantısıdır. Her iki algoritma da sistemi çözmek için satır işlemlerini kullanır, ancak ikisi arasındaki fark, Gauss Eliminasyonu bir matrisi satır basamak formuna koymaya yardımcı olurken, Gauss-Jordan Eliminasyonu bir matrisi indirgenmiş satır basamak formuna koyar. Gauss-Jordan Eliminasyonu, Gauss Eliminasyonuna kıyasla lineer denklem sistemlerini çözmek için çok daha az verimli bir yöntemdir, ancak bir matrisin tersini hesaplamak için mükemmel bir yöntemdir.
Örnek olarak ( 2 imes 2 ) matrisinin ( A ) tersini hesaplayacağız.
Önce birim matrisini ( A )'nin sağ tarafına birleştiriyoruz, ardından sol taraftaki matris birim matrise indirgenene kadar satır işlemleri uygulayacağız.
Matrisin tersi ( A ), sağ taraftaki ( 2 imes 2 ) matrisidir.
Uygulamamız için algoritmayı dört ayrı bölüme ayırdık:
- Matrisimizin sağ tarafına bir birim matris eklemek.
- Sayıların bilgisayarda saklanma biçiminin olumsuz bir yan etkisi olan yuvarlama hatalarını azaltmak için kısmi döndürme.
- Matrisimizi köşegen bir matrise indirgemek için satır işlemleri yapmak.
- Köşegen matrisin birim matrise indirgenmesi.
Gauss-Jordan inversiyon yöntemini matris sınıfımızın bir üyesi yaparız ve çıktı matrisini referans olarak iletir ve döndürür, bu şekilde işlev çağrısı sırasında matris nesneleri oluşturmaktan ve kopyalamaktan kaçınırız.
Gauss-Jordan yönteminin avantajlarından biri, diğer yöntemlere kıyasla daha az aritmetik işlem içermesidir. Dezavantajı ise oldukça fazla if deyimi ve açılamayan döngüler içermesidir. Bu nedenle büyük matrisler veya kullanılabilecek bir yapıya sahip matrisler ile çalışılırken bu yöntem tercih edilir.
Tam Yinelemeli Ters Çevirme Yöntemi II'nin Matematiksel Analizi
Özdeş izotropik moleküllerden oluşan bir gaz, yalnızca ayrılma mesafelerine bağlı olan parçacık çiftleri arasında potansiyel bir etkileşim enerjisine sahiptir. Çift potansiyeli, bir gaz için virial durum denkleminin virial katsayılarında kodlanmıştır. Tam yinelemeli ters çevirme yöntemi (CIIM), ardışık yaklaşımlar yoluyla ikinci virial katsayıdan çift potansiyelini geri kazanma girişiminde kullanılan bir algoritmadır. Daha önceki bir araştırmada, CIIM'in örtük varsayımlarının geçerli olduğu çok genel bir "kabul edilebilir" çift potansiyeli sınıfını tanımlamıştık: uygun olmayan integraller yakınsar, türevler vardır, vb. Ayrıca, CIIM'in çift potansiyelini geri kazanamayacağını gösterdik hedef potansiyel ve ilk tahmin sonsuz derecede türevlenebilir. Analitik çift potansiyelleri için, ikinci virial katsayının potansiyeli benzersiz bir şekilde belirlediği bilinmektedir. Mevcut çalışma, CIIM'in söylem evreni içinde kabul edilebilir analitik potansiyeller için bu benzersiz sonucu doğrulamaya uygun matematiksel çerçevenin geliştirilmesinde önemli ilerlemeyi temsil etmektedir. Özellikle, CIIM yakınsama sorusunu, kabul edilebilir analitik potansiyellerin yerel metrik uzayında klasik bir sabit nokta problemi olarak formüle ediyoruz. Diğer bir sonuç, CIIM operatörünün "normal" analitik potansiyellerin bir alt uzayı üzerinde bir kendi kendine harita olmasını garanti etmeye yeterli bir dizi basit, doğal koşul sergiler.
Ters dönüşüm örneklemesi
Ters dönüşüm örneklemesi (Ayrıca şöyle bilinir ters örnekleme, NS ters olasılık integral dönüşümü, NS ters dönüşüm yöntemi, Smirnov dönüşümü, ya da altın kural [1] ) sözde rastgele sayı örneklemesi için temel bir yöntemdir, yani kümülatif dağılım fonksiyonu verilen herhangi bir olasılık dağılımından rastgele örnek sayıları üretmek için.
|sen||F − 1 ( u ) |
|.5||0|
|.975||1.95996|
|.995||2.5758|
|.999999||4.75342|
|1-2 -52||8.12589|
Eğrinin altındaki alanın bir oranını rastgele seçiyoruz ve alandaki sayıyı, alanın tam olarak bu oranı o sayının solunda olacak şekilde döndürüyoruz. Sezgisel olarak, kuyrukların uzak ucundan bir sayı seçmemiz olası değildir çünkü kuyruklarda sıfıra veya bire çok yakın bir sayı seçmeyi gerektirecek çok az alan vardır.
Hesaplamalı olarak, bu yöntem dağılımın nicel fonksiyonunun hesaplanmasını içerir - başka bir deyişle, dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplamayı (bölgedeki bir sayıyı 0 ile 1 arasında bir olasılığa eşler) ve ardından bu fonksiyonu tersine çevirmeyi içerir. Bu, bu yöntemin adlarının çoğunda "ters" veya "inversiyon" teriminin kaynağıdır. Ayrık bir dağıtım için, CDF'yi hesaplamanın genel olarak çok zor olmadığını unutmayın: dağılımın çeşitli noktaları için bireysel olasılıkları basitçe toplarız. Ancak sürekli bir dağılım için, çoğu dağılım için (normal dağılım dahil) analitik olarak yapılması imkansız olan dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) entegre etmemiz gerekir. Sonuç olarak, bu yöntem birçok dağıtım için hesaplama açısından verimsiz olabilir ve diğer yöntemler tercih edilir, ancak reddetme örneklemesine dayalı olanlar gibi daha genel olarak uygulanabilir örnekleyiciler oluşturmak için yararlı bir yöntemdir.
Python3
- Karmaşıklık Analizi:
- Zaman Karmaşıklığı: O(n^2), Diziyi baştan sona dolaşmak için iki iç içe döngü gereklidir, bu nedenle Zaman karmaşıklığı O(n^2)
- Uzay karmaşıklık:O(1), Fazladan boşluk gerekmez.
- Yaklaşmak:
Dizinin sol yarısındaki ve sağ yarısındaki (inv1 ve inv2 olsun) inversiyonların sayısını varsayalım, Inv1 + Inv2'de ne tür inversiyonlar hesaba katılmaz? Cevap, – birleştirme adımı sırasında sayılması gereken inversiyonlardır. Bu nedenle, toplam ters çevirme sayısını elde etmek için eklenmesi gereken, sol alt dizi, sağ alt dizi ve birleştirme() içindeki ters çevirme sayısıdır.
- Nasıl alınır NS birleştirmede () inversiyon sayısı?
Birleştirme işleminde, sol alt diziyi indekslemek için i ve sağ alt dizi için j kullanalım. merge()'deki herhangi bir adımda, eğer a[i], a[j]'den büyükse, o zaman (orta – i) inversiyonlar vardır. çünkü sol ve sağ alt diziler sıralanır, bu nedenle sol alt dizideki kalan tüm öğeler (a[i+1], a[i+2] … a[mid]) a[j] öğesinden büyük olacaktır.
- algoritma:
- Fikir, birleştirme sıralamaya benzer, temel duruma ulaşılana kadar her adımda diziyi iki eşit veya neredeyse eşit yarıya bölün.
- Dizinin iki yarısı birleştirildiğinde ters çevirme sayısını sayan bir işlev birleştirme oluşturun, iki i ve j indeksi oluşturun, i ilk yarının indeksi ve j ikinci yarının indeksidir. a[i], a[j]'den büyükse, (orta - i) ters çevirmeler vardır. sol ve sağ alt diziler sıralandığından, sol alt dizideki (a[i+1], a[i+2] … a[mid]) kalan tüm öğeler a[j]'den büyük olacaktır.
- Diziyi yarıya bölmek için özyinelemeli bir işlev oluşturun ve ilk yarıdaki ters çevirme sayısını, ikinci yarıdaki ters çevirme sayısını ve ikisini birleştirerek ters çevirme sayısını toplayarak cevabı bulun.
- Özyinelemenin temel durumu, verilen yarıda yalnızca bir öğe olduğu zamandır.
- Cevabı yazdır
- Uygulama:
10.4.1. Dizi Öğelerini Değiştirme¶
Sizi hayattaki tek amacı konumlardaki iki veri değerini takas etmek olan basit bir yöntemle tanıştırarak başlayacağız. m ve n belirli bir tamsayı dizisinde:
Genel olarak, bir dizideki iki değeri değiştirmek, herhangi iki tamsayıyı değiştirmekten farklı değildir. Aşağıdaki tamsayılara sahip olduğumuzu varsayalım a ve B :
Bu kod işini yaptıktan sonra değeri a 35 olur ve değeri B 25 olur.
yani içinde değişme() pozisyonlarda iki farklı dizi elemanımız varsa yukarıdaki fonksiyon m ve n , temelde her değeri bu konumlarda alıyoruz, ör. veri[m] ve veri[n] ve onlara öyleymiş gibi davranmak a ve B yukarıdaki kodda.
Şu anda yukarıdaki kodun bizim söylediğimizi yaptığını doğrulamayı yararlı bulabilirsiniz ve kendiniz görebilmeniz için onu doğrudan C# yorumlayıcısına (csharp) yazmak iyi bir yoldur.
NS değişme() işlevi, aşağıdaki şekilde tüm sıralama algoritmaları için hayati önem taşır. İki öğenin bozuk olduğu tespit edildiğinde kullanılır. Bu gerçekleştiğinde, olacaklar takas. Bu, öğenin dizideki son dinlenme yerine geldiği anlamına gelmez. Bu sadece şu an için öğelerin yeniden sıralandığı anlamına geliyor, bu nedenle sıralanmış bir diziye daha yakın olacağız.
Şimdi çeşitli sıralama algoritmalarına bir göz atalım.
Bir noktanın tersi
Aritmetikte bir sayıyı ters çevirmek genellikle onun tersini almak anlamına gelir. Geometride yakından ilişkili bir fikir, bir noktayı "tersine çevirme" fikridir. Uçakta, ters bir noktadan P ile ilgili olarak referans dairesi (Ø) merkezi olan Ö ve yarıçap r bir nokta P ' , ışının üzerinde yatarken Ö vasıtasıyla P öyle ki
buna denir daire ters çevirme veya düzlem ters çevirme. Herhangi bir noktayı alan inversiyon P (ondan başka Ö) imajına P ' da alır P ' geri P, bu nedenle aynı ters çevirmeyi iki kez uygulamanın sonucu, düzlemin dışındaki tüm noktalarda özdeşlik dönüşümüdür. Ö (kendini tersine çevirme). [1] [2] Tersine çevirmeyi bir evirme yapmak için, sonsuzda bir noktayı, tüm doğrulara yerleştirilmiş tek bir noktayı tanıtmak ve tanımı gereği, merkezi değiştirmek için ters çevirmeyi genişletmek gerekir. Ö ve bu nokta sonsuzda.
Tanımdan, referans çemberi içindeki herhangi bir noktanın tersine çevrilmesinin, bunun dışında olması gerektiği ve bunun tersi, merkez ve noktanın sonsuzda değişen konumları ile, çember üzerindeki herhangi bir nokta etkilenmezken (bunun tersi). değişmez inversiyon altında). Özetle, bir nokta merkeze ne kadar yakınsa, dönüşümü o kadar uzaktır ve bunun tersi de geçerlidir.
Pusula ve cetvel yapımı Düzenle
tersini oluşturmak için P ' bir noktadan P bir dairenin dışında Ö:
- Segmenti çizin Ö (dairenin merkezi Ö) ile P.
- İzin vermek m orta noktası olmak OP.
- daire çiz C merkezi olan m geçiyor P.
- İzin vermek n ve N ' olduğu noktalar olmak Ö ve C kesişir.
- Parça çiz NN' .
- P ' nerede OP ve NN' kesişir.
tersini oluşturmak için P bir noktadan P ' bir daire içinde Ö:
- Işın çiz r itibaren Ö (dairenin merkezi Ö) vasıtasıyla P ' .
- Çizgi çiz s vasıtasıyla P ' dik r.
- İzin vermek n noktalardan biri olmak Ö ve s kesişir.
- Segmenti çiz ÜZERİNDE.
- Çizgi çiz T vasıtasıyla n dik ÜZERİNDE.
- P ışın nerede r ve çizgi T kesişir.
Dutta'nın yapımı
Ters noktanın bir yapısı var A bir daire ile ilgili olarak P yani bağımsız olup olmadığını A içeride mi dışarıda mı P. [3]
Bir daire düşünün P merkezi olan Ö ve bir nokta A çemberin içinde veya dışında yer alan P.
- Kavşak noktasını al C ışının AE daire ile P.
- Noktayı bağlayın C keyfi bir nokta ile B daire üzerinde P (dan farklı C)
- Işını yansıt BA çizgide M.Ö ve izin ver H ışını kesen yansıma ol OK bir noktada A’. A' ters noktasıdır A daire ile ilgili olarak P. [3] : § 3.2
Özellikler Düzenle
İçinden geçen bir dairenin kırmızı daireye göre tersi Ö (mavi) geçmeyen bir çizgidir Ö (yeşil) ve tam tersi.
Bir dairenin kırmızı daireye göre tersi olumsuzluk geçiyor Ö (mavi) içinden geçmeyen bir dairedir Ö (yeşil) ve tam tersi.
Bir daireye göre ters çevirme, dairenin merkezini görüntüsünün merkezine eşlemez
Düzlemdeki bir nokta kümesinin bir daireye göre ters çevrilmesi, bu noktaların tersinin kümesidir. Aşağıdaki özellikler daire tersini kullanışlı hale getirir.
- Merkezden geçen bir daire Ö referans dairesinin, içinden geçmeyen bir çizgiye dönüşmesi Ö, ancak orijinal daireye teğete paralel Öve tam tersi, içinden geçen bir çizgi Ö kendi içine çevrilir (ancak noktasal değişmez değil). [4]
- İçinden geçmeyen bir daire Ö içinden geçmeyen bir daireye dönüşür Ö. Daire referans daireyle buluşuyorsa, bu değişmez kesişme noktaları da ters daire üzerindedir. Bir daire (veya çizgi), yalnızca kesişme noktalarında referans daireye dik olması durumunda ters çevirme ile değişmez. [5]
Ek özellikler şunları içerir:
- eğer bir daire Q daireye göre ters olan iki farklı A ve A' noktasından geçer. k, sonra daireler k ve Q ortogonaldir.
- eğer çevreler k ve Q ortogonal, daha sonra O merkezinden geçen düz bir çizgi k ve kesişen Q, bunu ters noktalarda yapar k.
- O'nun bir dairenin merkezi olduğu bir OAB üçgeni verildiğinde k, ve A ve B'ye göre A' ve B'nin tersini gösterir. k, Daha sonra
- İki çemberin kesişme noktaları P ve Q bir daireye dik k, göre terstir k.
- M ve M' bir daireye göre ters noktalar ise k iki eğri üzerinde m ve m', ayrıca km ve M' noktalarındaki m ve m' teğetleri ya MM' düz çizgisine diktir ya da bu çizgiyle MM' tabanlı bir ikizkenar üçgen oluşturur.
- Ters çevirme, açıların ölçüsünü değiştirmeden bırakır, ancak yönlendirilmiş açıların yönünü tersine çevirir. [6]
İki boyutlu örnekler
- Bir çizginin tersine çevrilmesi, tersine çevirme merkezini içeren bir dairedir veya merkezi içeriyorsa çizginin kendisidir.
- Bir dairenin ters çevrilmesi başka bir dairedir veya orijinal daire merkezi içeriyorsa bir çizgidir.
- Bir parabolün ters çevrilmesi bir kardioiddir
- Hiperbolün ters çevrilmesi, Bernoulli'nin bir göstergesidir
Uygulama Düzenleme
Tersine çevirme merkezinden geçmeyen bir daire için, ters çevrilen dairenin merkezi ve ters çevrilen görüntünün merkezi, referans dairenin merkezi ile aynı doğrultudadır. Bu gerçek, bir üçgenin temas üçgeninin Euler çizgisinin OI çizgisiyle çakıştığını kanıtlamak için kullanılabilir. Kanıt kabaca aşağıdaki gibidir:
Üçgenin çemberine göre ters çevir ABC. Temas üçgeninin orta üçgeni üçgene çevrilir ABC, orta üçgenin çevresi, yani temas üçgeninin dokuz noktalı merkezi, üçgenin merkezi ve çevresi anlamına gelir ABC doğrusaldır.
Kesişmeyen herhangi iki daire, eşmerkezli dairelere çevrilebilir. Daha sonra ters uzaklık (genellikle δ ile gösterilir), iki eşmerkezli dairenin yarıçaplarının oranının doğal logaritması olarak tanımlanır.
Ek olarak, herhangi iki kesişmeyen daire, anti-benzerlik çemberi üzerindeki bir noktada merkezlenen ters çevirme çemberi kullanılarak uyumlu çemberlere dönüştürülebilir.
Peaucellier-Lipkin bağlantısı, bir daire içinde inversiyonun mekanik bir uygulamasıdır. Doğrusal ve dairesel hareket arasında dönüştürmenin önemli sorununa kesin bir çözüm sağlar.
Kutup ve kutup Düzenle
Eğer nokta r noktanın tersi P sonra çizgiye dik çizgiler halkla ilişkiler noktalardan biri diğer noktanın (kutup) kutbudur.
Kutuplar ve kutuplar birkaç faydalı özelliğe sahiptir:
- eğer bir nokta P bir çizgide yatıyor ben, sonra direk L çizginin ben kutupta yatıyor P nokta P.
- eğer bir nokta P bir çizgi boyunca hareket eder ben, onun polar P kutup etrafında döner L çizginin ben.
- Bir kutuptan çembere iki teğet çizgi çizilebiliyorsa, kutupları her iki teğet noktasından geçer.
- Çember üzerinde bir nokta varsa, kutup bu noktadan geçen teğettir.
- eğer bir nokta P kendi kutup çizgisi üzerinde uzanır, o zaman P çember üzerindedir.
- Her satırın tam olarak bir kutbu vardır.
Üç boyutlu örnekler
Küre Düzenleme
En basit yüzey (düzlem dışında) küredir. İlk resim, iki dikey kesişen daire kalemiyle birlikte bir kürenin önemsiz olmayan bir tersine çevrilmesini (kürenin merkezi tersine çevirmenin merkezi değildir) göstermektedir.
Silindir, koni, torus Düzenle
Silindir, koni veya simitin ters çevrilmesi Dupin siklidi ile sonuçlanır.
Sferoid Düzenle
Bir sferoid bir devrim yüzeyidir ve bir kalem daire üzerine haritalanmış bir daire kalemi içerir (resme bakın). Bir sferoidin ters görüntüsü 4. derece bir yüzeydir.
Bir sayfanın hiperboloidi
Bir devrim yüzeyi olan bir tabakanın hiperboloidi, bir daire kalemi üzerine haritalanmış bir daire kalemi içerir. Bir sayfanın hiperboloidi, daire kalemleri üzerine eşlenen iki ek çizgi kalemi içerir. Resim böyle bir çizgiyi (mavi) ve bunun tersini göstermektedir.
Bir kürenin tersine çevrilmesi olarak stereografik izdüşüm
6 küre koordinatları Düzenle
6 küre koordinatları, Kartezyen koordinatların ters çevrilmesiyle elde edilen üç boyutlu uzay için bir koordinat sistemidir.
Ters geometrinin temellerini ilk düşünenlerden biri 1911 ve 1912'de Mario Pieri'ydi. [7] Edward Kasner tezini "inversiyon grubunun değişmez teorisi" üzerine yazdı. [8]
Daha yakın zamanlarda, ters geometrinin matematiksel yapısı, genelleştirilmiş dairelerin "bloklar" olarak adlandırıldığı bir geliş yapısı olarak yorumlanmıştır: Geliş geometrisinde, sonsuzluktaki tek bir nokta ile birlikte herhangi bir afin düzlem, bir Möbius düzlemi oluşturur. ters düzlem. Sonsuzdaki nokta tüm doğrulara eklenir. Bu Möbius düzlemleri aksiyomatik olarak tanımlanabilir ve hem sonlu hem de sonsuz versiyonlarda mevcuttur.
Öklid düzleminden gelen Möbius düzlemi için bir model Riemann küresidir.
Coxeter'e göre, [9] daire içinde ters çevirme ile dönüşüm, 1831'de L. I. Magnus tarafından icat edildi. O zamandan beri bu haritalama daha yüksek matematiğe giden bir yol haline geldi. Daire tersine çevirme haritasının bazı uygulama adımları sayesinde, bir dönüşüm geometrisi öğrencisi, belirli hiperbolik geometri modellerinin bir sonucu olan Felix Klein'ın Erlangen programının önemini kısa sürede takdir eder.
Dilatasyon Düzenle
Eşmerkezli dairelerde iki inversiyonun kombinasyonu, daire yarıçaplarının oranı ile karakterize edilen bir benzerlik, homotetik dönüşüm veya genişleme ile sonuçlanır.
Karşılık Düzenle
Sonuç olarak, bir birim çemberdeki inversiyonun cebirsel formu z ↦ w
ile verilir; burada:
Möbius grubunun bir jeneratörü olarak dönüşüm teorisinde karşılıklılık anahtardır. Diğer üreteçler, her ikisi de ortam 3-alanındaki fiziksel manipülasyonlar yoluyla tanıdık olan öteleme ve döndürmedir. Möbius geometrisinin, bazen ters geometri (Öklid düzleminin) ile tanımlanan kendine özgü doğasını üreten şey, karşılıklılığın (dairenin tersine çevrilmesine bağlı olarak) ortaya çıkmasıdır. Bununla birlikte, ters geometri, bir daire içindeki ham ters çevirmeyi içerdiğinden (henüz konjugasyonla, karşılıklı olarak yapılmamıştır) daha geniş bir çalışmadır. Ters geometri aynı zamanda konjugasyon haritalamasını da içerir. Ne konjugasyon ne de bir daire içinde inversiyon, uygun olmadıkları için Möbius grubunda değildir (aşağıya bakınız). Möbius grubu elemanları, tüm düzlemin analitik fonksiyonlarıdır ve bu nedenle zorunlu olarak konformaldir.
Çevreleri çevrelere dönüştürme Düzenle
Karmaşık düzlemde, a noktasının etrafındaki r
yarıçaplı çemberi düşünün.
w
nin denkleme uyduğunu göstermek kolaydır
Daha yüksek geometri
Yukarıda bahsedildiği gibi sıfır, orijin, daire ters çevirme eşlemesinde özel bir değerlendirme gerektirir. Yaklaşım, sonsuzda ∞ veya 1/0 ile gösterilen bir noktayı bitiştirmektir. Karşılık vermenin görünen işlem olduğu karmaşık sayı yaklaşımında, bu prosedür genellikle Riemann küresi olarak adlandırılan karmaşık projektif çizgiye götürür. Beltrami, Cayley ve Klein tarafından hiperbolik geometrinin erken modellerini üretmek için uygulananlar, bu uzayın alt uzayları ve alt grupları ve eşlemeler grubuydu. Böylece ters geometri, Lobachevsky ve Bolyai tarafından ortaya atılan fikirleri düzlem geometrilerinde içerir. Ayrıca, Felix Klein, geometrik fenomenleri tanımlamaya yönelik bu haritalama olanağından o kadar etkilenmişti ki, 1872'de bir manifesto olan Erlangen programını yayınladı. O zamandan beri birçok matematikçi bu terimi saklı tutuyor. geometri bir alan için, o alanın bir grup eşlemesiyle birlikte. Geometrideki şekillerin önemli özellikleri bu grup altında değişmez olanlardır.
Örneğin, Smogorzhevsky [10] Lobachevski geometrisine başlamadan önce birkaç ters geometri teoremleri geliştirmiştir.
İçinde nyarıçaplı bir kürenin olduğu boyutlu uzay r, küredeki inversiyon tarafından verilir
E'deki hiperdüzlemlerde veya hiperkürelerde ters çevirme ile dönüşüm n dilatasyonlar, ötelemeler veya rotasyonlar oluşturmak için kullanılabilir. Aslında, birbirini izleyen ters çevirmeler üretmek için kullanılan iki eşmerkezli hiperküre, hiperkürelerin merkezinde bir genişleme veya daralma ile sonuçlanır. Böyle bir eşlemeye benzerlik denir.
Ardışık yansımalar üretmek için iki paralel hiperdüzlem kullanıldığında, sonuç bir ötelemedir. İki hiperdüzlem bir ((n–2)-düz, ardışık yansımalar, ('in her noktasınınn–2)-düz, her yansımanın ve dolayısıyla kompozisyonun sabit bir noktasıdır.
Bunların hepsi konformal haritalardır ve aslında, uzayın üç veya daha fazla boyutu olduğu durumlarda, inversiyon tarafından üretilen haritalamalar sadece uyumlu haritalardır. Liouville teoremi, konformal geometrinin klasik bir teoremidir.
Uzaya sonsuzluktaki bir noktanın eklenmesi, hiperdüzlem ve hiperküre arasındaki ayrımı ortadan kaldırır yüksek boyutlu ters geometri, daha sonra varsayılan bir bağlamda sıklıkla incelenir. n-sphere temel uzay olarak. Ters geometrinin dönüşümleri genellikle Möbius dönüşümleri olarak adlandırılır. Bir nesnenin renklerinin veya bölümlemelerinin incelenmesine ters geometri uygulanmıştır. n-küre. [11]
Daire ters çevirme haritası antikonformaldir, yani her noktada açıları korur ve oryantasyonu tersine çevirir (haritaya uyum sağlarsa uyumlu denir). odaklı açılar). Cebirsel olarak, eğer Jacobian her noktada bir skaler çarpı negatif determinantlı bir ortogonal matris ise bir harita antikonformaldir: iki boyutta Jacobian bir skaler çarpı her noktada bir yansıma olmalıdır. Bunun anlamı, eğer J Jacobian, o zaman J ⋅ J T = k I
=kI> ve det ( J ) = − k . >>> Durumda Jacobian'ı hesaplamak zben = xben/|| x || 2 , nerede || x || 2 = x1 2 + . + xn 2 verir JJ T = kI , ile birlikte k = 1/|| x || 4 ve ayrıca det(J) negatiftir, dolayısıyla ters harita antikonformaldir.
Karmaşık düzlemde, en belirgin daire ters çevirme haritası (yani, orijinde merkezlenmiş birim daireyi kullanarak), karmaşık ters harita almanın karmaşık eşleniğidir. z 1'e/z. Karmaşık analitik ters harita uyumlu ve eşleniği, daire ters çevirme, antikonformaldir. Bu durumda bir homografi konformal iken bir anti-homografi antikonformaldir.
eğer pozitif bir yarıçapa sahip olacak a1 2 + . + an 2 daha büyüktür C, ve inversiyonda küreyi verir
Bu nedenle, eğer ve sadece, eğer ve sadece, ters çevirme altında değişmez olacaktır. C = 1. Ancak bu, birim küreye dik olma koşuludur. Bu nedenle, (n − 1)-denklemli küreler
ters çevirme altında değişmez, birim küreye dik ve kürenin dışında merkezleri olan. Bunlar, yarım küreleri ayıran altuzay hiperdüzlemleri ile birlikte, hiperbolik geometrinin Poincare disk modelinin hiperyüzeyleridir.
Birim küredeki ters çevirme, küreleri kendisine dik değişmez bıraktığından, ters çevirme, birim kürenin içindeki noktaları dışarıya eşler ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle bu, genel olarak ortogonal küreler için doğrudur ve özellikle birim küreye dik kürelerden birinde ters çevirme, birim küreyi kendisine eşler. Aynı zamanda, birim kürenin içini de kendi içinde, ortogonal kürenin dışındaki noktalarla eşler ve bunun tersi de, eğer bunlara birim kürenin yarım kürelerini ayıran çaplardan yansımaları da dahil edersek, Poincaré disk modelinin yansımalarını tanımlar. . Bu yansımalar, bize izometrilerin uyumlu olduğunu söyleyen modelin izometrileri grubunu oluşturur. Dolayısıyla modeldeki iki eğri arasındaki açı, hiperbolik uzaydaki iki eğri arasındaki açı ile aynıdır.
SIAM Görüntüleme Bilimleri Dergisi
Kantitatif duyarlılık haritalaması (QSM), dokudaki değişiklikleri demir taşınmasını içeren çeşitli hastalık süreçlerini gösteren manyetik duyarlılığı görselleştirebilen yeni bir tıbbi görüntüleme tekniğidir. QSM'nin ters problemi, insan vücudunun duyarlılık dağılımını, bir birim dipol tarafından üretilen manyetik alanla duyarlılık dağılımının evrişimiyle ifade edilen ölçülen yerel alandan kurtarmaktır. Ters problem, birim dipol çekirdeğinin Fourier gösteriminde bir konideki sıfırların varlığından dolayı kötü bir şekilde ortaya konmuştur. Yeniden yapılandırma yöntemleri, QSM için doku duyarlılık verilerinin daha iyi kurtarılmasını sağlamak üzere büyük ölçüde geliştirildi ve çeşitli klinik uygulamalar izlendi. Bununla birlikte, çözümlerin varlığının ve benzersizliğinin gösterimleri ve hata karakterizasyonları gibi ters problem için titiz matematiksel analizler henüz sunulmamıştır. Bu makale, yalnızca QSM için teorik bir zemin sağlamakla kalmayıp, aynı zamanda çizgilenme artefaktlarının altında yatan nedeni de sağlar.
Yöntem çok basit, bu yüzden basit kelimelerle anlatacağım. İlk olarak, örneklemek istediğiniz bazı dağıtımların kümülatif dağıtım işlevini $F_X$ alın. İşlev, girdi olarak bir miktar $x$ değeri alır ve size $X leq x$ elde etme olasılığının ne olduğunu söyler. Böyle
böyle bir fonksiyonun tersi, $F_X^<-1>$ girdi olarak $p$ alır ve $x$ döndürür. $p olduğuna dikkat edin
Videoyu izle: Ters çevirme videoları -4 (Aralık 2021).