Diferansiyel denklem - Differential equation
Bir diferansiyel denklem a, matematiksel denklem bazı ile ilgilidir fonksiyonu kendi olan türevleri . Uygulamalarda, fonksiyon, genellikle fiziksel miktarlarda temsil türevleri değişim oranlarını temsil eder, ve denklem ikisi arasında bir ilişkiyi tanımlar. Böyle ilişkiler son derece yaygın olduğundan, diferansiyel denklemler de dahil olmak üzere birçok disiplinde önemli bir rol oynamaktadır mühendisliği , fizikte , ekonomi ve biyoloji .
Gelen saf matematik , diferansiyel denklemler onların çözümlerine-denklemi tatmin fonksiyonlarının seti ile çoğunlukla endişe birkaç farklı bakış açılarından incelenir. Sadece en basit diferansiyel denklemler açık formüller tarafından çözülebilir; Bununla birlikte, belirli bir diferansiyel denklemin çözümlerinin bazı özellikleri kendi tam biçimini bulmadan belirlenebilir.
Çözümü için kendi kendine yeten bir formül mevcut değilse, çözüm sayısal bilgisayar kullanarak tahmini olarak değerlendirilebilir. Teorisi dinamik sistemler vurgu yapıyor nitel birçok ederken, diferansiyel denklemleri ile tanımlanan sistemlerin analizi sayısal yöntemler doğruluk verilen derecesiyle çözümler belirlemek için geliştirilmiştir.
içindekiler
- 1 Tarihçe
- 2 Örnek
- 3 türleri
- 4 çözümün varlığı
- 5 İlgili kavramlar
- 6 fark denklemlerine Bağlantı
- 7 Uygulamalar
- 8 Ayrıca bakınız
- 9 Kaynaklar
- 10 Ek okumalar
- 11 Dış bağlantılar
Tarihçe
Diferansiyel denklemler birinci buluşa meydana gelen hesap ile Newton ve Leibniz'i . Onun 1671 eserin Bölüm 2'de "Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum" , Isaac Newton diferansiyel denklemler üç çeşit listelenmiş:
O bu örnekleri ve sonsuz serisini kullanarak başkalarını çözer ve çözümleri olmayan benzersizliğini anlatılır.
bunun için bir sonraki yıl Leibniz basitleştirerek çözüm elde edilmiştir.
Tarihsel olarak, bu tür bir o kadar titreşen dize problemi müzik aleti ile incelenmiştir Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli ve Joseph-Louis Lagrange . 1746 yılında d'Alembert tek boyutlu keşfedilen dalga denklemini ve on yıl içinde Euler üç boyutlu dalga denklemini keşfetti.
Euler-Lagrange denklemi kendi çalışmaları ile ilgili olarak Euler ve Lagrange tarafından 1750'lerde geliştirilen Tautochrone sorun. Bu ağırlıklı partikül başlangıç noktasından bağımsız bir süre sabit bir miktar, sabit bir nokta düşecek olan bir eğrisinin belirlenmesinde bir sorundur.
1822 yılında, Fourier üzerine çalışmaları yayınlanan ısı akışı içinde la Chaleur de analytique Theorie o üzerine akıl göre olan (Heat Analitik Teorisi), soğutma Newton'un yasası , yani iki komşu moleküller arasındaki ısı akışı ile orantılı olduğu onların sıcaklıkların derece küçük bir fark. Bu kitapta yer alan onun Fourier öneriydi ısı denkleminin ısı iletken difüzyon için. Bu kısmi diferansiyel denklem şimdi matematiksel fiziğin her öğrenciye öğretilir.
Örnek
Örneğin, klasik mekanik zaman değeri değişir, bir gövdenin hareket konumu ve hızı tarafından tarif edilmektedir. Newton kanunları bu değişkenler, zamanın bir fonksiyonu olarak gövdenin bilinmeyen pozisyonu için bir diferansiyel denkleme (pozisyon, hız, ivme ve gövde üzerine etki eden çeşitli kuvvetler göz önüne alındığında) dinamik olarak ifade edilmesini sağlar.
Bazı durumlarda, (bir adlandırılan bu diferansiyel denklem hareket denklemi ) açıkça çözülebilir.
diferansiyel denklemleri kullanarak gerçek bir dünya sorunu modelleme örneği bir top sadece yerçekimi ve hava direnci göz önünde havada düşme hızı belirlenmesidir. yere doğru topun ivme yerçekimi nedeniyle ivme eksi havaya direnç nedeniyle ivme olduğunu. Yerçekimi sabit kabul edilir ve hava direnci topun hızı ile orantılıdır olarak modellenebilir. Bu, hızın bir türevi olan topun hızlanma, hızına bağlı olduğu anlamına gelir (ve hız süresi). zamanın bir fonksiyonu bir diferansiyel denklem çözme ve geçerliliğini doğrulayarak içerir olarak hızını bulma.
Türleri
Diferansiyel denklemler birkaç tipe ayrılabilir. Dışında denklemin kendisinin özelliklerini anlatan gelen, diferansiyel denklemlerin bu sınıfları bir çözüme yaklaşım seçimi bilgilendirmek yardımcı olabilir. Sıradan / Kısmi, Lineer / Doğrusal olmayan ve Homojen / Homojen olmayan: Yaygın olarak kullanılan ayrımlar denklemi olup olmadığını içerir. Bu liste ayrıntılı olmaktan uzak; belirli bağlamlarda çok yararlı olabilir diğer birçok özellikleri ve diferansiyel denklemlerin alt sınıfları vardır.
Adi diferansiyel denklemler
Bir adi diferansiyel denklem ( ODE ) bilinmeyen ihtiva eden bir denklemdir bir ya da kompleks değişken işlevini x , bunun türevleri, ve bazı belirli fonksiyonları x . Fonksiyonu bilinmeyen genel olarak temsil edilir değişken (genellikle gösterilen Y , bu nedenle,), bağlı ile x . Bu nedenle X genellikle denir bağımsız değişken denkleminin. "Terimi, sıradan " terimi, tersine kullanılan kısmi diferansiyel denkleme göre olabilir, daha fazla bir bağımsız değişkene.
Lineer diferansiyel denklemler olan diferansiyel denklemler olan lineer bilinmeyen fonksiyonun ve türevlerinin. Onların teorisi de birçok durumda, bir yönüyle de çözümlerini ifade edebilir, geliştirilen ve integral .
Genel olarak, bir diferansiyel denkleme çözeltileri ile ifade edilemez olarak kapalı form ifadesi , sayısal yöntemler genel olarak bir bilgisayar üzerinde diferansiyel denklemler çözmek için kullanılır.
Kısmi diferansiyel denklemler
Bir kısmi diferansiyel denklem ( PDE ), nedeni bilinmeyen içeren bir diferansiyel denklem olan çok değişkenli fonksiyonları ve bunların kısmi türevleri . (Bu zıttır adi diferansiyel denklem tek bir değişken fonksiyonları ve bunların türevleri ile alakalıdır.) PDE'ler ilgili bir oluşturmak için çok değişkenli fonksiyonları içeren problemleri formüle etmek için kullanılır, ve her iki kapalı olarak çözülür veya kullanılan bilgisayar modeli .
PDE'ler gibi doğada bir olay çok çeşitli açıklamak için kullanılabilir ses , ısı , elektrostatik , elektrodinamik , akışkan akışı , elastikiyet veya kuantum mekaniği . Bu görünüşte farklı fiziksel fenomenler PDE'lerinin bakımından benzer resmiyet edilebilir. Sıradan diferansiyel denklemler genellikle tek boyutlu modeli gibi dinamik sistemleri , kısmi diferansiyel denklemler genellikle modellemek çok boyutlu sistemler . PDE'ler kendi genelleme bulmak stokastik kısmi diferansiyel denklemler .
Lineer olmayan diferansiyel denklemler
Lineer olmayan diferansiyel denklemler tarafından oluşturulan bilinmeyen fonksiyonun ürünleri ve türevlerinin izin verilir ve bunun derecesi > 1. tam doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin çok az yöntem vardır; tipik olarak bilinen olanlar, özellikle sahip olan denklem bağlıdır simetrileri . Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler uzatılmış zaman aralıkları boyunca çok karmaşık davranış, karakteristik sergileyebilir kaos . Varoluş, teklik ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemler için başlangıç ve sınır değer problemlerinin iyi posedness için çözümlerin uzatılabilirlik bile temel sorular sert problemlerdir ve özel durumlarda kendi çözünürlük matematiksel önemli bir ilerleme olarak kabul edilir teori (bakınız, Navier Stokes varlığı ve düzgünlük ). Diferansiyel denklem anlamlı bir fiziksel işlemin doğru bir şekilde formüle edilmiş bir temsilidir, ancak, daha sonra bir bir çözüm bekler.
Lineer diferansiyel denklemler sık olarak görünür yaklaşımlar doğrusal olmayan denklemlerine. Bu yaklaşımlar kısıtlı koşullarda geçerlidir. Örneğin, harmonik osilatör denklemi küçük genlikli salınımları (aşağıya bakınız) için geçerlidir doğrusal olmayan sarkaç denkleme bir tahmindir.
Denklem siparişi
Diferansiyel denklemler terimi ile belirlenmiş sırayla, tarafından tarif edilmektedir , en yüksek türevleri . Sadece birinci türevlerini içeren bir denklem a, birinci dereceden diferansiyel denklem ihtiva eden bir denklem, ikinci türevi a, ikinci dereceden diferansiyel denklemler , vb. Doğal olayları tanımlamak diferansiyel denklemler hemen hemen her zaman onları tek birinci ve ikinci dereceden türevleri vardır, ancak bu gibi bazı istisnalar vardır ince film denklem , bir dördüncü kuvvet kısmi diferansiyel denklem olan,.
Örnekler
Örneklerin İlk grupta, u bilinmeyen bir fonksiyonu olan , x , ve C ve ω bilinen gerekiyordu sabitlerdir. Olağan ve kısmi diferansiyel denklem iki geniş sınıflandırmalar arasında ayrım oluşur doğrusal ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemler arasında ve homojen bir diferansiyel denklemler ve homojen olmayan olanlar.
- Homojen olmayan birinci mertebeden sabit katsayılı adi diferansiyel denklem:
- Homojen ikinci dereceden doğrusal adi diferansiyel denklem:
- Açıklayan Homojen İkinci mertebeden sabit katsayılı adi diferansiyel denklem harmonik osilatör :
- Homojen olmayan birinci mertebeden doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem:
- Bir hareketini tarif adi diferansiyel denklem (nedeniyle sinüs fonksiyonu) İkinci dereceden doğrusal olmayan sarkacın uzunluğu L :
Örneklerin sonraki grup ise, fonksiyonu bilinmeyen u iki değişken bağlıdır x ve t ve x ve y .
- Homojen birinci mertebe kısmi diferansiyel denklem:
- Eliptik tip homojen ikinci dereceden lineer sabit katsayısı kısmi diferansiyel denklem, Laplace denklemi :
- Homojen üçüncü dereceden lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler
Çözeltilerin varlığı
Diferansiyel denklemleri çözmek değil çözme gibi cebirsel denklemler . Sadece onların çözümler genellikle belirsiz ama çözüm hiç benzersizdir veya mevcut olmadığını da ilgi dikkate değer konulardır.
Birinci dereceden başlangıç değer problemler için, Peano varlığı teoremi bir çözelti içinde bulunduğu durumlarda bir set sağlar. Herhangi bir nokta verilen xy düzleminde bir dikdörtgen bölge tanımlayan , bu şekilde ve iç olup . Biz diferansiyel denklem verildiyse ve bu durumun , daha sonra lokal olarak eğer bu soruna bir çözüm yoktur ve her iki süreklidir . Bu çözüm merkeziydi bazı aralıklarla üzerinde var . Solüsyon benzersiz olmayabilir. (Bkz Adi diferansiyel denklem diğer sonuçlar için).
Ancak, bu yalnızca birinci dereceden ilk değer problemleri ile bize yardımcı olur. Biz n'inci bir lineer başlangıç değeri sorun varsayalım:
öyle ki
Sıfır olmayan herhangi bir için , eğer, ve içeren bir aralıkta sürekli olan , eşsizdir ve mevcut.
Ilgili kavramlar
- Bir gecikme diferansiyel denklem (DDE), genellikle adı verilen tek bir değişkenin bir fonksiyonu için bir denklemdir zaman belirli bir zamanda fonksiyonun türevi erken bir zamanda fonksiyon değerleri cinsinden verildiği.
- Bir stokastik diferansiyel denklem (SDE) bilinmeyen bir miktar a, ki burada bir denklemdir stokastik işlemi ve denklem örneğin bazı bilinen stokastik işlemleri kapsamaktadır, Wiener süreci difüzyon denklem durumunda.
- Bir diferansiyel cebirsel denklem (DAE) kapalı formda verilen diferansiyel ve cebirsel koşullar içeren bir diferansiyel denklem vardır.
Fark denklemlerine Bağlantı
Diferansiyel denklemlerin teorisi yakından teorisine ilgilidir fark denklemleri koordinatlar sadece ayrık değerleri farz ettiği, ve ilişki yakındaki koordinatlarda bilinmeyen fonksiyonun değerleri veya işlevlerini ve değerlerini içerir. Birçok yöntem diferansiyel denklemlerinin sayısal çözümler hesaplamak ya da diferansiyel denklem özellikleri, bir karşılık gelen fark denklemi çözeltisi, bir diferansiyel denklem çözeltisi yaklaşımı içeren çalışma.
Uygulamalar
Diferansiyel denklemlerin çalışma geniş bir alandır saf ve uygulamalı matematik , fizikte ve mühendislik . Bu disiplinlerin tamamı çeşitli diferansiyel denklemlerin özellikleri ile ilgili bulunmaktadır. Uygulamalı matematik çözümleri yaklaştırmak için yöntemlerin titiz gerekçe vurgular iken Saf matematik, varlığı ve çözümlerinin tekliği odaklanır. Diferansiyel denklemler nöronlar arasındaki etkileşimler, tasarım köprü, göksel hareket dan, modelleme hemen hemen her fiziksel, teknik veya biyolojik süreci önemli bir rol oynamaktadır. Böyle gerçek yaşam sorunları çözmek için kullanılanlar gibi Diferansiyel denklemler mutlaka yok yani doğrudan çözülebilir olmayabilir Kapalı form çözümleri. Bunun yerine, solüsyon kullanılarak yaklaşık edilebilir sayısal yöntemleri .
Birçok temel yasaları fiziği ve kimyası diferansiyel denklemler olarak formüle edilebilir. Gelen biyoloji ve ekonomi , diferansiyel denklemler için kullanılır modellemek karmaşık sistemlerin davranışını. Denklemler kökenli olduğu yere diferansiyel denklemlerin matematiksel teorisi ilk bilimleri ile birlikte geliştirilmiş ve sonuçları uygulamayı nerede bulduğunu. Ancak, çeşitli problemler bazen oldukça farklı bilimsel alanlarda menşeli, aynı diferansiyel denklemler neden olabilir. Bu durumla karşılaşıldığında, denklem arkasında matematiksel teori çeşitli fenomenlerin arkasında birleştirici bir ilke olarak görülebilir. Ve bir su birikintisi yüzeyinde dalgalar, bir örnek olarak, ışık yayılımını dikkate ve atmosferde geliyor. Bunların tümü aynı ikinci dereceden ile tanımlanabilir kısmi diferansiyel denklem , dalga denkleminin kadar su içinde bilinen dalgalar gibi, bize ışık düşünmek ve dalgaların formları olarak çalmasını sağlar. Isı iletimi, teorisi tarafından geliştirilen Joseph Fourier , başka ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemi, tarafından yönetilir ısı denklemi . Bu çıkıyor birçok difüzyon süreçleri, görünüşte farklı, aynı denklem ile tarif ederken; Black-Scholes finans denklemi, örneğin, ısı denklemi ile ilgilidir.
Fizik
- Euler-Lagrange denklemi klasik mekaniği
- Hamilton denklemleri klasik mekaniğin
- Radyoaktif bozunma içinde nükleer fizik
- Newton'un soğutma kanunu içinde termodinamiğin
- dalga denklemi
- Isı denklemi Termodinamikte
- Laplace denklemi tanımlar, harmonik fonksiyonlar
- Poisson denklemi
- jeodezik denklemi
- Navier-Stokes denklemlerinin içinde akışkan dinamikleri
- Difüzyon denklemi olarak stokastik işlemler
- Konveksiyon-difüzyon denklemi akışkan dinamiği
- Cauchy- Riemann denklemleri olarak kompleks analiz
- Poisson Boltzmann denklemi olarak moleküler dinamik
- Sığ su denklemleri
- Evrensel diferansiyel denklem
- Lorenz denklemleri olan çözümler kaotik akışını sergiler.
Klasik mekanik
Bu yüzden, uzun bir parçacık üzerine etki eden kuvvet bilindiği gibi, Newton'un ikinci kanunu bir parçacığın hareketini tanımlamak için yeterlidir. Bir parçacık üzerine etki eden kuvvet, her bağımsız ilişkiler mevcut olduğunda, bunlar bir elde etmek için Newton'ın ikinci yasasının içine sübstitüe edilmiş olabilir , sıradan diferansiyel denklem denir, hareket denklemini .
Elektrodinamik
Maxwell denklemleri kümesidir kısmi diferansiyel denklemler ile birlikte, Lorentz kuvveti yasasının temelini oluşturan klasik elektrodinamik , klasik optik ve elektrik devreleri . Sırayla Bu alanlar, modern elektrik ve iletişim teknolojileri temelini oluştururlar. Maxwell denklemleri nasıl tarif elektrik ve manyetik alanlar oluşturulur ve birbirlerine göre ve değiºtirilen ücretler ve akımlar . Onlar İskoç fizikçi ve matematikçi adını taşır James Clerk Maxwell 1861 ve 1862 arasında bu denklemlerin bir erken formunu yayınladı.
Genel görelilik
Einstein alan denklemleri (Efe, aynı zamanda "Einstein denklemlerinin" olarak da bilinir), on bir dizi olan kısmi diferansiyel denklemler içinde Einstein 'in genel görelilik teorisi tarif temel etkileşim içinde yerçekimi sonucunda uzay- olan kavisli göre madde ve enerji . Öncelikle bir şekilde 1915 yılında Einstein tarafından yayımlanan tensör denklemi , EFE yerel uzay-zaman eşit eğrilik (tarafından ifade Einstein tensörü yerel enerji ve birlikte) ivme (tarafından ifade bu uzay-içinde stres enerji tensörü ).
Kuantum mekaniği
Kuantum mekaniği olarak, Newton kanun analogudur Schrödinger denklemi (kısmi diferansiyel denklem) (genellikle atomları moleküller ve atom altı parçacıkların bağlanmış, serbest ya da lokalize olsun) bir kuantum sistemi. Bu basit bir cebirsel denklemler değil, genel olarak içinde lineer kısmi diferansiyel denklem , sistemin zaman-değişimini tanımlayan dalga fonksiyonunun (aynı zamanda bir "durum fonksiyonu" olarak adlandırılır).
Biyoloji
- Verhulst denklemi - Biyolojik nüfus artışı
- Von Bertalanffy modeli - Biyolojik bireysel büyüme
- Çoğaltıcı dinamikleri - teorik biyoloji bulundu
- Hodgkin-Huxley modeli - nöral aksiyon potansiyelleri
Av-avcı denklemleri
Lotka-Volterra denklemleri da avcı-av denklemleri olarak bilinen, birinci dereceden, bir çift olan , doğrusal olmayan diferansiyel denklemler sık açıklamak için kullanılan popülasyon dinamikleri etkileşim iki türün bir yırtıcı olarak bir ve diğer Av.
Kimya
Hız yasası veya hızı denklem bir için kimyasal reaksiyonun bağlayan bir diferansiyel denklem olan reaksiyon hızı konsantrasyonlarına veya reaktanların basıncı ve sabit parametrelerin (normal oran katsayılarının ve kısmi ile reaksiyon derecelerinin ). Biri ile reaksiyon hızını birleştiren bir sistem için hız eşitliğini belirlemek için kütle dengesi sistemi. Buna ek olarak, diferansiyel denklemler bir dizi çalışmada mevcut termodinamik ve kuantum mekaniği .
ekonomi bilimi
- Anahtar denklem Solow-Swan modeli olan
- Black-Scholes denklemi
- Malthus büyüme modeli
- Vidale-Wolfe reklam modeli
Ayrıca bakınız
- Kompleks diferansiyel denklem
- Tam diferansiyel denklemi
- Fonksiyonel diferansiyel denklem
- Başlangıç koşulu
- İntegral denklemler
- diferansiyel denklemlerin çözümü için sayısal yöntemler
- Picard-Lindelöf teoremi varlığına ve çözümleri tekliği
- Nüks ilişki aynı zamanda "fark denklemi olarak bilinen,
- Özet diferansiyel denklem
Referanslar
daha fazla okuma
- Abbott, P .; Neill, H. (2003). Kendinizi Matematik Öğretmek . s. 266-277.
- Blanchard, P .; Devaney RL ; Hall, GR (2006). Diferansiyel denklemler . Thompson.
- Coddington EA; Levinson, N. (1955). Adi Diferansiyel Denklemler Teorisi . McGraw-Hill.
- Ince, EL (1956). Adi Diferansiyel Denklemler . Dover.
- Johnson ,, W. (1913). Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemler Üzerine Bir İnceleme . John Wiley and Sons.In Michigan Tarihsel Matematik Toplama Üniversitesi
- Polyanin, AD; Zaitsev, VF (2003). Adi Diferansiyel Denklemler için Tam Çözümleri El Kitabı (2. baskı.). Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2 .
- Porter, RI (1978). "XIX Diferansiyel Denklemler". Bundan başka Element Analizi .
- Teschl Gerald (2012). Adi Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler . Providence : Amerikan Matematik Derneği . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
- Zwillinger, D. (1997). Diferansiyel Denklem El Kitabı (3rd ed.). Boston: Academic Press.
|Wikiquote'nin ilgili alıntılar vardır: Diferansiyel denklem|
|: Vikikitap'ın konusunda bir kitabı var Adi Diferansiyel Denklemler|
|Vikiversite hakkında bilgi kaynağı vardır Diferansiyel denklemler|
|Vikikaynak metnini sahiptir 1911 Britannica Ansiklopedisi makale Denklemin .|
- İlgili medya için denklemler Diferansiyel Wikimedia Commons
- Diferansiyel denklemler üzerinde Dersler MİT açık ders Videolar
- Çevrimiçi Notları / Diferansiyel Denklemler Paul Dawkins, Lamar Üniversitesi
- Diferansiyel denklemler , SOS Matematik
- Diferansiyel üzerinden modelleme giriş denklemlerinin kritik açıklamalar ile, diferansiyel denklemler vasıtasıyla modellenmesi Giriş.
- Web üzerinde Matematik Yardımcısı kullanarak Sembolik ODE aracı Maxima
- Adi Diferansiyel Denklemlerin Tam Çözümleri
- Fiziksel sistemlerinin ODE ve DAE modellerinin Koleksiyon MATLAB modelleri
- Diffy Qs ilgili notlar: Diferansiyel Denklemler Mühendisler İçin Jiri Lebi tarafından diferansiyel denklemler üzerinde bir giriş ders kitabı UIUC
- Diferansiyel üzerinde Khan Academy video oynatma listesi denklemlerini diferansiyel denklemler bir ilk yıl ders aşağıdaki konularla.
- diferansiyel denklemler üzerinde MathDiscuss video oynatma listesi