Restoran işletmecisi Clinton Pugh ve dansçı Deborah Pugh'ın kızı olan oyuncu, çocukluğunun bir kısmını Güney İspanya'da geçirdi. Pugh'un 1992 doğumlu abisi Toby Sebastian da oyuncu ve şarkıcı olarak eğlence sektöründe yer aldı. Ayrıca Arabella ve Rafaela adlarında 2 kız kardeşi vardır. Küçük yaşlarda oyunculuk ve aksan kullanımındaki yeteneğini gösteren Pugh, Wychwood School ve St. Edward's School, Oxford'da tiyatro çalışmaları yaptı. 2014'te ilk sinema filminde, başrolünü bir diğer genç yıldız adayı Maisie Williams ile paylaştığı The Falling'de performansıyla dikkat çekti. 2017 yapımı Lady Macbeth'teki oyunculuğuyla büyük ses getiren Pugh, Yılın Yükselen Yıldızı dalında BAFTA'ya aday gösterildi. Ayrıca Yolcu (The Commuter) filminde Liam Neeson ve Vera Fermiga ile çalıştı.