Karekök Üçün İrrasyonel İspatı
Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:
Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.
İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.
Şimdi karekök üçün irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. Bunu yaparken karekök üçün neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız: Kök üçün, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b’nin aralarında 1’den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).
Kök üç = a/b (1)
Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;
3(b^2)=(a^2) (2)
Denklem iki’nin sağlanabilmesi için a ve b’nin her ikisinin de ya çift ya da tek sayı olması gereklidir. Ancak a ve b aralarında asal olduğu için ikisinind e çift olma ihtimali yoktur. Dolayısıyla Denklem 2’nin sağlanabilmesi için a ve b’nin tek olması gereklidir. Şimdi a ve b’yi tek sayı olarak farklı bir şekilde ifade edelim:
a= 2m+1 (3)
b= 2n+1 (4)
Denklem üç ve dördü, denklem ikinin içerisine koyarsak:
12n^2+12n+3 = 4m^2+4m+1 (5)
Denklem 5’i aşağıdaki şekle sadeleştirirsek:
6n^2+6n+1 = 2(m^2+m) (6)
Denklem 6’daki eşitliğin sağ tarafı çift sol tarafı tek olduğu için değerler birbiriyle eşitlenemeyecek, dolayısıyla Denklem 6 geçersiz olacaktır. Dolayısıyla karekök 3’ü sağlayabilen herhangi bir rasyonel a/b sayısı bulunamayacaktır.
Karekök beşin neden irrasyonel olduğunun ispatını buradan bulabilirsiniz.
Karekök Üçün İrrasyonel İspatı