Petcombs, bazı banyo zeminleri ve sanatçı M.C. Escher'ın ortak bir yanı var: onlar herhangi bir çakışma veya boşluk olmadan aynı şeklin tekrarlanan kalıplarından oluşuyor. Bu tarz bir desene fayans veya mozaikleme denir.
Drexel Üniversitesi'ne göre "tessellate" kelimesi, kareli veya mozaik şeklinde küçük kareler oluşturmak veya düzenlemek anlamına gelir. Yunanca geliyor tesseres"Dört" anlamına gelir. İlk döşemeler kare karolardan yapılmıştır. Bir sanat formu olarak, mozaikleme geometri, topoloji ve grup teorisi ile bağları olan matematik açısından özellikle zengindir. İrlandalı ve Arapça'dan Hint ve Çin'e uzanan kültürler, çeşitli karmaşıklık seviyelerinde fayans uygulamaktadır. Doğada bulduğumuz çok çeşitli tessellations'ı, fonksiyonel tasarımı ve sanatı keşfedelim.
Matematiksel terimlerle, "düzenli", tüm eşit kenarlara ve eşit açılara sahip olan herhangi bir şekli tanımlar. Düzenli tessellations oluşturan üç düzenli şekil vardır: eşkenar üçgen, kare ve normal altıgen. Örneğin bal peteğinin yuva yapısında bir petek şeklinde düzenli bir altıgen kullanılır.
Yarı düzenli tessellations, birden fazla çeşit düzenli poligondan yapılmıştır. Her köşeyi çevreleyen aynı şekillerin sınırı içinde (köşelerin birleştiği noktalar), bu tür sekiz damar vardır. Her bir yarı düzenli tessellasyon, her bir tepe noktasını çevreleyen şekillerin kenar sayısı için adlandırılır. Örneğin, aşağıdaki ilk döşeme için, her köşe bir üçgenin (3 kenar), bir altıgen (6), bir başka üçgenden (3) ve bir başka altıgenden (6) oluşur, yani 22.214.171.124 olarak adlandırılır. Bazen bu tessellations, üçüncü yüzyıl B.C. onuruna "Arşimed" olarak tanımlanır. Yunan matematikçi.
"Mono" "bir" ve "-hedral" "şekil" anlamına gelir; böylece monohedral tessellasyonlar sadece bir şekilden oluşur, ancak şekil döndürülebilir veya çevrilebilir. Matematik dilinde, böyle bir modeldeki şekiller uyumlu olarak tarif edilir. Her üçgenin (üç-taraflı şekil) ve her dörtgen (dört-taraflı şekil) en az bir yolla mozaikleme kabiliyetine sahiptir, ancak bir kaç tanesi birden fazla şekilde tessellate olabilir. Aşağıda birkaç örnek gösterilmiştir:
Wolfram Research'ün MathWorld'den matematikçi Eric W. Weisstein'a göre, pentagonlar için, şu anda bilinen 14 şekil sınıfları vardır ve bu da altıgenler için üçtür. Daha fazla sınıf olup olmadığı, çözülmemiş bir matematik problemi olarak kalmaktadır. Yedi ya da daha fazla tarafa sahip şekillere gelince, bu tür poligonlar 180 dereceden daha büyük bir açıya sahip olmadıkça tessellate olmazlar. Böyle bir çokgen içbükey olarak tanımlanmıştır, çünkü bir girintiye sahiptir.
Pentagonal tessellations birkaç örnek aşağıda gösterilmiştir. Wolfram Gösteri Projesi'nde 14 adet beşgen tessellation sınıfı üretilebilir.
Bu geometrik damarların çoğunun içinden geçen daha derin bir bağlantı var. Birçoğu birbirinin "ikili" si. "Tilings and Patterns" (Freeman, 1987) adlı yazarın yazarı Branko Grünbaum'a göre, her iki şeklin merkezinde bir nokta çizerek, her bir noktayı komşu şeklinin noktalarının her birine bağlayın ve orijinal kalıbı silin.. Aşağıda bazı mozaikler ve onların ikili örnekleri verilmiştir:
Monohedral tessellations değiştirilerek eşsiz bir sanat formu etkinleştirilmiştir. Bunun en ünlü uygulayıcısı 20inci-yıllık sanatçı M.C. Escher. Escher, 1937'de Endüstri ve Uygulamalı Matematik Derneği (SIAM) için bir kitap eleştirmeni olan Escher'e göre, 11 yaşındaki kardeşiyle birlikte kardeş kardeşi ile paylaştı.inci- ve 12inciİber Yarımadası'nın -üçlü İslam sanat eserleri. Kardeşi, George Pólya'nın 1924 tarihli bir bilimsel yazısına yöneldi. Bu, bir modelin çeşitli simetrileriyle kategorize edilebildiği 17 yolu gösterdi. Bu, hayvanların, insanların ve bitkilerin derinlemesine birbirine karışan tessellation'larını keşfetmeye başlayan Escher'i daha da etkiledi.
Escher'e göre, “Kristallograflar… bir düzlemi düzenli bir şekilde bölen yolun ne kadar ve ne kadar olduğunu belirlediler… Bunu yaparken, geniş bir alana açılan kapıyı açtılar, fakat bu alana kendileri girmediler. onların doğası gereği, kapının açıldığı yolun arkasında bulunan bahçeye göre daha fazla ilgileniyorlar. "
Benzer Escher tasarımlarından esinlenen aşağıdaki "gecko" mozaikleme, altıgen bir ızgaraya dayanmaktadır. Her gecko'nun altı kişiye nasıl dokunduğuna dikkat edin.
Bütün damarlar tekrarlanmaz. Böyle bir model (eğer buna çağrılabilirse) "aperiodic" olarak tanımlanır. Aşağıda, 1974 yılında Oxford Üniversitesi'nde bu tür kalıpları yayınlayan İngiliz matematikçi fizikçi Rodger Penrose'un adından söz ettiren üç adet Penrose Çini versiyonu bulunmaktadır. Bu desenler, herhangi bir periyodik (tekrarlanan) modelde bulunmayan bir özellik olan beş kat simetri sergiler.
Ortaçağ İslam mimarisi, özellikle aperiodic tessellation bakımından zengindir. Kalıplar, Batı'da keşfedilmeden önce en az 500 yıl önce sanat ve mimarlık eserlerinde kullanıldı. Erken bir örnek, Maragha, İran'daki 1197 mezar kulesi olan Gunbad-i Qabud. ArchNet'e göre, bir çevrimiçi mimari kütüphane, dış yüzeyler "tamamen birbirine geçmeli beş köşeli pençelerin bir örüntüsü ile kaplıdır."
Beş katlı simetrik aperiodic tessellations içindeki geometriler, kristallografi alanında önemli hale gelmiştir; bu, 1980'lerden beri, quasicrystals çalışmalarına yol açmıştır. Harvard'daki bir fizikçi olan Peter J. Lu'ya göre, metal kuasikristaller, atomik düzenlemelerinin "aperiodicity'den dolayı olağandışı yüksek termal ve elektriksel direncine" sahipler.
Bir başka ilginç aperiodic tessellations kümesi spirallerdir. İlk desen 1936 yılında Heinz Voderberg tarafından keşfedildi ve içbükey 11 taraflı poligon (solda gösterilmiştir) kullanıldı. Bir başka spiral döşeme 1985'te Michael D. Hirschhorn ve D.C. Hunt tarafından düzensiz bir beşgen (sağda gösterilmiştir) kullanılarak yayınlandı.
Ek kaynaklar