Yumurta, neden yumurta şeklindedir ya da neden balık, balık şeklindedir? Neden gezegenler ve yıldızlar bir küp ya da piramide değil de bir topa benzerler? Bal arıları, neden peteklerinde altıgen bir yapılanma izlemeyi tercih ederler? Yüzyıllar boyu bu ve benzeri soruları matematikçiler kendilerine sormuşlar ve doğanın tasarım ustalığını açıklayan bir dizi kural bulmayı ummuşlardır. İşte bu umudun peşinde koşarken karşılarına çıkar sabun baloncukları…
Sabun baloncuklarının matematikle olan serüveni, çok eski yıllarda başlar. Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdüğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afrika’da, ileride Kartaca adını alacak olan yere ulaşır. Bu bölgenin kralı, onun ve insanlarının yerleşebilmeleri için toprak satın almalarına izin verir. Fakat yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte bir toprağı…
Bunun üzerine Dido. önce “kaplamak” kelimesini en geniş anlamıyla ele alır. Yanındakilere deriyi ince şeritler halinde kestirip bunları birbirine bağlatır ve uzun bir kordon elde eder. Eğer her bir şeridin çeyrek santim incelikte kesildiğini varsayarsak, 1000 ile 2000 metre uzunluğunda bir kordon çıkardıklarını tahmin edebiliriz.
Sıra bu kordonu, en geniş alanı kaplayacak şekilde yere yaymaya gelmiştir. Verin tamamen düzgün olduğu farz edilirse, Dido’nun şu matematiksel problemle karşı karşıya olduğu söylenebilir:
Anlatılanlara göre, Dido doğru yanıtı bulmuştur. Kordonu bir çember şeklinde yere yaydırır ve 3 ile 12,5 km- arasında bir alan elde eder. Ortaçağ Avrupa’sının surlarla çevrili şehirlerine bakıldığında, kent sakinlerinin Dido’nun izinden gittiği görülebilir.
Dido doğru seçimi kısa zamanda yapmış ve eşit çevre uzunluğuna sahip düzlemsel şekiller arasında en fazla alanın daireye ait olduğunu görmüştür. Ancak matematikçiler için bu iş o kadar kolay olmaz. M.ö. 3 yy civarında Yunanlı matematikçi Zrnodoros, bu konuda ilk girişimi yapmakla beraber, kanıtı bazı açıklar içermektedir. Bu açıklar ise ancak 19. yüzyılda Alman matematikçi Weierstrass tarafından kapatılabilir.
Bıı problemin üç boyutlusu olan, verilen bir hacim için en az yüzey alanına kürenin sahip olduğu gerçeğini kanıtlamak daha zordur. İlk olarak Arşimet bu konuyu incelemiş, 1882 yılında da Alman matematikçi Hermaun Amandus Sekmen en küçük yüzey alanına kürenin sahip olduğunu kanıtlamayı başarmıştır.
Doğada da bu özelliği taşıyan şekillerle karşılaşabiliriz. Örneğin, hücreler ve yağmur damlaları küresel yüzeylere sahiptirler. Sabun baloncııklarıyla oluşturulan küreler ise, şaşırtıcı bir şekilde, matematiksel hesaplamalara mükemmele yakın cevap verebilmektedirler.
19. yüzyıl boyunca. Belçikalı fizikçi Josefih Plaleau sabun baloncuklarının yapısı ve özellikleri üzerine pek çok deney yürütmüş ve dört basit sonuca ulaşmıştır. Günümüzde Plaleau kanunları olarak adlandırılan bu dört sonuç, sabun baloncuklarının geometrik yapısını ortaya koyar.
- Bir sabun zarı (sabun köpüğünden elde edilen zar) düzgün parçalar topluluğundan oluşur.
- Her bir düzgün parçanın ortalama eğriliği (yani yüzeylerinin ortalama eğimi) sabittir.
- Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri meydana getirir ve 120 derecelik bir açıyla her bir yüzeyi böler.
- Ortaya çıkan altı eğri birbirlerine yaklaştıkları yerde bir nokta oluştururlar ve bu noktada her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derecedir).
Plateau kanunları, aslında tek bir prensibin sonucunda doğmuştur: Verilen bir hacim için en küçük yüzey alanını veren şekiller, sabun baloncuklarına benzerler.
Sabun baloncuklarının bu özelliği, daha genel bir ifadeyle dile getirilebilir: Sabun zarlarını model alan matematiksel yüzeyler, en küçük alana sahip yüzeylerdir. Matematikçilerin deyimiyle, minimal yüzeylerdir. İşte bu nedenledir ki, sabun baloncukları “minimum-maksimum” problemleri için müthiş bir malzemedir.
Han Özsöylev
Sitemize kısaltılarak eklenmiştir. Bütün haliyle incelemek için burayı kullanabilirsiniz.