Dünyamızda 8 milyar civarında insan yaşıyor. Tüm bu insanlar arasında kafasında eşit sayıda saç teli olan iki insan bulmak mümkün mü? Saçma ve imkansız bir soru olduğunu düşünseniz bile bu sorunun cevabı evettir. Üstelik bu evet cevabını vermek için karmaşık istatistik hesapları yapmanız da gerekmez. Temelinde bilmeniz gereken tek şey, kimi kaynaklarda “Dirichlet ilkesi” olarak da adlandırılan “güvercin yuvası ilkesi” olacaktır.
Güvercin yuvası ilkesinin tahmin ettiğiniz gibi güvercinler ile en ufak bir ilgisi yoktur. İlk olarak 1834’te Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) tarafından formüle edilen bu ilke aslında başlangıçta çekmeceler ile ilgili idi. İşin içine güvercinler sonradan karıştı.
Güvercin Yuvası İlkesi Nedir?
Elinizde n tane nesne ve k tane çekmece olsun. Bu nesneleri çekmecelere yerleştirmek istediğiniz zaman çekmecelerden daha fazla nesne varsa ( n > k ), o zaman birkaç nesne aynı çekmecede birlikte bulunmak zorundadır. Yani 5 tane kazağınız ve dört çekmeceli bir şifonyeriniz varsa, her çekmeceye bir kazak koyma şansınız yoktur. Mantığa tamamen uygun. Bu durumda da bunun matematik ile ne ilgisi var diyebilirsiniz. Bir matematik teoreminden çok basit bir gözleme benzeyen bu ifade ilk kez 1622’de Fransız bilim insanı Jean Leurechon tarafından bir kitapta bahsedilmişti.
Ancak bir kere daha, hiçbir bilimsel buluşa gerçek kaşifinin adının verilmediğini söyleyen Stigler yasası geçerliliğini göstermişti. ( Detayları merak ederseniz: Stigler Yasası: Bir Çok Keşif Gerçek Kaşifinin Adını Taşımaz? Bu nedenle Jean Leurechon’dan neredeyse 200 yıl sonra yaşasa bile Güvercin yuvası ilkesi genellikle Peter Gustav Lejeune Dirichlet’e atfedilmektedir.
Basitliğine rağmen, güvercin yuvası ilkesi oldukça karmaşık ilişkileri kanıtlamayı mümkün kılar. Konu hakkında bir çok örneği bu yazımızda ele almıştık. Basit Ama Etkili: Güvercin Yuvası İlkesi. Şimdi yazının başındaki sorumuza dönelim.
Dünyadaki iki kişinin kafasında tam olarak aynı sayıda saç teli olup olmadığını nasıl anlarsınız?
Bunu yapmak için öncelikle insanların sahip olabileceği maksimum saç miktarını bulmanız gerekir. Saç rengine bağlı olarak, ortalama bir kişinin kafasında 90.000 ila 150.000 saç teli bulunduğu bilinmektedir. Bu durumda hiç kimsenin bir milyondan fazla saç teline sahip olmadığını söylemek güvenlidir
Bununla birlikte, gezegenimizde yaşayan yaklaşık sekiz milyar insan var. Bu da kafalarında tamı tamına aynı sayıda saç teli bulunan insanların mutlaka olduğu anlamına da gelir. Belki sizin yan komşunuz ile kafalarınızdaki saç teli sayısı arasında bir, iki fark vardır. Ancak bir tarak darbesi ile komşunuzdaki fazladan bir kaç telin de dökülmesi ve eşit sayıda saça sahip olmanız olasıdır.
Şimdi 1 milyon odalı bir eviniz olduğunu hayal edin. ( Olası maksimum saç teli sayısı) Bu odaları 0, 1, 2, 3… biçiminde sıralandıralım. Sonrasında da herkes kafasındaki saç sayısına göre belli bir odaya girsin. Bu durumda bir odayı paylaşan minimum insan sayısı ne olacaktır? Sanırız sorunun varmaya çalıştığı yeri sezmişsinizdir.
Gezegendeki herkes eşit sayıda saç teline sahip olsaydı, sonucunda hepsi aynı odaya girerdi. Bu durumda da 999.999 oda boş kalırdı. Ancak biz bir odada bulunacak minimum insan sayısını hesaplamaya çalışıyoruz.
Bunu hesaplamak için odaları azar azar doldurmayı deneyebilirsiniz. Yani önce oda başına bir kişi, sonra iki, sonra üç, vb. kişi yerleştirerek hesaplama yapabilirsiniz. Ancak bu da oldukça zaman alacaktır. Oysa ki sekiz milyar insanı bir milyon odaya eşit olarak bölerseniz, her odada 8.000 kişi olur. Ancak er ya da geç bir kişinin kafasından bir kaç tel düşecektir ve eşitlik bozulacaktır. Bu durumda 8.000’den fazla insanı barındıran bir oda mutlaka olacaktır.
Sonuç olarak bu insanlar nasıl bölünmüş olursa olsun, herhangi bir senaryoda, bir odanın en az 8.000 kişi içerdiği anlamına gelir. Yani gezegende aynı miktarda saça sahip en az 8.000 insan var.
Güvercin Yuvası İlkesi Şaşırtıcı Sonuçlar Elde Etmemizi Sağlar
Böylece güvercin yuvası ilkesinin daha da güçlü bir versiyonunu göstermiş olduk. Eğer n nesne k kategori arasında bölünürse ve n > k ise o zaman en azından n ⁄ k nesne aynı kategoriye aittir. Yani, nesneler çekmeceler arasında eşit olarak dağıtılırsa, ortalama olarak n ⁄ k nesne aynı çekmecede son bulur. ( Eğer n ⁄ k bölümü bir tamsayı değilse, aradığımız minimum değeri bir üst sayıya yuvarlamamız gerekir)
Başka bir ilginç örnek verelim. 8,5 milyon kişinin yaşadığı bir şehirde en az 23.000 kişi aynı gün doğmuştur. Şehrin nüfusu yaklaşık 8,5 milyon ve birinin doğabileceği 366 farklı takvim günü var. Buna göre en az 8.500.000 / 366 = 23.000 kişi aynı doğum gününe sahip sonucu ortaya çıkar.
Güvercin yuvası ilkesi, görünüşte apaçık ifadelerin bile matematikte büyük bir değere sahip olduğunu gösterir. Ancak bu çok da şaşırtıcı olmamalı. Ne de olsa, matematiğin bir çok alanındaki çalışmalar, olabildiğince basit olan birkaç temel varsayıma dayanmaktadır. Sonucunda basit sistemlerin karmaşık sonuçları çıkacaktır.
Güvercin yuvası ilkesi ve kümeler hakkında bu şekilde basit düşünmek ayrıca önemlidir. Sonuçta bu fikirler cebir, kombinatorik ve küme teorisindeki diğer kavramların nasıl çalıştığı konusunda güçlü bir sezgi sağlar. Ayrıca göz atmak isterseniz: Benford Yasası: Sayılar İle Uğraşırken Karşımıza Çıkan İlginç Bir Örüntü
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The World’s Simplest Theorem Shows That 8,000 People Globally Have the Same Number of Hairs on Their Head. Yayınlanma tarihi: 20 mart 2023; bağlantı: https://www.scientificamerican.com
- Rittaud, B., Heeffer, A. The Pigeonhole Principle, Two Centuries Before Dirichlet. Math Intelligencer 36, 27–29 (2014). https://doi.org/10.1007/s00283-013-9389-1
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel