Aslen Kahramanmaraşlı olan Bozbeyli ilk ve orta öğrenimini Hatay ve Gaziantep’te yaptı. Anadolu’muzun bu yağız delikanlısı İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesi’nden mezun olup avukatlık stajını bitirdi (1957) ve genç yaşında Yassıada’da yargılanmakta olan Adnan Menderes ve arkadaşlarını savunan avukat ekibinde yer aldı.
O savunmalarda yıldızı parladı. 1961 yılında AP’ye kaydoldu ve aynı yıl yapılan seçimlerin sonucunda milletvekili olarak parlamentoya girdi.