... konulu sunumlar: "Bölüm 3: Sayısal Türev BirinciTürev: Bir f(x) fonksiyonunun [a,b] tanım aralığında bir x noktasındaki türevi, Limit ifadesiyle tanımlanır. Eğer f(x)’in."— Sunum transkripti:
1 Bölüm 3: Sayısal TürevBirinciTürev: Bir f(x) fonksiyonunun [a,b] tanım aralığında bir x noktasındaki türevi,Limit ifadesiyle tanımlanır. Eğer f(x)’in analitik ifadesi biliniyorsa, türevi içinde analitik bir ifade bulunabilir. Bu analitik türev alma işlemi bazen çok karmaşık olabilir. Sayısal türevde,f(x) fonksiyonu, eşit h aralıklarıyla sıralanmış xi noktalarında verilmiş olsun.veh : adım uzunluğuBurada xi noktasındaki türevi için sayısal hesaplamaya uygun yaklaşık bir ifade bulmak istiyoruz. Bunun için, fonksiyonun xi civarında Taylor açılımını yazalım:
2 Bu ifade h değeriyle orantılı bir katkı sağlar Bu durumda, h mertebesinde bir hata ile sayısal türev ifadesi şöyle olur.(İleri farklı 1. türev)Benzer şekilde geri fark ifadesi de hesaplanabilir: Bunun için f(xi-h)’nın Taylor açılımını yazarsak,(Geri fark 1. türevi)İleri ve geri fark türevlerinde hata payı h ile orantılıdır.
3 Şekil3.1: Birinci türev için ileriye doğru yaklaştırmanın grafiksel gösterimi.
4 Şekil3.2: Birinci türev için geriye yaklaştırmanın grafiksel gösterimi.
5 Daha iyi bir ifade bulmak için ileri ve geri Taylor açılımlarının farkını alalım: h2 ile orantılı 2.türev terimleri birbirini götürmüştür.h2 mertebesinde bir hatayla,(Simetrik farklı 1. türev)H adım uzunluğu küçüldükçe O(h2) hata payı çok daha hızlı küçülür. Bundan dolayı, simetrik türev ifadesi ileri farklı türevden daha iyi sonuç verir.
6 Şekil3.3: Birinci türev için simetrik fark yaklaştırmasını grafiksel gösterimi.
7 İkinci Türev: İkinci türev için, ileri ve geri farklı ifadeler, f(xi±h) ve f(xi±2h) noktalarındaki Taylor açılımlarından elde edilir. Benzer şekilde işlem yapılırsa;Birinci türevi yok etmek için (xi+h) etrafında açılan Taylor açılımını 2 ile çarpıp f(xi+2h)’dan çıkarırsak;(İleri farklı ikinci türev)(Geri farklı ikinci türev)Bu ifadelerden görüldüğü gibi, aynı sayıda nokta kullanıldığı halde, simetrik farklı ifadenin hata payı daha küçük olmaktadır.
8 Adım uzunluğunun etkisi: İleri, Geri ve Simetrik farklı 1 Adım uzunluğunun etkisi: İleri, Geri ve Simetrik farklı 1.türev ifadelerinde hata payı O(h) veya O(h2) ile orantılı olduğundan, büyük h değerleri seçilirse, hata büyük olacaktır. O halde yeterince küçük bir h değeri seçilmelidir.h’nın seçilme kuralı: [a,b] aralığındaki bir fonksiyon için bu aralık 1/100 veya 1/1000 kadar büyüklükte bir h değeri yeterli olur.Daha küçük h değerleri seçilirse, bu kez kesme hataları ortaya çıkar.Bu etkiyi görebilmek için, değişik h değerleri için aynı bir noktada türev ifadesinin nasıl değiştiğini inceleyebiliriz.Örneğin, f(x)=ex fonksiyonunun x=1 noktasındaki simetrik 1.türev ifadesini, h=0.1 değerinden başlayıp, adım uzunluğu her defasında 10 kez azaltarak 12 kez hesaplayınız.