Fraktal kesirler. 5 = 5, bu tamam. Ama şimdi gelin bu beşi beşli kesirlere dağıtalım. Tam olarak 25/5'e. Ve bunu 2 parçaya ayırmak istiyorum: 17/5 ve 8/5. 1/25 ve 24/5 de olabilirdi, fark etmez. Ama eğlenceli kısım şimdi başlıyor. Şimdi, bu aşağıdaki 5 rakamı diğer tüm 5 rakamları gibi olduğu için, mesela şununla aynı olduğu için bu da beşe eşit olduğu için, aşağıdaki beş yerine, daha karışık olan ama gene de her beş kadar beş olan bu ifadeyi koyalım Ve buna da yapalım ve işte elimizde daha fazla beşler var. Yani bunu tekrar tekrar yapabiliriz ve siz de tüm bu ifadeyi birine gösterip, vay canına, bu 5 demek diyebilirsiniz. Şeyleri olduklarından daha karmaşık yapmak ince bir sanattır ama bu cebirin kökenine inmek: kurallara uyulduğu sürece rakamlarla istenildiği gibi oynanması demek. İşte bir tane daha. Diyelim ki 7 kullanmak istiyorsunuz, 7/7 kullanabilirsiniz, bu da 1'e eşittir. yani 6 tane daha gerekiyor. Bunun için toplama yeter. İşte 7 eşittir 7 bölü 7 artı 6. Şimdi bu 7'lerden birini ya da diğerini değiştirebilirsiniz. Neden ikisini de değiştirmeyesiniz? 7 eşittir 7 bölü 7 artı 6 bölü 7 bölü 7 artı 6 artı 6. Şimdi hepsini baştan yazmak yerine şöyle genişletelim. İşte bu ifade de 7'ye eşittir ve aslında bunu sonsuza kadar sürdürdüğünüzde 7'ler kayboluyor denebilir. Ama zaten başta da hangi sayı olduklarının önemi yoktu, aynı oldukları sürece. Tüm bu 7'ler 3 olabilirdi, bir milyar olabilirdi, pi ya da i olabilirdi ve bu ifade gene 7'ye eşit olurdu. Pay ve payda eşit olduğu sürece bu kesir 1'e eşittir ve cebire karşı ne hisler besliyor olursanız olun her defasında 1 artı 6'nın 7'ye eşit olmasını sağlayacak mermahete sahiptir. Bu ilk kesirin fraktal yapısı bir ikili ağaç gibiydi. her katmanda bir üsttekinin iki katı kadar eleman vardır ve üstel olarak büyür. Ve bu da öyledir; ama yanlamasına.Ve yeterince harika bir şekilde burada bir ABACABADABACABA yapısıdır. Bu pek çok yerde görülen bir fraktal yapısıdır, ama bu konuya şimdi girmeyeceğim. Demek istediğim şu ki, bu en içteki katmana A derseniz, ve sonrakine B ve sonrakine C ve sonrakine D ve bunu yukarıdan aşağıya okursanız, ABACABADABACABA elde edersiniz ve fraktaliniz sonsuza dek gidiyorsa, ABACABADABACABA-EABACABADABACABA-FABACABADABACABA-EABACABADABACABA-GABACABADABACABA elde edersiniz, bu böyle sürüp gider. Neyse, aptal bir cebir öğretmeni size cebirin denklem çözmekle ilgili olduğunu söyleyebilir. Sanki hayatın amacı X'i yalnız bırakmakmış gibi. Sanki sol tarafta X gördüğünüzde ve sağda başka X'ler gördüğünüzde benliğinizin her parçası isyan çığlıkları atmalıymış gibi. Ama bu X'in yerine eşit olduğu değeri yazarsanız, ve bunu tekrar tekrar yaparsanız ve denklem her seferinde doğruysa, bu taraftaki X'ten kurtulmak için buna ne dersiniz? Ve bir kaç özel sayı ve özdeşliği akılda tutarak denklemleri daha da karışık hale getirebilirsiniz. İstediğinizi ekleyin, 0'la çarpıldığı sürece. 0'la çarpılan ifadenin ne olduğunu bilmenize bile gerek yok. Ya da tek ihtiyacınızın denklemin üst ve alt kısmını aynı yaparak 1'e eşitlemek olduğunu biliyorsanız, bu altıların altı olmasına gerek yok. 3 olabilirler ya da 8 kök 13 olabilirler. Ya da her bir katmanı farklı yapabilirsiniz: 7, 8, 9, 10, 11: Şimdi bakın ne kadar karışık. Harika! Şimdi diyelim ki bunlardan bir tanesini çözmek istediniz.. Diyelim ki bu bilmeceyle başladınız: 1/(1+1) = ? ama her bir 1, 1/(1+1)'e eşit ve bu sonsuza kadar böyle gidiyor. Bunu elde yapmayı deneyebilirsiniz, belki bir değere yakınsayacağını düşünebilirsiniz. 1/(1+1) bir yarımdır. Yani bir sonraki katmanda 1'e eklenmiş yarım olacak yani bu 1/1'e eşittir. 1'dir. Üç katman daha ve tekrar 1/2 oldu. Hay aksi. Herhangi bir sayıda katman ya 1'e ya da 1/2'ye eşit olacak. Bu neye eşit olabilir ki? Cebir kullanmayı deneyelim. Diyelim ki tüm bu ifade X'e eşit. Bakın, X'i bir tarafta yalnız bıraktınız ve diğer her şey öteki tarafta, ve bu hiçbir işe yaramıyor, hadi bakalım, matematik öğretmeni! Tamam ama tüm bu ifade X'e eşitse, şu ifade de bununla aynı olacağı için, o da X'e eşittir. Bunu 1 bölü X artı X olarak da yazabilirsiniz. Tüm bunu X yerine 1 bölü X artı X koyarak baştan yazabilirsiniz. Şimdi bu yardımsever X'leri denklemin "yanlış" tarafına attığınıza göre, denklemi çözüp, bu sayıyı yazmanın sıkıcı yolunu bulabilirsiniz, eğer bunu istiyorsanız. Son bir kesir, ama burada bir uyarım var. Diyelim bir şeyi 1'e eşitlemek istediniz. 1'i 1/2 + 1/2 olarak böldünüz. Buradaki 1'ler de aynı şekilde 1/2+1/2'ye bölünebilir. Bunu sonsuza götürürseniz ne olur? Tuhaf, çünkü herhangi bir 2 katmanına bakarsanız bunun bir değer yakınsadığını, bu değerin de her kesir için 2 olduğunu görürsünüz. Diyebilirsiniz ki sonsuza kadar her kesir 2'ye eşit olacak yani 1 = 4 müdür? Ve sadece buna bakarak, tersten düşünerek, "tüm bu değer X'e eşittir, ve bu da X'e eşittir yani bu X+X bölü 2. Deneyin de bunu çözün bakalım! Sorun şu ki bir şeyin yarısıyla o şeyin yarısının toplamı hep o şeye eşittir, X ne olursa olsun. Yani bu her şeye eşit olabilir, tanımsızdır. Ya da diyelim ki 1'lerle bir değer yaratmak istediniz, bunun gibi. Şimdi X=X+X bölü 1, ya da X=X+X. Yani kendinizi cebir kullanarak bir çelişki yarattınız, ve cebir açısından bu tanımsızdır. Ya da diyebilirsiniz ki: "Bu tanıma uyan bildiğim iki sayı var: 0 ve sonsuz... yani bu ikisinden biri olabilir, ikisi birden olabilir ya da hiçbir şey olmayabilir, bilmiyorum." Neden böyle oluyor? Belki pay bir yerlerde kayboldu ve herhangi bir şey olabilirdi. Ama ilginç bir şekilde payın sonsuz içinde kaybolduğu bu durumda gene de 5 için çözüme ulaşabiliyorsunuz, Bu, bence, cebirin en havalı kısmıdır. Ders kitaplarına konulan nizamlı küçük problemerin aksine, her problem çözülemez ve bir cevabın olup olmadığı her zaman açık değildir. Acayip şeyler hep olur ve önemlisi, cebir antika, ölü bir şey değildir. X, X'e eşittir kadar basit kavramları kullanarak, daha önce sizden önce kimsenin yapmadığı şeyler yapabilirsiniz.