2 FAKTÖRİYELolmak üzere 1 den n e kadar olan sayıların çarpımı n faktöriyel olarak tanımlanır ve ile gösterilir.olarak alınır.Tanım:Örnek:
3 SAYMANIN TEMEL İLKESİBir otomobil galerisinde R, O ve W gibi üç değişik marka otomobil vardır. Her bir markanın kırmızı (K), beyaz (B), gri (G), ve mavi (M) olmak üzere dört değişik rengi vardır. Araba satın almak için galeriye gelen b i kişinin araba seçme işlemi kaç değişik şekilde gerçekleşebilir?Örnek:Çözüm:Marka seçme işlemi 3, renk seçme işlemi 4 değişik şekilde gerçekleşir.Araba seçme işi marka ve renk seçme işlemlerini arka arkaya uygulamakla gerçekleşir.Sonuç değişik şekilde gerçekleşir.
4 Saymanın Temel İlkesiBir olay k tane işlem sonucunda gerçekleşiyor ve bu işlemler sıra ile yoldan yapılıyorsa söz konusu olay toplamdeğişik yoldan gerçekleşebilir.Tanım:A şehrinden B şehrine 2 değişik yoldan, B şehrinden C şehrine 4 değişik yoldan gidilebiliyorsa A şehrinden B ye uğrayarak C şehrine değişik yoldan gidilebilir.Örnek:A,B,C,D,E harfleri birer kez kullanılarak anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç kelime türetilebilir?Örnek:Çözüm:
5 Örnek:Bir madeni para 3 kez havaya atılırsa kaç değişik sonuç ortaya çıkabilir?Çözüm:İlk atış yazı (Y) veya tura (T) şeklinde 2 değişik biçimde gerçekleşir. İkinci ve üçüncü atışlar da 2 şer değişik şekilde gerçekleşebileceği için ortaya çıkabilecek farklı sonuç sayısı dir.Örnek:Bir madeni para 2 kez, bir zar 1 kez atılıyor. Mümkün olan sonuç sayısını bulunuz.Çözüm:Örnek:Bir sınavda her biri 4 er seçenekli 6 soru sorulmuştur. Sorular kaç değişik şekilde cevaplandırılmış olabilir?Çözüm:
6 Örnek:Bir sınavda her biri 4 er seçenekli 2 soru, 5 er seçenekli 4 soru sorulmuştur. Ortaya kaç farklı sonuç çıkabilecektir?Çözüm:Örnek:A,B,C,D,E harfleri kullanılarak ikişer harfliaraba plakaları yapılacaktır. Aynı plakada aynı harf iki kez kullanılmamak üzere kaç farklı plaka oluşturulabilir?Çözüm:Örnek:Soyadları Atak,Biçer,Ceyhun ve Demir olan dört kişi ortak bir şirket kurmuşlardır. Şirkete soyadlarının baş harflerini kullanarak bir isim vermek istiyorlar. Şirkete kaç değişik isim verilebilir?Çözüm:
7 PERMÜTASYONTanım:n tane nesneden r tanesini seçip, aynı nesne tekrarlanmamak üzere oluşturulan ve kendi aralarındaki sıra önemli olan r-li gruplara n nesnenin r-li permütasyonu denir ve ile gösterilir.Örnek:20 kişilik bir sınıfta sınıf başkanı, başkan yardımcısı, muhasip ve yazman seçilecektir. Bu dört pozisyon için kaç türlü oy pusulası yapılabilir?Çözüm:
8 Örnek:8 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk 1., 2., 3. kaç değişik şekilde oluşabilir?Çözüm:Örnek:1 den 9 a kadar olan rakamlarla aynı rakam birden çok kullanılmamak üzere kaç tane 5 basamaklı sayı yazılabilir?Çözüm:
9 Örnek:Şifreli bir kilitte üç şerit ve her şeritteki harfler farklı olmak üzere 8 er harf vardır. vardır. 3 harften oluşan bir şifre kaç türlü oluşturulabilir?Çözüm:Bir üniversite yönetimi öğrencilerin en çok şikayetçi olduğu konuları belirlemek amacıyla bir anket hazırlamıştır. Konular; okul ücretleri, kafeterya, yurtlar, öğretim üyeleri, sınıf ortamları olmak üzere beş maddede toplanmıştır. 1 en çok şikayetçi olunan konuyu 4 en az şikayetçi olunan konuyu göstermek üzere bir öğrenci bu anketi kaç değişik şekilde doldurabilir?Örnek:Çözüm:
10 KOMBİNASYONTanım:n tane nesnenin r tanesi seçilip, aynı nesne tekrarlanmamak ve bu r tane nesnenin kendi aralarında sıralanması önemli olmamak üzere r-li gruplarına n nesnenin r-li kombinasyonu denir ve ile gösterilir.Örnek:10 kişiden 4 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde kurulabilir?Çözüm:Seçilecek kişiler arsında sıralama önemli olmadığından bu bir kombinasyon problemidir.
11 Örnek:13 soruluk bir matematik sınavında öğrenciler her hangi 9 soruyu cevaplandırmak zorundadır. Bir öğrenci cevaplayacağı 9 soruyu kaç değişik şekilde seçebilir?Çözüm:Seçilecek kişiler arsında sıralama önemli olmadığından bu bir kombinasyon problemidir.
12 Örnek:20 kişilik bir sınıfta bölüm yönetim kuruluna katılmak üzere 4 sınıf temsilcisi seçilecektir. Bu seçim kaç türlü yapılabilir?Çözüm:Seçilecek kişiler arsında sıralama önemli olmadığından bu bir kombinasyon problemidir.
13 Örnek:Evet ya da hayır şeklinde cevaplandırılan 10 soruluk bir sınavda her soru 10 puandır. Bir öğrenci kaç değişik biçimde 80 ya da daha yüksek bir not alabilir.Çözüm:Örnek:10 elemanlı bir kümenin kaç tane 6 elemanlı alt kümesi vardır?Çözüm:
14 TEKRARLI PERMÜTASYONTanım:n tane nesneden tanesi birbirinin aynı tanesi birbirinin aynı … tanesi birbirinin aynı ise bu n nesnenin farklı permütasyonları sayısıdir.Örnek:SUCCESS kelimesinin harflerinin farklı permütasyonları sayısını bulunuz.Çözüm:
15 Örnek:15 kişilik bir güvenlik ekibi üç ayrı binada görevlendirilecektir. Birinci binada 6, ikinci binada 5, üçüncü binada 4 kişi görevlendirilecektir. Bu görevlendirme kaç değişik şekilde gerçekleştirebilir?Çözüm:15 kişilik bir güvenlik ekibinden 9 kişi seçilerek üç ayrı binada görevlendirilecektir. Birinci binada 3, ikinci binada 4, üçüncü binada 2 kişi görevlendirilecektir. Bu görevlendirme kaç değişik şekilde gerçekleştirebilir?Örnek:Çözüm:
16 Örnek:Sergilenebilecek 20 resmi olan bir ressam sergilenmek üzere A galerisine 4, B galerisine 4, C galerisine 3 resim gönderecektir. Resimlerin seçim işlemi kaç değişik şekilde gerçekleştirilebilir?Çözüm:Örnek:UZUNKAVAK kelimesinin harfler kullanılarak anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?Çözüm:
17 Örnek:Sergilenebilecek 20 resmi olan bir ressam sergilenmek üzere A galerisine 4, B galerisine 4, C galerisine 3 resim gönderecektir. Resimlerin seçim işlemi kaç değişik şekilde gerçekleştirilebilir?Çözüm:Örnek:UZUNKAVAK kelimesinin harfler kullanılarak anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?Çözüm:
18 Örnek:11 kişilik bir yönetim kurulunda bir öneri oylanacaktır. Çoğunluk oyu ile kabul edilecek öneri kaç değişik şekilde kabul edilebilir?Çözüm:
20 OLASILIKÖrnek Uzay:Seçenekler kümesine örnek uzay diyeceğiz.Örnek:Hatasız bir zar atıldığında gelebilecek sayılar kümesi bir örnek uzaydır.Hatasız bir zar atıldığında her bir sayının gelme olasılığı aynıdır. Zar atma işine olay ya da deney denir.Beklenen ya da uygun durumların kümesini E ile, seçenekler kümesi olan örnek uzayı S ile, olasılığı P(E) ile göstereceğiz. Buna göre
21 Örnek:Bir zar atılıyor.a) Örnek uzayı yazınız.b) 6 gelme olasılığı nedir?c) 4 ten küçük gelme olasılığı nedir?Çözüm :Örnek:İki farklı madeni para aynı anda atılıyor. Örnek uzayı ve paraların ikisinin de yazı gelme olasılığını bulunuz.Çözüm :ve
22 İki zar atılıyor.Örnek:a) Örnek uzayın eleman sayısını (seçenek sayısını) bulunuzb) (5,6) gelme olasılığı nedir?c) Sayıları toplamının 7 olması olasılığı nedir?d) Sayıları toplamının 9 dan büyük olması olasılığı nedir?Çözüm :
23 Örnek:10 kişilik bir grupta A, B ve C şahısları vardır. Bu 10 kişiden 3 kişilik bir komisyon kurulacaktır.a) A, B, C kişilerinin üçünün de bu komisyonda bulunma olasılığı nedir?b) A, B, C kişilerinden ikisinin bu komisyonda bulunma olasılığı nedir?c) A, B, C kişilerinden birisinin bu komisyonda bulunma olasılığı nedir?Çözüm :a) Örnek uzayın eleman sayısı
25 Örnek:Madeni bir para üç kez atılıyor.a) Örneklem uzayını ve örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz.b) İki yazı bir tura gelme olasılığını bulunuz.c) Birinci atışın yazı ikincinin tura geme olasılığı nedir?d) İlk iki atışın aynı gelme olasılığı nedir?e) Birinci atışın yazı ikincinin tura geme olasılığı nedir?Çözüm :
26 Örnek:Bir kupada kırmızı (K), beyaz (B), sarı (S) vemavi (M) olmak üzere dört bilye vardır. Kupadan birbilye çekiliyor, rengi not edildikten sonra kupayakonuyor. Kupadan ikinci kez bir bilye daha çekiliyor verengi not edildikten sonra tekrar kupaya atlıyor.a) Örnek uzayın elemen sayısını bulunuz.b) Çekilen bilyelerin ikisinin de renginin aynı olmaolasılığı nedir?
27 c)Çekilen bilyelerin renklerinin farklı olma olasılığı nedir? d)Çekilen birinci bilyenin beyaz ikincinin mavi olmaolasılığı nedir?e)Çekilen iki bilyenin de beyaz olma olasılığı nedir?Çözüm:
28 Bir kupada kırmızı (K), beyaz (B), sarı (S) ve mavi (M) olmak üzere dört bilye vardır. Kupadan birbilye çekiliyor, rengi not edildikten sonra kupayakonulmuyor. Kupadan İkinci kez bir bilye daha çekiliyorve rengi not ediliyor.Örnek:a) Örnek uzayın elemen sayısını bulunuz.b) Çekilen bilyelerin ikisinin de renginin aynı olma veaynı olmama olasılığı nedir?c)Çekilen bilyelerin renklerinin farklı olma olasılığınedir?d)Çekilen birinci bilyenin beyaz ikincinin mavi olmaolasılığı nedir?e)Çekilen iki bilyenin de beyaz olma olasılığı nedir?
30 TÜMLEYEN, BİRLEŞİM, KESİŞİM E ve F olaylarına sahip bir örneklem uzayı S olsun.olduğu açıktır.S de olup da E de olmayan noktaların kümesine E nintümleyeni denir ve E’ ile gösterilir.olduğu açıktır.S örneklem uzayının elemanlarına örneklem noktalarıdiyelim. Eğer bir örneklem noktası kümesineaitse E veya F kümelerinden en az birisine aittir. Bunedenle olayının gerçekleşmesi için E veya Folaylarından birsinin gerçekleşmesi gerekir ve yeter.
31 Eğer bir örneklem noktası kümesine aitse hem E hem de F kümesine aittir. Bu nedenleolayının gerçekleşmesi için hem E hem de F olayınıngerçekleşmesi gerekir ve yeter.Eğer bir örneklem noktası E kümesine aitse E’ kümesineait olamayacağı açıktır. Bu nedene E olayınıngerçekleşmesi durumunda E’ olayının gerekleşmesisöz konusu olamazAYRIK (BAĞIMSIZ) OLAYLARise E ve F olaylarına ayrık olaylar denir.
34 KOŞULLU OLASILIKBir olayın olasılığı deneye ait bazı bilgilerin varlığından etkilenebilir.a,b,c,d,e gibi 5 seçenekli bir soruda şıklardan hangisinin doğru olduğu hakkında hiçbir fikrimiz yoksa rastgele işaretlediğimiz bir şıkın doğru olma olasılığıÖrnek:tir.Ancak a ve c şıklarının kesinlikle yanlış olduğunu biliyorsak o zaman örneklem uzayımız larak düşünülebilir. O zaman doğru cevaplama olasılığımızolur.
35 Bir deneyde bazı sonuçların bilinmesi durumunda bir E olayının olasılığına koşullu olasılık denir. Bilinen sonuçların kümesini F ile gösterirsek E nin koşullu olasılığıile gösterilir. Koşullu olasılıkta örneklem uzayının eşit olasılıklı olması gereklidir.Örneğimizde örneklem uzayı dir.Hilesiz bir zar atılıyor.Çift sayı gelme olasılığı nedir?Zarın 3 ten büyük geldiği bilindiğine göre çift sayı gelme olasılığı nedir?Örnek:
37 E ve F eşit olasılıklı örneklem uzayına ait ilişkili olaylar olsun E ve F eşit olasılıklı örneklem uzayına ait ilişkili olaylar olsun olmak üzeredir.Buradandir.
38 a)Evli birisinin havuz yapımına evet demiş olma olasılığını, 150 kişilik bir ankette, kişilere medeni durumları ve ortak bir yüzme havuzu yapılmasını isteyip istemedikleri sorulmuştur. Sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.Örnek:Evet FHayır F’ToplamEvli (M)602080Bekar (M’)40307010050150a)Evli birisinin havuz yapımına evet demiş olma olasılığını,b) Evet demiş birisinin evli olma olasılığını bulunuz.Çözüm:
39 Standart bir oyun kağıdı destesinde rastgele iki kart arka arkaya çekiliyor. İkinci kartın kırmızı olma olasılığını bulunuz.Örnek :Birinci çekilişte kırmızı ve ikinci çekilişte kırmızı veya birinci çekilişte siyah ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı soruluyor.Çözüm:Birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığıBirinci çekilişte kırmızı gelmişse ikinci çekilişte kırmızı gelme olasılığıBirinci çekilişte siyah gelme olasılığıBirinci çekilişte siyah gelmişse ikinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı olur.
40 Birinci çekilişte kırmızı ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı ile gösterilirse Birinci çekilişte ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı ile gösterilirseBirinci çekilişte kırmızı ve ikinci çekilişte kırmızı veya birinci çekilişte siyah ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı ile gösterilirse
41 Çözüm: Evet F Hayır F’ Toplam Evli (M) 60 20 80 Bekar (M’) 40 30 70 10050150