Ana içerik
Matematik III
- Logaritma
- Logaritma
- Logaritmaların Değerini Bulalım (İleri Seviye)
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişki
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişkiyi Grafikte Gösterelim
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişkiyi Tabloda Gösterelim
- Logaritmik ve Üstel Form Arasındaki İlişki
Logaritma
Logaritmanın ne olduğunu ve nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim.
Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler
Tercihen negatif üsler de dahil olmak üzere üsler konusuna aşina olmalısınız.
Bu derste öğrenecekleriniz
Logaritmanın ne olduğunu öğrenecek ve bazı basit logaritmaların değerini hesaplayacaksınız. Bu, sizi gelecekte yapacağınız logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar çalışmalarınız için hazırlayacak.
Logaritma nedir?
Logaritmalar, üsleri düşünmenin bir başka yoludur.
Örneğin, 'nin . kuvvetinin 'ya eşit olduğunu bliyoruz. Bu, üstel denklemiyle ifade edilir.
Şimdi diyelim ki, birisi bize "'nin hangi kuvveti 'dır?" diye sordu. O zaman, cevap olur. Bu, logaritmalı denklemiyle ifade edilir ve "log iki tabanında on altı eşittir dört'' olarak okunur.
İki denklem de , , ve sayıları arasındaki aynı ilişkiyi ifade eder, burada taban, üstür.
Aradaki fark şöyledir, üstel form kuvveti tek başına bırakırken logaritmalı form üssü tek başına bırakır.
Burada denk logaritmalı ve üstel denklemlerle ilgili başka örnekler bulabilirsiniz.
|Logaritmik form||Üstel form|
Logaritmanın tanımı
Üstteki örnekleri genelleştirerek logaritmanın biçimsel bir tanımına ulaşabiliriz.
Her iki denklem de , ve sayıları arasındaki aynı ilişkiyi tanımlar:
- dır,
- tür ve
- , dır.
Yararlı bir not
Üstel bir denklemi logaritmalı formda, veya logaritmalı bir denklemi üstel formda yazarken, logaritmanın tabanının üssün tabanıyla aynı olduğunu hatırlamak faydalı olur.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Aşağıdaki problemlerde, denklemlerin üstel ve logaritmik formlarını birbirine çevireceksiniz.
1) Aşağıdakilerden hangisi, 'ye denktir?
1) Aşağıdakilerden hangisi, 'e denktir?
3) 'yı üstel formda yazınız.
4) 'yi üstel formda yazınız.
Logaritmaların değerini bulma
Harika! Artık üslerle logaritmalar arasındaki ilişkiyi anladığımıza göre, logaritma değerlerini bulmayı görelim.
Örneğin 'ü hesaplayalım.
O ifadeyi 'e eşitleyerek başlayalım.
Bunu bir üstel denklem olarak yazmak, bize aşağıdakini verir:
'ün hangi kuvveti 'tür? Şimdi, ve böylece .
Daha çok alıştırma yaptıkça, bu adımları birleştirmeyi ve 'ün değerini bulurken sadece "'ün hangi kuvveti 'tür?" diye sormayı düşünebilirsiniz.
Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin
Unutmayın, değerini bulurken, şöyle sorabilirsiniz: "'nin hangi kuvveti 'dır?"
5)
Zor Problem
9*)
Değişkenlerdeki kısıtlamalar
, taban pozitif olduğunda ve ' eşit olmadığında ve argümanı pozitif olduğunda tanımlıdır. Bu kısıtlamalar, logaritmalar ve üsler arasındaki bağlantının bir sonucudur.
|Kısıtlama||Mantık|
|Üstel bir fonksiyonda, taban daima pozitif olarak tanımlanır.|
|, olduğu anlamını taşır. Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti pozitif olduğundan 'dır, buna göre 'dır.|
|Bir an için 'nin olabileceğini varsayın. Şimdi denklemini düşünün. Denk üstel form, olacaktır. Ancak bu asla doğru olamaz, zira 'in herhangi bir kuvveti daima 'dir. Dolayısıyla, .|
Özel logaritmalar
Bir logaritmanın tabanı pek çok değişik değer olabilir. Bununla birlikte, diğerlerinden daha sık kullanılan iki taban bulunmakatdır.
Çoğu hesap makinesinde sadece bu iki tip logaritma için butonlar bulunur. Şimdi bunları gözden geçirelim.
Bayağı logaritma (onluk logaritma)
Bayağı logaritma, tabanı olan (" tabanlı logaritma") logaritmadır.
Bu logaritmaları matematiksel olarak yazarken, tabanı yazmayız. Tabanın olduğu anlaşılır.
Doğal logaritma
Doğal logaritma, tabanı sayısı olan (" tabanlı logaritma") logaritmadır.
Tabanı olarak yazmak yerine, logaritmayı ile gösteririz.
Bu iki özel logaritma için bilmemiz gerekenler, bu tabloda özetlenmiştir:
|İsim||Taban||Normal gösterim||Özel gösterim|
|Bayağı logaritma|
|Doğal logaritma|
Gösterim farklı olmakla birlikte, logaritmayı hesaplamanın ardındaki düşünce tam olarak aynıdır!
Logaritmaları neden öğreniyoruz?
Az önce öğrendiğiniz gibi, logaritmalar üsleri tersine çevirir. Bu nedenle, üstel denklemleri çözmek için çok işe yararlar.
Örneğin, için sonuç bir logaritma olarak verilebilir, . Önümüzdeki derslerde, bu logaritma ifadesinin değerinin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.
Logaritma ifadeleri ve fonksiyonlar son derece ilginçtir ve aslında günlük yaşamda oldukça yaygın kullanılırlar. Örneğin, fiziksel olguların çoğu logaritmik ölçekler ile ölçülür.
Bir sonraki nedir?
Logaritma ifadelerini tekrar yazmamıza yardımcı olan logaritmaların özelliklerini ve hesap makinesi kullanarak istediğimiz herhangi bir logaritmayı hesaplamamızı sağlayacak olan taban değiştirme kuralını öğrenin.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
- Logaritmayı neden öğrendiğimize dair daha güzel açıklamalar eklenebilir :))(12 oy)