2. YANSITICI DİZİ ANTEN TEORİSİ
2.3 Sonsuz Dizi Yaklaşımı (Infınite Array Approach)
25
yama olmadığı durumda toprak yüzeyinden yansıyan alanın da eklenmesi neticesinde toplam yansıyan alan bulunabilir. Tek bir hücrenin analizinin yapılması için bir hücrenin etrafındaki hücrelerle olan etkileşiminin doğru biçimde hesaba katılabilmesi gerekir.
Bununla ilgili olarak daha önce bahsi geçen “sonsuz dizi yaklaşımı” ileriki bölümde ele alınacaktır.
Ayrıca, yukarıdaki hesaplamada tek katmanlı bir yapı için gereken Green Fonksiyonu değerleri bulunmuştur. Birden fazla katman olduğunda Eş.2.17‟de yer alan sınır değerleri denklem setinin genişletilmesi gerekmektedir. Çok katmanlı yapıların analiz edilebilmesi için literatürde bazı çalışmalar mevcuttur [90].
26
Burada β değerinin kompleks olması, faz farkı ve sönümlenmenin birlikte temsil edilmesini sağlamaktadır. Şimdi farklı bir fonksiyonu ele alalım:
Bu durumda, R(z+L)=ejβ(z+L) u(z+L)=R(z) olacaktır. Dolayısıyla yeni tanımlanan R(z) fonksiyonu L periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur. Bilindiği üzere her periyodik fonksiyon, Fourier serisi toplamı olarak yazılabilir. R(z) fonksiyonunun yazımı ise aşağıdaki gibi olacaktır:
∑ ( )
∑ ( )
(2.28)
Bu denklemi, Eş.2.27 ile birlikte ele aldığımızda alan değerine karşılık gelen u(z) fonksiyonu aşağıdaki şekle dönüşür.
∑
∑
(2.29)
Eş.2.29‟da verilen toplama işleminin her bir terimi Floquet harmonikleri olarak tanımlanır.
İki boyutlu bir yüzeyin düzlem dalga ile aydınlatıldığı bir örneği ele alacak olursak, β değeri geliş açısına bağlıdır ve anlaşılacağı üzere Floquet modların belli bir kısmı uzak alana taşınabilir. Geri kalanı, sönümlenen dalga (evenescent wave) şeklinde kendini gösterecektir. Çünkü her mod için dalga sayıları, bağıntısına uymalıdır.
Floquet teoreminin, iki boyutlu düz ve periyodik bir yapının (θp,φp) geliş açısına sahip düzlem dalga ile aydınlatıldığı özel duruma uygulanışı aşağıdaki şekildedir.
(2.27)
27
Şekil 2.3 - Düzlem dalga ile aydınlatılan iki boyutlu sonsuz simetrik yüzey Gelen düzlem dalga şu şekilde ifade edilir (Şekil 2.3):
(2.30)
Burada Ui herhangi bir dalga bileşeni olarak düşünülebilir. Yansıyan alan Ur, Floquet teoremi kullanılarak, sonsuz sayıda, z=0 düzleminde, x ve y yönünde ilerleyen, farklı genlik ve yayılma sabitine sahip dalgaların toplamı şeklinde ifade edilir.
∑ ∑
(2.31)
Burada Lx ve Ly, yansıtıcı yüzeyin x ve y yönündeki periyodlarıdır. Ur değerinin dalga denklemini sağlaması gerektiği düşünüldüğünde, tüm uzaydaki yansıyan alan, bilinmeyen Bmn katsayıları cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir.
28
∑ ∑ [ ]
(2.32)
Belirlenen geometride, uzaya yansıyarak dönen dalgalar z yönünde ilerleyen dalgalardır.
Bu dalgalara ilişkin yayılma sabiti ise gelen dalga açıları (θp,φp) ile m ve n değerlerine göre gerçel veya sanal olabilir. Gerçel olduğu durumda, bu Floquet modu, uzaya gerçek enerji taşıyor demektir. Sanal olan modlar ise sönümlenen dalgalardır.
Problemin çözümünü basitleştirmek için üç boyutlu bu problemi iki boyuta indirgemek oldukça faydalı olacaktır. Bunun için geliş açısı setinin (θp,φp)= (θi,π) seçilmesi yeterlidir.
Böylelikle yansıma düzlemi x-z düzlemi olarak belirlenmiş olur. Bu durumda incelenecek geometri Şekil 2.4‟teki gibi olacaktır.
İlave sadeleştirme olarak, gelen düzlem dalganın polarizasyonu belirlenebilir. Eğer TE polarizasyonu seçilirse Ex=Ez=0 olacak, Ey ise iletken yamalar üzerinde Drichlet Sınır Koşullarına (Ey=0) uyacaktır. Eğer TM polarizasyonu seçilir ise Hx=Hz=0 olacak, bu durumda ise Hy, yama üzerinde, Neumann Sınır Koşullarına ( ⁄ uyacaktır. Bu tez çalışmasında kullanılan polarizasyon ile de uyumlu olması açısından burada TE polarizasyonu için yapılacak çıkarım ile yetinilecektir.
z>0 bölgesinde Ey elektrik alanının üç bileşeni olacaktır. Bunlar, gelen dalga Eyi, uzamsal yansıyan dalga Eri ve yamalardan kaynaklanan saçılan dalga Eys1 olarak sayılabilir.
Şekil 2.4 - İki boyuta indirgenmiş Floquet Teoremi uygulaması
29
(2.33)
∑
Bilinmeyen Bn katsayılarının bulunabilmesi için sınır koşullarının uygulanması gerekmektedir (yama üzerinde Ey=0). Eyi ve Eri bileşenlerinin z=0 için bu şartı sağladığı görülmektedir. ise aşağıdaki şekilde yazılabilir.
{
( ) ( )
(2.34)
Eş.2.33 ve Eş.2.34‟te yer alan ifadeleri birbirine eşitlenip her iki taraf da ile çarpılıp bir periyot üzerinden integral alınmalıdır. Yamaya denk gelen kısımda =0 olduğundan integral yamanın olmadığı kısıma indirgenecektir. Bu bir sınır koşulu uygulaması olduğundan z=0 olacağı unutulmamalıdır.
∫
∫ ∑
(2.35)
Bu denklemin sağ tarafından toplama ve integral işeretleri yer değiştirebilir. Trigonometrik bağıntılar kullanılarak integral alındığında, denklemin sağ tarafının m=n haricindeki tüm değerlerde 0 olduğu görülecektir. Sonuç olarak, bu eşitliği n için tekrar yazıp bilinmeyen sabiti yalnız bıraktığımızda aşağıdaki eşitlik elde edilir.
∫
(2.36)
30
Görüldüğü üzere, yamalar arasındaki bölge üzerindeki akım fonksiyonu ifadesi cinsinden bilinmeyen Floquet modları genlikleri bulunmuştur. Bu ifade, Eş.2.33‟teki eşitliğinde yerine yazılırsa aşağıdaki eşitlik elde edilir.
∫
(2.37)
∑
(2.38) Eş.2.38‟da, yukarıda belirlenen geometri için geçerli olan Green Fonksiyonu verilmiştir.
Eş.2.37‟deki elektrik alan ifadesi yamalardan kayanklı saçılan alandır. Bu denklemdeki bilinmeyen değerlerinin Moment Metodu ile bulunabilmesi için, integral ifadesi bir toplama dönüştürülmeli, ardından denklemin sol tarafı için z=0‟daki sınır koşulları üzerinden [E]=[Z][J] formunda bir matris eşitliği elde edilmelidir.
Dielektrik alttaş içindeki alan bileşenleri için ise, z=0‟da elektrik ve manyetik alanın teğet bileşeninin sürekli olması koşulu kullanılmalıdır. Buna ilişkin işlemlere burada yer verilmeyecektir, ayrıntılara [92] referansından ulaşılabilir.
Yapılan işlemleri özetlemek gerekirse, Floquet teoreminin bir sonucu olarak yansıtıcı dizi anteni oluşturan birim hücreler, ana ekseni z olan, x ve y yönlerinde periyodik sınır koşulları uygulanacak bir dalga kılavuzuna benzer hale gelmiştir (Şekil 2.5). Floquet Teoremi ile alan ifadesi sonsuz bir toplam şeklinde yazıldığında, her bir hücrenin kenarlarındaki alan değerlerinin, gelen dalganın açısı ve frekansıyla ilgili bir kayma haricinde, birbirini tekrar etmeye zorlanmış olmaktadır. Sınır değerlerinin bu şekilde uygulanması neticesinde bulunacak alan değerlerinin içerisinde komşu hücreden gelen bağlaşım etkileri de dahil olacaktır.
Açıklandığı üzere, bu yöntem kullanılarak, tek bir yansıtıcı ve tanımlanan tekrarlama yüzeylerindeki sınır koşulları kullanılarak sonsuz sayıda yansıtıcıya sahip olduğu kabul edilen bir antenin birim hücre analizi yapılabilmektedir.
31
Şekil 2.5 - Periyodik Sınır Koşulları uygulanan Sonsuz periyodik yapı [89]
Bu yaklaşımla ilgili iki temel sorun bulunmaktadır. Bunların ilki, üretilen hiçbir anten sonsuz boyutta olmayacaktır. Dolayısıyla, üretilen antenin kenar kısımlarına gidildikçe, bu yöntem kullanılarak bulunan sonuçlarda sapmalar olacaktır. Ne var ki, yansıtıcı dizi anten analizlerinde, besleme anten hemen her zaman yansıtıcı yüzeyin orta kısmını hedef alır.
Kenardaki hücrelere ulaşan güç nispeten düşüktür. İşin doğasında var olan bu özellik, söz konusu sorundan kaynaklı hata payını azaltır. İkinci sorun ise, bu yaklaşımda ele alınan birim hücrenin etrafındaki birim hücrelerin ele alınan hücre ile bire bir aynı olduğunun varsayılması ve karşılıklı bağlaşım etkilerinin buna göre hesaplanmasıdır. Ancak anten tasarımında her hücrenin şekli, faz ihtiyacının durumuna göre, komşu hücrelerle farklılık gösterecektir. Bu durum ilave bir hata payı anlamına gelmektedir. Bilim dünyasında, daha kesin sonuç veren bir yöntem arayışı olduğu söylenebilir. Ancak son zamanlarda yapılan çalışmalar ele alındığında, herşeye rağmen mevcuttaki en iyi sonucu veren yöntemin bu olduğu kabul edilmelidir.
Yansıtıcı dizi anten birim hücre analizi, diferansiyel denklem temelli nümerik metodlarla da çözülebilir. Bu metodların en bilineni FEM (Finite Element Method)‟dir. Bu metod, Moment Metod gibi integral eşitliği temelli metodlardan farklı olarak, Maxwell denklemlerinden elde edilen kısmi diferansiyel eşitliklerin ayrıklaştırılması yoluyla çalışır.
Sınırlı hacimler için uygun olan bu metod, tam uyumlanmış soğurucular ve soğurucu sınır koşulları gibi teknikler ile birlikte açık geometriler için de kullanılabilir hale gelmiştir. Bu yöntemde, ele alınacak geometri, tek, iki veya üç boyutlu olmasına göre, çizgi, üçgen veya tetrahedral elementlere parçalanır. Hesaplama alanının, sınırlı parçaların birleşimi olarak
32
ifade edilmesi suretiyle, karmaşık şekilli yapıların, homojen olmayan materyallerin ve hızlı değişen alan bileşenlerinin daha yüksek kesinlikle modellenebilmesi avantajını sağlar. Bu parçaları ifade eden koordinat bilgisi ile birlikte her bir parça için malzeme parametreleri, kaynak ve sınır koşulları da belirlenmelidir. Sonrasında her bir parçanın, çözülen probleme uygunluğuna göre, köşelerindeki veya kenarlarındaki bilinmeyen fonksiyon değerleri, katsayıları bilinmeyen temel fonksiyonların toplamı olarak yazılır. Bu fonksiyonlar genelde doğrusal fonksiyonlar veya daha yüksek dereceli polinomlar olarak seçilir. Her bir parça için tanımlanan matrisler bir araya getirilerek global matris eşitliği elde edilir ve sınır koşulları uygulanmak suretiyle çözülür. Sonrasında yansıyan alan ve diğer parametreler hesaplanabilir [93].
Bu tez çalışmasında kullanılan paket program Ansys® HFSS™ (High Frequency Structure Simulator) yazılımında, FEM ile Floquet Teoremi uygulaması yoluyla birim hücre analizi gerçekleştirilmiştir. Şekil 2.6‟da HFSS Floquet Modelinin nasıl çalıştğı gösterilmiştir.
Şekil 2.6 - HFSS Floquet Modeli Gösterimi
33
Bu modelde birim hücrenin üstünde bir alan sınır koşulu bulunmaktadır. Burada Floquetport1 olarak görünen yüzeyde x ve y polarizasyonunda iki düzlem dalga tanımlanmıştır. Yan yüzeylerde ise; birbirine bakan yüzeylerden biri Master diğeri Slave olarak seçilmiş, böylece yazılımın bu yüzeylerdeki alan değerlerini komşu hücrelerde uygulaması sağlanmıştır. Bu yazılım ile birim hücrenin tüm parametreleri, analiz metodunun sınırları içerisinde, elde edilebilmiştir.
FEM metodu, problemi bir hacim içerisinde tanımlayarak çözdüğü için özellilkle çok katmanlı yapıda daha doğru sonuç vermesi beklenir. Bununla birlikte hesaplama yükü açısından da, genel itibariyle Moment Metoda göre daha iyi performans sergilediğinden, üretilen tam boyutlu antenin tam dalga analizi için HFSS programında yine FEM metodu kullanılmıştır.
34