2OlasılıkSonlu sayıda yinelenebilen bir denemede, olası sonuçların herhangi birinin ortaya çıkma (elde edilme) şansı ilgili sonucun OLASILIĞI olarak adlandırılırOlasılık P( ) simgesi ile gösterilir.( ) içinde olasılığın hangi sonuca ait olduğu belirtilir.gibi
3Olasılık Olasılık, ilgilenilen sonucun oransal sıklığıdır. Bir A denemesine ilişkin olası sonuçlar,Her sonuca ilişkin tekrar sayılarıolduğunda
5OlasılıkÖrnek 1:Bir onkoloji kliniğine başvuran göğüs kanseri tanısı konulmuş 120 hastanın evrelere göre dağılımı aşağıdadır.EvreSayı%E1 (X1)75 (m1)62,5E2 (X2)25 (m2)20,8E3 (X3)15 (m3)12,5E4 (X4)5 (m4)4,2Toplam120100Kliniğe yeni başvuran bir hastanın 1. evrede olması olasılığı
6Olasılık Örneklem Uzayı Bir olayın olası tüm sonuçlarının bulunduğu kümeye denir.Bir Sonucun TümleyeniKendisi dışındaki diğer sonuçların tümüne, ilgili sonucun tümleyeni denir.
7Olasılık Yığılımlı Olasılık: Olasılıklarına yığılımlı olasılık denir. olmak üzereise
8Olasılık Olasılık Yığılımlı Olasılık: Örnek 1(devam): Evre Sayı % E1 (X1)75 (m1)62,5E2 (X2)25 (m2)20,8E3 (X3)15 (m3)12,5E4 (X4)5 (m4)4,2Toplam120100Kliniğe yeni başvuran bir hastanın en çok 2. evrede olması olasılığı
9A B Olasılık Ayrık Olaylar Aynı anda ortaya çıkması olası olmayan olaylara denir.AB
10OlasılıkKesişimİki ya da daha fazla ayrık olmayan olayın bir arada ortaya çıkması olayına denir.AB
11OlasılıkÖrnek 2:Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verilmiştir.D+D-TH+2040H-1545603565100D+H+
12Olasılık A A B B Birleşim İki ya da daha fazla olayın herhangi birinin ortaya çıkması olayına denir.Ayrık Olmayan OlaylardaABAyrık OlaylardaAB
13Olasılık Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Bağımsız Olaylar: Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olmadığı olaylara bağımsız olaylar denir.Bağımlı Olaylar: Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olduğu olaylara bağımlı olaylar denir.iseA ve B olayları bağımsızdır.iseA ve B olayları bağımlıdır.
14Olasılık Koşullu Olasılık Aynı anda ortaya çıkması olası, ayrık olmayan olaylardanbirinin ortaya çıkması, diğerinin ortaya çıkma olasılığını değiştirir.B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.
15Olasılık Koşullu Olasılık Örnek 3:Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verildiğine göre bu toplumda 50 yaş üstü hipertansiyonu olan bir kişide diyabet görülmesi olasılığı nedir?D+D-TH+2040H-1545603565100=0,5
16Olasılık Bayes Eşitliği Önsel olasılıklar (önceden bilinen) yardımı ile herhangi bir olaya ilişkin olasılığın bulunmasında kullanılan eşitliktir.Tıpta karar verme sürecinde; herhangi tanı yöntemi ile verilen kararın doğru olma olasılığını bulmada yararlanılan bir eşitliktir. Koşullu olasılığın bir düzenlemesidir.
17Bayes Eşitliği Örnek 4:Bir hastalığa karar vermek için kullandığımız test sonucu pozitif (hastalık var) olduğuna göre sonucun doğru olma olasılığı P(H+/T+) nedir?Bu olasılığı bulmak üzere,Önsel olasılıklardan toplumda hastalıkgörülme olasılığıP(H+)P(H-)Önsel olasılıklardan toplumda hastalıkgörülmeme olasılığıTestin önceden belirlenmiş doğrupozitif sonuç verme olasılığıP(T+/H+)Testin önceden belirlenmiş yanlış pozitif sonuç verme olasılığıP(T+/H-)
18Bayes Eşitliği Örnek 4 (devam): Önsel olasılıklardan toplumda hastalıkgörülme olasılığıP(H+)=0,12P(H-)=0,88Önsel olasılıklardan toplumda hastalıkgörülmeme olasılığıP(T+/H+)=0,17Testin önceden belirlenmiş doğru sonuçverme olasılığıTestin önceden belirlenmiş yanlış pozitif sonuç verme olasılığıP(T+/H-)=0,09
19OLASILIK DAĞILIMLARIİstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir.Dağılma özelliklerine OLASILIK DAĞILIMI adı verilir.İstatistiksel çözümlemeler belirli bir olasılık dağılımına dayandırıldığından çözümlemede kullanılan değişken(ler)in bu olasılık dağılımına uyması gerekir.
20OLASILIK DAĞILIMLARIHerhangi olasılık dağılımı , y = f(x) biçiminde tanımlanan matematiksel bir fonksiyondur.y, x değerlerinin ortaya çıkma sıklığını gösterir.f(x), yoğunluk fonksiyonu olarak da adlandırılır.
21OLASILIK DAĞILIMLARIf(x), x değişkeninin sürekli olması durumunda aşağıdaki özellikleri taşır.f(x), x değişkeninin kesikli olması durumunda aşağıdaki özellikleri taşır.
22OLASILIK DAĞILIMLARI Normal dağılım Binom dağılımı Poisson dağılımı Çok sayıda olasılık dağılımı bulunmaktadır. Bunlar arasından en sık kullanılanları:Normal dağılımBinom dağılımıPoisson dağılımı
23OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım İstatistik çözümlemelerde en çok yararlanılan olasılık dağılımıdır.µ, kitle ortalamasını ve 2 kitle varyansını göstermek üzere dağılım (yoğunluk) fonksiyonu,
24OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Dağılım grafiği, aşağıdaki gibidir.
25OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Dağılım ortalamaya göre simetriktir.Alanın % 50’si ortalamadan geçen dikey çizginin sağına, % 50’si soluna düşer.Eğri altında kalan toplam alan bir birim karedir.Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine eşittir.
29OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Ortalamaları farklı, standart sapmaları aynı olan NORMAL dağılımlar405060
30OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Ortalamaları aynı, standart sapmaları farklı olan NORMAL dağılımlar354045505560657075
31OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Normal dağılımda yığılımlı olasılıklar,işlemi ile,herhangi [a b] aralığına ilişkin olasılıkişlemi ile bulunabilir.Yukarıdaki hesaplamaları yapmak kolay olmadığından ; bu hesaplamalar için standart normal dağılım yaklaşımından yararlanılır.
32OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Standart Normal Dağılım:Normal Dağılımın özel bir biçimidir. Normal dağılıma dayalı hesaplamalarda kullanıcılara kolaylık sağlar.µ=0 ve =1 dir.Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
33OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Eğer bir x değişkeninin normal dağıldığı biliniyorsaeşitliği ile elde edilen z değerleri ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılıma uyar.Dağılımın grafiği aşağıdadır.
34OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Bu özellik, ortalama ve standart sapmanın değerine bağlı değildir.Ortalama ve standart sapma ne olursa olsun x değişkeninin normal dağılması bu özelliğin geçerliği için yeterlidir.Çeşitli z değerleri için 0 ile z arasında kalan alanı gösteren z tablosu geliştirilmiştir. Bu tablodan yararlanarak normal dağılıma dayalı hesaplamalar yapılabilir.
36OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Örnek 5: ? 190 200 10000 yetişkin üzerinde yapılan kolesterol tarama testi sonucunda kolesterol değerlerinin 190 ortalama ve 50 standart sapma ile normal dağıldığı görülmüştür. Kolesterol normal sınırlarının olduğu bilindiğine göre kaç kişinin kolesterolü yüksektir??190200
37OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Standart Normal Dağılım yaklaşımını vebulunur.eşitliğini kullanarak?0,2
38OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Standart Normal Dağılım Tablosu kullanarak z=0,2 değerine karşılık gelen olasılık değeri:
39OLASILIK DAĞILIMLARI0,07932?0,2Yetişkinlerin %42’sinin kolesterolü yüksektir. Çalışma kişi üzerinde yapıldığından 0,42068 * = 4207 kişinin kolesterolü yüksektir.39