-
Ne Zaman Maksimum Alan Oluşur?
Özellik1: Bir kenar uzunluğu ve diğer 2 kenarın uzunlukları toplamı yani bir kenarı ve çevresi belli olan bir üçgen verilmeyen diğer 2 kenar eşit olduğunda (ikizkenar olduğunda) maksimum alana ulaşır.
İspat1: Heron formülü
Üçgenin kenar uzunlukları a,b,c ve çevresi de p=2u=a+b+c olsun.
Heronun alan formülünü hatırlayalım
Burada a ve p=2u verilmiş ve sabittir , dolayısıyla u ve (u-a) sabittir. Alanın maksimum değerini alması için
(u-b).(u-c) nin en büyük değerini alması gereklidir
bu iki sayının toplamı sabit olduğuna göre de çarpımları en büyük değeri eşit olduklarında alır
(u-b)=(u-c) ve dolayısıyla b=c, en büyük alan için üçgenimiz ikizkenar olmalıymış.
İspat2: Geometrik yaklaşım
Üçgenin verilen kenarı |AB|=c olsun bu durumda tüm C noktaları odakları A ve B olan bir elips çizer (elips: sabit 2 noktadan-odaklardan uzaklıkları toplamı eşit olan noktalar kümesi)
Biz de bu elipsi çizelim.
C' elipsin küçük ekseninin üzerindedir.
eğer C noktası C' ile çakışık değilse yani b=c ya da üçgen ikizkenar değilse C noktasını C' noktasına kaydırdığımızda çevre değişmediği halde üçgenin yüksekliği ve dolayısıyla alanı artacaktır, sonuçta maksimum alan için üçgen ikizkenar olmalıdır.
-
-
-
Nasıl teşekkür etmemişim.
Eliniz dert görmesin Sabri hocam.
Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz