“ Matematiğin Kutsal Kasesi ” olarak adlandırılmıştır ve hiç şüphesiz matematikteki en zor ve en ünlü problemlerden biridir.
Matematiksel karmaşıklık açısından erişilemezlik, sorunun anlaşılmasına tam olarak yardımcı olmaz.
Bu yazımda sizlere klasik problem tanımını vererek başlayacağım. Daha sonra , bu güzel problemi daha fazla insan için erişilebilir kılmak umuduyla , karmaşık sayıları ve analitik devam teorisini kullanmadan problemi ifade edeceğim .
Bu matematiksel incinin güzelliğini gizlemek ve sadece özel matematik bilgisine sahip kişilere saklamak için hiçbir neden yok.
Riemann hipotezi tamamen Riemann zeta fonksiyonu ile ilgilidir, bu nedenle makul bir başlangıç noktası şunu tanımlamaktır:
Riemann zeta işlevi, aşağıdaki karmaşık holomorfik işlev olarak tanımlanır:
Zeta fonksiyonu için bu tanım daha gerçek bir parçası daha sonra ile karmaşık sayılar için geçerli olduğunu unutmayın 1 . Bu, serilerin yakınsamasını sağlamak içindir.
Bununla birlikte, normalde Riemann zeta fonksiyonundan bahsettiğimizde, basit bir kutup olan 1 hariç tüm karmaşık sayıların etki alanı olan analitik olarak devam eden Riemann zeta fonksiyonunu kastediyoruz .
Böylece yukarıdaki tanımı bize yarım düzlem Re(s) > 1 ile sınırlandırılmış Riemann zeta fonksiyonu için bir ifade veriyor olarak görebiliriz .
Leonhard Euler , bu fonksiyonun asal sayılar üzerinde sonsuz bir çarpım açılımına sahip olduğunu gösterdi:
Burada asal sayılar kümesini ℙ ile gösteriyorum.
Bu ilişki tüm teoriye nüfuz eder ve zeta fonksiyonunun analitik özelliklerini asal sayıların dağılımına bağlar (bu bağlamda doğal sayıların sıralı bir alt kümesi olarak görülür).
Bu, Riemann zeta teorisini sayı teorisi ve karmaşık analiz arasındaki bir kesişme işlevi görür.
Örneğin, asal sayıların sayısının kabaca x/ln(x) kadar arttığını belirten asal sayı teoreminin en kolay, en basit ve kanımca en zarif (bilinen) ispatı zeta fonksiyonunu kullanır.
Aslında, asal sayı teoreminin , zeta fonksiyonunun Re(s)=1 satırında sıfır olmaması gerçeğine aşağı yukarı eşdeğer olduğu gösterilebilir .
Yukarıdaki satırda sıfır olmamasına rağmen, analitik olarak devam eden zeta fonksiyonunun sonsuz sayıda sıfırı vardır, yani ζ(s) = 0 denkleminin çözümleri.
Bu sıfırlar önemlidir çünkü bize asal sayıların nasıl dağıldığını söylerler.
Bu nedenle, bu sıfırların karmaşık düzlemde nerede bulunduğunu bilmeyi çok isteriz. Bu bilgi, bir anlamda, bize asalların büyümesiyle ilgili mümkün olan en iyi sınırı verecektir.
Sıfırların iki ailede geldiğini biliyoruz. Bire önemsiz sıfırlar denir . Bunlar tam olarak negatif çift tam sayılardır. Yani,
Diğer sıfır kümesine önemsiz olmayan sıfırlar denir .
Önemsiz olmayan tüm sıfırlar, 0 ile 1 arasında gerçek bir kısma sahip olmalıdır . Bu kanıtlanmıştır. Aslında, Re(s) = 1 ve Re(s) = 0 doğrularında sıfır olmadığını bildiğimizde bunu kanıtlamak oldukça kolaydır .
Re(s) > 1 yarım düzleminde sıfır olmadığını gösteren Euler çarpımına ve fonksiyonel bir denkleme sahibiz.
Bu bize sinüs terimine göre negatif çift sayılardaki önemsiz sıfırları verir ve simetri tarafından negatif gerçek kısmı olan başka sıfırlar yoktur.
İşlevsel denklem, Bernhard Riemann tarafından 1859'da kısa ama çığır açan bir makalede kanıtlandı .
Aynı makalede, Riemann aslında ilk birkaç önemsiz sıfırı hesapladı ve hepsinin düz bir çizgi üzerinde, yani Re(s)=1/2 dikey çizgisi üzerinde yer aldığını fark etti .
Bu ünlü hipoteze yol açtı.
ζ'nin önemsiz olmayan tüm sıfırları, gerçek kısım 1/2'ye sahiptir.
Bu soru, 1859'dan beri (yazar da dahil) matematikçilerin peşini bırakmadı. Hiç kimse bu ifadeyi nasıl ispatlayacağını (veya çürüteceğini) bilmiyor.
Riemann hipotezinin birçok eşdeğer formülasyonu vardır. Bunların çoğu, ya karmaşık analizleri ya da bölen fonksiyonun toplamının keskin sınırları ya da asal sayıların (az ya da çok) tam dağılımı gibi yanıtlamaktan çok uzakta olduğumuz asal sayı teorisine dair umutsuzca karmaşık kavrayışları içerir.
Burada izleyeceğim yaklaşımın daha iyi olduğunu iddia etmiyorum. Aslında, bunun daha kötü olabileceğini düşünüyorum ama benim amacım bu değil.
Demek istediğim, ufukta görünen sayı teorisi veya holomorfik fonksiyonlar olmadan yalnızca gerçek analiz açısından bir eşdeğerlik yaparak, bu devasa arayışı kendi başlarına üstlenmekle daha fazla insanın ilgilenmesini sağlayabiliriz.
En azından avın sevincini yaşayacaklar!
Bu yaklaşımın başlangıç noktası, ilgili bir işlevi düşünmek ve ardından bunu gerçek ve karmaşık parçalara bölmek olacaktır. Sonunda, RH'ye eşdeğer bir problem yaratacak birkaç manipülasyon yapacağız .
Yukarıda çok kısaca bahsettiğim gibi, zeta fonksiyonunun seri tanımı bize sadece Re(s) > 1 yarım düzleminde yakınsama verecektir , bu da sıfırları incelemek için oldukça işe yaramaz, çünkü ilgilenilen sıfırlar 0 < kritik şeridinde yer alır. Yeniden(ler) < 1.
Neyse ki, Dirichlet eta işlevi adında çok ilginç bir ilgili işlev var . Aşağıdaki gibi tanımlanır:
Yukarıdaki seri Re(s) > 0 için yakınsar . Bu aslında o kadar açık değil ama çok fazla kahve içtiğinizde ve uyuyamadığınızda düşünmek için güzel bir egzersiz.
Temel olarak, bu formun serileri (zeta ve eta fonksiyonu gibi) Dirichlet serileri olarak adlandırılır ve hepsinin a yakınsama apsisi olarak bilinen şeye sahiptir .
Belirli bir Dirichlet serisi için, yakınsama apsisi, yakınsaklığın yarı düzlemi ile sapmanın yarı düzlemi arasındaki sınırı işaretleyen gerçek bir sayıdır. Biçimsel olarak, eğer Re(s) > α ise seri yakınsar.
Gayri resmi olarak, eta fonksiyonunun serileri s > 0 gerçek sayıları için yakınsadığı ve s ≤ 0 gerçek sayıları için ıraksadığı için , yakınsama apsisi 0 olmalıdır.
Ayrıca, eta fonksiyonunun ve zeta fonksiyonunun aşağıdaki fonksiyonel denklemi sağladığı kontrol edilebilir:
Bu ilginç çünkü bu denklemden eta fonksiyonunun sıfırları hakkında bazı gerçekleri hemen görüyoruz.
Her şeyden önce, η, ζ'nin sahip olduğu tüm sıfırlara sahiptir. Bunun da ötesinde, yukarıdaki birinci faktörden gelen Re(s) = 1 doğrusu üzerinde η sonsuz sayıda sıfıra sahiptir .
İlginç bir şekilde, tüm zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırlarının bulunduğunu bildiğimiz kritik şeritte, eta fonksiyonu tamamen aynı sıfırlara sahiptir.
Başka bir deyişle, eta fonksiyonu için de bir Riemann hipotezi vardır. Bu, tüm eta'nın önemsiz olmayan sıfırlarının (kritik şerit içindeki sıfırlar anlamına gelir) gerçek kısım 1/2'ye sahip olduğunu belirtir.
Bu, normal Riemann hipotezine eşdeğerdir ancak eta fonksiyonunun seri tanımı kritik şerit içinde geçerlidir. Zeta'nın seri tanımı öyle değil.
eta fonksiyonunu reel ve imajiner kısımlarına ayıralım.
Yana ler karmaşık sayıdır, ilk ihtiyaç gerçek sayı karmaşık sayının gücünü yükseltti tarafından ne demek istediğimizi anlamak için.
Euler'in kimliğine ihtiyacımız var !
Euler'den hatırlayın ki
Bir olgunun bu güzelliği ile üstel fonksiyonun hayali periyot ile periyodik olduğu sonucuna varıyoruz.
Bunu eta fonksiyonunu bölmek için kullanalım. İlk önce şunu not edin ki s = σ + it yazarsak , o zaman
Böylece Dirichlet eta fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz:
Diziyi neden gerçek ve hayali parça dizilerine ayırmamıza ve sonra sadece yakınsaklığı varsaymamıza izin verildiği tam olarak açık değil. Okuyucuyu bu konuda düşünmeye davet ediyorum.
Şimdi iki fonksiyon tanımlayalım
Burada σ > 0 ve σ, t ∈ ℝ gerçel sayılardır.
Burada durabilir ve Riemann hipotezinin, hem α hem de β kaybolursa ve 0 < σ < 1 ise, o zaman σ = 1/2 olduğu ifadesine eşdeğer olduğunu söyleyebiliriz.
Ancak, σ = 1 satırında sıfırları hariç tutmamız ve bu nedenle fonksiyonları kısıtlamamız biraz can sıkıcıdır.
Bir tur daha yapalım. σ yerine bazen sigmoid fonksiyonu olarak adlandırılan bir lojistik fonksiyon koyacağız.
Define ℝ² → ℝ: g, f aşağıdaki gibi:
n'nin üssünün r'nin bir fonksiyonu olarak görüldüğünde, lojistik fonksiyon σ(r) = 1/(1 + exp(-r)) olduğuna dikkat edin. σ herhangi bir reel sayıyı alır ve tüm r ∈ ℝ için 0 < σ(r) < 1'i sağlar.
Riemann hipotezi aşağıdaki ifadeye eşdeğerdir:
f(r, t) = g(r, t) = 0 => r = 0 .
Eşdeğer olarak, aşağıdaki şekilde bir T eşlemesi oluşturabiliriz :
T: ℝ² → ℝ² tarafından tanımlanan (r, t) → (f (r, t), g (r, t)) 2 boyutlu gerçek vektörler gibi. O zaman elbette RH , T((r, t)) = (0, 0) , sonra r = 0 olur .
Riemann Hipotezi büyüleyici bir problemdir ve onu gerçek bir analiz problemi haline getirmek mutlaka cevap değildir. Aslında, karmaşık analiz çok daha zengin bir teoriye ve çok daha güçlü araçlara sahiptir. Ancak arada bir, bir soruna aynı anda birkaç farklı açıdan bakmamız gerekir.
Umarım bu yaklaşım, sorunu karmaşık fonksiyon teorisine sahip olmayanlar için daha anlaşılır ve ulaşılabilir kılmıştır ve içinizden olanlara yeni bir açı kazandırmıştır.
Başka bir şey değilse bile, daha önce bu yola girmiş olsanız bile bu konuyu düşünmek her zaman ilginçtir, çünkü RH iyi bir kitap gibidir. Kaç kez okuduğunuz önemli değil, tekrar ziyaret etmek her zaman bir zevktir.
Sadece sonunun nasıl olacağını merak ediyorum.
Matematik, animasyon filmleri ve bankacılıktan müzik ve spora kadar günlük hayatımızın her yerinde. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bilimin farklı alanlarında daha da fazla mevcut.
Milenyum Ödül Problemleri, matematikte en iyi bilinen ve çözülmemiş önemli problemlerden yedi tanesidir. 2000 yılında, matematiksel araştırmalara adanmış kar amacı gütmeyen özel bir vakıf olan Clay Mathematics Institute, ünlü bir şekilde matematik camiasını bu yedi problemi çözmeye davet etti ve her birinin çözenleri için 1.000.000 ABD Doları ödül verdi.
Richard Feynman, Amerikalı bir teorik fizikçi ve 1965 Nobel Fizik Ödülü'nün (Amerikalı fizikçi Julian Schwinger ve Japon fizikçi Shinichiro Tomonaga ile birlikte) eş-alıcısı idi. Dünyanın en tanınmış bilim adamlarından biridir.
Gerçek suç, son yıllarda biraz popülerlik patlaması yaşadığını düşündüğüm bir tür. Buzzfeed Unsolved gibi şovların başarısının yanı sıra çeşitli yüksek profilli vakaların son yıllarda dikkat çekmeye başlamasıyla birlikte, insanlar sık sık gördüğümüz ve duyduğumuz bu tür karanlık vakalarda neler olup bittiği hakkında daha fazla bilgi edinmekle ilgilenmeye başladılar.
“Yapılacak Bir Şey”in Anlamı Gezegenin diğer tarafındaki bir şeyin sizinle kesinlikle “hiçbir ilgisi olmadığını” kanıtlayabilir misiniz? Ama diyelim ki, gezegenin diğer tarafındaki bir kaya sizi herhangi bir şekilde ilgilendirmiyor mu? Şimdiye kadar, sizinle ilgili olmadığını mümkün olan her şekilde kanıtlayamıyoruz. Özellikle de “yapacak bir şey yok”un anlamı konusunda olabildiğince açıksak.
"Yıldızlarla Dans Etmek" izleyicileri, ev sahibi Tyra Banks'i göstermeye henüz ısınmadı. Bir takdir gönderisinin yorumlar bölümünde kavrulmuştu.
'Spectre' filminden sonra Daniel Craig, bir daha James Bond oynamakla ilgili bazı kötü şeyler söyledi. 'Ölmek İçin Zaman Yok' yıldızı şimdi pişmanlık duyuyor.
Carmel'in 'Nine Perfect Strangers' hikayesi şok edici bir hal aldı. Ancak izleyicilerin merak ettiği şeylerden biri de onun gözü.
'Sex Education' Sezon 3, Netflix'e geri döndü. Hayranlar, Alistair Petrie (Bay Groff) ve Connor Swindells'in (Adam) gerçek hayatta akraba olup olmadığını merak ediyor.
Facebook'ta adınızı değiştirmek ister misiniz? Sadece birkaç basit adımda yapmak kolaydır.
Her zaman 10.000 adımlık bu keyfi günlük hedefin gerisinde kalıyorsanız, iyi haberlerimiz var. Daha az adım atarsanız sağlığınız da aynı derecede fayda sağlayabilir.
Garden State, ABD'de kendi gazınızı pompalamanın yasa dışı olduğu tek eyalettir. Ne oluyor?
Bu arada, alacakaranlıkta ve dolunayda araba kullanmak da size bir iyilik yapmıyor.
Ford, Ecoboost V6 motorlu 600 beygir gücündeki yeni Ford GT'yi Detroit Otomobil Fuarı'nda tanıttı. Karbon fiber ve alüminyum yapısı, 1960'larda yıllarca dayanıklılık yarışlarına egemen olan GT40'tan ilham alarak hafif ve aerodinamik hale getiriyor.
Bernie Sanders 1941'de doğdu. Neredeyse hayatının tamamı boyunca siyasetle uğraştı.
Memur Max Hardigrew'un, yıkık dökük ahşap koridorlarla birbirine bağlanan 70 kadar eski Winnebago'dan oluşan başıboş bir koleksiyon olan Max Hardigrew'in malikanesine giderken, insan yüzüne vuran çiğ bir bifteğin ıslak tokatı avluda yankılandı. Polis memurunun Hardigrew'un yardımına şimdi her zamankinden daha fazla ihtiyacı vardı, ama o parlak münzeviyi ziyaret etmekten asla hoşlanmamıştı.
Rich Brooks fotoğrafı. Bir plaj pikniği her zaman kulağa hoş gelir, ancak ıslak sandviçler ve bir ağız dolusu kum istemediğiniz sürece, biraz planlama yapmanız gerekir.
Megan Thee Stallion, Perşembe günü yeni işbirliğini duyuran bir Instagram videosunun yanında, “Sporun olmasını istediğiniz her şey olduğunu bilmenizi sağlamak için fitness hikayemi paylaşıyorum” dedi.
Şarkıcı, kolluk kuvvetleri tarafından öldürülen 61 Siyah kadın ve kızı onurlandıran bir marş yaratmak için Afro-Amerikan Politika Forumu ve eğlence arkadaşlarıyla bir araya geldi.
Heather Locklear, nişanlısı ve lise aşkı Chris Heisser'ın 60. doğum gününü bir hatıra fotoğrafı paylaşarak kutluyor
Tim Donnelly'nin Cuma günü New Mexico'daki evinde ameliyattan kaynaklanan komplikasyonlar nedeniyle öldüğü bildirildi.