Herhangi bir üçgenin, daha büyük bir üçgenin ortalar üçgeni olabileceğini gösterme. Bunu kullanarak üçgenin yüksekliklerinin tek noktada (diklik merkezinde) kesiştiğini gösterme.Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.
Bu videoda şunu ispatlayacağız: Seçtiğimiz herhangi bir üçgen, daima daha büyük başka bir üçgenin orta üçgeni olabilir. Orta üçgen diyerek neyi kast ediyorum? Yani bu üçgenin her köşesi daha büyük bir üçgenin bir kenarının orta noktası olabilir. Böyle bir üçgen her zaman oluşturulabilir. Dolayısıyla herhangi bir üçgen, başka bir üçgenin orta üçgeni haline getirilebilir. Bunun için, bu noktadan geçen, ama bu kenara paralel bir doğru çizelim. Yani bu kenarla alt kenar birbirine paralel. İşte böyle. Ve hemen, açılarla ilgili ilginç bir şeyler gözümüze çarpıyor. Bu iki paralel doğru parçasını kesen böyle bir doğru çizelim. İç ters açıların birbirine eşit olduğunu biliyoruz. Yani bu açının ölçüsü bununkine eşit. Ayrıca bu mavi açının da bu mavi açıya burada ki mavi açıya eşit olduğunu söyleyebiliyoruz. Şimdi aynısını diğer iki kenara da uygulayalım. Öyle bir doğru çizelim ki, üçgenin bu kenarına paralel olsun ama bu noktadan geçsin. Şöyle mümkün olduğunca düzgün bir şekilde çizeyim. Bu iki arkadaş birbirine paralel. Bir doğruya paralel, ama o doğrunun üstünde olmayan bir noktadan geçen başka bir doğru her zaman çizilebilir değil mi. Yine iç ters açılardan faydalanıyoruz. Bu turuncu açının iç ters açısı bu açı. Ayrıca bir de yöndeş açılarımız var. Bu mavi açı, bu açıyla yöndeş. Şimdi bir doğru daha çizelim. Bu kenara paralel olsun ve bu noktadan, yani kenarın karşısındaki köşeden geçsin. Çiziyorum. Şöyle değil mi? Şimdi ne yapıyoruz? Bu sefer de bu ikisi paralel yeşil doğru bunları kesiyor. O halde de bu açı ve bu açı, yöndeş açılar. Yeşil doğruyu pembe doğruları kesen doğru olarak düşünürsek, bu açıyla bu açı yöndeş açılar olur. Pembe doğruyu sarı doğruları kesen bir doğru gibi düşünürsek bu açıyla bu açı yöndeş açılar olur ve sarı doğruyu pembe doğruları kesen bir doğru olarak düşünürsek, bu açıyla bu açı yöndeştir. Ve son olarak, bu sarı doğru paralel yeşil doğruları kestiğinden, bu turuncu açıyla bu, yöndeş açılardır. Yöndeş açılar yani bu açıların ölçüleri eşit. Çünkü sarı doğru iki yeşil doğruyu birden kesiyor. Yani içteki küçük üçgenden başlayarak bu şekilde paralel doğrular çizince ilki dahil üç küçük üçgen elde ediyoruz ve hepsi de benzer üçgenler. Benzer olduklarını nereden biliyoruz? Aynı açılara sahipler de ondan. İki üçgenin benzer olabilmesi için iki açısının eşit olması yeterli ama buradaki üçgenlerin dördünde de üç açı birden birbirine eşit. Demek ki üçgenlerin benzer olduklarını gösterdik ve ayrıca, ayrıca bunların eş üçgenler olduğunu da söyleyebiliriz. Mesela bu sarı kenar bu üçgende turuncu ve yeşil açıların arasında. Aynı zamanda bu üçgende de buradaki üçgende de turuncu ve yeşil açıların arasında değil mi. O halde burada da bir açı-kenar-açı eşliği var. Yani bu iki üçgen, eş üçgenler. Gelelim buraya. Bu yeşil kenar asıl üçgende, esas üçgende turuncu ve mavi açıların arasında. Aynı şekilde, bu üçgende de turuncu ve mavi açıların arasında kalıyor değil mi. Yani bir açı-kenar-açı benzerliği daha söz konusu. Bu üçgen buna o da buna eş. Aynı mantığa göre, ortadaki üçgenle alttaki üçgen de eş üçgenler. Bakın mavi açı pembe kenar, yeşil açı. Mavi açı yine, pembe kenar yine, yeşil açı. O halde bu üçgenler de eş üçgenler. Demek ki tüm üçgenler birbirine eşmiş. O halde birbirine karşılık gelen kenarları da eşittir. Bu üçgene bakalım. Yeşil açıyla mavi açı arasında kalan bu kenar aynı açılar arasında kalan bu kenara ve bu kenara eşit olur. Hemen fark etmişsinizdir ki bu nokta A noktası olsun. Aslında önceden isim versem daha iyi olurdu, daha kolay olurdu. Bu A noktası bu BC kenarının orta noktasıdır. İlginç bir sonuç değil mi? Şimdi diğer kenarlara bakalım. Yeşil kenar, tüm üçgenlerde mavi ve turuncu açıların arasında. Mavi ve turuncu açılar, yeşil kenar. Mavi ve turuncu açılar, yine yeşil kenar. Yani bu uzunluk da bu uzunluğa eşit. Bu noktaya D buna da mesela E noktası diyelim. Gördüğünüz gibi D noktası, BE kenarının orta noktası. Ve son olarak, sarı kenar, yeşil ve turuncu açıların arasında kalıyor. Yeşil açı turuncu açı, sarı kenar. Ve yine yeşil açı turuncu açı sarı kenar. Üçgenlerin hepsi eş üçgenler. O halde bu F noktası da, F noktası da EC kenarının orta noktası. Ve işte, amacımıza ulaştık. Keyfi seçtiğimiz bir ADF üçgeninden hareketle öyle bir BCE üçgeni oluşturduk ki BCE üçgeni oluşturduk ki ADF üçgeni BCE üçgeninin orta üçgeni haline geldi. Ve ADF üçgeninin köşeleri, BCE üçgeninin kenarlarının orta noktalarını teşkil etti. Şimdi şunu diyebilirsiniz: "Bravo, tebrikler bu çok ilginç ama, bunu ispatladık da ne oldu?" Söyleyeyim şu oldu: Bu gerçekten yola çıkarak, bu üçgenlerin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini göstereceğim. Tabi önce bir yükseklikleri çizelim. A köşesinin yüksekliği bu. Köşeden başlayıp dik bir şekilde karşı kenara iniyor. D köşesinin yüksekliği bu ve F köşesinin yüksekliği de bu. Zaten tüm bu videoyu, bu yüksekliklerin tek bir noktada kesiştiğini gösterebilmek, ispat edebilmek için hazırladım. Şimdi tek bir noktada kesiştiklerini nereden biliyoruz? Bunun cevabını verebilmek için bu yüksekliklerle büyük üçgen arasındaki ilişkiye bakmak lazım. Bu yükseklikler büyük üçgenin nesi oluyor? Hatırlayın: Bu iki kenar, yani AD ve CE kenarları birbirine paralel. O halde bu açı 90 derece olduğuna göre iç ters açısı da 90 derece olur değil mi. Yani bu yükseklik hem CE kenarına dik, hem de bu kenarın ortayı. Çünkü ADF'nin orta üçgen olduğunu biliyoruz. Bu nokta, bu kenarın orta noktası. O halde bu yükseklik, bir dik ortaydır. Bu yükseklik, büyük üçgenin, yani BCE üçgeninin CE kenarına dik bir ortaydır. Demek ki küçük üçgenin, küçük üçgenlerin yükseklikleri, büyük üçgenin ortayları oluyor. Tüm yükseklikler için geçerli bu. Bu açı 90 derece olduğuna göre bu açı da 90 derece. Çünkü bu kenar buna paralel. Ve bunlar iç ters açılar olduğu için, birbirine eşit. Küçük üçgenin bu yüksekliği, büyük üçgenin bu kenarını tam ortadan ve dik bir şekilde ikiye bölüyor. O halde bu, büyük üçgenin BE kenarının dik ortayıdır. Son olarak, aynısı bu yükseklik için de geçerli. Bu yükseklik de bu kenarı dik bir şekilde ikiye bölüyor. Nereden biliyoruz? Çünkü bu iki pembe kenar birbirlerine paralel. O halde bu da bir dik ortaydır. Ve buradan, şu sonuca ulaşıyoruz: Herhangi bir üçgenin yükseklikleri, tek bir noktada kesişir. Çünkü her üçgen, daha büyük bir üçgenin orta üçgeni haline getirilebilir. Ve küçük üçgenin, küçük üçgenlerin yükseklikleri büyük üçgenin dik ortayları olur. Ve herhangi bir üçgenin dik ortaylarının tek bir noktada kesişir.Bu kadar.