0 değeri hariç diğer girdi değerlerinde sıfır olan bir fonksiyondur, dirac delta fonksiyonu. Aslında matematikte fonksiyon olarak kabul görülmese de dirac delta fonksiyonu matematikte genelleştirilmiş fonksiyonlar arasındadır. Genelleştirilmiş bir fonksiyon, bir fonksiyonun klasik kavramının genelleştirilmesidir. Böylelikle bir noktasal yükün yoğunluğu ya da bir şeyin uzaysal yoğunluğu gibi idealleştirilmiş kavramlar matematiksel olarak uygun bir şekilde ifade edilmiş olunur. Bu tanımdan yola çıkarak dirac delta fonksiyonu için idealize edilmiş bir noktasal kütle veya noktasal yük gibi bir noktasal cismi temsil etmek için tasarlanan bir matematiksel yapı olarak tanımlayabiliriz. Dirac delta fonksiyonu genellikle kuantum dalga fonksiyonunda kullanıldığı için, kuantum mekaniğinde ve kuantum fiziğinin geri kalanında çok geniş uygulamalara sahiptir. Delta fonksiyonu Yunan alfabesindeki küçük delta sembolü ile gösterilir ve δ(x) şeklinde yazılır.
Tekrar 0 girdi değerine geri dönelim. Dirac delta fonksiyonu tanımı itibariyle 0 girdi değeri dışında her yerde 0 değeri alan bir fonksiyon, bir genelleştirilmiş fonksiyon veya dağılımdır. Bu dağılımda, sadece bir noktadaki çok yüksek artış temsil edilir. Bu artışın çizgi integrali 1’e eşittir. Matematikte fonksiyon olarak anılmaması da 0 girdi değeri ile alakalıdır çünkü matematikte bir fonksiyonun fonksiyon olma özellikleri arasında 0 girdi değerinde sonlu bir değere sahip olması gerekir. Ancak delta fonksiyonu 0 girdi değerinde sonlu bir değer almaz, sonsuzu işaret eder. Basit bir şekilde fonksiyonun bir başka tanımını şöyle yapabiliriz,
Eğer x=0 ise, δ(x)=+∞’dur.
Eğer x=0’dan farklı bir değerse, evet, δ(x)= 0 ve integrali,
Hiç kullanışlı bir fonksiyon gibi görünmüyor diye düşünecek olursanız yanılırsınız. Kuantum mekaniğinde, Fourier dönüşümlerinde, sinyal işlemede, dijital görüntülemede Dirac delta fonksiyonu oldukça yararlı ve “iş gören” bir fonksiyondur.
Tanımın uygulamasını sağlamak için girdi değerlerinin farklı olduğu birkaç örnek verelim.
δ(5) = 0
δ(-20) = 0
δ(38.4) = 0
δ(-12.2) = 0
δ(0.11) = 0
δ(0) = ∞
Tanım üzerinden örnekler verip bu fonksiyonla yapılabilecekleri biraz daha çeşitlendirelim. Mesela, bu fonksiyonu bir sabit ile çarparak büyütebilirsiniz. Çünkü cebirin kuralları bu fonksiyon üzerinde geçerli ve cebirin kuralları altında, sabit bir değerle çarpılması integral değerini sabit faktörü kadar artıracaktır. Tüm gerçek sayılar boyunca δ(x)’in integrali 1 olduğu için, bir sabit ile bu fonksiyonu çarptığımızdan yeni integral o sabite eşit olacaktır. Örnek olarak, 27δ(x)’in tüm real sayılar boyunca integrali 27’dir.
Sadece 0 için bu fonksiyon sıfır olmayan bir değere sahip olduğu için başka bir kullanışlı kullanım düşünülebilir. Eğer noktanızın 0’da denk gelmediği bir koordinat düzlemine bakıyorsanız, bu fonksiyonun giriş değer kısmı içindeki bir ifade ile gösterilebilir. Yani eğer x=5 konumunda bir parçacığı göstermek istiyorsanız, Dirac delta fonksiyonunu δ(x-5) olarak yazabilirsiniz ve δ(5-5)= ∞’u sağlar. Ama hatırlayın, integrali 1’dir.
Eğer siz bu fonksiyonu bir kuantum sistemi içindeki bir dizi noktasal parçacığı temsil etmek için kullanmak isterseniz, değişik dirac delta fonksiyonlarını birlikte ekleyebilirsiniz. Örnek olarak, x=5 ve x=8 konumlarında bir fonksiyon δ(x-5) + δ(x-8) olarak yazılabilir. Tüm sayılar üzerinden bu fonksiyonun bir integralini alırsak, gerçek sayıları gösteren bir integral almış olursunuz, hatta fonksiyonlar bu noktaların olduğu diğer tüm konumlarda 0 olsa bile. Bu kavram iki veya üç boyutlu bir uzayın temsili için genişletilebilir. İki ve üç boyutlu dirac delta fonksiyonları hakkında da bilgi vereceğim ama bu matematiksel gösterimlerden önce biraz daha tanım vermek istiyorum.
Delta fonksiyonu 0 girdi değerinde sonsuzdur ve diyoruz ki, bu fonksiyonunun integrali 1’e eşittir. Dolayısıyla bunu aşağıdaki grafikte olduğu gibi birim alanda sonsuz uzunlukta ve darlıkta bir dağılım olarak düşünebiliriz.
Dirac delta fonksiyonu teorik fizikçi Paul Dirac’in adıyla anılır ama bu fonksiyon daha eskiye dayanır. Dirac bu fonksiyonun kuantum mekaniğinden kullanışlı olduğunu göstermiştir. Matematikçilerin ilk zamanlarda pek sevmediğinden olsa gerek bu fonksiyonun değerli olduğunu gösteren Dirac olunca, adlandırması Dirac delta fonksiyonu olarak yapılmış. Dirac 1930 yılında yayınladığı Kuantum Mekaniğinin İlkeleri isimli kitabında ilk olarak bu delta fonksiyonu ve bra-ket notasyonunu içeren kuantum mekaniğinin anahtar konularını ele almıştı. Ardından bunlar Schrödinger denklemi içinde kuantum mekaniğinde standart kavramlar haline geldiler.
Şimdi biraz daha matematiğe başvuralım. İlk olarak delta fonksiyonunun matematiksel gösterimini yapalım ve bu arada biraz Fourier dönüşümlerine ve delta fonksiyonun ilk çıkış noktasına gidelim. Sonra Dirac niye delta fonksiyonuna ihtiyaç duymuş sorusuna geçeriz.
Dirac delta fonksiyonu Fourier teorisinde sıkça kullanılan bir kavramdır. Joseph Fourier ilk olarak Théorie analytique de la chaleur adlı eserinde Fourier integral teoreminde delta fonksiyonunu kullanmıştır:
burada delta fonksiyonu şu şekildedir,
Sonra, Augustin Cauchy üstel ifadeler kullanarak teoremi genişletti,
Cauchy bazı durumlarda bu sonuçtaki integrasyonun önemli olduğunu vurguladı.
Dağılımlar teorisini kullanarak, Cauchy denklemi Fourier’in orjinal formülasyonuna benzemesi için yeniden düzenlenebilir ve delta fonksiyonu ortaya çıkarılabilir:
Ve delta fonksiyonu bu şekilde ifade edilir:
Fourier integralinin genelleştirilmesini içeren daha ileri gelişmeler Michel Plancherel’in L2-teorisi ile 1910’da başladı ve 1930 yılında Norbert Wiener ve Salomon Bochner’in çalışmaları ile devam etti. 1945 yılında Laurent Schwartz’ın dağılımlar teorisi ile sonuca ermişti. Bu çalışmalar ise Dirac delta fonksiyonunun gelişimine yol açmıştır.
1930 yılında ise yukarıda sözünü ettiğimiz Kuantum Mekaniğinin İlkeleri isimli kitabında Dirac delta fonskiyonunu “uygun gösterim” olarak sunmuştu ve bu kitapta bu fonksiyonu kesikli Kronecker delta fonksiyonun sürekli bir analogu olduğu için delta fonksiyonu olarak adlandırmıştır. Bu kitabın 59. sayfasında, delta fonksiyonunun en önemli özelliğinin şu denklem ile örneklenebilir olması olduğunu belirtiyor:
Burada f(x) x boyunca sürekli bir fonksiyondur. Bu denklemin sol tarafı sadece orjine çok yakın f(x) değerlerine bağlı olabilir, dolayısıyla orjindeki f(0) değeri ile yer değiştirebilir. Bu durumda yukarıdaki denklemden şöyle bir formül çıkarsama yapılabilir,
Burada a reel sayıdır.
Bir çizgi boyunca bir parçacığın hareketini düşünelim. Parçacığın |Ψ> durumunu parçacığın konum temsilini kullanarak tanımlayalım. Bu durumda |Ψ> bir parçacığın x konumunda bulunmasını tanımlar ve süreklidir. Genel durumu şu şekildedir,
|Ψ>=a1|x1>+a2|x2>+…
|x> sürekli olduğu için
denkleminin bir integral toplamını değiştirmeliyiz,
f(x) burada parçacığın x’de bulunma genliğidir. x’ deki parçacığın bulunma genliği ise
Bu bağıntı herhangi bir |Ψ> durumu için geçerli olmalıdır ve dolayısıyla herhangi bir f(x) fonksiyonu için de. Bu gereklilik f(x’) genliğini tamamen belirlemelidir.
Şimdi problem f(x) ile çarpıldığında ve x üzerinden integrali alındığından f(x’) niceliğini veren bir <x’|x> fonksiyonunu bulmaya dönüşür. x’=0 durumunu ele alalım ve genliği <0|x> olarak tanımlayalım x’in fonksiyonu olacak şekilde, ve yukarıdaki son eşitlik bize şu denklemi sağlar
Nasıl bir g(x) fonksiyonu bunu mümkün kılar? İntegralin 0’dan ziyade diğer x değerleri için f(x) değerlerinin ne olduğuna bağlı olmaması için, g(x) 0 hariç tüm x değerleri için açıkça sıfır olmalıdır. Ama eğer g(x) her yerde 0 ise, integral de sıfır olacaktır ve son denklem sağlanmamış olur. Bu durumda, bir fonksiyonun bir nokta hariç her yerde sıfır olmasını ve bu durumda bile sonlu bir sonuç vermesini istiyoruz. Bunu karşılayacak bir matematiksel fonksiyonu olmadığı için en kolay yol g(x)’in yukarıdaki denklemle tanımlandığını ve g(x) adında bir fonksiyonun bu denklemi sağladığını söylemektir. Dirac’ın yaptığı da bu oldu. Bunun dışında, burada yer vermediğim kitabının 61. sayfasındaki delta fonksiyonunun başka bir kullanımında, bu fonksiyonun çarpışma süreçlerinin kuantum teorisinde önemli bir paya sahip olduğunu belirtiyor.
Dirac Delta Fonksiyonunun Özellikleri
Dirac delta fonksiyonu bazı bilinen özelliklere sahiptir. Bu özellikle cebirsel işlemlerle uygulanan temel denklemlerdir. Bu özelliklerde göreceğiniz üzere, uygulanan cebirsel bir işlemle bile eşitliğin sağ ve sol kısımlarının integral sonucu aynıdır. Aşağıda dirac delta fonksiyonunun bazı özellikleri tanımlanmıştır.
Yazımızın sonuna gelmeden iki boyutlu dirac delta fonksiyonlarından kısaca söz etmek istiyorum. Optik ve görüntüleme alanları iki boyutlu dağılımlarla ile ilgilidir ve bu alanlarda bu fonksiyon iki boyutlu dirac delta fonksiyonu şeklinde tanımlanarak kullanılır,
bu ifade delta(x) fonksiyonunun iki boyutlu versiyonunu gösteriyor.
Bu ifade, sinyal işlemede kullanılan impuls fonksiyonunun iki boyutlu analogu olan delta fonksiyonu olarak tanımlanabilir. Bir görüntüleme sistemi açısından bu fonksiyon görüş alanının merkezinde tek bir parlak nokta olarak düşünülebilir, tıpkı bir teleskopla görüntülenen tek bir parlak yıldız gibi.
Ayrıca, iki boyutta, bir f(x,y) fonksiyonu için
Burada δ(x-a,y-b) a, b konumlarında yer alan bir delta fonksiyonudur. Bu özellik dijital görüntü işleme ve görüntü oluşturma teorisinde yaygın olarak kullanılan katlama fikrinin (üçüncü bir sinyal oluşturmak için iki sinyali birleştirmenin matematiksel bir yolu) merkezidir.
Referanslar:
http://physics.about.com/od/physicsatod/fl/Dirac-Delta-Function.htm
http://www2.ph.ed.ac.uk/~wjh/teaching/Fourier/documents/delta.pdf
http://physics.unipune.ernet.in/~phyed/27.1/1191%20revised(27.1).pdf
V.S. Vladimirov, Methods of the Theory of Generalized Functions, CRC Press, 2002
https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition, 1958, Oxford University Press