Asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamanın çeşitli yolları var. Riemann zeta fonksiyonun analitik özelliklerini kullanarak bunun bir ispatını (bkz. Asal sayıların sonsuzluğu) daha önce vermiştik.
Temel topolojik fikirleri kullanarak da sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu göstermek mümkündür. Bunu yapmak için Fürstenberg’in fikrini kullanalım ve tam sayılar kümesi üzerinde bir topoloji tanımlayalım. Sıfırdan farklı her tamsayısı için kümesi aşağıdaki gibi olsun
Boş küme ve ‘lerin birleşimleri açık kümelerimiz olsun. Bu tanımdan yola çıkarak kolayca görürüz ki:
- ve açık kümelerdir.
- Açık kümelerin birleşimi açık bir kümedir.
- İki açık kümenin kesişimi açık bir kümedir. Bunu görmek için kesişim kümesinde bir elemanı alalım. O zaman ve alt kümeleri vardır. Eğer dersek, olur.
Dolayısıyla topolojik aksiyomların her biri sağlanmış oluyor.
Bu sayı teorik topolojinin sağladığı ilginç özellikler var. Örneğin hiçbir açık küme (boş olmayan) sonlu sayıda eleman içermiyor. Diğer bir deyişle sonlu bir kümenin tamamlayanı (complement) hiçbir zaman kapalı olmuyor. Bir diğer özellik ise her kümesinin hem açık hem de kapalı olmasıdır.
Şimdi bu iki özelliği kullanarak sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu gösterelim. Bütün asal sayıları için kümelerinin birleşimini düşünürsek, sadece -1 ve 1 dışarıda kalacaktır. Yani
olur. Eğer sonlu sayıda asal olsaydı, sonlu sayıda kapalı kümenin bileşkesi olduğundan, sağ taraf kapalı olacaktı. Ama biz sol tarafın kapalı olmadığını biliyoruz çünkü sonlu bir küme. O yüzden sonsuz çoklukta asal sayı olmalıdır.