Bu dersteki konumuz trigonometrik fonksiyonların birim çember yardımıyla açıklanması.
Şimdi, birim çember biliyorsunuz merkezi orijin yani 0'a 0 ve yarıçapı 1 birim olan çemberdi.
Birim çember üzerinde aldığımız bir P(x,y) noktasını hemen orijinle birleştirelim.
Buradaki OP yarıçap olur ve uzunluğu 1 birim olur arkadaşlar.
Burada OP bir ışındır.
x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açıya bunun biz α diyelim.
Şimdi P noktasının apsis ve ordinatının büyüklüklerini trigonometrik fonksiyonlarla açıklamaya çalışacağız.
Arkadaşlar, x eksenine bundan sonra biz kosinüs ekseni, y eksenine de bundan sonra sinüs ekseni diyeceğiz. Dolayısıyla, bu P noktasının x ekseni üzerine dik izdüşümü olan OH uzunluğu α cinsinden ifade edilmesi gerekirse, bu OH'nin kosinüs α olacaktır. Aynı şekilde PH burada, şuraya T noktası dersek o da OT uzunluğuna eşit olur.
Yani aslında P noktasının y ekseni üzerindeki dik izdüşümü bu da. O da sinα olacaktır yani α'nın sinüs büyüklüğüne eşit olacaktır.
P noktasının apsisine α açısının kosinüsü denir ve cosα ile gösterilir.
Ordinatına ise α açısının sinüsü denir arkadaşlar.
O da sinα biçiminde gösterilir.
Şimdi burada önemli birkaç tane sonucumuz da var.
Burada POH üçgenine bakacak olursak ve bu üçgende bir Pisagor bağıntısı yazarsak, biz ne demiştik?
Birim çember üzerindeki her bir noktanın apsisinin karesiyle ordinatının karesinin toplamı 1'e eşittir.
Dolayısıyla buradan sin²α artı cos²α eşittir 1 eşitliğini elde etmiş olduk.
Bu çok çok önemli bir eşitliktir ki bazı durumlarda mesela bize sin²α lazım olacak.
Biz bunun yerine 1- cos²α yazacağız arkadaşlar.
Ya da işte bize cos²α lazım olduğunda da onun yerine 1-sin²α yazacağız.
Ya da tam tersi, tabii ki onlar da geçerlidir.
Ya da 1- cos²α'yı açmak gerekirse onu biraz da hatta kısa yazayım. farkından parçaladım onu.
Ya da 1-sin² yerine 1 eksi s, 1 artı s şeklinde de bu trigonometrik ifadelerin özdeş olan diğer ifadeleri kullanılabilir.
Sorular içerisinde, bu hangisi bize lazım olursa onu tercih ederek kullanacağız. Bir başka önemli noktaya gelelim şimdi. Biliyorsunuz P noktasını biz birim çember üzerinde almıştık ve birim çember üzerinde bulunduğundan apsis ve ordinat değerleri hiçbir zaman -1'den küçük ya da 1'den büyük olamaz.
Neden?
Birim çemberin adı üzerinde yarıçapı 1 birim yani sağdan ve soldan 1 birimlik uzaklığa kadar gitmesi.
Bu ne demek?
Alttan üstten de aynı şekilde daha fazla gidemez.
Yani -1'den küçük, 1'den büyük olamaz.
O halde arkadaşlar iki önemli sonuç daha söylüyorum şimdi.
sinα her zaman -1 ile 1 aralığında değer alır.
Aynı şekilde cosα da öyledir arkadaşlar. -1 ile 1 aralığında değer alır diyoruz her iki trigonometrik fonksiyon da.
Şimdi bir örnekle artık öğrendiklerimizi uygulamaya çalışalım. O merkezli birim çemberde verilenlere göre, yani iki tane açı şekli üzerine yerleştirilmiş.
T ve S noktalarının koordinatlarını bulunuz.
Evet, hemen isterseniz S noktasından başlamak istiyorum ben.
Şimdi burada bir 40 derecelik açı var.
Bunu ne yapıyorduk?
Önce x eksenine düşürüyorduk. Şurası, x ekseninin adı neydi?
Bundan sonra biz ne ekseni demiştik ona?
cos ekseni.
y eksenine de sinüs ekseni demiştik arkadaşlar.
Dolayısıyla, bunu x ekseni üzerine dik iz düşürdüğümüzde orası kosinüs 40 derece yapacaktır apsisi.
Ordinatı ise, ordinata ne demiştik?
Buradaki sinüs değeriydi değil mi?
Bunu karşıya aldığımızda o da sinüs bakın şurayı söylüyorum.
Burası neydi?
Sinüs 40 dereceydi.
Burası da kosinüs şimdi bunu söyledik.
Şu parantezimiz biraz küçük kalmış burada.
Hemen, onu büyüttükten sonra T noktasına bakalım.
Şimdi ama burada 20 derece verilmiş fakat biz ne demiştik?
Açıyı seçerken x ekseniyle pozitif yönde yapılan aşağıya bakacağız.
Yani aslında benim şuraya bakmam lazım. O halde bunun tamamı 180 olacak ya hemen 20'nin bütünlerini alıyorum.
Yani 180 eksi 20 yapıyorum. O halde buraya arkadaşlar ben ne diyeceğim?
160 derece diyeceğim.
O halde yine hemen yazmaya başlayalım.
Bunu x eksenine düşürdüğümüzde yani apsis büyüklüğü bunun, kosinüs 160 derece olacaktır.
Aynı şekilde y eksenine düşürdüğümüzde de sinüs 160 derece de ordinat büyüklüğü olacaktır.
T noktasının da koordinatlarını bu şekilde bulmuş olduk değerli arkadaşlar ve bir sonraki örneğime geçtim.
Aşağıdaki trigonometrik ifadelerin değerlerini birim çember yardımıyla bulunuz.
Çok çok güzel bir soru.
Şimdi biz ne demiştik x ekseni için?
Tekrar söylüyorum, kosinüs ekseni.
y ekseni için ne demiştik?
Sinüs ekseni.
Açıları da isterseniz yerleştirelim.
Şimdi burası 0 derecedir, başlangıç.
Şurası geldim fark etmez aynı şey demek radyan cinsinden de. Burası 180 derece, dönüyorum tekrar, bir 90 daha döndüm.
Burası 270 derece.
180 yerine π ya da 270 yerine 3π bölü 2 yazabilirsiniz.
360 derece de zaten aynı yer bakın.
Şuraya yazalım isterseniz. ama kimin değeri 1 biliyor musunuz?
Kosinüsün değeri 1.
Yani aslında cos0'ı bana sorduğunda 1. Peki hocam, burada sin0 nedir?
Şimdi 0 derecenin karşılığı burada yok.
Neden?
Kosinüs ekseni burası.
Dolayısıyla, sinüsün burada değeri çıkmaz. Bu 0 olacaktır arkadaşlar.
Geliyorum 90'a, artık bunu tahmin ediyorsunuzdur.
90 dereceye bakıyorum. Hocam, buradaki değer +1 olmuş yine ama kimin değeri?
Sinüs 90.
Tabii ki sinüs 90 1'dir.
Peki kosinüs 90 nedir?
Kosinüsün bu eksende yeri olmadığı için karşılığı yoktur, 0'dır diyeceğiz. Hemen geldim 180 dereceye.
Kosinüs ekseni üzerindeyim, sonucum -1 çıkmış.
O halde kosinüs arkadaşlar.
Geldim 270 derece.
Sinüs eksenindeyim, değerim -1.
O halde sinüs 270'e -1 derken kosinüs alıyorlar.
360'a geldim.
Zaten 360 ne dedim?
Sinüs üç, dörtlü var ya.
O dörtlüyü tekrar edecek bundan sonra.
Dolayısıyla bu 0 olacak bu da kalabilir bence ama yine de birim çember üzerinden elde etmeyi bildikten sonra çok fazla ihtiyaç duyacağınızı sanmıyorum.
Bakın, sinüs ne yapıyor?
Bir 0, bir +1, bir 0, bir -1 şeklinde.
Kosinüs de aynı şekilde.
O da 1 ile başlar.
1, 0, -1, 0 şeklinde değerler alır arkadaşlar.
Peki.
Şimdi gelelim bir sonraki sorumuza.
Burada da sinüsün ve kosinüsün almış olduğu, -1 ile +1 arasında almış olduğu değerler hakkında güzel bir soru var. a eşittir, her x ve y eleman reel sayı için, değer verilmiş ve diyor ki 2a+3b ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır?
Şimdi burada ben biliyorum ki arkadaşlar, sinüs x az önce de ifade ettim, dersin başında da söylemiştik.
+1 ve -1 aralığında değer alır. Önce bunu 3'le çarpıp 2 toplayarak a'yı bulmuş olacağım.
Yani a'nın aralığını.
Hemen her tarafı sinüs x değil mi?
+3.
2 topluyorum her tarafa, şurası -1 olacak.
Bu burası 3sinx+2, a yazayım artık onun yerine isterseniz.
2 toplamıştım, burası da 5 olacak.
Bu a'nın aralığı.
Yalnız benden 2a istenmiş.
Hemen ikiyle çarpıyorum, -2.
Burası 2a, burası da 10 oldu değerli arkadaşlarım.
Geldim şimdi, orada da kosinüs x var.
Aynı şeyi kosinüs x için de söylemiştim zaten.
Kosinüs x de -1 ile +1 arasında değer alır.
2cosx'i istemiş.
Hemen ikiyle çarpıyorum. Şurası 2cosx.
Burası -2, +2 oldu.
Her taraftan Ne yaptım?
1 çıkardım arkadaşlar, burası da 1 oldu.
3b istemişti, hemen 3'le çarpıyorum -9.
3b, burası da +3.
Arkadaşlar şu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak, 2a+3b.
Daha doğrusu eşitsizliği demeliydik değil mi?
Bunlar eşitsizliktir.
Bu iki eşitsizliği taraf tarafı toplarsak ne olur?
-2 ile -9'u topluyorum.
Şurası -11 olacak.
Yine eşitlik var.
Burası ne oldu?
2a+3b oldu.
Hemen sağ taraflarını da yani sağ uçlarını da toplayalım. arkadaşlar, bu ifadenin alabileceği en büyük değer görüyorsunuz kaç?
13.
Hemen en küçük değeri de söyleyelim.
O da sol uçtan rahatlıkla anlaşılıyor, -11.
Bu iki değerin benden toplamı istenmiş.
13 eksi 11'den 2 olarak sorumuzun cevabı da bulunmuş olur ve bu soruyla birlikte dersimizin sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki derste görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Birim çemberde kosinüs fonksiyonu nasıl gösterilir?
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası verilsin ve bu noktayı orijinle birleştiren [OP ışınının x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı α olsun.
P noktasının apsisine α açısının kosinüsü denir ve cosα ile gösterilir.
Kosinüs değerleri hangi aralıktadır?
P noktası birim çember üzerinde bulunduğundan apsis değerleri -1’den küçük ve 1’den büyük olamaz. O halde kosinüs değerleri -1 ile 1 aralığındadır.
Birim çemberde sinüs fonksiyonu nasıl gösterilir?
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası verilsin ve bu noktayı orijinle birleştiren [OP ışınının x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı α olsun.
P noktasının ordinatına α açısının sinüsü denir ve sinα ile gösterilir.
Sinüs değerleri hangi aralıktadır?
P noktası birim çember üzerinde bulunduğundan ordinat değerleri -1’den küçük ve 1’den büyük olamaz. O halde sinüs değerleri -1 ile 1 aralığındadır.