Pascal’ın Üçgeni, üçgen şeklinde düzenlenmiş sayılardan oluşan bir matematiksel desendir. Üçgende her sayı, doğrudan üstündeki iki sayının toplamıdır. Üçgen, sadece 1 sayısını içeren bir satır ile başlar ve her sonraki satır, önceki satırdaki yan yana olan sayıların toplamıyla oluşturulur. Pascal’ın Üçgeni, binom açılımları, olasılık teorisi ve sayı teorisi gibi çeşitli matematik alanlarında birçok ilginç özelliğe ve uygulamaya sahiptir. İsmini 17. yüzyılda üçgeni tanıtan Fransız matematikçi Blaise Pascal’dan almıştır.
Wonderopolis kafeteryasında iken, öğle aralarında bir kare, bir üçgen ve bir daire arasında komik bir etkileşim gözlemledik:
Kare: Siz ikisi ne yiyorsunuz?
Daire: Bir parça pi.
Üçgen: Bir dilim pizza.
Kare: Harika…gün boyunca enerjimizi koruyacak iyi bir kare yemeği gibi bir şey yok!
Üçgen: Sonra görüşürüz, Daire! Burası çok sıcak oluyor.
Daire: Haklısın, üçgen. Ben 360 dereceyim!
Bu kelime oyunu yapan karakterler bir süre devam ettiler, ama daha fazla kötü geometri şakası dinlemeye dayanamadık!
Şakaları bir kenara koyarak, bugünkü Merak Günü, bu şekillerden birinin özel bir versiyonuna odaklanıyor: üçgen. Daha spesifik olarak, Pascal’ın üçgenini tartışacağız.
Pascal’ın üçgeni, sayılardan oluşan sonsuz bir eşkenar üçgendir. Pascal’ın üçgenindeki sayılar basit bir kuralı takip eder: her sayı, üstünde bulunan iki sayının toplamıdır.
Pascal’ın üçgenine baktığınızda, en üstteki sayının bir olduğunu fark edeceksiniz. Üstten aşağıya inen her iki taraftaki tüm sayılar da birdir. Orta kısımdaki sayılar, üzerlerindeki sayılara bağlı olarak değişir.
Pascal’ın üçgeni sonsuz olduğu için, bir alt sınır yoktur. Sonsuza kadar devam eder. Pascal’ın üçgeni, 17. yüzyılda olasılık teorisi çalışmalarında üçgeni kullanan Fransız matematikçi Blaise Pascal’dan adını almıştır.
Bununla birlikte, Blaise Pascal aslında onun adını taşıyan üçgeni “keşfetmedi”. Binlerce yıl boyunca dünya çapında araştırıldığına inanılmaktadır. Tarihçiler, Pascal’dan önce Hindistan, Çin, Persia, Almanya ve İtalya’da yaşayan eski matematikçilerin Pascal’ın üçgenini incelediğine inanıyor. Pascal, üçgenin desenlerinde yeni uygulamalar geliştirdi ve bunları matematiksel bir çalışmasında detaylı olarak açıkladı.
Pascal’ın üçgeninin temel deseni oldukça basittir. Basitliğine rağmen, Pascal’ın üçgeni, olasılık, kombinatorik, sayı teorisi, cebir ve fraktallar gibi çeşitli diğer matematik alanlarına ilginç bağlantılarıyla tarih boyunca matematikçileri sürekli şaşırtmıştır.
Pascal’ın üçgenine ne kadar derinlemesine inerseniz, o kadar ilginç desenler keşfedersiniz. Bu, matematikte önemlidir çünkü matematik kendisi “desenlerin çalışması” ve hatta “desen bilimi” olarak adlandırılmıştır.
Pascal’ın üçgeninin matematiksel uygulamalarının birçoğu, ileri düzey matematikçi olmadığınız sürece anlamak zordur. Ancak, hatta genç öğrenciler bile Pascal’ın üçgeninde bulunan bazı basit desenleri tanıyabilir.
Örneğin, Pascal’ın üçgeninin sol tarafı tamamen birden oluşur. İçeri doğru olan sonraki sayılar, ilk çapraz olarak bilinen sayılar kümesidir: bir, iki, üç, dört, beş ve benzeri. Ayrıca, üstten başlayarak her yatay satırdaki sayıları toplarsanız, ilginç bir desen fark edeceksiniz. Her bir satırda bir aşağı hareket ettiğinizde, toplamlar ikiye katlanır, yani ikinin üssü haline gelirler!
Deneyin
Matematiksel eğlenceye hazır mısınız? Bir arkadaşınızdan veya aile üyesinden aşağıdaki etkinlikleri keşfetmenize yardımcı olmalarını isteyin:
- Eğer kendi Pascal üçgeninizi oluşturabileceğinizi düşünüyorsanız, eksik sayıları doldurarak pratik yapmak için bu Pascal üçgeni Çalışma Kağıdını yazdırabilirsiniz. Çalışma kağıdı ayrıca Pascal üçgeni ile ilgili diğer sorunları da içermektedir. Onlardan kaç tanesini tamamlayabilirsiniz?
- Eğlence için, The Twelve Days of Christmas ve Pascal üçgenini çevrimiçi olarak kontrol edebilirsiniz. Pascal üçgenini kullanmanın tüm hediyeleri takip etmek için basit bir yol olup olmadığını düşünüyorsunuz? Neden veya neden değil?
- Bir örnek Pascal üçgeninde, 3, 5 veya 7’nin katları olan tüm sayıları bulabilir misiniz? Deneyin! Pascal üçgenindeki Çoklu Boyama etkinliğini çevrimiçi olarak deneyebilirsiniz. Sadece “Rastgele Değer Ata” düğmesine tıklayın ve ardından verilen sayının tüm katlarını tıklayın. Kimin daha hızlı yapabileceğini görmek için arkadaşlarınız ve ailenizle meydan okuyun!
Merak Kaynakları
- http://www.livescience.com/51238-properties-of-pascals-triangle.html
- http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
- http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematics-as-the-science-of-patterns-mathematics-as-the-science-of-patterns
- http://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html