Taylor serileri, bir fonksiyona bir nokta etrafında yaklaşmak için kullanılabilecek güçlü açılımlardır. Bir Taylor serisini tamamen denklemlerden anlamak sezgisel olmayabilir ve onu nerede ve ne zaman kullanabileceğimiz konusundaki yaratıcılığımızı sınırlayabilir. Eylem halindeyken görsel sorgulama, ne yaptığına dair daha derin bir kavrayış edinmemize ve onu gerçek hayattaki uygulamalarda nasıl kullanabileceğimizi anlamamıza yardımcı olabilir.
Yukarıdaki denklem, 𝑎(𝓍) fonksiyonunu 𝑎 noktası etrafında yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılabilen Taylor serisidir. Daha yüksek mertebeden türevlerle ardışık mertebeden terimleri vardır, seriyi birinci mertebeden (birinci türev 𝑓 ′(𝑎'ye kadar), ikinci mertebeden (ikinci türev 𝑓 ′′(𝑎)'ye kadar) ve üçüncü mertebeden kesebiliriz. ….ve n. sıraya kadar.
Peki daha basit terimlerle ne yapıyor? Bildiğiniz belirli bir fonksiyon noktası etrafında bir polinom kullanarak bir fonksiyona yaklaşmanıza izin verir.
Denklemi görmek gerçekten onu doğru bir şekilde anlamamıza yardımcı olmuyor, bu yüzden şimdi bazı fonksiyonlara yaklaşan eylem grafikleriyle onu görsel olarak inceleyelim.
Örnek 1 : sinc(10x) fonksiyonu ve x=1.43 civarında yaklaşma.
Yukarıdaki diyagram, sinc(10x) 'in Taylor Serisinde a= 1.43 olduğu x=1.43 civarındaki Taylor açılımını göstermektedir . Taylor Serisine ardışık terimler eklemenin etkisini görebilirsiniz, fonksiyonun yaklaşık 1,43'e yakınlık aralığını ve doğruluğunu artırır .
Pek çok siparişe geçelim ve ne olduğunu görelim…
Yukarıdaki diyagram, x=1.43 için sinc(10x) 'in Taylor açılımını 90'a kadar 10 siparişlik adımlarla gösterir, sinc(x) için görebilirsiniz, aralık ne kadar geniş olursa, yaklaşım 1.43'ten başarılı bir şekilde çalışır, kelimenin tam anlamıyla görebilirsiniz izini sürüyor! Sadece tek bir nokta etrafında ve tek noktadan türev bilgiden genişlemek için fena değil.
Örnek 2 : (sin(x)+1)eˣ fonksiyonu ve x =0.9 civarında yaklaşma
Yukarıdaki diyagram, (sin(x)+1)eˣ'nin Taylor Serisinde a=0.9 olmak üzere x=0.9 civarında Taylor açılımını göstermektedir . Taylor serisine art arda terimler eklemenin etkisini, x=0.9'dan yaklaşıklık aralığının yanı sıra artan sıralarla yaklaşımın doğruluğunun artırılmasına ilişkin önceki örnekte olduğu gibi görebilirsiniz . Daha önce gördüğümüz gibi, Taylor serisinin fonksiyonun izini sürdüğünü tam anlamıyla görebiliriz!
Şimdi Taylor Serisinin gücünü önceki iki örnekte gördüğümüze göre, bir problemi çözmek için uygulayalım. Bu, 2 sayısının karekökünü alacaktır.
Uygulama : Taylor Serisini kullanarak bir sayının karekökünü hesaplama
Tam kare olmayan bir sayının kökünü 2'nin karekökü ( sqrt(2) ) gibi bir hesap makinesinden ne kadar hızlı ve kolay bir şekilde alabileceğimizi kabul etmek çok kolaydır . Ancak, bu karekök düğmesine dokunmadan sqrt(2) 'yi nasıl hesaplayacağınızı düşünelim ?
sqrt(4) 2, sqrt(9) 3, sqrt(16) 4 gibi mükemmel kareleri başımızın üstünden kolayca hesaplayabiliriz. Mükemmel olmayan bir karenin karekökü irrasyonel bir sayıdır, örneğin pi veya e. Peki 2'nin karekökünü hesaplamaya nasıl başlayabilirim? Bir Taylor Serisi yardımcı olabilir!
Karekök f(x) = √ x fonksiyonu olarak yazılabilir, burada x karekökü alınacak sayıdır. Çözmek istediğimiz problem √2'yi hesaplamaktır. Şimdi, Taylor serisi denklemine geri dönersek, 0. terim f(a)' yı görürüz, yaklaşık 2'ye yaklaşmak istersek, aradığımız cevabı sqrt(2)'ye ihtiyacımız olur ve bu da olmaz. Ancak 2'ye yakın sayıların tam karesini biliyoruz ve bu 4 veya 1'dir. O halde, bir Taylor serisi kullanarak √ x'i yaklaşık 4 olarak tahmin edelim:
Yukarıdaki diyagram, √ x'in Taylor Serisini x=4 civarında gösterir ( burada a=4 Taylor Serisinde) . Sıralamayı artırdıkça, √x yaklaşımının 4 ve altındaki yerellikte daha iyi hale geldiğini ancak önceki 2 örnek durumun aksine daha da kötüleştiğini görebilirsiniz. Geçerlilik aralığı küçülür ve bu, aşağıdaki grafikte daha iyi gösterilmiştir.
Yukarıdakilerden, Taylor serisinin terim sayısını artırdıkça, artan siparişler için 0 → 8 arasında doğrulukta arttığını, ancak geçerlilik aralığının 8'den sonra çok hızlı bir şekilde azaldığını görebiliriz. Grafikte gördüğümüz √2 bu durumda Taylor Serisinin geçerli olduğu aralıktadır.
Öyleyse , çeşitli mertebe yaklaşımları için x=4 civarında √ x'in Taylor serisi açılımından hangi √2 değerlerini elde ederiz :
Not: Sayıların köklerini hesaplamak için çok daha iyi algoritmalar vardır ve yukarıdaki şekillerde de bazı yuvarlama hataları olacaktır.
Sonuçlandırmak
Umarım Taylor serisine yönelik bu görsel rehber, kaputun altında ne yaptığını ve bunu işinize nasıl uysal bir şekilde uygulayabileceğinizi anlamanıza yardımcı olmuştur. Çalışmaları hakkında görsel bir anlayışa sahip olarak, tek bir fonksiyon noktasının ve türevlerinin, karmaşık hızla değişen fonksiyonu örnek 1 ve 2'den takdir edilebilir bir aralığa nasıl yeniden üretebileceğini anlayabilirsiniz. Son olarak, Taylor'ınızın davranışını kontrol etmeyi unutmamak gerçekten önemlidir. diziyi uyguladığınızda, yaklaşımının aralığını/yerini anlamak için, böylece √2 uygulama örneğinde gördüğümüz gibi doğru yerlerde kullanabilirsiniz.
Arka hikaye Her ürünün bir hikayesi vardır ve bu Yapdoof'un başlangıç hikayesidir. Yapdoof, Omept Technology Nijerya Limited'in bir ürünüdür.
26 Temmuz'da Kilise, Meryem Ana'nın ebeveynleri olan Aziz Joachim ve Anne'yi inançları ve azimleri için anıyor. İşte ailemin hikayesi - hayatlarını sadelik içinde yaşayan ve bize yedi çocuğuna yaşam boyu eğitim veren basit bir çift.
Mars, Uranüs ve Kuzey Düğümü, 1 Ağustos 2022'de 18 derecede Boğa burcunda kavuşuyor. Yataklarımız yanarken nasıl uyuruz?-Gece yarısı yağı Yılın en önemli astrolojik yönlerinden biri olan Mars ve Uranüs'ün kaderin Kuzey Düğümü ile kavuşumu, gerçek bir aciliyet hissinin eşlik ettiği büyük bir uyandırma çağrısıdır.
Bazen, Morgan Stanley'de çalışırken, bir çarşamba günü en iyi arkadaşınla yatmak isteyen Dalton adında bir adamla sarhoş olursun. Continental'den çıkıp St.
1949 Amerika'da bir dizi olay oldu; Los Angeles ilk kar yağışını kaydetti, 1.200 kiloluk bir inek Oklahoma'da bir siloya sıkıştı ve ABD'de hiçbir Afrikalı-Amerikalının linç edilmediği ilk yıldı. Aynı zamanda FBI'ın En Çok Arananlar listesi fikrinin ortaya çıktığı zamandı.
"Merhaba, bir kişilik masanız var mı?" Birkaç müşteriyi oturttuktan sonra hostesin hostes standına ne zaman döndüğünü sordum. "Merhaba, rezervasyon yapılmadıysa barımız var," diye cevapladı hostes, kulağının arkasından gelen başka bir hostes ile konuşmamızı böldü.