Çember paradoksu diye bilinen bu paradokstan eski Yunanca Mechanica metninde bahsedilir (Yunanca: Μηχανικά). Yazanın Aristoteles’in kendisi (MÖ 384–322) veya onun takipçilerinden birisi olup olmadığı aslında tartışmalıdır. Olsun ya da olmasın, eski zamanlarda matematikçileri şaşırtan ünlü çember paradoksu geleneksel olarak Aristoteles ile ilişkilendirilmiştir ve bu nedenle bugün onun adını taşımaktadır.
Yunan filozof Aristo’nun bu paradoksu incelememiz için önce büyük çember, sonra o büyük çemberin içine bir de küçük çember çizmemiz gerekecektir. Şekilde soldaki büyük tekerleğin yere değdiği noktadan sağa doğru tam tur yuvarlandığını varsayıyoruz. Ardından tekerlek, çevresine eşit bir mesafede hareket edecek ve büyük tekerleğin alt kısmı, aşağıda gösterilen kesikli çizgi parçası AB’yi izleyecektir.
Bu olurken, küçük tekerlek de tam bir devir yapmalı ve büyük tekerleğe sabitlendiği için aynı mesafeyi gitmelidir. Yani A′B′ uzunluğu ile AB uzunluğu birbirine eşit olmalıdır. Ama bu nasıl mümkün olabilir? Küçük tekerleğin çevresinin büyük tekerleğin çevresinden daha küçük olduğunu biliyoruz, öyleyse bir devir sırasında aynı mesafeyi nasıl yuvarlayabilirler? Diğer bir deyişle küçük çemberin çevresiyle büyük çemberin çevresi birbirine nasıl eşit olabilir?
Çember Paradoksunun Çözümlemesi
Her iki dairenin de aynı mesafeyi kat ettiği sonucumuz bir yanılgıdır. Ancak bunun nedenini açıklamadan önce sonucumuzu destekleyen ilginç bir matematiksel argüman elde ederiz. Büyük daire üzerindeki noktalar ile daha küçük daire üzerindeki noktalar arasında bire bir eşleme vardır. Çemberlerin merkezinden çıkan herhangi bir ışın ikisini de kesecek ve böylece iki çember üzerindeki noktalar arasında açık bir ilişki (bire bir) kuracaktır.
Peki Nerede Hata Yaptık?
İlk hata, her iki dairenin de tam anlamıyla aynı mesafeyi yuvarlayacağı şeklindeki fiziksel varsayımda yatmaktadır. Her iki tekerlek de bir yüzeye temas ederse, bunlardan yalnızca biri kaymadan dönebilir; diğeri dönerken kaçınılmaz olarak kayıyor olacaktır. Bu hata matematiksel nitelikten çok mekanik bir gerçekliktir. Ancak, temelde tüm dairelerin aynı çevreye sahip olması gerektiğini gösteren bu paradoks bize önemli bir matematiksel argüman vermektedir. Bu argümanı yeniden yapılandırmak, matematikçileri çok uzun bir süre rahatsız eden garip bir gerçek sayı özelliğini ortaya çıkarmıştır.
İki eğrinin tüm noktaları arasındaki bire bir eşleşme, eğrilerin aynı uzunluğa sahip olduğu anlamına gelmez. Aslında, herhangi iki eğrinin noktaları arasında her zaman bire bir eşleşme yazabiliriz. Eğrilerin boyutlarından bağımsız olarak içerdikleri noktaların “sayısı” her zaman aynı olacaktır. Bu konu daha sonraki yıllarda Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından kanıtlanmıştır. Gördüğünüz gibi bu çember paradoksu bizi sonsuzluk gibi çok ilginç sonuçlara ulaştırmıştır.
Göz atmak isterseniz: Tuhaf Ama Gerçek: Her Sonsuz Birbirinden Farklıdır
Kaynaklar
- What is a satisfying explanation to Aristotle’s wheel paradox?;https://www.quora.com/
- Alfred S. Posamentier; The Circle: A Mathematical Exploration beyond the Line; 2016; Prometheus Books
Matematiksel