Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?
Temel bilimler olan matematik ve fizikte, "uzay" kavramı sıklıkla kullanılır. Uzay kavramı, bizim evreni tanımlamamızı mümkün kılmakta ve evrene dair kavrayışımızı kolaylaştırmaktadır. Farklı uzay tiplerinin ne anlama geldiğini ve ne işe yaradığını anlamak, bilim insanlarının evreni nasıl gördüklerini kavramanızı kolaylaştırabilir.
Fizikte uzay, genellikle üç boyutlu geometrik bir yapıyı veyahut nesneyi ifade etmek için kullanılır. Bazı durumlarda zamanın da dahil edilmesiyle dört boyutlu hatta on bir boyutlu bir yapı olarak tanımlanabilir. Fizikteki uzay boyutları, deney ve gözlemlerle örtüşecek biçim ve miktarda olmak zorundadır. Ancak matematikte durum farklıdır: Matematikte, istenen herhangi bir sayıda boyut tanımlanabilir.
Bu makalede fizik, matematik ve mühendislik alanlarında sıklıkla kullanılan uzay tanımlarını kısaca vererek, en önemlilerinden biri olan Hilbert Uzayı'nın ne anlam ifade ettiğini anlatmaya çalışacağız.
Uzay Nedir?
Matematikte uzay, belirli bir şekilde etkileşime giren bir vektörler topluluğunu ifade eder. Diğerlerinin yanı sıra tanımlanmış bir dizi operatöre, (sözgelimi toplama çıkarma gibi operatörlere) ve mesafe metriğine, yani iki vektör arasındaki mesafeyi ölçme işlevine sahiptir.
Topolojik Uzay Nedir?
Bir topolojik uzay, alt uzayların sürekli bozulumunu ya da deformasyonunu veya daha genel olarak bakacak olursak her türlü sürekliliği tanımlamaya izin veren, topoloji adı verilen bir yapıya sahip bir kümedir. Öklid uzayları ve daha genel anlamda metrik uzaylar, herhangi bir mesafe veya metrik bir topolojiyi tanımladığından topolojik uzay örnekleridir. Topolojide dikkate alınan deformasyonlar, homeomorfizmler ve homotopilerdir. Bu tür deformasyonlar altında değişmez olan bir özellik, topolojik bir özelliktir. Aşağıda topolojik özelliklerin temel örnekleri verilmiştir:
- Bir çizgi ile bir yüzey arasında ayrım yapılmasını sağlayan boyut,
- Bir çizgi ile bir daire arasında ayrım yapmaya izin veren kompaktlık,
- Bir daireyi kesişmeyen iki daireden ayırmaya izin veren bağlantılılık.
Ancak uzay ve topolojik uzay aynı değildir. Uzay kavramı, doğrusal uzay ve topolojik uzay olarak ikiye ayrılır. Bu, kaba bir sınıflandırmadır; aslında bu uzaylar birbirlerini dışlamazlar. Her iki kategoriye de giren metrik uzaylar vardır.
Doğrusal uzaylar, doğrusallığa uyan önceden tanımlanmış işlemlere sahip vektör uzaylarıdır. Bir iç çarpım kavramı olmadığı ve dikey bir çizgi veya daire tanımlayamadığımız için doğrusal uzayların belirli kısıtlamaları vardır. Topolojik uzaylar gerçek dünyaya daha yakındır ve etrafımızdaki şeyleri tekdüze yüzeyler gibi tanımlamamıza yardımcı olurlar. Dolayısıyla topolojik uzaylardan yola çıkarak Hilbert uzaylarına ulaşmak çok daha kolaydır.
Metrik Uzay Nedir?
Matematikte bir metrik uzay; genellikle "nokta" olarak adlandırılan öğeleri arasında mesafe kavramı bulunan bir kümedir. Mesafe, "metrik" veya "mesafe işlevi" adı verilen bir işlevle ölçülür. Metrik uzaylar, matematiksel analiz ve geometri kavramlarının çoğunu incelemek için kullanılan en genel kavramdır.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Bir metrik uzayın en bilinen örneği, her zamanki mesafe kavramıyla 3-Boyutlu Öklid uzayıdır. Diğer bir iyi bilinen örnek, açısal mesafe ve hiperbolik düzlem ile donatılmış bir küredir. Bir metrik, fizikselden ziyade mecazi bir mesafe kavramına karşılık gelebilir. Toplar, tamlık, tekdüzelik, Lipschitz ve Hölder sürekliliği dahil olmak üzere matematiksel analizin temel kavramlarının çoğu metrik uzayların düzeninde tanımlanabilir. Süreklilik, kompaktlık, açık ve kapalı kümeler gibi diğer kavramlar metrik uzaylarda, hatta daha genel topolojik uzaylar ortamında da tanımlanabilir.
Metrik Uzay, küme üzerinde tanımlanmış bir metriğe sahip olan topolojik uzayın bir alt kümesidir. Bir metrik temel olarak uzaydaki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayan bir fonksiyondur. Fonksiyon, her x,y∈Xx, y ∈ X çiftine bir d(x,y)d(x, y) gerçek sayısı verir. Ayrıca fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır:
- Tüm (x,y)∈X(x, y) ∈ X için d(x,y)≥0d(x, y) ≥ 0.
- Eğer x=yx = y ise d(x,y)=0d(x, y) = 0.
- Tüm (x,y)∈X(x, y) ∈ X için d(x,y)=d(y,x)d(x, y) = d(y, x) (Değişmeli özellik).
- Her (x,y,z)∈X(x, y, z) ∈ X için d(x,z)+d(z,y)≥d(x,y)d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) (Üçgen eşitsizliği).
Bu özellikler, Öklid uzayında karşılaştığımız uzaklık fonksiyonu için doğru olduklarından yeterince sezgiseldir. Bu özellikleri sağlayan herhangi bir dd işlevi bir metrik işlev olabilir. Bu nedenle MM metrik uzayı, (X,d)(X, d)'nin sıralı çifti olarak tanımlanır. Sıklıkla kullanılan bazı metrik işlevler şöyle tanımlanır:
- Öklid Mesafesi: d(x,y)=∑i=1n(xi−yi)2d(x,y) = \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^2}
- Manhattan Mesafesi: d(x,y)=∣y−x∣d(x,y) = |y-x|
- Minkowski Mesafesi: d(x,y)=(∑i=1n(xi−yi)p)1/pd(x,y) =(\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^p)^{1/p}
Tamlık Nedir?
İlerlemek için değinmemiz gereken bir diğer önemli kavram, bir metrik uzayın "tamlığıdır" ki bu kavramı anlayabilmek için Cauchy dizilerini bilmemiz gerekir. Cauchy Dizisi, dizi ilerledikçe üyeleri giderek birbirine yaklaşan bir dizidir. Mavi noktaların nn arttıkça nasıl yakınlaştıklarını aşağıdaki şekilde görebiliriz.
Bir metrik uzay [M=(X,d)][M=(X, d)] bağlamında Cauchy Dizisi, seri ilerledikçe mesafesi küçülen dizi olarak tanımlanır. Öyle ki, NN pozitif bir tam sayı olmak üzere m,n>Nm, n > N verildiğinded(x,y)<ϵd(x,y) < \epsilon ifadesi doğrudur.
Böylece dizi, XX'teki bir öğeye yakınsar. Bir metrik uzay içindeki her Cauchy Dizisi, XX'teki bazı öğelere yakınsıyorsa tam olarak adlandırılır.
Norm ve Normlu Uzay Nedir?
Norm, bir vektör uzayındaki (sıfır vektörü hariç) her vektöre uzunluğunu veya büyüklüğünü gösteren pozitif bir değer veren bir fonksiyondur. Genellikle ∣∣x∣∣||x|| olarak gösterilir. Normun genel tanımı şöyle yazılabilir:
∣∣x∣∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p||x||_{p} =(\displaystyle\sum_{i=1}^n |x_{i}|^p)^{1/p}
Bu denklemde pp değişkenine bir değer atarsak, birkaç farklı örnek görebiliriz. Mesela p=1p=1 değeri için mutlak değer normunu, p=2 p=2 için ise Öklid normunu elde ederiz.
Normlu bir vektör uzayı, mesafe fonksiyonu fark vektörünün uzunluğu olarak tanımlanan bir metrik uzaydır:
d(x,y)=∣∣x−y∣∣d(x,y) = ||x-y||
Her normlu uzay hem doğrusal bir topolojik uzay hem de bir metrik uzaydır. Doğrusal ve topolojik uzaylar arasındaki kesişmenin mükemmel bir örneğidir.
Matematikte normlu bir vektör uzayı veya normlu uzay, üzerinde bir normun tanımlandığı gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki bir vektör uzayıdır. Bir norm, fiziksel dünyadaki sezgisel "uzunluk" kavramının genelleştirilmesidir. Metrik uzayların üzerinde metrik fonksiyon dd dışında tanımlanmış herhangi bir işleç yoktur. Bununla birlikte, analizde ortaya çıkan uygulamaların çoğu vektörün uzunluğunu gösteren bir normdan türetilmiştir.
Time dergisi tarafından 2010 yılının tüm dünyada en etkili 100 insanı arasında gösterilen ve Dünya Sağlık Örgütü’nün Güvenli Cerrahi Hayat Kurtarır programını yürüten Dr. Atul Gawande, sıradan bir kontrol listesinin şaşırtıcı gücünü ortaya koyuyor.
Modern dünya bize akıl almaz düzeyde teknik bilgi sunuyor. Yine de sağlık hizmetleri, devlet yönetimi, hukuk ve finans alanlarında, örgütlü etkinliklerin hemen hepsinde yapılan önlenebilir hataların acısını çekmeye devam ediyoruz. Ve bunun nedeni son derece basit: artık sahip olduğumuz bilgi hacmi ve karmaşıklık düzeyi, bireyler olarak bu bilgiyi uygun yoldan, tutarlı, doğru ve güvenli biçimde iletme becerimizi aşmış durumda. Daha uzun süre eğitim görüyor, daha fazla uzmanlaşıyor, daha ileri teknoloji kullanıyor ama yine de hata yapıyoruz.
Geniş bir okur kitlesine sahip yazar ve cerrah Atul Gawande, daha iyisini başarabileceğimiz görüşünü savunuyor ve çözüm olarak, olabilecek en mütevazı yolu gösteriyor bize: kendi halinde bir kontrol listesi. Gawande, kontrol listelerinin, uçakları uçurmaktan akıl almaz derecede incelikli teknik gerektiren gökdelenler inşa etmeye dek, yaptığımız en zor işlerden bazılarını nasıl altından kalkılabilir hale getirdiğini açıklıyor. Kendi deneyimine dayanarak, bu düşüncenin cerrahinin son derece karmaşık ve çeşitlilik gösteren dünyasında hayata geçirilmesiyle hazırlanan doksan saniyelik bir kontrol listesinin, dünyanın dört bir yanındaki sekiz hastanede, hemen bütün cerrahi girişim türlerinde, ölümleri ve komplikasyonları, ek maliyet getirmeksizin, üçte biri aşan oranda azaltmayı nasıl başarabildiğini gözler önüne seriyor.
Gawande, anlattığı sürükleyici öykülerle bizi, acil durum kontrol listesinin, suyun altında yarım saat kalan bir boğulma vakasında kurbanın kurtulmasını sağladığı Avusturya’dan, yoğun bakım birimlerinde kullanılan temizlik kontrol listesinin ölümcül bir hastane enfeksiyonu türünü ortadan kaldırdığı Michigan’a, ardında da düşmek üzere olan bir uçağın kokpitine götürüyor. Bu yolculuk sırasında, kontrol listelerinin neler yapıp neler yapamadığını, yalnız tıp alanında değil, ulusal güvenlikten yatırım bankacılığına, her çeşit meslek grubu ve iş alanında sağlayabileceği çarpıcı ilerlemeleri ortaya koyuyor.
Checklist Manifestosu, yaşamımızdaki karmaşıklığın doğasını irdeleyen, merak ettiren ve eyleme geçirten bir kitap. İşini doğru yapmak isteyen herkesin için…
Bilgiler ve Uyarılar:
- Bu ürün sipariş alındıktan 1-3 gün içinde postalanacaktır.
- Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.
- Bu kampanya, Domingo Yayınevi tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.
Banach Uzayı Nedir?
Matematikte, daha spesifik olarak fonksiyonel analizde, bir Banach uzayı tam bir normlu vektör uzayıdır. Dolayısıyla bir Banach uzayı, vektör uzunluğunun ve vektörler arasındaki mesafenin hesaplanmasına izin veren bir metriğe sahip bir vektör uzayıdır ve bir Cauchy vektör dizisinin her zaman uzay içinde iyi tanımlanmış bir sınıra yakınsaması anlamında tamamlanmıştır.
İç Çarpım Uzayı Nedir?
İç çarpım uzayı, iç çarpım olarak bilinen yeni bir yapı sunar. Öklid uzayında iç çarpım, skalerlerle nokta çarpımı ile aynıdır. İç çarpım, skaler bir nicelik üretmek için iki vektör üzerinde hareket eden matematiksel bir operatördür. Aşağıda bazı özellikleri verilmiştir:
- Doğrusallık: ⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩⟨x+y, z ⟩ = ⟨x,z⟩+⟨y,z⟩
- Eşlenik Simetri: ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾⟨ x,y⟩ = \overline{⟨ y,x⟩}
- Pozitif-Kesinlik: ⟨x,y⟩≥0,(∀x≠0)⟨ x,y⟩\ge0, (\forall{x}\not=0)
Vektörler arasındaki diklik ve açı artık hesaplanabildiğinden, iç çarpımlar metrik uzaylara önemli bir yapı katar. İç çarpımları kırarsak öklid normuna yani skaler forma iner. İç çarpım uzayları, temel ilkeleri daha yüksek boyutlu vektörleri tahmin etmek kolay olduğu için öklid uzaylarını genelleştirmenin harika bir yoludur.
Hilbert Uzayı Nedir?
Matematikte Hilbert uzayı, iç çarpım tarafından tanımlanan norma göre tamamlanmış bir iç çarpım uzayıdır. Hilbert uzayları, Fourier açılımı kavramını ve Fourier dönüşümü gibi belirli doğrusal dönüşümleri açıklığa kavuşturmaya ve genelleştirmeye hizmet eder. Hilbert uzayları, kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonunda çok önemlidir; ancak kuantum mekaniğinin birçok temel özelliği, Hilbert uzayları hakkında ayrıntılara girmeden de anlaşılabilir. Hilbert uzayları daha çok fonksiyonel analizde incelenir.
Hilbert Uzayı'nın Kısa Tarihi
Alman matematikçi David Hilbert, Hilbert uzayını ilk olarak 1902-1912 döneminde dikkatini çeken integral denklemler ve Fourier serileri üzerine yaptığı çalışmasında tanımladı. Hilbert'in araştırmasından kısa bir süre sonra, Avusturyalı-Alman matematikçi Ernst Fischer ve Macar matematikçi Frigyes Riesz, kare integrallenebilir fonksiyonların (mutlak değerlerinin karesinin integralinin sonlu olduğu fonksiyonlar), Hilbert uzayına eşdeğer tam bir iç çarpım uzayında "noktalar" olarak da kabul edilebileceğini kanıtladılar. Bu bağlamda Hilbert Uzayı, kuantum mekaniğinin gelişmesinde rol oynamış, uygulamalı matematik ve matematiksel fizikte önemli bir matematiksel araç olmaya devam etmiştir.
Hilbert uzayının keşfi, analiz alanında matematikçilerin oldukça genel lineer uzayların özelliklerini inceledikleri yeni bir alan olan fonksiyonel analizi başlattı. Bu uzaylardan biri, şimdi Hilbert uzayları olarak adlandırılan, ilk olarak 1929'da Macar-Amerikalı matematikçi John von Neumann tarafından bu uzayları soyut bir aksiyomatik şekilde tanımlamak için kullanılan bir tanım olan tam iç çarpım uzaylarıdır.
Hilbert uzayı ayrıca topolojide yeni fikirler için bir kaynak sağlamıştır. Bir metrik uzay olarak Hilbert uzayı, sonsuz boyutlu doğrusal bir topolojik uzay olarak kabul edilebilir ve 20. yüzyılın ilk yarısında topolojik özellikleriyle ilgili önemli sorular ortaya atılmıştır. Başlangıçta Hilbert uzaylarının bu tür özelliklerinden ilham alan araştırmacılar, 1960'larda ve 70'lerde sonsuz boyutlu topoloji adı verilen yeni bir topoloji alt alanı oluşturmuştur.
En eski Hilbert uzayları; 20. yüzyılın ilk on yılında David Hilbert, Erhard Schmidt ve Frigyes Riesz tarafından incelenmiştir. Bu uzaylar kısmi diferansiyel denklemler, kuantum mekaniği, Fourier analizi ve ergodik teorilerinde vazgeçilmez araçlardır.
John von Neumann, bu farklı uygulamaların birçoğunun altında yatan soyut kavram için "Hilbert uzayı" terimini icat etmiştir. Hilbert uzay yöntemlerinin başarısı, fonksiyonel analiz için çok verimli bir çağ başlatmıştır.
Hilbert uzayları, onları integral denklemler bağlamında inceleyen David Hilbert'in adını almıştır. "Der abstrakte Hilbertsche Raum" tanımı, John von Neumann'ın 1929'da yayınlanan sınırsız Hermitian operatörleri üzerine yaptığı ünlü çalışmasına dayanmaktadır. Von Neumann, kuantum mekaniğinin temelleri üzerine Hilbert ve Lothar (Wolfgang) Nordheim ile başlayan ve Eugene Wigner ile devam eden ufuk açıcı çalışmasının bir sonucu olarak bunların önemini belki de en açık şekilde anlayan matematikçidir.
Soyut bir Hilbert uzayının elemanlarına bazen "vektörler" denir. Uygulamalarda vektörler, tipik olarak karmaşık sayı veya fonksiyon dizileridir. Örneğin kuantum mekaniğinde, fiziksel bir sistem, sistemin olası durumlarını temsil eden dalga fonksiyonlarını içeren karmaşık bir Hilbert uzayı ile tanımlanır. Kuantum mekaniğinde yaygın olarak kullanılan düzlem dalgaların ve bağlı durumların Hilbert uzayı, hileli Hilbert uzayı olarak da bilinir.
Geometrik sezgi, Hilbert uzay teorisinin birçok yönünde önemli bir rol oynar. Pisagor teoreminin ve paralelkenar yasasının tam benzerleri bir Hilbert uzayında geçerlidir. Daha derin bir seviyede, doğrusal bir alt uzaya veya bir alt uzaya dikey izdüşüm, optimizasyon problemlerinde ve teorinin diğer yönlerinde büyük önem arz eder. Bir Hilbert uzayının bir elemanı, klasik geometrideki Kartezyen koordinatlara benzer şekilde, ortonormal bir temele göre koordinatlarıyla benzersiz bir şekilde belirtilebilir. Bu temel sayılabilir şekilde sonsuz olduğunda, Hilbert uzayını kare toplanabilen sonsuz dizilerin uzayı ile tanımlamaya izin verir. İkinci uzay genellikle eski literatürde Hilbert uzayı olarak anılır.
Hilbert Uzayı'nın Matematiksel Tanımı
Bir Hilbert uzayı, iç çarpımı ⟨f,g⟩⟨ f,g⟩ olan bir H vektör uzayıdır, öyle ki norm şu şekilde tanımlanır:
∣f∣=⟨f,f⟩|f| = \sqrt{⟨ f,f⟩}
Bir HH uzayı bu norma göre tam ise HH'ye Hilbert uzayı denir. Bu bağlamda tamlık, uzayın her bir Cauchy dizisinin farklılıklar normunun sıfıra yaklaşması anlamında uzayda bir elemana yakınsadığı anlamına gelir. Bu nedenle her Hilbert uzayı aynı zamanda bir Banach uzayıdır. (Ancak her Banach uzayı bir Hilbert uzayı değildir.)
Tüm sonlu boyutlu iç çarpım uzayları da Hilbert uzaylarıdır. Ancak uygulamalarda sonsuz boyutlu örnekler çok daha önemlidir. Bu uygulamalar şunları içerir:
- Üniter Grup Temsilleri Teorisi,
- Kare İntegrallenebilir Stokastik Süreçler Teorisi,
- Kısmi diferansiyel denklemlerin Hilbert Uzay Teorisi,
- Dirichlet Probleminin formülasyonları,
- Dalgacık Teorileri de dahil olmak üzere fonksiyonların spektral analizi,
- Kuantum Mekaniğinin matematiksel formülasyonları.
İç çarpım, kişinin "geometrik" bir görüş benimsemesine ve sonlu boyutlu uzaylardan aşina olduğu geometrik dili kullanmasına izin verir. Tüm sonsuz boyutlu topolojik vektör uzayları arasında Hilbert uzayları, en uygun ve sonlu boyutlu uzaylara en yakın olanlardır.
Fourier analizinin bir amacı da belirli bir işlevi, verilen temel işlevlerin katlarının (muhtemelen sonsuz) toplamı olarak yazmaktır. Bu problem, Hilbert uzaylarında soyut olarak incelenebilir: Her Hilbert uzayının ortonormal bir temeli vardır ve Hilbert uzayının her elemanı, bu temel elemanların katlarının toplamı olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.Soru & Cevap Platformuna Git
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- B.M. Levitan. Hilbert Spaces. Alındığı Tarih: 13 Temmuz 2023. Alındığı Yer: Encyclopedia of Mathematics | Arşiv Bağlantısı
- Eric W. Weisstein. Hilbert Spaces. Alındığı Tarih: 13 Temmuz 2023. Alındığı Yer: Wolfram Mathworld | Arşiv Bağlantısı
- Stephan C. Carlson. Hilbert Spaces. Alındığı Tarih: 13 Temmuz 2023. Alındığı Yer: Britannica | Arşiv Bağlantısı
- Quantiki. Hilbert Spaces. Alındığı Tarih: 13 Temmuz 2023. Alındığı Yer: Quantum Information Portal and Wiki(Quantiki) | Arşiv Bağlantısı
- Somnath Basu Roy Chowdhury. Hilbert Spaces. Alındığı Tarih: 13 Temmuz 2023. Alındığı Yer: Medium | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 25/09/2023 22:32:30 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/15086
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.