Biraz uzun anlattım. Soru bir daha karşına çıktığında aynı mantıkla çözmek daha kısa sürecek.
Bu gibi soruları böyle denklemler kurmadan, şekil çizip, geometrik bir bakış açısıyla düşünmek daha iyi olabilir. Örneğin eskiden popüler olan bir soru vardı. $K$ ve $M$ noktaları yukardaki gibi olsun yine. Soru şu, $K$'dan çıkıp $x$-eksininde ekmek alıp $M$'ye gitmek için izlenebilecek en kısa yol nedir. Resim çizelim (gerçekten çiz bu resmi) ve $M$ noktasını $x$ eksenine göre simetriği $L=(1,-7)$ yer değiştirelim. Şimdi, $x$ eksenindeki bir noktadan $M$'ye gitmekle $L$'ye gitmek için aynı mesafe katedilmeli. O halde sorumuzu $M$ için değil de $L$ için çözsek de olur. Ama bu sefer soru çok daha kolay, çünkü $K$'dan $L$'ye giderken el mecbur $x$ eksenini keseceğiz. Yani soru artık, $K$'dan $M$'ye giden en kısa yolun $x$-eksenini kestiği nokta nedir? İki nokta arasındaki en kısa yolun, o iki noktayı birleştiren doğru parçası olduğunu bildiğimize göre yanıtı hemen bulabiliriz. Resim çizmenin, ya da formülden önce geometrik bakmaya çalışmanın işe yararlığını bu kadar övdükten sonra, senin soruna dönelim.
Bu noktada resim çiz. $K,M$ noktalarını belirle ve rastgele bir $N$ noktası al $x$ ekseni üzerinden. Son olarak da bu noktaları birleştirerek bir üçgen çiz.
Elimizde üç nokta var. $K,M$ ve $N$. Yani bir ne var? Üçgen. Neyle uğraşıyoruz? Üçgenin kenarlarının uzunluklarıyla. O halde alet kutumuzdan isim benzerliği nedeniyle elimize ilk gelen aleti çıkartıyoruz: üçgen eşitsizliği! $|KM|=a, |MN|=b$ ve $|KN|=c$ olsun. Burada $a$ sabit, çünkü $K$ ve $M$ noktaları belli. Diğerleri ise henüz belirsiz. Koşulumuzu yeniden yazalım: $$\text{$|b-c|$ değeri maksimum olsun.}$$ Çıkarttığımız aleti de kullanmanın tam zamanı: Üçgen eşitsizliği der ki, bir üçgenin bir kenarı (biz mesela $KM$ kenarını alalım), en az diğer iki kenarın (bu durumda diğer iki kenar $MN$ ve $KN$ olacak) farkı kadar uzun olmalı, ve iki kenarın toplamından da uzun olmamalı. Yani, şu eşitsizlik her zaman doğru: $$|b-c|\leq a \leq |b+c|$$ Şimdi $N$ noktasının neresi olması gerektiğini henüz bilmiyoruz ama, en çok kaç olabiliceğini biliyoruz: $a$ kadar. Peki bu ne demek. Elimizde bir üçgen var ve bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunluklarının farkına eşit. O halde aslında elimizde bir üçgen yok. Bu üç nokta aynı doğru üzerinde olmalı. Yani, $N$ noktası $KL$ doğru parçasını uzattığımızda, $x$-eksenini kestiğimiz nokta olmalı.
Şimdi resmine, son satırda sözünü ettiğimiz doğruyu da ekle ve sonra $x$ eksenini kestiği yeri bul.