Metrik tensör(Genel görelilik)
Genel görelilikte Metrik tensörle (veya basitçe, metrik) çalışmak temel yöntemdir. Birazcık Newton yerçekiminde tanıdığımız Yerçekimi alanının bir genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.Metrik mesafe, hacim, eğrilik, açı, gelecek ve geçmiş gibi kavramları tanımlamak için kullanılan uzay-zamanın tüm geometrik ve nedensel yapısını, yakalar.
Gösterim ve kurallar: Bu yazı boyunca biz çoğu pozitif(- + + +); metrik işaretiyle çalışıyoruz.işaret kuralına bakılabilir. Görelilikte alışılmış olduğu gibi, birimlerin kullanıldığı yerlerde c = 1. ışık hızıdır.Kütleçekim sabiti G açık tutulacaktır. Tekrarlanan indisler otomatik toplam üzerinde toplam kuralı kullanılmaktadır.
Tanım
Matematiksel olarak, uzay-zaman bir 4-boyutlu diferansiyellenebilir manifold M gösterimidir ve metrik bir eşdeğişkin olarak veriliyor, ikinci-rank,M üzerinde simetrik tensör, geleneksel olarak g ile ifade edilir. Dahası metriğin işaret(-+++) ile bozunmaz olması gerekir Bir metrik arama ile donatılmış M manifolda bir Lorentziyen manifold denir.
Açıkçası, metrik her tanjant uzay noktasından düzgün bir (veya türevlenebilir) şekilde değişen M noktası üzerine bir simetrik çiftdoğrusal formdur M içinde bir x noktasında verilen iki tanjant vektörler u ve v dir ve metrik verilen bir gerçek sayı
- ye u ve v üzerinden evriltilebilir:
Bu adi Öklid uzayı içinde nokta çarpımın bir genellemesi olarak düşünülebilir. Bu analoji tam değildir, bununla birlikte —metrik Minkowski uzayının yapısı verilen her tanjant uzayı Öklid uzayının aksine — burada nokta çarpım pozitif tanımdır.
Yerel koordinatlar ve matris gösterimleri
Fizikçiler genellikle yerel koordinatlar içinde çalışırlar(yani Min bazı yerel yaması üzerinde tanımlanan koordinatlar).Yerel koordinatlar (burada 0 dan 3'e koşan bir indistir) metrik formu içinde yazılabilir
faktörü alanı skaler koordinatlarının gradyanı tek formdur.Metriğin koordinatlarının gradyanı tek-formunun tensör çarpımı bir doğrusal kombinasyonu böyledir. katsayıları 16 gerçek-değerli fonksiyonlarının bir kümesidir (böylece tensör g aslında bir tensör alanı ve bir uzay-zaman manifoldunun tüm noktalarında tanımlanıyor).Metrik için sıra içinde simetrik olan
- olması gerekir
10 bağımsız katsayı veriliyor. Eğer simetrik tensör çarpımı ile yan yana (böylece ) ise, metrik formu içinde
yazabiliriz Eğer yerel koordinatlar özel veya bağlamdan anlaşılan,metrik girişi ile bir 4×4 simetrik matris olarak yazılabilirse 'nin dejenere olmayan anlamı bu matris tekil-olmayan dır.(yani yok-olmayan determinant var), durum bu iken g nin Lorentziyan işaret vurgusu bu matris tek negatif ve üç pozitif özdeğeri var.Unutmadan fizikte sıklıkla veya koordinatların kendileri metrik olarak bu matrise kaynaktır(bakınız, bununla birlikte, soyut indis gösterimi).
metrik bir sonsuz değişmez metrik hareketi olarak kareler aralığı veya çizgi ögesi miktarı ile bir sonsuz koordinat yerdeğiştirmesi olsun.Bu nedenle metrik notasyonunda sıklıkla için görülüyor:
görelilik içinde, metrik ve çizgi elemanı terimleri sılklıkla birbirinin yerine kullanılıyor.
çizgi ögesi uzayzamanın nedensel yapısı hakkında bilgi verir, . ise,aralığı zamangibi ve ds2nin mutlak değerinin karekökünün bir artışlı uygun zamanıdır.Yanlızca zamangibi aralıklar bir büyük nesne ile fiziksel geçişli olabilir.Eğer , aralık ışıkgibi, ve yalnızca ışık ile geçiliyor olabilir. Eğer ise, aralık uzaygibi ve ds2nin karekökü bir artışlı uygun uzunluk olarak hareket eder. Birbirlerinin ışık konisi dışında olayları bağlamak yoluyla uzay gibi aralıkları geçilen yapmaz. Olaylar birbirlerinin ışık konisi içinde sadece nedensel ilgili olabilir. metrik bileşenler yerel koordinat sistem seçimi üzerinde açık bağlıdır . koordinatlarının bir değişikliği altında metrik bileşenler dönüşüm olarak
Örnekler
Düz uzay-zaman
Bir Lorentzyen manifoldun basit örneği düz uzay-zaman R4 ile koordinatlar olarak verilebilir ve metrik
Unutmadan R4'ün tüm gerçek örtülü bu koordinatları,düz uzay metrik (veya Minkowski metrik) η sembolü ile sıklıkla ifade edilir ve özel görelilik içinde metrik kullanılıyor.Yukardaki koordinatlar içinde, η'in matris gösterimi
küresel koordinatlar içinde , düz uzay metriğin aldığı form
burada
2-küre üzerinde standard metriktir.
Schwarzschild metriği
Düz alanın metriği yanı sıra genel görelilik içinde en önemli metrik Schwarzschild metriği yerel koordinatların bir kümesi içinde verilebilir
burada, yine, 2-küre üzerinde standard metriktir .Burada G yerçekimi sabiti ve M kütle boyutlarında bir sabittir. Onun türevi burada bulunabilir. M (o tanımsız kökeni hariç) sıfıra yaklaşırken Schwarzschild metrik Minkowski metriği yaklaşır. r sonsuza gittiğinde Benzer şekilde, Schwarzschild metrik Minkowski metrik yaklaşır.
Diğer metrikler
Diğer önemli metrikler:
- Bondi metriği,
- Eddington–Finkelstein koordinatları,
- Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metriği,
- Gullstrand–Painlevé koordinatları,
- Isotropic koordinatlar,
- Kerr metriği,
- Kerr–Newman metriği,
- Kruskal–Szekeres koordinatları,
- Lemaître koordinatları,
- Lemaître–Tolman metriği,
- Peres metriği,
- Reissner–Nordström metriği,
- Rindler koordinatlar,
- Weyl−Lewis−Papapetrou koordinatları.
Hacim
metrik g bir doğal hacim formu tanımlar, bu uzayzaman üzerinde integrasyon için kullanılabilir.Bir manifoldun yerel koordinatları içinde, hacim formu yazlabilir
burada det g verilen koordinat sistemi için metrik tensörün bileşenlerinin matrisinin determinantıdır .
Eğrilik
Uzay-zamanın eğriliğini tamamen metrik g belirler. Riemann geometrinin temel teoremine göre, metrik ve torsiyon-serbest ile uyumlu herhangi bir yarı-Riemann manifold üzerinde benzersiz bir bağlantı ∇ var. Bu bağlantıya Levi-Civita bağlantısı denir. Bu bağlantının Christoffel sembolleri, aşağıdaki formül ile yerel koordinat olarak metriğin kısmi türevi terimleri cinsinden verilmiştir Uzay-zamanın eğriliği Riemann eğrilik tensörü ile verildiğinde bu ∇ Levi-Civita bağlantısının terimleri içinde tanımlanır.Yerel koordinatlar içinde bu tensör ile veriliyor:
Bu eğrilik metriğin terimleri içinde ise tamamen sentezlenebilir ve bu türevleridir.
Einstein denklemleri
Einstein alan denklemleri:
burada
(ve ilişkili eğrilik tensörleri) baskı–enerji tensörüne ilişkili metriktir.Bu tensör denklemi nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin metrik bileşenleri için bir karmaşık kümesidir.Einstein alan denklemlerinin tam çözümlerini bulmak çok zordur.
Ayrıca bakınız
- Genel göreliliğe alternatifler
- Eğri uzayzamanın matematiğine temel giriş
- Genel göreliliğin matematiği
- Ricci hesabı
Başvuru
Başvuruların bir listesi için bakınız Genel göreliliğin kaynakları.
Şablon:Tensors