Çokgenler ve Çokyüzlüdörtgenler
Bir önceki derste üçgenlerin birçok farklı özelliğini araştırdık. Şimdi dörtgenlere bakalım.
Düzenli dörtgenlere
Biraz daha az düzenli dörtgenler için iki seçeneğimiz var. Sadece açıların eşit olmasını istiyorsak, bir
Daha az düzenli olan ancak yine de bazı önemli özelliklere sahip olan birkaç dörtlü daha vardır:
Dörtgenler bu kategorilerin çoğuna girebilir. Farklı dörtlü tiplerin hiyerarşisini bir
Örneğin, her dikdörtgen aynı zamanda bir
Herhangi bir belirsizlikten kaçınmak için genellikle en spesifik türü kullanırız.
Şimdi soldaki gri kutuda herhangi bir yerde dört nokta seçin. Hepsini dörtgen oluşturacak şekilde bağlayabiliriz.
Dört tarafın her birinin orta noktasını bulalım. Orta noktaları bağlarsak,
Dış dörtgenlerin köşelerini hareket ettirmeyi deneyin ve daha küçük olana ne olduğunu gözlemleyin. Sadece herhangi bir dörtgen değil, her zaman bir
Ama neden böyle? Herhangi bir dörtgenin sonucu neden hep paralelkenar olur? Açıklamamıza yardımcı olmak için orijinal dörtgenin
Köşegen dörtgeni iki üçgene böler. Ve şimdi iç dörtgenin iki tarafının aslında
Önceki derste , bir üçgenin
Her iki karşı taraf çiftinin paralel olduğunu göstermek için dörtgenin ikinci köşegeniyle aynısını yapabiliriz. Ve bu, iç dörtgenin bir
Parallelograms
Paralelkenarların zıt tarafların paralel olması dışında birçok ilginç özelliği olduğu ortaya çıkıyor. Aşağıdaki altı ifadeden hangisi doğrudur?
Tabii ki, sadece bu özellikleri “gözlemlemek” yeterli değildir. Her zaman doğru olduklarından emin olmak için, bunları kanıtlamamız gerekir:
Yanlar ve Açılar
Paralelkenarın karşıt kenarlarının ve açılarının her zaman uyumlu olduğunu kanıtlamaya çalışalım.
Paralelkenarın köşegenlerinden birini çizerek başlayın.
Diyagonal, paralelkenarın kenarlarıyla dört yeni açı oluşturur. İki kırmızı açı ve iki mavi açı
Şimdi, köşegen tarafından oluşturulan iki üçgene bakarsak, iki uyumlu açıya ve bir uyumlu tarafa sahip olduklarını görürüz.
Bu, üçgenlerin diğer karşılık gelen kısımlarının da uyumlu olması gerektiği anlamına gelir: özellikle, her iki karşıt taraf çifti da uyumludur ve her iki karşıt açı çifti de uyumludur.
Bunun tersinin de geçerli olduğu ortaya çıkıyor: eğer bir dörtgen içinde her iki karşıt taraf çifti (veya açıları) uyumlu ise, o zaman dörtgen paralelkenar olmalıdır.
diyagonallar
Şimdi bir paralelkenardaki iki köşegeninin birbirini ikiye böldüğünü kanıtlayın.
Çaprazların oluşturduğu iki sarı üçgeni düşünelim:
- İki yeşil tarafın uyumlu olduğunu kanıtladık, çünkü paralelkenarın karşıt taraflarıdır. * İki kırmızı açı ve iki mavi açı uyumludur, çünkü bunlar
.
Şimdi uyumlu üçgenlerin karşılık gelen kısımlarının da uyumlu olduğu gerçeğini kullanabiliriz,
Daha önce olduğu gibi, bunun tersi de doğrudur: eğer bir dörtgen ikisinin iki köşesi birbirini keserse, dörtgen bir paralelkenardır.
Uçurtmalar
Yukarıda iki çift
Uçurtma adı açıkça şeklinden geliyor: gökyüzünde uçabileceğiniz uçurtmalara benziyor. Bununla birlikte, şimdiye kadar gördüğümüz tüm özel dörtgenler arasında, uçurtma da
Tüm uçurtmaların
Köşegen, uçurtmayı iki uyumlu üçgene böler.
Bu, örneğin, diyagonalin bir
Daha da ileri gidebiliriz: diğer diyagonal çizersek, iki tane daha küçük üçgen elde ederiz.
Bu demektir ki bu açı α da P açısı ile aynı olmalıdır. Bitişik olduklarından, hem a hem de lementary
Başka bir deyişle, bir uçurtmanın köşegenleri her zaman
Dörtgen Alanı
Bir önceki derste üçgen alanını hesaplarken, onu bir
Paralelkenar
Solda, paralelkenar ile aynı alana sahip bir dikdörtgen çizmeye çalışın.
Soldaki eksik üçgenin
Alan = baz × yükseklik
Paralelkenarın yüksekliğini ölçerken dikkatli olun: genellikle iki taraftan biri ile aynı değildir.
yamuk
Yamukların bir çift paralel tarafı olan dörtgenler olduğunu hatırlayın. Bu paralel taraflara yamuk tabanları denir.
Daha önce olduğu gibi, bu yamuk ile aynı alana sahip bir dikdörtgen çizmeye çalışın. Soldaki ve sağdaki eksik ve eklenen üçgenlerin nasıl iptal edildiğini görebiliyor musunuz?
bu dikdörtgenin yüksekliği
dikdörtgenin genişliği
Tüm bunları birleştirirsek, a ve c paralel kenarları ve yüksekliği h olan bir yamuk alanı için bir denklem elde ederiz:
Uçurtma
Bu uçurtmada, iki köşegen uçurtmayı çevreleyen büyük bir dikdörtgenin genişliğini ve yüksekliğini oluşturur.
Bu dikdörtgenin alanı
Bu diyagonal bir uçurtma alanı anlamına gelir d1 ve d2
Alan =
Eşkenar dörtgen
Bu, bir eşkenar dörtgen alanını bulmak için, bir paralelkenar alanı veya bir uçurtma alanı için denklemi kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Alan = baz × yükseklik =
Farklı bağlamlarda, bir Rhombus'un farklı kısımları (kenarlar, yükseklik, köşegenler) verilebilir ve hangi denklemin daha uygun olduğunu seçmelisiniz.