Asal sayılar, kendilerinden ve 1’den başka hiçbir sayıya tam bölünemeyen sayılardır. Şimdiye dek asal sayıların öngörülmesine olanak tanıyacak hiçbir formülizasyon yapılamamıştı. Asal sayılar hiçbir kurala bağlı olmadan beliriyor gibiydiler. Geçtiğimiz günlerde ise iki matematikçi tarafından bu özel sayıların izlediği bir desen keşfedildi.
Stanford Üniversitesi matematikçileri Kannan Soundararajan ve Robert Lemke Oliver’ın çalışması sonucunda, bir asal sayının son basamağındaki sayıya bakarak, kendinden bir sonra gelecek olan asal sayının son basamağındaki sayıya ilişkin fikir yürütülebileceği ortaya kondu. Buna göre, örneğin ilk bir milyar asal sayı için son basamağı 9 olan bir asal sayının ardından gelen asal sayının son basamağının 1 olma olasılığı, 9 olma olasılığından %65 daha fazla. Makalelerinde hem sayısal hem de kuramsal kanıtlar sunan bilimciler, son basamaklarındaki rakam aynı olan asal sayıların birbirlerini bir nevi ittiklerini belirtiyorlar.
Sayı kuramında uzun süreden beri geçerliliğini koruyan bir varsayım olan asal sayıların rastgeleliği böylece geçerliliğini yitiriyor. Matematikçiler öteden beri, bir asal sayıyı izleyen diğer asal sayının en soldaki birler basamağının 1, 3, 7 veya 9 olma olasılığının (yani 2 ile 5 dışındaki asal sayıların son basamağının alabileceği herhangi bir değeri alma ihtimalinin) aynı olduğunu düşünüyordu. Stanford ekibinin makalesi, bunun böyle olmadığını söylemesi nedeniyle matematik camiasında çalkantı yarattı.
Yazıdan Sonra Gelen Tura İle Turadan Sonra Gelen Turanın Farkı
Soundararajan’ı bu çalışmayı yapması konusunda esinlendiren Cambridge Üniversitesi matematikçilerinden Tadashi Tokieda’nın Stanford’da yaptığı bir konuşma olmuş. Tokieda konuşmasında yazı tura atarken ortaya çıkan sezgiye ters bir olaydan söz etmiş. Eğer Alis bir bozuk parayı turayı izleyen yazı gelene dek atarsa, Bob da arka arkaya iki tura gelene kadar atarsa, ortalamada Alis’in dört atış yapması gerekirken Bob’un altı atış yapması gerekeceğini söylemiş. Her ne kadar iki atışta yazı-tura ile tura-tura gelme şansı eşit olsa da, konu arka arkaya gelme olduğunda, ortada farklı birşeyler olduğunu belirtmiş Tokieda.
Bu garip olayın başka bağlamlarda da ortaya çıkıyor olabileceğinden kuşkulanan Soundararajan, onlarca yıldır asal sayılar üzerinde çalıştığından bakmak isteyeceği ilk yer de orası olmuş. Sonuçta bulduğu şeyin ise daha da tuhaf çıktığını ifade ediyor. 3 tabanında (3’lük sistemde) yazıldıklarında asal sayıların (rastgeleliklerinden ötürü) yaklaşık yarısı 1 ile biterken, yarısı da 2 ile bitiyor olması beklenir. Fakat 1000’den küçük asal sayılar üzerinde çalışan Soundararajan, son basamağı 1 olan bir asal sayının 2 ile biten bir asal sayı tarafından takip edilmesine, 1 ile bitenle takip edilmesinden iki kat daha sık rastlandığını saptadı. Aynı şekilde sonu 2 ile biten bir asal sayının ardından gelen asal sayının son basamağının 1 olma olasılığı da iki kat yüksek.
Soundararajan elde ettiği bulguları araştırmacı Dr.Lemke Oliver ile paylaşarak, onu şoka uğratmış. Oliver derhal bir bilgisayar programı yazarak, incelemeyi ilk 400 milyar asal sayıya genişletmiş ve aynı sonuca ulaşmış: Asal sayılar kendileri ile aynı son basamağa sahip asal sayılarla ard arda gelmekten hoşlanmıyor gibi görünüyorlar. Oliver ve Soundararajan, birbirlerini izleyen asal sayıların son basamaklarındaki bu eğilimin sadece 3 tabanında değil, diğer tüm basamaklarda da geçerliği olduğunu ve tabanı yükselttikçe çok yavaş biçimde eğilimin düşerek, olasılıkların eşitlenmeye doğru ilerlediğini de belirtiyorlar.
Eğilimin Nedeni Ne Olabilir?
Oliver ile Soundararajan’ın ilk tahmini basitti: Belki de, diyelim 3 ile biten bir asal sayının 7, 9 veya 1 ile biten bir sayı tarafından takip edilme olasılığının daha yüksek olma nedeni, kendisiyle aynı son basamağa gelene kadar arada diğer rakamlarla biten sayıların olmasıdır. Örneğin 43’ün ardından 47, 49 ve 51 geldikten sonra 53 gelir. Bu sayılardan 47 bir asal sayıdır.
Ama matematikçiler kısa sürede bu açıklamanın buldukları eğilimin boyutlarını açıklamakta yetersiz kaldığını anladı. zaten eğilim sadece son basamağın farklı olması konusunda değildi. Mesela 3 ile biten bir asal sayıyı 9 ile biten bir asal sayının izleme olasılığı, 1 veya 7 ile biten bir asal sayının izleme olasılığından da bariz derecede yüksekti. Bu ve benzeri tercihleri açıklayabilmek için matematikçilerin en derin asal sayı modellerine dalması gerekti.
Asal sayılar elbette aslında hiç de rastgele değildir; bütünüyle belirlenmiş durumdadırlar. Yine ard arda yazıldıklarında hiçbir kuralı olmayan, içinde herhangi bir desen barındırmayan, rastgele sayılar topluluğu gibi görünürler. Hepsini kapsayan sadece bir kural vardır: Bir sayıya yakın asal sayıların sıklığı, o sayının basamak sayısı ile ters orantılıdır.
Soundararajan ve Lemke Oliver asal sayıların son basamak tercihlerini açıklamanın bir yolunu buldu. G. H. Hardy ve J. E. Littlewood tarafından 1923 yılında ortaya atılan bir tahmin yöntemi (k-sıralı liste [İng. k-tuple] tahmini) ile bazı öngörüler yaptılar. Çok sayıda sayısal kanıt elde etmiş olmakla beraber, matematiksel kanıt şimdilik matematikçilerden kendini saklıyor.
Kaynak: Quanta Magazine, “Mathematicians Discover Prime Conspiracy”
<https://www.quantamagazine.org/20160313-mathematicians-discover-prime-conspiracy/ >
İlgili Makale: “Unexpected biases in the distribution of consecutive primes”, arXiv:1603.03720 [math.NT] arxiv.org/abs/1603.03720