Sıkıştırma teoremi
Sıkıştırma teoremi kalkülüs ve matematiksel analizde kullanılır. Tipik olarak, limitleri bilinen veya kolayca hesaplanan diğer iki fonksiyonla karşılaştırarak bir fonksiyonun limitini doğrulamak için kullanılır. İlk olarak matematikçiler Archimedes ve Eudoxus tarafından π'yi hesaplama çabasıyla geometrik olarak kullanıldı ve Carl Friedrich Gauss tarafından modern terimlerle formüle edildi.
Birçok dilde (örn. Fransızca, Almanca, İtalyanca, Macarca ve Rusça'da), sıkıştırma teoremi aynı zamanda iki polis (ve sarhoş) teoremi veya bunun bir varyasyonu olarak da bilinir.[kaynak belirtilmeli] Hikâye şudur ki, iki polis aralarında sarhoş bir mahkuma eşlik ediyorsa ve her iki memur da bir hücreye giderse, o zaman (izlenen yol ve mahkumun polisler arasında yalpalıyor olabileceği gerçeğinden bağımsız olarak) mahkum da hücreye girmelidir.
AçıklamaDüzenle
Sıkıştırma teoremi resmi olarak aşağıdaki gibi belirtilmiştir.[1]
I, limit noktası olarak a noktasına sahip olan bir aralık olsun. g, f, ve h; a noktasında zorunlu olmamak kaydıyla I aralığı üzerinde tanımlanan fonksiyonlar olsun. I aralığındaki a noktası hariç her x değeri için şunu var sayalım:
-
ve ayrıca varsayalım ki:
Öyleyse
- ve fonksiyonlarının sırasıyla fonksiyonunun alt ve üst sınırları olduğu söylenir .
- Burada, noktasının aralığının iç kısmında bulunması gerekli değildir. Aslında eğer noktası aralığının bir uç noktasıysa bu durumda yukarıdaki limitler sol veya sağdan yaklaşan limitlerdir.
- Benzer bir ifade sonsuz aralıklar için geçerlidir: örneğin, eğer ise limit şeklinde alınabilir .
Bu teorem diziler için de geçerlidir. 'ye yakınsayan bir dizi ve de bir dizi olsun. Eğer ise , olur, öyleyse de 'ye yakınsar .
ÖrnekDüzenle
Bu limit, limit kanunuyla saptanamaz:
Çünkü
'in limiti yoktur.
Bununla birlikte sinüs fonksiyonunun tanımıyla
dir ve bunu da
takip eder.
olduğundan sıkıştırma teoremine göre de 0 olmalıdır.