Fraktal ve Fraktal Geometri
"Fraktal geometri, insan zihninin bir ürünü olmaktan çok, bir keşiftir." (R. Penrose)
Fraktal Nedir?
Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Eukleidesçi geometrideki kare, daire, küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar, doğadaki, Eukleidesçi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimli tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi “parçalanmış” ya da “kırılmış” anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975'te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.[1]
İnternette fraktallar hakkında çok fazla bilgi vardır, fakat bu bilgilerin büyük kısmı ya güzel resimler ya da yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayısıyla kolayca anlaşılır bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karşılaştığımız matematiğin çoğu, eski bilgilerdir. Örneğin, geometride karsılaştığımız çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yıllarında Öklid tarafından ortaya konulmuştur. Buna rağmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafından araştırmalar son 25 yıldır başlamış bulunmaktadır.[2]
Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince "fractus" kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'te Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden, ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, yine cismin bütününe benzemesi olayıdır. Doğada görülebilen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı verilebilir.[3]
Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki, her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, yine cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rasgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler, düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)
Fraktalların bir başka önemli özelliği de, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan fraktalların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyut, genellikle tam sayı olmayan bir sayıyla, yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut, bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.
Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4'e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir; yani;
3d =4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1, 26'dır. Fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde rasgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.[1]
Maddenin en küçük yapı taşı atoma baktığımızda ortada proton ve nötronlardan oluşan, kendi etrafında dönen bir çekirdek ve etrafında belirli yörüngelerde dolanan elektronlardan oluşmuştur. Protonun ve nötronun yapısını ise, elektron büyüklüğündeki üç parçacık (kuark) ve onları bir arada tutan çekim kuvveti sağlayan gluonlar oluşturur. Kuarklar titreşen enerji paketlerinden ibarettir. Sonuçta evren, özünde titreşen enerji denizinden ibaret olacaktır. Atomlar bir araya gelerek molekülleri, moleküller bir araya gelerek karmaşık yapılı daha komplex organik yapıları onlarda birleşip canlı hücreyi oluştururlar. Hücreler dokuları, dokular, organları, organlar sistemleri ve sistemler canlı organizmayı oluşturur. Organizmalar fraktallardan oluşmuştur da denilebilir.[4]
İnsan vücudu fraktallardan oluşan organ ve yapılara sahiptir. Akciğerlerimize daha fazla oksijenin girebilmesi için soluk borumuz ikiye daha sonra sürekli küçülen ve kendini tekrar eden kollara ayrılmıştır. Her kolun ucunda üzüm salkımını andıran hava keseleri bulunur. Kalp atışlarımızda belirgin bir karmaşıklıktan sonra kendini tekrar eder. EKG grafiklerinde bu açıkça görülebilir. Bütün hücrelerimize oksijen ve hayati diğer besinleri taşıyan kan damarlarımız da giderek küçülerek kılcal damar ağı ile tüm vücudumuzu sararlar. Kan hayati bir sıvıdır ve en küçük damlası bile hücreye kadar ulaşmalıdır. Sistem yine olması gerektiği şekilde kendini oluşturmuştur. İnsan beyninin kıvrımları ve beyinden çıkıp omurilikten tüm vücuda yayılan sinir hücreleri çeşitli bağlantılar (sinaps) yaparak tüm vücudu ağ gibi sarar. Amaç dışarıdan gelen sinyalleri daha iyi alabilmek için vücudu daha çok sarmaktır. Daha çok ve çeşitli sinyal ya da uyarı almak sinir hücrelerimiz arasındaki bağlantıları artırır. Bu da insanın çevresini daha iyi algılamasını sağlar. Sinir hücrelerinin sayısı değişmez, ölen sinir hücreleri yenilenmezler bu durum belirli bir düzeni bozmamak içindir. Vücudumuzdaki kas lifleri de fraktal yapıdadır. Ağaçların dallanmasında ve yaprak diziliminde, eğrelti otunun yapraklarının diziminde, brokoli bitkisinde, kaktüslerde, sümüklü böceğin dış iskeletinde, midyenin dış iskeletinde, örümceğin ördüğü ağda, mercan resiflerinde, rüzgarın esintisinde, uzaktan baktığımızda nokta gibi gördüğümüz mikroskop altında muhteşem şekillere sahip kar kristallerinde fraktal yapılara rastlanır. İnsan yaşamındaki ekonomi, tarih ve psikolojide fraktal seyirler gösterir.‘' Tarih tekerrürden ibarettir."Sözü tarihin kendini tekrarlayan dönemlerden oluştuğunu anlatır niteliktedir. Ülkelerin kuruluş, yükseliş ve çöküşleri, borsanın iniş çıkışları, insan hayatındaki dönemler belirli aralıklarla kendini tekrarlar. Evrende mükemmel fraktal yapılar vardır, peki evrenin kendisi fraktal olabilir mi? [4]
Fraktaller, kendilerini farklı ölçeklerde tekrarlayan motiflerdir. Sıkça kullanılan bir örnek brokolidir; her küçük çiçekçik temel motif olarak kendisini tekrarlayarak bir sonraki çiçekçik katını oluşturur ve brokolinin nihai şekli böylece tamamlanır. Yakın zamanda yapılan araştırmalar bireylerin davranışlarının, takım ve kurumların işleyişinin, pazar dinamiklerinin, ekonomilerdeki hareketliliğin, hatta çevre ve toplum gibi kapsayıcı sistemlerin hareketlerinin fraktal dinamikler gösterdiğine işaret eder. Fraktal sistemlerin özgünlüğü bir temel motifin (brokolinin çiçekçiği örneğinde olduğu gibi) bütün bir sistemin yapısını kararlaştırmasıdır. Temel motifi keşfet, değiştir ve bütün sistem değişsin. Temel motifin değiştirilmesiyle bir kurumun müteakip düzeyleri, pazara, çevre ve topluma yaklaşımı ve bunlarla olan tüm ilişkileri de değiştirilir.[5]
Fraktallar ile Normal Örüntünün Arasındaki Fark nedir?
Fraktallar da bir çeşit örüntüdür. Fakat daha önce gördüğümüz örüntülerden farklıdır. Fraktallar virüs gibidir, her bir parçasından devamlı benzer parçaları oluşur. Normal örüntülerde ise benzer parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını anlamamızı sağlayan en önemli nokta budur.[6]
Teorinin Gelişimi
Benoit Mandelbrot, IBM laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun kuramı, iktisat, emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare, sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti; ama sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştı. İletişim sırasında gürültüye bağlı hatalar oluşmaktaydı.
İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişigüzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur. Mandelbrot, bir günlük veri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümleri daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti ve sonunda hatasız periyotların var olduğunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti fakat: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu.
Yukarıdaki tanıma uyan dağılım fonksiyonuna sahip bir dizi, 19. yüzyılda yaşamış olan bir matematikçi olan Georg Cantor'un anısına Cantor dizisi olarak bilinir. Cantor dizisini oluşturmak için L uzunluğunda bir doğru parçası alınır. Doğru parçasının ortadaki üçte birlik kısmı silinir. Artık L/3 uzunluğunda 2 adet doğru parçası vardır. Bu doğru parçalarının da ortadaki üçte birlik kısımları çıkarılır ve bu işlem sonsuza kadar tekrarlanırsa elde edilen yapının adı Cantor Tozudur. Bu tozun koordinatları bir Cantor dizisi oluşturur. Cantor Tozu sonsuz adet noktadan oluşur; ama toplam uzunluğu sıfırdır.
Mandelbrot, yukarıdaki gürültü dağılımını kullanarak sinyal gücünün arttırılmasının gürültüye bağlı hatalardan kaçınılamayacağını göstermiştir. Yapılması gereken hataları engellemek değil, hataları düzeltecek bir mekanizma geliştirmektir.
Mandelbrot'nun kendi kendine sorduğu şu soru, daha sonraki çalışmalarını yönlendiren temel işlev olmuştur: "İngiltere kıyılarının uzunluğu nedir?" "Bu sorunun yanıtı kullanmakta olduğunuz ölçüm aracının uzunluğuna bağlıdır." diyordu Mandelbrot. Mesela bir metrelik bir pergelin kıyı boyunca yürütüldüğünü düşünün. Bulacağınız uzunluk yaklaşık bir değer olacaktır. Çünkü pergel, uzunluğu bir metreden daha kısa olan girinti ve çıkıntıları atlayacaktır. Pergeli yarım metreye indirdiğinizde bulacağınız sonuç bir öncekinden daha büyük, daha doğru, ama halen yaklaşık sonuç olacaktır. Bu sefer de pergel yarım metreden daha kısa olan girinti çıkıntıları ölçemeyecektir. Pergeli daha da küçülttüğünüzde elde edeceğiniz sonuç daha büyük ama halen hatalı bir değerdir. Bu zihinsel deneyi sonsuza kadar götürdüğünüzde ilginç ortaya ilginç sonuçlar çıkar. Sahil şeridi Öklid geometrisine uygun olsa idi (örneğin çember), pergel küçüldükçe yapılacak ölçüm gerçekten de çemberin çevresine eşit olacaktı. Ama sahil şeridi Mandelbrot'un öngördüğü şekilde ise ölçek atom boyutlarına inene kadar bulunan uzunluk sürekli artmaya devam eder, ancak atom ölçeğinde sonlu bir değere gidebilir. Dikkat edilirse, Cantor Tozu'nda olduğu gibi burada da ölçü biriminden (bir anlamda gözlem boyutundan) bağımsız olarak hata halen mevcuttur.
Mandelbrot'nun bir sonraki sorusu ise şu olmuştur: "Bir iplik yumağının boyutu nedir?" Uzaktan bakıldığında yumak bir noktadan ibarettir, yani boyutu sıfırdır. Daha yakından yapılan gözlemlerde yumak yüzeyinde düzensizlikler bulunan bir küre gibidir. Boyut sayısı üçe çıkmıştır. Daha yakından bakıldığında yumağı oluşturan tek boyutlu iplik ayrık olarak gözlemlenebilir. Tek boyutlu ipliğe büyüteçle bakıldığında iplik üç boyutlu sütunlar gibi görülür. Mikroskop altında sütunlar tek boyutlu liflere, lifler ise sonunda boyutsuz noktalara dönüşmektedir. O halde, yumağın gerçek boyutu nedir?
Mandelbrot, bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlülük derecesine sahip olduğunu ve bu pütürlülük derecesini ölçmenin bir yolunu bulmuştur. Mandelbrot'ya göre göre ölçek değiştiğinde düzensizlik derecesi sabit kalmaktaydı. 1975 yılında Mandelbrot pütürlülük derecesinin ismini de koymuş oldu: Fraktal boyut. Pütürlülük özelliği gösteren cisimler de fraktallar adını aldı.
Fraktal terimi taşıdığı felsefik anlam sayesinde ve fraktalların psychedelic biçimlere sahip olması gibi özelliklerinden dolayı diğer sanatları da etkilemiş ve özellikle müzik alanında sesin görsel yansıması, fraktal şekillerin sese dönüşümü gibi alt başlıklar altında kendine yer bulmuştur. Bu özelliklerinin yanı sıra "düzendeki kaos - kaostaki düzen" sloganı ile tanımlanan fraktal kavramı özellikle rock müzik dalında kendisinden etkilenen gruplara adını vermiştir. Arjantinli progressive rock grubu "Fraktal", bu grupların en tanınanıdır. Ülkemizde de adında Arjantinli meslektaşlarıyla aynı adı taşıyan pyschedelic ve progressive rock grubu "Fraktal" faaliyetlerini sürdürmektedir.em:Φράκταλ.[3]
Fraktal Geometri
Fraktal geometriyle ilk tanışmam bundan 5 yıl kadar önce bir arkadaşımın bilgisayarla yaptığını iddia ettiği bir resmi başka bir arkadaşıma doğum günü hediyesi olarak vermesiyle oldu. Klasik anlamda resim diyemeyeceğim bu görüntü, başı ve sonu –belli- olmayan ve birbiri içinde tekrarlanan geometrik diyebileceğimiz, demeye de bileceğimiz bir motifin birbiri içinde tekrarlanan canlı renklerle süslenmiş haliydi. Daha sonra başka eserlerini de gördüğüm arkadaşım ilk kez duymama daha birkaç yıl olan fraktal ya da mandelbrot kelimelerini tek bir kez bile cümle içinde kullanmadan, ‘bilgisayar programı var, yapıyorum işte' diyerek hayretimi izledi.
Hala hayatta olan ve resimde görülen, zamanında ne matematikçilere ne fizikçilere yaranabilmiş Benoit Mandelbrot amcanın 2000 yıllık koca Öklid geometrisini tahtından ettiği buluşunu tanımlamak için oğlunun Latince sözlüğünü karıştırırken rastladığı fractus sıfatından ilham alarak uydurduğu fractal kelimesi ve bu isimle tanımladığı geometriyle tanışmama daha birkaç yıl vardı. Mandelbrot bunu yaptığında takvimler 1975'i gösteriyordu, kendisinin fraktal geometriye dair yayımladığı “İngiltere sahillerinin uzunluğu nedir?” başlıklı ünlü makalesinin yayımlanmasının üzerinden 8 yıl geçmişti.
Cevabı başlığı kadar ilginç olan bu makale, daha sonra fraktal geometrinin doğadaki başka tezahürlerine yoğunlaşacak başka matematikçiler için bir öncü niteliği taşıyordu. Özetle, Mandelbrot; ‘Bulacağınız uzunluk pergelinizin uzunluğuna göre değişir. Eğer bir metre açıklığında bir pergelle ölçüyorsanız bir metrenin altındaki kıvrımlar ölçülmemiş olacaktır, eğer bir karışlık bir pergelle ölçüyorsanız bir karışın altındaki kıvrımlar yuvarlanmış olacaktır. Ölçümünüzü ne kadar hassaslaştırırsanız bulduğunuz sonuç o kadar büyük olacaktır ve bunun sonu her bir kum tanesini ard arda ölçmeye kadar gidecektir.' diyordu.
İngiltere ya da Türkiye sahilinin ne kadar uzun olduğu gibi bir merakım olmadı. En meraklı zamanlarımda bile evdeki televizyonun içinde gerçek adamlar olmadığının farkındaydım. Ancak bu her kıvrımında kendi minik örneklerini sakladığını gördüğümüz ünlü Mandelbrot serisinin z kare + c gibi gayet basit bir fonksiyondan oluştuğunu öğrendiğimde şaşırdım. Gördüğüm kadarıyla tek püf noktası z'nin sıfırdan başlayan herhangi bir sayı, c'nin de test edilen noktaya tekabül eden karmaşık bir sayı olması. Hepimizin anlayabileceği bir dille ifade etmek gerekirse sıfırdan itibaren bir sayı alıyoruz, kendisiyle çarpıp sonucu aldığımız ilk sayıya ekliyoruz. Sonra bu sayının karesini alıp ilk sayıya ekliyoruz ve istediğimiz kere tekrarladığımız bu fonksiyonun dinamik karşılığı yukarıdaki resimlerin ilki oluyor.
Araştırınca gördüm ki fraktal geometri, ortaya çıkışı, daha doğrusu bu açıklıkla tanımlanışı ve bir türlü kabul göremeyişi matematiğin bilgisayarların gelişmesini beklediği yüz yıllık uzun ve sıkıcı dönemin bitmesini beklemiş. İlk örnekleri Birinci Dünya savaşı sırasında Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun inceledikleri ve literatüre Julia seti olarak geçen denklemlerle genç Mandelbrot karşılaşmıştı ve kendi başarısının sırrı olan sezgileriyle bunların Öklityen kavramlarla açıklanamayacağını anlamıştı. Kendisi şanslıydı, hem dünyaya daha uygun bir zamanda gelmiş hem de IBM gibi bir firmada, zamanın en ileri –ileri dediysek günümüzdekilerin atalarından bahsediyoruz- bilgisayarları elinin altında çalışmaktaydı, üstelik hafif çatlak ve bolca megaloman bir bilim insanı olarak sonradan pek ünlü olacaktı.
Burada özetlemekte zorlandığım bilgilerin ışığında söyleyebilirim ki Mandelbrot'un bu hep gözümüzün önünde olan fakat bilinen tarih boyunca kimsenin formüle edemediği fraktal geometrinin başarısı bakış açısında yatmaktadır. Kendisi de sorup cevapladığı sorularda bakış açısını yani ölçeği baş değişken olarak kullanmış. Yine meşhur sorularından biri; bir yumağın boyutu nedir? Eğer uzaktan bakıyorsak bir nokta kadardır. Biraz yaklaşınca birbirinin üzerine sarılmış iplikler kadardır. Daha da yaklaşınca iplikleri oluşturan daha ince lifler kadardır. Daha da yaklaşırsak o lifleri oluşturan sıfır boyutlu noktalar kadardır. İnsanın avucunda tuttuğu bir yumağın nihayetinde sıfır boyutlu noktalar toplamı olduğuna inanası gelmiyor ancak matematiksel olarak durum bu.
Koch'un birbirini daha küçük ölçeklerde tekrarlayan üçgenlerden oluşan kar tanelerinin merkezinden çizilmiş bir daireye sığmakla birlikte kenarının sonsuz uzunlukta olduğuna da ilk bakışta inanmak zor. Ancak matematiğin böyle de bir boyutu varmış işte! Her kenarı 30 santimetrelik gayet ele gelir bir boyutta bir eşkenar üçgenle başlayıp, her kenardan ortadaki on santimden yeni bir eşkenar üçgencik çıkarmak ve bunu tekrarlayarak, her seferinde bir öncekinin üçte bir boyutunda yeni üçgencikler yapmaya devam edersek bizim de Helge von Koch'un da 1904'de tanımladığı, kenar uzunluğu sonsuz, alanı maksimum eşmerkezli bir daire kadar olan bir kar tanemiz olur. Tamamen ölçek meselesi.
Cantor tozu, Sierpinski halısı ya da Menger süngeri de aynı mantıkla oluşturulmuş daha eski örnekler. Matematiksel bakımdan incelenmeye değer olduğu gibi pratik yaşamda da benim aklımın ucundan geçmeyecek dertlere deva olmuşlukları varmış. Bir doğrudan başlayıp, üçe bölüp ortadaki üçte biri kaldırıp, sonra kalan her üçte bire aynı işlemi uygulamayı tekrar ederek ortaya çıkan noktacıklardan ibaret olan Cantor tozunu Mandelbrot, kablolardaki veri transferinde ortaya çıkan hatanın dağılımı ile ilişkilendirmişti. Aynı işlemin üç boyutlu hali olan Menger süngeri bir küpün merkezindeki küpün kesilip çıkartılması ve kalan dokuzda bir boyuttaki diğer sekiz küpe de aynı işlemin uygulanmasından oluşmaktadır. Sonsuz yüzey ve sıfır hacme sahip bu yapı Eiffel Kulesi ile inşaat teknolojisine girmiş ve bu alandaki belki de en kullanışlı çözüm olmuştur.
20. yüzyılın son çeyreğinde ismine kavuşan bu matematik dalının doğada sayısız örneklerine işaret eden başka bilim insanları da oldu. Bir eğrelti otunun yapraklarının diziliminden bir şimşeğin izlediği yola, bir camdaki çatlağın çıkardığı desenden akciğerlerimizin içindeki bronşların ve damar sistemimizin yapısına kadar fraktal geometri içinden evrenin doğduğu, o ilk gaz ve toz bulutlarından beri kendi minik örneklerini içinde barındıran bir düzen olarak mevcut. Bunu idrak ettikten sonra benim için anlaması asıl zor olan şey bunu keşfetmek için neden bu zamana kadar beklediğimiz! [7]
Kaynaklar
[1] matlab.s5.com/fraktal.htm
[2] Prof. Dr. H. Hilmi HACISALIHOGLU, "Fraktal ve Fraktal Geometri nedir?", www.matder.org.tr
[3] tr.wikipedia.org/wiki/Fraktal
[4] blog.milliyet.com.tr/Blog.aspx?BlogNo=146852
[5] www.oyakcimento.com/turkce/incvbs/DosyaOku.asp?intDokumanID=2137
[6] www.sbs-matematik.com/8-sinif-konu-anlatimi/fraktallar.html
[7] Pınar Derinbay, "Fraktal Geometri", www.derki.com/dergi/index.php/fraktal-geometri.html
Bu sayfa hakkında yorum ekle:
|Bu sayfa hakkındaki son yorum:|
|Yorumu gönderen: onur, 15.10.2016, 12:00 (UTC):|
Bilmediğim bir kavramdı, öğrendim teşekkür ederim.
|Yorumu gönderen: sırdaş, 26.12.2014, 15:34 (UTC):|
çook iyimiş yaa işime yaradı tşk
|Yorumu gönderen: sıddıka, 31.03.2014, 14:06 (UTC):|
fraktal geometrisi cok değişik ve anlamı büyük bir matematik konusu ve benzer şekillerin farklılıkları üzerini değinmiş bir konu....
|Yorumu gönderen: sarac, 19.12.2013, 18:58 (UTC):|
süper
|Yorumu gönderen: ??????????, 14.12.2010, 18:53 (UTC):|
işime yaradı guzel
|Yorumu gönderen: poker, 05.12.2010, 16:25 (UTC):|
süper
|Yorumu gönderen: lale , 06.11.2010, 16:11 (UTC):|
çok beyendim süper olmuş
|Yorumu gönderen: bbb, 09.10.2010, 14:05 (UTC):|
iyi gibi
|Yorumu gönderen: talha, 26.09.2010, 09:49 (UTC):|
doğadan örnek
|Yorumu gönderen: ali, 25.09.2010, 12:12 (UTC):|
Bn DÖrT KüPTeN olIUSaN biR frAKTAL ARIOm ama buLMAMADIMAM.. YrDım eDİn
|Yorumu gönderen: AY$€, 24.09.2010, 18:09 (UTC):|
B€Y€NM€DİM YHA O N€ OL€
|Yorumu gönderen: _-_ neslihan _-_, 20.09.2010, 16:45 (UTC):|
çok az örnek var ama fraktal'la ilgili güzel yazılar var hem bu sayede faraktalın internette değişik değişik yazılarla belirtilmiştir ama fraktalın ne olduğu ortak noktaları bu yazıda emeği geçen kişilerin ellerine sağlık emeklere saygıı
|Yorumu gönderen: atakan, 05.04.2010, 07:54 (UTC):|
fraktal konusunu çok seviyorum
|Yorumu gönderen: -Orange(R)- HaSaN, 27.01.2010, 14:04 (UTC):|
coook az ornek var yorum yazan lar senı loneyy clan olarak kınıyorusss ınsan b ı emege saygı der
EMEGİNİSE SAGLİK uzun uzun anlatmıssınız
|Yorumu gönderen: sanane, 04.01.2010, 16:16 (UTC):|
merabe
|Yorumu gönderen: nesibe, 17.11.2009, 15:46 (UTC):|
görüntüler seper icerikte dahil.......xxdd
|Yorumu gönderen: mervenur koçak, 09.10.2009, 11:20 (UTC):|
aynı sey gibi seyler var adam gibi seyler koyun gerizekalılarrrrrrrrrr
|Yorumu gönderen: RAHİME, 30.09.2009, 11:31 (UTC):|
BİRAZ DAHA ÖRNEK