Evet yine LeBron James arkadaşımızdan güzel bir soru. Eminim cevabı kendisini de şaşırtacak. Evet soruyu çözmeden önce LeBron'un kariyer istatistiklerine baktım ve kariyeri boyunca yaptığı serbest atışları tutturma oranı yüzde 75. yüzde 75'i şöyle yazalım Şimdi, serbest atış yapan bir milyon tane LeBron James olduğunu düşünün. Bu çizgi, ilk serbest atışını sayı yapan bütün LeBron James'leri temsil etsin ve çizgiye "birinci serbest atış" çizgisi diyelim. Ortalama olarak yüzde 75'i bu atışı tutturuyor. Şimdi, yüzde 75'ini çizelim burası çizginin yarısı burası 25 desek burası da 75 olur. Yani yüzde 75'inin ilk serbest atışı yaptığını söyleyebiliriz. yüzde 75'i atışı tutturuyorsa yüzde 25'lik kısmın da atışı kaçırması lazım değil mi. Ama bizim ilgilendiğimiz kısım, atışları yapabilen kısım. Çünkü üst üste on atışa ihtiyacımız var. O yüzden ilk atışı yapan yüzde 75'lik kısma odaklanacağız. yüzde 25'lik kısımda serbest atışı tutturacaklar da çıkabilir ama artık bu kısımla ilgilenmiyoruz. Çünkü onlar artık oyun dışı kalıyorlar. Şimdi de "ikinci serbest atış"ı çizelim. İlk atışı yapabilen LeBron James'lerden kaçı ikinci atışı da sayı yapabilir? İlk atışı yapmanın, ikinci atışla bağlantılı olmadığını varsayacağız. Bu da yine bir şekilde bir LeBron James'in serbest atışı tutturma oranıyla aynı olmaya devam edecek. Yani yine LeBron James'lerin yüzde 75'inin ikinci atışı da tutturduğunu düşüneceğiz. O yüzden yüzde 75'lik kısmın yüzde 75'ini alacağız. Bu kısım yüzde 75'in yarısı kadar bu kısım çeyreği dersek bu kısım da dörtte üçü oluyor değil mi tam olarak yüzde 75. ve bu çizgi de, ilk iki atışı da tutturabilenleri temsil ediyor. Bu çizgi kısaca, ortalamada ilk iki serbest atışı da tutturan LeBron'ları gösteriyor. Bu uzunluk da yukarıdaki yüzde 75'in yüzde 75'ini gösteriyor. Artık bir düzenin ortaya çıktığını anlamışsınızdır tahminen. Şimdi bir çizgi daha çizelim ve bu da "üçüncü serbest atış" çizgisi olsun. Peki, bu LeBron'lardan kaçı, üçüncü atışı da gerçekleştirebilecek? Yine yüzde 75'lik bir kısım değil mi bu üçüncü atışı da tutturacaklar. Evet üçüncüyü de atan yüzde 75'lik kısmı çizelim Peki bu kısım ne olacak? Bu kısım, önceki yüzde 75'in, yüzde 75'ini oluşturacak. yüzde 75'lik kısmın da yüzde 75'ini alacağız. Eğer onuncu serbest atışa kadar gidecek olursak on atışın hepsini tutturmuş olanlar çok çok küçük bir kesit oluşturacak. yüzde 75 çarpı yüzde 75 çarpı yüzde 75 diye gidecek yani yüzde 75 kendiyle on kere çarpılacak. Elimizde bu parça var bir tane yüzde 75 çarpı yüzde 75 var şimdi bunu kopyalayayım çok vakit almasın. Evet çarpma işaretlerini de sonra koyarız çarpı, çarpı çarpı evet. şimdi bununla da çarpalım Şimdi, tüm on atışı da yapanları gösteren bu küçücük kısım, buradaki değerle eşit olacak. Yani yüzde 75'le sayalım, 1,2,3 4,5,6,7 8,9,10 yüzde 75 kendiyle on kere çarpılacak. Tüm işlemi yapamayız tabii ki, elle yapmak sonsuza kadar sürer. Hatta hepsini alıp hesap makinesiyle bile çarpsam hala hata yapma olasılığım var ama şansımıza çarpımları tekrarlayan matematiksel bir işlemimiz var değil mi. Buna üs almak diyoruz. Sonucu yazmanın bir şekli de, yüzde 75'i alıp onuncu kuvvetini bulmak yani yüzde 75'i kendisiyle on kere çarpmak. Bu, alttaki işlemle aynı oluyor. Yüzde 75, yani "yüzde" kelimesi gerçekten de sayı olarak "yüz"de demek yüzde. O zaman bunu 75 bölü 100 diye yazalım ve onuncu kuvvetini alalım. Yüzdelik oran 0.75'le aynı şey yani bunun da onuncu kuvvetini alabiliriz. Hesap makinesini çıkartalım ve işlemin sonucunu görelim. 0.75'in onuncu kuvveti 0.056 ediyor. En yakın yüzlüğe yuvarlarsak da elde ettiğimiz sayı 0.06 ediyor. Kısaca on serbest atışı tutturma olasılığımız, on serbest atışı da tutturma olasılığımız yüzde 6 ediyor. Epey yüksek bir atış yüzdemiz varmış gibi görünse de, aslında bu çok da yüksek bir olasılık değil. Peki bunu nasıl formülüze edebiliriz bunu nasıl bulabiliriz? Buradaki düzeni gördüğünüzü üşünüyorum. Tıpkı anlattığım gibi, atışları tutturabilmenin olasılığı atışa "n" diyelim "n" diyelim "n" atış sayısı olsun, yani art arda "n" tane, "n" tane atış. Sadece LeBron'dan değil, herkesten bahsediyorum şimdi. "n" bu kişilerin bu basketci arkadaşlarımızın serbest atış oranı olacak. Bu durumda LeBron, tamamlamak istediğimiz on atışın yüzde 75'ini yapabilmiş. Yani, "n"inci kuvvete kadar yapmış. Mesela, serbest atış oranınızla oynamak istediniz. Diyelim ki atış oranınız yüzde 60 olsun, bu da 0.6'yla aynı şey. yüzde 60'lık bir atış oranınız var, art arda 5 kere her atışınızı sayı yapmak istiyorsunuz. Dolayısıyla, yüzdenizin 5. kuvvetini alacaksınız. En yakın yüzlüğe yuvarlayacak olursak yüzde 8 olasılığınız olacak.