Your (or automatic translator's?) translation is pretty good for a translation, but this is not the way we natives talk or write. The verb move on is very difficult to translate as it gained an idiomatic meaning. We could aşmak or geride bırakmak but they don't exact equivalents, I'd use definitions like "hiç bir şey olmamış gibi hayatını sürdürmek" or "kaldığı yerden hayatına devam etmek" or "yaşananları ardında bırakıp geleceğe bakmak" etc. Could is not always past tense so it may mean anlayabilirsin. For being deeply in love "kara sevdaya tutulmak/düşmek, or just sevda.
Olgun davranmak ilişkinin bittiğini kabullenebilmek anlamına gelmiyor
Bir şey olmamış gibi hayatına devam etmek hiç kolay değil
Aşk insana ne seçenek ne de varsayım tanır
Bunu ancak kara sevdaya tutulmuşsan/tutulduysan anlayabilirsin. (Bunu ancak kara sevdaya tutulmuşlar anlar)