Analiz Nedir Hakkında Bilgi
Analiz Nedir, Analiz Hakkında Bilgi
Analiz, matematikte, Sir Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 17. yüzyıl sonlarında integral ve diferansiyel hesabın (sonsuz küçükler hesabı) bulunmasıyla ortaya çıkan kapsamlı matematiksel gelişmeler dizisi. O tarihten bu yana sonsuz seriler, varyasyonlar hesabı, diferansiyel denklemler, Fourier analizi, karmaşık (kompleks) analiz, vektör ve tansör (gerey) analizi ve fonksiyonel analiz gibi birbirlerinden az ya da çok ayrımlı analiz alanları ortaya çıktı. Matematiğin öbür dalları, özellikle diferansiyel geometri, kümeler kuramı ve topoloji, analizden kaynaklanan düşüncelerden derin biçimde etkilendi. Sonsuzküçükler hesabının gelişmesiyle, matematiğin daha sonraki yazgısını belirleyecek çeşitli kavramlar ortaya çıktı. Fonksiyonların özelliklerini, özellikle maksimum ve minimum değerlerini, düzlemsel bölgelerin alanlarını ve üçboyutlu bölgelerin alan ve hacimlerini hesaplamada kullanılan yeni teknikler, eskiden güçlükle ulaşılabilen sonuçların kolayca bulunmasını olanaklı kıldı. Sınırsız ölçüde yakın yaklaşmayla (limit) ilgili önemli kavramlar ve genel denklemlerin çözümlerine istenilen ölçüde yaklaşmakta limitten yararlanmaya dayanan teknikler geliştirildi. Sonsuz seriler, başka bir deyişle, bir fonksiyon ya da bir niceliğin, gittikçe küçülen artışlı sonsuz bir serinin toplamı olarak gösterilmesi geliştirilen bir başka önemli kavramdı. Nevvton ve onun ilk izleyicileri, bu yordamın, sonlu sayıda çokterimliyle yapılan hesaplar için geliştirilen eski tekniklerin, daha genel matematiksel ilişkilerin araştırılmasına uyarlanmasını olanaklı kıldığını gördüler. Nevvton ve Leibniz’in, aralarında Bernoulli ailesinin ve Leonhard Euler’in de bulunduğu ilk izleyicileri, sonsuzküçükler hesabının konusunu ve yaklaşımını, daha sonra standart hale gelecek biçimde tanımlayarak bu hesabın tekniklerini genişlettiler. Özellikle Euler, trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksiyonların özelliklerini araştırdı; bu fonksiyonları seriler biçiminde göstererek aralarında birçok ilişki kurdu. Euler ve Bernoulliler, Newton’ın tekniklerini, bir eğrinin ya da yüzeyin tüm biçimine bağlı niceliklere de uyguladılar, böylece varyasyonlar hesabı ortaya çıkmış oldu. Bu çalışmalar ve Nevvton’ın fiziksel hareketlerin incelenmesinde diferansiyel hesabı kullanması, diferansiyel denklemlere , başka bir deyişle, bir ya da birden fazla değişkenli fonksiyonlarla bunların türevleri arasındaki ilişkilere önem kazandırdı. İlk matematiksel analizciler, diferansiyel denklemlerin açık integrallerini ve çözümlerini, bilinen klasik fonksiyonların sonlu kombinezonları biçiminde ya da hiç değilse bunların sonsuz serileri biçiminde göstermeye çalışmışlardı. Ancak 18. yüzyılın ikinci yarısına gelindiğinde, birçok önemli problemin bu denli açık çözümünün olmadığı anlaşıldı. Sonraki yıllarda belirli formüller aramak yerine fonksiyon sınıflarının yararlı genel özelliklerinin bulunmasına ağırlık verilmeye başlanmasıyla analiz araştırmaları daha nitel hale getirildi. Çok değişkenli fonksiyonlar hesabının, eğrilerin ve uzaydaki eğri yüzeylerin incelenmesinde yararlı olduğu görüldü. Cari Friedrich Gauss’un, diferansiyel hesap yöntemlerini geometri sorularının incelenmesine uygulayarak diferansiyel geometriyi kurması bunun uygulamalarından biridir.
19. yüzyıl başlarında J.-B.-J. Fourier, her fonksiyonun, sonsuz sinüs ve kosinüs serileriyle gösterilebileceğini kanıtladı. Bu seriler, vektörlerin üç boyutlu uzayda gösterilmesine benziyordu. Bu benzerlik, 20. yüzyılda fonksiyonel analizin gelişmesine önemli katkıda bulundu. A.-L. Cauchy ve başka matematikçiler, sonsuzküçükler hesabını karmaşık fonksiyonlara uyguladılar. Cauchy, karmaşık değişkenli, türevlenebilir bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerinin, başka noktalardaki değerlerinin integrali (Cauchy integrali) olarak gösterilebileceğini kanıtladı. Cauchy’nin çalışmaları, sonunda topolojiyle analiz arasındaki ilişkinin kurulmasını sağladı. Bernhard Riemann’ın da üzerinde çalıştığı bu alanda ele alınan konular ancak bir yüzyıl sonra yeterince araştırılabildi.
19. yüzyılda, mantıksal sağlamlığa gösterilen özenin artması ve analizin temelleri üzerinde sürdürülen eleştirel çalışmalar, özellikle de Cauchy, Richard Dedekind ve Georg Cantor’un çalışmaları, süreklilik kavramının, küme kuramının daha ilkel kavramlarına aynştırılmasına ve önceki iki yüzyılda geliştirilen analizin tüm yapısının böylesi birkaç ilkeye sağlam bir biçimde dayandınlabileceğinin anlaşılmasına yol açtı.
20. yüzyılda analizin başhca temalarından biri, vektör geometrisiyle fonksiyon topluluklarının özellikleri arasındaki benzerliklerin işlenmesi oldu. David Hilbert, kimi integralli denklem türleriyle, birden çok değişkenli doğrusal cebirsel denklem sistemleri arasındaki yakın ilişki üzerinde durdu. Hermann Weyl, Hilbert’in yöntemlerinin, önemli seri açıhmı sınıflarını basit diferansiyel denklemler yardımıyla elde etme olanağı yarattığını gösterdi. Fonksiyonel analiz adını alan bu yeni dal, ilke ve tekniklerini soyut ve yetkin formülasyonlar- la ifade eden John von Neumann ve Stefan Banach tarafından sistematik bir biçimde geliştirildi.
Fonksiyonel analiz, fizik ve mühendislik açısından önem taşıyan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin daha temelden kavranmasına yol açtı; ayrıca cebir, analiz ve topoloji arasındaki ilişkilerin ortaya çıkmasını sağladı.