Gerçek Numara - Real number
Gelen matematik , bir reel sayı , sürekli bir değerdir miktarda bir birlikte mesafe temsil edebilir hattı . Sıfat gerçek bu bağlamda tarafından 17. yüzyılda tanıtıldı René Descartes gerçek ve birbirinden ayırmıştır, hayali kökleri arasında polinomların . Reel sayılar hepsini içerir rasyonel sayı gibi, tam sayı -5 fraksiyon 4/3, ve mantık dışı sayılar gibi, √ (1,41421356 ..., 2 kare kökü , bir akılcebirsel sayı ). İrrasyonellerde dahilinde Dahil olan transandantal sayılar gibi, tt (... 3.14159265). Mesafeyi ölçen ek olarak, gerçek sayılar gibi miktarlarını ölçmek için kullanılabilir zamanda , kütle , enerji , hız , ve çok daha fazla.
Gerçek sayılar sonsuz uzun üzerindeki noktalar olarak düşünülebilir hattı adı verilen numara hattı ya da gerçek hattı tekabül eden noktalar, tamsayılar eşit aralıklıdır. Herhangi bir reel sayı, muhtemelen sonsuz belirlenebilir ondalık temsil gibi her ardışık basamak birimleri onda biri bir öncekinin boyutu ölçülür 8.632, olduğu gibi. Gerçek çizgi bir parçası olarak düşünülebilir karmaşık düzlemde ve karmaşık sayılar gerçek sayılar içerir.
Gerçek sayılar Bu açıklamalar saf matematik modern standartlara göre yeterince titiz değildir. Gerçek sayılar uygun bir şekilde titiz tanımının keşif - gerçekten de, daha iyi bir tanım ihtiyaç vardı gerçekleşme - 19. yüzyıl matematiğin en önemli gelişmelerden biri oldu. Mevcut standart definition gerçek sayılar benzersiz oluşturmasıdır Dedekind'in tamamlama sıralı alanı ( R ' , <+;; ·) kadar bir izomorfik gerçek sayılar popüler yapıcı tanım olarak ilan edilmesini içermektedir, denklik sınıfları arasında Cauchy dizilerinin rasyonel sayılar, Dedekind kesikler veya sonsuz ondalık gösterimleri birlikte aritmetik işlemlerin ve sipariş ilişkisi için kesin yorumlarla,. Bütün bu tanımlamalar definition tatmin edecek ve bu şekilde eşdeğerdir.
Reals vardır sayılamaz ; yani: Her set hem olurken doğal sayılar ve tüm reel sayılar kümesi olan sonsuz kümeler , hiçbir olabilir bire-bir fonksiyon gerçek sayılar doğal sayılara: kardinalitesi tüm gerçek sayılar kümesinin (A ile belirtilmiştir ve adı süreklilik kardinalitesi ) bütün doğal sayılar (gösterilen kümesinin cardinality daha kesin olarak büyüktür 'aleph sıfır' ). Daha kesin olarak daha cardinality ile reals bir alt grubu olduğunu ifade ve daha kesin olarak daha küçük olarak bilinen sürekli hipotezi (CH). Ne aksiyomlarını kullanılarak kanıtlanabilir ne de çürütülebilir olduğu bilinmektedir Zermelo-Fraenkel teorisini set dahil Seçim aksiyomu ZFC tatmin CH bazı modelleri, diğerleri bunu ihlal ederken anlamda, (ZFC), Modern matematik standart vakıf.
içindekiler
- 1 Tarihçe
- 2 Tanımı
- 3 Özellikleri
- 4 Uygulamalar ve diğer bölgelere bağlantılar
- 5 Kelime ve notasyonu
- 6 Genellemeler ve uzantılar
- 7 Ayrıca bakınız
- 8 Notlar
- 9 Atıflar
- 10 Kaynaklar
- 11 Dış bağlantılar
Tarihçe
Basit fraksiyonlar tarafından kullanılan Mısır MÖ 1000; Vedik " Sulba Sutraları " ( "tonların kuralları") olarak, c. 600 M.Ö. , ilk "kullanım" olabilecek dahil irrasyonel sayılar . İrrasyonelliğin kavramı örtük erken tarafından kabul edildi Hintli matematikçiler beri Manava ( c. 750-690 BC) farkındaydık, kare kökler böyle 2 ve 61 gibi bazı sayıların tam olarak belirlenemedi. MS 500 civarında, Yunan matematikçiler tarafından yönetilen Pisagor özellikle mantıksızlığını irrasyonel sayılar için ihtiyaç gerçekleşmiştir 2'nin kare kökü .
Ortaçağda kabul getirdi sıfır , negatif , ayrılmaz ve fraksiyonel ilk tarafından, sayılar Hint ve Çin matematikçiler tarafından daha sonra, ve Arapça matematikçiler de gelişme ile mümkün olmuştur cebirsel nesneler gibi irrasyonel sayılar tedavi etmek için ilk idi, arasında cebir . Arapça matematikçiler "kavramlarını birleşti sayısı " ve " büyüklük gerçek sayılar daha genel bir fikir içine". Mısırlı matematikçi Ebu Kamil Shuja ibn Aslam ( c. 850-930) çözüm olarak irrasyonel sayılar kabul ilk kez kuadratik denklemler ya da katsayıları bir in denklemi genellikle kare kökler, şeklinde, küp kökleri ve dördüncü kökler .
17. yüzyılda, Descartes "hayali" olanlardan ayırt edilebilir bir polinomun köklerini tanımlamak için "gerçek" terimini tanıttı.
18. ve 19. yüzyıllarda ise, mantıksız ve üzerinde çok iş vardı transandantal sayılar . Johann Heinrich Lambert (1761) ilk kusurlu kanıtı verdi π rasyonel olamaz; Adrien-Marie Legendre (1794) kanıtını tamamladı ve gösterdi π rasyonel sayının karekökü değildir. Paolo Ruffini (1799) ve Niels Henrik Abel (1842) yapılmış deliller hem Abel Teoremi : Genel bu quintic ya da daha yüksek denklem tek aritmetik işlemleri ve kökler içeren bir genel formül ile çözülemez.
Evariste Galois (1832), belli bir denklem alanında yol açan radikali ile çözülebilir belirlenmesi için teknikler geliştirilmiştir Galois teorisi . Joseph Liouville (1840) ne olduğunu gösterdi e ne de e 2 bir tamsayı bir kök olabilir kuadratik denklemi ve sonra transandantal sayılar varlığını kurdu; Georg Cantor (1873) genişletilmiş ve büyük ölçüde bu ispatı basitleştirilmiş. Charles Hermite (1873) ilk olarak kanıtlamıştır e aşkın ve Ferdinand von Lindemann (1882), gösterdi π aşkın bir. Lindemann en dayanıklı çok daha da tarafından Weierstrass (1885), tarafından basitleştirilmiş edildi David Hilbert (1893) ve son olarak tarafından ilk, orta yapılmıştır Adolf Hurwitz ve Paul Gordan .
Gelişimi matematik 18. yüzyılda temiz onları tanımlanan almadan gerçek sayılar kümesinin tamamını kullandı. İlk titiz tanımı ile yayınlandı Georg Cantor 1874 yılında 1871 yılında, bütün reel sayılar kümesi olduğunu gösterdi uncountably sonsuz ama hepsinden kümesi cebirsel sayılar olduğunu sayılabilir sonsuz . Çok yaygın olan inanç aksine, onun ilk yöntem ünlü değildi diyagonal argüman o 1891 Bkz yayımlanan Cantor ilk sayılamazlığı kanıtı .
Tanım
Reel sayı sistemi tanımlanabilir aksiyom bir kadar izomorfik buradan sonra tarif edilmektedir. "" Gerçek sayı sistemi inşa etmek de birçok yolu daha sonra cebirsel rasyonel sayılar tanımlayan ve son olarak denklik kendi sınıfları gibi gerçek sayılar tanımlayarak, doğal sayılar başlayarak, örneğin, var Cauchy dizileri ya da Dedekind kesikler belli altkümeleridir, rasyonel sayılar. Diğer bir olasılık, bir Öklid geometrisinin bazı titiz aksiyomlaştırılması (Hilbert Tarski, vs.) başlayıp, geometrik olarak reel sayı sistemi tanımlamaktır. Kaynaktan Yapısalcı bakış açısından bu yapılar eşit durumdadır.
Aksiyomatik yaklaşım
Let R göstermek kümesi tüm gerçek sayılar. Sonra:
- Grubu R, a, alan , yani, ekleme ve çarpma tanımlandığı gibidir ve her zamanki gibi özelliklere sahiptir.
- Alan R, bir sıralı bir olduğu anlamına gelir, toplam sipariş ≥ örneğin, hepsi gerçek sayılar için x , y ve z :
- Eğer x ≥ y sonra x + z ≥ y + z ;
- Eğer x ≥ 0 ve y ≥ 0, sonra xy ≥ 0.
- Sipariş Dedekind tamamlama ; yani: her boş olmayan bir alt kümesi S ve R , bir ile üst sınır ℝ bir sahiptir en üst sınır olarak (ayrıca sup) R .
Geçen mülkiyet gelen yüz real farkı olduğunu rationals (ve gelen diğer, daha egzotik sıralı alanlar ). Söz gelimi, 2'den küçük kare ile rasyonel grubu, rasyonel bir üst sınır (örneğin, 1.5), fakat bağlı rasyonel bir en küçük üst sahip kare kökü 2 rasyonel değildir.
Bu özellikler anlamına Arşimet özelliği (tamlık diğer tanımları ima değildir). Yani kümesi tamsayılar üst sınırlanmış reals değil. Bu sahte olduğuna Aslında, daha sonra tamsayılar en küçük üst sınır olurdu N ; Daha sonra, N - 1, bir üst sınır olduğu olmaz ve olacağını bir tamsayıdır , n , öyle ki , n > N - 1 , ve böylece , n + 1> N üst bağlanmış özelliği ile bir çelişki, N .
Gerçek sayılar benzersiz yukarıdaki özellikleri ile belirlenir. Daha doğrusu, herhangi iki Dedekind tamamlama sipariş alanlar verilmiş R 1 ve R 2 , eşsiz alan vardır izomorfizm gelen R 1 için R 2 bizi esas olarak aynen matematiksel nesnenin onları düşünmek için izin.
ℝ başka aksiyomlaştırılması için bkz reals Tarski aksiyomatikleştirilmesini .
rasyonel sayılar gelen İnşaat
Gerçek sayılar gibi yapılabilir tamamlanması (..., 3.1, 3.14, 3.141,; 3.1415 3) gibi bir ondalık veya ikili genleşmesi ile tanımlanan bir dizi şekilde rasyonel sayı yakınsayan , benzersiz bir gerçek sayı ile Bu durumda tt . Detaylar ve reel sayıların diğer inşaatlar için bkz gerçek sayılar inşasını .
Özellikleri
Temel özellikler
- Herhangi olmayan sıfır gerçek numarası şeklindeki negatif ya da pozitif .
- Toplamı ve iki negatif olmayan gerçek sayılar ürünleridir, bu işlemler altında kapalı ve bir oluşturan daha negatif olmayan bir reel sayı, yani pozitif bir koni ve böylece bir yol açan, doğrusal için bir birlikte gerçek sayılar sayısına çizgi .
- Gerçek sayılar oluşturan sonsuz kümesi olamaz sayıların injectively sonsuz kümesine eşlenmiş doğal sayılar , yani orada uncountably doğal sayılar denir oysa birçok sonsuz reel sayılar, sayılabilir sonsuz . Bu bir anlamda, olduğunu kurar daha herhangi sayılabilir sette unsur vardır daha gerçek sayılar.
- Reel sayılar, örneğin bir sayılabilir sonsuz alt kümelerinin bir hiyerarşisi vardır tamsayılar , rasyonel , cebirsel sayılar ve hesaplanabilir sayılar , dizideki bir sonraki uygun bir alt kümesi olan her sette. Tamamlar bütün bu setleri (bir irrasyonel , transandantal reals göre, sigara hesaplanabilir gerçek sayılar), tüm uncountably sonsuz kümeleridir.
- Gerçek sayılar ifade etmek için kullanılabilir ölçümler arasında sürekli miktarlarda. Bunlar ile ifade edilebilir ondalık gösterimlerle çoğu sağındaki basamak sonsuz dizisine sahip olan, ondalık noktasının ; Bu genellikle 324.823122147 gibi temsil edilir ... nereye üç nokta (üç nokta) hala gelmek için daha fazla rakam olacağını gösterir. Bu, tam da sonlu sayıda sembollerle sadece birkaç seçilen gerçek sayılar ifade edebilir gerçeğine ima.
Daha resmi, gerçek sayılar olmanın iki temel özelliklere sahip sıralı alan ve sahip en küçük üst sınır özelliği. İlk gerçek sayılar ihtiva söylüyor alanı olabilir sıfır olmayan sayılar ile ek ve çarpma gibi bölümü ile, tamamen sipariş toplama ve çarpma ile uyumlu bir şekilde bir dizi hatta. İkinci gerçek sayıların boş olmayan bir seti bir sahipse, diyor üst sınır , o zaman gerçek vardır sınır azından üst . İkinci koşul rasyonel sayı gerçek sayılar ayırır: örneğin, kare rasyonel sayı grubu 2'den daha az bir üst sınır ile bir dizi (örneğin, 1.5), ancak (rasyonel) bağlı en küçük üst: dolayısıyla rasyonel sayılar en küçük üst sınır özelliği uymaz.
tamlık
Gerçek sayılar kullanılarak belki bir nedeni realse tüm içermesidir sınırları . Daha doğrusu, gerçek sayılar dizisidir gerçek sayı, eğer (ve ancak) kendi elemanları sonunda gelip birbirlerine keyfi yakın kalır bir sınırı vardır. Bu resmi aşağıda tanımlandığı gibidir, ve realse olduğu anlamına gelir olan tam (anlamında metrik boşluklar ya da tek tip boşluklar önceki bölümde düzenin Dedekind eksiksiz farklı anlamda). :
Bir dizi ( x , n reel sayılar) denen Cauchy dizisi herhangi halinde £ değerinin> 0 orada bir tamsayıyı var N- (muhtemelen £ değerinin bağlı olarak) bu tür bir mesafe | x n - x m | tüm ε daha az n ve m göre hem daha büyük olan N . Aslen tarafından sağlanan Bu tanım, Cauchy , gerçeğini formalizes x n sonunda gelip birbirlerine keyfi yakın kalır.
Bir dizi ( x , n ) sınır yakınsar x unsurları sonunda gelir ve isteğe bağlı olarak yakın kalması halinde x herhangi ise, yani, £ değerinin> 0 arasında bir tamsayıyı vardır , N mesafe olacak şekilde (muhtemelen £ değerinin bağlı olarak) | x n - x | daha az ε daha n daha büyüktür N .
Her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir ve tersi gerçek sayılar için doğrudur ve bu demektir topolojik uzay reel sayılar tamamlandı.
Rasyonel sayılar kümesi tamamlanmadı. Örnek olarak, dizilimin (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1,4142, 1,41421; ...), her bir terim pozitif ondalık genleşme sayısı ekler karekökü , 2 Cauchy ama bir yakınsama etmez rasyonel sayı (reel sayılarda, aksine, bu olumlu yakınlaşıyor kare kökü 2).
Gerçekten mi tamlığı özelliği olan temeldir diş taşı , ve daha genel olarak , matematiksel analizi inşa edilir. Özel olarak, bir dizi Cauchy dizisidir testi ve bilmeden bu işlem olmadan, bir dizi bir sınır olduğunu kanıtlayan sağlar.
Örneğin, standart dizi üstel fonksiyon