Asal sayıların sonsuzluğunun bilinen ilk kanıtı Öklid’e atfedilir (bkz. “elemanlar” Prop. XX kitap IX [3]). Teoremin kanıtında yaygın olarak kullanılan argüman Öklid’in orjinal argümanı değil, oldukça yakın bir versiyonudur. Teoremi ve yaygın kanıtını daha önce Açık Bilim’de yazmıştım, tekrar etmekte fayda var. Bu sefer Öklid’in orjinal argümanını da -modern terminoloji ile- verelim (bkz.[4]).
Teorem: Sonsuz miktarda asal sayı vardır.
Kanıt: [popüler argüman] Diyelim asal sayılar sonlu, olarak adlandıralım. Şimdi, N sayısı bu asalların çarpımının bir fazlası olsun, başka bir deyişle . N sayısının asallarının hepsinden farklı olduğu bariz. Ama bütün asalların bunlar olduğunu varsaydık. O zaman N sayısı bileşik sayı olmalı. Demek ki bu asallardan birisi N’yi bölmek zorunda. Öteki taraftan, N’nin sayılarından herhangi birine bölümünden kalan 1. Öyleyse bu listede olmayan başka asallar olmalı.
[orjinal argüman] Diyelim ki herhangi asal sayılar olsun. P sayısı çarpımlarının bir fazlası olsun, yani . Öyleyse P sayısı ya asaldır, ya da bir p asal sayısına bölünür. Ama p asalı asallarından birisi olamaz. Eğer olsaydı, p hem sayısını hem de P’yi böleceğinden farklarını da bölmesi gerekirdi; yani 1’i bölmesi gerekirdi. Yani verilen herhangi sonlu asal için, onlardan farklı bir asal sayı her zaman bulunabilir.
İlk kanıt ile orjinal argüman arasında fikir olarak pek bir fark yok. En önemli fark ilk kanıta başlarken bütün asalları sıraladığımızı varsaymamız. Dolayısıyla hiçbirini eksik bırakmamış olduğumuz varsayımı ile yola çıkıyoruz. Ve nihayetinde bir çelişkiye varıyoruz. İkinci kanıtta ise sonlu sayıda asal sayıdan oluşan rasgele bir küme aldık ve bu kümede olmayan yeni bir asal sayı bulmanın yolunu tarif ettik. Yani başlarken elimizdeki listenin bütün asalları listelediği iddiasında değiliz, dolayısıyla varabileceğimiz bir çelişki de yok.
Birinci kanıtta ilk bakışta sıklıkla yapılan bir hata N sayısının yeni bir asal olduğunu düşünmektir. Çünkü olarak listelediğimiz ve bütün asal sayılar olduğunu kabul ettiğimiz sayıların hiçbiri N’yi bölmez! Ama kanıtın sonunda bu varsayımın hatalı olduğunu görüyoruz, demek ki N sayısının yeni bir asal olması gerektiği gözlemi, hatalı bir varsayıma dayanıyor. Öyleyse bu gözlem de doğru olmamalı. Doğru olmadığını görmek de zor değildir. N sayısını ilk birkaç asal için hesaplayalım.
Yukarıdaki listede son satıra kadar N sayısı hep yeni bir asal sayı oluyor, ancak son satırda 30031 sayısı asal değil!
Hatta bu hatanın oldukça komik bir sonucu da ikiz asallar sanısını kanıtlaması. Varsayalım ilk kanıttaki sayısı hep bir asal sayı oluyor. İlk kanıtaki argümanın N yerine sayısı ile de doğru olduğuna dikkatinizi çekerim. O zaman N hep asalsa de hep asal olmalı. Öylesyse sonsuz sayıda ikiz asal çifti vardır! Elbette söylediğim seblerden dolayı hatalı bir argüman.
İlk kanıtla ilgili -bu sefer doğru- bir başka gözlem, N sayısını bölmesi gereken, bizim listemizde olmayan yeni asal sayı hep listemizdekilerinden büyük olmalı. Yukarıda verdiğimiz örneklerden de bunu görmek zor değil. Bu gözlemin doğru olmasını sağlayan, ilk kanıtta asalları hep ardışık ve hep en küçük asaldan itibaren listelediğimizi varsaymamız!
İkinci kanıtta ise listelediğimiz sonlu sayıda asal hakkında böyle varsayım yok; yani ardışık olmayabilirler, hatta en küçük asaldan başlamamız da gerekli değil. Kanıta göre bu koşullarda bile yeni asal sayılar bulabiliyoruz. Ancak bu durumda yukarıda yaptığımız gözlem artık geçerli değil! Yeni bulduğumuz asallar, yani P’yi bölmesi gereken asallar, listemizdeki asallardan büyük olmak zorunda değil. Bir kaç örneğe bakalım.
Diyelim ve ile başladık. Bu durumda . Yeni bir asal bulduk. Öklid’in argümanına göre, ve durumuna bakabiliriz, ve . Şimdiye kadarki hesaplarımız ilk gözlemimizle uyumlu. P’nin bölenleri, hep başladığımız listediklerden büyük çıktı.
Bir adım daha gidelim, olduğunda .
Listemizde olmayan 13 ve 139 asallarını bulduk, ve 13 < 43. Dolayısıyla orjinal argümanı takip edersek bulduğumuz yeni asal sayı her zaman başladığımız listedekilerden büyük olmak zorunda değil.
Yukarıdaki adımdan daha fazlasını da yapabiliriz. Bulduğumuz bütün yeni asalların başladığımız listedekilerden küçük olması da mümkün. Mesela olduğunda, . Yani yeni bulduğumuz asallar 2 ve 3 listemizdekilerden küçük.
Şimdiye kadar verdiğim örneklerden kolaylıkla farkedileceği üzere ilk kanıt için doğru olan gözlemin ikinci kanıtta yanlış olmasının sebebi başladığımız listede atladığımız asallar. Mesela ikinci örnekteki 13 listede olmadığı için, bulduğumuz sayısının böleni olabildi. Bu durumun daha belirgin göründüğü bir kaç örneğe daha bakalım:
.
Son olarak aşağıdaki teoremin kanıtını sizlere bırakıyorum.
Teorem: herhangi bir doğal sayı ise, ile arasında ( dahil olmak üzere) bir asal sayı vardır.
Kaynaklar
[1] Cosgrave, J. B. , “A Remark on Euclid’s Proof on Infinitude of Primes”, The American Math. Monthly, Vol.96, No. 4 sayfa 339-341, Nisan 1989
[2] Hardy, M., Woodgold, C., “Prime Simplicity”, The Mathematical Inteligencer, Vol. 31, Issue 4, sayfa 44-52 Springer Science+Business Media LLC, 2009.
[3] Heath, T. L. (çevirmen ve editör), “Euclid, The Thirteen Books of the Elements”, vol. 2, Books III – IX, Dover Publications, New York, 1956.
[4] Ore, Ø., “Number Theory and Its History”, Courier Dover Publications, (1948 McGraw Hill versiyonundan tıpkı basım) sayfa 65, 1988.