Çemberler ve PiTeğetler, Kirişler ve Yaylar
Geçtiğimiz bölümlerde merkez, çap, yarıçap ve çevre gibi çemberin çeşitli kısımlarına verilen isimleri öğrendiniz. Fakat çemberlerin daha karmaşık problemleri çözmek için ihtiyacımız olan daha pek çok geometrik elemanı var:
- Kesen bir çemberi iki noktada kesen doğrudur.
- Kiriş uç noktaları çemberin çevresinde yer alan doğru parçasıdır.
- Teğet bir çembere tek bir noktada değen doğrudur. Bu noktaya teğet noktası denir.
- Yay çemberin çevresinin bir parçasıdır.
- Dilim çemberin içindeki bölgede, bir yay ile iki yarıçap arasında kalan yerdir.
- Son olarak segment çemberin iç bölgesinde bir yay ile bir kiriş arasında kalan yerdir..
Bu bölümde bütün bu elemanlar arasındaki ilişkilere bakacağız ve her birinin özellikleri hakkında teoremler kanıtlayacağız. Şimdilik tanımları ezberleme konusunda endişelenmeyin, her zaman
Teğetler
COMING SOON!
Kirişler
COMING SOON!
Yaylar ve Dilimler
Antik Yunanlı pek çok bilim insanı Dünyanın küre şeklinde olduğunda hemfikirlerdi. Ufukta kaybolan gemilerden gökyüzünde çembersel hareket eden yıldızlara ortada bir sürü kanıt vardı.
Ne yazık ki kimse Dünyanın ne kadar büyük olduğunu bilmiyordu, taa ki M.Ö. 200 civarında matematikçi
Çizimden görebildiğiniz gibi, bir yay çemberin
A ve B noktaları arasındaki yay genelde ‘arc(AB)’ olarak yazılır. Aslında bu tanım biraz muğlak: A ve _B_’yi bağlayan ancak çemberin öteki tarafından dolaşan ikinci bir yay da var.
İki yaydan küçük olanına küçük(minör) yay ve büyük olanına büyük(majör) yay denir. Eğer A ve B noktaları tam zıt konumlardaysa iki yayın da uzunluğu aynıdır ve ikisi de
Bir yayın uzunluğunu ya da dilimin alanını bulmak için, çemberin merkezinde bu parçalara karşılık gelen açıyı bilmemiz gerekir: buna merkez açı denir.
Yayın, dilimin ve açının nasıl da çemberin bütünü ile aynı orana sahip olduğuna bakın. Örneğin eğer merkez açı ise, bütün çemberin
Demek ki yayın uzunluğu da çemberin çevresinin
Bu ilişkiyi bir denklem ile ifade edebiliriz:
Şimdi bu denklemdeki istediğimiz değişkeni bulmak için yeniden düzenleyebiliriz. Örneğin
|yay uzunluğu||=|
|=|
|dilim alanı||=|
|=|
Burada r çemberin yarıçapı, c ise merkez açının ölçüsü.
Eğer merkez açı
|yay uzunluğu||=|
|=|
|dilim alanı||=|
|=|
Denklemlerin nasıl daha sadeleştiğine ve _π_lerin birbirini sadeleştirdiğine dikkat edin. Bunun sebebi, eğer hatırlarsanız radyan tanımının basitçe yarıçapı 1 birim olan çemberin yaylarının uzunluğu olması.
Şimdi yayları ve dilimleri kullanarak Dünyanın çevresinin nasıl hesaplandığına bakalım.
Antik Mısırda Asvan şehri Nil nehrinin üzerindeydi. Asvan ilginç bir özelliğe sahip kuyusu ile tanınıyordu: senede sadece bir gün günışığı kuyunun dibine güneş ışığı ulaşıyordu, o da 21 Haziran öğle vakti, yaz gündönümü günü. Tam o anda kuyunun dibi çok iyi aydınlanırdı, ancak duvarları aydınlanmazdı, yani Güneş kuyunun tam tepesindeydi.
Matematikçi
Eratosthenes yaz gündönümü öğle vaktinde dikilitaşın gölgesini fark etti, yani Güneş tam olarak tepesinde değildi. Bunun sebebinin Dünyanın eğriliği olduğunu düşündü, ve bu bilgi ile gezegenimizin çevresinin hesaplanabileceğini fark etti.
Burada hem İskenderiye’deki dikilitaşı, hem de Asvan’daki kuyuyu görebilirsiniz. Güneş ışınları direk kuyunun içine düşüyor, ancak dikilitaşa bir açıyla gelerek gölge oluşturuyorlar.
Eratosthenes gölgenin açısını 7.2° olarak ölçtü. Bu İskenderiye’den Asvan’a olan yayın merkez açısı kadardı, çünkü bunlar
Şimdi yukarıda elde ettiğimiz yay uzunluğu denklemini kullanabiliriz:
Denklemi yeniden düzenlersek Dünyanın çevresinin
olduğunu buluruz.
Son olarak bir çemberin çevresinin
Eratosthenes’in ölçümü antik çağlardaki en önemli deneylerdendi. Dünyanın boyutuna dair elde ettiği sonuç şaşırtıcı derecede isbetlidir, özellikle elinde sadece çok basit ölçme aletleri olduğunu düşünürsek.
Tabi ki orjinal sonuçlarını kilometre gibi modern birimlere çevirmek kolay değil. Antik Yunanda mesafe stadyum(yaklaşık 160 m) cinsinden ölçülüyordu, ve evrensel bir standardı yoktu. Her bölgeye göre biraz değişen versiyonları vardı, Eratosthenes hangisini kullandı bilmiyoruz.
İlerleyen yüzyıllarda bilim insanları Dünyanın yarıçapını ölçmek için başka yöntemler de denediler, kimi zaman çok farklı ve yanlış sonuçlara ulaştılar.
Christopher Columbus’u Portekiz’in batısına seyahate yönlendiren böyle yanlış bir ölçümdü. Dünyanın olduğundan çok daha küçük olduğunu varsaydı ve Hindistan’a varmayı umdu. Aslında aradaki başka bir kıtaya vardı: Amerikaya.
Segmentler
COMING SOON!