Hayal edebileceğiniz en büyük sayı nedir? Muhtemelen 1000 demeyeceksiniz, 1 milyar da demeyeceksiniz, çünkü ne kadar büyük bir sayı düşünürseniz düşünün, her zaman basitçe 1 ekleyebilirsin ve bu sayı daha büyük olacaktır. Peki ya sonsuzluk? Sonsuzluk bir tür belirsiz kavramdır, ancak sonsuzluğun ötesinde bir şey var mı..?
Evet, gerçekten sonsuzdan daha büyük bir şey olduğunu açığa çıkararak başlayalım. Ancak bunu açıklamak için önce 18. yüzyılın sonlarına doğru bir dolambaçlı yoldan gitmemiz gerekiyor….
O zamanlar bilim dünyasına çok fazla güven vardı. İnsanlar fiziğin hemen hemen eksiksiz olduğunu düşündüler ve ‘doğru’ olan her şey için kanıt bulunabileceği fikri hakim olduğu için matematik alanında çok fazla iyimserlik vardı. O dönemde yaşamış önde gelen bir matematikçi Georg Cantor’du…
Cantor, sonsuzluğun ötesinde bir şey olduğunu gösteren ilk kişiydi. Açıklaması çok basit ve zarifti ve aynı zamanda matematik dünyasını tamamen paramparça etti…
Cantor’a göre iki tür sonsuzluk vardır. Bu en iyi David Hilbert’in Grand Hotel paradoksu kullanılarak açıklanabilir (Hilbert, o zamanın bir başka önde gelen matematikçisiydi). Hilbert’in oteli, sonsuz kümelerin mantık dışı bir özelliğini gösteren bir düşünce deneyidir…
Düşünce deneyini deneyelim:
Sonsuzluk duygunuza hitap etmemiz gerekecek: sonsuz sayıda odası olan bir otel hayal edin. Numaralandırılmış odaları vardır: yani, oda 1,2,3,4,5,6,7… (bu sonsuza kadar gider).
Otel rezerve edildi; her odanın bir misafiri vardır. Sonra aniden resepsiyonda yeni bir misafir belirir. Konuk sorar: ”Boş odanız var mı?” Resepsiyon görevlisi ‘evet, tabii ki’ yanıtını verir ve tüm konukları bir odaya çıkararak devam eder. (Yani 1 numaralı odada oturan misafir 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki misafir 3 numaralı odaya vb.)
Bu işlem, yeni konuk için ilk odayı boşaltır. (Sonsuz + 1 = sonsuz). Bu prosedürü tekrarlayarak, herhangi bir sınırlı sayıda yeni misafir için yer açmak mümkündür…
Peki ya sonsuz uzunlukta bir otobüs sonsuz sayıda yeni misafirle gelirse ve tüm bu misafirler bir oda talep ederse? Resepsiyonist yine “Bu hiç sorun değil” der. Aşağıdaki planı tasarlar:
Herkesin odasından çıkması, oda numarasına bakması, onu 2 ile çarpması ve o numarayla odaya gitmesi gerekiyor. (Yani 1 numaralı odada oturan misafir 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki misafir 4 numaralı odaya, 3 numaralı odadaki misafir 6 numaralı odaya vb.)
Görüyorsunuz, tüm çift sayılı odalar bu planla meşgul oluyor, tüm tek sayılı odaları serbest bırakıyor. Hem çift numaralı hem de tek numaralı odalar sonsuzdur, bu nedenle boş odalar artık sonsuz sayıda yeni misafir tarafından işgal edilebilir. Kısacası, artık sonsuz sayıda misafiri olan otobüse yer var. (Sonsuz + sonsuz = sonsuz)
Çılgınca bir adım daha ileri gidelim ve sonsuz sayıda yolcusu olan bu sonsuz uzunluktaki otobüslerin sonsuz sayıda olduğunu ve tüm bu insanların boş bir oda isteyeceklerini hayal edelim. Yine kurnaz resepsiyonist bu sorunu çözmek için bir plan yapabilir:
Mevcut tüm konukların daha önce olduğu gibi çift numaralı odalara gitmeleri gerekecektir. Ardından 1 numaralı otobüsten gelen yeni misafirler 3, 9, 27 numaralı odalara gider. (yani 3’ün kuvvetleri). 2 numaralı otobüsten gelen yeni misafirler 5, 25, 125 vb. odalara taşınır (yani 5’in gücü). 3 numaralı otobüsten yeni konuklar 7, 49, 343 ve benzeri odalara (yani 7’nin kuvvetleri) gidecektir. Artık tüm yeni misafirler için yer olduğunu kesin olarak biliyoruz…
Genel olarak, bu sorunu çözmek için herhangi bir sözde eşleştirme işlevi kullanılabilir (her otobüsteki koltukların da numaralandırılmış olduğu varsayılarak). Bu, bu makalenin kapsamını biraz aşıyor; bununla birlikte, sonsuz x sonsuz = sonsuz olduğu sonucuna varabiliriz…
SONSUZLUĞUN ÖTESİNE NASIL GİDİLİR..?
Öyleyse sonsuz + 1 = sonsuz, sonsuz + sonsuz = sonsuz ve sonsuz x sonsuz = sonsuz ise, sonsuzluğun ötesine nasıl geçeriz..?
Buna cevap vermek için bir kez daha Hilbert’in oteline dönelim. Garip bir otobüs az önce geldi: ondalık otobüs. Bu devasa otobüste, ondalık basamaklardan oluşan çok tuhaf soyadları olan yolcular var. Ondalık, 0 ile 1 arasında bir sayıdır, örneğin 0.384882… (bu sonsuza kadar devam eder) veya 1 ile 2 arasında, örneğin 1.489383… (bu sonsuza kadar devam eder), vb. Otobüs, temsil edilen tüm ondalık sayıları içerir…
Otobüs şoförü resepsiyon görevlisine otelde yolcuları için yer olup olmadığını sorar. Otobüs şoförünün şaşkınlığına, resepsiyonist cevap verir: ”hayır, üzgünüm, bu işe yaramayacak.”..
Otobüs şoförü öfkeyle şöyle der: “Ama sonsuz sayıda yolcusu olan sonsuz sayıda otobüs için yeriniz vardı, neden benim yolcularımı barındıracak yeriniz yok?” oda. Sinirlenen otobüs şoförü resepsiyon görevlisine inanmaz, bu nedenle resepsiyonist kimin haklı olduğunu belirlemek için bir oyun oynamayı önerir…
Otobüs şoförünün, her otobüs yolcusunun hangi odayı alacağını tanımlayan bir liste göndermesine izin verilir. Resepsiyonistin sırası geldiğinde, listede olmayan ama otobüste yeri olan birini işaret etmesine izin verilir. (Yani otobüs şoförünün kaçırdığı bir yolcu).
BAZI SONSUZLUKLAR DİĞERLERİNDEN DAHA BÜYÜKTİR:
Oyunun yararlarını daha iyi göstermek için sınırlı sayıda odası olan bir oteli kullanarak oyunu oynayarak başlayalım. 4 odalı bir otel ve 5 koltuklu bir otobüse binelim. Bu durumda otobüs şoförü hiçbir zaman tüm yolcuları için yer bulamayacak. Dört odadaki beş kişi sığmaz, bu nedenle otobüs şoförünün sunduğu akla gelebilecek her listede resepsiyonist kayıp bir yolcu olduğunu söyleyebilir…
Ancak otelin 5 odası olsaydı, her otobüs yolcusunun bir oda alacağı bir liste vermek mümkün olabilirdi. Ancak resepsiyonist, sonsuz ondalık veriyolunun sonsuz Hilbert Hotel’den daha büyük olduğunu kanıtlamak istiyor, öyleyse ne yapabilir..?
Cantor burada devreye giriyor. Cantor, bu senaryoda resepsiyon görevlisinin her zaman kazanacağını iddia ediyor. Resepsiyonistin her zaman kazanması için uygulayabileceği bir algoritma vardır…
Otobüs şoförünün yapmış olabileceği bir listenin bir bölümüne bakalım:
Bu listede, oda 1 yolcu 0.81077415… (bu sonsuza kadar devam eder), oda 2 yolcu 0.32148673… vb. barındıracaktır. Yani şimdi resepsiyonist listede olmayan bir otobüs yolcusunu işaret etmelidir…
İlk oda için listelenen konuğun soyadına bakar ve ondalık noktanın sağındaki ilk hanenin 8 (0.81077415…) olduğunu fark eder. Daha sonra bu sayıya 1 ekleyerek 9 (0.9…); bu noktadan itibaren, 0.9… ile başlayan hiçbir sayının oda 1’i işgal etmediğini biliyoruz…
İkinci oda için listelenen yolcuyla devam eder ve ondalık noktanın sağındaki ikinci haneye bakar. Bu durumda, 2 (0,32148673…). Yine bu sayıya 1 ekleyerek 3 (0.33…) yapar. 0,93 ile başlayan herhangi bir sayının 1 veya 2 numaralı odayı işgal etmediğini artık biliyoruz…
Resepsiyonist bunu yapmaya devam ederse (oda 3: 0,530.., oda 4: 0.7697…, oda 5: 0.83680…, oda 6 0.879344, vb.) Artık 0.930704 ile başlayan herhangi bir sayının… 1,2,3,4,5 veya 6 numaralı odaları işgal etmez. Resepsiyonist sonsuza kadar böyle devam edebilir ve otobüs şoförünün listesinde olmayan bir sayı oluşturabilir, bu da resepsiyonistin kazandığı anlamına gelir…
Otobüs şoförü hangi listeyi hazırlarsa hazırlasın, resepsiyonist her zaman bu tarifi uygulayabilir ve listede olmayan bir yolcu bulabilir…
Hilbert’in otelinde ondalık sayının sonsuzluğunun odaların sonsuzluğundan daha büyük olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle, gerçek sayılar (Bir doğru boyunca bir mesafeyi temsil edebilen sayılar. Pozitif, negatif veya sıfır olabilirler) doğal sayılardan (sayıları 1,2,3 sayma… Hilbert’in otelinde karşılaştığımız gibi) daha fazladır. )
Pek çok insan için bunun kabul edilmesi biraz zaman alır; takdir etmeyi öğrenmen gereken bir şey. Nitekim Cantor’un zamanındaki birçok matematikçi onun sonsuzluk hakkındaki fikirlerini beğenmedi. Tamamen saçma ve gülünç olarak nitelendirildi. Cantor, şarlatan ve ‘gençlik yozlaştırıcısı’ olarak anılan bazı kişisel saldırılara bile maruz kaldı. Hatta o zamanlar bazı ilahiyatçılar bunu Tanrı’ya bir saldırı olarak kabul ettiler…
Bununla birlikte, daha sonraki bir zamanda, kraliyet topluluğu Cantor’u matematik alanındaki çalışmaları için verebileceği en yüksek onur olan Sylvester Madalyası ile ödüllendirdi. Buna ek olarak, David Hilbert, Cantar’ın sonsuzluk hakkındaki görüşlerini, onunla gerçekten konuştukları için savundu. Öyle ki, “Kimse bizi Cantor’un yarattığı cennetten çıkaramaz” diyerek devam etti…
Günümüzde Cantor’u farklı sonsuzluk türlerini keşfeden adam olarak hatırlıyoruz…
.
Uzay bilim ve teknoloji grubundan alıntı.
.
.
Şimdi gelelim bu konuda benim yazacaklarıma.
.
Sizlere pek bilinmeyen bir açıklama yapayım.
Bunu Arşimet’e affederiz. Çünkü o ölüm geldiğinde bile matematik sorusuna odaklanmış bir bilim insanıdır.
Arşimet’in geçmişte iki farklı uzunlukta çizginin aynı boyda olduğunu ispatlamak için kullandığı bir üçgen çizimi anlatılır. Taban kenarına paralel bir iç kenar çizilir. Doğal olarak o üçgeninin tanan kenarı uzunluğu daha kısa olacaktır. Fakat Arşimet’in bu iki kenar uzunluğunun eşit olacağını ispatı sonrasında kabul edilmesinden doğan mantıksızlığı ortadan kaldıracak bir tanımlama yaptığı söylenir.
En azından ben bu şekilde biliyorum. Yani Arşimet’e atfedilen bir tanım.
Şöyle ki
Üçgenin tepesinde bir nokta var. Bu noktadan ortadaki herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir. Ortadaki taban üzerinde bulunan bütün noktalar için bu geçerlidir. Yine aynı durum asıl büyük taban için de geçerlidir.
Demek ki bu iki taban üzerinde bulunan her bir noktaya karşılık diğerinde de bir nokta vardır. İşte bu farklı boyda diye düşünülen iki taban aslında aynı boydadır tanımı ile buna karşı teorik ispatsızlık temeli var eder.
.
Fakat durum bu şekilde değildir. Bunu da şöyle açıklar.
“Sayılabilir çokluk veya büyüklükler için kullanılan matematik hesaplamaları ve değerleri, sayılamayacak büyüklük veya çoklukların anlaşılması için kullanılamaz. Demiştir.
İşte bu durum…
Matematik bilimsel kesinliklik üzerine kurulu bir fikir verir. Sağlamaz, öngörülemez durumlar gibi geceliği bilinmeyen ve beklenmedik durumlardır. Gerçekleştiği anda artık sayılabilir veya olabilirliği öngörülen olay haline dönüşür.
.
Gelelim otel sonsuzluğuna.
Birer müşteri sırayla sonsuza kadar normal.
İkinci tur tek ve çift numara katları normal.
Ondalık sayılar artı bir oda. Sonsuz sonsuzdan büyük mü şimdi.
Her turda bütün müşterilerine oda vermeden önce ilk müşteriyi siz bekleyin deseydi veya ilk müşteriye ilk oda hariç yerleştirme yapsaydı ya sonsuz oda sayısı müşteri sayısından fazla olacak ya da sonsuz oda dolacak fakat halen ilk müşteri bekliyor olacaktır.
.
İşte üçgen örneğine dönelim.
Hani biri büyük taban biri de içerideki küçük taban eşit boyda diye ispatı yapıldı ya sonsuzluğun kullanıldığı. Hiç düşündünüz mü acaba? Tepe noktasından bir şekilde belli yönleri olan doğrular çizilirken aslında o bir nokta bir en büyük taban doğru parçası kadar çok noktadan oluşmuş diye. Çünkü her bir noktaya yönelen doğru belli bir yön ve acı ile bir başka çizilen doğru ile bir açı yapmak zorunda.
.
Şimdi tek bir noktanın (en küçük birim) sonsuz uzunluğu olan bir doğrudan daha küçük veya sonsuz alanı olan düzlemsel yapıdan daha küçük olduğunu veya eşit olduğunu hangi mantıkla açıklarsanız.
.
İşte matematik bilimi ile bilimsel çalışmalar ve incelemelerde, felsefik matematik çıkarımlar için bir DUR işaretidir Arşimet’in tanımı.
.
Bunların bilinmesini isterim.
.
Teşekkürler
Mehmet URAL
#ferrocan
10 Aralık 2021 İstanbul’un Siyasi Gazetesi