Burç B. Karakaş · 20 Aralık 2019
Matematik bize sevgi eklemeyi ya da nefreti çıkarmayı öğretmeyebilir, ancak bize her sorunun bir çözümü olduğu umudunu veriyor. Ve matematik alanındaki problemleri çözmede gerçekten iyi olursanız, matematik alanındaki son derece yetenekli, problem çözmeyi başarırsanız sizi zenginleştirebilecek problemler bile vardır.
İlk olarak 2000 yılında Clay Mathematics Institute (CMI) tarafından ortaya konan Millennium Problemleri en zor yedi matematik problemidir ve her birinin çözülmesi 1 Milyon Dolar değerinde bir ödüle sahiptir. Enstitü, bu sorunlara bu kadar çekici bir ödül kazandırmak için bir neden olduğunu açıklıyor: “Ödüller, ikinci binyılın başında matematikçilerin uğraştığı en zor sorunlardan bazılarını kaydetmek için tasarlandı; halkın bilincinde, matematikte sınırın hala açık ve önemli çözülmemiş problemlerle doludur; En derin, en zor sorunların çözümüne yönelik çalışmanın önemini vurgulamak; ve tarihi büyüklükteki matematiğin başarısını tanımak. ”
İşte yedi Milenyum Sorunu:
Rus matematikçi Grigori Perelman, 2003 yılında üç yıl sonra onaylanan Poincaré Conjecture problemini çözmeyi başardı. Ancak matematikçi, milyon dolarlık ödülü ve ayrıca Alan Madalyası'nı reddetti. Ödülün haksız olduğunu ve katkısının, aslında Poincaré Conjecture sorununun çözümüne yol açan Ricci Akışını keşfeden matematikçi Hamilton'dan daha fazla olmadığını söyledi.
Yetkililer, Matematik parası için reddedilen para ödülünü kullanmayı düşünürken, hala çözülmemiş 6 sorun vardır ve kesinlikle bunları çözmeyi deneyebilirsiniz.
Geri kalan altı Millenium Probleminin her birini ayrıntılı olarak inceleyelim.
Yang – Mills ve Kütle Gapı
Kuantum mekaniği, atomik ve atom altı parçacık seviyelerinde madde ve enerjinin davranışını anlamamızı sağlayan, tarihin en başarılı teorilerinden biridir. Yang ve Mills, matematiksel yapıları kullanarak bu temel parçacıkları tanımlamak için önemli bir çerçeve sağlamıştır ve bugün teori, temel parçacık teorisinde önemli bir rol oynamaktadır.
YM teorisi sayısız deney tarafından zaten doğrulandı, ancak matematiksel temeli hala belirsizliğini koruyor. Teori, kuantum parçacıklarının, temel parçacıkların etkileşimlerini tanımlamak için “kütle boşluğu” ile tanımlanan pozitif kütlelere sahip olduğunu göstermektedir. Başka bir deyişle, parçacıklar, kütlesiz fotonlara benzer olsalar bile sıfır kütleli olamazlar. Kütle boşluğu nükleer kuvvetlerin neden elektromanyetizma ve yerçekimi ile karşılaştırıldığında çok güçlü ve kısa menzilli olduğunu açıklamak için kritik bir parçadır. Bu özellik fizikçiler tarafından deneylerle keşfedildi ve bilgisayar simülasyonlarıyla doğrulandı. Milenyum Sorunu daha sonra kütle farkını açıklamak için genel bir matematiksel ve fizik teorisi kurmakla ilgilidir.
Riemann Hipotezi
Asal sayılar her zaman matematikçiler için önemli ilgi alanlarından biri olmuştur. Yalnızca kendileri ve 1 ile bölünebilen bu sayılar aslında tam sayıları oluşturur. Matematik ve uygulamalardaki muazzam önemleri nedeniyle, bu asal sayıların sayı çizgisi boyunca nasıl dağıldığını bilmek konusunda büyük ilgi vardır. Asal sayıların diğer doğal sayılara göre belirli bir modeli takip etmediğine inanılırken, 19. yüzyılda matematikçiler asal sayılar arasındaki ortalama mesafe hakkında yaklaşık bir fikir veren Asal Teoremi keşfettiler. Ancak, gerçek dağılımın bu ortalamaya ne kadar yakın kalacağı bilinmemektedir. Bununla birlikte, Riemann Hipotezi, asal sayıların sıklığının, Riemann Zeta işlevi olarak bilinen ayrıntılı bir işlevin davranışı ile yakından ilgili olduğunu öne sürerek bu olasılığı sınırlar. Hipotez, sonucu sıfır yapan (negatif tamsayılar hariç) denklemdeki herhangi bir giriş değerinin aynı çizgiye düştüğünü belirtir. Bu, ilk 10 trilyon çözüm için zaten kontrol edilmiş olsa da, her ilginç çözüm için hala kesin bir kanıtlamaya ihtiyaç duyuyor ve çözülmemiş Millenium Sorunlarından biri.
P vs NP Sorunu
P (bulması kolay) Vs NP (kontrol etmesi kolay) teorik bilgisayar bilimi dünyasında çözülmemiş bir problemdir. Basit bir ifadeyle, sorun temel olarak şunu sorar: bir sorunun çözümünün doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaysa, sorunu çözmek de kolay mıdır? Buradaki “P”, polinom süresini, yani bilgisayar tarafından çözülmesi daha kolay olan ve “NP”, tanımlanamayan polinom süresini, yani bilgisayarların çözmesi kolay olmayan, ancak kontrol etmesi kolay olan sorunları belirtir. Örneklerden biri çok sayıda asal çarpanı bulmaktır. Tüm olası faktörlerin listesine sahipseniz, bunları kolayca çoğaltabilir ve kontrol edebilirsiniz.
f Orijinal numarayı geri alabilirsiniz. Ancak, bu büyük sayının faktörlerini bulmak için mümkün bir yolu yoktur. Bu gibi matematikçiler böyle bir kanıtın bulunmadığına inanmaktadır, ancak kendi içinde aynı olduğunu kanıtlamak göz korkutucu bir görevdir ve bu nedenle çözülmemiş Milenyum Sorunlarından biri olmaya devam etmektedir. Sorun 1971'de Stephen Cook ve Leonid Levin tarafından formüle edildi.
Navier – Stokes Denklemleri
Akışkan dinamiğinin büyük bir kısmı akışkanın hareketini açıklayan Navier-Stokes denklemleriyle yönetilir. Esas olarak, akışkan akış hızının sırasıyla basınç, hız ve yerçekimi gibi iç ve dış kuvvetler altında nasıl değişeceğini anlamada yardımcı olur. Bilim adamları ve mühendisler, Navier-Stokes denklemlerini hava durumunu, okyanus akımlarını, uçak kanadının etrafındaki hava akışını matematiksel olarak modellemek ve hatta yıldızların galaksinin içinde nasıl hareket ettiğini anlamak için kullanırlar. Ancak, bu denklemleri anlamamız çoğu matematik aracının akış davranışını doğru bir şekilde tahmin etmede faydalı olmadığından hala çok düşüktür. Bunun nedeni, akışkanların farklı durumlarda farklı davranmalarıdır. Örneğin, bir sigaradan veya bir mum çubuğundan çıkan duman, başlangıçta yumuşak akış belirtileri gösterir, ancak aniden diferansiyel denklemlerle öngörülemeyen girdaplara dönüşür. N-S denklemlerinin her durumda tam olarak çözülememesi mümkün olsa da, denklemleri takip eden ideal bir matematiksel sıvının geliştirilmesi de mümkündür. Milenyum Sorunu daha sonra her durumda bu denklemleri çözmekle ilgilidir ya da çözülemeyeceği bir örnek gösterir.
Hodge Konjeksiyonu
Hodge Conjecture'ı açıklamak en zorlarından biri. Yine de basitleştirmek için, problem karmaşık matematiksel şekillerin basit biçimlerden yapılıp yapılamayacağını soruyor. Aşağı yukarı soru, Lego bloklarından nesne inşa etmeye benzer. Temel fikir, belirli boyutta basit geometrik yapı taşlarının birbirine yapışmasıyla belirli bir nesnenin şekline ne kadar yaklaşılabileceğini sormaktır. Teknik popüler hale geldi ve birçok yönden genelleştirildi, bu da matematikçilerin araştırmalarında çeşitli nesneleri incelemekte ilerleme kaydetmelerini sağladı. Ancak, genelleme geometrik kökenleri görmezden geldi ve geometrik yorumu olmayan parçalar eklemek önemli hale geldi. Hodge Conjecture, Hodge döngüleri adı verilen bu parçaların aslında cebirsel döngü adı verilen geometrik parçaların kombinasyonundan başka bir şey olmadığını söylüyor.
Huş ağacı ve Swinnerton-Dyer Conjecture
Birch ve Swinnerton-Dyer Conjecture eliptik eğriyi tanımlamak için rasyonel çözümler tarif eder. Aynı zamanda hala çözülemeyen en zorlu matematik problemlerinden biri olarak kabul edilmektedir. Varsayım, eliptik eğrinin sonsuz sayıda rasyonel çözüme sahip olmasıdır. Böylece, denklemin bu şekilde çözülmesi, sonlu ya da sonsuz birçok çözüm olup olmadığını söyleyebilmek için tek bir sayıya düşecektir. Bu çözüm ilişkili bir Zeta fonksiyonunun eğri üzerindeki rasyonel nokta grubunun büyüklüğü ile olan davranışına ilişkindir. Varsayım, deneysel kanıt parçaları tarafından zaten desteklenmiştir, ancak doğru kanıt hala sağlanmaya bırakılmıştır. Bu varsayım, Binyıl Ödül Sorunlarından biri olarak seçildi.