f, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyonsa, g de Y kümesinden Z kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman fonksiyonunu her için,
kuralıyla tanımlanan X kümesinden Z kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona g ve f fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.
Başka bir deyişle, bileşke
ve
fonksiyonlarından
fonksiyonunu üretir.
g ve f fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için f fonksiyonunun değer kümesi, g fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.
Eğer f, X kümesinden Y kümesine, g de Y kümesinden X kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem fonksiyonundan hem de fonksiyonundan söz edilebilir.
Bileşke, X'ten X'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu IdX, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.
Örnek
X = Y = Z = R (gerçel sayılar kümesi) olsun. f fonksiyonu f(x) = x2 ve g fonksiyonu g(x) = x 1 olarak tanımlansın. O zaman,
dir. Ancak
dir. Demek ki
,
yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.
dört küme olsun.
,
,
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:
,
,
,
.
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani
eşitliği geçerlidir. X kümesinden herhangi bir x elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu x elemanında değerlendirilirse
ve
eşitliklerine ulaşılır.
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani
.
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani eşitliği çıkar.