Frege’nin projesinin son aşaması, Frege’nin mantıksal olarak kabul ettiği aksiyomlardan aritmetiğin yasalarının türetilmesini içermektedir. Frege söz konusu bu türetimleri yaparken, kendisinin Temel Yasa V olarak adlandırdığı bir yasaya müracaat etmiştir. Bu yasayı şu şekilde ifade edebiliriz:
Bir f(x) fonksiyonunun ve bir diğer g(x) fonksiyonunun değer-alanları bir ve aynıdır ancak ve ancak tüm x’ler için f(x) = g(x) ise.
Temel Yasa V’in özel bir durumu yüklemlere ve yüklemlerin kaplamlarına uygulanabilir. Eğer {x|Fx} kümesi F yükleminin kaplamını belirtiyor olsun, yani F yüklemini sağlayan tüm şeyleri içeriyor olsun. Bu durumda Temel Yasa V şu şekilde yeniden ifade edilebilir: “F ve G yüklemleri aynı kaplama sahiptirler ancak ve ancak tüm x’ler için Fx <-> Gx ise” (Burada “<->” simgesi karşılıklı koşulu göstermektedir). Bir başka deyişle, “F’lerin kümesi ve G’lerin kümesi ile bir ve aynıdır ancak ve ancak her F, G ise ve her G, F ise”.
Frege, bu yasayı mantıksal ve aşikâr kabul etmiş ve bu yasadan Hume’un eşsayı lılık ilkesinin ve Peano’nun aritmetiksel aksiyomlarının türetilebileceğini göstermeye çalışmıştır. Temel Yasa V’ten aritmetiğin aksiyomlarının türetilmesi bugün Frege’nin Teoremi olarak anılmaktadır.
Frege, Grundgesetze’nin ikinci cildini yayımlamaya hazırlanırken Russell, kendisine bir mektup yazar ve Temel Yasa V’ten bir paradoksun türetilebildiğini ifade eder. Russell, “kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerin kümesi”nin Frege’nin dizgesi içerisinde tanımlanabileceğini, ancak böyle bir kümenin kendisinin hem elemanı olacağının hem de elemanı olamayacağının gösterilebildiğini, dolayısıyla bir çelişkinin ortaya çıktığını gösterir. Bu durumda Frege’nin dizgesi bir çelişkiye yer vermekte ve tutarsız olmaktadır. Frege sorunu kabul eder ve bir çözüm olmak üzere bir Ek bölüm kaleme alır. Çözüm Temel Yasa V’te bir değişiklik önermektedir. Frege söz konusu ek bölümüne şu satırlarla başlar: “Bilim üzerine yazan birisinin başına, çalışmasının tamamlanmasından sonra eserinin temellerinden birisinin sarsılmasından daha talihsiz bir olay zor gelir. Bu cildin basımı tamamlanmak üzereyken Bay Bertrand Russell’ın bir mektubu ile benim içine düştüğüm durum işte budur.” (Russell’ın mektubu ve Frege’nin cevabı Heijenoort (1967) içerisinde yayımlanmıştır.) Frege’nin önerdiği çözümün yeterli olmadığı daha sonra anlaşılır.
Frege’nin mantık üzerine çalışmaları Bertrand Russell (1872 – 1970), Rudolf Carnap (1891-1970) ve Ludwig Wittgenstein’ın (1889-1951) yapıtlarındaki göndermelerle zaman içerisinde tanınır.
Hazırlayan: Sosyolog Ömer YILDIRIM
Kaynak: Ömer YILDIRIM’ın Kişisel Ders Notları. Atatürk Üniversitesi Sosyoloji Bölümü 1. Sınıf “Felsefeye Giriş” ve 2., 3., 4. Sınıf “Felsefe Tarihi” Dersleri Ders Notları (Ömer YILDIRIM); Açık Öğretim Felsefe Ders Kitabı