1 Sayısal Analiz Sayısal İntegral 3. Hafta Mühendisler değişen sistemler ve süreçlerle sürekli olarak uğraşmak zorunda oldukları için türev ve integral kavramları mesleğimizin temel araçlarıarasındadır.Diferansiyel, farkları belirlemek, ayırmak anlamına gelir .Mühendislikte bir çok yasa ve genelleştirme, fiziksel dünyada karşılıkları olan değişimlerin tahmin edilmesi esasına dayanmaktadır.Newton’un ikinci yasası temel bir örnek olup, bir cismin konumuyla değil, konumunun zamana göre değişimiyle ilgilenmektedirYasa II: Bir cismin momentumundaki değişim, cisim üzerine uygulanan itme ile orantılıdır ve itmenin uygulandığı düz doğru boyunca meydana gelir.Hareketin değişimi, uygulanan hareket ettirici kuvvet ile doğru orantılıdır ve kuvvetin uygulandığı düz çizginin doğrultusundadır. -Bir kuvvet ister tümüyle bir seferde, isterse de kademeli ve ardarda uygulansın, eğer bir hareket oluşturuyorsa, bu kuvvetin iki katı büyüklüğe sahip başka bir kuvvet hareketi ikiye, üç katı büyüklüğündeki bir kuvvet hareketi üçe katlayacaktır. Ve bu hareket (uygulanan kuvvet ile her zaman aynı doğrultuda), eğer cisim daha önceden hareket halinde ise, önceki hareket ile aynı doğrultuda olması durumunda önceki hareket ile toplanır, önceki hareket ile zıt doğrultuda olması durumunda önceki hareketten çıkartılır. Eğer önceki hareketin doğrultusu ile uygulanan kuvvet etkisi ile oluşturulan yeni hareketin doğrultusu birbirinden farklı ise cismin sonuç olarak hareketi, doğrultuları farklı bu iki hareketin bileşimi şeklinde olacaktır.Yüksek matematikte diferansiyelin ters işlemi; integraldirSayısal Analiz
2 Yamuk(Trapez)Kuralı ile İntegrasyon Simpson Kuralı ile İntegrasyon Sayısal Analiz3. HaftaDers İçeriğiSayısal İntegralRiemann İntegraliYamuk(Trapez)Kuralı ile İntegrasyonSimpson Kuralı ile İntegrasyonUygulama
3 f(x) f(xi)dx Sum [ f(x)dx dilimleri S ………… İntegral TanımıYüksek matematikte diferansiyelin ters işlemi; integraldirBirleştirme, bir araya getirme, toplama(sum)f(xi)dx…………f(x)Sum [ f(x)dx dilimleriSdx
4 Mühendislikte integral: (fonksiyonun-eğrinin altında kalan alan)
5 Hatırlatma Sayısal İntegral Burada y ve f(x) bağımlı değişkenin alternatif gösterimleri olup, x bağımsız değişkendir. Yani x‘in sıfıra yaklaşması sağlanırsa, aradaki fark türevin ifadesidir.hesap yapılan noktasında y ‘nin x ’e göre birinci türevidir. Dolayısıyla türev , eğrinin xi noktasındaki teğetin eğimidir., (a)’dan (c)’ye kadar sıfıra doğru giderken, fark yaklaştırması türevi olarak tanımlamaktadır.3. HaftaAnalitik hesap, değişimin matematiğidir. …
6 f(x) ‘in integralinin grafik gösterimi. HatırlatmaSayısal İntegralx= a ’dan b ’ye kadarf(x) ‘in integralinin grafik gösterimi.“İntegral eğrinin altında kalan alana eşittir.”Yüksek matematikte diferansiyelin ters işlemi, integraldir.Sözlük anlamına göre integral almak “parçaları bir bütün içinde bir araya getirmek ; birleştirmek toplam miktarı göstermek …” anlamındadır.Matematiksel olarak integralformülüyle gösterilebilir ve x bağımsız değişkenine göre f(x) fonksiyonunun x=a ile x=b sınırları arasında hesaplanmış integralini belirtir.3. Hafta
7 Sayısal İntegral Hesap Sayısal İntegral 3. HaftaBu derste verilmiş bir belirli integrasyon işlemini sayısal yöntemler kullanarak gerçekleştirmeye çalışacağız.…
8 Sayısal İntegral Hesap Sayısal İntegral 3. HaftaBöylece temel integrasyon formülünü elde etmiş olduk. Bu noktadan sonra yapacağımız işlem bu denklemin sağındaki ifadeyi sonlu fark ifadeleri ile değiştirmek olacaktır.
9 RIEMANN İntegrali Sayısal İntegral 3. HaftaEğer limit varsa ve sonlu bir değere sahip ise I ile gösterdiğimiz bu değer f(x) fonksiyonunun x = x0 , x = xn aralığındaki RIEMANN anlamında İntegralidir denir.x0xny=f(x)xy….Bu şekilde tanımladığımız bu işlemde her f(x) fonksiyonu için bir limit değer bulunacağı düşünülemez. Ancak eğer limit varsa ve sonlu bir değere sahip ise I ile gösterdiğimiz bu değer f(x) fonksiyonunun x = x0 , x = xn aralığındaki RIEMANN anlamında İntegralidir denir.Grafikte dikkat çekmemiz gereken bir nokta var. x- ekseni üzerine yerleştirdiğimiz bütün dikdörtgenler y = f(x) eğrisine sağ üst köşelerinden değmekte. Dolayısıyla bu şekilde alınan limit için ‘Sağ Limit’ deyimini kullanabiliriz. Kuşkusuz ayni dikdörtgenleri, sol üst köşelerinden y = f(x) eğrisine değecek şekilde çizebilir ve benzer limit işlemini gerçekleştirebilirdik. Bu durumda limit işlemimiz bir ‘Sol Limit’ olacaktı. Gösterilebilir ki bir f(x) fonksiyonu eğer RIEMANN Anlamında integre edilebilirse bu Sağ ve Sol limitler n için aynı I değerine yakınsamaktadır. Dolayısıyla I eğer varsa tektir.İntegrasyon işleminin yukarıdaki gibi tanımlanması Sayısal Hesap yöntemleri oluşturmak açısından son derece elverişlidir. Gerçekten de en basit Sayısal İntegrasyon işlemi bu tanımın kendisi olarak değerlendirilebilir.
10 Analitik İfadesi hesaplandığında sonuç 4.670774 olarak bulunur. RIEMANN İntegraliSayısal İntegral3. HaftaAnalitik İfadesi :…İncelediğimiz belirli integral ve analitik ifadesi iyi bildiğimiz gibi şöyle. Analitik İfadesi hesaplandığında sonuç olarak bulunur. Sadece tanımı kullanarak bulduğumuz integrasyon değerleri, geometrik özelliklerden kolayca tahmin edilebileceği gibi, bu değere üstten ve alttan yaklaşmış oldu. Sadece tanımı açıklamak amacı ile çözdüğümüz bu örnekte n değerini çok küçük ve dolayısıyla x değerini çok büyük seçtiğimiz için, doğal olarak, büyük bir hata ortaya çıktı.Aslında n değerini büyüterek (x i küçülterek) elbette daha iyi sonuçlar elde edebiliriz. Ancak sonucu iyileştirmek için elimizde başka olanaklar da var. Bunlardan en basiti ise şöyle açıklanabilir. Mademki sağdan ve soldan limitlerin biri aradığımız integrasyon değeri I dan mutlaka büyük diğeri ise mutlaka küçük şu halde bunların ortalaması I değerine her ikisinden de daha iyi bir yaklaşım oluşturabilir. Gerçektende bu ortalama alındığında elde edilenI = (5, ,219256)/2 4,686333değeri analitik yöntemle bulduğumuz 4, değerine çok daha yakın.Bu düşünce ile integrasyon işlemini biraz daha iyi bir yaklaşımla gerçekleştirebiliriz.I = (5, ,219256)/2 4,686333
11 Newton-Cotes integral formülleri Newton-Cotes integral formülleri en yaygın integral yöntemleridir. Bu formüller, karmaşık bir fonksiyonu veya tablo şeklinde düzenlenmiş verileri, integre edilmesi kolay bir yaklaşım fonksiyonuyla ifade etme esasına dayanır.aşağıdaki şekilde yazılabilen bir polinomdur;n polinomun derecesidir.( a ) Şeklindeki yaklaşımda birinci dereceden bir polinom kullanılmıştır, ( b ) de ise aynı amaçla parabol kullanılmıştır.3. Hafta
12 Newton-Cotes integral formülleri Aynı şekilde integrale yaklaştırma fonksiyona veya sabit uzunluktaki aralıklar boyunca verilere uygulanan parçalı polinomlar dizisi kullanılarak da yapılabilir.( c ) şeklinde integrale yaklaştırma için üç tane düz doğru parçası kullanılmıştır. Yüksek dereceli polinomlarda aynı amaçlar için kullanılabilir.3. Hafta
13 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral Şekildeki gibi y=f(x) eğrisinin altında belli aralıktaki bu alanı n=(xn-x0)/h dilime bölerek elde edilen her bir dilimdeki y=f(x) eğri parçasını bir doğru parçası olarak alırsak dilim yamuğa benzeyeceğinden ;3. HaftaI. dilim alanı :I1=h(y1+y0)/2II. dilim alanı :I2=h(y2+y1)/2ve n. dilim için isen. dilim alanı :In=h(yn+yn-1)/ olur.
14 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral Y=f(x) in altında x0,xn aralığındaki alan n adet dilimin alanına eşit olduğundan ;elde edilir.Her dilimin alanı yamuk alanından küçükte olsa farklı olduğundan bulunan son ifade hata içeren bir ifadedir.Son ifade ile alınan integrale “Yamuk Kuralı” denir.3. HaftaBu hatayı küçültmek için h aralığı küçültülür yani n dilim sayısı büyütülür.Dikkat edilirse her h aralığı için 1. derecen bir polinom ile yaklaşıldı, eğer ikinci dereceden bir polinom ile yaklaşım yapılsaydı hata oranı düşük olacağından daha uygun bir yaklaşım olurdu.
15 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta
21 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta
22 Yamuk (Trapez) Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta
23 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegralYamuk kuralında xi ve xi+1 noktalarındaki fonksiyon f(xi), f(xi+1) değerlerini kullanarak,[xi , f(xi)], [xi+1 , f(xi+1)] noktalarından geçen doğru parçasını y = f(x) eğrisinin yerine yerleştirmiş ve bu biçimde elde ettiğimiz[xi , xi+1 , f(xi), f(xi+1)]yamuğunun alanını hesaplamış ve bunu [xi , xi+1] aralığında y = f(x) eğrisi altında kalan alana, yaklaşık, eşit kabul etmiştik.Varsayalım ki [xi , xi+1 , xi+2] noktalarında y = f(x) ile aynı değerlere sahip olmasını istediğimiz parabolün denklemi:olarak verilmiştir.3. HaftaSİMPSON Kuralı ile İntegrasyon işlemi, aslında Yamuk Kuralı ile integrasyon işleminin bir adım daha geliştirilmiş biçimidir. Şöyle ki….etmiştik.SİMPSON Kuralını bulmak için bu defa [xi , xi+1 , xi+2] noktalarını ele alacağız ve bu noktalardan geçen ‘ikinci mertebeden’ bir polinomu y = f(x) eğrisinin yerine yerleştireceğiz. Buna göre integrasyon işlemimiz [xi , xi+1 , xi+2] aralığında bir parabolün integrasyonuna dönüşecek ve bunu da analitik olarak kolayca integre edebileceğimize göre bu aralıktay = f(x) altında kalan alanı, yaklaşık olarak, veren basit bir formüle ulaşacağız.…Varsayalım ki
24 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral y=f(x)y=x2+x+xi=axi+1=(a+b)/2xi+2=b3. HaftaBu üç denklemden , , değerlerini çözebiliriz. Öte yandan bu parabol denklemini integrasyon işleminde yerine koyar ve integre edersek
25 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta…Ya da başlangıçtaki notasyonumuza dönersek iyi bilinen SİMPSON Kuralı ile integrasyon formülünün son haline erişiriz.
26 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. HaftaBulduğumuz bu ifadeyi yalnızca üç noktalık bir aralıkta değil , bütün integrasyon bölgesinde yazmak istersek şöyle bir yol izleyebiliriz.…Böylece bütün Sayısal Analizin en meşhur formüllerinden birini elde etmiş bulunduk. Dikkat edilirse bu formülün doğru uygulanabilmesi için n sayısının tek sayı olarak seçilmesi gerektiği hemen görülecektir.SİMPSON Kuralının kesme hatası, yukarıda Yamuk Kuralında kullanılan yol izlenerek bulunabilir.HSİMPSON (h) O(h5/90)f(4)()Görüldüğü gibi çok küçük bir hata söz konusudur. Zaten Simpson kuralının yılladır hemen her türlü integrasyon işleminde ilk akla gelen formüllerden biri olması da bundandır.
27 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta
28 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. HaftaYukarıdaki örneğimizi bu defa SİMPSON Kuralı ile hesaplayalım. Ancak…6,306732sonucunu sağlar ki SİMPSON Kuralının sağladığı yaklaşımın ne kadar iyi olduğu açıkça görülmektedir.
30 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon Uygulamalar : Sayısal İntegral 3. Haftasimpson yön. İle çözümleyinizsimpson yön. İle çözümleyinizBir ,iki ,dört aralık kullanarak yamuklar yöntemi ni uygulayınız,sonucu n=6 ile simpson yöntemi ile karşılaştırınız.simpson yön. İle çözümleyiniz
31 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegral 3. Hafta
32 SİMPSON Kuralı ile İntegrasyon: Sayısal İntegralSİMPSON Kuralı ile İntegrasyon:Simpson yöntemi için matlab örneği ;3. Hafta