Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konservatif vektör alanları
Özellikle fizikte önemli olan konservatif vektör alanları, aynı iki noktayı birleştiren iki iz boyunca alınan integrallerin eşit olduğu alanlardır.
Arka plan
- Çizgi integrallerinin temel teoremi, also known as the gradient theorem.
Neye ulaşıyoruz
- Bir vektör alanı, eğer aşağıdaki üç özellikten bir tanesini karşılıyorsa bir korunumlu vektör alanı olarak adlandırılır (özelliklerin hepsi makalede tanımlanmıştır):
- için çizgi integralleri yoldan bağımsızdır.
- Kapalı döngülerdeki çizgi integralleri hep 'dır.
- skaler değerli bir fonksiyonun gradyanıdır, yani bir fonksiyonu için, .
- Bunlara denk başka bir özellik vardır: irrotasyoneldir, yani rotasyoneli her yerde sıfırdır (küçük bir uyarıyla). Ancak, bunu rotasyoneli çizgi integrali cinsinden tanımlayan başka bir makalede ele alacağım.
- Buradaki ana fikir sadece konservatif vektör alanının tanımı değildir, üstte listelenen birbirinden farklı görünen koşulların birbirine eşit olduğu gerçeğidir. Çılgınlık!
Doğrusal bağımsızlık
Herhangi bir vektör alanı olduğunu düşünün, ve her biri noktasından başlayan ve noktasında biten iki ayrı iz ve boyunca integrallerini düşünün
Neredeyse tüm vektör alanları, ve neredeyse ile yollarının tüm seçenekleri için, bu integraller farklı olur.
Ve bu mantıklıdır! Her bir integral uzaydaki farklı noktalarda tamamen farklı değerler toplamaktadır. Şaşırtıcı olan şey ise, (sonsuz sayıda iz arasından) hangi izi seçersek seçelim aynı iki noktayı birleştiren farklı izlerin her zaman eşit olduğu bazı vektör alanlarının bulunmasıdır.
Bir önceki makalede, gradyan teoreminin üstünde geçerken, skaler değerli bir fonksiyonunun gradyanı olan özel vektör alanları durumunda, bu sihirli özelliğin doğru olduğunu gördük. Aynı iki ve noktasını birleştiren farklı izlerdeki çizgi integrallerinin değeri hep aynı olur:
Tanım: Bu özelliğe izden bağımsızlık denir. Özellikle, bir vektör alanında bir çizgi integralinin izden bağımsız olması için, integralin değerinin sadece izin başladığı ve bittiği noktalara bağlı olması, ve aradaki iz seçimine bağlı olmaması gerekir.
Aslında, gradyan teoremini düzgün bir şekilde anladığınızda, bu ifade tamamen büyüleyici olmaz. Bunun nedeni, 'nin gradyanının tersine olan çizgi integrallerinin 'nin değerindeki değişimi ölçmesidir. Bunu 'nin grafiğiyle görselleştirirsek, sizi bir noktadan diğerine götüren herhangi iki izin yüksekliğinizi aynı miktarda değiştirdiğini söylemiş oluruz.
Bu sonucun ana fikri, gradyan alanların çok özel vektör alanları olduğudur. İz bağımsızlığı özelliği çok nadir olduğundan, bir bakıma, "çoğu" vektör alanı gradyan alanı olamaz.
Doğrusal bağımsızlık gradyan alanı anlamına gelir
Tamam, bu gradyan alanları bu yol bağımsızlığı özelliği nedeniyle özeldir. Ancak, tüm çizgi integrallerinin yoldan bağımsız olduğu, ama skaler değerli bir fonksiyonun gradyanı olmayan bir vektör alanı bulabilir misiniz?
Galiba bölüm başlığı ve girişi şöyle vererek cevabı ele verdim: Çizgi integrallerinin izden bağımsız olduğu tüm vektmr alanları bir fonksiyonun gradyanı olmalıdır. Ama neden?
Gerçekten de, bu neden doğru olsun? Çizgi integrallerinin yoldan bağımsız olduğu, rastgele bir vektör alanını düşünün
aynı iki ve noktalarını birleştiren tüm ve yolları için. Bu özellikte, olacak şekilde bir fonksiyonunun varlığını garantileyen nedir?
Zor soru: Böyle bir fonksiyonunu 'nin yoldan bağımsız olduğunu kullanarak cinsinden oluşturmak için bir yol düşünebilir misiniz?
Bu zor bir sorudur, ama ilham için gradyan teoremine bakmak faydalı olabilir.
Kapalı döngüler
Tanım: Eğer bir yol aynı noktada başlıyor ve bitiyorsa, bu yol kapalı olarak tanımlanır. Böyle yollar genelde kapalı döngüler olarak adlandırılır.
Örneğin, aşağıda gösterilen yolu 'da başlar ve biter.
Eğer tüm çizgi integrallerinin yol bağımsız olduğu bir vektör alanı alırsak, herhangi bir kapalı döngüde 'nin çizgi integrali olacaktır. Neden?
Bunun tersi de doğrudur: Eğer 'nin tüm kapalı döngülerdeki çizgi integrallerinin değeri ise, bu durumda tüm çizgi integralleri yol bağımsız olmalıdır. Neden?
Kapalı-döngüdeki integraller için çılgın bir gösterim.
Bazen bir kapalı döngüsündeki çizgi integralini şöyle yazılmış görürsünüz
Endişelenmeyin, bu öğrenilmesi gereken yeni bir işlem değildir. Bu sadece bir çizgi integraldir, daha önce yaptığımız şekilde hesaplanmıştır, ancak okuyucuya 'nin bir kapalı döngü olduğunu vurgulamak amacı taşımaktadır.
Potansiyel enerji
Vektör alanında çizgi integrallerini tanıtan makalede, fizikte hareketli bir nesnede bir kuvvetin yaptığı işin, kuvvetin vektör alanının hareket izinde çizgi integralinin alınmasıyla hesaplandığından kısaca bahsetmiştim.
Bir kuvvetin bir nesneye noktasından başka bir noktasına giderken yaptığı iş, hangi iz olursa olsun, aynıysa, kuvvete konservatif deriz. Başka bir deyişle, bu integral her zaman izden bağımsızsa. Yerçekimi ve elektriksel kuvvet gibi temel kuvvetler konservatiftir, ve konservatif olmayan kuvvetin olmazsa olmaz örneği sürtünme kuvvetidir.
Bu, üstteki tartışmaya göre ilginç bir sonuç verir: Bir kuvvet konservatifse, bir fonksiyonun gradyanı olmalıdır.
Ayrıca, gradyan teoremine göre, noktasından noktasına giderken bu kuvvetin bir nesneye yaptığı iş, her noktada bu fonksiyonunun değeri hesaplanarak bulunabilir:
Aranızdaki fizik öğrencilerinin tahmin edebileceği gibi, bu fonksiyonu potansiyel enerjidir. Örneğin, yerçekimi potansiyeli veya elektrik potansiyelinin gradyanını alırsanız, sırasıyla yerçekimsel kuvveti veya elektriksel kuvveti elde edersiniz. Bu nedenle, konservatif bir kuvvetin yaptığı işi hesaplamak, potansiyel enerjileri karşılaştırmak olarak sadeleştirilebilir.
Sürtünme kuvveti konsevatif olmadığından, bu, "potansiyel sürtünme enerjisi" de olmadığı anlamına gelir.
Escher
Fizikten sanata dönersek, M.S. Escher'in klasik tablosu "Çıkış ve İniş" yerçekimi konservatif olmayan bir kuvvet olsaydı, dünyanın neye benzeyeceğini gösterir.
Kapalı döngü bakış açısı:
- Bu merdivende saat yönünde yürüdüğünüzü gözünüzde canlandırın. Her bir adımda, yerçekimi üzerinizde negatif iş yapar. Böylece, tam çembersel döngüde işin integralini aldığınızda, yerçekiminin üzerinizde yaptığı iş gayet negatif olur. Ancak, bu kapalı bir döngüde bir integraldir, yani sıfır dışı olması gerçeği üzerinizde etki eden kuvvetin konservatif olamayacağıdır.
Yol bağımsızlığı bakış açısı
- Sağ köşedeki kuleden sol köşeye yürüdüğünüzü gözünüzde canlandırın. Buraya saat yönünde bir izle ulaşırsanız, yerçekimi üzerinizde negatif iş yapar. Saat yönünün tersine bir izle ulaşırsanız, yerçekimi pozitif iş yapar. İki iz de aynı noktadan başladığı ve aynı noktada bittiği için, iz bağımsızlığı geçersizdir, bunun için yerçekimi kuvvet alanı konservatif olamaz.
Gradyan bakış açısı:
- Gerçek hayal'a, yerçekimsel potansiyel yükseklikle eşleşir, çünkü yerçekiminin yaptığı iş yükseklikteki bir değişimle orantılıdır. Escher'in çizimini çarpıcı yapan şey ise, yükseklik fikrinin mantıklı gelmemesidir. Aşağı basamak olmamasına rağmen, "yukarı" birçok basamağın sizi aynı noktaya ulaştırması. Bu, 'nun yerçekimi alanını verdiği potansiyel bir fonksiyonu olmamasıyla eşleşir.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.