Eğri
Sezgisel olarak, bir eğri, hareketli bir noktanın bıraktığı iz olarak düşünülebilir . Bu, Öklid'in Öğeleri'nde 2000 yıldan daha uzun bir süre önce ortaya çıkan tanımdır : "[eğri] çizgi [a] , […] yalnızca bir boyutu olan, yani uzunluğu, genişliği ve derinliği olmayan ilk nicelik türüdür ve […] herhangi bir genişlikten muaf, uzunluk olarak bir miktar iz bırakacak hayali hareketinden bırakacağı noktanın akışı ya da ilerlemesinden başka bir şey değildir. " [1]
: Bir eğrinin Bu tanım, modern matematik formel edilmiş bir eğridir görüntü bir bölgesinin aralığı a topolojik alan bir yan sürekli bir fonksiyon . Bazı bağlamlarda, eğriyi tanımlayan fonksiyona parametrizasyon denir ve eğri parametrik bir eğridir . Bu makalede, bu eğrilere bazen onları türevlenebilir eğriler gibi daha kısıtlı eğrilerden ayırmak için topolojik eğriler adı verilir . Bu tanım, matematikte incelenen çoğu eğriyi kapsar; kayda değer istisnalar seviye eğrileridir ( birliklereğriler ve yalıtılmış noktalar) ve cebirsel eğriler (aşağıya bakınız). Seviye eğrileri ve cebirsel eğriler , genellikle örtük denklemlerle tanımlandıkları için bazen örtük eğriler olarak adlandırılır .
Yine de, topolojik eğriler sınıfı çok geniştir ve bir eğri için beklenebileceği gibi görünmeyen, hatta çizilemeyen bazı eğriler içerir. Bu, boşluk doldurma eğrileri ve fraktal eğriler için geçerlidir . Daha fazla düzenliliğinin temin için, bir eğri tanımlar işlevi genellikle olması gereken türevlenebilir ve eğri daha sonra olduğu söylenir türevlenebilir eğrisi .
Bir düzlem cebirsel eğri bir sıfır dizi polinom iki değişkenli . Daha genel olarak, bir cebirsel eğri polinom sonlu bir dizi, sıfıra ayarlanmış olan tatmin bir olmasıyla başka bir durum, cebirsel çeşitli bir boyuta on. Polinomların katsayıları bir k alanına aitse , eğrinin k üzerinde tanımlandığı söylenir . Bir ortak bir durumda gerçek cebirsel eğri , k alanıdır gerçek sayılar , bir cebirsel eğri topolojik eğrilerinin sonlu birleşmedir. Karmaşık olduğunda sıfırlar olarak kabul edilir, biri karmaşık bir cebirsel eğriye sahiptir , bu, topolojik açıdan bir eğri değil, bir yüzeydir ve genellikle bir Riemann yüzeyi olarak adlandırılır . Genel anlamda eğri olmamasına rağmen, diğer alanlar üzerinde tanımlanan cebirsel eğriler geniş çapta incelenmiştir. Özellikle, sonlu bir alan üzerindeki cebirsel eğriler , modern kriptografide yaygın olarak kullanılmaktadır .
Tarih [ düzenle ]
Eğrilere ilgi, matematiksel çalışmanın konusu olmadan çok önce başladı. Bu, sanatta dekoratif kullanımlarının ve tarih öncesi çağlardan kalma gündelik nesnelerin sayısız örneğinde görülebilir. [2] Eğrileri veya en azından grafik temsillerini oluşturmak kolaydır, örneğin bir kumsalda kum üzerinde bir çubukla.
Tarihsel olarak, daha modern terim eğrisinin yerine terim çizgisi kullanılmıştır . Bu nedenle, günümüzde doğru olarak adlandırılan çizgileri eğri çizgilerden ayırmak için düz çizgi ve sağ doğru terimleri kullanılmıştır. Örneğin, Öklid Öğeleri Kitabı I'de bir çizgi "ensiz uzunluk" (Tanım 2) olarak tanımlanırken, düz bir çizgi "kendi üzerindeki noktalarla eşit olarak uzanan bir çizgi" olarak tanımlanır (Tanım 4) . Öklid'in çizgi fikri belki de "Bir doğrunun uç noktaları noktadır" (Tanım 3) ifadesiyle açıklığa kavuşturulur. [3] Daha sonraki yorumcular satırları çeşitli şemalara göre sınıflandırdılar. Örneğin: [4]
- Bileşik çizgiler (bir açı oluşturan çizgiler)
- Bileşik olmayan çizgiler
- Belirleme (daire gibi sonsuza kadar uzamayan çizgiler)
- Belirsiz (düz çizgi ve parabol gibi sonsuza kadar uzanan çizgiler)
Yunanlı geometri uzmanları birçok başka tür eğrileri de incelemişlerdi. Bunun bir nedeni, standart pusula ve düz kenarlı yapı kullanılarak çözülemeyen geometrik problemleri çözme ilgisiydi . Bu eğriler şunları içerir:
- Pergalı Apollonius tarafından derinlemesine incelenen konik kesitler
- Diocles arasında sisoid , tarafından incelenmiştir Diocles ve bir yöntem olarak kullanılabilir küp çift . [5]
- Nicomedes arasında conchoid , tarafından incelenmiştir Nicomedes hem için bir yöntem olarak, çift küp ve bir açı üçe bölmek . [6]
- Arşimet sarmal tarafından incelenmiştir, Arşimed bir yöntem olarak bir açı üçe bölmek ve döngünün . [7]
- Spiriç bölümler , bölümleri Tori tarafından incelenen Perseus koni kesitleri Apollonius çalışmaları sonucu tespit edilmiştir olarak.
Eğriler teorisindeki temel bir gelişme, René Descartes tarafından 17. yüzyılda analitik geometrinin tanıtılmasıydı . Bu, ayrıntılı bir geometrik yapı yerine bir denklem kullanılarak bir eğrinin tanımlanmasını sağladı. Bu yalnızca yeni eğriler tanımlanmış araştırma yapılması için izin, ancak arasında yapılacak resmi bir ayrım etkin değil cebirsel eğriler kullanılarak tanımlanabilir polinom denklemleri ve transandantal eğrileri olamaz. Önceden, eğriler nasıl üretildiklerine veya sözde üretilebileceklerine göre "geometrik" veya "mekanik" olarak tanımlanıyordu. [2]
Konik kesitler astronomide Kepler tarafından uygulanmıştır . Newton ayrıca varyasyonlar hesabında erken bir örnek üzerinde çalıştı . Brachistochrone ve tautochrone soruları gibi varyasyonel problemlerin çözümleri, eğrilerin özelliklerini yeni yollarla (bu durumda, sikloid ) tanıttı . Katener asılı bir zincir vasıtasıyla rutin erişilebilir hale sorunun tür sorununa çözüm olarak adını alır diferansiyel hesap .
On sekizinci yüzyılda genel olarak düzlem cebirsel eğriler teorisinin başlangıcı geldi. Newton , gerçek noktaların 'oval' olarak genel tanımında kübik eğrileri incelemiştir . Bézout'un teoreminin ifadesi , zamanın geometrisine doğrudan erişilemeyen, tekil noktalar ve karmaşık çözümlerle ilgili bir dizi yönü gösterdi.
On dokuzuncu yüzyıldan beri, eğri teorisi, manifoldlar ve cebirsel çeşitler teorisinin özel boyut durumu olarak görülüyor . Yine de, boşluk doldurma eğrileri , Jordan eğri teoremi ve Hilbert'in on altıncı problemi gibi birçok soru eğrilere özgü kalır .
Topolojik eğri [ düzenle ]
Bir topolojik eğri , gerçek sayıların bir aralığı I'den bir topolojik uzay X'e sürekli bir fonksiyonla tanımlanabilir . Düzgün, konuşma eğri olan görüntü ait Ancak bazı bağlamlarda, kendisi görüntü genellikle eğri ne denir gibi görünmüyor, özellikle bir eğri olarak adlandırılır ve yeterince karakterize etmez
Örneğin, Peano eğrisinin görüntüsü veya daha genel olarak bir boşluk doldurma eğrisi bir kareyi tamamen doldurur ve bu nedenle nasıl tanımlandığına dair herhangi bir bilgi vermez .
Bir eğri olan kapalı [8] ya da bir halka halinde ve . Bu nedenle kapalı bir eğri, bir dairenin sürekli bir haritalamasının görüntüsüdür .
Eğer alan bir topolojik eğrisinin bir kapalı ve sınırlı aralık , bir adlandırılan yol olarak da bilinen topolojik yay (veya yalnızca ark ).
Bir eğri, sürekli bir enjeksiyon işlevi tarafından bir aralığın veya bir dairenin görüntüsü ise basittir . Başka bir deyişle, bir eğri, bir alan olarak aralıklı sürekli bir fonksiyon tarafından tanımlanırsa , eğri, ancak ve ancak aralığın iki farklı noktasının farklı görüntülere sahip olması durumunda basittir; aralık. Sezgisel olarak, basit bir eğri, "kendisiyle kesişmeyen ve eksik noktaları olmayan" bir eğridir. [9]
Basit bir kapalı eğri, Jordan eğrisi olarak da adlandırılır . Jordan eğri teoremi olduğu durumları grubu tamamlayıcı bir Ürdün eğrisinin bir düzlemde iki oluşur bağlı bileşenlerin (Kesişmeyen iki eğri bölme düzlemi olduğu bölgelerde her iki bağlanır).
Bir düzlem eğri olan bir eğridir olan Öklid düzlem örnekler, karşılaşılan ya da bazı durumlarda olan -bu yansıtmalı düzlemi .Bir alan eğrisi olan bir eğridir en az üç boyutlu olduğu; Bir eğri eğri düzlemde olmayan bir uzay eğrisidir. Düzlem, uzay ve eğrilerin bu tanımları aynı zamanda gerçek cebirsel eğriler için de geçerlidir , ancak yukarıdaki bir eğri tanımı geçerli değildir (gerçek bir cebirsel eğri bağlantısı kesilebilir ).
Bir eğrinin tanımı, yaygın kullanımda neredeyse hiç eğri olarak adlandırılamayan şekiller içerir. Örneğin, basit bir eğrinin görüntüsü düzlemdeki bir kareyi ( boşluk doldurma eğrisi ) kaplayabilir ve bu nedenle pozitif bir alana sahip olabilir. [10] Fraktal eğriler , sağduyu için garip özelliklere sahip olabilir. Örneğin, bir fraktal eğri, birden büyük bir Hausdorff boyutuna (bkz. Koch kar tanesi ) ve hatta pozitif bir alana sahip olabilir. Bir örnek, diğer birçok olağandışı özelliği olan ejderha eğrisidir .
Diferensiyellenebilir eğri [ düzenle ]
Kabaca bir konuşma türevlenebilir eğrisi lokal olarak birebir türevlenebilir fonksiyon görüntü olarak tanımlanan bir eğri olan bir mesafede aralıklı I arasında gerçek sayılar türevlenebilir manifoldu içine X genellikle,
Daha kesin olarak, bir türevlenebilir eğri bir alt kümesidir Cı arasında X her noktası C bir mahalle sahip U gibi olduğu diffeomorphic gerçek sayılar bir aralığı. [ açıklama gerekli ] Başka bir deyişle, türevlenebilir bir eğri, birinci boyutun türevlenebilir bir manifoldudur.
Diferensiyellenebilir yay [ düzenle ]
Gelen Öklid geometrisi , bir yay (sembol: ⌒ ) a, bağlı bir alt kümesi türevlenebilir eğrisi.
Yayları hatları denir segmentleri veya ışınları da sınırlı olsun veya olmasın olarak.
Yaygın bir eğri örnek bir yaydır daire olarak adlandırılan, dairesel yay .
Bir kürede (veya bir küremsi ), büyük bir dairenin (veya büyük bir elipsin ) bir yayı büyük bir yay olarak adlandırılır .
Bir eğrinin uzunluğu [ düzenle ]
Eğer bir boyutlu Öklid alan ve eğer bir İnjektif ve sürekli türevlenebilir fonksiyonu, daha sonra uzunluk miktar olarak tanımlanmaktadır
Bir eğrinin uzunluğu parametreleştirmeden bağımsızdır .
Özel olarak, uzunluğu, bir grafik bir sürekli türevlenebilir fonksiyon kapalı bir aralık üzerinde tanımlı olduğu
Daha genel olarak, metrikli bir metrik uzay ise , bir eğrinin uzunluğunu şu şekilde tanımlayabiliriz :
üstünlüğün tüm ve tüm bölümlerinin üzerine alındığı yer .
Doğrultulabilir bir eğri, sonlu uzunlukta bir eğridir . Bir eğri olarak adlandırılan doğal (ya da birim hızlı veya yay uzunluğu ile parametrize) herhangi eğer öyle ki , biz
Eğer bir olan Lipschitz-sürekli fonksiyon, o zaman otomatik olarak düzeltilebilir olduğunu. Dahası, bu durumda, hızı (veya metrik türevi ) şu şekilde tanımlanabilir:
ve sonra bunu göster
Diferansiyel geometri [ düzenle ]
Karşılanmaktadır eğrileri ilk örnekleri (olduğundan, her gün bir deyişle, çok düzlem eğriler birlikte kavisli hatlar içinde iki boyutlu alanı ) gibi belirgin örnekler vardır sarmal üç boyutta doğal olarak mevcut. Geometrinin ihtiyaçları ve ayrıca örneğin klasik mekanik , herhangi bir sayıda boyutta uzayda bir eğri kavramına sahip olmaktır. In genel görelilik , bir Dünya çizgi bir eğridir uzay- .
Eğer a, türevlenebilir manifoldu , o zaman kavramını tanımlayabilir türevlenebilir eğri olarak . Bu genel fikir, matematikteki eğrilerin pek çok uygulamasını kapsamak için yeterlidir. Yerel bir bakış açısından, Öklid uzayı olarak kabul edilebilir. Bu, (örneğin) o tanımlamak mümkündür Diğer yandan, daha genel olarak yararlı olan teğet vektörleri için eğrisinin bu kavramı bir şekilde aktarır.
Eğer bir olan pürüzsüz manifoldu , bir pürüzsüz eğri içinde bir olduğunu pürüzsüz haritası
- .
Bu temel bir kavramdır. Daha da kısıtlı fikirler de var. Eğer a, manifold (yani olan bir manifold grafikleri olan kez sürekli türevlenebilir ), daha sonra, bir eğri sadece olduğu varsayılır, örneğin bir eğridir (yani kez sürekli türevlenebilir). Eğer bir olan analitik manifoldu (yani sonsuz türevlenebilir ve çizelgeleri olarak eksprese edilebilmesi güç serileri ) ve bir analitik haritasıdır, daha sonra bir olduğu söylenir analitik eğri .
Türevinin hiç yok olmaması durumunda türevlenebilir bir eğrinin düzenli olduğu söylenir . (Bir deyişle, normal bir eğri asla durma noktasına kadar yavaşlamaz veya kendi kendine geri dönüş yapmaz.) İki farklılaştırılabilir eğri
- ve
önyargılı bir harita varsa eşdeğer olduğu söylenir
öyle ki ters harita
ayrıca ve
hepsi için . Harita bir denir yeniden parametreleme arasında ; ve bu, içindeki tüm türevlenebilir eğriler kümesi üzerinde bir denklik ilişkisi kurar . Bir yay , bir olduğu denklik sınıfı arasında yeniden parametreleme ilişkisi altında eğriler.
Cebirsel eğri [ değiştir ]
Cebirsel eğriler, cebirsel geometride dikkate alınan eğrilerdir . Bir uçak cebirsel eğrisidir grubu koordinat noktaları x , y , öyle ki ön ( x , y ) = 0 , f bir alan üzerinde tanımlanan iki değişken bir polinomdur F . Biri, eğrinin F üzerinde tanımlandığını söylüyor . Cebirsel geometri normalde sadece F koordinatlı noktaları değil, aynı zamanda cebirsel olarak kapalı bir K alanındaki koordinatlı tüm noktaları da dikkate alır .
Eğer Cı- polinom ile tanımlanan bir eğridir f katsayılı F , eğri üzerinde tanımlanmış olduğu söylenir F .
Gerçek sayılar üzerinde tanımlanan bir eğri durumunda, normalde karmaşık koordinatlara sahip noktalar dikkate alınır . Bu durumda, gerçek koordinatlara sahip bir nokta gerçek bir noktadır ve tüm gerçek noktaların kümesi , eğrinin gerçek kısmıdır . Bu nedenle, bir cebirsel eğrinin yalnızca gerçek kısmı topolojik bir eğri olabilir (bu her zaman geçerli değildir, çünkü bir cebirsel eğrinin gerçek kısmı ayrılabilir ve izole noktalar içerebilir). Tüm eğri, yani karmaşık noktasının kümesi, topolojik açıdan bir yüzeydir. Özellikle, tekil olmayan karmaşık projektif cebirsel eğrilere Riemann yüzeyleri denir .
Bir eğri noktaları C alanı koordinatları ile G üzerinde rasyonel olduğu söylenir G ve ifade edilebilir Cı- ( G ) . Ne zaman G alanıdır rasyonel sayılar , tek basitçe bahsediyor rasyonel noktaları . Örneğin, Fermat'ın Son teoremi : olarak yeniden edilebilir için n > 2 , her rasyonel alanına Fermat eğrisi derece n sıfır koordine olmuştur .
Cebirsel eğriler ayrıca uzay eğrileri veya daha yüksek boyutlu bir uzaydaki eğriler olabilir, örneğin n . Onlar olarak tanımlanan cebirsel çeşitlerinin arasında boyut biri. N değişkenli en az n –1 polinom denklemlerinin ortak çözümleri olarak elde edilebilirler . Eğer , n -1 polinomlar boyutu bir boşluk içinde bir eğri tanımlayacak yeterli n , eğri bir olduğu söylenir tam kesişme . Değişkenleri ortadan kaldırarak (herhangi bir eleme teorisi aracıyla ), bir cebirsel eğri, bir düzlem cebirsel eğri üzerine yansıtılabilir , ancak bu,sivri uçlar veya çift noktalar .
Bir düzlem eğrisi bir eğriye tamamlanabilir yansıtmalı düzlemi : bir eğri bir polinom ile tanımlanır halinde f toplam derecesi d , ardından w d f ( U / ağırlık , hacim / ağırlık ) basitleştirir bir homojen polinom gr ( u , v , w ) derecesinin d . Değerleri u , v , w , öyle ki gr ( u , v , w ) = 0izdüşüm düzleminde eğrinin tamamlanma noktalarının homojen koordinatlarıdır ve başlangıç eğrisinin noktaları, w'nin sıfır olmayacağı şekildedir . Bir örnek, bir afin formu x n + y n = 1 olan u n + v n = w n olan Fermat eğrisidir . Daha yüksek boyutlu uzaylardaki eğriler için benzer bir homojenleştirme işlemi tanımlanabilir.
Çizgiler dışında , cebirsel eğrilerin en basit örnekleri , ikinci derece ve sıfır cinsinin tekil olmayan eğrileri olan koniklerdir . Birinci cinsin tekil olmayan eğrileri olan eliptik eğriler sayı teorisinde incelenir ve kriptografide önemli uygulamaları vardır .
Ayrıca bkz. [ Düzenle ]
- Koordinat eğrisi
- Eğri yönü
- Eğri çizimi
- Eğrilerin diferansiyel geometrisi
- Eğriler galerisi
- Eğri konularının listesi
- Eğrilerin listesi
- Salınımlı daire
- Parametrik yüzey
- Yol (topoloji)
- Vektör pozisyonu
- Vektör değerli fonksiyon
- Eğri uydurma
- Sargı numarası
Notlar [ düzenle ]
- Mevcut matematiksel kullanımda bir doğru doğrudur. Önceden çizgiler eğri veya düz olabilirdi.
Referanslar [ düzenle ]
- (Oldukça eski) Fransızca'da: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une boyut à sçavoir boylam, sans aucune latitude ni profondité ve n'est autre, que le flux ou coulement du poinct, lequel [ …] Laissera de son mouvement uzun zamandır quelque vestige hayal ediyor, enlemden muaf. " Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François ve augmentez de plusieurs figürleri ve gösterileri, avec la düzeltme des erreurs commises és autres traductions'ın 7. ve 8. sayfaları, Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .
- Lockwood s. ix
- Heath s. 153
- Heath s. 160
- Lockwood s. 132
- Lockwood s. 129
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Arşimet Spirali " , MacTutor Matematik Tarihi arşivi , St Andrews Üniversitesi.
- Bu terim belirsiz olabilir, çünkü kapalı olmayan bir eğri,düzlemdeki bir doğru gibi kapalı bir küme olabilir
- "Google'da Jordan ark tanımı. Merriam Unabridged. Random House, Inc" . Dictionary.reference.com . Erişim tarihi: 2012-03-14 .
- Osgood, William F. (Ocak 1903). "Pozitif Alanın Ürdün Eğrisi" . Amerikan Matematik Derneği İşlemleri . Amerikan Matematik Derneği . 4 (1): 107–112. doi : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
- AS Parkhomenko (2001) [1994], "Çizgi (eğri)" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
- BI Golubov (2001) [1994], "Doğrultulabilir eğri" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
- Öklid , yorum ve çev. tarafından TP Heath Elemanları Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Kitaplar
- EH Lockwood Bir Eğriler Kitabı (1961 Cambridge)
[ düzenle ]
|Wikimedia Commons, Curves ile ilgili medyaya sahiptir .|
- Ünlü Eğriler Endeksi , Matematik ve İstatistik Okulu, St Andrews Üniversitesi, İskoçya
- Matematiksel eğriler 874 adet iki boyutlu matematiksel eğriden oluşan bir koleksiyon
- Dairelerden Yapılmış Uzay Eğrileri Galerisi, Peter Moses'ın animasyonlarını içerir
- Bishop Curves ve Diğer Küresel Eğriler Galerisi, Peter Moses animasyonlarını içerir
- Satırlarla ilgili Matematik Ansiklopedisi makalesi .
- 1-manifoldlardaki Manifold Atlas sayfası .