Eşkenar bir üçgenin içindeki her noktanın üç kenara olan uzaklıklarının toplamının hep aynı olduğunu kanıtlayın*.
Eşkenar üçgenimize ABC diyelim. Üçgenimizin bir kenarının uzunluğu a, yüksekliği de h olsun. Demek ki üçgenimizin alanı ah/2‘dir. Üçgenimizin içinden herhangi bir P noktası alalım. P‘nin kenarlara olan uzaklıklarına x,y,z diyelim. P ile A, B ve C köşeleri arasındaki üç doğruyu çizersek, üçgenimizi üç küçük üçgene bölmüş oluruz: APC, CPB ve BPA üçgenlerine. Bu üçgenlerin alanları sırasıyla ax/2, ay/2, az/2′dir. Demek ki bu üç sayının toplamı ABC üçgeninin alanı, yani ah/2 olmalı:
ax/2 + ay/2 + az/2 = ah/2
Sadeleştirirsek x+y+z=h buluruz. Demek ki, P noktasının kenarlara olan uzaklıklarının toplamı h’dir. Bu sayı P’den bağımsızdır. Yani seçilen her P noktası için toplam aynıdır.
*Bu sonuca Viviani Teoremi denir. Viviani İtalyandır ve 1622-1703 yılları arasında yaşamıştır.
Matematik Arası’nın bu bölümü Ali Nesin’in Matematik ve Doğa (Nesin Yayıncılık, 8. Basım, 2017) kitabının, Sevdiğim Birkaç Soru bölümünden alındı.