Sürekli işlev - Continuous function
|Hakkında bir dizi makalenin parçası|
|Matematik|
Gelen matematik , bir sürekli fonksiyonu a, işlevi herhangi bir ani değişiklik olmayan bir değer olarak da bilinen, süreksizliklerin . Daha kesin olarak, sürekli bir fonksiyonun girdisindeki yeterince küçük değişiklikler, çıktısında keyfi olarak küçük değişikliklere neden olur. Sürekli değilse, bir işlevin süreksiz olduğu söylenir . 19. yüzyıla kadar, matematikçiler büyük ölçüde sezgisel süreklilik kavramlarına güveniyorlardı, bu sırada epsilon-delta tanımı gibi onu resmileştirmek için girişimlerde bulunuldu .
Fonksiyonların sürekliliği, aşağıda tamamen genel olarak ele alınan topolojinin temel kavramlarından biridir . Bu makalenin giriş kısmı, fonksiyonların girdi ve çıktılarının gerçek sayılar olduğu özel duruma odaklanmaktadır . Daha güçlü bir süreklilik biçimi, tek tip sürekliliktir . Ek olarak, bu makale iki metrik uzay arasındaki daha genel fonksiyon durumlarının tanımını tartışmaktadır . İn order theory , özellikle alan teori , tek olarak bilinen bir süreklilik kavramını dikkate Scott süreklilik . Sürekliliğin başka biçimleri de mevcuttur ancak bunlar bu makalede tartışılmamaktadır.
Bir örnek olarak, fonksiyon , H ( t ) süresi de büyüyen bir çiçek yüksekliğini gösteren t , sürekli olarak düşünülebilir. Bunun aksine, fonksiyon M ( t ) süresi bir banka hesabına para miktarı gösteren t para yatırılır veya geri çekildiğinde, zaman içinde her noktada "atlar" için, kesintili olarak düşünülebilir.
Tarih
Sürekliliğin epsilon-delta tanımının bir biçimi ilk olarak 1817'de Bernard Bolzano tarafından verilmiştir. Augustin-Louis Cauchy sürekliliği şu şekilde tanımlamıştır : bağımsız değişken x'in sonsuz küçük artışı her zaman bağımlı değişken y'de sonsuz küçük bir değişiklik üretir ( bkz. örneğin Cours d'Analyse , s. 34). Cauchy, sonsuz küçük nicelikleri değişken nicelikler açısından tanımladı ve onun süreklilik tanımı, bugün kullanılan sonsuz küçük tanımla yakından paralellik gösteriyor ( mikro sürekliliğe bakınız ). Biçimsel tanım ve noktasal süreklilik ile tekdüze süreklilik arasındaki ayrım ilk olarak 1830'larda Bolzano tarafından verildi, ancak çalışma 1930'lara kadar yayınlanmadı. Gibi Bolzano, Karl Weierstrass'ın bir noktasında bir fonksiyonu sürekliliğini inkar c en ve her iki tarafında da tanımlanan sürece c ancak Édouard Goursat fonksiyonu sadece az ve bir tarafında tanımlanabilir izin c ve Camille Ürdün bile izin işlev yalnızca c'de tanımlanmışsa . Noktasal sürekliliğin eşdeğer olmayan tanımlarının üçü de hala kullanımdadır. Eduard Heine , 1872'de yayınlanan ilk tek tip süreklilik tanımını sağladı, ancak bu fikirleri Peter Gustav Lejeune Dirichlet tarafından 1854'te verilen derslere dayandırdı .
Gerçek fonksiyonlar
Tanım
Bir gerçek işlevi a,, fonksiyonu ile ilgili gerçek sayılar bir ile temsil edilebilir gerçek sayılar için grafik olarak Kartezyen düzlemde ; Bu tür bir fonksiyon, kabaca konuşursak, grafik, alanı tüm gerçek çizgi olan tek bir kesintisiz eğri ise, süreklidir . Matematiksel olarak daha titiz bir tanım aşağıda verilmiştir.
Gerçek fonksiyonların sürekliliğinin titiz bir tanımı genellikle matematikte bir limit fikri açısından ilk derste verilir . İlk olarak, x değişkenine sahip bir f fonksiyonunun , eğer x c noktasına yaklaştıkça , f ( x ) ' in sınırı f (c) değerine eşitse , gerçek doğrunun c noktasında sürekli olduğu söylenir ; ve ikinci olarak, fonksiyon (bir bütün olarak) olduğu söylenir sürekli her noktada sürekli ise,. Bir fonksiyonun sürekli olmadığı bir noktada süreksiz olduğu (veya bir süreksizliği olduğu ) söylenir . Bu noktaların kendileri de süreksizlikler olarak ele alınır .
Bir fonksiyonun sürekliliğinin birkaç farklı tanımı vardır. Bazen bir fonksiyonun etki alanındaki her noktada süreklilik arz ediyorsa sürekli olduğu söylenir. Bu durumda, f ( x ) = tan ( x ) fonksiyonu , tüm gerçek x ≠ (2 n +1) π / 2'nin alanıyla , n herhangi bir tam sayı ile süreklidir. Bazen alanın sınırları için bir istisna yapılır. Örneğin, f ( x ) = √ fonksiyonunun grafiği, tüm negatif olmayan gerçeklerin alanıyla birlikte, solda bir uç noktaya sahiptir. Bu durumda , işlevin değerine eşit olmak için yalnızca sağdan gelen sınır gereklidir. Bu tanıma göre f , x = 0 sınırında süreklidir ve bu nedenle tüm negatif olmayan argümanlar için. En yaygın ve kısıtlayıcı tanım, bir fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması halinde sürekliliğidir. Bu durumda, önceki iki örnek sürekli değildir, ancak sinüs , kosinüs ve üstel fonksiyonlar gibi her polinom fonksiyonu süreklidir . Sürekli kelimesinin kullanımında dikkatli olunmalıdır , böylece kelimenin hangi anlamının amaçlandığı bağlamdan anlaşılır.
Matematiksel gösterimi kullanarak, yukarıda bahsedilen üç duyunun her birinde sürekli fonksiyonları tanımlamanın birkaç yolu vardır.
İzin Vermek
- Bir üzerinde tanımlı bir işlev olabilir alt kümesi setinin gerçek sayılar.
Bu alt küme olan alanı içinde f . Bazı olası seçenekler şunları içerir:
- ( gerçek sayıların tamamıdır) veya a ve b gerçek sayıları için,
- ( A, kapalı aralık ) veya
- ( Bir olan açık aralık ).
Etki durumunda açık aralık olarak tanımlanır, ve aittir yok ve değerleri ve üzerinde süreklilik için mesele yok .
Fonksiyonların sınırları açısından tanım
Fonksiyon f olduğu bir noktada sürekli c ise kendi alanının sınır arasında f ( x gibi), x yaklaşımlar c etki yoluyla f , mevcut eşittir ve f ( c ). Matematiksel gösterimde bu şu şekilde yazılır:
Bu aracı ayrıntılı olarak üç koşul: ilk olarak, ön de tanımlanmalıdır c (bu şartı ile güvence altına C arasında etki alanında f ). İkincisi, bu denklemin sol tarafındaki sınırın var olması gerekir. Üçüncüsü, bu sınırın değeri f ( c ) 'ye eşit olmalıdır .
(Burada f'nin alanının herhangi bir izole noktası olmadığını varsaydık . Örneğin, bir aralık veya aralıkların birleşiminin izole noktaları yoktur.)
Mahalleler açısından tanımı
Bir c noktasının bir komşuluğu , en azından, c'nin sabit bir mesafesi içindeki tüm noktaları içeren bir kümedir . Sezgisel olarak, f'nin c'nin komşuluğu üzerindeki aralığı tek bir f ( c ) noktasına küçülürse, c etrafındaki mahallenin genişliği sıfıra küçüldüğünde , bir fonksiyon c noktasında süreklidir . Daha kesin olarak, bir f fonksiyonu , eğer herhangi bir mahalle için kendi alanında bir komşuluk varsa, her ne zaman olursa olsun, alanının c noktasında süreklidir.
Bu tanım yalnızca alan ve ortak alanın topolojik uzaylar olmasını gerektirir ve bu nedenle en genel tanımdır. Bu tanımdan, f fonksiyonunun , etki alanının her izole noktasında otomatik olarak sürekli olduğu sonucu çıkar. Spesifik bir örnek olarak, tamsayılar kümesindeki her gerçek değerli fonksiyon süreklidir.
Dizilerin sınırları açısından tanım
Sürekli fonksiyonların Weierstrass ve Jordan tanımları (epsilon-delta)
Bir fonksiyonun limit tanımını açıkça dahil ederek, kendi kendine yeten bir tanım elde ederiz : Yukarıdaki gibi bir f : D → R fonksiyonu ve D alanının bir x 0 elemanı verildiğinde , f'nin x 0 noktasında sürekli olduğu söylenir. şu tuttuğunda: herhangi bir sayı için, £ değerinin > 0, küçük olmakla birlikte, vardır bir sayı δ > 0 öyle ki tüm x etki alanında f ile x 0 - δ < x < x 0 + δ , değeri f ( x ) tatmin eder
Alternatif olarak yazılırsa, x 0 ∈ D' deki f : D → R'nin sürekliliği, her ε > 0 için bir δ > 0 olduğu anlamına gelir, öyle ki tüm x ∈ D için :
Daha sezgisel, hepimizin almak istiyorsanız söyleyebiliriz f ( x bazı küçük kalma kadar) değerlerini mahalle etrafında f ( x 0 ), biz sadece için yeterince küçük bir mahalle seçmeniz gerekir x etrafında değerler x 0 . Bunu yapabilirsek, f ( x ) komşuluğu ne kadar küçük olursa olsun , o zaman f x 0'da süreklidir .
Weierstrass, x 0 - δ < x < x 0 + δ aralığının tamamen D alanı içinde olmasını gerektirmişti , ancak Jordan bu kısıtlamayı kaldırdı.
Kalanın kontrolü açısından tanım
İspatlarda ve sayısal analizde, sınırların ne kadar hızlı birleştiğini veya başka bir deyişle geri kalanın kontrolünü bilmemiz gerekir. Bunu süreklilik tanımına göre resmileştirebiliriz. Bir işleve kontrol işlevi denir, eğer
- C azalmıyor
Bir fonksiyon f : D → R, bir Cı- en -sürekli x 0 ise
- hepsi için
Bir fonksiyon, sürekli bir x 0 bu ise Cı bazı kontrol fonksiyonu -sürekli C .
Bu yaklaşım, doğal olarak, kabul edilebilir kontrol fonksiyonları kümesini sınırlandırarak süreklilik kavramını iyileştirmeye götürür. Belirli bir denetim işlevi kümesi için bir işlev, bazıları için-sürekli ise- süreksizdir . Örneğin, aşağıdaki α üssünün Lipschitz ve Hölder sürekli fonksiyonları , kontrol fonksiyonları seti ile tanımlanır.
sırasıyla
- .
Salınım kullanarak tanım
Süreklilik aynı zamanda salınım açısından da tanımlanabilir : bir f fonksiyonu bir x 0 noktasında süreklidir, ancak ve ancak o noktadaki salınımı sıfır ise; sembolleri, bu tanım bir yararı olduğunu rakamlarla süreksizliği: salınım nasıl verir çok fonksiyonun bir noktada süreksiz olduğunu.
Bu tanım yararlıdır açıklayıcı bir dizi teori sürekli noktaları salınım az olan kümenin kesişimi olarak - süreksizliklerin ve sürekli noktaları kümesi çalışma £ değerinin (bu nedenle, bir G δ grubu ) - ve bir çok hızlı bir kanıt sağlar Lebesgue integrallenebilirlik koşulunun yönü .
Salınım eşdeğerdir £ değerinin - δ ve bir sınır (kullanarak basit bir yeniden düzenleme ile tanımı lim sup , lim inf belirli bir için (belli bir noktasında) ise: salınım tanımlamak için) ε 0 hiç yoktur δ olduğu ε - δ tanımını karşılar , o zaman salınım en az ε 0'dır ve tersine her ε için istenen bir δ varsa salınım 0'dır. Salınım tanımı doğal olarak topolojik bir uzaydan bir metrik uzaya olan haritalara genelleştirilebilir .
Hiper gerçekleri kullanarak tanım
Cauchy aşağıdaki sezgisel açısından fonksiyonun sürekliliğini tanımlanan: bir sonsuz bağımlı değişken bir sonsuz değişikliğe bağımsız değişken tekabül değişim (bakınız Cours d'analiz sayfa 34). Standart dışı analiz , bunu matematiksel olarak titiz hale getirmenin bir yoludur. Gerçek çizgi, hipergerçek sayıları oluşturmak için sonsuz ve sonsuz küçük sayıların eklenmesiyle artırılır . Standart olmayan analizde süreklilik şu şekilde tanımlanabilir.
- Bir gerçek değerli bir fonksiyondur f süreklidir x hyperreals için onun bir uzantısı tüm sonsuz için, bu özelliğe sahip ise dx , f ( x + dx -) f ( x ) sonsuz olduğu
( mikro sürekliliğe bakınız ). Başka bir deyişle, bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışı, her zaman bağımlı değişkende sonsuz küçük bir değişiklik meydana getirir ve Augustin-Louis Cauchy'nin süreklilik tanımına modern bir ifade verir .
Sürekli fonksiyonların oluşturulması
Belirli bir fonksiyonun sürekliliğinin kontrol edilmesi, verilen fonksiyonun yapı blokları için yukarıdaki tanımlayıcı özelliklerden biri kontrol edilerek basitleştirilebilir. Bir alanda sürekli olan iki fonksiyonun toplamının da bu alanda sürekli olduğunu göstermek açıktır. Verilen
- ,
sonra sürekli fonksiyonların toplamı
( tümü için tarafından tanımlanır ) içinde süreklidir .
Aynı şey sürekli fonksiyonların çarpımı için de geçerlidir ,
( tümü için tarafından tanımlanır ) içinde süreklidir .
- f ( x ) = x 3 + x 2 - 5 x + 3
(sağdaki resim).
Aynı şekilde, sürekli bir fonksiyonun karşılığının
( tüm bu türler için tarafından tanımlanır ) içinde süreklidir .
Bu köklerini hariç ima , sürekli fonksiyonların katsayısı
( herkes için tanımlanmıştır , öyle ki ) da süreklidir .
Örneğin, işlev (resimde)
x ≠ −2 tüm gerçek sayıları için tanımlanmıştır ve bu tür her noktada süreklidir. Dolayısıyla sürekli bir işlevdir. X = −2'de süreklilik sorunu ortaya çıkmaz, çünkü x = −2 y'nin alanında değildir . Tüm x ≠ −2 için y ( x ) ile uyumlu bir F : R → R sürekli fonksiyonu yoktur .
İşlev yana sinüs tüm reals ile süreklidir, Sinc fonksiyonu G ( x ) = sin ( x ) / x , tüm gerçek için tanımlandığı gibidir ve sürekli bir X ≠ 0 Bununla birlikte, önceki örneğin tersine, G olabilir , sürekli uzatılabilir işlev bütün gerçek sayılar ile tanımlama değeri G (0) sınırı olan 1, olmak üzere , G ( x halinde) x 0 yaklaşımlar, örneğin,
Böylece, ayarlayarak
sinc işlevi, tüm gerçek sayılarda sürekli bir işlev haline gelir. Çıkarılabilir tekillik terimi , bir fonksiyonun değerlerinin (yeniden) uygun limitlerle çakışması için tanımlanması, bir fonksiyonu belirli noktalarda sürekli hale getirdiği durumlarda kullanılır.
Sürekli işlevlerin daha kapsamlı bir yapısı, işlev bileşimidir . İki sürekli işlev verildiğinde
olarak gösterilen ve ile tanımlanan bileşimleri süreklidir.
Bu yapı, örneğin şunu belirtmeye izin verir:
- herkes için süreklidir
Süreksiz fonksiyon örnekleri
Süreksiz bir işleve bir örnek , aşağıdaki şekilde tanımlanan Heaviside adım işlevidir
Örneğin seçin . Sonra orada hiçbir -neighborhood etrafında yani hiçbir açık aralık, birlikte hepsi zorlar içinde olması değerleri -neighborhood arasında dahilinde yani . Sezgisel olarak, bu tür süreksizliği fonksiyon değerlerinde ani bir sıçrama olarak düşünebiliriz .
Benzer şekilde, işaret veya işaret işlevi
diğer her yerde süreksiz ama süreklidir. Yine başka bir örnek: işlev
dışında her yerde süreklidir .
hiçbir yerde sürekli değildir.
Özellikleri
Yararlı bir lemma
Let bir noktada sürekli olan bir fonksiyon olmak ve böyle bir değeri olması Ardından bazı mahalle genelinde
İspat: Süreklilik tanımına göre, al , o zaman öyle var ki
Mahallede bir nokta var varsayalım kendisi için o zaman çelişki var
Ara değer teoremi
- Gerçek değerli bir fonksiyondur ise ön ile süreklidir kapalı aralık [ a , b ] ve k arasında bir sayıdır f ( a ) ve f ( B ), daha sonra bir sayıdır C de [ a , b ] bu şekilde ön ( c ) = k .
Örneğin, bir çocuk iki ila altı yaşları arasında 1 m'den 1.5 m'ye büyürse, o zaman, iki ila altı yaşları arasında, çocuğun boyunun 1.25 m olması gerekir.
Aşırı değer teoremi
Uç değer teoremi bir işlev eğer durumları f kapalı bir aralıkta [tanımlı bir , b ] (ya da herhangi bir kapalı ve sınırlı set) ve orada süreklidir, işlev maksimuma ulaşır, yani vardır c ∈ [ a , b ] ile tüm x ∈ [ a , b ] için f ( c ) ≥ f ( x ) . Aynı şey minimum f için de geçerlidir . Bu ifadeler, eğer fonksiyon açık bir aralıkta ( a , b ) (veya hem kapalı hem de sınırlı olmayan herhangi bir küme) tanımlanmışsa, örneğin, f ( x ) = 1 sürekli fonksiyonu gibi, genel olarak doğru değildir. / x , açık aralıkta (0,1) tanımlanan, yukarıda sınırsız olduğu için bir maksimuma ulaşmaz.
Farklılaşabilirlik ve bütünleştirilebilirlikle ilişki
her yerde süreklidir. Ancak, x = 0'da türevlenemez (ama her yerde böyledir). Weierstrass'ın işlevi de her yerde süreklidir, ancak hiçbir yerde ayırt edilemez.
Türevi f ( x türevlenebilir fonksiyonu) f ( x ), sürekli olmak zorunda değildir. Eğer f ( x ) süreklidir, f ( x ) sürekli türevlenebilir olduğu söylenir. Bu fonksiyonlara grubu ifade edilmektedir Cı 1 ( ( a , b ) ). Daha genel olarak, işlevler kümesi
(açık bir aralık (ya da açık alt ve R reals için) Ω) bu şekilde ön olup , n O türevlenebilir ve bu katı , n ve inci türevi f gösterilir sürekli Cı n (w). Türevlenebilirlik sınıfına bakın . Bilgisayar grafikleri alanında, C 0 , C 1 , C 2 ile ilgili (ancak aynı olmayan) özellikler bazen G 0 (konumun sürekliliği), G 1 (teğet devamlılığı) ve G 2 (eğriliğin sürekliliği) olarak adlandırılır. ; bkz . Eğrilerin ve yüzeylerin düzgünlüğü .
Her sürekli işlev
Noktasal ve tek tip sınırlar
Bir dizi verildiğinde
gibi fonksiyonların sınırı
Tüm için var x olarak D , elde edilen fonksiyonu f ( x ) olarak ifade edilir noktasal sınırı (fonksiyonlar dizisinin f n ) n ∈ N . Sağdaki animasyonda gösterildiği gibi, tüm işlevler f n sürekli olsa bile noktasal sınır işlevinin sürekli olması gerekmez . Bununla birlikte, ön sürekli ise, tüm fonksiyonları f , n süreklidir ve dizi eşit yakınsak ile, düzgün yakınsama teoremi . Bu teorem, üstel fonksiyonların , logaritmaların , karekök fonksiyonunun ve trigonometrik fonksiyonların sürekli olduğunu göstermek için kullanılabilir .
Yönlü ve yarı süreklilik
Süreksiz işlevler, sınırlı bir şekilde süreksiz olabilir, bu da yönlü süreklilik (veya sağ ve sol sürekli işlevler) ve yarı süreklilik kavramına yol açar . Kabaca konuşursak, sınır noktasına sağdan yaklaşıldığında hiçbir sıçrama meydana gelmezse , fonksiyon sağ süreklidir . Resmi olarak, eğer aşağıdakiler geçerliyse , f'nin c noktasında sağ-sürekli olduğu söylenir : Herhangi bir sayı için ε > 0 ne kadar küçük olursa olsun, c < x < c + ile etki alanındaki tüm x için bir δ > 0 sayısı vardır. δ , f ( x ) ' in değeri tatmin edecek
Bu, yalnızca c'den kesinlikle daha büyük olan x için tutulması gerekmesi dışında, sürekli işlevlerle aynı koşuldur . Tüm yerine o gerektiren x ile c - δ < x < c kavramını verir sol sürekli fonksiyonlar. Bir işlev, ancak ve ancak hem sağ-sürekli hem de sol-sürekli ise süreklidir.
Bir fonksiyon f olduğunu alt yarı sürekli , kabaca, oluşabilecek herhangi atlayışlar sadece yukarı aşağı gitmek, ama eğer. Yani, herhangi bir ε > 0 için, bazı δ > 0 sayısı vardır, öyle ki | ile etki alanındaki tüm x'ler için . x - c | < δ , f ( x ) değeri sağlar
Ters koşul, üst yarı sürekliliktir .
Metrik uzaylar arasında sürekli fonksiyonlar
Sürekli gerçek değerli fonksiyonlar kavramı, metrik uzaylar arasındaki fonksiyonlara genelleştirilebilir . Bir metrik alan bir dizi x (adı verilen bir fonksiyon ile donatılmıştır metrik ) d X'in herhangi iki eleman arasındaki mesafe ölçümü olarak düşünülebilir, X . Resmi olarak, metrik bir fonksiyondur
Bu, özellikle üçgen eşitsizliği olmak üzere bir dizi gereksinimi karşılamaktadır . İki metrik uzay ( X , d X ) ve ( Y , d Y ) ve bir fonksiyon verildiğinde
daha sonra f noktasında sürekli c olarak X herhangi bir pozitif reel sayı £ değerinin, bir pozitif reel sayı δ şekilde tüm mevcutsa (verilen ölçümler bakımından) x de x karşılayan d x ( X , C ) 'δ olacak d Y ( f ( x ), f ( c )) <ε'yi de sağlar. Yukarıdaki gerçek fonksiyonlar durumunda olduğu gibi, bu, lim x n = c limitli X'deki her ( x n ) dizisi için lim f ( x n ) = f ( c ) değerine sahip olmamız koşuluna eşdeğerdir . İkinci durum aşağıdaki gibi zayıflatılabilir: f c noktasında süreklidir, ancak ve ancak X'deki c limitli her yakınsak dizi ( x n ) için , ( f ( x n )) dizisi bir Cauchy dizisi ise ve c arasında etki alanında f .
Metrik alanlar arasında bir fonksiyonu sürekli olduğu nokta grubu a, G δ grubu - Bu süreklilik ε-δ tarifinden gelir.
tüm x de V .
Üniforma, Hölder ve Lipschitz sürekliliği
Metrik uzaylar arasındaki fonksiyonlar için süreklilik kavramı, yukarıdaki tanımda δ'nin ε ve c'ye bağlı olma şeklini sınırlayarak çeşitli şekillerde güçlendirilebilir . Sezgisel olarak, yukarıdaki gibi bir f fonksiyonu , eğer δ c noktasına bağlı değilse tekdüze süreklidir . Daha doğrusu, her ε > 0 gerçek sayısı için δ > 0 olması gerekir, öyle ki her c , b ∈ X ve d X ( b , c ) < δ için d Y ( f ( b ), f ( c )) < ε . Bu nedenle, homojen olarak sürekli olan herhangi bir fonksiyon süreklidir. Tersi genelde tutun ama etki alanı uzay zaman tutan gelmez X'in olan kompakt . Düzgün sürekli haritalar, tekdüze uzayların daha genel durumunda tanımlanabilir .
Bir fonksiyonudur holder sürekli sabit olup olmadığını üs a (gerçek sayısı) ile K , öyle ki tüm b ve c de X , eşitsizlik
tutar. Herhangi bir Hölder sürekli işlevi eşit şekilde süreklidir. Özel durum α = 1 , Lipschitz sürekliliği olarak adlandırılır . Yani, bir sabit K varsa, eşitsizliğin
Topolojik uzaylar arasında sürekli fonksiyonlar
Diğer, daha soyut, süreklilik kavramı, metrik uzaylarda olduğu gibi, genel olarak resmi mesafe kavramının olmadığı topolojik uzaylar arasındaki işlevlerin sürekliliğidir . Topolojik uzay, X üzerinde bir topoloji ile birlikte bir X kümesidir; bu , X'in birlikleri ve kesişimleri ile ilgili olarak birkaç gereksinimi karşılayan, açık topların özelliklerini metrik uzaylarda genelleştirirken, yine de konuşmaya izin veren bir dizi alt kümedir . yakın çevre belirli bir noktanın. Bir topoloji elemanları olarak adlandırılan açık alt kümelerini ve X (topoloji ile ilgili olarak).
Bir işlev
iki topolojik uzay arasında X ve Y süreklidir, eğer her açık küme V ⊆ Y için , ters görüntü
X'in açık bir alt kümesidir . Yani f , X ve Y kümeleri arasındaki bir fonksiyondur ( T X topolojisinin elemanlarında değil ), ancak f'nin sürekliliği X ve Y'de kullanılan topolojilere bağlıdır .
Uç bir örnek: Bir X kümesine ayrık topoloji verilirse (her alt kümenin açık olduğu), tüm işlevler
herhangi bir topolojik uzaya T süreklidir. Öte yandan, X , ayrık topoloji ile donatılmışsa (burada tek açık alt kümeler boş küme ve X'tir ) ve boşluk T kümesi en az T 0 ise , o zaman tek sürekli işlevler sabit işlevlerdir. Tersine, aralığı ayrık olan herhangi bir fonksiyon süreklidir.
Bir noktada devamlılık
Bir fonksiyon , bir noktada sürekli ve tek bir mahalle için eğer V bölgesinin içinde Y , bir mahalle vardır u arasında x öyle ki f ( U ) ⊆ V .
Bu tanım, açık komşuluklarla sınırlı mahallelerle aynı ifadeye eşdeğerdir ve görüntüler yerine ön görüntüler kullanılarak çeşitli şekillerde yeniden ifade edilebilir .
Aynı zamanda, bir mahalle da bir mahalle içerir ve her set olarak en alt kümesi olup , U ve X , öyle ki f ( U ) ⊆ V , bu tanım içerisine basitleştirilmiş edilebilir:
Bir fonksiyon , bir noktada sürekli ancak ve ancak bir mahalle x her mahalle için V bölgesinin içinde Y .
Açık bir küme, tüm noktalarının komşuluğu olan bir küme olduğundan, bir işlev X'in her noktasında süreklidir, ancak ve ancak sürekli bir işlevse.
Eğer X ve Y, metrik boşluk vardır, dikkate eşdeğerdir mahalle sistemi arasında açık topları merkezli x ve f ( x ) yerine her mahallelerde. Bu, metrik uzaylar bağlamında yukarıdaki δ-ε devamlılık tanımını geri verir. Genel topolojik uzaylarda, yakınlık veya uzaklık kavramı yoktur. Bununla birlikte, hedef alanı ise Hausdorff alanı , da doğru olan ön süreklidir bir halinde ve sınır durumunda f olarak x yaklaşımlar bir olduğunu f ( a ). İzole bir noktada her işlev süreklidir.
Alternatif tanımlar
Diziler ve ağlar
Çeşitli bağlamlarda, bir uzayın topolojisi, limit noktaları açısından uygun şekilde belirtilir . Birçok durumda, bu, bir noktanın bir dizinin sınırı olduğu zaman belirtilerek gerçekleştirilir , ancak bir anlamda çok büyük olan bazı boşluklar için, bir noktanın, bir noktanın, yönlendirilmiş bir tarafından indekslenen daha genel nokta kümelerinin sınırı olduğu da ağlar olarak bilinen set . Bir işlev (Heine-) süreklidir, ancak dizilerin sınırlarını dizilerin sınırlarına götürürse. İlk durumda, sınırların korunması da yeterlidir; ikincisinde, bir işlev dizilerin tüm sınırlarını koruyabilir, ancak yine de sürekli olamaz ve ağların korunması gerekli ve yeterli bir koşuldur.
Ayrıntılı olarak, bir fonksiyon f : X → Y ise sırayla sürekli ise her bir dizisi ( x n olarak) X, bir sınır yakınsar x , dizi ( f ( x , n )) için yakınsak f ( x ). Böylece sıralı olarak sürekli fonksiyonlar "sıralı sınırları korur". Her sürekli işlev sıralı olarak süreklidir. Eğer X, a, birinci sayılabilir alan ve sayılabilir seçim , sonra tutar tersinin de geçerli: sıralı sınırlar koruyucu bir fonksiyon süreklidir. Özellikle, X bir metrik uzaysa, ardışık süreklilik ve süreklilik eşdeğerdir. İlk sayılamayan alanlar için, sıralı süreklilik, süreklilikten kesinlikle daha zayıf olabilir. (İki özelliğin eşdeğer olduğu alanlara sıralı uzaylar denir .) Bu, genel topolojik uzaylarda diziler yerine ağların dikkate alınmasını motive eder. Sürekli işlevler ağların sınırlarını korur ve aslında bu özellik sürekli işlevleri karakterize eder.
Kapanış operatörü tanımı
Bunun yerine, bir topolojik alanının açık alt kümelerini belirtme, topoloji da belirlenebilir kapanış operatörü (gösterilen cl) hangi atar herhangi bir alt kümesi bir ⊆ X onun kapatma veya bir iç operatör (gösterilen int), herhangi bir alt kümesi için hangi atar bir bölgesinin X kendi iç . Bu terimlerle bir işlev
topolojik mekanlar arasında anlamda kesintisiz yukarıda ancak ve ancak tüm alt-gruplar için ise A ve X
Yani, herhangi bir A alt kümesinin kapanışında bulunan X'in herhangi bir x öğesi verildiğinde , f ( x ) f ( A ) kapanışına aittir . Bu gereksinimi denk olduğunu tüm alt kümeleri için A 've X '
Dahası,
süreklidir ancak ve ancak
herhangi bir alt kümesi için , A' ve Y .
Özellikleri
Eğer f : X → Y ve g : Y → Z süreklidir, o zaman bileşimdir g ∘ f : X → Z . Eğer f : X → Y süreklidir ve
- X, bir kompakt , daha sonra f ( X ) kompakttır.
- X, bir bağlanmış , daha sonra f ( X bağlanmıştır).
- X, bir yol bağlı sonra, f ( x ) yolu bağlantılıdır.
- X, bir Lindelöf sonra, f ( x ) Lindelöf olup.
- X, bir ayrılabilir , sonra f ( X ) ayrılabilir.
Sabit bir dizi olası topolojileri X vardır kısmi sıralı : τ bir topoloji 1 olduğu söylenir kaba τ bir topoloji daha 2 (işaretlerle: τ 1 ⊆ τ 2 ) t alınmak göre her açık alt kümesi ise 1 , aynı zamanda göre açık olan τ 2 . Ardından kimlik haritası
- kimlik X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 )
ancak ve ancak τ 1 ⊆ τ 2 ise süreklidir (ayrıca topolojilerin karşılaştırmasına bakınız ). Daha genel olarak, sürekli bir işlev
Homeomorfizmler
Sürekli harita kavramına simetrik , açık kümelerin görüntülerinin açık olduğu açık bir haritadır . Aslında, açık bir harita f'nin bir ters işlevi varsa , bu ters süreklidir ve sürekli bir harita g'nin bir tersi varsa, bu tersi açıktır. İki topolojik uzay arasında bir önyargı fonksiyonu f verildiğinde , ters fonksiyon f −1'in sürekli olması gerekmez. Sürekli ters işleve sahip bijektif sürekli işleve homeomorfizm denir .
Sürekli işlevler aracılığıyla topolojilerin tanımlanması
Bir işlev verildiğinde
burada X, bir topolojik alan ve S , (belirli bir topoloji olmadan) bir dizi son topolojisi ile S açık kümeleri izin tanımlanır S olduğu alt kümelerini bir bölgesinin S olan f -1 ( A ) daha açık X . Eğer S varolan topoloji vardır, f Bu topoloji açısından süreklidir ancak ve ancak mevcut topoloji ise kaba üzerinde son topoloji daha S . Böylece, son topoloji, f'yi sürekli kılan S üzerindeki en iyi topoloji olarak karakterize edilebilir . Eğer f olduğu örten , bu topoloji kanonik özdeşleşen bölüm topoloji altında denklik ilişkisi ile tanımlanan f .
İkili olarak bir işlev için f bir seti S topolojik alanı için X , ilk topolojisi ile S açık set olarak her alt küme belirlenmesinden ile tanımlanır A ve S böyle bir açık alt-grup için , U ve X . Eğer S mevcut bir topolojiye sahipse, ancak ve ancak mevcut topoloji S üzerindeki ilk topolojiden daha ince ise f bu topolojiye göre süreklidir . Bu nedenle, ilk topoloji, f'yi sürekli kılan S üzerindeki en kaba topoloji olarak karakterize edilebilir . Eğer f enjekte edildiyse , bu topoloji kanonik olarak S'nin alt uzay topolojisi ile tanımlanır ve X'in bir alt kümesi olarak görülür .
Bir S kümesi üzerindeki bir topoloji, tüm sürekli fonksiyonların sınıfı tarafından tüm topolojik X uzaylarında benzersiz bir şekilde belirlenir . İkili olarak benzer bir fikir haritalara uygulanabilir
İlgili kavramlar
Diğer çeşitli matematiksel alanlar, süreklilik kavramını farklı, ancak ilişkili anlamlarda kullanır. Örneğin, sipariş teori , bir sipariş koruyucu fonksiyonu f : X → Y, özel tipleri arasında kısmen sıralı küme X ve Y, bir sürekli , her yönlendirilmiş bir alt kümesi için, eğer A ve X , biz (sup sahip f ( A )) = f ( sup ( A )). Burada sup sup içinde orderings göre X ve Y , sırasıyla. Bu süreklilik kavramı, kısmen sıralı kümelere Scott topolojisi verildiğinde topolojik süreklilikle aynıdır .
içindeki nesnelerin herhangi bir küçük diyagramı için (yani, bir sınıfın aksine bir set I tarafından indekslenmiş ) .
Ayrıca bakınız
- Yön koruyucu fonksiyon - ayrık uzaylarda sürekli fonksiyonun bir analoğu.
Notlar
|Wikimedia Commons, Süreklilik (işlevler) ile ilgili medyaya sahiptir .|