Kuyucu Murat Paşa'nn doğum tarihi bilinmemektedir. Rumeli'den devşirme olarak alınıp İstanbul'a getirildi. Enderun mektebinde eğitim alarak İslam terbiyesi ile yetiştirildi.
Saraydan ilk olarak 1554 senesinde Mısır Valisi Mahmut Paşa'ya kethüdalık göreviyle çıktı. Mısır'da başarılı hizmetlerde bulunan Murat Paşa kısa sürede yeteneğiyle dikkat çekti. Sonrasında kendisine Sancakbeylik ve Emir-i Hac'lık vazifesi verildi. 1569 yılında Mısır Beylerbeyi Koca Sinan Paşa ile Yemen'in fethine katıldı. Buraya önce vali, sonrasında beylerbeyi olarak tayin edildi.
Yemen beylerbeyiyken imar faaliyetlerinde bulunup Sana Kasrı'nda bir cami ve Nakim Dağı'ndan su getirme tesisleri kurdu. Bu dönemde İstanbul'a çağrıldı ve Şarkikarahisar Sancakbeyi oldu. Sonrasında çeşitli vilayetlerde görev aldı.
1585 senesinde Karaman Beylerbeyi iken, Özdemiroğlu Osman Paşa'nın komutasında Tebriz Seferine katıldı. Tebriz civarındaki savaşın en kritik anında atı ile birlikte savaş meydanındaki kuyuya düştü. Hamza Mirza kumandasındaki Safevi kuvvetlerince esir alınıp hapsedildi. 1590 yılı Osmanlı-Safevi Antlaşmasına kadar İran'da kalan ve atıyla kuyuya düşmesinden dolayı ''Kuyucu'' lakabı verilen Murat Paşa, İstanbul'a gelip, Kıbrıs Beylerbeyliği'ne tayin edildi.
Murat Paşa Haçova Meydan Muharebesi'nde büyük yararlıklar gösterdi. Uzun seneler Macaristan cephesinde hizmet etti. Cephedeyken bazı sulh müzakerelerinde bulundu. I. Ahmet Osmanlı tahtına oturunca Kuyucu Murat Paşa 1603 senesinde Budin muhafazasına memur edildi. 1605 senesinde Divan-ı Hümayunda dördüncü vezir oldu. Bu dönemde İran'daki Safevi Devleti'nin kışkırtmaları sonucu Anadolu ve Kuzey Suriye'deki isyanlar tehlikeli bir hal almaya başlamıştı. Anadolu isyanları ve İran meselesi için Ferhad Paşa serdar tayin edildi.
Kuyucu Murat Paşa 13 Mayıs 1606 tarihinde Engürüs Serdarı oldu. 1593 senesinden beri devam eden Avusturya Savaşı'na son veren Zitvatoruk Antlaşmasını imzaladı. Murat Paşa Rumeli'ndeyken, Osmanlı Devleti için en büyük tehlike İran meselesi ile Anadolu ve Suriye taraflarındaki isyanlardı. ''Celali İsyanları'' ismi verilen, devlet içinde orduya bile sahip olan asileri cezalandırmak için Şeyhülislam Sunullah Efendi'nin önerisi ile 1606 yılında Murat Paşa sadrazam tayin edildi. Sadaret mührünü Belgrad'da alan Murat Paşa, İstanbul'a geldi.
Osmanlı Devleti'nin 1593 senesinden beri Avrupa cephesinde savaşlarla meşgul olmasını fırsat bilen İran-Safevi Devleti, Anadolu ve Kuzey Suriye'de karışıklıklar çıkardı. Murat Paşa, Kuzey Suriye'de Derezi (Dürzi) bir hükumet kurmuş olan Canbolatoğlu Ali Paşa üzerine 1607 senesinin Temmuz ayında İstanbul'dan hareket etti. Kuyucu Murat Paşa, Canbolatoğlu'na karşı Maraş Beylerbeyi Zülfikar Paşa'dan destek kuvvetler aldı. Daha sonra harekete geçerek İskenderun yakınlarındaki Oruç Ovası'nda mevzilenmiş olan asi kuvvetlerini bozguna uğrattı. Canbolatoğlu ve Lübnan Derezi Lideri Maanoğlu Fahreddin ile bütün Dürzi kabile reislerinden canlarını kurtarabilenler kaçtı.
Sonrasında Halep'i ele geçiren Murat Paşa, isyancıları bölgeden temizledi. Bağdat'daki Taviloğlu Mustafa üzerine Cağalazade Mahmut Paşa komutasında ordu gönderip, onu kaçırttı. Murat Paşa Halep'teyken Kalenderoğlu 30.000 kişilik Celali ordusuyla İstanbul'u tehdit etti. Kalenderoğlu'nun yanında birçok Celali elebaşısı ve başıbozuk da vardı. Murat Paşa; İçel'deki Musli Çavuş'un Kalenderoğlu ile birleşmesini önlemek için ona İçel Sancakbeyliğini verip, Maraş ve Göksun'dan yeni kuvvetler aldı. Kalenderoğlu, İstanbul'dan gönderilen bir miktar Osmanlı hazine ve kuvvetlerini almak için Göksun Boğazı'nı kapamak istedi.
Murat Paşa daha önce hareket ederek Boğaz'ı tuttu. Burada iki taraf arasında büyük bir savaş meydana geldi. Muharebenin en şiddetli anında Murat Paşa'nın hendeklere sakladığı yeniçerileri meydana çıkarıp hücuma geçirmesi üzerine Kalenderoğlu birliği bozguna uğradı. İsyancılar İran'a sığınmak için Doğuya doğru kaçmaya başladı. Eylül 1608 tarihinde Şarkikarahisar'da toplanan binlerce Celali imha edildi. Anadolu asilerden temizlenince Murat Paşa, 1608 senesi sonunda İstanbul'a geri döndü.
Murat Paşa Osmanlı Devleti'nin içinde huzuru bozan asileri ortadan kaldırdı. Ayrıca Üsküdar Seferi denilen 15 Haziran 1609'daki harekatla Musli Çavuş ile Yusuf Paşa gibi asileri ve bunlarla işbirliği yapanları idam etti. 1610 senesinde İran-Safevi Devleti üzerine sefere çıktı. Bunun üzerine Safevi Şahı Abbas anlaşma yapmak üzere elçiler gönderdi. Murat Paşa Tebriz önlerine geldiğinde sefer mevsimi geçtiğinden, kışı geçirmek için Diyarbakır'a çekildi.
Kuyucu Murat Paşa İran üzerine sefer hazırlıkları yaparken 6 Ağustos 1611'de doksan yaşlarında Diyarbakır'da hayatını kaybetti, İstanbul'da yaptırdığı medresenin bahçesindeki türbesine defnedildi.