2Empirik Bilgi : Sonuçları deneye dayalı olarak bulunan bilgidir Empirik Bilgi : Sonuçları deneye dayalı olarak bulunan bilgidir. Postulat : Doğru olduğu kabul gören ancak bunu kanıtlamanın mümkün olmadığı önermelere denir. Sav : İleri sürülerek savunulan düşünce, iddia, dava. Apriori Bilgi : Bilginin gerçekte matematik alanında elde edilebilir olduğu varsayılan bilgi. Önerme : Doğru veya yanlış yargı bildiren cümle. Tümdengelim : Genel yargılarda akıl yolu ile tek tek sonuçlar çıkarılmasına dayanan akıl yürütme biçimi. Tümevarım : Tek tek deney ve gözlemlerden akıl yolu ile genel ilkelere ulaşmaya yönelik bir akıl yürütme biçimi. Aksiyomatik : Temel bir gerçeği kimliklendiren bir önerme. Uslamlama : Bilinen önermelerden bilinmeyen önermeleri çıkarmayı dile getirir, bir değişle bir takım önermelerden mantıksal önermeler çıkartmak ve bunlardan yeni önermeler çıkartmaktır.
3MISIRLILAR VE YUNANLILAR Eski uygarlıklarda özellikle Mısırda arazilerin sınır çizgilerinin yerinin planını çizmek için ölçüm yapmak önemli bir işti.Her yıl Nil’in taşan suları,önceki yılın sınır işaretlerini silerek bereketli toprakları sular altında bırakıyordu.Bu nedenle her yıl Mısırlılar yeni baştan tarlaların ana hatlarını çizmek zorunda kalıyorlardı.Mısırlılar,her yıl bu sınırların planını çizmede ustalaşmışlar ve çizgiler,açılar ve şekillerle ilgili birçok kullanışlı ilkeleri örneğin, bir üçgenin üç açısının toplamının iki dik açıya eşit olması kuralı ve bir paralel kenarın alanının aynı yükseklik ve uzunluğa sahip bir dikdörtgenin alanına eşit olması kuralı gibi keşfedip kullanmak zorunda kalmışlardı.Eski Mısırlılar bu ilkelere muhtemelen, gözlem ve deneyle varmış olmalılar yani tümevarımsal uslamlamayla.Örneğin üç açının toplamının iki dik açıya eşit olmasını bulmaları yani parçadan bütünü görme.
4Mısırlıların, mimari tasarımın ve inşaat mühendisliğinin problemlerinde olduğu gibi, tarlaların karşılaştırmalı büyüklükleri ve sınır çizgilerinin yerleri hakkındaki problemleri çözmede onlara yardım eden noktaların, çizgilerin ve şekillerin bir deneysel bilgisini toplamayla tatmin olmuş oldukları gözüküyor. Yunanlılar, Mısırlıların ne yapabildiğini gördüler ve onların deneysel ilkelerinden bilgi sahibi oldular. Bu bilgiye Yunanlılar geometri yani yeryüzünün ölçümü adını verdiler. Fakat Mısırlılardan farklı olarak Yunanlılar, geometriye yalnızca onun pratik yararlılığı açısından değil aynı zamanda onun kuramsal alakasından dolayı çok önem verdiler; geometriyi, geometrinin kendisi için anlamayı istediler. Ve deneysel yaklaşımla tatmin olmadılar; bütün geometri uygulamalarının altında yatan, uzamın genel yasalarının katı tümdengelimsel ispatlarını bulmayı istediler. Bazı Yunanlı filozoflar, özellikle Pisagor ve Platon, geometriye çok daha entelektüel öneme sahip bir şey olarak baktılar. Çünkü onun saflığı ve soyutluğu onlara, bir din metafiziğiyle akrabalığa sahip gözüktü. Sonra yaklaşık M.Ö. 300de Öklid klasik kitabı Öğeler'i (Elements) yazdı. Bu kitapta o, kendinden öncekilerin bütün ana geometrik keşiflerini sistematik bir biçimde bir araya getirerek sundu.
5ÖKLİD’İN İŞLEMİ Öklid’in işlemlerinin ayırıcı özellikleri şunlardır: Öklid daima geometrik yasalarını evrensel bir biçimde formüle etmiştir.Öklid’in yasaları daima, asla yaklaşımlar olarak nitelendirilmeyen mutlak ve katı bir biçimde anlatılır. Örneğin der ki; her üçgenin açılarının toplamı daima iki açıya eşittir. Bunu o, yaklaşık olarak veya genellikle doğru olduğunu söyleyerek nitelendirmiyor katı ve mutlak katı doğru olan bir şey olarak sunuyor.Öklid bu yasaların bir çoğunun yalnız içeriğini vermiyor onları; ispatlıyor da.Öklid’in kitabının bütünü sistematik bir biçimde düzenlenmiş ispatlardan oluşur.İspatları tümevarımsal değil, tümdengelimsel ispatlardır. Öklid bu ispatlarla sonuçlarını, mutlak mantıksal zorunluluğun katılığı ile kurmaya çalışır.
6Fakat onlar ne ölçüde ispatlanabilirler? Bir ispat, bir sonucun doğru olduğu zaten bilinen öncüllerden mantıksal olarak çıktığını göstermekle, o sonucu kurma yönünde ilerleyen bir uslamlama zinciridir. Eğer ispatın dayandığı bir temele hizmet eden öncülleri zaten bilmiyorsak, ya da onlardan biriyle başlamıyorsak, bir ispata sahip olamayız. Ve eğer, noktalar, çizgiler, şekiller ve buna benzer şeyler hakkındaki geometrik yasalardan biri olan öncüllerden başlayamıyorsak, herhangi bir geometrik sonucun nasıl ispatlandığını görmek zordur. Öklid kesinlikle düşündü ki, geometrik öncüller, geometrik sonuçların kurulması için vazgeçilmezdir. Varsayın ki bir geometrik sonuç, yalnızca, en azından geometrik olan bazı öncüllerin temelinde ispatlanabilir demekteyiz. Bu,her geometrik yasayı ispatlamayı beklemememiz gerektiği anlamına mı gelmektedir? Eğer bazı geometrik yasalardan başlamış olsaydık, onlardan diğerlerini çıkarsaydık, sonra yine bunlardan diğerlerini çıkarsaydık ve sonuçta bu sonrakilerden orijinal yasalarımızı çıkarsaydık ne olurdu?
7Şüphesiz bu yapılabilirdi; şüphesiz her bir geometrik yasa diğer geometrik yasalardan çıkarsanabilir. Öyleyse bu, onların hepsini ispatlayamayacağımız anlamına mı gelecekti? Elbette yanıt hayırdır, çünkü böyle varsayılan her ispat, bir çembersel uslamlamanın hatasına düşecekti (yasayı ispatlanmış kabul ederek). Çembersel uslamlama bir ispat değildir, çünkü böyle bir uslamlama kendi sonuçlarının doğruluğunu kurmada başarılı değildir. Hatırlamalıyız ki, tümdengelim ispatla aynı değildir: Öncüllerden bir sonucu çıkarsama, yalnızca eğer öncüller zaten doğru olarak biliniyorsa sonucun bir ispatını verme sayılır. ("Bütün domuzların uçtuğu" sonucunu, "bütün domuzlar memelidir ve bütün memeliler uçar" öncülünden yeterince kolay bir şekilde çıkarsayabiliriz. Fakat bu bütün domuzların uçtuğunu ispatlamada düpedüz başarısızdır.)
8Böylece öyle gözüküyor ki, bazı geometrik yasalar, eğer diğerleri ispatlanacaksa, ispatlanmadan bırakılmalıdır. Yani geometrinin yasaları iki gruba bölünmek zorundadır: Bir yanda ispatlanmayacak, ama öncüller olarak alınacak yasaların bir küçük grubu olacak; öte yanda, her biri bu temel öncüllere başvurmayla kesinkes ispatlanacağını umduğumuz diğer geometrik yasaların sonsuz geniş bir grubu olacak. Öklid'in Öğeler'i yasaların bu ilk grubuna "postulatlar" adını verir: Bunlar, Öklid'in doğru olarak baktığı, ispatlamaya niyet etmediği fakat diğer geometrik yasaların ispatları için kullanacağı, çizgiler, açılar, şekiller hakkındaki yasalardır. İspatlanacak bu yasalara "teoremler" adı verilir (veya daha eski moda terminolojide, basitçe "önermeler" adı verilir).
9ÖKLİD’İN POSTULATLARI Öklid'in, aslında kendi sisteminde verdiği beş postulata bakalım. Aşağıda verilen postulatlardan şöyle bahseder:Herhangi bir noktadan diğer herhangi bir noktaya düz bir çizgi çizilebilir.Herhangi sonlu düz bir çizgi, bir düz çizgide daimi olarak uzatılabilir.Verilen herhangi bir nokta ve uzunluk için, o noktayı merkez alan ve yarıçap uzunluğu o uzunluk olan bir çember çizilebilir.Bütün dik açılar birbirine eşittir.Eğer bir düz çizgi, diğer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, şu halde iki düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduğu ilk çizginin aynı kenarında kesişirler.
10Öklid'in ilk üç postulatı açık kılacaktır ki, o, yeryüzünün ölçümünün somut problemleri gibi herhangi edimsel bir şeyi doğrudan tartışmamaktadır; çünkü incelenen edimsel olgu altında, her noktadan diğer her noktaya düz bir çizgi çizileceği doğru değildir. Engeller (dağlar, deniz, yabancı bir ülkenin sınırı) sık sık bunu önler.Fakat elbette Öklid bütün bunları biliyordu; o, basitçe bu pratik sınırlamalarla ilgilenmedi. Onun kavramsallaştırması ilkece, bir düz çizginin, herhangi iki nokta arasına edimsel olarak yapabilelim ya da yapamayalım çizilebileceğine dair bir kavramsallaştırmadır. Böylece Öklid'in kavramsallaştırması, içinde hiçbir mutlak engelin olmadığı ve çevresinde hiçbir mutlak dış sınırın olmadığı bir uzayın kavramsallaştırmasıdır.Öklid'in dördüncü postulatı bilmecemsi gözükebilir, Eğer iki açı birlikte dik açıysa, şu halde elbette eşit oldukları gözükmektedir; Öklid neden bu postulata gerek duydu? Çünkü o bildirim, yalnızca mantıksal formu yüzünden doğrudur; bir mantık doğruluğudur, bir geometri doğruluğu değil. Buna rağmen Öklid'in kavramsallaştırması, eğer açı, bir düz çizginin diğer düz çizgi üzerine bitişik açıları eşit kılacak bir şekilde ayarlanmasıyla elde edilen bir açı ise, bu, açının bir dik açı olduğuna ilişkin bir kavramsallaştırmadır.
11Böylece, dördüncü postulat, Öklid'in anladığı gibi salt kendi mantıksal biçimi yüzünden doğru değildir ve Öklid daha sonra onu kendi ispatlarında kullanacağından, onu açıkça bir postulat olarak belirtmek gerekmektedir. Beşinci postulat, öncekilerden çok daha karmaşık bir yasadır. Onun anlamı bir şekil aracılığıyla betimlenebilir.
12Varsayın ki AA', BB' ve CC' gibi üç düz çizgiye sahibiz Varsayın ki AA', BB' ve CC' gibi üç düz çizgiye sahibiz. Postulat bize der ki, eğer AA', hem BB' hem de CC' ü keserse ve CEA ve BDA' açılarının toplamı iki dik açıdan az olacak bir şekilde olursa ve şu halde BB' ve CC' eğer yeterince uzatılırsa, ilerde bir yerde birbirlerini keseceklerdir.
13ÖKLİD’İN AKSİYOMLARI VE TANIMLARI Öklid için aksiyomlarla Postulatlar arasındaki temel fark, postulatlar özellikle geometrinin konusu olan nesneler (çizgiler, açılar, şekiller ve diğerleri) hakkında konuşurken, aksiyomlar özel olan geometrik herhangi bir şeyden konuşmaz, daha genel olandan konuşur gözükür. Aksiyomlar, geometrinin yanı sıra birçok konunun tartışmasında kullanılan bir kavram olan büyüklüğün eşitliğiyle ilişkilidirler. Öklid'in aksiyomları şunlardır:Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler.Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse, toplamlar eşit olur.Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar eşit olur.Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir.Bütün parçasından büyüktür.
14Eğer bir kişi büyüklük hakkındaki aksiyomlardan kuşku duymuş ya da reddetmiş olsaydı, böylece kendini pratik olarak tüm ciddi entelektüel konular hakkında düşünmede mesnetsiz bırakmış olacaktı; çünkü bütün konular veya hemen hemen bütün konular şu ya da bu şekilde büyüklük kavramıyla çalışır. Öklid, bu geometrik yasalarda yer alan terimlerin her birinin anlamını yeterince sabitlemek için, bu terimlerle sistematik bir şekilde ilgilendi. Her bir terimin anlamının yeterince sabitlendiğinden emin olma isteği ve kısmen saf bir açıklık isteğinden dolayı bütün terimlerin kullanılmadan önce tanımlanması, Öklid yönteminin ana noktasını oluşturur. Fakat bu amaç yine kısmen, teoremlerin ispatında mantıksal hataları önlemeye de yardım eder; çünkü tanımlanmamış terimlerin habersizce teoremlerimize girmesine izin verirsek, bu engellenemez bir şekilde bu terimleri içeren yeni ve çürük öncüllerin uslamlamamıza habersizce sızmasına izin vermek olacaktır sonuçta, sonuçlarımızı olması gerekenden daha az öncülden çıkarıyor olmak gibi bir yanlış yapmış olacağız.
15Öğeler’in I. Kitabının başlangıcında yer alan bazı tanımlar aşağıdadır: Nokta, parçası olmayandır.Çizgi, genişliği olmayan uzunluktur. Düz çizgi, kendi üzerindeki noktalarla bir hizada uzanan bir çizgidir.Yüzey, uzunluğa ve genişliğe sahip olandır. Düzlem yüzey, kendi üzerindeki düz çizgilerle bir hizada uzanan yüzeydir.Düzlem açı, ikisi de bir düz çizgide uzanmayan ve birbirleriyle bir düzlemde karşılaşan iki çizginin birbirleriyle kurdukları eğimdir.Bir düz çizgi, diğer bir düz çizgi üzerine bitişik açılar birbirlerine eşit olacak şekilde dikildiğinde, eşit açılardan her birine dik açı adı verilir ve diğerinin üzerinde dikilen düz çizgiye dikey adı verilir.Şekil, herhangi bir sınır ya da sınırlar tarafından kapsanan şeydir.Çember, bir çizgi tarafından kapsanan bir düzlem şeklidir, öyle ki, şeklin içinde uzanan düz çizgiler arasındaki bir noktadan çizgi üzerine düşen tüm düz çizgiler birbirine eşittir.Paralel düz çizgiler, aynı düzlemde yer alan ve hiçbir yönde birbirleriyle buluşmayan her iki yönde de sonsuzca uzatılabilen düz çizgilerdir.
16ÖKLİD’İN TEOREMLERİPostulatlar, aksiyomlar ve tanımlar, Öklid'in ispatları için başlangıç noktası sağlarlar. Öğeler'de ispatlanan şeyler iki türdendir. Bazıları evrensel yasalardır: Örneğin 1. Kitabın 4. önermesi der ki "Eğer iki üçgenin karşılıklı olarak iki kenarı birbirine eşit ise ve eşit kenarlar tarafından kapsanan açılar eşit ise, tabanlar ve üçgenler eşit olacak ve eşit kenarların karşısında bulunan kalan açılar karşılıklı olarak kalan açılara eşit olacaktır" Buna rağmen evrensel yasalar olarak formüle edilmemiş, fakat daha çok uygulanacak görevler olarak ifade edilmiş diğer teoremler vardır. Bu uygulanacak görevlerin tarifesi, teoremin ispatını olanaklı kılacak şekilde verilir ve bu tarifenin uygulanmasıyla teoremin ispatı gerçekleşmiş olur Öklid yöntemine kısa bir bakış elde etmek için, onun I. Kitabın 1. Önermesini ele alışına bakalım.
17Verilen sonlu bir düz çizgiden bir eşkenar üçgen oluşturmak üzere AB gibi sonlu düz bir çizgi alalım AB gibi sonlu düz bir çizgi alalım. Böylece istenen, AB düz çizgisi üzerinde eşkenar üçgen oluşturmak olsun. A merkezli ve AB yarıçaplı BCD çemberi çizilsin.Yine B merkezli BA yarıçaplı ACE çemberi çizilsin; ve C noktasından çemberlerin birbirini kestiği yerden, A ve B noktalarına düz çizgiler CA ve CB çizilsin.Şimdi A noktası CDB çemberinin merkezi olduğundan AC, AB'ye eşittir.Yine B noktası, CAE üçgeninin merkezi olduğundan BC, BA'ya eşittir.Fakat CA'nın da AB'ye eşit olduğu ispatlandı; dolayısıyla CA, CB düz çizgilerinin her biri AB'ye eşittir .Ve CA, CB'ye eşittir. Dolayısıyla CA, AB, BC düz çizgileri birbirlerine eşittir. Sonuç olarak ABC üçgeni eşkenardır ve verilen sonlu düz çizgi AB üzerine kurulmuştur.
18TÜMDENGELİMSEL SİSTEMLERİN MODERN BİR BAKIŞI Öklid'in sistemini örgütleyişinin temel şekli hakkında biraz daha düşünelim. Öklid, kendi şemasında, ispatlanmamış postulatlara açıkça ihtiyaç duymuş olmasına rağmen, tanımlanmamış terimlerin de olması gerektiğine inanmadığı gözükmektedir. Öğeler, tanımlanmamış terimler listesini içermemektedir, fakat tersine, Öklid kullandığı bütün terimleri tanımlamaya teşebbüs etmiştir. Öklid'in postulat ve teoremlerinde yer alan terimler, gerçekte sisteme ait olmayan (yani, postulat ve teoremlerde yer almayan) diğer terimlerin aracılığıyla kısmen açıklanır. Bu tanımlar Öklid'in ispatlarında Öklid tarafından kullanılmamıştır. Diğer birçok tanım onun sistemindeki bazı terimleri yine sistemde yer alan diğer terimlerle açıkça bir ilişkiye sokar.
19Daha modern bir bakış açısından diyebiliriz ki, bunun gibi bir sistem göz önüne getirildiğinde, başlangıçta verilmesi gereken ve açık kılınması gereken iki temel karar vardır. Birinci karar, terimlerle ilişkilidir. Eğer sistematikleştirdiğimiz konu geometri ise, onda yer alan bütün terimler dizisine göz atmalıyız ve ilkel terimlerimiz olarak hizmet edecek olanların bir listesini seçmeliyiz. Bu terimlerin hangilerinin, organize edilmiş tekil sistemde ilkel olarak sayılabileceğine karar vermeliyiz. Doğal olarak, ilkel terimlerin listesi böylece bize, konunun diğer terimlerinin bütününün veya bir çoğunun tanımlanmasına izin vermiş olacaktır. İkinci temel karar, aksiyomlar veya postulatların seçimiyle ilgili olarak verilmelidir. Öklid'in aksiyomlar ve postulatlar arasındaki ayrımı, "aksiyom" ve "postulat" sözcüklerini genellikle birbirinin yerine konulabilir olarak kullanan modern yazarlar tarafından korunmaz. Bu ikinci kararı vermede, bizim ilkel ve tanımlı terimlerimizi kullanarak ifade edilebilen yasaların bütününü düşünürüz ve kendilerinden teoremlerimizi ispatlayacağımız, ispatlanmamış varsayımlarımız olarak hizmet edecek olan bunların sınırlı bir listesini seçeriz. Bu ispatlanmamış varsayımların tümüne aksiyomlar adı verilir.
20AKSİYOMATİKLEŞTİRME GÜDÜSÜ Öğeler'de Öklid, halihazırda bilinen yasaların sağlamış olduğu katılığı artırarak, noktalar, çizgiler ve şekillere dair bilgimizi kuvvetlendirmeyi amaçlamıştır; aynı zamanda yeni ve şimdiye kadar bilinmeyen yasaları ispatlayarak bu bilgiyi genişletmeyi de amaçlamıştır. Öklid, sistematik tümdengelimsel bir biçimde geometriyi kurmayı çabalar, çünkü o böyle yapmakla, ispatlarının katılığını artırdığı gibi, yeni yasaları ispatlamayı da kolaylaştırır.Aksiyomların ve teoremlerin bu tümdengelimsel kuruluşu aynı zamanda, diğer bir amaca, şık ve kavrayışlı bir biçimde geometrinin yasalarını göstermeye, onlar arasındaki mantıksal bağları sergilemeye hizmet eder.
21Gerçekte, hem ilkel terimlerin kümesinin seçimi açısından hem de aksiyomların kümesinin seçimi açısından çalışmada birbirine karşıt sıkıntılar vardır. Bir yandan, bu kümelerin seçiminde, olanaklı olduğu ölçüde ekonomik olmak arzu edilen bir durumdur; aksiyomlar ve ilkel terimler listesi daha basit olan bir sistem, daha şıktır. Öte yandan, ne ilkel terimler listemiz ne de aksiyomlar listemiz keyfen çok kısa tutulabilir.Tanımları, sistemin tümdengelimsel gücünü artırmak için kullanırız. Daha geniş bir sözlük kullanmakla, ilkel terimlerin ve aksiyomların listesini ekonomik olarak korurken, ilkel terimlerin yanı sıra diğer terimleri içeren teoremleri ispatlayabiliriz. Bu tanımlara ilişkin ne istenebilir? Öklid bir dik açıyı tanımladığında, doğru bir tanım veriyor muydu? Bazı kişiler belki de "90 derecenin eşitinin" bir dik açının daha iyi bir tanımı olduğunu düşünmeyecekler miydi? Burada yine modern bir bakış açısının, bunun gibi bir terimin çok farklı ve eşit oranda meşru tanımları olabileceğine ilişkin bir bakışı vardır.
22A PRİORİ BİLGİ OLARAK GEOMETRİ Öklid'in geometri sistemi çok yüksek önemde bir entelektüel başarıydı, fakat filozoflar için ciddi problemler doğurdu. Öklid'in noktalar, çizgiler ve şekiller hakkındaki teoremlerine, onun postulatlarının sırf mantıksal sonucu olarak bakılabilir gözükmektedir. Fakat postulatların konumu nedir? Onlar doğru olduklarını bilebileceğimiz doğruluklar mıdır? Eğer öyleyse, empirik doğruluklar mı yoksa a priori doğruluklar mıdır? Onlar ne türden bir bilgidirler ve onların doğru olduklarını nasıl bilebiliriz? Öklid'in kendisi basit bir tarzda geometri yapmıştı, geometrinin anlamı ile ilgili bu gibi felsefi sorular hakkında yazmamıştı. Fakat hem eski hem modern filozoflar bu konularla bizzat ilgilendiler; ve en azından on dokuzuncu yüzyıla kadar, temel bazı noktalar hakkında uyuşmakta kendi aralarında önemli bir ölçüt vardı.
23Öklid'in ilkelerinin, doğruluğu ya da yanlışlığı olmayan boş formüller olduğuna dair bir öneriyi saçma olarak düşünmüşlerdir. Onlar geometriye, konusu, noktalan, çizgileri, şekilleri vb... içeren bir bilim olarak baktılar; ve noktalar, çizgiler ya da şekiller hakkında bir şey söylemek, doğru ya da yanlış olan bir şey söylemektir.Öklid'in geometrisi, mükemmel olarak doğru ve sağlam olan bir bilginin, uzamın doğası hakkındaki bilimsel bir bilginin gövdesi olarak kabul edildi. Ayrıca, düşünürlerin büyük bir çoğunluğu, geometrik bilginin empirik olmayan a priori bir bilgi olduğu hakkında uyuşmuşlardı. Onlar, Öklid'in postulatları ve teoremlerini ileri sürmenin, duyu deneyinin desteğine ihtiyacı olmayan zorunlu olarak doğru olan bildirimler yapmak olduğunu; buna rağmen onları reddetmenin, duyu deneyiyle temellendirilmesine gerek olmadan ve zorunlu olarak yanlış olan bildirimler yapmak olacağını kabul etmişlerdi.
24Platon, bu konu üzerine çarpıcı bir sav ileri sürdü Platon, bu konu üzerine çarpıcı bir sav ileri sürdü. O, bizim geometrik doğruluklara ilişkin bilgimizin, duyu deneyinden gelen delil üzerine dayandırılamayacağını savundu. Çünkü duyular ile asla mükemmel noktalar, düz çizgiler ya da şekillerin bilgisini elde edemeyiz. Asla noktaları görmüyoruz; gördüğümüz parçaları olan noktalardır. Asla düz çizgileri görmüyoruz; gördüğümüz, daima biraz genişlikli ve daima bir parça eğri çizgilerdir. Asla mükemmel bir çember veya mükemmel bir eşkenar üçgen görmüyoruz; çünkü gördüğümüz şekiller asla mükemmel genişliksiz çizgilerden yapılmamıştır, ne de mükemmel olarak orantılıdır. Dolayısıyla, geometrik bilgi, duyusal gözlemlerden gelen delil üzerine dayanan bilgi olamaz; çünkü böyle bir delil yoktur. Eğer bu sav doğru ise, geometrik bilgi empirik olmayan a priori bilgi olmalıdır.Platon'dan sonra birçok filozof, Platonun düşünme çizgisinden derinden etkilendiler. O'nun savı, buna rağmen, inandırıcı değildir. Şunun için, Platon'un, noktaların, çizgilerin ve şekillerin asla mükemmel örneklerini gözlemleyemeyeceğimize ilişkin iddiasının doğru olduğu açık değildir.
25Dahası, eğer gerçekte var olan mükemmel bir düz çizgiye ilişkin herhangi bir şeyi asla gözlemlememiş olsaydık bile, yine de bu, noktalar, çizgiler ve şekillere ilişkin bilgimizin empirik bilgi olamayacağını ispatlamamış olurdu. Bu durum bilimde, örnekleri gözlemlenmemiş şeylere ilişkin yapılan empirik bildirimler için, yaygın olmayan bir şey değildir. Kant, noktalar, çizgiler ve şekiller hakkındaki Öklid'in postulatlarının ve teoremlerinin empirik olamayacağını, çünkü empirik genellemelerden çok farklı olduğunu ileri sürdü. Kant'a göre, Öklid'in teoremleri ve postulatları bir genelliğe sahiptir ve hiçbir genellemenin sahip olamayacağı bir zorunlulukla yakından ilintilidir. Kant, her üçgenin açılarının toplamının tam olarak iki dik açı toplamına eşit olduğunu aslında bildiğimizi ileri sürer. Bu ilkeye dair bilgimiz, istisnaların olmadığını, hatta ufak istisnaların bile olmadığını bildiğimiz anlamda genelliğe sahiptir.
26Ayrıca, eğer bilgimiz empirik genellemeye dayanmış olsaydı, toplanan ile gözlemsel delil daima, genellemenin sahip olduğu kesinlik derecesini bizim için artırma meyilinde olurdu. Daha fazla üçgeni ölçtüğümüzde, yasanın ifade ettiği kesinliği hissetme hakkımız daha fazla olurdu. Kant, bunun olmadığı görüşündedir. Kant‘ın savı değerli bir savdır, fakat mutlak tartışılmaz değildir. Geometrik bilginin, a priori bilgi olup olmadığına ilişkin bu sorunsa da daha sonra tekrar döneceğiz.
27SENTETİK BİLGİ OLARAK GEOMETRİ Öklid'in postulatlarının ve teoremlerinin durumu açısından bir başka önemli nokta vardır ki, onlar en azından on dokuzuncu yüzyıla kadar birçok düşünür tarafından kabul edilmişlerdir. Onların birçoğu, Öklid'in postulatlarını ve onlardan çıkan diğer bütün önemli teoremleri filozofların dili açısından, analitik olmalarından daha çok sentetik kılan bir tür içeriğe sahip a priori doğruluklar olarak düşünmüşlerdir. Eğer Kant gibi bir kimse, mantıksal doğruluklara, sentetik olmaktan daha çok analitik olan temel doğrulukların örnekleri olarak bakarsa, bu kimse, geometrinin sıradan olmayan sentetik doğrulukları ile mantığın sıradan analitik doğrulukları arasında önemli bir farkın var olduğunu söyleyerek geometri hakkındaki bir noktayı ifade edebilir. Geometrinin yasalarının analitik olmasından daha çok sentetik olduğunu kabul etmek için gerekli olan temellendirme nedir? Bu temellendirme nasıl kurulabilirdi? Bazı bildirimlerin analitik mi ya da sentetik mi olduğu üzerine bir tartışma olduğunda, onun analitik olduğunu savunan kişi, haklılığını ispatlamak için daha iyi bir konumdadır. Çünkü, bazen bir bildirimin analitik olduğunun açık bir ispatı verilebilir.
28Bir bildirimin sentetik olduğunu kabul etmek, böyle bir ispatın yapılamayacağını kabul etmektir. Böyle bir ispatın yapılamayacağını bir kimse nasıl ispatlayabilir? Bu negatif türden tezin kurulması oldukça zor görülüyor; bir bildirimin sentetik olduğunun herhangi bir ispatının olabileceği gibi bir şey güç gözükmektedir.Zaten Kant, geometrinin sentetik olduğu öğretisinin en açık savunusunu yapan kişi olarak, bu tezini herhangi formel bir biçimde ispatlama teşebbüsüne girmemiştir. O bizden basitçe, geometrinin temel ilkelerinin anlamı üzerine düşünmemizi ister; onların sırf sözel doğruluklar olmadığı ve boş mantıksal doğruluklara denk olduklarının gösterilemeyeceğinin kendinden açık olduğunu düşünür. Elbette, noktalar, çizgiler ve şekiller hakkındaki bazı doğru bildirimler analitiktir; Kant bile bunu kabul etmek zorunda kalmıştı. Örneğin Öklid'in geometri sisteminde bütün çemberlerin şekil olduğu bildirimi analitiktir, çünkü bu Öklid'in "çember" teriminin tanımının bir sonucudur.
29Sentetik bilgi, salt terimlerin anlamını anlamanın üzerinde veya altında bir şeye dayanır. Ve filozoflar, bu bilgi için olası bir temel olarak duyu deneyini reddetmede genel olarak hem fikir olmuşlardı. Kant, insan zihninin geometrik yasaları neden kavrayabildiğine ilişkin farklı bir teori öne sürer. Bu görüş, ona göre, zihnin kendisine dışsal herhangi bir şeyi bilemeyeceğine ilişkin bir görüştür; bu görüş, zihnin kendi "duyusallık formuna" yönelik bütünüyle içsel bir kavrayıştır. Dış etkilenimler tarafından zihinde açığa çıkan bütün duyumlar, Öklidci mekânsal form ile zihin tarafından sağlanır; bu basitçe, zihnin duyu yetisinin çalışma şeklidir Kant'a göre. Zihin, kendi sahip olduğu işlevselliğinin kipine ilişkin kavrayışı elde etme yeteneğindedir ve böylece duyulanabilen olanaklı her şeyin mekânsal olması ve Öklidci yasalara uyması gerektiğini kavrayabilir. Böylece Öklidci uzayın yasalarının, her şeyin evrenselliğini ve zorunluluğunu sağladığına ilişkin bilgiye ulaşılır.
30Kant, teorisinin, geometrinin nasıl bir bilim olabileceğini açıkladığını hisseder; yani bu teori, bize göründüğü şekliyle dünyanın mekânsal formunun sentetik a priori bilgisine nasıl sahip olabileceğimizi açıklar. Geleneksel felsefi terminolojinin bir kısmını kullanarak, Platon'un kuramını, geometrik bilginin nesneleri hakkında gerçekçi bir kuram olarak tarif edebiliriz. Çünkü Platon, bu nesnelerin onlara duyu deneyiyle erişilemez olmasına rağmen bizim zihnimiz dışında gerçek varlıklara sahip olduğunu iddia eder. Kant‘ın kuramını kavramsala bir kuram olarak tarif edebiliriz. Çünkü o, geometrik bilginin nesnelerinin gerçek olduğunu, buna rağmen, onların zihnin içinde bir gerçekliğe sahip olduklarını iddia eder. Daha sonra izleyen bölümde bu probleme yeniden döneceğiz.
31EUCLID (M.Ö.330-260) Mısırın İskenderiye kentinde doğmuştur. YUNAN MATEMATİKÇİLEREUCLID (M.Ö )Mısırın İskenderiye kentinde doğmuştur.I. Ptolemaios döneminde İskenderiye’de bir okul kurarak öğretmenlik yapmıştır.Elements adlı kitabını yazmıştır.
32EUCLID (M.Ö.330-260) ÖĞELER (ELEMENTS) YUNAN MATEMATİKÇİLEREUCLID (M.Ö )ÖĞELER (ELEMENTS)Verilen iki noktadan bir doğru geçirilebilir.Sonlu bir doğru istenildiği kadar uzatılabilir.Merkezi ve üzerindeki bir noktası verilen çember çizilebilirTüm dik açılar birbirine eşittir.İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin aynı yanında oluşan iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse doğrular uzatıldığında bu tarafta kesişirler.
33EUCLID (M.Ö.330-260) Genel Kabuller YUNAN MATEMATİKÇİLEREUCLID (M.Ö )Genel KabullerAynı şeye eşit olan şeyler eşittir.Eşit şeylere eşit şeyler katılırsa oluşan bütünler birbirine eşittir.Eşit şeylerden eşit şeyler çıkartılırsa kalanlar birbirine eşittir.Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir.Bütün, parçalardan büyüktür
34EUCLID (M.Ö.330-260) “ELEMENTS” HAKKINDA... YUNAN MATEMATİKÇİLEREUCLID (M.Ö )“ELEMENTS” HAKKINDA...İncilden sonra en çok basılan kitap.Kitap, Euclides’in ölümünden tam 700 yıl sonra İskenderiyeli Theon(365) tarafından tam olarak düzenlenmiş ve kopyalanmıştır.İlk baskısı M.S.1482 de yapılmıştır.Bu tarihten öncekiler el yazmaları olarak çoğaltılmıştır.13 kitapta 465 tane önerme vardır.2300 yıldır bu kitabı kullanılıyor ve kullanılmaya devam edilecek.
35EUCLID (M.Ö.330-260) “ELEMENTS” KİTABININ İÇERİĞİ YUNAN MATEMATİKÇİLEREUCLID (M.Ö )“ELEMENTS” KİTABININ İÇERİĞİİLK DÖRT CİLT: Düzlem Geometri, Doğrular ve Açıların Temel Özellikleri, Üçgenlerin Eşitliği, Pisagor Teoremi , Alanı Verilmiş Dikdörtgenle Aynı Alana Sahip Kare Çizme, Altın Oran, Daire ve Düzgün Çokgenler5. KİTAPTA: Eudoxus’un Oranlar Kuramı6. KİTAPTA: Oranlar kuramı benzer düzlem şekillerine uygulanır. Çevresi aynı olan dikdörtgenlerin en büyüğü karedir. Yeniden Pisagor Teoremi ele alınır. Benzerlikler ele alınır.
36EUCLID (M.Ö.330-260) “ELEMENTS” KİTABININ İÇERİĞİ YUNAN MATEMATİKÇİLEREUCLID (M.Ö )“ELEMENTS” KİTABININ İÇERİĞİKİTAPTA: Sayılar Kuramı, Bölünebilme, Geometrik Seriler Toplamı, Asal Sayıların Özellikleri, EBOB-Öklit Algoritması, Sonsuz Sayıda Asalın Varlığı10. KİTAPTA: Geometrik Tartışmalar, İrrasyonel Sayılar (2. Derece Denklem Çözümleri), Köklerin SınıflandırılmasıSON ÜÇ KİTAP (11-13): Uzay Geometri, Paralelyüzlü-Prizma-Piramit-Küre Hacimleri, Platonun Beş Düzgün Katı Cismi Tartışılır.
37SORULAR VE CEVAPLAR1)Apriori ve empirik bilgiyi tanımlayınız. Apriori bilgi: Bilginin gerçekte matematik alanında elde edilebilir olduğu varsayılan bilgidir. Empirik bilgi: Sonuçları deneye dayalı olarak bulunan bilgidir
38Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler. 2)öklidin aksiyomlarına örnek veriniz. Öklid'in aksiyomları şunlardır:Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler.Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse, toplamlar eşit olur.Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar eşit olur.Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir.Bütün parçasından büyüktür.
393)öklid için aksiyomlar ve postulatlar arasındaki temel fark nedir: Postulatlar özellikle geometrinin konusu olan nesneler (çizgiler, açılar, şekiller ve diğerleri) hakkında konuşurken, aksiyomlar özel olan geometrik herhangi bir şeyden konuşmaz, daha genel olandan konuşur gözükür.