Friedmann-Lemaitre denkleminin en önemli parametrelerinden biri evrenin ortalama yoğunluğudur.
Evrenin sonsuza kadar genişleyeceğini ya da bir gün çökeceğini anlamamızı sağlayan evrenin kütlesini ölçen kavram yoğunluktur.Ama evrenin yoğunluğunun ne olduğunu nasıl söyleyebiliriz? Evrenin ortalama yoğunluğu, yeterince büyük bir hacim göz önüne alınarak ve gözlenen kütle ölçülerek bulunur.Bu kütleyi bulabilmek için, bu hacim içinde gözlenen parlak galaksiler sayılır ve bu sayı ortalama bir galaksinin kütlesiyle çarpılır.Bir galaksinin kütlesinin, sarmal ya da elips şeklinde olduğu verildiğinde ortalama olarak türünü temsil ettiği varsayılır.Bu ortalama kütle de yakın galaksilerin ayrıntılı olarak incelenmesiyle elde edilir.Bu yöntemlerden birinde, örneğin , galaksi merkezi çevresinde dönen gaz bulutlarının yaydığı 21 cm hidrojen çizgisi ölçülür ve galaksi merkezinden olan çeşitli uzaklıklar için dönme hızı , çizgi genişliklerinden çıkarılır.Buradan da merkezcil ve kütle çekim kuvvetlerinin eşit olduğu bilindiğinden, kütle hesaplanabilir.
Ne büyüklükte bir hacim taranması gerektiğinde ise hala tartışma konusudur.Doğal olarak, evreni temsil edebilmesi için bu hacim boyutlarının en azından 100 megaparsek olması gerekir.100 megaparsek küpte, ortalama olarak bir tane parlak galaksi bulunur.EN yakındaki parlak komşu galaksimiz olan Andromeda, bize 0.75 megaparsek uzaktadır.Andromeda-Samanyolu uzaklığının ortalama uzaklıktan küçük olması, her iki galaksinin de Yerel Küme'de yer almalarından kaynaklanır.Ortalama olarak her galaksi , Güneş'in kütlesinin 100 milyar katı kadar madde içerir ve ışıma gücünün 10 milyar katıdır.Bu da megaparsek küp başına 1 milyar Güneş kütlesi ve 100 milyon Güneş ışıma gücü demektir.buradan da p ile gösterilen, ışıyan maddenin ortalama yoğunluğu, santimetre küpte 10-31 gram ya da santimetre küpte 10-7 atom olarak bulunur.
Işıyan maddenin ortalama yoğunluğunu yani p değerini bulduktan sonra artık büyük patlamanın temel teorisini kurmaya başlayabiliriz.İlk olarak teori , evrenin boyutları büyüdükçe iki nokta kütle arasındaki uzaklığın artmasına bakarak, evrenin genişlemesiyle yoğunluğun nasıl azaldığını tanımlamalıdır.
Genişleyen bir evrende herhangi iki nokta arasındaki uzaklık sürekli olarak artar.Herhangi bir anda iki nokta arasındaki anlık uzaklığı tanımlamanın bir yolunu bulmak zorundayız .Bunu yapmamıza yardımcı olmak için bir koordinat uzaklığı tanımlamanın bir yolunu bulmak zorundayız.Bunu yapmamıza yardımcı olmak için bir koordinat uzaklığı , R tanımlar ve bunu d uzaklığındaki değişmeleri ölçmek için kullanırız.Herhangi iki nokta arasında sürekli aynı kaldığından R'ye eş hareketli uzaklık adını veririz.Herhangi bir andaki genişlemeyi ölçmek için , genişleyen bir evrende herhangi iki nokta arasındaki d uzaklığının genişlemeyen bir sistemdeki R uzaklığının oranına bakarız.Bu oran, a(t) adı verilen ölçek çarpanıdır.a(t) ölçek çarpanı d/R olduğundan, d=Ra(t) bu iki nokta arasındaki gerçek uzaklığı verir.Ölçek çarpanının her t zamanı için farklı olduğunu göstermek için (t) şeklinde yazılmıştır.
Evren ,doğal olarak uzayda üç boyutludur.Genişleyen üç boyutlu bir hacim d hacmiyle tanımlanabilir.Bu da genişlemeyen ,eş hareketli R hacmiyle karşılaştırılabilir ve buradan da d =Ra(t) ifadesi bulunur.
Evren genişlerken belirli bir bölgedeki kütlenin sabit kalması için yoğunluğunun azalması gerekir.Belirli bir hacimdeki maddenin yaratılamayacağı ve yok olmayacağı demek olan kütlenin korunumu , yoğunluğunun x(hacim)=sabit koşulunu sağlaması gerekir.Bölgenin hacmi d olduğundan , evren genişlerken d ifadesinin sabit olduğu sonucuna varıyoruz.Aslında d ifadesi koordinat boyutları R olan hacmin içindeki kütleye eşittir.R sabit olduğundan,yoğunluğun a(t) ile orantılı olması gerektiği sonucunu çıkarıyoruz.Bunu hesaplamak için d =R a(t) ifadesinde d yerine d yazmak gerekir.Bu sonuca göre evren 2 kat genişlediğinde yoğunluk 8 kat azalır.
Diğer yandan kozmoloji ilkesi, evren genişlerken iki nokta arasındaki genişleme hızının v=Hd denklemini sağlamasını gerektirir.Burada H, zamanın bir fonksiyonudur (ama uzaklığın değil).Belirlenen herhangi bir zamanda bu ifade, evrenin genişlemesini veren Hubble yasasına dönüşür.Özel olarak, eğer belirlenen zaman bugün'ise ,H'yi Hubble sabiti' Ho değerine eşitleriz.Bir zamanlar, 1/Ho kadar önce, eğer herhangi bir yavaşlama söz konusu değilse, hubble yasasına göre evren sonsuz yoğunluktaydı.Tabii daha önce böyle tekil bir başlangıçtan kaçınmanın tek yolunun kuantum kütle çekimine uygun fizik konusundaki bilgisizliğimiz olduğunu görmüştük.Hubble yasası bize, daha uzak noktalar arasındaki uzaklaşma hızının daha büyük olduğunu gösteriyor.
Şimdi,evrende rasgele bir hacim alalım.Bu hacmi iç içe küresel kabuklara ayıralım.Her kabuğa ilişkin iki tür enerji vardır:kinetik enerji adı verilen hareket enerjisi ve kütleçekimsel potansiyel enerji denilen,kabuğun hissettiği kütle çekimsel alan içinde düşerken kazanılan enerji.Herhangi bir kabuk içindeki hareket,enerjinin korunumu ilkesine uymak zorundadır:
Kinetik enerji+kütle çekimsel potansiyel enerji=kabuğun toplam enerjisi
Burada,kabuğun kinetik enerjisi mkv /2 olup mk kabuğun kütlesidirKabuğun kütle çekimsel potansiyel enerjisi ise -Gmmk/d olarak yazılabilir ki burada kabukla sınırlandırılan küresel hacim içindeki bütün kütle yoğunluğu ile 4/3d olarak yazılabilen kabuğun hacminin çarpımına eşittir,yani m=4/3d olur.Buradan da kabuğun toplam enerjisi
mkv /2-Gmmk/d ya da mk(H d /2-(G(4/3d )/d) yazılabilir.
Doğal olarak kabuğun toplam enerjisi ve kütlesi sabittir.Bu demektir ki mk ve R sabitlerini bölerek,ya da d/a(t) ile
H -(8G kabuğun toplam enerjisi x2/mkd
elde edilebilir.
Kabuğun toplam enerjisinin iki katının,kütlesi ve R ile bölümüne k dersek,
H -(8G/3) =k/a
buluruz.Bu denklem yaygın olarak Friedmann denklemi olarak bilinir.Denklemi ilk keşfeden kişi olan Rus kozmoloji uzmanı Alexander Friedmann,bulduğu sonuçları 1922 yılında yayınlamıştır.Belçikalı kozmoloji uzmanı Georges Lemaitre 1927 yılında,bağımsız olarak benzer bir keşif yaptığından,denkleme aynı zamanda F riedmann-Lemaitre denklemi adı da verilir.
Evrenin evrimi,kinetik ve potansiyel enerjiler arasındaki duyarlı denge tarafından yönetilir.Kinetik enerji üstün gelirse,evren sonsuza kadar genişler;potansiyel enerji üstün gelirse tekrar çökmeye mahkumdur.Herşey ,yoğunluğun kritik bir değerden küçük olup olmamasına bağlıdır ki eğer durum böyle ise savaşı kinetik enerji;tersinin geçerli olması durumunda ise potansiyel enerji kazanır.Burada yerkürenin kurtulma hızı ile ilgili çok yararlı bir benzetme yapabiliriz.Eğer yeryüzünden,hızı saniyede 11 km'nin üzerinde olan bir roket fırlatırsanız,yerkürenin kütle çekim alanından kurtulur ve sonsuza kadar yoluna devam eder.Eğer hızı bu değerden küçükse ,gerisin geriye yeryüzüne düşer.Dünyanın kütlesini biliyoruz ve roketin hızını ayarlama özgürlüğüne sahibiz.Evrenin durumunda ise genişleme hızını ölçebiliyoruz ama evrenin kütlesini bilmiyoruz.
Aslında burada,maddenin ortalama yoğunluğu Dünyanın kütlesine benzer rol oynar.Eğer evrendeki maddenin ortalama yoğunluğunu bilirsek,evrenin sonsuza kadar genişlemesi için yeterli kurtulma hızına' sahip olup olmadığını anlayabiliriz.
Kinetik enerjinin tam olarak potansiyel enerjiye eşit olduğunu varsayalım;bu durumda k ile gösterdiğimiz toplam enerji sıfır olur.Friedmann-Lemaiter denklemi deG biçimine dönüşür.Bu ifade,verilen bir zamandaki kritik yoğunluğu tanımlar.Genel olarak H terimi 1/(büyük patlamadan bu yana geçen zaman)'a eşittir.Günümüzde Ho olarak tanımladığımız H'nin değeri ,yaklaşık olarak 1/(15 milyar yıl)'dır;ama evrenin ilk dönemlerinde büyük patlamadan o zaman kadar geçen süre çok daha,H'nin değeri çok daha büyüktü.Bu nedenle de büyük patlama yakınlarında yoğunluk çok daha fazlaydı.Yoğunluğun,çok yaklaşık olarak H ile doğru orantılı,ya da evrenin yaşıyla ters orantılı olduğunu görüyoruz (H t ).Bunu nedeni de ifadesindeki terimin (a ile orantılı),k = 0 olsun olmasın,ka teriminden çok daha büyük olmasıdır.
Evrenin yoğunluğunun büyük patlama sırasında daha büyük olması bizim için sürpriz değildir,ama k enerji sabitine baktığımızda yorumun daha ilginç bir hal aldığını görürüz.Bu enerji sabiti pozitif veya negatif olabilir.Eğer pozitifse,sonraki zamanlarda (büyük a) H ,k/a ile orantılı olduğundan H nin her zaman iyi tanımlı bir değeri vardır.Evrenin sonsuza kadar genişleyeceği sonucuna varırız.Ama eğer k negatifse, sonraki zamanlarda H genişleme hızının gerçek değerler aldığı bir çözüm yoktur.Bu durumda da evrenin maksimum bir yarıçapa kadar genişleyeceği,sonra büzülmeye başlayacağı sonucunu çıkarırız
Genellikle kozmolojideki yoğunluk parametresini gerçek yoğunluğunun,krit yoğunluğuna bölümü olarak yazıyoruz.Eğer günümüzdeki yoğunluk kritik yoğunluktan küçükse,yani o<1 ise k pozitiftir ve evren sonsuza kadar genişleyecektir.Eğer günümüzdeki yoğunluk,kritik yoğunluktan büyükse,k negatiftir ve evren eninde sonunda çökmeye mahkumdur.
Işıyan madde için değerinin yaklaşık 0.01 olduğunu hesaplayabiliriz ki bu da evrenin çökmesi için gereken değerin çok altındadır.Bununla birlikte buradan evrenin sonsuza kadar genişlemesini sürdüreceği sonucuna da varamayız Evrendeki maddenin büyük çoğunluğunun gözlenemeyen karanlık madde olduğuna inanmak için çok neden var.Karanlık maddenin katkısı ışıyan maddeye oranla çok daha fazla olabileceğinden,güvenli bir biçimde ya da >1 diyemiyoruz.Maddenin yalnızca ışıyan bölümünü görebildiğimizden yoğunluğu ölçmek son derece zordur.Bununla birlikte,evrenin geleceğini tahmin edebilmenin bir yolu daha vardır;geometrisini gözlemek.