2 şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna mxn türünde(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir. Elemanların sıralanışı olarak tanımladığımız matris bir gösterim, determinant ise bir değerdir. Bunlar matris ve determinantı birbirinden ayıran en önemli iki özelliktir.
3 Matrisler büyük harfle gösterilir Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilirelemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.
4 MATRİSLERİN TOPLAMIAynı boyutlu matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.
5 MATRİSLERİN FARKIAynı boyutlu matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.
6 MATRİSİN REEL SAYI (Skaler) İLE ÇARPIMI Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.
7 İKİ MATRİSİN ÇARPIMIA ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.m x n türünde A matrisi ile n x p türünde B matrisinin çarpımı m x p türünde olur.Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.
8 MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.
9 MATRİSİN ÖZELLİKLERİ 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)3. k(A+B)=kA+kB (k:skaler)4. (k1.k2)A=k1(k2)A=k2(k1)A5. (k1+k2)A=k1A+k2A6. A(B+C)=AB+AC7. (A+B)C=AC+BC8. A(BC)=(AB)C9. AB≠BA (genellikle)10. AB=BC ise A=C olması gerekmez.11. AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez.
10 ÖZEL MATRİSLER 1-Kare Matris Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir.A matrisi (4 x 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.
11 2-Sıfır Matris Tüm elemanları sıfır olan matristir. A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matristir.
12 3-Köşegen Matris 4-Birim Matris Köşegen üzerindeki elemanların dışında tüm elemanları 0 olan matrise köşegen matris denir. aij elemanlarından bazıları 0 olabilir.4-Birim MatrisBütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Aşağıdaki matris 4 x 4 boyutlu birim matristir.
13 5-Periyodik MatrisA bir kare matris olmak üzere; Ak+1 = A oluyorsa A’ya periyodik matris denir.k=1 için A2 = A ise A İdempotent matristir.Ak=0 (kєN) ise A matrisi Nilpotent matristir.
14 6-Tekil Matris 7-Transpoze Matris A bir kare matris olsun. Eğer detA=0 ise A matrisine tekil matris denir.7-Transpoze Matrismxn boyutlu bir A matrisinin aynı numaralı satırları ile sütunları yer değiştirilirse ortaya çıkan nxm boyutlu matristir.A’nın transpozesi AT veya A’ ile gösterilir.(AB)T=BTAT
15 8-Simetrik ve Yarı Simetrik Matris A bir kare matris olsun. Eğer A’nın transpozesi A’ya eşitse A’ya simetrik, A’nın transpozesi A’nın negatifine eşit ise A’ya yarı simetrik matris denir.AT=A simetrikAT=-A yarı simetrik
16 9-EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS) Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.ÖZELLİKLERİA.Ek(A)=Ek(A).AEk(A.B)=Ek(A).Ek(B)
17 10-Ters Matris Özellikler; A tekil olmayan bir matris olsun; A.B=B.A= I bağıntısını sağlayan B matrisine A ’nın tersi denir. B= A-1 ile gösterilir.Özellikler;
18 BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz. Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.
19 11-Ortagonal MatrisA bir kare matris A-1 = AT ise A ’ya ortagonal matris denir.
20 Bir Matrisin Rankımxn boyutlu bir A matrisinin tekil olmayan en büyük boyutlu kare alt matrisinin rxr boyutuna A matrisinin rankı denir.(r≤m, r≤n)RankA=r şeklinde gösterilir.
21 Denk MatrislerBoyutları ve rankları aynı olan A ve B gibi iki matrise denk matrisler denir. A~B ile gösterilir.Aşağıdaki elemanter işlemleri içeren matrisler denk matrislerdir.Anın i’inci satırı ile j’inci satırı yer değiştirebilir. Bu işlem Hij ile gösterilir.A matrisinin i’inci satırı 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılabilir.Bu işlem Hi(k) ile gösterilir.A matrisinin i’inci satırındaki elemanları 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılıp j’inci satıra eklenebilir. Bu işlem Hji(k) ile gösterilir.Bu işlemler matrisin sütunlarına da uygulanabilir. Sütun işlemleri K ile gösterilir KJİ(k)
22 Bir Matrisin İziA kare matrisinin köşegen üzerindeki elemanlarının toplamına matrisin izi denir.Özellik: