Matematikte büyük çarpımları, bölmeleri, kök ve kuvvet almaları yapabilmek için sayısal hesaplan yalınlaştırarak, sonuca daha kolay ulaşılmasını sağlayan yol.
Toplama yapma, çarpma yapmadan kuşkusuz daha kolaydır. Sözgelimi üç rakamlı iki sayının toplamı, en çok dört rakamlıdır; oysa üç rakamlı iki sayının çarpımı altı rakamlı olabilir. Bu durumu kolaylaştırmak amacıyla 1614’te john Napier (ya da Neper), bir çarpım hesabını bir toplamınkine indirgeyen bir yöntem önerdi. Bir logaritma fonksiyonu, toplam oluşturan R gerçek sayüar kümesi içindeki çarpım veren R’+ tam artı (pozitif) gerçek sayılar kümesinin sürekli bir f yapı dönüşümüdür. Bir başka deyişle, her (x,y) tam olarak artı gerçek sayılar çifti için: f(xy) = f(x) + f(y).
Böyle bir yapı dönüşümü, f(xy) sayısı bilinince xy çarpımının oluşturulabilmesi için, injektif olmalıdır. Nicolaus Mercator’a göre (1668), 1 noktasında
geçersiz olan x—^ fonksiyonunu, f olarak almak yeterlidir. Böylelikle, log ya da İn olarak gösterilen neper logaritma fonksiyonu elde edilir.
Bütün öbür logaritma fonksiyonları neper logaritma fonksiyonuyla orantılıdır. Daha açık olarak, her f logaritma fonksiyonu için, f(a) = 1 olacak biçimde, tam olarak gerçek tek bir a sayısı vardır; ayrıca, a, 1’den farklıdır. Bu durumda f(x) = ’dır.
f a tabanlı logaritma fonksiyonudur ve loga olarak belirtilir. Neper logaritmalarında taban, Neper sayısıdır: e = 2, 718 281 284 590…
Ondalık Logaritma
Sayısal hesapta ondalık logaritmaya başvurulur: Bu, x = 10 olduğu zaman
0 değerini alan, 10 tabanlı logaritma fonksiyonudur. Buradan hemen: logı0100=2 log 10IOOO = 3, vb. sonucu çıkarılır.
Herhangi bir sayının ondalık logaritması, artı ya da eksi olan ve karakteristik (belirtke) adını alan bir tam bölümle mantis (onluk parça) adı verilen kesirli (ondalık biçiminde yuvarlanmış) bir bölümden oluşur. Karakteristik, kolaylıkla hesaplanır. Böylece, x,l’den büyükse karakteristik, virgülden önce rakamlar toplamının bir eksiğidir. Böyle bir logaritma cetvelinde, yalnız mantislerin yer almasıyla yetinilir: Günümüzdeki cetveller
1 000’den9 999’a kadar beş ondalık sayılı mantisleri içermektedir.
Uygulamalar
H. Briggs (1618) tarafından bulunan ondalık logaritmalar, üç yüzyıl boyunca, sayısal hesapta kullanılan tek kesin aracı oluşturdu. 1950’ye doğru bilgisayarların, 1970’e doğru da elektronik cep hesap makinelerinin ortaya çıkması logaritma cetvellerine gösterilen ilgiyi azalttı. Bununla birlikte, logaritmaların ilkesi hesap cetvelinde hâlâ kullanılmaktadır. Hesap cetveli, birbiri üstünde kayabüen iki dereceli cetvelcikten oluşur. Bunlardaki derecelerin uzunluğu, üstlerindeki sayılarla değil, ama sayıların logaritmalarıyla orantılıdır. Böylelikle f yapı dönüşümünün somut bir gerçekleşmesi elde edilir. Kuramsal açıdan, logaritma fonksiyonları, kullanılan fonksiyonların çoğunun tamamına girerler. Sözgelimi neper logaritma fonksiyonu, R*+ grubunun R grubu üstündeki bir eşyapı dönüşümüdür. Demek ki, bu logaritma fonksiyonu, R grubunun R‘+ grubu üstündeki bir eşbiçimlemesi olan karşıt bir uygulama kabul eder. Bu karşıt uygulamaya üstel (eksponansiyel) fonksiyon denir ve exp. olarak gösterilir. Her n oranlı tam sayısı için exp n, e" sayısından başka bir şey değildir. Daha genel olarak, her x gerçek sayısı için exp x yerine ex yazılmasının nedeni budur. a tabanlı logaritma fonksiyonunun karşıt fonksiyonu da aynı biçimde tanımlanır; expa ya da x – ax ile gösterilen a tabanlı üstel fonksiyon böylece oluşturulur. Logaritma fonksiyonları ya da üstel fonksiyonlar yardımıyla hem güç fonksiyonları, hem de hiperbolik fonksiyonlar tanımlanır.