Üstel büyüme bir matematiksel işlevin büyüme hızının, işlevin o anda sahip olduğu değerle orantılı olması halinde gözlenen durumdur.
Doğrusal artışı sezgisel olarak kavrama eğilimi gösteririz. Ancak üstel büyüme söz konusu olduğunda birçoğumuz doğru çıkarımlarda bulunamıyoruz. Acaba neden?
Üstel Büyüme İle İlgili İki Örnek
Şimdi size iki soru soralım.
BİRİNCİ SORU: Bir kâğıt parçası önce ortadan ikiye katlanıyor, sonra tekrar ortadan ikiye ve bu biçimde devam ediyor. 50 katlamanın ardından bu kâğıt ne kalınlıkta olacaktır?
Okumaya devam etmeden önce tahmininizi not edin.
İKİNCİ SORU: Hangisini tercih edersiniz?
A) Önümüzdeki 30 gün boyunca size her gün 1.000 TL vereceğim.
B) Önümüzdeki 30 günde size birinci gün 1 TL ikinci gün 2 TL, üçüncü gün 4 TL, beşinci gün 8 TL vs.
Uzun uzun hesap yapmadan kararınızı verin: A mı B mi?
Tercihinizi yaptınız mı? Peki öyleyse…
***
Bir kağıt sayfasının kalınlığının bir milimetrenin onda biri kalınlığında olduğunu varsayarsak, 50 katlamadan sonra kağıdın kalınlığı 100 milyon kilometredir.
Bu, yaklaşık olarak Dünya ile Güneş arasındaki mesafe kadardır. Hesap makinesiyle kolaylıkla hesaplayabilirsiniz. Daha fazlasını öğrenmek için bu yazıya da göz atabilirsiniz.
İkinci soruda, A cevabı kulağa daha cazip gelse de, B cevabını tercih etmenizde fayda var. A cevabını seçtiyseniz, 30 gün sonra 30.000 TL kazanırsınız, B cevabında ise kazancınız 10 milyondan fazla.
***
Şimdi ise akla gelen soru şu biçimde olmalı. Acaba neden?
Bunun nedeni biraz da genlerimizde saklı. Atalarımızın deneyimlerinin çoğunluğu doğrusal türdendi. Kim böğürtlen toplamak için iki kat zaman harcıyorsa, iki kat meyveyle dönerdi. Kim uçurumun kenarında bir yerine iki mamut avlarsa, iki katı süre boyunca yiyeceği olurdu.
Okuma Önerisi: Beynimiz Logaritmik Çalışıyor Olabilir mi?
Günümüzde ise durum farklı.
Bir haberde “Trafik kazaları her yıl % 7 artıyor.” diye okuduğumuz zaman bu oran gözümüze fazla kayda değer gözükmeyebilir. Bu durumda artışın ikiye katlanacağı zamanı hesaplayın. 70 sayısını artışın yüzde değerine bölün.
Az önceki örnekteki trafik kazaları için: 70 / 7 = 10 yıl. Yani haberin aslında söylemeye çalıştığı şudur: Trafik kazalarının sayısı her 10 yılda ikiye katlanıyor.
Oldukça vahim…
Başka bir örnek verelim: “Pahalılık oranı % 5.” Bunu duyan şöyle düşünüyor: “Çok da kötü değil, % 5 nedir ki?” Hemen ikiye katlanma zamanını hesaplayalım: 70 / 5 = 14 yıl. 14 yıl sonra bir TL sadece yarı değerinde olacak.
Diyelim ki gazetecisiniz ve elinize, şehrinizdeki köpeklerin sayısının her yıl % 10 arttığına dair bir bilgi geldi. Hangi manşeti atarsınız? “Köpeklerin sayısı % 10 arttı” değil elbette. Kimsenin ilgisini çekmez. Onun yerine: “Yedi yılda köpeklerin sayısı iki katına çıkacak!”
Buraya bir not düşelim. 70 sayısı aslında kolay hesaplama yapmanız için tercih edilebilir. Tam hesaplama yapmanız için ise kullanmanız gereken sayı 72’dir. Nedenini aşağıdaki bu yazıda inceleyebilirsiniz: Paranın Matematiği ve 72 Kuralı
Beynimizin yüzdesel artışta güçlük çektiği eski zamanlarda İran kökenli şöyle bir masal vardı. Aslında satranç severler için tanıdık bir masal bu.
Bir zamanlar akıllı bir saraylı varmış, kralına bir satranç tahtası armağan etmiş. Kral, “Karşılığında seni nasıl mükâfatlandırayım” diye sormuş. “Asil efendimiz satranç tahtasını pirinçle doldurmanızdan başka bir şey istemem.
İlk kareye bir pirinç koyun, sonra da diğer bütün karelere bir öncekinin iki katı kadar pirinç. Yani ikinci kareye iki, üçüncü kareye dört vs.” Kral şaşırmış: “Bu kadar mütevazı bir dileğinin olması senin ne kadar şerefli olduğunu gösteriyor.” Ne kadar pirinç eder?
Kral herhalde ufacık bir çuval tutacağını düşünmüştü. Aslında bütün dünyada yetişen pirinçten fazlasını koyması gerekirdi.
Sonuç olarak artış değerleri söz konusu olduğunda, hislerinize güvenmeyin. Çünkü öyle bir hissiniz yok -bunu kabul edin. İşinize gerçekten yarayacak olan şey bir hesap makinesi ya da küçük artış değerlerinde ikiye katlama zamanını hesaplamanın püf noktasıdır.
Kaynak: Hatasız Düşünme Sanatı – Rolf Dobelli
Matematiksel