Aritmetiğin Temel Teoremi ve Asal Sayıların Sonsuzluğu
Öncelikle asal sayıları tanıyalım. Yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük sayılar asal sayılardır. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13… her biri birer asal sayıdır. Asal sayıların sonsuzluğu üzerine yapılan ispatlar içerisinden en zarif ispat şüphesiz ki Öklid’e aittir. Bu ispat Öklid’in ‘Elements’ adlı kitabında yer almaktadır. İspatta kullanılan bir diğer teorem Aritmetiğin temel teoremidir. Milattan önce 300 yılında Öklid tarafından ortaya atılan teorem, 1800’lü yılların başında Gauss tarafından ispatlanmıştır.
Aritmetiğin Temel Teoremi
Teorem: (Aritmetiğin Temel Teoremi) Birden büyük her tam sayı sonlu sayıda birbirinden farklı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazılış tek türlüdür.
İspat:
- P1 asal sayısı n sayısının bir böleni olsun. P1=n ise n sayısı n=P1 şeklinde asal sayının çarpımı olarak yazılır.
- Şayet P1<n ise R1>1 için n=P1.R1 şeklindedir. R1 asal sayı ise R1=P2 olmak üzere n=P1.P2 şeklinde asal sayıların çarpımı olarak yazılır.
- Şayet R1 bileşik sayı ise R2>1 olmak üzere R1=P2.R2’dir.R2 asal sayı ise R2=P3 olmak üzere N=P1.P2.P3 olur.
- Şayet R2 bileşik sayı ise, aynı şekilde asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya devam edersek R1>R2>R3>…≥ 1 elde ederiz.
5.Sonlu adımdan sonra birden büyük her tam sayı için n=P1.P2.P3…Pk elde ederiz.
Asal Sayıların Sonsuzluğu
Şimdi de asal sayıların sonsuzluğundan bahsedelim. Öklid’in yaptığı bu ispat, Matematik tarihinin en şık ispatlarından biri olmakla beraber, olmayana ergi metodunun kullanıldığı ilk ispattır. Öklid’den itibaren bu metot matematik kitaplarında yer almıştır.Olmayana ergi yöntemi, bir şeyin doğruluğunu kanıtlamak yerine yanlış olamayacağını kanıtlamaktır.
Varsayım: Asal sayılar sonludur.
En büyük asal sayıyı P asal sayısı olarak kabul edelim.Bir K sayısı ele alalım ve bu sayıyı tüm asal sayıların çarpımından 1 fazla olarak kabul edelim.
K=(18.104.22.168…P)+1 Aritmetiğin temel teoremini hatırlayacak olursak birden büyük her tam sayı sonlu sayıda birbirinden farklı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. K sayısını inceleyelim. K sayısını bildiğimiz tüm asallara böldüğümüzde 1 kalanını vermektedir. Yani K sayısı ya asal bir sayıdır ya da iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu durum varsayımımız ile çelişmektedir. Yani asal sayılar sonsuzdur.
Günümüzde bilinen en büyük asal sayı ise GIMPS projesi ile bulunan 2 77.232.917 -1 asalıdır.
Yazan: Sezin Irmak GÜMÜŞ