Bir önceki videoda öğrendiklerimizi bir örneğe uygulayalım. Bir vektör alanım var.R 2 üzerinde tanımlanmış. x ve y cinsinden bir fonksiyon. Düzlemdeki her noktayla bir vektör eşleştiriyor. Vektör alanını, y çarpı i birim vektörü eksi x çarpı j birim vektörü olarak belirledik. x ve y eksenlerini de çizelim. x y düzleminin her noktasında bir kuvvet vektörü olacak. Bu x, bu da y. Örneğin 1'e, 0 noktasındaki vektör ne olur? 1'e,0 noktasında y 0, yani vektör 0 i eksi 1 j olacak. Eksi 1 j'de buna benzer. x eşittir 2 için, şimdi rastgele noktalar seçiyorum, y hala 0, yani kuvvet vektörü eksi 2 j olur. Bu da şöyle olur. Eksi 2 j.Şöyle bir şey. y'nin 1, x'in 0 olduğu bu noktaya gidersek, 1 i eksi 0 j vektörünü elde ederiz. Yani bu noktada vektörümüz şöyle olacak. Bu noktalardaki vektörleri çizmeye devam edebilirsiniz. Vektör alanını bu şekilde gözünüzde canlandırabilirsiniz. Buraya giderseniz, vektör buna benzeyecek. Şu noktadaki vektör de böyle olacak. Sanıyorum anladınız. Bu alanın tamamını doldurmaya devam edebilirim. Simetrik olması için, şu noktadaki vektörü de böyle çizeyim. Tahminen anladınız. İstersem tüm noktalardaki vektörleri çizebilirim. Bu alanda hareket eden bir parçacığım var, diyelim. İzin c eğrisine benzediğini ve x t eşittir kosinüs t ve y t eşittir sinüs t parametrik denklemlerini düşünelim. İz, 0 ile 2 Pi arasındaki t değerleri için tanımlanmış olsun. Bunun ne olduğunu tanımışsınızdır. Bu parametrik denklemler, saat yönünün tersine çizilmiş bir çemberdir. Bu parçacığın izi, buradan başlayacak. Buradaki t'nin merkez açı veya zaman olduğunu düşünebilirsiniz. t 0'a eşit olduğunda, buradayız. Pi bölü 2 olduğunda, çeyrek çember gitmiş oluruz. Yani bu yönde devam ediyoruz. Pi saniyede ise, buraya ulaşmış oluruz. 2 Pi saniye sonra ise, çemberin etrafında bir tur atmış olursunuz. Yani izimiz veya eğrimiz, çember etrafında saat yönü tersine bir tur demek. Bu eğrinin üzerinde alanın yaptığı iş nedir? Yapılan iş yani. Bir önceki videoda işin, vektör alanının hareket diferansiyeliyle, yani d r'yle, iç çarpımının çizgi integrali olduğunu öğrenmiştik. Henüz r'yi tanımlamadım. Buradaki parametrik ifadelere göre bir vektör fonksiyonu bulmam gerekiyor. Yani bu izi tanımlayan bir r bulmamız lazım. Bu standart parametrik ifadelere göre, r t eşittir x t, yani kosinüs t, çarpı i artı y t çarpı j, yani sinüs t çarpı j, deriz. Yine t 0 ile 2 Pi arasında. Bunlar birbirine denk. Bunu yapmamın amacı, vektör fonksiyonun türevini ve diferansiyelini alabilmek ve şununla iç çarpımını bulmak. Bunları bulalım, çizgi integralini hesaplayalım ve alanın yaptığı işi belirtelim. Saat yönünün tersine hareket ediyoruz, ama her noktada vektör alanı hareketin tersi yönde etki ediyor. Örneğin burada hareket yukarı doğru. Ama alan bizi geri çekiyor. Şurada sol üste doğru hareket ediyoruz.Ama alan bizi sağ alta çekiyor. Burada sola gidiyoruz, ama alan bizi sağa çekiyor.Yani alan bizim yaptığımızın tam tersini yaptırmaya çalışıyor. Hareketimizi engellemeye çalışıyor. Size şöyle anlatayım. Burada muhtemelen eksi iş çıkacak. Örneğin bir şeyi yerden kaldırırsam, yerçekimini yenmek için kuvvet uygulamam gerekir değil mi? Ben pozitif iş yapıyorum, ama yerçekimi bu şey üstünde negatif iş yapıyor. Burada yalnızca hesaplamaları yapıyoruz, ama olayın esası da gayet ilginç ve üzerinde düşünmeye değer. Alan bu yönde çekiyor, yani hep hareketin tersi yönde etki ediyor. Neyse, bir önceki videoda yaptıklarımızı somutlaştırmak için şimdi işlemleri yapalım. Öncelikle konum vektör fonksiyonunun t'ye göre türevini alalım. d r d t veya r üssü t olarak ifade edebiliriz. Bu eşittir x'in t'ye göre türevi, yani eksi sinüs t, çarpı i artı y'nin t'ye göre türevi. Sinüs t'nin türevi eşittir kosinüs t. Kosinüs t çarpı j. Diferansiyeli istersek, her şeyi d t ile çarparız. Yani dy'yi şöyle yazabiliriz. Eksi sinüs t d t çarpı i birim vektörü artı kosinüs t d t çarpı j birim vektörü. Şimdi bu parçanın şununla iç çarpımını alalım. Ama önce vektör alanını t cinsinden yazayım. Alan herhangi bir t noktasında nasıl etki edecek? Her noktaya tek tek bakmamıza gerek yok. Örneğin burada vektör alanının ne yaptığıyla ilgilenmiyorum, çünkü burası ize dahil değil. Bu kuvvetin parçacık üzerinde etkisi yok. Sadece iz üzerinde ne olduğuyla ilgileniyoruz. y ve x'i yerine koyabileceğimiz bir fonksiyon buluruz ve y ve x'i t cinsinden ifade ederiz. Böylece herhangi bir noktada veya herhangi bir t değeri için, alanın kuvvetini hesaplayabiliriz. Şimdi bunu yapalım. Bunu t cinsinden yazmak istersek, bu y t olacak, öyle değil mi? y eşittir sinüs t, öyle değil mi? Sinüs t çarpı i eksi x t. Eksi kosinüs t çarpı j. Şimdi biraz daha kolay görünüyor. Çizgi integralini bulalım. t eşittir 0'dan t eşittir 2 Pi'ye f iç çarpım d r'nin integrali. İç çarpımda karşılıklı bileşenleri çarpıp topluyoruz. Yani eksi sinüs t ve sinüs t d t'yi çarpıyoruz. Eksi sinüs kare t d t çıkar ve artı d t'yi düzgün yazayım. d t artı şu iki şeyin çarpımı. Burada eksi işareti var. Bunu eksi yapayım. Eksi kosinüs kare t d t. Eksi işaretini ve d t'yi dışarı alırsak, bu neye eşit olur? 0'dan 2 Pi'ye sinüs kare t artı kosinüs kare t'nin integrali. Eksiyi dışarı alırsam ve buraya artı koyarsam ve d t'yi dışarı alırsam ne olur ? Eksiyi dışarı alırsam, bu artı olur. Burada ve şurada d t var. Bunları dışarı alırsak, şunu elde ederiz. Bunları çarparsak, baştakini elde ederiz. Bunu neden yaptığımı sorarsanız, sinüs kare bir şey artı kosinüs kare aynı şeyin ne olduğunu biliyorum.Bu, trigonometrik fonksiyonların birim çember tanımından gelir ve 1'e eşittir. Yani bu integral, 0'dan 2 Pi'ye d t'nin integralinin eksilisine indirgendi. Bunu daha önce görmüştük. Buraya bir şey koymak isterseniz, 1 koyabilirsiniz.1'in terstürevi, bu eksi işareti kalacak. 1'in terstürevi t ve bunun 2 Pi'den 0'a veya 0'dan 2 Pi'ye değerini bulacağız. Yani bu eşittir, eksi, 2 Pi eksi 0. Yani sadece eksi 2 Pi'ye eşit. Alanın parçacığın üzerinde yaptığı işi bulduk ve başta yürüttüğümüz mantık doğru çıktı.İş için negatif bir sayı bulduk. Bunun sebebi, bazen alanın hareketin tam tersi yönde etki etmesiydi.