Rum asıllı tuluat ustası Komik-i Şehir Naşit Bey ile Ermeni asıllı tiyatro oyuncusu ve kantocu Amelya Hanım'ın oğlu Özcan, 15 Ağustos 1928'de İstanbul'da dünyaya geldi. Çocukluğu, Şehzadebaşı'ndaki Millet Tiyatrosunun üstündeki evleriyle kulis arasında, kız kardeşi Adile Naşit ile sahne tozu yutarak geçti.
Başka bir meslek sahibi olmalarını isteyen babası desteklemese de tiyatroya gönül veren iki kardeş, cumhuriyetin 10. yılı kutlamalarında ilk kez aynı sahneyi paylaştı.
Selim Naşit Özcan, babasının 1943'te vefatının hemen ardından ticaret lisesinden ayrıldı. Aynı yıl, Muhlis Sabahattin'in operet topluluğunda Gül Fatma operetinde rol alan sanatçı, bir süre sonra Muammer Karaca operetine geçti ve Karaca'nın yanında 16 yıl çalıştı.
Usta sanatçı, 1952'de arkadaş toplantısında tanıştığı ve adını daha sonra Oya olarak değiştiren Sotiriya ile evlendi. Özcan çiftinin oğlu, Naşit Özcan 1957'de dünyaya geldi. Oya Özcan'ın bağırsak düğümlenmesi nedeniyle aniden vefatının ardından zor günler yaşayan sanatçı, bir süre sonra oyuncu Peyker Usta ile evlendi. Sanatçının ikinci eşinden Mehmet Ali ismini verdiği bir oğlu dünyaya geldi.
Kardeşi Adile Naşit ve eniştesi Ziya Keskiner ile 1961'de Ankara'da babaları adına Naşit Tiyatrosunu kuran Özcan, bir süre Elhamra İstanbul Tiyatro Sahnesi'nde Toto Karaca, Sururi ve Muzaffer Hepgürler ile sahne aldı.
Usta sanatçı, 1966'da Gönül Ülkü-Gazanfer Özcan Tiyatrosu'na geçti, 1979'dan itibaren Ali Poyrazoğlu Tiyatrosu, Devekuşu Kabare Tiyatrosu ve Karşı Tiyatro'da oyunculuğa devam etti. Ahmet Uğurlu ve Levent Kırca tiyatrosunda 1990'lı yıllarda çalışan Naşit, Ferhan Şensoy ile Zeki-Metin'in TV dizilerinde de rol aldı.
Selim Naşit Özcan, en son oynadığı "Histeri" oyunundaki rolüyle Afife Tiyatro Ödülleri En İyi Yardımcı Erkek Oyuncu Ödülü'nü kazandı.
Akbank Çocuk Tiyatrosu'nda da 18 yıl görev alan sanatçı, yaşamı boyunca 300 kadar oyunda ve 60'a yakın filmde rol aldı.
Özcan, 1998'de karaciğer kanserine yakalandıktan sonra son kez Cem Yılmaz'ın "Her Şey Çok Güzel Olacak" filminde oynadı.
Ömrünün son yıllarını kanserle mücadelesi yüzünden sahneden ayrı geçiren sanatçı, tedavi gördüğü hastanede pankreas kanserine yenik düşerek 18 Ağustos 2000'de 72 yaşında hayata gözlerini yumdu.
Sanatçının sinemada rol aldığı yapımlardan bazıları şöyle:
Sahte Sevgili 1964
Vur Patlasın Çal Oynasın 1970
Mirasyediler 1974
Adamını Bul 1975
Ah Nerede 1975
Ah Nerede Vah Nerede 1975
Alemin Keyfi Yerinde 1975
Beş Milyoncuk Borç Verir Misin? 1975
Bitirimler Sınıfı 1975
Bizim Aile: Merhaba 1975
Hababam Sınıfı 1975
Televizyon Çocuğu 1975
İzin 1975
Aile Şerefi 1976
Dağılın Kazımlar Geliyor 1976
Kapıcılar Kralı 1976
Kördüğüm 1977
Liseli Kızlar 1977
Çöpçüler Kralı 1977
Neşeli Günler 1978
Sultan 1978
Köşe Kapmaca 1979
Ne Olacak Şimdi 1979
Vay Başımıza Gelenler 1979
Şark Bülbülü 1979
Hababam Sınıfı Güle Güle 1981
Çarıklı Milyoner 1983
Patron Duymasın 1985
Hayroş 1986
Aile Pansiyonu 1987
Her Şey Çok Güzel Olacak 1998
Baba Olur musun? 1999
Figüran 1999