Sekiz Problem
1. Suyu Bölmek I Bir testideki 8 litre su biri 5 litrelik biri de 3 litrelik iki flifle kullan›la- rak 4’er litrelik iki eflit bölüme nas›l ayr›labilir?
2. Suyu Bölmek II
fiekilde görülen camdan yamru yumru vazo- nun içi su doludur. Vazonun a¤z› bir kapakla ka- pat›labilmektedir. Yaln›zca iflaret koymak için bir kalem kullanarak vazonun içindeki su miktar›n›
yar›ya indirebilir misiniz?
3. Avc›n›n Derdi
Tüfe¤i ile trene binmek isteyen bir avc›n›n tüfe¤ini yan›na almas›na izin verilmeyince, o da tüfe¤i-
ni trenin bagaj vagonuna b›rakmaya karar verir. Ancak bu kez de tüfe¤in bo- yu bir sorun yarat›r. Çünkü bagaja ka- bul edilecek eflyan›n en büyük boyutu-
nun en çok 1 m olmas› gerekmektedir; oysa tüfe¤in boyu 1,7 m’dir. Sonunda avc› bu sorunu halleder. Nas›l bir çözüm bulur avc›? (Hay›r, rüflvet vermez.)
4. Erler
200 er her birinde 20 kifli olan 10 s›ra halinde dizilsin; yani 10 s›ras› ve 20 kolu olan bir “tertip” olufltursun.
fiimdi her s›ran›n en uzun boylu erini seçelim ve bu (uzun) 10 er aras›ndan da en k›sa boylu olan›n› ay›- ral›m. Bu kifliye “uzunlar›n k›sas›” diyelim. fiimdi er- ler tertipteki yerlerine dönsün. Biz bu kez her kolun en k›sa boylu erini seçelim ve bu (k›sa) 20 er aras›n- dan da en uzun boylu olan› ay›ral›m. Bu kifliye de
“k›salar›n uzunu” diyelim. Hangisi daha uzundur?
“Uzunlar›n k›sas›” m› yoksa “k›salar›n uzunu” mu?
5. Yirmi Tencere
D›fl görünüflleri ve büyüklükleri ayn› olan 20 tencereden ba- z›lar› alüminyumdan, baz›lar› ise daha a¤›r bir metal olan duralüminyumdan ya- p›lm›flt›r. Kefeli terazide en fazla 11 tart›
yaparak alüminyumdan yap›lm›fl olan tencere say›s›n› nas›l bulabiliriz?
6. Yoksul Gezgin
7 halkal› alt›n bir zincirinden baflka hiçbir varl›-
¤› olmayan bir gezgin hergün için zincirinden bir halka ödemek kofluluyla bir hana kabul edilir. Gez- gin oda ücretini günlük ödeyecek, ancak borcundan fazla zincir parças› verdi¤i takdirde ödemesinin “üs- tünü” daha önce ödedi¤i halkalar cinsinden alabile-
cektir. Bu durumda gezgin zinciri en az kaç parçaya bölmek zo- rundad›r ve her bir zincir parças›nda kaç halka b›rakmal›d›r?
7. Mektupla Satranç
Birbirinden uzakta oturan kifliler hamlelerini birbirine mektupla yollayarak satranç oynayabilir- ler. Bu oldukça s›k baflvurulan bir karfl›laflma flek- lidir. Hatta bu flekilde satrançç›lar aralar›nda tur- nuva bile düzenleyebilirler. Turnuvada bir karfl›- laflmada rakibinizi yenerseniz 1 puan, berabere ka- l›rsan›z 1/2 puan kazan›rs›n›z.
‹flte böyle turnuvalardan birine kat›lan uluslararas› usta Ze- ki Hin’in iki maç› daha kalm›flt›r. E¤er bu iki maç sonunda en az 1 puan elde ederse turnuvan›n birincisi olacakt›r. Ancak Ze- ki Hin bu son iki maç›nda iki büyük usta ile karfl›laflmak duru- mundad›r. Bu nedenle ihtiyac› olan bu 1 puan› elde edebilmesi oldukça zor görünmektedir.
“‹smiyle müsemma” olan ustam›z karfl›laflmalardan birinde beyaz di¤erinde ise siyah tafllarla oynayaca¤›n› bilmektedir. Ze- ki Bey sonunda kendisine bu iki maçtan mutlaka 1 puan kazan- d›racak yöntemi bulur. Zeki Hin nas›l oynar bu zor iki maç›?
8. ‹çerde mi D›flarda m›?
Afla¤›daki labirent tek bir kapal› çizgiden oluflmaktad›r.
a. A noktas›na hiçbir çizginin üstünden geçmeden d›flardan ulafl›labilir mi?
A
b. Labirentin sol ve sa¤ yanlar› yandaki gibi birer k⤛t fle- ritle kapat›lsa ve kapat›lan yerler görülmese, labirentin içinde-
ki herhangi bir noktaya hiçbir çizginin üstünden geçmeden d›- flardan ulafl›l›p ulafl›lamayaca¤› sorusu yan›tlanabilir mi?
YANITLAR
1. Suyu Bölmek I. Afla¤›daki çizelge çözüm için izlenebile- cek yollardan birini göstermektedir.
2. Suyu Bölmek II. Önce vazonun yar›s›n› göz karar› ile bo- flalt›r, vazo içindeki su düzeyini bir iflaretle belirleriz. Sonra va- zonun a¤z›n› kapat›r, vazoyu baflafla¤› getiririz. E¤er vazo ger- çekten yar›ya kadar suyla doluysa bu ifllemden sonra iflaretimiz gene su düzeyinin hizas›nda olacakt›r. Çünkü e¤er vazo yar›ya kadar doluysa, vazo içindeki suyla dolu hacimle bofl hacim bir- birine eflit olaca¤›ndan, iflaretin alt›ndaki hacimle üstündeki ha-
Kap Testi 5 lt. flifle 3 lt. flifle
‹lk Durum 8 0 0
1 5 0 3
2 5 3 0
3 2 3 3
4 2 5 1
5 7 0 1
6 7 1 0
7 4 1 3
8 4 4 0 Her boflaltma iflleminden sonra kaplardaki su miktar›
cim ayn› olacakt›r. E¤er vazo içindeki su yar›dan az ise, vazo baflafla¤› edildi¤i zaman iflaret su düzeyinden daha yüksekte, yar›dan çok ise daha alçakta olacakt›r. Bu durumda vazoya ya su ekleyerek ya da vazodan su atarak su düzeyini de¤ifltirir, ye- ni düzeyi iflaretler ve yukar›daki yöntemi, su düzeyi ile iflaret bir hizada kal›ncaya dek yineleriz.
3. Avc›n›n Derdi. Avc› bir ayr›t› 1 m olan bir küp yapt›r›r ve tüfe¤ini büyük köflegen boyunca küpün içine yerlefltirir (bir ayr›t› 1 m olan küpün büyük köflegeni 3 ≈ 1,73 m’dir).
4. Erler. E¤er k›salar›n uzunu (KU) ile uzunlar›n k›sasa (UK) ayn› s›rada iseler UK, KU’dan daha uzundur. Çünkü UK tan›m gere¤i o s›ran›n en uzunudur. E¤er KU ile UK ayn› kol- da iseler, gene UK, KU’dan daha uzundur çünkü tan›m gere¤i KU o kolun en k›sa kiflisidir. fiimdi KU ile UK ayn› s›rada ya da ayn› kolda olmas›n. UK ile ayn› s›rada ve KU ile ayn› kolda olan ere M diyelim. M, KU’dan uzun, UK’dan k›sad›r (neden?).
fiu halde gene UK, KU’dan uzundur.
5. Yirmi Tencere. Birinci tart›da terazinin kefelerine birer tencere konur. Bu tart›n›n iki sonucu olabilir:
a. Kefelerden biri a¤›r basar. Bu durumda tencerelerden bi- ri alüminyum, öbürü duralüminyumdur. fiimdi bu iki tencereyi kefelerden birine koyar›z. Geri kalan tencereleri de ikifler ikifler bu iki tencereyle tartar›z. Her tart› sonunda bu tart›lan tence- relerin kefesi a¤›r bas›yorsa tencerelerin ikisi de duralümin- yumdan, hafif kal›yorsa ikisi de alüminyumdan, yok e¤er ki ke- fe dengede ise tencerelerden biri alüminyumdan, di¤eri duralü- minyumdan yap›lm›flt›r. Böylece 10 tart›da alüminyum tencere say›s›n› buluruz.
b. Kefeler dengede kal›r. Bu durumda ya iki tencere de alü- minyumdan ya da her ikisi de duralüminyumdan yap›lm›flt›r.
Gene bu iki tencereyi terazinin kefelerinden birine koyar, geri kalan tencereleri ikifler ikifler bu iki test tenceresi ile tartmaya bafllar›z. fiimdi bu 9 çift tencereden ilk “k” çiftin test tencerele- ri ile ayn› a¤›rl›kta oldu¤unu ve (k + 1)’inci çiftin farkl› a¤›rl›k- ta oldu¤unu varsayal›m. Hatta aç›klamam›z› kolaylaflt›rs›n di- ye (k + 1)’inci çiftin test çiftinden daha a¤›r oldu¤unu varsaya- l›m. Daha hafif olma durumu da benzer flekilde ele al›nabilir.
Bu durumda ilk çift ve ondan sonra gelen “k” çift alümin- yumdan yap›lm›flt›r. Böylece (k + 2) tart›da (k + 1) çift tencere- nin alüminyum oldu¤unu bulduk. (k + 3) üncü tart›da a¤›r gelen iki tencereden birini bir kefeye ötekini de öbür kefeye koyar›z.
Terazi dengede kal›rsa iki tencere de duralüminyumdan, bir ke- fe a¤›r basarsa a¤›r basan kefedeki tencere duralüminyumdan, kefedeki de alüminyumdan yap›lm›flt›r. Böylece (k + 3)’üncü tar- t› sonunda biri alüminyumdan öteki de duralüminyumdan yap›l- m›fl bir tencere çifti oluflturabiliriz. Bu çifti flimdi terazinin bir ke- fesine koyarak geriye kalan tart›lmam›fl 10 ! (k + 2) çift tencere içindeki alüminyum tencere say›s›n› da ilk bölümdeki yöntemle 10 ! (k + 2) tart›da buluruz. fiu halde yapmam›z gereken toplam tart› say›s› (k + 3) + [10 ! (k + 2)] = 11’dir.
6. Yoksul Gezgin. Zincir, s›ras›yla, 1, 2 ve 4 halkas› olan 3 parçaya bölünmelidir. Gezgin birinci günün ücretini tek hal- kayla öder. ‹kinci gün 2 halkal›k parçay› verir, tek halkay› ge- ri al›r. Üçünçü gün tek halkay› tekrar hanc›ya verir. Dördüncü gün 4 halkal›k parçay› verir ve 2 halkal›k parçayla tek halkay›
geri al›r. Beflinci günün ücretini gene tek halkayla öder. Alt›nc›
gün iki halkal›k parçay› verir tek halkay› geri al›r. Sonunda ye- dinci günün ücretini de o tek halkayla öder.
E¤er bu parçalama ifllemi zincir halkalar› kesilerek yap›la- caksa yaln›z 1 halkan›n kesilmesiyle zincir yukar›daki özelli¤i sa¤layan üç parçaya ayr›labilir. Bu halka hangi halkad›r?
7. Mektupla Satranç. Zeki Hin beyaz tafllarla oynayan ra- kibinin hamlelerini siyah tafllarla oynayan rakibine, bu ikinci- nin hamlelerini de geriye beyaz tafllarla oynayan rakibine pos- talar. Dolay›s›yla gerçekte iki rakibinin birbiriyle karfl›laflmas›- na arac›l›k eder. Sonunda rakiplerden biri ötekini yener ya da berabere kal›rlar. Ancak her iki durumda da Zeki Hin komis- yonculuk ücreti 1 puan› al›r.
8. ‹çerde mi D›flarda m›?
a. Evet. Sa¤ taraftaki aç›kl›ktan girilerek A noktas›na ko- layca ulafl›labilir.
b. Evet. Çünkü tek bir kapal› çizgiden oluflan herhangi bir flekil topolojik bak›m- dan bir çemberle (ya da bir kareyle ya da bir elipsle) ayn›d›r. Soruyu yan›tlamak için verilen noktaya d›flardan çizilecek herhan- gi bir çizginin labirenti oluflturan çizgiyi
tek say›da m› yoksa çift say›da m› kesti¤ine bak›l›r. Say› tekse d›flardan o noktaya labirenti kesmeden ulafl›lamaz. Say› çiftse ulafl›labilir.
1 2
Ok labirenti çift sayıda kestiği için noktayla labirentin dışını birleştiren bir yol vardır.
Y›ld›r›m Gibi Çarpmak
Matematik tarihi binlerce büyük matematikçinin yan›- s›ra dâhi hesaplay›c›lar ad›n› verece¤im hesap akro- batlar›n›n adlar›yla da doludur. Bu kifliler olanaks›z gibi görünen aritmetik ifllemlerini çok k›sa bir zamanda ak›ldan hesabetmekle ünlüydüler.
Ak›ldan h›zl› hesap yapabilme yetene¤iyle genel yetenek dü- zeyi aras›ndaki iliflki san›ld›¤› kadar yak›n görünmüyor. Para- n›n üstünü hesabetmekten aciz büyük matematikçilerin yan›s›- ra baflka zihin etkinliklerinde hiç de dâhi sayamayaca¤›m›z dâ- hi hesaplay›c›lar da var.
Dâhi hesaplay›c›lar özellikle 19’uncu yüzy›l›n bafl›ndan itiba- ren Avrupa, ‹ngiltere ve Amerika’da ortaya ç›kt›lar. Ço¤u bu mes- le¤e çocuk yaflta bafllad›. Bir ço¤u yöntemlerini anlatan kitaplar yazd›, ama gene de önemli bir bölümü gizle-
rini aç›klamad›. Hatta belki bu ifli nas›l yap- t›klar›n› kendileri de bilmiyorlard›.
Zerah Colburn (1804-1840), okuma yazma ö¤renmeden önce çarp›m tablosunu ö¤rendi. Sekiz yafl›nda ‹ngiltere’de gösteri turnelerine ç›kmaya bafllad›. Herhangi iki 4
basamakl› say›y› an›nda çarpabilen Col- Zerah 8 yafl›nda. Henry Meyer’in gravürü
burn’un 5 basamakl› say›lar› çarpabilmesi için biraz düflünmesi gerekiyordu. Bir gösteri s›ras›nda kendisine çarpmak üzere 21.734 ile 543 say›lar› verildi¤inde çarp›m› an›nda söylemiflti:
11.801.562. Nas›l yapt›¤› sorulunca da 543’ün 3 ile 181’in çar- p›m› oldu¤unu, dolay›s›yla büyük say›y› önce 3’le sonra da 181’le çarpt›¤›n› söylemiflti!
Baflka bir dâhi hesaplay›c›, ayn› za- manda bir matematik profesörü olan Ale- xander Aitken’di. Aitken bir gün ‹skoç matematikçi Thomas O’Beirne ile birlikte mekanik hesap makinalar› sergisine gider.
Makinalardan birinin bafl›nda duran ser- gici-tezgahtar: “fiimdi 23.586 ile 71.283’ü çarpaca¤›z” der demez, Aitken, “ve tabii 1.681.280.838 bulacaks›n›z” diye cevap verir. O’Beirne, “sonuç do¤ru ç›k›nca orada bana da, sergi müdürüne de inme iniyordu” diyor.
Peki, dâhi hesaplay›c› gibi görünmek için ille gerçekten dâhi hesaplay›c› olmak gerekli mi? Hay›r. Olanaks›z gibi görünen ba- z› numaralar› ö¤renmek ve bu yetene¤iyle arkadafllar›n› hayrete düflürmek isteyen okurun sarfetmesi gereken çaba gerçekten çok az. Örne¤in ifle afla¤›daki çarpma gösterisiyle bafllayabilirsiniz.
Arkadafl›n›za size 3 rakaml› herhangi bir say› vermesini söyle- yin1, 782 say›s›n›n verildi¤ini varsayal›m. Say›y› karatahtaya ya da k⤛da yan yana iki kez yaz›n.
782 782
‹kinci bir 3 rakaml› say› isteyin. Bu say›y› da soldaki say›n›n al- t›na çarpan olarak yaz›n. fiimdi sa¤daki say›y› çarpmak için üçüncü bir say›ya gereksinmeniz var. Bu say› soldaki say›n›n çarpan›n›n 9’a tümleri olmal›d›r. Yani karfl›l›kl› olarak bu say›-
Alexander Aitken (1895-1967)
1 Gösterinin yap›labilmesi için say›n›n 3 rakaml› olmas› flart de¤il. Ancak 3’e s›- n›rlamak karfl›n›zdakinin sonucu kolayca kontrol etmesini sa¤lar.
n›n basamaklar› ile soldaki çarpan›n basamaklar›n›n toplam›
hep 9 etmelidir. Örne¤in soldaki çarpan 423 ise sa¤daki çarpan 576 olmal›d›r:
782 782
423 576
fiüphesiz bunu arkadafl›n›z bilmemeli. Bunu sa¤lamak için arkadafl›n›z 423’ü verdikten sonra “Eh flimdi de ben bir say›
yazay›m” deyip 576’y› yazabilirsiniz. E¤er gösteriyi bir gruba yap›yorsan›z, do¤ru say›y› önceden anlaflt›¤›n›z bir gizli orta¤a da söyletebilirsiniz. (Gösteri biraz Kad›köy vapurunda leke ila- c› satmaya benzemeye bafllad› ya, neyse.)
fiimdi her iki çarpmay› da ak›ldan yapaca¤›n›z›, sonuçlar›
ak›ldan toplayaca¤›n›z› ve toplam› yazaca¤›n›z› aç›klay›n. ‹ki çarp›m›n toplam›n› bir ç›rp›da flöyle bulun: Çarp›lan say›dan 1 ç›kar›n ve bu say›n›n sa¤›na 9"a tümlerini ilifltirin. Yukar›daki örnekte 782 eksi 1 eflit 781. Bu say›n›n 9’a tümleri 218. fiu hal- de sonuç 781.218’dir.
‹ki çarp›m›n toplam›n›n neden bu denli kolayca hesaplana- bilece¤ini hemen gösterebiliriz:
782 # 423 + 782 # 576 = 782 # 999
= 782 # (1000 ! 1) = 782.000 ! 782
= 781.000 + 1000 ! 782
Fakat 1000 ! 782 say›s› 781’in 9’a tümleridir. Böylece 781.218 elde ederiz.
Bir baflka “y›ld›r›m gibi çarpma” gösterisi, çarpanlardan bi- rinin hiç de öyle görünmedi¤i halde çok özel bir say› olmas›n- dan yararlan›r. Bu say›lardan biri 143’tür. Gene arkadafl›n›z- dan 3 rakaml› bir say› istedikten sonra, siz de sanki gelifligüzel bir say› yaz›yormuflcas›na bu say›n›n alt›na sihirli say› 143’ü ya- z›n ve hemen ard›ndan arkadafl›n›z›n say›s›yla 143’ün çarp›m›n›
soldan sa¤a do¤ru yazmaya bafllay›n. Sonucu elde etmek için ya- paca¤›n›z, arkadafl›n›z›n say›s›n›, yan›na kendisinden bir tane da- ha ilifltirilmifl 6 rakaml› bir say› gibi düflünüp, bu say›y› 7’ye böl-