Bu yazıda efsanevi Alman matematikçi David Hilbert tarafından kurgulanmış, popüler matematik meraklılarınca iyi bilinen bir hikâyeden söz edeceğiz. Hilbert bu hikâyeyi, vatandaşı Georg Cantor’un keşfettiği, matematik dünyasını derinden sarsmış sonsuz kümeler kuramına giriş yapabilmek için girdiği derslerde anlatırmış.
Belki çoğu okura göre “tekrar suçu” işleyeceğim, ama bu mükemmel hikâyeden habersiz matematik meraklısı birçok gençle karşılaşıyorum. Onlara da ulaşmayı düşünerek matematiksel heyecanı yüksek bu öyküyü bazı küçük kurgu değişiklikleriyle kaleme almak istedim.
Otel Hilbert, sonsuz sayıda odası olan bir otel! 1, 2, 3, 4… diye numaralandırılmış, bir kişilik sonsuz sayıda odası var.
Tüm odalarının dolu olduğu bir gün, otele bir müşteri gelir. Resepsiyondan otelde boş yer olmadığını öğrenerek hayal kırıklığıyla çıkış kapısına doğru yöneldiği sırada lobide oturan David Hilbert’in sesi duyulur:
– Bir dakika bayım, sizin için boş bir oda bulabiliriz.
– Nasıl? Kalan konuklardan birinden odasını boşaltmasını mı isteyeceksiniz?
– Yok, hayır, şöyle yapabiliriz: Konuklarımızdan odalarını birer kaydırmalarını rica edeceğiz. 1 numaralı konuk 2 numaralı odaya, 2 numaralı konuk 3numaralı odaya, 3 numaralı konuk 4 numaralı odaya geçer ve bu şekildeki taşınma sonsuza dek yapılırsa 1 numaralı odaya siz geçebilirsiniz.
– İyi ama, son odada kalan son konuğu dışarı mı atacaksınız?
– Otelimizde sonsuz sayıda oda olduğunu söylemiştim, son oda ve son konuk yok maalesef.
– Mükemmel! Teşekkürler.
Ertesi gün otelde işler daha da açılır. Bu kez, otelin önüne sonsuz sayıda yolcusu olan bir otobüs park etmiştir. Yolcuları gezdiren rehber resepsiyon görevlisinden boş yer olmadığını öğrenerek sonsuz sayıdaki yolcusuna başka bir otel bulmayı düşündüğü sırada yine Hilbert’in sesi duyulur:
– Odalarımız dolu, ama yolcularınıza oda bulabiliriz.
– Otobüste sonsuz sayıda yolcu var, sonsuz sayıda oda açabilecek misiniz?
– Tabii ki, hiç sorun değil. Otelimizdeki konukları içinde oldukları odanın numarasının iki katı numaralı odalara taşıyacağız. 1 numaralı konuk 2 numaralı odaya, 2 numaralı konuk 4 numaralı odaya, 3 numaralı konuk 6 numaralı odaya, 4 numaralı konuk 8 numaralı odaya geçer ve taşınma işlemi sonsuza dek yapılırsa sonsuz sayıdaki tek sayılı (1, 3, 5, 7…) odalar boş kalır. Otobüsün 1 numaralı koltuğunda oturan yolcuyu ilk tek sayı olan1 numaralı odaya, 2 numaralı koltukta oturan yolcuyu ikinci tek sayı olan 3 numaralı odaya, 3 numaralı koltukta oturan yolcuyu üçüncü tek sayı olan 5 numaralı odaya yerleştirir ve böylece devam edersek otobüsünüzdeki bütün konukları ağırlayabiliriz.
– Çok güzel, müthiş bir buluş, çok teşekkürler. Ben yolcuları çağırmaya gidiyorum.
Üçüncü günün sabahında otel görevlileri şaşkınlık içindedir, otelin önüne sonsuz sayıda otobüs gelmiştir ve her otobüste sonsuz sayıda yolcu vardır. Otobüs 1’in yanına otobüs 2, otobüs 2’nin yanına otobüs 3 park eder ve bu şekilde park etmeyi sürdüren sonsuz sayıda otobüsten ucu bucağı görünmeyen bir konvoy oluşmuştur.
Otel doludur. Acaba, otobüslerdeki her yolcu için yeni bir oda bulmak mümkün müdür? Bütün gözlerin üzerine çevrildiği David Hilbert gayet sakin, “Sorun yok, yeni gelen her yolcuya bir oda bulabiliriz.” diye mırıldanır ve ardından da “İlk yapmamız gereken şey, önceki günkü gibi sonsuz sayıda odayı boşaltmak olmalı.” diye ekler. Aynı yöntemi kullanır, yani yine oteldeki herkesi kendi oda numarasının iki katı olan odalara yerleştirir. Böylece sonsuz sayıdaki tek numaralı odaların tümü boşalmış olur. Şimdi yapılması gereken tek şey sonsuz sayıdaki otobüs kafilesinde bulunan tüm yolcuları saymanın bir yolunu bulmaktır. Böylece ilk yolcu 1 numaralı odaya, 2. yolcu 3 numaralı odaya, 3. yolcuyu 5 numaralı odaya yerleşecek ve böyle devam edilirse kafiledeki tüm yolcular odalarına yerleşmiş olacak.
Bu kez Hilbert’in işi daha zordur. Eline kalemi alıp, aşağıdaki tabloyu yapar. Her yolcuyu listeler. Her bir yolcuya a/b biçimindeki bir kesirle bir numara verir.
Burada a otobüsün numarasını, b ise yolcunun oturduğu koltuğun numarasını gösterir. Örneğin 1/1, ilk otobüsün ilk yolcusunu, 2/3 ikinci otobüsün üçüncü yolcusunu gösteriyor.
Hilbert, kafiledeki bütün yolcuları tabloda görüldüğü gibi zikzak bir yol izleyerek sayabiliyor. Bu yöntemle saymaya başlanırsa ikinci kişi birinci otobüsün ikinci yolcusu (1/2), üçüncü kişi ikinci otobüsün birincisi yolcusu (2/1), dördüncü kişi üçüncü otobüsün birinci yolcusu olur. Böylece devam edilirse bütün yolcular aşağıda gösterildiği gibi sayılmış olur.
Boşaltılmış odalar: 1 3 5 7 9 …
Kafiledeki yolcular 1/1 1/2 2/1 3/1 2/2 …
Kıssadan hisse
Otel Hilbert hikâyesi buraya kadar olan bölümüyle bize neyi anlatıyor? Bu soruyu yanıtlamadan önce matematiksel sonsuzun fikir babası Georg Cantor’un sonsuz kümelere şaşırtıcı yaklaşımından birkaç cümleyle söz edelim.
Cantor, doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenebilen tüm sonsuz kümelerin (tek tamsayılar, kareler, asallar gibi) aynı büyüklükte olduğunu saptar. Bu büyüklüğe, İbrani alfabesinin ilk harfine sıfır alt indisi kullanarak (À0) alef sıfır adını verir. Elemanları doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenebilen her bir sayı kümesinin eleman sayısı, daha doğrusu büyüklüğü À0’dır. Eğer sonsuz sayıda elemandan oluşan bir kümenin elemanlarını doğal sayılar kümesinin elemanlarıyla birebir eşleyebiliyorsak bu kümenin elemanlarını sayabiliyoruz demektir. Ki bu tür kümelerin tümünün büyüklüğü À0’dır. Cantor buradan “sayılabilir sonsuzluk” kavramına ulaşmıştır. Elbette ardından da sayılamaz sonsuzluğa. Cantor’un bu adımı bir devrimin başlangıcı olarak kabul edilir.
Hikayemize dönersek…
Birinci gün: Otelde tüm odalar doluyken gelen bir müşteriye oda açılabilir. Matematik sembolleriyle ifade edersek: À0 + 1 = À0 (Yaygın olarak kullanılan anlatımı: sonsuz artı bir eşittir yine sonsuz)
İkinci gün: Otelde tüm odalar doluyken sayılabilir sonsuzlukta odaya sayılabilir sonsuzlukta yolcu yerleşebiliyor. Bu cümlenin matematiksel ifadesi: À0 + À0 = À0 (Yaygın anlatımı: sonsuz artı sonsuz eşittir yine sonsuz.)
Üçüncü gün: Otelde tüm odalar doluyken sayılabilir sonsuzluktaki otobüste bulunan sayılabilir sonsuzluktaki yolcuya oda bulunuyor. Matematiksel ifadesi: À0 × À0 = À0 (Yaygın anlatımı: sonsuz çarpı sonsuz eşittir sonsuz)
Dikkat edilirse sonsuz kümelerde yapılan işlemler aritmetikteki işlemlerden çok farklıdır. Bu yüzden parantez içinde “yaygın anlatım” ifadesini kullanarak yazdığımız cümleler doğru değildir; çünkü bu cümleler, aritmetiksel işlem dünyasıyla ilgilidir, sonsuz kümelerde geçersizdir.
“Görüyorum, ama inanamıyorum”
Şimdi, Cantor’un çok şaşırtıcı bir keşfinden söz edelim. Koltuklar ve otobüsler tablosuna bakarsak, a / b şeklinde ifade edilen her kişi a/b kesriyle gösterilebilir. Tablo sağa ve aşağıya doğru sonsuz şekilde genişletildiğinde tüm pozitif kesirleri kapsayacaktır. Örneğin 1789/668 kesri 1789’uncu satır ve 668’inci sütunda yer alır. Tabloda her bir otobüsteki her yolcuyu saymak için kullandığımız zikzak sayma yöntemi, pozitif tüm kesirleri saymak için de kullanılır. Dolayısıyla tüm pozitif kesirler kümesi ve tüm doğal sayılar kümesi aynı büyüklüktedir, yani À0. Sezgilerimiz bize doğal sayılardan daha fazla kesirli sayıların olduğunu söyler, ama Cantor yanıldığımızı göstermiştir. Cantor bile kendi ulaştığı sonuca inanamamış, arkadaşı Dedekind’e yazdığı mektupta “Görüyorum, ama inanamıyorum.” cümlesini kurmuştur.
Otelde kargaşa, matematikte devrim!
Otel Hilbert’e dönerek Cantor’un çok şaşırtıcı bir keşfinden daha söz edelim. Bu keşif matematiksel aklın en güzel meyvelerinden biridir. Birçok matematikçinin güvenli dünyalarını sarsmış, kimilerince matematiksel sapkınlık olarak nitelendirilmiş, ama matematikte çığır açıcı sonuçlara yol açmıştır.
Bu kez, otelin tüm odaları boştur ve otel yönetimi sonsuz sayıda müşterinin geldiği günlerin özlemiyle işlerin yoluna sokulması için ne yapılması gerektiğini kara kara düşünmektedir. Hilbert’in “Ben bu konuda bir şey yapamam, ama istediğiniz sayıda müşteri bulun, odalara nasıl yerleştireceğinizi söyleyeyim.” dediği sırada mükemmel bir haber gelir. Otelin önüne yine sonsuz sayıda otobüs park etmiş ve her bir otobüste sonsuz sayıda yolcu vardır. Bu sefer, her bir yolcunun elinde 0 ve 1 sayıları arasında bulunan sonsuz genişlikteki tüm ondalık sayıların yazılı olduğu kartlar bulunmaktadır. Bu kartlardaki ondalık sayıların tümü birbirinden farklı olup, (0, 1) aralığındaki tüm sonsuz genişlikteki ondalık sayıları kapsamaktadır. Tabii ki yolcuların ellerindeki kartların uzunlukları da sonsuz genişliktedir. Elbette, genişliği sonlu olan ondalık sayıların yazılı olduğu kartları taşıyan yolcular da olabilir. Ama bu kartlardaki sayılar sağ taraflarına sonsuz sayıda sıfır ekleyerek genişliği sonsuz olan ondalık sayılara dönüştürülebilir. Böylece (0,1) aralığındaki tüm ondalık sayılar kartlarda yazılıdır.
Yolcuları gezdiren rehber resepsiyona gelip otelde kendilerini ağırlamanın bir yolu olup olmadığını sorar. Otel yönetimi bu sorunu Hilbert’in kolaylıkla çözeceğini düşünerek rehbere olumlu yanıt verir ve yolcular yavaş yavaş otele gelmeye başlar.
Hilbert lobidedir ve elinde kağıt kalem bazı hesaplar yapmaktadır. Bu arada otobüslerdeki müşteriler akın akın otele geliyordur. Otel yönetimi henüz Hilbert’ten olumlu bir yanıt alamamıştır. Hangi odaya gideceklerini bilemeyen yolcuların gösterdikleri tepkiler büyük bir kargaşaya neden olur.
Hilbert ayağa kalkarak, bu kez, gelen tüm müşterilerin otele yerleştirilmesinin mümkün olmadığını söyler. Otel yöneticileri, hiç beklemedikleri bu söz üzerine şaşkınlık içinde Hilbert’ten biraz daha çalışmasını ve bir yöntem bulmasını rica ederler. Yöneticilerin bir türlü aklı almıyordur, çünkü daha önce de sonsuz sayıdaki otobüsle sonsuz sayıda yolcu gelmiştir, bugün de. Ama bu kez durum farklıdır, (0, 1) aralığındaki her bir ondalık sayıyı listeleyerek saymak pek kolay değildir.
Kahramanımız Hilbert, bu işlemin mümkün olmayacağını şöyle açıklar: (0,1) aralığındaki tüm ondalık sayıları içereceğini varsayarak yapılacak her bir sonsuz listede olmayan, ama (0,1) aralığında bulunan bir sayı mutlaka vardır. Bunu kanıtlayabilirim. Oda bulma umuduyla otelde bulunan yolcular, otel çalışanları ve yöneticiler hüsran duygusuyla Hilbert’in etrafında toplanmışlardır.
Hilbert ilk iş olarak lobideki yolcuların elindeki kartların numaralarından oluşan bir liste yapar ve bu listenin dışarıdaki sonsuz sayıda yolcunun kartlarındaki numaralarla sonsuza deksürdürülebileceğini söyleyerek, aşağıdaki listeyi kâğıda yazar. (Gelişigüzel seçilmiş bu numaraların sonsuz genişlikte olduklarını biliyoruz.)
Oda 1 0,5738949…
Oda 2 0,2023246…
Oda 3 0,4218654…
Oda 4 0,0398716…
Oda 5 0,7770175…
Oda 6 0,3469679…
Oda 7 0,1875696…
Oda… 0
Hilbert’in amacı (0, 1) aralığında olup listede bulunmayan ondalık sayıyı bulmaktır. Bunu da aşağıdaki yöntemi kullanarak yapar. İlk olarak 1’inci odadaki ondalık sayının virgülden sonraki ilk rakamını, daha sonra 2’inci odadaki sayının virgülden sonraki ikinci rakamını, sonrasında da 3’üncü odadaki sayının virgülden sonraki üçüncü rakamını alarak bu şekilde devam eder ve yine sonsuz genişlikte yeni bir ondalık sayı elde eder. Bu sayıyı aşağıdaki listede koyu renkte gösterilmiş çapraz rakamlardan oluşturmuştur.
0,5738949…
0,2023246…
0,4218654…
0,0398716…
0,7770175…
0,3469679…
0,1875696…
Bu sayı 0,5018176… olur.
Hilbert, izleyenlerin şaşkın bakışları arasında şu sözleri söyler: Yaptığım listede bulunmayan sayıyı oluşturmak için 0,5018176… sayısının rakamlarını değiştirmem gerekiyor. Bunu da her bir rakama 1 ekleyerek yapabiliriz. Böylece şu sayıyı elde ederiz: 0,6129287…
Alkışlar başlar. Yapılan listede bulunmayan sayının 0,6129287… olduğunu görenler coşkuyla Hilbert’i alkışlıyordur. Hilbert sözlerini sürdürür: 0,6129287… sayısı yaptığım listeye ait değildir. Bu sayı, 1’inci odadaki numara olamaz, çünkü ilk basamağındaki rakam 1’inci odadaki numaranın ilk basamağından farklıdır. 2’inci odada da olamaz, çünkü ikinci basamağı 2’inci odadaki numaranın ikinci basamağından farklıdır. Bunu bu şekilde sonsuza dek sürdürdüğümüzde listede bulunmayan sonsuz genişlikteki bir ondalık sayının mutlaka bulunacağı sonucuna ulaşırız. Pekâlâ, listede ilk yedi basamağı 0,6129287 olan bir sayı bulanabilir, ama bu sayı listede olsa da bizim oluşturduğumuz sonsuz genişlikteki sayı bu sayıdan en az bir basamak bile olsa daha sonraki basamaklarda farklı olacaktır. Bu yüzden, gelen müşterileri sonsuza dek odalara göndermeye devam etsek bile elindeki kartta bizim oluşturduğumuz 0,6129287… sayısını taşıyan müşteri için bir oda bulamayız.
Yolcuları gezdiren rehber, otel yöneticileri, gelen yolcuların odalara yerleşemeyecek olmasından dolayı üzgündürler, ama öte yandan büyük bir olaya tanık oldukları için şanslı olduklarını düşünerek dağılırlar.
Kıssadan Hisse
Otel Hilbert’te sonsuz sayıda oda var, ama yine de (0,1) aralığındaki sonsuz sayıdaki ondalık sayıyla numaralandırılmış, sonsuz sayıdaki yolcuyu odalara yerleştiremiyoruz, hep açıkta kalan birileri oluyor. Oysa daha önce yine sonsuz sayıda yolcuyu aynı otele yerleştirebiliyorduk. Bunun nedeni, büyüklükleri aynı olmayan iki farklı sonsuzlukla karşı karşıya olmamızdır. Hikâyenin son bölümü bize, doğal sayıların “sonsuzluğundan” daha büyük sonsuzlukların olduğunu anlatır. Otel Hilbert’in odaları doğal sayılar kümesinin elemanlarıyla numaralandırılmıştır, (0,1) aralığında bulunan sonsuz genişlikteki ondalık sayılar, daha doğrusu reel sayılar oda numaralarıyla birebir eşlenemez. Cantor, hikâye kahramanımız Hilbert’in kullandığı “çapraz yöntemiyle” doğal sayılar kümesinden daha büyük sonsuzlukların olduğunu göstermiş, sonrasında da “sonsuzun” tek değil çok olduğunu ve bazı sonsuzların bazılarından daha büyük olduğunu keşfetmiştir. Sonsuz kümeleri sayılabilir ve sayılamaz olarak ikiye ayırmıştır. (0,1) aralığındaki reel sayılar kümesinin “sayılamaz”, doğal sayılar kümesinin ise “sayılabilir” olduğunu göstermiştir.
Başlangıç adımlarını anlatmaya çalıştığımız Cantor’un bu keşfi, 19. Yüzyıl matematiğine damgasını vurmuş, sonrasında da devrim etkisi yaratmıştır. Sonsuzluk artık gözümüzün önündedir, üstelik derecelendirilmiş olarak.
Kaynak
1) Bellos, A, Alex Sayılar Diyarında, Çev. Köksal Gülerkaya, Pegasus Yayınevi, 2012.