Matematik bireysel medeniyetleri ve özel dilleri aşar. O, geniş bir mantık sistemi – bir çeşit kainat dilidir. Matematikçileri eski zamanlardan şu ana kadar zorlayan belirli paradoks ve çelişkiler çıkmıştır. Bazıları yanlış paradokslardır: gerçek çelişkiler sunmazlar ve yalnızca düz mantıksal hilelerdir. Diğerleri matematiğin temellerini bile sarsmışlardır – çözmek için parlak, kreatif matematiksel düşünce gerektiren. Diğerleri bu güne kadar çözülemeden gelmiştir. Burada iki paradoks anlatılacak: Zeno’nun hareket paradoksu ve Cantor tarafından çözülen sonsuz kümeler paradoksu.
Zeno Paradoksu:
Yunanlı filozof Elea’lı Zeno(M.Ö. 495 ila 480 arasında doğmuş) değişik felsefik çevrelerde karşılaştığı, zaman ve uzayın kabul görmüş meseleleri üzerine doğruluklarını sorgulayıcı dört paradoks öne sürmüştür. Onun paradoksları asırlardır matematikçileri şaşırtmıştır, ta ki paradoksların tamamiyle çözülebileceği Cantor’un sonsuz kümeler teorisini geliştirmesine kadar (1860 ve 1870 lerde).
Zeno’nun paradokları matematiğin en derin bir meselesine, soyut ile devamlı arasındaki ilişkiye odaklanıyor. Burada onun meşhur dört paradoksundan ilkini sunacağız. Zeno’nun ilk paradoksu zamanında birçok filozofun kabul ettiği bir fikre saldırmaktadır: uzay sonsuz çoklukta bölünebilir ve bu nedenle hareket devamlıdır.
Paradoks 1 (Hareketsiz koşucu):
Bir koşucu belirli bir mesafeyi -diyelim 100 metre- verilen sınırlı bir zamanda koşacak. Ama 100 metre bayrağına ulaşmak için önce 50 metre bayrağına varmalı ve buna ulaşmak için önce 25 metre bayrağına varmalı. Ama yine buna ulaşmak için önce 12.5 metre bayrağına varmalı.
Uzay sonsuz çoklukta bölünebildiğine göre bu aşamalar sonsuza kadar tekrar edebilir. Yani koşucu sınırlı bir zamanda sonsuz sayıda orta noktaya ulaşmak zorunda. Bu mümkün olmadığına göre, koşucu hedefine varamayacaktır. Genelde, bir noktadan diğerine gitmek isteyen kimse bu koşulları sağlamalıdır, ve böylece hareket imkansız olacaktır ve hareket olarak algıladığımız şey sadece bir illüzyondur.
Düşünce nerede koptu? Neden?
Sonsuz Kümeler:
Tamsayılar mı, çift tamsayılar mı daha fazladır?
Kolay bir soru gibi görünüyor, öyle mi? Herşeyden öte, her çift tamsayı bir tamsayıdır ama tüm çift sayılar için ne demeli? Yani çift tamsayılardan daha fazla tamsayı vardır, doğru mu? Fakat bekleyin bir dakika. Kaç tane çift tamsayı vardır? Sonsuz sayıda. Peki kaç tane tamsayı vardır? Yine sonsuz sayıda. Hmmmmm…
“Sonsuz” diyor A öğrencisi, ” sadece bir terimdir… gerçekte bana her birinden aynı sayıda olduğunu göstermenin yolu yoktur.”