Sonsuzun ötesi olmadığını düşünürüz oysa çeşitli sonsuzluklar vardır ve bazıları ise açık bir şekilde diğerlerinden daha büyüktür.
Sonsuzluk çelişkilerle dolu ve akıl karıştıran bir kavram ancak aklınız karıştığı zaman endişelenmeyin bu aklınızın çalıştığının göstergesidir aslında. Sonsuzluk üzerine düşünmeye başladığınızda tehlikeli bölgelere girmiş olursunuz. İmkanları olsa matematikçiler sonsuzluğu siler atarlardı belki de ancak bu mümkün değil çünkü matematik her açıdan sonsuzluğun izlerini taşır.
Sonsuzluğu başlangıç düzeyinde tanımlarken akıl edilebilecek en büyük sayı olarak düşünürüz oysa bu yanlıştır çünkü akıl edilebilen her sayı sonludur.
Örnek olarak 1,2,3… şeklinde devam eden doğal sayıları ele alalım. Bu sayılar sınırsızdır ve bütün doğal sayıların birleşim kümesi büyüklük olarak sonsuzdur. Peki bu sonsuz ne kadar büyüktür?
Alman matematikçi George Cantor’un 19. yüzyılın sonlarına doğru gösterdiği gibi çeşitli sonsuzluklar vardır ve bazıları açık bir şekilde diğerlerinden daha büyüktür.
Cantor, doğal sayıların sayılamaz çoklukta olmalarına rağmen bir başka sayı ailesi olan reel sayılardan daha az sayıda olduğunu çok zekice bir argüman kullanarak gösterdi.
Reel sayılar kümesi, ondalık gösterimleri sonsuz uzunlukta olsa bile ondalık şekilde gösterilebilen bütün sayıları içerir. Bu yüzden 27 bir reel sayı olduğu kadar π sayısı ya da 3,14159… bir reel sayıdır.
Cantor bunu mantıklı bir şekilde çelişki yöntemiyle yaptı.
Öncelikle bu sonsuz kümelerin aynı büyüklükte olduğunu varsaydı. Daha sonra bu varsayımı çürütecek bir kusur bulmak için bir takım mantıksal basamakları takip etti. Doğal sayılar ve reel sayıların 0 ile 1 arasındaki alt kümesinin eşit sayıda elemana sahip olması demek bu iki küme arasında birebir bir eşleme kurulabileceği anlamına gelir. Bu da iki kümenin her bir elemanı diğerinin elemanlarından yalnızca bir tanesi ile eşleşir demektir.
Şu şekilde düşünelim: birebir eşleme, nümerik sayım olmasa bile ilişkili büyüklükleri ölçmek için kullanılabilir. Büyüklüğünü bilmediğimiz iki kasa hayal edelim, birinde elma diğerinde portakal olsun. Elma-portakal partnerleri oluşturmak için iki kasadan da aynı anda bir elma ve bir portakal çekelim. Eğer kasaların içi aynı anda boşalıyorsa eşit sayıdadırlar. Eğer biri diğerinden daha önce boşalıyorsa kalan kasadaki meyveler daha çoktur.
Bu nedenle Cantor doğal sayılar ve 0 ile 1 arasındaki reel sayıları bu şekilde bir eşlemeye koymayı varsaydı. Daha sonra Cantor’un kurnaz tarafı gösteriye başladı. Bunu basit bir dil ile açıklamaya çalışalım:
Şimdi elinizde bir reel sayı listesi olduğunu ve bu listeye yazılabilecek tüm ondalık açılımlı sayıları yazdığınızı düşünelim. Sizin listenize bakarak ben yeni bir reel sayı oluşturacağım. Kural şu:
1.sayınızın virgülden sonraki ilk basamağına bakacağım ve eğer bu sayı 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım.
Ardından listedeki 2. sayınızın 2. basamağına bakacağım ve tekrardan bu sayı 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım. Ardından 3. sayınızın 3. basamağına ve bu biçimde eklemeler yaparak kendi sayı yazacağım. Sonuçta hiçbir zaman birbirimizin aynısı iki sayı bulma şansımız olmayacaktır. Oluşumu açısından her bir reel sayıdan en az bir ondalık hane ile farklılaşacaktır.
Sonuç olarak reel sayılar sayılamayacak çokluktadır ve reel sayıların sonsuzluğu bir şekilde doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyüktür.
Aslında Cantor aynı zamanda bizlere herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda, orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini gösterdi. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa, daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz.
Zamanında kendisini derin bunalımlara sürükleyen Cantor’un bu tehlikeli düşünceleri bugün tüm matematik araştırmacılara tarafından kabul görmekte.
Kaynak
Konu ile ilgili bu kısa videoya da göz atmak isteyebilirsiniz…