Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Yüzey alanı örneği
Burada, bir simit örneğini kullanarak, yüzey alanını hesaplama alıştırması yapma şansınız var.
Bu kimin için?
Bu makale, belirli bir çift katlı integral kullanarak parametrik yüzeylerin yüzey alanını hesaplamayla ilgili bir önceki makaleyi okuyan, ve bu kavramla alıştırma yapmak isteyenlere yöneliktir. Bu yöntemi kullanarak bir torusun (çörek şekli) yüzey alanını bulacaksınız, bu hiç de az hesaplama gerektirmez.
Bu hesaplamalarla ilgili pratik yapmak istemiyorsanız veya ihtiyaç hissetmiyorsanız, ve bu yüzey integrallerinin genel kavramıyla ilgili kendinizi rahat hissediyorsanız, bir sonraki makaleye atlayın.
Yüzey alanı integralinin hızlı bir tekrarı
Bir örneğe dalmadan önce, bir önceki makalede bir yüzeyin alanını bulma için tanımlanan yöntemi hatırlayalım.
- Yüzeyi parametrize edin. Başka bir deyişle, iki boyutlu düzleminin belirli bir bölgesini üç boyutlu yüzeyinizle eşleştiren vektör değerli bir fonksiyonu bulun. Bazen bu parametrizasyon size verilecektir, yüzeyiniz böyle tanımlanırsa. Başka zamanlarda, yüzey başka türlü tanımlanır, ve bunu sizin bulmanız gerekir.
- Yatay ve düşey doğrularla parametre uzayını ayırdığınızı, böylece bölgesini küçük dikdörtgenlere böldüğünüzü düşünün. Bu dikdörtgenlerin her biri yüzeyin paralelkenarla iyi kestirilen bir parçasıyla eşleştirilir. Küçük dikdörtgeniniz noktasında durursa, ve eni ve yüksekliği ise, alanını aşağıdaki ifadeyle kestirebilirsiniz:Başlangıçtaki dikdörtgenler ne kadar küçükse, yüzeyinizin parçası düz bir paralelkenara o kadar benzer, ve bu ifade bu parçanın gerçek alanına o kadar yaklaşır.
- Bu parçaların alanlarını bir çift katlı integralle toplayın:
Bir simitin yüzey alanı
Bu makalenin hedefi, bir simidin yüzey alanını bulmaktır:
Bu torusun boyutlarını tanımlamak zordur, ama çörek terminolojisiyle bunu deneyeceğim. Bu torusu çöreğin şekerli kısmı gibi düşünün.
- Diyelim ki, başlangıç noktasıyla bu jöle dolgusunun en iç tarafı arasındaki uzaklık olsun. Buna "dış yarıçap" diyelim.
- Ayrıca, jöle dolgusunun en iç tarafıyla şekerli kısmın arasındaki uzaklık olsun. Buna "iç yarıçap" diyelim
Bu boyutlara göre, torus aşağıdaki fonksiyonla parametrize edilebilir:
Bu parametrizasyonun torusu sadece bir kere çevirmesi için, -düzlemindeki bölgeye uygulayın
Bu parametrelendirmenin nereden geldiğinin bir tanımı için, bu makaledeki son örenği gözden geçirin.
Adım 1: Her kısmi türevi hesaplayın
Unutmayın, bu vektörlerin torusu oluşturan küçük paralelkenarların kenarlarını temsil ettiğini düşünmelisiniz. Daha doğrusu, birincisini ve ikincisini ile çarparak bunları bu paralelkenarlardan birinin sonsuz küçüklükteki boyutuna indirmeniz gerekir.
Olduğu üzere, bu vektörler birbirine diktir (iç çarpım alarak bunu kontrol edebilirsiniz). Bu, torusu oluşturan bütün minik paralelkenarların dikdörtgen olduğuu ima eder, en azından bu parametrizasyonu kullandığımızda. Bunu üstteki torusun resminde görebiliriz.
Adım 2: Çarpraz çarpımı hesaplayın
Bulduğunuz iki vektörün kapsadığı paralelkenarın alanını bulmak için, birinci adım vektör çarpımını almaktır. (Uyarı: Bu, çok karmaşıklaşacak)
Adım 3: Çapraz çarpımın büyüklüğünü bulun
Bu hesapladığınız vektör çarpımı bir vektördür. Bu iki kısmi türev vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın alanını bulmak için, bunun büyüklüğünü bulmamız gerekir. (Uyarı: Bu, daha da karmaşıklaşacaktır).
Bunu ile ölçeklediğinizde, bu size torusu oluşturan küçük paralelkenarların alanını ile cinsinden bir fonksiyon olarak belirtir. Neyse, bu durumda, cevap cinsinden bir fonksiyondur, bu da değiştikçe, bu paralelkenarların alanının değişmeyeceği anlamına gelir.
Adım 4: Uygun çift katlı integrali oluşturun
Aşağıdakilerden hangisi, bu torusun yüzey alanını temsil eden çift katlı integrale konulması gereken doğru sınırları temsil eder?
Adım 5: Çift katlı integralin değerini bulun
Bu simitin yüzey alanı:
Tebrikler
Bu integraller çok iş gerektirir, onun için bunu tamamladığınız için kendinizi tebrik edin!
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.