Georges Louis Leclerc (daha sonra Comte de Buffon) Fransız doğabilimci, matematikçi, kozmolog ve ansiklopedi yazarıdır. Geometrik olasılıktaki en eski problemlerden biri 1733’te onun tarafından ortaya atıldı ve çözüldü. Aynı genişlikte bir dizi paralel çizgiye bir iğne atılırsa, iğnenin çizgilerden birini geçme olasılığı nedir? İşte bu soru günümüzde Buffon’un iğne deneyi olarak bilinmektedir. Devamında da bizlere pi sayısını hesaplamaya çalışmanın eğlenceli bir yolunu gösterir.
Buffon, birbirine paralel tahtalarla döşenmiş zemine bir iğne attığımızda, iğnenin tahtalar arasındaki birleşme çizgilerine değme olasılığının (k, iğnenin boyu, t paralel çizgiler arasındaki uzaklık olmak üzere), 2k / πt olduğunu bulmuştu. Bulduğu sonuçları 1777 yılında yayınladı.
Ancak kendisi bu çalışmasını yaparken pi sayısını hesaplamak ile pek de ilgilenmiyordu. Kendisi daha çok şans oyunlarının olasılık hesaplaması ile ilgileniyor gibi gözüküyordu ( Buffon’un böyle bir deneyi yapıp yapmadığı bile tartışmalıdır). Ne var ki ilerleyen süreçte deney sonuçları matematikçilerin ilgisini çekti ve bu sonuçları pi sayısını hesaplamakta kullanabileceklerini düşündüler.
Buffon İğne Deneyinin Tarihi
1901’de İtalyan matematikçi Mario Lazzarini, Buffon’un iğne deneyini, pi’nin değerini hesaplamak için kullanmayı denedi. İğnesini 3408 kere attı ve iğnenin çizgilere değdiği seferleri sayarak pi’yi altı basamağa kadar doğru olarak hesaplamayı başardı. Fakat bazı matematikçiler bu çalışmaya şüpheyle yaklaştılar. Neden tam olarak 3408 atış yapmıştı? Sonuçta pi sayısının gerçek değerini biliyorsanız, tek yapmanız gereken, iğne düşürme deneyinizi doğru sonucu verdiği uygun bir anda bırakmaktır. Bu durumda sonucu aynı kesinlikle ortaya koyan bir deney düzenlemek son derece kolaydır.
Neyse ki matematikçiler zaman içinde pi sayısını hesaplamak için iğneler atmak yerine dizileri kullanmayı akıl ettiler. Bu sayede de pi sayısını yüzlerce basamağa kadar kolayca hesapladık. Ancak Buffon’un iğne deneyi pi sayısını hesaplamada etkili olmasa da geometrik olasılıkta ilktir. Bu düşünce biçimi matematikçilere üzerinde çalışmalar yapabilecekleri yeni bir alan yaratmıştır. Her ne kadar Buffon bunu amaçlamasa da bulduğu yöntem pi sayısını tahmin etmek için bir Monte Carlo yöntemi tasarlamada kullanıldı.
Monte Carlo Simülasyonu Nedir?
Monte Carlo simülasyonu, barındırdığı denklemlerindeki bilinmeyenleri rastgele sayı üreticileri ile belirleyen bir simülasyon modelidir. Bu metot olasılık teorisine bağlıdır. Monte Carlo simülasyonu ilk olarak rulet, zar ve slot makineleri gibi oyunlardaki şans ve rastgele sonuçları modellemede kullanılmıştır. Bu nedenle adını Monako’daki popüler kumar destinasyonundan almıştır. Yöntemi ortaya koyan ilk kişi Manhattan Projesi’nde ilk nükleer silahları geliştirmek için çalışan fizikçilerden Stanislaw Ulam olarak bilinir. Kendisi bu fikre bir iskambil oyunu analizi esnasında ulaşmıştır.
Monte Carlo yöntemi, yüzlerce deney yapmadan veya binlerce örnek oluşturmadan bir sonucu tahmin etmeye izin verir. Sınırlı kaynakların olduğu modern dünyada bu güçlü bir argümandır. Dört basit adımdan oluşur: # 1. Keşfetmek istediğiniz faaliyet veya sürecin matematiksel bir modelini belirleyin. # 2. Modelinizdeki her faktör için parametreleri tanımlayın. # 3. Bu parametrelere göre rastgele veriler oluşturun. # 4. Sürecinizin çıktısını analiz edin.
Tüm bu avantajları nedeniyle günümüzde Monte Carlo simülasyonu finans, proje yönetimi, enerji, imalat, mühendislik, araştırma ve geliştirme, sigorta, ulaşım, vb. alanlarda yaygın olarak kullanılmasını sağlamaktadır. Bu nedenle aynı yöntemi pi sayısını hesaplamaya da uygulayabiliriz.
Monte Carlo Yöntemi İle Pi Sayısının Hesaplanması
- Bir kare ve karenin kenarlarına teğet bir iç çember çizilir. Ardından belirli sayıda nokta karenin üzerine eşit ve rastgele olacak şekilde dağıtılır. Sonrasında çemberin içine düşen nokta sayısı hesaplanır.
- Çemberin içinde kalan noktalarla tüm noktalar arasındaki oran hesaplanır. Bu oran pi sayısının yaklaşık değerini bulmamamıza yardımcı olacaktır.
Şimdi bildiklerimizden yola çıkalım. Sonuçta dairenin alanı πr2‘dir. Karenin alanı ise (2r)2 = 4r2‘dir. Çemberin alanını karenin alanına bölersek π / 4 elde ederiz. Sonucunda kare içindeki nokta sayısı ile daire içindeki nokta sayısı arasında da aynı oran geçerli olmalıdır. Bu sayede çemberin içindeki noktaların sayısının, tüm çemberdeki noktaların sayısına bölümü π / 4 kadar olacaktır.
Ancak bu metodu kullanırken dikkat edilmesi gereken iki önemli durum mevcuttur. Bunlardan ilki noktalama rastgele yapılmadığı takdirde yapılan tahmin tutarsız olacaktır. İkincisi de nokta sayısı az olursa düzgün bir dağılım elde edilemeyecektir. Bunun devamında da doğru sonuca yaklaşmak pek mümkün olmayacaktır. Nokta sayısı arttıkça yaklaşımın doğruluğu artacaktır.
Şu ana kadar aktardığımız iki yöntem pi sayısını hesaplamak için verimli yöntemler değildir. Ancak yine de her iki yöntemde pi sayısını hesaplanmanın alternatif biçimlerini gösterdiği için önemlidir.
Göz Atmanız İçin:
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Estimating Pi using the Monte Carlo Method; https://www.101computing.net/
- Clifford A. Pickover; The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics
- Buffon’s needle problem; https://en.wikipedia.org/
- Buffon: Did He Actually Throw Sticks? Bağlantı: http://page.mi.fu-berlin.de/
Matematiksel