Matematikte kümelerin özelliklerini ve kümelerle ilgili işlemleri konu edinen kuram.
Georg Cantor’un 1882’de getirdiği küme kavramı hâlâ tartışılmaktadır. Kümeler kuramı günümüzde çoğu kez matematik bilgisinin yenilenmesiyle ve modern matematikle özdeşleştirilmektedir.
Aslında, tarihsel sıraya göre, temelde farklı olan iki şeyi (kümeler kuramı ve dili) birbirinden ayırt etmek gerekir: Cantor’un amacı en az sayıda kavramdan hareketle özellikle gerçek sayıların ya da doğal tamsayıların tanımını yapmak için, matematiği bir bütün haline getirmekti. Böylelikle kümelerin diline, yani anlatım yoluna ulaşılır. Küme kavramı ilkel ya da ilktir; bu anlamda kümeleri, kısır döngüye düşmeksizin bir başka kavram yardımıyla tanımlamak olanaksızdır. Sezgisel olarak küme, ortak bir özelliği olan bir nesneler topluluğudur, bu ise güçlüğü topluluğun tanımlanmasına yöneltir. Bir başka birincil kavram olan bağıntı kavramına da başvurulur. Özellikle de “eşitlik” ve “öğelik” (aidiyet) kavramları benimsenir. Bir x kümesi, bir E kümesine aitse, “x. E’ nin bir öğesidir” denir ve xeE olarak gösterilir. E ve F kümelerinin öğeleri aynıysa (ve yalnız bu durumdaysa) E ve F kümeleri birbirine eşittir: Bu da E = F biçiminde gösterilir. Hiçbir öğesi olmayan bir ve yalnız bir küme bulunur; buna boş küme denir ve 0 ile gösterilirBir tek x öğesi bulunan bir kümeye tekli küme denir ve xj olarak belirtilir. Öğeleri x ve y olan bir küme |x,y| biçiminde yazılır: x = y ise, jx| tekli kümesi bulunur; karşıt durumda, böyle bir kümeye, bir çift küme adı veriir. X ve y’den oluşan |x|, jx, y} | kümesine ikili denir ve daha basit olarak (x,y) ile gösterilir. |x, y]kümesindekinin tersine x ve y kümeleri bu kez bakışımsız roller üstlenirler; (x,y,z) üçlüsü de aynı biçimde tanımlanır: Bu, x’ten ve (y,z) İkilisinden oluşan bir ikilidir. Böylece (x,y,z) = [x, (y,z)] olur. Bir F kümesinin her bir öğesi bir E kümesinin öğesiyse ya da F, E’nin bir parçasıysa,bu F <= E biçiminde gösterilir. Bir E kümesinin bölümleri, / (E) ile gösterilen yeni bir küme oluşturur. Özellikle, boş küme ve E kümesi, E’nin sırasıyla boş ve dolu bölüm denen parçalarıdır. E ve F kümelerinden başlayarak, basit işlemler yardımıyla başka kümeler yapılabilir:
Hem E, hem F’nin öğelerinden oluşan ve E n F ile gösterilen, E ile F’nin arakesiti (Bkz. Çiz.);
Ya E, ya F, ya da her iki kümenin öğelerinden oluşan ve E U F ile gösterilen, E ve F’nin birleşimi (Bkz. Çiz.); —(x,y) İkililerinden oluşan ve ExF ile gösterilen, E ve F’nin kartezyen çarpımı (buradaki x,E kümesine, y de F kümesine aittir).
Daha genel olarak bir kümenin öğelerinin hepsi ikiliyse, bu küme bir çizgedir (grafik). Böylece, bir ExF kartezyen çarpımının her parçası bir çizgedir. Küme kavramı fonksiyon kavramına belirgin bir anlam verilmesini sağlar. Sezgisel olarak, bir fonksiyon, her gerçek sayıya bir ve yalnız bir gerçek sayıyı denk düşürür. Açık biçimde, E ve F kümeler olsun, G de ExF içinde bir çizge olsun: E’nin her x öğesi için, (x,y) İkilisi G’ye ait olacak biçimde,F’nin bir y öğesi varsa, f = (E,F,G) üçlüsü bir fonksiyondur denir. Ayrıca, bu özellik E’nin her x öğesi için geçerliyse, f,F içindeki E’nin G eğrisinde bir gönderimidir (uygulama). Bu koşullarda. F’nin her y öğesi için E’nin (x,y) G’ye ait olacak biçimde bir ve yalnız bir x öğesi varsa, f, E’nin F üstündeki bir bijeksiyonudur (eşlev).E’nin F üstünde bir bijeksiyonu bulunacak biçimdeki E ve F kümelerine eşgüçlü denir; bu durumda F’nin de E üstünde bir bijeksiyonu vardır. Her küme kendisiyle eşgüçlüdür. Üçüncü bir kümeyle eşgüçle olan iki küme kendi aralarında da eşgüçlüdür. Küme kavramının yararlarından biri de, doğal tamsayıların kesin bir tanımını sağlamasıdır. Her E kümesi, E’nin kardinali (asalı) adı verilen ve Card (E) ile gösterilen, iki eşgüçlü kümenin kardinali aynı olacak biçimde, yeni bir kümeyle birleştirilebilir: Bir kümenin dolu bölümünün dışında eşgüçlü olduğu hiçbir parçası yoksa, bu kümeye sonlu adı verilir. Sonlu bir kümenin kardinali, bu kümenin öğelerinin sayısıdır. Dolayısıyla, doğal tamsayılar, sonlu kümelerin kardinalleri gibi görünmektedirler. Böylelikle, boş kümenin kardinali 0 olur; her tekkümenin kardinali de l’dir, vb.Kümelerin dili, matematiğin bütün dallarına yayılmıştır. Ancak Cantor’ un önceden sezdiği gibi, kesin kuralların olmaması birtakım aykırılıklara yol açtı. Nitekim, Bertrand Russell “kendilerinin öğesi olmayan kümelerin kümelerinden” söz etmenin çelişkili olduğunu gösterdi. Bu nedenle, kümeleri matematiksel nesneler arasından ayırt etmeyi sağlayan ölçütleri açığa çıkarmak gerekir, bir başka deyişle, herhangi bir şey bir küme olarak göz önüne alınmamalıdır. Bu da, kümeler kuramının biraksiyomlar (belitler) sistemi üstüne kurulması anlamına gelir. Böyle bir gelişme geometride doğal sayılır, çünkü daha önce, Eukleides döneminde bu işlem gerçekleştirilmiştir.
Ernst Zermelo çelişkileri ortadan kaldırmak amacıyla, Cantor’un öngördüğü kuralları sınırlayarak ve bunları,tüm geçerliliklerini korumak için, yeterli büyüklükte alarak 1908’de ilk aksiyom sistemini önerdi. Böylelikle kurulan aksiyomları Abraham Fraenkel 1922’de tamamladı ve bu aksiyomlar Zermelo-Fraenkel adı verilen sistemi oluşturdular.
En az teknik olan aksiyomlar arasında şunlar sayılabilir:
Bir küme, öğeleriyle belirlenir;
Hiçbir öğesi bulunmayan bir küme de vardır;
Her x kümesi için, öğeleri x’inkilerle aynı olan bir y kümesi bulunur;
Her x kümesi için, öğeleri x’in parçaları olan bir y kümesi bulunur;
Her a kümesi için, a içinde a’mn boş olmayan parçalarının oluşturduğu kümenin, a’nın boş olmayan her x parçası için f (x), x’e ait olacak biçimde bir f uygulaması vardır.Janos Von Neumann, Cantor’un belirtmiş olduğu bir düşünceyi ele alarak, küme kavramını genelleştiren sınıf kavramını getirdi; bu kez, her matematiksel nesne bir sınıf olarak görülmeye başladı. Sezgisel olarak bir sınıf, belirli bir bağıntıyı doğrulayan kümeler topluluğudur. Von Neumann’ın aksiyomlarının bir değişkesini Paul Bernays ile Kurt Gödel bulmuşlardır (1937-1940 arasında). Gödel-Bernays sistemi diye adlandırılan bu sistemin 1945’ten beri sürekli gelişme halinde bulunan kategoriler kuramına bir çerçeve oluşturma üstünlüğü vardır. Aksiyomlar seçildikten sonra kümeler kuramının konusu, aksiyomların bağımsızlığım, özellikle çelişki bulunmamasını aramaktır. Bu araştırma, salt matematikten değil, matematiksel mantıktan kaynaklanır.