Russell Paradoksları, Russell Paradoksu Nedir?
Frege’nin projesinin son aşaması, Frege’nin mantıksal olarak kabul ettiği aksiyomlardan aritmetiğin yasalarının türetilmesini içermektedir. Frege söz konusu bu türetimleri yaparken, kendisinin Temel Yasa V olarak adlandırdığı bir yasaya müracaat etmiştir. Bu yasayı şu şekilde ifade edebiliriz:
Bir f(x) fonksiyonunun ve bir diğer g(x) fonksiyonunun değer-alanları bir ve aynıdır ancak ve ancak tüm x’ler için f(x) = g(x) ise.
Temel Yasa V’in özel bir durumu yüklemlere ve yüklemlerin kaplamlarına uygulanabilir. Eğer {x|Fx} kümesi F yükleminin kaplamını belirtiyor olsun, yani F yüklemini sağlayan tüm şeyleri içeriyor olsun. Bu durumda Temel Yasa V şu şekilde yeniden ifade edilebilir: “F ve G yüklemleri aynı kaplama sahiptirler ancak ve ancak tüm x’ler için Fx <-> Gx ise” (Burada “<->” simgesi karşılıklı koşulu göstermektedir). Bir başka deyişle, “F’lerin kümesi ve G’lerin kümesi ile bir ve aynıdır ancak ve ancak her F, G ise ve her G, F ise”.
Frege, bu yasayı mantıksal ve aşikâr kabul etmiş ve bu yasadan Hume’un eşsayı lılık ilkesinin ve Peano’nun aritmetiksel aksiyomlarının türetilebileceğini göstermeye çalışmıştır. Temel Yasa V’ten aritmetiğin aksiyomlarının türetilmesi bugün Frege’nin Teoremi olarak anılmaktadır.
Frege, Grundgesetze’nin ikinci cildini yayımlamaya hazırlanırken Russell, kendisine bir mektup yazar ve Temel Yasa V’ten bir paradoksun türetilebildiğini ifade eder. Russell, “kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerin kümesi”nin Frege’nin dizgesi içerisinde tanımlanabileceğini, ancak böyle bir kümenin kendisinin hem elemanı olacağının hem de elemanı olamayacağının gösterilebildiğini, dolayısıyla bir çelişkinin ortaya çıktığını gösterir. Bu durumda Frege’nin dizgesi bir çelişkiye yer vermekte ve tutarsız olmaktadır. Frege sorunu kabul eder ve bir çözüm olmak üzere bir Ek bölüm kaleme alır. Çözüm Temel Yasa V’te bir değişiklik önermektedir. Frege söz konusu ek bölümüne şu satırlarla başlar: “Bilim üzerine yazan birisinin başına, çalışmasının tamamlanmasından sonra eserinin temellerinden birisinin sarsılmasından daha talihsiz bir olay zor gelir. Bu cildin basımı tamamlanmak üzereyken Bay Bertrand Russell’ın bir mektubu ile benim içine düştüğüm durum işte budur.” (Russell’ın mektubu ve Frege’nin cevabı Heijenoort (1967) içerisinde yayımlanmıştır.) Frege’nin önerdiği çözümün yeterli olmadığı daha sonra anlaşılır.
Frege’nin mantık üzerine çalışmaları Bertrand Russell (1872 – 1970), Rudolf Carnap (1891-1970) ve Ludwig Wittgenstein’ın (1889-1951) yapıtlarındaki göndermelerle zaman içerisinde tanınır.
Russell’in keşfettiği ve onun adıyla anılan ilk paradoks kendi kendisinin üyesi olmayan sınıfların sınıfı paradoksudur. Mesela, “insanlar sınıfının kendisi bir ‘insan’ değildir.” Eğer bir sınıf, kendi kendisinin üyesiyse, onu nitelendiren özelliğe sahiptir, dolayısıyla da kendi kendisinin üyesi değildir.
Eğer, kendi kendisinin üyesi değilse, onu nitelendiren özelliğe sahip değildir. Dolayısıyla, kendi kendisinin üyesidir. Her iki durumda da bir çelişki söz konusudur.
Aynı model üstüne “yalan söylüyorum” Giritli Epimenides’inki gibi paradokslar kurulabilir. Bu paradokslar, doğrudan doğruya mantık ilkelerini tartışmaya açıyordu. Artık, mantık sağlam bir temel oluşturamaz gibi göründüğünden, “matematikte temeller bunalımı” olarak adlandırılan durum ortaya çıkmış oluyordu.
Russell, 1908’de, paradoksların, bir bütünün kendi kendisinin üyesi olarak kabul edilmesiyle ortaya çıkan bir kısır döngüden kaynaklandığını keşfetti. Bundan kaçınabilmek için, “hiçbir bütünlüğün o bütünün terimleriyle tanımlanabilir üyeler olamayacağını ileri süren kısır döngü ilkesi’ne uymak yeterliydi.” Bu da bir bütünlüğün öğelerinin, bu bütünlüğe öncelik kendi kendileri tarafından belirlenmesini gerekli kılıyordu.
Rusell’in tipler kuramı, bu sorunun çözümüne yöneliktir. Buna göre, birbirlerini karşılıklı olarak dışlayan sınıfların (bireyler sınıfı, bireylerin sınıflarının sınıfı, bireylerin sınıflarının sınıfının sınıfı vb.), yüklemlerin (bireylerin yüklemleri, bireylerin; bireylerin yüklemlerinin yüklemleri, vb.) ve önermelerin tiplerinin hiyerarşisiyle açıklanabilir.
Rııssell paradoksu (bütün kümelerin kümesinin paradoksu), bir sınıfın kendi kendisinin üyesi olup olmadığı sorusu bütün anlamını kaybettiğinden, ortadan kalkmış olmaktadır. Hiçbir yüklem kendi kendisine yüklemlenemeyeceğinden yüklem paradoksu için de aynı şey söz konusudur. Yalancı paradoksuna gelince, “yalan söylüyorum” önermesi, kendisine uygulanamayacağı için, o da aynı şekilde çözülür.
Ancak, bu aşamada ortaya yeni bir güçlük çıkar: anlamlılık; her tamdeyim kendi anlamlılığını oluşturan bir tiple tanımlanır. Mesela, “x uzundur L(x}” fonksiyonu, fonksiyon değerleri bakımından değil, sadece birey değerleri bakımından anlam taşır. Anlamlı düzgün tamdeyimler le-L(x) anlam taşımayan tamdeyimler -L arasında felsefi açıdan verimli bir ayrıma (daha sonra, Rudolf Carnap tarafından ele alınacaktır) gidilmesi ve Wittgenstein tarafından reddedilecek olan farklı dil düzeylerinin kabulünün, Polonyalı mantıkçılar Lesniewski ve Tarski tarafından her sağlam anlambilimin koşulu olarak yeniden onaylanması buradan kaynaklanır.
YAMYAM PARADOKSU
Bilinen bilmecedir. Yamyamlar bir mantıkçı yakalarlar ve şöyle derler mantıkçıya:
– Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız.
Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya bir soru sorarlar. Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu yanıtlar. Yanıtı duyan yamyamlar ne yapacaklarını şaşırırlar. Yanıt öylesine akıllı bir yanıttır ki yamyamlar mantıkçıyı ne haşlayabilirler ne de kızartabilirler.
Yamyamlar mantıkçıya ne sormuşlardır ve mantıkçı soruyu nasıl yanıtlamıştır?
Okur düşünedururken biz yanıtı verelim: Yamyamlar mantıkçıya şu soruyu sormuşlardır: – Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?
Mantıkçı şöyle yanıtlamıştır: – Kızartacaksınız!
Bu soru ve yanıtla, mantıkçı ne haşlanır ne de kızartılır. Bir an, mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı doğru olur. Ama yanıt doğru olduğundan – yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek mantıkçı kızartılamaz. Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek mantıkçı haşlanamaz. Yamyamlar tam bir kısır döngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak mantıkçı kurtulur. (Eğer mantıkçı, “haşlayacaksınız,” diye yanıtlasaydı, yamyamlar mantıkçıyı istedikleri gibi yiyebilirlerdi, ister haşlar, ister kızartırlardı ve bir çelişki doğmazdı.)
Mantıkçı ya kızartılacaktır ya da haşlanacaktır; bunu önceden biliyoruz. Dolayısıyla yamyamların sorduğu soruya yanıt olarak iki seçenek vardır. Ve böyle bir sorunun yanıtı ya doğru ya da yanlış olmalıdır. Oysa yukarıdaki sorunun yanıtı ne doğru ne de yanlıştır; daha doğrusu yanıt doğruysa yanlış, yanlışsa doğrudur. Yani yanıtın doğruluğu ya da yanlışlığı yanıtın yanlışlığı ya da doğruluğuna bağlıdır!
BERBER PARADOKSU
Yukarıdaki paradoksa benzer paradoks çoktur. İşte bir tane daha: Köyün birinde bir berber varmış. Bu berber, o köyde kendini tıraş etmeyen herkesi tıraş edermiş, kendini tıraş edenleriyse tıraş etmezmiş. Soru şu: bu berber kendini tıraş eder mi, etmez mi? Kendini tıraş etmezse, kendini tıraş etmeyen herkesi tıraş ettiğinden, kendini tıraş etmeli. Kendini tıraş ederse, kendini tıraş edenleri tıraş etmediğinden, kendini tıraş etmemeli.
KATALOGLAR PARADOKSU
Bu yüzyılın başında matematikçileri derin düşüncelere düşüren paradoksa geçmeden önce, günlük dilimizi kullanarak bir paradoks daha geçelim: Baskı makinesinin bulunuşundan sonra kitap sayısı çoğaldı doğal olarak. İlk kez ne zaman kataloglara gereksinildiğini bilmiyoruz, ama bir gün gereksinildi. Kitaplar çoğalınca, kataloglar da çoğaldı. Kataloglar çoğalınca katalogların da katalogları yapılmaya başlandı. Bazı kataloglar kendi adlarını listelerine almıyorlardı, bazı kataloglarsa alıyorlardı (katalog da bir kitap değil midir?)
Bir yayıncının aklına “kendi adını içermeyen kataloglar katalogu” yapmak gelir. Bir sorun çıkar ortaya. Bu hazırlanmakta olan katalog kendi adını içermeli midir, içermemeli midir? Kendi adını içerirse, katalogun türünden dolayı, adını içermemesi gerekmektedir. Kendi adını içermezse de yine katalogun türünden dolayı, kendi adını içermesi gerekmektedir. Bir paradoks daha! Nasıl çözeceğiz? Hazırlanması bitmemiş bir katalogun katalog sayılamayacağını önermek bir çözüm müdür? Değildir (ama çözüme yaklaşır), çünkü hazırlanmakta olan katalogun adını “kendi adını içermeyen, yayımlanmış ya da hazırlanmakta olan kataloglar katalogu” diye değiştirirsek paradoks ortadan kalkmış olmaz.
GİRİTLİ PARADOKSU
İ.Ö. 6’ncı yüzyılda yaşamış Giritli filozof Epimenides’in, “Bütün Giritliler yalancıdır,” sözleri ünlüdür. Epimenides doğru mu konuşur, yalan mı? Epimenides’in paradoksu, Epimenides’in olmadığı öne sürülerek çözülemez elbet!
Bu paradoks iki varsayımdan kaynaklanmaktadır:
a) Her insan ya yalancıdır ya değildir,
b) Yalancılar her zaman yalan söylerler, yalancı olmayanlar hep doğruyu söylerler.
Hazırlayan: Sosyolog Ömer YILDIRIM
Kaynak: Ömer YILDIRIM’ın Kişisel Ders Notları. Atatürk Üniversitesi Sosyoloji Bölümü 1. Sınıf “Felsefeye Giriş” ve 2., 3., 4. Sınıf “Felsefe Tarihi” Dersleri Ders Notları (Ömer YILDIRIM); Açık Öğretim Felsefe Ders Kitabı