Kaplumbağanın Sırtındaki Sır Sihirli Kareler
Yetenekli bir devlet adamı ve büyük bir bilge olan Çin İmparatoru Yü, sık sık taşan ve halk arasında lânetli olduğuna inanılan San Irmak’ın kenarlarına topraktan bir set yaptırıyordu. Birden önünde kutsal bir kaplumbağa gördü. Hayır, hayır kaplumbağa konuşmuyordu.
Uçmuyordu da. Kaplumbağa kutsaldı çünkü kabuğunda imparator Yü’nün o güne kadar hiç görmediği bir şekil vardı. Bu bir sihirli kareydi. Bilge im parator, Çin kaynaklarında Lo-shu adıyla geçen bu kareyi hemen kay detti ve sihirli karelerin günümüze kadar sürecek 3000 yıllık serüveni başlamış oldu.
Sihirli karelerin Çin’de başlayan serüveni İpek Yolu kervanlarıyla Hindistan’a ve çok sonraları da Eski Yunan’a taşındı. Batıda sihirli karelerle ilgili ilk yazılı kaynak yaklaşık olarak M.S. 130 yılına ait İzmirli Theon’un yapıtıdır. 9. yy’da ise Arap dünyasına giren sihirli kareler Arap astrologlar tarafından gök haritalarının çiziminde kullanıldı.
Bir ara Ortaçağ Avrupası’nda da moda olan sihirli kareler, henüz bilim sel düşüncenin egemen olamadığı zamanın Avrupa’sında pek çok başka bilimsel düşüncede ve olayda olduğu gibi dinsel ya da matematiksel olgularla ilişkilendirilmiştir.
Örneğin o zamanların bilimadamlarından Cornelius Agrippa (1486-1534) 1×1’lik sihirli karenin sonsuzluğu ve birimi simgelediğini iddia etmiştir. 2×2’lik sihirli karenin olmayışı ise dört temel öğenin yani hava, toprak, ateş ve suyun yetersizliğinin kanıtıymış. Büyücülük suçundan bir yıl hapis yatan Cornelius’a göre 3×3, 4×4,5×5,6×6,7×7,8×8 ve 9×9’hık sihirli kareler de, sırasıyla, Satürn’ü, Jüpiter’i, Mars’ı, Güneş’i, Venüs’ü, Merkür’ü ve Ay’ı simgeliyorlardı.
Başka bir Ortaçağ bilimadamı ise 2×2’lik sihirli karenin olmayışını Adem ile Havva’nın işledikleri ilk günah yüzünden verilmiş bir ceza olarak açıklıyordu.
Gerçekten de sihirli kareler oldukça ilginçtirler ve binlerce yıl boyunca binlerce insanın ilgisini çekmiş olmaları da bunun bir göstergesidir. Sihirli kareleri incelemeye önce bir tanım vererek başlayalım.
Sihirli Kare Tanımı Nedir?
Sihirli kare, içinde l ’den n2’ye kadar sayıların yazılı olduğu nxn boyutlarında bir karedir. Ancak bu sayılar öyle yazılmışlardır ki her satır, sütun ve köşegenin toplamı aynı sayıya eşittir. En basit sihirli kare 1×1 boyutlarındadır.
2×2 boyutlarında bir sihirli kare ise yoktur. İmparator Yü’nün kaplumbağanın sırtında gördüğü söylenen 3×3’lük sihirli kare ise şöyledir:
Bu karenin tüm satır, sütun ve köşe genlerindeki sayıların toplamı 15’tir. Daha ilkokul çağlarında görmeye başladığımız bu kare, sihirli karelerin özelliklerini belirgin biçimde taşıyan en basit örnektir. Bu karenin derecesi üçtür. Bir sihirli karenin derecesi onun satır ya da sütun sayısı olarak tanımlanır.
Şimdi derecesi n olan bir sihirli karenin sihirli toplamını, yani her satır, sütun veya köşegenindeki sayıların toplamını, n cinsinden hesaplayalım.
nxn boyutlu (n>2) öyle bir kare matris düşünün ki, istenilen satır, sütun ve köşegenler boyunca elemanların toplamı sabit olsun. Bu sabite sihirli sabit denir.
Matris elemanları, değerlerini tekrarlamamak koşulu ile {1+2+3+… +n2} kümesinden almaktadır.
Verilen n sayısına göre, sihirli sabit:
formülü ile hesaplanır. Örneğin n=3 için sihirli sabit: S=3(32+1)/2=15 olacaktır.
4 × 4’lük sihirli karede sihirli toplam 34’tür. Yani her yatay, dikey ve çapraz sıradaki sayıların toplamı 34’tür.
Tek Dereceli Bir Sihirli Kareyi Çözmek
Sihirli sabiti hesaplanır. Bu sayıyı, n = sihirli karedeki satır veya sütun sayısı olan basit bir matematik formülünü kullanarak bulabilirsin. Yani, örneğin, 3×3’lük sihirli bir karede, n = 3’tür. Sihirli sabit: S=3(32+1)/2=15 olacaktır.
1 rakamını en üst sıradaki orta kutuya yerleştir. Bu, sayı ne kadar büyük veya küçük olursa olsun, sihirli karenin kenarları tek sayılı olduğunda her zaman buradan başlarsın. Yani, bir 3×3 karen varsa Kutu 2’ye 1 rakamını yerleştir; 15×15 kare için, 1 rakamını Kutu 8’e yerleştir.
Kalan sayıları bir yukarı, bir sağ desenini kullanarak doldur. Sayıları her zaman sırayla (1, 2, 3, 4, vb.) bir satır yukarı ve sonra bir sütun sağa doğru hareket ettirerek doldurursun. 2 rakamını yerleştirmek için sihirli karenin üst sırasının üstüne çıkacağını hemen fark edeceksin. Sorun değil; her zaman bir yukarı, bir sağa şekilde çalışmana rağmen, aynı zamanda planlanmış, öngörülebilir kuralları olan üç istisna vardır:
- Eğer hareket seni sihirli karenin üst satırının üzerindeki bir “kutuya” götürürse o kutunun sütununda kal, ancak sayıyı o sütunun en alt satırına yerleştir.
- Eğer hareket seni sihirli karenin sağ sütununun sağındaki bir “kutuya” götürürse o kutunun satırında kal, ancak sayıyı o satırın en solundaki sütuna yerleştir.
- Eğer hareket seni dolu olan bir kutuya götürürse doldurulan son kutuya geri dön ve bir sonraki sayıyı hemen altına yerleştir.
Sihirli karelerin bir işe yarayıp yaramadıklarını bilmiyorum. Umarım insanların daha mutlu olmalarını sağlar günün birinde. Sihirli kareler işe yarasın ya da yaramasın, sihirli kareler üzerine yanıtlanmamış soru var oldukça sihirli kareler ilginç bir konu olmayı sürdüreceklerdir.
Çİft Dereceli Bir Sihirli Kareyi Çözmek
Yukarıdaki yöntem herhangi bir tek sayılı sihirli bir kare oluşturmak için kullanılabilir, ancak n çift olduğunda n. dereceden sihirli kare elde etmekse çok daha karmaşıktır. n sayısı dördün katı ise, yani 4,8,12,16…. sayılarından biri ise nxn boyutlarında sihirli kareler elde edilebiliyor ancak n dörde tam bölünmeyen bir çift sayı ise n dereceli sihirli kare elde edemiyoruz.
imdi dörde tam bölünen n çift sayıları için sihirli kare elde etme yöntemini inceleyelim. Öyleyse karenin kaça kaç bir kare olduğunu seçerek işe başlayın. 4k olduğundan emin olun ve soldan başlayarak satırlar boyunca 1 ‘den (4k)2 ‘ye kadar olan hücreleri numaralandırın. Ardından kare 4’ü 4’lük altkümeler halinde bölün ve her alt karenin ana köşegenlerinde bulunan sayıları işaretleyin. Örnekte bunlar renkli numaralardır;
Bu örnekte, n 4’tür, bu nedenle 1 ‘den 17’ye kadar olan sayıları bahsettiğimiz düzene göre değiştirmeliyiz 1 ile 16, 4 ile 13, 6 ile 11, 7 ile 10.
Bu, ünlü Alman sanatçı Albrecht Dürer’in çizdiği sihirli kare ile aynıdır. Gravür Melencolia’nin köşesinde görebilirsiniz.
Latin Kareleri
Latin kareleri Sudoku’nun gerçek atalarıdır. 700 yılı aşkın Arap edebiyatında Latin karelerinden örnekler bulabilirsiniz. Onlar birkaç yüzyıl sonra Euler tarafından keşfedildi ve onları yeni bir sihirli kare olarak düşündü ve Latin kareleri olarak adlandırdı. Latin kareleri, sayı, harf veya sembollerle dolu ızgaralardır, böylece aynı satır veya sütunda iki kez hiçbir sembol görünmez. Sihirli bir kare ile Latin karesi arasındaki fark kullanılan sembollerin sayısıdır. Örneğin, 4×4 sihirli kare arasında 16 farklı numara var, ancak 4×4 Latin kare yapmak için yalnızca 4 farklı sayıya veya harfe ihtiyacınız var.
Her satırda ve sütunda 1’den 4’e kadar rakamlarla dolu bir Latin kare örneği. İlk satıra ve ilk sütuna bakarsanız, sayıların sırayla göreceksiniz: 1, 2, 3, 4. Bu olduğunda Latin kare standart formda veya normalize edilmiş diyoruz. Herhangi bir Latin kare, çift sıra ve çift sütun takas yapılarak standart forma dönüşebilir. 3×3’lük normalleştirilmiş yalnız bir Latin karesi var ve yalnızca 4×4’lük, 4 farklı Latin karesi var, ancak sarsıcı ki 9×9’lük karenin sayısı 377597570 964258816 tane. 1979’da JR Nechvatal, karmaşık bir formülle, herhangi bir kare için farklı normalleştirilmiş Latin karelerinin sayısını bulan formülü yaratmıştı.
Eğer iki Latin kareyi birleştirirsek, harfler ve sayılarla eşleşmiş yeni bir kare elde ederiz. Hiçbir çift tekrar edilmez, ancak ızgarada her bir kombinasyon bulunur. Bu yeni kareye Euler Karesi veya Graeco-Latin Karesi diyoruz ve Euler karesini oluşturan iki kareye karşılıklı ortogonal deniyor. Latin kareleri ve Euler kareleri geniş bir yelpazede uygulama alanına sahiptir.
Tanıdık Bir Latin Kare: SUDOKU
Sudoku veya Su Doku, Latin karelerinin özel bir türüdür. Genellikle 9x9luk kare ızgara şeklindedir ve küçük 3×3’lük kutulara bölünürler. Oyunun amacı, 1’den 9’a kadar olan her bir sayı ile bütün hücreleri doldurmaktır, böylece her sayı tam olarak her sıra, sütunda ve 3×3’lük kutularda bir kez görünür. Sudoku’nun çözümü mantıklı düşünme ve sistematik bir yaklaşım gerektirir. Normal olarak bazı sayılar ipucu olarak verilir. Çok ipucu işi kolaylaştırır. Gerçek Sudoku bağımlıları muhtemelen az sayıda ipucu tercih ederler. Ancak tam olarak bir ve daha fazla çözüm bulunmasını sağlamak için verilmesi gereken asgari ipuçları nelerdir? Bu iyi ve şu ana kadar matematikçilerin tam cevap veremediği bir soru ancak 17 sayısına inanmak için iyi bir neden var.