Sonlu Elemanlar Yöntemi veya Sonlu Elemanlar Metodu, çok çeşitli mühendislik problemine sonuç elde etmek için uygulanabilecek sayısal bir işlemdir. Kararlı rejimli, değişken rejimli, lineer, lineer olmayan durumlar için gerilim(stress) analizi, ısı transferi, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetizma problemlerinin analizleri sonlu elemanlar yöntemi ile yapılabilir. Sonlu Elemanlar Metodunun matematiksel temelleri Lord Rayleigh(1842-1919/İngiliz), Boris Grigorievich Galerkin(1871-1945/Rus), Walther Ritz(1878-1909/Alman), Richard Courant(1888-1972/Alman), Alexander Hrennikoff(1896-1984/Rus), tarafından atılmıştır.
1930-1945 li yıllarda ilk bilgisayarların ortaya çıkması ve zamanla gelişmesiyle devrim yaratan ve günümüzün vazgeçilmez nümerik metodu olan Sonlu Elemanlar Metodunun 1960 lı yıllarda doğmasına neden oldu. Bu konudaki ilk yayın: “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures” kitabı ile M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin ve L. J. Topp’a aittir.( 23.09.1956) Finite Element Method(Sonlu Elemanlar Metodu) adının isim babası Ray W. Clough’ dur. Zienkiewicz ve Cheung 1967’de tamamen sonlu elemanları anlatan bir kitap yazmışlardır (The Finite Element Method).
Görüldüğü gibi Sonlu Elemanlar Yönteminin izleri 1800’lü yılların sonlarına kadar dayanır. Bu yıllarda bazı araştırmacılar sürekli elastik durumu eş boyutlardaki kesikli elastik parçalarla modellemişlerdir. Bununla birlikte, Courant sonlu elemanlar yöntemini ilk geliştiren kişi olarak anılmıştır. Courant, 1940’lı yıllarda yayınladığı bir makalede, burulma problemlerini araştırmak için parçalı polinom interpolasyonunu üçgensel alt bölgeler (elemanlar) üzerinde kullanmıştır.
Courant’tan sonra sonlu elemanlar yöntemlerinin kullanıldığı diğer önemli adım Boeing’in 1950’lerde uçak kanatlarını modellemek için üçgen gerilim elemanları kullanmasıyla atılmıştır. 1960’larda araştırmacılar sonlu elemanlar yöntemini diğer mühendislik alanlarında kullanmaya başlamışlardır. Günümüzde bir çok alanda sonlu elemanlar yöntemi kullanılmaktadır.
Sonlu Elemanlar Metodu
Ne kadar karmaşık ve büyük olursa olsun, sistemin klasik mekanikte çözümü bilinen sonlu sayıda elemana bölünmesi ve basite indirgenmiş sistemin çözülmesi esasına dayanır. Örneğin bir uzay çerçevenin çubukları(kiriş ve kolonları) iki ucu ankastre olan elemanlar olarak modellenir. İki ucu ankastre çubuğun bağıntıları temel mukavemet ve statik bilgisi ile basitçe çözülebilir. Burada önemli olan modelin doğru şekilde oluşturulması ve çözümü bilinen elemanların tüm sistemin çözümünü verecek şekilde bölünmesidir. Bunu sağlamak için elemanların sadece düğüm noktalarında birbirine bağlı olduğunu ve bu noktalardaki yer değiştirmelerin birbirine eşit olması gerektiğini bilmek yeterlidir.
Sistemin sonlu sayıda elemana bölünmesine “Sistemin Modellenmesi” denir. Modellemeyi anlamak için aşağıdaki basit örneği inceleyelim;
a-b noktaları arasında bir yol olduğunu varsayalım ve bu yolun uzunluğunu hesaplamamız istensin. Bilindiği üzere, a ve b noktasının koordinatları ve eğrinin fonksiyonu verilmişse uzunluğunu integral alarak bulabiliriz. Yolun fonksiyonu bilinmiyorsa, ya da biliniyor fakat integralı yok veya alınması çok karmaşıksa yolu 1. veya 2.model gibi modelleyebiliriz. Oluşan doğru parçalarını ölçer ve toplarsak yolun uzunluğunu buluruz.
Yukarıdaki modellerden yola çıkarak sonlu elemanlar metodu hakkında bazı çıkarımlar yapabiliriz :
- modelde az, 2. modelde çok eleman(doğru parçası) vardır.
- Hesap yükü 1.modelde az, 2.modelde fazladır.
- Her iki modelde de bulunan sonuç gerçek yol uzunluğu değildir, sonuç yaklaşıktır.
- model daha doğru sonuç verir.
- Eleman sayısı arttıkça sonuç gerçek sonuca yaklaşır.
Yolun uzunluğu skaler(sabit bir sayı) olduğu için koordinat sisteminden bağımsızdır. Sonuç olarak koordinat sistemi nerde-nasıl olursa olsun uzunluk sabittir. Bu nedenle elemanların(doğru parçalarının) uzunlukları toplamı yolun uzunluğunu verir, ancak bu sonuçlar yaklaşıktır.
Sonlu Elemanlar Metodu’na kısaca SEM diyelim.
SEM’de tamamen bu örneğe benzer şekilde çalışmaktadır. Sistemin, koordinat sisteminden bağımsız ve ‘’Toplam potansiyel=İç kuvvetlerin işi-Dış kuvvetlerin işi’’ temel denkleminin sonucu olarak sabit bir sayısı vardır. Sistem çubuk, üçgen, dörtgen, küp gibi elemanlara bölünür, elemanların toplam potansiyeli bulunur ve bunlar toplanarak sistemin toplam potansiyeli bulunur. Geometrinin,yüklerin ve sınır koşullarının modellenmesi sonucunda oluşan kayıplar sonucun yaklaşık olmasına sebep olur.
Daha iyi anlamak için aşağıdaki örneği inceleyelim :
Aşağıda et kalınlığı az, yüksek bir konsol kirişin(Levha) modeli(eleman ağı) örnek olarak verilmiştir. Bu levhanın analitik çözümü(gerilme ve şekil değiştirme dağılımı) olmadığından bu örnek için tek çaremiz SEM’i kullanmaktır. Geometri üçgen elemanlar ile, yükler düğümlere etkiyen eşdeğer tekil yükler ile, ankastre mesnet ise noktalarda sabit mesnetler ile modellenmiştir. “Elemanların sadece düğüm noktalarında birbirine bağlı olduğu” varsayılmaktadır. Bir düğümde birleşen elemanların, o düğümdeki yer değiştirmeleri sistemin o noktasındaki yer değiştirmelerine eşit olacaktır.
Aşağıdaki Örnekleri İnceleyerek Kullanım Alanları Hakkında Fikir Sahibi Olabilirsiniz ;