Luitzen Egbertus Jan Brouwer, ya da matematik ve felsefe kitaplarının atıflarında yer alan haliyle L. E. J. Brouwer, 1881-1966 yılları arasında yaşamıştır. Kimilerine göre Poincaré’yle beraber modern topolojinin yaratıcısıdır. Bunun yanı sıra 20. yüzyılın başlarında yaşanan matematiğin temelleri krizine tepkisiz kalmayarak matematiksel mantığa ve felsefeye büyük katkılarda bulunmuştur. Sezgisel ve inşasal matematik gibi alanların öncüsü sayılmaktadır. Öznel bir bakış sunmaları nedeniyle başlangıçta epey tepki çeken bu alanlar, onu ömrü boyunca bir dizi entelektüel ve matematiksel tartışmaya sürükleyecektir.
Brouwer lise yıllarından sonra döneminin gerektirdiği üzere Antik Yunanca ve Latincesini ilerletmek için vakit harcar. Felsefeye de ilgi duymaya başlar. Üniversite yıllarında, uygulamalı matematik çalışmalarıyla ünlenmiş hocası Korteweg onu topoloji alanında yaptığı ispatlarını yayınlaması için teşvik eder.
1907’de yayınlayacağı doktora tezi üzerinde çalışırken Brouwer’in matematik felsefesine olan ilgisi derinleşir. Sezgici matematiğin ilk adımlarını attığı tezi Poincaré ve Russell arasında o yıllarda süregelen matematiğin mantıksal temelleri tartışmasına büyük katkı sunar. Daha sonra Hilbert’in problemleriyle ilgilenen Brouwer, Lie gruplarının topolojik temelleriyle ilgili sonuçlarını tanıtır.
Brouwer’in birçok matematikçiyle ilişki kurduğu bilinir. Örneğin, 1909’da Amsterdam Üniversitesinde ders vermeye başladıktan sonra Paris’e giderek Poincaré, Hadamard ve Borel gibi önemli isimlerle tanışır.1919’a gelindiğinde kendisine Hilbert tarafından Göttingen’de ve aynı yıl Berlin’de bir başka kürsü teklif edilmesine rağmen teklifleri reddetmesi dikkat çekicidir. Buna sebep olarak Hollanda’daki akademik hayatında daha özgür davranabilmesi ve hocası Korteweg’in onun için kürsüsünden vazgeçmiş olması gösterilebilir.
Brouwer’in sezgici felsefesinin çarpıcı yönü, “üçüncü halin imkansızlığı” denilen mantık yasasını matematiksel ispatlarda kullanmayı reddetmesidir. Aristotales’ten beri kullanılan klasik mantığa ait bu yasaya göre bir önerme ya doğru ya da yanlıştır. Yani matematikte bir nesnenin yokluğunun imkansızlığından varlığı çıkarılabilir. Brouwer’e göre bu yasaya dayanan olmayana ergi yöntemi, matematiği bizim dışımızda, duyularımızdan bağımsız bir gerçeklikmiş gibi görmek demektir. Bu yöntem yerine, varlığı kanıtlanacak nesneler matematiksel olarak inşa edilmelidir. İnşa yöntemine göre ise bir nesnenin var olduğunu söyleyebilmek için onu göstermek gerekir. Örneğin Öklid’in asal sayıların sonsuzluğuyla ilgili ünlü ispatı inşa yoluyla da yapılabilir. Hatta Öklid’in asıl metnine bakılırsa, bu ispatı yaparken tüm asalların bulunduğu bir kümeyi varsaymadığı, dolayısıyla kanıtın aslında olmayana ergi yoluyla yapılmadığı da iddia edilmiştir (Hardy, Woodgold, 2009). Bu iddiaya göre aslında Öklid, sonlu sayıda asal sayıdan oluşan herhangi bir liste verildiğinde, bu sayıları birbiriyle çarpıp 1 eklemek yoluyla, ya kendisi ya da bir çarpanı başlangıç listesinden farklı bir asal olan sayıyı inşa etmiştir.
Brouwer’in topoloji alanına katkı yaptığından söz etmiştik. Topolojide değişmez ve boyut kavramlarına dair temel tanımların yapılmasını sağlamıştır. Fakat Brouwer, kariyerinin erken döneminde bulduğu topolojik sonuçları sezgicilik felsefesiyle örtüşmediği için hafife alacak kadar delidir. Bazı sonuçlara derslerinde yer bile vermez! Örneğin Brouwer’in en çok bilinen çalışmalarından biri olan Sabit Nokta Teoremi, topolojide belli özellikleri gösteren sürekli fonksiyonların sabit noktaları olduğunu söyler. Ama bu teoremin kanıtında Bouwer inşa yapmamıştır. Bu sebeple kariyerinin ilerleyen yıllarında eski kanıtlarını tekrar ele alır.
Tartışmalar Brouwer’in hayatının vazgeçilmez bir parçasıdır. Örneğin, 1920’lerin matematik dünyası Brouwer ve Hilbert arasında bir tartışmaya sahne olur. Brouwer’e göre Hilbert’in biçimselci yaklaşımı matematiği anlamdan yoksun bırakacak düzeydedir. Oysa matematiksel yöntemler sezgiye de hitap edebilmelidir. Bunun yanında, akademinin içindeki sorunlarla ve politik problemlerle de ilgilenen bir matematikçidir. Akademik çevresi ve öğrencileri onun oldukça tuhaf yanları olduğunu anlatır. Brouwer, felsefesine derinden bağlılığı ve kimi zaman derste soru sorulmasına bile müsaade etmeyecek kadar asabi tavırları ile tanınır. Kariyerinin son yıllarında münzevi bir hayatı olmuştur. Amsterdam yakınlarındaki evinde genellikle yalnız çalışma yürütürken, zaman zaman matematiksel tartışmalar yapmak isteyen konuklarını ağırlar.
Brouwer yaşamı boyunca Londra, Berlin ve Göttingen gibi birçok bilim akademileri tarafından onurlandırılmıştır. Fikirleri günümüzde hala tartışmalı kabul edilse de 20. yüzyıl matematiğini şekillendiren önemli figürlerden biri olarak kabul edilmektedir. Sezgisel matematik ise bir felsefe konusu olmaktan çıkıp matematiğe dahil ve faydalı olmuştur diyebiliriz. Gerçekten de evrensel küme gibi matematikte şüpheli bakılabilecek bazı nesneler bu yolla yaratılamaz. Dahası, matematiğin büyük bir kısmının inşasal yöntemle üretilebildiği görülmüştür. 20. yüzyılın sonlarına doğru inşasal matematik kanıt teorisi ve bilgisayar bilimi gibi alanlarda da kullanılmıştır.
Kaynakça:
Ahmet Çevik, Matematik Felsefesi ve Matematiksel Mantık, Nesin Yayıncılık, 2019.
Dale M. Johnson ,İnceleme: L. E. J. Brouwer—Topologist, Intuitionist, Philosopher: How Mathematics Is Rooted in Life, Notices of the AMS, Vol. 61, No: 6, 2013.
Hardy M., Woodgold C., Prime Simplicity, The Mathematical Intelligencer, 2009.
MacTutor Matematik Tarihi Arşivi: L. E. J. Brouwer.
Mark van Atten, “Luitzen Egbertus Jan Brouwer”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Sonbahar 2020.
Rosalie Iemhoff, “Intuitionism in the Philosophy of Mathematics”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Sonbahar 2020.