Zenon, İ.Ö. 5. yüzyılda (495-435) yaşamış Elea’lı ve bugün üzerine pek az bildiğimiz Eski Yunanlı bir filozoftur. Ne yazık ki günümüze hiçbir yapıtı kalmamıştır. Zenon üzerine bildiklerimizi daha çok Eflatun’a (Parmenides adlı yapıtına) ve Aristo’ya (Fizik adlı yapıtına) borçluyuz. Zenon kolay kolay yutulmayacak bir düşüncenin savunucusu olan Parmenides’in sadık bir öğrencisiydi. Parmenides şu inanılmaz düşünceyi savunuyordu:
Gerçek tektir ve değişmez.
Çokluk, değişim ve hareket aslında yokturlar ve duyularımızın bizi kandırmasından kaynaklanırlar…
Zenon hocasının felsefesiyle alay edenleri susturmak için dört paradoks geliştirir. Zenon’un günümüze kalmasını sağlayan aşağıda açıklamaya çalışacağım (ve ne derece ciddi olduklarını göstermek amacıyla savunacağım) işte bu dört paradokstur. Bugün, yani 2500 yıl sonra bile, bu dört paradoks üzerine tartışma dinmemiştir ve gün geçtikçe filozoflar bu konuda daha fazla düşünce üretmektedirler. Bertrand Russell, Henri Bergson, Alfred North Whitehead, Zenon’un paradokslarını konu etmiş çağdaş filozoflardan birkaçıdır. Sanırım Hegel de konu etmiştir.
Tolstoy Savaş ve Barış’ında Zenon’un paradokslarından söz eder.
Zeno, MÖ 495 civarında güney İtalya’daki Yunan Elea kolonisinde doğdu. Onun hakkında çok az şey biliniyor. O Orada genç bir Sokrates bir araya geldi ve bir gösterimin yeterince Platon’un kitaplarından birinde bir karakter olarak dahil edilecek yapılan filozof Parmenides’in öğrencisiydi ve 449 M.Ö. Atina’ya bir gezi hocasına eşlik etti.
Elea’ya döndüğünde siyasette aktif oldu ve nihayet kentin tiran Nearchus’una karşı bir komploda yer aldığı için tutuklandı. Komplodaki rolü nedeniyle ölümüne işkence gördü. Sorgulanmasıyla ilgili birçok hikaye ortaya çıktı.
Bir fıkra, kaptanları, diğer komplocuları ortaya çıkarması için onu zorlamaya çalıştığında, tiranın arkadaşlarını seçtiğini iddia eder.
Diğer öyküler, dilini ısırıp, zorbaya tükürdüğünü veya Nearchus’un kulağını veya burnunu ısırdığını belirtiyor.
Zeno’nun kendi kendini yetiştirmiş bir köylü çocuğu olduğu söylenir.
Zeno, hıyanet veya ona yakın bir suç ile başı kesilerek öldürülmüştür.
Diogenes Laertos’a göre, Zeno doğduğu şehrin tiranı tarafından işkence ile öldürüldü.
Zeno, varlığın birliğini kabul ettirmek için, haklı olarak ün yapmış kanıtlarıyla, hareketin olanaksızlığını göstermeye çalıştı.
Zeno’nun paradoksları üzerine her çağın en büyük bilginleri kafa yormuşlardır. Olmayan ergi yöntemi çok erken bir tarihte bu paradokslara parlak bir biçimde uygulanmıştır.
Başlıca eserleri, ”Tabiat Üstüne”, ”Karşı Fikirler” ve Emperdokles üstüne eleştirili bir “Yorumlama” dır.
- Zenon muhteşem zekasıyla -ki Platon onu diyalektik imgelem gücü nedeniyle Elealı Palamedes diye tanımlar- hocasının savlarını pekiştirecektir. Bunu yaparken kendi geliştirdiği dolaylı argümanlarla örülü bir diyalektik kuracaktır.
- Zenon’un alameti farikası felsefeye kattığı diyalektik akıl yürütme yöntemidir.
- Aristoteles’e göre diyalektik: muhtemel veya akla yakın, çoğunluk tarafından kabul edilen öncüllerden hareketle, yine akla yatkın, ikna edici gibi görünen sonuçlara, yani dar anlamda bilimsel olmayan sonuçlara varan bir akıl yürütmedir.
- Bilimsel akıl yürütme olan apodiktik akıl yürütmenin altında olan diyalektik, kesin olarak bilimsel değeri olmayan, aldatıcı olarak doğruymuş gibi görünen sofistik akıl yürütmelerdir.
- Diyalektikte kullanılan önermeler bilimsel değil, yalnızca tartışmayı mümkün kılan, yaygın olarak kabul edilen kabullerle gerçekleşir.
- Diyalektiğin faydası bilimsel olarak kanıtlanması mümkün olmayan bazı şeyleri dolaylı olarak kanıtlamaya yaramasıdır. Örneğin özdeşlik ilkesi böyle bir kanıtlamaya ihtiyaç duyar.
- Bu doğrudan kanıtlanamaz çünkü herhangi bir ilkenin kanıtlanması zaten bu ilkeye dayanır.
- Özdeşlik ilkesinin kanıtlanması mümkün değildir, özdeşlik ilkesi sayesinde herhangi bir kanıtlama yapılabilir.
- Özdeşlik ilkesi, bu ilkeyi kabul etmeyen insanların görüşlerinin yanlışlığı veya saçmalığı gösterilerek dolaylı olarak kanıtlanabilir. Bu “saçmaya indirgeme” yoluyla dolaylı kanıtlama veya dolaylı çürütmedir.
- Zenon’un uyguladığı yöntem budur. O Parmenides’in görüşlerine karşı çıkanlara, yani hareketi ve çokluğu kabul edenlere, bu kabulün ortaya çıkaracağı saçma sonuçları göstererek mümkün olmadığını kanıtlamaya çalışır.
- Yani önce hareketin ve çokluğun varlığını teslim eder, sonra bunlarla saçma sonuçlara ulaşır ve dolaylı olarak hareket ve çokluğun olduğu iddiası doğru değilse, tam tersi, yani hareketin ve çokluğun olmadığı ilkesi doğru olacaktır.
- Zenon’un amacı Parmenides’İ olumlamak, onu doğru ve haklı çıkarmaktır.
Zeno, bir filozof ve logistti, matematikçi değildi. Aristoteles, diyalektiğin icadıyla, bir arguer’in bir öncülü desteklediği, bir diğeri ise fikri saçmalamayı azaltmaya çalıştığı bir tartışma şekli olarak gösterildi. Bu tarz, büyük ölçüde, içsel bir çelişki bularak saçma bir fikrin azaltılması olan, absürdün azaltılması sürecine dayanıyordu.
Argümanların amacı, öğretmenin fikirlerini savunmaktı. Parmenides, gerçekliğin bir, değişmez ve değişmez olduğuna inanıyordu. Hareket, değişim, zaman ve çoğulculuk sadece yanılsamalardı.
Bu, tabii ki, birçok eleştirmen çekti. Zeno’nun paradoksları, zıt pozisyonu tutmanın, gerçekliğin çok fazla olduğunu, çelişkili ve saçma olduğunu göstermeye çalıştı. Bu nedenle, “bir” doğru felsefe olmalıdır.
Aşil’le Kaplumbağa Yarışı
Zenon, paradokslarının birinde, yarıtanrı Aşil’le kaplumbağayı yarıştırır. Kaplumbağa Aşil’den çok daha yavaş olduğundan, Aşil’in önünden başlar yarışa. Zenon, Aşil’in kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunur.
Gerçekten de Aşil’in kaplumbağayı yakalayabilmesi için, önce kaplumbağanın yarışa başladığı ilk noktaya erişmesi gerekmektedir. Aşil bu noktaya eriştiğindeyse, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Şimdi Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya erişmelidir. Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya vardığındaysa, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Çünkü kaplumbağa durmamaktadır. Bu böyle sürer gider ve Aşil kaplumbağaya hiçbir zaman erişemez.
Yaşamda böyle olmaz demeyin. Parmenides de, Zenon da, sizin gibi, yaşamda Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağını biliyorlar. Ancak, gördüğümüzün gerçek olmadığını, duyularımızın bizi aldattığını ileri sürüyorlar.
Bu paradoks üzerine biraz düşünelim. Aşil yarışa kaplumbağanın 100 metre gerisinden başlasın. Aşil saniyede 100 metre koşsun. Kaplumbağa da saniyede 10 metre koşsun. Varsayalım ki öyle…
Aşil’in yarışa başladığı noktaya Ao adını verelim.
Aşil bir saniye sonra kaplumbağanın bulunduğu ilk noktaya, A1 noktasına erişecektir.
Bu bir saniyede kaplumbağa 10 metre yol alacaktır ve A2 noktasına varacaktır.
Aşil A2 noktasına 1/10 saniye sonra varacaktır.
Bu 1/10 saniyede kaplumbağa 1 metre gitmiş olacaktır.
Aşil bu 1 metreyi, 1/100 saniyede koşacaktı
Paradoks olur da matematikçiler boş durur mu? Matematikçiler bu paradoksu çözmüşler.
Şöyle çözmüşler:
Aşil Ao noktasından A1 noktasına 1 saniyede koşar
Aşil A1 noktasından A2 noktasına 1/10 saniyede koşar
Aşil A2 noktasından A3 noktasına 1/100 saniyede koşar
Aşil A3 noktasından A4 noktasına 1/1000 saniyede koşar
… … …
Demek ki, der matematiçiler,
Aşil,
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … saniyede kaplumbağaya erişir.
Basit bir aritmetik bu sonsuz toplamın 10/9 olduğunu gösterir
Dolayısıyla Aşil kaplumbağayı 10/9 saniye sonra, yani 2 saniyeden, hatta 1,2 saniyeden az bir
zamanda yakalar.
Hesaplamak istediğimiz 1 + 1/10 + 1/100 + … sonsuz toplamına S adını verelim :
S= 1 + 1/10 + 1/100 + …
Şimdi S’yi 10’la çarpalım :
10.S= 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … = 10 +S
Bu eşitlikten de S’nin 10/9 olduğu çıkar… Aslında çıkmaz…
Ancak, S’nin sonlu bir toplam olduğunu biliyorsak yukarıdaki hesaplar
S= 10/9 verir. Örneğin,
T= 1 + 10 + 100 + 1000 + … sonsuz toplamı olsun.
T’nin sonlu olamayacağı besbelli. T’yi 10’la çarpalım :
10.T= 10 + 100 + 1000 + … =T−1
Bundan da
T=−1/9 gibi saçma bir sonuç çıkar.
Öte yandan okur, bize bu yazılık güvensin, S sonlu bir sayıdır ve 10/9’a eşittir.
Filozoflar bu yanıttan pek hoşnut kalmazlar. Her şeyden önce sonsuz toplamdan rahatsız
olurlar. Matematikçilerin matematik yaparken sonsuz tane sayıyı toplamalarına söz etmezler, göz
yumarlar, ama gerçek yaşamdan alınmış bir probleme uygulanmasına karşı çıkarlar. Matematiğin
gerçek yaşama her zaman uygulanabildiği nereden biliniyor?
Matematik, doğa yasalarını bulmaya çalışır. Bunu da oldukça iyi başarır. Örneğin matematik sayesinde uçaklar, trenler, binalar yapılır, hatta aya gidilir. Matematiğin birçok uygulaması vardır. Bu uygulamalar matematiğin doğayı anlamamızı sağlayan başarılı bir yöntem olduğunu gösterir. Ama her yere her zaman matematik uygulanabilir mi?
Örneğin, iki elma artı üç armut beş meyve eder, çünkü 2 + 3 = 5’tir. Ama bu matematiksel gerçeği iki litre suyla üç litre alkole uygularsak, beş litre sıvı elde edeceğimiz çıkar, ki bu da yanlıştır. Demek ki matematiği
uygularken dikkatli olmalıyız.
Doğa, matematiğin tam bir modeli değildir. Doğa matematiğin ancak yaklaşık bir modeli olabilir.
Üstelik, yukardaki hesap, Aşil’in kaplumbağayı 10/9 saniyede yakalayacağını göstermiyor.
Yukardaki hesap gösterse gösterse Aşil’in kaplumbağayı eğer yakalarsa 10/9 saniyede yakalayacağını gösteriyor. Aşil’in kaplumbağayı yakalayıp yakalamadığını bilmiyoruz ki, ne zaman yakalayacağı sorusunu sorup yanıtlayalım…
Sorumuz, Aşil’in kaplumbağayı ne zaman yakalayacağı değil, yakalayıp yakalayamayacağı…
Yanlış anlaşılmasın, çağdaş filozofların çoğu – hepsi değil ama – Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağına inanıyorlar.
Filozofların derdi bu değil.
Filozofların derdi Zenon’un paradoksu…
Zenon’un paradoksunda yanlış nerede?
Eğer mantığımızı kullanarak saçma bir sonuç kanıtlarsak, mantığımızda (yani ya varsayımlarımızda ya çıkarım
kurallarımızda) bir yanlış var demektir. Bu yanlışı bulmalıyız.
Zenon’un bu paradoksunda bir başka sorun daha var.
O da şu: Aşil kaplumbağayı yakalamak için sonsuz tane iş yapmalı; önce
A1 noktasına gitmeli, sonra A2 noktasına gitmeli, sonra A3 noktasına gitmeli…
Sonsuz tane iş yapabilir miyiz? İşte en önemli soru bu. Matematikçi kendi düşünsel dünyasında sonsuz tane sayıyı toplayabilir, ama biz, yaşamda, sonsuz tane sayıyı toplayamayız. Sonsuz tane iş yapamayız.
En azından sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünmek oldukça zor.
Yoksa Aşil kaplumbağaya erişmek için sonlu tane mi iş yapıyor?
Bu soruya geçmeden önce Zenon’un ikinci paradoksundan söz edelim.
İkiye Bölünme Paradoksu
Zenon, salt Aşil’in kaplumbağayı yakalayamayacağını söylemekle yetinmiyor. Aşil’in bir noktadan bir başka noktaya gidemeyeceğini de söylüyor.
Diyelim Aşil A noktasında ve B noktasına gidecek.
Aşil A’dan B’ye gitmek için önce yolun yarısına gitmeli.
Yolun yarısına gittikten sonra kalan yolun yarısına gitmeli. Daha sonra kalan yolun yarısına…
Bu böylecene sonsuza değin sürer.
Diyelim
A’yla B arasındaki uzaklık 1 metre. Aşil önce 1/2 metre gitmeli.
Gittiğini varsayalım.
Geriye 1/2 metre kalır.
Şimdi Aşil kala n bu 1/2 metrenin yarısına gitmeli, yani 1/4 metre daha gitmeli.
Geriye 1/4 metre daha kalır. Aşil bu kalan 1/4 metrenin yarısına gitmeli, yani1/8 metre daha gitmeli…
Daha sonra 1/16 metre daha gitmeli…
Eğer attığınız her adım önceki adımın yarısını ölçerse, o zaman sonsuz sayıda adım atsanız bile, kat edilen toplam mesafe ilk mesafenizin iki katını ölçer:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 +1/32 + 1/64 + ……..
Aşil sonsuz iş yapamayacağından
B noktasına varamaz…
Havada uçan bir oka bakalım.
Okun sonsuz tane iş yaptığını, yani sonsuz tane noktadan geçtiğini varsayalım.
Beynimiz okun sonsuz noktadan geçişini algılayabilir mi?
Bunu düşünmek oldukça zor. Olsa olsa beynimiz okun havada sonlu tane fotoğrafını çekiyordur ve bu fotoğrafları
bir sinema şeriti gibi gözümüzün önünden geçiriyordur. Bu konuya birazdan geleceğim.
Paradoksa geri dönelim.
Ama şimdilik, beynimizin dış dünyayı sonlu biçimde algıladığını aklımızda tutalım.
Okur belki sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünüyordur: birinci iş, ikinci iş, üçüncü iş…
O zaman sonsuz iş yapmaya sondan başlayalım!
Birinci paradoksa çok benzeyen bu ikinci paradoksu biraz değiştirip, Aşil’in,
bırakın B noktasına gidememesini, yerinden bile kımıldayamayacağını da kanıtlayabiliriz.
Gerçekten de Aşil’in A’dan B’ye gidebilmesi için önce yarı yola gitmesi gerekir.
Yolun yarısına gidebilme si için önce yolun dörtte birine gitmesi gerekir.
Ama daha önce yolun sekizde birine gitmesi gerekir…
Daha önce de on altıda birine gitmesi gerekir…
Dolayısıyla Aşil A noktasından öteye adımını atamaz bile.
İlerleyebileceği bir nokta yoktur ki! Gideceği her noktanın önce yarısın a gitmesi gerekmektedir.
Yoksa A’yla B arasında ve A’dan hemen sonra gelen bir nokta mı var?
Galiba öyle…
Paradoksun ikiye bölmekten kaynaklandığı kesin. Aşil’in gitmesi gereken fiziksel uzaklığı hep ikiye bölüyoruz. Demek ki fiziksel uzaklığı (uzayı) durmadan ikiye bölemeyiz. Demek ki bir zaman sonra ikiye bölemememiz gerekir. İkiye böle böle, bir zaman sonra öylesine küçük bir uzaklık elde ederiz ki, elde edilen bu mini minnacık
uzaklık bir kez daha ikiye bölünemez. Bir başka deyişle, uzay sürekli değildir.
Uzay, bölünmeyen en küçük uzay parçacıklarından oluşmuştur. 20. yüzyılın parçacık kuramı da bu yönde düşünmemiz gerektiğini söylemiyor mu zaten? Bu uzay parçacıklarına uzaybirim diyelim
(Bergson bu paradoksları ve aşağıda açıklayacağım ok paradoksunu şöyle çözmeyi öneriyor: Bir hareketin
belirlenmesi için hareketin başladığı ve bittiği noktaların verilmesi gerekmektedir. Okun hareketini ikiye bölmek demek, bir hareketin değil, iki hareketin olduğunu göstermek demektir. Okun hareketini ikiye bölmeye hakkımız yoktur. Okun bir ve bir tek hareketi vardır. Okun aldığı yolu ikiye bölebiliriz ama okun hareketini ikiye bölemeyiz.)
Uzayın uzaybirimlerden oluştuğunu kanıtladık (!). Her uzaklık sonlu sayıda uzaybirimden oluşur.
Üçüncü Paradoks(Hareket Yoktur)
Zenon’un üçüncü paradoksuna göre, hareket yoktur, hiçbir şey hareket edemez. Uçan bir ok ele alalım örnek olarak. Okun hareket ettiğini sanıyoruz değil mi?
Zenon yanıldığımızı kanıtlıyor.
Ok her an durmaktadır. İnanmazsanız okun havada bir fotoğrafını çekin.
Fotoğrafta okun durduğunu göreceksiniz.
Demek ki ok her an durmaktadır. Ok her an durduğuna göre hep duruyor demektir. Öyle değil mi?
Okun hareket edebilmesi için en az bir an hareket etmesi gerekmektedir. Oysa ok her an durmaktadır. Her an durmakta olan ok hep durmaktadır.
Uzayın sürekli olamayacağını yukarıda gördük.
Uzay küçük, çok küçük, bölünemeyen uzaybirimlerinden oluşmuştur.
Okun bir uzaybirimi uzunluğunda olduğunu varsayalım.
Uzaybirim uzunluğundaki ok, bir uzaybiriminin içinde hareket edemez, çünkü okun o uzaybiriminde hareket edebilmesi için, okun uzay biriminden daha kısa olması gerekir ki, uzaybirimden daha kısa bir nesne olamayacağını biliyoruz. Her uzaybiriminde hareketsiz duran ok, hep hareketsizdir.
Sinema da öyle değil midir? Sinema ekranında yürüyen bir insan aslında yürümeyen binlerce insan resminin gözümüzün önünden hızla geçmesi değil midir? Doğada hareket de aslında hareketsizlik değil midir?
(Bunların benim düşüncelerim olmadığını, Zenon’un düşünceleri olduğunu anımsatırım. Okuru kışkırtmak amacıyla, kendimi Zenon’un yerine koyarak Zenon’un paradokslarını savunur görünüyorum.)
Uçan ok her an durmaktadır. Ama bir sonraki uzaybiriminde var olmaktadır. Bergson’un da dediği gibi, aynen sinema ekranında yürüyen bir insan örneği, ok bize hareket edermiş gibi görünmektedir. Oysa her an durmaktadır.
Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?
Yaydan çıkarak hedefe, hiçbir başka hareket yapmadan ulaşır. Pekala, ok madem tekdüze bir haldedir o zaman ok, seçili bir zamanda sadece bir noktada durağan halde bulunmak zorundadır. Zira, tekdüze nesneler böyle hareket eder. Ok, art arda eklenmiş birim zamanlarda yol katettiği üzere, her seçili zamanda “tekdüze durma” zorunluluğuna sahiptir. Bu sayede, ok asla hedefini bulamayacaktır.
Zaman en küçük ölçü ve bölünmez olan anlarının, oluşur. Bir ok ya hareket halinde ya da hareketsizdir. Bir ok hareket edemez, çünkü hareketin gerçekleşmesi için, ok bir anın başında bir yerde ve bir anın sonunda başka bir yerde bulunmalıdır. Bununla birlikte, bu, anın bölünemez olduğu anlamına gelir ki bu imkansızdır, çünkü tanım gereği, bölünmezler.
Hareketin sürekliliği fikri, yıkılması inanılmaz zor bir fikirdir. Matematikte, diferansiyel ve integral hesapta, değişimin, devinimin sürekliliği oldukça açık bir şekilde önümüze seriliyor. Özellikle türev ve integral, en basit değişim dinamiklerinde dahi, oldukça doğru sonuç çıkarıyor. Zenon da, hareketin sürekliliğini ve gerçek hayatta yarışçıların yarışları tamamlayabildiğini biliyordu.
Süreksiz ve “sıçramalı” hareket fikrinin ne kadar sağlıksız olduğunu göstermek için bu paradokslara başvurdu.
Dördüncü Paradoks (Uzay Paradoksu).
Zenon’un son paradoksunu anlamak kolay değil. Yukarda da dediğim gibi Zenon’dan yazılı bir yapıt yok elimizde. Zenon’un paradokslarını bize aktaran Aristo. Aristo’nun aktardığı biçim pek anlaşılır gibi değil. Bu yüzden dördüncü paradoksun çeşitli yorumları var. Vereceğim yorum Aristo’nun aktardığı yorum değil ama ona çok yakın.
Yukarda, uzayın sürekli olmadığını, bölünmeyen uzaybirimlerden oluştuğunu kanıtladık, daha doğrusu Zenon kanıtladı.
Her şey varsa ve her şey uzaydaysa uzay nerededir? Eğer uzay başka bir uzaydaysa bunu sonsuza kadar götürebiliriz, öyleyse uzay gerçekten var değildir.
Şimdi aşağıdaki şekle bakalım
Her kare bir uzaybirimini simgelesin.
Sol üst köşede A nesnesi, sağ alt köşede B nesnesi var.
A ve B aynı anda ve aynı hızla “hareket” etsinler. A sağa, B sola gitsin.
Bir zaman sonra A sağdaki karede, B de soldaki karede olur.
Şimdi paradoksal soruyu soralım:
A ve B nerede karşılaştılar?
Hiç karşılaşmadılar! Çünkü aralarında karşılaşabilecekleri bir yer yok!
Zenon’un Parmenides’i desteklemek için yaptığı savunmalar bunlar ve benzerleridir ama yunan düşüncesi “varlık vardır; var olmayan var değildir” söylemine takılıp kalmayacak, çoğulcu materyalistler hem varlığı, hem oluşu kabul etmek ve açıklamak ihtiyacını duyacak ve çalışacaklardır. Onun çabaları sonsuz, sürekli, sayı, uzay, zaman, hareket gibi temel kavramların felsefi analizine büyük katkıda bulunmuştur. Onun felsefe tarihi içindeki önemi de her şeyden çok bu kavramlar üzerine tuttuğu ışıktan ileri gelmektedir.
Paradoksların kısıtlayıcı ve ayırıcı bilgileri;
1.Madde, gözlemlenen hareketi icra ederken, herhangi bir zamanda, herhangi bir mekanda durağan pozisyonda olma zorunluluğuna sahiptir.
2. Doğada madde, aynı zamanda iki farklı yerde bulunamaz. Madde, seçili zamanda sadece bir yeri kaplayabilir ve, hızına rölatif olarak belirlenecek zaman farkından düşük sürede, başka bir mekanda bulunamaz.
3. Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır. Olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?
Zenon’dan çok çok sonra, Aristo “Physica” kitabında, Zenon’un üç atlısına cevap vermiştir. Aristo’ya göre, asıl mevzu Zenon’un paradokslarını farklı yorumlamaktı.
Aristo, Zenon’un paradokslarını çözerken, “sonsuz uzay ve mekan” temelinden yararlandı, aslına bakarsak bu tanım bize hiç yabancı değil…her gün iç içe olduğumuz bir durum bu. Sonlu sonsuzluk!
En yakınınızda duran cetveli hemen alın ve inceleyin. Sayılar arasında, ufak çizgiler bulunur. Bu cetveli bir sayı doğrusu olarak düşünün. Bir ve iki arasındaki ufak çizgiler ise, kesirli sayılar olacaktır.
1, hemen ardından, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5…2, 2.1, 2.2,2.3…şeklinde gidecektir.
Pekala, 1 ile 1.1 arasındaki ilk “sıçrayış” ne zaman gerçekleşiyor? Aslına bakarsak, hiçbir zaman.
Zira, 1 ile 1.1 arasında sonsuz sayı vardır.
1.1 ile, 1.2 arasında da!
Bu tarz durumlara, “sonlu sonsuz” denir. İki sonlu veri arasındaki, sonsuz verilerdir.
Aristo da, Zenon’un paradokslarını bu şekilde çözmüştür. Sonsuz mekan ve zamanda koşmaya başlarsak, sonsuza kadar ilerlemeye çalışıp, “hareketimizin” sorgulanmasına sebep oluruz. Fakat, yarışın hem zamanen, hem de mekanen bir sonu vardır. Bu sayede, ne kadar “yarımlara” bölünüyor olsa da, bahsedilen yarışı sonlandırabiliriz. Zira, hem zaman hem de mekan kısıtlaması vardır.
Aynı açıklamayı, Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu için de yaptı. Akhilleus ile kaplumbağa arasındaki mesafe de sonludur. Biz, her ne kadar iki sayı arasında sonsuz sayı bulunsa da, hiçbir sorun yaşamadan sayabiliyorsak, Zenon’un koşucusu da aynı şekilde yarışı bitirebilirdi.
Aristo, Ok Paradoksu’na da aynı çözümü uygulamıştır. Uçan okun, yeteri kadar birim zamana bölünüp, akışı ile gözlemlendiğinde, bu “karelerin” akıcı bir hareket sergileyeceğini düşünüyordu. Fakat, bu iki beyefendiden de çok sonra, Werner Heisenberg, Zenon’un “Bir cisim, birim zamanda hem harekete, hem de konuma sahip olamaz.” görüşünü biraz daha ileri götürerek, Nobel kazanmayı başardı.
Zira, parçacığın birim zamanda, hem hızını, hem de konumunu eşit kusursuzlukta bilebilmek, imkansızdı.
Heisenberg belirsizlik ilkesi, kendi makalesini hak edecek düzeyde ağır bir konu. Sürekli ve süreksiz hareket kavramları, her gün karşılaştığımız hareketin ve sayıların doğasının aslında ne kadar büyüleyici olduğunu tekrar önümüze serdi.
Her ne kadar dört argüman mantıksız görünse de, kafa karıştırıcı olmaktan ziyade, açıklamak ve matematik için çok ciddi sorunlara yol açmak o kadar basit değildir. Gerçek yakınsama ya da sonsuzluk kavramı olmayan Yunanlı matematikçiler için, bu akıl yürütmeler anlaşılmazdı.
Aristoteles, Zeno’nun paradokslarının gelecek 2500 yıl boyunca matematiksel dolaba gizlendiğini ve neden olmadığını göstermeden, onları “yanlış” olarak attı.
O zamanlar, esas olarak felsefenin yenilikleri olarak azaltıldılar. Ancak, yirminci yüzyılda Bertrand Russell ve Lewis Carroll gibi insanların çabalarıyla matematiksel olarak canlandılar. Bugün, yakınsak seriler ve Cantor’ın araçlarıyla donanmış Sonsuz kümeler üzerine kuramlar, bu paradokslar bazı memnuniyetle açıklanabilir.
Bununla birlikte, bugün bile tartışma hem paradoksların hem de rasyonelleşmelerin geçerliliği konusunda devam ediyor.
Yunanlıların Elea filozof Zeno’suna (MÖ 495-435) atfedilen unutulmaz paradokslar nedeniyle sonsuzluk fikrine ulaştığına dair kanıtlarımız var.
Zeno, bu İkilem paradoksu, mekanın ve zamanın sonsuz bölünebilirliği varsayımı altında hareketin asla başlayamayacağını iddia etmek için kullandı.
Bu paradokslar, sonsuzluk kavramının kullanımı tarihindeki ilk örneklerdir. Sınırsız sayıda adımın hala sınırlı bir toplamı olabileceği şaşırtıcı sonucuna “yakınsama” denir.
Aşil’in veya bir odadan ayrılmaya çalışan kişinin daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerektiği fikrini ortadan kaldırarak paradoksları çözmeye çalışılabilir. Yine de, Aşil’in daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerekiyorsa, asla kazanamayacağından şüphe kalır.
Bu paradokslar sonsuzluğun rahatsız edici özelliklerine ve sonsuz süreçlerin veya olayların anlamını anlamaya çalıştığımızda bizi bekleyen tuzaklara işaret eder.
Aşil ve Kaplumbağa Paradoksuna Yakınsaklık Cevabı
Hızlı bir koşucu olan Aşil’in bir kaplumbağaya karşı yarışması istendi. Aşil saniyede 10 metre koşabilir, kaplumbağa saniyede sadece 5 metre. Parça 100 metre uzunluğunda. Adil bir sporcu olan Aşil, kaplumbağaya 10 metrelik bir avantaj sağlar. Kim kazanacak ?
- Her ikisi de koşmaya başlar, kaplumbağa 10 metre ileridedir.
- Bir saniye sonra Aşil, kaplumbağaların başladığı noktaya ulaştı. Kaplumbağa, sırayla, 5 metre yürüdü.
- Aşil tekrar çalışır ve kaplumbağanın daha önce olduğu noktaya ulaşır. Kaplumbağa, sırayla, 2,5 metre yürüdü.
- Aşil tekrar kaplumbağanın bulunduğu yere koşuyor. Kaplumbağa, sırasıyla, 1,25 metre ileride koşuyor.
Bu bir süre devam eder, ancak Aşil kaplumbağasının sadece bir saniye önce olduğu noktaya ulaşmayı başardığında, kaplumbağa yine biraz mesafe kat etti ve hala Aşil’in önündedir. Bu nedenle, denediği kadar, Aşil yalnızca, kalan mesafeyi yarıya indirmeyi başarır; bu, elbette, Aşil’in aslında kaplumbağaya asla ulaşamayacağını ima eder. Böylece, kaplumbağa Aşil’i hiç de mutlu etmeyen yarışı kazanır.
Açıkçası, bu doğru değil, ama hata nerede?
Şimdi matematiğe dönelim. Herhangi bir yeni nesneyle ilgilenmeden önce, onları tanımlamamız gerekir:
Bir dizi, sonsuz bir eklemenin sonucudur – henüz nasıl kullanılacağını bilmiyoruz – her bir kısmi toplamın, sadece çok sayıda terimin toplamı olduğunu unutmayın. Dolayısıyla, kısmi toplamlar bir sekans oluşturur ve biz sekanslarla nasıl başa çıkacağımızı zaten biliyoruz.
Aslında, bir dizi pozitif ve negatif terimler içeriyorsa, bir çoğu birlikte eklendiğinde iptal edilebilir. Bu nedenle, farklı yakınsama modları vardır: pozitif terimli serilere uygulanan bir mod ve terimleri negatif ve pozitif olabilen serilere uygulanan diğer bir mod.
Koşullu olarak yakınsak dizilerle çalışmak oldukça zordur. Birinin gerçek olmasını beklediği birkaç işlem bu seri için geçerli değildir. Belki de en çarpıcı örnek, birleşme yasasıdır. Yana a + b = b + a herhangi iki reel sayılar için a ve b pozitif veya negatif, bir bir dizi toplamı sırasını değiştirerek sonuca üzerinde çok az etkisi olması gerektiğini de beklenebilir. Ancak:
Koşullu yakınsak serilerin birkaç sürpriz içerdiği görülüyor. Somut bir örnek olarak, alternatif harmonik serisini yeniden düzenleyebiliriz, böylece 2’ye yaklaşır.
Kesinlikle yakınsak seri, beklediğiniz gibi davranır.
Bu bölümü başlattığımızda bir öykü ile bitirmeden önce seriye bir derece soyut sonuç daha vereceğiz. Daha teorik öneme sahip olan tek sonuç
Son hikayemiz sık sık ” Eğik Kule Lire ” olarak adlandırılıyor. Aşil ve Kaplumbağa hakkındaki tanıtım hikayesi, yakınsak (geometrik) bir dizi kullanarak çözebileceğimiz açık bir paradoks oluştursa da, bu hikaye, inanılmaz ancak gerçek bir duruma ışık tutmak için farklı (harmonik) bir serinin özelliklerini kullanır.
Çalışkan ama çok çalışan bir öğrenci olan Jillian, kütüphanede uyuyakaldı ve geceleri içeri girdi.Uyandığında oda loş bir şekilde yanıyordu ve yalnızdı. Zamanı geçirmek (ve sabahları kütüphaneciyi sinirlendirmek için) masanın kenarından taşmaları için bir masaya kitap yığmaya karar verdi.
Sınırsız bir kitap kaynağına sahip olduğunu varsayarsak, hepsi eşit genişlik 2 ve ağırlık 1 (örneğin), üretebileceği en büyük çıkıntı nedir? Daha ilginç hale getirmek için diyelim ki her seviyede sadece bir kitap kullanabilir .
Ancak öykü zamanımız sona ermiştir – sonraki bölüm, bir serinin yakınsak veya uzaklaşıp dağılmadığını hızlı ve verimli bir şekilde belirlemek için uygun testler sunar.