Bu, bu kurstaki tüm bölümler için ilerleme durumunuzu ve sohbet verilerinizi silecek ve geri alınamaz!
Sözlük
Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…
Çokgenler ve ÇokyüzlülerPlatonik Katılar
Okuma zamanı: ~35 min
Bu dersin başlangıcında, düzenli çokgenleri özellikle tüm kenarların ve açıların aynı olduğu “simetrik” çokgenler olarak tanımladık. Çokyüzlü için benzer bir şey yapabiliriz.
Normal bir polihedronda tüm yüzler aynı türdeki çokgenlerdir ve aynı sayıda yüz her tepe noktasında toplanır. Bu iki özelliğe sahip olan polihedra , Yunan filozofu Platon'un adını taşıyan Platonik katılar olarak adlandırılır.
Peki Platonik katılar neye benziyor - ve kaç tanesi var? Üç boyutlu bir şekil yapmak için, her tepe noktasında buluşmak için en az yüze ihtiyacımız var. Sistematik olarak en küçük düzenli çokgenle başlayalım: eşkenar üçgenler:
Her köşede üç eşkenar üçgenin birleştiği bir çokyüzlü oluşturursak, soldaki şekli alırız. Tetrahedron denir ve yüzü vardır. (“Tetra” Yunanca “dört” anlamına gelir).
Dört eşkenar üçgen her tepe noktasında toplanırsa, farklı bir Platonik katı elde ederiz. Oktahedron denir ve yüzü vardır. (“Sekiz” Yunancada “sekiz” anlamına gelir. “Sekizgen” 8 taraflı şekil anlamına gelir gibi, “Oktahedron” 8 yüzlü katı anlamına gelir.)
Her köşede üçgen toplanırsa, Icosahedron'u alırız. yüzü vardır. (“Icosa” Yunanca “yirmi” anlamına gelir.)
Her köşede üçgen toplanırsa, farklı bir şey olur: sadece alırız , üç boyutlu bir polihedron yerine.
Ve her tepe noktasında yedi veya daha fazla üçgen de yeni polihedra üretmez: bir tepe noktasında o kadar çok üçgene sığacak kadar yer yoktur.
Bu, üçgenlerden oluşan Platonik katı bulduğumuz anlamına gelir. Bir sonraki normal çokgene geçelim: kareler.
Her köşede kare toplanırsa, küpü alırız. Tıpkı zar gibi yüzü var. Küp bazen Yunanca "altı" için "hexa" kelimesinden sonra Hexahedron olarak da adlandırılır.
Her köşede kare varsa, alırız . Ve daha önce olduğu gibi, beş veya daha fazla kare de çalışmaz.
Sonra, düzenli beşgenleri deneyelim:
Her köşede beşgen toplanırsa, Dodecahedron'u alırız. yüzü vardır. (“Dodeca” Yunanca “on iki” anlamına gelir.)
Daha önce olduğu gibi, dört veya daha fazla beşgen değil çünkü yeterli alan yok.
Denenecek bir sonraki normal çokgen altıgenler:
Her köşede üç altıgen buluşuyorsa, hemen bir alırız . Üçten fazla yer olmadığı için altıgenlerden oluşan hiçbir Platonik katı yoktur.
Aynı şey altıdan fazla kenarı olan tüm normal çokgenler için de geçerlidir. Mozaik vermezler ve kesinlikle üç boyutlu çokgenler almayız.
Bu, sadece Platonik katı olduğu anlamına gelir! Hepsine birlikte bakalım:
dört yüzlü şekil
Yüz Nokta Kenar
Küp
Yüz Tepe Noktaları Kenar
sekizyüzlü
Yüz Köşebent Kenar
oniki yüzlü şekil
Yüz 20 Tepe Noktası 30 Kenar
ikosahedron
Yüz 12 Tepe Noktası 30 Kenar
Yüzlerin ve köşelerin sayısının nasıl dikkat edin küp ve oktahedronun yanı sıra dodecahedron ve icosahedron için söz konusudur , kenar sayısı . Bu Platonik katı çiftlerine çift katı denir.
Her yüzünü bir tepe noktasıyla ve her tepe noktasını bir yüzle “değiştirerek” bir çokyüzlüyü ikili haline getirebiliriz. Bu animasyonlar nasıl olduğunu gösterir:
Tetrahedron kendisiyle ikili. Aynı sayıda yüze ve köşeye sahip olduğundan, onları değiştirmek hiçbir şeyi değiştirmez.
Platon , Evrendeki tüm maddelerin dört elementten oluştuğuna inanıyordu: Hava, Toprak, Su ve Ateş. Her elementin Platonik katılardan birine karşılık geldiğini, beşinci elementin ise bir bütün olarak evreni temsil edeceğini düşündü. Bugün biliyoruz ki, polihedra değil, küresel atomlardan oluşan 100'den fazla farklı element var.
Arşimet Katıları
Platonik katılar özellikle önemli polihedradır, ancak sayısız başkaları da vardır.
Örneğin Arşimet katılar hala normal çokgenlerden oluşmalıdır , ancak birden fazla farklı tip kullanabilirsiniz. Başka bir Yunan matematikçi olan Syracuse Arşimetlerinin adını alıyorlar ve bunlardan 13 tane var:
Platon, tüm elementlerin Platonik katılardan oluştuğuna inanmakta yanlıştı. Ancak düzenli polihedra, doğada başka yerlerde görünmelerini sağlayan birçok özel özelliğe sahiptir - ve bu özellikleri bilim ve mühendislikte kopyalayabiliriz.
Radiolaria skeleton
Icosahedral virus
Birçok virüs , bakteri ve diğer küçük organizmalarikosahedra şeklindedir. Örneğin virüsler, genetik materyallerini birçok özdeş protein ünitesinin bir kabuğunun içine koymalıdır. İkosahedron bunu yapmanın en etkili yoludur, çünkü birkaç düzenli elementten oluşur, ancak neredeyse bir küre gibi şekillendirilir.
Buckyball molecule
Montreal Biosphere
Birçok molekül düzenli polihedra şeklindedir. Bunun en ünlü örneği C60 bu, bir Kesik İkosahedron şeklinde düzenlenmiş 60 karbon atomundan oluşur.
Bilim adamları yıldızlararası tozu araştırdıkları 1985 yılında keşfedildi. Benzer görünüşlü binalar inşa etmesiyle ünlü mimar Buckminster Fuller'ın ardından “Buckyball” (veya Buckminsterfullerene) adını verdiler.
Fluorite octahedron
Pyrite cube
Çoğu kristal atomlarını tetrahedra , küpler veya oktahedradan oluşan düzenli bir ızgarada düzenler. Çatladıkları veya parçalandıklarında, bu şekilleri daha büyük ölçekte görebilirsiniz.
Octagonal space frames
Louvre museum in Paris
Tetrahedra ve oktahedra inanılmaz derecede sert ve kararlıdır, bu da onları inşaatta çok yararlı kılar. Uzay çerçeveleri , büyük çatıları ve ağır köprüleri destekleyebilen çokgen yapılardır.
Football
Polygonal role-playing dice
Platonik katılar da zar oluşturmak için kullanılır. simetrileri nedeniyle, her iki tarafın yukarı bakma olasılığı vardır - bu yüzden zarlar adil.
Kesik Icosahedron muhtemelen dünyanın en ünlü polihedronudur: futbolun şekli.