Evet, Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right
adlı lineer cebir kitabının girişinde öyle diyor.
Matematik kitabı, roman gibi okunmaz. Bir sayfayı bir saatten kısa sürede geçtiyseniz, muhtemelen çok hızlı gidiyorsunuzdur. Her tanıma kafa yormalı ve her birini özümsemelisiniz. Teoremlerdeki koşulların neden gerekli olduğunu göstermek için birer örnek bulmalısınız.
Matematik çalışırken yapılan en büyük yanlışlardan biri pasif okuma yapmaktır. Tanımları, teoremleri ve ispatlarını okumak ve ezberlemeye çalışmak, kısa vadede sınavları geçmek için işe yarayan bir yöntem olabilir. Fakat uzun vadede işe yaradığını hiç göremedim.
Ben de üniversite öğrenimimin ilk yıllarında sınavdan bir akşam önce ders notlarındaki teorem ve ispatları defalarca yazarak ezberlemeye çalışırdım. İşe yaramadığını söyleyemem. Ama matematik bilmeyen bir adam olarak mezun olmuş sayıyorum kendimi.
Ne zamanki lisansüstü eğitime başladım, işte o zaman gerçek anlamda matematik öğrenmeye başlamam gerektiğini hissettim. Aslında kişisel bir tercihti benim yaptığım, zira lisanstaki çalışma yöntemiyle doktora bile bitirebiliyor birçok öğrenci. Kanıt isteyen halihazırdaki yüksek lisans/doktora tezlerine bakabilir.
Matematik nasıl öğrenilir sorusunun cevabı iki kelimeyle “kağıt-kalem”dir. (Detaylara inmem için daha fazla kelime gerekecek, bu da başka bir yazının konusu olsun) Bir matematik kitabı en verimli şekilde nasıl okunur sorusuna gelirsem:
- Küçük kartlar kullan: “Sayısal ne güzel ya, sözel gibi ezber yok” diyenlere inanmayın. Tanım ve teoremleri adınız gibi bilmelisiniz. Bunun için küçük kartlar kullanabilirsiniz. Her tanım veya teorem için bir kart kullanın. Alıştırmalar bölümünde yanınızda bulunsun.
- Örnek/Ters Örnek bul: Öğrendiğiniz tanımlara mutlaka bir örnek bulun. Teoremlere ise hem örnek hem de ters örnek bulun. Bazı şartları esneterek kolayca ters örnek bulabilirsiniz.
- Önce kendin yap: Örnekleri ve ispatları önce siz yapmaya çalışın. Problem çözme adımlarını uygulayın. Gidebildiğiniz yere kadar gidin. En sonunda ispata bakarak nerede hata yaptığınızı görün.
- Koşulları yokla: Teoremlerdeki şartları irdeleyin. Her bir şartın neden gerekli olduğunu ispata da bakarak anlamaya çalışın. O şartın ispatta nerede kullanıldığını görün.
- Alıştırmaları MUTLAKA çöz: Yanınıza küçük kartları alın ve bölüm sonu alıştırmalarını mutlaka ama mutlaka çözün.
Ve son bir alıntı ile bitiriyorum.
Şimdi bana kitabı nasıl okuyacağınızı soracaksınız. Bunun yolu, bu kitabı gündüz masanızın üzerine, gece yastığınızın altına koymak, kendinizi onu okumaya vermek ve tam anlamıyla anladığınıza kanaat getirene kadar da alıştırmaları çözmekten geçer. Ne yazık ki okuyucunun, nasıl okumayacağı -yani nereler atlanabilir ya da sadece bazı önemli kısımlar nasıl okunabilir- konusunda tavsiye aradığını düşünüyom. (Saharon Shelah, Classification Theory)
Matematik öğrenmekte sorun yaşayanların çoğunun, dünyanın en pahalı benzinini kullandığı halde bunu çok da umursamayan insanların diyarı Türkiye’ye özgü bir hadise olmadığını belirterek açılışı yapayım. Matematik öğrenmek, tüm insanlığın(ve tüm toplumların) sorunu, dolayısıyla öğrenememek de gayet insani bir durum.
İnsanoğlu bunun da çözümünü bulmuş neyse ki. Evet, çözümü biliniyor ama beynimiz soyut kavramları öğrenmekte hep zorlandığı için bu konuda tembellik etmek en çok tercih edilen seçeneğimiz oluyor. Tembellik etmek derken “ben sözel zekalıyım, matematiği sevmiyorum, çok sıkıcı” şeklindeki bahaneleri kastediyorum.
Aslında sözel zekalı olduğunu iddia eden insanlar soyut kavramlarla daha içiçe olduklarından zorlandıkları kısım bu değil. Diğer yandan bir konuyu sevmemenin, o şeyi öğrenmeye engel olmadığına dair birçok örnek de verilebilir.
Asıl mesele kağıt-kalem kullanmadan öğrenmeye çalışmak. Herşeyin bir usulü vardır ve matematik öğrenmenin usulü de soru çözmek, örnek ve ters örnek bulmak ve ispat yapmaktır.
Belki de -kimbilir- öğrenme dediğimiz şeyin doğasında “uygulamak-pratik yapmak” vardır. Önce olayın bilişsel boyutuna dair gerekenleri yaparız(mesela gerekli tanımları ve teoremleri öğrenmek) ve pratik yaptıkça ustalaşırız. Araba sürmek, bisiklet kullanmak, yüzmek, futbol, tenis vs. hepsinde de ilk zamanlar bildiklerimizi acemice uygularız. Acemilik ettiğimiz hiçbir zaman “ben araba süremiyorum” deyip kendimizi tamamen geri çekmeyiz. Denemeye devam ederiz ve sonunda ustalaşırız.
Bir matematik kitabını elimize alarak birçok tanım, teorem ve ispatı ezberleyene kadar okuyabiliriz. Hatta Matrix filminde Neo’nun jujitsu‘yu bilgisayardan beyne aktarım yoluyla öğrenmesi gibi bir yöntemle matematiksel kavramları ve ifadeleri öğrenebiliriz. Ama elimizi kirletmeden öğrendiğimiz matematikle, Morpheus’dan çok dayak yeriz.
Şimdi elindeki telefonu yavaşça yere bırak ve geleneksel yöntemlere geri dön!
Tez yazmaya başlamadan gerekli malzemeleri biraraya getirmeye başladım. Gerekli tanım, teorem ve örnekleri derliyorum kaynaklardan. Tanımlar neredeyse bitmek üzere, zamanla eklemeye devam edeceğim. İlgilisine: TeX | PDF
Matematik alanı özelinde benden bazı tavsiyeler:
- Mükemmeliyetçilik tuzağına düşmeyin. Mükemmel, iyinin düşmanıdır.
- Net olun.
Tabii ki biliyorsunuz tezin konusunu, ama sınırları net olarak çizin. Şu soruların cevabını mutlaka verin:
- Konu hangi yönleri itibariyle aydınlatılacak?
- Benzer tezlerden farkı ne olacak?
- Hangi kısımlar dışarıda bırakılacak?
Çünkü bu soruların yanıtlarına tez savunmasında da ihtiyaç duyacaksınız.
- Malzeme biriktirin.
Tezin ilk bölümünde kullanacağınız tanımları, teoremleri, lemmaları ve en önemlisi örnekleri vakit buldukça bir yere biriktirin. Mesela işinize yarayabilecek bir örneği gördüğünüzde, hemen istif yaptığınız metin dosyasına örneği ve örneğin bulunduğu kitap/makale ismini ve sayfasını not edin. Metin dosyası dedik ama tavsiyem latex kullanarak yazmanız, zaten formülleri nasıl yazacaksınız metin dosyasına? emacs+auctex kullanıyorum ben, ama bu iş için kullanışlı birçok tex editor internetten bulabilirsiniz.
- Kaynak istifleyin.
Şöyle ki elinizde birçok makale birikmiştir ve bu kadar çok malzeme işinizi kolaylaştırmaz Tersine işi daha içinden çıkılmaz bir hale sokar. O yüzden temel birkaç kitap ve önemli gördüğünüz, kaliteli dergilerde yayınlanmış makaleleri bir kenara ayırın. Diğerlerini atın gitsin. Zaten makale kaynakçalarında sıkça atıf yapılan belli başlı makaleler vardır, onların hangileri olduğunu anlayacak kıvama gelmişsinizdir.
- Teknolojiden faydalanın.
mendeley, zotero tarzı uygulamalardan mutlaka yararlanın. Daha düzenli çalışmanıza yardımcı olacaklardır. Bu uygulamalar sayesinde gerektiğinde makalelerin üzerine notlar alabilir, önemli yerleri işaretleyebilir, makale içeriklerinde(çoğunda) arama ve atıf yönetimini daha rahat yapabilir ve makalelerinizi kolayca tasnif edebilirsiniz.
- Hırsızlık yapmayın.
Akademik hırsızlık/aşırma yani intihal yapmayın. İntihal, akademik intihardır. Akademide şark kurnazlığı, eskisi gibi sökmüyor(o da kısmen). Üniversitelerdeki bazı fosilleşmiş akademisyenler, zamanında sağdan soldan aşırarak yaptıkları tezlerle doçent profesör olmuş olabilirler. Ama artık intihali tespit eden yazılımlar mevcut.(bkz: ithenticate, turnitin)
- Ve son olarak, 20 sene sonra okunduğunda sizi mahcup etmeyecek bir tez yazın.
Bu konuya esasında daha önce şu yazıda değinmiştim. Neydi efendim bu konu: Şuydu, bu ekitap okuyucular (ebook reader) epub veya mobi formatındaki dosyaları çok güzel görüntülüyorlar, ancak gelin görün ki bazı pdf dosyalarını görüntülemekte sıkıntı yaratıyorlar(örneğin taranmış pdf dosyaları). İşte bu noktada k2pdfopt adlı program diğer pdf kırpma programlardan ayrılıyor. OCR(optik karakter tanıma) özelliği sayesinde taranmış pdf dosyalarındaki sayfaları satır satır hatta kelime kelime ayırıyor ve seçtiğiniz ekitap okuyucu markasına göre pdf dosyasını kırpıyor. Size de okumak kalıyor. Okumak iyidir, okuyun!
Matematiğe genel bir bakış olarak yazılan birçok kitap zikredilebilir. Bunlar içerisinde en kapsamlı olanı şüphesiz The Princeton Companion to Mathematics adlı ansiklopedik tarzda yazılmış kitaptır.Tabi nispeten daha yeni yazılmış olduğu için daha güncel ve detaylı hazırlanmış, fakat Mathematics Form and Function adlı kitap da bu alanda önemli bir boşluğu dolduran kitaplar arasındadır. Yazarı Saunders MacLane, kategori teorisi alanının kurucularından olmasından mütevellit matematiğe
genel bir bakış sunmaya çalışmış denebilir.
Kitabın her bölümünde ilgili kavramların olgusal dünyadaki karşılıkları veriliyor, aslında biraz da matematiğin salt zihinsel(dahası biçimsel) bir oyundan öte gerçek hayatla sürekli bir etkileşimin ürünü olduğu fikri hissettiriliyor.
Bence kitabın en faydalı tarafı matematiğin lisans seviyesindeki tüm dalları ile ilgili genel bir çerçeve çizmesi ve kritik noktalarını açıklayarak genel bir lisans matematik konuları tekrarı işlevi görmesi. Benzer özellikte sayılabilecek kitapları da meraklısına önermiş olayım:
Daha ansiklopedik tarzda olan Oxford Users’ Guide to Mathematics , The Princeton Companion to Mathematics ve uygulamalı matematik alanında da The Princeton Companion to Applied Mathematics adlı kitaplara bakmanızı öneririm.
Bu dönem sunacağım seminer için hazırladığım sunuyu beamer ile hazırladım. Matematiksel notasyonlar ağırlıklı olarak kullanılıyorsa latex/beamer gibisi yok bence. Ms Word/Powerpoint gibi alternatiflerle karşılaştırınca, latex/beamer ile elde edilen çıktının asaleti kendini belli ediyor. İşte sunum:(PDF,TeX)
Seçme Aksiyomu ve ona denk olan ifadelerin de bulunduğu birkaç sayfa :
Bir süredir Stephen Abbott’un Understanding Analysis kitabından çalışıyorum. Gayet hoş bir Analiz kitabı. Konuların sunumu öz ve net, gereksiz ayrıntılara girmiyor anlatımı daha da berraklaştırmak için. Yeteri kadar anlatıyor ve bölüm sonlarındaki sorularla da anlatımı iyi kombine ediyor.
Bölüm sonundaki soruların çözümlerini bu adreste buldum.