Georg Cantor, sonsuzların karşılaştırılmasıyla ilgili deprem yaratan ispatını yaptığında, dostu Dedekind’e tam olarak şu cümleyi yazmıştı. “Je le vois, mais je ne le crois pas. (Görüyorum ama inanamıyorum!)” Aslında dünyanın geri kalanını inandırması daha da güç olacaktı. Zira Cantor gerçekten de tehlikeli bir gerçekle uğraşıyordu. Sonsuzlukla! Peki bu noktaya nasıl gelmişti?
Georg Cantor küme ve sonsuzluk kavramlarının ciddi bir şekilde ele alınması gerektiğini, ciddiye alınmazsa içinden çıkılmaz paradokslarla boğuşacağımız düşüncesini dile getiren ilk kişidir. Fransız matematikçi Henri Poincaré (1854–1912), Cantor’un fikirlerinden matematik disiplinini etkileyen “ciddi bir hastalık” olarak bahsetmiştir. Alman matematikçi Leopold Kronecker (1823-1891) Cantor’a şahsen saldırarak onu “şarlatanlık” ve gençliği yozlaştırmakla suçlamıştır.
Peki Georg Cantor ile ilgili bu kadar tartışmalı olan nedir? Bunu anlayabilmeniz için öncelikle onu kısaca tanımanız gerekiyor.
Kısaca Georg Cantor
Georg Cantor, 1845’te Rusya’nın St. Petersburg kentinde doğdu. Her iki ebeveyni de müzikal yeteneklere sahipti ve müziğe aynı yakınlığı gösteren Cantor olağanüstü bir kemancıydı. Ailesi, babasının hastalığından sonra 1856’da Almanya’ya yerleşti. Cantor okul yılları boyunca matematikte olağanüstü beceriler sergiledi ve 1860’ta liseden üstün başarı ile mezun oldu. Daha sonra İsviçre Federal Politeknik ve Berlin Üniversitesi’nde matematik okudu.
1867’de Georg Cantor, Sayılar teorisine dayalı teziyle Berlin’den doktora derecesi aldı. Daha sonra akademik kariyerinin çoğunu çoğunu geçirerek olduğu Halle Üniversitesi’nde ders vermeye başladı. 1871 ve 1872 yıllarında Sayı teorisiyle ilgili iki makalesi daha en saygın matematik dergilerinden Crelle’s Journal’de yayımlandı. Her şey yolunda gidiyordu. Ve artık zamanı gelmişti…
Cantor’un Tehlikeli Fikirleri
Cantor’a kadar olan matematikçiler sonsuzluk, varlığı açıkça sezilen ama uğraşılması, en azından matematiğin içine yerleştirilmesi pek de mümkün olmayan bir yerde duruyordu. Bu kavram matematikten daha çok teolojinin ilgi alanına giriyordu. Genellikle küme teorisinin yaratıcısı olarak anılan Cantor, sonsuz sayıda öğe içeren kümeleri karşılaştırmak için parlak bir fikre dayalı yeni matematiksel sonsuzluk kavramları icat etmişti.
Cantor’un yaptığı, sonsuzluğu kendi içinde bir varlık gibi muamele etmesiydi. Bir kümenin içindeki elemanları sayabilirsek bu kümeye sonlu küme, aksi durumda da sonsuz küme deriz. Eğer iki sonlu kümede aynı sayıda eleman varsa eleman sayıları da aynıdır. İşin can alıcı noktası burada başlar aslında. İki sonsuz kümenin eleman sayısı farklı olabilir mi? Bunun mümkün olduğunu bize ilk anlatan kişi Cantor’dur.
Ancak, sonsuzluğu matematiğe indirgemek Cantor’un karşısına sadece tutucu matematikçileri değil kutsal değerleri savunan bazı din adamları da çıkacaktı. Georg Cantor insanların çığır açan fikirleri er geç kabul edeceğini biliyordu. Ancak ne yazık ki bunun bedeli olarak da ruh sağlığını kaybedecekti.
Bir Sonsuzluk Diğerinden Daha Büyük Olabilir mi?
Sonsuz sayıda eleman içeren bir kümeye örnek, N = {1, 2, 3, …} yani doğal sayılar kümesidir. Ancak başka sonsuz sayı kümeleri de vardır. Öyleyse, iki sonsuz kümeyi karşılaştırmaya çalıştığımızda ne olacağını görelim. Z = {…, – 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} tam sayılarının kümesini ele alalım ve boyutunu N kümesiyle karşılaştıralım. Z’nin N’den önemli ölçüde daha büyük olduğu sonucuna varabiliriz. Bu akla uygun gibi geliyor. Ancak N’nin sonsuz olduğunu bildiğimiz için, Z’nin N’den büyük olduğu varsayımımız, bir anlamda Z’nin “daha büyük sonsuzluk” olması gerektiğini ima eder. Peki ya işin içine gerçek sayılar karışınca ne olacak? Ve tüm bunlar ne anlama geliyor? Sonsuzlukları “ölçmenin” bir yolu var mı?
Georg Cantor, bu tür soruların gerçekten matematiksel olarak titiz bir şekilde ele alınabileceğini ve cevaplanabileceğini keşfeden ilk kişiydi. Farklı kümelerin boyutlarını, sonsuz olsalar bile karşılaştırmak için çok basit ama zekice bir yöntem buldu. Ayrıca bir kümenin temel matematiksel kavramını oluşturdu ve şimdi modern matematiğin temellerinden biri olan küme teorisi alanını geliştirdi. Bunu kabullenmeye çalışan insanların henüz logaritma tablolarıyla hesap yapmaya çalışan insanlar olduğu düşünülünce, onu anlamamış olmaları aslında oldukça normaldi.
Georg Cantor’un Kümeleri Karşılaştırması
Cantor’un kümeleri karşılaştırmaya ilişkin parlak fikrini açıklamak için, bize A ve B olmak üzere iki küme verildiğini ve her ikisi de yalnızca sonlu sayıda eleman içerdiğini varsayalım. O zaman üç ifadeden biri (ve yalnızca biri) doğru olmalıdır: 1. A kümesinde B kümesinden daha fazla öğe vardır. 2. A kümesinde, B kümesinden daha az öğe vardır. 3. Her iki küme de aynı sayıda eleman içerir.
A ve B’nin elemanlarını saymadan bu ifadelerden hangisinin doğru olduğunu bulmanın bir yolu var mı? Evet var! A kümesinin her bir elemanını, örneğin birinden diğerine bir çizgi çizerek karşılık gelen bir B kümesinin elemanı ile eşleştirebiliriz. Bunu A ve B’nin tüm elemanları için yapmayı başarırsak her iki kümede de aynı sayıda eleman bulunur diyebiliriz.
Cantor’un bire bir eşleşme kavramı, iki sonsuz grubu karşılaştırmamızı sağlar. Çünkü kümelerin her birindeki elemanların sayısını gerçekten ayrı ayrı saymak ve sonra sayıları karşılaştırmak zorunda değilizdir. Sadece iki kümenin elemanları arasında bire bir ilişki kurup kuramayacağımızı bulmamız gerekiyor. Yukarıda, sizi doğal sayılardan daha fazla tam sayı olduğuna ikna etmeye çalışmıştık. Ancak şaşırtıcı bir şekilde, bu yanlıştır.
Cantor bize tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin eşit büyüklükte olduğunu göstermiştir. Hatta Cantor, rasyonel sayıların da doğal sayılarla bire bir eşleşmeye sokulabileceğini bile göstermiş ve bir biçimde bu kümenin sayılabilir olduğunu kanıtlamıştır. Ancak gerçek sayıların (yani rasyonel ve irrasyonel sayılar) doğal sayılarla bire bir yazışmaya koymanın da mümkün olmayacağını da kanıtlamıştır.
Gerçek sayılar, ondalık noktadan sonra sonsuz ve tekrar etmeyen dizilere sahip olabilir. Onları “sayılamaz” yapan bu özelliktir. Dolayısıyla, doğal sayılardan daha “çokturlar” ve bu nedenle “daha büyük” bir sonsuzluğu temsil ederler. Cantor ayrıca, sayılamayan kümeler arasında, farklı “boyutlarda” sonsuzluklar olduğunu gösterdi ve bir sonsuzluklar aritmetiği geliştirdi.
Georg Cantor’un Anlaşılması Uzun Zaman Alacaktı
Georg Cantor bu sonuçları yayınladığında matematik camiasını şok etti. Cantor, fikirlerinin karşılaştığı muhalefetin çok iyi farkındaydı. Cantor fikirlerine gösterilen dirençten ve bu direncin zaman zaman kişiliğine yönelmesinden çok yıprandı. Özellikle Mittag-Leffler bir makalesinin yayımı için 1984 yılına kadar beklemek gerektiğini yazınca artık iyice yorulan bedeni onu yarı yolda bıraktı. İlk depresyonunu o yıl geçirdi. Ölümüne kadar da sık sık hastaneye yatacak ve her seferinde uzun süre tedavi görecekti.
Bir daha hiç matematik yapacak kadar iyileşmedi. Fakat hastanede olmadığı dönemlerde de boş durmadı. 1890 yılında Alman Matematik Derneği’ni kurdu ve ilk başkanı seçildi. Matematik yapacak kadar iyileşmeyi beklerken bugün hâlâ tartışma konusu olan bir konuya ilgi duydu. Shakespeare diye birisinin olmadığı, tüm o oyunları Francis Bacon’un yazdığı iddialarını destekleyen makaleler yazdı.
1912’de St Andrews Üniversitesi’nden fahri doktor unvanını aldı, ancak hastalığı nedeniyle şahsen diplomayı kabul edemedi. Georg Cantor, 1913’te yoksul ve sağlığını yitirmiş bir biçimde emekli oldu. 1917’de Almanya’nın Halle kentinde bir sanatoryumda yaşamaya başladı. Sonrasında da 6 Ocak 1918’de kalp krizi sonucu sanatoryumda öldü. Cantor’dan geriye zamanının çok öncesinde matematik dünyasına tanıtılmış bir sonsuzluk kavramı ve kümeler kuramı kaldı. İnsanlık onun kapısını açtığı sonsuzluğu, ünlü matematikçi Hilbert’in şu sözleriyle hatırlayacaktı. “Hiç kimse bizi Cantor’un kapısını açtığı cennetten kovamayacaktır. “
Göz atmak isterseniz:
Kaynaklar:
- Alfred S. Posamentier and Christian Spreitzer; The Lives and Works of 50 Famous Mathematicians
- Georg Cantor; Bağlantı: https://famous-mathematicians.com/georg-cantor/
Dip Not
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım