Tamamen Kişisel
Leonhard Euler tarafından 1765'te yayınlanan bu teorem bize şunu söyler:
Herhangi bir üçgende çevrel çemberin merkezi O, yüksekliklerin kesişme noktası H ve kenarortayların kesişme noktası G; aynı doğru üzerinde bulunur. Ayrıca $|GH|=2|OG|$'dir.
İspat: Bu teoremin birden fazla ispatı var. Ben 1 tanesine yüzeysel olarak değineceğim. Yani detayına girmeden, sadece nasıl ispatlanacağını anlatacağım. Bu ispatın en yaygın ispat olduğunu da belirteyim.
Söylememiz gereken şey;
ve böylece $|CG|=2|GM_C|$ olduğu.
Eğer
olduğunu söyleyebilirsek $HGC$ ve $OGM_C$ benzerdir ve 2:1 oranı vardır deriz. Bundan ötürü benzer şekilde HO üzerindeki G noktasının HO'u 2:1 oranında böldüğü sonucuna ulaşırız.
Bu dediğimizi yapmanın bir yolu:
üçgeni ile $HAC$ üçgeninin benzer olduğunu göstermek. Bunu göstermek okuyucuya ödev olsun.
Teoremin bir başka ispatı Dominik Teiml'e ait. O da şu:
ABC üçgeninde
noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim. Çevrel çember üzerinde yanda gördüğünüz gibi bir P noktası alalım. O çemberin merkezi olduğu için
PHC üçgeninde orta taban olur. Bu durumda
olduğu da açıktır. Böylece
noktası PHC üçgeninin ağırlık merkezidir ve
olur. Bu
noktası aynı zamanda |AB| uzunluğunun orta noktasıdır. Öyleyse
aynı zamanda ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Burada
olduğuna ayrıca dikkat edelim.