Asal sayılar sayıların atomları gibidir. Çünkü tüm tam sayılar, tıpkı moleküllerin oluşması gibi, asal sayıların birleşimi biçiminde ifade edilebilir. Ancak asal sayılar teorisi beraberinde bir çok gizem de barındırır. Örneğin 1742’de Christian Goldbach ve Leonhard Euler tarafından ifade edilen ve henüz kanıtlanmamış Goldbach varsayımı bu sırlardan birisidir. Üstelik kimyasal periyodik tablo sınırlı sayıda element içerirken asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu da biliyoruz.
İşte bu noktada da karşımıza önemli bir soru çıkıyor. Asal sayılar tüm sayıların içine nasıl dağılmışlardır. İlk 100 sayıyı alırsak 25 tane asal sayı olduğunu görürüz. 1001 ile 1100 arasında yalnızca 16 ve 100001 ve 100100 sayıları arasında da sadece altı tane vardır. Yani asal sayılar giderek azalır. Başka bir deyişle, ardışık iki asal sayı arasındaki ortalama mesafe giderek daha büyük hale gelir. En büyük asal sayının ne olduğu ile ilgili ilgili arayışlar devam ederken, matematikçiler mevcut asal sayıların dağılımlarına bakarak bir sonraki asal sayının nerede olacağını bulmaya çalışırlar. Ancak bu çok da kolay değildir.
İkiz Asallar, Kuzen Asallar, Seksi Asallar!
Bazen asal sayılar arasındaki boşluklar çok büyük, bazen de çok küçük olabilir. Hiçbir asal sayının oluşmadığı, keyfi olarak uzun aralıklar bile vardır. Diğer yandan en küçük boşluk ikidir. Aralarındaki fark 2 olan ardışık asal sayılara ikiz asallar denir. Örneğin 3-5, 17-19, 1031-1033 çiftleri ikiz asal sayılardır. Sayılar evrenine girdikçe asal sayılar gittikçe daha seyrek hale gelse de, başka bir ikiz asal çifti karşımıza çıkabilir. Örneğin, 1129’dan sonra, sonraki 21 sayı içinde herhangi bir ikiz asal bulamazsınız; sonra aniden 1151 ve 1153 ikiz asalları ortaya çıkar. Birbirlerinden asal olmayan dört sayı ile ayrılmış asal sayılar da vardır. Bu asallara da kuzen asallar denir. Birbirinden altı asal olmayan sayı ile ayrılan asal sayılara da, tahmin etmişsinizdir, seksi asallar denir.
İkiz Asallar Sonsuz Sayıda mıdır?
İkiz asal sayılar hakkında normal asallardan çok daha az şey bilinmektedir. Kesin olan şey, oldukça nadir olduklarıdır. İlk milyon tam sayı arasında yalnızca 8169 tane vardır. Ancak haklarında çok şey bilinmiyor. Örneğin, sonsuz sayıda ikiz asalın var olup olmadığını veya belirli bir ikiz asal çiftten sonra daha büyük olanların olup olmadığını bilemiyoruz. Bu konu ile ilgili bir araştırma da geçtiğimiz yıllarda bizi mutlu etmişti. Boğaziçi Üniversitesi’nden Prof. Dr. Cem Yalçın Yıldırım çalışma arkadaşları Daniel Goldston ve Janos Pintz ile birlikte sanı hakkında önemli bir gelişmeye imza atmışlardı. Çalışmaları sonsuz sayıda ikiz asal olduğunu kanıtlamasa da, kesinlikle doğru yönde atılmış bir adımdı. Bu sayede de sayılar teorisi alanında 2014 Frank Nelson Cole Ödülü – kısaca Cole ödülü – sahibi olmuşlardı.
Bu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi? Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti bilebilir miyiz? Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi. James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi. Terence Tao başkanlığında bir ekip bu sayıyı 246’ya indirdi. Ancak sonrasında ilerleme durdu.
Matematikçiler, problemi tamamen çözmek için yeni bir fikre ihtiyaç duyduklarını anladılar. Bunun içinde sonlu sayı sistemleri ile uğraşmaya karar verdiler. Bu mantıkla 2019 yılında iki matematikçi varsayımının – en azından bir çeşit alternatif evrende – doğru olduğunu kanıtladı. Kötü haber şu ki, kanıtları geometriye dayandığından bu kanıtı ikiz asallara uygulamak muhtemelen mümkün olmayacak.
Matematiksel