Bu dersteki konumuz sinüs fonksiyonunun tersi. Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkla, birebir ve örten olması durumunda, tersi de bir fonksiyon olur.
Yani aslında bir fonksiyonun tersinin olması için gerek ve yeter şart, o fonksiyonun birebir ve örten olmasıdır.
Eğer bir fonksiyon birebir ve örtense tersi vardır.
Sinüs fonksiyonunun da belirlenen bir aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi olacaktır ve bu fonksiyona biz, "arcsin" fonksiyonu adını vereceğiz yani arcsinüs, sinüsün ters trigonometrik fonksiyonu diyeceğiz. Şimdi buna göre, sinüs eksi pi bölü 2, artı pi bölü 2 kapalı aralığından [-1,1] kapalı aralığına tanımlanırsa, tersi olan arcsin fonksiyonu ki yukarıda tanımladığımız sinüs bu aralıkta birebir ve örtendir.
Bu durumda arcsin fonksiyonu yani sinüsün ters trigonometrik fonksiyonu [-1,1] kapalı aralığından eksi pi bölü 2, artı pi bölü 2 kapalı aralığına tanımlanmış olur.
Bu iki fonksiyon arasındaki bağıntıyı aslında biz şu şekilde de gösterebiliriz yani f(x) eşittir sinüsx ise f(x)'in tersinde x yani sinüsün ters fonksiyonunda arcsinx şeklinde gösterilir. Örneğin işte, sinüs pi bölü 3 bunun karşılığı kök söylemiştik.
f(x) eşittir y ise f(x)'in tersinde y de x yani biz şu içini ve dışını fonksiyonu yer değiştirdiğimizde, bu fonksiyonun tersi fonksiyonunu bulmuş oluyoruz.
Şimdi burada da aynı şey var, şu ikisini yer değiştirirsek ne olur arcsin kök 3 bölü 2 eşittir, pi bölü 3 olur. Dolayısıyla işte sinüsün ters fonksiyonuna arcsin tanımlanmış oldu ya da arcsin eksi 1 bölü 2, değiştirirsek bir fonksiyonun tersinin tersi yani f ters üzeri -1'in tekrar eksi birinci kuvveti f'tir.
Dolayısıyla arcsin'in tekrar tersine aldığımızda, şu ikisini yer değiştirdiğimizde sinüs olacak.
Sinüs 11 pi bölü 6 eşittir, gerçekten eksi 1 bölü 2'ye eşit olmuş olacak, sevgili arkadaşlar.
Evet, şimdi isterseniz artık konumuzla ilgili örneklere geçelim.
Cos içerisinde arcsin eksi kök 3 bölü 2 ifadesinin eşitini bulunuz diyor.
Yapacağımız şey şu arkadaşlar, hemen şuraya x diyoruz.
Tamam, yani bize ifade neyi soruyor aslında kosinüs x'i soruyor, bunu unutmayalım.
Peki ben kime x dedim, şuraya yazalım.
Arcsinüs eksi kök 3 bölü 2'ye ne dedim ben sevgili arkadaşlar, x dedim. Dolayısıyla burada sinüs x'de eksi kök Şimdi sinüsün eksi kök 3 bölü 2 olduğu yer neresi?
Önce isterseniz şuna cevap verelim, sinüs nerede artı kök 3 bölü 2, 60 derecede şimdi bunu eksi yapabilmek için ya 3.
ya da 4.
bölgeye almak lazım ama üçüncü bölgede arcsin tanımlı değil ki.
Nerede tanımlı?
Dördüncü bölge hani eksi pi bölü iki artı pi bölü iki demiştik.
1'de ve dolayısıyla eksi 60 ne demek aslında, bu durumda x eşittir 300 derece demek.
Bu şekilde ifade edebiliriz.
Şimdi bana neyi soruyor dikkat ederseniz.
Kosinüs 300 derece nedir, diye sormuş oluyor, bunu isterseniz indirgeme bağıntısı kullanarak da yapabiliriz.
Bunun yerine ne yazarız işte kosinüs 360, eksi 60 dikkat edersen geri geliyor dördüncü bölgede kosinüs zaten artı arkadaşlar, hani eksik yutma muhabbetiydi.
Bu, artı kosinüs 60'a eşittir.
Yani bu da işte sinüs sorunumuzu çözmüş oluruz ve hiç vakit kaybetmeden sıradaki sorumuza geçelim.
Tanjant pi bölü 2 eksi arcsin 3 bölü 5 ifadesinin eşiti bulunuz, diyor. Şimdi bunu da indirme bağıntısını kullanalım. Tanjanttan, pi bölü 2'den geri geliyoruz aslında. Şimdi pi bölü 2'den geri gelirsek, birinci bölgeye düşeriz.
Tanjantın birinci bölgedeki işareti artı ama pi bölü 2'den geldiğim için isim değişir, kotanjant arcsin 3 bölü 5, ifadesinin değerini bize soruyor.
Yani ne yapıyorduk?
Şuraya hemen x diyorduk ya ve bana ifade aslında kotanjant x nedir bunu soruyor.
Verdiği bir şey var, arcsinüs 3 bölü 5'e siz x dediniz.
Bu durumda da sinüsx 3 bölü 5 oldu.
Bakın her zaman burada açıyı bulmanıza gerek yok.
Şimdi bir önceki soruda açının değerini bulabilmiştik ama burada gerek yok ki.
Niye gerek yok sinüs x'i vermiş, kotanjant x'i soruyor.
Ne yapacağız arkadaşlar?
Hemen bir tane dik üçgen çizeceğiz, bu çizdiğimiz dik üçgen içerisine x'i yerleştiriyorum, sinüs neydi?
Karşı bölü hipotenüstü.
3 bölü 5'i yazdım ve bu 3-4-5 üçgeni hipotenüsünü 5'in karesinden diğer dik kenar 3'ün karesini çıkarttığımızda 16. Kök 16'da 4'tür.
Diğer dik kenarı da bulmuş olduk ve kotanjant x'i soruyor bana.
Kotanjant nedir?
Komşu bölü karşıdır.
Yani 4 bölü 3 olarak, bize sorduğu ifade bulunmuş olur diyebiliriz, sevgili arkadaşlar.
Böylelikle bu sorumuzla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.
Ters trigonometrik fonksiyonlar nedir? Bir trigonometrik fonksiyonun tersi nasıl alınır?
Bir trigonometrik fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi de bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonlara ters trigonometrik fonksiyonlar denir.
Sinüs fonksiyonunun tersi nedir? Sinx’in tersi nedir?
Sinüs fonksiyonunun tersi “arcsin” olarak adlandırılır.
f(x) = sinx → f-1 = arcsinx
Ters trigonometrik fonksiyonlar örneği olan arcsin fonksiyonunun tanım aralığı nedir? Ters trigonometrik fonksiyonlar hangi bölgelerde tanımlı?
Sinüs fonksiyonunun belirlenen bir aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi vardır. Sinüs fonksiyonu [-1, 1] aralığında birebir ve örten olmak üzere tanımlıdır. Bu tanım kümesinde sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi aralığındadır.
Buna göre, sinüs fonksiyonun tersi olan arcsin fonksiyonu arasında tanımlanır. Arcsin hesaplama yapılırsa da fonksiyonunun görüntü kümesi [-1, 1] aralığında olur.
Ters trigonometrik soru örneklerini çözerken bu özellikleri göz önünde bulundurman gerekir.