Projenin başlığı: Scott modüllerinin Brauer parçalanamazlığı
Proje no: 2017 / 22
Proje yöneticisi: Dr. Öğretim Üyesi İpek Tuvay
ÖZET
Bir asal sayı olan p için, k cebirsel kapalı ve karakteristiği p olan bir cisim olsun. G sonlu grubu ve Q diye G’nin bir p-altgrubunu alalım. Sonlu boyutlu bir kG-modülü olan M için M’nin Q’ya göre Brauer faktörü olan M(Q):=MQ / ΣR TrRQ(MR) diye tanımlanır (burada MQ notasyonu M’nin Q-sabitleyen altmodülünü ve TrRQ notasyonu ise MR’ den MQ ‘ya giden iz gönderimini sembolize eder). M(Q) modülü üzerinde doğal bir kNG(Q)-modülü yapısı taşır. Q’nun G’deki merkezleyeni olan CG(Q) altgrubu her zaman Q’nun G’deki normalleyeni olan NG(Q) altgrubunun içinde kaldığı için bu modülü CG(Q) altgrubuna kısıtlayarak onu bir kCG(Q)-modülü olarak görebilmek mümkündür. Eğer bir kG-modülü olan M modülü, G’nin her p-altgrubu olan Q için M(Q) modülü sıfır veya bir kCG(Q)-modülü olarak parçalanamaz ise M modülüne Brauer parçalanamaz adı verilir.
Modüller kategorisinin önemli bir ailesi olan p-permütasyon modüllerinin Brauer parçalanamazlığı sonlu grupların p-blokları arasında kategorik denklikler elde etmek açısından önem taşır [bknz KKM11 ve KL05]. Verilen iki sonlu G ve H grubunun ortak bir Sylow p-altgrubu P olsun. G ve H’ye karşılık gelen iki temel (principal) p-blokları (aşikar altmodülü içeren blok) olan B0(kG) ve B0(kH) arasında sabit cinsten bir Morita denkliği (stable equivalence of Morita type) oluşturmak için köşesi ΔP={(u,u) | u ϵ P} olan Scott k(G x H)-modülü M= SΔ(P)(G x H, k) modülünün bu denkliği kurmak için bir araç olmasını beklemek çok doğaldır. Çünkü Scott modülü de kendi içinde aşikar altmodülü barındıran parçalanamaz bir p-permütasyon modülüdür. Böyle bir sabit cinsten Morita denkliği oluşturabilmek için Broué, Roquier ve Linckelmann’ın yapıştırma yöntemi sonuçlarından dolayı P’nin her Q altgrubu için M(ΔQ)’nun B0(kCG(Q)) ve B0(kCH(Q)) arasında bir Morita denkliğine kaynak olması gerekir. Morita denkliğine kaynak olması ise M(ΔQ)’nun bir k(CG(Q) x CH(Q))-modül olarak parçalanamaz olmasını gerektirir. İşte Brauer parçalanamaz modüllerin önemi buradan kaynaklanmaktadır.
P-permütasyon modülleri ile doymuş füzyon sistemler arasındaki ilişki [KKM11]’de verilmiştir. Bu makalede onlar eğer köşesi P olan Brauer parçalanamaz bir kG-modülü var ise FP(G) kategorisinin doymuş bir füzyon sistem olduğunu göstermişlerdir. Aynı makalede, bu önermenin tersinin doğru olmadığını da bir karşı örnekle göstermişlerdir. Ancak, P değişmeli bir grup ise M’nin köşesi P olan bir Scott kG-modüle eşit olması durumunda önermenin tersinin doğru olduğunu kanıtlamışlardır, yani “P değişmeli ve FP(G) doymuş bir füzyon sistem ise SP(G, k) Brauer parçalanamazdır(*)” önermesini kanıtlamışlardır.
Burada füzyon sistemleri ve Scott kG-modülünün tanımını vermemizin faydası olabilir. H≤G için IndHG(k) modülü G/H koset kümesini baz olarak alan ve üzerinde kosetten kaynaklanan bir G-etkisi bulunan bir kG-modülüdür. P, G’nin bir p-altgrubu olmak üzere P köşesine sahip bir Scott kG-modülü ise IndPG(k)’nın içinde aşikar kG-modülünü altmodül ve tepe (head) olarak içeren parçalanamaz bir parçası olan kG-modül olarak tanımlanır. FP(G) ile gösterilen füzyon sistem ise objeleri P’nin altgrupları, dönüşümleri ise G’nin bir elemanı tarafından realize edilen grup homomorfizmaları olan kategori olarak tanımlanır. Bu füzyon sistem her zaman doymuş olmayabilir. Ancak P’nin G’nin Sylow p-altgrubu olma durumunda her zaman doymuş bir füzyon sistemdir. Burada, füzyon sistemlerin soyut olarak daha genel bir tanımı olduğunu ve yukarıda tanımlanan füzyon sistemlerinin bunlara örnek teşkil ettiğini belirtmemiz gerekir.
[T14]’te P grubunun değişmeli olmadığı bazı özel durumlarda (*) önermesi kanıtlanmıştır, fakat bu durumlarda P’nin üstünde koşullar olmasa da P’nin üstünde tanımlanan doymuş füzyon sistem üzerine bazı kısıtlamalar getirilmiştir. Ayrıca bu makalede aşağıdaki soru ortaya atılmıştır:
Soru: P sonlu bir p-grup, F kategorisi P üzerinde tanımlı doymuş bir füzyon sistem ve X F’ye karşılık gelen karakteristik P-P-ikili kümesi olsun. Eğer G=Park(F, X) ve ι, P’nin G içine gömme fonksiyonu ise ι(P)’ye karşılık gelen kG-Scott modülü Brauer parçalanamaz olur mu?
S. Park [P10] makalesinde herhangi bir soyut F füzyon sistemiyle başlayıp onu realize eden grubu inşa etmiştir. Bu inşada karakteristik ikili küme kavramı önemli rol oynar. Burada teknik olduğu için bir füzyon sisteme karşılık gelen karakteristik ikili küme tanımını vermeyeceğiz (bknz [AKO11]). Park(F, X) notasyonu Park’ın inşa ettiğin füzyon sistemi realize eden grubu temsil etmek için kullanılmıştır. İlginç bir şekilde bu grup P ʃ Sn ‘ye izomorfik olur ve burada ι gömme fonksiyonu P’nin G içinde nasıl oturduğunu anlamamızı sağlar. [T14]’te kanıtlanan sonuçların tümünde ι(P), G’nin normal kısmında oturuyor idi. Bu nedenle bu çalışmada bu durumun sağlanmadığı konstreyn füzyon sistemlerine odaklanmayı hedefledik.
Projenin başlangıç safhasında, daha önce incelenmemiş bir durum olan F’nin konstreyn füzyon sistem olma durumuna odaklandık. Bu füzyon sistemler aslında gruplardaki p-konstreyn kavramına karşılık gelen füzyon sistemleridir. Açık olarak söylememiz gerekirse, literatürde “Model Theorem for constrained fusion systems” (bknz [AKO11]) adıyla anılan teoreme göre, her konstreyn füzyon sistemi F’ye karşılık gelen öyle bir p-konstreyn H grubu vardır ki F= FP(H) olur ve H, P’yi Sylow p-altgrubu olarak içerir (burada H’ye model adı verilir). Ayrıca bu durumda H grubu F için bir karakteristik P-P ikili kümesi olarak da işlev görür. İşte konstreyn füzyon sistemlerinin bu önemli özelliklerinden ötürü yukarıda ortaya atılan soruyu bu füzyon sistemi ailesi için incelemeye karar verdik.
Bu aşamada, S. Koshitani ile birlikte ilk olarak duruma uygun bazı örneklerde modül hesapları yaptık. Bunlardan ilki P=D8 ve H=S4 alınduğı durum oldu. Bu durum için FP(H) füzyon sistemi konstreyn ve G= Park(FP(H), H) için G grubu P ʃ S3 grubuna izomorfik oldu ve kG-Scott modülünün IndιHG(k) ‘e izomorfik olduğunu gözlemledik. Bu gözlemimizden sonra bu modülün Brauer parçalanamazlığını test ettik ve sonucu pozitif bulduk. Bu gözlem bize genel duruma geçiş için bir umut verdi. İlk olarak aşağıdaki teoremi kanıtladık:
Teorem 1: F P grubu üzerinde konstreyn bir füzyon sistem ve H, F’nin modeli olsun. G= Park(F, H) ve ι Park’ın gömme fonksiyonu olsun. O halde Sι(P)(G,k) modülü IndιMG(k) ‘e izomorfik olur.
Daha sonra bu modülün Brauer faktör hesaplarını tamamladık:
Önsav: Teorem 1’deki koşullar altında M= Sι(P)(G,k) alındığında, her Q ≤ P için M(Q) IndN_ιH(ιQ)N_G(ιQ)(k)’ya izomorfik olur. Ayrıca, aynı modül kCG(Q)-modül olarak da IndC_ιH(ιQ)C_G(ιQ)(k)’ya izomorfik olur.
Bu adımdan sonra konstreyn füzyon sistemlerin içinden özel bir aile seçtik. Bu aile kuadratik grup adı verilen ve Qd(p) ile gösterilen gruplara karşılık gelen füzyon sistemleri ailesidir. Qd(p) grubu sonlu grupların temsil teorisi alanında önemli yere sahip olan bir grup ailesidir. Qd(p) grubu Z/p x Z/p grubu ile SL(2,p) grubunun yarıdirek çarpımından elde edilen gruptur ( SL(2,p)’nin Z/p x Z/p üzerinde doğal otomorfizma etkisi vardır ). P’yi Qd(p)’nin Sylow p-altgrubu olarak seçtiğimizde FP(Qd(p)) konstreyn füzyon sistem olur ve dolayısıyla bu duruma karşılık gelen Scott kG-modülü Teorem 1’den yararlanarak hesaplanılır ve Önsav’dan Brauer faktörlerini elde ederiz. Bu Brauer faktörlerin merkezleyen altgruplara göre parçalanamazlığını elde etmek için bir dizi küçük sonuç kanıtladık. Bu sonuçlar kabaca P’nin altgruplarının G’deki merkezleyen altgruplarının yapılarıyla ilgiliydi. Detaylar için [KT]’ye bakınız. Sonuç olarak aşağıdaki teoremi elde ettik:
Teorem 2: p asalı için P grubu Qd(p)’nin Sylow p-altgrubu olsun. F=FP(Qd(p)) için G= Park(F, Qd(p)) ve ι: Qd(p)→G Park’ın gömme fonksiyonu olmak üzere Sι(P)(G,k) modülü IndιQd(p)G(k) ‘e izomorfik olur ve bu modül Brauer parçalanamaz olur.
Kuadratik grupla ilgili kısmı böylece tamamlamış olduk. Bu durumun dışında kalan ve P= Q_8 ve H=GL_2(3) özel örneği üzerinde çalışırken elde ettiğimiz gözlemlerimizden yola aşağıdaki sonucu da bu proje kapsamındaki çalışmalarımızda elde ettik.
Teorem 3: n≥3 için H mertebesi 3.2n olan bir grup olsun. H’nin 2-uzunluğu 2 ise ve O2’(H)=1 ve P, M’nin Sylow p-altgrubu ise G= Park(FP(H), H) alındığında ι: H →G Park’ın gömme fonksiyonu olmak üzere Sι(P)(G,k) modülü IndιHG(k) ‘e izomorfik olur ve bu modül Brauer parçalanamaz olur.
Bu teoremlerin kanıtlarını ve bahsi geçen sonuçların detayları [KT]’de bulunabilir.
Bu projeyle direk bir ilgisi bulunmasa da, dolaylı olarak bağlantılar bulunan bir başka çalışma olan füzyon sistemlerinin merkezleyenleri üzerine olan çalışmamızı ise bölümümüz öğretim üyesi Doç Dr. Kıvanç Ersoy ile bitirmiş ve makale olarak yazmış bulunuyoruz (bknz [ET]).
Referanslar
[AKO11] M. Ascbacher, R. Kessar, B. Oliver, Fusion systems in algebra and topology, London Math. Soc. Lec. Notes 391, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2011.
[ET] K. Ersoy, İ. Tuvay, Centralizer fusion systems of central involutions in a finite group with soluble centralizer of involutions, https://arxiv.org/abs/1801.09117
[KKM11] R. Kessar, N. Kunugi, N. Mitsuhashi, On saturated fusion systems and Brauer indecomposability of Scott modules, J. Algebra 340 (2011), 90-103.
[KL05] S. Koshitani, M. Linckelmann, The indecomposability of a certain bimodule given by the Brauer construction, J. Algebra 285 (2005), 726-729.
[KT] S. Koshitani, İ. Tuvay,The Brauer indecomposability of Scott modules for the quadratic group Qd(p), gönderildi (https://arxiv.org/abs/1711.08625).