Projektif geometri ile ilgili kendi çalışmalarımda izlediğim yolu ve deneyimlerimi paylaşabilirim. Bunlar, projektif geometri fikrinin nasıl oluştuğunu anlamamızı sağlayan bir süreci içeriyor.
$\bullet $ Ön bilgi olarak Menelaus ve Ceva teoremlerinin ispatlarını karşıt teoremleri ile beraber öğrenmek. Menelaus'un karşıtını $3$ noktanın doğrusallığı ispatlarında ve Ceva'nın karşıtını da $3$ doğrunun noktadaşlığı ispatlarında kullanabiliyoruz. Bunların dejenere şekillerinde, birbirine paralel $3$ doğru (sonsuzda kesişeceklerdir) vb sonuçlar elde ederiz. Projektif geometri fikrine ilk adımlar bu yolla oluşturulabilir. Bir düzeyde, bu teoremlerin uygulamaları olan problemler çözülebilir.
$\bullet $ Pappus, Desargues, Pascal, Brianchon teoremlerini ispatlarıyla beraber öğrenmek. Dualite kavramını araştırmak. Örneğin, Pascal ve Brianchon birbirinin duali olan teoremlerdir. Bunların dejenere biçimleri ile ilgili uygulama problemleri çözerek pekiştirmek. TMD tarafından Türkçe'ye çevrilmiş Geometri 1-2-3 kitapları vardır. 2012'de Olimpiyatlar İçin Düzlem Geometri isimli bir kitap yazmıştım. (Orada da bu teoremlere uygulama problemleri vermiştim ama ilk ve tek baskısı tükendikten sonra artık bulmak zor olabilir.) Bu tür kitaplarda bolca uygulama bulunabilir. Örneğin, şurada dejenere Pascal teoremi ile ilgili 4 noktanın doğrusallığı başlıklı uygulama problemini paylaşmıştım. Yine bir Pascal teoremi uygulaması olarak Üçgende Paralellik İspatı HI // AB isimli bir problem yazıp çözmüştüm. Bu şekilde nette bir çok probleme ulaşılabilir.
$\bullet $ Ali Nesin'in projektif geometri ders videoları vardır. Bu aşamada, konu akademik düzeyde işleniyor. Projektif düzlem'in sadece Euclid düzlemine sonsuzdaki noktalar ve bu noktaların oluşturduğu bir doğru eklemekle sınırlı olmadığını anlıyoruz. Çok çeşitli örnekler verilerek teoriye giriş yapılıyor. Bir kitap takip etmek gerekirse, 20. yüzyılın en önemli geometricilerinden kabul edilen H.S.M. Coxeter'in Projective Geometry kitabına çalışılabilir. (Yorumlarda ayrıca, Türkçe olarak Rüstem Kaya'nın kitabı da önerilmişti.) Ben de Coxeter'in kitabı indirdim diye hatırlıyorum ama çalışmaya vaktim olmadığı için daha detaylı bilgi sunamayacağım.
Bu yazıdan da hissedileceği gibi, bu konuya merakımı uyandıran şey projektif geometri ile ilgili uygulama problemleri olmuştur. Bunlar çeşitli matematik yarışmalarında, olimpiyatlarda karşımıza çıkabiliyor. 21-22 Mart 2023 de lise öğrencilerinin katılabildiği ABD Matematik Olimpiyatı (USAMO) vardır. Yaklaşık 3 yıldır bu sınavlara (AIME-USAJMO-USAMO) hazırladığım bir öğrenciye son bir kaç gündür projektif geometri anlatıyorum. Teoriyi öğrenmek değerli olduğu gibi, uygulamaya yönelik bu tür beceriler de uluslararası alanda değer görmektedir. Hangisine ne kadar ağırlık vereceğiniz sizin ilgi ve merakınıza kalıyor.