2 Bernhard Bolzano, 1781'de Prag'da doğdu Bernhard Bolzano, 1781'de Prag'da doğdu. Babası bir İtalyan göçmeni ve küçük bir esnaftı. Annesi de, Prag'da madeni eşya ile ilgilenen bir ailenin kızıydı. Bolzano, Prag Üniversitesi'nde, felsefe, fizik, matematik ve ilahiyat çalıştı yılında Prag'da aynı üniversiteye din ve felsefe profesörü olarak atandı yılına kadar bu üniversitede başarılı dersler verdi. Bolzano'nun en acıklı yılları, 1819 ile 1825 yılları arasına rastlar.
3 Prag Üniversitesi'nce, tam 7 yıl ders vermeme ve yayın yapmamak üzere cezalandırılır. Bu üniversitece profesörlüğü de elinden alınır. Tüm bu baskılara karşı onun yüksek kafası hiç durmadan çalışmıştır1816 yılında, Hristiyan kilisesince benimsenen inanç, duygu ve düşünceye ters düştüğü için, bu inançlarından dolayı suçlandı yılında Avusturya hükümeti Bolzano'nun bu yıkıcı ve kendileri için kırıcı olan konuşmalarından dolayı onu ülkeden uzaklaştırdı
4 Bolzano, İtalya asıllı bir Çek filozofuydu . Bolzano, İtalya asıllı bir Çek filozofuydu. Aynı zamanda iyi bir mantıkçı ve çok iyi de bir matematikçiydi. Bolzano, 1820 yılında daha çok akılcılıkla suçlandı. Onun matematiğe dayalı bir felsefesi ve düşüncesi vardı. Bu nedenle kant'ın idealizmine karşı çıktı. Kendisi aslında bir Katolik papazıydı yılından sonra Prag Üniversitesi'nde din felsefesi okuttu. Matematikte, sonsuzluk ve sonsuz küçükler hesabı üzerinde çalıştı. "Sonsuzluk Üzerine Paradokslar" adlı kitabı 1851 yılında yayınlandı. Noktasal kümeler üzerine de çalışmaları olmuştur.
5 . Analizde, geometride, mantıkta, felsefede ve din üzerinde çok sayıda yayınını gerçekleştirmiştir. Bugün, analizde bildiğimiz ünlü Bolzano - Weierstrass teoremini ilk kez "Fonksiyonlar" adlı kitabında o kullandı. Fakat, teoremin ispatını daha önceki çalışmalarında yaptığını ve kaynak olarak da bu çalışmasını verir. Fakat, sözü edilen bu çalışma ve kaynak bugüne kadar bulunamamıştır.
6 Çok kullanılan ve kendisinin de çok kullandığı bir teoremin ispatının Bolzano tarafından verilmiş olması olasılığı çok fazladır. Zaten bu teoremin ispatı verilmeseydi, Bolzano tarafından bu kadar çok kullanılmazdı. Sonraki yıllarda bu teoremin ispatı tam olarak Weierstrass tarafından verilmiştir. Bu nedenle, bu teorem analizde Bolzano - Weierstrass teoremi olarak bilinir.
7 BOLZANO-WEİERSTRASS TEOREMİ Sonsuz elemanlı,sınırlı bir S nokta kümesinin en az bir yığılma noktası vardır.Bu teoremden,sınırlı ve sonsuz elemanlı bir nokta kümesinin bir en küçük bir en büyük yığılma noktasının var olduğu sonucuna varılır. En küçük yığılma noktasına kümenin alt limiti en büyük yığılma noktasına da kümenin üst limiti denir. Bolzano çalışmalarının bir çoğu ile Weierstrass’a benzer.çalışmalarının bir çoğu zaten bu yöndedir
8 Bolzano çalışmalarının bir çoğu ile Weierstrass’a benzer Bolzano çalışmalarının bir çoğu ile Weierstrass’a benzer.çalışmalarının bir çoğu zaten bu yöndedir> f(x)={x^n.sin1/x,x#0}> f(x)={0,x=0}Türündeki fonksiyon örneği yine Bolzano’ya aittir.n=0,1,2,3……Alındığında bu fonksiyonun önemi bilinmektedir.Bundan başka çok sayıda ilginç ve kullanışlı fonksiyon örnekleri vardır.Bolzano’nun kümeler kuramındaki çalışmaları da daha sonra göreceğimiz Cantor’a benzer
9 Matematikteki özlü çalışmaları ,sonsuzun paradoksu üzerine yoğunlaşır Matematikteki özlü çalışmaları ,sonsuzun paradoksu üzerine yoğunlaşır.Bu buluşlarının tümü ölümünden sonra yayınlanmıştır.Kendisi yayınlandığını görememiştir.Hiç bir yerde türevlenemeyip salınım yapan ,X=0 noktasındaki sürekli olan fonksiyon örnekleri buldu ve bu fonksiyonların grafiklerini çizdi. .Fakat,Bolzano’nun ispatı tam değildi.Ancak,bu soruya tam noksansız yanıt veren fonksiyonu yine Weierstrass buldu.Bu fonksiyonda ,0<a<1,b tek,b>0 ve ab<1+3pi/2 koşulllarında weierstrass fonksiyonu denir.
10 Bolzano ve Dedekind'in Tanımları Bolzano sonsuz küme için şu basit görünüşlü tanımı yapar: Boş olmayan A kümesini ele alalım ve bu kümenin altkümelerinin bir dizisini oluşturalım. Öyle ki dizideki her bir altküme kendisinden önce gelenin içindeki bütün elemanlardan, artı bir yeni elemandan oluşsun. Bolzano'ya göre altkümelerini bu şekilde dizdiğimizde bir son altkümeye, yani içine artık yeni bir eleman koyamayacağımız bir altkümeye, ulaşıyorsak A kümesi sonludur. Eğer her bir altkümeden sonra bir diğerini oluşturmak mümkünse A kümesi sonsuzdur
11 ..Bu çarpıcı görünmeyen tanımın özelliği sonsuzluğu sayı kavramını kullanmadan tanımlamayı başarmasıdır. Dedekind de benzer bir tanım yapar: Eğer bir kümenin öz altkümelerinden biri kendine eşse bu sonsuz bir kümedir. Hiçbir altkümesi kendine eş olmayan kümeler ise sonludurlar.Bu tanımla Galileo paradoksundan da kurtulmuş oluyoruz. Paradoks şu dört önermenin hepsinin birden kabul edilmesine dayanıyordu:
12 Bir küme bütün öz altkümelerinden daha çok sayıda elemana sahiptir. Doğal sayılar kümesinden çift sayılar kümesine bire-bir eşleme yapmak mümkündür.Bire-bir eşleme yapılabilen kümeler eşit sayıda elemana sahiptir.Her kümeye sadece bir kardinal sayı karşılık gelir Dedekind yaptığı tanımla birinci önermenin sadece sonlu kümeler için doğru olduğunu kabul etmiş olur. Sonsuz kümeler söz konusu olduğunda ise bir küme diğerini öz altkümesi olarak kapsadığı halde (doğal sayılar ve çift sayılar kümeleri gibi) onla aynı sayıda elemana sahip kabul edilmesinde bir sakınca yoktur.