Olasılık, olayların ve gerçekleşme olasılıklarının incelenmesidir. Bu olasılık genellikle kesir olarak ifade edilir. Payda, belirli bir durumda olası olayların toplam sayısını ifade ederken pay, belirtilen olayın gerçekleşebileceği yolların sayısını ifade eder. Bazen bu kesir duruma bağlı olarak ondalık sayıya veya yüzdeye dönüştürülür.
Olasılığı duyduklarında çoğu insanın aklına gelen en yaygın iki durum, hava durumu ve şans oyunlarıdır.
Bir açık hava etkinliğine giden günlerde, birçok insan yağmurun “şansının” ne olduğunu görmek için hava durumu raporunu endişeyle kontrol eder. Çoğu, %10’luk bir yağmur olasılığının olası olmadığını, %90’lık bir yağmur olasılığının ise yağmurun muhtemel olduğu anlamına geldiğini bilir.
Bu olasılıklar, meteoroloji biliminde temellendirilse de, genellikle imkansız olduğu için olası tüm durumların incelenmesiyle hesaplanmaz. Bunun yerine, geçmiş deneyimlere ve meteorolojik koşullara dayanan eğitimli tahminlerdir.
Ancak çoğu şans oyunu matematiksel olarak olasılıklar ile temsil edilebilir.
Örneğin, yazı tura atma olasılığının tura gelme olasılığı ½ ve yazı tura atma olasılığı ½ dir. Bir kalıbın üç numaraya inme olasılığı 1/6’dır. Fakat kalıbın çift sayıya inme olasılığı 3/6=1/2’dir.
Şans oyunlarının anahtarı, genellikle parasal bir değer ve psikolojik bir bileşen de içermeleridir. Bu yüzden ünlü Monty Hall problemi gibi şans oyunlarıyla ilgili bazı olasılıklar insanları şaşırtıyor. Olasılık sezgileri, matematiksel olarak hesaplanan olasılıktan farklıdır. Bu aynı zamanda herhangi bir kumarhanede “evin her zaman kazanmasının” nedenidir.
Olasılık, bu kılavuzda da tartışılan matematiksel kombinatorik konusu ile yakından ilgilidir. Olasılık, olası olayların sayısına ve olumlu sonuçlara bağlı olarak olayların olasılığını belirlerken, kombinatorikler olası olayların sayısını ve olumlu sonuçları belirlemeye çalışır. Bu, bir zar atma veya yazı tura atma gibi bir şey için basit görünse de, 52 kartlık bir desteden çekilen olası beş kartlı el sayısı düşünüldüğünde çok daha karmaşık hale gelir.
Hem olasılık hem de kombinatorik, istatistik ve grafik teorisinde ileri matematiksel çalışma için önemli bir temel sağlar. İstatistik, her tür sosyal ve fiziksel bilimde yararlı olduğundan ve grafik teorisi, bilgisayar ve ağ çalışmalarının birçok temelini sağladığından, olasılık hemen hemen her konuda bir şekilde kullanılır.
Bu kaynak kılavuz, teorik ve somut koşullarda bir “olay” kavramının ne anlama geldiğini açıklayarak başlar. Ardından, ağaç diyagramlarının oluşturulması ve koşullu olasılık dahil olmak üzere, olayların olasılığını bulmak için stratejiler verir.
Kılavuz daha sonra olasılığın hem temel hem de gelişmiş istatistiklerde nasıl kullanıldığına dair bir keşifle sona ermeden önce olasılıkların hesaplanması için kombinatorikler sunar.
Etkinlikler
Olasılık, olayların olasılığına bağlıdır. Fakat olay nedir?
Bir olay, bir sonuç olarak düşünülebilir. Yazı turasında iki olası sonuç vardır: yazı ve yazı.
Bir kalıbı yuvarlarken 6 olası sonuç vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Desteden bir kart seçerken, 52 olası sonuç vardır.
Bu sonuçların tümü eşit derecede olasıdır. Fakat olayların eşit derecede olası olması gerekmez. Örneğin, bir kan grubu testinin olası sonuçları O, A, B ve AB’dir. Türkiye Cumhuriyeti’nde, rastgele seçilen bir kişinin O’ya sahip olma olasılığı %0,25 veya %25 değil 0,44 veya %44’tür.
Bu konu, teorik ve deneysel olasılıkları karşılaştırarak örnekleri ve olayların olasılığını tanıtır. Aynı zamanda olay tamamlayıcılarını da açıklar.
Bölüm, geometrik uygulamalar ve bozuk para ve zar problemleri dahil olmak üzere bu olasılıkların kullanım örneklerini sağlayarak sona erer.
- Olasılıktaki Örnekler
- Bir Olayın Olasılığı
- Teorik ve Deneysel Olasılık
- Tamamlayıcı Etkinlikler
- Olasılık Problemleri
- Olasılık ve Alan
- Geometrik Olasılık
- Tek para veya Zar Olasılığı
Diyagramlar ve Koşullu Olasılık
Olasılık, bireysel olayların olasılığını belirlemek için kullanıldığı gibi, bileşik olayların olasılığını belirlemek için de kullanılabilir. Örneğin, birinin bir bozuk para atmak yerine iki kez attığını düşünün.
İlk atış ya tura ya da yazı verir. İkinci yazı tura da tura veya yazıya neden olur. Böyle bir deney için olası sonuçlar, yazı tura, yazı-yazı, yazı-yazı ve yazı-yazı şeklindedir.
Elbette bu, ikiden fazla sonucu olan veya ikiden fazla gerçekleştirilen deneyler için hızla karmaşık hale gelebilir. Ağaç diyagramlarını, bir tür olasılıklı akış şemasını bu kadar kullanışlı kılan da budur. Bir deneydeki farklı olayların olasılığını organize etmenin bir yolunu sağlarlar.
Bu konu, ağaç diyagramlarını ve olasılıkları görsel olarak oluşturmanın diğer yollarını açıklayarak başlar. Daha sonra, karşılıklı münhasırlık, bağımsızlık ve bağımlılık gibi bileşik olayları hesaplamak için kullanılan kavramları tanıtır. Bu kavramlar, koşullu olasılığı veya bir şeyin diğerine verilen olasılığını belirlemek için kullanılır.
Son olarak konu, yer değiştirmeli ve değiştirmesiz olasılık arasındaki farkı keşfederek sona erer.
- Ağaç Diyagramları
- Olasılık ve Olasılık Diyagramları
- Karşılıklı Ayrıcalıklı Etkinlikler
- Bağımsız Etkinlikler
- Bağımlı Olaylar
- Şartlı olasılık
- Olasılık Ağacı Şemaları
- Değiştirme Olmadan Olasılık
Kombinatorik
Birçok kişi bir Rubik küpünün 43.252.003.274.489.856.000 farklı olası konfigürasyona sahip olduğunu duymuştur.
Bu sayı “kırk üç kentilyon, iki yüz elli iki katrilyon, üç trilyon, iki yüz yetmiş dört milyar, dört yüz sekiz dokuz milyar, sekiz yüz elli altı bin” olarak okunur. Numarayı normal bir hızda yüksek sesle okumak bile neredeyse yirmi saniye sürer!
İnsanlar bu inanılmaz büyük sayıyı nasıl belirledi?
Matematikçiler, her birini denemek ve tekrar olmadığından emin olmak için yazmak yerine (her bir konfigürasyonu denemek ve kaydetmek bir saniye sürerse yaklaşık 1.4 trilyon yıl sürecek bir süreç), kombinatorik kullandılar.
Kombinatorik, çok sayıda olasılığı saymanın matematiğidir. Bunu yapmak için faktöriyelleri, permütasyonları ve kombinasyonları kullanır. Permütasyonlar, sıranın önemli olduğu bir grup nesneyi yeniden düzenlemenin yollarının sayısıdır. Kombinasyonlar, sıranın önemli olmadığı bir setteki nesnelerin gruplandırılmasıdır. Faktörler, bunların her ikisinin de hesaplanmasına yardımcı olmak için kullanılır.
Bu konu, faktöriyellerin nasıl kullanılacağını açıklayarak başlar ve bunların uygulamaları permütasyonlar ve kombinasyonlardır. Bu kavramları istatistiklerle ilişkilendirerek sona erer.
- Faktöriyel
- Permütasyonlar P (n, n)
- Permütasyonlar P (n, r)
- Kombinasyonlar
- İstatistiklerle Olasılık
İstatistiklerde Kullanılan Olasılık
Muhtemelen matematiğin diğer dallarında olasılığın en ünlü kullanımı istatistiktir. İstatistikler genel olarak bir popülasyon örneğini alır ve popülasyonun kendisi hakkında belirleme yapmak için olasılığı kullanarak tahminler yapar. Bu bölüm bu uygulamaları arkasındaki matematiğe bakarak araştırıyor.
Konu, rastgele bir değişkenin ne olduğunu ve olasılık ve istatistikte rastgeleliğin neden önemli olduğunu açıklayarak başlar. Ayrıca bir olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirlemek için olasılığın nasıl kullanılacağını da açıklar. Bölüm ayrıca istatistikte kullanılan farklı dağıtım işlevlerini ve bunların beklenen bir değeri belirlemek için nasıl kullanıldığını tartışır. Son olarak, bölüm z-skorlarının ve Bayes teoreminin nasıl hesaplanacağı ve kullanılacağı ile son bulur.
- Rastgele değişken
- Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları
- Binom dağılımı
- Beklenen değer
- Poisson Dağılımı
- Normal dağılım
- Z Puanı
- Bayes teoremi