Açılmamış bir tuvalet kağıdı rulosunun şeklini düşünelim: Bu yazıda tuvalet kağıtlarını sarılmış uzun yaprak olarak hayal etmeyelim, rulonun tamamını üç boyutlu bir cisim olarak inceleyelim.
Bu şekli, bir silindirin ortasından daha küçük bir silindir çıkarılmış gibi düşünebiliriz. Tuvalet kağıdı rulosunun bu şeklinden önce daha basit olan silindir üzerine biraz konuşalım.
Bir silindiri şu şekilde oluşturabiliriz: bir daire ve bir doğru parçası düşünelim. Daireyi $D$, doğru parçasını ise $I$ ile gösterelim.
Şimdi de $I$ doğru parçasının her noktasına $D$ dairesinin bir kopyasını yerleştirelim:
Böylece bir silindir elde ettiğimizi görüyoruz. Bunu yaparken $I$ kere $D$ dairesi kullandık.
Aritmetikte çarpmayı da böyle düşündüğümüzü hatırlayalım: 5 sayısını 3 ile çarpmayı, 5 sayısının 3 kopyasını bir araya getirmek olarak düşünebiliriz (aritmetikte bu bir araya getirmeyi toplama ile yapıyoruz). Bu işlemin sonucunu $3 \times 5$ ile gösteriyoruz. Bu düşünüş şekliyle çarpmayı geometrik nesnelere genişletelim. Elimizde yukarıdaki gibi iki geometrik nesne varken, ilk geometrik nesnenin her bir noktasına ikinci geometrik nesnenin bir kopyasını düzgün bir şekilde yerleştirerek oluşturduğumuz geometrik nesneye bu iki geometrik nesnenin çarpımı diyeceğiz. Örneğin, yukarıda silindiri $D$ dairesinin $I$ doğru parçasıyla çarpımı olarak elde edilebileceğini gördük. Böyle bir çarpımı $I\times D$ ile göstereceğiz.
Peki $I$ doğru parçasını $D$ dairesiyle çarpsaydık ne elde ederdik, yani $D\times I$ neye benzerdi? Bu geometrik şekli elde etmek için $D$ dairesinin her bir noktasına uygun şekilde $I$ doğru parçasının bir kopyasını yaşpastanın üzerine mum dizer gibi yerleştirmeliyiz1:
Böylece bir silindir elde ettiğimizi görüyoruz. Bunu yaparken $I$ kere $D$ dairesi kullandık.
Her iki durumda da aynı sonucu, yani istediğimiz üzere bir silindiri elde ediyoruz.
Bu noktada bir meseleyi konuşmanın zamanı geldi: yukarıdaki tartışmada nesnelerin belli özellikleri konusunda hiç özenli değildik ve belli muğlaklıklara izin verdik. Örneğin, aldığımız doğru parçasının uzunluğu nedir, dairenin yarıçapı kaçtır, bunların uzaydaki konumları nasıl olmalıdır? Açık ki, daha uzun bir doğru parçası ya da yarıçapı daha büyük bir daire alırsak elde edeceğimiz silindirin geometrik özellikleri değişir, mesela hacmi artar. Bu makale boyunca, geometriyi esnetmeye izin vereceğiz ve bizim için (koparma ve yapıştırma gibi cerrahi müdahaleler kullanılmaksızın) elimizdeki nesneyi esneterek elde edebildiğimiz nesneler, geometrik olarak farklı olsalar da ilk nesne ile denk kabul edilecek. Bu manada, bütün silindirler esnetme ve gerdirmelerle birbirlerine dönüşütürülebildiklerinden bizim için denkler. Bu denkliğe topolojik denklik2
denir. Biz bu makale boyunca topolojik olarak denk nesneleri aynı nesne gibi göreceğiz, dolayısıyla bütün silindirler bizim için aynı olacak, çünkü topolojik olarak denkler.
Şimdi tuvalet kağıdı rulosunun şekline dönelim. Bu şeklin de silindire bir hayli benzediğini, fakat tabanının bir daire olmadığını görüyoruz. Biraz daha dikkatli baktığımızda, rulonun tabanının bir daireden daha küçük eşmerkezli bir daire çıkarılarak elde edildiğini görüyoruz:
Bu şekli $A$ ile göstereceğiz. Matemetikte böyle bir şekle anulus adı verilir.
Tuvalet rulosu şeklini $I\times A$ olarak elde edebildiğimizi gözlemleyelim:
Asıl ilgilendiğimiz bu tuvalet kağıdı rulosu şeklini bundan sonra $X$ ile gösterelim. Bu isimlendirme ile yukarıdaki gözlemi $$X=I \times A$$ denklemiyle ifade edebiliriz.
Şu soruyu soralım: Bu çarpımı, daha da küçük şeylerin çarpımı olarak ayırabilir miyiz? Bir doğru parçasını, yani $I$ şeklini daha fazla parçalamak mümkün görünmüyor, fakat belki $A$ daha küçük şeylerin çarpımı olarak ifade edilebilir. Deneyelim.
$A$ nesnesinin şişman, kalınlaşmış bir çembere benzediğini fark ettiniz mi? Bu nesneyi çemberi kalınlaştırarak elde etmeyi deneyeceğiz. Bunun için çemberin her noktasına bir doğru parçası, yani $I$ yerleştirelim:
Böylece $A$ şeklini elde edebildiğimizi gördük. Çemberi $S$ ile gösterelim. Böylece $A=S\times I$ olduğunu görüyoruz.
Ama durun! Yukarıda $X$ şeklini elde ederken doğru parçalarını $A$ şeklinin üzerine $A$ ‘ya dik olarak yerleştirmiştik. Öyleyse şimdi de çember ile $I$ doğru parçasını çarparken doğru parçalarını şu şekilde yerleştirmemiz gerekmez miydi:
Cevap: hem evet hem hayır. Evet çünkü gerçekten de tarifimiz bu aşağıdaki şekille uyumlu aslında. Hayır çünkü hem yukarıda hem aşağıda elde ettiğimiz şekiller topolojik olarak birbirine denk, yani bizim için aynı! Yani, yukarıda da doğru parçalarını çember üzerine yeterince güzel dizmişiz. Bu şekillerin topolojik olarak denk olduğunu gözlemlemek için, her iki inşada elde ettiğimiz şekillerin esnek bir materyalden yapıldığını hayal edelim ve anulusun dış kenarını yukarı doğru kıvıralım:
Artık aradığımız sonuca ulaşabiliriz: Tuvalet kağıdı rulosu şekli yani $X$ şekli
$$ X=A\times I$$
olarak çarpanlara ayrılıyordu. Şimdi de anulusun
$$ A=S\times I$$
olarak çarpanlara ayrıldığını görüyoruz. Bu iki eşitliği birleştirerek bir ruloyu
$$X=S\times I \times I$$
denklemiyle, bir çember ve iki doğru parçasının çarpımı olarak yazabiliyoruz.
Bu yazıyı bir soruyla bitirelim. Sorunun basit ilk kısmı şu:
- $I \times I$ şeklinin bir kare olduğunu gözlemleyin.
- Tuvalet kağıdı rulosunu çember ile karenin çarpımı olarak hayal edin.