Karesi 2 olan sayı bir rasyonel sayı mıdır? Başka bir ifadeyle karekök 2 rasyonel midir?
Karekök 2 nin bir rasyonel sayı olduğunu başka bir deyişle a/b nin en sade halinin 2 ye eşit olduğunu varsayalım.
Bu durumda a ve b aralarında asaldır. a ve b nin ortak bölüne olmadığı için akare ve bkarenin de ortak böleni olmayacaktır.
a/b rasyonel sayısının karekök 2 ye eşit olması a/b nin karesinin 2 ye eşit olması anlamına gelir. Diğer bir deyişle akare/bkare=2 dir.
bu durumda;
akare 2 nin katı olduğu için 2 ile tam bölünebilir. Yani akare bir çift sayıdır. Herhangi bir sayının karesi çiftse bu sayı da çifttir. Bu yüzden a bir çift sayıdır.
Bu durumda k bir tam sayı olmak üzere a çift sayısını a=2k şeklinde ifade edebiliriz.
akare = 2bkare olduğundan a nın eşiti 2k yi yerine yazarsak 4kkare=2bkare olduğunu görürüz. Buradan da b2=2kkare elde edilir.
O halde bkare 2 ye bölünebilir.
Bu da şu anlama gelir; b bir çift sayıdır. Bu sonuçlardan yola çıkarak hem a hem de b ikiye bölünebildiklerine göre a ile b aralarında asal değildir.
O halde karekök2 bir rasyonel sayı değildir.
Vitamin Eğitim videoları bu yazımıza kaynak oluşturmuştur.