Leibniz'in Gözünden Kalkülüs: Leibniz Parçalı İntegrali Nasıl Elde Etti?
Evrim Ağacı Blog, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Her Evrim Ağacı üyesi, Evrim Ağacı Blog üzerinden kendi köşe yazılarını, denemelerini ve makalelerini özgürce yayınlayabilir. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, Evrim Ağacı Blog üzerinden yayınlanan blog yazılarının içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları... Daha fazla göster
Evrim Ağacı Blog, Türkiye'deki bilimseverler tarafından kolektif ve öz denetime dayalı bir şekilde sürdürülen, özgür bir ortamdır. Her Evrim Ağacı üyesi, Evrim Ağacı Blog üzerinden kendi köşe yazılarını, denemelerini ve makalelerini özgürce yayınlayabilir. Evrim Ağacı tarafından yayınlanan makalelerin aksine, Evrim Ağacı Blog üzerinden yayınlanan blog yazılarının içeriği veya gerçek/doğru olup olmadıkları Evrim Ağacı yönetimi tarafından denetlenmemektedir. Evrim Ağacı, bu platformda yayınlanan blog yazılarını herhangi bir şekilde desteklememekte veya doğruluğunu garanti etmemektedir. Doğru olmadığını düşündüğünüz bilgiler içeren blog yazılarını, size sunulan denetim araçlarıyla işaretleyebilir, daha isabetli ve bilimsel değeri yüksek blog yazılarını kendiniz kaynaklarıyla girebilir ve oylama araçlarıyla platformun daha güvenilir bir ortama evrimleşmesine katkı sağlayabilirsiniz.
Sürekli değişimin matematiksel çalışması olarak da tanımlanan kalkülüs, 17. ve 18. yüzyılların iki büyük düşünürü olan Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirilip modern haline kavuşturulmuştur. Ancak bu yazımızda sadece Leibniz'in çalışmasına odaklanıp onun parçalı integral formülünü nasıl türettiğini anlamaya çalışacağız.
Leibniz Kimdir?
Leibniz birçok şeydir, ama kısaca bir dâhiydi ve hayatı boyunca matematik, fizik, hukuk, dil bilimi, bilgisayar bilimi ve jeoloji dahil olmak üzere birçok alanda çalışıp her birine sayısız katkı sağladı. Ayrıca Avrupa'nın Almanca konuşan topraklarındaki ilk bilimsel dergi olan ''Acta Eruditorum'' (Tür: ''Bilge Eylemleri'') dergisinin destekçilerinden biriydi. Gene aynı dergide kalkülüs üzerine hemen aşağıda en ünlü üç tanesinin adını göreceğiniz çalışmalar yayımladı:
- Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (1684)
- De geometria recondite et analysi indivisibilium atque infinitorum (1686)
- Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium Tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditions (1693)
Türkçe olarak, başlıklar sırasıyla:
- ''Maksimum, minimum ve teğetler için kesirli veya irrasyonel nicelikler tarafından engellenmeyen yeni bir yöntem ve yukarıda belirtilenler için tekil bir hesap''
- ''Gizli bir geometri ve bölünmezlerin ve sonsuzun analizi üzerine''
- ''Ölçümlerin geometrisinin tamamlanması, veya bir hareketten etkilenecek tüm dördünlerin genellemesi ve teğetin belirli bir koşulundan bir eğrinin çeşitli yapıları''
Leibniz'in Dönüşüm Teoremi
Bu yazımızda, yukarıda Latince ve Türkçe isimlerini gördüğünüz makalelerden de yararlanarak Leibniz'in eğriler arasındaki alanları bulmakla ilgili olan dönüşüm teoreminin, bize parçalı integraller için kullandığımız formülleri nasıl verdiğini göreceğiz. Leibniz'in mantığını anlamak için aşağıdaki grafiğe bakıp Leibniz'in AB eğrisi ile y=0 arasında kalan alanı hesaplama sırasını gözden geçirelim.
Leibniz, bu toplam alanı, tabanı dx ile gösterilip sonsuz küçüklüğe sahip olan sonsuz sayıdaki dikdörtgenin toplamı olarak kabul etti. Ancak AB dediğimiz parça bir eğri olduğundan sonsuz sayıdaki dikdörtgenlerimizin yüksekliği birbirinden farklı olmalıydı ve bu farklılık eğrinin fonksiyonuna yani y(x)'e bağlıydı. Dolayısıyla dikdörtgenimizin alanını ydx şeklinde gösterebiliyor olmalıydık. Eğrinin altındaki alan tüm bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olduğundan, Leibniz toplam alanı aşağıdaki gibi oldukça ünlü bir şekilde gösterdi:
denklem1:∫ydxdenklem1: \int y dx
Günümüzde de integral sembolü olarak bilinen bu sembol, Leibniz'in gözünde ''sum'' (Lat: ''summa'') kelimesini temsil eden ''S'' harfinin ta kendisiydi.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Şimdi hesaplamamızdaki ilk grafiğimizi daha iyi inceleyebilmek için, sonucunda aşağıdaki gibi gösterilecek şekilde biraz daha bağlantı eklediğimizi düşünelim:
Bu şekildeki z uzunluğu için aşağıdaki bağlantı geçerlidir:
denklem2:dydx=PDTD=y−zx ⟹ z=y−xdydxdenklem2: \frac{dy}{dx}= \frac{PD}{TD} = \frac{y-z}{x} \implies z=y-x\frac{dy}{dx}
Bu bağlantıyı ikinci grafiğimizle kaynaştırmaya çalışırsak, buradaki WOT açısı olarak da ifade edebileceğimiz α açısının PTD açısıyla aynı olduğunu, dolayısıyla ΔWOT üçgeninin sonsuz küçüklükteki üçgenle benzer olduğu sonucuna varırız ve bu da bizi aşağıdaki denkliğe götürür:
denklem3:hds=zdxdenklem3: hds = zdx
Bu eşitliği de kullanmak şartıyla, gene ikinci grafikte gördüğümüz ΔOPQ üçgeninin sonsuz küçüklükteki tabanının karşılığı olan ds ve yüksekliği olan h ı kullanıp alanını bulmaya çalışırsak karşımıza aşağıdaki gibi bir sonuç çıkacaktır:
denklem4:Alan△OPQ=12zdxdenklem4: Alan_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} zdx
Bu durumda A ile B noktaları arasında sınırlanmış y(x) fonksiyonunu tabanı yapan ve diğer köşesi O noktasına değen kamanın (İng: ''wedge'') alanı, tabanı sonsuz küçüklükte olan üçgenlerin alanlarının toplamına eşit olacağından bu alanı integral ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
denklem5:Akama=12∫zdxdenklem5: A_{kama}= \frac{1}{2}\int zdx
Son adım ise AB eğrisinin altındaki alan ile kamanın alanı arasındaki ilişkiyi bulmaktır. İkinci grafiğimize göre bu alan, iki parçanın toplamına eşittir. Bu alanlar kamanın alanı ve ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasında kalan farktır:
denklem6:∫ydx=12∫zdx+12by(b)−12ay(a)denklem6: \int ydx = \frac{1}{2} \int zdx + \frac{1}{2}by(b) - \frac{1}{2} ay(a)
ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasındaki matematiksel farkın aşağıdaki gibi de ifade edilebildiğini unutmayalım:
denklem7:12xy∣ab=12by(b)−12ay(a)denklem7: \frac{1}{2}xy|_a^b = \frac{1}{2}by(b) - \frac{1}{2}ay(a)
Möööö… Gıt gıt gıdaaaak… Meeeeee…
Çiftçi sabah erkenden uyanıyor. Çünkü çok işi var:
Hayvanları besleyecek, inekleri sağacak, yumurtaları toplayacak, dev
traktörünün de yardımıyla tarlasına mısır, patates, buğday ekip biçecek… Biz
de sayesinde lezzetli sandviçler yiyip tazecik sütümüzü yudumlayacağız.
İŞTE SANA ÇİFTÇİ VE ÜRETTİĞİ LEZZETLİ GIDALAR HAKKINDA HARİKA
BİLGİLERLE DOLU BİR KİTAP.
Birinci ve beşinci denklemlerimizin basit cebirle birleştirilmesi bize aşağıdaki denklemi verecektir:
denklem8:∫abydx=xy∣ab−∫y(a)y(b)xdydenklem8: \displaystyle\int_a^b ydx = xy|_a^b - \displaystyle\int_{y(a)}^{y(b)} xdy
Bu bilgiler ışığında elde ettiğimiz son denklemle ikinci grafiğimizi yeniden incelersek elimize şu veriler geçecektir:
- Denklemimizin en soldaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte dikey çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
- Denklemimizin en sağdaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte yatay çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
- En sağdaki terimi denklemin sol tarafına hareket ettirirsek, bahsi geçen iki alanın toplamının tabanı b olan dikdörtgenler ile tabanı a olan dikdörtgenler arasındaki farka eşit olduğunu görürüz (bkz. denklem6)
Bu noktada Leibniz, x değişkenini g(x), y değişkenini ise f(x) olarak sembolleştirmeyi seçmişti.
denklem9:g(x)=x,y=f(x)denklem9: g(x) = x, y = f(x)
Dolayısıyla türevleri:
denklem10:g′(x)=1,dy=f′(x)dxdenklem10: g'(x) = 1, dy = f'(x)dx
değerini veriyordu. Bu eşitliği denklem6 ile birleştirince
denklem11:∫abf(x)g′(x)dx=g(x)f(x)∣ab−∫abg(x)f′(x)dxdenklem11: \displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)dx = g(x)f(x)|_a^b - \displaystyle\int_a^b g(x)f'(x)dx
Görüyoruz ki, oldukça beklenmedik bir şekilde de olsa, ikinci şeklimizdeki karmaşık grafik yardımıyla matematikte en çok kullanılan formüllerden birine, parçalı integrale ulaşmış oldu.
Teşekkürler!!!
Uygarlığımız var olduğundan bu yana kesintilere uğramış olsa da gelişimini hep sürdürdü ve bu sırada kainatla ilgili bilgilerimiz bir ağacın dalı gibi dallandı, budaklandı ve genel itibari ile büyümeye devam etti. Bu ağacımızın önemli dallarından biri olan matematiği hesaplanabilir ve hemen hemen her alanda kullanılabilen hale dönüştüren nadir dehalardan birisi de 306 yıl önce (14/11/1716) bugün hayata gözlerini yuman Gottfried Wilhelm Leibniz'di. Asırlar sonra dahi anlam bulmak için başvurduğumuz bu dehaya bir kez daha sonsuz teşekkürler.
Bu blog yazısıyla ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.Soru & Cevap Platformuna Git
- 2
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 20/03/2023 18:27:43 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13322
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.