Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Vektör alanları
Vektör alanları (başka şeylerin yanında) sıvı akışını temsil eder. Ayrıca, girdi uzayı ve çıktı uzayının boyutu aynı olan fonksiyonları görselleştirmek için bir yol sunarlar.
Arka plan
Vektör gösterimi:
- , yönündeki birim vektördür
- , yönündeki birim vektördür
- , yönündeki birim vektördür
Neye ulaşıyoruz
- Bir vektör alanı uzaydaki her noktayla bir vektörü ilişkilendirir.
- Vektör alanı ve sıvı akışı birliktedir.
- Vektör alanını girdi ve çıktı uzayları aynı boyutta olan çok değişkenli bir fonksiyonu temsil ediyor gibi düşünebilirsiniz.
- Bir vektör alanında çizilen okların uzunluğu genelde ölçeklenmez, ama bir vektörün uzunluğunun diğerine oranı doğru olmalıdır. Bazen vektör uzunluğu renk kullanarak iletilir.
Isınma: Hız vektörleri kullanarak hareketi çizme
Hareketli bir nesneyi nasıl çizersiniz? Matematik ve fizikte yaygın bir yol, çizime nesnenin hareketini tanımlayan hız vektörünü eklemektir.
- Vektörün uzunluğu (büyüklüğü) sürati gösterir.
- Vektörün yönü nesnenin hareket ettiği yönü gösterir.
Diyelim ki, bir tilkiniz ve bir balinanız var, ikisi de sola gidiyor. Tilkinin saniyede metre hareket ettiğini (veya çizdiğim şekliyle sürüklendiğini), ve balinanın saniyede metre hareket ettiğini söyleyelim. Hareketlerini şöyle gösterebilirsiniz:
Bu örnekte dikkat edilecek iki önemli kural vardır:
- Bir vektörün tanımı sadece büyüklüğünü ve yönünü belirtir (örneğin, sola saniyede metre), ama vektörü nereye çizeceğimizi değil. Vektörün ucunu hareketini temsil ettiği nesneye bağlamak sadece bir kuraldır.
- Çizimimizdeki vektörlerin uzunlukları farketmez, tilkiye bağlı vektör balinaya bağlı vektörün iki katı olduğu sürece. Görüntüye bakan kişiye, "tilkiden çıkan oku çizdiğim uzunluk, saniyede metre olarak görünmelidir" diyebilirsiniz.
Motivasyon örneği: İki boyutta akan sıvılar
Bunu biraz zorlaştıralım. Ya bir veya iki nesnenin hareketini göstermek yerine, belirli bir şekilde akan bir sıvınız olsaydı. Örneğin, aşağıdaki animasyon böyle bir sıvı akışını sadece (mavi noktalarla çizilmiş) birkaç sıvı parçacığının hareketiyle gösterir:
Bu tip hareketi belirtmek için,sadece büyüklük ve yönden çok daha fazla bilgiyi iletmeliyiz. Sıvıdaki her parçacığın süratini belirtmeliyiz.
Aslında, iş bu hareketi çizmeye geldiğinde, sadece parçacıkların bir örneklemini temsil etmemiz yeterli olur. Örneğin, animasyonda gösterilen parçacıkların her birisinin üstüne bir sürat vektörü çizerseniz ve her şeyin nerede olduğunu izlemek için bazı koordinat eksenleri eklerseniz, bunun gibi gözüken bir şema elde edebilirsiniz:
Gözlerinizin görüntüdeki okları izlemesine izin verirseniz, birinden diğerine giderek, temsil ettiği sıvının nasıl aktığını daha iyi hissedebilirsiniz, statik bir görüntü olsa da. Birbirine yakın parçacıklar aynı hız ve yönde hareket etme eğilimindedir. Böylece, her bir ok sadece bağlı olduğu parçacığın hızını temsil etmekle kalmaz, etrafındaki komşuluktaki parçacıkların nasıl hareket ettiği hakkında bir fikir verir.
Bunun gibi bir şema, bir vektör alanı olarak adlandırılır.
Vektör alanları çizmekle ilgili söylememiz gereken önemli bir şey, vektörlerin neredeyse hiç ölçekli çizilmediğidir. Örneğin, eğer bir sıvı parçacığı saniyede metre hareket etseydi, ona bağlı oku teknik olarak birim uzunlukta yapmamız gerekirdi, ama bu tüm görüntüyü kaplayabilir! Bunlar her noktaya bağlı, tüm yönlere uzanan gerçekten uzun oklar olsaydı, şema gerçekten çok karışık olabilirdi.
Sonuç olarak, görüntüye sığması için her bir vektörü ölçeklemek yaygın bir uygulamadır. Önemli olan, herhangi bir vektörün belirli uzunluğu değil, farklı vektörlerin uzunluklarının birbiriyle karşılaştırmasıdır.
Bazı grafik yazılımlarının bunları temsil etme yollarından biri de, her bir vektörü boyamaktır. Örneğin, aşağıdaki görüntü aynı vektör alanını renkleri kullanarak gösterir: Koyu mavi okların açık mavi oklardan "daha kısa" olduğu anlaşılmalıdır, aslında teknik olarak hepsi aynı uzunlukta olsalar da.
Bir vektör alanının matematiksel olarak ne olduğunu düşünelim. İki boyutlu uzaydaki her nokta, iki boyutlu bir vektörle ilişkilendirilir. Bu süreci, girdi olarak iki boyutlu uzayda bir noktasını alan ve çıktı olarak iki boyutlu bir vektör veren, (çok değişkenli) vektör değerli bir fonksiyon şeklinde düşünebiliriz.
Örneğin, üstteki sıvı akışı ve vektör alanını oluşturmak için kullandığım fonksiyon şudur
Bu fonksiyonun hem girdisi hem çıktısı iki koordinata sahip olduğundan, bunun grafiğini çizmeyi denemek dört boyut gerektirecektir. Ancak, sadece -boyutlu bir çizimle bunu neredeyse tamamen gösterebildik! Dahası, bu görüntü temsil etmesi gereken dönen sıvı için herhangi bir grafikten çok daha iyi bir sezgi verir.
Kavram kontrolü: Az önce için verdiğim formüle göre, -düzleminde noktasına bağlı bir vektörün bileşenleri nelerdir?
bileşeni,. (Bunu bileşeni olarak da düşünebilirdiniz)bileşeni,. (Bunu bileşeni olarak da düşünebilirsiniz)Buna göre, vektörgösterir.
Örnek 1: Birim fonksiyon
Şu fonksiyonu düşünün:
Bu gibi iki boyutlu uzayda belirli bir noktayı, aynı koordinatlu bir vektörle eşleştirir. Örneğin, 'e bağlı vektör şöyle görünür:
Bunu düzlemdeki başka birçok noktaya yaptığınızda, ve vektörleri çok karışık görünmeyecek şekilde ölçeklediğinizde, şöyle bir görüntü elde edersiniz:
'nin vektör alanı
Örnek 2: Yatay bileşen yok
Aşağıdaki fonksiyonu düşünün:
Çıktının -bileşeni hep 'dır, onun için vektör alanımızdaki vektörler sadece yukarı veya aşağı bakmalıdır.
Çıktının ikinci koordinatı bize her vektörün uzunluğunun ne olacağını verir. Çıktının ikinci koordinatında bir çarpanı vardır, buna göre ekseninden uzağa gittikçe oklar uzamalı ve ona doğru gittikçe de kısalmalıdır (neden?). Bir de çarpanı vardır, yani soldan sağa yürüdükçe, vektörlerin yüksekliği yukarı ve aşağı salınacaktır.
'in vektör alanı
Örnek 3: Yardım için grafik kullanma
Pratik mükemmelleştirir, onun için iki boyutlu bir vektör değerli fonksiyona daha bakalım ve temsil ettiği vektör alanının neye benzediğiyle ilgili mantık yürütelim. Bunu düşünmek önceki örneklerden biraz daha zordur.
çıktının hiçbir yerinde görünmediğinden, alanımızdaki vektörler sola ve sağa kaydıkça değişmeden kalır (neden?).
Vektörlerimizin hepsinin birinci bileşeni 'dir, buna göre, tüm vektörlerin sağa doğru bileşeni aynı olacaktır. Vektörlerin ikinci bileşenine bakarsak, 'ye eşit olurlar, ancak bu neye benzer?
ifadesini hissetmek için tek değişkenli fonksiyonunun grafiğine bakabiliriz. Bu ifade şeklinde çarpanlarına ayrılır, yani kökleri ve 'dir. Birinci terimi pozitif ikinci dereceden bir ifade olduğundan, bunun yukarı açılan bir parabol olduğunu da biliyoruz, dolayısıyla bu grafiği elde ederiz:
grafiği
Bu fonksiyon aralığının dışında pozitiftir, ve içinde biraz negatiftir.
Şimdi vektör alanımızın fonksiyonuna tekrar bakın.
ile arasındayken, her vektörün bileşeni biraz negatif (yani aşağı yönlü) olacaktır. bu aralıktan uzaklaştıkça, düzlemde yukarı veya aşağı gittikçe, vektörün bileşeni artarak pozitif olacaktır, böylece her vektör daha yukarıyı gösterecektir. Bunu çizdiğinizde, böyle bir şey elde edersiniz:
'nin vektör alanı
Üç boyutta vektör alanları
Aynı şeyi üç boyutta da yapabilirdik, belki de hava akımlarını modelleyebilirdik. İki boyutlu duruma benzer olarak, üç boyutlu uzaydaki her noktayı üç boyutlu bir vektörle eşleştiririz ve bu vektörlerin sadece bir örneklemini çizeriz.
Aşağıdaki video böyle bir üç boyutlu vektör alanının neye benzediğini gösterir, kırmızıya yakın renkler daha uzun vektörleri ve maviye yakın vektörler daha kısa vektörleri belirtir.
Bu sefer, vektör alanımız -koordiantlı girdili ve -koordinatlı çıktılı bir fonksiyonu temsil eder, yani bunun grafiğini çizmek için boyut gerekir! Bu örnekte kullanılan spesifik fonksiyon,
Üç-boyutlu vektör alanlarını çizmek zor olabilir, ve, belki bir grafik yazılımıyla çizdiğimizde de, vektörler birbirinin içine girer ve neler olduğunu görmek zorlaşır. Sonuç olarak, bu kafanızda bir fikir olarak tutmak için iyi, ama kesin gösterimler için pek de faydalı olmayan bir görselleştirmedir.
Özet
- Bir vektör alanı uzaydaki her noktayla bir vektörü ilişkilendirir.
- Vektör alanı ve sıvı akışı birliktedir.
- Vektör alanını girdi ve çıktı uzayları aynı boyutta olan çok değişkenli bir fonksiyonu temsil ediyor gibi düşünebilirsiniz.
- Bir vektör alanında çizilen okların uzunluğu genelde ölçeklenmez, ama bir vektörün uzunluğunun diğerine oranı doğru olmalıdır. Bazen vektör uzunluğu renk kullanarak iletilir.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.