Genel Matematik
Bolüm 1
Genel Bilgiler
Dünya Yolculuğu İlk bir Adımla Başlar
(Çin Atasözü)
1 - Başlarken
1.1 - İlk Adımlar
Bazı insanlar, matematiği anlamadığını sanır. özellikle öğrenciler, daha öğrenimlerinin başında matematiğin kendileri için zor bir konu olduğu yanlış kanısına saplanır. Oysa bu düşünce temel olarak yanlıştır. çünkü her insan için matematik son derece kolay bir konudur.
Bu satırları okuyanlar, "Madem ki Matematik Son Derece Kolay bir Konu Konuymuş, Acaba Bana Niye Zor Geliyor?" sorusunu sorabilirler. Size zor geliyordur, çünkü yeterince bilginiz yoktur. Bu yazıların amacı da size yeterli bilgileri sağlayıp, aklınızdaki matematiğin zor olduğu düşüncesinin yerine, matematiğin çok kolay bir konu olduğu düşüncesini yerleştirmektir.
Herşeyden önce, matematiğin bir bilgi birikimi olduğu ve her yeni bilginin, bir öncekinin sonucu olduğunu bilmemiz gerekir. Bu durumda, "Ben matematikten anlamıyorum" düşüncesi yerine "Ben matematikte ilerleyemiyorum" düşüncesine yönelmek gerekir.
O zaman, "Ben matematikte niye ilerleyemiyorum?" sorusunu sormaya başladığımız zaman, sorunu doğru olarak belirlemiş ve bu sorunu ortadan kaldırmak için, doğru yöntemleri aramak olan doğru yolu saptamaya başlamış oluruz.
Bir konuda ilerleyememenin tek ve açık bir nedeni, o konu üzerinde yeterli bilgi birikimi sağlamamış olmaktır. "Matematikte ilerleyemiyorum" olgusu, "Matematikte yeterli bilgim yok" saptamasının sonucudur.
Yeterli bilgi olmadan herşey zordur. İlk bakışta kolay gibi gelebilen marangozluk, geniş bilgi birikimi gerektiren ve ancak bu bilgileri biriktirebilmiş insanlar için kolaydır. Aslında her konu öyledir ve matematik konusu da bunlardan farklı değildir. Yeterli bilgi birikimini sağlayabildiğinizde, matematik sizin için son derece kolay olacaktır.
"İstediğim kadar öğreneyim, üç sayıyı doğru olarak toplayamadıktan sonra, nasıl matematikte ilerleme sağlayabilirim?" sorusu çağdışı bir düşüncedir. Matematikte işlemleri aklımızla yapmıyoruz. İşlemlerimiz için, bilgisayarları kullanıyoruz. Aklımızı bilgileri birbirine eklemekte kullanıyoruz. İki sayıyı doğru olarak toplayamayan bir insanın, günümüzde uyduların yörüngelerini hesaplaması gayet doğaldır. Biz de bu yolu uygulayacağız. Matematikten anlamıyorum diyen insanları uçuracağız. Bu yükseliş sırasında, bilgisayarlar en çok yararlanacağımız yardımcılarımız olacaktır.
Matematik çalışmalarımızda, bilgisayarları kullanacağız, o zaman bilgisayarların da bize yardımcı olacak matematik becerisine sahip olması gerekiyor. Bu konuda birçok program kullanılabilir. Biz Mathematica adlı bir program kullanacağız. Mathematica çok yetenekli olmasına karşın pahalı bir program olduğu için, eskiden herkes tarafından erişilemezdi. Günümüzde ise, Mathematica on-line olarak, ücretsiz kullanıma açılmıştır. Mathematica kullanımı için, adresine girerek yeni bir çalışma defteri (notebook) açınız ve buradaki program adımlarını uygulayınız. Mathematica’nın ücretsiz bir benzeri olan Mathics, adresinde kulanıma açık olarak sunulmaktadır. Ayrıca adresindeki sitesi Matematica yazımını destekleyip daha fazla bilgi de sağlamaktadır. seçimimizin bir nedeni, çok gelişmiş olmanın yanısıra, kullanımının çok kolay olması, çok kolay öğrenilebilmesi ve uygulamak içini herhangibir bir programlama bilgisine gerek olmamasıdır. Biz aklımızı bilgiye vereceğiz ve bu bilginin Mathematica’da nasıl uygulanacağını öğreneceğiz. Hepsi bu. İsterseniz yukarıdaki veya veya adresine girin ve 2+3+5+2016+30003 yazın ve Shift(Büyük Harf Tuşu) nu basılı tutup Enter (üzerinde Sola Doğru Ok Olan Büyük Tuş) tuşuna basın sonucu göreceksiniz.
Aynı sonucu, Plus[2,3,5,2016,30003] yazıp, Shift+Enter’ e basarak da alabiliriz. Plus bir Mathematica fonksiyonudur ve büyük parantezler arasına virgülle arılmış sayıların toplamını döndürür. Mathematica fonksiyonları daima büyük harflerle başlar ve büyük parantezler arasına belirtilen argümanlar (soyut veya somut veriler) ile kullanılır. çok basit olduğunu Plus[a,b,c,.., n] fonksiyonun uygulayarak görmüş oluyoruz. Mathematica da böyle 10000’e yakın fonksiyon bulunmakta ve geniş bir kullanım alanı sağlamaktadır. çalışmalarımız için, Mathematica’yı seçmemizin nedenlerinden biri de budur.
"Bilgisayar İle çalışırken Kolay, Ama Sınavlarda Ne Olacak?" diye düşünürseniz, bunun yanıtı, "Konusunda Bilgili Olan İçin, Herşey Kolay!" denilebilir. Bilginiz arttıkça, sınavlarda başarınız da kaçınılmaz olarak artacaktır. Hiç kuşkunuz olmasın.
Bu kitapta, öğrencilerimize matematiği anlamanın yollarını anlatmaya çalışacağız. Anladıkça başarınız artacak. Başarı kazandıkça konunuza ısınmış olacaksınız. Matematik çalışırken hiç kağıt-kalem kullanmayacağız. Hesaplamalarımız Mathematica tarafından yapılacak, ama problemleri kendimiz çözeceğiz. Bilgisayarlar hesap yapar fakat akıl veremez. Bizler aklımızı kullanacak, fakat çok çalışacağız. Bu çalışmada öğrencilerden tek beklenen şey budur.
Büyük yolculuğumuzun ilk adımını atmış bulunuyoruz. Bu adımın devamı bizi yıldızlara taşıyacaktır. çalışmalarımıza devam ediyoruz. Bu çalışmanın en güzel tarafı Mathics veya Mathematica Online veya Wolframalpha programları ile işlemleri yapabilmek olacaktır.
1.1.1 - Aksiyom
"Yüzüklerin Efendisi" adlı filmi anımsayalım. Orada şöyle bir başlangıç belirtilmiştir :
"Hiçbir şey yok iken Eru vardı"
Aksiyomlar da böyle,
"Hiçbir şey yok iken aksiyomlar vardı"
Gerçekten, batı yarımküresinde hiçbir bilimsel etkinlik yok iken, Doğu yarımküresinde, Sümerlerin kurup geliştirdikleri akılcı yöntemler, Mısır üzerinden Thales tarafından Grek coğrafyasına aktarılmaya başlandı. Elde hiçbir bilgi yoktu. Thales tüm bilgilerin doğada olduğunu, doğanın gözlenmesi ile sırlarına erişilebileceğini, erişilen bilgilerin aklın süzgecinden geçirildikten sonra bilgi olabileceğini, bunun için akılda oluşturulan her bilginin, zorunlu olarak, herkesin anlayıp kabul edebileceği bir şekilde kanıtlanıp, teoremler oluşturularak, tüm insanlığın yararına sunulacağını belirtmiştir. Bunun ilk uygulamasını da, "Thales Teoremi" adı verilen teoremi kanıtlayarak vermişti. Akıl yürütme ile elde edilen bilgiler, eldeki bilgi kaynaklarında bulunan öğelerin ilişkileri incelerek, yeni ilişkilerin bulunması ve kanıtlanması ile oluşturulur. Ama, elde hiç bilgi yok iken, ne yapılabilir?
Thales, doğada bulunan ve hiç kimsenin doğruluğundan şüphesi olmayacak bilgilerin kanıtlanmaları gerekmediğini ve bunların "Aksiyom" olarak kullanılarak, ilişkilerinin akıl yürütme ile bulunup, kanıtlanması ile bilginin gelişeceğini belirtmiştir.
Aksiyomlar birbirlerinden bağımsız olmalı ve başka aksiyomlardan çıkarılamamalıdır.
Matematiğin gelişmesi de aksiyom kavramı da genişlemiş ve günümüzde, bir matematik sistemin kanıtlanma gereği olmayan tüm ön bilgilerine, aksiyom adı verilmektedir.
1.2 - Matematik Tanımı
Matematik, tümdengelimsel (dedüksiyon), tümevarımsal (indüksiyon) akıl yürütme yöntemleri ile sayılar, geometrik şekiller gibi kavramların özelliklerini, aralarındaki bağlantıları inceleyen bir bilimdir.
Matematik akılda oluşturulan soyut bir şeydir ve gerçek nesnelerle bir ilgisi yoktur. Bir kapı tokmağını elinizle açıp kapayabilirsiniz ama, örnek olarak bir sinüs eğrisini elle tutamazsınız. O zaman, Galileo Galilei niçin "Doğanın Dili Matematiktir. Matematik bilmeden Doğanın Dili Anlaşılmaz. Matematik Görünmezi Görünür Kılar" demiştir? Bunun nedeni, matematiğin iç dünyası ile, doğanın iç dünyasının eldeki olanaklarla algılanabildiği kadar belirli ve benzer, elimizdeki gereçlerle algılanamayan derin gerçekte ise, belki de aynı sistematikler ile işlemesidir. İşte matematik bu ilişkileri açığa çıkarmaya yarayan vazgeçilmez bir araç niteliğindedir. Matematik olmasaydı, insanlar içinde yaşadıkları doğanın gizemlerinin en az bir kısmını belirtleyebilme olanağından yoksun olurlardı.
Doğa ilk bakışta karmaşık ve düzensiz gibi görünür. Aslında, doğanın iç yapısı son derece düzenli ve tekrarlıdır. Sadece, doğada bir olayı tetikleyen çok sayıda parametre vardır. Belirli doğa olayları birbirlerinin aynı gibi görünürlerse de, bu olaylarının oluşumunu yöneten parametrelerin bazen farklı olması ile aynı tür olaylar farklı şekillerde oluşabilirler. Eğer tüm parametreler aynı olarak gerçekleştirilebilirse, olaylar da aynı şekilde oluşur. Olayların incelenmesi, bu olayları etkileyen parametrelerin belirlenmesi anlamına gelir ve bu ilişkileri de matematik çözümler. Doğanın dilinin matematik olmasının nedeni budur. Bu da insanlar için matematiği olmazsa olmaz kılar.
Matematik akılda oluşan sanal bir evrendir. Sanal olmasına karşın kuralsız değildir. Bir matematik evreni, Thales’den beri, doğal bir doğru olarak kabul edilen ve dolayısı ile kanıtlanması gerekmeyen aksiyomlar üzerine kurulur.
Matematik aşağıdaki gibi gelişir:
Önce temel gerçek olarak seçilen ve kanıtlanması gerekmeyen aksiyomlar belirlenir. Bu aksiyomlar bir bilgi deposu oluşturur.
Bu bilgi deposundaki bilgilerin birbirleri ile ilişkilerinden yeni bilgiler çıkarılır (çıkarım sözüne dikkat!!!). Bu yeni bilgiler, eski bilgilerden yararlanılarak kanıtlanmaya çalışılır.
Kanıtlanmış bilgiler "Teorem" adı altında evrensel gerçek olarak belirlenir. Her evrensel gerçek, aksiyomlarına bağlı olarak belirlenmiş matematik sistemi için evrenseldir. Örnek olarak Euclides sistematiği için geçerli olan bir teoremin, başka geometrik sistemlerde geçerli olması düşünülemez.
Kanıtlanmamış aksiyomlar nedeni ile, matematiğin gerçekliği tartışma konusudur (Jean-Louis Rouget, 2007).
Thales’den beri, aksiyomların dışında her ileri sürülen açıklama (hipotez) ancak herkes tarafından kabul edilebilecek şekilde kanıtlandığında gerçek (teorem) olarak kabul edilebilir. Kanıtlanmamış her açıklama, kanıtlanmamış bir fikir (konjektür) olarak kalır.
Matematiksel gerçekler sadece akıl yürütme (çıkarım) (tümdengelim) (dedüksiyon) yolu ile aksiyomdan teoreme dönüştürülerek oluşturulabilir (Bilgiden Bilgiye). Deneysel sonuçlar matematik için kanıt olarak kabul edilmez. Goldbach bağıntısı, bilgisayarlarla yıllarca süren denemeler sonunda daima kararlı sonuç vermesine karşın, kuramsal (teoretik) olarak kanıtlanamadığı için, halen sadece konjektür olarak kabul edilmekte, teorem (evrensel matematik gerçek) olarak kabul edilmemektedir.
1637 de Pierre de Fermat tarafından açıklanan bir hipotez, deneysel olarak kararlı sonuç vermesine (karşı kanıt bulunamamasına) karşın, 1995 de ingiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından spektaküler bir olay olarak zorlukla kanıtlanana kadar, hipotez (konjektür) olarak kalmış ve ancak kanıtlanabildikten sonra, "Fermat’nın son teoremi" niteliğini kazanabilmiştir.
Her matematik evreni belirli hipotez (aksiyomlardan yararlanarak oluşturulan kanıtlanmamış ilişkiler) den oluşur. Genel geometrinin ve analitik geometrinin tanımlandığı "Euclid Uzayı" belirli aksiyomlardan oluşur. Bunlardan en tanınmışı, bir düz çizgiye sadece bir tek paralel çizilebileceğini belirten 5 inci aksiyomdur. Bu aksiyomu kabul eden Euclid uzayını da kabul etmiş olur. Aksi halde, kendine başka bir uzay tanımlamak veya başka bir tanımlı uzay bulmak zorunda kalır.
Bir kez aksiyomlarının kabul edilerek çalışılmasına başlanan matematik evrenin içinde, hiçbir aksiyom değiştirilemez, hiçbir tanım yeniden tanımlanamaz. Yapılmış tanımlara dayanılarak yeni tanımlar yapılır. Tanımlardan yararlanılarak fikirler ileri sürülür. Bu fikirler (hipotez) kanıtlanabilirse, bu matematik evreni için evrensel gerçek (teorem) olarak nitelendirilir. Kanıtlanamayan hipotezler, eğer çalışmalarında bir aksaklık yoksa, konjektür olarak kalır. Eğer deneysel olarak da yanlış sonuçlar verirlerse çöpe atılırlar.
Her matematik sistemi, belirli bir mantık sistemi içinde çalışır. Eğer aynı mantık sisteminde hem bir teorem, hem de onun karşıtı kanıtlanabiliyorsa, o sistem "Kararsız" (inconsistent) bir sistemdir. Kararsız bir mantık sisteminde matematik yapılmaz.
1930 larda, Kurt Gödel sıfırıncı derece önermeler mantığı ile, birinci derece yüklemler mantığının "kararlı fakat yetersiz" olduğunu açıklamıştır. Yetersiz bir mantıksal sistemde, tüm matematik hipotezleri aynı sistem içinden kanıtlanamaz. Kurt Gödel, 0-derece mantık olan tanımlanan "Önermeler Mantığı" ile, 1-derece mantık olarak tanımlanan "" Yüklemler Mantığı" nı "Kararlı fakat Yetersiz" olarak belirtmiştir.
Kararlı bir mantıksal sistemde matematik uygulanabilir. Yetersizlik konusu ise halen tartışmalıdır. Yetersizlik konusu açık değildir. Kurt Gödel, matematiğin en çok uygulandığı mantık sistemlerini kararlı bularak, bir noktada temize çıkarmış, fakat "Yetersiz" olarak tanımlayarak, bir noktada şüphe tohumlarını ekmiştir.
Bu birbirlerini izleyen, ilk başlangıç düzeyli mantıklar, tüm matematiğin en çok uygulandığı mantık sistemleridir. Kurt Gödel, bu iki sistemde, tüm teoremlerin tamamının kanıtlanması olanağı olmadığını belirtmiş, fakat hangilerinin kanıtlanamayacağını belirtmemiş veya belirtemememiştir.
Buna rağmen, bu sistemlerin kararlı yapıları nedeni ile, matematik uygulamaları şimdilik sorunsuzca, bir kayaya çarpmadan sürdürebilmektedir. Yetersizlik matematik uygulamaları için, şimdilik bir sorun oluşturmamıştır.
Kurt Gödel'in matematiğe verdiği en büyük zarar, Prof. Hilbert'in etkilenerek, çok önemli olan formalist programını durdurmasıdır. Bugün Prof. Hilbert'in matematikteki formalist yöntemi izlenmektedir. Bu çalışmada da aynı yolu izliyoruz. Yani olabildiğince her matematik ilişkisini formüle etmeye ve bu formülleri bilgisayar yardımı ile ile değerlendirip çözümlemeye çalışıyoruz.
Bugün, matematikçiler, matematiğin temellerinin kendi içinde ve sağlam olduğuna inanmakta, bir takım mantıkçıların saçma sapan teorilerinden etkilenmeyeceğini düşünmektedirler.
Matematikte kanıtlanmış teoremler kesin gerçekleri oluşturur. Matematikte belki yoktur. Bir fikir ya "Doğru" ya da "Yanlış"dır. Belirsizlik yoktur. İlk Türkçe geometri kitabının yazarı Büyük Atatürk bunu "Matematik pekinlik ister" olarak belirtmiştir. üç filosofi öğrencisi hocalarının önünde oturmuşlar, hoca bir konuyu sormuş, birinci öğrenci "Doğru" demiş, ikinci öğrenci "Yanlış" demiş, üçüncü öğrenci "Belki" demiş, hoca ise onu "Yok öyle bir şey !"diyerek uyarmış. Bu şekilde gerçeğin her renginin olduğu gerçek dünya ile, sadece doğrular ve yanlışların olduğu sanal matematik dünyası arasındaki fark belirlenmiş olmaktadır. Einstein bu olguyu, "Matematik kendi içinde kesindir. Gerçek dünyaya yaklaştıkça kesinliğinden kaybeder" şeklinde belirtmiştir.
Matematik gerçek dünyanın kurallarını ortaya çıkarır. Meteorolojik gözlemlerden elde edilen değerlerden yararlanılarak çok sayıda denklemlerin oluşturulması ve bu denklemlerin çözümü ile meteorolojik öngörüler oluşturulabilmektedir. Gerçek dünyada, farklı büyüklükte iki üçgen (üçgen teriminin adlandırıcısı Büyük Atatürk’tür) , bilgisi olmayan insanlar tarafından, sadece farklı büyüklükte iki üçgen olarak tanımlanmış olabilir.
Oysa, her iki üçgende kısa ve uzun kenarlar ölçülüp birbirlerine oranlanırsa, her iki üçgende oranlarının aynı olduğu görülür ve bu iki üçgen benzer üçgenler olarak tanımlanır.
Bunlar, matematiğin gerçek dünyayı açıklamasının örnekleridir. Matematik olmasa, insanlar içinde yaşadıkları doğayı akılcı bir şekilde açıklayamaz ve bir takım doğaüstü olarak varsaydıkları güçlere inanmak zorunda kalırlar. Günümüzde bile, yeterli bilgisi olmayan insanlar, dünyayı tepsi gibi düz olarak kabul etmekte ve bunun aksini belirtmeye çalışanlara öfke duymaktadırlar. Tekrar açıklayalım,"Her İşin Temeli Bilgidir".
1.3 - Bilginin Tanımı
Bilgi akan bir nehir gibidir. Matematik bilgileri, doğu yarımküresinde, Çin ve Hindistanda gelişmiştir. Batı yarımküresinde, matematik bilgisi Sümerlerden başlamış, Mısır uygarlığını etkilemiş, Babil de devam etmiş, Mısırlılılardan, M.Ö. 7 inci yüzyılda (M.Ö. 630 - 547) Miletos lu (Bodrum yakınında) Thales ve Thales'in sağlık vermesi ile Mısırda eğitim gören, Bodruma yakın bir ada olan Samos adasından olan Pythagoras (M.Ö. 569 - 475) ile Grek uygarlığına geçerek Greklerin olağanüstü akıl yürütme yetenekleri ile olgunlaşmıştır. Roma istilası sonunda, Roma coğrafyasına yayılmış ve bir kültürel birikim haline gelmiştir. Romalıların Hristiyanlığa geçmesi ile artan baskıcı Hristiyan dogmatizminden kurtulmak için, önce İslam, sonra yeniden Batı coğrafyasına yayılarak bugünkü uygarlığımızın temelini oluşturmuştur. Bu konu sitemizin "Genel Matematik" konusunda geniş olarak incelenmiştir.
Bilgiler M.Ö. üç bin yılında, Türkistanın kuzeyinden gelerek, ortadoğuya yerleşmiş olan Sümerler tarafından geliştirilmeye başlanmış, ancak son M.Ö. bininci yılında Grek kültürünü etkilemeye başlamıştır. Önce Fenikelilerden günümüzde halen büyük ölçüde kullanılmakta olan Grek Alfabesinin temelleri gelmiş, ardından, ancak M.Ö 6 ıncı yüzyılda, etnik olarak Grek, kültürel olarak Mısırlı olan, Miletos lu (Bodrum yakınında) Thales (M.Ö. 630 - 547) ve Thales'in sağlık vermesi ile Mısırda eğitim gören, Bodruma yakın bir ada olan Samos (Sisam) adasından olan Pythagoras (M.Ö. 569 - 475) ile Grek uygarlığına geçerek Greklerin olağanüstü akıl yürütme yetenekleri ile olgunlaşmıştır. Grek hinterlandına taşınan bu bilgiler, en az iki yüzyıldan beri yerleşik bir uygarlık olan Grek kültürü tarafından olağanüstü bir yorum yeteneği ile yeniden yorumlanmış ve orijinalleri ile kıyaslanmayacak kadar ilerletilerek Batı Kültürü'ünün temeli haline gelmiştir. (Bilginin geliştirilmesi için yerleşiklik ve düzenli bir toplum oluşturmuş olmak, olmazsa olmaz koşuldur. Göçebe ve düzensiz toplumlar soyut bilgiler geliştiremezler). Thalesten sonra, Demokritos, Heraklitus, Anaksimenes (Anadolu), Parmenides, Ksenon ( Napoli (NeaPolis) nin güneyi ve Sicilyayı kapsayan Nea Greçya), Sokrates, Platon, Aristoleles (Atina) (Grek yarımadası) ve çok sayıda Grek düşünürünün katkıları ile bu bilgiler sürekli gelişmiştir.
Filosofi adı verilen, matematik ve akıl yürütme yöntemlerini içeren bilgiler, tüm Grek coğrafyasında, Atina'da Akademi (Platon) ve Lise (Aristoteles), İskenderiye'deki Museum gibi üniversitelerde geniş ölçüde okutulmuş ve yaygınlaşmıştır. Bu bilgi çağlayanı, Roma istilası sonunda, Roma coğrafyasına yayılmış ve bir kültürel birikim haline gelmiştir. Romalıların Hristiyanlığa geçmesi ile, Hristiyanlığın bilime baskısı giderek artmış, M.S. 400 lerde İmparator Justinianus tarafından "Hristiyan öğretisine karşı çıkıldığı" gerekçesi ile, Atina Akademisinin M.S. 529 yılında Imparator I inci Justinianus (M.S. 527 - 565) tarafından kapatılması ile ne yazık ki Grek coğrafyasında bilimsel çalışmalar sona erdirilmiştir. Atina Akademisinin kapatılması ile, bilginler, hristiyan bir toplum olan Süryani toplumuna katılmış ve eski Grek kitapları, önce Süryani Kadim (Modern Asurca'nın batı lehçesi) (Syriac) diline, sonra İslam coğrafyasına taşınmış, M.S. 700 lü yıllarda Bağdat Dar'ül Hikmesinde yeniden ve çok etkin olarak geliştirilmiş, dinsel taasuptan uzak, çeşitli mezhep mensupları, özellikle Türklerin bu bilgi evinde çalışmaları ile, hem eski Grekçe kitaplar, Süryaniceden Arapçaya çevrilmiş, bir yandan araştırmalara devam edilerek, günümüzde kullanılan ve başında el- olan, alkol (El-Kuul), Asitler (Hamz), Bazlar (Kalevi) gibi kimyasal maddeler üretilmiş, Chiffre (Şifr) (Şifre) olarak batı ülkelerine geçmiş olan sıfır sayısını içeren ondalık sayı sistemi, eski Babil kayıtlarındaki sayısal sistemi devam ettiren Hindistan'da bulunarak yeniden düzenlenmiş, Cebir, adı verilen yeni bir bilim dalı ile, hesapların sayısal yapılabilmesi olanağı sağlanmıştır. Cebir, daha çok geometriye dayalı Grek matematiğini sayısal temele taşımış olan çok önemli ve Türk kökenli bir bilim adamı olan Harzemli'nin katkıları ve zamanın halifesi olan bilim tutkunu Mem'un tarafından desteklenmesi ile gerçekleşmiş ve "Arap Rakkamları" adı verilen ondalıklı sayı sistemi dünyaya kazandırılmıştır. Arap coğrafyasındaki bu ilerleme, ne yazık ki, bir yandan Moğol istilası, bir yandan Haçıların saldırıları, en önemlisi ise, dinsel taasubun artması nedeni ile ancak M.S. Sekizinci yüzyılda sürdürülebilmiştir.
Moğol istilası yüzünden, bilgi kaynakları, Fars (İran) coğrafyasına taşınmış, burada da çok gelişmeler yaşanmış, İbn-i-Sina, Uluğ Bey gibi çok sayıda bilim adamı yetişmiştir. 1420 lerde Timur istilasında, Anadolu cephesinde hiç bilim adamı yok iken, en büyük Türk bilim adamları Timur'un yanındaydılar.
Bu bilgiler 1580 lerde, Istanbul Rasathanesinde uygulanmış fakat "Rasat yapmak şeamet getirir" diyen başta Şeyh-ül İslam olmak olmak üzere tüm karanlık gerici güçler, bu dünyanın en ileri tekniğine sahip rasathanesini yıktırmışlardır. Istanbul Rasathanesinin çalışabildiği çok az zamanda, yapılabilmiş olan astronomik gözlemler, o denli güvenilir ve duyarlıdır ki, günümüzde referans ölçümler olarak kullanılmaktadır. Istanbul Rasathanesinin yıkılması ile, 1600 lerden sonra, bilimde ilerleme, batı yarımküresinde devam etmiştir. Bu konuda, sitemizin "Bilginin Tarihsel Gelişimi" konusunda bilgi veren ilk sayfasında daha fazla bilgi bulunmaktadır. Istanbul Rasathanesinin yıkılmasından sonra, Türkler karanlığa gömülmüş, üç yüzyıl artı 20 inci yüzyılın dörtte biri boyunca her türlü bilimsel değerlerini yitirmiş, ancak 1925 lerde Büyük Atatürk'ün devrimleri ile karanlıktan aydınlığa çıkabilmişlerdir. Bu başarıyı, bugüne kadar kendi gayreti ile başarabilen başka hiç bir İslam ülkesi olmamıştır.
Bugün aydınlık yaşamımızla övünüyoruz ve her zaman Büyük Atatürkü kıvanç ve özlemle anıyoruz.
Aşağıda çok kısa olarak bilginin gelişimi ve bu gelişime katkı yapmış bilim adamlarını tanıtmaya çalışacağız.
1.3.1- Bilginin Gelişimi
Bilgi, tanımlanması için filosofinin başlangıcından beri çaba gösterilen, fakat bir türlü tam tanımı yapılamayan bir kavramdır. Filosofinin bilgiyi inceleyen kolu "Epistemoloji" olarak adlandırlır. Grekçe epistem (bilgi) ve logos (sözcük, mantık) sözcüklerinden türetilmiş olan bu bilim kolu, bilginin ne olduğunu, nereden kaynaklandığını, ne kadar bilgi alınabileceğini, bilginin sınırlarının ne olabileceğini, gerçekten herşeyi bilip bilemeyeceğimizi inceler.
Bilginin tanımlanmasının güç olduğu bilinir. Bu konuda yapılmış olan çalışmalarda bilginin,
özellikleri olması gerektiği üzerinde az çok anlaşılmıştır.
Eğer iyi incelenirse, bu özelliklerin hepsi tartışılabilir niteliktedir. Bu konuda "Şüphecilik" akımı ileriye götürülürse, dünyada hiçbir şeyin göründüğü gibi olmadığı, hiçbirşeyin öğrenilemeyeceği sonucuna varılır. Kilise bu tür aşırı şüpheciliğiuyjhtgrrrrrrrr desteklemiş, insanların hiçbirşey bilmediklerini ve hiçbirşey bilemeyeceklerini "ignoramus et ignorantibus" (cahiliz ve cahil kalacağız) diyerek insanların cahil kalmalarını ve bu bu şekilde din görüntüsü altında daha iyi sömürülmelerini öngörmüştir. Bu olumsuzluğu, yeniçağın ilk başlatıcılarından René Descartes (Röne Dekart) "cogito ergo sum" (düşünüyorum, demek ki varım) savı ile aşmış, insanlığa düşüncenin ürünlerine inanmanın (Rasyonalizm) (Akılcılık) yolunu açmıştır. Son asırda büyük matematikçi Prof. Hilbert bu sloganı "Wir müssen wiessen, wir werden wiessen" (öğrenmeliyiz ve öğreneceğiz) diyerek yenilemiştir. Tüm insanlığın Prof. Hilbert'in yolunu izlemesi en büyük dileğimizdir. Bu yol Atatürk'ün aydınlık yoludur.
Bu düşüncelerle, bilgi hem etrafımızda olan bitenlerden gözlem yolu ile, hem de bilinenlerden yola çıkılarak, akıl yürütme ile elde edilen sonuçlardan oluşmaktadır. Aslında, herkesin kendisine göre bir bilgi tanımı bulunmaktadır.
Yeniçağın bir başka öncüsü, "Novum Organum" yapıtını ortaya koymuş ve insanlığa deneysel bilginin yolunu açmış olan Sir Francis Bacon, "Bilgi Güçtür" tanımını yapmıştır. Yani, bilgili insanın aynı zamanda güçlü olacağını belirtmiştir. Tarih, kendisini her zaman haklı çıkarmıştır.
"Lord of the Rings" (Yüzüklerin Efendisi) kitabının yazarı olan Prof. J.R. Tolkien "Perillious to us all are the devices of an art deeper then we possess ourselves" (Hepimiz için en büyük tehlike, kendi sahip olduğumuzdan daha derin bir sanat - bilgi- içeren cihazlardır" diyerek bilginin önemine işaret etmiştir. Bu uyarı, bu satırları okuyan ve uygulayanlar için en açık bir yol gösterme olması gerekir.
1.3.2 - Mezopotamya Uygarlığı
Birçok düşünür, bilginin ilk olarak antik Grek kültüründe gelişmeye başlamış olduğu düşüncesini belirtmektedir. Gerçekte antik Grek insanları, bilginin toplanmasını, toplanmış bilgilerin yeni bir bakış açısı ile yorumlanmasını, akıl yolu ile gerçeklere erişmeyi, ileri sürülen savların kanıtlanması gerektiğini, sistemli düşünmeyi, eğitimi yaygınlaştırmayı, özgür düşünceye saygı göstermeyi, dinsel düşüncelerin dünya işlerini etkilemesini olabildiğince kontrol altında tutmayı başarabilen, bu nedenlerle övgüye hak kazanan saygıdeğer insanlardır. Yine de, insanların bilgi birikimleri, antik Greklerden çok daha önceleri başlamıştır.
Buzul çağının çözülmeye başladığı yaklaşık M.Ö. 14 üncü yüzyıldan başlayarak, insanlar yaşamaya uygun bir doğal ortam bularak, yaşamlarını sürdürmeye başlamışlardır. Bu yaşayan insanlar üzerine en eski bilgilerimiz daha yeni olarak Türkmenistan yöresinde bulunan, tarihi M.Ö. 4 üncü yüzyıla ulaşan, tarım yapan, düzenli yerleşik toplulukların varlığıdır. Bu bilgiler henüz çok yeni ve yeterli bilgi sağlamaktan uzak olduğu için, üzerlerinde bilgi sağlanabilen en eski yerleşik toplulukların M.Ö. 3000 yıllarında, Mezopotamya ve Mısır da ortaya çıktığı kabul edilmektedir.
Mezopotamyada ilk görülen uygarlık Sümerlilerdir. Bu insanların kuzeyden gelerek Mezopotamyaya yerleştikleri ve yerleşimlerinin M.Ö. 5000 li yıllardan başladığı düşünülmektedir. Fakat, bilgi sağlanabilen yerleşiklik, M.Ö. 3000 li yıllarda başlamış ve Akat Kıralı Sargon tarafından M.Ö 2334 de sonlandırılmıştır. Daha sonraları tekrar güç kazanan ve Akatlarla bir sosyo-kültürel bir symbiosis yaratan Sümer-Akat uygarlığı, M.Ö. 1753 de Babil kralı Hamurabi tarafından sona erdirilmiştir. Yine de, Sümer kültürü, bir üst kültür olarak, Babil uygarlığının sona erdiği M.Ö. 538 e kadar etkisini sürdürmüştür. Babil uygarlığı, Sümer uygarlığının bir devamı sayılır.
Sümerler tarafından oluşturulmuş olan uygarlık düzeyi göz kamaştırıcıdır. Günümüzde geçerli olan birçok yöntem, kullanılmakta olan birçok gereç, ilk kez Sümerliler tarafından bulunmuş ve uygulanmıştır. Bulunan gereçler arasında, tekerlek, abaküs, astronomi hesap gereçleri, müzik aletleri bulunmaktadır. İlk yazıyı Sümerler bulmuş, ilk ideogram yazı şekilleri daha sonraları gelişkin çivi yazısı haline ulaşmıştır.
Sümerliler, bataklıkları kurutmuşlar, kanallar açmışlar, bu kanallarda teknelerle yük taşımışlar iskeleler kurarak gemi taşımacılığını ilerletmişlerdir. Tarımda uyguladıkları gelişkin yöntemler, büyük bir tahıl fazlasının oluşmasını ve nufus artışını sağlamıştır. Her türlü tahıl ve sebze üretimi yanında hayvancılık da yapmışlardır. Bira sözcüğü Sümercedir. İlk birayı onlar yapmış ve çeşitli biralar üretmişlerdir. Şehirleşmede çok ileri gitmişler, nufusun yüzde seksen dokuzunun şehirlerde yaşadığı saptanmıştır. Bu oran onların ulaştığı yüksek uygarlık düzeyini belirten bir ölçüttür. Ticaret için bakır ve gümüş parayı da ilk kullananlar Sümerlerdi. Dış ticaret inanılmaz bir yoğunluğa ulaşmış, Afganistan, Lübnan, Anadolu hatta Afrika ile bile ticaret yapılmıştır. Her türlü ticari faaliyeti devlet kontrolünde tutmuşlar, tüm çalışanları devlet güvencesine almışlardır.
İlk yasaları Sümerliler çıkarmış, yasalarda çalışanlar korunmuştur. Sümerlerde, Yasalar, mahkemeler, cazaevleri, devlet kayıt sistemi bulunmaktadır. Sümerliler, posta servisi kurmuş olan ilk uygarlıktır.
Mimarlıkta büyük ilerlemeler sağlamışlar, yük dağıtımını sağlayan kemerli yapıları ilk olarak Sümerliler yapmışlardır. Şehirleri büyük surlar içine almış ve bu şekilde, saldırılardan korunmaya çalışmışlardır.
Sümerler gelişkin savaş teknikleri kullanmışlardır. Askerleri daha çok piyade askerleriydi, fakat bunların yanında, süvari ve okçu birlikleri de bulunmaktaydı. Askerlerin savaş formasyonları, ileri düzey eğitimli olduklarını, büyük bir olasılıkla profesyonel askerler olduklarını belirtmektedir. Savaş arabalarını ilk olarak Sümerler kullanmış, aynı zamanda askeri gereçleri de ağır arabalarla taşımışlardır.
Sümerler gelişkin bir ölçüm sistemi uygulamışlar ve bu ölçüm sistemi, onları matematikte ilerlemelerini sağlamıştır. Uzunluk, yüzey ve hacım ölçülerini ilk uygulayanlar Sümerler olmuştur. Yaklaşık M.Ö. 2600 yılardan başlayarak aritmetik ve geometri’ yi ilk uygulayanlar Sümerlerdir. Dört işlemi bulmuşlar, çarpım cetvellerini oluşturmuşlar, bölmeleri denklemleri çözmeye çalışmışlar, üçgen ve kübün hacımlarını hesaplamışlardır. Sümerliler, hem 10 lu (desimal) hem de 60 lı (hexagesimal) bir sistemde hesap yapıyorlardı. Matematikte amaçları, arazi ölçümleri, takvim bilgileri gibi gündelik yaşam gereksinmeleriydi. Yılın 365 gün olduğu, saatin 60 dakika olduğunu, dairenin 360 parçaya bölündüğü gibi bilgileri ilk olarak Sümerliler bulmuştur. Sümerliler ilk olarak abakus kullanarak hesap yapmayı bulmuşlar ve astronomik hesaplarda bir tür hesap cetveli kullanmışlardır. Babil sayı sistemi denilen, sayıların yazılış yerlerine göre değerlendirildiği yöntemi de ilk uygulayan Sümerlerdir.
Astronomide gözlemler yapmaya ilk olarak Sümerliler başlamışlardır. Sümer zigguratlarının alt katları din işlerine, orta katları eğitime en üst katları astronomik gözlemlere ayrılmaktaydı. Ay ve güneş tutulmalarını hesaplamışlar ve günümüzde geniş bir ilgi odağı olan burçları da Sümerliler oluşturmuştur.
Babil uygarlığında Sümer matematik kültürü daha da gelişmiştir. Babillierin en büyük buluşu, sayıları içerlek yazarak onlu basamakları kullanabilmeleri ve bu şekilde birçok astronomik hesabı gerçekleştirebilmeleridir. Babil uygarlığının en etkili olduğu M.Ö. 600 yıllarda, Nabukadnezar II zamanında, Kudüs’ün ele geçirilişi sonunda İbranilerin Babile getirilişi, Sümer kültürünün daha batıya doğru yayılmasına ve Grek ve Roma kültürlerini etkilemesine neden olmuştur. Aynı tarihlerde, Babil tanrısı Marduk adına yaptırılan ve adına Babil kulesi denilien ziggurath’ı da Sümerli mimarlar yapmışlardır.
Sümer kültürünün etkili olduğu Mezopotamya uygarlığı, Perslerin Babili, M.Ö 538 de ele geçirmesi ile sona ermiştir. Fakat, Babil astronomi kayıtları Hindistana geçmiş ve burada geliştirilerek uygarlığımızın en büyük kaynağı olan 10 sayı sistemi ve sıfır sayısı bu çalışmalardan yararlanılarak oluşturulmuştur.
Mezopotamya kültürünün ne kadar yoğun bir bilgi birikimi sağlamış olduğu, açıkça görülmektedir. Aynı şekilde, antik Mısır uygarlığı da benzer bilgileri oluşturmuştur. Bu uygarlığın da oluşturduğu bilgiler de, aynı Mezopotamya kültürü gibi, antik Grekler tarafından özümsenmiş, yeni düşüncelerle ve yeni yöntemlerle zeginleştirilerek batı uygarlığının temelini oluşturmuştur.
1.3.3 - Mısır Uygarlığı
Mısır yerleşik topluluğu, çok daha önceleri oluşmaya başlamasına karşın, ilk kayıtlı bilgiler ancak M.Ö. 3000 li yıllardan ilerisini açıklamaktadır. Mısır uygarlığı Yukarı Nil etrafında oluşmuş, büyük bir uygarlık olarak uzun asırlar, birleşik ve yerleşik olararak varlığını sürdürmüştür. Mısır uygarlığı üzerinde ilk bilgilerin sağlandığı tarihten başlayarak varlığını sürdüren bu uygarlığın sona erdiği tarihi belirlemek çok kolay değildir. Mısır uygarlığı politik olarak çok kez, artık bitti denildiği andan sonra bile varlığını sürdürdürmüş, politik değişimlerden sanki hiç etkilenmemiştir. Mısır uygarlığının gerçek sonu, Roma imparatorluğunun Hristiyanlığı kabul edişi ve Doğu ve Batı Roma İmparatorluğu olarak ikiye ayrıldığı, Mısır tapınaklarının kapatıldığı M.S.391 yılı olmuştur. Mısır uygarlığında, rahipler, yazmanlar, halk şeklinde katmanlı bir toplum yapısı oluşmuştur. Bilgiler sadece rahipler ve yazmanlar arasında paylaşılmış, halk tabakasına fazla yansımamıştır. Bilgiler, kolay bozulabilen papirüs (papuros - grk.-papirüs - lat.-papier - fr - paper - ing.) yapraklarına yazılarak saklandığından, günümüze ulaşan bilgiler daha çok taşlara yazılmış olanlardan kaynaklanmaktadır. Bu uygarlıkta, 10 lu sayı sistemi kullanılmış, Mezopotamya uygarlığında bulunanlara yakın matematik bilgiler elde edilmiştir. Mısır uygarlığı, çok parlak, etkili ve etkileyen bir uygarlıktır. Mısır halkı durağan, firavunlarına ve dinsel inanışlarına bağlı, çalışkan bir toplumdur. Sanıldığının aksine, askeri nitelikleri fazla olmayan, ziraat ve zenaat insanlarıdır. Bu insanların uyumlu karakterleri, Mısır da büyük yapıların, heykellerin, tapınakların, piramitlerin yapılabilmesinde, şehirler kurulabilmesinde en büyük etken olmuştur. Bu yazının kısıtlı içeriğinde, Mısır uygarlığı gibi, çok uzun süre varlığını sürdürmüş, her alanda gelişkin bir yapısı olan, çok yoğun bilgilere sahip olan bir uygarlığın tanıtımı, yeterli olmayacaktır. Burada, sadece Mısır matematik bilgisi üzerine elimizdeki bilgileri inceleyebileceğiz.
Mısır uygarlığında matematik, pratik maçlar için uygulanan bir zenaat olarak kabul edilmiştir. Nil nehrinin taşması sonrasında kaybolan tarla sınırlarının yeniden hesaplanması, ürünlerin kaydı ve hesaplanması gibi konularda kullanılan matematik bilgisi oldukça geniş ve daha çok aritmetik ağırlıklıdır. Geometri fazla gelişmemiştir. Daha da ilginç olan yönü, bu bilgilerin asırlar boyunca aynı kalması, daha fazla ilerletilememiş olmasıdır. Yine de geniş bir matematik bilgisi elde edilmiştir. Mısırlılar, dört işlemi, kesirli sayıları, dairenin ve diğer basit geometrik şekillerin alanlarını bulmayı, π sayısının yaklaşık 3.16 olduğunu, faiz hesaplarını biliyorlardı. Bu bilgiler ne yazık ki, fazla meraklı olmayan ve sıradışı olmaktan çekinen bu halk tarafından, asırlar boyu geliştirilmeden kalmıştır.
Mısır sayı sistemi, on temeline göredir. Mısır rakkamları Roma ve Grek rakkamları gibi yazı karakterindedir ve aritmetik işlemlere uygun değildir. Bu yüzden eski Mısırda matematik fazla ivme kazanamamış olabilir. Yine de kendisinden sonra gelen Grek uygarlığına önemli ölçüde bir bilgi kaynağı aktarmıştır. Gerek Mezopotamya, gerekse Mısır uygarlıklarında, antik Grek uygarlığının ulaşabileceği, azımsanamayacak bir bilgi birikimi sağlanmış olduğu yadsınamaz. Uygarlık ne antik Greklerle başlamış, ne de onlarla birlikte sona ermiştir. Antik Greklerin tarihteki muhteşem rolleri, bu bilgileri toplamaları, yeniden yorumlamaları, düşünsel olarak irdeleyip, matematik ve filosofi sistematiğini, dolayısı ile dünyanın bilim çatısını oluşturmuş olmalarıdır.
1.3.4 - Antik Grek Uygarlığı
Antik Grek uygarlığı ilk olarak Girit adasında Minos uygarlığı ile M.Ö. 2700 yıllarında ortaya çıkmıştır. Bu tarih, Sümer uygarlığının saptanabilen yerleşiminden üçyüz yıl kadar sonradır. Bunun anlamı, Minos uygarlığı henüz yeni oluşurken en az üç yüz yıldan beri Sümer uygarlığının yerleşik ve düzenli bir toplum oluşturmuş olması ve büyük çapta bilgi birikimi sağlamış olmasıdır. Minos uygarlığı bir Etrüsk - Girit uygarlığı karakterindedir. Bu insanlar, Lineer A olarak adlandırılan ve henüz tam olarak çözülemeyen bir alfabe kullanmışlar, başta kereste olmak üzere birçok ürünü deniz aşırı pazarlamışlar, büyük saraylar, görkemli yapılar yapmışlardır.
Anayurt Grek yarımadası, M.Ö. 2100 yılarında bir Hint - Avrupa ulusu olan Grek kökenli Mikonos (Akha) ların istilasına uğramıştır. Minos uygarlığı M.Ö. 1400 yıllarında, Grek yarımadasından gelen Miken (Mikonos) (Akha) lar tarafından sona erdirilmiştir. Mikonoslar M.Ö. 1400 lü yıllarda tüm Girit adasının kontrolünü ele geçirmişler, Minos uygarlığına son vermişler, fakat kültürlerinden yararlanmışlardır. Bu etkileşim sonucu, Mikonos kültürü, Lineer B olarak adlandırılan bir alfabe geliştirmiştir. Mikonoslar da güçlü bir uygarlık kurmuşlar, çevre adalarla ticaret yapmışlardır. Mikonoslar diğer deniz kavimleri ile birlikte M.Ö. 1190 yılında Mısır' a saldırmış, fakat geri püskürtülmüşlerdir. M.Ö. 1184 yılında Truva' ya saldırarak şehri yıkmışlardır. Çeşitli kaynaklar bu tarihi M.Ö. 13 ve M.Ö. 12 inci yüzyıllar arasında tarihler vermektedirler. Truva savaşı, Grek etnisite ve kültürünün oluştuğu dramatik bir olay olarak, dünyanın en büyük edebiyatçısı olarak kabul edilen Izmirli Homeros (Yaşadığı tarih kesin olarak bilinmemekte fakat genel olarak M.Ö. 9 uncu yüzyılda yaşadığı düşünülmektedir) tarafından yazılan İlyada (Heliada) ve Odissei adlı eserlerin konusunu oluşturmuştur. Bu epik eserler Helen kültürünün başlangıç eserleridir ve günümüzde dahi güncelliklerini korumakta, büyük bir okuyucu sayısına erişmektedirler. Homeros’un Grek kültürünün başlatıcısı olduğunu bizzat Platon, “Devlet” adlı eserinde kendisinden “Protos Didaktos” (İlk Öğretmen) olarak bahsederek belirtmiştir. Bu devirde, ticaret ve diğer ilişkiler, Mezopotamya ve Mısır kültürünün Grekler arasında tanınmasına yol açmıştır. Bu devirde kolonizasyon da başlamış, Grekler Karadeniz, Ege ve Akdeniz kıyılarında küçük yerleşim yerleri kurmaya başlamışlardır. Mikonos uygarlığı, M.Ö. 1100 yıllarına kadar sürmüş, fakat bu tarihten sonra gücünü kaybetmeye başlamış, bu da Grek yarımadasında "Karanlık Çağ" adı verilen bir durağanlık ve başıboşluk döneminin başlamasına neden olmuştur.
Grek yarımadasına M.Ö. 1100 yıllarından kuzeyden Dor ve doğudan İyon ve Eoller göç etmişlerdir. Dorlar Isparta, İyon ve Eoller de Atina şehirlerini kurmuşlardır. Bu devirde kolonizasyon daha da hızlanmıştır. Bu süreçte, Grek uygarlığı düzey kaybetmiş, devlet kurumları zayıflamış ve Lineer B yazısını bilenler azalmıştır. Bu karanlık çağ, ilk Olimpiyat oyununun düzenlendiği M.Ö. 776 de sona ermiştir.
Karanlık çağın M.Ö. 8 inci yüzyılda sona ermesi ile, Grek Antik Çağı başlamıştır. Bu süreç, bir Grek yeniden doğuşu dönemidir. Unutulan eski Mikonos Lineer B alfabesi yerine, Fenike alfabesine dayalı yeni ve çok daha kullanışlı bir Grek alfabesi geliştirilmiştir. Fenike alfabesi, "ebcet" olarak adlandırılan, batı semitik alfabe sistemine dayanır. Arap alfabesi de bu alfabe sistemindedir. Bu alfabe sadece sessiz harflerden oluşmaktadır. Doğal olarak, sadece sessiz harflerden oluşan bir alfabe ile sözcüklerin yazılması ve okunması kolay değildir. Arap alfabesi kökenli eski Osmanlı alfabesinin de sorunu budur. Modern Grek alfabesi, Fenike alfabesine sesli harflerin eklenmesi ile oluşturulmuş ve bu şekilde dünyanın ilk sesli ve sessiz harflerini içeren alfabesi niteliğini kazanmıştır. Günümüzde de kullanılmakta olan bu alfabenin tutarlı yazım ve okunuşu, öğrenme kolaylığı, Grek kültüründe okuryazarlığı arttırmış, felsefe, edebiyat, tarih gibi bilimlerin gelişmesine başlıca etken olmuştur. Modern Grek alfabesi, Kiril alfabesine, Latin alfabesine kaynaklık etmiştir. Bu şekilde, modern Grek alfabesi, modern Türk alfabesinin de kaynağı sayılır.
Grek antik çağı, kolonizasyon dönemi sona erdikten sonra başlamıştır. Artık Grek kolonileri yerleşik ve düzenli kentler olmuş, hem anayurt Grek ülkesi hem de çevrelerindeki kültürlerle ilişkileri güçlenmiş, bu şekilde yerel kültür bilgilerinin, anayurda aktarılması ile Grekler arasında bir doğudan etkileşim süreci başlamıştır. Grek antik çağı, İsadan önce altıncı yüzyılda, M.Ö. 508 de Atina kentinin tiranların idaresinden kurtularak tekrar demokrasiye kavuşmaları ile son bulmuştur.
Grek antik çağından sonra, sonra "Klasik" antik Grek devri başlamıştır. Artık yerleşik bir uygarlık, deneyimli devlet idareleri, kolay okunup yazılabilen bir alfabe, doğuda Babil ve Mısırda değerlendirilmeyi bekleyen önemli bilgiler vardır. Bu dönemde, antik Grek bilgeliğinin başladığını görüyoruz. İzmirli Homeros’u yine Anadolu' dan Miletli (Gökova) Thales ve bunu Samos adasından matematikçi Pitagoras ve sayısız diğer büyük düşünürler izleyecektir. Fakat ülke tam rahat bir nefes alacak iken, bu sefer Pers istilasının karabulutları görülecektir. M.Ö. 449 da Pers Kralı Büyük Darius, Grek ülkesini istila etmek için harekete geçmiştir. Pers istilasını durdurmak antik Grekler için çok acılara neden olacaktır. Darius' un girişimi, Atina donanmasının Maraton' da kazandığı başarı ile sonuçsuz kalacaktır. Yine de daha üstün bir düşmana karşı güçlükle kazanılan bir başarı olmuştur. On yıl kadar sonra Darius' un oğlu Kserkses yeniden istila girişiminde bulunmuştur. Isparta kralı Leonidas' ın Termopillerde 300 askeri ile üstün kuvvetler karşısında, kendini feda ederek ile önlerini kesmesi ve Atina donanmasının Atinalı amiral Themistokles komutasında Salamis körfezinde üstünlük sağlaması ile, ikinci istila girişimi de önlenmiştir. Bundan bir yıl sonra Plataea kara ve Mikale deniz zaferi ile Pers kuvvetleri kesin bir yenilgiye uğratılmıştır. Salamis zaferi, antik Greklerin uygarlık yolunda ilerlemeleri ve Batı uygarlığının temellerinin atılmasının sağlanması açısından bir kader savaşı olarak nitelendirilmektedir. Büyük Atatürk sayesinde, bizler de bu ışıktan yararlananlar arasına katılmış bulunuyoruz. Perslerin çekilmesinden sonra, Makedonya kralı Filip II karşı atağı başlatmış, fakat bir saray darbesi sonunda öldürülünce, M.Ö. 336 da oğlu İskender III (Büyük İskender) (Alexandros o Megas) tahta geçmiştir. Büyük İskender 330 yılında Mısır' girmiş ve Aleksandria (İskenderiye) liman şehrini kurmuştur. Bu şehir, antik Greklerin, Mısır uygarlığının bilgilerini incelemeleri için bir köprü görevini yapacaktır. Aslında İskenderiye tam bir Grek koloni kentidir. Büyük Iskender, Mısırdan sonra Darius II yi yenmiş ve Babil'i almıştır. Darius II’ nin ölümü ile kendini Pers İmparatoru ilan etmiş, M.Ö. 330 da Babilde hastalanarak (gıda zehirlenmesinden olduğu sanılıyor) yaşamını kaybetmiştir.
Büyük İskenderin ölümü ile antik Grek tarihinde Helenistik devir başlamıştır. Bu devir, kültür ve bilgi birikiminin altın çağıdır. Helenistik devir M.Ö. 146 da Romalıların Grek ülkesini istila etmeleri ile politik olarak son bulacak, fakat antik Grek uygarlığı Roma idaresinde de aynen devam edecektir. Romalılar, Grek ülkesini işgal etmişler fakat Greklerin kültürel hegemonyasına girmişlerdir. Hristiyanlığın etkisinin artması, Roma İmpratorluğunün Hristiyanlığı kabul edip Doğu ve Batı Roma olarak 391 de ikiye ayrılması, Doğu Roma olarak tanınan Bizansta, düşünce özgürlüğünü kabul etmeyen Hristiyanlığın baskısının artması ile antik Grek kültürünün zor günleri başlamıştır. M.S.514 de, Birinci Konstantinus' un (Justinianus I), Atina Platon Akademisini Hristiyan öğretisinin gelişmesine engel oluşturduğu gerekçesi ile kapatması ile antik Grek kültürü anayurtta sona erecek, fakat Bizans ve diğer Hristiyan doğu kavimlerinde, özellikle Süryanî ve Nasturî toplumlarında devam edecektir. 1453 de Türklerin Bizansı alarak Bizans (Doğu Roma) imparatorluğunu sona erdirmeleri ile, antik Grek kültürü Avrupa' ya yayılarak Rönesans ve Reform hareketlerinin ateşleyicisi olacaktır. Aşağıda, çok tanınan Grek matematikçilerin yaşadıkları tarihler görülmektedir (http://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of _Ancient _Greek _mathematicians).
Büyük Grek Matematikçilerin Kronolojisi
Burada listelenen matematikçilerden sadece bazılarını bu çalışma çerçevesinde inceleyebileceğiz. İlk incelenenek olan matematikçi, hemşehrimiz olmasından büyük gurur duyduğumuz, Gökova da bugün su altında kalmış bir antik kent olan, Miletus' lu Thales olacaktır.
Thales
Thales M.Ö. VII inci ve VI ıncı yüzyıllarda, tahminen M.Ö. 624-546 yılları arasında, Batı Anadolu’da Bodrum civarında Miletus da yaşamıştır. Thales, dünyada oluşan doğal olayların mitolojiye dayanmadan açıklanması gerektiğini belirten ilk düşünür olmuştur. Thales, tanrıların dünya işlerine karışmadığını, doğal olayların nedenlerinin kendi içlerinde aranması gerektiğini belirtmiştir. Thales basit prensiplerden akıl yürütme (dedüksiyon) ile sonuçlar çıkarılmasını ve çıkarılmış olan sonuçların mutlaka akla uygun bir şekilde kanıtlanması gereğini belirtmiştir. Bu yüzden Thales, Matematik ve Felsefeyi ilk başlatan insan olarak tarihe geçmiştir. Thales doğa olaylarının gözlem yolu izlenmesi ve sınıflandırılmasını sağlık verdiği için, aynı zamanda “Bilimin Babası” olarak da kabul edilir. Thales’in kendi kuramı olan “Thales Teoremi” hem kendisi, hem de kendisinden üç yüzyıl sonra Euclides tarafından kanıtlanmıştır.
Thales, öğrenimini Mısırda yapmış, bir Mısırlı rahip tarafından yetiştirilmiştir. Babil’e de gitmiş olduğu söylenmektedir. Geometri bilimini, trigonometrik bilgilerini Mısırdan almıştır. Astronomi bilgilerini Babil’den almış olması olasıdır.
Mısır ve Mezopototamyadan kaynaklanan bilgiler, matematiğin güncel kullanımı üzerinedir. Thales bu bilgileri ilk olarak düşünsel düzeye yükselten kişidir. Bu yüzden, antik Grek matematiği, eski çağ matematiğinden ayrılır. Thales ile birlikte Matematik bir filosofi düzeyine yükselmiştir.
Thales, antik Grekte “Yedi Akıllı Adam” lardan biridir. Bir başka akıllı
adam olan Solon ile yakın dosttur.
Pers istilası sırasında Lidya kralı Krezüs’e danışmanlık yapmış, savaşta sırasında güneş tutulmasını tahmin etmiş, bundan yararlanarak bir barış yapılmasını sağlamıştır.
Thales, dünyanın temeli olarak suyu kabul etmiştir. Kendisinden sonra gelenler buna ateş , toprak ve havayı da ekleyerek “Yaşamın Dört Elementi” olduğunun kabul etmişlerdir. Aristoteles buna beşinci element olan “Aether” (Uzay)’yı da ekleyerek element sayısını beş’e çıkarmıştır. Bunlar sadece filosofik düşüncelerdir. Günümüzdeki periyodik cetvelde belirtilen elementlerle karıştırılmaması gerekir.
Thales, kendini ziyarete gelen genç Pythagoras’a öğrenim için Mısıra gitmesini öğütlemiş. Pythagoras bu öğüde uyarak Mısıra gitmiş, eğitimi sırasında, Perslerin Mısırı işgali ile Babil’e gönderilmiş ve orada müzik, matematik, astronomi konularında eğitim almıştır.
Thales, M.Ö. (548-545) yılları arasında yapılmış olan, 58 inci Olimpiyat oyunlarını izlerken, kalp krizinden ölmüştür.
Bu bilgilerden anlaşılabileceği gibi, tüm dünyanın kabul ettiği gibi, bizim de içinde olduğumuz “Batı Uygarlığı”, ülkedaşımız, Anadolu’lu Thales tarafından başlatılmıştır. Bugün Kanada (Québec bölgesinde) Thales adına kurulmuş uluslarası bir matematik araştırma enstitüsü bulunmaktadır. Bizler de kendisi ile gurur duymalı ve Milet yakınlarında, Thales adını taşıyan uluslararası bir üniversite ve araştırma enstitüsü kurmalıyız.
Burada kronolojiye bir ara vererek, olayları inceleyelim. Olayları iyi incelememiş olanların ileri sürdükleri gibi, herşey Antik Greklerle başlamış değildir. Grekler, büyük bir bilgi birikimini, yeni bakış açıları ile yorumlayıp genişlettikleri için her türlü övgüye hak kazanmış olan büyük bir ulustur. Bunu da ilk başlatan Anadolulu Thales’dir.
Pythagoras
Pythagoras, Samos adasında (Kuşadasının karşısında) doğmuş, M.Ö. (570
- 495) yılları arasında yaşamıştır. Gençlğinde Thalesin, sağlık vermesi
ile Mısıra gitmiş, Orada öğrenim görmüş, Persler' in Mısır'
ı işgal etmeleri üzerine, Babil'e gönderilip orada da matematik,
müzik bilgisi, astronomi öğrenmiştir. Tekrar Samos' a dönen Pythagoras,
40 yaşlarında İtalya nın Grek yarımadasına bakan güneydoğu kısmında,
bir Helenistik yerleşim olan "Magna Graecia" (Megali Helias)
(Büyük Yunanistan)' a göç etmiş ve orada ölmüştür. Pythagoras, kendisinden
sonra gelen biçok filosofu etkilmiştir. Matematik sözcüğü de kendi grubundan
kaynaklanmaktadır. Tarikatının önde gelenlerine “Mathematikoi” (Matematikçiler)
adı verilmekteydi. Pitagoras, kendi adı ile tanınan kuramı bulmuş ve
birlikte yaşadıkları tarikat arkadaşları da çok sayıda matematik kuram
ortaya koymuşlardır. Pitagoras müzik ile matematiği bağdaştıran ilk
düşünürdür. Pythagoras, büyük bir olasılıkla Babil matematik geleneğinden
etkilenerek, sayılara ve harmonilerine önem vermiştir. Henüz sadece
basit oranların bilindiği devirde, Pitagoras teoreminin uygulanması
sonucunda irrasyonel sayılar ortaya çıktığında, Matematikoi tarikatının
üyeleri çok zorlanmışlardır. Matematiğin ilk çelişkisi sayılan bu bulgunun
aslında doğal olduğu daha sonraları anlaşılacaktır. Pythagoras'
ın tarihte en çok esinlenilmiş isim olduğu ileri sürülmektedir. Özellikle
Platon' u, Euclides' i ve diğer antik Grek filosoflarınını etkilemiş,
tarikatının gizli kuruluş sistemi, mason localarınca ve başka kamuya
açık olmayan kuruluşlarca örnek alınmıştır.
.
Heraklitus
Efes te M.Ö. (535 - 475) arası yaşamış olan Heraklitus, sürekli değişime dikkat çekmiş, ve "Logos" (sözcük, ifade şekli) adını verdiği ve evrenin ilişkilerini oluşturan bir etken olduğu düşüncesini geliştirmiştir. Lojik sözcüğü ondan kaynaklanmaktadır. Heraklitus' un en önemli tümcesi, "Bir nehirde, iki kez yıkanılmaz" olarak açıkladığı, evrenin sürekli değişimine işaret ettiği düşünce olmuştur.
Parmenides
M.Ö. 6 ve 5 inci yüzyıllar arasında Elaides (Magna Graecia) da yaşamış olan Parmenides büyük bir şair ve filosoftur. Latince Magna Graecia (okunuşu. magna greçya) olarak adlandırılan bölge, Napoli (nea Polis) ‘e kadar Tüm güney İtalya ve Sicilyayı içeren Helenistik bir yerleşimdir. Elaides (Helaides), Pers istilasından kaçan Foça (Phokea) lılar tarafından, Foça ile aynı enlemde Tirenyen denizi kenarında oluşturulmuş, bugünkü adı Velia olan bir helenistik yerleşimdir. Parmenides "Doğa Üstüne" adındaki uzun şiirinde, sadece görüntülerin değiştiğini, evrenin değişmez bir oluşumdan kaynaklandığını, insanın da bu oluşumun bir parçası olduğunu belirtmiştir. Parmenides, nesnelerin gerçek varlıklarına önem vermiş ve hareketliliği fazla önemsememiştir. Parmenides, Elaides düşünce sitemini oluşturmuş ve çok ünlü bir filosof ve matematikçi Elaides' li Zeno' yu (Ksenon) yetiştirmiştir.
Zeno
Elaidesli Zeno (Zenon, Ksenon) olarak da tanınan Zeno, M.Ö. 500 yıllarında Elaides (Magna Graecia) (Megali Helias) da yaşamıştır. En önemli çalışması, "Aşil ve Kaplumbağa" çelişkisi (paradoks) udur. Aşil, kaplumbağaya bir avans verir ve yarışırlar. Aralarındaki aralık çok kısalmasına karşın Aşil, kaplumbağayı asla yakalayamaz. Bu çelişki matematikçileri çok düşündürmüştür. Çözümü bugün bile tartışmasız olarak bulunabilmiş değildir. Çözüm için limit, sıfır ve sonsuz tanımları üzerinde anlaşılması gerekli olmaktadır. Bu çelişki üzerine d' Alembért, Bolzano ve Weirstrass çalışmışlardır. Aristoles’in belirttiğine göre, Elaides' li Zeno, ileride Sokrates tarafından geliştirilecek, diyalektik düşünce yöntemini ilk olarak ortaya atan filosof olmuştur.
Empedokles
M.Ö. (480 - 420) arasında yaşamış olan Empedokles, Thales' in yaşam kaynağı olarak gösterdiği suya hava, toprak ve ateşi de ekleyerek, evrenin oluşumunun dört elementten kaynaklandığını ileri sürmüştür. Bu dört element (Philotes = Dostluk) ve Neikos (Kavga) arasındaki ilişkiye göre şekillenir. Philotes birleştirici, Neikos ayrıştırıcı bir etki gösterir. Total birleşim Parmenidesin birleşik, total ayrışma ise Heraklitusun ayrık dünyalarına denk gelir. Empedokles' e göre her iki etken de evren için gereklidir. Empedokles' in ileri sürdüğü "İyi" ve "Kötü" karşıtlığı, Newtoncu fiziğin temelini oluşturur. Bunun ilk pratiğe yansıması, Archimedes' in "Kaldırma Kuvveti" prensibi ile başlar. Bu düşüncenin Çin inanışı "Yang" ve "Yin" ler ile de benzeştiği düşünülebilir.
Demokritos
M.Ö. (460 - 370) lerde, Abdera' da yaşamıştır. Demokritos çağına göre inanılmaz sayılan atom kuramını ilk düşünen kişidir. Atom (a - tomesis) (kesilemeyen) sözcüğünden kaynaklanmaktadır. Demokritosa göre, evren yaşam ve yaşam karşıtlığı (boşluk) arasındaki denge ile şekillenmektedir. Atomlar, kesilemez, kaybolamaz, birbirlerinin aynı parçacıklardır ve sürekli hareket halindedirler. İnsan ve eşyaların yapısı, atomlar ve boşluk arasındaki dengeden kaynaklanmaktadır. Bu kuram, Parmenidesin durağan, Heraklitus' un sürekli hareket halindeki evreni arasında bir sentez sayılır. Atom kuramı ile ilgili çalışmalar, yüzyıl sonra Epikür ile devam edecektir. Demokritos, Sokrates ile aynı zamanda yaşamıştır. Sokrates ile Atina' da görüşmüş olabileceği düşünülmektedir. İnsanın kendi içinde "İyi" ve "Kötü" yü taşıdığı, ve kötü bir şey yapılınca herşeyden önce kendi içinde utanç yaşandığını belirtmiştir. Bu düşünceleri Sokrates ile aynı yöndedir.
Protogoras
Protogoras, M.Ö. V inci yüzyıl da (480 - 402) Trakya' dan gelerek Atina' da yaşamış ve Atina' yı batı uygarlığının merkezi haline getirmiş etkili bir düşünürdür. Düşünceleri, “Sofizm” adı verilen bir düşünce ekolü oluşturmuştur. Sofistlere göre, evrenin tanınması insanların tanıma yetenekleri ile sınırlıdır ve tanıdıklarının yargılama olanaklarının farklılığı genel tanımları olanaksız hale getirir. Her olayın merkezinde insan vardır."Sofos" ergin, akıllı, bilgili insan anlamında kullanılan bir sözcüktür. Sofizm bilgelik yoludur. Bir tür Budizmin "Nirvana" sıdır. Sofizm, düşüncede rölativizm getirir. Bu düşünceler ileride hümanizm ve şüpheciliği doğuracaktır. Sofistler, Atina'da iyi yetişmek isteyen gençler için pahalı eğitim kurumları kurmuşlar, bu ilkesizlikleri, "filosofi" lerini tartışılır hale getirmiştir. Bu konuda, Sokrates ve Platon sofistleri eleştirmişlerdir. İleri düzey yöntemlere "Sofistike" (Bilgece) denilmesi sofistlere vurgu yapılmak istenmesinden kaynaklanmaktadır.
Sokrates
M.Ö. (469 - 399) arası yaşamış olan Sokrates doğuştan Atinalıdır ve hiç tartışmasız filosofinin en tanınmış ve seçkin isimlerinden biridir. Kendisi hakkında bilgiler, öğrencisi ve takipçisi Platon dan kaynaklanmaktadır. Sokrates, babası gibi bir taş işçisidir ve Partenon tapınağının kabartmalarında emeği olduğu söylenir. Aynı zamanda bir asker ve siyasetçidir. Sokrates, diyalektik yöntemini geliştirmiş ve doğanın ilişkilerini saptamak için diyalektiği uygulamıştır. Yöntemleri, günümüz sol düşünüşünün, diyalektik meteryalizm yöntemi üzerine etkili olmuştur. Platonu yetiştirmiş ve hayranlığını kazanmıştır. Bir tümcesini tüm eğitimciler kural olarak benimsemelidir. Sokrates, "Öğrencilerine saygı göstemeyen bir öğretmen, hiçbir şey öğretemez" demiştir. Bilgisini maddi varlık edinme aracı olarak kullanmamış, daima haklı ve ezilenlerden yana olmuştur. Sokrates' in düşünceleri, Atinanın hakim sınıfları üzerinde rahatsızlık yaratmış, pazar yerindeki konferanslarında, bilgeliğe önem vermesi ve zenginliği önsemez söylemleri, bilgeliğini değerlendiremeyen, dar görüşü karısının ulu-orta gereksiz konuşmaları, kendisi üzerindeki hoşnutsuzluğu arttırmış ve bir gün tanrılara saygızlık yaptığı gerekçesi ile tutuklanmıştır. Söylentilere göre yaşamını bitirmek amacı ile, Sokrates bilerek zayıf bir savunma yapmış, bu yüzden de dünyanın en dramatik ve adaletsiz kararı olarak kabul edilen Sokratesin idam kararı verilmiş, baldıran zehiri ile yaşamına son verilmiştir. Son sözleri, öğrencisi Kriton' a "Asklepiyona bir horoz borcumuz var, unutma borcumuzu öde" olmuştur. Tanrılara saygısızlıkla suçlanan bir bilge kişinin, tanrılara saygısı, yüzyıllar boyu takdire değer bulunmakta ve Sokrates her zaman saygı ile anılmaktadır.
Platon
Platon M.Ö. (428 - 348) yılları arasında Atina' da yaşamış, batı uygarlığının temel taşı olan bir filosoftur. Etik, lojik, din ve matematik konularında, geniş bir alanda çalışmalar yapmış, kitaplar yazmış ve dünyaya büyük ve değerli bilgiler bırakmıştır. Platon, görünen cisimlerin soyut ve ancak akılla bulunabilecek "İdea" lardan oluştuğunu, ideaların olayların oluşumunu ve anlamını sağladığı, en üst düzey idea' nın "İyilik" olduğunu belirtmiştir. Bunun tanrısal bir düşünüş olduğu ileri sürülmektedir. Platon' u etkilemiş olan isimlerden birisinin Sokrates, diğerinin de Pythagoras olduğu belirtilmektedir. Sokrates gibi, diyalektik yöntemini kullanmış ve bu şekilde insanlarının bilincini açarak iyiyi bulmasına olanak sağlamaya çalışmıştır. Pythagoras' tan ise düzen fikrini almıştır. Platonun önemli yönlerinden birisi Atina akademisini kurmasıdır. Platon' un akademisi, Atina dışında geniş bir arazide kurulmuştur. Akademi ismi değişik kaynaklara göre, bir savaş kahramanı veya arazinin eski sahibinin ismidir. Akademi ismi bundan sonra, yüksek öğretim kurumlarına verilen isim olmuştur. Akademinin ilk mezunları arasında Aristoteles de bulunmaktaydı. Akademi, uzun yıllar çok iyi hizmet vermiş ve çok değerli insanlar yetiştirmiştir. Akademi M.S.529 yılında Bizans İmparatoru I inci Konstantin (Justinianus I) tarafından, Hristiyanlığın gelişmesine engel olduğu gerekçesi ile kapatılmıştır. Bu tarih antik Grek kültürünün anayurtta sona erdiği tarihtir.
Euxodus
Batı Anadoluda Knidus kentinte doğan, (M.Ö. 408 - 355) yılları arasında yaşayan Euxodus, Atina Akademisinin ilk mezunlarındandır. Kendi adı ile anılan "Exhaustion" metodu ile bilinmeyen bir yüzeyin alanını, alanı bilinen geometrik figürlerle doldurmuş ve bunları gitgide küçülterek, yüzeyin çok yaklaşık bir alanını hesaplama olanağını ortaya çıkarmıştır. Bu yöntem ileride, Sabit bin Kurra tarafından geliştirilecek ve günümüzdeki belirli integral hesaplama yöntemini oluşturacaktır. Euxodus, orantılarla ilgili çalışmalar da yapmıştır. Günümüzde araçların “Exhaust” (Eksoz) sistemlerinin adı, “Exhaustion” metodu anısına konulmuştur.
Euclides
Euclides' in yaşamı hakkında fazla bir bilgi yoktur. Genel olarak kabul edilen bir görüş kendisinin Platon' un Akademisinden Euxodus ile birlikte mezun olduğu ve Ptolemeus Soter zamanında (yaklaşık M.Ö. 300) Mısır, Alexandria' ya yerleşerek "Museion" (Muze' lerin yurdu) (latince "Museum") adlı bir matematik okulu kurmuş olduğudur. Museum, Tanrı Zeus' un güzel müzik çalarak insanlara sevgi ve esin veren melekleri "Muses" adına kurulmuştur. Bugünkü Müze sözcüğü de oradan kaynaklanmaktadır. Euclides, "Elements" (Elementler) adı verilen tüm zamanların en çok okunan Matematik ve Geometri kitabını yazmıştır. Elementler 13 kitaptan oluşmakta, zamanından önce bilinen tüm bilgileri, tanım (aksiyom), kuram (teorem) ve kanıt olmak üzere, tam bir matematik kesinlikle açıklamakta ve günümüzde de geçerli birçok bilgiyi içermektedir. Euclides' in Elementlerini başta Araplar ve Türkler olmak üzere birçok ulus okumuş ve yararlanmıştır. Elementlerin 1482 de ilk baskısının yapılmasından sonra, binden fazla yeni bakısı yapılmış ve tüm zamanların en çok okunan kitabı olarak ün kazanmıştır. Bu popülarite, Euclides' in "tüm zamanların en büyük öğretmeni" olarak tanınmasına neden olmuştur. Elementler, 20 inci yüzyılın ortalarına kadar, liselerde standart matematik kitabı olarak kullanılmıştır. Günümüzde, Clarke üniversitesinden Prof.David E.Joyce, Internet ortamında bu kitabı yeniden okurlara sunmaktadır. Museum matematik okulu, yüzyıllarca açık kalmış, her milletten öğrencilere açık olmuş, Mısırda daha sonraları egemen olmuş Romalılar da bu okulu desteklemişler, tahsisat sağlamışlardır. Hristiyanlığın ağırlık kazanması ile bu okul Hristiyanların düşüncesine uymadığı için giderek zor günler yaşamış, yine de eğitim faaliyetlerine devam etmiştir. Sonuçta Roma İmparatorluğu Hristiyanlığı kabul etmek zorunda kalmış ve Doğu - Batı Roma İmparatorluğu olarak ikiye ayrılmıştır. Museum M.S. 421 de Hristiyan aşırı dincilerin saldırısı ile kapanmış, bu saldırı sırasında dünyanın ilk kadın matematikçisi olarak Museum da ders veren Hepatia ne yazık ki yasadışı bir aşırı Hristiyan tarikat üyelerince kaçırılarak bir kilisede katledilmiştir.
Aristoteles
Aristoteles M.Ö. (384 - 322) Trakya' da, Makedonya sınırına yakın Stagira kentinde doğmuş, onyedi yaşında Atina Akademisine girmiş, yirmisekiz yaşında Akademiyi terketmiştir. Platonun öğrencisidir. Büyük bir eğitimci ve araştırıcıdır. Makedon Kraliyet Akademisinin başına getirilmiş, Büyük İskender ve daha sonra birer Kral olan Ptolemaus (Ptolemaus Soter) (Ptolemée Le Sauveur) (Kurtarıcı Ptoleme) ve Kassander (Kassandros Antipatriu) nun öğretmenliğini yapmıştır. Büyük İskender' den sonra, Ptolemaus Soter Mısır, Kassandros da Grek kralı olmuşlar, her üçü de iyi önderler olmuşlardır. Atina' da, Lyceum (Liseum) (Lise) adında bir eğitim kurumu kurmuştur. Çalışmaları, Biyoloji (Zooloji ve Botanik), Fizik, Metafizik, Lojik, Etik, Estetik, Şiir, Retorik, Linguistik, Tiyatro, Müzik, Politik, Devlet İdaresi gibi geniş bir alanı kapsamaktadır. Aristoteles, Platon ile birlikte, önce İdealizmi benimsemiş, Platondan sonra, Ampirizm' e yönelmiştir. Algı (Perception)' u üstün tutmuştur. Aristoteles, mantığın ilk kurucusu ve bilimsel mantığın ilk uygulayıcısı olarak kabul edilir. Lojik (mantık) çalışmaları, M.S. ondokuzuncu yüzyıla kadar tam olarak geçerli olmuş, ancak ondan sonra, modern "matematik lojik" ile birleşmiştir. Kant, Aristoteles' in mantık kuramlarını, tümdengelimsel bilgilenme (dedüktif inferans)' ın temelini oluşturduğunu belirtmiştir. Aristo' nun geliştirdiği lojik sistematiği "sillojizm" olarak adlandırılmıştır. Sillojizm prensip olarak, bazı gerçeklerin ışığında, sadece bu gerçeklere bağlı olarak başka gerçeklerin de oluşabileceğini belirten bir söylemdir. Örnek olarak en çok verilen örnek, " Sokrates bir insandır, insanlar ölümlüdür, demek ki Sokrates de ölümlüdür". İki bilinen gerçekten tümdengelimsel akıl yürütme (dedüktif inferans) ile bir sonuç çıkarma yöntemidir. Aristoteles özellikle lojik için kullanılan önermelerin düzeni (form) ile ilgilenmiştir. Aristoteles için, önerme (proposition), sözcüklerle açıklanan akıl yürütme kurallarıdır. Aristoteles, bilimi gözlem, akıl yürütme ve önermelerin toplamı olarak açıklamıştır. Onun için bilim, tüm bilinenlerin, ilk prensiplerden başlayarak, gerekli olduğu gibi oluşmasıdır. Aristoteles bilim için, tümevarımsal bilgilenme (indüktif inferans)' ın, tümdengelimsel (Platoncu) yöntem yanında ihmal edilmemesini söylemiştir. Platoncu düşünüşte, evrensel oluşumlar "idea" lardan başlar ve özel oluşumlar ideaların bir prototipi olarak kabul edilir. Idealar bir özel oluşuma bağlı olmadan da bir fikir olarak ideal bir dünyada bulunabilirler. Dolayısı ile Platoncu yöntem, tümdengelimsel ağırlıklı bir yöntemdir. Aristocu yöntem ise, tüm ideaların örneklenmesi, gerektiğini belirtir. İdeal formlar, örnekleri içinde bulunurlar. Aristoteles, özel oluşumlardan genel prensipleri akıl yürütme yolu ile çıkarılabileceğini belirtir. Aristotelesci yöntem, hem tümevarımcı (indüktif) hem de tümdengelimci (dedüktif) bir metottur. Bu metot, ufak değişikliklerle günümüzün bilimsel metodu ile aynıdır. Bu yüzden Aristoteles modern bilimin babası olarak kabul edilmektedir. Aristoteles kendi doğal olayları değerlendirme yöntemi ile jeoloji üzerine, optik üzerine, zooloji (balık ve deniz memelilerinin taksonomisi hakkında Midillli adasında) araştırmalar yapmış ve yayınlamıştır. Aristotles, çelişkilerden kurtulma, veya çelişkilerin önlenmesi olarak adlandılan prensibi (principe de la non - contradiction)' nu ortaya koymuştur. Bu prensip, "Bir şey eğer bir seye ait ise, aynı zamanda, bu şey aynı şeye ait değil olamaz" şeklinde açıklanabilir. Aristoteles, üçüncü olasılığın kabul edilmezliği (principe du tiers éxclu) prensibini de ortaya koymuştur. Bu prensip "Bir şey, ya yanlıştır, ya da doğru, başka bir olasılık olamaz" şeklinde açıklanmaktadır. Aristo' nun mantık üzerine yazdığı (Analitika Protera) (Latince Analitica Priora) (Analitik Öncesi) kitabı, tümdengelimsel akıl yürütme (deductive reasoning) (syllogistic reasoning) yöntemlerini incelemektedir. Tüm mantık çalışmaları daha sonra "Organon" adlı eserde toplanmıştır. Aritoteles' in görüşleri, Judeo - İslamik teolojik kuramda önemli yer tutar. Araplar kendisine (İlk Öğretmen) anlamına gelen "Muallim-i-Evvel" demişlerdir. Hristiyan teolojisi de, özellikle ortaçağdaki skolastik devirde, yeni düşünceleri önlemek ve Hristiyanları baskı altında tutmak için, kendilerine göre yorumladıkları bir Aristo Mantığını kullanmıştır.
Archimedes
Archimedes M.Ö. (287 - 312) arasında Sicilya' da Hellenistik bir kolonide yaşamıştır. Museum mezunu olduğu, veya en azından Museum da bulunduğu kabul edilmektedir. Archimedes, tüm zamanların en iyi matematikçisi olarak kabul edilmektedir. Mekanik ve Fizik kurallarına matematik kesinlik sağlamaya çalışmıştır. Mekaniğin Euclides' i olarak kabul edilir. En büyük katkıları ise Matematik disiplininde olmuştur. Euxodus tarafından tanımlanan, fakat yazılı hiçbir kaynak bulunmayan "Euxostion" metodunu uygulayan ve bu metodu geliştiren Euxodus' u dünyaya tanıtan Archimedes' tir. Archimedes, exhaustion metodu ile π sayısını virgülden sonra 3 ondalığa kadar doğru değerini vermiştir. Ayrıca Archimedes Spiralini de tanıtmıştır.
Apollonius
Perga' lı Apollonius, M.Ö. (262 - 190) yıllarında yaşamıştır. Perga, Antalya yakınlarında gelişkin bir Helen kolonisidir. Apollonius, konik kesitler üzerinde çalışmalar yapmış, buluşları, ilerde yıldız yörüngeleri üzerine yapılacak çalışmalara temel oluşturmuştur. Isaac Newton bu çalışmalardan yararlanmıştır. Uzay geometrisini başlatmış, parabol, elips ve hiperbol adlarını ortaya atmıştır. Konikler adı taşıyan kitabı, iyi saklanmıştır. Koordinat sistemleri hakkında oluşturduğu bilgiler ileride Analitik geometri konusunda çalışmalar yapan Descartes' a esin verecektir.
Erastothenes
M.Ö. (276 - 174) yaşamış olan, Kireneli Erasthotenes, asal sayıların hesaplanması için, "Erastothenes Eleği" olarak adlandırılan bir yöntem geliştirmiştir. Bu yöntem halen kullanılmaktadır.
Hipparchus
Nikea (Zafer Şehri) (İznik) li Hipparchus, M.Ö. (190 - 120) Yılları arasında yaşamış ve trigonometrinin babası olarak adlandırılmıştır. 360 derecelik trigonometrik tabloları oluşturmuştur. Adına aydaki oluşumlardan birisi "Hipparchus Çemberi" olarak adlandırılmıştır.
Heron
Alexandria (İskenderiye) li Heron, skalen üçgenin alanının hesaplanabilmesini sağlayan "Heron Formülü" nü bulmuştur.Ayrıca negatif sayıların karekökleri olabileceğini de ilk açıklayan matematikçidir.
Menelaus
Alexandria (İskenderiye) li Menelaus, yaklaşık M.S. 100 yılarında yaşamış ve "Menelaus Kuramı (Teoremi)" ni bularak, küresel trigonometrinin temellerini atmıştır.
Claudius Ptolemaios
Claudius Protelemaios (Batlamyos) M.S. (85 - 135) yıllarında Museum da yetişmiş bir matematikçidir. Astronomik gözlemlerin sistematik incelemesini yapmış, inceleme yöntemlerini kuramsallaştırmıştır. Dünya çevresindeki gezegenlerin dairesel bir yörünge izlediklerini ortaya koymuştur. Yazmış olduğu "Mathematike Syntaxis" (Matematik Koleksiyonu) adlı kitaba Araplar "Al-Kitab-û-Almajistî (antik grekçe " magiste " = en büyük, en büyülü), Avrupalılar " Almagest " (en büyük, en büyülü) (Fr. Magique, okunuşu: majik, büyülü) adını vermişler ve bu kitaptaki yöntemler, hem islam aleminde, hem de Avrupa da, uzun süre yararlanılacak kitaplar arasında kalmıştır.
Ptolemaios kendi adı ile tanınan " Ptolemaios Kuramı " nı bulmuştur. Bu kuram ile trigomoterik büyüklükleri ve π değerinin 3.1416 olduğunu hesaplamıştır. Bu değer o günkü dünyada bulunmuş olan duyarlıkta ikinci π değeridir. En duyarlı olarak hesaplanmış π değerini, 5 ondalıkla Çinliler bulmuştur.
Burada, kronolojiye biraz ara verip olayları incelemeye çalışalım. Claudius Protelemaios, etnik olarak tam bir grek, fakat bir Roma vatandaşı ve çakma Romalıdır. Kitabında büyük bir bilgi ile incelemiş olduğu gözlemler, Babil kaynaklı gözlemlerden başka bir şey değildir. Ptolemaios, bu büyük bilgi hazinesini, bu hazineye yakışan bir bilgelikte incelemiş ve yorumlamıştır. Bu şekilde, Babil gözlemevinin kayıtları ilerideki nesillere aktarılabilmiştir. Bu yapıtı ile insanlık olarak kendisine büyük teşekkür borçluyuz. Burada incelenen Babil gözlemevi kayıtları, Sümer kayıtlarını içermekte ve prensip olarak Sümer astronomik sistemine dayanmaktadır. Bu durumda, aktarılan bilgiler, büyük ölçüde Sümer kaynaklı bilgilerdir ve her uygarlık bu bilgilere yeni öğeler ekleyerek insanlığın bilgi dağarını arttırmıştır. Dolayısı ile insanlığın kazanmış olduğu bilgilerin orijinalinin Sümer kaynaklı olduğu kesindir. Antik Grek bilgeliği, hiçbir şeyi hiç yoktan yaratmamış, fakat oluşmuş bilgileri yeni bir görüş açısı ile yorumlayarak insanlığın o güne kadar göremediği ilişkileri açığa çıkarmıştır. Bu açıdan kendilerine çok şey borçluyuz.
Kitab’ül Majisti, İslam aleminde yüzyıllar boyunca incelenmiş, üzerine şerhler yazılmış, tartışılmış ve gitgide daha mükemmelleştirilmiştir. Bu kitabın değerinin anlaşılması için önemli bir olay, Istanbul’un Araplar tarafından kuşatılmasının kaldırılması için yapılan barış anlaşmasında, Arap tarafının bu kitabın orijinalini istemesi olmuştur. Bu şekilde, bilimin değerini bilen o zamanki Arapların isteği, Kitab’ül Majisti’ye, tüm dünyada barış anlaşması koşullarında geçen ilk ve son kitap olma niteliğini kazandırmıştır.
Diophantus
Diophantus, Alexandria (İskenderiye) lidir ve M.S. 200 lü yıllarda 84 yıl yaşadığı ve eserlerini M.S. 250 yıllarında yazdığı düşünülmektedir. En önemli eseri " Arithmetica " dır fakat ancak az bir kısmı bulunabilmiştir. Bulunan kısımlarını Hypathia'nın topladığı düşünülmektedir. Diophantus cebirin babası sayılmaktadır. Cebirsel denklemlerle çalışmıştır. "Diophantin Analizi" bugün matematiğin önemli araştırma alanlarından biridir. Pierre de Fermat, ancak yeni kanıtlanabilmiş ünlü konjektürünü, Diophantus'un "Aritmetika" kitabında verilmiş olan, bir karenin, iki kareye bölünmesi problemini genişleterek bulmuştur.
Diophantus aynı zamanda, cebirsel notasyonunun bulucusu ve uygulayıcısıdır. Aritmetika'nın bulunabilen kısımlarını, Eb'ul Vefa Arapça'ya çevirmiştir.
Theon
Alexandria (İskenderiye) li Theon M.S. 4 üncü yüzyılda İskenderiyede yaşamış, Astronomik gözlemler yapmış ve Museum'un kitaplığını düzenlemiştir. Euclides'in " Elementler " adlı kitabını toplamış, yine Euclid'e atfedilen " Optik " kitabının ikinci cildini yazmıştır. Aynı zamanda kızı Hypathia ile birlikte Ptolemaios' un "Astronomik Kanun" kitabı üzerinde çalışmışlardır.
Theon, "Astrolab" (Usturlab) (Sextant) (Astro = Yıldız, Labo = elde etmek , çalışmak, emek vermek [grekçe]) adlı gözlem ölçüm aracının dahasonraki kuşaklara kalması için bu aracının tam olarak kullanımını açıklamıştır.
Günümüzde, bir ay kraterinin adı " Theon Junior " olarak Teon'un anısına adlandırılmıştır.
Hypathia
Theon' un kızı, dünyanın ilk kadın matematikçisidir. M.S. (350 - 415) yılları arasında İskenderiyede yaşamıştır. Atina Akademisi mezunudur. Yeni Platoncu düşünüşü benimsemiştir. Uygulamalı matematik konusunda kitaplar yazmış, Museum da ders vermiştir. İskenderiye kitaplığında babasından sonra çalışmış, Ptolemaios'un "Astronomik Kanun" larını düzenlemiştir. 415 yılında, İskenderiye Piskoposu Cyril'in kışkırttığı aşırı dinci Hristiyanlar tarafından "herésie" (sapkınlık) ile suçlanarak yasadışı bir şekilde gizlice kaçırılarak öldürülmüştür. Çok geniş düzenlemeleri ve Euclid, Apollonius, Ptolemaios'un eserleri üzerine yorumları vardır. Pteolemaios'un gözlemleri üzerine, " Astronomi Yasaları " adlı kitabı yazmıştır. Eserlerinin pek azı günümüze ulaşabilmiştir.
Hypathia'nın anısına, 1884 yılında keşfedilen bir astroide, " 238 Hypathia " adı verilmiştir.
Museum ve Atina Akademisinden Sonra
M.S. 415 de Museon , 529 yılında da Atina Akademisi kapanınca, antik Grek uygarlığı sona ermemiştir. Bilginler, Ortadoğu, Avrupa ve Bizans'a geçip çalışmalarına devam etmişlerdir. Giderek artan Hristiyan baskısı, çalışmaların azalmasına neden olmuş, fakat eğitimi durduramamıştır. Özellikle Bizans'ta eğitim özel olarak devam etmiş, birçok Avrupalı öğrenci, örnek olarak Fibonacci, Bizans'ta öğrenim görmüştür. 1453 de, Türklerin Bizans'ı ele geçirmesi ile birlikte bu bilginler, kitapları ile birlikte Avrupa kentlerine dağılmışlar, orada yeni bir uyanışı oluşturarak kilise baskısına karşı çıkmışlar ve " Yeniden Doğuş " anlamına gelen " Renaissance " (Rönesans) hareketini başlatmışlardır. Rönesans hareketine, antik Grek kültürünü özümsemiş, oluşturulmuş bilgileri yeniden yorumlayan ve bunlara büyük katkılar yapan, İbni Sina (Avicenna), İbni Rüşt, Ömer Hayyam gibi İslam intelligentsia'sının etkileri de asımsanmayacak kadar büyük olmuştur. Bu şekilde, antik Grekler tarafından geliştirilmiş olan dünya bilgi birikimi, "Evrensel Kültür"'e dönüşmüş, bilimin milliyeti kalmamış, tüm dünyanın ortak kültürü haline gelmiştir.
1.3.5 - Çin Uygarlığı
Çin bayrağı, dik bir çizgi ile ikiye bölünmüş dörtgenimsi bir yüzeydir. Bunun anlamı, Çin’in dünyanın yarısı olduğunun belirtilmesidir. Belirtilmeyen kısmı ise, Çin’in dünyanın diğer kısmına kapalı olmasıdır. Çinde matematik ülke ( Çin yarıküresi) içinde gelişmiş, fakat dış ülkelerdeki gelişmeler antik çağlarda Çin’e yansımamıştır.
Matematik konusunda eldeki ilk yazılı eser M.S. 146 da yazılan “ Matematik Sanatının Dokuz Bölümü” adlı eserdir. Bu kitapta, Dik üçgenler, Pitagoras’ın kuramının kanıtı ve π sayısı bulunmaktadır. M.S. 3 üncü yüzyılda bu kitap geliştirilmiş ve π sayısı, 5 haneye kadar hesaplanmıştır. M.S. 5 inci yüzyılda ise, Zhu Chongzi π sayısını 7 haneye kadar hesaplamış ve daha 1000 yıl, bu değerden daha iyisi hesaplanamamıştır. Aynı düşünür, daha sonraları Cavalieri prensibi olarak adlandırılacak, bir kürenin hacmının bulunması formülünü de açıklamıştır.
Pascal üçgenini 1100 yılında bulmuşlar, 13 üncü yüzyılda denklem çözümleri, kombinasyon analizi gibi konuları incelemişlerdir. Bu tarihten sonra, Çin bilgilenme çalışmaları durgunluğa girmiş, bu yüzden çok toprak ve savaş kaybetmişler, 20 inci yüzyılda evrensel kültüre katılmışlardır. Düşünürler, Çin’in gerilemesinin sadece ikiyüz yıldan beri oluştuğunu ve o zamana kadar Çin’in dünyanın en ileri bilim ve teknoloji ülkesi olduğunu, kısa sürede kendilerini toparlayacaklarını belirtmişlerdir. Bu öngörüler doğru çıkmış ve Çin eski görkemli günlerine kavuşmuştur. Bugün uzay ve nükleer güce sahip bir Birleşmiş Milletler Güvenlik Kurulu sürekli üyesidirler ve kendilerini hiçbirşey durduramamaktadır.
1.3.6 - Hint Uygarlığı
Hint yarımadası bir diğer dışa kapalı kültürdür. Hint toplumu, aynen eski Mısır toplumu gibi katmanlara (Kast) ayrılmış ve kültür sadece Brahman ve tüccarlar gibi üst kastlarla sınırlı kalmıştır. En eski kaynaklar Mezopotamya etkisini belirtmektedir. M.S. 5 inci yüzyıl kuvvetli Hellenistik etkiyi yansıtır ve Ptolemaius trigonometrisinin özümsenmiş olduğunu gösterir. Sinüs (jiya) ve kosinüs (kojiya) Sanskritçeden gelmektedir.
M.S. 5 inci yüzyılda yazılmış olan Aryabhata, astromi ve matematik bilgileri içerir. Bu kitap, tümdengelimsel bilgilenmeyi gözardı ettiğinden kısmen yanlıştır. Birkaç yüzyıl sonra Birunî bu kitap için, değerli ve değersiz taşların bir arada oldukları bir kitap nitelendirilmesini yapacaktır.
M.S. 7 inci yüzyılda Brahmagupta, Hint sayı sistemini, sıfır sayısı ile birlikte oluşturur. Bu sistem, Türk asıllı Harzemli tarafından Bağdada taşınacak ve Hint-Arap sayı sistemi adı altında tüm dünyanın matematik temelini oluşturacatır. Hint-Arap sayı sistemi, İslam matematikçileri tarafından M.S. 1100 lü yıllarda Avrupa’ya taşınacak ve Rönesanstan başlayarark moden matematiğin temelini oluşturacaktır.
Hint yarıkıtasında, 900 lü yıllarda Fibonacci sekansı, Matris oluşumları, Pascal üçgeni bulunur.
M.S. 12 inci yüzyılda Hint yarıkıtasının güneyinde yaşayan Bhaskara II matematik üzerine inanılmaz yayınlar yapar. Bunlar, sonsuz sayılar, türevler, ortalama değer kuramı, sinüs fonksiyonunun türevini kapsamaktdır. Bu bilgiler yarıkıta dışına yansımamıştır.
M.S. 14 üncü yüzyılda Madhava yarıkatanın güneyinde “Kerala Matematik Ekolü” nü oluşturur. Burada, Madhava - Leibniz serieri ile π sayısı 3.14159265359 olarak hesaplanır. Madhava - Gregory serieri ile arktanjant, Madhava- Newton kuvvet serileri ile sinüs kosinüs değerleri ve Taylor yaklaşımları hesaplanmıştır. Kerala ekolü 16 ınci yüzyıla kadar devam etmiş, fakat bilgileri dış dünyaya yayılmamıştır.
!6 ıncı yüzyıldan sonra başlayan Portekiz ve İngiliz emperyalist istilaları, Hint sosyal yaşamında büyük bir kargaşa ve politik istikrarsızlıklar yaratmış, bu nedenle bilimsel çalışmalar büyük ölçüde azalmıştır.
Özgürlüğe kavuştuktan ve Hindistan Cumhuriyetinin kurulmasından sonra, Hint bilimsel çalışmaları büyük ivme kazanmıştır. Günümüzde, eğitim, teknolojik uygulama ve bilimsel yayınlarda dünyanın en gelişmiş ülkeleri ile yarışmaktadırlar.
1.3.7 - İslam Dönemi
Araplar, Ortadoğunun otokton semitik halklarındandır. Önceleri çok tanrılı Sümer dininin etkisinde iken, M.S. 7 inci yüzyılın ilk çeyreğinde, İslam dinini kabul etmişler ve 8 inci yüzyıl başlarında Ispanya'dan Hint ve Çin sınırlaraına uzanan bir alanda egemenlik kurmuşlardır. Emevî halifeliğinde Şam (Damascus), Abbasî halifeliği zamanında ise Bağdat önemli bir bilim merkezi niteliği kazanmıştır. Bu özellikler bugün için de geçerlidir.
İslamiyet, başlangıcından 12 inci yüzyıla kadar, son derece özgürlükçü, dinsel fanatizmden uzak, bilime açık ve istekli, çalışkan insanlardan oluşmaktaydı. Bu devirlerde, Hristiyan kilisesinin baskıcılığı nedeni ile batıda duraklayan bilgi birikimi, inanılmaz bir yoğunlukta doğuda devam etmiştir. Bu konuda, Ord. Prof. Dr. Hilmi Ziya Ülken geniş bir bilgi vermektedir. İslam kültür merkezlerinde (Dar'ül Hikme) (Bilgi Evi) her etnisiteden ve dinden (Mani dini dahil) bilim adamları çalışmışlar ve gerek antik Grek kaynaklarını (çoğunlukla Süryaniceden) tercüme etmişler, aynı zamanda da yorumlayıp katkılar yapmışlar, bir yandan da örijinal eserler vermişlerdir. Bu çalışmalar, dinsel baskının ortaya çıktığı 1200 lü yıllarda duraklamış, fakat bu bilgiler Avrupa'ya yayılarak Rönesans'ın başlamasına, kilisenin baskısının hafifletilmesine, modern bir uygarlığın oluşmasına etken olmuştur.
Emeviler devrinde, Halife Al-Mem'un Şamda bir Dar'ül Hikme kurarak, büyük çapta bir tercüme çalışması ile antik Grek eserlerinin tercümelerini başlatır. Emevilerden sonra Halifeliği devralan Abbasiler devrinde bir başka Halife Mem'un Bağdatı kurmuş ve bir kütüphane oluşturmuştur. Bu kitaplıkta antik Grek Eserleri tecüme edilmiş ve yeni çalışmalar yapılmıştır. Daha sonraki Halifeler Harun Reşid (789 -809) ve Mem'un(813-833) yıllarında halifelik yapmışlar ve onların zamanında bilimsel etkinlikler çok artmıştır. Özellikle, Mute'zile tarikatından olan ve bu tarikatın doktrini olan akılcı düşünmeyi benimsemiş olan Halife Mem'un, bilime olan yatkınlığı ile ünlüdür. Onun zamında bu kuruluş , "Dar'ül Hikme” veya “Beyt'el Hikme” (Hikmet Evi) (Felsefe Evi) adını almış ve büyük bilim adamları yetiştirmiştir. Istanbul Üniversitesine “Dar’ül Fünun” adı verildiği düşünülürse, bu kuruluşa “Bağdat Üniversitesi” adını vermek daha doğru olacaktır.
Halife Mem'un, Hint yarıkıtasına, Harzemli başkanlığında bir bilim heyeti göndererek Hint-Arap sayı sistemini dünyaya kazandırmıştır. Pteolemaios'un belirttiği meridyen dairesinin gerçeğe uygunluğunun belirlenmesi için, yine Harzemlinin başkanlığında Sincar ovasında bir bilim üssü kurdurmuştur. Mısıra kendi başkanlığında arkeolojik bir sefer düzenleyerek Büyük Keops piramidi civarında kazı yapmıştır. Dar'ül Hikme hem devlet tarafından hem de bilimin değerini anlamış olan ticaret ve hükümet adamları tarafından desteklenmiştir. Bağdat Dar'ül Hikme'si dört yüzyıldan fazla çalışmaya devam etmiş, 1258 de Hülagü Han komutasındaki Moğolların Bağdadı işgali sırasında tüm şehirle birlikte Dar'ül Hikme de tahrip edilmiştir. Bu tarihten sonra bilgi üretimi çalışmaları Orta Asya Türk ve İran Fars bölgelerinde devam etmiş 1580 de Istanbul rasathanesinin sultan III üncü Murat'ın fermanı ile denizden top atışları yıktırılması ile, İslam aleminde bilgilenme çalışmaları son bulmuştır.
Bu kadar geniş bir konuyu ve bu konuda çalışanların tümünü bu çalışmada inceleme olanağı bulunmamaktadır. Burada sadece, devrim anlamına gelen Hint - Arap sayı sistemini oluşturan Türk asıllı matematikçi Hazemli gibi çok etki yapan bilim insanlarını inceleyebileceğiz.
Arapçanın kökenleri, Akadcaya kadar iner. Mezopotamya Hami-Sami dil ailesinde Akad, Kopt (eski Mısır), Ibranî, Fenike, Aramî, Süryanî dilleri gibi aynı dil ailesinden, çeşitli diller bulunur. Alfabeleri, ebcet alfabesi olarak adlandırılan eski bir alfabe sistemidir. Grekler bu alfabeyi geliştirerek kabul etmişler, fakat Arap alfabesi değişmeden Akad alfabesi gibi kriptik bir nitelikte asırlar boyu devam etmiştir. alfabenin sayıları da Babil sayı sistemi gibi, yer tutucu bir şekilde belirtilmekteydi ve aynen antik Grek alfabesi gibi aritmetik hesaplara uygun değildi. Bu yüzden başlangıçta, İslam matematiği, antik Grek matematiğinden fazla ileri gidememiştir. Bu durum, Bağdat Dar'ül hikmesini kurup yoğun bir tecüme çalışmasını başlatmış olan Abbasî Halifesi Mem'un'a bir Hint bilim adamının Hint sayı sistemi üzerine bir brifing vermesi ile değişmiş, Halife, Dar'ül Hikme matematik bölümünün başında olan Harzemliye bu konuda çalışma yapması görevini vermiştir.
Harzemli
Esas adı Ebu Abdullah Musa El-Harzemî olan Harzemli, M.S. (770 - 840) yıllarında yaşamıştır. Harzem (Özbekistan) da doğmuş ilk öğretimini orada almış ve Bağdat saray kütüphaneciliğine, oradan da Bağdat Dar'ül Hikme'sinde görevlendirilmiştir. Üç oğlu vardır, onlar da aynı bilim evinde tercümanlık yapmışlardır.
Harzemli, Halife Mem'un görevlendirmesi ile, bir bilim heyeti ile Şam'daki Kâsiyun Rasathanesinde çalışmalar yapmıştır.
Halife Mem'unun isteği üzerine, kendi başkanlığındaki bir bilim heyeti ile, Sincar ovasında bir bilim üssü kurmuş ve Ptolemaios'un belirttiği, bir derecelik meridiyen yayının gerçek uzunluğunun ölçülmesi, çalışmalarını koordine etmiştir.
Bilime en büyük katkısı, Halife Mem'unun isteği üzerine, kendi başkanlığındaki bir bilim heyeti ile, Hindistan'a gitmesi ve oradaki geliştirilmiş Babil sayı sisteminde kullanılmakta olan sıfır (cypher) (chiffre okunuşu : şifr) sayısının önemini anlaması ve Hint - Arap sayı sistemi olarak dünyaya tanıtmasıdır. Bundan sonra dünya, asla eskisi gibi olmayacaktır.
Harzemlinin iki önemli matematik kitabı vardır. Bunlardan ilki, "Kitab'ül Muhtasar fi'l Cebr ve Mukabele", diğeri "Kitab'ül Muhtasar fi Hisab'ül Hindî" dir. Bu kitaplarla cebir, artık geometriden kesin olarak ayrılmış ve matematiğin özel bir çalışma alanı olarak belirlenmiştir.
Aslında cebir, Diophantus'tan başlayarak bağımsız bir bilim dalı olarak kabul edilmeye başlanmıştı. Fakat, yetersiz sayı sistemi gelişmesini önlüyordu. Harzemli, Hint bilim admlarının geliştirdiği eski Babil sayı sistemini açıklayınca, Cebir aradığı enstrümantal atmosferi bulmuş oldu ve bundan sonra hızla gelişti. Doğal olarak bu gelişme matematiği bir araç olarak kullanan fizik, astronomi, coğrafya gibi bilimlere de yansımış ve dünyanın bilgilenme sürecinde büyük kazanımlar sağlamıştır. Sayı sistemine M.S. 1600 lı yıllarda negatif sayıların da dahil olması ile devre kapanmış ve cebir kolaylıkla uygulanabilir bir hale gelmiştir. 1960 lardan sonra geliştirilmeye başlanan ve "Logiciel" veya "Algoritmik Program" olarak adlandırılan mantıksal programlar, cebire daha da bir yüksek düzey, otomasyon, insan hatasının önlenmesi ve tekrarlı işlemlerin yapılması (iterasyon) (rekürsiyon) kolaylığı getirmiştir. Bu satırların yazarı, bir bilimsel çalışmasındaki, matematik çözümleri tamamen Mathcad cebirsel hesaplama programı kullanarak geliştirmiştir. Bu program olmasaydı, bu çalışma büyük bir olasılıkla gerçekleşemeyecek veya oluşturulan çözümlerin doğruluğuna yüzde yüz güven sağlanamayacaktı. Şu anda okunmakta olan “Genel Matematik” kitabının yazım nedeni de, büyük ölçüde bu çalışma sırasında yaşanmış olan klasik yöntemlerin uygulanması sırasında yaşanan zorluklar ve bu zorlukların aşılması amacı ile uygulanan bilgisayar kullanımı ile gelen gelişme ve güven duygusunun ileri kuşaklara aktarılma düşüncesidir.
Algoritma (Algorismus = El Khorasmî'nin yöntemi) sözcüğü, ilk defa Harzemlinin kitaplarında açıklanan, bir problemin generik çözümü, yani bir çözümün benzer problemlere de uygulanması yönteminin bir anısı olarak, bilgisayarlarda uygulanan genel çözümler oluşturan programlara ve yöntemlere verilen isimdir. Yöntem ile eş anlamlı olarak algoritma sözcüğü de kullanılmaktadır. Örnek olarak Newton-Raphson yöntemine, Newton-Raphson algoritması adı da verilmektedir.
Harzemli (Batılı kaynaklarda Al-Khorasmî) kitaplarında, problem çözümlerini sadece çözdüğü problemle sınırlı tumayan ve benzer problemlere uygulanan çözüm sistemleri olarak ilk tanımlayan matematikçidir. Bu şekilde, cebirde generik çözümler devri başlamış olmaktadır.
Harzemlinin kitaplarına kadar, cebirde birinci derece denklemlerin çözümleri verilmekteydi. Harzemli kitaplarında ilk olarak ikinci derece denklem çözümlerini de ele almıştır. Her belirttiği teoremin kanıtlarını da vermiştir. Bu yüzden kitapları batıda 1183 yılında Latinceye çevrilmiş ve 1600 lü yıllara kadar ders kitabı olarak okutulmuştur.
Harzemli aynı zamanda astronomi eserleri de vermiş, Ptolemaios'un coğrafya kitabında yeniden yazarmışcasına düzeltmeler yapmış, ve yetmiş kişilik bir bilim heyeti ile 830 yılında bir dünya haritası çizmiştir.
Harzemli bir bilim heyeti ile birlikte dünyanın çevresi ve hacmının hesaplanması çalışmaları yapmıştır. O devirde, İslam ülkelerindeki bilimsel düzeye, ortak çalışma disiplinine, laik davranış ve inananışa saygıya hayranlık duymamak elde değildir. Bu ekiplerde, her dinden ve etnisiteden insanlar, salt bilimsel yeterlikleri gözetilerek birlikte çalışmışlardır. Bugünkü İslam din adamları ile idarecilerinin bu davranışı örnek almaları umut edilir.
Al-Kindi.
Asıl adı, "Eb'ul Yusuf Yakub ibn İshak es Sabbah al Kindi" olan bu büyük düşünür ve bilim adamı, Iraklı Kindi aşiretindendir. M.Ö. (801–873) yılları arasında yaşamış ve Dar'ül Hikme de görev yapmıştır. Antik Grek filosofisini Arap iklimine tanıtan çok sayıda eseri verdır.
Al-Kindi, Hint - Arap sayı sistemi üzerine tanıtıcı kitaplar yazarak bu sayı sistemini batıya tanıtmaya çalışmıştır. Aynı zamanda kriptolojinin babasıdır ve şifre çözücü metotları oluşturmuştur.
Al - Karaji
Asıl adı "Ebubekir ibni Muhammed ibni Hüseyin el Karaji" veya "Karkhî" olan bu büyük matematikçi Bağdat veya İran Karkh doğumlu olabilir. (953 - 1029) yılları arasında yaşamıştır. Çalışmalarında Pascal üçgeni, üstel ifadeler ve matematik indüksiyon yöntemi bulunmaktadır.
Ebu'l Vefa
Eb'ul Vefa -i- Bujgani (940 – 998) yıllarında yaşamış, Özbekistan (şimdi İran) Bujgan'da doğmuş, 19 yaşında Bağdat'a gelerek Dar'ül Hikme de çalışmış, üretken ve saygıdeğer bir yaşamı olan bir astronom ve matematikçidir.
Ebu'l Vefa, Diophantusun eserlerini Arapçaya tercüme etmiş, Harzemli ve Euclides'in Elementleri üzerinde yorumlar yazmıştır. Küresel Trigonometrinin kurucusu ve birçok Trigonometrik ifadenin ilk bulucusudur. Tanjant fonksiyonunu tanıtmıştır. Eb'ul Vefa, "Kitab'ül Macistî" kitabını yazmıştır. Bu kitap, Ptolemaios'un "Mathematike Syntaxis" kitabından farklı te'lif bir kitaptır. Ayrıca, geometrik konstrüksiyonlar ve pratik hesap yöntemleri üzerine kitapları da vardır. Aydaki "Abul Wafa" krateri anısına isimlendirilmiştir.
Al-Haytam
Al-Haytam Arap kökenlidir ve (965 – 1040) yılları arasında Kahirede yaşamış, Cami-ül-Ezher (E-Ezher Topluluğu) (El-Ezher Üniversitesi) de ders vermiştir. Halifenin saray erkanı arasındadır ve çocuklarının da hocasıdır. Batıda "Alhazen", "Fizikçi" ve "Ptolemaius Secundo" olarak tanınır. Matematikçi, fizikçi ve filosoftur.
Al-Haytam, halifeye halk üzerinde büyük stres yaratan Nil nehrinin periyodik taşmalarının önlenmesi için, bir baraj yapılmasını önermiş ve barajın yerinin saptanması için bir keşif heyeti kurup inceleme yapmıştır. İnceleme sonucunda, barajın bugünkü Assuan barajının yerinde yapılması gereği ortaya çıkmış fakat, doğal olarak o günkü teknik olanaklarla bu barajın yapılması olanağı olmadığı anlaşılmıştır. Bunun üzerine Al-Haytam, halifenin gazabından sakınmak için evine kapanmış ve halife vefat etmeden evinden çıkmamış, bu süre içinde, "Kitab'ül Menazır" (Perspektif Kitabı) adında Optik bilimin temelini olşuran ünlü kitabını yazmıştır. Bu kitap asırlar boyunca Optik biliminin tek kaynağı olmuş, 13 üncü yüzyılda Latinceye çevrilmiş ve René Descartes, Roger Bacon, Leonardo da Vinci, Ibni Sina, Galileo Galilei, Johannes Kepler, Christian Huygens, gibi düşünürleri etkilemiştir.
Al-Haytam, optik kitabını yazarken, deneysel metodun ilk örneklerini vermiştir. Bu metod sistematik gözlemelere ve kontrollü deneylere dayanmaktadır. Kendisi doğal bilimler ve matematiği birleştirmiştir. Bu fiziko-matematik yaklaşım, ilerideki çalışmalarda uygulanacak, bilimsel metodu tanımlamıştır. Al-Haytam, çalışmaları ile insanlığın bilim yolunda ilerlemesinin önünü açmıştır. Al-Haytam'ın batıda Helenistik düşüncenin yeniden hatırlanıp geçerli olmasında başlıca rolü oynayan düşünür olduğu kabul edilmektedir.
Al-Haytam 200' ü aşkın konuda kitap yazmıştır. Bunlar arasında filosofi, fizik, matematik kitapları bulunmaktadır. Bu kitapların bir kısmı bugüne ulaşamamıştır. Optikteki Al-Hazen problemi ancak bugünlerde, Mitsubishi araştırma laboratuvarında Amit Agarwal ve arkadaşları tarafından çözülebilmiştir. Çözüm, sekizinci derece denklemlerin çözümünü içermektedir. Çok az yazar, Al-Haytam kadar ilerideki kuşakları etkileyici olabilmiştir.
Aydaki bir kratere Alhazen adı verilmiştir. Bir Asteroid de Alhazen adı ile anılmaktadır. Aster (Star), yıldız anlamındadır. Asteroid, göktaşı anlamındadır.
Al-Haytam, Birleşmiş Milletler 2015 Aydınlanma yılında adı anılacak bilim insanları arasındadır.
İbni Sina
Batıda Avicenna olarak tanınan İbni Sina Türk asıllıdır. Buhara yakınlarındaki Afşana köyünde 980 yılında doğmuş, 1037 de Hamedan (İran) da vefat etmiştir. Tıp alanındaki yapıtları, 1650 lere kadar batı ülkelerindeki üniversitelerinde ders kitabı olarak okutulmuştur.
İbni Sina filosofi de Platonizm ve Aristotelanizm arasındaki farkı azaltmak için çalışmıştır. Bu fark, Aristotelesci akılcılık (rasyonalizm) ile, dini sezgisel (intüisyonist) anlayışlar arasındaki farkı oluşturmaktadır. Bu bir neo-platoncu yaklaşım olarak düşünülebilir.
Görüşleri ileride, Tusî ile bilimsel ilerlemeye, Razî ile, sezgisel yaklaşıma, özellikle Gazalî tarafından dinde daha sıkılaşmaya yönelik olarak kullanılmıştır. İslam ülkelerinde sezgisel yaklaşım, batı ülkelerinde ise pozitif düşünce kısımları benimsenmiştir. Gazalî'nin yorumları ise, bir tür İslam ortodoksluğunun yaratılması için, Ibni Sina'nın düşüncelerinin sadece bir kısmının alınarak, diğer kısımlarının yok sayılması olarak değerlendirilmektedir.
Gazalî'nin yorumlarının İslâmı tartışma ve yenilenme kabul etmeyen, baskıcı bir karanık devre doğru sürüklerken, Tusî'nin yorumları batıya bilimsellik ve aydınlanma yolunu açmıştır. Ibni Sina (Avicenna) batıda rönesansa yönelmenin en büyük etkileyicisi olarak değerlendirilmektedir.
Ömer Hayyam
Omer Hayyam'ın asıl adı, Gıyaseddin Ebu'Fatih Ömer bin İbrahim El-Hayyam Nişapurî dir. Ömer Hayyam (1048 - 1131) yılları arasında yaşamıştır. Doğduğu yer Nişapur (İran) dır. İranlı bir matematikçi, filosof, astronom ve şairdir. Eğitimini Semerkand' da almış, Buhara'ya yerleşmiştir. Selçuklu Sultanı I inci Melikşah'ın Müneccimbaşısı olarak Isfahanda kurulan rasathanede çalışmıştır. Doğduğu Nişapurda ders vermiş ve orada vefat etmiştir.
Ömer Hayyamın matematikçi olarak çok önemli kitapları bulunmaktadır. "Cebirsel Problemlerin Kanıtlanması" kitabı, üçüncü derece , hatta daha yüksek dereceli denklemlerin çözüm yöntemlerini içermektedir. "Euclides'in Postulatları Üzerine Bazı Zorlukların Açıklanması" adlı eserinde, Euclides'in paralel postulatum'unu kanıtlamak için ileri düşünceler ileri sürmektedir. Düşünceleri, ileride Non-Öklidien geometrinin yollarını açacaktır. Geometride de önemli katkılarda bulunmuştur.
Hayyam, İranda kullanılan Celali tavimini hazırlamıştır. Takvimi, 500 yıl sonra oluşturulacak Gregoryen takvimden daha gerçeğe yakındır.
Hayyam, bir şair olarak çok ünlüdür. Şiirlerindeki epiküryen saldırgan ton, radikal dincileri çileden çıkarmaktadır. Buna rağmen kendisini bir sufî (tasavvuf erbabı) olarak tanımlamakta ve Tanrıya ulaşmak için akıl yerine sezgiyi (intuition) kullanmak gereğini belirtmektedir.
Hayyam'ın matematiksel filosofiye önemli katkıları bulunmaktadır. Euclides'in aksiyomlarını ve özellikle paralel postulatumunu eleştirmiştir. Buna rağmen kendisinin öne sürdüğü kanıt da son araştırmalar ışığında trivial olarak bulunmuştur. Matematik ortamı ve fiziksel dünya arasındaki farkı belirtmiştir. Her iki ortamın kanıtlarının farklı olması gerektiğini ve birbirleri ile karıştırılmaması gerektiğini ileri sürmüştür. Bu konuda Ptolemaios ve Al-Hazen'i eleştirmiştir. Görüşleri ileride bilimsel metot tanımına yön verecek ve Non-Öklidien geometrinin oluşmasında esin kaynağı olacaktır.
Son araştırmalarda şair ve matematikçi Hayyam'ın aynı kişi olmayabileceği ileri sürülmüş fakat inandırıcı bir kanıt bulunamamıştır.
İbni Rüşt
Ibni Rüşt batıda Averroes olarak tanınır. (1126 –1198) yılları arasında Endülüste yaşamıştır. Ibni Rüşt, Abu al-Hasan al-Ash'arî ve İmam Gazalî tatrafından ileri sürülen ve insanların Tanrının yarattığını doğayı anlamalarının olanaksızlığını belirten söylemlerinin tümden yanlış olduğunu belirtmiştir. Ona göre anlayış, akıl ile ve sürekli gelişerek, inceleyerek, bilgilenerek Tanrının yarattığını daha iyi tanımlayacaktır.
Ibni Rüşt, Avrupa'da laik düşünce yolunu açan kişidir. Söylemleri Avrupa 'da yankı uyandırmış, Aristoteles onun sayesinde yeniden hatırlanmış ve değerlendirilmiştir. Avrupa, "rönesans" (Yeniden Doğuş), İslâm ise, daha çok Gazalî'nin yolunda gitmiş ve her türlü gelişmeden yoksun kalmıştır. Bu konular üzerinde çalışma yapanlar, İslamda bilimin duraklamasını özellilke Aşh’arî ve Gazalî 'nin olumsuz ve yanlış yorumlarına bağlarlar.
İbni Rüşt' ün fiziğe en büyük katkısı, "Atalet" kavramını belirtmesidir. 'Atal' bir Sanskrit sözcüğüdür, anlamı ağırlığı olan, yük taşıyan, güçlü olmak olarak tanımlanmaktadır. Arapçaya "Attal" (yük taşıyan, ağırlığı olan) olarak geçmiştir. İbni Rüşt ataleti, gravitasyonel olmayan, maddelerin içsel harekete karşı olan yetenekleri olarak tanımlamıştır. Thomas Aquinas ve Johannes Kepler bu özelliği "inertia" (atalet, duraganlık) olarak betimlemişlerdir. İleride Newton, bu kavramı benimseyecek ve ünlü Newton yasalarını bu kavramdan yararlanarak oluşturacaktır. İbni Rüşt, kuvveti bir materyel nesnenin kinetik koşulunun değiştirilerek iş elde edilmesini sağlayan etken olarak tanımlamaktadır. Bu tanım Newton 'un tanımı ile bire bir uyuşmaktadır.
Şerafettin Al-Tusî
Iran Azerbaycanındaki Tus şehrindendir. (1135 -1213) yılları arasında yaşamış, Şam ve Bağdat'ta dersler vermiştir. Öğrencileri arasında bulunan Kemaleddin Al-Tusî daha sonraları büyük matematik bilgini Nasreddin Al-Tusî 'nin öğretmenliğini yapacaktır.
Şerafetin Al-Tusî, üçüncü derece denklemlerin köklerini incelemiştir. Köklerin bulunması çalışmalarında, üçüncü dereceden eğrilerin maksima ve minima değerlerini ve kök değerinin bulunması için belirttiği yöntemde eğrinin türevinin sıfır olduğu nokta olması dikkat çekmiş ve dünyada türevi ilk bulan matematikçi olarak kabul edilmiştir. Ne var ki kendisi, tanımladığı ilişkinin türev olduğunu bilmiyordu. Buna rağmen, buluşu olağanüstü önemli olarak kabul edilmektedir ve ileride türev konusuna esin verecektir.
Nasrettin Al-Tusî
Iran Azerbaycanındaki Tus şehrindendir. Türk asıllı olduğu kesindir. (1201 - 1274) yılları arasında yaşamıştır. İlk eğitimini Tus kentinde başlamış, Nişapur'da tamamlamıştır. Moğol istilası başlayınca, İsmailî tarikatı ile hareket etmiş, Haşhaşi'lerin Alamut Kalesinde kalmış ve burada eserler kaleme almıştır. Alamut kalesinin Moğol Hanı Hülagû İlhan tarafından alınması ile Hülagû Han'ın baş müneccimi olmuş, Bağdatın işgali sırasında İlhanlılarla beraber olmuştur. Daha sonra Hulagû Hanı ikna ederek Başkentleri Merageh yakınlarında "Rasathane" adında bir rasathane kurmuştur. Rasathanenin kuruluşuna Çin astronomları da katılmış, Nasreddin El-Tusî nin özel olarak tasarladığı ölçüm cihazları da kurulmuştur.
Nasreddin Al - Tusî, rasathanesinde o günden Copernicus'a kadar en gerçeğe yakın ziç (veya zayiçe) adı verilen astronomik tablolarını hazırlamış ve "Ziç -i İlhanî" adındaki kitabında yayınlamıştır. Bu kitap kendisinin, Ptolemaios'dan Copernicus'a kadar en saygın astronom olarak nitelendirilmesine neden olacaktır.
Nasreddin Al-Tusî, gezegenlerin uydu hesapları için, içiçe iki silindirin harketlerinin toplamından lineer bir hareket oluşturan bir cihaz keşfetmiş ve bunu 1247 de yayınladığı, "Tahrîr-al-Majistî" (Algmagest Yazıları) adlı eserinde belirtmiştir. Bu cihaz ile tüm gezegenlerin yörüngelerini hesaplamış, sadece "Merkür" konusunda başaramamış, bu sorunu da ileride Ali Kuşcu çözmüştür.
Bu cihaz 1966 da Edward S. Kennedy tarafından "Tusî Çifti" (Tusî Couple) olarak tanımlanmıştır. Bu cihazın Avrupa'da Copernicus dahil kullanıldığı, orijinal fikrin Euclides'in ilk cildi üzerinde yorumlar yazmış olan Proclus'a ait olduğu söylenmektedir.
Nasreddin Al-Tusî, dünyanın duragan olduğunu belirten Ptolemaios'u eleştirmiş ve astronomik gözlemlerden böyle sonuçların çıkarılmasının kesin olmayacağını belirtmiştir. Bu düşünceler, ileride Copernicus tarafından dünyanın hareket halinde olduğunun belirtilmesinde dayanak olarak kullanılacaktır.
Nasreddin Al-Tusî, trigonometriyi, özellikle küresel trigonometriyi, astronomiden bağımsız olarak, ele almıştır. Bu görüş, onun için küresel astronominin babası unvanını kazandıracaktır.
Nasreddin Al-Tusî, biyoloji de evrim kuramından bahseden ilk kişidir. Insanların, hayvanlardan türediğini açıkça belirtmiştir. Bu konuda bugün bile hoşgörüsüz sosyal çevreler bulunduğundan, kendisinin düşüncelerini özgürce belirtebilmiş olması, gününde geçerli olduğu anlaşılan geniş bilimsel özgürlüğün kanıtıdır.
Nasreddin Al-Tusî, kimyada kütlenin sakınımı yasasını ilk ifade eden bilim adamıdır. Kütlenin şekil değiştirebileceğini, fakat asla kaybolamayacağını belirtmiştir. Bu sözleri, kendisinin kütlenin sakınımı yasasını Lavoisier'den önce bulmuş olduğunu gösterir. Bu konuda ilk ifadeler Empedokles tarafından ortaya atılmıştır. Bazı eski Hint kaynaklarında da benzer bilgiler bulunmaktadır.
Nasreddin Al - Tusî, mantık konusunda da yazmış ve İbni Sina'nın Yeni Aristocu mantığını savunmuştur.
Nasreddin Al-Tusî, dinsel konularda da yazmış ve bu konulardaki yapıtları ona Şiî kültürel ortamında sadece büyük Ayetullahlara verilen "Majistî" unvanının verilmesini sağlamıştır.
Nasreddin Al-Tusî, Türk asıllıdır. Yazdığı kitapların birinin son konusunu Türkçe yazarak, adeta gelecek kuşaklara Türk olduğunu bildirmek istemiştir. Aslen Türk olmasına karşın bilimsel kimliği İran-Arap kültürel ortamındadır. Başta Mevlana Celaleddin-i-Rumî olmak üzere böyle daha birçok bilim ve edebiyat adamımız vardır ve bu olgu, Türk ve İranlıları bilimsel ortamda kardeş haline getirmektedir.
Nasreddin Al - Tusî, kendisinden sonra gelenlere en çok etki yaratmış olan bir bilim adamıdır. Anısına aydaki kratelerden birininin adına "Nasreddin" adı verilmiş, yeni bulunan küçük bir gezegene, 10269 Tusi adı verilmiştir. Iran'da K. N. Toosi University of Technology ve Azerbaycan'da Shamakhy rasathanesi Tusî adına kurulmuştur. Google, Tusî'nin 812 inci, doğum yılını 2013 de kutlayarak, Arap ülkelerinden erişilen web sitesinin logosunu Al-Farsî olarak değiştirmiştir. Iran ve Azerbaycan anısına posta pulları çıkarmıştır. Özellikle Azerbaycan tarafından çıkartılan posta pulu bir sanat şaheseridir.
Nasreddin Tusî Anısına Azerbeycan’da Basılmış Pul
Ne yazık ki, Türkiye Cumhuriyetinde Nasreddin Al-Tusî yeterince tanınmamaktadır. Bu eksiklik gecikmeden giderilmelidir.
Kadızade-i-Rumî
Asıl adı Selahaddin Musa Bin Mehmed Bin Mahmud dur. Bursa'da 1367 de doğmuş, Semarkand'da 1436 da vefat etmiştir. İsminden de anlaşılabileceği gibi, Anadolu'lu bir Türktür. Bursada entellektüel bir aile ortamında yetişmiştir. Küçük yaşta babasını kaybetmiş ve kendisini dedesi olan Bursa kadısı, Molla Mahmud efendi yetiştirmiştir. Molla Fenari 'den ders almış ve matematikteki büyük yeteneği ortaya çıkınca o vaktin en yetkin bilim merkezi olan Semerkand'da eğitimine devam etmiştir. Daha 18 yaşında iken Arapça bir matematik kitabı yazmış , ailesi ve özellikle tüm çehiz altınlarını kendisine hediye eden kızkardeşinin çabaları ile Semerkanda gönderilebilmiştir. Burada büyük bir bilimsel yetkinlik kazanmış ve bunun sonucu olarak büyük bir üne kavuşmuştur. Kendisine asıl adı yerine, Batıdan (Roma Ülkesinden) gelmiş olduğunu belirten Kadızade-î-Rumî adı ile hitap edilmiştir.
Devrin hükümdarı, Timur'un oğlu olan Şahruh, oğlu Uluğ Beğ'i onun eğitimine vermiş. Semerkand Medresesinde Müderrisliğe tayin etmiştir. Burada, Ali Kâşî (Gıyaseddin Cemşid)'in erken vefatı ile ile Başmüderrisliğe getirilmiş ve yaşamı boyunca, ders ve araştırmalarına Semerkant'da devam etmiştir. Akademik yaşamı boyunca, bilim adamlarını korumuş ve iyi yetişmelerine çalışmıştır.
Semerkand'da Uluğ Beğ, Ali Kâşî ve Ali Kuşçu ile birlikte "Ziç-i-Hakanî" (Ziç-i-Sultanî) olarak adlandırılan ve İlhanlı ziç'inden iki yüzyıl sonra oluşturulan ilk astronomik tabloyu hazırlamıştır. Ziç-i-Hakanî, 992 yıldızın hareketlerini betimlemektekdir.
Kadızade, “Risale Fi-istihracı'l-Ceyb Derece-i Vahide” (Bir Derecenin Sinüsünü Elde Etme Üzerine Bir Risale) adlı eserinde 1 derecelik yayın Sinüs değerini elde etmek üzerine bir yöntem geliştirmiştir.
Eserleri Arapçadır, astronomi ve aritmetik üzerine iki kitabı bulunmaktadır. En ünlü eseri olan “Muhtasar-ı Fi'l-Hisab” (Hesap Yöntemi Özeti) adındaki kitabını genç yaşında, henüz Bursa'da iken Arapça olarak yazmıştır.
Uluğ Beğ
Uluğ Beğ Mavera-ün Nehir (Harzem) bölgesine göçüp, türkleşmiş bir Moğol boyu olan Barlas boyundan olan Timurlenk (Aksak Timur)'un torunudur. Babası Timur'un oğlu Şahruh'tur. Asıl adı, Mirza Muhammet Taragay (yay çeken) bin Şahruh'tur fakat Uluğ Beğ olarak tanınmaktadır. 1394 de Iran'da Güney Azerbaycan'da bulunan Sultaniye şehrinde doğmuş ve 1449 da Semerkand'da vefat etmiştir.
Uluğ Beğ adına "Turan" denilen ve Irandan Çin sınırlarına kadar uzanan bölgenin hükümdarıydı. Kendisi bir bilim adamı (hekim ve matematikçi) idi. Büyük bir bilim sevgisi vardı. Semerkand'da adına "Ziç-i-Gürkanî" denilen büyük bir rasathane, Semerkant ve Buhara'da medreseler (ders verilen kurum) (üniversite) kurdurmuş ve dünyanın yetkin bilim adamlarını buraya toplamıştır. En iyi öğrencilerinden biri, kuşçubaşısının oğlu olan "Ali Kuşçu" idi.
Rasathanesinde büyük bir Astrolab (Usturlab) (Sextant) gözlem cihazı kurarak bulgularının duyarlığını arttırmıştır. Kadızade, Ali Kuşçu ve Cemşid Al-Kaşî ile birlikte Ziç-i-Sultani'yi oluşturmuştur. Bu rasathanede, dünyanın ekseni etrafında salınımı 23.52 derece olarak saptanmıştır. Bu değer, ileride Tyco-Brahé ve Copernicus tarafından bulunanlardan daha duyarlıdır.
Uluğ Beğ, çağında bir matematik dehası olarak kabul edilmiştir. En az sekizinci ondalığa kadar duyarlı olan sinüs ve tanjant tabloları yayınlamıştır. Eserleri batı dillerine bir kaç kez tercüme edilmiştir. İbni Sinanın izlerini taşıyan hekimliği de vardır. Üzüntü verecek bir sonu olmuş, öz oğlu tarafından, bilimsel çalışmalara ağırlık veriyor, saldırgan politikalar gütmüyor, gerekçesi ile ihtilal sonucunda katledilmiştir. Naaşı, yeğeni tarafından Semerkand'a taşınmış ve bugün bir müze olan rasathesine gömülmüştür.
Uluğ Beğ'in anısına aydaki bir kratere "Ulugh Beigh" krateri adı verilmiş ve bir asteroid, "2439 Ulugbek" olarak adlandırılmıştır.
Ali-Kaşî
Al-Kaşî 1380 de Keşan (Merkezî İran) da doğmuş ve 1429 da Semerkant'da vefat etmiştir. Uluğ Beğ'in çalışma arkadaşıdır. Ası adı Gıyaseddin Cemşid Al-Kaşî'dir. Semerkant 'da medresinin ilk Başmüderrisidir. Hem ders vermiş hem de rasathanede çalışmıştır.
Al-Kaşî dünyanın en büyük astronom ve matematikçilerindendir. Anlatılanlara göre, muhteşem bir hesaplama yeteneği vardı. Hem astronomi, hem de matematikte (özellikle trigonometride) büyük katkıları bulunmaktadır.
Aynı zamanda çok ilginç astronomik cihazlar da tasarlamıştır. Eserlerinin çokluğu, çeşitliliği ve önemleri nedeni ile burada incelenmesi yerine ilgili kaynaklardan izlenmesi daha doğru olacaktır.
2009 yılında Iran Radyo Televizyonu "Nardebam-ü Asuman" (Gökyüzüne Merdiven) adında Farsça, her biri 45 dakikalık 15 kısımdan oluşan bir dizi ile Kashî 'nin eserlerini tanıtmaya çalışmıştır.
Ali Kuşcu
Ali Kuşcu 1403 yılında Semerkand'da doğmuş, 1473 de Istanbulda yaşamını yitirmiştir. Yaşamı bir macera filmi gibidir. Dünyanın en büyük astronom ve matematikçilerinden biridir. Fıkıh ve kelam konusunda da eserleri vardır.
İlk öğrenimini Semerkant'ta yaparak Kadızade ve Kashî 'den matematik ve astronomi dersleri aldı. Sonra Kirman'a gidip eğitmenlik yaptı. Burada ayın hareketlerinei ele alan ``Hall e Eşkâr -i- Ghammar'' ve Nasreddin Al-Tusî 'nin ``Tecrid'' adlı eserine açıklamalar olarak ``Şerh-i-Tecrid'' adlı kitabını yazdı. Herat'a geçip Molla Camî'ye öğretmenlik yaptı. Yeniden Semerkant'a döndü. Eserlerini Uluğ beğ 'e sundu. Söylenenlere göre Uluğ Beğ, “Ayın Hareketleri” kitabını ayakta okumuş ve Ali Kuşçu'yu Uluğ Beğ Rasathenesinde ve Semerkand Medresesinde görevlendirmiştir. Uluğ Beğ'in idamına kadar Semerkand'da kalmış, Hacca gitmek için ayrıldığında, Tebriz de iken 1470 de Akkoyunlu Beyi Uzun Hasan tarafından Osmanlı İmparatoru “Fatih” Sultan Mehmet II ye elçi olarak atanmıştır. Fatih kendisine büyük saygı göstermiş ve Istanbul'a davet etmiştir. Elçilik görevini tamamladıktan sonra Istanbul'a dönmüş, burada matematik ve kelam ile ilgili eserler vermiştir. Nasreddin Tusî nin “Tecrid-al Kelam” adlı eserinin açıklamaları için yazdığı “Şerh-el Kelam”, bilim dünyasında “Şerh-i-Cedid” (Yeni Açıklama) olarak ün kazanmıştır.
Ali Kuşçu Nasreddin Tusî nin ziç-i İlhanîsine katkı olarak, Merkür gezegeninin yörüngesi için alternatif bir model oluşturmuştur. Uluğ Beğ'in ziç-i Hakanîsinin tamamlanması için çalışmıştır. Aristonun filosofik astronomisini eleştirmiş ve astronomiyi deneysel ve matematiğe dayalı bir doğa bilimi olarak tanıtmıştır. Aristocu görüş olan ve Ptolemaios tarafından da paylaşılmış olan "Durağan Dünya" görüşü yerine, deneysel olarak saptanan dönen dünya görüşünün aynı değerde olduğunu belirtmiştir. Bu konuda ileride Copernicus da aynı görüşü paylaşacaktır. Ali Kuşçu, ikisi Farsça, yedi tanesi de Arapça olmak üzere dokuz kitap yazmış ve bunlar 1650 de Latinceye çevrilip yayınlanmıştır.
Ali Birjandî
Ali Birjandî (- 1528) Dünyanın hareket etmesi halinde ne olacağını araştırdığı çalışmasında dairesel atalet kavramını ortaya atmıştır. Bu kavram, Copernicus, Galileo Galilei, Newton tarafından dünyanın döndüğüne kanıt olarak kullanılmış, Einstein'ın "Görecelik" (İzafiyet = Rölativite) kavramına temel oluşturmuştur.
Takiyeddin Efendi
Takiyeddin el Râsıd (Rasatçı) olarak da tanınır. 1526 yılında Şam' da doğmuş, 1585 de Istanbul'da ölmüştür. 1550 yılında Istanbula gelen Takiyeddin Efendi, Hoca Sadettin Efendi ve büyük vezir Sokullu tarafından desteklenmiştir. III Murat Takiyeddin Efendi'ye Galata sırtlarında bir gözlemevi kurulması için onay ve tahsisat vermiş, Takiyettin efendinin olağanüstü mühendislik yeteneği ile burada inanılmaz büyüklük ve orijinalitede astronomik saatler, gözlem araçları ve gerekli cihazlar yapılıp yerleştirilmiştir. Bu gözlemevi beş yıl kadar çalışabilmiş. Çok duyarlı ve güvenilir gözlemler yayınlanmıştır.
III Murad' ın astronomiden beklediği gelecekten haber vermesi idi. Oysa astronomide böyle bir yetenek yoktur. Bu durum Padişahta ümit kırıklığına neden olmuştur. Devrin Şeyh-ül-Islamı, -islamda böyle bir tanım yoktur !- Ahmet Şemseddin Efendi, "Rasat yapmak şeamet getirir!" diye, yere göğe sığmaz bir fetva -ne demekse!- verince, halkın hoşnutsuzluğu artmış, devrin en ileri gözlemevi, III Murad' ın fermanı ile Kaptan-ı-Derya Kılıç Ali Paşa (Uluç Ali Reis) tarafından denizden top atışları ile 1580 de yıkılmıştır. Bu olaydan beş yıl sonra Takiyeddin Efendi de vefat etmiştir.
Takiyeddin Efendi büyük bir matematik bilgini ve mühendistir. Büyük çapta gözlem saatleri gibi duyarlı cihazlar ve bir buhar türbini de yapmış ve bununla bir çarkı çalıştırmıştır. Optik konusunda da yazdığı kitap bu konuda ilerlemeler içermektedir.
İstanbul gözlemevi, Tyco- Brahé'nin, aynı tarihte, Danimarka Kralı II Frederic 'in yardımları ile Hven adasında 1576 da kurduğu gözlemevinden daha ileri cihazlara sahipti. Copernicus (1473 - 1543) sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantları kullanmamışken, Takiyeddin Efendi bunların cetvellerini hazırlamış ve altmışlık sistemden ondalıklı sisteme geçiş yapmıştır. Istanbul Rasathanesi üzerinde ayrıntılı bilgiler sayın Yavuz Unat tarafından verilmiştir. Bu bilgilerde, Istanbul rasathanesinin olağanüstü donanım ve teşkilatı olduğu, son derece yetkin insanların çalıştığı, saray entrikacıları ile işbirliğinde olan sözde dinî çevrelerin olur olmaz söylemlerle halkı rasathane aleyhine kışkırttıkları yazılır. Kaynağın okunması, üzüntüleri daha da arttıracak niteliktedir.
Istanbul gözlemevinin yıkılması, hüzün ve kaygı veren bir tarihsel olaydır. Bu olay Osmanlılarda bilimin sonunu getirmiştir. Bundan sonraki gözlemevinin yapımı, ancak 19 uncu yüzyılın sonlarında ve yabancı yardımı ile gerçekleştirilebilecektir. Bilime ilgisiz kalmak, Osmanlıların sayısız yenilgilerine ve imparatorluklarını kaybetmelerine neden olmuştur.
Avrupa ve İslam alemi ile bir köprü görevi yapan ve özellikle Hint-Arap sayı sistemini Avrupaya taşıyan, Endülüs Emevilerinin son şehri Granada'nın 1492 de kaybı ile İslam ülkelerinde bilgi üretimi giderek durgunlaşmıştır. Bu durgunluk, 1580 de Istanbul Rasathanesinin denizden topa tutturularak yıkılması ile bilimin yokluğuna dönüşmüştür. Yine de doğuda, zaman zaman önemli çalışmalar yapılacak fakat artık öncülük Avrupa'ya geçecektir.
1.3.8 - Evrensel Kültür Dönemi
Codex Vigilianus
Codex Vigilianus 880-976 yılları arasında, İspanya'da Pamplona Krallığında, bir kültür merkezi olarak tanına Albeida (Al-Beyda = Beyaz Şehir) 'de Riojan (okunması Riohan) Manastırındaki Vigila, Serracino ve Garcia adındaki üç rahip tarafından yazılmıştır.
Codex Vigilianus, günündeki sosyal yaşam yanında, 900 lü yıllarda, Araplar tarafından Endülüs'e getirilmiş olan Hint-Arap sayı sistemini Avrupa'ya tanıtan ilk eserdir.
Adélard de Bath
Adélard de Bath (Latince: Adelardus Bathensis) (yaklaşık 1080 – yaklaşık 1152) bir 12 inci yüzyıl, İngiliz doğa bilimcisi ve filosofudur. Ingilterde Somerset bölgesinde Bath kentinde doğmuş, tüm yaşamı seyahatlerde geçmiş ve yeniden Bath kentine dönüp yaşama veda etmiştir. Kendisi bir soylu değildir, ismindeki "de" (dö) eki, sadece doğduğu yeri bildirmektedir. Latince ismi daha gerçekçidir ve “Bath kentinden Adélard” anlamına gelmektedir.
Adélard de Bath, İngilterenin Somerset bölgesinde, Roma kültürel etkisindeki bir kent olan Bath kentinde Roma kültürel bilgi birikimi ile yetiştiği bilinmektedir. Bu kültür, kendisine her toplum ile ayrımcılık düşünmeden bilgi alışverişinde bulunabilme yeteneğini sağlamıştır. Kendisi orijinal Roma kültürü yanında, o günlerde İngilterede tek geçerli kültür olan Fransız kültürünü, Sicilya'da antik Grek kültürünü, Tarsus ve Antakya'da Islâm kültürünü özümsemiştir.
Adélard de Bath, Harzemli'inin "Kitab al-Cem vel-tefrik bi-hisab al-Hind " (Hint Hesabı ile Toplama ve Çıkarma) isimli cebir kitabını Latinceye "Algoritmi de Numero Indorum" adı ile 1126 da astronomik cetveller ile birlikte tercüme etmiş olduğu ileri sürülmektedir. Ayrıca Euclides'in elementlerini de tercüme etmiştir.
Adélard de Bath'ın en büyük hizmeti, kuşkusuz, tüm ortaçağ boyunca, adeta Aşh’arî - Gazalî tipi bir naklî (skolastik) sistemi baskılamakta olan Katolik kilisesine karşı, Aristocu bir akıl ile gerçeği arama yöntemini iler sürmesi olmuştur. Çağına göre çok ileri olan bu düşünceler, Avrupada ortaçağın bitmesi ve bir yeni doğuş (Renaissance) çağının başlamasına öncülük etmiştir.
Avrupada Hint-Arap sayı sistemi benimsenmeye başlanmış, fakat 16 ıncı yüzyıla kadar kullanımı daha çok Venedik tacirlerinin muhasebe sistemlerinde kullanılmakla sınırlı kalmıştır.
Fibonacci
Asıl ismi Leonardo Bonacci' dir. (1170 - 1250) yillarında Pisa' da yaşamıştır. Babası zengin bir ticaret adamı idi ve Cezayir'de Bejaya (Bougie) (Buji) (Mum) limanında papalık gemilerinin geliş-gidişlerinin düzenleyicisi olarak çalışıyordu. Bejaya kenti, Avrupa'ya mum ihraç ediyordu. Oğlu, orada Hint-Arap sayı sitemini öğrenmiş ve daha fazla bilgi kazanmak için doğuya yolculuk ederek birçok İslâm bilim adamından bilgi almıştır.
Bu gezilerden aldığı bilgilerle, "Liber Abaci" (Abakus'un Kitabı) adında bir kitap yazarak Hint-Arap sayı sistemini tanıtmıştır. Bundan sonra, "Figli Bonacci" (Fi-li Bonaççi olarak okunur) (Bonaççi Oğlu) olarak anılmış, bu da Fibonacci' ye dönüşmüştür.
Fibonacci, Hint-Arap sayı sistemine (Modus Indorum) (Hint Yöntemi) adını vermiş, bu yöntem 1970 lerde "Arap Rakkamları" olarak isimlendirilmiştir. Fibonacci, üreme modelleri üzerinde çalışarak "Fibonacci Sayıları" veya "Fibonacci Sekansi" adı verilen diziyi bulmuştur. Bu sayılar, daha önce 9 uncu yüzyılda Hint yarıkıtasında bilinmekteydi. Fakat, Avrupa'da yayılması Fibonacci ile olmuştur.
Fibonacci, devrinde büyük bir matematik dehası olarak kabul edilmiştir. Anısına, günümüzde bir asteroide 6765 Fibonacci adı verilmiştir.
Luca Pacioli
Luca Pacioli (okunuşu Luka Paçoli) 1494 de " Summa, Arithmetica, Geometrica, Proportioni et Proportinalitat" (Aritmetik, Geometri, Oranlar ve Orantılar Toplamı) adlı eserini yazmıştır. Bu kitap daha çok ticaret yapanlar için yazılmıştır. Bu kitapta ilk kez artı ve eksi işaretleri kullanılmıştır. Summa Aritmetica aynı zamanda L'Algebra (Cebir) üzerinde çalışmaları içermektedir. Bu konudaki çalışmaların Piero Dalla Franceska'dan alınma olduğu belirtilmektedir. Bu kitap ayrıca muhasebe (hesaplama sistemi) karşılığı olarak "Computis" (hesaplama) sözcüğünü de kullanmaktadır. Bu sözcük "comptant" (sayı sayan) (muhasebeci) sözcüğünü de ilk ortaya çıkaran yazıdır.
Nicolaus Copernicus
Nicolaus Copernicus (1474- 1543) yılları arasında yaşamıştır. Yaşamının son yılında, "De Revolutionibus Orbium Coelestium" (okunması: De Revolüsyonibus Orbiyum Selestiyum) (Yıldızların Yörüngesel Dönüşleri) ilk kez yörünge merkezi olarak Güneşi kabul eden ve bu şekilde Kopernik devriminin başlamasına yol açan kitabını yayınlamıştır. Bu kitap aynı zamanda bilim devriminin de başlangıcını oluşturmaktadır. Heliosantrik (güneş merkezli) model ilk kez Samos'lu Aristharchus (M.Ö. 310 -230) tarafından ileri sürülmüş, fakat Aristoteles ve Ptolemaius'un geosantrik (yer merkezli) modeli yanında fazla etki yaratmamıştır. Copernicus'un bu çalışmaları bildiği ve modelini bu bilgilerden yararlanarak kurduğu düşünülmektedir.
Copernicus'un bu modeli yayınlamasından sonra, ileride Johannes Képler, güneş merkezli modelde yörünge yasalarını oluşturacak ve daha sonra Sir Isaac Newton ünlü çekim yasalarını formüle edecektir.
Cardano
1570 lü yılların başlangıcında, Scipione (Okunuşu: Sipyone) del Ferro ve Niccolò Fontana Tartaglia üçüncü derece denklemlerin çözümünü açıklamaya çalışmışlardır. Bu çalışmaları Cardano (Okunuşu: Kardano) 1545 de "Ars Magna" (Büyük Sanat) adlı kitabında yayınlamıştır. Bu kitapta öğrencisi Ludovico Ferrari'nin de bulduğu dördüncü derece denklemler de verilmiştir.
Regiomontanus
1533 de Regiomontanus (Okunuşu: Recomontaanus) (anlamı: Dağlar Hakimi) sinüs ve kosinüs tablolarını yayınlamıştır.
Bombelli
Rafael Bombelli, 1572 de ``L'Algebra'' adlı kitabını yayınlamıştır. Bu kitapta Cardano'unun üçüncü derece denklem çözümlerinde geçen sanal sayılar da incelenmektedir.
François Viète (Franciscus Vieta)
François Viète (Okunuşu. Viet) (1540-1603) yıllarında yaşamış ve cebir konusunda çok katkılar yapmış bir Fransız hukukçu ve matematikçisidir. 1579 da "Canon Mathematica" (Mathematiğin Kanunu) (Francisci Vietœi universalium inspectionum ad canonem mathematicum liber singularis) adlı kitabını yazmıştır. Bu kitapta trigonometri üzerine birçok konu bulunmaktadır.Diğer önemli bir eseri, beş kitaptan oluşan (Francisci Vietae Zeteticorum libri quinque) dir. Bu kitaplarda Diophantus'un cebir teoeremlerini incelemiş ve analitik kanıtlarını açıklamıştır.
François Viète, matematikte cebiri kullanan, Harzemli'den sonraki ilk kişidir. Harzemlinin yolunda ilerlemiş ve cebri sembollerle açıklamaya çalışmıştır. Onlu sayı istemini Simon Stevin'den önce, yıldızların eliptik yörünlerini Képler'den önce açıklamıştır.
Viète'in çalışmaları kendisinden sonra gelen tüm matematikçileri etkilemiştir. Özellikle, René Descartes, Analitik geometri'yi Viète'in bilgilerinden etkilenerek geliştirmiştir.
Simon Stevin
Hollandalı Simon Stevin 1585 de "De Thiende" (Onlular) adlı kitabını yazmış ve burada desimal notasyonun esasları açıklanmıştır. Bu sistem ileride gerçel sayı sistemini etkileyecektir.
Bartolemeus Pitiscus
Trigonometrinin bağımsız bir bilim olarak ortaya çıkması, 1595 de Bartholomeus Pitiscus'un "Trigonometria" adlı eserinin yayınlanması ile başlamıştır. 17 inci yüzyıldan günümüze kadar bilimde başdöndürücü ilerlemeler elde edilecektir.
René Descartes
René Descartes (okunuşu: Röne Dekart) veya Renatus Cartesius (okunuşu: Renatus Kartezyus) (1596 -1650), batı filosofisinin babası olarak kabul edilir. Aristocu "Rasyonalist" düşünce yanında stoacı (stoik) düşüncelere de sahiptir. Kilisenin skolastik öğretisine karşı çıkmıştır. Descartes, algılanan nesnelere şüphe ile yaklaşmak gerektiğini, çünkü algının yanıltıcı olabileceğini, gerçek niteliğin ancak algının akıl ile değerlendirilmesi ile ortaya çıkabilececeğini belirtmiştir. Bu düşünce "dedüktif" (tümdengelimci) bir düşünce olmasına karşın deneysel gerçeklere de değer vermektedir ve ileride bilimsel metodun temellerini oluşturacaktır. Descartes'a göre, şüphelenilmeyecek tek şey, insan düşüncesidir. Bu da ünlü "Cogito Ergo Sum" (Düşünüyorum Demek ki Varım) önermesine yol açacaktır.
Descartes büyük bir matematikçidir. Geometri ve cebri bağdaştıran yeni bir bilim dalını, "Analitik Geometri"'yi geliştirmiştir. Bugünkü koordinat sistemi onun anısına "Kartezyen Koordinat Sistemi" olarak adlandırılmıştır. Viète'in sembolik cebrine devam etmiş ve ilk kez sabitlere alfabenin a, b, c, gibi ilk harflerini, değişkenlere de alfabenin x, y gibi son harflerini vermiştir.
Descartes modern felsefenin babası olarak kabul edilmektedir. Metodik şüpheciliği, ilerideki kuşakları derinden etklemiş ve modern bilimin temellerini oluşturmuştur.
Tyco-Brahé
Istanbul rasathanesinin karanlık düşünceli insanlar tarafından tahribinden sonra, modern astronomi, (1546-1601) arası yaşamış olan Tyco-Brahé'nin önce İsveçte Hven adasında, daha sonra da Prag' da kurmuş olduğu iki gözlemevi ile devam etmiştir. Buralarda çok duyarlı gözlemler yapılmış ve Prag gözlemevinde Johannes Képler yetişmiştir.
John Napier
John Napier (1550 - 1617), 1614 de ünlü "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (Hayret Verici Logaritma Yasalarının Tanımı) adlı kitabını yayınlayarak logaritma yöntemini tanıtmıştır. Kitapta ayrıca küresel trigonometri üzerine önemli bilgiler de bulunmaktadır. Logaritma harika bir araçtır. Matematiksel hesaplarda Képlerden başlayarak 20 inci yüzyıl sonlarına kadar hesaplarda kullanılmış ve çok yararlı olmuştur.
Johannes Képler
Johannes Képler (1571 - 1630) Copernicus sistematiğini incelemiş ve gezegenlerin hareket yasalarını bulmuştur. Yazdığı kitaplar uzun yıllar astronomi için temel kitaplar olmuştur. Yazıları Sir Isaac Newton'un yerçekim yasalarına temel oluşturmuştur. En önemli eseri "Astronomia Nova" (Yeni Astronomi) dir. Astronomi dışında müzik ve optik kuramları ile de çalışmış ve geometride süreklilik kuramını ortaya atmıştır.
Galileo Galilei
Galileo Galilei (1564 - 1642) yılları arasında yaşamıştır. Astronomi, matematik ve fizikte büyük ilerlemeler sağlamıştır. Astronomide ilk olarak teleskop yapan ve kullanan bilim adamıdır. Modern "gözleme dayanan astronomi", "modern fizik" ve "modern bilim" 'in babası olarak kabul edilir. Galilei yaptığı gözlemler sonucu, Copernicus'un güneş eksenli sistemini savunduğu için kilise tarafından iki kez yargılanmış, her ikisinde de "hérésie" (sapkınlık) ile suçlanmış ve canını ancak savunduklarını inkar ederek kurtarmış ve ömrünün sonuna kadar ev hapsinde tutulmuştur. Mahkemesinden sonra söylediği "eppur si muove" (yine de, hareket ediyor) demiş olması ünlüdür.
Astronomik gözlemleri sonunda kuyruklu yıldızların hareketinden, Aristoles'in ileri sürdüğünün aksine güneş sistemi dışındaki yıldızların da hareket ettiğini belirtmiş, kilise ile bir kez daha ters düşmüştür. Galilei, bilim ve filosofinin ayrılmasına öncülük etmiş ve burada da kilisenin savunduğu Aristoteles'in görüşüne karşı çıkmıştır. Düşüncelerin deneylere göre değişebilmesi gerektiğini söylemiştir. Matematik yasalarını tümevarımcı (indüktif) prensiplere göre bir akıl yürütme ile kanıtlamanın olanağı olduğunu belirtmiştir. Doğanın düzeninin matematiksel olduğunu anlamıştır. Bunu, "Evrenin kitabı, yazılmış olduğu dil ve bu dilin karakterleri bilinmezse okunamaz. Bu kitap matematik dilinde yazılmıştır, harfleri üçgenler, çemberler ve diğer geometrik şekillerdir. Bunlar olmazsa, insanların tek bir sözcük bile anlaması olanaksızdır. Bunlar olmazsa, insanlar karanlık bir labirentin içine düşerler." şeklinde açıklamıştır.
Ev hapsinde iken, "Kinematik" ve " Cisimlerin Mukavemeti" kitaplarını yazmıştır. Her ikisi de gerek Albert Einstein, gerekse Stephen Hawking'in takdirle bahsettiği kitaplardır. Stephen Hawking, Galileo Galilei'nin bilimin gelişmesinde, büyük olasılıkla herkesten çok etkisi olduğunu belirtmiştir.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat (1606 - 1665) Hukukçu ve amatör bir matematikçidir. Bir eğrinin maksimum ve minimumlarının bulunması için yaptığı çalışmalarda, türevin bulunmasını sağlamıştır. Bu buluş, türevi ilk farkeden Şerafettin-Al-Tusî'den yaklaşık dört yüzyıl sonra ortya çıkmıştır. Üstel fonksiyonların integrallerinin bulunmasını sağlamış, bu şekilde "Diferansiyel ve Integral Hesap" yönteminin yolunu açmıştır. Geometrik serilerin toplamının bulunması için geliştirdiği teknik, ileride Sir Isaac Newton ve Leibniz'e birbirlerinden bağımsız olarak, "Kalkülüs'ün Temel Kuramı" nın geliştirmelerinde esin kaynağı olmuştur.
Fermat birçok kuram üzerinde çalışmıştır. Bunlardan en tanınmışı, "Fermat'ın Son Kuramı" veya "Fermat Konjektürü" olarak adlandırılan konjektürdür. Bu konjektür, modern çağlara kadar kanıtlanamamış, ancak 1994 de Sir Andrew Wiles tarafından çok karmaşık ve derin yöntemler kullanılarak çözülebilmiştir.
Blaise Pascal
Blaise Pascal (1623 - 1662) matematik, fizik ve filsofi'ye büyük katkıları olmuş bir bilim ve din adamıdır. Henüz 16 yaşında iken "Essais pour les coniques" (Konikler üzerinde denemeler) kitabını yazmıştır. Özellikle 1653 de yayınladığı "Traité du Triangle Arithmetique" Binom katsayılarının bulunması için bir üçgen tablo oluşturulmasıdır. Daha önceleri Hind, Çin ve İslâm matematikçileri tarafından da tanımlanmış olan bu üçgene batıda "Pascal Üçgeni" , doğuda "Hayyam - Pascal Üçgeni" adı verilir.
Pascal, probabilistik yöntemler üzerinde de çalışmalar yapmış ve bu çalışmaları ileride Leibniz 'in Kalkülüs (Diferansiyel ve Integral Hesap) çalışmalarına esin vermiştir. Toricelli deneylerinin incelenmesi ile fizik konusunda da çalışmalar yapmıştır. Bugün, Clairmont-Ferrand kentinde "Blaise Pascal Üniversitesi" bulunmaktadır.
Isaac Barrow
Isaac Barrow (1630 – 1677) Infinitesimal kalkülüs ve tanjantlar üzerinde çalışmalar yapmış, "Aritmetiğin Temel Yasasını" bulmuştur. Sir Isaac Newton onun öğrencisidir.
Sir Isaac Newton
Sir Isaac Newton (1642 - 1727) Astronomi, fizik, matematik ve filosofi üzerinde çalışmıştır. Yerçekim yasalarını ortaya koyduğu "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (Doğa Filosofisinin Matematik Prensipleri) adlı kıtabında sonraki üçyüzyıl boyunca etkisini sürdürecek olan klasik mekanik yasalarını oluşturmuştur. Işığın difraksiyonunu bulmuş ve bir renk kuramı geliştirmiştir. 20 inci yüzyıldaki bir oylamaya göre, Albert Einstein'dan sonra ikinci en ekili olmuş fizikçi olarak nitelendirilmişir. 1705 de "Sir" unvanı ile şövalyelik verilmiştir.
Leonhardt Euler
Leonhardt Euler (Okunuşu Leonard Oyler) (1707 - 1783) arası yaşamış ve matematik, astronomi, müzik, fizik gibi geniş konularda çalışmıştır. Euler sayısını bulmuştur. Matematiğin en büyük isimlerinden birisi olarak kabul edilmektedir.
Adrien - Marie Legendre
Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) (Okunuşu Adrien-Mari Löjandr) Fransız matematikçisidir. Legendre Polinomlar ve Legendre Transformasyonlarını bulmuştur. En küçük kareler metodu, eğri uydurma, gamma sayısı, gibi önemli buluşlar yapmış, çalışmaları ileride Abel, Galois ve Gauss'un çalışmalarına kaynak olacaktır. Yazmış olduğu"Éléments de géométrie" (Geometrinin Temeli) adlı kitabı Euclides'in "Elements" kitabının daha anlaşılır bir yazımı olarak kabul edilmiştir. Bu kitap 100 yılı aşkın ders kitabı olarak okutulmuştur.
Pierre- Simon Laplace
Pierre-Simon Laplace (1749- 1827) Fransız doğa bilimcisi ve matematikçisidir. Laplace (okunuşu Laplas) transformasyonları, olaslılıkta Bayésien açıklamalar, Laplace tarafından geliştirilmiştir. Yazmış olduğu "Traité de Mécanique Céleste" (Yıldızların Mekaniği) kitabı o güne kadar geometrik olarak yaklaşılmış olan bu konuya cebirsel olarak bir bakış açısı getirmiştir. Laplace transformasyonları ile Laplace operatörü, kendisinin buluşlarıdır.
Çalışmaları kendisine "Marki" unvanı verilmesine ve 23 yaşında Fransız Bilimler Akademisine kabul edilmesine neden olmuştur.
Augustin-Louis Cauchy
Augustin-Louis Cauchy (okunuşu: Ogüsten-Lui Koşi) (1789 - 1857) Fransız matematikçi ve Analiz'in ilk öncüsüdür. Kompleks analiz, permütasyon grupları ve soyut cebir üzerine çalışmalar yapmış, ünlü "Cauchy Kriteryumu"'nu oluşturmuştur. Cauchy'nin yaşamı, Fransa'nın yaşadığı politik karmaşalar arasında geçmiş, buna rağmen inanılmaz sayıda kitap yayınlamıştır. Yazmış olduğu kitaplar, kendisinden sonra yüzyıl gerektirmiş olan bir sürede, 27 geniş ciltte toplanabilmiştir.
Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel (okunuşu, Nils Heynrik Abel) (1802 – 1829) Norveçli bir matematikçidir. Kısa yaşamında eliptik fonksiyonları ve Abelien fonksiyonları bulmuştur. Kısa çalışma sürecinde çok etkili çalışmalar yapmış ve Fransız matematikçi Hermite (Hermit) onun için" Abel matematikçileri beş yüzyıl meşgul edecek kadar konu bıraktı" demiştir. Yaşamında çalışmaları tanınmamış ve yokluk içinde yaşamını yitirmiştir.
Évariste Galois
Évariste Galois (1811 - 1832) (Okunuşu : Evarist Galua) Kısa yaşamında Gruplar Kuramı ve Galois Kuramı olarak iki büyük çalışma bırakmıştır. Bu kuramlar kendisininden sonra matematikte büyük bir etki bırakmıştır. Genç yaşında düello'da öldürülmesi, en büyük üzüntü kaynaklarından biridir.
Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) (Okunuşu Yohan Karl Fridrih Gaus) Alman matematikçi, çok sayıda konu ile çalışmış, çok sayıda eser vermiştir. Gauss dağılımı, Matris kuramı, sayılar kuramı, jeodezi, jeofizik, astronomi elektrostatik, cebir, analiz, diferansiyel geometri çalışmış olduğu alanlardır. Kendisine, "Princeps Mathematicorum" (Matematiğin Prensi) adı verilmiştir.
Georg Cantor
Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)(Okunuşu, Georg Ferdinan Ludvig Filip Kantor) (1845 - 1918) Alman matematikçi ve Kümeler Kuramının kurucusudur. Doğal sayılar, gerçel sayılar, Kardinal ve Ordinal sayıları ilk kez açıklamış ve bunlarla işlemler yapmıştır. Sonsuzluk kuramını oluşturmuş ve sonsuzluğun açıklamasını yapmıştır. Bu düşünceler, "Transfinit Sayılar" olarak tanımlanmış, başlangıçta çok karşı çıkan olmuş sonra daha yumuşak tepkiler almayı başarmıştır.
Matematikte kuramları yoğun bir biçimde tartışılmış, Kümeler kuramı matematiin temeli olarak kabul edilmiş ve yirminci yüzyıl matematiğinin önemli bir çalışma alanı olmuştur. Bu çalışmalar günümüzde de bütün yoğunluğu ile devam etmektedir.
Richard Dedekind
Richard Dedekind (1831 – 1916) Alman matematikçi. Sayılar kuramı üzerine çalışmış, Cantor'un kümeler kuramınının önemini anlamış ve onu savunmuştur. Sayılar kuramının oluşturulması için aksiomatik bir çalışma yapmış, fakat çalışmalarını Giuseppe Peano daha kolay anlaşılır bir şekilde düzenlemiştir.
Guiseppe Peano
Giuseppe Peano (1858 – 1932) (Okunuşu Cuzeppe Peano) İtalyan matematikçi. Özellikle sayılar kuramı üzerinde Dedekind'in aksiyomlarını düzenleyerek "Peano Aksiyomları" olarak tanınmalarını sağlamıştır. Matematik mantığın da kurucusu sayılır. Kümeler kuramını da düzenlemiş, birleşim ve kesişim sembollerini yapmış ve kullanmıştır.
Bertrand Russel
Bertrand Russel (1872 - 1970) (Lord Russell) İngiliz filosof, aktivisit, matematikçi, yazar, mantıkçı, sosyal kritik ve tarihçisidir. Yoğun ve değişik konularla çalışmasına rağmen matematik mantıkta çok büyük bir eser yaratmış ve kümeler kuramında Russell çelişkisini ortaya çıkarmıştır. Bertrand Russell çağın en büyük filosoflarından mantıkçı Alfred North Whitehead ile birlikte üç ciltlik "Principia Mathematica" adlı anıtsal eseri yaratmıştır. Bu çalışma, matematiğin mantık temeline dayalı bir bilim olarak düzenlenmesine ve kümeler kuramına göre formüle edilmesine yöneliktir. Çok yararlı ve başarılı bir yapıt olmasına karşın, matematik biliminin mantık kurallarına göre, kümeler kuramına dayalı olarak formüle edilmesinde çelişki ile karşılaşılmıştır. Russell çelişkisi (Russell paradox) olarak adlandırılan bu çelişki, sonsuzluğun yeniden tanımlanması ve bilinmezliğinin yeniden kabulü, Zermelo-Fraenkel aksiomları ile aşılabilmiştir. Matematik ise ancak ileride Zermelo- Fraenkel aksiyomlarının kabul edilmesi ile aksiyomatik küreler kuramına göre şekillenebilecek, bu da evrenin ancak bilebildiğimiz kadarı ile çalışabilebileceğimizin bir göstergesi olacaktır. Lord Russell 1950 de edebiyat kolunda Nobel Ödülü almıştır.
David Hilbert
David Hilbert (1862 - 1943) 20 inci yüzyılın en etkili matematikçilerinden biridir. Matematik, Fizik üzerinde çalışmıştır. Invariant kuramı, diferansiyel geometri (ileride Einstein'a esin verecektir). Hilbert Uzayı yarattığı yeniliklerden bazılarıdır.
Hilbert, Cantor tarafından ortaya atılmış olan kümeler kuramını ve transfinit sayıların en büyük destekçilerinden biridir.
Matematiği tamamen belirli aksiyomlara dayanan formal bir küme olarak tanımlama projesi, 1930 da Kurt Gödel tarafından açıklanan yetersizilik kuramı ile olanaksız olduğu görülmüştür.
1920 de Paris'de toplanan matematik kongresinde 23 tane çözülmemiş problemi tanıtmış ve 20 inci yüzyılda matematikçilerin bu problemlerin çözümüne gayret etmelerini söylemiştir. Ünlü "wir müssen wissen, wir werden müssen" (bilmeliyiz, bileceğiz) sözcüğü kendisinindir.
Albert Einstein
Albert Einstein (1879 - 1955) (Okunuşu Alber Einstein) Alman kuramsal fizikçisi. Görecelik Kuramı (İzafiyet Teorisi) nın kurucusu, Enerji Eşdeğerliği e = m.c2 formülünü oluşturmuş ve bu formül en çok bilinen formül olarak tanınmaktadır. 1921 de Fotoelektrik Etki açıklaması ile Nobel Fizik Ödülünü almıştır. Çok sayıda çalışması bulunmaktadır.
Modern çağlarda çok sayıda önemli matematikçiler olmasına karşın, bu sayfalarda sadece çok dikkat çekmiş olanlar incelenebilmiştir. Tüm bu bilgilerin kaynağı büyük çoğunlukla Wikipaedialar ve Internet de yayımlanmış olan açık kaynaklardır.
1.3.9 - Çin, Türkiye ve Hindistanın Özgürlüğe Kavuşması
Çin, Dr. Sun Yat-sen önderliğnde 1921 de demokratik bir yapıya kavuşmuş ve Çin Cumhuriyeti kurulmuştur. Bu tarihten başlayarak, Çin tarihsel bilgi birikimi yanında batı kaynaklı bilgilere açık bir süreç içine girmiş ve kısa sürede bilgilenmede eski en yüksek değerlerini yakalamaya başlamıştır. Çin bu konuda insanlığın bilgilenmesi için büyük bir kazanım olmuştur.
Türkiye Mustafa Kemal Atatürk önderliğinde 1920 de demokratik Yapıya kavuşmuş ve Türkiye Cumhuriyeti kurulmuştur. Türklerin devlet idaresindeki büyük birikimleri nedeni ile, devlet idaresinde bu geçiş sorunsuz olarak gerçekleşmiş olmasına karşın, sosyolojik yaşam ve bilgilenme açısından bu süreç büyük zorluklarla karşılaşmış, fakat gerek önderinin büyük halk sevgisi, halkının da önderine büyük güveni nedeni sayesinde bu zorluklar aşılarak modern Türk Cumhuriyeti kurulmuştur.
Türkiye Cumhuriyetinin yaşamış olduğu güçlükler, Çin ve Hint modernizasyonlarına göre çok daha ağır sorunlarla karşılaşmıştır. Gerek Çin, gerekse Hint toplulukları otokton topluluklardır. Bu topluluklara emperyalist güçler dişarıdan saldırmış, ülkeler kısmen işgal edilmiş, fakat gerek dinsel, gerekse kültürel değerler kaybolmadan gelişerek devam etmiştir. Sonuçta emperyalist güçler ülkeden kovulmuş ve sosyo-kültürel yaşam kaldığı yerden aynen devam etmiştir.
Oysa, Türker için aynı olgular gerçekleşememiştir. Türkler önce Çinlilerin, sonra Arapların, en sonunda Moğolların baskıları ile sürekli yurt değiştirmişler, öz alfabelerini, Orhun ve Yenisey boylarında bırakarak hiç bilmedikleri Arapçanın karmaşık ve tamamen Arapçanın dil yapısına bağlı olan Arap alfabesini kabul etmişlerdir. Özlerindeki anaergil sosyal yapıyı terkederek Arap ataergil sosyal yapısını almaya zorlanmışlardır. Öz dinlerini terkederek İslam dinini kabul etmişlerdir. En gelişmiş semavî din olan, son derece özgürlükçü, bilime açık olan İslam dinini, Arapça bilmedikleri için özünden değil, kendilerine göre yorum yapanlardan dinlemişlerdir. Hiç anlamadıkları Arapça dilinden ibadeti, anlamadan ve ve ezber söyler gibi tekrar ederek uygulamışlardır. Sonuçta, anlamadan uyguladıkları bu din, kendilerinde ağır ve zor aşılabilen bir dinsel tutuculuk oluşturmuş, bu nedenle her yeniliği anlamadıkları dine karşı bir saldırı olarak algılamaya yatkın olmuşlardır. Türkiye Cumhuriyeti, Türklerde bir öze dönme hareketidir. Ağır ve baskıcı dinsel tutuculuk kırılmış, bireysel haklara saygı gösterilmiş, dinsel ögelere değil kanıtlara dayanan, laik ve tarafsız bir hukuk düzeni oluşturulmuştur. Kadınlara her alanda eşit haklar tanınmış ve Türkiye bu konuda dünyanın en ileri ülkelerinen biri haline gelmiştir. Öğrenilmesi zor Arap alfabesi yerine, kolay öğrenilen ve sesli harfler içeren Latin alfabesine dayalı bir yeni Türk alfabesi oluşturulmuş ve derhal kullanıma alınmıştır. Bütün bunlar ağır ve toplumu derinden sarsabilecek olaylardır. Oysa, bu değişimler, Türk halkı tarafından kolay benimsenmiştir. Çünkü halk, bunların doğru ve gerekli yöntemler olduğunu görmüştür.
Bilgilenme konusunda, daha da büyük sorunların aşılması gerekmiştir. 1580 de Istanbul gözlemevinin gerici güçlerce yıkılması sonunda Türk halkının bilimsel gelişmelerle ilgisi kesilmiştir. Eğitim sadece din eğitimi konuları ile sınırlanmış, İslam dini de Arapçaya dayandığından, bu dili anlamayan Türk halkının bilgi edinme olanağı kalmamıştır. Osmanlı devleti, iç yazışmalarını Türkçe-Farsça-Arapça karışımı bir dil olan Osmanlıca olarak, Arap alfabesi üzerinden yaptığından, zaten sesli harflerden yoksun ve bir tür kriptolojik yazı olan bu alfabenin okunması ve yazılmasının olağanüstü zor olması yanında, Osmanlıca’ da zaten az olan Türkçe sözcüklerin de bu alfabe üzerinen yazılıp okunması olanaksız sayılacak kadar zor olmuş, bu da Türk halkının devlete dilekçe bile yazamayacak kadar okuma ve yazma yoksunu olması sonucunu doğurmuştur. Osmanlı devrinin son yıllarında yenilenmeye çalışılan öğretim çabaları da bu alfabenin olumsuz engeli nedeni ile sonuçsuz kalmıştır.
Yeni Türk alfabesi kabul edildikten sonra, karşılaşılan durum, tam bir bilgi yoksunluğu olmuştur. 1580 den sonra, bilimsel bilgi neredeyse hiç yoktur. 1580 öncesi bilgiler ise Farsça ve Arapça olduklarından hiç anlaşılamamakta, üstelik bu bilgiler, Avrupa kaynaklarınca yenilenmiş olduklarından tam anlamı ile işe yaramaz durumdaydılar. Büyük Mevlana Celaleddin-î-Rumî gibi Türk intelligensiyasının edebiyatçıları Farsça yazmış olduklarından, Türk değil, Fars edebî ikliminin isimleri olarak tanınmaktaydılar. Türk edebiyatı olarak nahif, troubadour (gezginci şair, ortaçağdan sonra kaybolmuşlardır) halk edebiyatı şairleri bulunmaktaydı. Divan edebiyatı olarak adlandırılan, gelişmiş olduğu varsayılan Osmanlı edebiyatı ise, Ronsard’dan sonra rönesans sürecinde tamamen demode olmuş allegorik ögelerden oluşan bir şiir türü idi ve edebiyatın buna dayanarak gelişmesi düşünülemezdi. Avrupa’da büyük önem taşıyan nesir yazım türü, yani hikaye ve roman, tarih, inceleme türü yazılar ise, yok denecek kadar azdı ve yeni Türk edebiyatına kaynaklık edemiyorlardı. Bilimde kullanılan tüm terimler Arapça idi, toplum tarafından anlaşılamıyordu ve bu yüzden tüm terimlerin Türkçeleştirilmeleri gerekiyordu. Bizzat Atatürk bile bu konuda bir geometri kitabı yazarak katkıda bulunmuştur. Bu konuda Türk Dil Kurumu kurularak gündelik yaşamda ve bilimde kullanılan terimlerin Türkçe karşılıkları oluşturulmaya başlanmıştır ve bu çabalar halen de devam etmektedir.
Bu durumda yapılacak şey, batının 1600 lü yıllardan beri yaptığı gibi, tüm eserleri Türkçeye çevrirmek ve yeni Türk alfabesinin de sağladığı kolaylıktan yararlanılarak Türk halkının bilgilenmesini sağlamak olmuştur. Bu kadar kısa süre içinde, beşyüz yıllık bir bilgi birikimini aktarmak ve özümsenmesini sağlamak ancak bir mucize olabilirdi ve Türkiye Cumhuriyeti bu mucizeyi gerçekleştirmiştir. Bu konuda eğitimin yenilenmesinde büyük emeği geçmiş Mustafa Necati ve tüm klasik eserleri tercüme ettirerek halkımızın yararlanmasını sağlamış olan Hasan Alî Yücel gibi değerli milli Eğitim Bakanlarının adlarını saygı ile anmak gerekir.
Sonuçta, yeni kurulan ve hiçbir alanda Osmanlı İmparatorluğu ile ilgisi olmayan Türkiye Cumhuriyetinde, Atatürk devrimleri ile Türk kültürü ile hiçbir ilgisi olmayan ve asırlarca öğretimin en büyük engelini oluşturan Arap harfleri yerine yeni Türk alfabesi oluşturulmuş, toplumda okuma-yazma seferberliği ile okur-yazarlık yüzde sıfırdan yüzde doksanların üstüne çıkarılmış, kadın hakları özgür düşünce, laik hukuk ve laik eğitim Türkiyeyi çağdaş bilim ve teknolojinin uygulandığı uygar ve kıvanç verici bir ülke haline getirmiştir. Bu konuda, Atatürk bir noktada Thales’in oynadığı rolü oynamış ve toplumunu çağdaşlığa taşımıştır. Ülkemizin tüm insanları, özellikle kadınlar kendisine çok şey borçludurlar. Böyle bir lidere sahip olabildiğimiz için mutluluk ve kıvanç duyuyoruz. Bugün, Türkiye tüm insanlık için bilgi birikimine katkı yapmaya çalışan çağdaş bir ülke haline gelmiştir.
Türkiyenin Özgürlüğe kavuşmasının ardından 1947 de Mahatma Gandi liderliğinde Hindistan tarihte bir ilk olan barışçı bir şekilde İngiltereden bağımsızlığını kazanmıştır. Mahatma Gandi “Bapu” (Hindistanın Babası) olarak anılmıştır. Gandinin tevazuu, barışçılığı, İngiltere ve Hindistan arasında çıkabilecek olan sorunların barışçı bir şekilde çözülebilmesini ve bağımsızlıktan sonra da, kültürel ve ekonomik yakınlığın devamını sağlamıştır. Özgürlük ve demokrasi, Hindistanın eski büyük kültürel mirasını yeniden kazanmasını, güncel bilgilerle donanımını ve günümüzde en etkin bir bilim, kültür ve teknoloji ülkelerinden birisi olmasını sağlamıştır. Bu sonuçtan tüm insanlık kazançlı çıkmıştır.
1.4 - Mantık
Mantık, düzgün ve sürekli akıl yürütme anlamına gelir. Mantık sözcüğü Grekçe "Logike" (söz) sözcüğünün arapça tercümesidir. Logikos, Logos'a ait demektir. Bu sözcük güzel ve akla yakın (akıl yürütme ile edilmiş) söz kavramlarını içermektedir. Aynı kaynakları kullanmış olan Farabi, mantık için,
tanımını yapmıştır.
Bu bilgilerin, bizzat Farabi tarafından, eski düşünürlerden geldiği söylenmiştir.
Bu konuda büyük bilgi sahibi, Prof. Dr. Necati Öner, Klasik Mantık kitabında, doğu ve batı yarımküreleri düşünürlerinin kaynaklarının aynı (Grek kaynakları) olduğundan, söylemlerinin de benzer olduğunu belirtmiştir.
Mantık, bilinen bilgilerdenden yeni bilgilere ulaşma yöntemidir. Mantık, neyin neyi izlediğinin, belirli kurallara uyularak ve metodik olarak olarak incelenmesidir. Mantık, insanlara düzgün kararlar alma yeteneğini sağlayan kurallar dizisidir. Mantık, hangi şeyin, hangi şeyden kaynaklandığını inceleme sanatıdır. Bu tanımları kapsayacak bir bilgi sistematiğinin son derece geniş içerikli olacağı açıktır.
1.4.1 - Mantık Kavramları
188.8.131.52 - Formal Mantık
Bilgilenme (sonuç çıkarma) (inferans) olayının, tamamı ile kurallara uyacak şekilde yürütlmesidir. Buna "Kuralcı Mantık" olarak da bakılabilir. Eğer bir bilgilenme tamamen genel ve hiçbir özel işleme yönelik olmayan bir kuralın bir özel hale uygulanması ile elde edilmişse, o bilgilenme tam olarak formal bir içeriğe sahip olarak kabul edilir.
Dünyada bilinen en eski formal mantık Aristoteles'i sillogistik mantığıdır.
Doağal olarak formal mantığın varlığı, formal olmayan mantığın değerini azaltmaz. Çünkü hiçbir formal mantık önermesi, gündelik konuşma dilinin tüm ayrıntılarını yansıtamaz.
184.108.40.206 - Informal Mantık
Bu mantık tipi, kuralsız bilgilenme vadetmektedir. Doğal o larak kuralsız elde edilmiş bir sonucun değeri yoktur. Bunun için bir mantık türü sayılmaz. Aristoteles'in sillogistik manığının kötü kullanımı, informal mantıktır ve bu kapsamda incelenir.
220.127.116.11 - Sembolik Mantık
Sembolik mantık, formal mantık kurallarının sembollerle açıklanmasıdır. Genel olarak iki alt gruba ayrılır.
Bu iki alt grubu da detaylı olarak inceleyeceğiz.
18.104.22.168 - Matematik Mantık
Matematik mantık, sembolik mantığın matematiksel alanlara uygulanmasıdır. Özellikle bu çalışma kapsamında inceleyeceğimiz. Kümeler kuramı (Set Theory), Hesaplama Kuramı (Computability Teory), Kanıtlama Kuramı (Proof Theory) ve bu çalışma kapsamında olmayan Model Kuramı, Matematik Mantık kapsamında incelenirler.
1.4.2 - Mantıksal Yapılanma
Mantıksal yapı (form) bir savın mantıksal yapısıdır. Mantık, bir sav'ın yapısına göre geçerlilik bilgilenmesi sağlıyorsa, o mantık türü "Yapısal (Formal)" mantık niteliğindedir.
Bu çalışma kapsamında, savları , sav yapılarını, sav yapılarının sembolik mantık yöntemleri ile geçerliliklerinin sağlanmasını inceleyeceğiz. Yani yoğun bir mantık çalışması programımız olacak. Bu nedenle, daha baştan, mantık üzerinde sağlam bir başlangıç bilgimiz olması gerekiyor.
Bir savın yapısı, gündelik dilin formal grameri ve ve mantıksal dilin sembolik yapısı ile formal bilgilenme sağlayabilir. Basit olarak, bir savın yapısı, gündelik konuşma dili ile açıklanan önermelerin, sembolik mantık diline çevrilmesi ile oluşturulur.
Gündelik dil ile blirtilen önermeler çok ayrıntılı, renkli anlam nüansları içeren ayrıntılı söylemler içerebilirler. Oysa, kullanabileceğimiz iki sembolik dillerin sözlüğünde 5 ve7 eleman bulunmaktadır. Bir sav'daki önermelerin bu kadar kısıtlı olanaklar kullanılarak sembolik hale dönüştürülmesi, doğal olarak, anlam kayıplarına neden olabilecektir. İşin ustalığı bu dönüşümün en az anlam kaybı ile gerçekleştirebilinmesidir.
Bu konuda yine Aristoteles başı çekmiş ve önermeleri alfabe harfleri belirtimiştir. Sillogism konusunda, Aristoteles'den kaynaklanan fakat modern zamanlarda daha fazla geliştirilmiş olan yapısal sav örneklerini inceleyeceğiz.
1.4.3 - Semantik
Semantik (Anlambilim) kullanılan mantıksal sembollerin anlamları ile ilgilenen bir filosofik kavramdır. Filosofide, üzerinde çok geniş açıklamalar yapılan bir alan ise de, konumuz matematik ve matematiğe temel olan "Önermeler Mantığı" ve "Tek Yüklemli Yüklemler Mantığı"'ında, semantik sadece, kullanılan sembollerin anlamları ile sınırlıdır.
1.4.4 - Bilgilenme (İnferans)
Mantıksal bilgilenme bir ileri sürüş (sav) için "Geçerli" veya "Geçersiz" olduğu üzerine bilgi verir.Bu konuyu uygulamalı olarak geniş ölçüde inceleyeceğiz.
Bilgilenme veya (Sonuçlar) kuramı genel olarak Aristoteles'in düşüncelerine dayalı olarak ortaçağ başlangıcı filosofları olan William of Ockham ve Walter Burley tarafından tanıtılmışlardır. Bu yüzden, çok tanınmış sav yapıları olan "Modus Ponens" (Posito antecedente ponitur consequens) (Gerek Koşulu Geç, Yeter Koşulu Doğrula), "Ex Falso Sequitur Quodlibet" (Bir çelişkiden Herşey Kanıtlanabilir), "Reductio ad Absurdum" (Olmayana Ergi), "Modus Tollens" (Modus Tollendo Tollens) ("Gerek koşulun doğrulanmaması") (Denying the consequent) gibi terimler bu yüzden günümüze Latincelerinden gelmiştir.
Mantık sav yapılarının incelenmesi ile daha anlaşılır bir açıklanmaya kavuşabilir. Sav, bir veya birkaç öncül ve sadece bir tek sonuçtan oluşur. Bir sav, mantıksal olarak, ancak ve ancak "Geçerli (Valid)" veya "Geçersiz (Invalid)"olarak değerlendirilebilir. Bir savın, "Geçerli (Valid)" veya"Geçersiz (Invalid)" olarak değelendirilmesinde, öncüllerin ve sonucun mantıksal doğuluk değerlerinin ("Doğru (T)" veya "yanlış (F)" olmalarının hiçbir önemi yoktur. Öncüllerin ve sonucun mantıksal doğuluk değerlerinin saptanması, ilgili anabilim dallarının işidir. Mantığı ilgilendiren, öncüllerin sonucu ne kadar güçlü ve ne şekilde destekledikleridir. Eğer öncüller kanıtlanmış bilgiler veya kabul edilmiş aksiyomlardan oluşuyorlarsa, sonuç da öncüllerin desteklediği bir sonuç ise bu sav bir tümdengelimsel (dedüktif) bir savdır ve geçerliği kaçınılmazdır. Oysa eğer öncüller sonucu muhtemelen (Yüzde yüzden daha düşük bir olaslıkla) destekliyorlarsa bu bir tümevarımsal (indüktif) bir savdır ve savın geçerliliği bir olasılık olayıdır. Öncüllerin sonucu destekleme şekilleri, savın mantıksal yapısı olarak adlandırılır ve savın geçerliliği üzerinde belirleyici bir rol oynar.
1.4.5 - Mantıksal Sistemler
Bir mantıksal sistem, tümdengelimsel bir çıkarım (dedüksiyon) için yararlanılan bir organizasyondur. Bir alfabe, bir sözlük, ve bu sözlükteki sözcüklerin kullanılması ile oluşturulan önermelerin oluşturulması ve bunun için gerekli kuralları içerir. Bu kurallar :
Kurt Gödel'in çalışmaları sadece 0- düzey Sembolik Mantık ve 1- düzey özel aksiyomlarla genişletilmemiş Yüklemler Mantığı (Predicate Logic) mantıklarının kararlı ve yeterli (tamam) olabileceklerini açıklamış ve bunun için bu mantıklar, günümüz matematiğinin temeli olarak kabul edilmişlerdir.
Mantık, salt akılda yürütülen bir düşünce sistematiği olduğundan, filosofik bir yöntem olarak kabul edilir. Filosofi grekçe, "filos = sevgi, yatkınlık, sofos= ilerlemiş bilgi (kemal) anlamındadır ve akılda yürütülen her türlü bilgilenmeyi kapsar. Mantık, filosoflar tarafından uygulanan bir sistematik (belirli yöntemlerin belirli kurgularla uygulandığı), normatif (belirli normları olan) bir düşünme yöntemidir.
Mantığın tek amacı, doğru düşünceyi, yanlış düşünceden ayırmaktır.
Mantık yöntemleri, ilk kez, Sokrates’in (M.ö. 470-399) öğrencisi olan Platon’un (M.Ö. 428-348) öğrencisi olan Aristoteles (M.Ö. 384-322) tarafından tanımlanmış, sistematik hale getirilmiş, yöntemleri ve kuralları belirlenmiştir. Genel kanı, mantık kurallarının Aristoteles tarafından M.Ö. 4 üncü yüzyılda belirlenmesinden M.S. 19 uncu yüzyıl ortalarına kadar değişmediğini ve prensip olarak günümüzde de aynı yöntemlerin uygulandığı şeklindedir.
Mantık, insan aklında yürütülen bir çalışmadır. Günlerden birinde, uzak Karadeniz kentlerinden birinde, bir evden silah sesleri gelmiş. Polisler gelip evde dört hafif yaralı bulmuşlar, hastahaneye götürüp, soruşturmuşlar. Niçin birbirlerini vurduklarını sorduklarında, içerinden birisi, hazineyi paylaşamadıklarını söylemiş, polisler hazinenin yerini sorduklarında, "Yok, hani meselâ dedük!" diye yanıt vermiş. Buradan, insan aklının gücü anlaşılıyor. İnsan aklıyla her türlü problemi oluşturulabilir ve çözümünü düşünülebilir. Fakat, insan aklı özeldir. Bir insanın aklındaki çözümler, başka bir insan tarafından algılanamaz.
Mantık insan aklındaki irdelemeleri sözel olarak, başkalarının da erişmine açar. İnsan aklı çok derin, sözel açıklamalar da çok sınırlı olduğundan, burada öz ve açıklama arasında bir dengenin bulunması gerekir.
Bu çalışmada, mantık yöntemlerini tanıtmaya çalışacağız. Mantık, matematiğin çatısıdır. Çatıyı sağlam tutalım ki, yapımız da güçlü olsun.
1.4.6 - Tarihsel Gelişme
Mantık, Antik Grekçe λογική, (Logiki) (Söylem) adı altında gelişmiş, gümüzde ise rasyonel (akılcı) (mantıklı) olma anlamında kullanılmaktadır.
Aristoteles tarafından başlatılan kıyas (sillogistik mantık) , Yaklaşık 19 uncu yüzyıl başlarına kadar geçerli olarak kalmış ve matematiğin temeli olarak kabul edilmiştir.
Aristoteles mantığına, sonraları öğrencisi Theophrastos 371 – 287 tarafından Hipotetik Sillogism geliştirilmiş, Bizzat kendisi, modal mantık üzerine çalışmış, daha sonra İbn-i Sina "Tempoary Modal Logic" olarak adlandırılan ve daha sonra birçok filosofu etkileyen yepyeni bir mantık oluşturmuş, lk olarak Aristoteles tarafından tanımlanmış olan, Çiçero tarafından "İnduksiyon" olarak Latinceye çevrilen, M.S. 300 lerde Sextus Empiricus tarafından yeniden hatırlatılan ve evrensel önermeleri "Doğru (T)" olarak, tanımlayamayacağı açıklanan, 1620 de Francis Bacon tarafından yazılmış "Novum Organum" ile son şeklini almış "Tümevarımsal (Indüktif) Mantık" geliştirilmiştir. 1740 da David Hume tümevarım (indüksiyon) un mantık kuralı bile olamayacağını ama insanlığın doğa üzerine gerçek bilgi alabilmesini tek yolunun bu yöntem olabileceğini belirtmiştir. Daha sonra Kant bu düşünceyi desteklemiştir. Mantık sistematiğine modern çağlarda, terim, önerme, yüklem (praedikat) gibi tanımlar eklenmiştir.
Mantığın kökenleri daha eski filosoflara kadar inmesine karşın, ilk formal mantık, Aristoteles tarafından, "Analitik" adı altında toplanmıştır.
Ortaçağda Aristocu mantık, kilise dokrini ile bağdaştırılmaya çalışılmıştır. Bu çabalar orijinal düşünceler ileri çıkmaya başladığında, giderek ortadan kalkmış ve mantığın özüne dönülmeye başlanmıştır. Bu konuda ilk aydınlanma eserleri William of Okham'ın 1323 de yayınlanmış "Summa Logikae" (Mantık Bütünü) adlı eseridir. Francis Bacon'un 1620 de yayınlanmış olan ve tümdengelimciliği (indüksiyon) savunan "Novum Organum" (Yeni Organon) adlı kitabı da daha etkin ve aydınlık bir mantık sisteminin başlangıcıdır.
Atik Grek filosofisinde M.Ö. 3 üncü yüzyılda yaşamış olan Stoik filosf ve stoacı toplumun 3 üncü başkanı olan Chrisippus, Aristoteles'in terimlerin analizine dayanan sillogistik mantığından farklı olan ve önermeleri analiz eden bir mantık geliştirmiştir. Chrisippus mantığı günümüzün önermeler mantığıdır.
Antik Grekte ve yirminci yüzyıla kadar, matematiğin mantık temelli olduğu fazla açık değildi, Bu yüzden, Chrisippus mantığına fazla gerksinme olmamış ve bu sistem, on dokuzuncu yüzyıl ortalarına kadar unutulmuş, Aristoteles mantığı üstün çıkmıştır.
On dokuzuncu yüzyılda, artık matematik çok ilerlemiş ve Aristotelesçi Sillogistik mantık matematiği desteklemekte yeteriz kalmış, sembolik mantık geliştirilmiş ve bu mantığın Chrisippus mantığı olduğu anlaşılınca, Chrisippus'a büyük değer verilmeye başlanmıştır. Görüldüğü gibi, filosofinin kaynağı antik Grek kültürüdür.
Modern çağlarda gelişmiş olan matematiğin temeli olarak, Aristotelesci mantığın yerine Sembolik Mantığın konulmasını ilk öneren, George Boole olmuştur. George Boole (Buûl olarak okunur(1815 – 1864), 1854 de yazmış olduğu "An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities" kitabı ile Aristotelesci mantığın yerine kendi sembolik mantık sistemini ileri sürmüştür. Daha sonraları bu mantığın Chrisippuscu mantık oladuğu anlaşılacaktır.
1.5 - Önerme
Düşünürken vaya konuşurken tümceler (Sentence) kullanırız. Tümcelerin uymaları gereken kurallar yoktur. Tümcelerden sadece gramer kurallarına uygun olmaları beklenebilir. Tümceler bazen, açık açık ve anlaşılabilir bir söylem ile, kabul edilecek veya karşı durulacak bazı şeyleri ileri sürerler. Bu tür tümcelere, önerme (proposition) denilir.
1.5.1 - Önermelerin Doğruluk Değerleri
Önerme mantıksal değeri "Doğru (T)" veya "Yanlış(F)" olabilecek bir ileri sürme (iddia) dır. Burada T sembolü, İngilizce (True), F sembolü ise, yine İngilizce (False) sözcüğünü belirtmektedir. Bu çalışmada, olanaklar ölçüsünde, uluslarası kaynaklarla uyum içinde olmak amacı ile bu semboller kullanılmıştır.
Örnek olarak :
"Saf su 1013 mbar basınç altında, 100 oC da kaynar"
Bir tümevarımsal önermedir. Bir deney sonucunu açıklamaktadır. Kabul edilebir veya karşı çıkılabilir. Bu yüzden bir önermedir.
"Karadeniz tehlikelidir."
Bir önermedir. Karadenizin tehlikeli olduğunu açıklamaktadır. (T)" dir.
"çapı r(r>0) olan bir çemberin çevresi 2π den büyüktür."
Bir tümdengelimsel önermedir. Deneyesel bir konu değildir. Bir akıl yürütme sonucunu açıklamaktadır.
İçinde, kabul veya red gerektiren bir öğe bulunmayan tümceler önerme olarak kabul edilmezler. Örnek,
"Tanrı, tüm insanları korusun."
Güzel bir dua, fakat bir önerme değildir. İçinde kabul veya red edilecek bir öğe bulunmamaktadır.
"İleri, marş!"
Bir önerme değildir. Bir emirdir. İçinde kabul edilecek veya karşı durulacak bir öğe bulunmamaktadır. Yine de çok tehlikelidir. Belirtilen tarafın ters yönüne doğru koşarsanız sorun yaşarsınız.
Burada önermelerin sadece doğruluk değerlerinin saptanması üzerine ön bilgiler verilecektir. Önermelerin diğer özellikleri, bir sonraki konumuz olan, " Sillogism (Kıyas)" konusunda incelenecektir.
1.6 - Düşüncenin Kuralları (Akıl İlkeleri)
Akıl ilkeleri, aksiyomatik kurallardır. Kendi içlerinde tartışmasız doğruluk içerdiklerinden ve kanıtlanmalarına olanak olmadığından aksiyom olarak kabul edilmişlerdir. Bu kurallar, antik çağlardan beri, filosofik olarak, akıl yürütmenin temel kuralları olarak tartışılmış , kabul edilmiş ve buna uygun olarak davranılmıştır. Bu kurallar Protogoras (M.Ö. 481 - 411) , Parmenides (M.Ö. 515 -) , Heraklitus (M.Ö. 535 - 474), Sokrates (M.Ö. 470 - 399), Platon (M.Ö. 428 - 348), Aristoteles (M.Ö. 384 - 322) tarafından açıklanmıştır. Bu kurallar, Sokrates ile belirlenmeye başlamış, Aristoteles bunları açık kurallar olarak yazılı hale getirmiştir. Bundan sonra bu kuralların uygulandığı, günümüzde de geçerli olan mantık, klasik veya "Aristocu Mantık" olarak adlandırılmış ve bugün uygulanmakta olan klasik matematiğin temeli, olmuştur. Bu kurallar bugün de klasik matematik mantık kuralları olarak kabul edilmekte olmasına karşın, "Sezgisel (intuitionic) Mantık" ve " Bulanık (Fuzzy) Mantık" çalışmaları için bazı ilkeleri sorgulanmakta veya kabul edilmemektedir. Buna karşılık bu iki akımın dışındaki mantık çalışmaları, özellikle klasik matematiğin temeli olan klasik mantık için "Düşüncenin Kuralları" asla gözardı edilmemesi gereken temel kurallardır.
Düşüncenin kuralları, antik Grek şekilleri ile yüzyıllar boyunca geçerli olmuşlardır. Bu kurallar antik Grek kültüründe zor anlaşılır söylemler ile açıklanmıştır. Zaman ilerledikçe daha açık ve anlaşılır şekilleri ortaya konulmuştur. Bu konuda İbni Sina (Avicenna) (M.S. 980 - 1037) Antonius Andreas (M.S. 1280 -1320), John Locke (1632 – 1704) , Leibniz (1646 – 1716), Schopenhauer (1788 – 1860), Hamilton (M,S. 1805 - 1865), George Boole (1815 – 1864), Bertrand Russell (1903–1927) katkılar ve açıklamalar yapmışlardır.
Antik Grek kültüründe, düşüncenin kurallları, Sokrates ile düzenlenmeye başlamış, Platon ve özellikle Aristoteles tarafından daha sonraki kuşaklara taşınmıştır. Antik Grek kültüründe, üç tane düşünce kuralı oluşturulmuştur.
Antik Grek filosoflarının bazıları, özlük kuralını, bazıları da çelişmezlik kuralını esas kural olarak almışlar ve üçüncü halin dışlanması kuralını sonuç olarak görmüşlerdir. Üçüncü halin dışlanması kuralı, ilk olarak Miletuslı Thales'den yaklaşık yüz yıl sonra yaşamış (Doğumu M.Ö. 515) Elea (Magna Grecia) lı, bir Sokrates öncesi filosof olan, Parmenides tarafından ortaya konulmuştur. Parmenides, Epistemoloji ve Metafizik bilimlerinin kurucusu ve Elealı Ksenon'un (Zeno) ve Samos (Bodrumun karşısındaki Sisam) adasından Melissus'un hocasıdır. Parmenides,
"Ya mutlaka olunur, ya da kesinlikle hiçbirşey olunmaz"
demiştir. Bu sözcükler, çok ileride, Sheakespeare'n Hamlet tragedyasında ünlü,
"To be or not to be that is the question"
tiradında yeniden işitilecektir. Parmenides aynı zamanda,
"Farkında olmak ve olmak aynı şeydir."
demiştir. Bu söylem yüzyıllar sonra, Renée Descartes tarafından ortaya konulan ünlü "Cogito" (Cogito ergo sum) (Düşünüyorum çünkü varım.) savının kökenlerini oluşturmaktadır.
Parmenidesten sonra, Heraklitus olayın lojik yönü ile ilgilenmiş ve bu konuda bazı çekinceler ileri sürmüştür.
Sokrates ile birlikte, düşünceler netleşmeye başlamış, Sokrates ve öğrencisi Platon iki değerli mantığı benimsemişler, Platonun öğrencisi Aristoteles de bu konuda günümüzde de geçerli olan, son noktayı koymuştur.
"Çelişki yaratabilecek sonuçlardan sadece bir tanesi doğru olabilir. Arada hiçbir başka değer yoktur ve önermeler sadece bu iki değer ile değerlendirilmelidir, hangisi ile olursa olsun ."
Görüldüğü gibi, Aristoteles bu konuya biraz sonra göreceğimiz, "Çelişkiler Yasası" yönünden bakmakta ve üçüncü halin gözardı edilmesi prensibini, çelişkiler kuralının bir sonucu olarak değerlendirmektedir.
Aristotelesçi "İki Değerli Mantık" günümüzde, lise ve üniversitelerin Fizik, Kimya, Matematiğin bir kısım dersleri ile Mühendislik fakültelerinin matematik derslerinde öğretilen ve dünyada uygulanmakta olan "Klasik Matematiğin Temelidir."
Kant, 1800 de yazdığı "Mantık" kitabında, üçüncü halin gözardı edilmesi kuralını, "Apodiktik (Gereklilik)" kuralı ile bağdaştırmaya çalışmıştır. Kant'ın söylemi,
"Burada üç prensibi doğruluğun evrensel kriteryumları olarak ortaya koyabiliriz. Bunlar,
Yargılar problematik, assetorik veya apodiktirler. Problematik yargılar, vicdana basit olasılıkla, assertorik olanlar gerçekle, apodiktik olanlar ise, yargı gereği ile refakat ederler".
Kant'ın çok kolay anlaşılır bir düşünür olduğu söylenemez. Ama bu söylemi ile, "Üçüncü Olasılığın Dışlanması Prensibi" ni desteklediği açıktır.
Antik Grek sonrası filosoflardan Leibniz, düşünce kurallarına iki yeni kural eklemiştir. Bunlar,
Bu yeni kurallarla, düşünce kuralları "Leibniz'in Düşünce Kuralları" adı altında, 19 uncu yüzyıl ortalarına kadar geçerliğini korumuştur. Bu tarhlerde Hegel, "Ayrılamazların Eşdeğerliği Prensibi" ni eleştirmiştir.
Yeterli neden prensibinin kökenleri ise, Parmenides ve Anaksimander'e kadar uzanmaktadır. Bu prensip "Yeterli bir neden olmazsa hiçbir şey öğrenilemez." demektedir.
Hamilton ve Schopenhauer yeterli neden prensini desteklemişler, ve Hamilton ile birlikte akıl ileleri üçten dörde yükselmiştir. Schopenhauer daha sonra bu dört ilkenin ikiye indirilebileceğini belirtmiş fakat bu uzun vadede benimsenmemiştir.
En son 20 inci yüzyıl başında, (Lord) Bertrand Russell üç akıl ilkesini matematiğin temeli olarak açıklamıştır.
Bunların daha önce Türkçe karşılıkları verilmiş olduğundan, burada Russell tarafından açıklanmış orijinal metinleri veriyoruz. Bu prensipler bugüne kadar klasik matematiğin mantıksal temelleri olarak kabul edilmişlerdir.
Russell ayrıca, bunlara akıl ilkeleri denilmesinin yanlış bir yönlendirme olduğunu, insanların bu prensiplere göre düşünmelerinden çok, olayların bu kurallara göre oluşmakta olduğunu açıklamıştır.
Bu kuralların belirlemeye çalıştığı "Önermelerin Mantksal Değerleri", matematik ve filosofinin birbirlerini etkilediği en önemli konularından biridir. Önerme değerlerinin epistemolojik ve lojik (mantıksal) olarak iki açıklaması bulunmaktadır. Tüm bilimlerdeki bilgilerin birleştirilmesi amacını taşıyan epistemoloji, önermelerin sadece "Doğru (1) (T) (akım var= on) veya "Yanlış (F) (0) (akım yok = off) değerlerini alabileceğini kabul etmiştir. Epistemolojik (1/0) tipi değerlendirme, "İki değerli Mantık" türünü belirlemektedir. İki değerli mantık, günümüzde öğretilen ve uygulanan matematiğin (Klasik Matematik) temelidir. Mantıksal açıklamalar ise, daha esnek olabilmekte ve bazen ara değerlere de yer verilmekte, hatta biraz sonra göreceğimiz gibi, 0 (Tam Yanlış) dan başlayıp sonsuz sayıda ara değerlerle, 1 (Tam Doğru) ya ulaşılabilmesini kabul eden mantık türleri de bulunmaktadır. Bu tür mantıklara "Non-Klasik" mantıklar adı verilir ve hiç bir şekilde, uygulanan matematik etkilememektedirler.
1810 da çok önemli bir Polonyalı mantıkçı olan Lukaçeviç, Heraklitus'un çekincesini yeniden hatırlatmıştır. Eğer bir yargı, günümüzde doğru veya yanlış ise, gelecekte olabilecek bir olayın doğru veya yanlışlığı bugünden nasıl saptanabilir? Burada çok olasılık vardır. (Doğru, Yanlış, Belirsiz, Olanaksız, Gerekli olmanın da ötesi). Bu şekilde çok değerli mantığa gelmiş oluyoruz. Bu düşünceler ne kadar doğrudur bilinemez, ama klasik matematikte yer bulmamıştır.
1930 larda Önce Amsterdam Üniversitesi matematik profesörü, Liutzen (ışıkveren) Jan Brouwer (Bira yapan), "Sezgisel (Intuisyonist) Mantık" olarak adlandırılan sıradışı bir mantık yöntemi ortaya koymuştur. Bunu öğrencisi, Arendt (Bilgili, Arınmış) Heyting devam ettirmiştir. İntuisyonist mantık, dualite (1/0) prensibine karşı çıkmamakta fakat kendini de bağlı hissetmemektedir. Sıradışı bir mantık türü olan intüisyonist mantığın klasik matematiğe etkisi yoktur.
1960 larda, Univeristy of California (Berkeley) de matematik profesörü olan Azerbeycan asıllı Türk olan (kendi ifadesi ile) Lütfizade önermelerin doğruluk değerleri hakkında son noktayı koymuştur. "Fuzzy Logic (Bulanık Mantık)" adı verilen bu mantık türünde, önermelerin doğruluk değerleri 0 ile 1 arasında sonsuz sayıda ara değer alabilmektedir. Bunun başlangıcı, Lütfizade'nin Doğal diller (natural languages) verilerinin bilgisayara verilmesinde, ikili mantıkla yaşanan zorluklar olmuştur. Burada ikili mantık, bulanık mantığın bir özel hali olarak tanımlanmaktadır. Bulanık mantık son derece karmaşıktır ve en genel mantık türü olarak kabul edilmektedir. Yine de, bulanık mantığın klasik matematik üzerine bir etkisi olmamıştır.
David Hilbert (1862 - 1943) 19 ve 20 inci yüzyılın en etkili klasik matematikçisidir. Groningen Üniversitesinin matematik profesörüdür. İkili mantığın en büyük savunucularından biridir. Klasik matematik Hilbert ile adeta yeniden oluşmuş ve günümüzdeki güçlü ve tek uygulanan matematik halini almıştır. Hilbert'in desteği, günümüzde uygulanan klasik matematiğin tek temelinin, ikili modern mantık olmasını desteklemiş ve bu konuda tüm tartışmalara son vermiştir.
İkili mantığın en bilinen öyküsünü aktaralım:
Bir filosof üç öğrencini karşısına oturtmuş, onlara bir önerme vermiş ve mantıksal sonucunu sormuş.
İlk öğrenci "Doğru (T)", ikinci öğrenci, "Yanlış (F)" olarak yanıt vermiş, üçüncü öğreci ise, "Doğru da diyemem,yanlış da diyemem" diye yanıt vermiş, hoca öğrencisinin alnına dokunmuş ve "Yok öyle bir şey!" demiş.
Akıl ilkeleri (Düşünce Kuralları) aları ile belirtilen bu kurallar üzerine ilk ve genel bilgileri toplamaya çalıştık. Bu konuda literatürde büyük çapta bilgiler bulunmakta ve konu günümüzde de filosofi ile ilgilenenler arasında, tartışılmaya devam edilmektedir. Konumuz klasik matematiğin tanınması ve uygulanması olduğundan, bu konu ile ancak klasik matematiğin asntıksal temellerinin anlaşılması açısından ilgilenmekteyiz. Bu nedenle, konuyu matematematik mantıktan uzaklaştıracak filosofik tartışmaların incelenmesini, bu çalışma kapsamına alamayacağız. Konu ile ilgilenlerin yararlanabileceği geniş bir literatür bulunmakta ve her türlü bilgi gibi, mantık bilgilerine de Internet yardımı ile kolaylıkla erişilebilmektedir.
1.7 - Akıl Yürütme Yöntemleri
1.7.1 - Tümdengelim (Dedüksiyon) (Genelden özele) (Bilgiden Bilgiye)
Tümdengelimsel yöntemde, öncüller sonuçları tam ve kesin olarak desteklerler.
Tümdengelimsel yöntemde, öncüller, deney sonuçları değil, eski bilgilerdir. Deney sonuçları, kaçınılmaz olarak hata payı içerdiklerinden, sav sonuçlarını kesin değil, ancak belirli bir hata payı ile destekleyebilirler. Bu yüzden, tümdengelimsel yöntemde deneysel bilgiler kullanılmaz, salt aksiyomlar veya kanıtlanmış bilgiler (teorem) kullanılarak akıl yürütme ile sav sonucu oluşturulur.
Tümdengelim ile varılan sonuçlar kesindir. Tümdengelimsel savlar, sav tanımı gereği olarak, "Geçerli" olan tümdengelimsel yapılanmalardır. "Geçersiz" oldukları belirlenen tümdengelimsel yapılar, sav (argument) değil yanıltıcı sav anlamına, "Safsata" (göz boyama) (fallacy) olarak nitelendirilirler.
Tümdengelimsel bir sistem, bir formülün, bir başka formülün, tam sentaktik temelde, bir başka formülün, mantıksal sonucu olduğunu kanıtlamak amacını güden bir sistemsir. Hilbert'in birinci düzey mantığa (sembolik mantığa) dayanan nlü programı da böyle bir tümdengelimsel sistemdi. Kurt Gödel bunun sonuçta olanaksız bir çaba olacağını kanıtlamış ve ne yazık ki, Hilbert bu çalışmayı sürdürmemiştir.
Matematik tümüyle tümdengelime dayanır. Bu yüzden matematik, oluşmuş bir bilgi kaynağından, tümdengelimsel akıl yürütme ile yeni bilgiler oluşturulan bir bilgilenme yöntemidir.
Tümdengelim için ileri sürülen en nemli karşıt görüş, salt saf tümdengelimin yeni bir bilgi üretmeyeceği, sadece bilinen bilgilerin bilinmeyen ilişkilerini ortaya çıkaracağıdır.
Bu bilgiler, ortaçdağ aşıldıktan sonra, genel kabul görmüş, tümdengelime dayanan saf matematik çalışmaların yanında, doğa bilgilerini elde etmeye çalışan, gözlem yapma ve gözlem sonuçlarını matematik -istatistik metotlarla değerlendirmeya dayanan, "Bilimsel Yöntem" olarak adlandırılan bir tümevarım-tümdengelim (indükto-dedüktif) karma sistem oluşturulmuştur.
1.7.2 - Tümevarım (Indüksiyon) (özelden Genele) (Deneyden Bilgiye)
Tümevarım iki türlü olabilir.
Tam tümevarım, doğal bir olayın, tüm etkenlerinin saptanıp incelenmesidir. Doğa çok karmaşık bir mekanizma olduğundan bu neredeyse olanaksızdır. Eğer gerçekleşebilseydi, tam tümevarım, tümdengelim kadar kesin bilgiler saylayabilirdi.
Eksik tümvarım, doğal bir olayın etkenlerinin bir kısmının incelenip, olayın tümü üzerinde yargıya varmaktır. Bu tümevarımsal akıl yürütmelerde, olanaklı olabilen tek yöntemdir. Bu nedenle tümevarım olarak belirtilen akıl yürütme yöntemi daima eksik tümevarımdır.
Tümevarım (induction) yöntemlerinde, öncüller, sonuçları ancak belirli bir oranda destekleyebilir. Dolayısı ile, tümevarımsal akıl yürütmelerde, sonuçlar, "Büyük bir olasılıkla" gibi sözcüklerle açıklanırlar.
Tümevarımsal akıl yürütmelerde, sorun öncüllerin ve bu öncüllerle elde edilen sonucun ne dereceye kadar "Doğru(T)" veya ne dereceye kadar "Yanlış(F)" olduklarıdır.
Oysa, tümdengelimsel akıl yürütmelerde, öncüller ya yüzdeyüz "Doğru(T)" veya yüzdeyüz "Yanlış(F)" olarak belirlidir. Dolayısı ile, tümdengelimsel akıl yürütmelerde öncüllerin desteklediği sonuçlar ya yüzdeyüz "Doğru(T)" veya yüzdeyüz "Yanlış(F)" olarak kesin değerlerdir. Matematiğin de isteği budur. Büyük Atatürk de, "Matematik pekinlik ister" demiştir.
Tümevarımsal akıl yürütmelerde ise, deneysel çalışmalardaki kaçınılmaz hata kaynaklarından dolayı, deneysel gözlemler, olayı ancak belirli bir oranda destekleyebildikleri için, elde edilen sonuç da kesin olmaz. Bu nedenle, matematik deneyi, deneysel metodu yani tümevarımsal akıl yürütme yöntemi olan tümevarımsal bilgilenmeyi kabul etmez. çünkü bu yöntem, sağladığı bilgilerde, matematiğin gerektirdiği yüzde yüz kesinliği sağlayamaz.
Örnek :
Ortam basıncı 1 atm olarak ölçüldüğünde (basınç ölçüm hatası yüzde kaçtır ?), saf suyun (suyun saflığı nasıl saptandı ?) kaynama ( (kaynama nasıl saptandı) , sıcaklığı 100 santigrad olarak ölçülmüştür (sıcaklık ölçüm hatası ne kadardır ?).
Görüldüğü gibi deneysel olarak elde edilen bilgilerde, kaçınılmaz (fakat iyi bir düzenleme ile en aza indirilebilir) hata payları oluşmaktadır.
Tümevarım, deneyden veya gözlemden oluşan sınırlı sayıda öncül bilgisi ile, bir grubun genel özelliğini belirtmeye çalışır. Ama, sınırlı sayıda bilgiden hiçbir zaman yüzde yüz geçerli genel bilgi üretilemez. Ekstrapolasyon (deney sonuçlarını, deneyin yapıldığı alanın dışına taşıma) , aslında çok mahzurludur. örnek olarak, 32.38 °C ye kadar sıcaklıkla eksponansiyel artan sodyum sülfat çözünürlüğü, bu geçiş (transition) sıcaklığından sonra doğrusala yakın olarak azalma eğilimli bir değişim gösterir. Eğer geçiş noktasına kadar deney noktalarının korrelasyonu ile bir fonksiyon oluşturur ve bu fonksiyonu geçiş noktasından sonrası için de uygulamaya kalkılırsa, ağır yanılgı yaşanır.
Görülüyor ki tümevarımsal sonuçlarda, gerekli kesinlik sağlanamıyor. Fakat bu tümevarımsal akıl yürütme yolu elde edilen bilgilerin değersiz olduğunu asla göstermez. Doğa üzerinde gerçek bilgiler sadece, deneysel sonuçları öne çıkaran tümevarımsal akıl yürütme yolu elde edilebilir. Aristoteles de böyle düşünmekteydi. Kendisi, Midilli adası kıyılarında, balık türlerini gözleyip yayınlamıştır. Bunun nedeni, büyük bir olasılıkta, hiçbir tümdengelimsel bilginin, gerçekten Midilli adası sularındaki balık türlerini belirtemeyeceği, bunun için deneysel gözlem gerekeceğini bilmesidir. Fakat kilise, ortaçağ boyunca, Aristoteles’in bu düşüncelerini gizlemiş ve yeni bir bilgi saptayamayıp sadece eski bilgilerden yeni tanımlar üreten tümdengelimsel yöntemleri ele alan baskıcı ve bilim dışı bir düşünceyi zorlamıştır. Rönesans ile bu baskı kalkmış ve insanlar İbni Sina, İbni Rüşt, Hume, Montaigne, Descartes, Kant gibi akılcı filosoflar sayesinde aydınlık çağlara doğru yol alabilmiştir.
Özetle tümevarımsal yöntemde, öncüller, hiçbir zaman sonucu yüzde yüz destekleyemez. Bunun için de matematik tümevarımsal yöntemleri kullanmaz. Yine de mantığı ilgilendiren, öncüllerin sonucu ne kadar güçlü ve ne şekilde destekledikleridir. İndüktif önermelerden yararanan tümevarımsal akıl yürütme, doğa bilgilerinin arttırılması için tek ve değerli bir yöntemdir (Hume).
1.7.3 - Analoji (Benzetim)
Analoji, Tümdengelim ve tümevarımın yanında, üçüncü akıl yürütme yöntemidir. Prof. Dr. Necati Öner'e göre, "Analoji, özelden özele akıl yürütülmesidir.". Necati hocamız, (Mantık, beşinci baskı, Ankara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi) analoji yönteminin, fıkıh (İslam hukuku filosofisi) nin çok uyguladığı bir yöntem olduğunu belirtmektedir.
Analoji yöntemi, örnek olarak, mevsimler, yağmur durumu, vb gibi konularda benzerlik gösteren, başka bir lokasyonun verilerini, "bize de uyar" düşüncesi ile kullanmaktır. Aslında, ne kadar benzeşim gözlense de, olasılık içeren öncüllerden oluşan sonuçlar, hiç de güvenilir değillerdir. Çünkü, sezgisel olarak varsayılan benzerlik, gerçekte çok farklı çıkabilir. Bu nedenle, benzetim yöntemi, hatalı sonuç oluşturmaya çok yatkın bir yöntemdir.
Galatasaray lisesinde, edebiyat dersinde, rahmetli hocamız, büyük Türk edebiyatçısı, Esat Mahmut Karakurt, benzetimi anlatırken, benzetimin, öğelerini, şöyle tanımladı :
Bizler, "Aman hocam, ne oluyoruz?" diye şaşkınlık içinde iken, kendisi,
"Bunları söylüyorum ki, Türklerin başına gelmiş olan felaketin büyüklüğünü anlayasınız!" diye sözüne devam etmiştir. Anlayabileceğimiz dilde, Analojinin öğeleri,
olarak açıklanır. Prof.Dr. Öner'in analoji üzerindeki açıklamaları ile devam edelim:
Yer gezegeninin armosferi vardır ve üzerinde canlılar yaşar, Merihte de atmosfer vardır. O halde Merihte de canlıların bulunması gerekir.
Burada yapılan bir analojidir. Yerle Merih arasındaki bir benzerliğe dayanarak yerde olan bir durumun Merihte de olması gerektiği çıkarılmıştır. Sonuç, kesin bir yanılgıdır.
Bu dört unsuru yukarıdaki misalde gösterelim:
Analojinin tek başına bil akılyürütme yolu olduğu tartışma konusudur. Analoji ile yapılan bir akıl yürütmede hem dedüksiyon hem de tümevarımın bulunduğu söylenir. Yani burada aklın iki türlü hareket ettiği göze çarpmaktadır. Bu hareketler,
Merihte hayat vardır hükmü atmosferin varlığına sıkıdan sıkıya bağlıdır. Ancak böyle genel hükümden sonuç çıkarılabilir. Savın değeri bölümünde, özelder özele bir akıl yürütmenin olmayacağı gösterilmişti. O halde Merihte hayat vardır hükmü zihinde yapılan şöyle bir gizli sav ile elde edilir:
Demek ki, Analoji, tümevarıma dayanan bir dedüksiyondur. Fakat varsayımsal (hypotetik) bir dedüksiyondur. Çünkü dayandığı genel fikir varsayılmış, fakat kanıtlanmış değildir. Bu sebeple analoji ile varılan yargı, daima olumsal (probable) olarak kalır, zorunluluğu gerektirmez.
Bu nedenle, büyük ölçüde yanılgılara neden olur diye ekleyelim.
1.7.4 - Retrodüksiyon
Retro, geri anlamındadır. Daha çok Newton için söylenen bir olay "retrodüksiyon metodu" olarak belirtilmektedir. "Newton’un başına bir elma düşer ve bu olay ona yerçekimi yasalarının belirlenmesi için bir esin verir".
Görüldüğü gibi bu bir tür tümevarım yöntemidir. Modern bilgisayarların feedback yöntemine de benziyor. Bu konuda verilen bir başka örnek olarak da, dünyanın en büyük matematikçisi olarak kabul edilen Archimedes‘in suyun kaldırma kuvvetini algıladığında, "Eureka" diye seslenmesidir.
Aslında bu "Tam Tümevarım" değil, "Eksik Tümevarım" dır. Arşimed sadece bir tek sıvı üzerindeki deney sonuçlarını, tüm sıvılara yaymıştır. Eksik tümevarımın sonuçları ancak denk gelirse doğru olur. Arşimed şanslı çıkmıştır, çünkü, bir sıvı üzerinde deneyip oluşturduğu yargı, tüm sıvılar için geçerli olmuştur. Yine de de, yüzde yüz kesin değil, çünkü tümevarım asla yüzde yüz kesin sonuç vermez.
1.7.5 - Modern Epistemoloji
Yirminci yüzyıl filosofu olarak nitelendirilen Karl Popper, tümevarımsal akıl yürütmelerden (induction) elde edilen sonuçların, aslında tümdengelimsel yöntemlerle düzenlendiği ve bilgi haline getirildiğini, dolayısı ile aslında tümevarımsal akıl yürütme diye bir bilgilenme yönteminin olmayıp, tüm bilgi edinmenin salt tümdengelimsel (dedüktif) yöntemle yürüdüğünü ileri sürmüştür.
Bu düşünce, tümdengelimin yeni bir bilgi üretmediği konusundaki eleştrileri karşılamakta ve bilgi edinmenin ortak bir elde etme sonucunda, yeni bilgiler sağladığını açıklamaktadır.
Karl Popper’in düşüncesi büyük bir olasılıkla doğrudur. Günümüzde deneysel olarak elde edilen bilgiler, bilinen bilgiler kaynağını genişletmekte ve bilinen bilgilerden başlanarak çok gelişkin akıl yürütme yolları ile yorumlanarak yeni bilgiler elde edilmektedir.
1.8 - Kavram ve Terim
1.8.1 - Kavram (Concept)
İnsanların düşünce gücü ve düşünsel bilgi edinebilme hızı olağanüstüdür. Algılanan bilgiler insan aklında bazı düşünsel tanımlar oluşturur. Bu soyut tanımlara "Kavram" adı verilir. Örnek olarak, insanlar at türünü inceleyerek, akıllarında bir at türü yaratırlar. Akılda yaratılan at türü bir prototiptir. Prototipler insan aklında belirli tiplerin yaratılmasıdır. İnsanlar akıllarındaki at prototipinin dünyadaki tüm at türlerini kapsadığını varsayarlar. Yine de, herkesin aklındaki at türü başkasından farklıdır. İnsanlar kendi prototiplerini, yani kavram (concept) (idea) larını kendi tercihlerine göre yaratırlar. Bu nedenle bir insanın kavramı, başka bir insanın kavramından farklı oluşur. Kavramların tanımı, Platon'un "Ideaları" ile başlamıştır. Kavram konusu, filosofide çok tartışılmış ve güncel olarak da tartışılmakta olan, çok derin ve geniş bir konudur.
Her ne kadar engin olsa da, insan aklı özeldir ve başka insanlar tarafından erişilemez. Kavramlar da salt insan aklında oluştuklarından, başkaları tarafından algılanamaz ve bu yüzden, genelleşemez ve genel bilgi niteliğine erişemez.
22.214.171.124 - Kavram Türleri
Kavram türleri, Genel kavram, Tümel Kavram, Tikel Kavram olarak üç ayrı kategoride incelenebilir. Bu kategorilere örnekler :
Tüm bu kavramlar insanların aklındaki imgelerdir ve somut bir yönleri yoktur.
126.96.36.199 - Kavram İlişkileri
İlk inceleyeceğimiz kavram ilişkisi, özlük ve ilinti ilişkisidir. Bir önermede en az iki kavram bulunur. Bunlardan biri yüklenen diğeri yüklenendir. Örnek olarak,
Koşucu, yarışmalarda koşar.
Burada koşucu yükleyen, koşar yüklenendir.
Koşmak kavramı, koşucu için özgün bir özellik olduğundan, koşmak, koşucuya göre özlüktür. Eğer özgün bir özellik olmasa idi, o zaman bir ilintilik olacaktı. Örnek :
Borucu, kaynak yapar.
Kaynak yapmak salt borucuya özgü bir işlem olmadığından, (örnek olarak, tersanelerde gemi yapımcılar her zaman kaynak yapar) kaynak yapmak borucuya göre bir ilintilik (ek ortak özellik) olarak nitelendirilir.
1.8.2 - Terim (Term)
Terim , kavramın konuşulan dil ile açıklanmasıdır. Bu şekilde, kavramların insanlar asında iletişimi sağlanmış olur.
Terim, aynı zamanda, mantıkta, kendi başına anlamı olan en küçük birimdir. Bir önerme, bir veya birkaç terimden oluşur.
Terim, kavramın sözle açıklanmasıdır. Yine de özel bir yönü vardır. Terim, sadece kavramın sözle belirtilmiş halidir. "Araba" terimi, herkese, kendi kafasındaki araba kavramını anımsatır. Kiminin "Araba" olarak düşündüğü kavram, bir Rolls-Royce, kiminin basit bir 2CV olabilir. Bu nedenle önemli terimler, standart olarak düzenlenirler. Böylece, "metre" terimi, herkes için farklı değil, standart bir uzunluğu tanımlar.
1.9 - Nelik, Gerçeklik, Kimlik
Nelik (mahiyet) bir kavramın akılda oluşmuş halidir ve gerçeklikle ilgisi yoktur.
Nelik tanımında, hedeflenen "ne", sanal Platonik idea’lar evreninde, değişmez ve güvenilir olan kavramlardır. İdea evreninde tanımlı bu ideal kavramlar, salt düşünsel oluşumlardır . Dünyaya aksedebilir veya salt düşünsel kavramlar olarak usumuzda kalabilirler. örnek olarak "Zümrüanka" kuşunun dünyaya aksetmiş bir şekli yoktur. Ideaların dünyamıza akseden şekilleri de ideal tanımlarına yakın fakat aynı değildir. Bir kavram genel kapsamlı bir düşünsel oluşumdur. Bir düşünsel kavram, dünyaya yine tek bir "Gerçekleşmiş" ideal tanım olarak akseder, ama yine genel kapsamlıdır. Eğer bu genel gerçekten, özel değerler oluşturulabiliyorsa,birden çok "Kimlik" oluşabilir. Kavram olarak aklımızda belirli bir formu olan "Eşek" düşüncesi, dünyaya gerçek bir "Eşek" türü olarak akseder ve "Kıbrıs Eşeği", "Anadolu Eşeği" gibi türdeş kimlikler kazanabilir. Kimliklerin birbirlerinden şekilsel farklılıkları vardır, ama yine de aynı "Eşek" gerçek tanımından kaynaklanmış oldukları anlaşılabilir.
Bu şekilde, bir kavramın, yalnızca zihinde ne olduğunu veya ne anlama geldiğini gösteren tasarıma nelik (içerik) denir. Bu, zihindeki varlıktır ve kuş, bitki, at gibi tümeldir. Bunun gerçekleşen somut tümel şekline "Gerçeklik" adı verilir. Gerçekliği olan kavramların belli bir somut varlıkla gösterilmesine o kavramın kimliği denir.
Her kavramın gerçekleşme gereği yoktur (Kızılelma), fakat her gerçekliğin bir neliği vardır.
Her gerçekliğin kimliği olmayabilir, ama her kimliğin bir gerçekliği ve neliği vardır.
Bazı kavramlar da salt kavram ve gerçekleşme olarak vardırlar (Sosyalizm).
Bazı kavramlar her üç aşamada da bulunabilirler (Atatürk).
|Ne||Kavram||Gerçekleşme||Kimlik|
|Zümrüdüanka||x||□||□|
|Cennet||x||□||□|
|Kaf Dağı||x||□||□|
|Ruh||x||□||□|
|Uçan halı||x||□||□|
|Tanrı||x||□||□|
|Cin||x||□||□|
|Peri||x||□||□|
|İnsan||İnsan||İnsan||Hasan|
|Göl||Göl||Göl||Baykal Gölü|
|Keman||Keman||Keman||Stradivarius|
|Kedi||Kedi||Kedi||Ankara Kedisi|
|Köpek||Köpek||Köpek||Dachshund|
|Savaşkan||Savaşkan||Savaşkan||Jeanne d'Arc|
Bu konuda daha çok örnekler bulunabilir.
1.10 - Kaplam ve İçlem
Kaplam (Comprehension) : Bir kavramın içine aldığı varlıkların tümüdür.
İçlem : Bir kavramın kapsadığı varlıkların ortak özelliklerinin tümüdür.
Burada iyice açıklayalım, bir üst sınıf, bir alt sınıfı kapsarsa,
- Alt sınıfın kaplamı sıfırdır. Çünkü kendisinden başka kapladığı bir alt sınıf yoktur.
-Üst sınıfın kaplamı en yüksektir. Çünkü, üst sınıf tüm alt sınıfları kapsama yeteneğine sahiptir.
Üst sınıfın içlemi en azdır. Çünkü, üst sınıf sadece sınıfları kapsar, sınıfların ortak özellikleri içlemleridir. At sınıfından hayvan sınıfına geçince, hayvan sınıfı, tüm hayvanları kapsar,at sınıfı sadece atları kapsadığından, hayvan sınıfının kapsamıi at sınıfından fazladır.
Fakat, her sınıfın iç özellikleri olan içlem at sınıfında daha fazla, hayvan sınıfında hiç yoktur. İçlem alt sınıfların özel içlemleri eklendikçe artar.
Sınıf-alt sınıf ilişkisi alt alta,
- Üst sınıf>
- Alt sınıf
şeklinde yazıldığında, aşağıya doğru inildiğinde içlem artar, kaplam azalır.
Kaplam ve içlem ilişkisi ancak aralarında tür ve alt tür (sınıf ve alt sınıf) ilişkisi olan nesneler arasında olur. Alt sınıflar üst sınıfların tüm özelliklerini içermeleri ve ek olarak kendi özelliklerini taşımaları gerekir. Önek olarak bisiklet ve otomobil arasında, sınıf- alt sınıf ilişkisi olmadığından, aralarında kaplam ve içlem ilişkisi olması söz konusu değildir.
Örnek : (Aşağıya doğru içlem, yukarıya doğru kaplam artar). (Yukarı çıktıkça genellik, aşağıya indikçe özellik artar).
Varlık
Canlı
Bitki
Yeşil yapraklı bitki
Ağaç
Bu örnekte, en tepede varlık kavramı bulunuyor. Varlık kavramı, alt kavramlar olarak, sırası ile canlı kavramını içeriyor, böylece kaplamı artıyor. Bir sonraki kavram, Bitki kavramı, bu hem en tepedeki canlı kavramının kaplamını azaltıyor. Bu kaplam azalması, "Ağaç" kavramına kadar devam ediyor. Ağaç en altta bulunan ve kendisinden başka bir kavramı içermeyen bir kavram olarak nitelik kazanıyor. En alt elemanın kapsamının en az olacağı böylece anlaşılmış oluyor. Oysa en alt elemanın içlemi en geniş oluyor, çünkü kalıtımla elde ettiği özellikler en fazla olan eleman en alt eleman oluyor. Yukarıya doğru çıktıkça, kalıtımla özellikleri edinilen kavramlar azaldığı için, kavramların içlemi de azalıyor. En sonunda, içlemi sadece kendisinden kaynaklanan tepe kavramı "Varlık" kavramına ulaşılıyor.
1.11 - Porphyrius Ağacı
Bu ağaç, "oluşumun ölçütü" (scala praedicamentalis) olarak anılır. Porphyrius Aristoleles’in eserlerini "İsagog" adı ile toplayıp, ileriki kuşaklara aktarımını sağlamış olan, M.S. 3 üncü yüzyılda, Sicilya, Porfiria da’da yaşamış bir neoplatonist filosoftur.
Porphyrius’ün yazmış olduğu "İsagog" , M.S. 6 ıncı yüzyılda, Anicius Manlius Severinus Boëthius tarafından Latinceye çevrilmiştir. Bu yüzden terimler Latince olarak belirtilmektedir.
Porphyrius ağacı, en üstte en yüksek kaplamlı kavram (genus) (oluşum) ile başlar. Altındaki dallar, kaplamı daha az genus özellikleri (differentiae) (farklılıklar) ile devam eder ve kaplamı en az özelliğe kadar aşağı inilebilir.
Genus örneğinde, Porphyrius ağacı, tikel insan genusundan sonra, tekil Plato genusu ile son bulmaktadır. Tekil den aşağı oluşum (genus) olmadığından, genus ağacı burada sonlanmaktadır.
Yukarıdaki şema https://en.wikipedia.org/wiki/Porphyrian_tree web sayfasından alınmıştır. Elemanın en üstü bir substance(varlık) (genus örneği) ile başlamaktadır. Ağaç en aşağı doğru tikel bir insan genusuna inmekte ve tekil Plato genusuna ulaşmaktadır. Platonun genusal (oluşum) farklılıkları olmadığından daha aşağı bir genus tanımlı olmamaktadır. Bu ağaç, ırk ayrımcılarına en büyük derstir. Plato yerine başka herhangibir bir tekil genus, örnek olarak da Martin Luther King de olabilirdi.
PPorphyrius ağacında en üst genus’un kaplamı, en alt genus’un içlemi en geniş olmaktadır. Çünkü en alt genus, üst genus sınıflarından kalıtımla en fazla özellik edinen ve kendi özelliklerini de buna ekleyen genus (oluşum) dur. Ağacın en alt sınıfı olan Plato, hareketli, akılcı, iyiği kötülükten ayırabilen özelliklere sahip olarak, en geniş kalıtımsal içlem içeren sınıftır. Bir üst üst sınıf olan insan sınıfı, Plato tekil genusünün özel özelliklerini içeremez. Eğer içerebilse idi, o zaman her insan bir Plato olurdu. Ama, buna olanak yoktur. Plato özeldir ama her insan da kendine göre özeldir. Demek ki, insan genusunun içlemi, sadece kalıtımsal içlemlerle sınırlı kaldığından, hem insan genusunun tüm içlemlerini, hem de kendi öz içlemlerini içeren, Plato genusunun içlemi, insan genusundan daha fazladır.
1.12 - Beş Tümel Kavram
Beş tümel kavram, tanımlı olarak belirtilmiştir. Tanım sırasında aşağıya doğru içlem, yukarı doğru kaplam artmaktadır. Yani yukarıya doğru daha fazla alt sınıf içeren kavramlar, aşağıya doğru ise, daha fazla özellik içeren alt sınıflar bulunur.
Beş tümel kavram :
Cins : Canlı
Tür : Sürüngen
Ayrım : Köpeğin iz sürmesi, kuşun yuva yapması, ayının kış uykusuna yatması
Özgülük : Konuşmak, havlamak
İlinti : Bilinmeyenden korkmak, kendini sağlama almak
İlinti, ortak özellikler olarak düşünülür. Ayrım, başka kavramlardan ayırdedici özellik, özgülük, salt kavramda olan özelliklerdir.
1.13 - Kavramlar Arası İlişkiler
Kavramlar arasında, dört tip ilişki bulunabilir. Bunlar, eşitlik, ayrıklık, tam girişimlilik ve eksik girişimliliktir.
1.13.1 -Eşitlik İlişkisi :
Eşitlik ilişkisi, bir kavramın, başka bir önermenin tüm öğelerini kapsaması halinde gerçekleşir. örnek :
Mahalleli, aynı mahallede yaşayandır. Aynı mahallede yaşayan, mahallelidir.
Bu örnekten, eşitlik ilişkisinin sadece tümel önermelerde gerçekleştiğini görebiiriz.
Bu konuda bir diyagram aşağıda görülmektedir.
Bu diyagramda, eşitlik ilişkisinin aynı ortamı paylaşan öğelerde gerçekleştiği görülmektedir. Aynı ortam, istenirse her iki adla da da tanımlanabilmektedir.
1.13.2 - Ayrıklık İlişkisi :
İki kavram birbirlerinin hiçbir öğesini paylaşmıyorlarsa, bu iki kavram, "Ayrık Kavramlardır".
Ayrık kavramlar "hiçbir" sözcüğü ile belirtilirler.
Örnek :
"Hiçbir yastık, masa değildir"
Ayrık kavramları belirten diagram aşağıda görülmektedir.
1.13.3 - Tam Girişimlik İlişkisi
İki kavramdan birisi, diğer kavramın tüm öğelerini kapsıyorsa, bu iki kavramın aralarında tam girişimlik ilişkisi vardır.
Örnek olarak :
"Tüm canlılar ses çıkarır, bazı ses çıkaranlar fildir."
Bu örnekten de görüldüğü gibi, ancak bir tümel ve bir tikel önerme, tam girişimli bir kavram oluşturabilmektedir.
Tam girişimliği belirten bir diagram aşağıda görülmektedir:
1.13.4 -Eksik Girişimlik İlişkisi
Kavramlardan birisi, ikincisinin bazı üyelerini kapsıyorsa, buna eksik girişimlik adı verilir.
Örnek olarak :
"Bazı kediler sarı tüylüdür, bazı sarı tüylüler kedidir."
Eksik girişimlilik iki tikel bildirim le oluşabilmektedir.
Bu konuyu açıklayan bir diyagram aşağıda görülmektedir:
Ortadaki koyu renkli kesişme alanı, sarı tüylü kedileri belirtmektedir.
1.14 - Tanım
Kavramların salt insan aklında oluştuğunu biliyoruz. Her insanın aklında farklı bir şekilde oluşan kavramların, sözel olarak açıklanması bu kavramların paylaşılması sonucunu doğurur.
Paylaşılan kavramlar, "Tanım" olarak nitelendirilir. Tanımlar bir iletşim aracı haline gelirler, ortak akılda taraflar arsında serbetçe tarışılır, dünenlenir ve yeniden şekillenir. Bu yeni şekiil, her insanın ayrı ayrı aklında, ayrı ayrı düzenlemelerde olan kavramlar, akıllarda da birleştirilir, ortak düzene uygun hale getirilir. Bir de bakmışsınız ki kafanızdaki "Aslan" kavramı herkesle benzeşen bir aslan kavramına dönüşmüş.
Tanım çeşitleri iki başlık altında toplanabilir.
Beş tümele göre tanım (içlemsel tanım)
Tanımlanana göre tanım çeşitleri
Beş tümele göre tanımlar iki tür olabilir.
Özle ilgili olan tanım. Örnek : Bülbül öter. Kurbağa vraklar.
İlinti ile ilgili tanım. örnek : İnsan düşünen bir hayvandır.
Tanımlanana göre tanımlar da iki tür olabilir.
Ad Tanımları. Bir adın açıklanmasından ileri gelen tanım. örnek : Dörtgen, iki diyagonali, dört dik açısı olan bir geometrik şekildir.
Nesne Tanımları. "örnek : Demir paslanabilen bir hammaddedir.
Bazı kavramlar, tanımlanamaz.
Tanımlanamayanlar:
Doğrudan algılama araçları. örnek olarak, görme duyusu, işitme duyusu.
Duygular. örnek olarak, sevgi, aşk, hoşnutsuzluk.
Üstün cinsler. Örnek olarak, Tanrı, melek, cin, mekan, birlik, çokluk.
Tekil olanlar. örnek olarak, Sarman (kedi), Dilşen (Kanarya). bunlar ancak betimlenebilirler.
Doğru ve geçerli bir tanımda bulunması gereken özellikler belirlenmiştir:
Tanım, tanımlanan bir özne ile tanımlayan bir yüklemden oluşan çelişkisiz bir önerme olmalıdır. örneğin, "Kitap okumak erdemdir." önermesinde "Kitap okumak" kavramı tanımlanan özneyi, "erdemdir" kavramı tanımlayan yüklemi oluşturur.
Tanım tam olmalıdır.Tanımın kaplamına giren tüm öğeler tanımın içinde olmalıdır. örnek : Kitap, içinde yazı ve resimler olan baskılı ve birbirleri ile bağlı sayfalardan oluşan bir nesnedir.
Bir tanım, kendisinden daha açık olmayan birşey ile tanımlanmamalıdır.
Tanımda kısır döngü bulunmamalıdır. "örnek olarak yüksek mahkeme, yargı kararını, siyasal bir kişiye danıştıktıktan sonra, özgürce verir" denmesi, tam bir kısır döngüye işaret eder. Bu tanım, herkes için ""Yüksek mahkeme kararını özgürce verir. "" şeklinde olmalı, gerçekte ne olacağı ise, resmi tanıma girmemelidir.
Tanımlar, ne çok uzun ne deçok kısa olmamalıdır. Not: Bu tanım Albert Einstein’a aittir. Ortaçağda tanımlar uzun ve karışık olarak yapılmaka iken, Ockam, ""Tanımlar çok kısa olmalıdır. Gereksiz biligileri içermemelidir."" şeklinde, ""Ockamın usturası"" (Ockam’s razor) adı verilen kuralı ileri sürmüştür. Buradaki tanım, modern tanım kuralıdır. Einstein bu kuralı, "Tanımlar yeterince açılayıcı olmalı, daha fazla değil!" olarak yenilemiştir.
1.15 - Kümelerin Tanıtımı
Kümelerin en basit tanımları (Sezgisel Olarak) , “Sonsuz sayıda eleman içerebilen, elemanların sıralamaları gerekmeyen, elemanları her türlü nesne olabilen, fakat aynı kümede birbirinin aynı olan birden fazla eleman bulunmayan nesne topluluklarına küme adı verlir.
Kümeleri ileride bir konu olarak inceleyeceğiz. Fakat, geniş incelemeye sıra gelinceye kadar, küme kavramına dayanan, bir çok tanım yapacağız. Bu nedenle kümeleri burada bir tanıtım olarak sunmak, bu tanımlarda kolaylık sağlayacaktır.
Kümelerin mutlaka büyük harfle belirtilen bir adı olur. Bir A kümesinin elemanı olan Beril, “Beril, A kümesinin bir elemanıdır.” olarak belirtilmek istenirse, Beril ∈ A olarak belirtilir.
Kümeler, küme olabilmek için, en az bir eleman içermek zorundadır. Yoksa, bir kümenin içeriği yoksa, Ø sembolü ile belirtilen bir boş küme , Ø = { } oluşur.
Kümeler, az sayıda eleman için, basit listeleme yöntemi ile tanımlanabilirler. Örnek :
A = {Beril, Günay, Hasan, Aleksis}
Daha detaylı ve çok sayıda eleman içeren kümeler için “Küme Yapıcı İfade” kullanılması gerekir.
Küme yapıcı ifadenin genel açıklaması,
{x | Φ(x)}
şeklindedir. Burada x, küme elemanları, Φ(x) , x elemanlarının bir özelliği (yüklem) (predikat) dır. örnek olarak,
A = {x | x ∈ Fenerbahçeliler}
Bunun anlamı, A kümesinin elemanlarının, daha önceden tanımlanmış olan Fenerbahçeliler kümesinin elemanları arasından seçileceğidir.
Küme yapıcı özellik ilginçtir. Küme yapıcı özellik, küme elemanlarını bir arada tutan, küme elemanlarını tanıtıcı ek bir özelliktir. Bu özelliğe, küme elemanlarının tümünün sahip olması ve sağlaması gerekir. Bu küme yapıcı özelliğe, küme elemanlarının “yüklemi “ (yüklendikleri ortak özellik) adı verilir. Yüklemin Fransızcası, anlamını daha iyi açıklayan bir sözcüktür. Fransızca, yükleme “Complément (au sense grammatif)” (Tamamlayıcı) (Dilbilgisi anlamı ile) adı verilir. Yani, yüklem, küme elemanlarının ek bir tanımlayıcısıdır. Yüklem olarak belirtilen özellik sillojismde temel terimlerden biridir.
Küme yapıcı ifade ile, birbirleri ile aynı özellikleri paylaşan elemanlardan oluşan istendiği kadar eleman içeren kümeler oluşturulabilir. Örnek olarak, eğer x belirli bir özellik (yüklem) (predikat) (predicate) ise, bu özelliği sağlayan elemanlardan oluşan küme,
A = {x| P(x)} veya A = {x: P(x)}
olarak belirtilebilir. Doğal olarak bu tanımın, matematiksel bir notasyonla açıklanma yöntemi bulunmaktadır.
A = {x = 2 , 4,..., 2n-2| A(x)}
Tek sayılardan olusan ve 1 den başlayıp 30’a kadar devam eden bir küme,
A = {x = 3 , 5,..., 2n+1| A(x)}
olarak belirtilebilir.
Bir başka küme tanımı,
A = {x (x bir tamsayıdır) | (0 ≤ x ≤ 20)}
Tamsayılar 0 dahil pozitif ve negatif tamsayılardan oluştuğuna göre (Bk. biraz aşağıdaki tamsayılar kümesi tanımı), bu tanım, A kümesinde, 0 (dahil) , 20 (dahil) aralığında 21 tane tamsayı elemanı içerebileceğini belirtir. Bu tanımla, A kümesi,
A = {0 , 1 , 2, ..., 20}
şeklinde belirtilebilir. Birbirbirini izleyen üç nokta “Elipsis Noktaları” olarak adlandılır ve aradaki değerlerin belirtilmesinde kullanılır. Elipsis noktaları bir sekans (birbirini izleyen işlemler) tanımıdır. Elipsis noktasının değerlendirilmesinde,
İlk olarak, birbirini izleyen elemanlar arasındaki fark Δ (delta) belirlenir. Burada Δ = 2 -1 = 1 dir.
Elipsis noktasından önce belirtilen değerden bir sonraki değer, bir önceki değere Δ eklenerek bulunur. Burada 2 den sonraki eleman 2 +1 = 3 dür. 3 den sonra gelecek eleman 3 + Δ = 3 +1 = 4 olacaktır. Sekans bu şekilde devam eder.
Sekans, son değer olarak belirtilmiş 20 ye ulaşılınca sona erer.
Buradan, bir elipsis sekansı belirtildiğinde, bu sekansın ardışık (birbirini izleyen) değerlerinin hesaplanabilmesi için, en az iki ardışık değerin verilmesi gerektiği ortaya çıkar.
Mathematica, kümeleri suralanmış listeler olarak kabul eder. Tanımlı bir listenin küme olabilmesi için, aynı elemanı iki kez içermemesi, kullanıcı tarafından, Mathematica fonksiyonları kullanılarak sağlanabilir. Örnek olarak,
program adımı ile bir A listesi tanımlanmıştır. Burada bazı elemanlar iki kez tekrarlanmış olabilir. Bu listeden bir kümenin oluşturulması için,
Mathematica’nin DeleteDuplicates[List,test] fonksiyonunun çağrılması yeterlidir. Burada, test argümanı opsiyonel (isteğe bağlı) dır ve şimdilik kullanılması gereği yoktur. Oluşturulan A nesnesi, bizim için küme, Mathematica için ise bir listedir ve her türlü, küme ve liste fonksiyonlarının argümanı olarak kullanılabilir.
Bir A kümesinin kardinalitesi, onun eleman sayısıdır ve n(A) veya |A| olarak belirtilir. Bu sembolizasyonun mutlak değer sembolü ile karıştırılmaması için dikkali olunmalıdır.
Önceden tanımı yapılmış olan bir A kümesinin kardinalitesi, Mathematica ile,
olarak belirlenebilir.
Bazı sayı kümeleri öntanımlıdır. Burada sadece tüm dünyanın tanımında hemfikir olduğu “Tamsayılar” kümesini tanıtacağız.
Tamsayılar kümesi, eksi sonsuz ile artı sonsuz arası tüm negatif ve pozitif tamsayıları ve sıfır sayısını içerir. Tamsayılar kümesi, Almanca (Zahlen) ( okunuşu :Tsaalen) sözcüğünden kaynaklanan Z harfi ile belirtilir.
Z = { x | x = (-∞<0<+∞)}
İki kümenin tüm elemanları eşit olursa bu iki küme birbirine eşit olur. Küme ilişkileri Venn diagramları ile görselleştirilebilir. Eşit kümelerin Venn digramı,
Eşit Kümelerin Venn Digramı (Taralı alanda hiç S elemanı yoktur)
Eşit kümeler, Venn diagramları ile tek bir daire ile olarak da gösterilebilir.
İki kümenin hiçbir elemanı birbirine eşit olmazsa, bu iki birbirinden farklı olur. Farklı kümelere “Ayrık Kümeler” adı verilir.
Ayrık kümeler Venn diyagramları ile iki ayrı daire olarak belirtilebilir.
Ayrık Kümelerin Venn Diyagramı
Bazı kümelerin bazı elemanları, bir başka kümenin de elemanı olabilirler. Bazı elemanları ortak olan kümeler, bir arakesit kümesi oluştururlar. Buna “Kesişme Kümesi” adı verilir.
Kesişme kümesinin elemanları Mathematica ile belirlenebilir.
Kesişmenin Venn diagramı, en kolay olarak sitesinde oluşturulabilir. Wolframalpha program kodu,
(A Intersection B)
olarak girilir. Program çalışması sonucunda aşağıda görülen Venn diagramı elde edilir.
Kesişmenin Venn Diagramı (sarı ile belirtilen arakesit kümesinde, A ve B kümelerinin ortak elemanları bulunur).
Kesişmenin alternatif bir Venn Diagramı da, aşağıda görüldüğü gibi çizilebilir.
Kesişmenin Venn Diagramı (arakesit kümesinde, A ve B kümelerinin x ile belirtilen, en az bir ortak elemanı bulunur).
A ve B kümelerinin kesişmesi, sembolik olarak, A ∩ B olarak belirtilir.
Mathematica ile bu olgunun sonucu,
A={12,16}
Intersection [A , {}]
{}
olarak belirtlenir. Bu sonuç, bir kümenin boş küme ile kesişmenin sonucunun boş küme olacağını doğrulamaktadır.
İki kümenin birleşmesi (Union) ile her iki kümenin ortak elemanları tek eleman olarak kabul edilerek tek bir küme oluşumu sonucunu verir. Mathematica ile,
sitesinde, (A union B) girişi, aşağıda görülen, birleşmenin Venn diagramını oluşturur.
Birleşmenin Venn Diyagramı (A ve B kümeleri, birleşmeden sonra sarı renk ile belirtilen tek bir küme oluştururlar).
Bir kümenin boş küme ile birleşmesi, kümeye yeni bir eleman eklemediğinden, sonuç yine aynı küme olur. A∪Ø = A
Bunun nedei, birleşmenin tanımının, birleşen her kümenin tüm elemanlarını içeren yeni bir birleşim kümesinin oluşmasıdır. Oysa, birleşen kümelerin biirinde hiç eleman yoktur. Bu nedenle, birleşim kümesi, sadece elemanı olan kümenin elemanlarını içermektedir.
Fakat, aşağıdaki birleşime çok dikkat edilmesi gerekir.
AA= {8,9, {}}
BB= {20,21}
Union[AA,BB]
{[8 , 9 , {} , 20 ,21]}
Burada birleşim kümesinde, boş küme {} da eleman olarak bulunuyor. Bunun nedeni, birleşen kümelerden birinin, boş kümeyi eleman olarak içermesidir. Birleşim kümesi, her iki kümenin tüm elemanlarını içerdiğinden, eleman olan boş küme de, birleşim kümesinin bir elemanı olmaktadır. Olayı tekrar tekrar ele almalı ve bir kümenin, boş küme ile birleşimi ile arasındaki fark iyi anlaşılmalıdır.
İki küme birbirleri ile eşit iseler veya kümelerden birinin tüm elemanları, diğer küme ile ortak ise, birbirlerinin alt kümesi olurlar. Eğer, B kümesi A kümesine eşit veya ondan daha büyükse (elemanı daha fazla ise) A kümesi B kümesinin bir alt kümesi olur ve A ⊆ B olarak belirtilir. Eğer A kümesi, B kümesine eşit değilse, ve B kümesinden küçükse, A kümesi B kümesinin bir özalt kümesi olarak nitelendirilir ve A ⊂ B olarak belirtilir. Genellikle, eşit küme-özalt küme ayrımı yapılmaz ve alt kümeler A ⊆ B olarak belirtilir.
Bir A kümesinin kendisinden daha büyük bir B kümesinin alt kümesi olmasının Venn diagramı aşağıda görülmektedir.
A ⊆ B
Yukarıdaki Venn diagramı iyi incelenirse, n(A) < n(B) olduğu görülür. Bu durumda, A kümesi, B kümesinin özalt kümesidir. Eğer A kümesinin eleman sayısı artarsa (kümeler eleman eklenmesi veya başka bir küme ile birleşerek genişleyebilir), o zaman A kümesinin diagramda kapladığı alan gitgide artabilir ve sonunda, A = B olabilir. O zaman A kümesi B kümesinin eşit alt kümesi, B kümesi de A kümesinin eşit alt kümesi olur. A kümesi daha da genişlerse, o zaman A kümesinin kardinalitesi, B kümesinden büyük olur ve B alt küme, A da üst küme olur. O zaman B ⊆ A olarak belirtilir. Alt küme sembolü ( ⊆ ) nin açık olan ucunun doğrultusu, büyük olan kümeyi belirtir. Alt küme sembolü büyük-küçük sembolünün ( ≤ ) benzeridir.
Aşağıdaki kurallar, alt küme olayını daha iyi anlamamıza olanak sağlayacaktır.
1 - Bir A kümesi ile bir B kümesinin ancak kesişim kümesi A ya eşit olursa, A kümesi B kümesinin bir alt kümesi olabilir.
Formül ile,
A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
Biraz sonra göreceğimiz gibi, ↔ simgesi, eşdeğerdir anlamını taşımaktadır.
Mathematica ile bu kuralı sınayalım :
Önce eski A ve B verilerini bellekten silelim:
Sonra, içeriklerini daha kolay izleyebileceğimiz, yeni A ve B kümeleri atayalım:
Daha sonra, A ve B kümelerinin arakesit kümesinn, A ya eşit olup olmadığını sınayalım. Bunun için, Mathematica’nın eşitlik sınama işlemcisi ( == ) kullanılır.
"Also Sprach Zarathustra" (Zerdüşt Böyle Buyurdu) (Nietzsche) (Not: Zerdüşt eski İran dininin tanrısıdır.)
Bir küme, ancak B kümesi ile birleşimi B kümesine eşit oluyorsa, B kümesinin bir alt kümesidir.
Formel (Formüle dökülmüş) olarak
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
Mathematica ile
Sonlu bir A kümesinin, bir B kümesinin alt kümesi olabilmesi için, B kümesi ile kesişim kümesinin kardinalitesinin, kendi kardinalitesine eşit olması koşulu ile gerçekleşebilir.
Formel olarak,
A ⊆ B ↔ | A ∩ B | = |A|
Mathematica ile,
Görüldüğü gibi Mathematica, tüm bu koşulları doğrulamaktadır. Bu nedenle A kümesinin, B kümesine eşit küme olup olmadığının da saptanması ile, A kümesinin, B kümesinin alt veya özalt kümesi olduğu belirlenebilecektir.
Mathematica ile,
Demek ki A kümesinin, B kümesinin özalt kümesi olduğu (A ⊂ B) doğrulanmış olmaktadır. Yinde de genel olarak A⊆ B olarak yazılmaktadır.
Bir A kümesinin kendisinden daha büyük olan bir B kümesinden farkı,
Fark kümesi = B\A
olarak belirtilir.
Bir B kümesi, evrensel küme olarak kabul edilirse, A kümesinin tümleyeni (Complement)
A kümesinin tümleyeni = B\A
olarak belirlenir.
A ∪ A kümesinin B kümesine tümleyeni = B olacaktır.
Mathematica ile,
Son olarak, bir boş kümenin tüm kümelerin alt kümesi olduğunu açıklayacağız.
A ve B kümelerinin tanımlarını anımsayalım.
Eğer A = {1 ,2 ,3 4} olursa A kümesi, B kümesinin bir özalt kümesi olur.
Eğer A = {1} olursa A kümesi, B kümesinin bir özalt kümesi olur.
Eğer A = {} olursa A kümesi, B kümesinin bir özalt kümesi olur.
Demek ki, boş küme Ø , tüm kümelerin bir özalt kümesidir. Sadece kendi kendisinin eşit alt kümesidir.
Boş küme Ø , tüm kümelerin elemanı değildir. Çünkü, K1 = {1,2} kümesinin kardinalitesi 2, K2 = {1, 2, Ø} kümesinin kardinalitesi 3 dür. Bunun anlamı, boş kümenin bir küme elemanı olarak kullanılması, kümenin yapısını değiştirdiğidir. K1 kümesi, K2 kümesine eşit değildir. Bu yüzden, boş küme, tüm kümelerin otomatik olarak elemanı değildir. Ama, boş küme, tüm kümelerin alt kümesidir. ("Boş küme, tüm kümelerin alt kümesidir." denilmesinin nedeni, tüm kümelerin içinde, boş kümenin de olmasıdır. Boş küme, kendi kendisinin eşit alt kümesi, diğer tüm kümelerin doğal özalt kümesidir).
Boş kümenin tümleyeni, evrensel küme, evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.
Kümeler üzerine daha geniş olarak duracağız. Burada sadece ilk başlangıç bilgileri için gerekli olan küme bilgileri incelenmiştir.
1.16 - Mantık Düzeylerinin Tanıtımı
Mantığın, doğru düşünme yöntemlerinin belirlenme çabası olduğunu biliyoruz. Mantık bu amacına ulaşmak için birçok yöntem kullanır. Yöntemler, İngilizce “Pattern” (Doku) olarak tanımlanan işlem yürütme şekilleridir. Örnek olarak “Matematik bir yöntemler topluluğudur” denilmektedir ve “Topoloji Yöntemleri” gibi biribirine benzer yöntemlerin uygulandığı,değişik alanlardan oluşan bir bilim tanımlanmaktadır.
Her dil, sözcüklerden oluşan elemanları içeren bir küme olarak açıklanabilir. Konuşulan dillerde binlerce sözcük, yani dil kümesinin elemanı olabilir. Mantık da öyle. Her mantık sisteminin bir dil kümesi vardır ve bu kümenin elemanları, o mantık sisteminin anlatmak istediğini belirtebilecek sayıda sembolü eleman olarak içermektedir.
Burada tanıtacağımız, en ayrıntıyı açıklayabilen, buna karşın, matematiğin büyük bir kısmını kapsayabilen, sıfır-düzey mantık olan “Sembolik Mantık” veya diğer adı ile “Önermeler Mantığı” nı ve bundan sonraki ilk üst düzey mantık olan, birinci-düzey mantığı olarak nitelendirilen “Yüklemler Mantığı” nı tanıtmaya çalışacağız.
Matematiğin tümü, Gottlob Frege’nin 1875 de yayınladığı “Begriffschrift” adlı eserinde belirtiği ve Aristoteles mantığının işlevinin yerine geçen ikinci- düzey mantık ile açıklanabilmekte, fakat, gerek ikinci düzey mantık formülleri ile çalışmanın zorluğu, gerekse ikinci düzey mantığın daha kapsamlı olduğu için, Karl Gödel tarafından kararsız olmakla nitelendirilmesi en gerçekçi nedenin ise, sadece çok üst düzey matematik için yüksek düzey mantığa gereksinme duyulabilmesi nedeni ile, matematik sadece sıfır düzey (Sembolik Mantık) ve birinci-düzey (Yüklemler Mantığı) formülleri ile formalize edilmektedir. Burada kısaca bu mantık sistemlerini tanıtacak, ileride ise bu konularda daha kapsamlı çalışmalar yapacağız. Kesinliği payaşılan bir kanı, mantık öğrenmeden matematik yapılamayacağıdır.
Sıfırıncı düzey mantık olan (en düşük düzey) sembolik mantık dil kümesi ( L ) (Lingua) , sadece 5 tane eleman içerir.
L = { ¬ (değil) , ∧ (ve) , ∨ (veya) , → (eğer ... ise) (tek yönlü koşullu işlemci) , ↔ (eşdeğerlik) ( iki yönlü koşullu işlemci)}
Sembolik mantık dil kümesinde bulunan elemanlara, “Mantıksal İşlemci” veya “Mantıksal Bağlaç” adı verilir.
Mantıksal işlemcilerden sadece değil işlemcisi , ¬ G şeklinde sadece sağ işlenenle birlikte kullanılan monadik (mono Latince tek demektir), diğerleri ise, (sol işlenen) (işlemci) (sağ işlenen) olarak kullanılan diyadik (dia Latince iki anlamına gelir) işlemcilerdir.
Mantıkta, mantıksal işlemcilerin işlenenleri, önermelerdir. Önermeler, doğruluk değerleri “Doğru (T)”veya “Yanlış (F)” olan tümcelerdir. “Berlin Almanyanın başkentidir.” tümcesi bir önermedir, çünkü mantıksal doğruluk değeri “Doğru (T)” dir. “Ne var ne yok?” bir önerme değil, bir sorudur ve bir mantıksal doğruluk değeri yoktur.
Sembolik mantıkta hiçbir aksiyom yoktur. Sadece, işlemcilerin doğruluk değerlerinin evrensel değerlendirme yöntemleri aksiyomlar olarak kabul edilebilir.
Sembolik mantık formüllerinde, işlemcilerin öncelik sıraları,
|İşlemci||Öncelik Sırası|
|¬||1|
|∧||2|
|∨||3|
|→||4|
|↔||5|
Ve işlemcisi ( ∧ ) nin doğruluk değeri, ancak ve ancak her işlenenin doğruluk değeri “Doğru (T)” olduğunda “Doğru (T)” diğer tüm durumlarda “Yanlış (F)” dir.
Matematikte kullanılan veya işlemcisi “Dışlamayan Veya” ( ∨ ) işlemcisidir.
Doğruluk değeri, ancak ve ancak her iki işlenenin doğruluk değerinin “Yanlış
(F)” olduğunda “Yanlış (F)”,
"Doğru (T)" diğer tüm durumlarda “Doğru (T)”dir.
Tek yönlü koşulu işlemci ( → ) “Materyel Gerektirme” olarak adlandırılır. İki işlenenli bir işlemci olduğundan,
p → q
şeklinde uygulanır . Burada p ve q birer yer tutucudur ve değerleri ya “Doğru (T)” , ya da “Yanlış (F)” olarak mantıksal değerler alabilirler.
Tek yönlü koşulu önermenin doğruluğu sadece işlenenlerin doğruluk değerlerine bağlıdır. Mantıksal değeri, “Doğru (T)” olarak belirlenen önermenin akla yakın olup olmaması farketmez.
Tek yönlü koşullu önermelerde, p ile belirtilmiş olan sol işlenen “Yeter Neden”, q ile belirtilmiş olan sağ işlenen “Gerek Neden” olarak tanımlanır.
"Eğer yağmur yağarsa sinemaya gideriz”
Bu tek yönlü koşullu önermede, sol işlenen “yağmur yağması” yeter koşul, sağ işlenen “ sinemeya gitmek”, gerek koşuldur.
Tek yönlü koşullu önerme de yeter koşul önermesi p gibi bir yer tutucu (önerme değişkeni) ile, gerek koşul önermesi de q gibi bir başka yer tutucu ile belirtilebilir.
p → q
şeklinde, sembolik olarak belirtme, bir “Önerme Formülü” dür ve bir genellik kazanmıştır. Burada p ve q yerine her türlü önerme konulabilir. Yukarıdaki formül,
p = “Çiçek toplamak”, q = “Tarlaya gitmek” olarak alınırsa, tek yönlü koşullu önerme,
“Eğer çiçek toplamak istersem, tarlaya giderim.”
şeklinde belirtilebilir. Burada p = “Çiçek toplamak” yeter koşul, q = “Tarlaya gitmek” gerek koşuldur.
Eğer yeter koşulun mantıksal doğruluk değeri “Doğru (T)” ise ve gerek koşulun da mantıksal doğruluk değeri aynı şekilde, “Doğru (T)” ise, tek yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri de “Doğru (T)” dir. Yeter koşul ve gerek koşul birbirleri ile ilişili iseler, akla yakın, mantıksal doğruluk değeri “Doğru (T)” olan bir tek yönlü koşullu önerme elde edilir. Örnek,
"Eğer aşırı şekerli gıdalar tüketilirse, kandaki glikoz konsantrasyonu artar”
Eğer yeter koşulun mantıksal doğruluk değeri “Doğru (T)” ise, fakat gerek koşulun mantıksal doğruluk değeri “Yanlış (F)” ise, tek yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri, “Yanlış (F)” olur. Çünkü, gerek koşulu sağlamayan bir tek yönlü koşullu önerme, önerme değildir. Örnek:
“Eğer üye kartın yoksa, bu klübe giremezsin”.
Eğer bu klübe girme isteğimiz yoksa, üye kartımız da olamaz.
Eğer yeter koşul doğrulanmıyor, fakat gerek koşul sağlanıyorsa, tek yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri ne olabilir? Burada işler çatallaşıyor. Burada M.Ö. 3 üncü yüzyıl da yaşamış olan Stoik filosof Krisippus (Chrisippus) ve takipçileri düşünerek bir çıkış yolu bulmuşlar ve bu yol, asırlar boyunca geçerli kalmış, bugün için de aynı şekilde geçerliğini korumaktadır. Düşünce şudur: “Dünyada yeter nedenlerinin tümü bilinen çok az şey vardır. Önemli olan olayın gerçek olmasıdır. Olay gerçek olduktan sonra, yeterli koşulun doğrulanmamış olması, bizim olayın yeterli nedenleri üzerine yeterli bilgimiz olmadığını gösterir. Büyük bir olasılıkla, bilmediğimiz bir neden gerçekleşmiş ve onun gerçekleşmesi olayı tetiklemiştir. Bu nedenle, eğer tek yönlü koşullu önermede gerek koşul doğrulanıyorsa, önermenin doğruluk değeri “Doğru(T)” olarak kabul edilmelidir. Yeter koşulun doğrulanmamş olması, olayın daha ayrıntılı olarak incelenmesi gereğini gösterir. Önermenin doğruluk değerine bir etkisi olmaz.
Eğer hem yeter koşul, hem de gerek koşul doğrulanmıyorsa, o zaman her ikisi de doğrulandığında tek yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri ne ise o olur. Her iki önerme doğrulandığında, tek yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri “Doğru (T)” olduğundan, her iki önermenin de doğruluk değerleri “Yanlış (F)” oduğunda da, tek yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri “Doğru (T)” olur.
Çift yönlü koşullu önerme sembolik olarak,
p ↔ q
önerme formülü ile gösterilir. Burada p ve q birbirlerine denk önermelerdir. Çift yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri, ancak denk önermelerin ikisinin birden doğruluk değerinin “Doğru (T)” veya “Yanlış (F)” olması ile doğrulanır. Diğer tüm durumlarda, yani ikisinden birinin doğruluk değeri “Yanlış (F)”, diğerinin doğruluk değeri “Doğru (T)” olursa, çift yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri, “Yanlış (F)” olur.
Küme ilişkilerini sembolik mantık formülleri ile açıklamaya çalışalım.
Tüm S kümesi elemanlarının aynı zamanda P kümesi elemanı da olduğunu açıklayan, sıfırıncı düzey sembolik mantık formülü,
S → P
olarak bellrtilir. “Eğer S olduğun doğru ise aynı zamanda P sindir”, olarak da okunabilen bu önerme, sıfırıncı düzey mantığın, “tek yönlü koşullu önerme” tipindedir Sembolik matematikte, S in yeter koşul, P nin ise gerek koşul olduğunu biliyoruz.
Özetle, S → P formülü, S kümesinin tüm elemanlarının aynı zamanda bir P kümesinin elemanı olduğu şeklinde yorumlanabilir. Bu şekilde, sadece tümel ilişkilerin belirtilmesi için yeterli olabilir.
Bu formülün olumsuzu, (¬) “değildir” sembolünün, uygulanması ile oluşturulur. Bu formülasyon,
¬ S → P (değildir tüm S ler , P) veya S → ¬ P (tüm S ler, değildir P)
Burada S ve P kümenin tüm elemanlarını temsil ettiklerinden, ¬ S ifadesi, S kümesi elemanlarının tümünü, ¬ P ise, P kümesi elemanlarının tümünü belirtir. Yani, bu şekilde bir tanımdan, hiçbir küme elemanı kaçınabilir değildir.
Buradaki ¬ S → P veya S → ¬ P ifadesi, S ve P kümesi elemanlarının tümünün birbirlerinden farklı olduğunu ve S ile P kümelerinin “ayrık kümeler” olduğunu belirtir. Aynı şekilde, hiçbir S kümesi elemanının P özelliği taşımadığı şeklinde de yorumlanabilir. Her iki yorum da birbiri ile eşdeğerdir.
Sadece bazı S kümesi elemanlarının P kümesi elemanı olduğunu belirtmek daha detaylıdır fakat, sadece tüm küme elemanlarını inceleyebilen, nicel irdelemesi bulunmayan, sıfırıncı düzey “Sembolik Mantık” olanakları ile açıklanamaz. Nicel incelemeyi gerektiren bu durumlar, en azından, birinci düzey yüklemler mantığı formülasyonunun olanaklarına başvurmayı gerektirir.
Birinci düzey mantığın dil kümesi, sıfırıncı düzey elemanlarına sadece iki yeni eleman eklenmesi ile, toplam 7 tane elemana yükselir. Bu iki eleman, ∀ ( tümü) ve ∃ (en az bir) olmak üzere, iki tane nicelik (quantification) sembolüdür ve birinci düzey mantığına, sıfırıncı düzey mantığında olmayan niceliklerle (Quantification) tanım yapmak yeteneği kazandırır.
Birinci düzey yüklemler mantığı sembolleri ile, tüm S kümesi elemanlarının Aynı zamanda P kümesi elemanı olduklarını ve P kümesi eleman sayısı (P kümesinin kardinalitesi) n(P) nin, S kümesi kardinalitesi n(S) den büyük olduğunu belirtmek için,
(x ∈ S) → (x ∈ P) [n(P) > n(S)]
formülü ile belirtilir. Bu formül,
“Tüm x ler için, (x, S kümesinin bir elemanıdır) , P kümesinin de bir elemanıdır, ( x P kümesinin bir elemanıdır) (P kümesinin eleman sayısı, S kümesinin eleman sayısından fazladır)” şeklinde okunur.
Birinci düzey "Yüklemler Mantığı" formülasyonları, ilk bakışta karmaşık görünmekle birlikte alışılınca son derece kolay ve sistematik bir anlatım şekli olmaktadır. Yukarıdaki sembolik anlatım şekli (formül), sıfırıncı düzey sembolik mantık formülü, S → P den çok daha detaylı ve açıklayıcıdır.
Tüm S kümesi elemanlarının P kümesi elemanı olmadığı,
(x ∈ S) → (x ∈ P)
şeklinde belirtilir. Fakat dikkat, burada niceleme (quantification) söz konusudur ve bu açıklama, S kümesi elemanlarının tümünün aynı zamanda P kümesi elemanı olmadığını açıklar. Fakat, bir kısım S kümesi elemanlarının P kümesi elemanı olabilmelerini engellemez. Tam aksine, tümünün değil ama, bir kısmının P kümesi elemanı olabileceği olgusunun algısını açık bırakır gibi gözükür. Aslında değil, bu formülün S kümesi elemanlarının tümünün, hiçbiri işin dışında olmadığı kaydıyla P kümesinin elemanı olmadığı şeklinde okumak gereklidir. Formülü kalabalık etmemek için, bilindiği varsayılan, P kümesi eleman sayısının, S kümesinden daha fazla olduğunu belirten kısım gözardı edilmiştir.
S kümesi ile P kümesinin tamamen ayrık kümeler olduğunun belirtilmesi,
(x ∈ S) → (x ∈ P)
şeklinde gerçekleştirilir. Okunması,”Tüm x ler için (x, S kümesi elemanıdır), bir tane x bile, P kümesi elemanı değildir." şeklindedir. Bu anlatım şekli, matematiğin gerektirdiği gibi, açık ve kesin bir anlatım şeklidir. Çoğunlukla ihmal edilerek,
¬ (x ∈ S) → (x ∈ P)
“Bir tane bile, S kümesi elemanı olan x, P kümesi elemanı değildir.”şekline indirgenir. Açık ve kesin.
En az bir tane S kümesi elemanının aynı zamanda P kümesi elemanı olması ise,
(x ∈ S) → (x ∈ P)
şeklinde belirtilir.
1.17 - Matematikte Kavram ve Tanım
Kavramların sınırsız algı nesneleri olduğunu gördük. Bu kavramların gündelik konuşma dili ile tanımlanması, bir darboğaza neden olur. Bir konuşma dilinin sözcükleri, o dilin sözlük kümesinin elemanları olarak düşünülebilir. Bir sözlük kümesinde genel olarak yirmi bin kadar sözcük bulunmaktadır ve kavramların sadece bu sözcüklerin kullanımı ile tanımlanmaları gerekmektedir. Bu da açıklanmış olduğu gibi kavramların tanımlanmasında güçlük yaratmaktadır.
Konumuz matematik olduğundan, matematik kavram, tanım ve terimleri üzerine açıklık sağlamamız gerekmektedir. Bunun nedeni, matematikle ilgili bu konuların ana koşulunun kesinlik (Büyük Atatürkün söylemi ile " Pekinlik" ) gerektirmesidir. Matematikle ilgili tüm konularda, kesinlik, olmazsa olmaz koşuldur.
Bir matematik kavram, gündelik konuşma diline, ancak o dilin sözlük kümesinin, bir alt kümesi olan matematik bilim dalı sözlük kümesinden yararlanılarak aktarılabilecektir. Bir konuşma dilinin, belirli bir bilim dalına ait alt sözlük kümesinin genişliği, bu bilim dalının o konuşma kümesinde ne kadar yoğun olarak kullanıldığına bağlıdır. Bu nedenle, tüm bilim dallarının yerel konuşma dilinde uygulanması, yerel konuşma dilinin. iligili bilim dalında zenginliğini arttırır.
Bir "Küp" kavramını düşünülelim. Bir küp, "her yüzeyi eşit karelerden oluşan bir dört yüzlü" olarak tanımlanabilir. Bu tanımın, daha önce yapılmış " Kare" ve "Hacım" tanımlarından yararlandığı açıktır. Bu şekilde, bir kavramın tanımının daha önceden yapılmış olan bazı tanımlardan yararlanılarak gerçekleştirilebildiği görülmektedir.
Bir bilim dalındaki belirli bir terimin, başka dallarda farklı olarak tanımlanmış olması olanaklıdır. Örnek olarak, matematikteki küp terimi, su kübü ve benzer başka küp türlerini de belirtebilir. Önemli olan, bir terimin ilgili bilim dalında .
Bir kavram çok yeni ve tanımı için hiçbir eski tanımdan yararlanılamadığı ortaya çıkarsa, O zaman bu kavramın tanımı algılamaya bırakılamaz ve o konu ile ilgili bir kural koyucu toplantı (kongre, komite, vb...), bu kavramın tanımı için bir konvansiyon oluşturulur. O konvansiyon artık o kavramın herkes tarafından uyulması gereken tanımı haline gelir.
Biraz önce belirtilmiş olduğu gibi, bu tür, aksiyom ve konvansiyonlar, matematiği açıklamaya çalıştığı doğal olayları yeterince kesin olarak belirtmekten az veya çok uzaklaştırır.
Yine de, matematik uygarlığın her yönünde, tartışmasız uygulanmakta olup, bugüne kadar, matematikten kaynaklanan hiçbir olumsuz sonuçla karşılaşılmamıştır.
1.18 - Matematikte Terim
Bir matematik terimi, olabildiğince az sözcükten oluşan ve ilgili tanımı ansıtan bir tür kod adıdır. Küp denilince kübik bir oluşum (cisim), silindir denilince tanımı yapılmış olan silindirik bir cisim akla gelir. Aynı şekilde, "Belirli İntegral", "Değişkenlerine Ayrılabilen Diferansiyel Denklemler" de birer terimdirler. Herbiri arkalarında sayfalar dolusu tanım veya kitapları anımsatırlar. Matematik bilim dalında, hiçbir terim tanımsız bırakılamaz. Her terimin ya mantıksal, ya da konvansiyonel bir tanımı mutlaka olmalıdır.
Wikipedia (fr)) bir matematik terimini şöyle tanımlamaktadır:
"Terme, élément d'une suite, d'une série ou d'une opération."
"Terim, birbirini izleyen verilerin, bir serinin veya bir işlemin elemanı"
Bu tanımda, belirsizliğe hiç yer verilmediği dikkat çekicidir. Terim, sadece tanımı belli kaynakların bir elemanı olarak tanımlanmıştır.
Eğer tanım, birbirini izleyen sözcükler olarak kabul edilirse, sözlükler bir küme olarak kabul edilir. Bu küme içindeki, en kısa ve en uygun olan bir veya birkaç eleman bir alt küme olarak belirlenir ve bu alt küme, terim olarak adlandırılır. Terim alt kümesi yerine göre bir veya birkaç elemandan oluşabilir.
Diğer tanımlar, operasyonel terimlerdir. Örnek olarak toplamada, toplananlardan her birisi bu toplama işleminin terimleri olarak kabul edilir.
Aynı tanım, Lexique Mathématique de paylaşılmıştır. Aynı şekilde terimler daima tanımlı listeler ve işlemlerin bir elemanı olarak açıklanmaktadır.
Bu konuda, http://terim-anlam.nedir.org/ sitesinde ayrıntılı bilgi bulunmaktadır.
Sonuç olarak, matematikte terim hem bir tanımın kısa açıklaması, hem de bir işlemin elemanları olarak belirtilmektedir. Terim konusunda hiçbir tanımlanamayan terime yer verilmemiştir. Bu konuda, matematiğin ve filosofinin düşünceleri farklıdır. Matematikte tüm öğeler, tanımlı ve kesindir. Filosofide ise daima bir açık kapı bırakılır.
Not : Bu sayfa matematiğin anayasası gibidir ve bundan sonrası uygulamalar olacaktır. Tüm matematik uygulamalarının bu sayfadaki tanım ve kurallara uygun olarak oluşturulacağı için, bu sayfadaki bilgiler eksiksiz olarak, matematik konusunda ilerlemek isteyenlerin belleklerinde bulunmalıdır.
Bu sayfadaki konularda görülen Mathematica fonksiyonlarının kendi uygulamalarımızla denenmesi ve Mathematica uygulamalarında yetkinlik kazanmaya başlanması çok yararlı olacaktır.
Bu sayfadaki konular Internet üzerinde her dilde geniş olarak tanıtılmaktadır. Bu konuda daha köklü bilgiler elde etmek için, Internet üzerinde araştırmalar yapmaya devam edilmeli, konuların tam anlaşıldığı ve tam akılda tutulduğu düzeye gelinmeli ve ondan sonra bir sonraki sayfadan devam edilmelidir.