Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Yüzey İntegralleri
Bir yüzeydeki noktalarla bağlantılı olan, sonsuz küçük sonsuz çok miktarı nasıl toplarsınız?
Arka plan
Mutlaka gerekli değildir, ama mantığını kavramak için yararlıdır:
Neye ulaşıyoruz
- Prensipte, yüzey integrali fikri çift katlı integralle aynıdır, sadece düz iki boyutlu bir bölgedeki noktaları "toplamak" yerine, yüzeyde, eğri olabilen, bir yüzey üzerindeki noktaların topluyorsunuz. Yüzey integralinin soyut gösterimi, çift katlı integralinkine çok benzerdir:
- Yüzey integralini hesaplamak, çift katlı integral kullanarak yüzey alanı hesaplamakla neredeyse aynıdır; tek fark integralin içine bir fonksiyon koymanızdır:
Burada , düzleminin bölgesinden yüzeyini parametrelendiren bir fonksiyondur.
(Bu, çizgi integralleri hesaplamanın yay uzunluğu aralıkları hesaplamayla aynı olduğuyla benzerlik gösterir, fonksiyonu integralin içine atmanız hariç.)
- Bu integrallerin birisine ilişkin bir örneği sonraki makalede bulabilirsiniz.
Yüzey integralleri fikri
Çift katlı integralleri anlıyorsanız, ve parametrik bir yüzey alanını hesaplamayı anlıyorsanız, yüzey integrallerini anlıyorsunuz demektir. Sadece bu iki fikri birleştirmeniz gerekir. Az sonra, yüzey integrali hesaplamasını bir örnekle göstereceğim, ama ilk olarak, yüzey integralin ne olduğunu anlamanızın önemli olduğunu düşünüyorum.
Çift katlı integraller için hatırlatma
Bir çift katlı integralin ne yaptığını hatırlayın:
Burada, -düzleminde belirli bir bölgeyi temsil eder, ve 'nin her bir noktasını bir sayıyla ilişkilendirmenin bir yoludur.
- Belki metal bir tabakayı, ve her noktadaki yoğunluğu temsil etmektedir.
- Veya belki coğrafi bir bölgeyi, ve her noktadaki sıcaklığı temsil eder.
Çift katlı integral 'nin bu bölgedeki değerlerini "toplamak" için bir yol sağlar. Ancak, sürekli bir bölgede noktaları "toplamak" fikri belirsizdir, o nedenle şu süreci kafamda canlandırırım:
- bölgesini birçok minik parçaya doğrayın.
- Her parçanın olarak düşünülen alanını, bu parçanın içindeki noktalardan birindeki değeriyle çarpın.
- Elde edilen değerleri toplayın.
Örneğin,
- Eğer bir metal plakayı temsil ediyorsa ve bir yoğunluk fonksiyonuysa, çift katlı integral size plakanın kütlesini verecektir. (Neden?)
- Eğer bir coğrafi bölgeyi temsil ediyorsa ve her konumdaki sıcaklığı veriyorsa, bu çift katlı integrali almak ve sonra 'nin alanıyla bölmek size o bölgedeki ortalama sıcaklığı verecektir. (Neden?)
Eğri bölgelerde çift katlı integraller
Ancak, neden bu kadar düz kalalım ki? Sürekli iki-boyutlu bir bölgede değerleri toplama fikri, eğrili yüzeyler için de faydalı olabilir.
- Yoğunluğu değişen, kıvrımlı bir uçak kanadının yüzeyini ele alır ve bunun toplam kütlesini bulmak isterseniz ne yapabiliriz?
- Dünyanın eğimli yüzeyinin her noktası için sıcaklığı bilseydiniz ve ortalama sıcaklığı bulmak isteseydiniz?
Bu sefer, yoğunluğu, sıcaklığı, vb. temsil eden fonksiyonu, üç boyutlu bir noktayı almalıdır, çünkü yüzeydeki noktalar üç boyutta yaşar. Üç boyutlu bir fonksiyonunun bir yüzey üzerinde integralini alma gösterimi, çift katlı integrallerin soyut gösterimiyle neredeyse benzerdir:
(Farklı yazarlar farklı gösterimler kullanabilir).
Buna yüzey integrali denir. Çift katlı integral işaretinin altındaki küçük yüzeyi temsil eder, ve terimi bu yüzeyin minik bir alan parçasını gösterir. Yüzey integrallerini çift katlı integraller gibi düşünebilirsiniz:
- yüzeyini birçok küçük parçaya doğrayın.
- Her küçük parçanın alanını, bu parçanın içindeki noktalardan birindeki fonksiyonunun değeriyle çarpın.
- Bu değerleri toplayın.
yerine neden yazıyoruz? Gerçekte bir fark yoktur; bunların ikisi de integral aldığımız şeyin minik bir alanını temsil eder. Ancak, bir şeyleri hesaplama zamanı geldiğinde, eğri bir yüzey üzerinde minik bir alan parçasını işlemek, düz bir yüzeyde bunu yapmaktan temelde farklıdır, onun için bu farkı farklı bir değişken kullanarak vurgulamak önemlidir.
Yüzey integralinin hesaplanması
Soyut gösterim ve uçak kanatlarını parçalama görüntüleri çok güzel, ama bu yüzey integrallerini nasıl hesaplarsınız? Buradaki hile, bunu sıradan, düz, çift katlı bir integrale çevirmektir.
Özellikle, bir yüzeyi matematiksel olarak genelde bir parametrik fonksiyonla tanımlarsınız. İki boyutlu düzlemindeki (sevimli ve düz) noktaları alan ve üç boyutlu uzayda noktalar veren bir vektör değerli fonksiyonunuz olacak. Ayrıca düzleminin, yüzeyiyle eşleşen bölgesini belirlemeniz gerekecek.
Yüzey integrallerinin hilesi, eğri yüzeyine göre integral almayla aynı etkiyi veren düz bölgesinde integral almanın bir yolunu bulmaktır. Bu, 'nin "minik alan parçasını" parametre içinde bir şey cinsinden ifade etmeyi gerektirir.
Bunun için tüm iş, yüzey alanı ile ilgili makalede yapılmıştır. Burada, 'nin içinde alanı olan minik bir dikdörtgenin alanı olan bir paralelkenarında dönüştüğünü görmüştük
Yüzey integrali isteklerimiz için, bunun anlamı 'ı aşağıdaki gibi açmamız gerektiğidir:
Özellikle, parametre uzayına göre bir yüzey integralini şöyle yazarız:
Bunu biraz inceleyelim:
Burada odaklanmanız gereken, ve hesaplamaları zorlu yapan şey, 'yı ifade etme yoludur.
Sonraki makalede, bu yüzey integrallerinden birisine ilişkin tam bir örneği görebilirsiniz.
Özet
- Yüzey üzerindeki noktalarla ilgili birkaç değeri toplamak istediğinizde, yüzey integrali kullanırsınız. Bu, çizgi integrallerinin iki boyutlu benzeridir. Alternatif olarak, çift katlı integralleri eğri yüzeylere genelleme olarak düşünebilirsiniz.
- Yüzey integralini hesaplamak, çift katlı integral kullanarak yüzey alanı hesaplamakla neredeyse aynıdır; tek fark integralin içine bir fonksiyon koymanızdır:
Çok değişkenli analizin birçok kısmında olduğu gibi, yüzey integrallerin arkasındaki teori çok güzeldir, bunlardan birini hesaplamak çok iş gerektirebilir.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.
Henüz gönderi yok.