Daire
Gelen Öklid geometrisi , bir daire a, kapalı bir düzlem eğri olarak adlandırılan bir noktadan eşit mesafede yer alan noktaları oluşur merkezi . Bu mesafenin değerine dairenin yarıçapı denir .
Gelen Öklid düzleminde , bu dönem daire ile Fransızca ilişkilidir “yuvarlak” dir. Öklidyen olmayan bir düzlemde veya Öklidyen olmayan bir mesafenin tanımlanması durumunda, şekil daha karmaşık olabilir. Herhangi bir boyuttaki bir uzayda, bir merkezden sabit bir uzaklıkta bulunan noktalar kümesine küre denir .
Diğer şekiller "yuvarlak" olarak nitelendirilebilir: belirli düzlem bölümleri daire olan yüzeyler ve katılar ( silindirler , koniler , torus , halka vb.).
kullanır
Daire, birçok fenomeni modellemek için kullanılabilen soyut bir matematiksel nesnedir. Belirli sayıda üretilmiş nesnenin dairesel bir bölümü vardır: silindirler (silindirler, tekerlekler, silolar), küreler (balon, toplar, mermerler), koniler (silindirler, huniler). Bu nedenle dairelerin özellikleri, nesnenin kütlesini ( yoğunluğunu bilerek ) veya kapasitesini çıkarmayı mümkün kılan hacimleri gibi nesnelerin özelliklerini çıkarmayı mümkün kılar . Dairesel kesit nesneleri birkaç ana nedenden dolayı ilgi çekicidir:
- bu nesneler yuvarlanır , bu da az çaba gerektiren hareketlerin ve yer değiştirmelerin ( tekerlekler , mekanik yataklar ) olmasını sağlar;
- tanım gereği, tüm noktalar merkezden eşit uzaklıktadır; bu , aynı bankta oturan herkes için sesin aynı hacme sahip olduğu hemicycle ( amfitiyatro ) kavramını veren merkezden her noktaya ulaşmanın aynı zaman ve aynı enerjiyi alması anlamına gelir ;
bu aynı zamanda bölgesel organizasyon ve lojistik açısından da önemlidir ; gerçekten de, yer değiştirme tüm yönlerde aynı şekilde yapılırsa (ideal olarak düz ve yatay zemin, engelsiz veya rüzgarsız kuş uçuşu), o zaman bir daire, belirli bir yolculuk süresi veya bir süre için ulaşılabilecek tüm noktaları temsil eder. merkezden verilen enerji tüketimi , hareket yarıçapı kavramı ve minimum daire probleminin ilgi alanıdır ;
zaman üfleme cam , uzak bir üfleme noktasından cam hareket izotropik hızı nesne doğal yuvarlak bir şekil verir;
- daire, belirli bir uzunluk ( çevre ) için en fazla alan olan düzlem eğrisidir ; Bu nedenle, bir silo veya silindirik bir şişe inşa edersek, belirli bir miktarda malzeme (duvar yapmak için) için en büyük kapasiteye sahibiz, dairesel bir çit inşa edersek, belirli bir miktarda ahşap veya taş için daha fazla insanı barındırabiliriz. ; aynı şekilde, bir daire içinde savunma, bir nüfusu veya bir sürüyü, her taraftan bir saldırı karşısında minimum araçla savunmayı mümkün kılan askeri bir stratejidir, tam olarak kuşatma olarak adlandırılan bir taktiktir ;
- bu şekil herhangi bir pürüzlülük göstermez, bu nedenle stres konsantrasyonu yoktur ; bu şekle sahip bir nesnenin daha iyi mekanik mukavemeti vardır;
- bu şeklin düz bir parçası yoktur, bu nedenle bir merminin "önden" vurma şansı çok azdır, ona daha az enerji iletir ve bu nedenle daha az hasar alma riski vardır; nesne düşerse, kırılmadan geri tepme olasılığı daha yüksektir ; yuvarlak bir nesnenin bir kişiye çarpması durumunda yaralanma olasılığı daha düşüktür (balon, yuvarlak kaputlar ve modern arabaların tamponları );
- merkezden geçen herhangi bir çizgi bir yarıçaptır ve bu nedenle daireye diktir; bu özellik optikte kullanılır ve küresel karşı aynalar verir , bu nedenle lenslerin küresel yüzeyleri vardır ( dioptrilerde ışık yolu kolayca tahmin edilebilir );
- dairesel kesitli ve ince duvarlı bir nesne, tel sarma ( sarmal yay , bobin ) veya bir levha ( yüksük , boru ) haddeleme yoluyla yapılabilir ; içi boş veya masif dairesel kesitli bir nesne döndürülerek de kolaylıkla elde edilebilir ( çömlekçilik , mekanik tornalama );
- bir nesneyi dairesel bir kaba koyarsak, konumunu empoze ederiz ama yönünü empoze etmeyiz; oryantasyon önemli değilse, nesneyi yerine koymadan önce döndürmeniz gerekmediğinden bu zaman kazandırır; konumlandırma (MiP) için merkezleme (uzun veya kısa) ilkesi budur.
Bazı nesneler bu öğelerin birden fazlasına yanıt verir. Örneğin, bir namlunun silindirik olması:
- özellikle sıkıcı olmak üzere kolay imalata izin verir ;
- mekanik mukavemet (patlama basıncına direnç) verir;
- mühimmatın girişini kolaylaştırır (tanıtmak için kendi ekseni etrafında döndürmenize gerek yoktur);
- namluda bir pervane uygulayarak , atış sırasında yörüngeyi stabilize eden bir dönme hareketi yazdırılabilir.
Bir nesnenin eğri bir yüzeyi varsa, yerel olarak bir daire ile yakınlaştırılabilir. Böylece, dairenin özelliklerini biliyorsak, nesnenin yerel özelliklerini de biliyoruz. Bu, salınımlı daire , eğrilik yarıçapı ve küresel harmonik kavramlarını veren şeydir .
Bir daire içinde nesneler veya insanlar varsa, onlara merkezden aynı çabayla ulaşabileceğinizi, aynı zamanda onları aynı şekilde görebileceğinizi, bu da gözetimi kolaylaştırabileceğini bilirsiniz. . Ayrıca tek bir parametre, yön kullanılarak da belirlenebilirler; örneğin iğneli kadranların ilgi alanı budur . Bu aynı zamanda silindirik ve küresel koordinat kavramlarını da verir .
Tanımı gereği, Öklid çemberini çizmek çok kolaydır: iki ucu sabit bir mesafeye sahip bir nesneye, örneğin gergin bir ipe veya bir dal (hatta bükülmüş) veya daha yaygın olarak bir pusulaya sahip olmak yeterlidir . Bu nedenle "mükemmel" bir daire çizmek kolaydır, bu da onu geometri için ayrıcalıklı bir çalışma aracı yapar.
Daha karmaşık problemler ve şekiller için elips kavramını kullanabiliriz .
Daire, "az ya da çok yuvarlak" nesneleri sembolik olarak temsil etmek için kullanılabilir:
Tamamen sembolik bir bakış açısından, şunları temsil eder:
- Belirli bir şekilde mükemmel ile, sayesinde onun bir simetri ve pürüzlülük yokluğu nedeniyle, uygun Ronsard , "bu yuvarlak değil ise, hiçbir dünyada çok iyi" ; antik Yunanistan'dan beri, küresellik mükemmellik ve dolayısıyla tanrısallık ile ilişkilendirilmiştir; için Kepler , daire temsil Holy Trinity'i , "merkezi Baba, yüzeyde Son, ağız merkezden eşit ilgili olarak Holy Ruh." Ve merkez, yüzey ve aralık açıkça üç olsa da, yine de birdirler, öyle ki, bütün yok edilmeden birinin eksik olduğu düşünülemez bile ” ;
- sürekli ve sonsuz bir hareket, döngü kavramı ; spiralin varyantı ile yeniden başlamanın ( ouroboros ), sürekliliğin, sonsuzluğun ve döngüsel zamanın (bkz . Kalachakra Tantra'nın zaman çarkı ) temsillerinden biridir ;
- İnsanlar arasında eşitlik , Kral Arthur'un Yuvarlak Masası gibi .
Tanımlar
Uzun bir süredir, gündelik dil eğrisini isim kadar kelime "daire" kullandı ( çevresi ) o sınırlandıran yüzey olarak. Günümüzde matematikte daire, yalnızca eğri çizgiyi belirtir ve yüzey de disk olarak adlandırılır .
Oranı çevresi de çemberdeki çapı numarası tanımlayan pi .
Diğer terimler tanımlanmayı hak ediyor:
- Bir kiriş uçları, çember üzerinde olan bir çizgi parçasının olduğu;
- Bir yay iki nokta tarafından sınırlanan bir dairenin bir kısımdır;
- Bir ok bir çevreye ve çemberin iki aynı nokta ile tanımlanan bir tonun bir yay orta noktalarını bağlayan bir segmentidir;
- bir yarıçap daire üzerinde bir noktaya merkezi birleştiren bir çizgi segmentidir;
- bir çapı merkezinden geçen bir kiriş olduğu; diski iki eşit parçaya ayıran düz bir çizgi parçası. Çap, iki doğrusal ışından oluşur ; uzunluğu 2 r'dir ;
- Bir disk , bir daire ile sınırlanmış düzlem bir bölgesidir;
- Bir dairesel bir bölüm iki yarıçap arasındaki diskin bir parçasıdır;
- bir dairesel parça bir kiriş ve alt eğimli olduğu bir dairenin yayı içeren bir disk bir bölümü olduğu;
- bir merkezi açı çemberin iki yarıçap ile oluşturulan bir açıdır;
- çevresi daire çevresidir ve eşittir 2π r .
denklemler
Kartezyen ve parametrik denklemler
Bir ile donatılmış bir düzlemde koordinat sistemi ortonormal , Kartezyen denklem merkezi ile çemberin C ( a , b ) ve yarıçapı r bir:
, ya birim çember
ya da trigonometrik çember için
(merkezi referans çerçevesinin orijini olan ve yarıçapı 1
olan çember ):
Bu denklem, aslında bir uygulamadır Pisagor teoreminin için dik üçgen daire alanına ve eksenlerine iki ışın paralel olarak çıkıntı oluşturduğu.
Vurgulayarak y , biz (aslında yatay çapının sınırlanan her yarım daire için bir denklem) dairenin çift Kartezyen denklem elde:
.
Olası parametrik denklemler dairenin (parametre bağlı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ile verilir burada birim referans çerçevesinin yatay vektör ile ilgili olarak, bu nokta birine dairenin merkezini birleştiren vektörü yönlendirilmiş bir açı ifade):
yani, orijin merkezli (0; 0) bir daire için :
ve birim çember için:
.
Bir yarım daire içinde yazılı açı ve bunun tersi teoremi sayesinde, [ AB ] çapındaki C dairesi için de bir denklem belirleyebiliriz :
Bir çizgi ile kesişme noktaları
Analitik geometri bir dairenin kesişimini ve belirlemek için düz bir çizgi . Genelliği kaybetmeden , koordinat sisteminin orijini dairenin merkezi ve absis ekseni olan paralel çizgi. O zaman bu, şu biçimdeki bir sistemi çözme sorunudur:
,
çözeltileri için, bu nedenle bakmak x arasında
.
Dairenin merkezi ile çizgi arasındaki mesafenin yarıçaptan büyük, eşit veya daha küçük olmasına bağlı olarak üç durum ortaya çıkar :
- ise , kavşak boştur;
- eğer doğru çembere bu noktada teğet ise ;
- Eğer iki kesişme noktası vardır: .
Bir bölüm olarak görülen daire
Daire, odakları dairenin merkeziyle çakışan bir elipstir ; ana eksenin uzunluğu, yan eksenin uzunluğuna eşittir. Eksantrikliği e 0'a eşit olan bir konik kesittir . Düzlem koninin dönüş eksenine dik olduğunda bir düzlemin bir dönüş konisi ile kesişmesiyle elde edilebilir (bazen "sağ bölüm" den bahsederiz) koni).
Olarak endüstriyel tasarım , bir daire genellikle yatay eksen ve (merkez olarak: Uzun ve kısa çizgi oluşan ince çizgi) dikey ekseni ile temsil edilir, ya da sadece kendi merkezi ile ince çizgiler düz bir haç "+" ile gerçekleşmiştir. Bir dönüş şekli, katı veya içi boş ( silindir , koni , küre ) ve dönüş ekseni boyunca görülen bir daire ile temsil edilir.
geometrik özellikler
Ölçümler
Bir yay uzunluğu yarıçapı r bir tarafından çapın merkezi açıya a ifade, radyan eşittir aR . Böylece, 2π'lik bir açı için (bir tam dönüş), dairenin uzunluğu 2π r'dir .
Alan disk yarıçaplı bir daire ile sınırlanan r olan π r 2 ; l uzunluğunda bir kiriş alır ve bunu kapalı bir yüzeyi sınırlamak için kullanırsak, en büyük alana sahip yüzey bir daire ile sınırlandırılır.
Kartaca'nın kuruluş efsanesine göre , hükümdar Fenikelilerin, çevresi bir sığır derisiyle sınırlanacak bir şehir kurmasına izin vermişti ; Dido ondan büyük bir şerit yaptı ve en geniş yüzeye sahip olmak için dairesel bir şekil seçti.
Bir yay halat ve ok
Bir α açısı tarafından karşılanan bir kirişin uzunluğu 2 r sin ( α / 2) 'ye eşittir .
Bu yarıçap ifade edebilir r bir daire, kiriş ve c ve ok f doğru oluşturduğu üçgenin Pisagor teoreminin uygulanması ile, iki tanesi uyarınca kendi yay herhangi birine göre R - f , C / 2 ve r olan hipotenüs:
.
Kıvrım aynı sürekli türevlenebilir düzlemde birleştirilmiş bir dairenin iki karşılıklı benzer yaylarının çemberin yarıçapı bağımsızdır.
Teğet
Çemberin bir noktasındaki teğet, o noktadaki yarıçapa diktir.
Bu özelliğin geometrik optikte uygulamaları vardır : küresel bir aynanın merkezinden geçen bir ışık ışını aynı yönde zıt yönde tekrar çıkar ( aynaya dik bir yansımamız vardır ). Küresel bir aynanın ortasına bir ampul koyarsak, ışık diğer tarafa geri döner, bu da örneğin ışığı parabolik bir aynaya doğru "katlamaya" (karşı ayna prensibi) izin verir.
O merkezli bir daire ve bu dairenin dışında bir A noktası düşünün . A'dan geçen bu daireye bir teğet arıyoruz ; teğet noktasına T denir .
AOT üçgeninin bir T- dikdörtgeni olduğu gerçeğini kullanıyoruz . Bu nedenle bu dik üçgen , merkezi [ AO ] ' nin orta noktası olan bir daireye yazılmıştır , hatta bu, hipotenüsün dik açıdan kaynaklanan medyanın iki katı uzunluğa sahip olmasına eşdeğerdir .
Bu nedenle, orta noktayı belirlemek ı arasında [ AO ] , o zaman merkezi olan bir dairenin bir yay çizmek I ve yarıçap IO . Bu dairesel yay, çemberi teğet noktalarında keser.
arabulucu
Dik açıortay bir dizi dairesinin merkezinden geçer. Bu, bir dairenin merkezini bulmayı mümkün kılar: paralel olmayan iki kiriş çizmek ve bunların dik açıortaylarının kesişimini bulmak yeterlidir.
Bir üçgenin üç dik açıortayının eşzamanlı olduğunu ve kesişme noktasının , üçgenle sınırlandırılmış bir daire olarak adlandırılan üç köşeden geçen dairenin merkezi olduğunu da gösterebiliriz .
Daire ve sağ üçgen
Bir çember üzerinde , ikisi - A ve C - taban tabana zıt olan üç A , B ve C noktası alalım (yani [ AC ] bir çaptır). O halde ABC üçgeni B dikdörtgenidir .
Bu, dik açıdan elde edilen medyanın hipotenüsün yarısı değerinde olmasından kaynaklanır (yarıçapımız ve çapımız var); bu, yarım daire açı teoremi veya Thales teoremi (Almanya'da ve bazı İngilizce konuşulan ülkelerde) adı verilen üçgenin bir özelliğidir.
Tersine, A ve C bir dairenin taban tabana zıt iki noktası olsun. Ya da B olarak düzlemde bir nokta ABC dikdörtgendir B . O zaman B daireye aittir.
Yazılı açı, merkez açı
Çemberin iki farklı A ve B noktasını alalım . O , dairenin merkezi ve C , dairenin başka bir noktasıdır. Böylece sahibiz
Merkez açısı için , C'yi içeren yayın karşısındaki yayı kesen açısal sektörü dikkate almalıyız .
Bu özellik dalga boyu dağılımı ile spektral analiz cihazlarında kullanılır , odaklama çemberi veya Rowland çemberi kavramıdır .
Bir daireye göre bir noktanın gücü
Eğer M bir noktadır ve Γ merkezi olan bir dairedir , O ve yarıçap R geçen herhangi bir hat için, daha sonra, M ve de daire toplantı A ve B , elimizdeki
.
Bu değer seçilen doğruya bağlı değildir, sadece M'nin daireye göre konumuna bağlıdır .
bunu fark edebiliriz
- Eğer M dışındayken,
;
- Eğer M daire içinde,
;bu ürün MA ve MB cebirsel ölçülerinin çarpımına karşılık gelir .
Noktasının güç M daire göre y sonra denir cebirsel önlemlerin ürün MA ve MB . Bu ürün seçilen hattan bağımsızdır ve her zaman geçerlidir .
M noktası çemberin dışındayken çembere teğet yapmak mümkündür. Çağırarak yine T , bu teğetler birinin temas noktasını göre Pisagor teoreminin üçgeni OMT , gücü M olan MT 2 .
eşitlik:
doğrusunun ( MT ) çembere teğet olduğunu söylemek yeterlidir .
Bir noktanın gücü gerçekten, eğer: dört puan cocyclic olduğunu doğrulamak mümkün kılar
-
A , B , C , D dört noktadır, öyle ki ( AB ) ve ( CD ) M noktasında kesişir ve
-
MA × MB = MC × MD (cebirsel ölçülerde),
o zaman dört nokta kosikliktir.
Kayıtlı çevreler raporu
Bu bölüm yayınlanmamış çalışmaları veya doğrulanmamış ifadeleri içerebilir (30/08/2015) . Referans ekleyerek veya yayınlanmamış içeriği kaldırarak yardımcı olabilirsiniz.
- Yarıçap ve alan yarıçapı ile daire içinde yer 2 büyük çevrelerin R ve alan S :
- Yazılı en büyük 3 dairenin yarıçapı ve alanı :
- Yazılı en büyük 4 dairenin yarıçapı ve alanı :
- En büyük 5 yazılı dairenin yarıçapı :
- 7 (veya 6) en büyük yazılı dairenin yarıçapı ve alanı (merkezde 6 ile çevrili 1 daire):
.
Bir daire, bir eşkenar üçgen, bir kare içinde aynı yarıçapa sahip dairelerin yazıtı
Notlar ve referanslar
-
CNRTL web sitesindeki sıfat turu tanımına bakın .
-
Pierre de Ronsard , Cenevre'nin hangi vaizleri ve bakanlarının hakaret ve iftiralarına cevap bilmiyorum ,1563.
-
" Yunan gelişmeleri: Daire ve küre " , Fransa Ulusal Kütüphanesi'nin sanal galerilerinde .
-
Johannes Kepler , Kozmografik Gizem ,1596.
-
Diderot ve d'Alembert'in ansiklopedisinde, örneğin, daire "çevre tarafından çevrelenen boşluktur" ( s: L'Encyclopédie / 1re baskı / CERCLE ) ve Robert baskısı 1993, sözlüğün üçüncü anlamını verir. daire kelimesi: "mevcut uzantıya göre: bir daire ile sınırlı düz yüzey" .
-
Jean Dieudonné , Lineer cebir ve elementer geometri , Paris, Hermann ,1964, ör. 2p.96
-
Plandaki sayfa istiflemesinde dairelerin bu yazıt şekillerini bulun .
Şuna da bakın:
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">