text: 方向ベクトル  が空間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を上回る 方向ベクトル  が光的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速と等しい 最後のものは光速度不変の原理からの直接の帰結でもある。なお、上の議論では、質点の世界線が直線である事を仮定したが、そうでない場合も原点での接線を  として同様の議論をする事で同じ結論が得られる。ローレンツ変換 定義 ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間  上の線形変換  でミンコフスキー計量を変えないもの、すなわち任意の4元ベクトル 、 に対し、 が成立するものの事である。ユークリッド空間で内積を変えない線形変換は合同変換であるので、ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間における合同変換の対応物である。ただし正規直交基底の場合と同様、ローレンツ変換にも 空間方向の向きを保たないもの 時間方向の向きを保たないもの が存在するのでこのようなものは以下除外して考える。なお、空間方向の向き、時間方向の向きの両方を保つローレンツ変換を正規ローレンツ変換という事があるが、本項では以下、特に断りがない限り、単にローレンツ変換と言ったならば正規ローレンツ変換を指すものとする。ローレンツ変換  と4元ベクトル  を使って の形に書ける線形変換をポアンカレ変換という。特殊相対性理論では、2人の観測者が原点で出会ったケースにおいてローレンツ変換に関して議論する事が多いが、これは出会った場所を原点に平行移動した上で議論しているという事なので、実質的にはポアンカレ変換に関する議論である事が多い。ローレンツ変換の意義 4次元ミンコフスキー空間  では、 次の定理が成立する事が知られている。この定理はユークリッド空間における2つの正規直交基底が直交変換により写りあう事の類似である。前述のように、正規直交基底は慣性座標系と対応している。よって上の定理は、以下を意味する：慣性座標系から別の慣性座標系への座標変換はローレンツ変換である。ローレンツ変換の具体的な形 ローレンツ変換の具体的な形を求める為、まずは基底をより解析がしやすいものに置き換える。基底  の「空間部分」である  の張るミンコフスキー空間上の部分空間を  とし、同様に基底  の空間部分である  の張るミンコフスキー空間上の部分空間を  とする。これらはそれぞれの慣性座標系における空間方向を表している。