Je me permet de commenter en Français par soucis de bonne compréhension de mes propos. 

Les articles ci dessus ainsi que le site des Brigittines confirme ce que je dis ; il ne s'agit pas d'un Nom pour le bâtiment, mais bien d'un projet de dédoublement ; et c'est bien un déterminant possessif ou un article qui est utilisé pour le désigner et ceci d'ailleurs toujours accompagné de "double" sans majuscule.  (ce qui serait une faute pour un nom propre). Le site des Brigittines dit "Une dou­ble Chapelle" qui est ici un adjectif. 