Danke limes11 für die Recherche! Ich habe die Stadt darauf angesprochen und die folgende Antwort erhalten:

"Es ist korrekt, dass die Verordnung über das Naturdenkmal Sievertsche Tongrube vom 11. Februar 1986 das Radfahren auf den betreffenden Wegen nicht explizit verbietet. Allerdings haben wir als Verwaltung der Naturschutzgebiete die Verantwortung, den Schutz und die Erhaltung der natürlichen Lebensräume in den Naturschutzgebieten sicherzustellen. 

Wenn sich Gegebenheiten im Schutzgebiet im Laufe der Jahre verändern, beinhaltet dieses auch die Entscheidung, welche Wege für welche Nutzung freigegeben werden. So ist nach der Festlegung der Verordnung einige Jahre später die Holz-Informationstafel mit dem heute zu lesenden Text entstanden, ohne das dieses in der Verordnung nachzulesen ist.

Das Radfahren in der Sievertschen Tongrube hat in den letzten Jahren zu erheblichen Schäden der Wege geführt, insbesondere durch Mountainbiker, welche zur Beeinträchtigung der Nutzung durch Fußgänger führte. Insofern sehen wir uns in unserer Entscheidung bestätigt, die Wege für das Radfahren nicht zuzulassen und  handeln damit im Interesse der Natur und  der das Gebiet zur Erholung nutzenden Besucher. "

Ich vermute, dass die Exekutive hier ihre Kompetenzen überschritten hat und das Fahrradverbot einer Klage/Beschwerde von Fahrrad-Aktivisten nicht standhalten würde, aber das Schild steht ja zumindest jetzt erstmal so da und solang das so ist, lassen wir das bicycle=no jetzt mal drin. Ich habe in https://www.openstreetmap.org/changeset/155317830 einige Wege auf access=no gesetzt, bei denen die Stadt um Löschung gebeten hat. 
