| { |
| "exam_metadata": { |
| "branch": "Matematik", |
| "stage": 2, |
| "type": "question_and_solution", |
| "year": 2006, |
| "level": "high_school", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "total_questions_found": 6, |
| "language": "TR", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_folder": "Matematik_2_Ikinci_Asama_2006", |
| "page_count": 5 |
| }, |
| "global_parameters": {}, |
| "questions": [ |
| { |
| "question_id": "2006-MATH-2-Q1", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "question_number": 1, |
| "day_index": null, |
| "char_start": 17, |
| "char_end": 1068, |
| "status": "active", |
| "cancellation_reason": null, |
| "parent_context": null, |
| "language_pairing": null, |
| "question_stem": "Bir *ABCD* konveks dörtgeninin [CD] kenarı üzerinde 0 < |DE| = |FC| < |CD| olacak şekilde E ve F noktaları almıyor. *ADE* ve *ACF* üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez K noktasında; *BDE* ve *BCF* üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez L noktasında kesişiyor. A, B, K, L noktalarının çemberde olduğunu ispat ediniz.", |
| "options": [], |
| "sub_questions": [], |
| "premises": [], |
| "has_figure": false, |
| "has_choices": false, |
| "visual_references": [ |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 91, |
| 258, |
| 944, |
| 334 |
| ], |
| "char_start": 17, |
| "char_end": 72, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 91, |
| 350, |
| 178, |
| 369 |
| ], |
| "char_start": 402, |
| "char_end": 457, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "image", |
| "bbox": [ |
| 277, |
| 383, |
| 757, |
| 604 |
| ], |
| "char_start": 467, |
| "char_end": 524, |
| "type": "ref_det" |
| } |
| ], |
| "code_blocks": [], |
| "latex_blocks": [ |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[|ME| \\cdot |MD| = |MK| \\cdot |MA| = |MF| \\cdot |MC|\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[|NE| \\cdot |ND| = |NL| \\cdot |NB| = |NF| \\cdot |NC|\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[|MK| \\cdot |MA| = |ME| \\cdot |MD| = |NE| \\cdot |ND| = |NL| \\cdot |NB| = |ML| \\cdot |MB|\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| } |
| ], |
| "data_tables": [], |
| "competitive_programming": null, |
| "solution": { |
| "explanation_text": "[IMAGE] \n \n\n\n{M} = DC ∩ AK ve {N} = DC ∩ BL olsun. M noktasının *ADE* çemberine göre kuvvetini ve M noktasının *AFC* çemberine göre kuvvetini düşünürsek, \n\nequation\n\\[|ME| \\cdot |MD| = |MK| \\cdot |MA| = |MF| \\cdot |MC|\\]\n\n\nelde ederiz. |DE| = |FC| olduğu için, buradan M nin [DC] nın orta noktası olduğu çıkar. Benzer biçimde, \n\nequation\n\\[|NE| \\cdot |ND| = |NL| \\cdot |NB| = |NF| \\cdot |NC|\\]\n\n\nolduğu ve N nin de [CD] nın orta noktası olduğu sonucu elde edilir. Dolayısıyla, M = N olmalıdır. Şimdi yukarıdaki eşitliklerden, \n\nequation\n\\[|MK| \\cdot |MA| = |ME| \\cdot |MD| = |NE| \\cdot |ND| = |NL| \\cdot |NB| = |ML| \\cdot |MB|\\]\n\n\nve, dolayısıyla, K, A, L ve B noktalarının çemberdeş olduğu sonucuna ulaşılır.", |
| "solution_variants": [], |
| "nested_proof_steps": [], |
| "derivation_steps": [], |
| "solving_technique": null, |
| "assumptions": [] |
| }, |
| "answer": { |
| "answer_key": null, |
| "short_answer": null, |
| "symbolic_answer": null, |
| "answer_frame_guidelines": null |
| }, |
| "scoring": { |
| "scoring_weight": 7, |
| "scoring_logic": null, |
| "subtask_points": [] |
| }, |
| "topic_metadata": { |
| "t_code": null, |
| "discipline": "Geometri", |
| "section_title": null, |
| "keywords": [], |
| "topic_tags": [ |
| "Geometri" |
| ] |
| }, |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| }, |
| "raw_text": "Bir *ABCD* konveks dörtgeninin [CD] kenarı üzerinde 0 < |DE| = |FC| < |CD| olacak şekilde E ve F noktaları almıyor. *ADE* ve *ACF* üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez K noktasında; *BDE* ve *BCF* üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez L noktasında kesişiyor. A, B, K, L noktalarının çemberde olduğunu ispat ediniz. \n\n\nÇözüm: \n\n [IMAGE] \n \n\n\n{M} = DC ∩ AK ve {N} = DC ∩ BL olsun. M noktasının *ADE* çemberine göre kuvvetini ve M noktasının *AFC* çemberine göre kuvvetini düşünürsek, \n\nequation\n\\[|ME| \\cdot |MD| = |MK| \\cdot |MA| = |MF| \\cdot |MC|\\]\n\n\nelde ederiz. |DE| = |FC| olduğu için, buradan M nin [DC] nın orta noktası olduğu çıkar. Benzer biçimde, \n\nequation\n\\[|NE| \\cdot |ND| = |NL| \\cdot |NB| = |NF| \\cdot |NC|\\]\n\n\nolduğu ve N nin de [CD] nın orta noktası olduğu sonucu elde edilir. Dolayısıyla, M = N olmalıdır. Şimdi yukarıdaki eşitliklerden, \n\nequation\n\\[|MK| \\cdot |MA| = |ME| \\cdot |MD| = |NE| \\cdot |ND| = |NL| \\cdot |NB| = |ML| \\cdot |MB|\\]\n\n\nve, dolayısıyla, K, A, L ve B noktalarının çemberdeş olduğu sonucuna ulaşılır.", |
| "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q1_question.png", |
| "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q1_solution.png", |
| "inline_image_paths": [ |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q1_inline_1.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q1_inline_2.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q1_inline_3.png" |
| ] |
| }, |
| { |
| "question_id": "2006-MATH-2-Q2", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "question_number": 2, |
| "day_index": null, |
| "char_start": 1070, |
| "char_end": 3062, |
| "status": "active", |
| "cancellation_reason": null, |
| "parent_context": null, |
| "language_pairing": null, |
| "question_stem": "2006 öğrenci ve 14 öğretmenin bulunduğu bir okulda, her öğrencinin en az bir öğretmen ile tanışık olması koşuluyla, öğretmenler ve öğrenciler arasındaki tanışıklık bağıntısı ne olursa olsun; öğretmenin tanıdığı öğrenci sayısının, öğrencinin tanıdığı öğretmen sayısına oranının en az t olduğu, birbirini\n\n---\ntanyan bir öğrenci-öğretmen ikilisinin bulunmasını sağlayan en büyük t gerçel sayısını belirleyiniz.", |
| "options": [], |
| "sub_questions": [], |
| "premises": [], |
| "has_figure": false, |
| "has_choices": false, |
| "visual_references": [ |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 91, |
| 757, |
| 942, |
| 797 |
| ], |
| "char_start": 1125, |
| "char_end": 1180, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "equation", |
| "bbox": [ |
| 228, |
| 808, |
| 803, |
| 831 |
| ], |
| "char_start": 1313, |
| "char_end": 1373, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 91, |
| 842, |
| 755, |
| 864 |
| ], |
| "char_start": 1467, |
| "char_end": 1522, |
| "type": "ref_det" |
| } |
| ], |
| "code_blocks": [], |
| "latex_blocks": [ |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ \\frac{a_{i_o}}{b_{j_{o}}} \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} \\ge \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} \\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\sum_{\\{j:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\frac{|{j : (i,j) \\in T}|}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} \\frac{a_i}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} 1 \\le 14 \\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} \\sum_{\\{i:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} |{j : (i,j) \\in T}| \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} b_j \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} 1 = 2006 \\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| } |
| ], |
| "data_tables": [], |
| "competitive_programming": null, |
| "solution": { |
| "explanation_text": "** \\(t = 2006/14\\). \n\n\nTüm öğrencilerin tüm öğretmenlerle tanışık olduğu durumda, söz konusu oranların hepsi 2006/14 olacağı için, \\(t \\le 2006/14\\) olmalıdır. Şimdi, \\(t \\ge 2006/14\\) olduğunu kanıtlayacağız. \n\n\n\\(1 \\le i \\le 14\\) için, \\(a_i\\) ile, \\(i\\). öğretmenin tanıdığı öğrenci sayısını; \\(1 \\le j \\le 2006\\) için de, \\(b_j\\) ile, \\(j\\). öğrencinin tanıdığı öğretmen sayısını gösterelim. \\(T\\), birbirini tanıyan tüm \\((i,j)\\) öğretmen-öğrenci ikililerinin kümesi olsun. Bu gösterimle, \\(|{j : (i,j) \\in T}| = a_i \\ge 0\\) ve \\(|{i : (i,j) \\in T}| = b_j \\ge 1\\) olduğunu gözlemleyelim. \n\n\n\\((i_o, j_o) \\in T\\) ikilisi, her \\((i,j) \\in T\\) için, \\(a_{i_o}/b_{j_o} \\ge a_i/b_j\\) koşulunu sağlasın. O zaman, tüm \\((i,j) \\in T\\) için, \\(a_{i_o}/b_{j_{o}} \\cdot 1/a_i \\ge 1/b_j\\) eşitsizliklerini toplarsak, \n\nequation\n\\[ \\frac{a_{i_o}}{b_{j_{o}}} \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} \\ge \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} \\]\n\n\neşitsizliğini elde ederiz. \n\n\nŞimdi, \n\nequation\n\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\sum_{\\{j:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\frac{|{j : (i,j) \\in T}|}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} \\frac{a_i}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} 1 \\le 14 \\]\n\n\nve benzer şekilde, \n\nequation\n\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} \\sum_{\\{i:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} |{j : (i,j) \\in T}| \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} b_j \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} 1 = 2006 \\]\n\n\nolduğunu kullanırsak, \\(a_{i_o}/b_{j_o} \\ge 2006/14\\) çıkar. Bu da, \\(t \\ge 2006/14\\) olması gerektiği anlamına gelir.", |
| "solution_variants": [], |
| "nested_proof_steps": [ |
| { |
| "type": "gözlem", |
| "label": null, |
| "content": "leyelim. \n\n\n\\((i_o, j_o) \\in T\\) ikilisi, her \\((i,j) \\in T\\) için, \\(a_{i_o}/b_{j_o} \\ge a_i/b_j\\) koşulunu sağlasın. O zaman, tüm \\((i,j) \\in T\\) için, \\(a_{i_o}/b_{j_{o}} \\cdot 1/a_i \\ge 1/b_j\\) eşitsizliklerini toplarsak, \n\nequation\n\\[ \\frac{a_{i_o}}{b_{j_{o}}} \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} \\ge \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} \\]\n\n\neşitsizliğini elde ederiz. \n\n\nŞimdi, \n\nequation\n\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\sum_{\\{j:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\frac{|{j : (i,j) \\in T}|}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} \\frac{a_i}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} 1 \\le 14 \\]\n\n\nve benzer şekilde, \n\nequation\n\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} \\sum_{\\{i:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} |{j : (i,j) \\in T}| \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} b_j \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} 1 = 2006 \\]\n\n\nolduğunu kullanırsak, \\(a_{i_o}/b_{j_o} \\ge 2006/14\\) çıkar. Bu da, \\(t \\ge 2006/14\\) olması gerektiği anlamına gelir." |
| } |
| ], |
| "derivation_steps": [], |
| "solving_technique": null, |
| "assumptions": [] |
| }, |
| "answer": { |
| "answer_key": null, |
| "short_answer": null, |
| "symbolic_answer": null, |
| "answer_frame_guidelines": null |
| }, |
| "scoring": { |
| "scoring_weight": 7, |
| "scoring_logic": null, |
| "subtask_points": [] |
| }, |
| "topic_metadata": { |
| "t_code": null, |
| "discipline": "Cebir", |
| "section_title": null, |
| "keywords": [], |
| "topic_tags": [ |
| "Cebir" |
| ] |
| }, |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| }, |
| "raw_text": "2006 öğrenci ve 14 öğretmenin bulunduğu bir okulda, her öğrencinin en az bir öğretmen ile tanışık olması koşuluyla, öğretmenler ve öğrenciler arasındaki tanışıklık bağıntısı ne olursa olsun; öğretmenin tanıdığı öğrenci sayısının, öğrencinin tanıdığı öğretmen sayısına oranının en az t olduğu, birbirini\n\n---\ntanyan bir öğrenci-öğretmen ikilisinin bulunmasını sağlayan en büyük t gerçel sayısını belirleyiniz. \n\n\n**Çözüm:** \\(t = 2006/14\\). \n\n\nTüm öğrencilerin tüm öğretmenlerle tanışık olduğu durumda, söz konusu oranların hepsi 2006/14 olacağı için, \\(t \\le 2006/14\\) olmalıdır. Şimdi, \\(t \\ge 2006/14\\) olduğunu kanıtlayacağız. \n\n\n\\(1 \\le i \\le 14\\) için, \\(a_i\\) ile, \\(i\\). öğretmenin tanıdığı öğrenci sayısını; \\(1 \\le j \\le 2006\\) için de, \\(b_j\\) ile, \\(j\\). öğrencinin tanıdığı öğretmen sayısını gösterelim. \\(T\\), birbirini tanıyan tüm \\((i,j)\\) öğretmen-öğrenci ikililerinin kümesi olsun. Bu gösterimle, \\(|{j : (i,j) \\in T}| = a_i \\ge 0\\) ve \\(|{i : (i,j) \\in T}| = b_j \\ge 1\\) olduğunu gözlemleyelim. \n\n\n\\((i_o, j_o) \\in T\\) ikilisi, her \\((i,j) \\in T\\) için, \\(a_{i_o}/b_{j_o} \\ge a_i/b_j\\) koşulunu sağlasın. O zaman, tüm \\((i,j) \\in T\\) için, \\(a_{i_o}/b_{j_{o}} \\cdot 1/a_i \\ge 1/b_j\\) eşitsizliklerini toplarsak, \n\nequation\n\\[ \\frac{a_{i_o}}{b_{j_{o}}} \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} \\ge \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} \\]\n\n\neşitsizliğini elde ederiz. \n\n\nŞimdi, \n\nequation\n\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\sum_{\\{j:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{a_i} = \\sum_{i=1}^{14} \\frac{|{j : (i,j) \\in T}|}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} \\frac{a_i}{a_i} = \\sum_{\\{i:a_i \\neq 0\\}} 1 \\le 14 \\]\n\n\nve benzer şekilde, \n\nequation\n\\[ \\sum_{(i,j) \\in T} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} \\sum_{\\{i:(i,j) \\in T\\}} \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} |{j : (i,j) \\in T}| \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} b_j \\frac{1}{b_j} = \\sum_{j=1}^{2006} 1 = 2006 \\]\n\n\nolduğunu kullanırsak, \\(a_{i_o}/b_{j_o} \\ge 2006/14\\) çıkar. Bu da, \\(t \\ge 2006/14\\) olması gerektiği anlamına gelir.", |
| "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q2_question.png", |
| "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q2_solution.png", |
| "inline_image_paths": [ |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q2_inline_1.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q2_inline_2.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q2_inline_3.png" |
| ] |
| }, |
| { |
| "question_id": "2006-MATH-2-Q3", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "question_number": 3, |
| "day_index": null, |
| "char_start": 3064, |
| "char_end": 4929, |
| "status": "active", |
| "cancellation_reason": null, |
| "parent_context": null, |
| "language_pairing": null, |
| "question_stem": "equation\n\\[ P_n(x) = (x^2 + x + 1)^n - (x^2 + x)^n - (x^2 + 1)^n - (x + 1)^n + x^{2n} + x^n + 1 \\]\n\n\npolinomumun tüm katsayılarının 7 ile bölünmesini sağlayan bütün \\(n\\) pozitif tam sayılarını bulunuz.", |
| "options": [], |
| "sub_questions": [], |
| "premises": [], |
| "has_figure": false, |
| "has_choices": false, |
| "visual_references": [ |
| { |
| "tag": "equation", |
| "bbox": [ |
| 421, |
| 320, |
| 611, |
| 363 |
| ], |
| "char_start": 3186, |
| "char_end": 3246, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 89, |
| 375, |
| 291, |
| 394 |
| ], |
| "char_start": 3350, |
| "char_end": 3405, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 89, |
| 412, |
| 155, |
| 432 |
| ], |
| "char_start": 3435, |
| "char_end": 3490, |
| "type": "ref_det" |
| } |
| ], |
| "code_blocks": [], |
| "latex_blocks": [ |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ P_n(x) = (x^2 + x + 1)^n - (x^2 + x)^n - (x^2 + 1)^n - (x + 1)^n + x^{2n} + x^n + 1 \\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ Q(x)^{7^m} \\equiv Q(x^{7^m}) \\pmod{7} \\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[\n\\begin{align*}\n(x^2 + x + 1)^n &\\equiv (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 1)^{7a^b} \\equiv (x^2 + x + 1)(x^{2 \\cdot 7^a} + x^{7^a} + 1)^b \\\\\n&\\equiv 1 + x + x^2 + bx^{7^a} + bx^{7^a+1} + bx^{7^a+2} \\\\\n&\\qquad + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x + 1)^n &\\equiv 1 + x + bx^{7^a} + bx^{7^a+1} \\\\\n&\\qquad + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^b \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x^2 + 1)^n &\\equiv 1 + x^2 + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x^2 + x)^n &\\equiv (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ vaya daha büyük olan terimler toplamı})\n\\end{align*}\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[\nP_n(x) \\equiv bx^{7^a+2} + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{veya daha büyük olan terimler})\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| } |
| ], |
| "data_tables": [], |
| "competitive_programming": null, |
| "solution": { |
| "explanation_text": "** Öncelikle, \\(Q(x)\\) tam sayı katsayılı bir polinom ve \\(m\\) pozitif bir tam sayıysa, \n\nequation\n\\[ Q(x)^{7^m} \\equiv Q(x^{7^m}) \\pmod{7} \\]\n\n\nolduğunu kullanarak; \\(0 \\le k \\le l\\) tam sayılar olmak üzere, \\(n = 7^k\\) ve \\(n = 7^k + 7^l\\) şeklindeki sayıların istenilen koşulu sağladığını görürüz. \n\n\nŞimdi, \\(n\\) bunlardan farklı bir pozitif tam sayı ise, istenilen koşulun sağlanmadığını göstereceğiz. \\(n\\) nin 7 ile bölünmediğini varsayabiliriz. \n\n\n\\(n > 2\\) olduğu için, \\(P_n(x)\\) polinomunda \\(x^3\\) ün katsayısı \\(n(n-1)\\) olur. \\(7|n(n-1)\\) ise, \\(7|n-1\\) olmalıdır. \\(a \\ge 1\\) ve \\(b \\ge 2\\) tam sayılar ve \\(7|b\\) olmak üzere, \\(n = 1 + 7^a b\\) olsun. Tüm denklikler 7 modunda olmak\n\n---\nequation\n\\[\n\\begin{align*}\n(x^2 + x + 1)^n &\\equiv (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 1)^{7a^b} \\equiv (x^2 + x + 1)(x^{2 \\cdot 7^a} + x^{7^a} + 1)^b \\\\\n&\\equiv 1 + x + x^2 + bx^{7^a} + bx^{7^a+1} + bx^{7^a+2} \\\\\n&\\qquad + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x + 1)^n &\\equiv 1 + x + bx^{7^a} + bx^{7^a+1} \\\\\n&\\qquad + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^b \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x^2 + 1)^n &\\equiv 1 + x^2 + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x^2 + x)^n &\\equiv (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ vaya daha büyük olan terimler toplamı})\n\\end{align*}\n\\]\n\n\nelde ederiz. (En son denklikte, \\(b \\ge 2\\) olduğunu kullandık.) Buradan, \n\nequation\n\\[\nP_n(x) \\equiv bx^{7^a+2} + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{veya daha büyük olan terimler})\n\\]\n\n\nçıkar. Bu da, \\(b, 7\\) ile bölünmediği için, \\(P_n(x)\\) te \\(x^{7^a+2}\\) nin katsayısının 7 ile bölünmediğini kanıtlar.", |
| "solution_variants": [], |
| "nested_proof_steps": [], |
| "derivation_steps": [], |
| "solving_technique": null, |
| "assumptions": [] |
| }, |
| "answer": { |
| "answer_key": null, |
| "short_answer": null, |
| "symbolic_answer": null, |
| "answer_frame_guidelines": null |
| }, |
| "scoring": { |
| "scoring_weight": 7, |
| "scoring_logic": null, |
| "subtask_points": [] |
| }, |
| "topic_metadata": { |
| "t_code": null, |
| "discipline": "Cebir", |
| "section_title": null, |
| "keywords": [], |
| "topic_tags": [ |
| "Cebir" |
| ] |
| }, |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| }, |
| "raw_text": "equation\n\\[ P_n(x) = (x^2 + x + 1)^n - (x^2 + x)^n - (x^2 + 1)^n - (x + 1)^n + x^{2n} + x^n + 1 \\]\n\n\npolinomumun tüm katsayılarının 7 ile bölünmesini sağlayan bütün \\(n\\) pozitif tam sayılarını bulunuz. \n\n\n**Çözüm:** Öncelikle, \\(Q(x)\\) tam sayı katsayılı bir polinom ve \\(m\\) pozitif bir tam sayıysa, \n\nequation\n\\[ Q(x)^{7^m} \\equiv Q(x^{7^m}) \\pmod{7} \\]\n\n\nolduğunu kullanarak; \\(0 \\le k \\le l\\) tam sayılar olmak üzere, \\(n = 7^k\\) ve \\(n = 7^k + 7^l\\) şeklindeki sayıların istenilen koşulu sağladığını görürüz. \n\n\nŞimdi, \\(n\\) bunlardan farklı bir pozitif tam sayı ise, istenilen koşulun sağlanmadığını göstereceğiz. \\(n\\) nin 7 ile bölünmediğini varsayabiliriz. \n\n\n\\(n > 2\\) olduğu için, \\(P_n(x)\\) polinomunda \\(x^3\\) ün katsayısı \\(n(n-1)\\) olur. \\(7|n(n-1)\\) ise, \\(7|n-1\\) olmalıdır. \\(a \\ge 1\\) ve \\(b \\ge 2\\) tam sayılar ve \\(7|b\\) olmak üzere, \\(n = 1 + 7^a b\\) olsun. Tüm denklikler 7 modunda olmak\n\n---\nequation\n\\[\n\\begin{align*}\n(x^2 + x + 1)^n &\\equiv (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 1)^{7a^b} \\equiv (x^2 + x + 1)(x^{2 \\cdot 7^a} + x^{7^a} + 1)^b \\\\\n&\\equiv 1 + x + x^2 + bx^{7^a} + bx^{7^a+1} + bx^{7^a+2} \\\\\n&\\qquad + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x + 1)^n &\\equiv 1 + x + bx^{7^a} + bx^{7^a+1} \\\\\n&\\qquad + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^b \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x^2 + 1)^n &\\equiv 1 + x^2 + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ veya daha büyük olan terimler}) \\\\\n(x^2 + x)^n &\\equiv (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{ vaya daha büyük olan terimler toplamı})\n\\end{align*}\n\\]\n\n\nelde ederiz. (En son denklikte, \\(b \\ge 2\\) olduğunu kullandık.) Buradan, \n\nequation\n\\[\nP_n(x) \\equiv bx^{7^a+2} + (\\text{derecesi } 2 \\cdot 7^a \\text{veya daha büyük olan terimler})\n\\]\n\n\nçıkar. Bu da, \\(b, 7\\) ile bölünmediği için, \\(P_n(x)\\) te \\(x^{7^a+2}\\) nin katsayısının 7 ile bölünmediğini kanıtlar.", |
| "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q3_question.png", |
| "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q3_solution.png", |
| "inline_image_paths": [ |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q3_inline_1.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q3_inline_2.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q3_inline_3.png" |
| ] |
| }, |
| { |
| "question_id": "2006-MATH-2-Q4", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "question_number": 4, |
| "day_index": null, |
| "char_start": 4931, |
| "char_end": 5619, |
| "status": "active", |
| "cancellation_reason": null, |
| "parent_context": null, |
| "language_pairing": null, |
| "question_stem": "\\(n \\ge 2\\) ve \\(a_1, a_2, \\dots, a_n\\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere \n\nequation\n\\[\nt = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n = a_1^2 + a_2^2 + \\cdots + a_n^2\n\\]\n\n\nise, \n\nequation\n\\[\n\\sum_{i \\neq j} \\frac{a_i}{a_j} \\geq \\frac{(n-1)^2 t}{t-1}\n\\]\n\n\nolduğunu gösteriniz.", |
| "options": [], |
| "sub_questions": [], |
| "premises": [], |
| "has_figure": false, |
| "has_choices": false, |
| "visual_references": [ |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 89, |
| 770, |
| 944, |
| 809 |
| ], |
| "char_start": 4953, |
| "char_end": 5008, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 89, |
| 825, |
| 944, |
| 864 |
| ], |
| "char_start": 5167, |
| "char_end": 5222, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 89, |
| 880, |
| 944, |
| 919 |
| ], |
| "char_start": 5374, |
| "char_end": 5429, |
| "type": "ref_det" |
| } |
| ], |
| "code_blocks": [], |
| "latex_blocks": [ |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[\nt = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n = a_1^2 + a_2^2 + \\cdots + a_n^2\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[\n\\sum_{i \\neq j} \\frac{a_i}{a_j} \\geq \\frac{(n-1)^2 t}{t-1}\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[\n\\sum_{i \\neq j} \\frac{a_i}{a_j^2} \\cdot \\sum_{i \\neq j} a_i a_j \\geq \\left( \\sum_{i \\neq j} a_i \\right)^2 = \\left( (n-1) \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 = (n-1)^2 t^2\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[\n\\sum_{i \\neq j} a_i a_j = \\left( \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 - \\left( \\sum_{i=1}^n a_i^2 \\right) = t^2 - t\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| } |
| ], |
| "data_tables": [], |
| "competitive_programming": null, |
| "solution": { |
| "explanation_text": "Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden dolayı, \n\nequation\n\\[\n\\sum_{i \\neq j} \\frac{a_i}{a_j^2} \\cdot \\sum_{i \\neq j} a_i a_j \\geq \\left( \\sum_{i \\neq j} a_i \\right)^2 = \\left( (n-1) \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 = (n-1)^2 t^2\n\\]\n\n\nolur. Diğer taraftan, \n\nequation\n\\[\n\\sum_{i \\neq j} a_i a_j = \\left( \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 - \\left( \\sum_{i=1}^n a_i^2 \\right) = t^2 - t\n\\]\n\n\nolduğu için, istenilen eşitsizlik elde edilir.", |
| "solution_variants": [], |
| "nested_proof_steps": [], |
| "derivation_steps": [], |
| "solving_technique": "Cauchy-Schwarz", |
| "assumptions": [] |
| }, |
| "answer": { |
| "answer_key": null, |
| "short_answer": null, |
| "symbolic_answer": null, |
| "answer_frame_guidelines": null |
| }, |
| "scoring": { |
| "scoring_weight": 7, |
| "scoring_logic": null, |
| "subtask_points": [] |
| }, |
| "topic_metadata": { |
| "t_code": null, |
| "discipline": "Cebir", |
| "section_title": null, |
| "keywords": [], |
| "topic_tags": [ |
| "Cebir" |
| ] |
| }, |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| }, |
| "raw_text": "\\(n \\ge 2\\) ve \\(a_1, a_2, \\dots, a_n\\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere \n\nequation\n\\[\nt = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n = a_1^2 + a_2^2 + \\cdots + a_n^2\n\\]\n\n\nise, \n\nequation\n\\[\n\\sum_{i \\neq j} \\frac{a_i}{a_j} \\geq \\frac{(n-1)^2 t}{t-1}\n\\]\n\n\nolduğunu gösteriniz. \n\n\nÇözüm: Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden dolayı, \n\nequation\n\\[\n\\sum_{i \\neq j} \\frac{a_i}{a_j^2} \\cdot \\sum_{i \\neq j} a_i a_j \\geq \\left( \\sum_{i \\neq j} a_i \\right)^2 = \\left( (n-1) \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 = (n-1)^2 t^2\n\\]\n\n\nolur. Diğer taraftan, \n\nequation\n\\[\n\\sum_{i \\neq j} a_i a_j = \\left( \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 - \\left( \\sum_{i=1}^n a_i^2 \\right) = t^2 - t\n\\]\n\n\nolduğu için, istenilen eşitsizlik elde edilir.", |
| "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q4_question.png", |
| "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q4_solution.png", |
| "inline_image_paths": [ |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q4_inline_1.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q4_inline_2.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q4_inline_3.png" |
| ] |
| }, |
| { |
| "question_id": "2006-MATH-2-Q5", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "question_number": 5, |
| "day_index": null, |
| "char_start": 5621, |
| "char_end": 6797, |
| "status": "active", |
| "cancellation_reason": null, |
| "parent_context": null, |
| "language_pairing": null, |
| "question_stem": "Dar açılı bir ABC üçgeninin yükseklikleri [AA₁], [BB₁] ve [CC₁] olsun. AB₁C₁, BC₁A₁ ve CA₁B₁ üçgenlerinin iç merkezleri, sırasıyla, Oₐ, Oₐ ve Oₐ olsun. ABC üçgeninin içteğet çemberi BC, CA ve AB kenarlarına, sırasıyla, Tₐ, Tₐ ve Tₐ noktalarında teğet ise, TₐOₐCₐTₐOₐTₐCₐOₐ altıgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz.", |
| "options": [], |
| "sub_questions": [], |
| "premises": [], |
| "has_figure": false, |
| "has_choices": false, |
| "visual_references": [ |
| { |
| "tag": "equation", |
| "bbox": [ |
| 210, |
| 81, |
| 825, |
| 241 |
| ], |
| "char_start": 5695, |
| "char_end": 5754, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 90, |
| 252, |
| 664, |
| 274 |
| ], |
| "char_start": 6379, |
| "char_end": 6434, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "equation", |
| "bbox": [ |
| 250, |
| 285, |
| 784, |
| 308 |
| ], |
| "char_start": 6511, |
| "char_end": 6571, |
| "type": "ref_det" |
| } |
| ], |
| "code_blocks": [], |
| "latex_blocks": [], |
| "data_tables": [], |
| "competitive_programming": null, |
| "solution": { |
| "explanation_text": "---\n [IMAGE] \n \n\n\nABC üçgeninin iç çemberinin yarıçapı r, merkezi de I olsun. ABC üçgeni, \\(AB_1C_1\\) üçgenine cos \\(\\hat{A}\\) benzerlik oranı ile benzerdir. X ve Y, \\(AB_1C_1\\) üçgeninin iç çemberinin, sırasıyla, \\(AC_1\\) ve \\(AB_1\\) doğrularına teğet olduğu noktalar olsun. Benzerlikten ötürü \\(|AX|/|AT_B| = \\cos \\hat{A}\\) olduğu için, \\([T_BX]\\) nın \\([AB]\\) na dik olduğu ve, dolayısıyla, \\(O_A\\) noktasından geçtiği sonucuna ulaşırız. Demek ki, \\(T_BO_A\\) doğrusu AB doğrusuna diktir. Benzer şekilde, \\(T_C O_A\\) doğrusu AC doğrusuna diktir. \n\n\nÖte yandan, \\(IT_C\\) ve \\(IT_B\\) doğruları da, sırasıyla, AB ve AC doğrularına dik olduğu için, \\(IT_BO_AT_C\\) dörtgeni bir parellekenardır ve, \\(|IT_C| = |IT_B| = r\\) olduğu için de, bu parellekenar bir eşkenar dörtgendir. Buradan, \\(|T_BO_A| = |O_AT_C| = r\\) olduğu elde edilir ve ispat biter.", |
| "solution_variants": [], |
| "nested_proof_steps": [], |
| "derivation_steps": [], |
| "solving_technique": null, |
| "assumptions": [] |
| }, |
| "answer": { |
| "answer_key": null, |
| "short_answer": null, |
| "symbolic_answer": null, |
| "answer_frame_guidelines": null |
| }, |
| "scoring": { |
| "scoring_weight": 7, |
| "scoring_logic": null, |
| "subtask_points": [] |
| }, |
| "topic_metadata": { |
| "t_code": null, |
| "discipline": "Geometri", |
| "section_title": null, |
| "keywords": [], |
| "topic_tags": [ |
| "Geometri" |
| ] |
| }, |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| }, |
| "raw_text": "Dar açılı bir ABC üçgeninin yükseklikleri [AA₁], [BB₁] ve [CC₁] olsun. AB₁C₁, BC₁A₁ ve CA₁B₁ üçgenlerinin iç merkezleri, sırasıyla, Oₐ, Oₐ ve Oₐ olsun. ABC üçgeninin içteğet çemberi BC, CA ve AB kenarlarına, sırasıyla, Tₐ, Tₐ ve Tₐ noktalarında teğet ise, TₐOₐCₐTₐOₐTₐCₐOₐ altıgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz. \n\n\nÇözüm:\n\n---\n [IMAGE] \n \n\n\nABC üçgeninin iç çemberinin yarıçapı r, merkezi de I olsun. ABC üçgeni, \\(AB_1C_1\\) üçgenine cos \\(\\hat{A}\\) benzerlik oranı ile benzerdir. X ve Y, \\(AB_1C_1\\) üçgeninin iç çemberinin, sırasıyla, \\(AC_1\\) ve \\(AB_1\\) doğrularına teğet olduğu noktalar olsun. Benzerlikten ötürü \\(|AX|/|AT_B| = \\cos \\hat{A}\\) olduğu için, \\([T_BX]\\) nın \\([AB]\\) na dik olduğu ve, dolayısıyla, \\(O_A\\) noktasından geçtiği sonucuna ulaşırız. Demek ki, \\(T_BO_A\\) doğrusu AB doğrusuna diktir. Benzer şekilde, \\(T_C O_A\\) doğrusu AC doğrusuna diktir. \n\n\nÖte yandan, \\(IT_C\\) ve \\(IT_B\\) doğruları da, sırasıyla, AB ve AC doğrularına dik olduğu için, \\(IT_BO_AT_C\\) dörtgeni bir parellekenardır ve, \\(|IT_C| = |IT_B| = r\\) olduğu için de, bu parellekenar bir eşkenar dörtgendir. Buradan, \\(|T_BO_A| = |O_AT_C| = r\\) olduğu elde edilir ve ispat biter.", |
| "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q5_question.png", |
| "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q5_solution.png", |
| "inline_image_paths": [ |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q5_inline_1.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q5_inline_2.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q5_inline_3.png" |
| ] |
| }, |
| { |
| "question_id": "2006-MATH-2-Q6", |
| "format_id": "FMT_MATH_2_QS", |
| "question_number": 6, |
| "day_index": null, |
| "char_start": 6799, |
| "char_end": 9877, |
| "status": "active", |
| "cancellation_reason": null, |
| "parent_context": null, |
| "language_pairing": null, |
| "question_stem": "Kenarları, alanı ve iç açılarının derece cinsinden ölçüleri rasyonel sayılar olan bir üçgenin bulunmadığını ispat ediniz.", |
| "options": [], |
| "sub_questions": [], |
| "premises": [], |
| "has_figure": false, |
| "has_choices": false, |
| "visual_references": [ |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 90, |
| 373, |
| 580, |
| 395 |
| ], |
| "char_start": 6852, |
| "char_end": 6907, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "equation", |
| "bbox": [ |
| 360, |
| 405, |
| 670, |
| 429 |
| ], |
| "char_start": 6988, |
| "char_end": 7048, |
| "type": "ref_det" |
| }, |
| { |
| "tag": "text", |
| "bbox": [ |
| 90, |
| 444, |
| 128, |
| 460 |
| ], |
| "char_start": 7118, |
| "char_end": 7173, |
| "type": "ref_det" |
| } |
| ], |
| "code_blocks": [], |
| "latex_blocks": [ |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ \n\\begin{aligned}\nQ_n(x) &= (1 - 2x^2)Q_{n-1}(x) - 2xR_{n-1}(x) \\\\\nR_n(x) &= 2x(1 - x^2)Q_{n-1} + (1 - 2x^2)R_{n-1}(x)\n\\end{aligned}\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| }, |
| { |
| "mode": "display", |
| "content": "\\[ \n\\begin{aligned}\n\\cos(2n+1)\\theta &= (1-2\\sin^2\\theta)\\cos(2n-1)\\theta - 2\\sin\\theta\\cos\\theta\\sin(2n-1)\\theta \\\\\n\\sin(2n+1)\\theta &= 2\\sin\\theta\\cos\\theta\\cos(2n-1)\\theta + (1-2\\sin^2\\theta)\\sin(2n-1)\\theta\n\\end{aligned}\n\\]", |
| "immutable": true, |
| "sanity_issues": [] |
| } |
| ], |
| "data_tables": [], |
| "competitive_programming": null, |
| "solution": { |
| "explanation_text": "** Sınısı ve kosinüs kurallarından ötürü, böyle bir üçgenin iç açılarının sinüs ve kosinüslerinin de rasyonel sayılar olması gerektiği görülür. \n\n\nŞimdi, \\(\\theta\\) açısının derece cinsinden ölçüsü, 90 nm tam katı olmayan bir rasyonel sayıysa, hem sin \\(\\theta\\), hem de \\(\\cos \\theta\\) nın rasyonel sayılar olamayacağını ispatlayacağız ve böylece istenilen koşulları sağlayan bir üçgen olmadığı kanıtlanmış olacak. \n\n\n\\(u, v\\) ve \\(w > 1\\) ikişer ikişer aralarında asal olan tam sayılar ve sin \\(\\theta = u/w\\), \\(\\cos \\theta = v/w\\) olsun. \\(u^2 + v^2 \\equiv w^2 \\equiv 0 \\pmod{4}\\) denkliği olanaksız olduğu için, \\(w\\) çift olamaz. \n\n\n\\(p\\) ve \\(q > 0\\), aralarında asal tam sayılar olmak üzere \\(\\theta = p/q\\) ve \\(d\\) de, 90 ve \\(p\\) nin en büyük ortak böleni olsun. \\(d = m \\cdot 90 + n \\cdot p = m \\cdot 90 + nq \\cdot \\theta\\) olacak biçimde \\(m\\) ve \\(n\\) tam sayıları vardır. Toplamın sinüsü ve kosinüsü formüllerini kullanarak, \\(\\sin(d^\\circ)\\) ve \\(\\cos(d^\\circ)\\) nin rasyonel sayılar olduğu sonucuna varırız. Ancak, \\(\\cos(30^\\circ) = \\sqrt{3}/2\\), \\(\\sin(45^\\circ) = 1/\\sqrt{2}\\) ve \\(\\sin(18^\\circ) = (\\sqrt{5}-1)/4\\) olduğu için, \\(d = 90\\) olmalıdır. Demek ki, bir \\(k\\) tam sayısı için, \\(\\theta = 90k/q\\) ve \\(q\\) tektir. \n\n\nTüm \\(n \\ge 0\\) tam sayıları için, \\(Q_n(x)\\) ve \\(R_n(x)\\) polinomlarını, \\(Q_0(x) = 1\\), \\(R_0(x) = x\\) ve \\(n \\ge 1\\) için, \n\nequation\n\\[ \n\\begin{aligned}\nQ_n(x) &= (1 - 2x^2)Q_{n-1}(x) - 2xR_{n-1}(x) \\\\\nR_n(x) &= 2x(1 - x^2)Q_{n-1} + (1 - 2x^2)R_{n-1}(x)\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\nkoşullarıyla tanımlayalım. Tümevarımla, \\(Q_n(x)\\) ve \\(R_n(x)\\) nin başkatsayıları \\((-4)^n\\) olan tam sayı\n\n---\nkatsayılı polinomlar olduğu görülür. Öte yandan, \\(n \\ge 1\\) için, \n\nequation\n\\[ \n\\begin{aligned}\n\\cos(2n+1)\\theta &= (1-2\\sin^2\\theta)\\cos(2n-1)\\theta - 2\\sin\\theta\\cos\\theta\\sin(2n-1)\\theta \\\\\n\\sin(2n+1)\\theta &= 2\\sin\\theta\\cos\\theta\\cos(2n-1)\\theta + (1-2\\sin^2\\theta)\\sin(2n-1)\\theta\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\nözdeşliklerini kullanarak, yine tümevarımla, her \\(n \\ge 0\\) için, \\(\\cos(2n+1)\\theta = \\cos\\theta Q_n(\\sin\\theta)\\) ve \\(\\sin(2n+1)\\theta = R_n(\\sin\\theta)\\) eşitliklerini elde ederiz. Böylece, \\(n = (q-1)/2\\) için, \\(\\sin\\theta\\) rasyonel sayısının, tam sayı katsayılı \\(R_n(x) - \\sin(90^\\circ k)\\) polinomunun bir kökü olduğu sonucuna varırız. Bu durumda, \\(w\\), bu polinomun başkatsayısı olan \\((-4)^n\\) yi bölmelidir. Ancak, \\(w > 1\\) ve tek olduğu için, bu olanaksızdır. \n\n\n*Alternatif çözüm:* Yukarıdaki üçüncü paragraftan sonra ispat şu şekilde tamamlanabilir: \n\n\n\\(n \\ge 2\\) için, \\(\\cos n\\theta = 2\\cos\\theta\\cos(n-1)\\theta - \\cos(n-2)\\theta\\) özdeşliğini kullanarak, tümevarımla, her \\(n \\ge 1\\) için, \\(w^n \\cos n\\theta = 2^{n-1}w^n + k_nw\\) koşulunu sağlayan \\(k_n\\) tam sayılarının bulunduğunu görürüz. \\(n\\) pozitif tam sayısı, \\(\\cos n\\theta = 1\\) olacak biçimde seçilince elde edilen \\(w^n = 2^{n-1}w^n + k_nw\\) eşitliği, \\((w, 2v) = 1\\) ve \\(w > 1\\) olduğu için, olanaksızdır.", |
| "solution_variants": [], |
| "nested_proof_steps": [], |
| "derivation_steps": [], |
| "solving_technique": "Tümevarım", |
| "assumptions": [] |
| }, |
| "answer": { |
| "answer_key": null, |
| "short_answer": null, |
| "symbolic_answer": null, |
| "answer_frame_guidelines": null |
| }, |
| "scoring": { |
| "scoring_weight": 7, |
| "scoring_logic": null, |
| "subtask_points": [] |
| }, |
| "topic_metadata": { |
| "t_code": null, |
| "discipline": "Geometri", |
| "section_title": null, |
| "keywords": [], |
| "topic_tags": [ |
| "Geometri", |
| "Sayılar Teorisi", |
| "Cebir", |
| "Kombinatorik" |
| ] |
| }, |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| }, |
| "raw_text": "Kenarları, alanı ve iç açılarının derece cinsinden ölçüleri rasyonel sayılar olan bir üçgenin bulunmadığını ispat ediniz. \n\n\n**Çözüm:** Sınısı ve kosinüs kurallarından ötürü, böyle bir üçgenin iç açılarının sinüs ve kosinüslerinin de rasyonel sayılar olması gerektiği görülür. \n\n\nŞimdi, \\(\\theta\\) açısının derece cinsinden ölçüsü, 90 nm tam katı olmayan bir rasyonel sayıysa, hem sin \\(\\theta\\), hem de \\(\\cos \\theta\\) nın rasyonel sayılar olamayacağını ispatlayacağız ve böylece istenilen koşulları sağlayan bir üçgen olmadığı kanıtlanmış olacak. \n\n\n\\(u, v\\) ve \\(w > 1\\) ikişer ikişer aralarında asal olan tam sayılar ve sin \\(\\theta = u/w\\), \\(\\cos \\theta = v/w\\) olsun. \\(u^2 + v^2 \\equiv w^2 \\equiv 0 \\pmod{4}\\) denkliği olanaksız olduğu için, \\(w\\) çift olamaz. \n\n\n\\(p\\) ve \\(q > 0\\), aralarında asal tam sayılar olmak üzere \\(\\theta = p/q\\) ve \\(d\\) de, 90 ve \\(p\\) nin en büyük ortak böleni olsun. \\(d = m \\cdot 90 + n \\cdot p = m \\cdot 90 + nq \\cdot \\theta\\) olacak biçimde \\(m\\) ve \\(n\\) tam sayıları vardır. Toplamın sinüsü ve kosinüsü formüllerini kullanarak, \\(\\sin(d^\\circ)\\) ve \\(\\cos(d^\\circ)\\) nin rasyonel sayılar olduğu sonucuna varırız. Ancak, \\(\\cos(30^\\circ) = \\sqrt{3}/2\\), \\(\\sin(45^\\circ) = 1/\\sqrt{2}\\) ve \\(\\sin(18^\\circ) = (\\sqrt{5}-1)/4\\) olduğu için, \\(d = 90\\) olmalıdır. Demek ki, bir \\(k\\) tam sayısı için, \\(\\theta = 90k/q\\) ve \\(q\\) tektir. \n\n\nTüm \\(n \\ge 0\\) tam sayıları için, \\(Q_n(x)\\) ve \\(R_n(x)\\) polinomlarını, \\(Q_0(x) = 1\\), \\(R_0(x) = x\\) ve \\(n \\ge 1\\) için, \n\nequation\n\\[ \n\\begin{aligned}\nQ_n(x) &= (1 - 2x^2)Q_{n-1}(x) - 2xR_{n-1}(x) \\\\\nR_n(x) &= 2x(1 - x^2)Q_{n-1} + (1 - 2x^2)R_{n-1}(x)\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\nkoşullarıyla tanımlayalım. Tümevarımla, \\(Q_n(x)\\) ve \\(R_n(x)\\) nin başkatsayıları \\((-4)^n\\) olan tam sayı\n\n---\nkatsayılı polinomlar olduğu görülür. Öte yandan, \\(n \\ge 1\\) için, \n\nequation\n\\[ \n\\begin{aligned}\n\\cos(2n+1)\\theta &= (1-2\\sin^2\\theta)\\cos(2n-1)\\theta - 2\\sin\\theta\\cos\\theta\\sin(2n-1)\\theta \\\\\n\\sin(2n+1)\\theta &= 2\\sin\\theta\\cos\\theta\\cos(2n-1)\\theta + (1-2\\sin^2\\theta)\\sin(2n-1)\\theta\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\nözdeşliklerini kullanarak, yine tümevarımla, her \\(n \\ge 0\\) için, \\(\\cos(2n+1)\\theta = \\cos\\theta Q_n(\\sin\\theta)\\) ve \\(\\sin(2n+1)\\theta = R_n(\\sin\\theta)\\) eşitliklerini elde ederiz. Böylece, \\(n = (q-1)/2\\) için, \\(\\sin\\theta\\) rasyonel sayısının, tam sayı katsayılı \\(R_n(x) - \\sin(90^\\circ k)\\) polinomunun bir kökü olduğu sonucuna varırız. Bu durumda, \\(w\\), bu polinomun başkatsayısı olan \\((-4)^n\\) yi bölmelidir. Ancak, \\(w > 1\\) ve tek olduğu için, bu olanaksızdır. \n\n\n*Alternatif çözüm:* Yukarıdaki üçüncü paragraftan sonra ispat şu şekilde tamamlanabilir: \n\n\n\\(n \\ge 2\\) için, \\(\\cos n\\theta = 2\\cos\\theta\\cos(n-1)\\theta - \\cos(n-2)\\theta\\) özdeşliğini kullanarak, tümevarımla, her \\(n \\ge 1\\) için, \\(w^n \\cos n\\theta = 2^{n-1}w^n + k_nw\\) koşulunu sağlayan \\(k_n\\) tam sayılarının bulunduğunu görürüz. \\(n\\) pozitif tam sayısı, \\(\\cos n\\theta = 1\\) olacak biçimde seçilince elde edilen \\(w^n = 2^{n-1}w^n + k_nw\\) eşitliği, \\((w, 2v) = 1\\) ve \\(w > 1\\) olduğu için, olanaksızdır.", |
| "question_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q6_question.png", |
| "solution_image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q6_solution.png", |
| "inline_image_paths": [ |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q6_inline_1.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q6_inline_2.png", |
| "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK_output/parsed_output/cropped_images/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/q6_inline_3.png" |
| ] |
| } |
| ], |
| "global_answer_key": {}, |
| "parent_contexts": [], |
| "page_images": [ |
| { |
| "page_index": 0, |
| "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/page_0000/result_with_boxes.jpg" |
| }, |
| { |
| "page_index": 1, |
| "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/page_0001/result_with_boxes.jpg" |
| }, |
| { |
| "page_index": 2, |
| "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/page_0002/result_with_boxes.jpg" |
| }, |
| { |
| "page_index": 3, |
| "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/page_0003/result_with_boxes.jpg" |
| }, |
| { |
| "page_index": 4, |
| "image_path": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/page_0004/result_with_boxes.jpg" |
| } |
| ], |
| "provenance": { |
| "source_pdf": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.pdf", |
| "source_mmd": "/content/drive/MyDrive/TUBİTAK/matematik/Matematik_2_Ikinci_Asama_2006/2006 -Lise Matematik İkinci aşama Çözümleri-min.mmd", |
| "ocr_engine": "Mathpix-mmd", |
| "is_source": "combined_booklet" |
| } |
| } |
